TALLINNA ÜLIKOOL Ühiskonnateaduste instituut Siseriiklik ja transnatsionaalne õigus RIIGIKOHTU LAHENDITE ANALÜÜS Tööõigus Tallinn 2016 Sisukord 1Riigikohtu lahend 3-2-1-176-12....................................................................................................3 1.1Lahendi üldinfo.......................................................................................................................3 1.2Nõuded........................................................................
1) x = ± + 3n , n Z 2) x = ± + 6n , n Z 2 2 5 3) x = ± + 6n , n Z 4) x = ± + 2n , n Z 2 2 9. Leia võrratuse ( 8 - x ) > 0 kõigi lahendite, mis jäävad lõigule [-1;9] ,summa. 2 x -3 1) 17 2)31 3) 39 4) 42 10. Punkt liigub mööda sirgjoont, keha poolt läbitud teepikkuse võib arvutada valemi 2 s( t ) = 2 sin 4t + , leia vähim ajahetk, millal on keha kiirus on 4 . 3
· kahekordse ja poolnurga siinus, koosinus, tangens; · siinus- ja koosinusteoreem; · trigonomeetrilised funktsioonid, nende graafikud ja omadused; · trigonomeetrilised põhivõrrandid. Põhioskused · Täis-, terav- ja nürinurksete kolmnurkade lahendamine; · trigonomeetriliste avaldiste teisendamine; · taandamisvalemite kasutamine; · trigonomeetriliste funktsioonide graafikute skitseerimine ja lugemine; · lihtsamate trigonomeetriliste võrrandite lahendite leidmine etteantud piirkonnas; · trigonomeetria valemite kasutamine geomeetriaülesannete lahendamisel. Valemid · Trigonomeetriliste funktsioonide väärtuste märgid Funktsioon I veerand II veerand III veerand IV veerand y = sin + + y = cos + +
Kui võrrandi liikmete seas esineb täisavaldisi (arve), siis võime need esitada murruna, mille nimetaja on 1 Murru 0-ga võrdumise tingimuse rakendamine A( x) A( x) 0 Lugeja võrdub 0 B( x) 0 B( x) nulliga! Nimetaja ei tohi võrduda nulliga! Võrdsustame lugeja 0-ga ning lahendame saadud võrrandi A( x) 0 . Saadud lahendite seast eraldame nimetaja nullkohad tingimuse B( x) 0 järgi (need on lähtevõrrandi suhtes võõrlahenditeks). Saadud lahendite kontroll ja vastus. · Kui võõrlahendid on eraldatud, siis ülejäänud tulemuste sobivust kontrollime algvõrrandi järgi. · Selleks asendame algvõrrandis tundmatu saadud arvuga ning kontrollime, kas pärast arvutusi jõuame tõese arvvõrduseni. · Kui kontrollimine kinnitab, et saadud arv on lähtevõrrandi lahendiks, siis anname selle
2 2 b x (ax + b) = 0 x1 = 0 ja x2 = a Ruutvõrrandi lahendite omadused 3. Kui võrrandis ax2 + bx + c = 0 on b = c = 0, siis saame võrrandi ax2 = 0. Taandatud ruutvõrrandi lahendite summa võrdub lineaarliikme kordaja vastandarvuga ja lahendite korrutis võrdub vabaliikmega. (Viet'i teoreem) ax2 = 0 x1 = x2 = 0 Rainis Jõepera
x= - ± -q b 2 2 x (ax + b) = 0 x1 = 0 ja x2 = a 3. Kui võrrandis ax2 + bx + c = 0 on b = c = 0, siis saame võrrandi Ruutvõrrandi lahendite omadused 2 ax = 0. Taandatud ruutvõrrandi lahendite summa võrdub lineaarliikme kordaja ax = 0 x1 = x2 = 0 2 vastandarvuga ja lahendite korrutis võrdub vabaliikmega. (Viet'i teoreem)
Kõiki kitsendusi korraga rahuldavatele tundmatute väärtustele vastavad tasandil punktid, mis on ühised kõigile lubatavatele pooltasanditele. Nende punktide hulka nimetatakse lubatavaks piirkonnaks ja selleks on alati kumer hulknurk. Ülesanne seisneb lubatava piirkonna sellise punkti (selliste punktide) leidmises, milles sihifunktsioon saavutab ekstremaalse, (s.o. kas maksimaalse või minimaalse) väärtuse. Ülesandel on optimaalne lahend siis, kui lubatavate lahendite piirkond sisaldab vähemalt ühte punkti ja sihifunktsiooni muutumise suunas on lahendite piirkond tõkestatud. Samakõrgusjooned- punktide hulk tasandil, millede koordinaadid annavad sihifunktsioonile ühe ja sama väärtuse. Sihifunktsiooni väärtustele z = K (K – const.) vastavaks samakõrgusjooneks on tasandi need punktid, mis rahuldavad seost c0 + c1x1 + c2x2 = K. Sihifunktsiooni erinevate väärtuste K (K = K1 , K2 ,…) korral saame seega samakõrgusjoonteks paralleelsed sirged
.., y(n-1) piirkonnas D, siis iga punkt x0, y0, y0(n-1) ϵ D korral on Cauchy ülesanne {(1);(2)} vähemalt 1 lahend. Cauchy teoreem e. ühesuse tingimused: olgu funktsioon f pidev piirkonnas D ning olgu tal olemas esimest järku osatuletised argumentide y, y', ..., y (n-1) järgi, mis on ka pidevad piirkonnas D. Siis iga punkti (x0, y0, ..., y0(n-1)) є D korral on Cauchy ülesandel {(1);(2)} parajasti üks lahend. Üldlahend – võrrandi (1) lahendite pere y = y(x, C 1, C2, ..., Cn), mis sõltuvad n suvalisest konstandist C1, ..., Cn ja mille puhul iga punkti (x0, y0, ..., y0(n-1)) = є D jaoks leiduvad konstantide väärtused C10, C20, ..., Cn0, nii et lahend y = y(x,C10,...,Cn0) rahuldab algtingimusi (2). Erilahend – võrrandi (1) lahend, mis on saadud konstantide fikseerimisega. 2. Lihtsamate n-järku diferentsiaalvõrrandite integreerimine. V: Lihtsamate n-järku DV lahendamine – üldkuju F(x, y, y', ..
**Oma esialgse võrrandi saame teisendada (n 1)-järku võrrandiks **G(y, z, z', ..., z(n-1)) = 0. ***V Otsitava ja tema tuletiste suhtes homogeenne DV. Olgu võrrandis F(x, y, y', ..., y(n)) = 0 **funktsioon F astme homogeenne funktsioon y, y', ..., y(n) suhtes.** St. F(x, ty, ty', ..., ty(n)) = tF(x, y, y', ..., y(n)) t > 0. **Alandame funktsiooni järki asendusega y'=yz, kus z=z(x) on uus otsitav funktsioon. 3. Kõrgemat järku lineaarsed DV-d. Lahendite vahelised seosed. V: n-järku lineaarsed DV-d võr F(x,y,y',...,y(n)) nim. lin n-järku HDV-ks, kui ta onlineaarne otsitava ja tema tuletise suhtes ehk on kirjut kujul **p 0(x)y(n) + p1(x)y(n-1) + ... + pn(x)y = f(x) (3) ** f(x)=0 lin hom dv f(x)0 lin. Mittehom dv **normaalkuju y (n)=g(x;y;y';..;y(n-1)) **Moodustame Cauchy ülesande, selleks lisame lineaarsele võrrandile n algtingimust:** {y(x 0) = y0 {y'(x0) = y0(1) {... {y(n-1)(x0) = y0(n-1)
<0 105 70 x + 245 - 45 x + 75 - 840 - 210 + 63 x <0 105 88 x - 730 730 13 <0 88 x - 730 < 0 x< =8 105 88 44 Näide 1 (5) Esimese võrratuse lahendite hulk: A = x : x < 2 17 27 x 0 2 4 6 8 Teise võrratuse lahendite hulk: 13 B = x : x < 8 44 17
Loogilise programmeerimise meetod Kontrolltöö (Lahendite leidmine) Kirjeldage Prologi tööd kõigi lahendite leidmisel. p([],_Ys). p([X|Xs],[X|Ys]):-p(Xs,Ys). ?-p(Xs,[a,b]). (Aritmeetika) Kirjutage programm, mis leiab esimese n arvu ruutude summa. ?-sum(5,55). (Keerdülesanne) Leidke Prologi abil 3*3 ruut, mille igas lahtris on erinev arv 1,2,...,9 ning mille kõigi ridade, veergude ja diagonaalide summa on sama. ?-magic(A1,A2,A3,B1,B2,B3,C1,C2,C3). (Listid) Kirjutage programm, mis kustutab listist negatiivsed arvud. ?-delneg([1,-2,-4,3],[1,3]). Lahendused %1. Lahendite leidmine
Logaritmvõrrand: log u (2u u 2 ) 3 Võrrandi lahend Tundmatu (muutuja, otsitava) väärtust, mille korral võrrand osutub samasuseks, nimetatakse võrrandi lahendiks ehk juureks. Näide Võrrandi 2x 3 0 3 lahendiks on x , 2 kuna, asendades võrrandis sümboli x arvuga 3/2, saame samasuse : 3 23 2 3 3 3 3 0. 2 2 Võrrandi lahendite arv Võrrandil võib olla üks või mitu lahendit, kuid neid võib olla ka lõpmata palju või mitte ühtegi. Näited Võrrandil 10 x 100 on üks lahend x = 2. Võrrandil x( x 2) 0 on kaks lahendit x = 2 ja x = 0. Võrrandil x 2 100 reaalarvude vallas lahendit ei ole. Võrrandil sin x 0 on lõpmata palju lahendeid x k , kus k on suvaline täisarv. Samaväärsed võrrandid Samaväärseteks ehk ekvivalentseteks nimetatakse võrrandeid,
abinõud - toimeala, koht ja aeg Funktsioon: - seosed - grupeerimine, sisend väljund Täitur: - selle struktuur, koostisosad ja seosed nende vahel - koostisosad, nende omadused, kuju, mõõtmed, jne. Detailid: - struktuur - kõigi detailide kuju, materjal, mõõtmed, hälbed, pindade omadused, jne. Lahendite välja süstemaatiline jaotamine Jaotuspõhimõte: ühetüübiliste ja vähemsobivate lahendusalade grupeerimine ja eraldamine. 1) lahendite otsimine, lahendivälja piiritlemine 2) lahendite grupeerimine 3) lahendite grupeerimine Üldise probleemilahenduse skeem -Formuleeri probleem -Sõnasta nõuded, kriteeriumid -Leia võimalikud lahendid -Hinda ja vali parim Teosta Konvergentne e. koonduv mõtlemine. Probleemile ainsa korrektse lahenduse leidmine. Konvergentset ehk koonduvat mõtlemist rakendatakse ülesannete puhul, mis nõuavad ühe korrektse lahenduse tuletamist olemasolevate teadmiste ja loogilise arutlemise abil.
I. Kull kirjutab oma doktoritöös, et "PICC kohaldamispraktika on kergesti leitav ning kasutatav meie oma seaduse sätete mõtte ja eesmärgi väljaselgitamisel ning vastava 3 rakendamispraktika õle võtmise võimaluste kaalumisel." 4. Kokkuvõte otsingu teostamise kohta: Artiklite otsingul kasutasime TÜ raamatukogu andmebaase vastavalt juhendile. Lisatud pildid otsingutest (vt lisas: joonis 1 ja 2). Riigikohtu lahendite otsing sai teostatud lahendite all oleva märksõnastiku abil. Sealt alt tsiviilasjad rahvusvaheline eraõigus välisleping. Antud kaustas ei leidunud aga ühtegi lahendid (vt lisas: joonis 3). 1 Kõve, V. Varaliste tehingute süsteem Eestis, doktoritöö. Tartu 2009. Lk 101. http://dspace.utlib.ee/dspace/bitstream/handle/10062/8251/k%F5vevillu.pdf;jsessionid=E5B13EA7289E96D27AAC7 38825E4346C?sequence=1 (25.09.2011) 2 Kull, I
järku arvtuletised argumentide y,y’,.., y järgi,mis on ka pidevad prks D.Siis iga punkt (x0,y0,.., y 0n−1 )€D korral on Cauchy ül. parajasti 1 lahend. Ühesuse tingimused-olgu fn f pidev piirkonnas D,olgu tal olemas I järku osatuletised argumentide y,y',...,y n-1 järgi,mis on ka pidevad piirkonnas D. Siis iga punkt (x0,y0,...,y0n-1)ϵD korral on Cauchy ülesandel parajasti 1 lahend. Üldlahendiks nim. võrrandi (1) lahendite n−1 y=y(x,C1,...,Cn),mis sõltuvad n suvalisest konstandist C1,...,Cn ja mille puhul iga punkti (x0,y0,.., y0 0 0 0 0
4 4 2( 3 y + 2a ) z - 2a 2 z 2 - 13a 2 44) - = 45) = 3- 2 y+a a- y y2 - a2 z + 3a z - 9a 2 46)Millise parameetri korral on võrrandil positiivne lahend 4 5 = 3 x - a ax - 2 47) Võrrandit lahendamata leia võrrandi x 2 - 5 x + 3 = 0 lahendite ruutude summa. (19 ) 48)Millise k korral on võrrandi x 2 - 4 x - k = 0 üheks lahendiks -3 ? ( k = 21) 49) Millise k väärtuse korral on võrrandi x 2 - kx + 4 = 0 üheks lahendiks 0,5 ? (k = 8,5) 50) Võrrandi lahendid on x1 jax 2 . Võrrandit lahendamata leia ( x1 - x 2 ) .Võrrand on 2
tundmatu asemele saame õige arvulise võrratuse. Lahendada võrratus tähendab leida selle kõik lahendid. Kaks, kolm jne võrratust, mis sisaldavad üht ja sama tundmatut, võivad moodustada võrratuste süsteemi. Lahendada võrratuste süsteem tähendab leida nende võrratuste ühise tundmatu kõik sellised väärtused, mis rahuldavad korraga selle süsteemi kõiki võrratusi. Harilikult moodustab võrratuse (või võrratuste süsteemi) lahendite hulk ühe või mitu arvpiirkonda. Arvpiirkond võib olla : 1) vahemik ] a, b [ - kõigi ahelvõrratust a < x < b rahuldavate reaalarvude hulk, kus a ja b on mingid kindlad arvud; näiteks a = -2, b = 5 korral vahemik ] -2,5 [ on reaalarvude hulk -2 ja 5 vahel, arvud -2 ja 5 ei kuulu ise sellesse vahemikku; 2) lõik [ a, b ] - kõigi ahelvõrratust a x b rahuldavate reaalarvude hulk (seega lõik sisaldab oma otspunkte);
Suurus 90o. 100. Täisnurkne kolmnurk kolmnurk, mille üks sisenurk on täisnurk. 101. Täispööre nurk, mille suurus on 360o. 102. Täisruut, ruutarv naturaalarv, mis võrdub mingi täisarvu ruuduga. 103. Vastandarv arv, mille summa on antud arvuga 0. 104. Veerand 1. üks neljandik ühikust. 2. tasandi kvadrant tasandi kahe niisuguse pooltasandi ühisosa, mille ääred ristuvad. 105. Viéte' i teoreem taandatud ruutvõrrandi lahendite summa võrdub lineaarliikme kordaja vastandarvuga ja lahendite korrutis võrdub vabaliikmega. 106. Võrdeline jagamine mingi suuruse jagamine antud arvudega võrdelisteks osadeks. 107. Võrdeline seos kahe muutuja x ja y vaheline seos, milles muutujate vastavate väärtuste jagatis on konstant a. Graafikuks on koordinaatide alguspunkti läbiv sirge. 108. Võrdhaarne kolmnurk kolmnurk, millel on kaks võrdset külge, kolmandat
avaldisi. 2x - 3 = 0. Näide 1. Lahendame võrrandi x+2 Murru väärtus on null, kui lugeja on null ja nimetaja nullist erinev, seega peavad üheaegselt olema täidetud tingimused 2x 3 = 0, millest x = 1,5 ning x + 2 = 0, ehk x = 2. Murru nimetaja nulliga mittevõrdumist tuleb kontrollida selleks, et lahendite hulgast välja eraldada need, mille korral nii lugeja kui ka nimetaja on üheaegselt nulliga võrdsed. Vastus: x = 1,5. 4 1 + 2 = 1. Näide 2. Lahendame võrrandi x+2 x -4 Kõigepealt leiame vasakul pool ühise nimetaja ja seejärel lihtsustame avaldist: 4 1 4 1 4( x - 2) + 1 4x - 7 + = + = = .
● Lubatav baaslahend on simplekssüsteemi (lineaarplaneerimine kanoonilisel kujul) lahend, mis rahuldab mittenegatiivsuse nõuet. ● Baaslahend on simplekssüsteemi lahend (lineaarplaneerimine kanoonilisel kujul), mis võib olla lubatav baaslahend, aga ei pea rahuldama mittenegatiivsuse nõuet 10. Nimetada lineaarse planeerimise ülesande omadusi (optimaalsete lahendite olemasolu ja omadused)? ● Kinnises tõkestatud piirkonnas lineaarplaneerimisülesanne omab optimaalset lahendit ● Lineaarplaneerimise ülesande optimaalne lahend võib paikneda vaid lubatava hulga rajal. ● Kui lineaarplaneerimise ülesande lahend on ühene, siis paikneb see ainult lubatava hulga mingis tipus ● Kui lineaarplaneerimise ülesandel leidub optimaalne lahend, siis vähemalt
.. 8 2.1. Otsustamise käsitlemine tegevuse seisukohalt............................................................ 8 2.2. Otsustamise käsitlemine otsustaja seisukohalt............................................................ 8 3. OTSUSTAMISPROTSESS............................................................................................... 9 3.1. Probleemi selgitamine..................................................................................................9 3.2. Võimalike lahendite väljatöötamine.......................................................................... 10 3.3. Valik ehk otsustamine................................................................................................10 3.4. Otsuse ellurakendamine.............................................................................................10 4. EESMÄRKIDE TÄHTUS............................................................................................... 12 4.1
4) Teeme kontrolli ja kirjutame vastuse 17. Millal on ruutvõrrandil 2 erinevat lahendit? Millal on kaks võrdset lahendit? Millal ruutvõrrandil lahendid puuduvad? Kui diskriminant on nullist suurem, siis on ruutvõrrandil 2 erinevat lahendit. Kui diskriminant on nulliga võrdne, siis on ruutvõrrandil 2 võrdset lahendit. Kui diskriminant on nullist väiksem, siis ruutvõrrandil puuduvad lahendid. 18. Viete'i teoreem. Millal võib kasutada Viete'i teoreemi? Taandatud ruutvõrrandi lahendite summa võrdub lineaarliikme kordaja vastandarvuga ja lahendite korrutis võrdub vabaliikmega. Viete'i teoreemi võib kasutada ainult taandatud ruutvõrrandis.
x (4.24) Antud punkti liikumise diferentsiaalvõrrand on leitud. Nüüd tuleb see ära lahendada. Kontrollime kõigepealt kas selline diferentsiaalvõrrand on olemas lahendite tabelis (4.12). Selgub, et on küll ja nimelt kolmas võrrand (4.12C). Võrreldes võrrandeid (4.12C) ja (4.24) märkame, et A = k , B = 0. Seetõttu saab lahendite tabeli põhjal diferentsiaalvõrrandi (4.24) üldlahendi kohe välja kirjutada x = C1 sin kt + C 2 coskt (4.25) Leiame siit kõigepealt tuletise x = C1 k coskt - C 2 k sin kt (4.26) Millised on algtingimused? Ülesande teksti põhjal selgub, et x0 = l ja x 0 = v0 x = -v0 . Kirjutame nüüd võrrandid (4.25) ja (4.26) välja alghetkel t=0 arvestades nimetatud
on täieliku ruutvõrrandi erijuhuks, kui a = 1, b = p ja c = q. Ruutvõrrandi x 2 px q 0 lahendivalem on 2 p p x1, 2 q 2 2 algusesse Viète'i valemid Viète'i teoreem võimaldab mõnel juhul peast arvutades leida ruutvõrrandi lahendid. Viète'i teoreem. Taandatud ruutvõrrandi lahendite summa võrdub lineaarliikme kordaja vastandarvuga ja lahendite korrutis võrdub vabaliikmega. Ehk taandatud ruutvõrrandi x 2 px q 0 kordajad p ja q on seotud lahenditega x1 ja x2 järgmiselt: x1 x 2 p x1 x 2 q. algusesse Biruutvõrrand Biruutvõrrandiks nimetatkse võrrandit kujul ax 4 bx 2 c 0 kus x on tundmatu ning a 0.
.. ,= ... . !! ... !" ! ! Lineaarseid võrratusi saab enamasti lahendada graafiliselt. Kui võrratused on vastuolulised, siis lahend puudub (ühine osa puudub). Leidub ka ülearuseid võrratusi, ehk mõni võrratus järeldub teisest/teistest. 6. LP ülesande graafiline lahendamine I meetod nivoojoonte abil N: z= 2x1-x2àmina, max x1+x2 4 (I) x1-2x2 -2 (II) x1, x2 0 *teen joonise ning leian, et nelinurk ABCD on lubatavate lahendite hulk Lisan joonisele nivoojoone z=0. Ülejäänud nivoojooned saab tõsta paralleelsete sirgetena. Nivoojoonte äärmise taseme viirutatud piirkonnas määravad miinimum- ja maksimumpunkti. II meetod põhineb lubatavate lahendite hulga 3. teoreemil, et ülesande min ja max saavutatakse mingite lubatavate lahendihulkade tipus. LP ülesandes on alati kolm võimalus 1) optimaalne lahend eksisteerib 2) sihifunktsioon on tõkestamata zmax= lõpmatus 3) lahend puudub
· Lubatav lahend on selliste mittenegatiivsetex-de hulk, mis rahuldab kitsenduste süsteemi, · Optimaalne lahend on lubatav lahend, mille korral sihifunktsioon omandab soovitud väärtuse. Lineaarse planeerimisülesande graafiline lahendamine: Graafiliselt on võimalik lahendada ülesandeid, milles on 2 põhimuutujat. Ülesande lahendamine toimub kahes etapis: I etapil leitakse lubatavate lahendite piirkond. Selleks kantakse koordinaattasandile igale kitsendusele vastav sirge ning seejärel määratakse kindlaks piirkond, mis rahuldab kogu antud kitsendust ( piirkonnaks on pooltasand, mis jab ühele poole saadud sirgest ). Kõigi pooltasandite ühisosa moodustabki lubatavate lahendite piirkonna. Lubatavate lahendite piirkonnaks võib olla: 1. Kumer mittekorrapärane hulknurk. Sel juhul on ülesandel ka alati optimaalne lahend; 2. Avatud hulknurk
· Lubatav lahend on selliste mittenegatiivsetex-de hulk, mis rahuldab kitsenduste süsteemi, · Optimaalne lahend on lubatav lahend, mille korral sihifunktsioon omandab soovitud väärtuse. Lineaarse planeerimisülesande graafiline lahendamine: Graafiliselt on võimalik lahendada ülesandeid, milles on 2 põhimuutujat. Ülesande lahendamine toimub kahes etapis: I etapil leitakse lubatavate lahendite piirkond. Selleks kantakse koordinaattasandile igale kitsendusele vastav sirge ning seejärel määratakse kindlaks piirkond, mis rahuldab kogu antud kitsendust ( piirkonnaks on pooltasand, mis jab ühele poole saadud sirgest ). Kõigi pooltasandite ühisosa moodustabki lubatavate lahendite piirkonna. Lubatavate lahendite piirkonnaks võib olla: 1. Kumer mittekorrapärane hulknurk. Sel juhul on ülesandel ka alati optimaalne lahend; 2. Avatud hulknurk
selle võrrandi lahendiks Kahe tundmatuga lineaarvõrrandisüsteem · Võrrandisüsteem koosneb kahest kahe tundmatuga lineaarvõrrandist · Võrrandisüsteemi lahendiks on kahe sirge lõikepunkti koordinaadid Võrrandisüsteemi lahend · Üks lahend, kui sirged lõikuvad · Lahend puudub, kui sirged on paralleelsed · Lahendeid on lõpmata palju, kui sirged ühtivad Võrrandisüsteemi uurimine · Kahe tundmatuga lineaarvõrrandisüsteemi lahendite arvu kindlaksmääramist nimetatakse selle süsteemi uurimiseks · Selleks tuleb mõlemast võrrandist avaldada tundmatu y ja seejärel võrrelda tundmatu x kordajaid · Kui tundmatu x kordajad ei ole võrdsed (sirged lõikuvad), siis on süsteemil ainult üks lahend · Kui tundmatu x kordajad on võrdsed ja vabaliikmed ei ole võrdsed (sirged on paralleelsed), siis süsteemil lahend puudub · Kui tundmatu x kordajad on võrdsed ja vabaliikmed on võrdsed (sirged ühtivad),
3)2(ax) +2 2ax b+b =b -4ac ehk 2 2 (2ax+b) =b -4ac leida ruutjuur Vastus. Lahendid on x1=1 või x2=2 4) ; ; |:2a NB vaja pähe õppida ja osata une pealt 21.Täieliku taandamata ruutvõrrandi Ül.1371 2 lahendamine - kasutada lahendivalemit 3m +2m-1=0 a=3 b=2 c=-1 NB vastusesse lahendite kirjutamisel tuleb tähtsustada sõna "või" Vastus. Lahendid on x1=-1 või x2= . 2 2 22.Ruutvõrrandi diskriminant - D=b -4ac, 5x -4x+7=0 pole lahendeid kus a,b,c on ruutvõrrandi kordajad; a=5 b=-4 c=7 2 väärtus võib olla negatiivne, null või D=(-4) -4 5 7=16-140=-124 positiivne; väärtuse järgi saab määrata
hüdroisolatsiooni katvate materjalide suhtes vastupidav keemiliselt agressiivse vee suhtes, keemiliselt püsiv teiste kasutatavate ehitusmaterjalide suhtes vastupidav temperatuurimuutustele. Võib eristada kahte tüüpi hüdroisolatsiooni Membraan-tüüpi hüdroisolatsiooni korral kantakse konstruktsiooni pinnale niiskuse sissetungi takistav materjal. Kuna varasematel aegadel kasutati selliste lahendite puhul bituumenkatteid, nimetatakse seda tüüpi katteid ,,mustaks vanniks vahepeal unustatud kuid nüüd uuesti kasutusele võetud betoniit-hüdroisolatsioon nn ,,pruun vann" on samuti membraan- hüdroisolatsioon. Alternatiiviks on veetihedast betoonist kandekonstruktsioon, mis täidab ka hüdroisolatsiooni funktsiooni. Seda tüüpi hüdroisolatsiooni nimetatakse ka ,,valgeks vanniks" kuna kasutatav tsement on heleda värvusega.
normaalkujul 3.Kahe tundmatuga võrrandi lahend - Ül.909 järjestatud arvupaar; lõpmatu hulk Võrrand 4u+0,5v=2 lahendeid; võrrandi ax+by=c lahend Antud u {1;-0,5;-3,5} kirjutatakse kujul: Leida võrrandi lahendid x=p y=q või need kaks võrdust üksteise alla ja ette loogeline sulg või (p;q) 1)kui u=1, siis 4 1+0,5v=2; 0,5v=2-4; 0,5v=-2; v=-4; lahend on (1;-4) NB lahendite leidmisel vajadusel kasutada 2)kui u=-0,5, siis 4 (-0,5)+0,5v=2; ühe tundmatu avaldamist teise kaudu 0,5v=2+2; 0,5v=4; v=8; lahend on (lihtsam arvutada) (-0,5;8) 3)kui u=-3,5, siis 4 (-3,5)+0,5v=2; 0,5v=2+14; 0,5v=16; v=32; lahend on (-3,5;32)
x1 = x2 = 0 Täielikud ruutvõrrandid: a) täieliku taandatud ruutvõrrandi puhul on x2 kordaja 1 Üldkuju: x2 + px + q = 0 Lahendivalem: 2 p p x=- ± -q 2 2 Lahendamine: Teisendada normaalkujule 2 x + 8x + 7 = 0 Lahendamiseks kasutatakse lahendivalemit 2 8 8 x = - ± - 7 = -4 ± 9 = -4 ± 3 2 2 x1 = -1 x2 = -7 Lahendite õigsust saab kontrollida Viete'i teoreemiga Viete'i teoreem: x1 + x2 = -p x1 · x2 = q b) täielik taandamata ruutvõrrand Üldkuju: ax2 + bx + c = 0 Lahendivalem: - b ± b 2 - 4ac x= 2a Lahendamine: Teisendada normaalkujule 3x2 8x 3 = 0 Lahendamiseks kasutatakse lahendivalemit - 8 ± 8 2 - 4 3 ( - 3) - 8 ± 100 - 8 ± 10 x= = = 23 6 6
Graafiline lahendamine x- y+3= 0 2x + y - 3 = 0 x=0 y=3 Kontroll : v1 = 0 - 3 + 3 = 0 p1 = 0 v1 = p1 v2 = 2 0+3-3 = 0 x=0 p2 = 0 Vastus : y =3 v2 = p 2 · Lineaarvõrrandisüsteemi lahendite hulga sõltuvus süsteemi kordajatest a1 x + b1 y = c1 a2 x + b2 y = c2 Võrrandisüsteemil on üheselt määratud lahendid puuduvad, on lõpmata palju lahendeid, 0 0 lahendipaar (x ;y ), kui kui a1 b1 c1 a1 b1 c1
-4 x = -6 y - 8 5 x = -5 : 5 x = -1 3 (-1) = 2 y + 1 2 y = -4 : 2 y = -2 K: v1 = 3 ( -1) = -3 p1 = 2 ( -2) + 1 = -3 v1 = p1 v2 = 2 ( -1) = -2 p2 = 3 ( -2) + 4 = -2 v2 = p2 x = -1 V: y = -2 Graafiline lahendamine x -1 x - 2y =1 y = 2 y - x = 1 y = x +1 y = x +1 x 0 2 y 1 3 y = 0,5 x - 0,5 x 3 5 y 1 2 x = -3 y = -2 K: v1 = -3 - 2 (-2) = 1 p1 = 1 v1 = p1 v2 = -2 - (-3) = 1 p2 = 1 v2 = p2 x = -3 V: y = -2 Lineaarvõrrandisüsteemi lahendite hulga määramine a1 x + b1 y = c1 a2 x + b2 y = c2 Võrrandisüsteemil a1 b1 on üheselt määratud lahendipaar (x0;y0), kui a2 b2 (a) a1 b1 c1 = lahendid puuduvad, kui a2 b2 c2 (b) a1 b1 c1 = = on lõpmata palju lahendeid, kui a2 b2 c2 (c) 3x + 4 y = 9
ettepanekul Halduskohus Ringkonnakohtud Teise astme kohtutes vaadatakse apellatsiooni korras läbi esimese astme kohtute lahendeid Eestis on kokku 3 ringkonnakohut Kokku 44 kohtunikku Kohtunikud nimetab ametisse Vabariigi President Riigikohtu ettepanekul Ringkonnakohtud Viru Ringkonnakohus Tallinna Ringkonnakohus Tartu Ringkonnakohus Riigikohus Eesti Vabariigi kõrgeim kohus Vaatab läbi ringkonnakohtute lahendite peale esitatud kaebused kassatsiooni korras Asukohaks on Tartu Lossi tn. 17 Riigikohus Esimeheks on Uno Lõhmus Kokku 17 kohtunikku Kohtunikud nimetab ametisse Riigikogu Riigikohtu Riigikohus Tegevus toimub Põhiseaduslikkuse kolleegiumites järelevalve Kõrgeim organ on kolleegium üldkogu Kohtunikueksami Loakogu otsustab komisjon kohtuasjade menetlusse võtmise
Kasutades maatrikssümboolikat ja tähistades a11 a12 a1n x1 b1 c1 a21 a22 a2 n x2 b2 c2 A , x , b , c , am1 am 2 amn xn bm cn võime lineaarse planeerimise ülesande kirjutada maatrikskujul maxcT x : Ax b, x 0. Lubatavate lahendite hulk on kirjapandav kujul R x : Ax b, x 0 . Duaalne simpleksmeetod. Kui aga simplekstabel ei ole lubatav, kuid on duaalselt lubatav, siis tuleb optimaalse lahendi leidmiseks kasutada duaalset simpleksmeetodit. Erinevalt harilikust simpleksmeetodist tuleb duaalse simpleksmeetodi korral valida simplekstabelist esmalt välja juhtrida, ja seejärel juhtveerg ning viia siis läbi tabeli ridade teisendus.
ole neil ka edasikaebamise õigust. 12. Õigus kaitsele mitmekordse süüdistamise eest Õigus kaitsele mitmekordse süüdistamise eest on ette nähtud põhiseaduse §-s 23, mille kohaselt "kedagi ei tohi teist korda kohtu alla anda ega karistada teo eest, milles teda vastavalt seadusele on mõistetud lõplikult süüdi või õigeks". Käesoleva printsiibi mõte tuleneb vajadusest lõplike lahendite järele ning ökonoomsuse printsiibist (ei ole ökonoomne tehtud kohtuotsuseid lõputult uuesti läbi vaadata). Samuti on mainitud printsiip oluline vältimaks riigi võimalust taga kiusata isikuid, kelle süüdi mõistmiseks riigil vajalikud tõendid puuduvad, kuid kellele korduvate samasisuliste kriminaalsüüdistuste esitamisega oleks võimalik tekitada olulisi ebamugavusi. Kehtivad ka mõned erandid. On võimalik, et õigeksmõistev kohtuotsus on tehtud kohtualuse
ole neil ka edasikaebamise õigust. 12. Õigus kaitsele mitmekordse süüdistamise eest Õigus kaitsele mitmekordse süüdistamise eest on ette nähtud põhiseaduse §-s 23, mille kohaselt "kedagi ei tohi teist korda kohtu alla anda ega karistada teo eest, milles teda vastavalt seadusele on mõistetud lõplikult süüdi või õigeks". Käesoleva printsiibi mõte tuleneb vajadusest lõplike lahendite järele ning ökonoomsuse printsiibist (ei ole ökonoomne tehtud kohtuotsuseid lõputult uuesti läbi vaadata). Samuti on mainitud printsiip oluline vältimaks riigi võimalust taga kiusata isikuid, kelle süüdi mõistmiseks riigil vajalikud tõendid puuduvad, kuid kellele korduvate samasisuliste kriminaalsüüdistuste esitamisega oleks võimalik tekitada olulisi ebamugavusi. Kehtivad ka mõned erandid. On võimalik, et õigeksmõistev kohtuotsus on tehtud kohtualuse
Ergonoomika ehk ergonoomia: - On multidistsiplinaarne teadus, mis on suunatud töövahendite ja tingimuste kohandamisele vastavalt inimese vajadusele - Ergonoomia on suunatud eelkõige haiguste ennetamisele. - Oluline on ergonoomia printsiipe rakendada ka oma igapäevaellu. - Analüüsil ja lahendite leidmisel arvestatakse eelkõige inimese heaolu. Ergonoomiline arvutitöökeskkond: - töökoht, mis on kujundatud arvestades konkreetset isikut ja töö iseloomu tema tervise ning töö produktiivsuse tagamiseks. Hiirehaiguse tunnused: - käe suremistunne, eriti öösel - pakitsus sõrmedes või käes, tuimus - tunne, et sõrmed hõõguvad - käed on kanged - pöial muutub nõrgaks - on raske kätt rusikasse tõmmata
Ringjoont, mis läbib kolmnurga tippe, nimetatakse kolmnurga ümberringjooneks. Ringjoont, mis asub kolmnurga sees ja mis puutub kolmnurga kõiki külgi, nimetatakse kolmnurga siseringjooneks. Mittetäielik ruutvõrrand nimetatakse ruutvõrrandit, milles kas lineaarliikme kordaja või vabaliige on null. Kui korrutis on null, siis on vähemalt üks teguritest null. Alati 2 lahendit. Lineaarfunktsioon- y = ax + b, mlles ax= lineaarliige ja b= vabaliige. Lahendite arve on 1. Vastava funktsiooni graafik on sirge. Ligikaudse arvu tüvenumbrid- Kui ligikaudsetes arvude 112340; 4,0528 ja 0,0328 koma ja nullid arvu algusest ja lõpust jätta, siis arve 11234; 40528 ja 326 nim. esialgsete arvude tüvedeks. Arvu tüves esinevad numbrid on arvu tüvenumbrid. Seega esimesel arvul on 5, teisel arvul 5 ja kolmandal arvul 3 tüvenumbrit. Näide: Arvu 37,4 tüvenumbrid on 3, 7 ja 4 arvu 0,073 tüvenumbrid on 7 ja 3 arvu 0,0730 tüvenumbrid on 7, 3 ja 0
2) Õkonoomsuse printsiip 3) Avalikkuse printsiip 4) Informeerituse printsiip 5) Kaitse õiguse printsiip 6) Süütuse presumtsiooni printsiip 7) Erapooletuse, sõltumatuse ja kompetentsuse printsiip 8) Õigus edasi kaevata 9) Poolte võrdsuse printsiip 10) Moraalse kahju vältimise printsiip 11) Isikute seaduse ees võrdsuse printsiip 12) Õigus kaitsele mitmekordse süüdistamise eest 13) Kriminaalseaduse tagasiulatuva jõu piiramine 14) Õiguskaitseasutuste lahendite ennustatavuse printsiip Legaalsuse (seaduslikkuse) printsiip Legaalsuse printsiip õiguskaitsesüsteemi ülesehituses ja tegutsemises tähendab seda, et õiguskaitseasutuste moodustamine, ülesehitus ning tegutsemine peab toimuma seadustes ja teistes õigusaktides sätestatud korras. Vaja eristada legaliteedi printsiibist kriminaalmenetluses, mille järgi kõigi tegude puhul, mis kõigi oma tunnuste poolest vastavad kuriteo tunnustele, tuleb kriminaalasi algatada ja selles
surve ja dünaamilise liikumise suhtes; mehaaniliselt tugev hüdroisolatsiooni katvate materjalide suhtes; vastupidav keemiliselt agressiivse vee suhtes; keemiliselt püsiv teiste kasutatavate ehitusmaterjalide suhtes; vastupidav temperatuurimuutustele. * Võib eristada kahte tüüpi hüdroisolatsiooni: - membraan-tüüpi hüdroisolatsiooni korral kantakse konstruktsiooni pinnale niiskuse sissetungi takistav materjal. Kuna varasematel aegadel kasutati selliste lahendite puhul bituumenkatteid, nimetatakse seda tüüpi katteid "mustaks vanniks". Vahepeal unustatud, kuid nüüd uuesti kasutusele võetud bentoniit-hüdroisolatsioon nn "pruun vann" on samuti membraan-hüdroisolatsioon. - alternatiiviks on veetihedast betoonist kandekonstruktsioon, mis täidab ka hüdroisolatsiooni funktsiooni. Seda tüüpi hüdroisolatsiooni nimetatakse ka "valgeks vanniks", kuna kasutatav tsement on heleda värvusega.
6) tegurda lugejas 7) taanda Punktid 5) – 7) VÕIMALUSEL MURDVÕRRANDI LAHENDAMINE kõik vasakule poole = 0 leia ühine nimetaja leia laiendajad korruta laiendaja lugejaga koonda ja korrasta lugejas lugeja 0 kirjuta süsteem nimetaja 0 lahenda saadud võrrandid hinda lahendite sobivust ehk lugejast saadud lahendid ei tohi olla nimetaja lahenditeks tee kontroll, tekstülesande korral lähtu tekstist, mitte saadud võrrandist vastus
6) tegurda lugejas 7) taanda Punktid 5) 7) VÕIMALUSEL MURDVÕRRANDI LAHENDAMINE kõik vasakule poole = 0 leia ühine nimetaja leia laiendajad korruta laiendaja lugejaga koonda ja korrasta lugejas lugeja 0 kirjuta süsteem nimetaja 0 lahenda saadud võrrandid hinda lahendite sobivust ehk lugejast saadud lahendid ei tohi olla nimetaja lahenditeks tee kontroll, tekstülesande korral lähtu tekstist, mitte saadud võrrandist vastus
16. + =0 2+x 3 31. x +6 x -1 =6 2 x x -2 17. + =2 32. 7 -3 x +14 =3 x -2 x 33. 11 -4 7 x -12 =3 27. Leidke parameetri a väärtus nii, et võrrandil ax - 4 = 2( x + 7 ) puuduksid lahendid. 28. Kuidas avaldub ruutvõrrandi ax 2 + bx + c = 0 lahendite summa x1 + x2 ja lahendite korrutis x1 x2 ? 29. Millise parameetri k väärtuse korral on võrrandil 2 x + k = 3 - x 2 kaks võrdset lahendit? 30. Milliste parameetri a väärtuste korral on võrrandi 2 x 2 - 5 x + a = 0 lahendid teineteise pöördarvud? 31. Leidke võrrandit x 2 - 5 x + 6 = 0 lahendamata selle võrrandi lahendite ruutude summa x1 + x 2 . 2 2
maatrikskujul AX = 0. TEOREEM 1. Homogeenne võrrandisüsteem on alati lahenduv. JÄRELDUS. Lahendit X = 0, mille puhul x1 = x2 = . . . = xn = 0, nimetatakse TRIVIAALSEKS ja see rahuldab samaselt maatriksvõrrandit AX = 0. TEOREEM 2. Kui võrrandis AX = 0 leiab aset võrdus rank A = n, siis on homogeensel süsteemil olemas ainult triviaalne lahend. Mittetriviaalne lahend eksisteerib siis, kui rank A = r ja r < n. DEFINITSIOON 2. Homogeense süsteemi (n r)-mõõtmelise lahendite ruumi erilahenditest koosnevat baasi nimetatakse selle süsteemi LAHENDITE FUNDAMENTAALSÜSTEEMIKS. JÄRELDUS. Homogeense süsteemi üldlahend XHÜ on fundamentaal- süsteemi elementide X1, . . . , Xn-r lineaarne kombinatsioon: XHÜ = C1 X1 + . . . + Cn.-r Xn-r . MÄRKUS. Lihtsaimaks fundamentaalsüsteemiks on nn NORMAALNE LAHENDITE FUNDAMENTAALSÜSTEEM. Selle moodustavad
maatrikskujul AX = 0. TEOREEM 1. Homogeenne võrrandisüsteem on alati lahenduv. JÄRELDUS. Lahendit X = 0, mille puhul x1 = x2 = . . . = xn = 0, nimetatakse TRIVIAALSEKS ja see rahuldab samaselt maatriksvõrrandit AX = 0. TEOREEM 2. Kui võrrandis AX = 0 leiab aset võrdus rank A = n, siis on homogeensel süsteemil olemas ainult triviaalne lahend. Mittetriviaalne lahend eksisteerib siis, kui rank A = r ja r < n. DEFINITSIOON 2. Homogeense süsteemi (n r)-mõõtmelise lahendite ruumi erilahenditest koosnevat baasi nimetatakse selle süsteemi LAHENDITE FUNDAMENTAALSÜSTEEMIKS. JÄRELDUS. Homogeense süsteemi üldlahend XHÜ on fundamentaal- süsteemi elementide X1, . . . , Xn-r lineaarne kombinatsioon: XHÜ = C1 X1 + . . . + Cn.-r Xn-r . MÄRKUS. Lihtsaimaks fundamentaalsüsteemiks on nn NORMAALNE LAHENDITE FUNDAMENTAALSÜSTEEM. Selle moodustavad
Üldkuju: x px q 0 2 Lahendivalem: 2 p p x q 2 2 Näide 11 x2 + 8x + 7 = 0 Lahendamiseks kasutatakse lahendivalemit 2 8 8 x 7 4 9 4 3 2 2 x1 = -1 x2 = -7 Lahendite õigsust saab kontrollida Viete’i teoreemiga Viete`i teoreem: Võrrandi x px q 0 korral x1 x 2 p ja x1 x 2 q . 2 b) täielik taandamata ruutvõrrand Üldkuju: ax2 + bx + c = 0 Lahendivalem: b b 2 4ac x 2a Avaldist D b 4ac nimetatakse ruutvõrrandi diskriminandiks. 2 Kui D 0, siis võrrandil on kaks erinevat lahendit.
väärtuslikuks täienduseks. Nõudluspoolseid abinõusid võidakse võtta kasutusele täiendavate regulatsioonide, riigihangete, eranõudluse subsideerimise ja muus vormis. Selliste poliitikate põhiideeks ja sihiks on innovatsioonile juhtiva turu (lead market) või vähemalt sellise turu tekkimise soodustamine. Seepärast peaksid nõudluspõhised innovatsioonipoliitikad võimaldama soodustada eluliselt oluliste ja samas jätkusuutlikke seoste tekkimist innovaatiliste lahendite ja nende potentsiaalsete turgude vahel. Ebapiisava institutsionaalse raamistiku ja väheste poliitikakogemuste puhul võivad seesugused abinõud aga hoopis kaasa aidata uute turutõrgete ja erainitsiatiivi väljatõrjumisefektide tekkele. Sellisel juhul ei tarvitse nad suuta tagada innovatsioonide või tootlikkuse taseme jätkusuutlikku kasvu. Halvimal juhul võib tulemuseks olla üksnes konjunktuurse ajutise huvi tekitamine teatud innovaatiliste tegevuste vastu, mis
Selle tulemusena saame võrrandisüsteemi , millest peale sulgude avamist ja sarnaste liikmete koondamist saame võrrandisüsteemi Selle võib nüüd lahendada liitmisvõttega, korrutades eelnevalt esimese võrrandi pooled 23-ga ja teise võrrandi vastavad pooled 2-ga. Selliselt lahendades saame vastuseks x = 7 ja y = 5. Märkus: ehkki siintoodud näidete puhul pole tehtud lahendite kontrolli, ei tähenda see seda, et vastust poleks vaja kontrollida. Eksamitöös tuleb kontroll kindlasti teha.
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
