Ratsionaalarvud negatiivsed või positiivsed täisarvud, kümnendmurrud, harilikud murrud. Absoluutväärtus arvu kaugus nullpunktist arvkiirel, see on alati positiivne arv Vastandarv positiivse arvu vastandarv on sama arv miinusmärgiga ehk negatiivne arv ja negatiivse arvu vastandarv on sama arv plussmärgiga ehk positiivne arv Näide: 6 vastandarv on 6 ja vastupidi. Sümbolites 6 = - ( - 6) ja - 6 = - ( + 6) NB! Lahutamistehtemärk tuleb alati asendada liitmistehtemärgiga ja sellele järgnev arv oma vastandarvuga ja alles seejärel hinnata, kas arvud on samamärgilised või erimärgilised LIIDAN siis, kui arvud on samamärgilised ehk # kõik arvud on positiivsed, vastus ka positiivne arv 2+3=5 NB! 2 ( - 3) = 2 + 3 = 5 #kõik arvud on negatiivsed, vastus ka negatiivne arv - 2 + (- 3) = - 2 3 = - 5 NB! - 2 ( + 3) = - 2 + ( -3) = - 5 LAHUTAN siis, kui arvud on erimärgilised ehk üks on positiivne arv ja teine negatiivne arv, vas...
võrreldes positiivses suunas. Täisarvude hulga omadusi: · Täisarvude hulk Z on järjestatud lõpmatu hulk, milles puudub nii vähim kui ka suurim arv. · Täisarvude hulk Z on hulk, milles arvud järgnevad vahetult üksteisele ega kata kogu arvtelge. · Täisarvude hulk Z on kinnine liitmise, lahutamise ja korrutamise suhtes, s.t. kahe täisarvu liitmisel, lahutamisel ja korrutamisel saame alati täisarvu. RATSIONAALARVUD Ratsionaalarvuks nimetatakse hariliku murdu a , kus a Z, b Z ja b 0. b ratsionaalarvu a vastandarvuks nimetatakse ratsionaalarvu _ a = -a = a ning b b b -b ratsionaalarvu a pöördarvuks b b a. Kõik täisarvud, pos ja neg murdarvud kokku moodustavad arvuhulga, mida nimetatakse ratsionaalarvude hulgaks ja seda arvuhulka tähistatakse tähega Q.
Tehted ratsionaalarvudega © T. Lepikult, 2010 Ratsionaalarvud Harilikke murde, nende vastandarve ja arvu 0 nimetatakse ühiselt ratsionaalarvudeks. Ratsionaalarve tähistatakse sümboliga Q. Ratsionaalarve võib ka defineerida kahe täisarvu jagatisena (sealjuures ei või jagaja muidugi null olla). Näited : 2 6 0 Q; 12 Q; - 1 Q; - Q; 4 Q. 11 13 Aga 2 Q, Q, kuna need arvud ei ole esitatavad kahe täisarvu jagatisena.
46264338327950288419716939937510..., 2 2 5, sest 5 =25, 6 =36, 29 on lähemal arvutamisel kasutada 3,14; hulga tähis I arvule 25 2 2 6, sest 6 =36, 7 =49, 40 on lähemal NB moodustavad reaalarvude hulga arvule 36 osahulga 5.Reaalarvud - ratsionaalarvud ja loe reaalarvude kohta irratsionaalarvud kokku; tähis R; Ül.1285 osahulgad: naturaalarvude hulk N, N R; tõene täisarvude hulk Z, ratsionaalarvude hulk Q, R; väär, sest on irratsionaalarv irratsionaalarvude hulk I; Q I=R Q R; tõene, sest kõik ratsionaalarvud kuuluvad ka reaalarvude hulka NB iga reaalarvu saab esitada lõpmatu kümnendmurruna 6
Ratsionaalarvud Ratsionaalarvuks nimetatakse arvu, mis avaldub jagatisena , kus a Ratsionaalarvud on need reaalarvud, mida saab esitada kahe täisarvu m ja n ( ) jagatisena nii, et kus on täisarvude hulk, on naturaalarvude hulk (v.a. null) ja on ratsionaalarvude hulk. Igal ratsionaalarvul on ka lõpmatu kümnendarendus ja see on alati perioodiline. Näiteks 2¾ = 11/4 = 2,7500000.... või 2,7499999... ja 0 = 0/1 = 0,00000... on ratsionaalarvud. Ratsionaalarvu vastandarvuks nimetatakse ratsionaalarvu ning pöördarvuks ratsionaalarvu . Kõikide ratsionaalarvude hulk moodustab oma aritmeetiliste tehetega "+" ja "×" korpuse (ratsionaalarvude korpuse), mis on reaalarvude korpuse R alamkorpus ning on kõige kitsam arvukorpus. RATSIONAALARVUDE HULK Q 1. On järjestatud lõpmatu hulk, milles puudub nii vähim kui ka suurim arv; 2. On tihe arvuhulk, s.t
Matemaatika Naturaalarvud loendamise teel saadud arvud /positiivsed täisarvud (1,2 ... ) Null ei ole naturaalarv. Tähistatakse : N Algarvudeks nimetatakse naturaalarve, millel on 2 tegurit 1 ja tema ise nt 3 : jagub 1'ga ja 3'ga Kordarvudeks nimetatakse naturaalarve, millel on rohkem kui kaks tegurit. Nt 8 : jagub 1'ga, 2'ga, 4'ga, 8'ga Naturaalarvude hulgast saame täisarvude hulga kui lisan nulli ja naturaalarvude vastandarvud Täisarvud koosnevad naturaalarvudes, nende vastandarvudest ja nullist. Tähistatakse : Z Paarisarve tähistatakse 2n kus 'n' kuulub naturaalarvude hulka. Paarituid arve tähistatakse 2n+1 / 2n1 Ratsionaalarvud = täisarvud (Z) ja positiivsed ja negatiivsed murdarvud Tähistatakse : Q Kümnendmurrud jaotatakse lõpmatuteks ja lõplikeks Irratsionaalarvud = lõpmatud mitteperioodilised kümnendmurrud (I) Reaalarvud = N Z Q I hulkasid Tähistatakse : R Kümnendmurrud jagunevad...
TEHTED RATSIONAALARVUDEGA Kadi Jõela 7.a klass Antsla 2013 LIITMINE - (-) = + N. - (-3) = +3 + (-) = - N. + (-2,3) = - 2,3 - (+) = - N. - (+ 78,6) = -78,6 + (+) = + N. + ( 234) = + 234 LIITMINE Kahe negatiivse arvu liitmine - liidan absoluutväärtused -Vastuse ette kirjutan miinusmärgi N. -1 + (-2) = -2 = -3 Kahe erimärgilise arvu liitmine - Lahutan suurema absoluutväärtusega arvust väiksema absoluutväärtusega arvu Vastandarvude summad - Ette kirjutan suurema absoluutväärtusega arvu märgi N. -4 + 5 = +1 KORRUTAMINE JA JAGAMINE Korrutan tegurite absoluutväärtused ja määran korrutise märgi (+) * (+) = (+) : (+) = + (-) * (-) = + (-) : (-) = + (+) * (-) = - (+) : (-) = - (-) * (+) = - (-) : (+) = - TÄNAN TÄHELEPANU EEST!
Arvuhulgad Arvuhulgad Naturaalarvud N 0, 1, 2, 3, ... , n , ... Negatiivsed täisarvud Positiivsed murrud -4, -100, ... 1/2, 7/9, 18/33, ... Täisarvud Z Negatiivsed murrud -3/4, -17/9, ... Ratsionaalarvud Q Irratsionaalarvud 2, , Reaalarvud R Imaginaararvud - 1, - 5, Kompleksarvud C 2 Naturaalarvud N = {0, 1, 2, ..., n, ...} Naturaalarvude jada on lõpmatu (igale naturaalarvule järgneb veel naturaalarve).
3;...) ning negatiivseteks täisarvudeks on Z=(-1; -2; -3;...). Täisarvud jagunevad paarisarvudeks (-2; 2; -4; 4, -6; 6;...) ja paarituteks arvudeks (-1; 1; -3; 3; -5; 5;...). Tehes tehteid positiivsete ja/või negatiivsete täisarvudega on tulemuseks positiivne täisarv, negatiivne täisarv, positiivne kümnendmurd või negatiivne kümnendmurd. 3. Ratsionaalarvudeks nimetatakse murde a/b kus a ja b on täisarvud ning b¹0. Ratsionaalarvude hulga tähiseks on Q. Ratsionaalarvud on näiteks (1/4=0,25 ehk lõplik kümnendmurd; 1/3=0,333... ehk lõpmatu perioodiline kümnendmurd). 4. Irratsionaalarvudeks nimetatakse arve, mis avalduvad lõpmatute mitteperiooodiliste kümnendmurdudena. Irratsionaalarvude hulga tähiseks on I. Irratsionaalarvudeks on näiteks (=3,14159265...; ; ). Arvuhulkade seotus: Kasutatud materjalid: 1.http://enos.itcollege.ee/~areinas/Matemaatiline%20anal%FC%FCs/Arvuhulgad %5B1%5D.ppt 2. http://et.wikipedia.org/wiki/Naturaalarv 3
c) Nende astmete korrutis ongi VÜK. VÜK(360; 140; 35) = 23 32 51 71 = 8 9 5 7 = 2520 360 2 140 2 35 5 180 2 70 2 7 7 90 2 35 5 1 45 3 7 7 15 3 1 5 5 1 4) Iga naturaalarvu a ja b korral kehtib võrdus : a b = SÜT(a; b) VÜK(a; b) 11. Ratsionaalarvud. 1) Ratsionaalarvuks nimetatakse sellist arvu, mis avaldub jagatisena. 2) Ratsionaalarvude hulk on tihe, sest iga kahe mittevõrdse ratsionaalarvu vahel leidub veel lõpmata palju ratsionaalarve. 3) Ratsionaalarvude hulk on kinnine kõigi aritmeetiliste tehete suhtes v.a. 0-ga jagamine. 4) Iga ratsionaalarv avaldub lõpmatu perioodilise kümnendmurruna. Iga lõpmatu perioodiline kümnendmurd avaldub ratsionaalarvuna.
1. Missugused järgmistest lausetest on tõesed ja missugused väärad? 1) Iga naturaalarv on täisarv. 2) Iga ratsionaalarv on täisarv. 3) Iga naturaalarv on esitatav hariliku murruna. 4) Leidub lihtmurd, mis on naturaalarv. 5) Ükski ratsionaalarv pole täisarv. 6) Kõik irratsionaalarvud on reaalarvud. 7) Ükski irratsionaalarv pole täisarv. 8) Mõni ratsionaalarv on täisarv. 9) Leidub naturaalarve, mis pole ratsionaalarvud. 10) Kõik täisarvud on naturaalarvud. 2. Kujuta ühel ja samal arvteljel hulgad A = [-3; 2] ja B = [-1; 4]. Leia hulgad AB ja AB. 3. Kujuta piirkonnad arvteljel ning kirjuta juurde nimetused. 1) 1 x 4 5) x < 3 2) 3 < x 2 6) x -2 3) x < 5 7) x 1 4) x > 0 8) -1 < x < 3 4. Teisenda harilikuks murruks.
REAALARVUD Joosep Andrespuk 10.A Klass Paide 2009 1. Naturaal-, täis- ja ratsionaalarvud. Arvu mõiste hakkas kujunema aastatuhandeid tagasi, täiustudes ja üldistudes koos inimkonna arenguga. Juba ürgühiskonnas tekkis vajadus teatavaid hulki võrrelda, selleks aga tuli nende hulkade elemente loendada. Nii tekkis naturaalarvude hulk N. Esialgu ei kuulunud null arvude hulka. Alles 7. Sajandil sõnastasid india matemaatikud reeglid arvu 0 kasutamiseks. Neli põhitehet naturaalarvudega on liitmine, lahutamine, korrutamine ja jagamine.
1. Ratsionaalarvud on need reaalarvud, mida saab esitada kahe täisarvu jagatisena. 2. Irratsionaalarvudeks nimetatakse mitteperioodilisi lõpmatuid kümnendmurde. 3. Reaalarvu absoluutväärtuseks nimetatakse mittenegatiivset reaalarvu, mis rahuldab tingimusi |x| = x,kui x0 ja |x| = -x,kui x< 0. 4. Reaalarvude hulk koosneb kõikidest ratsionaal- ja irratsionaalarvudest. 5. 6. Samasuseks nimetatakse matemaatikas tõest arvvõrdust sisaldavat võrdust, mis osutub tõeseks muutuja kõigi lubatud väärtuste korral. 7. Võrrand on võrdus, mis sisaldab ühte või mitut muutujat, mida vaadeldakse tundmatute suurustena. 8. Determinant on lineaaralgebras funktsioon, mis seab igale ruutmaatriksile vastavusse skalaari, ning on üks olulisemaid matemaatilisi konstruktsioone lineaarvõrrandsüsteemi uurimisel. 9. Juurvõrrand on võrrand, milles muutuja esineb juuritavas. 10. Kui punktid A(x1; y1) ja B(x2;y2) on lõigu otspunktid, siis selle ...
Valemid ja öpetusesönad MATEMAATIKA 6.klassile I I poolaasta Haapsalu Linna Algkool Maren Suu TEEMADE JÄRJEKORD: 20.Võrdhaarne kolmnurk 1. Peegeldus punktist ehk tsentraalsümmeetria 21.Võrdkülgne kolmnurk 2. Sümmeetrilised kujundid 22.Võrdhaarse kolmnurga omadused 3. Lõigu keskristsirge joonestamine 23.Võrdhaarse kolmnurga omadused 4. Nurga poolitamine 24.Kolmnurga alus ja kõrgus 5. Kolmnurk 25.Kolmnurga alus ja kõrgus 6. Kolmnurga külje vastasnurk ja lähisnurk 26.Täisnurkse kolmnurga pindala 7. Nurga vastaskülg ja lähisküljed 27.Kolmnurga pindala 8. Kolmnurga nurkade summa 28.Positiivsed arvud- de...
summa on 0.
3. Naturaalarvud koos oma vastandarvudega moodustavad täisarvude hulga Z.
4. Positiivsete täisarvude hulka tähistatakse sümboliga Z. Negatiivsete täisarvude
hulka tähistatakse sümboliga Z.
5. Täisarvu, mis jagub 2-ga, nimetatakse paarisarvuks. Ta esitatakse kujul 2n+1, kus n
kuulub hulka Z. Paaritu, mittejaguvad täisarvud, esitatakse kujul 2n+1, kus n kuulub
hulka Z.
6. Murdarvud tekivad täisarvude jagamisel a/b, kus jagaja b ei tohi olla 0.
7. Ratsionaalarvud on kõik täisarvud ja murdarvud.
8. Ratsionaalrvuks nimetatakse arvu, mis avaldub jagatisena a/b, kus a kuulub hulka Z,
b kuulub hulka Z ja b ei võrdu 0-ga.
9. Harilikmurd on murd, mis avaldub kujul a/b, kus a kuulub hulka N, b kuulub hulka N ja
b ei võrdu 0-ga. Kümnendmurd on murd, mis kirjutatakse koma abiga.
10. Lihtmurrus a/b on a
Matemaatika: Arvuhulgad ja
arvuhulkade omadused
Mairo Tammepõld
10ü
Arvuhulgad
● Arvuhulgad jagunevad reaalarvudeks.
● Reaalarvud on
naturaalarvud N=(1;2;3;4;...)
täisarvud Z=(...;-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4;...)
ratsionaalarvud Q=(...;-12;...;3;...;-4;...;-½;0)
irratsionaalarvud J=(...;π;...;erinevad ruutjuured)
Arvuhulgad
● Murdudega seoses oleme kasutanud veel järgmisi
mõisteid :
harilik murd - ½ (a-lugeja, b-nimetaja)
lihtmurd - (a
21. Milline on suurima alusega praktiliselt kasutatav arvusüsteem? Suurima alusega praktiliselt kasutatav arvusüsteem on kuueteistkümnendsüsteem. 22. Milleks 16ndsüsteemi kõige enam kasutatakse? 16ndsüsteemi kasutatakse arvutimälus hoitavate baitide sisu kompaktsemaks esitamiseks. Kuidas saab arve teisendada 2ndsüsteemi , 8ndsüsteemi ja 16ndsüsteemi vahel? Millised arvud on naturaalarvud ? Millised arvud on algarvud ? Millised murdarvud on ratsionaalarvud ? Mis on kahendvektor? Mis on kahendvektori pikkus ? Millised erinevused on kahendvektoril ja kahendarvul ? Millised kahendvektorid on lähisvektorid? Mitu erinevat lähisvektorit on n-järgulisel kahendvektoril? Mis on intervall? Millised järgud on intervalli olulised järgud? Kuidas on intervalli suurus seotud tema mitteoluliste järkude arvuga? Millest koosneb intervalli vektoresitus? Kuidas ta moodustatakse? Mis on n-mõõtmeline Boole'i ruum?
2.1. Määramata integraal. Def1. F(x) nim f(x) algfunktsiooniks hulgal X, kui iga x korral hulgast X F'(x)=f(x). xX. N. f(x)=xex+ex F(x)=xex F'(x)=ex+xex * Kui f(x) (xX) on 2 algfunktsiooni F1(x) ja F2(x), siis st, f(x) algfunktsioonid erinevad üksteisest vaid konstandi võrra. . F1(x)-F2(x)=C F1(x)=F2(x)+C (xX) Def2. f(x) kõikide algfunktsioonide hulka cX nim. F-ni f(x) määramata integraaliks ja tähistatakse ning kui F(x) on üks f(x)-i algfunktsioon, sel hulgal F(x), siis . Kui f(x) ja F(x) on integreeruvad punktis f(x) siis L1. Määratud integrali lineaarsuse omadused: 2.2 Määramata integraalide tabel 1.. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. x(-1;1) T.19 y=arshx x=shy . 2.3 Muutujate vahetus määramata integraalis F'(x)=f(x) (xX). x=(t). L1. (t)D(a,b) C[a,b] ja ka rangelt monotoonne Järeldus. . N. 2.4 Ositi in...
X klassi matemaatika lühikonspekt (I periood) Arvuhulgad Naturaalarvudeks nimetatakse arve N={1; 2; 3; … ; n-1; n; n+1; …} Selles hulgas leidub esimene arv ja iga arvu korral sellele vahetult järgnev arv, kuid ei ole viimast arvu — niisugust naturaalarvu, mis oleks kõigist suurem. Naturaalarvude hulk on kinnine liitmise ja korrutamise suhtes, kuid mitte lahutamise ja jagamise suhtes. Liitmis- ja korrutamistehetel on hulgas N järgmised omadused: 1. Iga a, b N korral a b b a . Liitmis kommutatiivsus. 2. Iga a, b N korral a b b a . Korrutamise kommutatiivsus. 3. Iga a, b, c N korral a b c a b c . Liitmise assotsiatiivsus. 4. Iga a, b, c N korral a b c a b c . Korrutamise assotsiatiivsus. 5. Iga a, b, c N korral a b c a b a c . Korrutamise distributiivsus lii...
X klassi matemaatika lühikonspekt (I periood) Arvuhulgad Naturaalarvudeks nimetatakse arve N={1; 2; 3; … ; n-1; n; n+1; …} Selles hulgas leidub esimene arv ja iga arvu korral sellele vahetult järgnev arv, kuid ei ole viimast arvu — niisugust naturaalarvu, mis oleks kõigist suurem. Naturaalarvude hulk on kinnine liitmise ja korrutamise suhtes, kuid mitte lahutamise ja jagamise suhtes. Liitmis- ja korrutamistehetel on hulgas N järgmised omadused: 1. Iga a, b N korral a b b a . Liitmis kommutatiivsus. 2. Iga a, b N korral a b b a . Korrutamise kommutatiivsus. 3. Iga a, b, c N korral a b c a b c . Liitmise assotsiatiivsus. 4. Iga a, b, c N korral a b c a b c . Korrutamise assotsiatiivsus. 5. Iga a, b, c N korral a b c a b a c . Korrutamise distributiivsus l...
| | | | | | | 8ndarvu 16ndsüsteemi või 16ndarvu 8ndsüsteemi teisendamiseks tuleb arv teisendada kõigepealt 2ndsüsteemi ja seejärel soovitavasse arvusüsteemi. 24. Millised arvud on naturaalarvud? Naturaalarvud on mittenegatiivsed täisarvud ( ). 25. Millised arvud on algarvud? Algarvud on naturaalarvud, mis jaguvad ainult 1 või iseendaga. 26. Millised murdarvud on ratsionaalarvud? Ratsionaalarvud on sellised murdarvud, mis esituvad kahe täisarvu jagatisena. Ratsionaalarvud on lõpliku või lõpmatu perioodilise murdosaga murdarvud. Kahendkoodid 1. Mis on kahendvektor? Mis on kahendvektori pikkus? Kahendvektor on kahendnumbritena 0 ja 1 esitatud loogikaväärtuste ühemõõtmeline jada. Kahendvektori pikkus on tema 2ndjärkude arv. 2. Millised erinevused on kahendvektoril ja kahendarvul? Erinevalt kahendarvudest pole kahendvektoritel järgukaale. 3
Matemaatilise analüüsi (I) I osaeksami teooriaküsimused (Tallinnas õppivatele kaugõppijatele) 1. Ratsionaalarvud, irratsionaalarvud, reaalarvud. Reaalarvu absoluutväärtus ehk moodul. Positiivseid ja negatiivseid täis- ning murdarve koos arvuga null nimetatakse ratsionaalarvudeks. Lõpmatute mitteperioodiliste kümnendmurdudena esitatavaid arve nimetatakse irratsionaalarvudeks. Kõik ratsionaal- ja irratsionaalarvud koos moodustavad reaalarvude hulga. x Reaalarvu absoluutväärtuseks ehk mooduliks x nimetatakse mittenegatiivset reaalarvu, mis rahuldab tingimusi
Naturaalarvud N Järjestatav, vähim arv 1, lõpmatu Liitmine, korrutamine Jäägiga jagamine, algarv, SÜT, VÜK Nat. arvude vastandarvud Täisarvud Z Järjestatav, lõpmatu, punktihulk arvteljel Liitmine, korrutamine, lahutamine Murdarvud Ratsionaalarvud Q Kahe täisarvu jagatis Järjestatav, lõpmatu, tihe Liitmine, korrutamine, lahutamine, jagamine (v.a. nulliga) Irratsionaalarvud Reaalarvud R Lõpmatud kümnendmurrud, sh mitteperioodilised Järjestatud, lõpmatu, pidev +; ; korrutamine, jagamine, juurimine Kompleksarvud 2
1 f . T Perioodilisi protsesse, mis ei ole harmoonilised protsessid, nimetatakse polüharmoonilisteks protsessideks. Peaaegu perioodiliseks protsessiks nimetatakse protsessi, mis ei ole perioodiline, kuid millist saab kirjeldada kui perioodilist protsessi järgmisel kujul: x (t ) X n 1 n sin( 2nf n t ) (3.17) kus mitte kõik sageduste suhted f n / f m ei ole ratsionaalarvud. Siirde- ehk üleminekuprotsesside hulka kuuluvad kõik mitteperioodilised protsessid, mis ei ole peaaegu perioodilised. Deterministlikud on need sündmused, mille kohta on ette teada, et antud sündmus toimub või on võimalik katsete retrospektiivse info alusel kindlaks määrata, et antud sündmus toimub. Juhuslikud on need sündmused, mis katse tulemusena võivad toimuda või mitte toimuda. Juhusliku sündmuse toimumist iseloomustatakse sündmuse toimumise tõenäosusega P(A)
1)Kui avaldises esinevad ka sulud, siis sooritatakse kõigepealt sulgudes olevad tehted; 2)Korrutatakse ja jagatakse avaldises antud järjekorras; 3)Liidetakse ja lahutatakse avaldises antud järjekorras. arvud 0, 1, 2, 3, ... N: naturaalarvud negatiivsed arvud -1, -2,... 5 3 Z: täisarvud murrud ;- ;... 6 5 I: Q: ratsionaalarvud irratsionaalarvud 2 ; ;... R: reaalarvud Teeme ülesanded. Arvude aritmeetiline ja geomeetriline keskmine Arvude a1, a2, a3,..., an aritmeetiliseks keskmiseks nimetatakse arvu a1 + a2 + ... + an a= n Positiivsete arvude a1, a2, a3,..., an geomeetriliseks keskmiseks nimetatakse arvu a = n a1 a2 ..
Ülesanne 1 Aksioom (kreeka keeles axima 'see, mis on vääriline') tähendab üldkeeles väidet, mille tõesuses pole kahtlust. Algarvuks nimetatakse ühest suuremat naturaalarvu, mis jagub vaid arvuga 1 ja iseendaga. Algarvude hulk on lõpmatu. Sajast väiksemad algarvud ((100) = 25) on 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 ja 97. Kaksikuteks nimetatakse selliseid algarve, mille vahe on 2, näiteks 101 ja 103 või 1 000 000 007 ja 1 000 000 009. Ei ole teada, kas kaksikuid on lõpmata palju. Aritmeetiliseks keskmiseks nimetatakse arvu, mis saadakse antud arvude summa jagamisel liidetavate arvuga. Näide 1. On antud arvud 3, 4, 5 ja 6. Leiame nende arvude aritmeetilise keskmise. 1) Leiame summa: 3 + 4 + 5 + 6 = 18. 2) Jagame summa liidetavate arvuga 18 : 4 = 4,5. Seega nende arvude aritmeetiline keskmine on 4,5. Lahendamiseks sobib ka avaldis (3 + 4 + 5 + 6) : 4. Arvkiir on kiir, mille alguspunkt...
moodustanud suuruste esitähtede järgi (LMT). Füüsikaliste suuruste kvalitatiivne karakteristik on tema dimensioon. Dimensioon on avaldis, mis väljendub suuruste süsteemi kuuluvat suurust selle süsteemi põhisuuruste astmete korrutisena. LMT süsteemis saadakse dimensioon valemiga dim X =L^l*M^m*T^t . L, M, T väljendavad põhisuurusi(antud juhul pikkus, mass ja aeg) ning l, m, t dimensiooni astmenäitajaid, mis on positiivsed või negatiivsed ratsionaalarvud. Suuruse väärtus on kvantitatiivmäärang, mida väljendatakse arvu ja ühiku korrutisena. Näiteks 273,16 K on temperatuuri väärtus, kuid 273,16 on suuruse temperatuur arvväärtus. Suuruse tõeline väärtus on väärtus, mis on kooskõlas mõõdetava suuruse definitsiooniga. Et suuruse tõeline väärtus on enam-vähem samaväärne nagu absoluutne tõde, siis on see küllaltki asjatu mõiste. Sestap piisab mõistest suuruse
sõna "skalaar" sama, mis sõna "arv". Arvu all mõistame aga reaalarvu 17. Vektorkorrutise definitsioon. Vektorkorrutise vektori koordinaadid. Segakorrutise definitsioon ja omadused. 18.Arvuhulgad: naturaal-, täis-, ratsionaal-, reaal- ja kompleksarvud. N naturaalarvud (0,1,2,3,4,5.....) Z täisarvud (-1,-2,-3,5,6,7....) Q ratsionaalarvud (1/2, -3/4, 2,34) R reaalarvud (, 2, e) C kompleksarvud (1-4i, 6 + 7i, 2i) 19.Arvu absoluutväärtus 20.Muutuvad ja jäävad suurused = 3.14 e = 2,71 x,y,z 06.01 21.Lõik, vahemik, poollõik Vahemik on sirge paiknevate punktide hulk, mis asub kahe punkti vahel Lõik on sirge, mis ühendab kaht punkti A ja B (punktid A ja B kaasa arvatud) Seda lõiku tähistatakse AB Poollõik on reaalarvude hulga alamhulk (), mis koosneb kõigist
Ainekava eksamiks ,, Matemaatiline analüüs I " 2007 2008 kevadsemester 1. Naturaalarvud, täisarvud, ratsionaalarvud, irratsionaalarvud, reaalarvud. Naturaalarvud arvud, mis saadakse loendamise teel, tähistatakse: IN (1, 2, 3, 4, 5, 6, ..., ) Täisarvud kõik naturaalarvud ja nende vastandarvud ning lisaks 0, tähistatakse Z m Ratsionaalarvud on sellised reaalarvud, mida saab esitada kahe täisarvu m ja n jagatisena nii et
Matemaatika eksami teooria Reaalarvud 1.1. Naturaal-, täis- ja ratsionaalarvud · Naturaalarvude hulk N (ainult positiivsed täisarvud) · Naturaalarvu n vastandarv -n defineeritakse selliselt, et n+(-n)=0 · Naturaalarvud koos oma vastandarvudega moodustavad täisarvude hulga Z (jaguneb pos ja neg) · Iga kahe täisarvu vahe on alati täisarv · Kui arv a ei jagu arv b-ga, siis on tegemist murdarvuga. Kõik täisarvud ja positiivsed ning negatiivsed murdarvud moodustavad kokku ratsionaalarvude hulga Q
Leia aste. 1 3 a) (1 + 2i)2 b) (3 - 5i)2 c) (-3i - 4)2 20; 183; 27; tan 45°; e; 0,(8); log 100; 0.03; 2 + 3i; 5 2i; - 3i+4. d) (2 - i 3 )2 e) ( 2 - i 3 )2 f) (1 - i)4 Leia nende arvude seast naturaalarvud, täisarvud, ratsionaalarvud, irratsio- g) (1 + 2i)3 h) (4i - 5)3 i) ( 2 + i 3 )3 naalarvud, kompleksarvud, positiivsed arvud ja negatiivsed arvud. 827. Leia antud kompleksarvu kaaskompleksarv ja vastandkompleksarv. KOMPLEKSARVU GEOMEETRILINE ESITUS. KOMPLEKSARVU
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2 Järjestatud korpus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.3 Täielik järjestatud korpus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2 Täieliku järjestatud korpuse eksisteerimine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.1 Naturaalarvud, täisarvud, ratsionaalarvud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.2 Täieliku järjestatud korpuse konstruktsioon . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3 Ratsionaalarvud järjestatud korpuses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3.1 Naturaalarvud. Matemaatilise induktsiooni meetod . . . . . . . . . . 15 1.3.2 Ratsionaalarvude alamkorpus . . . . . . . . . . . . .
Z = {...,3,2,1, 0, 1, 2, 3,...}. p Ratsionaalarvudeks nimetatakse arve kujul q , kus p ja q on täisarvud, q 0. Kõigi ratsionaalarvude hulga tähistame sümboliga Q. Ratsionaalarvudeks on parajasti need arvud, mis on esitatavad lõplike või lõpmatute perioodiliste kümnendmurdudena. Arve, mis on esitatavad lõpmatute mitteperioodiliste kümnendmurdudena, nimetatakse irratsionaalarvudeks. Kõik ratsionaalarvud ja irratsionaalarvud moodustavad reaalarvude hulga. Kõigi reaalarvude hulga tähistame sümboliga R. Iga lõplikku kümnendmurdu a= , 12 ...n saab esitada lõpmatu kümnendmurruna kahel viisil: a = , 12 ...n 00... või a = , 12 ...(n -1)99... . Edaspidi välistame kümnendmurru esitamise kujul, mis lõpeb numbriga 9 perioodis. See eeldus võimaldab hõlpsamini defineerida reaalarvude võrdlemise eeskirjad.
..; Sama protsessi spektraalne arendus: x(t) = X0+Xkcos(2kf0t k), kus X0=a0/2; Xk=ak2+bk2; k=arctg(bk/ak); k=1, 2, 3, ...; Polüharmoonilise protsessi sagedusspektrit saab samuti iseloomustada amplituud-sagedus karakteristikuga. Peaaegu perioodilised protsessid. Peaaegu perioodiline protsess on protsess, mis ei ole perioodiline, küll aga saab teda kirjeldada perioodilise protsessina järgmisel kujul: x(t)=k=1Xkcos(2fkt k), kus mitte kõik suhted fk/fn ei ole ratsionaalarvud. 9. Juhuslikud vektorid, nende tõenäosuslikud jaotusseadused ning arvkarakteristikud (kovariatsiooni- ja korrelatsioonimaatriks). Juhuslikud sündmused on sellised, mis vaatluse käigus või katse tulemusel võivad toimuda või mitte. Suurust nimetatakse juhuslikuks, kui see omandab antud tingimustes sõltuvalt juhusest, ühe oma võimalikust väärtusest. Juhuslikud suurused on kas diskreetsed või pidevad. Diskreetne juhuslik suurus X
Seet˜ottu A = ∪x∈A ]ax ; bx [. Teiselt poolt on ilmne, et ]a; b[∈ T iga a, b ∈ R, a < b, korral. ¨ Definitsioon 1.4 Oeldakse, et topoloogiline ruum (X, T ) rahuldab teist loenduvuse aksioomi, kui tal leidub loen- duv baas B. N¨ aide 1.6 Reaalarvude ruum R rahuldab teist loendu- vuse aksioomi, sest tema topoloogia baasi moodustavad ka k˜oik vahemikud ]a; b[, kus a ja b on ratsionaalarvud. Selliseid vahemikke on aga loenduv hulk. 1.3 Kinnised hulgad Lisaks lahtistele hulkadele vaadeldakse topoloogilises ruumis (X, T ) kinniseid hulki. Definitsioon 1.5 Hulka A ⊂ X topoloogilises ruumis (X, T ) nimetatakse kinniseks hulgaks, kui tema t¨aiend X A on lahtine hulk, st X A ∈ T . Hulgateooriast on teada, et mis tahes hulga X alamhulkade Ai , i ∈ I, jaoks kehtivad nn. Morgani reeglid: X (∩i∈I Ai ) = ∪i∈I (X Ai ), (1.1)
Nende omadused. · Naturaalarvud (0, 1, ,2,..,n,...) N arvude jada on lõpmatu, kaks N-i liites saame uue arvu mis on ka N. Kinnine liitmise ja korrutamise suhtes. · Täisarvud Lisades N arvudele negatiivsed täisarvud saame täisarvude hulga Z (-2, -1, 0, 1, 2), -1 ja 1, -n ja n on teineteise vastandarvud. kinnine liitmise, lahutamise ja korrutamise suhtes, mitte aga jagamise suhtes; · Ratsionaalarvud koosnevad murdudest. R arvude omadused: tihe, ei ole pidev, kinnine kõige aritmeetiliste tehete suhtes. · Reaalarvud - Ratsionaalarve ja irratsionaalarve nimetatakse ühiselt reaalarvudeks. On pidev, on järjestatavad suuruse järgi, saab kujutada arvteljena (tee joonis) · Kopleksarvud - Arve kujul a + ib, kus a ja b on reaalarvud ning i imaginaarühik, nimetatakse kompleksarvudeks. Arvu, mille ruut on 1, nimetatakse
koosnevad samadest elementidest: A = B ⇔ ∀x [x ∈ A ⇔ x ∈ B]. Tühi hulk o DEF: Tühjaks hulgaks e. tühihulgaks nimetatakse hulka, mis ei sisalda ühtegi elementi. Tühja hulka tähistatakse sümboliga ∅. ∅ = { x| x ≠ x }. 13. Põhilised arvuhulgad: N, Z, Q, R, C, reaalarvude intervallid. [3, 4, 5] Põhilised arvuhulgad o N = {1, 2, 3, …} naturaalarvud e positiivsed täisarvud o Z = {..., 2,1, 0, 1, 2, …} täisarvud o Q = {q | q=m/n, m∈Z, n∈N} ratsionaalarvud o R = reaalarvud o C = {z | z=x+iy; x,y∈R, i2=1 Reaalarvude intervallid 11 o lõik [a, b] = {x | x∈R, a ≤ x ≤ b}, o vahemik (a, b) = {x | x∈R, a < x < b} o poollõik (a, b] = {x | x∈R, a < x ≤ b} o poollõik [a, b) = {x | x∈R, a ≤ x < b} 14. Alamhulk. Ülemhulk. Pärisalamhulk. [3, 4, 5] Alamhulk o DEF: Hulka A nimetatakse hulga B alamhulgaks ehk osahulgaks ja kirjutatakse A ⊆ B,
..... 75 matemaatika meie ümber ................... 20 arvuhulgad .......................................... 78 Matemaatika kui keel ....................................21 Naturaalarvud ...............................................78 Matemaatika muutub ja areneb .....................22 Täisarvud .......................................................82 Mis on matemaatika? ....................................23 Ratsionaalarvud .............................................83 Matemaatika on mitmekülgne ..................... 24 Irratsionaalarvud ja reaalarvud ......................87 miks õppida matemaatikat? ............... 24 Kompleksarvud* .......................................... 89 Matemaatika arendab mõtlemist ..................25 kuulsad arvud: ja e . ........................ 96
täisarvudest ja arvust 0. Arvu null ei loeta positiivseks ega negatiivseks. Täisarvude hulk on kinnine liitmise, lahutamise ja korrutamise suhtes. Negatiivsed arvud võeti esmakordelt kasutusele Indias võla, kahju, väljamineku märkimiseks. Et mistahes kahe täisarvu jagamine oleks alati võimalik, on Joonis 5 Arvuhulgad täisarvude huka laiendatud murdarvudega. Täisarvud koos positiivsete ja negatiivsete murdarvudega moodustavad ratsionaalarvude hulga Q. Seega ratsionaalarvud on arvud, mida saab esitada kahe täisarvu jagatisena: n /0 m Q' m 0Z, n 0Z, n...0 Kõiki harilikke murde saab esitada kümnendmurruna, kusjuures tekib kas lõplik või lõpmatu 1 2 perioodiline kümnendmurd. Näiteks ' 0,2 ; ' 0,66666... ' 0,(6) ; 5 3 3 ' 0,428571428571... ' 0,(428571) 7
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0.3 Reaalarvud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 0.4 Summa sümbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Kontrolltöö teemad 1. Reaalarvu absoluutväärtus ja selle omadused (enamus neist on loogiliselt tuletatavad). 2. Summa sümbol. Eksamiteemad 1. Naturaalarvud. 2. Täisarvud. 3. Ratsionaalarvud. 4. Irratsionaalarvud. 5. Reaalarvud. 6. Summa sümbol. PEATÜKK 0. TÄHISTUSED. REAALARVUD 0.1 Tähistused := definitsioon (võrdub, rõhutatult) aX element a kuulub hulka X a/X a ei kuulu hulka X XY hulk X sisaldub hulgas Y (NB! mitterange kuulumine) mujal võidakse eristada ja , meil = AB hulkade ühend A B hulkade ühisosa X Y hulgast X lahutatakse hulk Y järeldub
4. Suuruse dimensioon Suuruse dimensioon on avaldis, mis väljendab suuruste süsteemi kuuluvat suurust selle süsteemi põhisuuruste teatud astmes üldistavate tähiste korrutisena. Standarti ISO 31/0 jrgi tähistatakse suuruse dimensioon thisega dim. LTM- süsteemis tuletatud suurus dimensioon määratakse valemiga: dim X = LlMmTt, kus L, M, T - thised mis väljendavad põhisuurusi, l, m, t - dimensiooni astmenäitajad, mis on positiivsed või negatiivsed ratsionaalarvud (täis, või murdarvud) n Bi X = Z B i =1 i Nii on LTM süsteemis jõu dim LTM-2, massikontsentratsiooni ja tiheduse dim ML-3. Tähised, mis väljendavad põhisuurusi, nim. nende põhisuuruste dimensioonideks. Suuruse dim on võrreldes seda suurust isel. valemiga palju üldisem mõiste. Nii võib eri suurustel olla üks ja sama dim, millel on eri omadused ja erinevad suurustevahelised seosed. Näitkes jõu F poolt tehtud tööl A (A= F*l) ja liikuva keha kineetilisel
Tavalise hulga ja j¨arjestatud hulga eristamiseks lepime kokku, et viimase t¨ahistamisel kasutame loogeliste sulgude asemel u ¨marsulgi. Peale selle lubame j¨arjestatud hulga ele- mentidel ka korduda. N¨aiteks (-1, 1, -1, 1, . . .) on j¨arjestatud hulk, milles -1-le j¨argneb 1, sellele omakorda -1 jne. Naturaalarvude hulk on N = {0, 1, 2, 3, . . .} ja t¨aisarvude hulk on Z = {. . . , -2, -1, 0, 1, 2, 3, . . .}. T¨aisarvude baasil defineerime ratsionaalarvud. Ratsionaalarvuks nimetatakse kahe t¨aisarvu p ja q jagatist p/q, kusjuures q = 0. Ratsionaalarvude hulga t¨ahis on Q. Seega, l¨ uhidalt kirjutades Q = { pq p, q Z, q = 0}. Iga ratsionaalarvu saab esitada kas l~opliku v~oi l~opmatu perioodilise k¨umnendmurruna. L~opmatuid mitteperioodilisi k¨ umnendmurde nimetatakse irratsionaalarvudeks. Irratsionaalarvude hulga t¨ahis on I. Uks ¨ ja sama arv ei saa olla samaaegselt nii
Tavalise hulga ja j¨ arjestatud hulga eristamiseks lepime kokku, et viimase t¨ahistamisel kasutame loogeliste sulgude asemel u ¨marsulgi. Peale selle lubame j¨arjestatud hulga ele- mentidel ka korduda. N¨aiteks (-1, 1, -1, 1, . . .) on j¨arjestatud hulk, milles -1-le j¨ argneb 1, sellele omakorda -1 jne. Naturaalarvude hulk on N = {0, 1, 2, 3, . . .} ja t¨aisarvude hulk on Z = {. . . , -2, -1, 0, 1, 2, 3, . . .}. T¨aisarvude baasil defineerime ratsionaalarvud. Ratsionaalarvuks nimetatakse kahe t¨aisarvu p ja q jagatist p/q, kusjuures q = 0. Ratsionaalarvude hulga t¨ahis on Q. Seega, l¨ uhidalt kirjutades Q = { pq p, q Z, q = 0}. Iga ratsionaalarvu saab esitada kas l~opliku v~oi l~opmatu perioodilise k¨ umnendmurruna. L~opmatuid mitteperioodilisi k¨ umnendmurde nimetatakse irratsionaalarvudeks. ¨ ja sama arv ei saa olla samaaegselt nii
dx = - - ln + C = - + ln |x + x2 - 4| + C. x2 x 2 x+ x -4 x Siin - ln 2 + C on asendatud uuesti suvalise konstandiga C. 26 9.4 Diferentsiaalbinoomi integreerimine Diferentsiaalbinoomiks nimetatalse avaldist x (ax + b) , milles , ja on ratsionaalarvud, aga a ja b on suvalised reaalarvud. Diferentsiaalbinoomi integraali x (ax + b) dx (9.23) saab teisendada ratsionaalavaldise integraaliks kolmel juhul. Kui on t¨ aisarv teiseneb (9.23) ratsionaalavldise integraaliks muutuja vahetusega x = tn , kus n on murdude ja u ¨hine nimetaja. N¨aide 9.7. Leiame integraali x( 3 x + 1)2 dx. 1 1
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
