Kui determinandis on kaks rida maatriks A_1,mille jaoks A_A_1 _ niisuguse rööpküliku pindalaga omavahel võrdsed, siis determinant A_1 _A _ I. mis on ehitatud vektoritele alfa ja võrdub nulliga. Lineaarse võrrandisüsteemi beeta kui külgedele ja mis on risti Seega on eelmise omaduse tõttu maatrikskuju, Kronecker-Capelli nende vektoritea ning suunatud nii, determinant võrdne nulliga ka siis, kui teoreem. Näide. et lühem pööre vektorist alfa determinandi Kaks rida on võrdelised. Üldise korrastatud (tunmatud on vektorini beeta ümber vektori y 5. omadus. Kui determinandis mingi rea iga võrdusmärgist vasakul teineteise toimub vastupäeva kui vaadata
Maatriks A, millele on lisatud vabaliikmete veerg, nim süsteemi laiendatud maatriksiks. Iga tundmatute komplekti X, mis muudab samasuseks kõik võrrandid lineaarses võrrandisüsteemis nim lineaarseks võrrandisüsteemi lahendiks. Süsteemi lahend ei tarvitse olla üheselt määratud, ta võib sõltuda teatud arvust parameetritest. Selliseid nim süsteemi üldlahenditeks. Lahendid, mis saadakse parameetrie fikseerimise teel nim süsteemi erilahenditeks. 4. Kronecker-Capelli teoreem Lineaarne võrrandisüsteem on lahenduv parajasti siis kui süsteemi maatriksi astak võrdub laiendatud maatriksi astakuga. Rank A=rank A/B; r=r' 5. Sirge tasandis, sirge ja tasand ruumis Joone võrrand Vaatleme matemaatilist avaldist, mis sisadab 2 tundmatut F(x;y)=0, saame võrduse. Seda võrdust nim samasuseks kui ta on rahuldatud tundmatude x ja y kõigi väärtuste puhul. Seda võrdust nim võrrandiks kui teda rahuldavad tundmatute teatud väärtused.
Maatriksi teisendamiseks kasutatakse samasväärsus teisendusi, s.t. teisendi M samaväärsed e. bivalentsed () · i=k - ruutmaatriks · ik ristkülkmaatriks A(aik); B(bik) i = 1, 2, 3... n; k = 1, 2, 3... n · M on võrdsed, kui aik = bik · A + B = C, aik + bik = cik · M võib korrutada arvuga, s.t. me peame korrutada kõiki M-i elemeente · M võib korrutada 3. Pöördmaatriks. M-ksi astak. Kronecker-Cappeli teoreem. Gaussi meetod. Kui m-s leidub vähemalt üks nullist erinev r-järku miinor, kuid mitte ühtki nulllist erinevat kõrgemat järku miinorit, siis öeldakse, et M-i astak on r. A-1 = (1/ |A|) A, kus |A| on M-i A determinant, nimetatakse M-i A pöördmaatriksiks. M-il A on olemas pöördmaatriks A-1 parajasti siis, kui ta on regulaarne, s.t. kui |A| 0. Kronecker-Cappeli teoreem:
A*C=C*B A=C*B*C^-1. Võrdsussarnasuse erijuht. Kõik kolm maatriksit peavad olema sama järku. A~B. Suurimat naturaalarvu, mille korral maatriksil leidub nullist erinev k-ndat järku miinor, nimetatakse selle maatriksi astakuks ja märgitakse üles järgmiselt: rang(A). Vastavalt sellele definitsioonile peab leiduma suurim naturaalarv k, mille korral Mvk pole null. Kui on naturaalarv, mis on k-st suurem, siis on vastavad miinorid nullid. Kronecker-Capelli teoreem: Lineaarvõrrandite süsteem on lahenduv siis ja ainult siis(parajasti siis), kui võrrandite süsteemimaatriksi ja võrrandite süsteemi laiendatud maatriksi astakud on võrdsed. Kui teatava ruutmaatriksi korral leidub maatriks nx1, ei tohi olla nullmaatriks ja leidub reaalarv lambda nii, et on täidetud tingimus A*X=lambda*X, siis arvu lambda nimetatakse maatriksi A omaväärtuseks ja maatriksit X maatriksi A omavektoriks. Arvpolünoom ja selle nullkoht: avaldis
Maatriksite vektorruum. Maatriksite korrutamine ja selle omadused. Determinandi mõiste ja omadused n-järku determinandi mõiste. Determinantide omadused ja arvutamine. Determinantide arendusteoreem. Pöördmaatriks, maatriksvõrrandid Pöördmaatriksi mõiste ja selle leidmine. Erinevat tüüpi maatriksvõrrandite lahendamine. Lineaarsed võrrandisüsteemid Lineaarse võrrandisüsteemi mõiste. Carmeri valemid.Maatriksi astak. Üldise lineaarse võrrandisüsteemi lahendamine, Kronecker Capelli teoreem. Teist järku pinnad Teist järku pindade kanoonilised võrrandid. Teist järku pindade sirgjoonelised moodustajad.
For example: 1 1 1 1 1 1 𝐻1 = ( ), 𝐻2 = ( 1 −1 1 −1) etc. 1 −1 1 1 1 1 1 −1 1 −1 2𝑛 × 2𝑛 matrices 𝐻𝑖 are also called Sylvester-Hadamard matrices. Hadamard matrix can also be described as a Kronecker product: 𝐻𝑛 = 𝐻1 ⊗ 𝐻𝑛−1 , where the Kronecker product is defined as follows: 𝑎11 𝐵 ⋯ 𝑎1𝑛 𝐵 𝐴⊗B=( ⋮ ⋱ ⋮ ), 𝑎𝑚1 ⋯ 𝑎 𝑚𝑛 𝐵 where 𝐴 is a 𝑚 × 𝑛 matrix. It is important to note, that Kronecker product is not commutative, although it is associative and distributive.
kaugusena teljestiku algpunktidest. || = r a/r = cos b/r = sin = r ( cos + i sin) trigonomeetriline kuju 3. Eksponentsiaalne kuju = r ei 4. Maatrikskuju a -b = b a 5. Vektorkuju = (a ; b) (cos + i sin)n = cosn + i sinn Maatriksi astak Def1 Maatriksi astakuks nimetatakse tema nullist erinevate miinorite kõrgemat järku. Astaku mõistele tugineb üldise l.v.s lahendamise küsimus. Kehtib järgmine Kronecker Capelli teoreem. L.v.s on lahenduv siis ja ainult siis (parajasti siis), kui võrrandite süsteemimaatriks ja võrranditesüsteemi laiendatud maatriksi astakud on võrdsed. Def2 Maatriksi astakuks nimetatakse tema lineaarselt sõltumatute ridade maksimaalset arvu. Def3 Maatriksi astakuks nimetatakse tema lineaarselt sõltumatute veergude maksimaalset arvu. Vektorite lineaarne sõltuvus ja sõltumatus. Olgu meil antud n vektorit E1, E2, E3,..
1 6) ehk lühidalt (B.17 ) 3. Matriksi astak, Kronecker Capelli teoreem. Maatriksi astak on maatriksi lineaarselt sõltumatute ridade või veergude arv. Maatriksi A astakut tähistatakse rank(A) või r(A). Kui meil on n × m maatriks A, siis r(A) min(n,m). Öeldakse, maatriks on täisastakuga, kui ruutmaatriksi astak võrdub tema ridade ja veergude arvuga. Kui ruutmaatriks ei ole täisastakuga, siis tema determinant võrdub nulliga.
Adjungeeritud maatriks ~A. Olgu Aik n2-maatriksi A elemendi aik alamdeterminant. Siis maatriksi A adjungeeritud maatriks ~A saadakse maatriksi alamdeterminantide maatriksi transponeerimisel, s.t. ~A=[Aik]T. NB! ÕPI NÄIDE VIHIKUST!!! Maatriksi A pöördmaatriks A-1 on olemas ainult siis, kui ta on regulaarne, st. |A|=detA 0 e. Nxn maatriksi A pöördmaatriks A-1 on olemas ainult siis, kui tema astak r=n Lineaarse võrrandisüsteemi maatrikskuju, Kronecker-Capelli teoreem. Näide. Üldise korrastatud (tunmatud on võrdusmärgist vasakul teineteise all, vabaliikmed on võrdusmärgi paremal pool) lineaarse võrrandisüsteemi saab kirjutada maatrikskujul AX=B, kus võrrandisüsteemi maatriks A, tundmatute maatriks X ja vabaliikmete maatriks B. Teoreem (Kronecker-Capelli) Lineaarne võrrandisüsteem on lahenduv parajasti siis, kui võrrandisüsteemi maatriksi A ja laiendatud maatriksi AB astakud on võrdsed
kus on ühikmaatriks 6. Lihtsamad maatriksvõrrandid. A*X=B lahendus: X = A-1*B või X*A=B lahendus: : X = B*A-1 7. Võrrandisüsteemi kordajad, vabaliikmed, lahend. Süsteemi maatriks ja laiendatud maatriks. Lahend teostab Gaussi või Crameri meetodi abil, näiteks: 8. Süsteemi lahendamine Crameri valemitega. 9. Maatriksi miinor. Maatriksi astak. Maatriksi ridade ja veergude elementaarteisendused. Maatriksi rea juhtelement. Kronecker-Capelli teoreem Miinor - Mij nimetatakse determinandi , mille saame maatriksi A determinandist i-nda rea ja j-inda veeru eemaldamisel Igale nullmaatriksist erinevale maatriksile pannakse vastavusse sellega üheselt määratud naturaalarv maatriksi astak. Leiame maatriksi astakut maatriksi elementaarteisenduste abil. Maatriksi astak ei muutu, kui maatriksile rakendada järgmisi teisendusi (maatrikselementaarteisendused): 1
A 12 22 n 2 ,2) kasutades a13 a23 an 3 ridade(veergude) elementaar teisendusi A,E ..... E, A -1 12) Lineaarne võrrandisüsteem ja selle lahendamine Crameri valemitega.! 13) Maatriksi astak. Maatriksi rea- ja veeruvektorite lineaarne sõltuvus. 14) Kronecker-Capelli teoreem. 15) Vektorite skalaarkorrutamine ja selle arvutamine. Eukleidiline vekorruum. Skalaarkorrutis on arv =a1 b 1+a 2 b 2 ...+anbn On vektorruum V,defineeritud skalaarkorrutisega.siin skalaarkorrutis on reegel,mis on 2 vektori vastavuse reaalarv,kasutatakse kindlaid tingimusi neid on 5.eukleidiline vektorruum defineerib pikkust ehk ja nurka vektorite vahel. 16) Cauchy-Bunjakovski võrratus. Põhilised meetrilised suurused: vektori
Pöördmaatriksi definitsioon ja elementide leidmise eeskiri. Pöördmaatriksi omadused. 7. Lineaarse võrrandisüsteemi definitsioon. Võrrandisüsteemi kordajad, vabaliikmed, lahend. Vasturääkiv, kooskõlaline, määratu süsteem. Süsteemi maatriks ja laiendatud maatriks. 8. Süsteemi lahendamine Crameri valemitega. Maatriksi minor. Maatriksi astak. Maatriksi ridade ja veergude elementaarteisendused. Maatriksi rea juhtelement, treppmaatriks. Treppmaatriksi astak. Kronecker-Capelli teoreem 9. Gaussi meetodi sisu. 10. Kompleksarvu mõiste, imaginaarühik, kompleksarvu reaalosa ja imaginaarosa, kompleksarvude võrdsus, kaaskompleksarv. Kompleksarvude liitmise, korrutamise ja jagamise valemid. Kompleksarvu moodul, argument ja trigonomeetriline kuju. Kompleksarvu geomeetriline tõlgendus, Kaaskompleksarvude ja kompleksarvude summa geomeetriline tõlgendus. Trigonomeetrilisel kujul antud kompleksarvude
Maatriksi astak Maatriksi astak on nullist erinevate täiendusmiinorite kõrgeim järk. Astakut tähistatakse rank(A) või r(A). Maatriksi rea juhtelement Maatriksi rea juhtelemendiks nimetatakse selle rea (vasakult) esimest nullist erinevat elementi. Treppkujuline maatriks Öeldakse, et maatriks on treppkujuline, kui 1. read, mis koosnevad ainult nullidest, on maatriksi põhjas (all) 2. mistahes rea juhtelement asetseb rangelt paremalt temale eelneva rea juhtelemendist Kronecker-Capelli teoreem LVS on kooskõlaline ehk lahenduv parajasti siis, kui tema maatriksi astak võrdub laiendatud maatriksi astakuga. Teoreem LVS-i lahendite arvust Olgu LVS-i maatriksiks A ja süsteemi laiendatud maatriksiks B ja olgu LVSis tundmatute arvuks n. 1. Kui rank(A) ≠ rank(B), siis LVSil ei ole lahendeid. 2. Kui rank(A) = rank(B) = n, siis on LVSil ühene lahend. 3. Kui rank(A) = rank(B) < n, siis on LVSil lõpmata palju lahendeid.
Maatriksi A astakut tähistatakse rank(A) või r(A). Def. Kui maatriksitel A ja B on ühesugused järgud ja astakud, siis nim neid maatrikseid ekvivalentseteks ja kirjutatakse A~B (omadused: 1)refleksiivuss iga A~A 2)sümmeetria A~B B~A 3)transitiivsus A~B ja B~C A~C). Astaku leidmine: tuleb maatriks elementaarteisenduste abil teisendada tereppmaatriksiks, seejärel kasutada teoreemi treppmaatriksi astakust. Kronecker-Capelli teoreem.Öeldakse, et maatriksi astak on r, kui selle maatriksi rea ja veeru elementidest saab moodustada vähemalt ühe 0-st erineva r-järku miinori ja mitte ühtegi 0-st erinevat r+1 järku miinorit. Pöördmaatriks.Kuna maatriksite korrutamine ei olnud kommutatiivne ja lisaks leidusid nullitegurid, siis ei saa rääkida maatriksite jagamisest, kuid teatud juhtudel leidub maatriksil pöördmaatriks. Def.
ja mitte ühtegi nullist erinevat (r+1)-järku miinorit. 69.maatriksi rea juhtelement - nimetatakse selle rea (vasakult) esimest ≠ 0 elementi. Veergu milles juhtelement asetseb, nim juhtelemendiks. 70.treppkujuline maatriks – Ütleme, et maatriks on treppmaatriks, kui on täidetud järgmised tingimused: read, mis koosnevad nullidest, asetsevad maatriksi põhjas mistahes rea juhtelement asetseb rangelt vasakul temale järgneva rea juhtelemendist 71.Kronecker-Capelli teoreem – LVS on kooskõlaline parajast siis kui tema maatriksi astak on võrdne laiendatud maatriksi astakuga 72.Teoreem LVS-i lahendite arvust – LVS-i üldlahend on selline parameetritest sõltuv lahend, mis rahuldab järgmist tingimust: parameetritele arvuliste väärtuste omistamise teel on võimalik saada ainult antud LVS.i kõiki lahendeid. LVS-i lahendid, mis on saadud üldlahendist parameetritele ( kõigile või osale
Lahendeid, mis saadakse üldlahendist parameetrite fikseerimise teel, nimetatakse SÜSTEEMI ERILAHEN- DITEKS. DEFINITSIOON 4. Kui süsteemil on lahend olemas, siis nimetatakse süsteemi LAHENDUVAKS, vastasel korral aga MITTELAHENDUVAKS ehk vastuoluliseks. 16 DEFINITSIOON 5. Lineaarseid võrrandisüsteeme, millel on samad lahendite hulgad, nimetatakse EKVIVALENTSETEKS. LINEAARSE VÕRRANDISÜSTEEMI LAHENDUVUSTINGIMUS KRONECKER-CAPELLI TEOREEM (1864). Lineaarne võrrandisüsteem on lahenduv parajasti siis, kui süsteemimaatriksi A astak on võrdne laiendatud maatriksi A|B astakuga, st rank A = rank A|B. HOMOGEENNE LINEAARNE VÕRRANDISÜSTEEM DEFINITSIOON 1. Lineaarset võrrandisüsteemi nimetatakse HOMO- GEENSEKS, kui tema vabaliikmete veerg koosneb nullidest, st maatrikskujul AX = 0. TEOREEM 1. Homogeenne võrrandisüsteem on alati lahenduv. JÄRELDUS. Lahendit X = 0, mille puhul x1 = x2 = . .
Lahendeid, mis saadakse üldlahendist parameetrite fikseerimise teel, nimetatakse SÜSTEEMI ERILAHEN- DITEKS. DEFINITSIOON 4. Kui süsteemil on lahend olemas, siis nimetatakse süsteemi LAHENDUVAKS, vastasel korral aga MITTELAHENDUVAKS ehk vastuoluliseks. 16 DEFINITSIOON 5. Lineaarseid võrrandisüsteeme, millel on samad lahendite hulgad, nimetatakse EKVIVALENTSETEKS. LINEAARSE VÕRRANDISÜSTEEMI LAHENDUVUSTINGIMUS KRONECKER-CAPELLI TEOREEM (1864). Lineaarne võrrandisüsteem on lahenduv parajasti siis, kui süsteemimaatriksi A astak on võrdne laiendatud maatriksi A|B astakuga, st rank A = rank A|B. HOMOGEENNE LINEAARNE VÕRRANDISÜSTEEM DEFINITSIOON 1. Lineaarset võrrandisüsteemi nimetatakse HOMO- GEENSEKS, kui tema vabaliikmete veerg koosneb nullidest, st maatrikskujul AX = 0. TEOREEM 1. Homogeenne võrrandisüsteem on alati lahenduv. JÄRELDUS. Lahendit X = 0, mille puhul x1 = x2 = . .
det A = a1i A1i + a2i A2i + · · · + ani Ani Esimene valem on determinandi arendus i-nda rea j¨argi ning tei- ne valem on determinandi arendus i-nda veeru j¨argi. Esimesest arendusvalemist saame i = 1 korral determinandi definitsiooni. Arendusvalemeid v~oib kasutada determinandi arvutamiseks. Otstarbekas on kasutada arendusi eesk¨att nende ridade (veergude) j¨argi, mis sisaldavad nulle. 1 Leopold Kronecker (1823-1891), saksa matemaatik I. Determinandid 5 2.4 N¨ aide (u ¨ lesanne) Arendame kolmandat j¨arku determinandi teise rea ja kolmanda veeru j¨argi a11 a12 a13 a a a a a a a21 a22 a23 = -a21 12 13 + a22 11 13 - a23 11 12 a32 a33 a31 a33 a31 a32 a31 a32 a33 a21 a22 a a a a
annagi väljundit, vaid lihtsalt teevad mõned kerged muudatused. Neist oleks võib- olla segaduse vältimiseks siis lihtsam mõelda kui „protseduuridest“. 73 arvuhulgad 74 arvuhulgad osa 2 arvud 75 arvuhulgad 76 arvuhulgad Jumal lõi naturaalarvud, ülejäänu on inimese kätetöö. Leopold Kronecker 77 arvuhulgad arvuhulgad Naturaalarvud Naturaalarvud on arvud, millega loendame õhtul lambaid: 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... Neid kõiki korraga ehk nende hulka tähistatakse -iga. Naturaalarvud on ilmselt kõige loomulikumad matemaatilised objektid, lihtsad, aga tähtsad
annaabi.ee 
