Lembit Pallase materjalid (8)

YMM3731 Matemaatiline analu¨u¨s I 2007/08 ~o.-a. su¨gissemestril
3,5 AP 4 2-0-2 E S Dots. Lembit Pallas TTU¨ Matemaatikainstituut V-404, tel. 6203056 e-post: lpallas@ staff .ttu.ee K¨asitletavad teemad on toodud punktide kaupa. Neid punkte tuleb vaadelda ka kui kollokviumide ja eksami teooriak¨ usimusi.
1. Funktsiooni m~ oiste ja esitusviisid
2. Funktsioonide liigitamine (paaris- ja paaritud funktsioonid, perioodilised funktsioo- nid, kasvavad ja kahanevad funktsioonid)
3. P¨o¨ordfunktsioon
4. Liitfunktsioon
5. Jada piirv ¨aa¨ rtus
6. Funktsiooni piirv¨aa¨rtus ¨ 7. Uhepoolsed piirv¨aa¨ rtused
8. L~opmatult kasvavad ja l~opmatult kahanevad suurused
9. Piirv¨a¨artusteoreemid
10. L~opmatult kahanevate suuruste v~ordlemine
11. Funktsiooni pidevuse m~oiste. Tarvilik ja piisav tingimus funktsiooni pidevuseks
12. Elementaarfunktsioonide pidevus
13. L~oigul pidevate funktsioonide omadused
14. Funktsiooni katkevuspunktid
15. Funktsiooni tuletise m~oiste, selle geomeetriline ja mehhaaniline t~olgendus
1 16. Pidevus ja diferentseeruvus
17. M~onede p~ohiliste elementaarfunktsioonide tuletised
18. Diferentseerimisreeglid
19. P¨o¨ordfunktsiooni tuletis
20. Liitfunktsiooni tuletis
21. Logaritmiline diferentseerimine
22. Ilmutamata funktsiooni tuletis
23. Parameetrilisel kujul esitatud funktsiooni tuletis
24. Funktsiooni diferentsiaal
25. K~orgemat j¨arku tuletised
26. Joone puutuja ja normaali v~orrandid
27. Rolle'i teoreem
28. Cauchy teoreem
29. Lagrange 'i teoreem
30. L' Hospitali reegel
31. L'Hospitali reegel teistel m¨aa¨ramatuse juhtudel
32. Taylori valem
33. Funktsioonide ex , sin x ja cos x arendid Maclaurini valemi j¨ argi
34. Funktsiooni kasvamine ja kahanemine
35. Funktsiooni lokaalsed ekstreemumid
36. Funktsiooni suurim ja v¨ahim v¨a¨ artus antud l~oigul
37. Funktsiooni graafiku kumerus ja n~ogusus. K¨aa¨nupunktid
38. Funktsiooni graafiku as¨ umptoodid
39. Algfunktsioon ja m¨aa¨ ramata integraal
40. Integraalide tabel
2 41. M¨aa¨ramata integraali omadusi
42. Integreerimine muutuja vahetusega
43. Ositi integreerimine
44. Osamurrud ja nende integreerimine
45. Ratsionaalse murru lahutamine osamurdudeks
46. M~onede trigonomeetriliste funktsioonide klasside integreerimine
47. Irratsionaalavaldiste integreerimine
48. M¨aa¨ratud integraali m~oiste
49. M¨aa¨ratud integraali omadused
50. M¨aa¨ratud integraali arvutamine. Newton -Leibnizi valem
51. Muutuja vahetus m¨aa¨ratud integraalis
52. Ositi integreerimine (m¨aa¨ratud integraali korral)
53. L~opmatute rajadega p¨aratud integraalid
54. P¨aratud integraalid t~okestamata funktsioonidest
55. M¨aa¨ratud integraali ligikaudne arvutamine. Trapetsvalem
56. Pindala arvutamine ristkoordinaatides
57. Polaarkoordinaadistik. K~oversektori pindala polaarkoordinaatides
58. K~overjoone kaare pikkus
Kirjandus 1. N. S. Piskunov, Diferentsiaal- ja integraalarvutus, I, II, Tallinn 1983.
2. A. L~ohmus, I. Petersen, H. Roos, K~orgema matemaatika u ¨lesannete kogu. Tallinn, 1982.
3. L. Pallas, M¨aa¨ramata integraal. Tallinn, 2005
4. I. Tammeraid, Matemaatiline anal¨ uu¨s I. Tallinn, 2001.
3 5. G. N. Berman , Matemaatilise anal¨ uu¨si kursuse u ¨lesannete kogu. Moskva , 1977 (vene keeles).
N¨adalas toimub 2 tundi loenguid ja 2 tundi harjutusi. Loengus esitatakse uus materjal, mida harjutustunnis kinnistatakse u ¨lesannete lahendamisega. Loengumaterjalid on internetis kodulehek ¨ uljel www.staff.ttu/lpallas Semester l~opeb suulise eksamiga. Eksamipiletis on kaks teooriak¨ usimust ja kaks u ¨lesannet. Kokku neli punkti, mis k~oik omavad v~ordset kaalu. Eksamieelduseks on kahe kontrollt¨o¨o kirjutamine semestri jooksul. Kontrollt¨o¨od toi- muvad harjutustunnis, 1. kontrollt¨o¨o 8. ja 2. kontrollt¨o¨o 15. ~oppen¨adalal. Kontrollt¨o¨ode ja u ¨htlasi eksami t¨ uu¨p¨ulesanded on interneti aadressil www.staff.ttu.ee/lpallas/matan1yles.pdf Kontrollt¨oid hinnatakse 100-punkti s¨ usteemis. Selleks, et kontrollt¨o¨o oleks arvestatud, peab see olema kirjutatud v¨ahemalt 51-le punktile. ¨ opilased, kes kirjutavad m~olemad kontrollt¨o¨od u Uli~ ¨lalnimetatud aegadel v¨ahemalt 80 punktile, on eksamil u ¨lesannetest vabastatud. Semestri jooksul toimub kolm kollokviumi (osaeksamit). Esimene - funktsioon, piirv¨aa¨rtus, pidevus (punktid 1 - 14) - 12. oktoobril 18.00 v~oi 10. oktoobril 14.00. Teine - funktsiooni tuletis, tuletise rakendusi (punktid 15 - 38) - 23. novembril 18.00 v~oi 28. novembril kell 14.00. Kolmas - m¨a¨aramata ja m¨a¨aratud integraal (punktid 39 - 58) - 21. detsembril kell 18.00. Kollokviumid on kirjalikud ja ei sisalda u ¨ lesandeid vaid ainult teooriat. Vajaduse korral toimub kollokviumile j¨argnevas konsultasioonis t¨o¨o kaitsmine. Kui kollokvium on kirjutatud v¨ahemalt kuuele punktile ja u ¨li~opilane on tulemusega rahul, siis vastavaid teemasid eksamil ei ole. Konsultatsioonid toimuvad kolmap¨aeviti 14.00 (kuni kaheksanda n¨adalani ainult paa- risn¨adalatel) ja reedeti 18.00.
4 1 Funktsioon, piirv¨ a¨ artus, pidevus 1.1 Funktsioon 1.1.1 T¨ ahistused Arvuhulki t¨ahistatakse u ¨ldlevinud viisil: N - naturaalarvude hulk, Z - t¨aisarvude hulk, Q - ratsionaalarvude hulk, R - reaalarvude hulk. Piirkonnaks nimetatakse reaalarvude hulga alamhulki: vahemik, l~oik, pooll~oik ja nende u ¨ hendid . Piirkondi hakkame t¨ ahistama suurte t¨ahtedega X, Y, Z, ... . Konstant on suurus, mis antud kontekstis omab ainult u ¨hte kindlat v¨aa¨rtust. Konstante t¨ahistatakse matemaatilises anal¨ uu ¨sis t¨ahestiku algust¨ahtedega a, b, c, ... . Muutuvaks suuruseks nimetatakse suurust, mis v~oib omandada mistahes v¨a¨artust mingisugusest piirkonnast . Muutuvid suurusi t¨ahistatakse t¨ahestiku l~oput¨ahtedega x, y, z, ... . T¨aisarvuliste muutujate t¨ahistamiseks kasutatak- se t¨ahti i, j, k, l, m ja n. Funktsioone t¨ahistatakse t¨ahtedega f, g, h ja nende kreeka vastetega (fii), ( psii ) (hii). Matemaatilise anal¨ uu¨si kursuses on muutuvateks suurusteks reeglina (kui ei ole tehtud t¨aiendavat eeldust ) reaalarvulised muutujad. Kirjaviisi x X loetakse: suurus x kuulub piirkonda X. ¨ Uldlevinud on kahe nn kvantori - universaalsuskvantori ja olemasolu- kvantori kasutamine. S¨ umbolit loetakse teksti sees "iga"ja s¨ umbolit loetakse "eksisterib"v~oi "leidub". Kirjaviisi x > 0 [a; b] loetakse: iga positiivse x v¨a¨artuse korral leidub l~oik [a; b].
1.1.2 Funktsiooni m~ oiste ja esitusviisid Definitsioon 1.1. Kui igale muutuja x v¨a¨artusele mingisugusest piirkonnast X on vastavusse seatud u ¨ks muutuja y kindel v¨a¨artus piirkonnast Y , siis muutujat y nimetetakse muutuja x funktsiooniks. Seda asjaolu m¨argitakse matemaatilise anal¨ uu ¨sis y = f (x), y = F (x), y = (x) jne. Muutuvat suurust x nimetatakse s~oltumatuks muutujaks ehk argumendiks ja muutuvat suurust y s~oltuvaks muutujaks ehk funktsiooniks. S¨umbol f m¨argib reeglit v~oi eeskirja, mis selle vastavuse korraldab. Seega - funktsioonist saab k~onelda siis, kui on olemas eeskiri, mis igale u¨he muutuja v¨a¨artusele seab vastavusse teise muutuja u¨he kindla v¨a¨artuse. Funktsioone saab esitada tabelina, graafikuna ja anal¨ uu ¨tiliselt.
1 N¨ aide 1.1. Tabel x y -2 3 -1 11 0 15 esitab definitsiooni kohaselt funktsiooni, sest igale muutuja x v¨aa¨ rtusele kol- meelemendilisest hulgast X = {-2, -1, 0} seab see vastavusse u ¨he kindla muutuja y v¨a¨artuse. Muutuja x v¨a¨artusele -2 on vastavusse seatud muutuja y v¨a¨artus 3 jne. Teiseks funktsiooni esitusviisiks on graafik . N¨ aide 1.2. Graafik esitab y
y0 P
x0 x
Joonis 1.1: Funktsiooni esitusviis graafikuna
t~oepoolest u ¨laltoodud definitsiooni m~ottes funktsiooni, sest argumendi v¨a¨artusele x0 vastab graafiku punkt P . Selle punkti ordinaat y0 on u ¨heselt m¨aa¨ratud, seega igale argumendi x v¨a¨artusele seab graafik vastavusse u ¨he kindla y v¨a¨artuse. Kolmandaks funktsiooni esitusviisiks on anal¨ uu¨tiline esitusviis. Siin eris- tame funktsiooni esitust ilmutatud kujul, ilmutamata kujul ja funktsiooni parameetrilist esitusviisi. Funktsioon esitatakse ilmutatud kujul v~ordusena y = f (x), kus vasakul pool v~ordusm¨ arki on y ja paremal mingisugune anal¨ uu¨tiline avaldis muutuja x suhtes. Ilmutatud kujul on k~oik p~ohilised elementaarfunktsioonid: ruut- funktsioon y = x2 - 2x + 3, trigonomeetrilised funktsioonid, eksponent - ja logaritmfunktsioonid jne. Enne kui asuda funktsiooni ilmutatud kuju ja parameetrilise esitusviisi juurde, peab funktsiooni m~oistet laiendama. Edaspidi loeme muutuja y muu- tuja x funktsiooniks ka juhul, kui igale x v¨a¨artusele vastab kaks y v¨a¨artust, kolm y v¨a¨artust, ... , l~opmatult palju muutuja y v¨a¨artusi. Esimesel juhul ¨oeldakse, et funktsioon on kahene, teisel juhul - funktsioon on kolmene, ... , funktsioon on l~opmatult mitmene .
2 N¨ aide 1.3. Ilmutamata kujul on funktsioon x2 + y 2 = r2 , kus r on positiivne konstant. Selle funktsiooni graafikuks on ringjoon keskpunktiga koordinaatide alguses, raadiusega r. Selle funktsiooni ilmutamiseks, st tei- y
y1
x0 r x
y2
Joonis 1.2: Ringjoon raadiusega r
sendamiseks ilmutatud kujule , avaldame v~ordusest muutuja y. K~oigepealt y 2 = r2 - x2 , millest y = ± r2 - x2 . Igale x v¨a¨artusele vahemikust (-r; r) vastab kaks muutuja y v¨a¨artust. Joonisel vastab argumendi x0 v¨a¨artusele kaks y v¨a¨artust y1 = r2 - x20 ja y2 = - r2 - 2 x0 . Seega on antud juhul tegemist kahese funktsiooniga. Funktsioonid y = r - x2 ja y = - r2 - x2 2
on selle kahese funktsiooni u ¨hesteks harudeks. Kui ilmutatumata kujul esi- tatud funktsiooni graafikuks on kogu ringjoon, siis funktsiooni y = r 2 - x2 graafikuks on ringjoone u ¨ lemine pool ja funktsiooni y = - r2 - x2 graafi - kuks ringjoone alumine pool. Kolmandaks funktsiooni anal¨ uu ¨tiliseks esitusviisiks on funktsiooni para- meetriline esitusviis. Parameetrilise esitusviisi korral ei ole kaks muutujat x ja y omavahel otseselt v~ordusega seotud, vaid on seotud l¨abi kolmanda muutuja, nn parameetri t. Parameetrilise esitusviis on u ¨ ldjuhul x = (t) y = (t) Parameetrilisel kujul on v~oimalik esitada k~oiki funktsioone. Funktisooni y = x2 parameetriliseks esitusviisiks on x=t y = t2 Funktsiooni x2 + y 2 = r2 parameetriliseks esitusviisiks on x = r cos t y = r sin t
3 Selles esitusviisis on parameetriks t joonisel n¨aidatud nurk. y
t r x
Joonis 1.3: Parameetri t t¨ahendus
Funktsiooni y = x2 parameetrilist esitusviisi tavaliselt ei kasutata, sellel puudub m~ote. K¨ull aga kasutatakse funkktsiooni x2 + y 2 = r2 parameetrilist esitusviisi. On funktsioone, millele ainsaks m~oistlikuks esitusviisiks on parameetriline esitusviis. N¨aide 1.4. Vaatleme parameetrilisel kujul esitatud funktsiooni x = a(t - sin t) y = a(1 - cos t) Funktsiooni graafikuks on ts¨ ukliline joon, mida nimetatakse ts¨ ukloidiks. Ts¨ ukloid on joon, mille kirjeldab ringjoone raadiusega a u ¨ks punkt, mis alg- y
2a x
Joonis 1.4: Ts¨ ukloid
asendis asub koordinaatide alguspunktis, kui panna ringjoon veerema m¨o¨oda x-telge. Sellisel juhul on funktsiooni parameetrilises esitusviisis parameetriks t selle ringjoone p¨o¨ordenurk algasendi suhtes.
4 Definitsioon 1.2. Funktsiooni y = f (x) m¨a¨aramispiirkonnaks nimeta- takse niisugust argumendi x v¨a¨artuste hulka, millele anntud eeskirja kohaselt saab vastavusse seada muutuja y v¨a¨artuse. Funktsiooni m¨a¨aramispiirkond on kas funktsiooni definitsiooniga ette an- tud v~oi funktsiooni enda poolt m¨a¨aratud. Funktsiooni m¨a¨aramispiirkonda t¨ahistatakse s¨ umboliga X. N¨ aide 1.5. Funktsiooni x, kui 0 x 1 f (x) = 2 - x, kui 1 m¨aa¨ramispiirkonnaks on l~oik X = [0; 2], sest v¨aljaspool seda l~oiku ei ole funktsioon defineeritud. Funktsiooni graafik on esitatud joonisel. y
1 y = f( x)
1 2 x
N¨aide 1.6. Funktsiooni y = 2x - x2 m¨a¨aramispiirkonna annab ette kitsendus 2x - x2 0. Selle v~orratuse lahendihulka kuuluvad argumendi x v¨a¨artused, mis rahuldavad tingimust 0 x 2, seega antud funktsiooni m¨a¨aramispiirkonnaks on l~oik X = [0; 2].
Definitsioon 1.3. Funktsiooni y = f (x) muutumispiirkonnaks nimeta- takse muutuja y nende v¨a¨artuste hulka, mis vastavad k~oikidele m¨a¨aramispiirkonda kuuluvatele argumendi x v¨a¨artustele. Muutumispiirkonda t¨ahistatakse s¨ umboliga Y. N¨aide 1.7. Leiame n¨aites 1.6 antud funktsiooni muutumispiirkonna. Juu- re all on ruutfunktsioon 2x - x2 , mille graafikuks on allapoole avanev para- bool . M¨a¨aramispiirkonna X = [0; 2] otspunktides on ruutfunktsiooni v¨a¨artus 0, seega on ka antud funktsiooni v¨ahim v¨a¨artus 0. Ruutfunktsiooni suurimaks v¨a¨artuseks on parabooli haripunkti ordinaat. Parabooli haripunkti abstsiss 0+2 on xh = = 1, millele vastav ordinaat on yh = 2 · 1 - 12 = 1. V¨a¨artus 2 1 on juure all oleva ruutfunktsiooni suurimaks v¨a¨artuseks ning u ¨htlasi juu- re suurimaks v¨a¨artuseks. J¨ arelikult on funktsiooni muutumispiirkonnaks l~oik Y = [0; 1].
5 1.1.3 Funktsioonide liigitamine Funktsioone liigitatakse nende s¨ ummeetriaomaduste, v¨a¨artuste kordumise v~oi mingi muu tunnuse alusel. Definitsioon 1.4. Funktsiooni y = f (x) nimetatakse paarisfunktsioo- niks , kui x X korral f (-x) = f (x). Paarisfunktsioonideks on n¨aiteks y = x2 , y = |x| ja y = cos x. Neist kahe esi- mese graafikud on esitatud joonisel 1.5 ja kolmanda graafik joonisel 1.6. Kui y y 4 4 x2 y=
| |x = 2 2
y -2 2 x -2 2 x
Joonis 1.5: funktsioonid y = x2 ja y = |x|
y
1
-2 - 2 x
-1
Joonis 1.6: funktsioon y = cos x
paarisfunktsiooni graafikule kuulub punkt x; f (x), siis definitsioonis esitatud tingimuse kohaselt kuulub graafikule ka punkt -x; f (x). Need kaks punkti paiknevad koordinaatteljestikus s¨ ummeetriliselt y-telje suhtes. J¨arelikult on iga paarisfunktsiooni graafik s¨ ummeetriline y-telje suhtes. Definitsioon 1.5. Funktsiooni y = f (x) nimetatakse paarituks, kui x X korral f (-x) = -f (x).
6 y
y = x3 2
-2 2 x
-2
Joonis 1.7: funktsioon y = x3
y
1
-2 - 2 x -1
Joonis 1.8: funktsioon y = sin x
Paarituteks funktsioonideks on y = x3 , y = sin x ja y = tan x. Nende funkt- sioonide graafikud on esitatud vastavalt joonistel 1.7, 1.8 ja 1.9. Kui mis tahes paaritu funktsiooni graafikule kuulub punkt (x; f (x)), siis definitsioonis esitatud tingimuse kohaselt kuulub sellele ka punkt (-x; -f (x)). Need kaks punkti paiknevad s¨ ummeetriliselt koordinaatide alguspunkti suh- tes. Seega on k~oikide paaritute funktsioonide graafikud s¨ummeetrilised koor- dinaatide alguspunkti suhtes. 1+x N¨aide 1.8. Uurime, kas funktsioon y = ln on paaris v~oi paaritu. 1-x -1 1+x 1-x 1+x T¨ahistame f (x) = ln ja leiame f (-x) = ln = ln = 1-x 1 - (-x) 1-x 1+x - ln = -f (x). 1-x Saime , et x X korral f (-x) = -f (x), st funktsioon on paaritu. Kehtivad j¨argmised v¨aited.
7 y
1 - 32 - 2 2 3 2 x -2 - 2 -1
Joonis 1.9: funktsioon y = tan x
· Kahe paarisfunktsiooni korrutis on paarisfunktsioon ;
· kahe paaritu funktsiooni korrutis on paarisfunktsioon;
· paaris- paaritu funktsiooni korrutis on paaritu funktsioon.
T~oestame antud v¨aidetest teise. Olgu f (x) ja g(x) paaritud funktsioonid. T¨ahistame nende korrutise h(x) = f (x)g(x) ja leiame h(-x) = f (-x)g(-x) = -f (x) · [-g(x)] = f (x)g(x), st korrutis h(x) on t~oepoolest paarisfunktsioon. 1+x N¨aide 1.9. Vaatleme funktsiooni y = x ln . 1-x 1+x Funktsioon f (x) = x on paaritu, funktsioon g(x) = ln on n¨aite 1-x 4 p~ohjal samuti paaritu, j¨arelikult nende korrutis, st antud funktsioon on paaris. Definitsioon 1.6. Funktsiooni y = f (x) nimetatakse perioodiliseks, kui selline reaalarv T = 0, et x X korral
f (x + T ) = f (x).
Siin on eeldatud, et ka x + T X. V¨ahimat positiivset sellist reaalarvu (kui see eksisteerib) nimetatakse funktsiooni perioodiks . Selle definitsiooni esimese poole p~ohjal on siinusfunktsioon perioodiline, sest definitsioonis n~outud reaalarvuks T sobivad 4, 10, -6 jne. V¨ahimaks
8 positiivseks selliseks reaalarvuks on aga 2, mis on definitsiooni p~ohjal sii- nusfunktsiooni perioodiks. Koosinusfunktsiooni perioodiks on samuti 2, tan- gensfunktsiooni perioodiks on . Trigonomeetrilised funktsioonid ei ole kaugeltki mitte ainsateks perioodi- listeks funktsioonideks. Defineerime nn "saehamba"funktsiooni x - n, kui nx f (x2 ).
9 y
f (x2 )
f (x1 )
x1 x2 x
Joonis 1.11: kasvav funktsioon y
f (x1 )
f (x2 )
x1 x2 x
Joonis 1.12: kahanev funktsioon
Seega funktsiooni nimetatakse kasvavaks, kui kahest m¨a¨aramispiikonnast v~otud argumendi v¨a¨artusest suuremale vastab v¨aiksem funktsiooni v¨a¨artus. Definitsioon 1.10. Funktsiooni y = f (x) nimetatakse monotoonselt ka- hanevaks, kui kui kahe mis tahes argumendi x1 , x2 X korral, mis rahulda- vad tingimudt x1 Konstantne funktsioon on esitatud definitsioonide p~ohjal samaaegselt nii monotoonselt kasvav kui ka monotoonselt kahanev.
1.1.4 P¨ o¨ ordfunktsioon N¨aites 1.1 esitatud tabel seab igale x v¨a¨artusele vastavusse y v¨a¨artuse. T¨apselt samuti aga seab see tabel igale y v¨a¨artusele vastavusse x v¨a¨artuse, st muutuja y on selles tabelis vaadeldav argumendina ja muutuja x funktsioonina . N¨aites 1.2 esitatud graafik seab teatud piirkonnas igale y v¨aa¨rtusele vasta- vusse u¨he, kaks v~oi kolm muutuja x v¨a¨artust. Funktsiooni laiendatud m~oiste kohaselt on muutuja x vaadeldav muutuja y funktsioonina.
10 x N¨ aide 1.10. Anal¨ uu ¨tiline funktsioon y = seab igale x v¨a¨artusele x+1 vastavusse y v¨a¨artuse. Avaldades sellest v~ordusest muutuja x saame, et x = y , st muutuja y v¨a¨artustele seab see v~ ordus vastavusse muutuja x v¨a¨artuse. 1-y Peale selle, et muutuja y on muutuja x funktsiooniks, on muutuja x vaadeldav muutuja y funktsioonina. J¨arelikult on iga eeskirjaga (tabeliga, graafikuga, anal¨ uu ¨ tilise avaldisega) m¨a¨aratud kaks funktsiooni, millest teist nimetatakse esimese p¨o¨ordfunktsiooniks. Edaspidi hakkame funktsiooni y = f (x) p¨o¨ordfunktsiooni t¨ahistama x = (y). Sellises t¨ahistuses langevad p¨oo¨rdfunktsiooni ja selle p¨oo¨rdfunktsiooni graafikud kokku. Tavaliselt aga t¨ahistatakse p¨o¨ordfunktsioonis argument uues- ti x-ga ja funktsioon y-ga ning p¨o¨ordfunktsioon esitatakse y = (x). Kui antud funktsiooni y = f (x) graafikule kuulub punkt koordinaatidega (x; y), siis p¨o¨ordfunktsiooni graafikule kuulub punkt koordinaatidega (y; x). Teise punkti saame esimesest , peegeldades seda koordinaattasandi I ja III veerandi nurgapoolitaja (sirge y = x) suhtes. J¨arelikult: p¨o¨ordfunktsiooni y = (x) graafiku saame antud funktsiooni y = f (x) graafiku peegeldamise teel sirge y = x suhtes. Vaatleme n¨aiteid. N¨ aide 1.11. Olgu antud funktsiooniks ruutfunktsioon y = x2 , mille graa- fik on esitatud joonisel 1.5. Avaldades v~ordusest muutuja x, saame p¨ oo ¨ rdfunktsiooniks x = ± y ja p¨arast t¨ahistuse vahetamist y = ± x. Selle p¨o¨ordfunktsiooni graafikuks on funktsiooni y = x2 graafiku peegeldus sirge y = x suhtes (joonis 1.13). y x
4 = y x2 y=
x 2 y=
-2 2 4 x y = - x -2
Joonis 1.13: funktsioon y = x2 ja selle p¨oo¨ rdfunktsioon
11 N¨aide 1.12. Olgu antud funktsiooniks eksponentfunktsioon y = 2x . Siit muutuja x = log2 y ja p¨arast t¨ahistuse vahetamist y = log2 x. Eksponent- funktsiooni p¨o¨ordfunktsiooniks on logaritmfunktsioon . y
x 2x
= y 4
y= x 2 log 2 y=
-2 2 4 x
-2
Joonis 1.14: funktsioon y = 2x ja selle p¨oo¨rdfunktsioon y = log2 x
Eraldame siinusfunktsioonist y = sin x osa, mille m¨aa¨ramispiirkond on - ; (joonis 1.15). 2 2 y
1
- 2 x 2
-1
Joonis 1.15: funktsioon y = sin x l~oigul - ; 2 2
Antud juhul vastab igale muutuja y [-1; 1] v¨a¨artusele u ¨ks muutuja x v¨aa¨rtus. Seda p¨o¨ordfunktsiooni t¨ahistatakse x = arcsin y. P¨arast t¨ahistuse muutmist saame funktsiooni y = sin x, x - ; p¨oo¨rdfunktsiooni y = 2 2 arcsin x. Selle funktsiooni m¨a¨aramispiirkond on X = [-1; 1] ja muutumis- piirkond Y = - ; . 2 2
12 y 2
-1 1 x
- 2
Joonis 1.16: funktsioon y = arcsin x
Avaldades v~ordusest y = sin x muutuja x, saame y [-1; 1] korral x = (-1)n arcsin y + n, n Z. Vahetades t¨ahistuse, saame l~opmatult mitmese funktsiooni y = (-1)n arcsin x + n, n Z, mida t¨ahistatakse y = Arcsin x y 2
x -1 1
-2
Joonis 1.17: funktsioon y = Arcsin x
Eraldame koosinusfunktsioonist osa, mille m¨a¨aramispiirkond on [0; ] (joo- nis 1.18). Igale y [-1; 1] v¨a¨artusele vastab u ¨ks muutuja x v¨a¨artus. Seda funtksioo- ni t¨ahistatakse x = arccos y. P¨arast t¨ahistuse vahetamist saame funktsioo- ni y = arccos x, mille m¨a¨aramispiirkond X = [-1; 1] ja muutumispiirkond Y = [0; ].
13 y
1
x
-1
Joonis 1.18: funktsioon y = cos x l~oigul [0; ] y
2
-1 1 x
Joonis 1.19: funktsioon y = arccos x
Funktsioonide y = arcsin x ja y = arccos x vahel kehtib x [-1; 1] puhul seos arcsin x + arccos x = 2 Avaldades v~ordusest y = cos x muutuja x, saame x = ± arccos y + 2n, n Z. P¨arast t¨ahistuse vahetamist saadud l~opmatult mitmest funkt- siooni y = ± arccos x + 2n, n Z t¨ahistatakse y = Arccos x. Eraldame tangensfunktsioonist osa, mille m¨a¨aramispiirkond on vahemik - ; . Selle funktsiooni graafikuks on koordinaatide alguspunkti l¨abiv 2 2 tangensfunksiooni haru (joonis 1.9). Sellise funktsiooni puhul vastab igale y (-; ) v¨a¨artusele parajasti u ¨ks muutuja x v¨a¨artus vahemikust - ; 2 2 ja seda t¨ahistatakse x = arctan y. P¨arast t¨ahistuse vahetamist saame y = tan x, x - ; , p¨o¨ordfunktsiooni y = arctan x. Selle m¨a¨aramispiirkond 2 2
14 y 2
x -1 1
-2
Joonis 1.20: funktsioon y = Arccos x
X = (-; ) ja muutumispiirkond - ; . 2 2 y 2
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 x
- 2
Joonis 1.21: funktsioon y = arctan x Avaldades v~orrandist y = tan x muutuja x, saame x = arctan y + n, n Z. Vahetades t¨ahistuse, saame funktsiooni y = tan x l~opmatult mitmese p¨o¨ordfunktsiooni y = arctan x+n, n Z, mida t¨ahistataskse y = Arctan x. Lisame juba vaadeldud trigonomeetrilistele funtksioonidele veel neljanda y = cot x. Graafik on esitataud joonisel 1.22 Eraldame funktsioonist y = cot x v¨alja haru m¨a¨aramispiirkonnaga (0; ). Sellel harul vastab igale y (-; ) v¨a¨artusele u ¨ks muutuja x v¨a¨artus. Seda funtksiooni t¨ahistatakse x = arccot y. P¨arast t¨ahistuse muutmist on funkt- siooni y = cot x, x (0; ) p¨o¨ordfunktsiooniks y = arccot x. Selle funktsiooni m¨a¨aramispiirkond X = (-; ) ja muutumispiirkond Y = (0; ).
15 y
1
- 2 x -2 - 32 - 2 3 2 2 -1
Joonis 1.22: funktsioon y = cot x y
2
-4 -2 2 4 x
Joonis 1.23: funktsioon y = arccot x
Funktsioonide y = arctan x ja y = arccot x vahel kehtib x (-; ) korral seos arctan x + arccot x = . 2 Avaldades v~orrandist y = cot x muutuja x, saame x = arccot y + n, n Z. Vahetades t¨ahistuse, saame funktsiooni y = cot x l~opmatult mitmese p¨o¨ordfunktsiooni y = arccot x + n, n Z, mida t¨ahistataskse y = Arccot x.
1.1.5 Hu ¨ perboolsed funktsioonid ja nende p¨ o¨ ordfunktsioonid Paele vaadeldud p~ohiliste elementaarfunktsioonide vaadeldakse matemaati - lises anal¨ uu¨sis veel nn h¨ uperboolseid funktsioone ja nende p¨o¨ordfunktsioone, nn areafunktsioone. H¨ uperboolsed funktsioonid ja areafunktsioonid avaldu- vad juba vaadeldud p~ohiliste elementaarfunktsioonide kaudu.
16 H¨uperboolseteks funktsioonideks on h¨uperboolne siinus , h¨ uperboolne koo- sinus , h¨ uperboolne tangens ja h¨ uperboolne kootangens . H¨uperboolne siinus y = sh x on defineeritud kui ex - e-x sh x = . 2 H¨ uperboolse siinuse graafik on esitatud joonisel 1.24. Funktsiooni m¨a¨aramispiirkond X = (-; ) ja muutumispiirkond Y = (-; ). y
4
2
-2 2 x
-2
-4
Joonis 1.24: h¨ uperboolne siinus y = sh x
H¨ uperboolne koosinus y = ch x on defineeritud kui ex + e-x ch x = . 2 H¨ uperboolse koosinuse graafik on joonisel 1.25. Selle funktsiooni m¨a¨aramispiirkond X = (-; ) ja nmuutumispiirkmond Y = [1; ). H¨uperboolse siinuse ja koosinuse jaoks kehtib rida analoogilisi seoseid , mis on tuttavad trigonomeetriliste siinuse ja koosinuse korral. · ch2 x - sh2 x = 1; · sh 2x = 2 sh x ch x; · ch 2x = ch2 x + sh2 x. H¨ uperboolne tangens y = th x on defineeritud kui sh x ex - e-x th x = = x . ch x e + e-x
17 y
4
2
x -2 2
Joonis 1.25: h¨ uperboolne koosinus y = ch x
H¨ uperboolse tangensi graafik on joonisel 1.26. Selle funktsiooni m¨a¨aramispiirkond on X = (-; ) ja muutumispiirkond Y = (-1; 1). y 1
-2 2 x
-1
Joonis 1.26: h¨ uperboolne tangens y = th x
H¨ uperboolne kootangens y = cth x on defineeritud kui 1 ch x ex + e-x cth x = = = x . th x sh x e - e-x H¨uperboolse kootangensi graafik on joonisel 1.27. Selle funktsiooni m¨a¨aramispiirkond on X = (-; 0) (0; ) ja muutumispiirkond Y = (-; -1) (1; ). Leiame funktsiooni y = sh x p¨o¨ordfunktsiooni. Selleks avaldame v~orran- ex - e-x dist y = muutuja x. Korrutades v~orrandi m~olemad pooled suuru- 2 sega 2e saame e - 2yex - 1 = 0, st ruutv ~orrandi ex suhtes, millest x 2x
ex = y + y 2 + 1.
18 y
1
-2 2 x
-1
Joonis 1.27: h¨ uperboolne kootangens y = cth x
Miinusm¨ark juure ees ei ole v~oimalik, sest y - y 2 + 1 on negatiivne, aga x e negatiivne ei saa olla. Avaldame viimasest v~ordusest x = ln(y + y 2 + 1). Vahetades t¨ahistuse, saame funktsiooni y = sh x p¨o¨ordfunktsiooniks y = ln(x + x2 + 1). Seda funkrtsiooni nimetatakse areasiinuseks ja t¨ahistatakse y = arsh x. ex + e-x Avaldades samal viisil v~orrandist y = muutuja x, saame x = 2 ln(y+ y 2 - 1).Vahetades t¨ahistuse saame, et funktsiooni y = ch x p¨o¨ordfunktsiooniks on y = ln(x + x2 - 1), mida nimetatakse areakoosinuseks ja t¨ahistatakse y = arch x. ex - e-x 1 1+y Avaldame v~orrandist y = x -x muutuja x. Tulemuseks on x = ln . e +e 2 1-y P¨arast t¨ahistuse vahetamist saame funktsiooni y = th x p¨o¨ordfunktsiooniks 1 1+x y = ln , mida nimetatakse areatangensiks ja t¨ahistatakse y = arth x. 2 1-x
1.1.6 Liitfunktsioon Oletame, et argumendile x X on vastavusse seatud muutuja u v¨aa¨rtus,
u = g(x),
st u on muutuja x funktsioon ja omandab v¨a¨artusi hulgast U Muutuja u U v~oib omakorda olla argumendiks mingile teisele funktsioonile, st
y = f (u).
19 Kui asendada u muutuja x kaudu viimasesse funktsiooni, saame liitfunkt- siooni y = f [g(x)]. Funktsioone u = g(x) ja y = f (u) nimetatakse liitfunktsiooni komponent - funktsioonideks ehk komponentideks. Seejuures funktsiooni u = g(x) nimeta- takse seesmiseks ja funktsiooni y = f (u) v¨aliseks. N¨aide 1. Liitfunktsiooni y = 1 - x2 komponendid on seesmine funkt- sioon u = 1 - x2 ja v¨aline funktsioon y= u. 1+x 1 N¨aide 2. Kui koostada komponentidest u = ja y = ln u liit- 1-x 2 funktsioon, saame 1 1+x y = ln , 2 1-x st funktsiooni y = arth x. On olemas liitfunktsioone, millel on komponente rohkem kui kaks. Kui u on x funktsioon, u = h(x), muutuja v on u funktsioon v = g(u) ja muutuja y on v funktsioon
t = f (v),
saame liitfunktsiooni y = f {g[h(x)]}. Analoogilisel viisil saab defineerida nelja, viie ja enam komponendiga liit- funktsioonid. N¨aide 3. Koostame komponentidest u = cos x, v = log u ja y = v liitfunktsiooni ja leiame selle m¨a¨aramispiirkonna. Asendades teise funktsiooni u, ssame v = log cos x ja asendades selle omakorda kolmandasse, saame
y= log cos x.
20 M¨aa¨ramispiirkonna leidmiseks kirjutame tingimuse
log cos x 0
ehk cos x 1. Viimane tingimus on v~oimalik ainult juhul, kui cos x = 1, millest x = 0, ±2, ±4, . . ., st m¨aa¨ramispiirkond koosneb u ¨ksikutest punktidest X = {x|x = 2n, n Z}
21 1.2 Piirv¨ a¨ artus 1.2.1 Jada piirv¨ a¨ artus Reaalarvude hulga ja arvtelje punktide hulga vahel on u ¨ks¨ uhene vastavus. Edaspidi kasutame samas t¨ahenduses m~oisteid reaalarv a ja arvtelje punkt a. Kahe reaalarvu a ja b vaheliseks kauguseks on |b - a|. Samuti on |b - a| arvtelje punktide a ja b vaheliseks kauguseks. Definitsioon 1.1. Punkti a u ¨mbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (a - ; a + ), st vahemikku, mis on punkti a suhtes s¨ummeetriline. Olgu vaatluse all jada
y1 , y2 , y3 , ..., yn , .... (1.1)
Definitsioon 1.2. Reaalarvu b nimetatakse jada (1.1) piirv¨a¨artuseks, kui > 0 korral leidub niisugune jada indeks N , et niipea, kui n > N , siis |yn - b| 0 korral on v~oimalik leida niisugune jada liige, p¨arast mida on k~oik jada liikmed reaalarvule b l¨ahemal kui Definitsioonis esitatud tingimuse |yn -b| arne sellega, et jada liige yn kuulub b u ¨mbrusesse, st yn (b-; b+). Seega on v~oimalik jada piirv¨a¨artuse definitsioon 2 u ¨ mber s~onastada u¨mbruse m~oistet kasutades. Definitsioon 1.2'. Reaalarvu b nimetatakse jada (1.1) piirv¨a¨artuseks, kui iga u¨mbruse (b - ; b + ) korral leidub niisugune jada indeks N , et niipea kui n > N , siis yn (b - ; b + ). Viimase definitsiooni kohaselt on reaalarv b jada (1.1) piirv¨a¨artuseks, kui u ¨ mbruse (b - ; b + ) korral on v~oimalik leida niisugune jada liige, p¨arast mida k~oik jada liikmed kuuluvad b u ¨mbrusesse. N¨aide 1.1. Vaadeldes jada 1 2 3 n ; ; ; ...; ; ..., 2 3 4 n+1 paneme t¨ahele, et mida kaugemale jadas minna, seda 1-le l¨ahedasema suuruse saame. Uurime, mitmendast liikmest alates on jada liikmed 1-le l¨ahemal kui n = 0, 01, st - 1 1 n-n-1 1 Teisendades saame, et 100, st n > 99. J¨arelikult on p¨arast 99. liiget (st alates 100.-st liikmest) k~oik vaadeldava jada liikmed 1-le l¨ahemal kui 0,01. Uurime, mitmendast liikmest alates on jada liikmed 1-le l¨ahemal kui n = 0, 001, - 1 999, st p¨arast 999. liiget on jada liikmed u ¨hele l¨ahemal kui 0,001. T¨aiesti suvalise > 0 korral n - 1 ehk n > - 1 Reaalarvu a t¨aisosa t¨ahistatakse [a]. Seda t¨ahistust kasutades saame j¨areldada, 1 et k~oik jada liikmed, mis j¨argnevad liikmele indeksuga N = - 1, on 1-le l¨ahemal kui . Asjaolu, et antud jada piirv¨a¨artus v~ordub 1-ga, kirjutatakse n lim = 1. n n + 1
¨ Uldisemalt, kui jada (1.1) piirv¨a¨artus on b, siis kirjutatakse lim yn = b. n
Jada piirv¨a¨artuse leidmisel on seega k¨usimus p¨ ustitatud u ¨htemoodi: mis- sugusels reaalarvule hakkavad l¨ahenema jada liikmed minnes selles jadas u ¨ha kaugemale (suurematele indeksitele). N¨aide 1.2. T¨ uu ¨piliseks jadaks , millel piirv¨a¨artus puudub, on 1; -1; 1; -1; 1; . . . ; (-1)n+1 ; . . . (1.2) Siin paarituarvulise indeksiga jada liikmed on 1 ja paarisindeksiga jada liik- med on -1. Kui n¨ uu ¨d oletada, et jada (1.2) piirv¨a¨artus on n¨aiteks kahe j¨arjestikuse liikme aritmeetiline keskmine, st 0, siis jada piirv¨a¨artuse definitsiooni koha- selt peaks > 0 korral alates teatud jada liikmest kehtima tingimused |1 - 0| 2 1.2.2 Funktsiooni piirv¨ a¨ artus Jada piirv¨a¨artuse korral saame r¨a¨akida ainult u¨hest piirprotsessist n . Funktsiooni f (x) piirv¨a¨artust v~oib defineerida suvalise piirprotsessi x a, sealhulgas ka piirprotsessi x ± korral. Funktsiooni piirv¨a¨artuse defineerimisel kasutame kaht (v¨aikest) positiiv- set suurust ja . Definitsioon 2.1. Reaalarvu b nimetatakse funktsiooni f (x) piirv¨a¨artuseks piirprotsessis x a, kui > 0 korral niisugune > 0, et kui |x - a| y f (x) y= y =b+
b y =b- x=a-
x=a+
a x
Joonis 1.1: Funktsiooni piirv¨a¨artus
Funktsiooni piirv¨a¨artust on ka v~oimalik defineerida u ¨mbruste kaudu. Definitsioon 2.1'. Reaalarvu b nimetatakse funktsiooni f (x) piirv¨a¨artuseks piirprotsessis x a, kui iga b u ¨mbruse (b - ; b + ) korral leidub a niisugune u ¨ mbrus (a - ; a + ), et kui x (a - ; a + ), siis f (x) (b - ; b + ). Kirjutatakse sel puhul lim f (x) = b. xa
Piirprotsessis x on funktsiooni piirv¨a¨artuse definitsioon sisuliselt jada piirv¨aa¨ rtuse definitsiooni kordus. Ainsaks erinevuseks on see, et jada
3 piirv¨aa¨rtuse puhul on n t¨aisarvuline muutuja, aga funktsiooni piirv¨a¨artuse korral on x reaalarvuline muutuja. Definitsioon 2.2. Reaalarvu b nimetatakse funktsiooni f (x) piirv¨a¨artuseks piirprotsessis x , kui > 0 korral niisugune N > 0, et kui x > N , siis |f (x) - b| Definitsioon 2.3. Reaalarvu b nimetatakse funktsiooni f (x) piirv¨a¨artuseks piirprotsessis x -, kui > 0 korral niisugune N > 0, et kui x ¨ Definitsioon 2.4. Oeldakse, et funktsiooni f (x) piirv¨a¨artuseks on piirprotsessis x a, kui N > 0 korral niisugune > 0, et kui |x - a| N . T¨ahistatakse lim f (x) = . xa
¨ Definitsioon 2.5. Oeldakse, et funktsiooni f (x) piirv¨a¨artuseks on - piirprotsessis x a, kui N > 0 korral niisugune > 0, et kui |x - a| Olgu N > 0. L~opmatuse u ¨mbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (N ; ) ja - u ¨mbruseks suvalist vahemikku (-; -N ). Definitsioonid 2, 3, 4 ja 5 on samuti v~oimalik s~onastada u ¨mbruste kaudu. N¨aiteks definitsiooni 4 u ¨mbers~onastus oleks j¨argmine. ¨ Definitsioon 2.4'. Oeldakse, et funktsiooni f (x) piirv¨a¨artuseks on piirprotsessis x a, kui iga l~opmatuse u ¨mbruse (N ; ) korral leidub niisu - gune a u¨mbrus (a - ; a + ), et kui x (a - ; a + ), siis f (x) (N ; ).
1.2.3 ¨ Uhepoolsed piirv¨ a¨ artused Punkti a vasakpoolseks u ¨mbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (a - ; a) ja punkti a parempoolseks u ¨mbruseks suvalist vahemikku (a; a + ) Definitsioon 3.1. Reaalarvu b1 nimetatakse funktsiooni f (x) vasakpool- seks piirv¨a¨artuseks piirprotsessis x a, kui b1 u ¨mbruse (b1 - ; b1 + ) korral a vasakpoolne u ¨mbrus (a - ; a), et kui x (a - ; a), siis f (x) (b1 - ; b1 + ).
4 T¨ahistatakse lim f (x) = b1 . xa-
Definitsioon 3.2. Reaalarvu b2 nimetatakse funktsiooni f (x) parem- poolseks piirv¨aa¨ rtuseks piirprotsessis x a, kui b2 u ¨mbruse (b2 - ; b2 + ) korral a parempoolne u ¨mbrus (a; a + ), et kui x (a; a + ), siis f (x) (b2 - ; b2 + ). T¨ahistatakse lim f (x) = b2 . xa+
Teoreem 3.1. Kui funktsioonil on olemas piirv¨a¨artus piirprotsessis x a, siis on olemas ka m~olemad u ¨hepoolsed piirv¨a¨artused ja need on v~ordsed. T~oestus. Oletame, et lim f (x) = b. Definitsiooni kohaselt b u ¨mbruse xa (b-; b+) korral leidub selline a u ¨mbrus (a-; a+), et kui x (a-; a+), siis f (x) (b - ; b + ). Aga nii juhul x (a - ; a) kui ka juhul x (a; a + ) x (a - ; a + ). Seega b u ¨mbruse (b - ; b + ) korral leidub selline a vasakpoolne u ¨mbrus (a - ; a), et kui x (a - ; a), siis f (x) (b - ; b + ) ja leidub a parempoolne u ¨mbrus (a; a + ), et kui x (a; a + ), siis f (x) (b - ; b + ), st lim f (x) = b xa-
ja lim f (x) = b. xa+
Teoreem 3.2. Kui funktsioonil on mingis piirprotsessis olemas u ¨hepoolsed piirv¨aa¨rtused ja need on v~ordsed, siis on funktsioonil olemas piirv¨a¨artus selles piirprotsessis. Kui u ¨hepoolsed piirv¨a¨artused ei ole v~ordsed, siis funktsioonil vaadeldavas piirprotsessis piirv¨a¨artust ei ole. |x| |x| N¨ aide 3.1. Leiame lim ja lim . x0- x x0+ x |x| Kui x 0-, siis x |x| lim = -1. x0- x
|x| Kui x 0+, siis x > 0 ja |x| = x, st = 1. Seega x |x| lim = 1. x0+ x
5 y ) y = f (x y = b2 +
b2 y = b2 -
y = b1 +
b1 y = b1 -
a x x) f( = y
¨ Joonis 1.2: Uhepoolsed piirv¨aa¨rtused
¨ Uhepoolsete piirv¨a¨artuste erinevusest j¨areldub, et ei ole olemas piirv¨a¨atrust |x| lim . x0 x
1 1 N¨ aide 3.2. Leiame lim arctan ja lim arctan . x0- x x0+ x 1 Kui x 0-, siis -, seega x 1 lim arctan = - . x0- x 2 1 Kui x 0+, siis , seega x 1 lim arctan = . x0- x 2 1 Siit teeme j¨arelduse, et pole olemas piirv¨a¨artust lim arctan . x0 x sin x N¨ aide 3.3. Funktsioon ei ole m¨a¨aratud, kui x = 0. x sin x sin x On v~oimalik t~oestada, et lim = 1 ja lim = 1. Seega x0- x x0+ x piirv¨a¨artus sin x lim = 1. x0 x
6 y
1 y = sin x x
-2 - 2 x
sin x Joonis 1.3: Funktsioon y = x
1.2.4 L~ opmatult kasvavad ja l~ opmatult kahanevad suurused Vaatleme funktsiooni ehk muutuvat suurust y = y(x) piirprotsessis x a (sh x ±). Definitsioon 4.1. Muutuvat suurust y nimetatakse l~opmatult kasvavaks piirprotsessis x a, kui lim |y| = , xa
st lim y = v~oi lim y = - xa xa 1 aide 4.1. Funktsioon y = on l~opmatult kasvav piirprotsessis x 0, N¨ x sest 1 lim = - x0- x
ja 1 lim = . x0+ x
N¨ aide 4.2. Funktsioon y = ln x on l~opmatult kasvav piirprotsessis x 0+, sest lim ln x = -, x0+
ja piirprotsessis x , sest
lim ln x = x
Definitsioon 4.2. Muutuvat suurust = (x) nimetatakse piirprotsessi x a l~opmatult kahanevaks, kui lim = 0. xa Teoreem 4.1. Muutuva suuruse y piirv¨a¨artus on b parajasti siis, kui see muutuv suurus avaldub b ja l~opmatult kahaneva suuruse summana, st
lim y = b y = b + xa
7 T~oestus. Tarvilikkus. Oletame, et lim y = b, st > 0 korral niisugune xa > 0, et kui |x - a| 0 korral niisugune > 0, et kui |x - a| 0 korral niisugune 1 > 0, et kui |x - a| 0 korral niisugune 2 > 0, et kui |x - a| Valides suuruseks suurustest 1 ja 2 v¨ahima, st = min{1 , 2 } saame, et kui |x - a| arkus . Teoreem 4.2 kehtib ka kolme, nelja v~oi enama l~opmatult kaha - neva liidetava korral. Definitsioon 4.3. muutuvat suurust y nimetatakse t~okestatuks punkti a u ¨ mbruses (a - ; a + ) kui niisugune konstant N > 0, et x (a - ; a + ) korral |y| 0, et punkti a u ¨mbruses |y| 0 korral niisugune > 0, et kui |x - a| 8 st y on l~opmatult kahanev suurus. J¨ areldus 4.4. Konstantse suuruse ja l~opmatult kahaneva suuruse korru - tis on l~opmatult kahanev suurus. See j¨areldub vahetult eelmisest j¨areldusest, sest konstantne suurus on t~okestatud. J¨ areldus 4.5. Kahe l~opmatult kahaneva suuruse korrutis on l~opmatult kahanev suurus, st kui ja on l~opmatult kahanevad suurused, siis ka on l~opmatult kahanev suurus. T~oestus j¨areldub sellest, et iga piirprotsessis x a l~opmatult kahanev suurus on a u ¨mbruses t~okestatud (ja t~okestatud v¨aikese suurusega ). Teoreem 4.6. L~opmatult kahaneva suuruse ja nullist erinevat piirv¨a¨artust omava suuruse jagatis on l~opmatult kahanev suurus, st kui on l~opmatult kahanev suurus ja lim y = b ning b = 0, siis on l~opmatult kahanev suurus. xa y T~oestus*. T~oestuses kasutame reaalarvude absoluutv¨a¨artuse omadust ||a| - |b|| |a - b|. Kui lim y = b siis > 0 korral niisugune > 0, et kui |x - a| Mainitud absoluutv¨a¨artuse omaduse p~ohjal ||y| - |b|| |b| - Siis p¨oo¨rdv¨a¨artuste korral on t¨aidetud tingimus 1 1 1 Et on suvaline positiivne suurus, siis v~oime valida = 0, 1|b|, mille korral 1 1 1 malt alampunktis 1.2.7.
9 1.2.5 Piirv¨ a¨ artusteoreemid Piirv¨aa¨rtusteoreemid v~oib jaotada kahte klassi. Esiteks tehetega seotud piirv¨aa¨rtusteoreemid ja teiseks nn j¨arjestusega seotud piirv¨a¨artusteoreemid. Alustame tehetega seotud piirv¨aa¨rtusteoreemidest. Selleks vaatleme piir- protsessis x a kahte muutuvat suurust y = y(x) ja z = z(x). Teoreem 5.1. Kahe muutuva suuruse summa piirv¨a¨artus on v~ordne nen- de suuruste piirv¨a¨artuste summaga :
lim (y + z) = lim y + lim z. xa xa xa
T~oestus. T¨ahistame lim y = b1 xa
ja lim z = b2 xa
Teoreemi 4.1 p~ohjal eksisteerivad niisugused l~opmatult kahanevad suuru- sed ja , et y = b1 + ja z = b2 + . J¨arelikult y + z = b1 + b2 + + . Teoreemi 4.2 p~ohjal on + l~opmatult kahanev suurus, seega, rakendades veel kord teoreemi 4.1, saame, et
lim (y + z) = b1 + b2 , xa
mida oligi tarvis t~oestada. Teoreem 5.2. Kahe muutuva suuruse korrutise piirv¨a¨artus on v~ordne nende suuruste piirv¨a¨artuste korrutisega:
lim yz = lim y · lim z. xa xa xa
T~oestus. T¨ahistame j¨alle lim y = b1 xa
ja lim z = b2 xa
Teoreemi 4.1 p~ohjal eksisteerivad niisugused l~opmatult kahanevad suuru- sed ja , et y = b1 + ja z = b2 + . J¨arelikult yz = (b1 + )(b2 + ), st yz = b1 b2 + b1 + b2 + . J¨arelduse 4.4 p~ohjal on b1 ja b2 l~opmatult kahanevad suurused. J¨arelduse 4.5 p~ohjal on l~opmatult kahanev suurus. Teoreemi 4.2 p~ohjal on = b1 + b2 + l~opmatult kahanev suurus. Seega
yz = b1 b2 + ,
10 kus on l~opmatult kahanev suurus ja teoreemist 4.1 j¨areldame, et
lim yz = b1 b2 , xa
mida, arvestades t¨ahistusi, oligi tarvis t~oestada. J¨ areldus 5.3. Konstantse suuruse saab tuua piirv¨a¨artuse ette, st kui c on konstant, siis lim cy = c lim y xa xa
T~oestus j¨areldub eelmisest teoreemist
lim cy = lim c · lim y xa xa xa
ja sellest, et konstantse suuruse piirv¨a¨artus v~ordub konstandi endaga lim c = c. xa J¨ areldus 5.4. Kahe muutuva suuruse vahe piirv¨aa¨rtus on v~ordne nende suuruste piirv¨a¨artuste vahega, st
lim (y - z) = lim y - lim z. xa xa xa
T~oestuseks kirjutame
lim (y - z) = lim (y + (-1)z) xa xa
Teoreemi 5.1 p~ohjal
lim (y + (-1)z) = lim y + lim (-1)z xa xa xa
ja j¨arelduse 5.3 p~ohjal
lim y + lim (-1)z = lim y - lim z xa xa xa xa
Teoreem 5.5. Kahe muutuva suuruse jagatise piirv¨a¨artus on v~ordne nen- de suuruste piirv¨a¨artuste jagatisega, kui nimetaja piirv¨a¨artus ei v~ordu 0-ga, st y lim y lim = xa , xa z lim z xa
kui lim z = 0. xa T~oestus*. T~oestuseks t¨ahistame taas
lim y = b1 xa
11 ja lim z = b2 = 0 xa Teoreemi 4.1 p~ohjal eksisteerivad niisugused l~opmatult kahanevad suuru- sed ja , et y = b1 + ja z = b2 + . Siis y b1 + b1 b1 + b1 = = + - z b2 + b2 b2 + b2 Viies kaks viimast murdu u ¨ hisele nimetajale, saame y b1 b1 b2 + b2 - b1 b2 - b1 b1 b2 - b1 = + = + (1.3) z b2 b2 (b2 + ) b2 b2 (b2 + ) Viimases jagatises on lugeja b2 + (-b1 ) j¨arelduse 4.4 ja teoreemi 4.2 p~ohjal l~opmatult kahanev suurus. Nimetaja b22 + b2 avaldub konstandi b22 ja l~opma- tult kahaneva suuruse b2 summana. Teoreemi 4.1 p~ohjal on nimetaja piirv¨a¨artus b22 = 0. Jagatis b2 - b1 b2 (b2 + ) kui l~opmatult kahaneva suuruse ja nullist erinevat piirv¨a¨artust omava suuruse jagatis on teoreemi 4.6 p~ohjal l~opmatult kahanev suurus. J¨arelikult v~orduses y b1 b2 - b1 (1.3) avaldub suhe konstandi ja l~opmatult kahaneva suuruse z b2 b2 (b2 + ) summana. Teoreemi 4.1 p~ohjal y b1 lim= , xa z b2 mida oligi tarvis t~oestada. J¨atkame nn j¨arjestusega seotud piirv¨a¨artusteoreemidega. Teoreem 5.6. Mittenegatiivse suuruse piirv¨a¨artus antud piirprotsessis on mittenegatiivne, st kui muutuv suurus y 0 punkti a mingis u ¨mbruses ja lim y = b, siis b 0. xa T~oestus. Oletame vastuv¨aiteliselt, et lim y = b |b|. Kui valida positiivne nii, et 12 J¨argmise teoreemi jaoks vaatleme piirprotsessis x a kolme muutuvat suurust u = u(x), v = v(x) ja w = w(x). Teoreem 5.8. Kui punkti a mingis u ¨mbruses u w v ja v~ordsed piirv¨a¨artused lim u = b ning lim v = b, siis ka lim w = b xa xa xa T~oestus. Kui u w ja w v, siis teoreemi 5.7 p~ohjal lim u lim w ja xa xa lim w lim v. Eelduse j¨argi lim u = b ning lim v = b, seega xa xa xa xa
b lim w b, xa
j¨arelikult lim w = b, mida oligi tarvis t~oestada. xa Teoreem 5.9. Piirprotsessis x a monotoonselt kasvaval (kahaneval) t~okestatud suurusel on olemas l~oplik piirv¨a¨artus selles protsessis. N¨aide 5.1. Funktsioon y = arctan x on kasvav piirprotsessis x , samuti t~okestatud, sest x R korral | arctan x| 1.2.6 Arv e n 1 Vaatleme jada, mille u ¨ldliige yn = 1+ , st jada n n 9 64 625 1 2, , , , ..., 1 + ,... (1.4) 4 27 256 n N¨aitame, et see jada on t~okestatud ja kasvav. Newtoni binoomvalemi abil n 1 1 n(n - 1) 1 n(n - 1) . . . (n - k + 1) 1 1 yn = 1+ =1+n· + · 2 + ... + k + ... + n = n n 2! n k! n n 1 1 1 1 k-1 1 1 + 1 + (1 - ) + . . . + (1 - ) . . . (1 - ) + ... + n st jada on t~okestatud. Kasutades yn jaoks tehtud teisendusi, saame 1 1 1 1 k-1 1 yn+1 = 2+ (1- )+. . .+ (1- ) . . . (1- )+. . .+ 2! n+1 k! n+1 n+1 (n + 1)n+1
13 i i i i Sellest, et > i = 1, . . . , k - 1 j¨areldub, et 1 - Euleri arvuks ja t¨ahistatakse n 1 lim 1+ =e n n
Kui x > 0 on suvaline reaalarv, siis leidub niisugune naturaalarv n, et n x x3 - 3x2 + 2 = 0
¨ks lahend , sest funktsioon f (x) = x3 - 3x2 + 2 on on l~oigul [0; 2] v¨ahemalt u pidev kogu reaalarvude hulgal, kaasa arvatud l~oigul [0; 2] ja f (0) = 2 ning f (2) = -2. Kuigi antud kontekstis pole see oluline, on lihtne kontrollida, et selleks lahendiks on x = 1.
23 2.1 Funktsiooni tuletise m~ oiste. Tuletise geomeetriline ja mehaaniline t~ olgendus Olgu antud funktsioon y = f (x). Fikseerime selle funktsiooni m¨a¨aramispiirkonnas u ¨he vabalt valitud punkti x. L¨ahtudes sellest fikseeritud v¨a¨artusest, suuren - dame argumenti x muudu x v~orra. Argumendi muudu v~orra erinevas punk - tis on argumendi v¨a¨artuseks x + x. Funktsiooni v¨a¨artus selles punktis on f (x + x). Funktsiooni v¨a¨artus muutub y = f (x + x) - f (x) v~orra. Suu- rust y nimetatakse argumendi muudule x vastavaks funktsiooni muuduks. Definitsioon 1 Funktsiooni muudu ja argumendi muudu suhte piirv¨a¨artust argumendi muudu l¨ahenemisel nullile nimetatakse funktsiooni tuletiseks ko- hal x ja t¨ahistatakse f (x). Seega definitsiooni kohaselt y f (x) = lim . (2.1) x0 x
Funktsiooni tuletist f (x) t¨ahitatakse veel y . Need on nn Newtoni t¨ahistused. dy df Peale selle on kasutusel Leibnizi t¨ahistused ja . dx dx Definitsioon 2 Funktsiooni, millel on olemas tuletis kohal x, nimetatakse diferentseeruvaks kohal x. Tuletise geomeetriliseks t~olgenduseks vaatleme mingisugust funktsiooni y = f (x) graafikut . y
Q f (x + x)
f (x) P R
x x + x x
Joonis 2.1: tuletise geomeetriline t~olgendus
Argumendi v¨a¨artusele x vastab graafiku punkt P ja v¨a¨artusele x + x punkt Q. T~ombame l¨abi punktide P ja Q graafiku l~oikaja. L~oikaja t~ousunurga
1 t¨ahistame -ga. T¨aisnurkses kolmnurgas P RQ nurk tipu P juures on sel juhul samuti . Selle nurga vastaskaateti RQ pikkus on y ja l¨ahiskaateti P R pikkus x. Seega y tan = x st funktsiooni muudu ja argumendi muudu suhe t¨ahendab l~oikaja P Q t~ousu. Kui n¨ uu ¨d x 0, siis x + x x, seega graafikul Q P ja l~oikaja P Q hakkab l¨ahenema funktsiooni graafikule punktis P t~ommatud puutujale. Puutuja t~ousunurk ja funktsiooni tuletis y f (x) = lim = lim tan = tan x0 x
t¨ahendab geomeetriliselt funktsiooni graafikule punktis abstsissiga x t~ omma - tud puutuja t~ousunurga tangensit ehk puutuja t~ousu. Kui vaatleme muutujat x ajana, siis kirjeldab funktsioon y = f (x) min- gisugust ajas kulgevat protsessi, n¨aiteks sirgjoonelist liikumist. Ajahetkel x on liikuv objekt punktis f (x) ja ajahetkel x + x punktis f (x + x). Seega y ajavahemiku x jooksul on objekt liikunud y v~orra. Suhe t¨ahendab x objekti keskmist liikumiskiirust ajavahemiku x jooksul. Mida v¨aiksem on ajavahemik x, seda t¨apsemalt iseloomustab see keskmine kiirus objekti lii- kumiskiirust ajahetkel x. Seega piirv¨a¨artus x l¨ahenemisel 0-le, st funkt- siooni tuletis kohal x kujutab endast objekti liikumiskiirust ajahetkel x. See arutlus on u¨le kantav mistahes protsessile. Kui see protsess on kirjeldatav funktsiooniga y = f (x), siis f (x) t¨ahendab selle protsessi muutumiskiirust hetkel x.
2.2 Pidevus ja diferentseeruvus Selle alampunkti eesm¨argiks on n¨aidata, et funktsiooni diferentseeruvusest antud punktis j¨areldub alati pidevus selles punktis ja et vastupidine v¨aide ei kehti. Toome n¨aite funktsioonist, mis antud punktis on pidev, kuid mitte diferentseeruv . Teoreem 2.1. Kui funktsioon y = f (x) on diferentseeruv kohal x, siis on see ka pidev kohal x. T~oestus. Olgu funktsioon y = f (x) diferentseeruv kohal x, st f (x) = y lim . N¨aitame, et kehtib funktsiooni pidevuseks tarvilik ja piisav tingi - x0 x mus. Selleks leiame y y lim y = lim x = lim lim x = f (x) · 0 = 0, x0 x0 x x0 x x0
2 mida oligi tarvis t~oestada. J¨argnev n¨aide aga t¨ahendab, et funktsiooni pidevusest diferentseeruvust ei j¨areldu. Vaatleme funktsiooni y = |x| punktis x = 0. Selles punktis on funktsiooni muut y = |0 + x| - |0| = |x|. Seega
lim y = lim |x| = 0, x0 x0
st pidevuseks tarvilik ja piisav tingimus kohal x = 0 on t¨aidetud. Leides aga u ¨hepoolsed piirv¨a¨artused |x| lim = -1 x0- x ja |x| lim = 1, x0+ x |x| n¨aeme, et puudub piirv¨a¨artus lim , st funktsioonil y = |x| puudub x0 x tuletis kohal x = 0.
2.3 Mo~ nede po ~hiliste elementaarfunktsioonide tuleti- sed Selles alampunktis leiame definitsiooni (2.1) abil elementaarfunktsioonide tu- letisi. Alustame konstantsest funktsioonint y = c. Siis f (x) = c ja f (x + 0 x) = c ning y = c - c = 0. Konstandi tuletis c = limx0 = 0. Siit x saame esimese reegli: konstandi tuletis v~ordub nulliga:
c = 0.
Teiseks vaatleme naturaalarvulise astendajaga astmefunktsiooni y = xn . Antud juhul f (x) = xn , f (x + x) = (x + x)n ja funktsiooni muut y = (x + x)n - xn . Newtoni binoomvalemi abil
y = xn + nxn-1 x + Cn2 xn-2 x2 + ... + xn - xn = nxn-1 x + Cn2 xn-2 x2 + ... + xn .
Siit y = nxn-1 + Cn2 xn-2 x + ... + xn-1 . x ja y (xn ) = lim = nxn-1 , x0 x
3 sest k~oik liidetavad alates teisest sisaldavad x positiivse astendajaga astet. Teine tuletise leidmise reegel on seega:
(xn ) = nxn-1 . (2.2) Kolmandaks y = x. Leiame funktsiooni muudu y = x + x - x ja tuletise definitsiooni kohaselt x + x - x ( x + x - x)( x + x + x) ( x) = lim = lim = x0 x x0 x( x + x + x) x + x - x 1 1 1 1 lim = lim = = x- 2 . x0 x( x + x + x) x0 x + x + x 2 x 2 1 Neljandaks y = . Leiame funktsiooni muudu, x 1 1 x - x - x x y = - = =- x + x x x(x + x) x(x + x) ja tuletise definitsiooni j¨argi
1 -1 1 = lim = - 2 = -x-2 . x x0 x(x + x) x Viimased kaks n¨aidet viitavad sellele, et astmefunktsiooni tuletise valem (2.2) kehtib mitte ainult naturaalarvulise astendaja korral vaid ka negatiivsete ja murruliste astendajate puhul. Viiendaks y = sin x. Leiame funktsiooni muudu y = sin(x + x) - sin x = sin x cos x + cos x sin x - sin x = cos x sin x - sin x(1 - cos x). Tuletise definitsiooni abil saame piirv¨a¨artuse omadusi kasutades, et cos x sin x - sin x(1 - cos x) (sin x) = lim = x0 x cos x sin x sin x(1 - cos x) = lim - = x0 x x sin x 1 - cos x = cos x lim - sin x lim = x0 x x0 x (1 - cos x)(1 + cos x) = cos x - sin x lim = x0 x(1 + cos x) sin2 x = cos x - sin x lim = x0 x(1 + cos x) sin x sin x = cos x - sin x lim · = cos x - sin x · 0 = cos x. x0 x 1 + cos x
4 Seega (sin x) = cos x. Samalaadsete teisenduste abil saab tuletise definitsioonist , et (cos x) = - sin x. Seitsmendaks leiame naturaallogaritmi y = ln x tuletise. Fikseerime funkt- siooni m¨a¨aramispiirkonnas u ¨he argumendi v¨a¨artuse x > 0 ja leiame funkt- x + x x siooni muudu y = ln(x + x) - ln x = ln = ln 1 + . Tuletise x x definitsiooni p~ohjal 1 1 x x x (ln x) = lim ln 1 + = lim ln 1 + . x0 x x x0 x x Argumendi v¨aa¨rtus x > 0 on fikseeritud ja x 0, seega ja x x 1 1 x x (ln x) = x lim ln 1 + x = x x 1 x x 1 x 1 1 = lim ln 1+ x = ln e x = . x x x x
J¨arelikult 1 (ln x) = . x ¨ a¨anud p~ohiliste elementaarfunktsioonide tuletised leiame j¨argmistes Ulej¨ alampunktides.
2.4 Diferentseerimisreeglid Funktsiooni tuletise leidmist nimetatakse funktsiooni diferentseerimiseks, diferentseerimisreeglid on tuletise leidmise reeglid. Olgu meil antud kaks funktsiooni u = u(x) ja v = v(x), mille kohta eeldame, et m~olemad on diferentseeruvad kohal x. Teoreem 4.1. Funktsioonide summa tuletis on v~ordne nende funktsioo- nide tuletiste summaga:
[u(x) + v(x)] = u (x) + v (x).
5 T~oestus. T¨ahistame summa y(x) = u(x) + v(x). Siis
y = u(x + x) + v(x + x) - [u(x) + v(x)] = = u(x + x) - u(x) + v(x + x) - v(x) = u + v
ja piirv¨a¨artuse omaduste t~ottu u + v u v y (x) = lim = lim + lim = u (x) + v (x). x0 x x0 x x0 x
Teoreem 4.2. Funktsioonide korrutise tuletis on
[u(x)v(x)] = u (x)v(x) + u(x)v (x).
T~oestus. T¨ahistame korrutise y(x) = u(x)v(x). Siis
y = u(x + x)v(x + x) - u(x)v(x) = = u(x + x)v(x + x) - u(x)v(x + x) + u(x)v(x + x) - u(x)v(x) = = [u(x + x) - u(x)]v(x + x) + u(x)[v(x + x) - v(x)] = = u · v(x + x) + u(x)v.
Piirv¨aa¨rtuse omaduste t~ottu u · v(x + x) + u(x)v y (x) = lim = x0 x u v = lim lim v(x + x) + u(x) lim . x0 x x0 x0 x
Eelduse kohaselt on funktsioon v(x) diferentseeruv kohal x. Teoreemi 2.1 p~ohjal on v(x) ka pidev kohal x. Seega pidevuse kolmandast tingimusest lim v(x + x) = v(x). J¨arelikult y (x) = u (x)v(x) + u(x)v (x). x0
N¨ aide 1. Leiame funktsiooni y = x sin x + cos x tuletise
y = (x sin x + cos x) = (x sin x) + (cos x) = = x sin x + x(sin x) - sin x = sin x + x cos x - sin x = x cos x.
J¨ areldus 4.3. Konstantse teguri saab tuua tuletise m¨argi alt v¨alja:
[c · u(x)] = c · u (x).
T~oepoolest teoreemi 4.2 p~ohjal [c · u(x)] = c · u(x) + c · u (x) = c · u (x).
6 Selle j¨arelduse abil saame j¨arjekordse p~ohilise elementaarfunktsiooni y = loga x (a > 0, a = 1) tuletise, kasutades selleks logaritmide aluse mut- ln x mise valemit loga x = . Saame ln a 1 1 1 1 1 (loga x) = ln x = (ln x) = · = . ln a ln a ln a x x ln a Seega 1 (loga x) = . x ln a J¨areldus 4.4. Kahe funktsiooni vahe tuletis on v~ordne nende funktsioo- nide tuletiste vahega:
[u(x) - v(x)] = u (x) - v (x).
P~ohjenduseks piisab , kui kirjutame k~oigepealt teoreemi 4.1 ja seej ¨arel j¨arelduse 4.3 p~ohjal, et [u(x) - v(x)] = [u(x) + (-1)v(x)] = u (x)+[(-1)v(x)] = u (x) - v (x). Teoreem 4.5. Jagatise tuletis on
u(x) u (x)v(x) - u(x)v (x) = , v(x) v 2 (x) eeldusel , et v(x) = 0. T~oestus. T¨ahistame jagatise u(x) y(x) = . v(x) Siis u(x) = y(x)v(x) ja korrutise tuletise leidmise reegli p~ohjal
u (x) = y (x)v(x) + y(x)v (x),
millest u (x) - y(x)v (x) y (x) = . v(x) Asendades y(x) jagatisega, saame u(x)v (x) u (x) - v(x) u (x)v(x) - u(x)v (x) y (x) = = , v(x) v 2 (x) mida oligi tarvis t~oestada.
7 Teoreemi 4.5 abil leiame funktsiooni y = tan x tuletise
sin x (sin x) cos x - sin x(cos x) cos2 x + sin2 x 1 (tan x) = = 2 = 2 = . cos x cos x cos x cos2 x Seega 1 (tan x) = . cos2 x Sama h~olpus on teoreemi 4.5 abil n¨aidata, et 1 (cot x) = - 2 . sin x 2.5 P¨ o¨ordfunktsiooni tuletis Olgu antud u ¨ hene funktsioon y = f (x), millel on olemas u ¨hene p¨o¨ordfunktsioon x = (y). Teoreem 5.1. Kui funktsioonil y = f (x) on kohal x tuletis f (x) = 0, siis p¨o¨ordfunktsiooni tuletis 1 (y) = . f (x) T~oestus. P¨oo¨rdfunktsiooni argumendiks on y, st x 1 (y) = lim = . y0 y y lim y0 x
Eelduse kohaselt on funktsioon y = f (x) diferentseeruv kohal x, j¨arelikult teoreemi 2.1 p~ohjal ka pidev kohal x. Pideva funktsiooni p¨o¨ordfunktsioon x = (y) on samuti pidev vastaval kohal y, st sellest, et y 0 j¨areldub, et ka x 0. Siit saame, et 1 1 (y) = = , y f (x) lim x0 x
mida oli vaja t~oestada. Kuigi p¨o¨ordfunktsioon ja p¨o¨ordv¨a¨artus on kaks t¨aiesti erinevat m~oistet, on n¨ uu ¨d selgunud , et l¨abi tuletise on nad ometi seotud: p¨o¨ordfunktsiooni tuletis on antud funktsiooni tuletise p¨o¨ordv¨a¨artus. Loomulikult kehtib ka vastupidine. Antud funktsiooni tuletis on p¨oo¨rdfunktsiooni tuletise p¨o¨ordv¨a¨artus: 1 f (x) = . (2.3) (y)
8 Sellise kujul hakkame teoreemi 5.1 kasutama. Alustame funktsioonist y = ax , (a > 0, a = 1). Selle p¨o¨ordfunktsioon on x = loga y ja (2.3) j¨argi 1 1 (ax ) = = = y ln a = ax ln a. (loga y) 1 y ln a Seega (ax ) = ax ln a Arvestades sellega, et ln e = 1, saame (ex ) = ex Edasi leiame funktsiooni y = arcsin x tuletise. Selle p¨o¨ordfunktsioon on x = sin y ja (2.3) p~ohjal 1 1 1 1 (arcsin x) = = = = . (sin y) cos y 2 1 - sin y 1 - x2
Seega 1 (arcsin x) = 1 - x2 Et x [-1; 1] korral arcsin x+arccos x = , siis arccos x = -arcsin x 2 2 ja arvestades sellega, et on konstant, saame 2 1 (arccos x) = - 1 - x2 J¨argmiseks leiame funktsiooni y = arctan x tuletise. Selle p¨o¨ordfunktsioon on x = tan y ja (2.3) p~ohjal 1 1 1 1 (arctan x) = = = = . (tan y) 1 2 1 + tan y 1 + x2 cos2 y Seega 1 (arctan x) = 1 + x2 Kasutades seost arctan x + arccot x = , saame 2 1 (arccot x) = - 1 + x2
9 2.6 Liitfunktsiooni tuletis Liitfunktsiooni y = f [(x)] kaheks komponendiks on y = f (u) ja u = (x). Teoreem 5.2. Kui u = (x) on diferentseeruv kohal x ja y = f (u) dife- rentseeruv vastaval kohal u, siis liitfunktsioon y = f [(x)] on diferentseeruv kohal x ja {f [(x)]} = f [(x)] (x). (2.4) T~oestus. T¨ahistame liitfunktsiooni F (x) = f [(x)]. Siis y = F (x) ja y y u F (x) = lim = lim · = x0 x x0 u x y u = lim · lim . x0 u x0 x
Funktsioon u = (x) on diferentseeruv kohal x, j¨arelikult teoreemi 2.1 p~ohjal ka pidev kohal x. Pidevuseks tarvilik ja piisav tingimus on t¨aidetud, seega sellest, et x 0 j¨areldub, et u 0 ja y u F (x) = lim · lim = f (u) (x), u0 u x0 x
mida oligi funktsiooni F (x) ja muutuja u t¨ahendust arvestades tarvis t~oes- tada. V~ordus (2.4) on liitfunktsiooni diferentseerimise reegel. Leiame selle reegli ¨ldise astmefunktsiooni y = x , kus x > 0, tuletise. Selleks esitame abil u funktsiooni x = e ln x ja kirjutame (2.4) p~ohjal (x ) = e ln x = e ln x ( ln x) = e ln x · = x · = x-1 . x x Seega igasuguse reaalarvulise astendaja korral (x ) = x-1 Arvestades sellega, et
e-x = e-x (-x) = -e-x ,
saame 1 x 1 (sh x) = (e - e-x ) = (ex + e-x ) = ch x 2 2 ehk (sh x) = ch x.
10 Samal viisil (ch x) = sh x. Jagatise tuletise leidmise reegli abil leiame
sh x (sh x) ch x - sh x(ch x) ch2 x - sh2 x 1 (th x) = = 2 = 2 = 2 . ch x ch x ch x ch x Seega 1 (th x) = ja ch2 x samuti on jagatise tuletise leidmise reegli abil h~olpus n¨aidata, et 1 (cth x) = - 2 . sh x 2.7 Logaritmiline diferentseerimine Logaritmilise diferentseerimise v~otet tuleb kasutada eelk~ oige funktsioonide y = [f (x)]g(x) korral, st kui funktsioonis on muutuv suurus muutuval astmel. Astmefunktsiooni puhul peab astendaja olema konstantne, eksponentfunkt- siooni puhul aga alus konstantne. Seega antud funktsiooni tuletise leidmiseks ei saa kasutada kumbagi valemit. Logaritmimine v~oimaldab teisendada funktsiooni nii, et seda on v~oimalik diferentseerida olemasolevaid reegleid kasutades. Nimelt
ln y = ln[f (x)]g(x) = g(x) ln f (x)
ja [f (x)]g(x) on teisenenud korrutiseks , milles teine tegur on liitfunktsioon ln f (x). Seda diferentseeritakse korrutise tuletise leidmise reeglit ja liitfunkt- siooni tuletise leidmise reeglit rakendades. Muutuja y on x funktsioon, seega vasak pool ln y on liitfunktsioon ja selle tuletis avaldub standardsel kujul 1 (ln y) = y . y
N¨ aide 1. Leiame funktsiooni y = (x2 + 1)x tuletise. Selleks k~oigepealt loga- ritmime ln y = x ln(x2 + 1) ja siis diferentseerime 1 1 y = ln(x2 + 1) + x 2 2x y x +1
11 ehk 1 2x2 y = ln(x2 + 1) + 2 . y x +1 Korrutades saadud v~orduse m~olemaid pooli suurusega y, saame
2x2 y = y ln(x2 + 1) + x2 + 1
ja p¨arast y asendamist
2 x 2 2x2 y = (x + 1) ln(x + 1) + 2 . x +1 x3 x - 1 N¨aide 2. Leiame funktsiooni y = 5 tuletise. (x + 3)2 Selle funktsiooni tuletist on v~oimalik leida ka logaritmilise diferentseeri- mise v~otteta, aga logaritmimine oluliselt h~olbustab diferentseerimist. Kasu- tades logaritmide omadusi, leiame x3 x - 1 1 2 ln y = ln 5 = 3 ln x + ln(x - 1) - ln(x + 3) (x + 3) 2 2 5
ja seej¨arel diferentseerime 1 1 1 1 2 1 y =3· + · - · . y x 2 x-1 5 x+3 Korrutades v~orduse m~olemaid pooli suurusega y, saame
3 1 2 y =y + - x 2(x - 1) 5(x + 3)
ehk p¨arast y asendamist x3 x - 1 3 1 2 y = 5 + - (x + 3) x 2(x - 1) 5(x + 3) 2
2.8 Ilmutamata funktsiooni tuletis Ilmutamata funktsiooni tuletise leidmiseks u ¨ks v~oimalus on funktsiooni ilmu- tamine, st funktsiooni teisendamine kujule y = f (x) ja selle diferentseerimine olemasolevate reeglite abil.
12 Tavaliselt on aga ilmutamata kujul esitatud funktsioonid mitmesed, seega tuleks p¨arast ilmutamist diferentseerida iga u ¨hest haru eraldi. Paljudel juhtu- del aga osutub funktsiooni ilmutamine k¨ ullaltki komplitseerituks v~oi hoopis v~oimatuks. Vaatleme ilmutamata funktsiooni diferentseerimist n¨aidete varal . N¨aide 1. Leiame y , kui x2 + y 2 = r2 . Selleks diferentseerime esitatud v~orduse m~olemaid pooli muutuja x j¨argi, arvestades sellega, et y 2 on liit- funktsioon: y on x funktsioon ja ruutfunktsioon on omakorda y funktsioon. Paremal pool v~ordusm¨arki on konstant, seega diferentseerimise tulemuseks saame 2x + 2y · y = 0. P¨arast y avaldamist x y =- . y Kui esmalt funktsioon ilmutada, saame kahese funktsiooni y = ± r2 - x2 . ¨hest haru y = r2 - x2 , saame Diferentseerides esimest u 1 x y = · (-2x) = - . 2 r 2 - x2 r 2 - x2 ¨hest haru y = - r2 - x2 , saame Diferentseerides teist u 1 x y =- · (-2x) = - . 2 2 r -x 2 - r 2 - x2 M~olemal juhul klapib tulemus ilmutamata kujust leitud tuletisega. N¨aide 2. Leiame y , kui sin(x + y) + cos(xy) = 0. V~orduse vasakul pool on kaks liitfunktsiooni. Esimeses on v¨aliseks funkt- siooniks siinus ja seesmiseks x + y, teises v¨aliseks funktsiooniks koosinus ja seesmiseks xy. Arvestades sellega, et y on x funktsioon, leiame v~orduse m~ole- malt poolt tuletise x j¨argi,
cos(x + y) · (1 + y ) - sin(xy) · (y + xy ) = 0.
P¨arast sulgude avamist saame
cos(x + y) + y cos(x + y) - y sin(xy) - xy sin(xy) = 0
ehk y [cos(x + y) - x sin(xy)] = y sin(xy) - cos(x + y), millest y sin(xy) - cos(x + y) y = . cos(x + y) - x sin(xy)
13 2.9 Parameetrilisel kujul esitatud funktsiooni tuletis Olgu funktsioon esitatud prameetrilise kujul
x = (t) y = (t).
Eeldme, et m~olemad parameetri t funktsioonid on u ¨hesed ja diferentseeruvad, dx et x tuletis t j¨argi = 0 ja et funktsioonil x = (t) eksisteerib u ¨hene dt p¨o¨ordfunktsioon t = (x). Muutuja y on muutja suhtes x liitfunktsioon
y = [(x)]
ja liitfunktsiooni diferentseerimise reegli kohaselt dy = [(x)] · (x) (2.5) dx P¨oo¨rdfunktsiooni tuletise leidmise reegli j¨argi 1 1 (x) = = dx . (t) dt
dy Kasutades t¨ahistusi [(x)] = (t) = , saame v~ordusest (2.5) dt dy dy dt = dx . dx dt
Matemaatilises anal¨ uu¨sis t¨ahistatakse tuletist parameetri j¨argi dx = x, dt mida loetakse "x-t¨app"ja dy = y, dt mida loetakse "y-t¨app". Kokkuv~ottes saame parameetrilisel kujul esitatud funktsiooni tuletise leidmise reegli dy y = (2.6) dx x
14 N¨ aide 1. Eelmises alampunktis vaadeldud ilmutamata funktsiooni x2 + y 2 = 2 r esitus parameetrilisel kujul on
x = r cos t y = r sin t.
Leides m~olema funktsiooni tuletised parameetri j¨argi, saame x = -r sin t ja y = r cos t ning parameetrilisel kujul esitatud funktsiooni tuletise leidmise reegli (2.6) abil saame tulemuse
dy r cos t cos t =- =- , dx r sin t sin t mis langeb kokku alampunktis 2.8 sama funktsiooni ilmutamata kujust leitud tuletisega. N¨aide 2. Leiame ts¨ ukloidi x = a(t - sin t) y = a(1 - cos t) puutuja t~ousu punktis, milles parameetri v¨aa¨rtus t = . 2 Joone (funktsiooni graafiku) puutuja t~ous antud punktis on v~ordne funkt- siooni tuletise v¨a¨artusega selles punktis. Seega tuleb leida tuletise v¨a¨artus punktis, milles parameeter t = . Selleks leiame x = a(1-cos t) ja y = a sin t 2 ning (2.6) abil dy a sin t sin t = = . dx a(1 - cos t) 1 - cos t Tuletise v¨a¨artus punktis, kus t = , on 2 sin 2 = 1. 1 - cos 2
J¨arelikult ts¨ ukloidi puutuja t~ous punktis, mis vastab parameetri v¨a¨artusele t = , v~ordub 1-ga. 2
2.10 Funktsiooni diferentsiaal Paljudel juhtudel on v¨aikeste argumendi muutude korral piisav, kui eral- dada funktsiooni muudust v¨alja selle lineaarne osa. Lineaarse funktsiooni k¨asitlemine on alati oluliselt lihtsam.
15 Olgu antud funktsioon y = f (x). Selle tuletis kohal x on defineeritud kui y f (x) = lim . x0 x y Sellisel juhul muutuv suurus x avaldub kui
y = f (x) + , x kus on piirprotsessis x 0 l~opmatult kahanev suurus. Korrutades vii- mase v~orduse m~olemaid pooli argumendi muuduga x, saame
y = f (x)x + x (2.7)
V~orduse (2.7) paremal pool on esimene liidetav fikseeritud x v¨a¨artuse korral lineaarne x suhtes, teine liidetav aga k~orgemat j¨arku l~opmatult kahanev suurus, kui x, sest x lim =0 x0 x
Definitsioon 1. Funktsiooni muudu avaldise (2.7) lineaarset osa f (x)x ninetatakse funktsiooni diferentsiaaliks ja t¨ahistatakse dy. Seega definitsiooni kohaselt
dy = f (x)x.
Kui funktsioon ja argument langevad u ¨hte, st y = x, siis y = 1 ja dy = dx = 1 · x. J¨arelikult s~oltumatu muutuja x korral dx = x, st s~otlumatu muutuja jaoks langevad diferentsiaali ja muudu m~oisted kokku. J¨arelikult saame funktsiooni diferentsiaali avaldiseks
dy = f (x)dx (2.8) N¨aide 1. Leiame funktsiooni y = arctan x diferentsiaali avaldise. Liitfunktsiooni tuletise leidmise reegli kohaselt 1 1 y = 1+x2 x
ja (2.8) j¨argi 1 1 dx dy = dx = . 1+x2 x 2(1 + x) x N¨ aide 2. Arvutame funktsiooni y = x2 muudu ja diferentsiaali v¨a¨artused, kui argument x muutub v¨a¨artusest 1 v¨a¨artuseni 1, 05.
16 Leiame funktsiooni muudu
y = 1, 052 - 12 = 0, 1025.
Argumendi muut ehk diferentsiaal on dx = x = 0, 05 funktsiooni tuletis y = 2x ja diferentsiaali v¨a¨artus seega dy = 2 · 1 · 0, 05 = 0, 1 Uurime, mida t¨ahendab funktsiooni diferentsiaal geomeetriliselt. Funktsiooni y
Q
} f (x + x)
y T
f (x) P R } dy
x x + x x
Joonis 2.2: funktsiooni diferentsiaal
tuletis t¨ahendab funktsiooni graafikule punktis P (abstsissiga x) t~omma- tud puutuja t~ousu ehk t~ousunurga tangensit. Korrutis f (x)dx t¨ahendab t¨aisnurkse kolmnurga P RT kaatetit RT ehk funktsiooni diferentsiaaliks on l~oigu RT pikkus. J¨arelikult n¨aitab diferentsiaali arvuline v¨a¨artus, kui palju muutub y ar- gumendi x muutudes x v~orra, kui liikumine m¨oo¨da joont on asendatud liikumisega m¨o¨oda joone puutujat. Mehaaniliselt on kiirus muutuv suurus. Kui fikseerida kiirus u ¨hes punktis ja j¨atkata liikumist selle kiirusega, siis diferentsiaal n¨aitab, kui pika vahemaa l¨abib liikuv objekt selle konstantse kiirusega ajavahemiku x jooksul. Kui x on piisavalt v¨aike, siis arvestades sellega, et y erineb diferent - siaalist dy suuruse v~orra, mis on x suhtes k~orgemat j¨arku l~opmatult kaha- nev suurus, v~oime kirjutada y dy. Funktsiooni muudu ja diferentsiaali definitsiooni kohaselt
f (x + x) - f (x) f (x)x,
millest saame ligikaudse valemi
f (x + x) f (x) + f (x)x. (2.9)
17 Valem (2.9) on rakendatav ainult suhteliselt v¨aikeste argumendi muutude x korral. N¨aide 3. Arvutame valemi (2.9) abil ln 0, 9 ligikaudse v¨a¨artuse. Siin valime x = 1, x = -0, 1 ja funktsiooni f (x) = ln x. Funktsiooni 1 tuletis f (x) = , funktsiooni v¨a¨artus f (1) = ln 1 = 0 ja tuletise v¨a¨artus x f (1) = 1. Seega valemi (2.9) j¨argi saame v¨a¨artuse
ln 0, 9 0 + 1 · (-0, 1) = -0, 1,
mis erineb tegelikust v¨aa¨rtusest v¨ahem kui 0, 0054 v~orra.
2.11 K~ orgemat j¨ arku tuletised Funktsiooni y = f (x) tuletis f (x) on mingisugune muutuja x funktsioon ja seda on omakorda v~oimalik diferentseerida. Definitsioon 1. Funktsiooni y = f (x) teist j¨arku tuletiseks f (x) nime- tatakse funktsiooni tuletise tuletist:
f (x) = [f (x)] .
Teist j¨arku tuletist t¨ahistatkse veel y . Leibnizi t¨ahistuses
d2 y d dy 2 = dx dx dx
d2 f v~oi dx2 2 N¨aide 1. Leiame funktsiooni y = e-x teist j¨arku tuletise. 2 2 K~oigepealt leiame y = e-x (-2x) = -2xe-x ja seej¨arel 2 2 2 y = -2e-x - 2xe-x · (-2x) = 2e-x (2x2 - 1).
Definitsioon 2. Funktsiooni y = f (x) n-ndat j¨arku tuletiseks f (n) (x) nimetatakse selle funktsiooni n - 1 j¨arku tuletise tuletist:
f (n) (x) = f (n-1) (x) .
Leibnizi t¨ahistuses d dn-1 y . dx dxn-1 N¨ aide 2. Leiame funktsiooni y = sin x n-ndat j¨arku tuletise.
18 Kasutame selleks matemaatilise induktsiooni meetodit. Induktsiooni ole- tuse tegemiseks esitame m~oned tuletise j¨argud taandamisvalemite abil y = cos x = sin x + , 2 y = - sin x = sin(x + ) = sin x + 2 · , 2 y = - cos x = sin x + 3 · , 2 y (4) = sin x = sin(x + 2) = sin x + 4 · . 2 Nende p~ohjal teeme oletuse y (n) = sin x + n · . Oletuse ~oigsust kontrol - 2 lime n + 1 j¨arku tuletise n y (n+1) = cos x + n · = sin x + + = sin x + (n + 1) 2 2 2 2 leidmisega. 2.12 Joone puutuja ja normaali v~ orrandid Selles alampunktis m~oeldakse joone all funktsiooni y = f (x) graafikut. Eesm¨argiks on tuletada joone puutuja ja normaali v~orrandid antud punktis. L¨ahtume tuntud faktist, et kui sirge l¨abib punkti P0 (x0 ; y0 ) ja sirge t~ous on k, siis sirge v~orrand on
y - y0 = k(x - x0 ).
Funktsiooni y = f (x) graafiku punkti, mille abstsiss on x0 , ordinaadiks on f (x0 ). Puutuja t~ous selles punktis on f (x0 ). Seega on puutuja v~orrandiks
y - f (x0 ) = f (x0 )(x - x0 ). (2.10)
Definitsioon. Joone normaalsirgeks ehk normaaliks antud punktis ni- metatakse joone selles punktis t~ommatud puutuja ristsirget. Kui kaks sirget on risti, siis teise sirge t~ous k2 avaldub esimese sirge t~ousu 1 1 k1 kaudu k2 = - . J¨arelikult on normaali t~ousuks - ja normaalsirge k1 f (x0 ) v~orrandiks 1 y - f (x0 ) = - (x - x0 ). (2.11) f (x0 ) N¨aide. Koostame joone y = cos x puutuja ja normaali v~orrandid punkis abstsissiga x0 = . 6
19 y
no rm
) f (x aa l
y= f (x0 )
x0 x
Joonis 2.3: joone puutuja ja normaal 3 Antud juhul f (x0 ) = cos = . Tuletise f (x) = - sin x abil leiame 6 2 1 1 puutuja t~ousu f = - ja normaali t~ousu - = 2. 6 2 f (6) Puutuja v~orrandiks (2.10) saame 3 1 y- =- x- 2 2 6 ehk 1 +6 3 y =- x+ . 2 12 +6 3 Puutuja v~orrandis on algordinaadi ligikaudseks v¨a¨artuseks 1, 128. 12 Normmali v~orrandiks (2.11) saame 3 y- =2 x- 2 6 ehk 3 3 - 2 y = 2x + . 6
20 3 3 - 2 Normaali v~orrandis on algordinaadi ligikaudseks v¨aa¨rtuseks 6 -0, 181. y
al ma nor 3 2 pu utu ja
- x 2 6 2
Joonis 2.4: funktsiooni y = cos x puutuja ja normaal punktis abstsissiga 6
21 3 Tuletise rakendusi Tuletise rakenduste teoreetiliseks aluseks on kolm teoreemi: Rolle'i, Cauchy ja Lagrange'i teoreemid . 3.1 Rolle'i teoreem Esmalt t~oestame u ¨he abiteoreemi, nn Fermat ' lemma . Fermat' lemma. Kui funktsioon f (x) on diferentseeruv punktis (a; b) ja funktsioonil on selles punktis maksimum (miinimum), siis f () = 0. T~oestus. Kui funktsioonil f (x) on maksimum punktis (a; b), siis leidub niisugune u ¨mbrus ( -; +), et mis tahes +x ( -; +) korral f ( + f ( + x) - f () x) 0, siis 0, seega x f ( + x) - f () lim 0. (3.2) x0- x Eelduse j¨argi f (x) on diferentseeruv punktis , st eksisteerib piirv¨aa¨rtus f ( + x) - f () lim . x0 x J¨arelikult on u ¨hepoolsed piirv¨aa¨rtused (3.1) ja (3.2) v~ordsed, mis on v~oimalik ainult siis, kui need m~olemad v~orduvad nulliga. Siis ka f () = 0. Kui funktsioonil on punktis (a; b) miinimum, on t~oestus analoogiline. Punkti , mille korral f () = 0, nimetatakse funktsiooni statsionaarseks punktiks. Teoreem (Rolle'i teoreem). Kui l~oigul [a; b] pideva ja vahemikus (a; b) diferentseeruva funktsiooni f (x) v¨a¨artused l~oiguotspunktides on v~ordsed, st f (a) = f (b), siis leidub vahemikus (a; b) v¨ahemalt u¨ks funktsiooni f (x) stat- sionaarne punkt. T~oestus. Kui funktsioon on l~oigul [a; b] konstantne, siis f (x) = 0 iga x (a; b) korral, st k~oik vahemiku (a; b) punktid on funktsiooni f (x) statsio- naarseteks punktideks. L~oigul pidev funktsioon omab suurimat ja v¨ahimat v¨a¨artust sellel l~oigul. Mittekonstantse funktsuiooni korral peab v¨ahemalt u ¨ks neist v¨a¨artustest eri- nema v¨a¨artusest f (a) = f (b). Oletame konkreetsuse m~ottes, et funktsioon omandab suuurima v¨a¨artuse mingisuguses punktis (a; b). Selles punktis on sel juhul t¨aidetud Fermat' lemma eeldused, seega f () = 0.
1 3.2 Cauchy teoreem Teoreem (Cauchy teoreem). Kui funktsioonid f (x) ja g(x) on pidevad l~oigul [a; b] ja diferentseeruvad vahemikus (a; b) ning g (x) = 0 vahemikus (a; b), siis leidub v¨ahemalt u¨ks punkt (a; b), et
f (b) - f (a) f () = . (3.3) g(b) - g(a) g ()
T~oestus. Eeldustest j¨areldub, et g(a) = g(b), sest vastasel korral rahul- daks funktsioon g(x) Rolle'i teoreemi eeldusi . Rolle'i teoreemi kohaselt peaks vahemikus (a; b) leiduma punkt , milles g () = 0, mis on eeldusega vastu- olus . Konstrueerime funktsiooni f (b) - f (a) F (x) = f (x) - f (a) - [g(x) - g(a)]. g(b) - g(a)
Funktsioonide f (x) ja g(x) pidevusest l~oigul [a; b] j¨areldub funktsiooni F (x) pidevus sellel l~oigul ning f (x) ja g(x) diferentseeruvusest vahemikus (a; b) funktsiooni F (x) diferentseeruvus selles vahemikus. Peale selle
f (b) - f (a) F (a) = f (a) - f (a) - [g(a) - g(a)] = 0 g(b) - g(a) ja
f (b) - f (a) F (b) = f (b)-f (a)- [g(b)-g(a)] = f (b)-f (a)-[f (b)-f (a)] = 0, g(b) - g(a)
st funktsiooni F (x) v¨a¨artused l~oigu otspunktides on v~ordsed. Seega rahuldab funktsioon F (x) Rolle'i teoreemi eeldusi, j¨arelikult leidub v¨ahemalt u ¨ks punkt (a; b), et F () = 0, st
f (b) - f (a) f () - g () = 0 g(b) - g(a)
ehk f (b) - f (a) f () = g (), g(b) - g(a) millest, p¨arast jagamist suurusega g () saamegi teoreemi v¨aite.
2 3.3 Lagrange'i teoreem Teoreem (Lagrange'i teoreem). Kui funktsioon f (x) on pidev l~oigul [a; b] ja diferentseeruv vahemikus (a; b), siis leidub v¨ahemalt u ¨ks punkt (a; b), et f (b) - f (a) = f (). (3.4) b-a T~oestuseks piisab, kui v~otame Cauchy teoreemis g(x) = x, sest siis g(b) = b, g(a) = a ja g (x) = 1.
3.4 L'Hospitali reegel L'Hospitali reegel h~olbustab jagatise piirv¨aa¨rtuse f (x) lim xa g(x)
arvutamist, kui tegemist on 00 - v~oi - t¨ uu¨pi m¨a¨aramatusega. 0 Teoreem 1 (L'Hospitali reegel 0 - tu ¨u¨ pi m¨a¨aramatuse korral). Kui funktsioonid f (x) ja g(x) rahuldavad punkti a mingis u ¨mbruses (a - ; a + ) Cauchy teoreemi eeldusi, lim f (x) = lim g(x) = 0 ning eksisteerib piirv¨a¨artus xa xa
f (x) lim , xa g (x)
f (x) siis eksisteerib ka piirv¨aa¨rtus lim ja xa g(x)
f (x) f (x) lim = lim . xa g(x) xa g (x)
T~oestus. Funktsioonide f (x) ja g(x) pidevuse t~ottu a u ¨mbruses f (a) = g(a) = 0. Kui x > a, siis Cauchy teoreemi p~ohjal leidub selline (a; x) (kui x sest piirv¨aa¨rtus ei s~oltu muutuja t¨ahistusest.
3 M¨ arkus. Kui lim f (x) = lim g (x) = 0 ja funktsioonid f (x) ning g (x) xa xa rahuldavad Cauchy teoreemi eeldusi punkti a u¨mbruses, siis saab L'Hospitali reeglit uuesti rakendada:
f (x) f (x) lim = lim . xa g (x) xa g (x)
Teoreem 1 (L'Hospitali reegel - tu ¨u¨ pi m¨ a¨ aramatuse korral). Kui funktsioonid f (x) ja g(x) rahuldavad punkti a mingis u ¨mbruses (a - ; a+) Cauchy teoreemi eeldusi, lim f (x) = lim g(x) = ± ning eksisteerib xa xa piirv¨a¨artus f (x) lim , xa g (x)
f (x) siis eksisteerib ka piirv¨aa¨rtus lim ja xa g(x)
f (x) f (x) lim = lim . xa g(x) xa g (x)
Selle teoreemi eelduse lim f (x) = lim g(x) = ± t~ottu rahuldavad funkt- xa xa sioonid f (x) ja g(x) Cauchy teoreemi eeldusi punkti a mingis u ¨mbruses (a - ; a + ) v¨alja arvatud punktis a. M¨ arkus. M~olemas teoreemis v~oib piirprotsessiks olla ka x ±. ln(1 + x) N¨aide 1. Leiame piirv¨a¨artuse lim . x0 x Siin on tegemist 00 -t¨ uu¨pi m¨a¨aramatusega. L'Hospitali reegli j¨argi 1 ln(1 + x) (ln(1 + x)) lim = lim = lim 1+x = 1. x0 x x0 x x0 1
ex - e-x - 2x N¨ aide 2. Leiame piirv¨a¨artuse lim . x0 x - sin x Ka siin on 00 -t¨ uu¨pi m¨a¨aramatus. L'Hospitali reegli p~ohjal
ex - e-x - 2x ex + e-x - 2 lim = lim . x0 x - sin x x0 1 - cos x Tekkis uuesti 00 -t¨ uu¨pi m¨a¨aramatus ja teist korda L'Hospitali reeglit rakenda- des saame ex - e-x ... = lim . x0 sin x
4 Taas on 00 - t¨ uu¨pi m¨a¨aramatus ja veel kord L'Hospitali reeglit kasutades saame
ex - e-x - 2x ex + e-x lim = lim = 2. x0 x - sin x x0 cos x tan x N¨ aide 3. Leiame piirv¨aa¨rtuse lim . x 2 tan 3x Selles piirv¨a¨artus¨ulesandes on - t¨ uu ¨pi m¨a¨aramatus. L'Hospitali reegli kohaselt 1 tan x 2 cos2 3x lim = lim cos3 x = lim x 2 tan 3x x 2 x 2 3 cos2 x. cos2 3x
Tekkis 00 - t¨ uu¨pi m¨a¨aramatus. Kasutades L'Hospitali reeglit veel kaks korda, saame tan x 2 cos 3x(- sin 3x) · 3 sin 3x cos 3x lim = lim = lim = x 2 tan 3x x 2 3 · 2 cos x(- sin x) x 2 sin x cos x
sin 3x cos 3x -1 -3 sin 3x 3 = lim lim = lim = -1 · = 3. x 2 sin x x 2 cos x 1 x 2 - sin x -1
3.5 L'Hospitali reegel teistel m¨ a¨ aramatuse juhtudel Selles alampunktis vaatleme L'Hospitali reegli rakendamist juhtudel, kui on m¨a¨aramatus kujul 0 · , - , 00 , 1 v~oi 0 . K~oigil vaadeldavatel juhtudel taandatakse piirv¨a¨artuse leidmine kas 00 - v~oi - t¨ uu¨pi m¨a¨aramatusele. M¨a¨aramatus kujul 0 · on piirv¨a¨artuses lim yz, kus lim y = 0 ja lim z = xa xa xa . y z Sel juhul saame kirjutada kas y · z = v~oi y · z = . Esimesel