Ringi pindala ja ringi ümbermõõt, pii Ringi pindala ja ümbermõõdu arvutamiseks tuleb esmalt kindlasti teada piid, mille ligikaudne väärtus on 3,14159265358979323846264338327950288419716939937510... Pii kestab lõpmatuseni... Meil on vaja teada vaid arvu 3,14 ehk ligikaudset väärtust ja pii märki Valem pii arvutamiseks on lihtne, tuleb võtta teda kui lõputute nurkadega hulknurka, valem on: ((tan(360/n))*n)/2, ehk sõnaliselt 360 korda nurkade arv tangensis jagatud nurkade arvuga jagatud kahega, mida suurem võtta n seda täpsema pii saame. Ringi ümbermõõdu valem on P=(r*2) ehk P=*d, kus r on raadius (pool ringi läbimõõdust ehk diameetrist(d). Tihti on olümpiaadidel ja ka kooliülesannetes öeldud et arvuta täpne ümbermõõt, sellisel juhul tuleb kindlasti sisse jätta pii, näiteks juhul kui r=3cm, siis on täpne vastus (6)cm. Ringi pindala valem on S=r2, kus r on raadius. Tihti on olümpiaadidel ja ka kooliülesannetes öeldud et arvuta tä...
2 = (m/n)2 2n2 = m2 m2 osutus paarisarvuks, järelikult on paarisarv ka m: m = 2k m2 = (2k)2 2n2 = (2k)2 2n2 = 4k2 n2 = 2k2 Ka n osutus paarisarvuks, seetõttu m ja n ei saa olla ühistegurita täisarvud ning 2 ei saa olla ratsionaalarv. 6 Irratsionaalarvud Mitteperioodilisi lõpmatuid kümnendmurde nimetatakse irratsionaalarvudeks. Näiteks: 2 = 1,41421..., = 3,14159265..., e = 2,71828... Iga irratsionaalarv on kuitahes täpselt lähendatav ratsionaalarvudega 1,4 < 2 < 1,5 täpsus 1/10 1,41 < 2 < 1,42 täpsus 1/100 1,414 < 2 < 1,415 täpsus 1/1000 7 Reaalarvud Ratsionaalarve ja irratsionaalarve nimetatakse ühiselt reaalarvudeks. Iga lõpmatut kümnendmurdu, mis ei lõpe numbriga 9 perioodis, nimetatakse reaalarvuks. Näiteks: 3 - 2; / 3; 2,7128...; 4 / 3;
a Ratsionaalarvuks nimetatakse arvu, mis avaldub jagatisena , kus aZ, bZ ja b0. b 0 7 0 =0 ; =- ; = iga arv. 7 0 0 Ratsionaalarvude hulk on kinnine liitmise, lahutamise korrutamise ja jagamise (v.a. 0) suhtes. Ratsionaalarvude hulk on tihe, st iga kahe ratsionaalarvu vahel on ratsionaalarv. Et iga ratsionaalarv avaldub lõpmatu perioodilise ja irratsionaalarv lõpmatu mitteperioodilise kümnendmurruna, siis võime öelda, et iga reaalarv avaldub lõpmatu kümnendmurruna. 1 · Arvu a vastandarv on a ja pöördarv . Arvul 0 ei ole pöördarvu. a · Segaarv naturaalarvu ja lihtmurru summa · Kümnendmurd- murd, mis on kirjutatud koma abil, kus esimene number pärast koma tähendab kümnendikke, teine sajandikke, jne.
lõpliku lihvi Rooma Püha Peetri kirik. Tema kujundas kirikuesise väljaku, muutis tunduvalt renessanssmeistrite kavandatud hoonet ja teostas sisekujunduse. (Püha Peetri kirik) Kuldne ristlõige Kuldlõige tähendab lõigu sellist jaotamist kaheks osaks, et suurem osa oleks kogu lõigu ja selle väiksema osa keskmine võrdeline. Seda suhet saab väljendada matemaatilise konstandiga (fii), mis on irratsionaalarv järgmise ligikaudse väärtusega: Refereaat Muusikaajalugu 10.H Kati Karus 17.12.2008
MÕISTED: Naturaalarv arve 0,1,2,.... nimetatakse naturaalarvudeks. Naturaalarvude hulga tähis on . Täisarv - arve ... -2; -1; 0; 1; 2... nimetatakse täisarvudeks. Täisarvude hulga tähis on Ratsionaalarv- on murdavaldis, mille lugeja ja nimetaja on täisarvud, kusjuures nimetaja ei ole 0. Ratsionaalarvude hulga tähis on . Irratsionaalarv on mitteperioodilised lõpmatud kümnendumurrud. Irratsionaalarvude hulga tähis on . Reaalarv lõpmatu kümnendmurd, mis ei lõpe 9-ga perioodis. Ratsionaalarvude hulga tähis on Ratsionaalarvude hulgas kehtivad järgmised tehete põhiomadused: Kommutatiivsus: a + b = b + a ab=ba Assotsiatiivsus: (a + b) + c = a + (b + c) a(bc)=(ab)c Korrutamise distributiivsus: a(b + c)= ab + ac
ARVUHULKADE NÄIDISKONTROLLTÖÖ 1. Missugused järgmistest lausetest on tõesed ja missugused väärad? 1) Iga naturaalarv on täisarv. 2) Iga ratsionaalarv on täisarv. 3) Iga naturaalarv on esitatav hariliku murruna. 4) Leidub lihtmurd, mis on naturaalarv. 5) Ükski ratsionaalarv pole täisarv. 6) Kõik irratsionaalarvud on reaalarvud. 7) Ükski irratsionaalarv pole täisarv. 8) Mõni ratsionaalarv on täisarv. 9) Leidub naturaalarve, mis pole ratsionaalarvud. 10) Kõik täisarvud on naturaalarvud. 2. Kujuta ühel ja samal arvteljel hulgad A = [-3; 2] ja B = [-1; 4]. Leia hulgad AB ja AB. 3. Kujuta piirkonnad arvteljel ning kirjuta juurde nimetused. 1) 1 x 4 5) x < 3 2) 3 < x 2 6) x -2 3) x < 5 7) x 1 4) x > 0 8) -1 < x < 3 4
lihtmurd. On ka veel kümnendmurd. Kümnendmurd on murd, mis on kirjutatud koma abil, kus esimene koht pärast koma tähendab kümnendikke, teine sajandikke jne. Iga ratsionaalarvu saab esitada kümnendmurruna, kui jagada lugeja nimetajaga. Siin esineb kaks erinevat olukorda. Ühel juhul tekib lõplik kümnendmurd, teisel juhul hakkab jagamisel mingi jääk korduma ja tekib lõpmatu perioodiline kümnendmurd. 2. Irratsionaal- ja reaalarvud Irratsionaalarv on arv, mis avaldub lõpmatu mitteperioodilise kümnendmurruna. Igal irratsionaalarvul on vastandarv. Teineteise vastandarvud paiknevad arvteljel nullpunkti suhtes sümmeetriliselt. Irratsionaalarvude hulka tähistatakse tähega I. Reaalarvude hulk R koosneb kõikidest irratsionaal- ja ratsionaalarvudest. Iga reaalarv avaldub lõpmatu kümnendmurruna. 3. Põhitehted reaalarvudega ja nende omadused Põhiteheteks naturaalarvude hulgas on liitmine, lahutaminr, korrutamine ja jagamine
Kuldlõige on maalikunstis ning arhitektuuris juba läbi aegade väga levinud kompositsioonivõte. Matemaatiliselt tähendab kuldlõige lõigu jaotamist kaheks osaks nii, et suurem osa oleks kogu lõigu ja selle väiksema osa keskmine võrdeline (a + b): a = a : b See põhineb lõigu kaheks osaks jaotamise põhimõttel: terviku suhe pikemasse osasse on sama kui pikema osa suhe lühemasse osasse. Saadud suhtarvu tähistatakse matemaatikas fii ja arvuliselt on see irratsionaalarv väärtusega 1,618033988... ehk ümardatult 1,62.Kui proovida arvutada lõigu pikkusega 10 cm, siis jaotades selle lõigu kuldlõike alusel kaheks, saame pikema osa pikkuseks 10 cm / 1,62 = ligikaudu 6,17 cm ning lühema osa pikkuseks pikem osa, st 6,17 cm / 1,62 = ligikaudu 3,81 cm. Kontrollime tulemust, liites lõikude arvutatud pikkused: 6,17 + 3,81 = 9,98, seega ümardatult 1.62 Kuldlõiget võib leida nii fotograafias kui ka meis ja meie ümber igapäeva elus. ARHITEKTUURIS KUNSTIS
PII AJALUGU Pii (tähena π) on kreeka tähestiku 16. täht Pii väärtus kreeka numbrina on 80. Pii (π) on tasandil paikneva ringjoone pikkuse ja diameetri suhe. Kirjalikul arvutamisel võetakse π≈3,14 Pii (π) on irratsionaalarv-lõpmatu mitteperioodiline kümnendmurd. Teda ei saa väljendada kahe täisarvu suhtena. Aastail 1900 eKr kasutati Babüloonias seda arvuna 25/8 ja Egiptuses arvuna 256/81 . Archimedes, Kreeka matemaatik (287-312 eKr) arvutas pii väärtuseks 3,1419 ja arvas, et see ongi π tegelik väärtus.Arvu π nimetatakse ka Archimedese konstandiks. Ludolph van Ceulen (1540-1610) arvutas π 35 esimest numbrit (mis said nimeks Ludolphi numbrid). Need numbrid graveeriti tema hauakivile, mis 19
n pikkus on lõplik arv, peab ka n n olema lõplik arv. See peab olema kõigi ringjoonte puhul ühesugune, sest piirväärtuse sümboli all ei esine ringjoone raadiust r. Selleks, et veenduda, kas on 180 irratsionaalarv 3,14, koostame lim n sin ja täidame tabeli: n n n 3 60 ≈0,866 ≈2,598 12 15 ≈0,2588 ≈3,106 24 7,5 ≈0,1305 ≈3,133 72 2,5 ≈0,0436 ≈3,1406 192 0,9375 ≈0,0164 ≈3,1415 0,4687 384 ≈0,0082 ≈3,1416 5
Näiteks uute elektron- arvutite kontrollimisel võib arvutada vastava programmi abil arvu teatav hulk kümnendkohti. Ka paljude statistikaülesannete lahendamisel tuleb kasutada mõnda juhuslike arvude jada, niisuguse jada aga moodustavadki arvu kümnendkohad. Näiteks ka noorte arvutajate ettevalmistusel on arvu leidmiseks koostatud programmid kasulikeks õppevahenditeks jne. Teatavasti tõestas saksa matemaatik J. H. Lambert 1767. aastal, et on irratsionaalarv, kuid tema tõestus ei olnud päris korrektne. Prantsuse matemaatik A. M. Legendre tõestas 1794. aastal lõplikult arvu irratsionaalsuse ja ühtlasi ka arvu ruudus irratsionaalsuse. Ent ikkagi jätkusid otsingud ringjoone sirgestumise probleemi lahendamiseks. Nimelt polnud teada, kas irratsionaalarvude hulk piirdub algebraliste arvudega, s.t. arvudega, mis on ratsionaalarvuliste kordajatega algebraliste võrrandite lahenditeks, või on olemas veel teisi, mittealgebralisi irratsionaalarve
.. _ 10x= 12,4343... 990x= 1231 X= 1231 = 1 241 990 990 IRRATSIONAAL- JA REAALARVUD Arvu, mis avaldub lõpmatu mitteperioodilise kümnendmurruna, nimetatakse irratsionaalarvuks. näiteks 2=1,4142135623373... ei ole ratsionaalarv, sest ta pole lõpmatu perioodiline kümnendmurd. See arv on lõpmatu mitteperioodiline kümnendmurd. Järelikult on irratsionaalarv. Irratsionaalarvud on veel 32; 53; -7; jt. Igal irratsionaalarvul on vastandarv. Teineteise vastandarvud paiknevad arvteljel nullpunkti suhtes sümmeetriliselt. Irratsionaalarvude hulka tähistatakse tähega I. Laiendades ratsionaalarvude hulka irratsionaalarvudega saame reaalarvude hulga R: R = I U Q ja Q R I R Q N Z
Igal irratsionaalarvul on vastandarv. Teineteise vastandarvud paiknevad arvteljel nullpunkti suhtes sümmeetriliselt. Irratsionaalarvude hulka tähistatakse tähega I. Sinna kuuluvad näiteks arvud: ;; -; jt. Laiendades ratsionaalarvude hulka irratsionaalarvudega, saame reaalarvude hulga R. Reaalarvud Laiendades ratsionaalarvude hulka irratsionaalarvudega, saame reaalarvude hulga R. R= I Q ja Q R. Et iga ratsionaalarv avaldub lõpmatu perioodilise ja irratsionaalarv lõpmatu mitteperioodilise kümnendmurruna, siis võime öelda, et iga reaalarv avaldub lõpmatu kümnendmurruna. Reaalarvude hulk R 1. On järjestatud lõpmatu hulk, milles puudub nii vähim kui ka suurim arv; 2. On pidev arvuhulk, s.t. need arvud katavad kogu arvtelje. Igale arvtelje punktile vastab üks kindel reaalarv ja igale reaalarvule vastab mingi kindel punkt arvteljel; 3. On hulk, mis on kinnise liitmise, lahutamise, korrutamise ja nullist erineva arvuga
Juba muistses Egiptuses ja Kreekas arvestati matemaatilisi kuldseid proportsioone(kuldlõiget) seda arvestati nii püramiidide ehitamisel kui ka templite rajamisel. Kreeka skulptorid arvestasid kuldlõiget oma skulptuure luues ning mitmed renessansiaja kunstnikud olid pühendunud matemaatikud.Arvud ongi kunst.Teadus, kunst ja usk voolavad paljude arvates samast allikast. Kuldlõige rahuldab positiivsete reaalarvude hulgas unikaalset samasust. Kuldlõige on irratsionaalarv, kuid mitte transtsendentne arv. Kuldlõike reegel-ehitise massid ja pinnad jaotuvad nii, et terviku suhe suuremasse osasse oleks nagu suurema osa suhe väiksemasse osasse. Kuldlõige on teguriks siis, kui Fibonacci jada asümptootiliselt nagu geomeetriline jada.Kuldlõige pole termin ainult arhitektuuris vaid ka muusikas. Vähemalt alates renessansi ajastust alates on kunstnikud ja arhitektid kuldset lõiget kasutanud oma töödes, eriti kuldset
Sellest suguvõsast on pärit 3 paavsti, kaks Prantsusmaa kuningannat ja muud väga tähtsad isikud. See perekond toetas kunsti, kirjandust ja filosoofiat. 4. Mis on kuldlõige? Kuidas on see seotud kunstiga? Kuldlõige tähendab lõigu sellist jaotamist kaheks osaks nii, et suurem osa suhtuks väiksemasse samuti, kui terve lõik suhtuks suuremasse. Seda suhet saab väljendada matemaatilise konstandiga (fii), mis on irratsionaalarv järgmise ligikaudse väärtusega: 1.61803398875. Renessansi aegadest saati paljude kunsti ja arhitektuuri teoste avandamisel lähtutud kuldlõikest. 5. Kirjelda palazzot! Kolmekorruseline, neli tiiba ja keskel siseõu. Madala katusega ehitus, antiigipärased võtted ja kaunistused. Esimene korrus massiivsem ja lihtsam, teine korrus kergema ilmega, kolmas korrus kõige peenem, kergem ja kaunim. Kadus ära gootipärane teravkaar, selle asemel ümarkaar või nelinurk. 6
Konspekt Gian Lorenzo Bernini(07. 12. 1598- 28. 11. 1680) Eluloo lühikokkuvõte G.L.Bernini oli 17. sajandi silmapaistvam skulptor. - Giovanni Lorenzo Bernini sündis 7. detsembril 1598. aastal Itaalias Napolis. - Tema isa oli maneristlik skulptor Pietro Bernini, kes pärines Firenzest. - 7-aastasel saatis Bernini oma isa tööreisidel Rooma. Roomas pälvis noor, kuid andekas Bernini kunstnik Annibale Carracci ja Paavst Paul V tähelepanu ning Bernini hooldajaks Roomas hakkas Paavsti nõbu kardinal Scipione Borghest. - Oma esimeste tööde valmistamisel sai Bernini inspiratsiooni hellenistlikest skulptuuridest. Bernini edasine areng toimus väga kiiresti ning peagi tõusis ta õpipoisist meister skulptori staatusesse. - 1665. aprillis, olles juba väga tunnustatud skulptor, läks Bernini Pariisi. Väljendamaks Berninile imetlust, kogunes rahvas tänavatele, et suurmeistrit oma silmaga näha. - Ber...
Kõrvuti asuvatel Fibonacci arvudel on kindlad vastastikused suhted. Fibonacci arvude reas on suvaliselt valitud arvule eelnev arv on alati ca 0,618 korda et kui jagada kahte järjestikust fibonacci numbrit, siis saadakse järjest lähenev number kuldlõike suhtega. Kuldne lõige tähendab lõigu sellist jaotamist kaheks osaks, et surem osa oleks lõigu selle väiksema osa keskmine võrdeline . Seda suhet saab väljendada matemaatilise konstandiga fii, mis on irratsionaalarv järgmise ligikaudse väärtusega: 1,618033987 Vähemalt alates renessansi ajastu alates on paljud kunstnikud ja arhitektid kasutanud kuldset lõiget oma töödes, eriti kuldset nelinurka, kus külgede omavaheline suhe on kuldne lõige. Usutakse, et selline kujund on silmale esteetiliselt meeldiv. Lisaks on väga mitmed matemaatikud uurinud kuldset lõiget tema eriliste omaduste pärast. Kuldlõike suhtearvu ligikaudne väärtus on
3 (8) 2 3 64 4 (8) 3 Irratsionaalarvuline astendaja. Irratsionaalarvulise astendajaga aste defineeritakse seosega a s lim a rn , n kus (rn) on suvaline ratsionaalarvude jada, mille piirväärtuseks on irratsionaalarv s (näiteks, (rn) on arvu s puuduga lähismurdude jada). Alus a peab olema irratsionaalse astendaja korral olema mittenegatiivne. Näited 3 2 lim 3rn , kus rn (1,4; 1,41; 1,414; ...) n 10 lim 10 rn , kus rn (3,1; 3,14; 3,141; 3,1415 ...) n Astme omadusi. 1. Kui a > 0, siis ar > 0 igasuguse reaalarvulise astendaja r puhul. 2. ( a ) 2n
Iga väite V korral on tõene kas väide ise V või selle eitus ¬V, kolmandat võimalust ei ole. · Oletame, et V on väär ehk ¬V on tõene · Kui me jõuame niimoodi edasi arutledes vastuoluni mingi varem teadaoleva fakti või tulemusega, siis oli meie oletus, et ¬V on tõene, tegelikult väär. · Järelikult, V peab olema tõene Näide: Kui väide, mida me tahame tõestada on kujul P Q, siis saame eituseks ¬(P Q) P ¬Q. Lause Kui positiivne reaalarv x on irratsionaalarv, siis ka on irratsionaalarv. TÕESTUS · Oletame vastuväiteliselt, et väide ,,Kui reaalarv x on irratsionaalarv, siis ka on irratsionaalarv" ei kehti. · Ehk oletame, et x on irratsionaalarv ja on ratsionaalarv · Kuna on ratsionaalarv, siis leiduvad täisarvud a ja b, b 0, nii, et a 2 a2 · Seega x = ( )2 = ( )
b bn c 39) Kirjuta logaritmi def : a =b Arvu b logaritmiks alusel a nimetatakse arvu c, millega alust a astendades saadakse arv b c=lo g a b 40) a) Naturaallogarimi mõiste selgitus : on logaritm alusel, kus e on irratsionaalarv. b) Kuidas arvutatakse e väärtus ja milline on e ligikaudne väärtus? n 1 e=lim 1+ n→∞ ( ) n ligikaudne väärtus = 2.72 41) Korrutise logaritm loga (b * c) = log a b+ log a c , kui b > 0 ja c > 0 b 42) Jagatise logaritm loga =
projektsiooni ja hüpotenuusi korrutisega : a2=fc ja b2=gc 22. Geomeetriline keskmine ruutjuur kahe positiivse arvu korrutisest. 23. Harmooniline keskmine kahe arvu a ja b kahekordse korrutise jagatis nende arvude summaga . 24. Hektar pindalaühik 1ha = 10 000m2. 25. Hulkliige üksliikmete summa . 26. Hulktahukas e. polüeeder hulkadega piiratud geomeetriline keha. 27. Hüpotenuus täisnurkse kolmnurga kõige pikem külg, mis paikneb täisnurga vastas. 28. Irratsionaalarv reaalarv, mis pole ratsioonaalarv. 29. Jalg vana pikkuseühik, mis võrdub 12 tolliga. 1 jalg = 30,48cm. 30. Kaar kõverjoone kahe punkti vahele jääv osa. 31. Kaatet täisnurkse kolmnurga teravnurga vastas olev külg. 32. Kesknurk nurk, mille tipp asetseb ringi keskpunktis. 33. Kiirteteoreem kui nurga haarasid lõigata paralleelsete sirgetega, siis nurga ühel haaral tekkinud lõigud on võrdelised teise haara vastavate lõikudega. 34
~ kui lim =1 . Lõpmata väikest suurust nimetatakse kõrgemat järku lõpmata väikeseks suuruseks võrreldes -ga, kui lim = 0 . Kui 0 , siis öeldakse ka, et lugeja läheneb 0-le kiiremini kui nimetaja. Pöördväärtus on lõpmata suur. Arv e e (Euleri arv) on naturaallogaritmi alus. e avaldub e = 2,718281828... e on irratsionaalarv (väärtust ei saa täpselt esitada). Piirväärtus Lõpmatu rea summa: kus n! on arvu n faktoriaal. Piirväärtuse arvutamine- arvu A nimetatakse jada an piirväärtuseks, kui mingist jada elemendist alates kõik jada elemendid on arvule A lõpmata lähedal. Piirväärtuse arvutamiseks kaotame avaldisest ära selle osa, mis muudaks selle avaldise lahendamatuks ning seejärel asendame arvuga ja saame vastuse.
mis tähistab ümbermõõtu. Laiemalt kasutusele võeti see sümbol pärast seda, kui Euler oli seda oma teostes (esimest korda 1736 teoses Mechanica sive motus scientia analytice exposita), kasutanud. Samal aastal täiendas teine matemaatik John Machin Leibnizi (Gregory) valemit arvu arvutamiseks: = 4 arctan arctan . Sama põhimõtet (arkustangenseid) kasutatakse ka tänapäeval elektronarvutite abil arvu arvutamiseks. 1767. aastal tõestas saksa matemaatik J. H. Lambert, et on irratsionaalarv, kuid tema tõestus ei olnud päris korrektne. Arvu irratsionaalsuse tõestas 1794. aastal lõplikult prantsuse matemaatik A. M. Legendre, ühtlasi tõestas ta ka arvu 2 irratsionaalsuse. See ei lõpetanud aga sugugi otsinguid ringjoone sirgestamise probleemi lahendamiseks. Nimelt ei olnud teada, kas irratsionaalarvude hulk piirdub algebraliste arvudega, s.t. arvudega, mis on ratsionaalarvuliste kordajatega algebraliste võrrandite lahenditeks, või on olemas veel teisi,
...-2; -1; 0; 1; 2; ......} · Jaguneb naturaalarvudeks ja negatiivseteks arvudeks a 7. b Murdarvud- Kui täisarv a jagub täisarvuga b, siis on jagatis täisarv, kui aga ei jagu, siis nimetame saadud arvu murdarvuks ja tähistame sümboliga (reaalarvu, mis ei ole täisarv.) 8. Ratsionaalarvude hulk- Täisarvud koos murdarvudega moodustavad ratsionaalarvude hulga 9. Irratsionaalarv- Lõpmatud mitteperioodilised kümnendmurrud 10. Reaalarvude hulk- Irratsionaalarvud koos ratsionaalarvudega moodustavad reaalarvude hulga. 11. Kompleksarv- Arve kujul a+ib, kus a ja b on reaalarvud ja i on imaginaarühik, nimetatakse kompleksarvudeks. Kõikide kompleksarvude hulka tähistatakse sümboliga C 12. Kompleksarvu moodul- · Kompleksarvule vastava punkti kaugust komplekstasandi nullpunktis
veeerandi nurgapoolitaja suhtes.(y=x2 y= -+ x ) Piirväärtus Lõpmata väike suurus, selle omadused. Muutuvat suurust, mille piirväärtus on null, nimetakse lõpmata väikseks. Omadused: Lõpliku arvu lõpmata väikeste suuruste summa on lõpmata väike suurus Tõkestatud muutuva suuruse ja lõpmata väikese suuruse korrutis on lõpmata väike suurus Lõpliku arvu lõpmata väikeste suuruste korrutis on lõpmata väike suurus. Arv e Arv e=2,71828... on irratsionaalarv, selle väärtust ei saa täpselt esitada. Logaritm alusel e, st logaritmi logex nim naturaallogaritmiks ja tähistatakse lnx. Piirväärtuse arvutamine Teoreemid, mis hõlbustavad piirväärtuse leidmist · Lõpliku arvu muutujate summa piirväärtus võrdub nende piirväärtuste lim y=a, lim z=b summaga: lim(y+z)=a+b · korrutise piirväärtus võrdub piirväärtuste korrutisega (konstantse kordaja võib piirväärtuse märgi ette võtta)
· Iga kahe täisarvu vahe on alati täisarv
· Kui arv a ei jagu arv b-ga, siis on tegemist murdarvuga. Kõik täisarvud ja positiivsed ning negatiivsed murdarvud
moodustavad kokku ratsionaalarvude hulga Q. Ratsionaalarv on arv, mis avaldub jagatisena a/b, kus a Z, b Z
ja b 0.
· Iga ratsionaalarv avaldub lõpmatu perioodilise kümnendmurruna.
1.2 Irratsionaal- ja reaalarvud
· Arv, mis avaldub lõpmatu mitteperioodilise kümnendmurruna, on irratsionaalarv.
· Arvutamisel piirdutakse ligikaudsete väärtustega e lähenditega, nt pii=3,14
· Kuna iga ratsionaalarv avaldub lõpmatu perioodilise ja irratsionaal lõpmatu mitteperioodilise kümnendmurruna,
siis iga reaalarv avaldub lõpmatu kümnendmurruna.
1.3 Arvuhulkade omadusi
· Arvuhulka nimetatakse järjestatuks, kui iga tema kahe arvu a ja b korral kehtib üks kolmest võimalusest, kas a>b,
a=b või a
/(k!(n- k)!)= (n(n-1)...(n-k+1))/k! , C(ülal 0, all n)=1]= 1+n/1!·1/n+ ... +(n(n-1) ... (n-k+1))/k!·1/n astm k+ ... + (n(n-1) ...1)/n!·1/n astm n= 1+1/1!+ (1-1/n)/2!+ ...+ ((1-1/n) ... (1-(k-1)/n))/k!+ ... +((1- 1/n)...(1-(n-1)/n))/n!<= 1+1/1!+1/2!+... + 1/k!+ ... 1/n!<=[1/k!<=1/2 astm (k-1) (kN)]<=1+1+1/2+...+ ½ astm (k-1)+...+1/2 astm (n-1)<=3. Seega on jada {xn} ülalt tõkestatud. Arv e=2,718 ... on irratsionaalarv. Logaritmi alusel e, st logaritmi log e(väike)x nim. Naturaallogaritmiks ja tähistatakse ln x. Eksponentfunktsiooni e astmes x jaoks kasutatakse ka tähistust exp(x). 11. Funkts. pidevus. Katkevuspunktid: F. on pidev punktis x0, kui delx= x-x00 f(x)- f(x0)= dely0. Ehk lim xx0 (f(x)- f(x0))=0. Funktsioon y=f(x) on pidev punktis x0, kui lim xx0 f(x)= f(x0). F. on pidev mingis vahemikus, kui ta on pidev selle vahemiku igas punktis. Näide. y=1/x See f. on pidev, kui x0
2 2 6, sest 6 =36, 7 =49, 40 on lähemal NB moodustavad reaalarvude hulga arvule 36 osahulga 5.Reaalarvud - ratsionaalarvud ja loe reaalarvude kohta irratsionaalarvud kokku; tähis R; Ül.1285 osahulgad: naturaalarvude hulk N, N R; tõene täisarvude hulk Z, ratsionaalarvude hulk Q, R; väär, sest on irratsionaalarv irratsionaalarvude hulk I; Q I=R Q R; tõene, sest kõik ratsionaalarvud kuuluvad ka reaalarvude hulka NB iga reaalarvu saab esitada lõpmatu kümnendmurruna 6.Ruutjuure leidmine taskuarvutil - Ül.1290 sisestada ruutjuure alune arv arvutisse, Leida arvutil ruutjuur, ümardada vajutada klahvile "ruutjuur"; vajadusel sajandikeni. ümardada; arv on väiksem kui 1: ruutjuur =9
2) Vaatleme piirväärtust 1 x limx (1 + ) . x On tõestatud, et see piirväärtus eksisteerib, tähistame ta sümboliga "e". Seega 1 x limx (1 + ) = e. x (teine tähtis piirväärtus). Arv e on irratsionaalarv, e = 2,71828... Kehtivad ka valemid: 1 x lim x - (1 + ) =e x ning lim x 0 (1 + x)1/x = e. 5. Ekvivalentsed lõpmata väikesed funktsioonid Definitsioon 4. Funktsiooni = (x) nimetame lõpmata väikeseks (hääbuvaks) piirprotsessis x a, kui lim xa (x)= 0.
0 7 0 =0 ; =- ; = iga arv. 7 0 0 Ratsionaalarvude hulk on kinnine liitmise, lahutamise korrutamise ja jagamise (v.a. 0) suhtes. Ratsionaalarvude hulk on tihe, st iga kahe ratsionaalarvu vahel on ratsionaalarv. 1 * Arvu a vastandarv on a ja pöördarv . Arvul 0 ei ole pöördarvu. a Iga ratsionaalarvu saab avaldada lõpmatu perioodilise kümnendmurruna. Irratsionaalarvud Irratsionaalarv on arv, mis avaldub lõpmatu mitteperioodilise kümnendmurruna. 2 = 1,414213562... ; = 3,141592654... Reaalarvud R Reaalarvude hulk on ratsionaalarvude hulga ja irratsionaalarvude hulga ühend. Reaalarvude hulk on lõpmatu hulk, milles pole vähimat ega suurimat arvu. Reaalarvude hulk on kinnine liitmise, lahutamise, korrutamise ja jagamise (v.a. 0) suhtes. Reaalarvude hulk on pidev (arvud katavad kogu arvtelje). Reaalarvude hulk ja arvtelje punktide hulk on üks-ühes vastavuses
naturaalarv n. Teisisõnu, Iga a € R leidub n € N : n > a 7) Iga kahe reaalarvu vahel leidub nii ratsionaal-kui ka irratsionaalarve (ratsionaal- ja irratsionaalarvude hulga tihedus) – Kõigi ratsionaalarvude hulk Q on tihe hulgas R järgmises mõttes: kui a, b € R ja a < b, siis leidub selline ratsionaalarv r, et a < r < b. Irratsionaalarvude hulk RQ on tihe hulgas R: kui a,b € R ja a < b, siis leidub selline irratsionaalarv p, et a < p < b 2. Tõkestatud alamhulgad. Hulga ülemine ja alumina raja (*) Tõkestatud alamhulgad hulgas R. Öeldakse, et alamhulk X ⊂ R on ülalt tõkestatud, kui leidub selline M ∈ R, et võrratus x ≤ M kehtib iga x ∈ X korral. Arvu M nimetatakse sel juhul hulga X ülemiseks tõkkeks. Analoogiliselt nimetatakse hulka X ⊂ R alt tõkestatuks, kui leidub m ∈ R, et iga x ∈ X korral kehtib võrratus x ≥ m. Arvu m nimetatakse siis hulga X alumiseks tõkkeks.
annab paaritu arvu. Järelikult ka on paarisarv ja võime kirjutada kujul . Seega võime kirjutada kui . Asendades selle esialgsesse valemisse saame . Jagades kahega läbi, jääb alles . Nüüd on aga vasem pool paaris ning seega peab ka jaguma kahega. See on aga vastuolus meie eeldusega, et oli taandatud murd. Seega ei saa kuidagi olla rat- sionaalarv, sest muidu jõuame loogilise vastuoluni. Seega on ta hoopis niinimeta- tud irratsionaalarv! Irratsionaalarvud Oh seda häda, kui Antiik-Kreekas sellele riukale jälile saadi. Nende jaoks olid pro- portsioonid ehk täisarvude suhted looduse üheks aluseks ning nii ei tahtnud nad sugugi leppida sellega, et leidub geomeetrilisi objekte, mille pikkust ei õnnestugi 87 proportsioonide ehk täisarvude suhete abil kirjeldada. Räägitakse, et mõni mate-
on paaritu arv c) Y = (0, ) a lugeja on paarisarv a<0 X = (- ,0 ) (0, ) d) Y = (- ,0 ) (0, ) a lugeja on paaritu arv e) a nimetaja a>0 X = Y = [0, ) on paarisarv või f) a on irratsionaalarv a<0 X = Y = (0, ) a) c) e) b) d) f) 4 Kordamine matemaatilise analüüsi I eksamiks matemaatika-informaatika teaduskonnas 04/05 õ.a 3. Trigonomeetrilised funktsioonid
Monotoonselt kasvav u ¨lalt t~okestatud jada {xn } on Lause 1.3.9 p~ohjal koonduv, st lim xn . Kasutatakse t¨ahistust n+ n 1 lim 1+ = e. n+ n Arv e = 2.7182818246 . . . on irratsionaalarv. Logaritmi alusel e, st logaritmi loge x nimetatakse naturaallogaritmiks ja t¨ahistatakse ln x. Eksponentfunktsiooni ex jaoks kasutatakse ka t¨ ahistust exp(x). 1.5. Funktsiooni piirv¨ a¨ artus Punktides 1.3 ja 1.4 vaatlesime jada piirv¨a¨artust, kusjuures oli tegemist kahe prot- sessiga: naturaalarvulise argumendi n l¨ahenemisega suurusele + ja jada u ¨ldliikme xn l¨ahenemisega suurusele a
1 n > ε ehk n < ε. Seega inf n1 | n ∈ N = 0. 1 Lihtne on veenduda, et iga kahe reaalarvu vahel leidub veel reaalarve (selgitada!)z. Te- gelikult kehtib järgmine tugevam väide, mis ütleb, et nii ratsionaalarvud kui ka irratsionaal- arvud paiknevad reaalarvude hulgas R tihedalt. Teoreem 1.25 Olgu a ja b niisugused reaalarvud, et a < b. (a) Leidub selline ratsionaalarv r, et a < r < b. (b) Leidub niisugune irratsionaalarv ρ, et a < ρ < b. 1 Tõestus. (a) Kuna a < b, siis b−a > 0, Archimedese printsiibi kohaselt leidub selline 1 n ∈ N, et n > b−a ehk 1 < b − a. (1.18) n Järelduse 1
a¨aratud. Kui a < 0, siis j¨ a¨ab m¨aa ¨ramispiirkonnast v¨ alja oimalik. Seega: kui a > 0, siis X = R ja kui nullpunkt, sest nulliga jagamine ei ole v~ a < 0, siis X = R {0}. b) a = p/q, kus p, q Z ja q on paaris v~ oi a on irratsionaalarv. Selle juhu alla kuuluvad n¨ oik paaris juured: y = x1/2 , y = x1/4 , y = x-1/2 , y = x-1/4 jne. Kui aiteks k~ a > 0, siis on taolised funktsioonid x 0 korral m¨ a¨ aratud. Kui a < 0, siis j¨ a¨ ab m¨aa ¨ramispiirkonnast v¨ alja lisaks ka punkt x = 0. Seega: kui a > 0, siis X = [0, ) ja
a¨aratud. Kui a < 0, siis j¨ a¨ab m¨a¨ aramispiirkonnast v¨ alja nullpunkt, sest nulliga jagamine ei ole v~ oimalik. Seega: kui a > 0, siis X = R ja kui a < 0, siis X = R {0}. b) a = p/q, kus p, q Z ja q on paaris v~ oi a on irratsionaalarv. Selle juhu alla kuuluvad n¨ oik paaris juured: y = x1/2 , y = x1/4 , y = x-1/2 , y = x-1/4 jne. Kui aiteks k~ a > 0, siis on taolised funktsioonid x 0 korral m¨ a¨ aratud. Kui a < 0, siis j¨ aa ¨b m¨a¨ aramispiirkonnast v¨ alja lisaks ka punkt x = 0. Seega: kui a > 0, siis X = [0, ) ja
annaabi.ee 
