Maarja Lepind Peremajandamise ABC 1) PEREKOND KASK 4- liikmeline pere (Ema 35 aastane; isa 40aastane; laps 5 aastane; laps 15aastane) Sissetulekud: ema 500 eurot isa 900 eurot lastetoetus 100 eurot KOKKU: 1500 eurot Väljaminekud: eluase 200 eurot toit 400 eurot lasteaed 75 eurot transport 120 eurot huviringid 100 eurot pangalaen 200 eurot majapidamine 50 eurot riided + jalanõud 200 eurot. KOKKU: 1345 eurot Ootamatu sündmus: Bingo Lotoga võit 80 000 eurot. Koostajad: Janyka Vellak, Heli Keiv, Laura-Liisa Raag Kuidas nüüd targalt majandada? Antud juhul tuleb perekond ilusti toime, sest sissetulek on suurem kui väljaminek. Lisaks leian murekohaks, et perel pole...
ÕIGUSE ALUSED ÜLESANDED - 2 TALLINNA ÜLIKOOL HAAPSALU KOLLEDZ SÜGISSEMESTER 2009 1. Leia normi loogiline struktuur? (Kus on H-D-S, märgi alltoodud normis) (2) Kui asja sihtotstarbele vastava kasutamise võimalus on käesoleva seaduse §-s 278 nimetatud puuduse või takistuse tõttu üksnes vähenenud, võib üürnik alandada üüri puudusele vastaval määral puudusest teada saamisest kuni puuduse kõrvaldamiseni kestnud ajavahemiku eest. (3) Üürnik peab üüri maksma ka aja eest, mil ta ei saanud asja kasutada temast oleneval põhjusel, eelkõige oma äraoleku tõttu, kuid ta võib üürist maha arvestada üürileandja poolt kokkuhoitu ja asja teistsuguse kasutamisega saadud kasu väärtuse. (Võlaõigusseadus § 296. Üüri maksmisest keeldumine ja üüri alandamine) · Hüpoteesis kirjeldatakse faktilisi asjaolusid, mille puhul tuleb normist lähtuda. · Dispositsioon näitab, milline peab olema isikute käitumine, kui nad on ...
docstxt/13646421495899.txt
EUROOPA LIIDU ÕIGUS ( RIIGIKOHTU LAHENDID) 3-4-1-5-08 1) Kolleegium märgib kõigepealt, et üldjuhul ei ole kohtute pädevuses EL-i õiguse põhiseadusele vastavuse kontrollimine. Eesti Vabariigi Euroopa Liiduga ühinemise lepingule lisatud ühinemisakti (RT II 2004, 3, 8) artikli 2 alusel muutusid alates Euroopa Liiduga ühinemise kuupäevast Eesti Vabariigi suhtes siduvaks Euroopa Ühenduse asutamisleping ja Euroopa Liidu leping ning nende alusel vastuvõetud aktid. Need aktid moodustavad Euroopa Kohtu hinnangul omaenda õiguskorra, mis on liikmesriikide õigussüsteemide lahutamatu osa ja mida nende kohtud on kohustatud kohaldama (vt Euroopa Kohtu 15. juuli 1964. aasta otsus kohtuasjas 6/64: Costa vs. ENEL, EKL 1964, lk 1253). Liikmesriikide kohtute pädevuse kohta kontrollida EL-i õiguskorda kuuluvate õigusaktide vastavust liikmesriikide põhiseadustele on Euroopa Kohus leidnud, et ühenduse institutsioonide võetud meetmete kehtivuse üle saab ot...
KAASUS (koos lahenduskäiguga) 1. Kirjutada välja tekstis olevad subjektid 2. Kirjutada välja õigussuhte objekt, objekte võib olla mitu, mitmekülgne tehing. 3. Teostada subjektide kontroll- kas olemas või mitte. Kui ei ole olemas, puudub õigussuhe. (õigussuhtel 2 poolt). 4. Välja tuua õigussuhte sisu- õigused ja kohustused objekti suhtes. 5. Kontrollida abstraktsiooni printsiipi- lisaks VÕL, kas vastab omandi üleandmise nõudele. Õigussuhte objekt või ese on see millele on õigussuhe suunatud. Laenulepingu objektiks on näiteks raha. Ost- müügi puhul on objektiks ese ja ka raha. Subjektid : Eraõiguslik juriidiline isik täisühing, usaldusühing, osaühing, aktsiaselts, tulundusühistu- liikmete ühiseks tegevuseks mõeldud ühing, sihtasutus- näit fond, mittetulundusühing. Õpilane lõi sisse Õismäe Gümnaasiumi akna. 1. Subjektid: Õpilane ja Õis...
docstxt/135807804498.txt
Ruutvõrratuse lahendamine Heldena Taperson www.welovemath.ee Ruutvõrratuseks nimetatakse võrratust, mis esitub kujul ax 2 bx c > 0 < , , , kus a 0 Ruutvõrratuse lahendid sõltuvad diskriminandist D b 2 4ac Funktsiooni väärtused on positiivsed - graafik asub x-teljest ülevalpool > x ; x1 ; x2 ; Funktsiooni väärtused on positiivsed - graafik asub x-teljest
TALLINNA TEHNIKAKÕRGKOOL TALLINN COLLEGE OF ENGINEERING Kodused ülesanded Õppeaines: Hüdro- ja pneumoseadmed. Variant 4 Õpperühm: KMI 51/61 Üliõpilane: Margus Erin Kontrollis: Lektor Rein Soots Tallinn 2010 SISUKORD Ülesanne 2 ............................................................................................................................. 3 Ülesanne 3 ............................................................................................................................. 4 Ülesanne 4 ............................................................................................................................. 6 Ülesanne 6 ............................................................................................................................. 8 Ülesanne 8 ...................................................................................................
(3) a3 – b3 = (a - b)( a2 + ab + b2) Näide: 125a 3 8b3 5a 2b 25a 2 10ab 4b 2 (4) a – b = a b = 2 2 a b a b c) Ruutkolmliikme lahutamine teguriteks ax2 + bx + c = a(x - x1) (x - x2), milles x1 ja x2 on ruutvõrrandi ax2 + bx + c = 0 lahendid. 2 Näide: Tegurdame ruutkolmliikme 4x² - 17x + 4. Lahendame ruutvõrrandi 4x² - 17x + 4 = 0, milleks kasutame ruutvõrrandi lahendivalemit b b 2 4ac x1,2 = . 2a 17 17 2 4 4 4 17 225 17 15 x1, 2 24 8 8 x1 4 x 2 0,25
Teretulemast ruutvõrrandi lahendajasse Väärtus a Ära unusta, et a väärtus ei saa olla 0 ! 0 Determinant: Väärtus b 0 0 X1= 0 Väärtus c X2= -0 0 ax2 + bx + c = 0 Valmistas: Mihkel Pedak [email protected]
-56 17 -27 76 first last nr of values -4 -100 100 20 -62 37 Antud nr 50 70 23 57 -68 62 -60 92 -87 -88 59 -24 -7 -76 UML SumOfBiggerThanGivenNum maximum miinimum Positsioon 92 17 1 SumOfBiggerThanGivenNum 168 BiggerThanGivenNum SmallestPosNum
funktsioonide a)- g) graafikud a) b) c) 2 d) e) f) 3 g) 4 2. Kasutades nuppu jätta nähtavaks ainult vajalikud võrrandite graafikud ja kirjutada välja joonte lõikepunktide koordinaadid. a) 2# - % = 1 #( - % = 1 Lahendid: (2;3) ja (0;-1) b) % = # ( + 3# - 1 3 %= # Lahendid (1;3), (-3;-1) ja (-1;-3) c) 3 %= # # ( + % ( = 10
46)Millise parameetri korral on võrrandil positiivne lahend 4 5 = 3 x - a ax - 2 47) Võrrandit lahendamata leia võrrandi x 2 - 5 x + 3 = 0 lahendite ruutude summa. (19 ) 48)Millise k korral on võrrandi x 2 - 4 x - k = 0 üheks lahendiks -3 ? ( k = 21) 49) Millise k väärtuse korral on võrrandi x 2 - kx + 4 = 0 üheks lahendiks 0,5 ? (k = 8,5) 50) Võrrandi lahendid on x1 jax 2 . Võrrandit lahendamata leia ( x1 - x 2 ) .Võrrand on 2 x 2 + px + q = 0 (p 2 - 4q ) 51)Milliste p väärtuste korral on võrrandi x 2 + px +12 = 0 lahendite x1 - x 2 = 1 ( ± 7) 52)milliste parameetri c väärtuste korral on võrrandi 2 x - 11x + c = 0 lahendite
Ruutvõrrandisüsteemid Ruutvõrrandisüsteeme lahendatakse üldjuhul asendusvõttega (aga mitte alati). Näide 1. Lahendame võrrandisüsteemi Avaldame esimesest võrrandist x-i, saame x = 8 - y. Asendame nüüd x teise võrrandisse, saame ruutvõrrandi (8 - y)y = 15, ehk -y2 + 8y = 15, millest y2 - 8y + 15 = 0. Selle ruutvõrrandi lahendid on y1 = 3 ja y2 = 5. Leiame vastavad x väärtused: x1 = 8 - 3 = 5 ja x2 = 8 - 5 = 3. Seega võrrandisüsteemi lahendid on (5; 3) ja (3; 5). Näide 2. Lahendame võrrandisüsteemi Kõigepealt lihtsustame esimest võrrandit, seejärel saame võrrandisüsteemi . Avaldame teisest võrrandist y, siis saame y = 6 + x. Asendame nüüd y esimesse võrrandisse, siis saame x suhtes võrrandi 72 = x(6 + x), millest x2 + 6x - 72 = 0. Selle võrrandi lahendid on x1 = 6 ja x2 = -12. Seega võrrandisüsteemi lahenditeks saame (6; 12) ja (-12; -6).
Kui lahendame ruutvõrrandi ax2 + bx + c = 0, siis on kolm erinevat võimalust: A) Diskriminant D = b2 4ac > 0. Parabool lõikab sel juhul x telge kahes erinevas punktis. ax2 + bx + c > 0 L = ( ;x1) (x2; ) ax2 + bx + c >0 L = (x1; x2) 1 B) Kui diskriminant D = 0, siis on ruutvõrrandil kaks võrdset reaalarvulist lahendid ning parabool puudutab x telge punktis x1= x2. ax2 + bx + c > 0 L = ( ; x12) (x12; ) ax2 + bx + c >0 Lahendid puuduvad: L = Ø. C) Kui diskriminant D < 0, siis ruutvõrrandil puuduvad reaalarvulised lahendid. Parabool ei lõika ega puuduta x telge. 2 ax2 + bx + c > 0
Kõigepealt leiame vasakul pool ühise nimetaja ja seejärel lihtsustame avaldist: 4 1 4 1 4( x - 2) + 1 4x - 7 + = + = = . x + 2 x 2 - 4 x + 2 ( x + 2)( x - 2) ( x + 2)( x - 2) ( x + 2)( x - 2) Seega tuleb lahendada võrrand 4x - 7 = 1, ( x + 2)( x - 2) millest võrde põhiomaduse järgi saame, et (x+2)(x2)=4x7 ehk x2 4 = 4x 7, x2 4x + 3 = 0. Selle võrrandi lahendid on 1 ja 3. Murdvõrrandi puhul tuleb teha lahendite kontroll ! Kontrollimine näitab, et mõlemad lahendid sobivad. 4 4 - = 2. Näide 3. Lahendame võrrandi x x-2 Sellise kujuga võrrandeid tuleb sageli ette tekstülesannete lahendamisel. Ka siin leiame ühise Nimetaja ja lihtsustame avaldist: 4 4 4( x - 2) - 4 4 x - 8 - 4 4 x - 12 - = = =
Ruutvõrrandi liikmeid nimetatakse järgmiselt: ax2 ruutliige, kus a on ruutliikme kordaja; bx lineaarliige, kus b on lineaarliikme kordaja; c vabaliige. Ruutvõrrandi lahendivalem on - b ± b 2 - 4ac x= () 2a Avaldist D = b2 4ac nimetatakse ruutvõrrandi diskriminandiks. · Kui D > 0, siis ruutvõrrandil on 2 erinevat lahendit. · Kui D = 0, siis on ruutvõrrandil 2 võrdset lahendit. · Kui D < 0, siis ruutvõrrandil reaalarvulised lahendid puuduvad. Kui ruutliikme kordaja on negatiivne arv, siis enne võrrandi lahendamist korrutame mõlemaid pooli arvuga (1) ja saame ruutliikme kordajaks positiivse arvu. Ruutvõrrandi lahendite õigsust tuleb kontrollida, asendades lahendid algvõrrandis. Tekstülesande korral peab lahend sobima ka ülesande sisuga. Näiteks ei saa pikkus olla negatiivne, inimeste arv saab olla ainult naturaalarv jne. Näide 14. Lahendame ruutvõrrandi 3x2 + 5x 2 = 0. Lahendus.
Võrrandil võib olla üks või mitu lahendit, kuid neid võib olla ka lõpmata palju või mitte ühtegi. Näited Võrrandil 10 x 100 on üks lahend x = 2. Võrrandil x( x 2) 0 on kaks lahendit x = 2 ja x = 0. Võrrandil x 2 100 reaalarvude vallas lahendit ei ole. Võrrandil sin x 0 on lõpmata palju lahendeid x k , kus k on suvaline täisarv. Samaväärsed võrrandid Samaväärseteks ehk ekvivalentseteks nimetatakse võrrandeid, mille kõik lahendid on ühised või millel lahendid puuduvad. Näited Võrrandid 2x 4 x 6 ja x2 0 on samaväärsed, kuna kummagi võrrandi ainsaks lahendiks on x = 2. Samaväärsed võrrandid Võrrandid x 3 x 2 6 x 0 ja x 2 x 6 0 ei ole samaväärsed, kuna esimese võrrandi lahendid on x = 0, x = -2 ja x = 3, teise võrrandi lahendid aga x = -2 ja x = 3. Samaväärsete võrrandite vahele kirjutatakse märk . Näide: x 2 2 x 1 0 x 2
Confidential Page 1 10.11.2004 Created by Allar Veelmaa Kodune kontrolltöö teemal „Lineaarvõrrandid- ja võrratused“ 1. Lahenda võrrand ja kontrolli lahendit. a) 3(4x – 1) – 2(-x – 5) = - 1; b) 4x – 3 – 2(2x – 1) = -3; c) (2x – 1)(x + 2) = 2x2 – 3(x – 4); d) -3,5(2,5x – 2,5) = 12,25x – 5,25; e) –(2x + 3) + 1 = -2x – 2. 2. Leia võrrandi lahendid. 3x − 1 3x − 5 a) = ; x+2 x +1 4x − 1 1 b) + 3x − 1 = − (2 x − 5) ; 2 3 − 3x − 1 3x + 1 1 c) − =− . 2 3 6 3. Leia võrratuse 4x – 1 ≤ 11 naturaalarvulised lahendid. 4. Lahenda võrratus. a) 4x – 1 > 2(-x – 3); b) -5(-2x – 5) < - 3x – 2; c) -5(2x – 5) < -3x – 2; 4x − 1 x + 4 d) − < 1;
(0,5; 2) Ei ole lahend (-1; 5) Ei ole lahend (2; 1) Ei ole lahend (-5; 4) On lahend (4; -0,5) On lahend (1; 1) On lahend (3; -3) Ei ole lahend (-7; 5) On lahend 2. Leia võrrandi 4x + 0,5y = 2 lahendid, kui x {-1;0;-1,6;3,7} 1) y=12 2) y= 4 3) y=16.8 4) y=-25.6 3x - 2 y y 1 3. Leia võrrandi + = lahendid, kui y {0;-1;-3;1,5} 2 2 2 1) x=0.33 2) x=0 3) x=-0.69 4) x=0.85 4. Leia punktid, milles sirge - 3x + 2 y = 8 lõikab koordinaattelgi. 1) x=-2.67 2) y= 4 5. Leia võrrandile 4x + y = 5 neli lahendit. 1) (2;-3) 2) (3;-7) 3) (4;-11) 4) (5;-15) 6. Leia võrrandisüsteemi lahend
ÜLESANNE 1. $ - 2 0 (J 11) Toon x-i sulgude ette. ( - 2) 0 (J 11) Siit järeldub, et kas 11É või 11É( - 2), sest vastasel juhul ei saaks jäägiks 0-i. Seega on võrrandil kaks lahendit: # 0 (J 11) ja $ 2 (J 11), sest jäägi null annab - 2, seega peab $ ise andma jäägiks 2-e. Vastus: # 0 (J 11); $ 2 (J 11) ÜLESANNE 2. 25 + 41 = 1 Täisarvuliste kordajatega võrrandil I + I = I leiduvad täisarvulised lahendid parajasti siis, kui gcd(I, I)ÉI. Seega leian alguses kordajad u ja v nii, et 25 + 41 = gcd(25,41) Kasutan selleks Eukleidese algoritmi. gcd(25,41) = gcd(16,25) = gcd(9,16) = gcd(7,9) = gcd(2,7) = gcd(1,2) = 1 Kirjutan välja, kuidas jäägiga jagamine täpselt toimub. 41 = 25 1 + 16 16 = 41 - 25 1 25 = 16 1 + 9 9 = 25 - 16 1 = 25 - (41 - 25 1) = 25 - 41 + 25 1 = 2 25 - 41 16 = 9 1 + 7 7 = 16 - 9 1 = 41 - 25 1 - 2 25 + 41 = 2 41 - 3 25
väärtuse korral LINEAARVÕRRAND Lineaarvõrrand (ehk esimeseastme algebraline võrrand)- võrrand, milles tundmatu suurim astendaja (peale lihtsustamisi) on 1 ja kus ei esine tundmatuga jagamist. Iga lineaarvõrrandi saab teisendada kujule ax + b = 0 või ax = b (x on tundmatu; a ja b on arvud). Lineaarvõrrandi lahendiks on Kui a = 0 ja b 0, st. võrrand on kujul 0 x b , siis võrrandil lahendid puuduvad. Kui a = 0 ja b = 0, st. võrrand on kujul 0 x 0 , siis sobib võrrandi lahendiks mistahes reaalarv. Näide 1 3x = -9 on lineaarvõrrand x(x + 2) - 6 = x2 on lineaarvõrrand, sest peale lihtsustamisi omandab see kuju: 2x = 6 (x2-ga liikmed koonduvad välja) a2 = 25 ei ole lineaarvõrrand, sest tundmatu suurim astendaja on 2. (x+1)/x + x = 4 ei ole lineaarvõrrand, kuna esineb muutujaga jagamine.
2a Erijuhul, kui ruutliikme kordaja on üks, saab nn. taandatud ruutvõrrandi x 2 + px + q = 0 lahendeid leida valemist 2 p p x = − ± −q . 2 2 Viète’i valemid. Taandatud ruutvõrrandi lahendid rahuldavad järgmisi seoseid: x1 + x2 = − p, x1 ⋅ x2 = q. Neljanda astme võrrandit, mis sisaldab ainult tundmatu paarisastmeid, nimetatakse biruutvõrrandiks. Biruutvõrrandi üldkuju on ax 4 + bx 2 + c = 0 . Lahendamiseks kasutatakse abitundmatut x 2 = y . Saadakse uus võrrand ay 2 + by + c = 0 , mille lahendid on y1 ja y2 . Paigutades y positiivsed väärtused võrdusesse x 2 = y , saame 1) x 2 = y1 , millest x1, 2 = ± y1 ;
z -2z+6=0 2 NB saab lahendada Viéte'i teoreemi või 4)4s -s+2=0 |:4 2 oma lahendivalemi abil s -0,25s+0,5=0 2 15.Ruutvõrrandi ax +bx=0 lahendamine - Ül.1332 saada korrutis x(ax+b)=0; vähemalt üks Lahendada peast. 2 tegureist on võrdne nulliga, seega lahendid x -10x=0 on x=0 või x=- x(x-10)=0 x1=0 x-10=0 NB saab lahendada ka ruutvõrrandi üldise x2=10 lahendivalemiga, c=0 Vastus. Lahendid on x1=0 või x2=10. 16.Tekstülesande lahendamine Ül.1334 Kontroll 2 ruutvõrrandi ax +bx=0 abil - ruutliige positiivne arv x 2,5
Ruutfunktsioon avaldub kujul y = ax2 + bx + c, kus a, b ja c on mistahes arvud ja ruutliikme kordaja a 0. Ruutfunktsiooni y = ax2 + bx + c graafikuks on parabool. Kui a > 0, siis parabooli harud avanevad üles, kui a < 0, siis alla. Parabooli sümmeetriatelge nimetatakse parabooli teljeks ja punkti, kus parabool lõikub oma teljega nimetatakse parabooli haripunktiks. Parabooli skitseerimiseks tuleb leida nullkohad ( võrrandi ax2 + bx + c = 0 lahendid) ja x + x2 haripunkt ( haripunkti abstsissi leiame kas nullkohtade aritmeetilise keskmisena 1 2 b või valemist x h = - ; ordinaadi leidmiseks paneme abstsissi väärtuse funktsiooni 2a 4ac - b 2
emid y ja z väärtuste arvutamiseks. Lahtritele atud. evate algandmete a, b, ja x väärtuste korral. eitud väärtused peaks algandmete (a, b, x) ühe jaoks langema kokku allpool toodud vastustega. valida tabelist a ja c väärtuste alusel: viimane number viimase (a) ja eelviimase (b) numbrite summa 1) Koosta valemid, mis võ ax2 + bx + c = 0 nullkoh Kui lahendid puuduvad, p Ruutvõrrandi lahendamine Et teada saada, kas lahen on negatiivne. Diskriminan ruutjuure alla negatiivne a a 2 Valemites kasuta nimesid b 6 2) Tee tabel x ja y väärtus c 1 andmetest graafik (peaks x1 2
● Kui lineaarplaneerimise ülesande lahend on ühene, siis paikneb see ainult lubatava hulga mingis tipus ● Kui lineaarplaneerimise ülesandel leidub optimaalne lahend, siis vähemalt üks neist paikneb lubatava hulga mingis tipus. ● Lineaarplaneerimise ülesande iga lokaalselt optimaalne lahend on ka globaalselt optimaalne 11. Millal on lineaarse planeerimise ülesande optimaalne lahend ühene, millal leiduvad alternatiivsed lahendid? Kuidas seda hinnata graafilise lahendusmeetodi puhul, kuidas simpleksmeetodiga lahendades? Graafiliselt on ühene siis, kui parim nivoojoon omab lubatava hulgaga ainult ühte ühist punkti; Graafiliselt on mitmene siis, kui parim nivoojoon omab aga lubatava hulgaga rohkem kui ühe ühise punkti, siis on olemas ka alternatiivsed optimaalsed lahendid Simpleksmeetodiga on mitmene siis, kui peale Gaussi teisenduste sooritamist
Võrrandiks nimetatakse muutujaid sisaldavat võrdust, milles üks või mitu muutujat loetakse tundmatuks (otsitavaks). Võrrandi lahendamise eesmärgiks on leida kõik tundmatu väärtused, mille asendamisel võrrandisse tundmatu kohale võrrandi mõlemad pooled võrdsustuvad. Kahte võrrandit nimetatakse samaväärseteks ehk ekvivalentseteks, kui neil on kõik lahendid ühesed või lahendid puuduvad. Võrduse liikmeid võib viia teisele poole võrdusmärki, kusjuures ülekantava liikme ees muudetakse märk vastupidiseks. Kui pärast võrrandi lihtsustamist on võrrandis oleva tundmatu kõrgeim aste üks, siis sellist võrrandit nimetatakse lineaarvõrrandiks. Ruutvõrrandiks nimetatakse võrrandit, mis esitub kujul ax 2 bx c 0, kus a 0. a, b ja c on reaalarvud ja x tundmatu (otsitav).
Võrrandiks nimetatakse muutujaid sisaldavat võrdust, milles üks või mitu muutujat loetakse tundmatuks (otsitavaks). Võrrandi lahendamise eesmärgiks on leida kõik tundmatu väärtused, mille asendamisel võrrandisse tundmatu kohale võrrandi mõlemad pooled võrdsustuvad. Kahte võrrandit nimetatakse samaväärseteks ehk ekvivalentseteks, kui neil on kõik lahendid ühesed või lahendid puuduvad. Võrduse liikmeid võib viia teisele poole võrdusmärki, kusjuures ülekantava liikme ees muudetakse märk vastupidiseks. Kui pärast võrrandi lihtsustamist on võrrandis oleva tundmatu kõrgeim aste üks, siis sellist võrrandit nimetatakse lineaarvõrrandiks. Ruutvõrrandiks nimetatakse võrrandit, mis esitub kujul ax 2 bx c 0, kus a 0. a, b ja c on reaalarvud ja x tundmatu (otsitav).
Seejuures tähistavad a, b ja c reaalarvulisi kordajaid. Ruutvõrrandi lahendamiseks saab kasutada valemit . Kui a=1, on tegemist taandatud ruutvõrrandiga, kuid ka sellisel juhul on võimalik lahendeid leida üldise ruutvõrrandi lahendivalemi abil. Diskrimnant Ruutvõrrandil on alati kaks lahendit, see on tagatud valemis sisalduva ruutjuurega. Erijuhtudel võivad lahendid kattuda (kokku langeda). Ruutvõrrandil võivad ka reaalarvulised lahendid puududa. Selline olukord tekib juhul, kui ruutjuure all olev avaldis on negatiivne. Juurealust avaldist nimetatakse ruutvõrrandi diskriminandiks. Biruutvõrrand Biruutvõrrandiks nimetatakse neljanda astme algebralist võrrandit, mis on teisendatav kujule kus x on tundmatu ja a 0. Võrrandi lahendamiseks tehakse asendus x2=y, mis annab
Kuna võrrandi mõlemal poolel on üks ja sama tegur (x + 3), siis tekib kohe kiusatus sellega läbi jagada. Nii saame võrrandi x + 2 = 2x + 1, millest x = 1. Kui aga lahendame esialgse võrrandi teisiti, näiteks avame kõigepealt sulud ja seejärel lahendame tekkinud võrrandi, siis saame hoopis rohkem lahendeid: (x + 2)(x + 3) = (2x + 1)(x + 3), x2 + 5x + 6 = 2x2 + 7x + 3, millest x2 2x 3 = 0. Selle võrrandi lahendid on 1 ja (3). Kumb lahendus on siis õige? Kuhu kadus esimese lahenduse korral lahend (3)? Esimene lahendus on vale, sest seal jagati võrduse pooled tundmatut sisaldava avaldisega, seda aga ei tohi teha. Sellise jagamise tulemusena kaovadki lahendid. Leia ise, mis on võrrandi (x +1)(x2)(x3)(x4) = (x2)(x3)(x4) lahendid. Ülesandeid · Lahendada võrrandid: x2 5 x
algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Murdvõrrandi lahendamine Näide x2 x 2x Lahendada võrrand 20 x 3 x 3 Lahendus Viime vasakul pool võrdusmärki olevad avaldised ühisele murrujoonele: x 2 x 2 x 2( x 3) x2 x 6 0 0 x2 x 6 0 x 3 x 3 Saadud ruutvõrrandi lahendid on: x1 2, x2 3. Neist x1 2 on esialgse võrrandi lahend, x2 3 on aga võõrlahend (nimetaja on x = 3 korral null). Vastus. Võrrandi lahendiks on x = 2. algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Juurvõrrandi definitsioon ja lahendamine Juurvõrrandiks nimetatakse võrrandit, milles muutuja esineb juuritavas. Näited Võrrandid 4 x 1 4 x 8 ja x 2 1 on juurvõrrandid, kuid
on naturaallogaritmi alus. ähendavad t unktsiooni, kus e . 1) Koostada a x2 b x c 0 ax2 + bx + Ruutvõrrandi lahendamine b b 2 4ac Kui lahendid x1, 2 ole". 2a a 9 Et teada saa kas ruutvõrra b 1 leitakse vale c 0 ruutjuure alla reaalarvulise
3) Skitseerige funktsiooni f x graafik vahemikus ; . 6 6 13. (21.05.2001, I, 20 punkti). 1) Lahendage võrrand cos x sin x 1 , kui x 2 ;2 . x 2) Leidke parameetri a kõik väärtused, mille korral võrranditel cos x sin x 1 ja cos a leiduvad ühised lahendid, kui 2 x 2 ;2 . periood ja skitseerige selle funktsiooni graafik, kui x 2 ;2 . Skitseerige samale x 3) Leidke funktsiooni y cos 2 x joonisele ka funktsiooni y cos graafik. 2 14. (21.05
Näiteks süsteemi puhul: Süsteemi kordajatest ning vabaliikmetest tuleb välja kirjutada veerummatriksid A1, A2, ... , An ja b. Uue süsteemi leidmiseks tuleb süsteemi igas reas vasakul pool korrutada vastava järjekorranumbriga tundmatu veerumaatriks esimese tundmatu veerumaatriksiga, seejärel teisega jne. Paremale poole jääb vastava järjekorranumbriga tundmatu veerumaatriksi korrutis vabaliikmete veerumaatriksiga. Märkused. 1) Saame võrrandisüsteemi lahendid, kui projekteerime parema poole b veergude ruumi. 2) Kui parem pool b kuulub veergude ruumi, on Ax = b täpne lahend leitav Gaussi meetodiga. 3) TEOREEM: Normaalvõrrandisüsteemil ATA = ATb on ühene lahend, kui maatriksi A veerud on lineaarselt sõltumatud. 4) Gaussi teisenduste korral vähimruutude lahend muutub, see pole vähimruutude ülesandes lubatud. 4. Kumerad hulgad
korral on eksponentfunktsioon kasvav ja ühest 2 väiksema aluse korral 1 kahanev. -3 -2 -1 0 1 2 3 x Lihtsaimad eksponentvõrratused Lihtsaimad eksponentvõrratused on ax > b (1) ja ax < b. (2) Juhul kui b 0, siis on võrratus (1) täidetud iga x R korral, võrratusel (2) aga lahendid puuduvad. Lihtsaimate eksponentvõrratuste lahendamine Kui b > 0, siis sõltub lahendihulk sellest, kas alus a on ühest suurem või väiksem: y = ax , y a) juhul kui b a> a > 1, 1 siis on võrratus ax > b täidetud kui
samasuseks. Ka tõene arvvõrdus on samasus. Näiteks on samasused 1 + 2 = 3; (a + b)2 = a2 + 2ab + b2. Võrrandiks nimetatakse muutujaid sisaldavat võrdust, milles üks või mitu muutujat loetakse tundmatuks (otsitavaks). Võrrandi lahendamiseks nimetatakse tundmatu(te) selliseid väärtusi, mille asendamisel võrrandisse saame tõese arvvõrduse ehk samasuse. Võrrandil võib olla üks või mitu lahendit, kuid neid võib olla ka lõpmata palju või mitte ühtegi. Võrrandi lahendid moodustavad võrrandi lahendihulga. Kui võrrandil on lõpmata palju lahendeid, siis on see võrrand ühtlasi ka samasus. Näiteks võrrand x2 1 = (x 1)(x + 1) on samasus, võrrand x2 = 1 ei ole samasus. Kui võrrandil leidub lahendeid, siis öeldakse, et võrrand on lahenduv. Kui võrrandil lahendid puuduvad, siis on võrrand mittelahenduv. Lahendada võrrand tähendab leida tundmatu kõik need väärtused, mis rahuldavad võrrandit
ax2 + bx + c 0, kus a 0, b ja c on antud arvud ja tähega x on tähistatud tundmatut. Ruutvõrratuste lahendamine Ruutvõrratuste lahendihulgad leitakse funktsiooni y = ax2 + bx + c graafiku abil. Arutelu lihtsustamiseks on kasulik võrratust teisendada nii (vajadusel teguriga 1 korrutades), et pealiikme kordaja a > 0. Sel juhul avaneb funktsiooni graafikuks olev parabool alati ülespoole, mistõttu on vaja leida vaid ruutvõrrandi ax2 + bx + c = 0 lahendid ning läbi nende skitseerida graafik. Kui neid lahendeid pole, siis - võrratuse ax2 + bx + c > 0 (või 0) lahendihulgaks on hulk R - võrratuse ax2 + bx + c < 0 (või 0 ) lahendihulgaks on tühi hulk Näide 1 Näide Lahendame võrratuse 6 + x x2 < 0. Lahendus Korrutame selle võrratuse mõlemaid pooli arvuga 1, saame võrratuse x2 x 6 0 Viimase lahendamiseks leiame võrrandi x2 x 6 0 lahendid, milleks on x1 = -2 ja x2 = 3. Näide 1
II valemid: 1. a 2 – b 2 = (a – b)(a + b) 2. a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 = (-a - b) 2 3. a 2 – 2ab + b 2 = (a – b) 2 = (b - a) 2 III rühmitamine IV ruutkolmliikme tegurdamine st. lahenda vastav ruutvõrrand ax 2 + bx + c = 0 b b 2 4ac lahendivalemiga x1; 2 2a ja pane lahendid vastandarvudena sulgudesse - ax 2 + bx + c = a( x - x1 )(x - x 2 ) V kui muud ei saa, pane hulkliikmele lihtsalt sulud ümber (kui on + või – märke) 2 – a = ( 2 – a) TAANDAMINE- murru lugeja ja nimetaja jagamine ühiste teguritega. Nendeks võivad olla üksikud täisarvud, üksikud tähed, sulgavaldised. Taandada saab ainult siis, kui hulkliige on tegurdatud st. kõik liitmised ja lahutamised on
II valemid: 1. a 2 b 2 = (a b)(a + b) 2. a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 = (-a - b) 2 3. a 2 2ab + b 2 = (a b) 2 = (b - a) 2 III rühmitamine IV ruutkolmliikme tegurdamine st. lahenda vastav ruutvõrrand ax 2 + bx + c = 0 b b 2 4ac lahendivalemiga x1; 2 2a ja pane lahendid vastandarvudena sulgudesse - ax 2 + bx + c = a( x - x1 )(x - x 2 ) V kui muud ei saa, pane hulkliikmele lihtsalt sulud ümber (kui on + või märke) 2 a = ( 2 a) TAANDAMINE- murru lugeja ja nimetaja jagamine ühiste teguritega. Nendeks võivad olla üksikud täisarvud, üksikud tähed, sulgavaldised. Taandada saab ainult siis, kui hulkliige on tegurdatud st. kõik liitmised ja lahutamised on
Kaks algebralist avaldist, mis on omavahel seotud märkidega >, või < , moodustavad võrratuse. Tundmatuid sisaldava võrratuse korral tekib selle lahendamise probleem. Vaatleme siin vaid ühe tundmatuga võrratusi. Sellise võrratuse lahendiks nimetatakse tundmatu väärtust, mille puhul võrratus on rahuldatud, st mille asetamisel võrratusse tundmatu asemele saame õige arvulise võrratuse. Lahendada võrratus tähendab leida selle kõik lahendid. Kaks, kolm jne võrratust, mis sisaldavad üht ja sama tundmatut, võivad moodustada võrratuste süsteemi. Lahendada võrratuste süsteem tähendab leida nende võrratuste ühise tundmatu kõik sellised väärtused, mis rahuldavad korraga selle süsteemi kõiki võrratusi. Harilikult moodustab võrratuse (või võrratuste süsteemi) lahendite hulk ühe või mitu arvpiirkonda. Arvpiirkond võib olla :
-1 #VALUE! -0,5 #VALUE! 0 #VALUE! 0,5 #VALUE! 1 #VALUE! 1,5 #VALUE! 2 #VALUE! 2,5 #VALUE! 3 #VALUE! 3,5 #VALUE! 4 #VALUE! 4,5 #VALUE! 5 #VALUE! 1) Koostada valemid, mis võimaldavad leida ruutvõrrandi ax2 + bx + c = 0 reaalarvulised juured. Kui lahendid puuduvad, kuvada vastavates lahtrites tekst ei ole. Soovitus. Leida eraldi diskriminandi D väärtus: D=b2 4ac. Kui D<0, siis lahendid puuduvad. Valemites kasutada nimesid!!! 2) Teha ruutparabooli y = ax2 + bx + c graafik vahemikus (5; 5). 3) Teha VBA makro, mis loeb töölehelt kordajad ning leiab ja kirjutab
Teisel ja neljandal kompleksarvul on võrdsed nii reaalosa kui ka imaginaarosa. Seega Võrrandil x2 = 2 ei ole lahendeid ratsionaalarvude hulgas. Viimasel võrrandil on aga need arvud on omavahel võrdsed. Kas leiad veel võrdsete kompleksarvude paare ? olemas lahendid reaalarvude hulgas Ã. Reaalarvude hulga saame lisades ratsionaalarvude hulgale  irratsionaalarvude hulga Å: à = ½Å. Kompleksarve a + bi ja a - bi nimetatakse kaaskompleksarvudeks. Võrrandil x2 + 1 = 0 reaalarvude hulgas lahendeid ei ole, sest ei leidu sellist reaalarvu, mille ruut on võrdne (-1)-ga (võrrandist x2 + 1 = 0 järeldub, et x2 = -1). Näide 2. Leiame kompleksarvudele 4 - 5i, 3i - 5 ja 9i kaaskompleksarvud.
(a+b)²=a²+2ab+b² - summa ruudu valem (a-b)²=a²-2ab+b² - vahe ruudu valem a³+b³=(a+b)(a² -ab+b²) - kuupide summa valem a³-b³=(a-b)(a² +ab+b²) - kuupide vahe valem (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³ - summa kuubi valem (a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³ - vahe kuubi valem RUUTVÕRRAND x2 + px + q = 0 - taandatud ruutvõrand ; lahend ax2 + bx + c = 0 taandamata ruutvõrrand ; lahend x1 + x2 = -p ; x1 · x2 = q - viete valemid. Kus x1 ja x2 on taandatud ruutvõrrandi lahendid. ax2 + bx + c ( ruutkolmliikme lahutamine teguriteks) : ax2 + bx + c = a(x-x1)(x-x2). x1 ja x2 ruutvõrrandi lahendid. DETERMINANDID = a ·d - c·b. = aei + cdh +bfg gec ahf dbi. TRIGONOMEETRIA PÕHISEOSED sin2 + cos2 = 1 1 + cot2 a = tan = tan a cot a =1 1+ tan2 a = TÄIENDUSNURGA VALEMID sin (90 - a) =cos a cos (90 - a) = sin a tan (90 - a) = 1/tan a = cot a cot (90 - a) = 1/cot a = tan a NEGATIIVSE NURGA SIINUS,KOOSINUS,TANGENS JA KOOTANGENS.
2 Bx Ax a2 b2 ; 34 2 6 0. 1 x1 y1 b a 2 3 ehk teisiti kirjutatult S . 2 x2 y2 Kolmandas näites leitud võrrandisüsteemide lahendid esituvad determinantide abil järgmiselt: Märkus: Saadud valem kolmnurga pindala arvutamiseks kehtib ka siis, kui kolmnurga tipu A juures oleks nürinurk või täisnurk. Sel juhul valemi tuletus- c1 b1 a1 c1 käik erineks mõnevõrra eelnevast, kuid lõpptulemus on sama. c2 b2 a2 c2
juurdekirjutamisega saada 8 sõna pikkusega n + 1. Kõik saadavad sõnad on erinevad ja rohkem sõnu pikkusega n + 1 ei ole. Leida avaldis, millest on võimalik ainult naturaalarvu n järgi välja arvutada, mitu sõna pikkusega n keeles leidub. Lahendus. Olgu An kõigi n-täheliste sõnade arv. Ülesande tingimuste põh- jal kehtib seos An+1 = 2An + 8An-1 . Algtingimused on A1 = 1, A2 = 1. Karakteristliku võrrandi q 2 - 2q - 8 = 0 lahendid on q1 = 4, q2 = -2. Järelikult rekurrentse võrrandi üldlahend on An = c1 · 4n + c2 · (-2)n . Algtingimuste põhjal saame võrrandisüsteemi 4c1 - 2c2 = 1 16c1 + 4c2 = 1, mille lahendid on c1 = 81 , c2 = - 41 . Kõigi n-täheliste sõnade arv on seega 1 n 1 An = · 4 - · (-2)n . 8 4
<, >, ≤ , ≥ . 2a + 4 < 16 + 5a Arvvõrratus on võrratus, mille mõlemal pool on arvavaldised. 45 - 3∙6 > 2 + 8 Arvvõrratus on kas tõene või väär. -4 < 2 (tõene), 9 > 0 (väär) Võrratus võib sisaldada ka tundmatuid. 2x - 3,4 > 6 + 5x Tundmatu seda väärtust, mille korral saame antud võrratusest tõese lause, nimetatakse võrratuse lahendiks. 2x > 9; x > 4,5; x = 5 on võrratuse lahend Võrratuse kõik lahendid moodustavad võrratuse lahendihulga. x > 4,5 on lahendihulk Kaks võrratust on samaväärsed, kui nende lahendihulgad ühtivad. 4y -16 < 8 ja 4y < 24 on samaväärsed Võrratuse põhiomadused Võrratusmärk ei muutu, kui võrratuse mõlema poolega liita või lahutada sama arv. 2x + 4 < 5x – 9 → 2x + 4 – 4 < 5x – 9 – 4 → 2x < 5x – 13 Järeldus: Võrratusmärk ei muutu, kui liidetavaid (liikmeid) viia ühelt poolelt
Näide: (x+1)/(x+2)=0 Murdvõrrandit EI TOHI muutujaga läbi korrutada! Lahendamiseks viiakse kõik liikmed vasakule poole ning ühisele murrujoonele. Näide: Seejärel võrdustatakse lugeja nulliga, samal ajal väites, et nimetaja ei tohi olla 0. Antud juhul: x2-x-6=0 ja x-3 0 -> x 3 Ruutvõrrandi lahendid on x1 = 3 ja x2 = -2, kuid 3 on võõrlahend, seega murdvõrrandi lahendiks on -2. Juurvõrrand Juurvõrrandiks nimetatakse võrrandit, kus muutuja on juure all. Ei ole juurvõrrand, sest muutuja x ei ole juure all. Juurvõrrandit lahendadakse, viies juurega liikmed ühele poole ja juureta liikmed teisele poole ning seejärel tõstetakse mõlemad pooled ruutu. Näide:
Kuidas kirjutada korralikku esseed SISU: Aine- inimene, kunst (kirjandus), teadus, ühiskond, probleemid, millel puuduvad ühesed lahendid. Käsitlusviis- autorikeskne vaatepunkt, eritlev, loogiline, assotsiatatiivne, pingestatud , vaimukas. . Mõtted esitatakse järk-järgult, lõpuni avamata kujul. ÜLESEHITUS: Pealkiri- esitab aine, osutab probleemile, kujundlik, irriteeriv. Sissejuhatus- lühtub faktist, mälupildist, tundest, sündmusest. Arendus- konkreetselt nähtuselt üldistele probleemidele, eritleb. Lõpetus- üldistus, puänt, üldistus.
2 p p x 2 + px + q = 0 x1, 2 = - ± -q 2 2 x 2 + px + q = 0 x1 + x2 = - p ja x1 x2 = q (Viète´i valemid) Biruutvõrrand Biruutvõrrandi üldkuju on ax + bx + c = 0 . Lahendamiseks kasutatakse 4 2 abimuutujat x = y . Saadakse uus võrrand ay + by + c = 0 , mille lahendid on y1 ja y2 . 2 2 Paigutades y positiivsed väärtused võrdusesse x = y , saame 2 x = ± y1 1) x = y1 , millest 1,2 2 ; x = ± y2 2) x = y2 , millest 3,4 2 . 2.6 FMACROBUTTON MTEditEquationSection2 Ruutkolmliikme teguriteks lahutamine x 2 + px + q = ( x - x1 ) ( x - x2 )
annaabi.ee 
