ROMB Romb on nelinurkne tasapinnaline kujund, mille kõik küljed on võrdsed. Rombi teoreemid: · Kui nelinurk on romb, siis diagonaal jaotab rombi kaheks võrdseks võrdhaarseks kolmnurgaks. · Kui nelinurk on romb, siis tema diagonaalid jaotavad rombi neljaks võrdseks täisnurkseks kolmnurgaks. · Kui nelinurk on romb, siis tema diagonaal poolitab vastasnurgad. · Kui nelinurk on romb, siis saab tema pindala arvutada diagonaalide kaudu. · Kui nelinurk on romb, siis tema diagonaalid on risti. · Kui nelinurk on romb, siis tema kõrgused on võrdsed. · Kui nelinurk on romb, siis tema diagonaalid on sümmeetriatelgedeks. Pindala arvutamine: kus a on rombi külg ja h sellele küljele rajatud kõrgus. kus d1 ja d2 on rombi diagonaalid. kus a on rombi külg ja rombi nurk. Ümbermõõt: P = 4a, kus a on rombi külg Erijuhud:
Slaidid on mõeldud kasutamiseks 7. klassi matemaatika tundides. Slaidid koostas Eva Tomson Viljandi 2002.a. Tagasi ROMB ·definitsioon ·omadused ·ümbermõõt ·pindala ·ülesanded Tagasi ROMBI DEFINITSIOON Rombiks nimetatakse nelinurka, mille kõik küljed on võrdsed. D AB = BC = CD = DA A C B Tagasi ROMBI OMADUSED 1. Romb on rööpküliku erijuht. Tal on samad omadused, mis rööpkülikulgi. Rombi vastasküljed on paralleelsed.
NELINURGAD RÖÖPKÜLIK Vastasküljed on paralleelsed ja võrdsed Vastasnurgad on võrdsed Diagonaalid poolitavad teineteist Diagonaal jaotab rööpküliku kaheks pindvõrdseks kolmnurgaks Lähisnurkade summa on 180º ( Diagonaalide ruutude summa on võrdne külgede ruutude summaga: d 12 + d 22 = 2 a 2 + b 2 ) Ümbermõõt. P = 2( a + b ) Pindala: S = ah S = a b sin ROMB On võrdsete külgedega rööpkülik, seega on rombil kõik rööpküliku omadused. Lisaks on rombi diagonaalid risti ja poolitavad rombi nurgad, Rombi kõrgused on pikkuselt võrdsed. 1 Rombi diagonaalide lõikepunkt on siseringjoone keskpunkt r = h 2 d 12 + d 22 = 4a 2 Ümbermõõt: P = 4a Pindala: S = a h S = a 2 sin
Mõõda küljed ja arvuta võrdhaarse trapetsi pindala. ( joonis 1,0 ) 4p a = . ............................................................ . . b = . ............................................................ ...
(a+b)(a² -ab +b²) =a³ +b³ Pythagorase joonis: c a b sin=a/c sin=b/c cos=b/c cos=a/c tan=a/b tan=b/a Rööptahukas: Sp=ab, Sk=2(a+b)h, V=Sp*h Koonus: Sp=r , Sk=rm, V=Sph/3=r2h/3 2 Püramiid: V=1/3Sph Ring: C=2r S=r2 Silinder: c=2r, Sk=2rh, St=Sk+2Sp, Sp=r2, V=r 2h=Sp*h Kera: S=4r2, V=4/3r3 Kuup: S=6*a2, V=a3 Kolmnurk: S = a x h : 2, P=a+b+c Trapets: S = (a + a2) : 2 x h, P = a + a2 + c + d Rööpkülik: S=a*h, P=2(a+b) Romb: S=a*h, P=2(a+b) Risttahukas: S=2(ab+ac+bc), V=abc Rööpkülik: S=a*h
Pindala: S=a² Ümbermõõt: Ü=4a Omadused: 1. Ruudul on nii ristküliku kui ka rombi omadused 2. Ruudu küljed on võrdsed 3. Ruudu nurgad on täisnurgad 4. Ruut on korrapärane nelinurk 5. Ruudul on siseringjoon, mille keskpunktiks on diagonaalide lõikepunkt (O) ning raadiusekspool külje pikkust. 6. Ruudul on ümberringjoon, mille keskpunktiks on diagonaalide lõikepunkt (O) ning raadiuseks pool diagonaali. Romb: Mõiste: Rombiks nimetatakse rööpkülikut, mille lähisküljed on võrdsed. Pindala: S=ah või S=d1·d2 Ümbermõõt: Ü=4a Omadused: -Rombil on kõik rööpküliku omadused -Rombi kõik küljed on võrdsed -Rombi diagonaalid on risti -Rombi diagonaalid poolitavad nurki -Rombi diagonaalid on tema sümmeetriatelgedeks. Rööpkülik: Mõiste: Rööpkülikuks nimetatakse nelinurka, mille vastasküljed on paralleelsed. Pindala: S=ah
Nimi.................................. PÕHIKOOLI MATEMAATIKA LÕPUEKSAMI ÜLESANDED 2011 VARIANT A Ülesanded 1, 2, 3, 4 ja 5 on kohustuslikud ja valikülesannete (6, 7) hulgast tuleb lahendada omal valikul veel üks ülesanne. Maksimaalselt on võimalik saada kuue ülesande lahendamise eest 50 punkti. Lahendamiseks on aega 180 minutit. Vajadusel täienda jooniseid ning lahendusi tuleb selgitada. Hindamine: 45 50 punkti, hinne``5``; 35 44 punkti, hinne ``4``; 23 34 punkti, hinne``3``; 13 22 punkti, hinne ``2``; 0 12 punkti, hinne ``1``. 1.(8p) Lihtsusta avaldis 5(- x² + 3x) + 3(3x - x²)+ 8(x² - 3x) 2. (8p) Lahenda murdvõrrand ning teosta kontroll. 3. (8p) Maatükk on rombi kujuline. Rombi diagonaalid on 8cm ja 6cm. Täienda joonist ning leia maatüki ümbermõõt ja pindala. 4. (8p) Koolis õpib 750 õpilast. Neist 22% tuuakse kooli autoga, bussiga ning ülejäänud tulevad kooli jalg...
Valemid Ruut Ruut Kolmnurk Kolmnurk kus Täisnurkne kolmnurk Täisnurkne kolmnurk Ringjoon, ring, sektor Ring , C on ümberringjoone pikkus , S on täispindala , Ss on sektori pinda , l on sektori kaare pikkus Ristkülik Ristkülik Romb Romb Näited 1. Rombi ümber asetseb minimaalse suurusega ring. Leia mitu korda on romb ringist väiksem, kui antud on rombi lühem diagonaal ja alus. Vastus: Romb on ringist korda väiksem.
Vastasnurgad on võrdsed. S= ah rööpkülik. 3. Diagonaal jaotab kaheks võrdseks kolmnurgaks. 4. Lähisnurkade summa on 180°. 5. Diagonaalid poolitavad teineteist. 6. Sisenurkade summa 360°. Romb 1. Kõik küljed on võrdsed. P= 4a Rööpkülik, mille kõik küljed on võrdsed on romb 2. Vastasküljed paralleelsed. S= ah 3. Lähisnurkade summa 180°. S= (d1*d2): 2 4
cm ja 12 cm. 67. Silindrisse on kujundatud korrapärane kolmnurkne prisma ja viimasesse omakorda kujundatud silinder. Arvuta silindri ruumalade suhe. 68. Leia täisnurkse kolmnurga nurgad, kui hüpotenuusile langetatud kõrgus on 2 korda väiksem kaatetite keskpunktide vahelisest kaugusest. 69. Koonuse telglõikeks on kolmnurk pindalaga P. Leia koonuse ruumala, kui tema moodustaja ja põhja vaheline nurk on . Avalda ja arvuta ruumala, kui P = 9 3 ja = 60º. 70. Romb, mille diagonaalid on pikkusega 6 cm ja 8 cm, pöörleb ümber oma külje. Leia tekkiva pöördkeha 5ruumala. 71. Täisnurksesse kolmnurka on kujundatud ruut nii, et neil on ühine täisnurk ning ruudu tipud asetsevad kolmnurga külgedel. Leia ruudu pindala, kui kolmnurga kaatetid on 4 cm ja 6 cm. 72. Püramiidi põhjaga paralleelnelõige jaotab püramiidi kõrguse kaheks osaks, millede suhe on ¾ (tipust alates). Lõike pindala on 200 cm² võrra väiksem põhja pindalast.
Tiina Tõruke õmblusmeister Lisa: Tallinna Tehnikakõrgkooli tõend 01.02.2015 nr 3–8/14 ROSALIE KULLERKUPP Katleri 13–8 13512 TALLINN Telefon 652 4899 E-post: [email protected] Hr Karl Karu AS Romb Sõpruse pst 258 15. märts 2015 13412 TALLINN AVALDUS Lugesin ajalehest Äripäev Teie firma tööpakkumise kuulutust assistendi ametikohale. Arvan, et vastan esitatud nõuetele, ning seepärast taotlen pakutavat ametikohta. Praegu töötan assistendina OÜ-s Pisike ja olen lõpetamas magistrantuuri Tallinna Tehnikaülikoolis halduskorralduse erialal. Töö OÜ-s Pisike ei paku mulle enam väljakutseid ja seetõttu soovin oma
Romb-rööpkülik, mille kõik küljed on võrdsed Robmi omadused: · romb on sümeetriline oma diagonaalide suhtes · rombi diagonaalid on teineteisega risti ja nad poolitavad rombi nurki · vastasnurgad on võrdsed · diagonaalid poolitavad teineteist · lähisnurkade summa on 180 C · rombi diagonaalid jaotavad rombi neljaks võrdseks osaks Pindala:S-ah S- d1 x d2 : 2 Ümbermõõt: P-4a Rööpkülik-nelinurk, mille vastasküljed on paralleelsed. Rööpküliku omadused: · vastasküljed on võrdsed
Kolmnurk Hulknurk,millel on P=a+b+c S=ah 3 nurka 2 Täisnurkne Kolmnurk, mille P=a+b+c S=ab kolmnurk üks nurk on 2 täisnurk Võrdhaarne Kolmnurk, mille P=a+2b S=ah kolmnurk kõik küljed on 2 võrdsed Romb Rööpkülik, mille P=4a S=ah kõik küljed on S=d1*d2 võrdsed 2 Rööpkülik Nelinurk, mille P=2*(a+b) S=ah=b*h vastasküljed on paralleelsed Trapets Nelinurk, mille üks P=a+b+c+d S=ab*H paar külgi on 2
a2+b2=c2 koosinusteoreem: a2=b2+c2-2bc x cosa sina=vastaskaatet/hüpotenuus S=ah/2 cosa=lähiskaatet/hüpotenuus S=absin/2 tana=vastaskaatet/lähiskaatet S=ruutjuur p(p-a)(p-b)(p-c) Ümberringjooneraadius R=c/2 P=a+b+c/2 S=ab/2 S=pr-> siseringjoone raadius 1/3 v.k.k. S=abc/4R->ümberringjoone raadius 2/3 Rööpkülik: Romb: P=2(a+b) P=4a S=ah1=bh2 S=ah S=absina S=d1xd2/2 ; S=a2sina d12+d22=2(a2+b2) d12+d22=2(a2+a2) ; d12+d22=4a2 Ristkülik: trapets: P=2(a+b) k=a+b/2 S=ab S=a+b/2xh S=kh Ruut: S = a² P=4xa Ristkülik: S=axb P = 2(a + b) Kolmnurk: S=axh:2 P=a+b+c Trapets: S = (a + b) : 2 x h
Matemaatika definitsioonid 1.Lõikuvad sirged on sirged, millel leidub ühine punkt. 2.Paralleelsed sirged on sirged, mis paiknevad ühel ja samal tasandil ning ei lõiku. 3.Ristuvad sirged on kaks lõikuvat sirget, mis lõikumisel moodustavad täisnurga. 4.Sirgnurk on sirge, mille haarad moodustavad sirge. 5.Täisnurk on sirge, mis on 90kraadi. 6.Teravnurk on nurk, mis mahub täisnurga sisse. 7.Nürinurk on nurk, mis mahub sirgnurga sisse, aga mitte täisnurga sisse. 8.Kõrvunurkadeks nimetatakse kaht nurka, millel üks haar on ühine ja mille teised haarad moodustavad sirge. 9.Kaht nurka nimetatakse tippnurkadeks, kui ühe nurga haarad on teise nurga haarade pikendused üle nende ühise tipu. 10.Täisnurkne kolmnurk on kolmnurk, mille üks nurk on täisnurk. 11.Teravnurkne kolmnurk on kolmnurk, mille kõik nurgad on teravnurgad. 12.Nürinurkne kolmnurk on kolmnurk, mille üks nurk on nürinurk. 13.Erikülgne kolmnurk on ko...
2. Ruut on tasandiline geomeetriline kujund. 3. Ruutu joonestatakse pliaatsi ja joonlauaga. 4. Ruudu nurgad on täisnurksed. 5. Ruudul on kõik rombi ja ristküliku omadused. 6. Nagu kõikidel rombidel, on ruudu diagonaalid risti. 7. Nagu kõikidel ristkülikutel, poolitavad ruudu diagonaalid teineteist. 8. Ruudu diagonaal poolitab nurga. 9. Ruudu ümbermõõt P võrdub külgede summaga. 10. Ruudu pindala valem on S=a2 11. Definitsiooni põhjal on ruut nii ristkülik kui ka romb. RISTKÜLIK 1. Ristkülik on tasandiline nelinurk, mille kõik nurgad on täisnurgad. 2. Ristküliku vastasküljed on omavahel paralleelsed. 3. P=2(a+b) 4. S=ab ROMB 1. Romb on nelinurkne tasapinnaline kujund, mille kõik küljed on võrdsed. 2. Romb on rööpküliku erijuhtum. Seetõttu on rombil kõik rööpküliku omadused. Rombiks nimetatakse rööpkülikut, mille küljed on võrdsed. 3. Rombi diagonaalid on risti, poolitavad teineteist ja nurki (vt nurgapoolitaja). 4
TEEMA: DEFINEERIMINE JA TÕESTAMINE Defineerimine mõiste täpne ja lühike määratlus Algmõiste mõiste, mida ei defineerita (punkt, sirge, tasand, ruum, hulk, arv, suurus) Ülesanne: defineeri ja õpi selgeks järgmised mõisted: 1. Lõik, murdjoon, hulknurk 2. Nelinurk, rööpkülik, ristkülik, ruut, romb, trapets. 3. Ristuvad ja lõikuvad sirged, paralleelsed sirged. 4. Täis-, nüri- ja teravnurkne kolmnurk; võrdhaarne ja võrdkülgne kolmnurk. 5. Kolmnurga kõrgus. 6. Ring ja ringjoon, diameeter, raadius, kõõl. 7. Alg- ja kordarv, naturaalarv, täisarv. 8. Liig- ja lihtmurd. 9. Murru taandamine ja laiendamine. 10. Nurk, sirgnurk, täisnurk, kõrvunurgad, tippnurgad. 11. Üks- ja hulkliige, sarnased üksliikmed. 12. Võrrand, võrre, võrratus. 13. Protsent
Romb Rööpkülik Trapets Täisnurkne kolmnurk Sirge tasandil Siinusteoreem Vektor Silinder Püstprisma Kolmnurka pindala Koonus Korrapärane püramiid Aritmeetiline jada Geomeetriline jada Kera Hääbuv geomeetriline jada Liitprotsent
Hr Karl Karu AS Romb tegevdirektor 08. Detsember 2008 AVALDUS Palun lubada mind õppepuhkusele 10 kalendripäevaks 05. jaanuarist kuni 15. jaanuarini 2009.a. (allkiri) Annika Kokk Müügiesindaja Lisa: Mainori Kõrgkool kiri 25. oktoober 2007 nr 2-8 / 286
Matemaatika Geomeetria Täisnurkne kolmnurk c = a 2 +b 2 a 2 = fc b 2 = gc h 2 = fg ab = hc c = 2R Kolmnurk P = a +b +c ah ab sin a 2 sin sin S= = = 2 2 2 sin a b c = = = 2R sin sin sin a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos Ruut d2 S = a2 = 2 Ristkülik S = ab Rööpkülik S = ah = ab sin Romb d1 d 2 S = ah = = a 2 sin 2 Trapets a +b S= h = kh 2 a +b k= 2 Ring d 2 S = r 2 = 4
ristkülik P= 2(a+b) S= a · b Täisarvulise astendajaga aste an = a · a · ... · a a1 = a a0 = 1 P= 4a S= a · h + = 180º n tegurit romb Aritmeetiline ruutjuur rööpkülik P= 2(a+b) S= a · h + = 180º Tehted astmetega kolmnurk P= a+b+c + + = 180 Korrutamise ja tegurdamise valemid
Rööpkülik Rööpkülikuks nimetatakse nelinurka, millel on kaks paari paralleelseid vastaskülgi. Rööpküliku vastasküljed on võrdsed. Rööpküliku lähisnurkade summa on 180 kraadi. Rööpküliku vastasnurgad on võrdsed. Rööpküliku diagonaalid poolitavad teineteist. Rööpküliku erijuhud on ristkülik, romb ja ruut - esimesel juhul on nurgad võrdsed (täisnurgad), teisel küljed võrdsed ja kolmandal nii nurgad kui ka küljed võrdsed. Valemid Rööpküliku pindala: Rööpküliku ümbermõõt: Rööpkülikus kehtib veel üks seos:
Matemaatika valemid Kolmnurk- S=(a*h):2 P=a+b+c täis. Kolmn. S=a*b:2 ring P(C)=2pii*r S=pii*r2 rööpk. S=a*h P=2(a+b) romb P=4a S=a*h S=d1*d2 : 2 trapets S=(a+b) : 2 * h S=k*h P=a+b+c+d hulknurk S=n*a*r : 2 P=n*a s=(n-2)*180kraadi
Rööpküliku, ristküliku, rombi ja ruudu omadused Märgi tabelisse rist, kui antud omadus käib vastava kujundi kohta.. Omadus Rööp- Rist- Romb Ruut külik külik Vastasküljed on võrdsed Lähisküljed on võrdsed Vastasnurgad on võrdsed Lähisnurgad on võrdsed Lähisnurkade summa on 180o Diagonaal poolitab vastasnurga Diagonaalid on risti Diagonaalid poolitavad teineteist Diagonaalid on võrdsed Diagonaalid on võrdsed ja ristuvad Antud tabelit saab kasutada tunnikontrollina, omaduste õppimiseks ja kordamiseks. Ülesannet võib laiendada joonistega, teha rühmatööks jne.
Tähised ja valemid Tähised P= ümbermõõt H= ruumilise kujundi kõrgus (suur kõrgus) S= pindala Sp = põhjapindala Sk = külgpindala St = täispindala V= ruumala C= ringjoone pikkus a, b, c, jne = kujundi küljed h = tasapinnalise kujundi kõrgus (väike kõrgus) valemid Rööpkülik S= ah P=2a + 2b Romb S= d1d2 2 P= 4a Kolmnurk S = ah 2 P=a+b+c Ruumilised kujundid (püströöptahukas, risttahukas, kuup, kolmnurkne püstprisma) Sk = PH St = Sk + 2Sp V= SpH Ring C= 2r S=r² π = 3,14
Kõvertrapetsi pindala arvutamine integraalide abil Henri Müür 2PTAE Ida-Virumaa kutsehariduskeskus Kõvertrapetsi pindala • Meile seni tuntud pindala valemid on rakendatavad ainult teatud erikujuliste pinnatükkide, nagu ristkülik, romb, kolmnurk, trapets jne puhul. Kõverjoonega piiratud pinnatükkidest oskame leida ainult ringi pindala. Meie järgmiseks ülesandeks on õppida leidma kõverjoonega piiratud pinnatüki suurust integreerimise teel. 1) Esmalt tuleta meelde olulisemad integreerimisvalemid ja reeglid. 2) Summa (vahe) integraal võrdub liidetvate integraalide summaga(vahega) 3) Konstantse teguri võib tuua integraali märgi alt integraali ette. Newton-Leibnizi valem
koondunud keskele, elurajoonid tiibadesse ja valitsusasutused kokpitis. Seda moodsat linna iseloomustab julge arhitektuur . Brasiilia riigi- ja rahvuslipp. Brasiilia riigi- ja rahvuslipp. Riigi- ja rahvuslipp võeti kasutusele 19. novembril 1889, kuid viimane muudatus tehti 11. mail 1992, kui lipule lisati neli tähte (Amapa, Tocantins, Roraima ja Rondônia osariike tähistavad tähed). Plagu on roheline, millele on paigutatud kollane romb, sellele aga omakorda lõunapoolkera taevalaotust kujutav ketas tähtedega. Üle taevakaare lookleb valge lint tekstiga "Ordem e progresso" (kord ja progress). Roheline sümboliseerib maa ääretuid vihmametsasid. Kollane romb kujutab maavarasid, eriti kulda ja teemante. Sinisel kettal olev tähekujund kujutab tähistaevast Rio de Janeiro kohal 15. novembril 1889. Lipul kehtib põhimõte, et tähtede arv vastab osariikide arvule, kuid tähti ei lisata automaatselt
teoreem (a2=fc ja b2=gc).Teoreem hüpotenuusile tõmmatud kõrgusest (h2=fg), Thalese teoreem (diameetrile toetuv piirdenurk on täisnurk). 14. Võrdkülgne kolmnurk.(a=b=c) a 3 a2 3 Kõrguse ja pindala avaldamine külje kaudu. h= jaS = 2 4 NELINURGAD Rööpkülik, ristkülik. ruut, romb Nelinurka, mille vastasküljed on paralleelsed, nimetatakse rööpkülikuks. Rööpküliku omadused (1. vastasküljed on võrdsed; 2. vastasnurgad on võrdsed; 3. lähisnurkade summa on sirgnurk; 4. diagonaalid poolitavad teineteist; 5. diagonaalide lõikepunkt on rööpküliku sümmeetriakeskpunkt; 6. diagonaal jaotab rööpküliku võrdseteks kolmnurkadeks; 7. diagonaalide ruutude summa on võrdne külgede ruutude summaga, m2+n2=2a2+2b2) pindala valemid (S=ah ja S=absinA)
teoreem (a2=fc ja b2=gc).Teoreem hüpotenuusile tõmmatud kõrgusest (h2=fg), Thalese teoreem (diameetrile toetuv piirdenurk on täisnurk). 14. Võrdkülgne kolmnurk.(a=b=c) a 3 a2 3 Kõrguse ja pindala avaldamine külje kaudu. h jaS 2 4 NELINURGAD Rööpkülik, ristkülik. ruut, romb Nelinurka, mille vastasküljed on paralleelsed, nimetatakse rööpkülikuks. Rööpküliku omadused (1. vastasküljed on võrdsed; 2. vastasnurgad on võrdsed; 3. lähisnurkade summa on sirgnurk; 4. diagonaalid poolitavad teineteist; 5. diagonaalide lõikepunkt on rööpküliku sümmeetriakeskpunkt; 6. diagonaal jaotab rööpküliku võrdseteks kolmnurkadeks; 7. diagonaalide ruutude summa on võrdne külgede ruutude summaga, m2+n2=2a2+2b2) pindala valemid (S=ah ja S=absinA)
põhja pindala, külgpindala ja täispindala ja ruumala. 3. Täisnurkne kolmnurk kaatetitega 5 cm ja 12 cm pöörleb ümber pikema külje. Leia tekkinud kujundi põhja pindala, külgpindala, täispindala ja ruumala. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. Kolmnurkse püstprisma põhjaks on täisnurkne kolmnurk, mille hüpotenuus on 15 cm ja üks kaatet 12 cm. Prisma kõrgus on 11 cm. Arvuta prisma külgpindala ja ruumala. 13. Nelinurkse püstprisma põhi on romb, mille diagonaalid on 6 cm ja 8 cm. Prisma kõrgus on 7 cm. Arvuta prisma külgpindala ja ruumala. 14. Korrapärase nelinurkse püramiidi põhiserv on 16 cm ning püramiidi kõrgus on 15 cm. Arvuta põhja pindala, apoteem, külgpindala, täispindala ja ruumala. 15. Korrapärase nelinurkse püramiidi põhiserv on 18 cm ja apoteem 15 cm. Arvuta põhja pindala, kõrgus, külgpindala, täispindala ja ruumala. 16. Pada on poolkera kujuline. Paja läbimõõt on 62 cm
kirjeldatakse Olekudiagrammiga. Olekudiagrammi alusel saab objektiklassi jaoks defineerida nn. dünaamilised alamklassid. Olekudiagramm väljendab objektide elutsüklit. 2. Protsessid, tegevusdiagrammid. Protsesside modelleerimisel saab rakendada peaaegu kõiki UML käitumisdiagramme. Tegevusdiagramm kirjeldab äri- või tehnilise Süsteemi (komponentide) tööd (tegevusi). Tegevusdiagramm väljendab protsesside elutsüklit. ,,Ümar" ristkülik Tegevuste esitamiseks, Romb otsustuste ehk tingimuselike hargnemiste jaoks, paksud paralleelsed jooned paralleelsete-konkureerivate tegevsuharude esitamiseks. Must ringike töövoo algoleku jaoks, ,,härjasilma" sümbol lõppoleku jaoks, ,,ujumisrajad" Tegutsejate (rollide) jaoks. Ristkülikud ,,tavaliste" olekute jaoks. Eri tüüpi nooled juhtimisvoogude ja objektivoogude jaoks. 3. Olekudiagrammi tegemine üldtuntud protsessi kohta. 4. Tegevusdiagrammi tegemine üldtuntud protsessi kohta.
logaritmfunktsioon ja logaritmvõrrand logaritmfunktsioon: logaritmvõrrandite lahendusvõtted: 1. potentseerimine 2. asendusvõte 3. logaritmi definitsiooni kasutamine võrrandisüsteem ja võrratussüsteem liitmis- või asendusvõte! GEOMEETRIA Tasandilised kujundid kolmnurk Heroni valem: r – siseringjoone raadius täisnurkne kolmnurk koosinusteoreem siinusteoreem R – ümberringjoone raadius ruut ristkülik rööpkülik trapets romb ringjoon, ring, sektor l – sektori kaare pikkus S – sektori pindala korrapärane kuusnurk Ruumilised kujundid risttahukas kuup püst- ja kaldprisma korrapärane püramiid silinder koonus kera TULETISED JA TEKSTÜLESANDED tuletised korrutise tuletis: jagatise tuletis: liitfunktsiooni tuletis: ekstreemumkohad nullkohad: positiivsus: negatiivsus: ekstreemum: kasvamisvahemik:
Kolmnurk: S = a x h : 2 (pindala = alus x kõrgus : 2) P=a+b+c Trapets: S = (a + b) : 2 x h (pindala = alus1; + alus2 : 2 x kõrgus) P=a+b+c+d Rööpkülik: S = a x h (pindala = alus x kõrgus) P = 2(a + b) Romb: S = a x h (pindala = alus x kõrgus) P = 2(a + b) Ring: C = 2r ( ringi pikkus = 2 x 3,14 x raadius) S = r² ( pindala = 3, 14 x raadius ruudus) Kera: S = 4 r² V = 4 : 3 r³ Silinder: Sp = r² Sk = rm St = 2Sp + Sk V = 1/3 r²h Koonus: Sp = r² Sk = rm St = Sp + Sk V = 1/3 r²h Kuup: S = 6 x a² V = a³ Risttahukas: S = 2(ab + ac + bc) V = abc Pythagorase teoreem: a² + b² = c² c=c² (täisnurkses kolmnurgas hüpotenuusi (c) ruut võrdub kaatetite (a ja b) ruutude summaga.)
Kolmnurk: S = a x h : 2 (pindala = alus x kõrgus : 2) P=a+b+c Trapets: S = (a + b) : 2 x h (pindala = alus1; + alus2 : 2 x kõrgus) P=a+b+c+d Rööpkülik: S = a x h (pindala = alus x kõrgus) P = 2(a + b) Romb: S = a x h (pindala = alus x kõrgus) P = 2(a + b) Ring: C = 2πr ( ringi pikkus = 2 x 3,14 x raadius) S = πr² ( pindala = 3, 14 x raadius ruudus) Kera: S = 4 π r² V = 4 : 3 π r³ Silinder: Sp = π r² Sk = π rm St = 2Sp + Sk V = 1/3 π r²h Koonus: Sp = π r² Sk = π rm St = Sp + Sk V = 1/3 π r²h Kuup: S = 6 x a² V = a³ Risttahukas: S = 2(ab + ac + bc) V = abc Pythagorase teoreem: a² + b² = c² c=√c²
· Sk=nah · V=Sph · ÕPIKUST lk.141 põhiserv Kaldprisma St=Sk+2Sp Sk=pm p-ristlõike ümbermõõt, m-külgserv V=Sph Lõiked · RÖÖPKÜLIK-nimetatakse nelinurka, mille vastasküljed on paralleelsed Ülesanne 262 Rööpküliku eriliigid: · RUUT-nimetatakse nelinurka, mille lähisküljed on võrdsed · RISTKÜLIK-nimetatakse nelinurka, mille vastasküljed on võrdsed ja paralleelsed ningnurgad on täisnurgad · ROMB-nimetatakse rööpkülikut, mille lähisküljed on võrdsed. · TRAPETS-nimetatakse nelinurka, mille kaks vastaskülge on paralleelsed, kuid teised küljed ei ole paralleelsed. · Korrapärseks hulknurgaks nimetatakse kumerat hulknurka, mille on võrdsed nii küljed kui ka nurgad. a2 3 · Korrapärane kolmnurk S= , c=3a 2 2 2 5a tan
Ring S=r2 ; P=2r Rööpkülik S=ah ; P=2(a+b) Ruut S=a ; P=4a 2 Romb S=d1*d2/2 = a*h Ristkülik S=a*b ; P=2(a+b) Trapets S=a+b/2*h = k*h ; P=a+b+c+d Kolmnurk S=a*h:2 ; P=a+b+c Täisnurkne kolmnurk S=1/2*ah ; Risttahukas S=2(ab+ac+bc) ; V=abc Viete teoreem: X1+X2 = -p Püstprisma Sk=P*h ; St=Sk+2Sp; V=Sp*h X1*X2 = q Kuup Sp=a ; Sk=4*a 2 2 Silinder Sp=r2 ; St=2r ; Sk=2rh ; V=r2h Kera S=4r2 ; V= 4/3 r3 Koonus Sp=r2 ; Sk=rm ; St=r ; V= 1/3 r2h
Brasiilia on riik Lõuna-Ameerikas. Brasiilia on pindalalt 5. riik maailmas, hõlmates ligi 47% Lõuna-Ameerika mandrist. Rahvaarvult on Brasiilia samuti 5. kohal.Brasiilia on ainus portugalikeelne riik Ameerikas. Riigi- ja rahvuslipp võeti kasutusele 19. novembril 1889, kuid viimane muudatus tehti 11. mail 1992, kui lipule lisati neli tähte (Amapá, Tocantins, Roraima ja Rondônia osariike tähistavad tähed). Praegu on roheline, millele on paigutatud kollane romb, sellele aga omakorda lõunapoolkera taevalaotust kujutav ketas tähtedega. Üle taevakaare lookleb valge lint tekstiga "Ordem e progresso" (kord ja progress). · Roheline sümboliseeribmaa ääretuid vihmametsasid. · Kollane romb kujutab maavarasid, eriti kulda ja teemante. · Sinisel kettal olev tähekujund kujutab tähistaevast Rio de Janeiro kohal 15. novembril 1889. Lipul kehtib põhimõte, et tähtede arv vastab osariikide arvule, kuid tähti ei lisata
Ristküliku pindala on korrutis: alus korrutatud sellega ristuva kõrgusega. Kolmnurga pindala on pool sama aluse ja kõrgusega ristkülikust, sellepärast valemis on esitatud lisategur ½, seega ½ alus kord kõrgus. Ringi puhul tuleb kasutada konstaanti , mis on 3,14. Ristkülik Ümbermõõt: P = 2(a + b) Pindala: S = ab Erijuhtum: Ruut Ümbermõõt: P = 4a Pindala: S = a2 Rööpkülik Ümbermõõt: P = 2(a + b) Pindala: Sa = a h Romb Ümbermõõt: P = 4a ef Pindala: S = 2 Trapets Ümbermõõt: P =a+b +c + d a +c Pindala: S= ha 2 Kolmnurk Ümbermõõt: P = a+b+ c a hc Pindala: S= 2 Erijuhtum: Täisnurkne kolmnurk Ümbermõõt: P = a+b+ c a b Pindala: S= 2 Ring Ümbermõõt: C = 2r või C = d Pindala: S = r 2 2. Ruumala
% o0001 (TP12 VOLLIOTS) N05 G40 G97 G99; N10 G54 G00 X150,Z150; N15 T00 (ROMB 80 PLAAT R08 T3); N20 G50 S2500; N25 G96 S125 M03; N30 G00 X27.Z25; N35 G01 X-1.6 F0.1: N40 Z27.; N45 G00 X23.9; N50 G01 Z-5.F0.15; N55 X27.; N60 G00 Z27.; N65 X21.9; N70 G01 Z-5.; N75 X27.; N80 G00 Z27.; N85 X20.9; N90 G01 Z10.5; N95 X21.8; N100 Z-5.; N105 X27.; N110 G00 Z27.; N115 X18.9; N120 G01 Z10.5; N125 X27.; N130 G42 G00 Z27.; N135 X16.9; N140 G01 X16.9 Z10.8; N145 G02 X18.9 Z10.5 R2; N150 G00 Z27.; N155 X13.9; N160 G01 X15.Z12.5; N165 G02 X16.9 Z10,8 R2; N170 G00 Z27.; N175 X12.9;
(a-b)2 = (a-b) . (a-b) = a2-2ab+b2 A3+b3 = (a+b)(a2-ab+b2) (a+b)3= a3+3a2b+3ab2+b2 A3-b3 = (a-b)(a2+ab+b2) (a-b)3 = a3-3a2b+3ab2-b3 Kui D<0 siis lahendid puuduvad Kui D=b siis on 2 ühesugust lahendit Kui D>0, siis on 2 erinevat lahendit. RUUT P=4a S=a2 P=2(a+b) Ristkülik S=ab Rööpkülik S=ah = D1+D2 P= 2(a+b) Romb S=ah=D1D2 P=4a Trapets S=a+b . h P=a+b+c+d RING C= d=2 r S= r2 D=2r Võrdkülgne kolmnurk P= 3a S= ab Võrdhaarne kolmnurk P=2b+a S= ah Täisnurkne kolmnurk P=a+b S= ab S= ch KUUP
Paralleelsed sirged- on sirged, mis asuvad ühel tasandil, kuid ei lõiku. Ringjoon- on tasandi antud punktist mingil kindlal positiivsel kaugusel olevate selle tasandi punktide hulk. Ring- on ringjoone poolt piiratud tasandi osa. Diameeter- on sirglõik, mis ühendab kaht ringjoone punkti ja läbib ringi keskpunkti. Kõõl- on ringjoone kaht punkti ühendav lõik. Ruut- on võrdsete külgede ja nurkadega nelinurk. Rööpkülik- on nelinurk, mille vastasküljed on paralleelsed. Romb- on nelinurkne tasapinnaline kujund, mille kõik küljed on võrdsed. Trapets- on kumer nelinurk, mille 2 külge on omavahel paralleelsed ja 2 ülejäänud küljed ei ole. Võrdkülgne kolmnurk- on kolmnurk, mille kõik küljed on võrdse pikkusega. Võrdhaarne kolmnurk- on kolmnurk, mille 2 külge on võrdse pikkusega. Erikülgne kolmnurk- on kolmnurk, mille kõik küljed on erineva pikkusega. Täisnurkne kolmnurk- on kolmnurk, mille 1 nurk on täisnurk.
p = 2( a + b ) Ristküliku pindala arvutatakse valemiga: S = ab Ruut Ruut on paralleelsete ja võrdsete vastaskülgedega nelinurk. Ruudu kõik nurgad on täisnurgad. Ruudu ümbermõõt arvutatakse valemiga: p = 4a Ruudu pindala arvutatakse valemiga: S=a 2 Romb Rööpkülikut, mille kõik küljed on võrdsed nimetatakse rombiks. Romb on sümmeetriline oma telgede suhtes. Rombi diagonaalid poolitavad teineteist. Rombi pindala Rombi pindala võib arvutada nagu ristküliku pindala: S = ah Rombi pindala võrdub diagonaalide poolkorrutisega: d1 d 2 S=
24. Millal on kaks sirget paralleelsed? * Sirged on paralleelsed siis kui nad on hel tasandil ega liku. 25. Millist nelinurka nimetatakse rpklikuks? * Rpklikuks nimetatakse nelinurka , mille vastaskljed on paralleelsed ning vastaskljed ja vastasnurgad on vrdsed. 26. Milline nelinurk on trapets? * Trapets on kumer nelinurk, mille kaks klge (alused) on omavahel paralleelsed ja kaks lejnud klge (haarad) ei ole omavahel paralleelsed. 27.Milline kujund on romb? * Romb on rpklik, mille kljed on vrdsed pikkusega. 28. Kolmnurga sisenurkade summa. * Kolmnurkade sisenurkade summa on 180 kraadi. 29. Kolnurga vlisnurga omadus. * Kolmnurga vlisnurk vrdub nende sisenurkade summaga, mis ei ole tema krvunurgad. Vlisnurkade summa vrdub tisprdega ehk 360 kraadi. 30. Kolmnurga kesklik. * Kolmnurga keskliguks nimetatakse tema kahe klje kekspunkte ahendavat liku. *Kolmnurga kesklik on lik, mis hendab kolmnurga klgede keskpunkte 31. Trapetsi kesklik.
4, , 2. Ristkülik nurgad 90°, vastasküljed võrdsed ja paralleelsed, diagonaalid võrdsed ja poolitavad teineteist. 2 , , . Rööpkülik vastasküljed paralleelsed ja võrdsed, diagonaalid poolitavad teineteist, lähisnurkades summa 180°, vastasnurgad võrdsed, diagonaal jaotab rööpküliku kaheks võrdseks kolmnurgaks. 2 , , , 2 . Romb küljed võrdsed, diagonaalid risti ja poolitavad teineteist, diagonaalid poolitavad nurgad. · 4, , , . Trapets kumer nelinurk, millel on 2 paralleelset erineva pikkusega ja 2 mitteparalleelset külge. · 2 Võrdhaarne trapets aluse lähisnurgad võrdsed; vastasnurkade summa 180°;
Põhikooli matemaatika abi Tasapinnalised kujundid Ruut Diagonaal: Pindala: S = a2 Ümbermõõt: P = 4·a Ruudu kõik küljed on võrdsed ja nurgad täisnurgad. Ristkülik Diagonaal: Pindala: S = a · b Ümbermõõt: P = 2(a + b) Ristkülikuks nimetatakse rööpkülikut, mille kõik nurgad on täisnurgad. Romb + = 180º Pindala: S = a · h Ümbermõõt: P = 4·a Rööpkülik + = 180º Pindala: S = a · h Ümbermõõt: P = 2(a + b) Rööpkülikuks nimetatakse nelinurka, mille vastasküljed on paralleelsed. Kolmnurk + + = 180º Pindala: Ümbermõõt: P = a + b + c Võrdkülgne kolmnurk
6.eriküljeline kolmnurk 32.kui ühe kolmnurga kolm külge on võrdsed teise kolmnurga kolme küljega siis on kolmnurgad võrdsed 7. võrdhaarne 33. Kui ühe kolmnurga kaks külge ja nendevaheline nurk on vastavalt võrdsed teise kolmnurga kahe külje ja nendevahelise nurgaga, siis need kolmnurgad on võrdsed 8.ristkülik 34. Kui ühe kolmnurga külg ja selle lähisnurgad on vastavalt võrdsed teise kolmnurga külje ja selle lähisnurkadega, siis need kolmnurgad on võrdsed 9.võrsed 10.Romb 11. kaht punkti 12. läbib keskpunkti 13. ringjoon 14. algarvuks 15. kordarv 16. naturaalarvu kordne 17.naturaalarvu tegur 18.lihtmurd 19.on murru lugeja ja nimetaja jagamine ühe ja sama nullist erineva arvuga 20.on murru lugeja ja nimetaja korrutamine ühe ja sama nulist erineva arvuga 21.nürinurk 22.teravnurk 23.kõrvunurkadeks 24.ühe 25.sama nurga 26.üksliikmete summa
x2+px+q=0; x1+x2= - p; x1x2=q -a : b = a : (-b) = - a : b b d y=ax2 + c a>0 -a : (-b) = a : b ad=bc Trigonomeetria Romb P = 4a S = ah α 30° 45° 60° sinα= cos β = cos(90o − α ) d2 d ⋅d a h d1 S= 1 2
Rööpküliku pindala saab arvutada kahe valemiga. (Laius korrutada kõrgusega). 1) S=ah1 2) S= ah2 Joonis nr 4. · Vaatlen joonist nr. 4. Leian rööpküliku ümbermõõdu. P= 2(a+b) P= 2(5 · 3)= 2 ·15=30 cm. Vastus: Rööpküliku ümbermõõt on 30 cm. · Vaatlen joonist nr 4. Leian rööpküliku pindala. S= ah a= 5 h= 2,5 S= 5 · 2,5= 12,5 cm2. Vastus: Rööpküliku pindala on 12,5 cm2. ISESEISEV TÖÖ nr. 3 Romb · Rööpkülikut mille küljed on võrdsed, nimetatakse rombiks. Seetõttu kehtivad talle ka kõik rööpküliku omadused. · Kolmnurk- AOB, BOC, AOD, COD. Joonis nr. 1 · Rombi vastasküljed on paralleelsed. (Joonis nr. 1) AD//BC AB// DC · Rombi vastasnurgad on võrdsed. (Joonis nr. 1) A=C B=D · Rombi lähisnurkade summa on 180°. (Joonis nr. 1) A+B=180° C+D=180° D+A=180° B+C=180°
Nürinurkne kolmnurk- kolmnurk, mille üks külg on suurem kui 90kraadi Teravnurkne kolmnurk- kolmnurk, mille kõik nurgad on väiksemad kui 90 kraadi Täisnurkne kolmnurk- kolmnurk, mille üks nurk on 90kraadi Korrapärane hulknurk- hulknurk, mille kõik küljed ja nurgad on võrdsed Ristkülik- nelnurk, mille kõik nurgad on täisnurgad ja vastasküljed on võrdsed j paralleelsed Ruut- võrdsete külgede ja nurkadega nelinurk Rööpkülik-Võrdsete ja paralleelsete vastaskülgedega nelinurk Romb- Rööpkülik, mille kõik küljed on võrdsed Trapets- nelinurk, millel on kaks paralleelset ja kaks mitteparalleelset vastaskülge Ringjoon- antud punktist jääval kaugusel asetsevate punktide hulk Ring-ringjoonega piiratud tasandiosa, koos seda piirava ringjoonega Tühihulk- hulk, milles pole ühtegi elementi Osahulk-hulk, mille kõik elemendid on ka teise hulga elemendid Hulkade ühend- kõigi elementide hulk, mis kuuluvad vähemalt ühte kahest hulgast
,,kontrakompositsioon ,,Illustratsioon V" 1924 Majakovski ,,Pioneer fanfaariga" poeemile"Lenin" 1929 1930 ,,Kompa I sinise ja kollasega" 1925 ,,Romb sinise kollase ja punasega" Rotterdamis" 1925-30 ,,Mokakann" 1923-24 ,,Dissonantide BEYER kontrakompositsioon XVL"1925 ,,Vaike ristkulikutega tekk" 1923-24 JOHNSTON R
annaabi.ee 
