c'=0 x'=1 (c × x)'=c (1/x)'=-1/x2 (√x)'=1/2√x (xn)'=n × xn-1 (ax)'=axIn a (ex)'=ex (In x)'=1/x (logax)'=1/x In (sin x)'=cos x (cos x)'=-sin x a (tan (cot x)'=- (arcsin x)'=1/cos2x 1/sin2x x)'=1/√1-x2 (arccos x)'=- (arctan (arccot x)'=- 1/√1-x2 x)'=1/1+x2 1/1+x2
Tuletis. Rakendused Puutuja tõus Funktsiooni uurimisel Funktsiooni uurimisel Funktsooni F'(x)=k ekstreeemumkohad kasvam ja kahanemine liikumise ' Puutuja võrrand F (x)=0 X F'(x)>0 ; XF'(x)<0 kiirus y-y0=k(x-x0) Min koht Max koht Kumerus Nõgusus F''(x)>0 F''(x)<0 F''(x)<0 F''(x)>0 Käänukoht F''(x)=0 1. Leia funktsioonide tuletised 2 - 3x 1) y=2x5-3,8x4+x2-2 2) y = x -1 3)y=(x+1)sinx-x cos x 4)y=2tanx lnx 5)y=xsinx ...
Funktsiooni tuletis Paljude matemaatiliste probleemide lahendamine viib tulemusele, et tuleb võtta funktsiooni muudu ja argumendi muudu suhte piirväärtus argumendi muudu lähenemisel 0 st y lim x x 0 Seetõttu on antud sellele piirväärtusele erinimetus ja sümbol. Funktsiooni f(x) muutumise kiirust kohal x0 nimetatakse funktsiooni tuletiseks kohal x0 ja tähistatakse f´`(X) y f ( x 0 x ) f ( x 0 )
C '= 0 y= a x n y ' = a * n * x n-1 [ f ( x ) ± g ( x )]' = f '( x ) ± g ' (x ) [ f ( x ) * g( x ) ]' = f '( x ) * g( x ) + f ( x ) * g '( x ) ' ' ( gf (( xx )) ) = f ( x ) * g ( x[ g)-f( x ) (]x ) * g ' ( x ) 2 y= f [ u( x )] y '= f ' (u ) * u ' ( x ) (s i n x )' = c o s x (c o s x )' = -s i n x 1 (t a n x )' = 2 c os x 1 (ln x)' = x (ex)'=ex 1 (logax)'= x ln a (ax)'= axln a
Def1. Piirväärtust limx 0y/x nimetatakse funktsiooni tuletiseks kohal x. T1. Kui funktsioonil on olemas tuletis kohal x, siis on funktsioon pidev sellel kohal. T2. Kui on olemas tuletised f' (x ) ja g' (x ), siis on olemas ka tuletised: a) [f(x)+g(x)]', b) [f(x)-g(x)]', c) [f(x)g(x)]', d) [f(x)/g(x)]',(kui g(x)0), kusjuures kehtivad järgmised seosed: a) [f(x)+ g(x)]' =f'(x)+g'(x), b) [f(x)-g(x)]' =f' (x)-g' (x), c) [f(x)g (x)]' = f'(x)g (x)+f(x)g '(x), d) [f(x)/g(x)]'=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/g2(x) , (kui g(x) 0). T3. Kui funktsioonil on olemas tuletis kohal x ja funktsioonil f on olemas tuletis vastaval
TULETISED Astmeline:=n* nt. =5* Trigonomeetrilised: (=cosx = - sinx = Logaritmfunk. tuletised: (; ' Eksponentfunk tuletised: ' = *1 (e lne=1)= Tuletised : ' = ' (x)' = 1 (c)'=0 (-x)' = -1 Funktsioonide summa, vahe, korrutise ja jagatise tuletis 1.Summa tuletis (u+v)' = u' + v' Nt. + (= + 2. Vahe tuletis (u-v)' = u'-v' 3. Korrutise tuletis (u*v)' = u'*v + u*v' 4. Jagatise tuletis (
Tuletise leidmise skeem Vastavalt tuletise definitsioonile, koosneb funktsiooni tuletise leidmine järgmistest etappidest: 1. funktsiooni f (x) muudu y arvutamine vastavalt valemile y = f (x + x) - f (x) y 2. jagatise x moodustamine y 3. piirväärtuse lim leidmine x 0 x 6 Näide On antud funktsioon f (x) = x2. Leida definitsiooni järgi tuletis: a) suvalises punktis x; b) punktis x = 3. 1. Funktsiooni muut: y = f (x+ x) f (x) =(x + x)2 - x2 = 2x x + (x)2 2. Jagatis: y 2 xx + (x) 2 = = 2 x + x x x 3. Piirväärtus: y f ' ( x) = lim = lim (2 x + x) = 2 x x 0 x x 0 4. Kui x = 3, siis saame f ' (3) = 2 3 = 6 7 Rühmatöö
Funktsioonid I Funktsiooni tuletis Tuletiste tabel: 1 1 c 0 x 1 x x2
EESTI KEELE KT TULETISED: *nimisõnaliited: · väljendavad tegevust: väljendavad isikut või asja: -mine, lugemine -ja, lugeja -nu, eksinu -us, võistlus -lane, eestlane -tu, kirjutatu -u, arutelu -nna, tallinlanna -r, lendur -e, huige -tar, poolatar -ik, häälik -ng, lööming -rd, käpard -ts, jalats -k, minek -sk, volask -kas, purjekas -ndus, kokandus -nd, kirjand -nik, politseinik -el, pardel -is, kirjutis -i, arvuti · väljendavad kogu või ala: -kond, kogukond -stik, sõnastik -stu, rõivistu -la, võimla -mu, elamu -mik, lugemik -ndik, lagendik *omadussõnaliited: -line, jooneline -ne...
FUNKTSIOONIDE TULETISED Funktsiooni y=f(x)tuletiseks kohal x nimetatakse funktsiooni muudu ja argumendi muudu suhte piirväärtust, kui argumendi muut läheneb nullile. f ( x + x)- f ( x) f ' ( x)= lim ¿ x 0 x Funktsiooni summa ja vahe tuletis [f (x) + g (x) ]' = f ' (x) + g ' (x) [f (x) - g (x) ]' = f ' (x) - g ' (x) Funktsiooni korrutise tuletis [f (x) * g (x) ]'= f ' (x) *g (x) + f (x) * g ' (x) Funktsiooni jagatise tuletis [ ] f (x) g(x) '= f ' ( x)g (x )- f ( x )g ' ( x) [ g ( x) ] 2 TULETISTE VÄÄRTUSED: (x a )' = a * x a-1 ( a x )' = a x * ln a (e x )' = e x 1 -1 ( )' = 2 x x 1 (log a x)' = xln a 1 (ln x )' = x (sin x)' = cos x (cos x)' = - sind x
Funktsiooni tuletis (jätk) - + sin - sin = 2 sin cos 2 2 Funktsiooni y = sin x tuletis Teoreem: Funktsiooni y = sin x tuletis on cos x. x + x - x x + x + x Tõestus: y = sin( x + x) - sin x = 2 sin cos 2 2 x x = 2 sin cos x + 2 2 x x x 2 sin cos x + sin y 2 2 2 cos x + x
docstxt/1364641070471.txt
poolega, ainult toimejooned on vähem reljeefsemad ja vastupidise suunaga. Atlass Atlass-siduses lõimelõng katab 4 koelõnga ja läheb siis ühe koelõnga alt läbi. Paremale poolele välja toodud lõngad asetsevad tunduvalt tihedamini kui pahema poole lõngad Satään Satäänsiduses koelõng katab 4 lõimelõnga ja läheb siis ühe lõimelõnga alt läbi PÕHISIDUSTE TULETISED: Rips (labase tuletis) peene ja tiheda koega kaetakse järjestikku mitu lõimelõnga. 1. Koe Koeripsile on iseloomulikud piki kangast ripsijooned. 2. LõimeLõimerips saadakse nii, et lõimega kaetakse järjest mitu koelõnga, lõimkatted on pikemad. Lõimeripsile on iseloomulikud risti kangast ripsijooned /raised lines, ridges/. Panama e. ruutsidus (labase tuletis) Panama sidusel ristuvad lõime- ja koelõngad labaselt kahe- või kolme kaupa
Ande Andekas-Lammutaja Matemaatika Funktsiooni tuletis Funktsiooni tuletiseks nimetatakse funktsioonimuudu ja argumendimuudu suhete piirväärtust argumendi muudu lähenedes nullile. lim x xlim f ( x + x ) - f ( x ) y ' = f ' ( x ) =x 0 = 0 y x Funktsiooni tuletise valemid: ' 1 1 =- 2 x x (x 2 ) ' = 2x x ' =1 c' = 0 [cf ( x)] ' = cf ' ( x ) ( x) ' = 1 2 x
vastuse. L'Hospitali valem, selle kasutamise eeldused- L'Hospitali valemit võime kasutada piirväärtuse arvutamise lihtsustamiseks ning reeglina kasutatakse seda ainult selliste piirväärtuste korral, mis sisaldavad mingisugust jagatist. L'Hospitali reegel seisneb selles, et me võtame sellest avaldisest tuletise ( iseseivalt nii ülevalt kui alt, MITTE JAGATISE TULETIST). Kui seejärel määramatus ära ei kao,siis võtame veel kord tuletist. Tuletis, selle rakendused Tuletis, selle geomeetriline tähendus- Funktsiooni tuletis on funktsiooni ja argumendi muudu suhte piirväärtus argumendi muudu tõkestamatul lähenemisel nullile. Teisiti öeldes on tuletis funktsiooni muutumise kiirus ning geomeetriliselt näitab funktsiooni tuletis funktsiooni tõusu punktis, mille abtsiss on x. Tuletise arvutamine definitsiooni järgi- TULETISTE TABEL Liitfunktsiooni tuletis- Liitfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mille analüütilises avaldises
Kordamisküsimusi 3. teema kohta 1. Defineerida funktsiooni tuletis. Mis on diferentseeruv funktsioon ja diferentseerimine? Funktsiooni f tuletiseks punktis a nimetatakse järgmist suurust: f ( x )−f (a) f ' ( a )=lim x→ a x−a Kui funktsioon f omab punktis a lõplikku tuletist, siis öeldakse et ta on selles punktis diferentseeruv. Tuletise arvutamist nimetatakse diferentseerimiseks. 2. Esitada tuletise valem funktsiooni muudu ja argumendi muudu kaudu.
Tuletiste tabel: 1 1 c = 0 x = 1 =- 2 x x ( x ) = 2 1 x (x ) = nx n n -1 (e ) = e x x ( ln x ) = 1 ( log a x ) = 1 (a ) = a x x ln a x x ln a (sin x ) =cos x (cos x ) =-sin x ( tan x ) = 1 ...
docstxt/130632723481019.txt
4. Mis on funktsiooni graafik? Funktsiooni f graafik on kõikide järjestatud paaride (x, f(x)) hulk, kus x on määramispiirkonna X element. 5. Mis on tasuvuspunkt. müügimaht, mille puhul tulu ja kulu on võrdsed. 6. Nõudlusfunktsioon Nõutav kogus QD on toote ühikuhinna p funktsioon, mida väljendatakse QD=Q (p) Pakkumisfunktsioon Pakutav kogus QS on toote ühikuhinna p funktsioon, mida väljendatakse kujul QS=Q (p) 7. Defineerida tuletis. Mis on marginaalsuurus? Mida tähendab, et marginaalkulu on 15 krooni? Mida tähendab, et marginaaltulu on 10 eurot? Mida tähendab, et marginaalkasum on 30? tuletis on funktsiooni väärtuse muudu ja argumendi muudu suhte piirväärtus argumendi muudu lähenemisel nullile. Marginaalsuurus majandusnäitajatega funktsiooni tuletis Mkulu 15kr tähendab ligikaudu täiendava tooteühiku tootmiseks vajalikku kogukulu muutu
Tuletiste tabel: c = 0 x = 1 1 1 =- 2 x x ( x ) = 1 ( x ) = nx n n -1 (e ) = e x x 2 x (a ) = a x x ln a ( ln x ) = 1 ( log a x ) = 1 x x ln a ( sin x ) = cos x ( cos x ) = -sin x ( tan x ) = 12 ...
Tõepoolest: yo = (xo)2, y + y= (xo + x)2, y + y= (xo + x)2 (xo)2 = 2 x xo + x2 , mil viisil x nullile ka ei läheneks. Uurides analoogiliselt kõiki elementaarseid põhifunktsioone, saab tõestada, et iga elementaarne põhifunktsioon on on pidev punktis, milles ta on määratud. Pidevuse tunnus: f(x) arv; ; lim y=0 Pideva funktsiooni korral lõpmata väikesele argumendi muudule vastab lõpmata väike arv. 3. Defineerida funktsiooni y = f (x) tuletis y'. Sõnastada ja tõestada funktsiooni diferentseeruvuse ja pidevuse vaheline seos. Definitsioon: Funktsiooni y=f(x) tuletiseks argumendi x järgi nimetatakse funktsiooni muudu y ja argumendi muudu x suhte piirväärtust, kui argumendi muut läheneb nullile. Funktsiooni y=f(x) tuletist punktis x tähistatakse f ' ( x ) , st f'(x) = def. ,kus muut (mis vastab argumendi muudule
7) lim an bn lim an lim bn n n n 8) lim an bn lim an lim bn n n n 9) lim anbn lim an lim bn n n n an 10) lim lim an lim bn n bn n n 11) Korrutise tuletise sõnastus ja valem (u * v ) ´ = Korrutise tuletis võrdub esimese teguri tuletise ja teise teguri korrutisega, millele on liidetud esimene tegur ja teise teguri tuletise korrutis. (u*v)’ = u’*v+u*v’ ' u 12. Jagatise tuletise sõnastus ja valem ()v =¿ Jagatise tuletis võrdub esimese
Moodustame integraalsumma katkevuspunktid. Teoreemid lõigul pideva funktsiooni Definitsioon Funktsiooni y=f(x) määratud integraaliks lõigul kohta. [a,b] nimetatakse piirväärtust 6. Funktsiooni tuletis ja selle geomeetriline tähendus. Puutuja ja normaali võrrand. x/2=arctan t ; x=2arctan t ; dx=2/1+t 2dt 7. Teoreem diferentseeruva funktsiooni pidevusest 2
10. Graameri reegel. Kui võrdse otsitavate ja võrrandite arvuga lineaarvõrrandite süsteemi maatriks A on regulaarne (DA0), siis on süsteemil üks lahend xj=Dj/DA (j=1,2,...,n) tingimus n=m Dj saadakse süsteemi determinandist D j-nda veeru asendamisel vabaliikmete veeruga. a11a12 . .d1. .a1n - Aj 1 a21a22 . .d 2 . .a2n xj = = A A.............. an1an 2. .d n . .ann 11. Tuletise mõiste ja sisuline tähendus, muutumise määr ja tuletis, tuletis ja kõvera kallak (st tõus või langus) Kui kohal x on f-ni y=f(x) muudu ja argumendi muudu jagatisel olemas piirväärtus argumendi muudu lähenemisel nullile, siis nim seda piirväärtust antud f-ni tuletiseks kohal x ja tähistatakse f´(x). f ( x + x) - f ( x ) f ' ( x ) = lim x 0 x y f ( x 0 + x ) - f ( x 0 ) = erinevuste suhe, y-i, x-i keskmise muudu määr. Kui x on väga väike, x x
Määramatused Tähtsamad tuletised y = f ( u ) u = g( x) y = f u g x - 0 0 0 0 1 0 c = 0 0 x = 1 [ f ( x ) ] = f ( x ) ( ln f ( x ) ) Piirväärtus ( x ) = ax a n -1 [ f ( x ) ( ) ] = f ( x ) ( ) [ g ( x ) ln f ( x) ] ...
taibukas. Liigi erisuse tunnus – kõrge inteligentsiga; terava mõistusega; 2. tants: klassitunnus – vastav kunstiliik; spordiala; meelelahutuslik tegevus. Liigi erisuse tunnus – ballett; võistlustants; disko, pidu 3. vale: klassitunnus – sihilikult esitatav alusetu, tõele mittevastav väide v. teade. Liigi erisuse tunnus - Süllogism Süllogism on järelduse vorm millest kahest eeldusest saadakse tuletis. kõik lõvid (M) söövad rohtu - I eeldus kõik lehmad on lõvid - II eeldus ----- kõik lehmad söövad rohtu - tuletis S P S - väiksem termin P - suurem termin M - terminus medius (vahendaja) Reeglid: 1. Süllogismis on kolm otsustus. 2. Süllogismis on kolm terminit. 3. M+ a P- M- ; P- S+ a M- S+ a M- ----------- -------------- S+ a P- ? 4. Termin mis on eelduses täismahus (piiritlemata mahus) peaksid olema ka tuletises.
Majandusmatemaatika II KT-1 Ülesanne 1. Kui alguses on 10 töötajat, siis L =10 ja q=−3∙ 102 +150 ∙10=1200 . Kui töötajate arv suureneb 2 võrra, siis L = 12 ja q=−3∙ 122 +150∙ 12=1368 . Toodangu maht suureneb 1368-1200= 168 võrra, mis teeb suurenemise 168:2 =84 ühe töötaja kohta. Ülesanne 2. Piirkasum on kasumifunktsiooni tuletis. P' ( p )=−10 p+300 . Kui p=35, siis ' piirkasum on P ( p )=−10 ∙ 35+300=−50 . Negatiivne piirkasum tähendab, et hind ja kasum muutuvad vastassunnas. Seega tuleb kasumi suurendamiseks hinda langetada. Ülesanne 3. Külastajate arv kolmandal aastal on √ 32+ 3∙ 3+2=√20 ≈ 4,47 . Külastajate arv neljandal aastal on √ 4 2+3 ∙ 4 +2= √30 ≈ 5,48 . Külastajate muutus neljandal aastal 5,48−4,47 on
harudes. · Harjutada üliõpilasi matemaatilise sümboolikaga. Maht: 5 EAP ainepunkti, nädalatundide arv 2-0-2. Eeldusained: pole. Õppeaine sisu (orienteeruva loenguteks jaotusega): 1. Kasutatav sümboolika. Funktsiooni mõiste ja omadused. Elementaarfunktsioonid. 2. Jada piirväärtus. Arv e. 3. Funktsiooni piirväärtus. Joone asümptoodid. Lõpmata väikesed ja lõpmata suured suurused. Funktsiooni pidevus. Lõigul pidevate funktsioonide omadused. 4. Funktsiooni tuletis. Liitfunktsiooni tuletis. Pöördfunktsiooni tuletis. Parameetri-liselt esitatud funktsiooni tuletis. Ilmutamata funktsiooni tuletis. Logaritmiline diferentseerimine. Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised. 5. Kõrgemat järku tuletised. Leibnizi valem. Funktsiooni diferentsiaalid. Funktsiooni kasvamine ja kahanemine. Lokaalne ekstreemum. 6. Keskväärtusteoreemid. L'Hospitali reegel. 7. Taylori valem polünoomi korral. Taylori valem. Taylori valemi jääkliige. 8
1. Diferentsiaalvõrrandi üld- ja erilahend. Väärtus ja raja ülesanne Def 1.1 Võrrandit, milles osalevad sõltumatu muutuja, tundmatu funktsioon ja selle tuletised nim diferentsiaalvõrrandiks. (1.1) F(x, y(), y'(), ...)=0 Kui otsitav funktsioon y sõltub ainult ühest muutujast, siis seda nim harilikuks diferentsiaalvõrrandiks. Kui otsitav funktsioon sõltub mitmest muutujast, siis on tegemist osatuletistega diferentsiaalvõrranditega. Kõrgema järguga tuletis dif.võr määrab ära selle võrrandi järgu. Esimest järku dif võrrand on (1.2) Def 1.2 N-järku dif.võr (1.1) üldlahendiks nim n-parameetrilist lähtuvat funktsioonide parve või peret, mis muudab võrrandi samasuseks sõltumata parameetrite väärtustest. (1.3) Dif.võr lahendamist nim selle võrrandi integreerimiseks ja selle lahendid integraaliks, lahendi graafikut nim integraaljooneks. Kui n-järku võrrandile lisada n-algtingimust: (1.4) Siis saame algväärtuseks ülesande (1.1)
1). (Tuletise lineaarsuse tõestus, st näidata, et saame konstandi tuletise märgi alt välja tuua ning Definitsioon: Funktsiooni y = f (x) nimetatakse rangelt kasvavaks punktis x, kui leidub selline summa tuletis on tuletiste summa). Lause: Kui funktsioonid f(x) ja g(x) on diferentseeruvad positiivne arv δ, et suvaliste x1 ϵ (x - δ; x) ja x2 ϵ (x; x + δ) korral f (x1) < f (x) < f (x2).
10) Funktsiooni pidevus ja katkevus. Esineb esimest ja teist liiki katkevusi kui on tegu mingi arvuga siis on esimest järku, kui lõpmatusega siis teist järku. 11) Funktsiooni tuletise mõiste. Lõikaja ja puutuja tõus. Lõikaja ja puutuja tõusud ja sellised asjd, blah, ei viici otsida seda. Loodan, et ei küsita mult :D 12) Funktsiooni tuletise füüsikaline tähendus. 13) Tuletise tehetega seotud omadused. 14) Elementaarfunktsioonide tuletised. 15) Tuletis kui funktsiooni muutumise kiirus. Protsentuaalne muutumise kiirus. Kaevake vihikutes, praxis sai tehtud seda jama küll =) 16) Funktsiooni diferentsiaal. 17) Diferentsiaali kasutamine ligikaudses arvutuses. 18) Liitfunktsiooni ja pöördfunktsiooni tuletis Paras vikat osa, kes saab aru see saab, kes ei.. njah :D suht porno teema (get it? Hah! :D) 19) Ilmutamata funktsiooni tuletis. Mõninkord on funktsioon antud kujul kus kumbagi muutujat ei ole võimalik teise kaudu avaldada
Liigitame loodust: loodus jaguneb: loomariik, taimeriik,(hüpe) mineraalid, vesi jpt. Õige: loodus jaguneb: elus loodus, eluta loodus (vesi, mineraalid, fossiilsed/energeetilised maavarad, õhk jpt). Loomariik, taimeriik, seeneriik. Järeldus Süllogisme on erinevaid. Süllogism ehk järeldus. I Kategooriline süllogism. Saab nimetuse otsustamisest (kategooriline otsustus). Nt: I eeldus: Kõik lõvid söövad rohtu. II eeldus: Kõik lehmad on lõvid. Tuletis: Kõik lehmad söövad rohtu. Kõik lehmad(S) söövad rohtu(P). S -Subjekt on väiksem termin,P - Predikaat on suurem termin. M- lõvid- Keskmine termin. Keskmine termin seob väiksemat ja suuremat terminit omavahel, võimaldab neid võrrelda. Võrdlemisest sünnib järeldus ehk tuletis. Keskmne termin ei satu ealeski tuletisse. Tuletise subjekt on alati teisest eeldusest ehk väiksemast eeldusest. Tuletise Predikaator paikneb alati esimeses eelduses ehk suuremas eelduses. Reeglid:
tõttu. 2. Marginaalanalüüs. Kui meid huvitab, kuidas muutub kogutulu või kulu tootmismahtu suurendades (vähendades), tuleb kasutada marginaalanalüüsi (piirväärtusanalüüsi), mis uurib funktsiooni muutumist argumendi ühikulise muutuse korral. x y x y 3. Elastsusanalüüs. Uurib suhtelisi muutusi x % y % . 4.1. Funtsiooni tuletis Definitsioon Funktsiooni y(x) tuletiseks nimetatakse funktsiooni muudu y ja argumendi muudu x jagatise piirväärtust argumendi muudu lähenemisel nullile: dy y y ( x + x ) - y ( x) y´(x) = = lim = lim dx x 0 x x 0 x Funktsiooni muutumise kiirus on funktsiooni tuletis . Majanduses ja äritegevuses on olulisteks arvulisteks näitajateks keskmised suurused,
Trajektoor- punktmassi liikumise tee kindlas taustsüsteemis. Liikumisseadus- Vektoriaalne määramisviis r=r(t) Koordinaatviisiline määramisviis (telef), Loomulik liikumisseadus s=f(t) Punktmass- materiaalne keha, mille mõõtmeid liikumise uurimisel ei arvestata. Punkti kiirendus- tema kohavektor esimese tuletise järgi. Kiirus- vektor, mis on suunatud piki trajektooripuutujat liikumissuunas ja isel. Kohavektori pikkuse kui ka suuna muutus. (telef) Punkti kiirendus- kiirusvektori I tuletis aja järgi ehk kohavektori II tuletist aja järgi. Kiirendus- isel. Kiiruse muutust (telef) Rööpliikumine- kui keha liigub ühest punktist teise ja sellel olevad sirged on paralleelsed. (telef) Jäiga keha selline liikumine, mille puhul iga kohaga muutumatult seotud sirge jääb kogu liikumise kestel oma algsihiga paralleelseks. Ühe punkti liikumine tähendab kogu keha liikumist. Pöörlemine- telef. Pöörleva keha punkti kiirus on risti trajektoori
Liitf-ni osatuletised: u=u(x; y); v=v(x; y) ja w=w(x; y) z/x=z/uu/x+z/vv/x+z/ww/x (sama y-ga). z=(x; y;t) x=x(t); y=y(t) dz/dt=z/xdx/dt+z/ydy/dt+z/t1 Täisdif kuju ei muutu ka siis kui on sõltumatute muutujatega või täisdiferentsiaal. Mistahes järku osatuletised z=(x; y) ja osatuletised on vastavalt z/x ja z/y 2z/x2=/x(z/x); 2z/xy=/y(z/x); 2z/yx=/x(z/y); 2z/y2=/y(z/y); nz/xn=/x(n-1z/xn-1) Teoreem: Kui 2-muutuja f-n z=(x; y) on olemas z/x; z/y; 2z/x2; 2z/yx pidevad siis 2z/xy=2z/yx Tuletis antud suunas z=(x; y) (joon) z=z/xx+z/yy+1x+2y /:s (s on pikkus s=x2+y2 ja x/s=cos ning y/s=cos (joon). Asendades valemisse saab: z/s=z/xx/s+z/yy/s+1x/s+2y/s [cos, cos-vektori s suunakoosinused s°- vektori s suunaline ühikvektor s°=(cos; cos)=(x/s; y/s)] z/s=z/xcos+z/ycos+1cos+2cos Def: Piirv- st s0 suhtest z/s nim kahe muutuja f-ni z=(x; y) tuletiseks vektori s suunas ja tähistatakse z/s. Seega z z = lim ja z/s=z/xcos+z/ycos
Selliseid kompleksarvude paare nim. kaaskompleksarvudeks. Tehted kompleksarvudega Kahe kompleksarvu a+ib ja c+id summaks nimetatakse kompleksarvu (a+c)+i(b+d). Näiteks: (2+3i) + (1-5i) = 2+1+(3-5)i = 3-2i Analoogiliselt liitmisega toimub kompleksarvude lahutamine. Kahe kompleksarvu a+ib ja c+id korrutiseks nimetatakse kompleksarvu (ac-bd)+i(ad+bc). Näiteks: (2+3i) + (1-5i) = 2·1+2·(-5i)+3i·1+3i·(-5i) = 2-10i+3i-15i² = 2-7i-15·(-1) = 17-7i. Tuletis ja integraal. Funktsioonide tabeleid rehkendades märkasid matemaatikud, et paljude funktsioonide naaberväärtusi saab leida, korrutades argumendi muutu mingi teise funktsiooni väärtusega samal argumendil. Asja uurinud W. Leibnitz tuli järeldusele, et funktsiooni muutumise kiirus argumendi suvalisel väärtusel on kogu määramispiirkonna ulatuses avaldatav ühe ja sama funktsiooniga, mida ta nimetas tuletiseks
funktsiooni y=f(x) piirväärtuseks arguendi x lähenemisel miinus lõpmatusele, kui f(x) läheneb arvule A kui tahes väikeste argumendi x väärtuste korral.3.Öeldakse et funktsiooni y=f(x) piirväärtuseks kohal a on lõpmatus, kui korral kasvavad funktsiooni f(x) väärtused kuitahes suureks.4.Öeldakse, et funktsiooni y=f(x) piirväärtuseks kohal a on kui korral kahanevad funktsiooni f(x) väärtused kui tahes väikseks. 11. Defineerige funktsiooni y=f(x) tuletis argumendi x järgi ( ) ( ) ( ) Nimetatakse funktsiooni y=f(x) tuletiseks arguendi x suhtes. Suurust nimetatakse argumendi x muuduks. Suurust nim. funktsiooni uuduks üleminekul punktist x punkti Funktsiooni tuletise leidmist nimetatakse funktsiooni diferentseerimiseks. 12. Milline on funktsiooni tuletise füüsikaline ja geomeetriline tähendus?
y = f (x) y' = f ' (x) c 0 Kontstandi tuletis on null. x 1 Argumendi tuletis on üks. x² 2x x³ 3x ² x nx -¹ Astmete tuletis on astendaja korrutatud ühe võrra väiksema astendaja astmega. f (x) + g (x) f '(x) + g '(x) Summa tuletis on liidetavate tuletiste summa. f (x) · g (x) f '(x) · g (x) + g '(x) · f (x) Korrutise tuletis on esimese teguri tuletis korruatatud teise teguriga liita teise teguri tuletis korrutatud esimese teguriga. f (x) f '(x) · g (x) - g '(x) · f (x) Murru tuletis on murd mille nimetajaks on
1.10 Funktsiooni tuletis DEF 1.Funktsiooni y=f(x) tuletiseks kohal x nim. funktsiooni y=f(x) muudu y ja argumendi muudu x suhte piirväärtust, kui argumendi muut läheneb nullile. f´(x)=limy/x, piirprotsessis x->0 DEF 2. Kui funktsioonil f(x) on tuletis kohal x, siis öeldakse, et funktsioon on diferentseeruv punktis x. f´(x0) <->f(x) D(x0) DEF 3. Funktsiooni y=f(x) parempoolseks tuletiseks kohal x nim. suurust f´(x+)=limy/x, piirprotsessis x->0+ DEF 4. Funktsiooni y=f(x) vasakpoolseks tuletiseks kohal x nim. suurust f´(x-)=limy/x, piirprotsessis x->0- Funktsiooni tuletis: Lause 1. Funktsiooni f(x) diferentseeruvusest punktis x järeldub selle funktsiooni pidevus punktis x,st Tõestus
DIFERENTSEERIMISE ja INTEGREERIMISE VALEMID y dy Tuletis y = lim = = f ( x) x 0 x dx Integraal f ( x)dx = F ( x) +c , kus d [ F ( x) + c ] = f ( x)dx Diferentseerimise reeglid Diferentseerimise reeglid Integreerimise reeglid Lihtfunktsioon y=(x) Liitfunktsioon y=(u), u=(x) (u +v)'=u'+v', kus u,v=(x) (ux +vx)'=ux'+ vx' (u + v)dx = u dx + v dx
.., f(xn). Kui vaadeldaval funktsioonil on selline omadus, et arvuks a koonduva mis tahes argumentide jada x1, x2, ..., xn korral vastav funktsiooni väärtuste jada f(x1), f(x2), ..., f(xn) koondub alati arvuks A, siis öeldakse, et see arv A on funktsiooni y = f(x) piirväärtuseks ja kirjutatakse kujul: 30. Ühe muutuja funktsiooni tuletise ja diferentsiaali mõisted. Kõrgemat järku tuletised. Ühe muutuja funktsiooni tuletis kui leidub lõplik piirväärtus: siis seda nim funktsiooni f tuletiseks kohal x ja tähistatakse sümboliga f' või y'. Ühe muutuja funktsiooni diferentsiaal kui funktsioonil on lõplik tuletis mingi piirkonna igas punktis, siis kõneldakse ka diferentseeruvast funktsioonis vaadeldavas piirkonnas. Kui leidub f'(x) ja x, siis diferentsiaaliks dy loetakse suurust dy=f'(x)* x. Kui y = x, siis dy = dx.
Valemid ja Mõisted Funktsiooni f(x) tuletis kohal x: f ( x + x) - f ( x) f ( x) = lim x 0 x Funktsiooni jagatise tuletis u u v - uv = v v2 Funktsiooni summa tuletis (u+v)'=u'+v' Funktsiooni korrutise tuletis (c*u)'=c*u' (u*v)'=c'u+cu' Astmefunktsiooni tuletis (xa)'=axa-1 (x)'=1/(2x) Trigonomeetriliste funktsioonide tuletised Logaritmfunktsiooni tuletised (logax)'=1/(x ln a) (lnx)'=1/x Eksponent funktsiooni tuletised (ax)'=axln a (ex)'=ex Liitfunktsioon F ( x) = f (u ) g ( x) Veel reegleid funktsioonide tuletiste kohta: x = 1 1 1 = 2 x x c = 0 Trigonomeetrilised põhivõrrandid sin x = m, x = ( -1) arcsin m + n, n Z n
X = 1 3 · Ühe muutuja funktsiooni monotoonsuse piirkonnad ja ekstreemumid, joone kumerus ja nõgusus. 1.Ekstreemumid ja monotoonsuse piirkonnad (kasvav, kahanev). 2 3 <-funktsioon f ( x) := 2 - 3 x - x d 2 <-tuletis f ( x) -3 x - 6 x dx 2 -6 x - 3 x <-tuletis väljakirjutatult (selekteeri x, Symbolics->Variable->Solve) 0 - 2 <-ekstreemumid d t( x) := f ( x) dx <-märgi ära et t(x) on tuletis f(x)
1.10 Funktsiooni tuletis DEF 1.Funktsiooni y=f(x) tuletiseks kohal x nim. funktsiooni y=f(x) muudu y ja argumendi muudu x suhte piirväärtust, kui argumendi muut läheneb nullile. f´(x)=limy/x, piirprotsessis x->0 DEF 2. Kui funktsioonil f(x) on tuletis kohal x, siis öeldakse, et funktsioon on diferentseeruv punktis x. f´(x0) <->f(x) D(x0) DEF 3. Funktsiooni y=f(x) parempoolseks tuletiseks kohal x nim. suurust f´(x+)=limy/x, piirprotsessis x->0+ DEF 4. Funktsiooni y=f(x) vasakpoolseks tuletiseks kohal x nim. suurust f´(x-)=limy/x, piirprotsessis x->0- 1.11 Liitfunktsiooni tuletis. Pöördfunktsiooni tuletis. Parameetriliselt esitatud funktsiooni tuletis. Ilmutamata funktsiooni tuletis. Logaritmiline diferentseerimine.
MÄÄRAMATA INTEGRAAL a) funktsioonid ja algfunktsioonid · Kui meil on teada funktsiooni tuletis, kuid peame leidma funktsiooni, millest selline tuletis saadud on, siis peame kasutama toimingut, mida nimetatakse INTEGREERIMISEKS · INTEGREERIMINE on tuletise võtmise pöördtehe: meil on ette antud tuletis ja me peame leidma selle kaudu funktsiooni, millest selline tuletis on saadud. Funktsiooni, millest tuletis on võetud, nimetatakse ALGFUNKTSIOONIKS. LÄHENEME NÜÜD ASJALE MATEMAATILISELT Def: Funktsioon F(x) on funktsiooni f(x) algfunktsioon hulgal X , kui iga xX korral kehtib võrdus: dF ( x) = f ( x) dxfunktsioon saab olla mingile Definitsioon ütleb, et mingi ehk teisele F'(x) =funktsioonile
lim an = 0, ehk an 0 lim f ( x) = 0, ehk f ( x) 0 n xa Lõpmata väikeste suuruste omadused: Lõpliku arvu lõpmata väikeste suuruste summa on lõpmata väike suurus. Tõkestatud muutuva suuruse ja lõpmata väikese suuruse korrutis on lõpmata väike suurus. Lõpliku arvu lõpmata väikeste suuruste korrutis on lõpmata väike suurus. Arv e. Piirväärtuse arvutamine. L'Hospitali valem, selle kasutamise eeldused. Tuletis, selle rakendused Tuletis, selle geomeetriline tähendus. Funktsiooni tuletis on funktsiooni ja argumendi muudu suhte piirväärtus argumendi muudu tõkestamatul lähenemisel nullile. Geomeetriline tähendus ülesanne joone puutujast See tähendab, et funktsiooni tuletise geomeetriliseks vasteks on funktsiooni graafiku puutuja tõus punktis, mille abstsiss on x. Mehaaniline tähendus ülesanne punkti kiirjusest Tuletise arvutamine definitsiooni järgi.
TULETIS · Tuletise moodustamine: On antud funktsioon y = f ( x) . Järgnevalt on vaja leida funktsiooni muut: y = f ( x + x) - f ( x ) Seejärel lihtsustada muudu valemit. Lõpuks on vaja leida funktsiooni piirväärtus, mis ühtlasi on ka tuletis. Tuletist märgitakse [y']-ga. y f ( x + x ) - f ( x ) y ' = lim = lim x x x x Pärast koondamist ja taandamist lähendada või panna x võrduma nulliga. Nii kaob funktsioonist x ära. Järelejäänud avaldis ongi tuletis. NÄIDE: 1 Funktsioon: y = x 1 1 Muut: y = - ( x + x ) x
17. Tõestada Weierstraß'i teoreem lõigus pideva funktsiooni ekstremaalsetest väärtustest. 16. Tõestada Weierstraß'i teoreem lõigus pideva funktsiooni tõkestatusest. 18. Tõestada Bolzano-Cauchy teoreem vahepealsetest väärtustest. Lõigul [a, b] pidev f-n f(x) on tõkestatud sellel lõigul st selle fun-ni väärtuste hulk sellel lõigul Y - 19. Näidata, et funktsioonil f (x) leidub tuletis punktis a parajasti siis, kui punkti a ümbruses f = {f(x)| x [a, b]} on tõkestatud. (x) on esitatav kujul (siin A = f `(a)) f (x) = f (a) + A(x - a) + o(x - a), kus limxa o(x-a)/x-a = 0 Olgu f(x) C[a; b]. Eeldame väitevastaselt, et funktsioon f (x) on tõkestamata sellel lõigul, st 20. Näidata, et mingis punktis diferentseeruv funktsioon on pidev selles punktis. suvalise n N korral leidub selline
leksikaalse tähenduse ja grammatikaga (muutevormistik, lausekasutusvõimalused). 2. Sõna kui keelemärgi üks funktsioone on tähistada keelevälise maailma objekte ja nähtusi, mida nim entiteetideks e olemiteks. 3. Keelevaras olemasolevaid leksikaalseid ja tuletusmorfeeme kindlate reeglite järgi kombineerides moodustatakse uus nimetusüksus KOMPLEKSSÕNA (liitsõna v tuletis), mille kasutus ja tähendus on moodustusest motiveeritud. Kuidas sõnad tekivad 4. Leksikaalse tasandi üksused sõnad ja tuletusliited on sõnamoodustuse lähteüksusteks. Sõnamoodustuse tulemiks on uued, lähteüksustest harilikult komplekssema struktuuriga sõnad, mis uute nimetusüksustena täiendavad leksikoni. 5. Leksikon on olemasolev keelevara. 6. Uudissõnu tuleb keelde kahel viisil:
Def:Funktsiooni y=f(x) tuletiseks kohal x nimetatakse funktsiooni y=f(x) muudu Δy ja argumendi muudu Δx suhte piirväärtust, kui argumendi muut läheneb nullile. Def: Kui funktsioonil f(x) on tuletis punktis x, siis öeldakse, et funktsioon on diferentseeruv punktis x. Def: Geomeetriliselt võib funktsiooni y=f(x) interpreteerida kui selle funktsiooni graafikule punktis (x; f(x)) konstrueeritud tõusunurga tangensit. Def: Funktsiooni y=f(x) parempoolseks tuletiseks kohal x nimetatakse suurust f ´(x +) = lim Δy
annaabi.ee 
