Kolmnurk , mille kõik küljed on erineva pikkusega nim __6_. Kolmnurk , mille kaks külge on ühe pikkusega on __7___ . Ruut on ___8___ , mille kõiik nurgad on __9__ . ___10___ on rööpkülik , mille kõik küljed on võrdsed. Ringjoone diameetriks nim lõiku , mis ühendab ringjoone__11___ ja ___12___ . Joon , mille iga punkt asetseb ringjoone keskpunktist võrdsel kaugusel on __13__ . Naturaalarvu , millel on ainult kaks tegurit ( 1 ja see arv ise ) nim ___14___ . Naturaalarvu , millel on enam kui kaks tegurit nim __15___ . Arv , millega antud arv jagub nim ___16___ . Arv , mis jagub antud arvuga on ___17___ . Murd , mille lugeja on nimetajast väiksem on __18__ . Murru taandamine on __19____ . Murru laiendamine on __20____ . Nurk , mis on suurem täisnurgast ja väiksem sirgnurgast nim ___21___ . ___22___ on täisnurgast väiksem. Kaht nurka , millel on üks ühine haar ja teised haarad moodustavad sirge nim __23__ .
Reaalarvud Reaaalarvud jagunevad naturaalarvudeks, täisarvudeks, ratsionaalarvudeks ja irratsionaalarvudeks. 1. Naturaalarvudeks nimetatakse positiivseid täisarve. Naturaalarvude hulga tähiseks on N. Naturaalarvudeks on N=(0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; ...; 100; ...; 1000; ...) jne. Kahe naturaalarvu liitmisel (6+7=13) või korrutamisel (5*6=30) on tulemuseks alati naturaalarv. Kahe naturaalarvu lahutamisel võib olla tulemuseks naturaalarv ehk positiivne täisarv (10-2=2) aga ka negatiivne täisarv (10-100=-90). Kahe naturaalarvu jagamisel võib olla tulemuseks naturaalarv (52:2=26) või kümmnendmurd (1:3=0,333...; 9:6=1,5). 2. Täisarvudeks nimetatakse positiivseid täisarve ja negatiivseid täisarve. Täisarvude hulga tähiseks on Z. Positiivseteks täisarvudeks on Z=(0; 1; 2; 3;...) ning negatiivseteks täisarvudeks on Z=(-1; -2; -3;...). Täisarvud
2. Kolmnurga tipust vastasküljeni tõmmatud ristlõiku nimetatakse kolmnurga kõrguseks. 3. Ruuduks nimetatakse võrdsete lähiskülgedega ja võrdsete lähisnurkadega nelinurka. 4. Ringjoone diameetriks nimetatakse lõiku, mis läbib ringjoone keskpunkti ja ühendab ringjoone kaht punkti. 5. Ringjoone diameetriks nimetatakse lõiku, mis poolitab ringjoone. 6. Kolmnurk, mille üks nurk on täisnurk nimetatakse täisnurkseks kolmanurgaks. 7. Algarvuks nimetatakse naturaalarvu, millel on ainult kaks tegurit. 8. Kordarvuks nimetatakse naturaalarvu, millel on ainult kaks tegurit. 9. Harilikku murdu, mille lugeja on suurem või sama suur nimetatakse liigmurruks. 10. Sirgnurgaks nimetatakse nurka, mille haarad moodustavad sirgjoone. 11. Lõikuvateks sirgeteks nimetatakse sirgeid, millel on üks ühine punkt. 12. Paralleelseteks sirgeteks nimetatakse sirgeid, millel ühised punktid puuduvad. 13
2. Kolmnurga tipust vastasküljeni tõmmatud ristlõiku nimetetakse kolnurga kõrguseks. 3. Ruuduks nimetatakse võrdsete lähiskülgedega ja võrdsete lähisnurkadega nelinurka. 4. Ringjoone diameetriks nimetatakse lõiku, mis ühendab ringjoone kaht punkti ja mis peab läbima ringjoone keskpunkti. 5. Ringjoone kõõluks nimetatakse lõiku, mis ühendab ringjoone kaht punkti. 6. Kolmnurka, mille üks nurk on täisnurk nimetatakse täisnurkseks kolmnurgaks. 7. Algarvuks nimetatakse naturaalarvu, millel on ainult kaks tegurit. 8. Kordarvuks nimetatakse naturaalarvu, millel on enam kui kaks tegurit. 9. Hariliku murdu, mille lugeja on nimetajast suurem, nimetatakse liigmurruks. 10. Sirgnurgaks nimetatakse nurka, mille haarad moodustavad sirgjoone. 11. Paralleelseteks sirgeteks nimetatakse sirgeid, millel ühised punktid puuduvad. 12. Rombiks nimetatakse nelinurka, mille lähisküljed on võrdsed. 13. Iga naturaalarvu, millega antud arv jagub, nimetatakse antud arvu teguriks. 14
Teoreem: Kahe paaritu arvu x ja y summa on paarisarv. (Teadmiseks: paaritu arvu üldkuju on 2n+1, paarisarvu üldkuju on 2n) Eeldus: arvud x ja y on paaritud arvud Väide: summa x + y on paarisarv Tõestus: 1. Eeldusest lähtudes olgu x = 2n +1, ja y = 2m+1, kus n N m N 2. Leiame nende arvude summa: x + y = 2n + 1 + 2m + 1 = 2n + 2m + 2 = 2(n + m + 1). 3. Et n N m N, siis ka summa (n + m + 1) N. 4. Järelikult on summa x + y mingi naturaalarvu ja arvu 2 korrutis - seega paarisarv (iga naturaalarvu korrutis arvuga 2 on paarisarv - arvu kahekordne).
milles y väärtuseks saame 4y + 6 2y + 4 = 26; 2y = 16; y = 8. Rööpküliku ühe külje pikkus on 4 * 8 + 6 = 32 + 6 = 38 (cm) ja teise külje pikkus 2 * 8 4 = 16 4 = 12 (cm). Rööpküliku ümbermõõt on 2(38 + 12) = 2 * 50 = 100 (cm). Kontroll: Rööpküliku esimese ja teise külje vahe on 38 12 = 26 (cm). Vastab ülesande tingimustele. Vastus: y = 8 ja rööpküliku ümbermõõt on 100 cm. 5. Kolme järjestikuse naturaalarvu summa on 234. Leia need arvud. Lahendus: Olgu esimene naturaalarv x, teine x + 1 ja kolmas x + 2. Nende järjestikuste naturaalarvude summa on 234. Saame võrrandi: x + x + 1 + x + 2 = 234. 3x = 231; x = 77. Kolm järjestikust naturaalarvu on 77, 77 + 1 = 78 ja 77 + 2 = 79. Kontroll: Kolme järjestikuse naturaalarvu 77, 78 ja 79 summa on 77 + 78 + 79 = 234. Vastab ülesande tingimustele. Vastus: Kolm järjestikust naturaalarvu on 77, 78 ja 79. 6
Kui murru lugeja on nimetajast väiksem, siis nimetatakse murdu lihtmurruks. Lihtmurd on väiksem arvust 1. a a b, 1 b Kui hariliku murru lugeja on võrdne nimetajaga või sellest suurem, siis nimetatakse murdu liigmurruks. a a b, 1 Segaarvuks nimetatakse naturaalarvu ja lihtmurru summat, kirjutatakse üldiselt ilma plussmärgita. b 3 3 2+ = 2 5 5 Segaarvu teisendamine liigmurruks Kui naturaalarvu korrutada murru nimetajaga ja liita sellele murru lugeja, saame liigmurru lugeja. 2 3 = 3 × 5 + 2 = 17 Murru nimetaja jääb samaks. 5
Ruuduks nim. võrdsete kölgedega ja täisnurkadega nelinurka. Ristkülik on nelinurk, mille kõik nurgad on täisnurgad. Trapets on nelinurk, mille kaks külge on paralleelsed. Võrdhaarne trapets on nelinurk, mille kaks haara on paralleelsed ja võrdsed. Täisnurkne trapets on nelinurk, mille kaks külge on paralleelsed ja üks nurk on 90 kraadi. Kolmnurgaks nimetatakse kolme punktiga määratud kinnist murdjoont koos tasandi osaga, mida see murdjoon piirab. Võrdkülgne kolmnurk, mille kõik kolm külge on võrdsed. Võrdhaarne on kolmnurk, mille vähemalt kaks külge on võrdsed. Erikülgne on kolmnurk, mille kõik küljed on erineva pikkusega. Täisnurkne on kolmnurk, mille üks nurk on täisnurk. Nürinurkne on kolmnurk, mille üks nurk on nürinurk, s.o suurem kui 90o. Teravnurkne on kolmnurk, mille kõik nurgad on teravnurgad, s.o väiksemad kui 90o Rööpkülik ehk rööpnelinurk on nelinurk, mille vastasküljed on paralleelsed ning võrdsed. Rombiks nim. nelinurka , ...
1. Harilik murd kui jagatis Harilik murd näitab, mitmeks võrdseks osaks on mingi tervik jaotatud ja kui mitu sellist osa on kokku võetud. 4 Näiteks: tähendab, et tervik on jaotatud viieks võrdseks osaks, millest on võetud 4 5 osa. Harilikku murdu võib aga vaadata ka kui kahe naturaalarvu jagatist. Jagatavaks on murru lugeja ja jagajaks nimetaja. Seega on murrujoonel jagamismärgi tähendus. 4 Näiteks: =4:5 5 Kuna nulliga ei saa jagada, siis ei saa murru nimetaja olla null. Kui murru lugeja on null, siis on ka murru väärtus 0. 0 0 Näiteks: 0 = = = ... 1 2 Ülesanne 2 18
Algarv- Ühest suurem naturaalarv, mis jagub vaid ühe ja iseendaga Kordarv-positiivne naturaalarv, mis jagub peale ühe ja iseenda veel mõne naturaalarvuga. Lihtmurd- murd, mille nimetaja on lugejast suurem Liigmurd- murd, mille lugeja on nimetajast suurem või temaga sama suur Naturaalarvu tegur- iga naturaalarv, millega antud arv jagub Naturaalarvu kordne- iga naturaalarv, mis antud arvuga jagub Murru laiendamine- murru lugeja ja nimetaja korrutamine ühe ja sama nullist erineva arvuga Murru taandamine- murru lugeja ja nimetaja jagamine ühe ja sama nullist erineva arvuga Arvu absoluutväärtus-selle arvu kujutava punkti kaugusega nullpunktist Üks protsent- üks sajandik osa Nurk-geomeetriline kujund, mille moodustavad kaks ühest ja samast punktist väljuvat kiirt. Sirgnurk-nurk, mis on 180 kraadi Teravnurk-nurk, mis on väiksem kui 90 kraadi Nürinurk- nurk, mis on suurem kui 90kraadi ja väiksem kui 180 kraadi Täisnurk- nurk, mis on 90kraadi Kõ...
c) a + (b + c) = (a + b) + c a, b, c liitmise assotsiatiivsus(ühenduvusseadus) d) a (b c) = (a b) c a, b, c korrutamise assotsiatiivsus e) a (b + c) = ab + ac a, b, c korrutamise distributiivsus 2) - hulk on kinnine liitmise ja korrutamise suhtes. 4. Algarvud. 1) Algarvuks nimetatakse 1-st suuremat naturaalarvu, mis jagub ainult iseenda ja 1-ga. 2) Eratosthenese sõel. a) Nimekiri arvudest 2..N. b) Nimekirjast tõmmatakse maha need arvud, mis on mingi algarvu kordsed. 5. Algarvud. 1) Eukleidese teoreem. a) Teoreem : algarvude hulk on lõpmatu. b) Tõestus : Tähistame p1=2, p2=3, p3=5, ... Oletame vastuväiteliselt, et leidub suurim algarv pn.
2, , Reaalarvud R Imaginaararvud - 1, - 5, Kompleksarvud C 2 Naturaalarvud N = {0, 1, 2, ..., n, ...} Naturaalarvude jada on lõpmatu (igale naturaalarvule järgneb veel naturaalarve). Liites või korrutades kaks naturaalarvu, saame tulemuseks taas naturaalarvu. Seepärast öeldakse, et naturaalarvude hulk on kinnine liitmise ja korrutamise suhtes. Liitmise ja korrutamise pöördtehted lahutamine ja jagamine ei ole naturaalarvude vallas alati teostatavad, s.t. võrranditel b + x = a ja b·x = a, kus a ja b on naturaalarvud, pole alati lahendit x naturaalarvude vallas. 3 Täisarvud Täiendades naturaalarvude hulka negatiivsete täisarvudega
Lõikuvad sirged Sirged, millele on üks ühine punkt. Ristuvad sirged Sirged, mi,s lõikuvad 90 kraadise nurga all. Kolmnurga kõrgus Lõik, mis on joonestatud kolmnurga tipust vastasküljeni ja mis on sellega risti. Ruut Nelinurk, mille kõik nurgad on täisnurgad ja küljed on võrdsed. Ringjoone diameeter Lõik, mis läbib kahte punkti ringjoonel ja keskpunkti. Täisnurkne kolmnurk Kolmnurk, mille üks nurk on täisnurk. Algarv Arv, mis jagub ainult 1 ja iseendaga. Kordarv Arv, millel on rohkem kui kaks tegurit. Liigmurd Murd, mille lugeja on nimetajast suurem Lihtmurd Murd, mille nimetaja on lugejast suurem Sirgnurk Nurk, mis on 180 kraadi Paralleelsed sirged Sirged, millel puudub ühine punkt Romb Nelinurk, mille küljed on võrdsed. Naturaalarvu tegur Arv, millega naturaalarv jagub Naturaalarvu kordne Arv, mis jagub naturaalarvuga. Taandamine Lugeja ja nimetaja jagamine ühe ja sama nullist erineva arvuga. Laiendamine...
Valemid ja öpetusesönad MATEMAATIKA 6.klassile I poolaasta Haapsalu Linna Algkool Maren Suu Nimetaja 5 näitab, et ring on jaotatud viieks võrdseks osaks. Lugeja 3 näitab, et värvitud on 3 sellist osa. MURRU JAGAMISEKS NATURAALARVUGA KORRUTAME MURDU NATURAALARVU PÖÖRDARVUGA. SEKTORDIAGRAMM TEEMADE JÄRJEKORD: 1. Murd 21.Harilike murdude korrutamine 2. Murd 22.Lihtmurdude korrutamine 3. Lihtmurd 23.Lihtmurdude korrutamine 4. Liigmurd 24.Harilike murdude korrutamine täisarvuga 5. Segaarv 25.Harilike murdude korrutamine segaarvuga 6
tõene,sest ühisosa on osa,mis on olemas nii hulgas A kui B. tõene,sest alamhulgaks olevasse hulka kuuluvad kõik A ja B hulga elemendid. tõene,sest iga hulk on iseenda alamhulk. 4. 920=12157665459056928801 Vastuse sain sedasi,et naturaalarve on 10,aga esimesele kohale sobib 9 arvu,sest 0ga ei saa arvu alustada. Kuna kõrvuti ei tohi olla kaks ühesugust paari,siis ka teisele kohale 20ne kohalisest arvust sobib 9 (10-1) naturaalarvu. 5. 3*2*1*3(n-3) viisil saab värvida n objekti kolme värviga nii,et iga värvi kasutatakse vähemalt korra. Esimese kolme arvuga võimaldan kombinatsiooni,et igat värvi kasutatakse vähemalt ühe korra. Edasise puhul on võimalus valida alati kolme värvi seast. (n-3) tähistan seda,et n-objektist on juba 3 arvu kasutatud.
Naturaalarvude hulka tähistatakse sümboliga N. Naturaalarvude hulga saame esitada kujul: N = {1;2;3;...;n-1;n;n+1;...} . 0 1 2 3 4 Naturaalarvude hulga omadusi. · Naturaalarvude hulk N on järjestatud lõpmatu hulk, milles on vähim, kuid pole suurim arvu. · Naturaalarvude hulk N on hulk, milles arvud järgnevad vahetult üksteisele ega kata kogu arvtelge. · Naturaalarvude hulk on kinnine liitmise ja korrutamise suhtes. (Kui kaks naturaalarvu liita või korrutada on tulemuseks alati naturaalarv.) · Naturaalarvude hulk ei ole kinnine lahutamise või jagamise suhtes. Naturaalarve, mis jaguvad 2-ga, nimetatakse paarisarvudeks, ülejäänuid paarituteks arvudeks. Ühest suuremat naturaalarvu , mis jagub vaid ühe ja iseendaga nimetatakse algarvuks, kõiki ülejäänud ühest suuremaid arve kordarvudeks. Algarvud on 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 jne. (Hulk on lõpmatu.) Arvud 0 ja 1 ei ole algarvud ega kordarvud.
Kas võib väita, et selline turniir on alati tugevalt sidus? 3. Relatsioonid Olgu R, S ja T mingid ühel ja samal hulgal määratud relatsioonid. 1. Tõestada, et kui R on transitiivne, siis kehtib sisaldavus (RS)o(RT)cR(SoT) 2. Tõestada, et ei tarvitse kehtida sisaldavus R(SoT)c(RS)o(RT) 4. Kanooniline kuju 1. Mis on arvu kanooniline kuju? 2. Kuidas leida etteantud naturaalarvu tegureid, kui on teada arvu kanooniline kuju? 3. Määrata kanoonilise kuju abil, mitu tegurit on arvul 96000. 4. Milline iseloomulik omadus on arvude a ja b kanoonilistel kujudel, kui SÜT(a,b) = 1? 5. Olgu ja , kus < , algarvu p astmed vastavalt arvu a ja arvu b kanoonilises kujus. Leida algarvu p aste arvu a + b kanoonilises kujus.
Algarv- algarvuks nimetatakse ühest suuremat naturaalarvu, mis jagub vaid arvuga 1 ja iseendaga. Kordarv- positiivne naturaalarv,mis jagub peale 1 ja iseenda veel mõne naturaalarvuga. Murru taandamine- murru lugeja ja nimetaja jagamine ühe ja sama arvuga. Murru laiendamine- murru lugeja ja nimetaja korrutamine 1 ja sama arvuga. Liigmurd- harilik murd mille lugeja on suurem või võrdne kui nimetaja. Lihtmurd- harilik murd. Mille lugeja on väiksem, kui nimetaja. Sirgnurk- on nurk, mille haarad moodustavad sirge. Kõrvunurgad- on nurgad, millel on 1 ühine haar ja teised haarad moodustavad sirge. Tippnurgad- on nurgad, millel on ühine tipp ja haarad moodustavad sirged. Täisnurk- on pool sirgunurgast väiksemad nurgad. Teravnurgad- on täisnurgast väiksemad nurgad. Nürinurk- on täisnurgast suuremad nurgad. Lõikuvad sirged- on tasandil asuvad sirged, millel on ühine punkt. Ristuvad sirged- on lõikuavd sirged, mille lõikumisel tekivad täisnurgad. ...
hulka Z.
6. Murdarvud tekivad täisarvude jagamisel a/b, kus jagaja b ei tohi olla 0.
7. Ratsionaalarvud on kõik täisarvud ja murdarvud.
8. Ratsionaalrvuks nimetatakse arvu, mis avaldub jagatisena a/b, kus a kuulub hulka Z,
b kuulub hulka Z ja b ei võrdu 0-ga.
9. Harilikmurd on murd, mis avaldub kujul a/b, kus a kuulub hulka N, b kuulub hulka N ja
b ei võrdu 0-ga. Kümnendmurd on murd, mis kirjutatakse koma abiga.
10. Lihtmurrus a/b on a
Teemad sisaldavad mõisteid, selgitusi ja näiteülesandeid. 4 2. Uurimustöös esinevate mõistete definitsioonid Naturaalarv arvud 0, 1, 2, 3,... ; Algarv naturaalarv, millel on ainult kaks tegurit (arv 1 ja arv ise); Kordarv naturaalarv, millel on rohkem kui kaks tegurit.; Tegur (ehk jagaja) täisarv, millega jagub vaadeldav täisarv; Ristsumma numbrite summa; Jaguvus - kui ühe naturaalarvu jagamisel teisega saadakse tulemuseks naturaalarv, siis öeldakse, et esimene arv jagub teisega; Ühistegur (ehk ühisjagaja) täisarv, millega jaguvad kõik vaadeldavad täisarvud; Ühiskordne naturaalarv, mis jagub kõigi vaadeldavate naturaalarvudega; Suurim ühistegur (SÜT) - suurim arv, millega jagub iga antud arv; Väikseim ühistegur (VÜT) väikseim arv, millega jagub iga antud arv; 5 3. Algarvud ja kordarvud
● Reaalarvud on
naturaalarvud N=(1;2;3;4;...)
täisarvud Z=(...;-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4;...)
ratsionaalarvud Q=(...;-12;...;3;...;-4;...;-½;0)
irratsionaalarvud J=(...;π;...;erinevad ruutjuured)
Arvuhulgad
● Murdudega seoses oleme kasutanud veel järgmisi
mõisteid :
harilik murd - ½ (a-lugeja, b-nimetaja)
lihtmurd - (a
|A -1|=1/|A|; singulaarsel maatriksil pole pöördmaatriksit . AT on saadud A selle ridade ja veergud ümber vahetamise teel, A T nim A transponeeritud maatriksiks (AT)T=A. Ruutmaatriksit A nim sümmeetriliseks maatriksiks kui ta rahuldab tingimust AT=A. Ruutmaatriksit A nim kaldsümmeetriliseks maatriksiks kui ta rahuldab tingimust A T=-A. Ruutmaatriksit A nim ortogonaal maatriksiks kui rahuldab tingimust A -1=AT. Ruutmaatriksit A nim nilpotentseks kui ta rahuldab tingimust A N=; vähimat naturaalarvu N mille korral kehtib võrdus AN+K=AN·AK nim nilpotentsuse astmeks. Ruutmaatriksit A nim idempotentseks kui ta rahuldab tingimust A2=A. Ruutmaatriksit A nim involutiivseks kui ta rahuldab tingimust A-1=A
2. Abstsisstelg x telg 3. Aksioom lause, mida loetakse õigeks ilma põhjenduseta. Aksioomid võetakse aluseks teiste väidete põhjendamisel. 4. Algarv Ühest suurem naturaalarv, mis jagub vaid ühe ja iseendaga. 5. Algebraline murd murd, mille lugejaks ja / või nimetajaks on muutujaid sisaldav avaldis. 6. Algebraline ruutjuur arv, mille ruut on antud arv a. 7. Algkoordinaat antud sirge ja ordinaattelje lõikepunkti ordinaat. 8. Algtegur naturaalarvu algarvuline tegur. 9. Algteguriteks lahutamine naturaalarvu esitamine algarvuliste tegurite korrutisena. 10. Alusnurk võrdhaarse kolmnurga või trapetsi aluse ja haara vaheline nurk. 11. Apoteem 1. korrapärase hulknurga keskpunktist küljele tõmmatud ristlõik. 12. 2. korrapärase püramiidi tipust külgtahule tõmmatud kõrgus. 13. Aritmeetiline keskmine suuruste summa jagatis nende suuruste arvuga. 14
tingimus, et maatriks astmel n võrdub nullmaatriksiga. Arv n on vähim naturaalarv, mille korral võrdus on tõene ja seda nimetatakse nilpotentsuse astmeks. Nullmaatriksist erinevaid maatrikseid, milliste korrutis aga on nullmaatriks, nimetatakse nulliteguriteks. Kahte maatriksit nimetatakse sarnasteks maatriksiteks, kui leidub teatav regulaarne maatriks C nii, et on täidetu tingimus A*C=C*B A=C*B*C^-1. Võrdsussarnasuse erijuht. Kõik kolm maatriksit peavad olema sama järku. A~B. Suurimat naturaalarvu, mille korral maatriksil leidub nullist erinev k-ndat järku miinor, nimetatakse selle maatriksi astakuks ja märgitakse üles järgmiselt: rang(A). Vastavalt sellele definitsioonile peab leiduma suurim naturaalarv k, mille korral Mvk pole null. Kui on naturaalarv, mis on k-st suurem, siis on vastavad miinorid nullid. Kronecker-Capelli teoreem: Lineaarvõrrandite süsteem on lahenduv siis ja ainult siis(parajasti siis), kui võrrandite
DEF 2. Kui >0, siis arvu -ümburuseks nim. vahemikku (a-;a+) ja tähistatakse U(a) DEF 3. Suuruse + M-ümbruseks nim. vahemikku (M;+) ja tähistatakse UM(+) DEF 4. Suuruse - M-ümbruseks nim. vahemikku (-; M=) ja tähistatakse UM(-) DEF 5. Kui M>0, siis suuruse M-ümbruseks nim. ühendit (-;-M) U (M;+) ja tähistatakse UM() DEF 6. Arvu a nim. jada xn (lõplikuks) piirväärtuseks, kui suvalise pos.arvu koraal leidub selline naturaalarv n0, mis üldjuhul sõltub arvust , st n0(), et iga naturaalarvu n, mis on suurem kui n0, korral on rahuldatud võrratus Ixn-aI< DEF 7. Kui suvalise M R korral leidub selline n0 N, et iga n N ja n>n0 korral xn>M, siis öeldakse, et jada xn piirväärtus on + DEF 8. Jada, millel on(ei ole) lõplik piirväärtus nim. koonduvaks jadaks(hajuvaks jadaks) DEF 9. Öeldakse, et jada xn on tõkestatud, kui leidub selline arv M>0, et IxnIM (n N) DEF 10. Öeldakse, et jada xn on ülalt tõkestatud, kui leidub selline reaalarv M, et xnM (n N) DEF 11
Harilikud murrud Harilik murd kui jagatis Harilik murd näitab, mitmeks võrdseks osaks on mingi tervik jaotatud ja kui mitu sellist osa on kokku võetud. 4 Näiteks: tähendab, et tervik on jaotatud viieks võrdseks osaks, millest on võetud 4 osa. 5 Harilikku murdu võib aga vaadata ka kui kahe naturaalarvu jagatist. Jagatavaks on murru lugeja ja jagajaks nimetaja. Seega on murrujoonel jagamismärgi tähendus. 4 Näiteks: =4:5 5 Kuna nulliga ei saa jagada, siis ei saa murru nimetaja olla null. Kui murru lugeja on null, siis on ka murru väärtus 0. 0 0 Näiteks: 0 = = = ... 1 2 Edasi vaatame ülesandeid. 1. Selgita. a) Mida näitab harilik murd?
3. Arvuhulga kinnisus tehte suhtes- Arvuhulka nimetatakse kinniseks mingi tehte suhtes, kui selle hulga iga kahe arvu korral kuulub alati samasse hulka ka vaadeldava tehte tulemus 4. Arvuhulga pidevus- Kui arvuhulga igale arvule vastab üks kindel arvtelje punkt ja vastupidi, igale arvtelje punktile vastab üks kindel selle arvuhulga arv, siis öeldakse, et see arvuhulk on pidev 5. Vastandarv- Naturaalarvu n vastandarvuks nimetatakse sellist arvu -n, mis rahuldab võrdust n + ( -n ) = 0. 6. Täisarvude hulk- · Naturaalarvude hulk on täisarvude hulga osahulk · Z = {....-2; -1; 0; 1; 2; ......} · Jaguneb naturaalarvudeks ja negatiivseteks arvudeks a 7. b Murdarvud- Kui täisarv a jagub täisarvuga b, siis on jagatis täisarv, kui aga ei jagu, siis
kujul xn = yn + a, kus yn −!0. Lause 5 Iga ¨ulalt t˜okestatud monotoonselt kasvav jada koondub. Definitsioon 7 Jada {xn}osajadaks {yn}nimetatakse jada, mis on saadud jadast {xn}l˜opliku v˜oi l˜opmatu hulga jada elementide v¨aljaj¨atmise teel. Teoreem 1 (Bolzano-Weierstrassi teoreem) Igast t˜okestatud jadast saab eraldada koonduva osajada. Lause 6 (Cauchy kriteerium) Jada {xn}koondub parajasti siis, kui iga _>0 korral leidub N 2N, et iga naturaalarvu n >N ja naturaalvu p korral kehtib v˜orratus |xn+p −xn|<_.
z järgi. Siis on vaja tõestada: o Lemma 1.1 + ( + 0) = ( + ) + 0 (baaslemma) o Lemma 1.2 [( + ( + ) = ( + ) + ) ( + ( + ) = ( + ) + )] (sammulemma) Lemma 1.1 tõestuseks rakendame kummalgi pool aksioomi P3: Vasak pool: + ( + 0) = + , Parem pool: ( + ) + 0 = + . Järelikult on vasak ja parem pool tõepoolest võrdsed. Lemma 1.2 tõestus. Üldisuse kvantoriga lemma 1.2 tõestamiseks tähistagu c suvalist naturaalarvu. Peame tõestama ( + ( + ) = ( + ) + ) ( + ( + ) = ( + ) + )] Selle implikatsiooni tõestamiseks olgu implikatsiooni vasak pool +( + ) = ( + ) + tõene. Näitame, et siis kehtib ka parem pool +( + ) = ( + ) + . Rakendame võrduse vasakule poolele kaks korda liitmise teist aksioomi. Saame: + ( + ) = + ( + ) = ( + ( + )) Sulgude sees rakendame implikatsiooni eeldust ja edasi viime teist liitmise aksioomi paremalt vasakule rakendades funktsiooni ' summa teisele liikmele: (
murru lugejat, murru nimetaja aga jääb endiseks. Võimaluse korral taandame ja esitame tulemuse segaarvuna. 9. Kahe hariliku murru korrutis võrdub murruga, mille lugejaks on antud murdude lugejate korrutis ja nimetajaks nimetajate korrutis. NÄIDE: a/b c/d = a c / b d (korruta alumised ja ülemised omavahel, kui vaja, siis taanda) ; (a on nimetaja ja b on lugeja) 10. Murru jagamiseks naturaalarvuga korrutame murru naturaalarvu pöördarvuga või, kui võimalik, jagame murru lugeja naturaalarvuga. 11.Selleks, et jagada harilikku murdu hariliku murruga, tuleb jagatav korrutada jagaja pöördarvuga. NÄIDE: a/b c/d = a d / b c (kui aru ei saa, vaata 9 lauset) 12.Segaarvude jagamisel teisendame esmalt segaarvud liigmurdudeks ning seejärel jagame. 13.Terviku leidmiseks jagame osale vastava arvu osamääraga. Protsendid ja murrud
Diskreetne matemaatika II Kodused ülesanded 1 Olga Dalton 104493 IAPB21 eelmist numbrit, kuna kõik järjestikused numbrid peavad olema erinevad(st valikuvõimalusi on 1 võrra vähem). Seega on kokku 9·9·...·9 = 920 sellist naturaalarvu. 5. n objekti saab värvida kolme värviga selliselt, et iga värvi kasutatakse vähemalt ühe korra, (n-3) 6·3 viisil Põhjendus: - Ülesande nõuete täitmiseks(st iga värvi kasutatakse vähemalt üks kord) tuleb esimese 3 objekti värvimiseks kasutada kõik 3 värvi(või pärast kõigi objektide värvimist järjestada objektid selliselt, et kolm erivärvilist objekti oleksid alguses). 3 objekti saab värvida 3 värviga 3!=6 viisil.
a. 0) suhtes. Ratsionaalarvude hulk on tihe, st iga kahe ratsionaalarvu vahel on ratsionaalarv. Et iga ratsionaalarv avaldub lõpmatu perioodilise ja irratsionaalarv lõpmatu mitteperioodilise kümnendmurruna, siis võime öelda, et iga reaalarv avaldub lõpmatu kümnendmurruna. 1 · Arvu a vastandarv on a ja pöördarv . Arvul 0 ei ole pöördarvu. a · Segaarv naturaalarvu ja lihtmurru summa · Kümnendmurd- murd, mis on kirjutatud koma abil, kus esimene number pärast koma tähendab kümnendikke, teine sajandikke, jne. Iga ratsionaalarvu saab avaldada lõpmatu perioodilise kümnendmurruna. Samas kehtib ka vastupidine : iga lõpmatu perioodiline kümnendmurd esitab ratsionaalarvu. Irratsionaalarvud Irratsionaalarv on arv, mis avaldub lõpmatu mitteperioodilise kümnendmurruna. 2 = 1,414213562... ; = 3,141592654... Teoreem
Naturaalarve saab järjestada 0 1 2 3 4 1. a = b; 2. a > b; 3. a < b Naturaalarvude hulk on lõpmatu Naturaalarvude hulk on kinnine liitmise ja korrutamise tehete suhtes Naturaalarvude hulk ei ole lahutamise ega jagamise tehete suhtes kinnine Naturaalarvud Paaris- ja paaritu arvud arvuga 2 jaguvuse alusel Algarvud ja kordarvud - arvude jaguvuse alusel Algarv ühest suuremat naturaalarvu, mis jagub vaid ühe ja iseendaga Kordarvud kõiki ülejäänud ühest suuremaid naturaalarve NB! Arvud 0 ja 1 ei ole ei algarvud ega kordarvud Arvu a teguriteks nimetatakse kõiki neid naturaalarve, millega arv a jagub. Arvu iga tegur on kas selle arvu algarvuline tegur ehk algtegur või on võrdne arvu algtegurite korrutisega. Antud arvude suurimaks ühisteguriks (SÜT) nimetatakse suurimat arvu, millega jaguvad kõik antud arvud.
Lineaarse võrrandisüsteemi (3) kordajatest moodustatud maatriksit nimetatakse süsteemi (3) maatriksiks. Maatriksi A täiendamisel vabaliikmete veeruga tekkinud maatriksit nimetatakse süsteemi (3) laiendatud maatriksiks. 2. Substitutsiooni definitsioon, näide. Inversiooni definitsioon, näide. N-järku determinandi definitsioon. Determinandi defineerimisel kasutatakse substitutsiooni mõistet. n-ndat järku substitutsiooniks nimetatakse n esimese naturaalarvu 1,2,...,n iga ümberjärjestust i1 , i2 ,..., in , . Näide 1. Kolmandat järku substitutsioone on 6: 1, 2, 3; 1, 3, 2; 2, 1, 3; 2, 3, 1; 3, 1, 2; 3, 2, 1. Võib veenduda (meie seda siin ei tee), et n-ndat järku substitutsioone on n!= 1 2 3 ... (n - 1) n tükki. Kõigi n-ndat järku substitutsioonide hulka tähistatakse S n . Olgu substitutsioonist i1 , i2 ,..., in valitud kaks arvu ik ja il selles järjekorras, nagu nad seal seisavad, s.t. k < l ehk i1 ,..., ik ,..., il ,..., in
Astmed ja juured Astme mõiste. Definitsioon Ühest suurema naturaalarvu n korral nimetatakse astmeks an korrutist, milles on n võrdset tegurit a, s.t. a n a a ... a. n tegurit Näited 32 3 3 9; 10 4 10 10 10 10 10000 3 1 1 1 1 1
ATM(m×n) (AT)T = A 8. Ruutmaatriksi A nimetatakse sümmeetriliseks maatriksiks, kui ta rahuldab tingimust AT =A. 9. Ruutmaatriksi A nimetatakse kaldsümmeetriliseks maatriksiks, kui on täidetud tingimus AT=-A 10. Ruutmaatriksi A nimetatakse ortogonaal maatriksiks, kui ta rahuldab tingimust A-1 = AT. 11. Ruutmaatriksi nimetatakse nimpotentseks, kui ta rahuldab tingimust Au= . 12. Vähimat naturaalarvu n, mille korral kehtib võrdus An+k = An Ak = Ak = nimetatakse impotentsuse astmeks. 13. Ruutmaatriksi A, mis rahuldab tingimust A2 = A nimetatakse idempotentseks. 14. Ruutmaatriksi A nimetatakse involutiivseks, kui ta rahuldab tingimust A-1 = A. |A-1| = |A| 1/|A| = |A| = |A2| E=A2 |A| = +/- 1 A2k = E A2k+1 =A Pöördmaatriksi leidmine, maatriksi astendamine ja maatriksi transponeermise omadusi: · A A-1= A-1 A = E
||f +b|| ≤ sup||(f + b)x|| ≤ sup||fx+bx|| ≤ sup(||fx||+||bx||) ≤ sup||fx||+sup||bx|| ≤ ||f|| +||b|| eraldada koonduva osajada; 12)jadal {xn} lõplik PV, kui iga pos. arvu ε korral leidub -3o naturaalarv n0, et iga naturaalarvu p korral n→n0 |xn+p -xn|<ε(cauchy); x∈X x∈X x∈X x∈X x∈X *Lause: Koonduva jada piirväärtus on üheselt määratud. Kui *Kauguseks ruumis V nimetatakse reeglit, mis igale kahele selle ruumi elemendile
Lk 19 (korrutamis- ja liitmis- reegel). Lk 21, ülesanded 16, 17. Lk 22, ülesanded 2123. Ülesanne 2. ingivi keeles on 1 ühetäheline ja 1 kahetäheline sõna. Igast sõnast pikkusega n on võimalik ühe tähe juurdekirjutamisega saada 2 sõna pikkusega n + 1 ning igast sõnast pikkusega n - 1 on võimalik kahe tähe juurdekirjutamisega saada 8 sõna pikkusega n + 1. Kõik saadavad sõnad on erinevad ja rohkem sõnu pikkusega n + 1 ei ole. Leida avaldis, millest on võimalik ainult naturaalarvu n järgi välja arvutada, mitu sõna pikkusega n keeles leidub. Lahendus. Olgu An kõigi n-täheliste sõnade arv. Ülesande tingimuste põh- jal kehtib seos An+1 = 2An + 8An-1 . Algtingimused on A1 = 1, A2 = 1. Karakteristliku võrrandi q 2 - 2q - 8 = 0 lahendid on q1 = 4, q2 = -2. Järelikult rekurrentse võrrandi üldlahend on An = c1 · 4n + c2 · (-2)n . Algtingimuste põhjal saame võrrandisüsteemi
Sõnastada jada piirväärtuse peamised omadused. Üks omadus tõestada. jada koonduvusega. 6. Naidata, et kui limn→∞xn = a ja limn→∞yn = a ning xn < zn < yn, siis limn→∞ zn = a. Öeldakse, et{xn} on Cauchy jada ehk fundamentaaljada, kui iga ε > 0 korral leidub N ∈ N, et iga Toestus: Fikseerime ε. Vastavalt piirväärtuse definitsioonile leiduvad arvud N1, N2 ∈ N, nii et naturaalarvu n > N ja naturaalarvu p korral kehtib võrratus ∀n > N1 xn ∈ Uε(a) ⇔ a − ε < xn < a + ε Jada kuhjumispunktiks nimetatakse arvu, mille igas umbruses on lopmata palju vaadeldava jada ∀n > N2 yn ∈ Uε(a) ⇔ a − ε < yn < a + ε liikmeid. Arv a on jada {x n} kuhjumispunkt parajasti siis, kui leidub selline osajada {x nk}, misKui N = max{N1, N2}, siis vastavalt eeldusele n > N korral koondub arvuks a
integraal uv'dx, siis eksisteerib ka määramata integraal udv=uv-vdu
* Iga nullist erinev täisarv n on esitatav algarvude p astmete korrutisena n=(-1) (n)p1v1pkvk
* Iga kahe täisarvu a ja b>0 korral leiduvad täisarvud q ja r, et a=qb+r, kus 0<=r naturaalarvu n ja tähistatakse deg(f).
* Iga kahe polünoomi f ja g0 korral leiduvad polünoomid q ja r, et f=qg+r, kus r on kas
nullpolünoom(r=0) või r0 ja deg(r)
Tehted harilike murdudega © T. Lepikult, 2010 Hariliku murru mõiste Harilikuks murruks nimetatakse kahe naturaalarvu a ja b jagatist kujul a , b kus b 0. murru lugeja a Harilik murd: murrujoon b murru nimetaja Murrujoonel on jagamismärgi tähendus. Horisontaaljoone asemel kasutatakse murrujoonena ka kaldkriipsu. 1
Ülesanne 1 Aksioom (kreeka keeles axima 'see, mis on vääriline') tähendab üldkeeles väidet, mille tõesuses pole kahtlust. Algarvuks nimetatakse ühest suuremat naturaalarvu, mis jagub vaid arvuga 1 ja iseendaga. Algarvude hulk on lõpmatu. Sajast väiksemad algarvud ((100) = 25) on 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 ja 97. Kaksikuteks nimetatakse selliseid algarve, mille vahe on 2, näiteks 101 ja 103 või 1 000 000 007 ja 1 000 000 009. Ei ole teada, kas kaksikuid on lõpmata palju. Aritmeetiliseks keskmiseks nimetatakse arvu, mis saadakse antud arvude summa jagamisel liidetavate arvuga. Näide 1.
q1 q2 q1 q2 r2 r1 - | järeldub, et - = 0 ja ka - = 0. q1 q2 r1 r2 · Olemegi näidanud, et = ja = . Definitsioon Algarvuks nimetatakse naturaalarvu p > 1, mille ainsad naturaalarvulised jagajad on 1 ja p. Naturaalarvu, mis on suurem kui 1 ja mis pole algarv, nimetatakse kordarvuks. Teoreem (Aritmeerika põhiteoreem) p1 Iga naturaalarvu n > 1 saab esitada algarvude korrutisena (st leiduvad r ja ,..., pr p1 pr nii, et n = ,..
6. 10. . 2. 5. 11. 1. 3. 4. 7. 6 1. Selleks, et jagada hariliku murdu hariliku murruga tuleb jagatav jagaja pöördarvuga. 2. Kuidas nimetatakse naturaalarvu ja lihtmurru summas olevat lihtmurdu? 3. Murdude ühine nimetaja on murdude nimetajate 4. Igat liigmurdu saab vaadata ja lihtmurru summana . 5. Kuidas nimetatakse arvu, mida saab teisendada liigmurruks? 6. Mis murd on murd 4 ? 3 7. Ühenimeliste murdude liitmisel liidetakse nende murdude lugejad , jääb samaks. 8. Mis murd on murd 3 ? 4 9. Murdude teisendamisel ühenimeliseks, tuleb neile leida ________ 10
Esimese kollokviumi (teooriatöö) kordamisküsimused 1. Tõkestatud hulga mõiste. Ülalt/alt tõkestatud hulga mõiste. Tuua näide. Definitsioon: Hulka X nimetatakse tõkestatud hulgaks, kui X on ülalt ja alt tõkestatud. Definitsioon :Kui leidub niisugune reaalarv M, et hulga X iga elemendi x puhul kehtib võrratus x ≤ M, siis öeldakse, et hulk X on ülalt tõkestatud, kusjuures arvu M nimetatakse hulga X ülemiseks tõkkeks. Definitsioon :Kui leidub niisugune reaalarv m, et hulga X iga elemendi x puhul kehtib võrratus x≥m, siis öeldakse, et hulk X on alt tõkestatud, kusjuures arvu m nimetatakse hulga X alumiseks tõkkeks. Nt: x={1;1;3;5;7} M=ülemine tõke=7 m=alumine tõke=1 2. Sõnastada arvu ε...
ühe lausena (kui pöördlause oli tõene): arv on naturaalarv parajasti siis, kui ta on positiivne täisarv 15.Vastuväiteline tõestusviis - aluseks Ül.668 loogikaseadus: iga väite korral on tõene Tõesta vastuväiteliselt, et kui kahe kas väide ise või selle eitus, kolmandat naturaalarvu summa on paaritu arv, siis on võimalust ei ole. üks liidetav paarisarv ja teine paaritu arv. NB kasutatakse teoreemide tõestamisel Eeldus: kaks naturaalarvu, mille summa on paaritu arv Väide: üks arv on paarisarv ja teine paaritu arv Tõestus:
Astmed ja juured © T. Lepikult, 2010 Astme mõiste. Definitsioon Ühest suurema naturaalarvu n korral nimetatakse astmeks an korrutist, milles on n võrdset tegurit a, s.t. a n a a ... a. n tegurit Näited 32 3 3 9. 104 10 10 10 10 10000. 3 1 1 1 1 1 . 4 4 4 4 64 1 kilobait = 210 baiti = 2·2·2·2·2·2·2·2·2·2 baiti 1024 baiti. =
X klassi matemaatika lühikonspekt (I periood) Arvuhulgad Naturaalarvudeks nimetatakse arve N={1; 2; 3; … ; n-1; n; n+1; …} Selles hulgas leidub esimene arv ja iga arvu korral sellele vahetult järgnev arv, kuid ei ole viimast arvu — niisugust naturaalarvu, mis oleks kõigist suurem. Naturaalarvude hulk on kinnine liitmise ja korrutamise suhtes, kuid mitte lahutamise ja jagamise suhtes. Liitmis- ja korrutamistehetel on hulgas N järgmised omadused: 1. Iga a, b N korral a b b a . Liitmis kommutatiivsus. 2. Iga a, b N korral a b b a . Korrutamise kommutatiivsus. 3. Iga a, b, c N korral a b c a b c . Liitmise assotsiatiivsus. 4
X klassi matemaatika lühikonspekt (I periood) Arvuhulgad Naturaalarvudeks nimetatakse arve N={1; 2; 3; … ; n-1; n; n+1; …} Selles hulgas leidub esimene arv ja iga arvu korral sellele vahetult järgnev arv, kuid ei ole viimast arvu — niisugust naturaalarvu, mis oleks kõigist suurem. Naturaalarvude hulk on kinnine liitmise ja korrutamise suhtes, kuid mitte lahutamise ja jagamise suhtes. Liitmis- ja korrutamistehetel on hulgas N järgmised omadused: 1. Iga a, b N korral a b b a . Liitmis kommutatiivsus. 2. Iga a, b N korral a b b a . Korrutamise kommutatiivsus. 3. Iga a, b, c N korral a b c a b c . Liitmise assotsiatiivsus. 4
lim x a (f (x) g (x)) = lim x a f (x) - lim x a g (x) lim x a f (x) / g (x) = lim x a f (x) / lim x a g (x), kui lim x a g (x) 0 4. Jada piirväärtus, omadused. o Arvu a nimetatakse jada {xn} piirväärtuseks, kui suvalise positiivse arvu korral leidub selline naturaalarv n0, mis üldjuhul sõltub arvust , st n0 (), et iga naturaalarvu n, mis on suurem kui n 0, korral on rahuldatud võrratus | xn a | < . 5. Lõpmata väikesed ja suured suurused. o Muutuvat suurust (funktsiooni) (x) nimetatakse lõpmata väikeseks suuruseks piirprotsessis x x0, kui lim xx0 (x) = 0. o Muutuvat suurust (x) nimetatakse lõpmata suureks suuruseks piirprotsessis x x0, kui limxx0 (x) = . o Lõpmata väikese suuruse omadused:
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
