Plaanid puhkusele minna? Võta endale majutus AirBnb kaudu ja saad 37€ kontoraha Tee konto Sulge
Facebook Like

Lembit Pallase materjalid (8)

5 VÄGA HEA
Punktid
 
Säutsu twitteris
YMM3731 Matemaatiline analu¨u¨s I 2007/08 ~o.-a. su¨gissemestril
3,5 AP 4 2-0-2 E S Dots. Lembit Pallas TTU¨ Matemaatikainstituut V-404, tel. 6203056 e-post: lpallas@ staff .ttu.ee K¨asitletavad teemad on toodud punktide kaupa. Neid punkte tuleb vaadelda ka kui kollokviumide ja eksami teooriak¨ usimusi.
1. Funktsiooni m~ oiste ja esitusviisid
2. Funktsioonide liigitamine (paaris- ja paaritud funktsioonid, perioodilised funktsioo- nid, kasvavad ja kahanevad funktsioonid)
3. P¨o¨ordfunktsioon
4. Liitfunktsioon
5. Jada piirv ¨aa¨ rtus
6. Funktsiooni piirv¨aa¨rtus ¨ 7. Uhepoolsed piirv¨aa¨ rtused
8. L~opmatult kasvavad ja l~opmatult kahanevad suurused
9. Piirv¨a¨artusteoreemid
10. L~opmatult kahanevate suuruste v~ordlemine
11. Funktsiooni pidevuse m~oiste. Tarvilik ja piisav tingimus funktsiooni pidevuseks
12. Elementaarfunktsioonide pidevus
13. L~oigul pidevate funktsioonide omadused
14. Funktsiooni katkevuspunktid
15. Funktsiooni tuletise m~oiste, selle geomeetriline ja mehhaaniline t~olgendus
1 16. Pidevus ja diferentseeruvus
17. M~onede p~ohiliste elementaarfunktsioonide tuletised
18. Diferentseerimisreeglid
19. P¨o¨ordfunktsiooni tuletis
20. Liitfunktsiooni tuletis
21. Logaritmiline diferentseerimine
22. Ilmutamata funktsiooni tuletis
23. Parameetrilisel kujul esitatud funktsiooni tuletis
24. Funktsiooni diferentsiaal
25. K~orgemat j¨arku tuletised
26. Joone puutuja ja normaali v~orrandid
27. Rolle'i teoreem
28. Cauchy teoreem
29. Lagrange 'i teoreem
30. L' Hospitali reegel
31. L'Hospitali reegel teistel m¨aa¨ramatuse juhtudel
32. Taylori valem
33. Funktsioonide ex , sin x ja cos x arendid Maclaurini valemi j¨ argi
34. Funktsiooni kasvamine ja kahanemine
35. Funktsiooni lokaalsed ekstreemumid
36. Funktsiooni suurim ja v¨ahim v¨a¨ artus antud l~oigul
37. Funktsiooni graafiku kumerus ja n~ogusus. K¨aa¨nupunktid
38. Funktsiooni graafiku as¨ umptoodid
39. Algfunktsioon ja m¨aa¨ ramata integraal
40. Integraalide tabel
2 41. M¨aa¨ramata integraali omadusi
42. Integreerimine muutuja vahetusega
43. Ositi integreerimine
44. Osamurrud ja nende integreerimine
45. Ratsionaalse murru lahutamine osamurdudeks
46. M~onede trigonomeetriliste funktsioonide klasside integreerimine
47. Irratsionaalavaldiste integreerimine
48. M¨aa¨ratud integraali m~oiste
49. M¨aa¨ratud integraali omadused
50. M¨aa¨ratud integraali arvutamine. Newton -Leibnizi valem
51. Muutuja vahetus m¨aa¨ratud integraalis
52. Ositi integreerimine (m¨aa¨ratud integraali korral)
53. L~opmatute rajadega p¨aratud integraalid
54. P¨aratud integraalid t~okestamata funktsioonidest
55. M¨aa¨ratud integraali ligikaudne arvutamine. Trapetsvalem
56. Pindala arvutamine ristkoordinaatides
57. Polaarkoordinaadistik. K~oversektori pindala polaarkoordinaatides
58. K~overjoone kaare pikkus
Kirjandus 1. N. S. Piskunov, Diferentsiaal- ja integraalarvutus, I, II, Tallinn 1983.
2. A. L~ohmus, I. Petersen, H. Roos, K~orgema matemaatika u ¨lesannete kogu. Tallinn, 1982.
3. L. Pallas, M¨aa¨ramata integraal. Tallinn, 2005
4. I. Tammeraid, Matemaatiline anal¨ uu¨s I. Tallinn, 2001.
3 5. G. N. Berman , Matemaatilise anal¨ uu¨si kursuse u ¨lesannete kogu. Moskva , 1977 (vene keeles).
N¨adalas toimub 2 tundi loenguid ja 2 tundi harjutusi. Loengus esitatakse uus materjal, mida harjutustunnis kinnistatakse u ¨lesannete lahendamisega. Loengumaterjalid on internetis kodulehek ¨ uljel www.staff.ttu/lpallas Semester l~opeb suulise eksamiga. Eksamipiletis on kaks teooriak¨ usimust ja kaks u ¨lesannet. Kokku neli punkti, mis k~oik omavad v~ordset kaalu. Eksamieelduseks on kahe kontrollt¨o¨o kirjutamine semestri jooksul. Kontrollt¨o¨od toi- muvad harjutustunnis, 1. kontrollt¨o¨o 8. ja 2. kontrollt¨o¨o 15. ~oppen¨adalal. Kontrollt¨o¨ode ja u ¨htlasi eksami t¨ uu¨p¨ulesanded on interneti aadressil www.staff.ttu.ee/lpallas/matan1yles.pdf Kontrollt¨oid hinnatakse 100-punkti s¨ usteemis. Selleks, et kontrollt¨o¨o oleks arvestatud, peab see olema kirjutatud v¨ahemalt 51-le punktile. ¨ opilased, kes kirjutavad m~olemad kontrollt¨o¨od u Uli~ ¨lalnimetatud aegadel v¨ahemalt 80 punktile, on eksamil u ¨lesannetest vabastatud. Semestri jooksul toimub kolm kollokviumi (osaeksamit). Esimene - funktsioon, piirv¨aa¨rtus, pidevus (punktid 1 - 14) - 12. oktoobril 18.00 v~oi 10. oktoobril 14.00. Teine - funktsiooni tuletis, tuletise rakendusi (punktid 15 - 38) - 23. novembril 18.00 v~oi 28. novembril kell 14.00. Kolmas - m¨a¨aramata ja m¨a¨aratud integraal (punktid 39 - 58) - 21. detsembril kell 18.00. Kollokviumid on kirjalikud ja ei sisalda u ¨ lesandeid vaid ainult teooriat. Vajaduse korral toimub kollokviumile j¨argnevas konsultasioonis t¨o¨o kaitsmine. Kui kollokvium on kirjutatud v¨ahemalt kuuele punktile ja u ¨li~opilane on tulemusega rahul, siis vastavaid teemasid eksamil ei ole. Konsultatsioonid toimuvad kolmap¨aeviti 14.00 (kuni kaheksanda n¨adalani ainult paa- risn¨adalatel) ja reedeti 18.00.
4 1 Funktsioon, piirv¨ a¨ artus, pidevus 1.1 Funktsioon 1.1.1 T¨ ahistused Arvuhulki t¨ahistatakse u ¨ldlevinud viisil: N - naturaalarvude hulk, Z - t¨aisarvude hulk, Q - ratsionaalarvude hulk, R - reaalarvude hulk. Piirkonnaks nimetatakse reaalarvude hulga alamhulki: vahemik, l~oik, pooll~oik ja nende u ¨ hendid . Piirkondi hakkame t¨ ahistama suurte t¨ahtedega X, Y, Z, ... . Konstant on suurus, mis antud kontekstis omab ainult u ¨hte kindlat v¨aa¨rtust. Konstante t¨ahistatakse matemaatilises anal¨ uu ¨sis t¨ahestiku algust¨ahtedega a, b, c, ... . Muutuvaks suuruseks nimetatakse suurust, mis v~oib omandada mistahes v¨a¨artust mingisugusest piirkonnast . Muutuvid suurusi t¨ahistatakse t¨ahestiku l~oput¨ahtedega x, y, z, ... . T¨aisarvuliste muutujate t¨ahistamiseks kasutatak- se t¨ahti i, j, k, l, m ja n. Funktsioone t¨ahistatakse t¨ahtedega f, g, h ja nende kreeka vastetega (fii), ( psii ) (hii). Matemaatilise anal¨ uu¨si kursuses on muutuvateks suurusteks reeglina (kui ei ole tehtud t¨aiendavat eeldust ) reaalarvulised muutujad. Kirjaviisi x X loetakse: suurus x kuulub piirkonda X. ¨ Uldlevinud on kahe nn kvantori - universaalsuskvantori ja olemasolu- kvantori kasutamine. S¨ umbolit loetakse teksti sees "iga"ja s¨ umbolit loetakse "eksisterib"v~oi "leidub". Kirjaviisi x > 0 [a; b] loetakse: iga positiivse x v¨a¨artuse korral leidub l~oik [a; b].
1.1.2 Funktsiooni m~ oiste ja esitusviisid Definitsioon 1.1. Kui igale muutuja x v¨a¨artusele mingisugusest piirkonnast X on vastavusse seatud u ¨ks muutuja y kindel v¨a¨artus piirkonnast Y , siis muutujat y nimetetakse muutuja x funktsiooniks. Seda asjaolu m¨argitakse matemaatilise anal¨ uu ¨sis y = f (x), y = F (x), y = (x) jne. Muutuvat suurust x nimetatakse s~oltumatuks muutujaks ehk argumendiks ja muutuvat suurust y s~oltuvaks muutujaks ehk funktsiooniks. S¨umbol f m¨argib reeglit v~oi eeskirja, mis selle vastavuse korraldab. Seega - funktsioonist saab k~onelda siis, kui on olemas eeskiri, mis igale u¨he muutuja v¨a¨artusele seab vastavusse teise muutuja u¨he kindla v¨a¨artuse. Funktsioone saab esitada tabelina, graafikuna ja anal¨ uu ¨tiliselt.
1 N¨ aide 1.1. Tabel x y -2 3 -1 11 0 15 esitab definitsiooni kohaselt funktsiooni, sest igale muutuja x v¨aa¨ rtusele kol- meelemendilisest hulgast X = {-2, -1, 0} seab see vastavusse u ¨he kindla muutuja y v¨a¨artuse. Muutuja x v¨a¨artusele -2 on vastavusse seatud muutuja y v¨a¨artus 3 jne. Teiseks funktsiooni esitusviisiks on graafik . N¨ aide 1.2. Graafik esitab y
y0 P
x0 x
Joonis 1.1: Funktsiooni esitusviis graafikuna
t~oepoolest u ¨laltoodud definitsiooni m~ottes funktsiooni, sest argumendi v¨a¨artusele x0 vastab graafiku punkt P . Selle punkti ordinaat y0 on u ¨heselt m¨aa¨ratud, seega igale argumendi x v¨a¨artusele seab graafik vastavusse u ¨he kindla y v¨a¨artuse. Kolmandaks funktsiooni esitusviisiks on anal¨ uu¨tiline esitusviis. Siin eris- tame funktsiooni esitust ilmutatud kujul, ilmutamata kujul ja funktsiooni parameetrilist esitusviisi. Funktsioon esitatakse ilmutatud kujul v~ordusena y = f (x), kus vasakul pool v~ordusm¨ arki on y ja paremal mingisugune anal¨ uu¨tiline avaldis muutuja x suhtes. Ilmutatud kujul on k~oik p~ohilised elementaarfunktsioonid: ruut- funktsioon y = x2 - 2x + 3, trigonomeetrilised funktsioonid, eksponent - ja logaritmfunktsioonid jne. Enne kui asuda funktsiooni ilmutatud kuju ja parameetrilise esitusviisi juurde, peab funktsiooni m~oistet laiendama. Edaspidi loeme muutuja y muu- tuja x funktsiooniks ka juhul, kui igale x v¨a¨artusele vastab kaks y v¨a¨artust, kolm y v¨a¨artust, ... , l~opmatult palju muutuja y v¨a¨artusi. Esimesel juhul ¨oeldakse, et funktsioon on kahene, teisel juhul - funktsioon on kolmene, ... , funktsioon on l~opmatult mitmene .
2 N¨ aide 1.3. Ilmutamata kujul on funktsioon x2 + y 2 = r2 , kus r on positiivne konstant. Selle funktsiooni graafikuks on ringjoon keskpunktiga koordinaatide alguses, raadiusega r. Selle funktsiooni ilmutamiseks, st tei- y
y1
x0 r x
y2
Joonis 1.2: Ringjoon raadiusega r
sendamiseks ilmutatud kujule , avaldame v~ordusest muutuja y. K~oigepealt y 2 = r2 - x2 , millest y = ± r2 - x2 . Igale x v¨a¨artusele vahemikust (-r; r) vastab kaks muutuja y v¨a¨artust. Joonisel vastab argumendi x0 v¨a¨artusele kaks y v¨a¨artust y1 = r2 - x20 ja y2 = - r2 - 2 x0 . Seega on antud juhul tegemist kahese funktsiooniga. Funktsioonid y = r - x2 ja y = - r2 - x2 2
on selle kahese funktsiooni u ¨hesteks harudeks. Kui ilmutatumata kujul esi- tatud funktsiooni graafikuks on kogu ringjoon, siis funktsiooni y = r 2 - x2 graafikuks on ringjoone u ¨ lemine pool ja funktsiooni y = - r2 - x2 graafi - kuks ringjoone alumine pool. Kolmandaks funktsiooni anal¨ uu ¨tiliseks esitusviisiks on funktsiooni para- meetriline esitusviis. Parameetrilise esitusviisi korral ei ole kaks muutujat x ja y omavahel otseselt v~ordusega seotud, vaid on seotud l¨abi kolmanda muutuja, nn parameetri t. Parameetrilise esitusviis on u ¨ ldjuhul x = (t) y = (t) Parameetrilisel kujul on v~oimalik esitada k~oiki funktsioone. Funktisooni y = x2 parameetriliseks esitusviisiks on x=t y = t2 Funktsiooni x2 + y 2 = r2 parameetriliseks esitusviisiks on x = r cos t y = r sin t
3 Selles esitusviisis on parameetriks t joonisel n¨aidatud nurk. y
t r x
Joonis 1.3: Parameetri t t¨ahendus
Funktsiooni y = x2 parameetrilist esitusviisi tavaliselt ei kasutata, sellel puudub m~ote. K¨ull aga kasutatakse funkktsiooni x2 + y 2 = r2 parameetrilist esitusviisi. On funktsioone, millele ainsaks m~oistlikuks esitusviisiks on parameetriline esitusviis. N¨aide 1.4. Vaatleme parameetrilisel kujul esitatud funktsiooni x = a(t - sin t) y = a(1 - cos t) Funktsiooni graafikuks on ts¨ ukliline joon, mida nimetatakse ts¨ ukloidiks. Ts¨ ukloid on joon, mille kirjeldab ringjoone raadiusega a u ¨ks punkt, mis alg- y
2a x
Joonis 1.4: Ts¨ ukloid
asendis asub koordinaatide alguspunktis, kui panna ringjoon veerema m¨o¨oda x-telge. Sellisel juhul on funktsiooni parameetrilises esitusviisis parameetriks t selle ringjoone p¨o¨ordenurk algasendi suhtes.
4 Definitsioon 1.2. Funktsiooni y = f (x) m¨a¨aramispiirkonnaks nimeta- takse niisugust argumendi x v¨a¨artuste hulka, millele anntud eeskirja kohaselt saab vastavusse seada muutuja y v¨a¨artuse. Funktsiooni m¨a¨aramispiirkond on kas funktsiooni definitsiooniga ette an- tud v~oi funktsiooni enda poolt m¨a¨aratud. Funktsiooni m¨a¨aramispiirkonda t¨ahistatakse s¨ umboliga X. N¨ aide 1.5. Funktsiooni x, kui 0 x 1 f (x) = 2 - x, kui 1 m¨aa¨ramispiirkonnaks on l~oik X = [0; 2], sest v¨aljaspool seda l~oiku ei ole funktsioon defineeritud. Funktsiooni graafik on esitatud joonisel. y
1 y = f( x)
1 2 x
N¨aide 1.6. Funktsiooni y = 2x - x2 m¨a¨aramispiirkonna annab ette kitsendus 2x - x2 0. Selle v~orratuse lahendihulka kuuluvad argumendi x v¨a¨artused, mis rahuldavad tingimust 0 x 2, seega antud funktsiooni m¨a¨aramispiirkonnaks on l~oik X = [0; 2].
Definitsioon 1.3. Funktsiooni y = f (x) muutumispiirkonnaks nimeta- takse muutuja y nende v¨a¨artuste hulka, mis vastavad k~oikidele m¨a¨aramispiirkonda kuuluvatele argumendi x v¨a¨artustele. Muutumispiirkonda t¨ahistatakse s¨ umboliga Y. N¨aide 1.7. Leiame n¨aites 1.6 antud funktsiooni muutumispiirkonna. Juu- re all on ruutfunktsioon 2x - x2 , mille graafikuks on allapoole avanev para- bool . M¨a¨aramispiirkonna X = [0; 2] otspunktides on ruutfunktsiooni v¨a¨artus 0, seega on ka antud funktsiooni v¨ahim v¨a¨artus 0. Ruutfunktsiooni suurimaks v¨a¨artuseks on parabooli haripunkti ordinaat. Parabooli haripunkti abstsiss 0+2 on xh = = 1, millele vastav ordinaat on yh = 2 · 1 - 12 = 1. V¨a¨artus 2 1 on juure all oleva ruutfunktsiooni suurimaks v¨a¨artuseks ning u ¨htlasi juu- re suurimaks v¨a¨artuseks. J¨ arelikult on funktsiooni muutumispiirkonnaks l~oik Y = [0; 1].
5 1.1.3 Funktsioonide liigitamine Funktsioone liigitatakse nende s¨ ummeetriaomaduste, v¨a¨artuste kordumise v~oi mingi muu tunnuse alusel. Definitsioon 1.4. Funktsiooni y = f (x) nimetatakse paarisfunktsioo- niks , kui x X korral f (-x) = f (x). Paarisfunktsioonideks on n¨aiteks y = x2 , y = |x| ja y = cos x. Neist kahe esi- mese graafikud on esitatud joonisel 1.5 ja kolmanda graafik joonisel 1.6. Kui y y 4 4 x2 y=
| |x = 2 2
y -2 2 x -2 2 x
Joonis 1.5: funktsioonid y = x2 ja y = |x|
y
1
-2 - 2 x
-1
Joonis 1.6: funktsioon y = cos x
paarisfunktsiooni graafikule kuulub punkt x; f (x), siis definitsioonis esitatud tingimuse kohaselt kuulub graafikule ka punkt -x; f (x). Need kaks punkti paiknevad koordinaatteljestikus s¨ ummeetriliselt y-telje suhtes. J¨arelikult on iga paarisfunktsiooni graafik s¨ ummeetriline y-telje suhtes. Definitsioon 1.5. Funktsiooni y = f (x) nimetatakse paarituks, kui x X korral f (-x) = -f (x).
6 y
y = x3 2
-2 2 x
-2
Joonis 1.7: funktsioon y = x3
y
1
-2 - 2 x -1
Joonis 1.8: funktsioon y = sin x
Paarituteks funktsioonideks on y = x3 , y = sin x ja y = tan x. Nende funkt- sioonide graafikud on esitatud vastavalt joonistel 1.7, 1.8 ja 1.9. Kui mis tahes paaritu funktsiooni graafikule kuulub punkt (x; f (x)), siis definitsioonis esitatud tingimuse kohaselt kuulub sellele ka punkt (-x; -f (x)). Need kaks punkti paiknevad s¨ ummeetriliselt koordinaatide alguspunkti suh- tes. Seega on k~oikide paaritute funktsioonide graafikud s¨ummeetrilised koor- dinaatide alguspunkti suhtes. 1+x N¨aide 1.8. Uurime, kas funktsioon y = ln on paaris v~oi paaritu. 1-x -1 1+x 1-x 1+x T¨ahistame f (x) = ln ja leiame f (-x) = ln = ln = 1-x 1 - (-x) 1-x 1+x - ln = -f (x). 1-x Saime , et x X korral f (-x) = -f (x), st funktsioon on paaritu. Kehtivad j¨argmised v¨aited.
7 y
1 - 32 - 2 2 3 2 x -2 - 2 -1
Joonis 1.9: funktsioon y = tan x
· Kahe paarisfunktsiooni korrutis on paarisfunktsioon ;
· kahe paaritu funktsiooni korrutis on paarisfunktsioon;
· paaris- paaritu funktsiooni korrutis on paaritu funktsioon.
T~oestame antud v¨aidetest teise. Olgu f (x) ja g(x) paaritud funktsioonid. T¨ahistame nende korrutise h(x) = f (x)g(x) ja leiame h(-x) = f (-x)g(-x) = -f (x) · [-g(x)] = f (x)g(x), st korrutis h(x) on t~oepoolest paarisfunktsioon. 1+x N¨aide 1.9. Vaatleme funktsiooni y = x ln . 1-x 1+x Funktsioon f (x) = x on paaritu, funktsioon g(x) = ln on n¨aite 1-x 4 p~ohjal samuti paaritu, j¨arelikult nende korrutis, st antud funktsioon on paaris. Definitsioon 1.6. Funktsiooni y = f (x) nimetatakse perioodiliseks, kui selline reaalarv T = 0, et x X korral
f (x + T ) = f (x).
Siin on eeldatud, et ka x + T X. V¨ahimat positiivset sellist reaalarvu (kui see eksisteerib) nimetatakse funktsiooni perioodiks . Selle definitsiooni esimese poole p~ohjal on siinusfunktsioon perioodiline, sest definitsioonis n~outud reaalarvuks T sobivad 4, 10, -6 jne. V¨ahimaks
8 positiivseks selliseks reaalarvuks on aga 2, mis on definitsiooni p~ohjal sii- nusfunktsiooni perioodiks. Koosinusfunktsiooni perioodiks on samuti 2, tan- gensfunktsiooni perioodiks on . Trigonomeetrilised funktsioonid ei ole kaugeltki mitte ainsateks perioodi- listeks funktsioonideks. Defineerime nn "saehamba"funktsiooni x - n, kui nx f (x2 ).
9 y
f (x2 )
f (x1 )
x1 x2 x
Joonis 1.11: kasvav funktsioon y
f (x1 )
f (x2 )
x1 x2 x
Joonis 1.12: kahanev funktsioon
Seega funktsiooni nimetatakse kasvavaks, kui kahest m¨a¨aramispiikonnast v~otud argumendi v¨a¨artusest suuremale vastab v¨aiksem funktsiooni v¨a¨artus. Definitsioon 1.10. Funktsiooni y = f (x) nimetatakse monotoonselt ka- hanevaks, kui kui kahe mis tahes argumendi x1 , x2 X korral, mis rahulda- vad tingimudt x1 Konstantne funktsioon on esitatud definitsioonide p~ohjal samaaegselt nii monotoonselt kasvav kui ka monotoonselt kahanev.
1.1.4 P¨ o¨ ordfunktsioon N¨aites 1.1 esitatud tabel seab igale x v¨a¨artusele vastavusse y v¨a¨artuse. T¨apselt samuti aga seab see tabel igale y v¨a¨artusele vastavusse x v¨a¨artuse, st muutuja y on selles tabelis vaadeldav argumendina ja muutuja x funktsioonina . N¨aites 1.2 esitatud graafik seab teatud piirkonnas igale y v¨aa¨rtusele vasta- vusse u¨he, kaks v~oi kolm muutuja x v¨a¨artust. Funktsiooni laiendatud m~oiste kohaselt on muutuja x vaadeldav muutuja y funktsioonina.
10 x N¨ aide 1.10. Anal¨ uu ¨tiline funktsioon y = seab igale x v¨a¨artusele x+1 vastavusse y v¨a¨artuse. Avaldades sellest v~ordusest muutuja x saame, et x = y , st muutuja y v¨a¨artustele seab see v~ ordus vastavusse muutuja x v¨a¨artuse. 1-y Peale selle, et muutuja y on muutuja x funktsiooniks, on muutuja x vaadeldav muutuja y funktsioonina. J¨arelikult on iga eeskirjaga (tabeliga, graafikuga, anal¨ uu ¨ tilise avaldisega) m¨a¨aratud kaks funktsiooni, millest teist nimetatakse esimese p¨o¨ordfunktsiooniks. Edaspidi hakkame funktsiooni y = f (x) p¨o¨ordfunktsiooni t¨ahistama x = (y). Sellises t¨ahistuses langevad p¨oo¨rdfunktsiooni ja selle p¨oo¨rdfunktsiooni graafikud kokku. Tavaliselt aga t¨ahistatakse p¨o¨ordfunktsioonis argument uues- ti x-ga ja funktsioon y-ga ning p¨o¨ordfunktsioon esitatakse y = (x). Kui antud funktsiooni y = f (x) graafikule kuulub punkt koordinaatidega (x; y), siis p¨o¨ordfunktsiooni graafikule kuulub punkt koordinaatidega (y; x). Teise punkti saame esimesest , peegeldades seda koordinaattasandi I ja III veerandi nurgapoolitaja (sirge y = x) suhtes. J¨arelikult: p¨o¨ordfunktsiooni y = (x) graafiku saame antud funktsiooni y = f (x) graafiku peegeldamise teel sirge y = x suhtes. Vaatleme n¨aiteid. N¨ aide 1.11. Olgu antud funktsiooniks ruutfunktsioon y = x2 , mille graa- fik on esitatud joonisel 1.5. Avaldades v~ordusest muutuja x, saame p¨ oo ¨ rdfunktsiooniks x = ± y ja p¨arast t¨ahistuse vahetamist y = ± x. Selle p¨o¨ordfunktsiooni graafikuks on funktsiooni y = x2 graafiku peegeldus sirge y = x suhtes (joonis 1.13). y x
4 = y x2 y=
x 2 y=
-2 2 4 x y = - x -2
Joonis 1.13: funktsioon y = x2 ja selle p¨oo¨ rdfunktsioon
11 N¨aide 1.12. Olgu antud funktsiooniks eksponentfunktsioon y = 2x . Siit muutuja x = log2 y ja p¨arast t¨ahistuse vahetamist y = log2 x. Eksponent- funktsiooni p¨o¨ordfunktsiooniks on logaritmfunktsioon . y
x 2x
= y 4
y= x 2 log 2 y=
-2 2 4 x
-2
Joonis 1.14: funktsioon y = 2x ja selle p¨oo¨rdfunktsioon y = log2 x
Eraldame siinusfunktsioonist y = sin x osa, mille m¨aa¨ramispiirkond on - ; (joonis 1.15). 2 2 y
1
- 2 x 2
-1
Joonis 1.15: funktsioon y = sin x l~oigul - ; 2 2
Antud juhul vastab igale muutuja y [-1; 1] v¨a¨artusele u ¨ks muutuja x v¨aa¨rtus. Seda p¨o¨ordfunktsiooni t¨ahistatakse x = arcsin y. P¨arast t¨ahistuse muutmist saame funktsiooni y = sin x, x - ; p¨oo¨rdfunktsiooni y = 2 2 arcsin x. Selle funktsiooni m¨a¨aramispiirkond on X = [-1; 1] ja muutumis- piirkond Y = - ; . 2 2
12 y 2
-1 1 x
- 2
Joonis 1.16: funktsioon y = arcsin x
Avaldades v~ordusest y = sin x muutuja x, saame y [-1; 1] korral x = (-1)n arcsin y + n, n Z. Vahetades t¨ahistuse, saame l~opmatult mitmese funktsiooni y = (-1)n arcsin x + n, n Z, mida t¨ahistatakse y = Arcsin x y 2
x -1 1
-2
Joonis 1.17: funktsioon y = Arcsin x
Eraldame koosinusfunktsioonist osa, mille m¨a¨aramispiirkond on [0; ] (joo- nis 1.18). Igale y [-1; 1] v¨a¨artusele vastab u ¨ks muutuja x v¨a¨artus. Seda funtksioo- ni t¨ahistatakse x = arccos y. P¨arast t¨ahistuse vahetamist saame funktsioo- ni y = arccos x, mille m¨a¨aramispiirkond X = [-1; 1] ja muutumispiirkond Y = [0; ].
13 y
1
x
-1
Joonis 1.18: funktsioon y = cos x l~oigul [0; ] y
2
-1 1 x
Joonis 1.19: funktsioon y = arccos x
Funktsioonide y = arcsin x ja y = arccos x vahel kehtib x [-1; 1] puhul seos arcsin x + arccos x = 2 Avaldades v~ordusest y = cos x muutuja x, saame x = ± arccos y + 2n, n Z. P¨arast t¨ahistuse vahetamist saadud l~opmatult mitmest funkt- siooni y = ± arccos x + 2n, n Z t¨ahistatakse y = Arccos x. Eraldame tangensfunktsioonist osa, mille m¨a¨aramispiirkond on vahemik - ; . Selle funktsiooni graafikuks on koordinaatide alguspunkti l¨abiv 2 2 tangensfunksiooni haru (joonis 1.9). Sellise funktsiooni puhul vastab igale y (-; ) v¨a¨artusele parajasti u ¨ks muutuja x v¨a¨artus vahemikust - ; 2 2 ja seda t¨ahistatakse x = arctan y. P¨arast t¨ahistuse vahetamist saame y = tan x, x - ; , p¨o¨ordfunktsiooni y = arctan x. Selle m¨a¨aramispiirkond 2 2
14 y 2
x -1 1
-2
Joonis 1.20: funktsioon y = Arccos x
X = (-; ) ja muutumispiirkond - ; . 2 2 y 2
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 x
- 2
Joonis 1.21: funktsioon y = arctan x Avaldades v~orrandist y = tan x muutuja x, saame x = arctan y + n, n Z. Vahetades t¨ahistuse, saame funktsiooni y = tan x l~opmatult mitmese p¨o¨ordfunktsiooni y = arctan x+n, n Z, mida t¨ahistataskse y = Arctan x. Lisame juba vaadeldud trigonomeetrilistele funtksioonidele veel neljanda y = cot x. Graafik on esitataud joonisel 1.22 Eraldame funktsioonist y = cot x v¨alja haru m¨a¨aramispiirkonnaga (0; ). Sellel harul vastab igale y (-; ) v¨a¨artusele u ¨ks muutuja x v¨a¨artus. Seda funtksiooni t¨ahistatakse x = arccot y. P¨arast t¨ahistuse muutmist on funkt- siooni y = cot x, x (0; ) p¨o¨ordfunktsiooniks y = arccot x. Selle funktsiooni m¨a¨aramispiirkond X = (-; ) ja muutumispiirkond Y = (0; ).
15 y
1
- 2 x -2 - 32 - 2 3 2 2 -1
Joonis 1.22: funktsioon y = cot x y
2
-4 -2 2 4 x
Joonis 1.23: funktsioon y = arccot x
Funktsioonide y = arctan x ja y = arccot x vahel kehtib x (-; ) korral seos arctan x + arccot x = . 2 Avaldades v~orrandist y = cot x muutuja x, saame x = arccot y + n, n Z. Vahetades t¨ahistuse, saame funktsiooni y = cot x l~opmatult mitmese p¨o¨ordfunktsiooni y = arccot x + n, n Z, mida t¨ahistataskse y = Arccot x.
1.1.5 Hu ¨ perboolsed funktsioonid ja nende p¨ o¨ ordfunktsioonid Paele vaadeldud p~ohiliste elementaarfunktsioonide vaadeldakse matemaati - lises anal¨ uu¨sis veel nn h¨ uperboolseid funktsioone ja nende p¨o¨ordfunktsioone, nn areafunktsioone. H¨ uperboolsed funktsioonid ja areafunktsioonid avaldu- vad juba vaadeldud p~ohiliste elementaarfunktsioonide kaudu.
16 H¨uperboolseteks funktsioonideks on h¨uperboolne siinus , h¨ uperboolne koo- sinus , h¨ uperboolne tangens ja h¨ uperboolne kootangens . H¨uperboolne siinus y = sh x on defineeritud kui ex - e-x sh x = . 2 H¨ uperboolse siinuse graafik on esitatud joonisel 1.24. Funktsiooni m¨a¨aramispiirkond X = (-; ) ja muutumispiirkond Y = (-; ). y
4
2
-2 2 x
-2
-4
Joonis 1.24: h¨ uperboolne siinus y = sh x
H¨ uperboolne koosinus y = ch x on defineeritud kui ex + e-x ch x = . 2 H¨ uperboolse koosinuse graafik on joonisel 1.25. Selle funktsiooni m¨a¨aramispiirkond X = (-; ) ja nmuutumispiirkmond Y = [1; ). H¨uperboolse siinuse ja koosinuse jaoks kehtib rida analoogilisi seoseid , mis on tuttavad trigonomeetriliste siinuse ja koosinuse korral. · ch2 x - sh2 x = 1; · sh 2x = 2 sh x ch x; · ch 2x = ch2 x + sh2 x. H¨ uperboolne tangens y = th x on defineeritud kui sh x ex - e-x th x = = x . ch x e + e-x
17 y
4
2
x -2 2
Joonis 1.25: h¨ uperboolne koosinus y = ch x
H¨ uperboolse tangensi graafik on joonisel 1.26. Selle funktsiooni m¨a¨aramispiirkond on X = (-; ) ja muutumispiirkond Y = (-1; 1). y 1
-2 2 x
-1
Joonis 1.26: h¨ uperboolne tangens y = th x
H¨ uperboolne kootangens y = cth x on defineeritud kui 1 ch x ex + e-x cth x = = = x . th x sh x e - e-x H¨uperboolse kootangensi graafik on joonisel 1.27. Selle funktsiooni m¨a¨aramispiirkond on X = (-; 0) (0; ) ja muutumispiirkond Y = (-; -1) (1; ). Leiame funktsiooni y = sh x p¨o¨ordfunktsiooni. Selleks avaldame v~orran- ex - e-x dist y = muutuja x. Korrutades v~orrandi m~olemad pooled suuru- 2 sega 2e saame e - 2yex - 1 = 0, st ruutv ~orrandi ex suhtes, millest x 2x
ex = y + y 2 + 1.
18 y
1
-2 2 x
-1
Joonis 1.27: h¨ uperboolne kootangens y = cth x
Miinusm¨ark juure ees ei ole v~oimalik, sest y - y 2 + 1 on negatiivne, aga x e negatiivne ei saa olla. Avaldame viimasest v~ordusest x = ln(y + y 2 + 1). Vahetades t¨ahistuse, saame funktsiooni y = sh x p¨o¨ordfunktsiooniks y = ln(x + x2 + 1). Seda funkrtsiooni nimetatakse areasiinuseks ja t¨ahistatakse y = arsh x. ex + e-x Avaldades samal viisil v~orrandist y = muutuja x, saame x = 2 ln(y+ y 2 - 1).Vahetades t¨ahistuse saame, et funktsiooni y = ch x p¨o¨ordfunktsiooniks on y = ln(x + x2 - 1), mida nimetatakse areakoosinuseks ja t¨ahistatakse y = arch x. ex - e-x 1 1+y Avaldame v~orrandist y = x -x muutuja x. Tulemuseks on x = ln . e +e 2 1-y P¨arast t¨ahistuse vahetamist saame funktsiooni y = th x p¨o¨ordfunktsiooniks 1 1+x y = ln , mida nimetatakse areatangensiks ja t¨ahistatakse y = arth x. 2 1-x
1.1.6 Liitfunktsioon Oletame, et argumendile x X on vastavusse seatud muutuja u v¨aa¨rtus,
u = g(x),
st u on muutuja x funktsioon ja omandab v¨a¨artusi hulgast U Muutuja u U v~oib omakorda olla argumendiks mingile teisele funktsioonile, st
y = f (u).
19 Kui asendada u muutuja x kaudu viimasesse funktsiooni, saame liitfunkt- siooni y = f [g(x)]. Funktsioone u = g(x) ja y = f (u) nimetatakse liitfunktsiooni komponent - funktsioonideks ehk komponentideks. Seejuures funktsiooni u = g(x) nimeta- takse seesmiseks ja funktsiooni y = f (u) v¨aliseks. N¨aide 1. Liitfunktsiooni y = 1 - x2 komponendid on seesmine funkt- sioon u = 1 - x2 ja v¨aline funktsioon y= u. 1+x 1 N¨aide 2. Kui koostada komponentidest u = ja y = ln u liit- 1-x 2 funktsioon, saame 1 1+x y = ln , 2 1-x st funktsiooni y = arth x. On olemas liitfunktsioone, millel on komponente rohkem kui kaks. Kui u on x funktsioon, u = h(x), muutuja v on u funktsioon v = g(u) ja muutuja y on v funktsioon
t = f (v),
saame liitfunktsiooni y = f {g[h(x)]}. Analoogilisel viisil saab defineerida nelja, viie ja enam komponendiga liit- funktsioonid. N¨aide 3. Koostame komponentidest u = cos x, v = log u ja y = v liitfunktsiooni ja leiame selle m¨a¨aramispiirkonna. Asendades teise funktsiooni u, ssame v = log cos x ja asendades selle omakorda kolmandasse, saame
y= log cos x.
20 M¨aa¨ramispiirkonna leidmiseks kirjutame tingimuse
log cos x 0
ehk cos x 1. Viimane tingimus on v~oimalik ainult juhul, kui cos x = 1, millest x = 0, ±2, ±4, . . ., st m¨aa¨ramispiirkond koosneb u ¨ksikutest punktidest X = {x|x = 2n, n Z}
21 1.2 Piirv¨ a¨ artus 1.2.1 Jada piirv¨ a¨ artus Reaalarvude hulga ja arvtelje punktide hulga vahel on u ¨ks¨ uhene vastavus. Edaspidi kasutame samas t¨ahenduses m~oisteid reaalarv a ja arvtelje punkt a. Kahe reaalarvu a ja b vaheliseks kauguseks on |b - a|. Samuti on |b - a| arvtelje punktide a ja b vaheliseks kauguseks. Definitsioon 1.1. Punkti a u ¨mbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (a - ; a + ), st vahemikku, mis on punkti a suhtes s¨ummeetriline. Olgu vaatluse all jada
y1 , y2 , y3 , ..., yn , .... (1.1)
Definitsioon 1.2. Reaalarvu b nimetatakse jada (1.1) piirv¨a¨artuseks, kui > 0 korral leidub niisugune jada indeks N , et niipea, kui n > N , siis |yn - b| 0 korral on v~oimalik leida niisugune jada liige, p¨arast mida on k~oik jada liikmed reaalarvule b l¨ahemal kui Definitsioonis esitatud tingimuse |yn -b| arne sellega, et jada liige yn kuulub b u ¨mbrusesse, st yn (b-; b+). Seega on v~oimalik jada piirv¨a¨artuse definitsioon 2 u ¨ mber s~onastada u¨mbruse m~oistet kasutades. Definitsioon 1.2'. Reaalarvu b nimetatakse jada (1.1) piirv¨a¨artuseks, kui iga u¨mbruse (b - ; b + ) korral leidub niisugune jada indeks N , et niipea kui n > N , siis yn (b - ; b + ). Viimase definitsiooni kohaselt on reaalarv b jada (1.1) piirv¨a¨artuseks, kui u ¨ mbruse (b - ; b + ) korral on v~oimalik leida niisugune jada liige, p¨arast mida k~oik jada liikmed kuuluvad b u ¨mbrusesse. N¨aide 1.1. Vaadeldes jada 1 2 3 n ; ; ; ...; ; ..., 2 3 4 n+1 paneme t¨ahele, et mida kaugemale jadas minna, seda 1-le l¨ahedasema suuruse saame. Uurime, mitmendast liikmest alates on jada liikmed 1-le l¨ahemal kui n = 0, 01, st - 1 1 n-n-1 1 Teisendades saame, et 100, st n > 99. J¨arelikult on p¨arast 99. liiget (st alates 100.-st liikmest) k~oik vaadeldava jada liikmed 1-le l¨ahemal kui 0,01. Uurime, mitmendast liikmest alates on jada liikmed 1-le l¨ahemal kui n = 0, 001, - 1 999, st p¨arast 999. liiget on jada liikmed u ¨hele l¨ahemal kui 0,001. T¨aiesti suvalise > 0 korral n - 1 ehk n > - 1 Reaalarvu a t¨aisosa t¨ahistatakse [a]. Seda t¨ahistust kasutades saame j¨areldada, 1 et k~oik jada liikmed, mis j¨argnevad liikmele indeksuga N = - 1, on 1-le l¨ahemal kui . Asjaolu, et antud jada piirv¨a¨artus v~ordub 1-ga, kirjutatakse n lim = 1. n n + 1
¨ Uldisemalt, kui jada (1.1) piirv¨a¨artus on b, siis kirjutatakse lim yn = b. n
Jada piirv¨a¨artuse leidmisel on seega k¨usimus p¨ ustitatud u ¨htemoodi: mis- sugusels reaalarvule hakkavad l¨ahenema jada liikmed minnes selles jadas u ¨ha kaugemale (suurematele indeksitele). N¨aide 1.2. T¨ uu ¨piliseks jadaks , millel piirv¨a¨artus puudub, on 1; -1; 1; -1; 1; . . . ; (-1)n+1 ; . . . (1.2) Siin paarituarvulise indeksiga jada liikmed on 1 ja paarisindeksiga jada liik- med on -1. Kui n¨ uu ¨d oletada, et jada (1.2) piirv¨a¨artus on n¨aiteks kahe j¨arjestikuse liikme aritmeetiline keskmine, st 0, siis jada piirv¨a¨artuse definitsiooni koha- selt peaks > 0 korral alates teatud jada liikmest kehtima tingimused |1 - 0| 2 1.2.2 Funktsiooni piirv¨ a¨ artus Jada piirv¨a¨artuse korral saame r¨a¨akida ainult u¨hest piirprotsessist n . Funktsiooni f (x) piirv¨a¨artust v~oib defineerida suvalise piirprotsessi x a, sealhulgas ka piirprotsessi x ± korral. Funktsiooni piirv¨a¨artuse defineerimisel kasutame kaht (v¨aikest) positiiv- set suurust ja . Definitsioon 2.1. Reaalarvu b nimetatakse funktsiooni f (x) piirv¨a¨artuseks piirprotsessis x a, kui > 0 korral niisugune > 0, et kui |x - a| y f (x) y= y =b+
b y =b- x=a-
x=a+
a x
Joonis 1.1: Funktsiooni piirv¨a¨artus
Funktsiooni piirv¨a¨artust on ka v~oimalik defineerida u ¨mbruste kaudu. Definitsioon 2.1'. Reaalarvu b nimetatakse funktsiooni f (x) piirv¨a¨artuseks piirprotsessis x a, kui iga b u ¨mbruse (b - ; b + ) korral leidub a niisugune u ¨ mbrus (a - ; a + ), et kui x (a - ; a + ), siis f (x) (b - ; b + ). Kirjutatakse sel puhul lim f (x) = b. xa
Piirprotsessis x on funktsiooni piirv¨a¨artuse definitsioon sisuliselt jada piirv¨aa¨ rtuse definitsiooni kordus. Ainsaks erinevuseks on see, et jada
3 piirv¨aa¨rtuse puhul on n t¨aisarvuline muutuja, aga funktsiooni piirv¨a¨artuse korral on x reaalarvuline muutuja. Definitsioon 2.2. Reaalarvu b nimetatakse funktsiooni f (x) piirv¨a¨artuseks piirprotsessis x , kui > 0 korral niisugune N > 0, et kui x > N , siis |f (x) - b| Definitsioon 2.3. Reaalarvu b nimetatakse funktsiooni f (x) piirv¨a¨artuseks piirprotsessis x -, kui > 0 korral niisugune N > 0, et kui x ¨ Definitsioon 2.4. Oeldakse, et funktsiooni f (x) piirv¨a¨artuseks on piirprotsessis x a, kui N > 0 korral niisugune > 0, et kui |x - a| N . T¨ahistatakse lim f (x) = . xa
¨ Definitsioon 2.5. Oeldakse, et funktsiooni f (x) piirv¨a¨artuseks on - piirprotsessis x a, kui N > 0 korral niisugune > 0, et kui |x - a| Olgu N > 0. L~opmatuse u ¨mbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (N ; ) ja - u ¨mbruseks suvalist vahemikku (-; -N ). Definitsioonid 2, 3, 4 ja 5 on samuti v~oimalik s~onastada u ¨mbruste kaudu. N¨aiteks definitsiooni 4 u ¨mbers~onastus oleks j¨argmine. ¨ Definitsioon 2.4'. Oeldakse, et funktsiooni f (x) piirv¨a¨artuseks on piirprotsessis x a, kui iga l~opmatuse u ¨mbruse (N ; ) korral leidub niisu - gune a u¨mbrus (a - ; a + ), et kui x (a - ; a + ), siis f (x) (N ; ).
1.2.3 ¨ Uhepoolsed piirv¨ a¨ artused Punkti a vasakpoolseks u ¨mbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (a - ; a) ja punkti a parempoolseks u ¨mbruseks suvalist vahemikku (a; a + ) Definitsioon 3.1. Reaalarvu b1 nimetatakse funktsiooni f (x) vasakpool- seks piirv¨a¨artuseks piirprotsessis x a, kui b1 u ¨mbruse (b1 - ; b1 + ) korral a vasakpoolne u ¨mbrus (a - ; a), et kui x (a - ; a), siis f (x) (b1 - ; b1 + ).
4 T¨ahistatakse lim f (x) = b1 . xa-
Definitsioon 3.2. Reaalarvu b2 nimetatakse funktsiooni f (x) parem- poolseks piirv¨aa¨ rtuseks piirprotsessis x a, kui b2 u ¨mbruse (b2 - ; b2 + ) korral a parempoolne u ¨mbrus (a; a + ), et kui x (a; a + ), siis f (x) (b2 - ; b2 + ). T¨ahistatakse lim f (x) = b2 . xa+
Teoreem 3.1. Kui funktsioonil on olemas piirv¨a¨artus piirprotsessis x a, siis on olemas ka m~olemad u ¨hepoolsed piirv¨a¨artused ja need on v~ordsed. T~oestus. Oletame, et lim f (x) = b. Definitsiooni kohaselt b u ¨mbruse xa (b-; b+) korral leidub selline a u ¨mbrus (a-; a+), et kui x (a-; a+), siis f (x) (b - ; b + ). Aga nii juhul x (a - ; a) kui ka juhul x (a; a + ) x (a - ; a + ). Seega b u ¨mbruse (b - ; b + ) korral leidub selline a vasakpoolne u ¨mbrus (a - ; a), et kui x (a - ; a), siis f (x) (b - ; b + ) ja leidub a parempoolne u ¨mbrus (a; a + ), et kui x (a; a + ), siis f (x) (b - ; b + ), st lim f (x) = b xa-
ja lim f (x) = b. xa+
Teoreem 3.2. Kui funktsioonil on mingis piirprotsessis olemas u ¨hepoolsed piirv¨aa¨rtused ja need on v~ordsed, siis on funktsioonil olemas piirv¨a¨artus selles piirprotsessis. Kui u ¨hepoolsed piirv¨a¨artused ei ole v~ordsed, siis funktsioonil vaadeldavas piirprotsessis piirv¨a¨artust ei ole. |x| |x| N¨ aide 3.1. Leiame lim ja lim . x0- x x0+ x |x| Kui x 0-, siis x |x| lim = -1. x0- x
|x| Kui x 0+, siis x > 0 ja |x| = x, st = 1. Seega x |x| lim = 1. x0+ x
5 y ) y = f (x y = b2 +
b2 y = b2 -
y = b1 +
b1 y = b1 -
a x x) f( = y
¨ Joonis 1.2: Uhepoolsed piirv¨aa¨rtused
¨ Uhepoolsete piirv¨a¨artuste erinevusest j¨areldub, et ei ole olemas piirv¨a¨atrust |x| lim . x0 x
1 1 N¨ aide 3.2. Leiame lim arctan ja lim arctan . x0- x x0+ x 1 Kui x 0-, siis -, seega x 1 lim arctan = - . x0- x 2 1 Kui x 0+, siis , seega x 1 lim arctan = . x0- x 2 1 Siit teeme j¨arelduse, et pole olemas piirv¨a¨artust lim arctan . x0 x sin x N¨ aide 3.3. Funktsioon ei ole m¨a¨aratud, kui x = 0. x sin x sin x On v~oimalik t~oestada, et lim = 1 ja lim = 1. Seega x0- x x0+ x piirv¨a¨artus sin x lim = 1. x0 x
6 y
1 y = sin x x
-2 - 2 x
sin x Joonis 1.3: Funktsioon y = x
1.2.4 L~ opmatult kasvavad ja l~ opmatult kahanevad suurused Vaatleme funktsiooni ehk muutuvat suurust y = y(x) piirprotsessis x a (sh x ±). Definitsioon 4.1. Muutuvat suurust y nimetatakse l~opmatult kasvavaks piirprotsessis x a, kui lim |y| = , xa
st lim y = v~oi lim y = - xa xa 1 aide 4.1. Funktsioon y = on l~opmatult kasvav piirprotsessis x 0, N¨ x sest 1 lim = - x0- x
ja 1 lim = . x0+ x
N¨ aide 4.2. Funktsioon y = ln x on l~opmatult kasvav piirprotsessis x 0+, sest lim ln x = -, x0+
ja piirprotsessis x , sest
lim ln x = x
Definitsioon 4.2. Muutuvat suurust = (x) nimetatakse piirprotsessi x a l~opmatult kahanevaks, kui lim = 0. xa Teoreem 4.1. Muutuva suuruse y piirv¨a¨artus on b parajasti siis, kui see muutuv suurus avaldub b ja l~opmatult kahaneva suuruse summana, st
lim y = b y = b + xa
7 T~oestus. Tarvilikkus. Oletame, et lim y = b, st > 0 korral niisugune xa > 0, et kui |x - a| 0 korral niisugune > 0, et kui |x - a| 0 korral niisugune 1 > 0, et kui |x - a| 0 korral niisugune 2 > 0, et kui |x - a| Valides suuruseks suurustest 1 ja 2 v¨ahima, st = min{1 , 2 } saame, et kui |x - a| arkus . Teoreem 4.2 kehtib ka kolme, nelja v~oi enama l~opmatult kaha - neva liidetava korral. Definitsioon 4.3. muutuvat suurust y nimetatakse t~okestatuks punkti a u ¨ mbruses (a - ; a + ) kui niisugune konstant N > 0, et x (a - ; a + ) korral |y| 0, et punkti a u ¨mbruses |y| 0 korral niisugune > 0, et kui |x - a| 8 st y on l~opmatult kahanev suurus. J¨ areldus 4.4. Konstantse suuruse ja l~opmatult kahaneva suuruse korru - tis on l~opmatult kahanev suurus. See j¨areldub vahetult eelmisest j¨areldusest, sest konstantne suurus on t~okestatud. J¨ areldus 4.5. Kahe l~opmatult kahaneva suuruse korrutis on l~opmatult kahanev suurus, st kui ja on l~opmatult kahanevad suurused, siis ka on l~opmatult kahanev suurus. T~oestus j¨areldub sellest, et iga piirprotsessis x a l~opmatult kahanev suurus on a u ¨mbruses t~okestatud (ja t~okestatud v¨aikese suurusega ). Teoreem 4.6. L~opmatult kahaneva suuruse ja nullist erinevat piirv¨a¨artust omava suuruse jagatis on l~opmatult kahanev suurus, st kui on l~opmatult kahanev suurus ja lim y = b ning b = 0, siis on l~opmatult kahanev suurus. xa y T~oestus*. T~oestuses kasutame reaalarvude absoluutv¨a¨artuse omadust ||a| - |b|| |a - b|. Kui lim y = b siis > 0 korral niisugune > 0, et kui |x - a| Mainitud absoluutv¨a¨artuse omaduse p~ohjal ||y| - |b|| |b| - Siis p¨oo¨rdv¨a¨artuste korral on t¨aidetud tingimus 1 1 1 Et on suvaline positiivne suurus, siis v~oime valida = 0, 1|b|, mille korral 1 1 1 malt alampunktis 1.2.7.
9 1.2.5 Piirv¨ a¨ artusteoreemid Piirv¨aa¨rtusteoreemid v~oib jaotada kahte klassi. Esiteks tehetega seotud piirv¨aa¨rtusteoreemid ja teiseks nn j¨arjestusega seotud piirv¨a¨artusteoreemid. Alustame tehetega seotud piirv¨aa¨rtusteoreemidest. Selleks vaatleme piir- protsessis x a kahte muutuvat suurust y = y(x) ja z = z(x). Teoreem 5.1. Kahe muutuva suuruse summa piirv¨a¨artus on v~ordne nen- de suuruste piirv¨a¨artuste summaga :
lim (y + z) = lim y + lim z. xa xa xa
T~oestus. T¨ahistame lim y = b1 xa
ja lim z = b2 xa
Teoreemi 4.1 p~ohjal eksisteerivad niisugused l~opmatult kahanevad suuru- sed ja , et y = b1 + ja z = b2 + . J¨arelikult y + z = b1 + b2 + + . Teoreemi 4.2 p~ohjal on + l~opmatult kahanev suurus, seega, rakendades veel kord teoreemi 4.1, saame, et
lim (y + z) = b1 + b2 , xa
mida oligi tarvis t~oestada. Teoreem 5.2. Kahe muutuva suuruse korrutise piirv¨a¨artus on v~ordne nende suuruste piirv¨a¨artuste korrutisega:
lim yz = lim y · lim z. xa xa xa
T~oestus. T¨ahistame j¨alle lim y = b1 xa
ja lim z = b2 xa
Teoreemi 4.1 p~ohjal eksisteerivad niisugused l~opmatult kahanevad suuru- sed ja , et y = b1 + ja z = b2 + . J¨arelikult yz = (b1 + )(b2 + ), st yz = b1 b2 + b1 + b2 + . J¨arelduse 4.4 p~ohjal on b1 ja b2 l~opmatult kahanevad suurused. J¨arelduse 4.5 p~ohjal on l~opmatult kahanev suurus. Teoreemi 4.2 p~ohjal on = b1 + b2 + l~opmatult kahanev suurus. Seega
yz = b1 b2 + ,
10 kus on l~opmatult kahanev suurus ja teoreemist 4.1 j¨areldame, et
lim yz = b1 b2 , xa
mida, arvestades t¨ahistusi, oligi tarvis t~oestada. J¨ areldus 5.3. Konstantse suuruse saab tuua piirv¨a¨artuse ette, st kui c on konstant, siis lim cy = c lim y xa xa
T~oestus j¨areldub eelmisest teoreemist
lim cy = lim c · lim y xa xa xa
ja sellest, et konstantse suuruse piirv¨a¨artus v~ordub konstandi endaga lim c = c. xa J¨ areldus 5.4. Kahe muutuva suuruse vahe piirv¨aa¨rtus on v~ordne nende suuruste piirv¨a¨artuste vahega, st
lim (y - z) = lim y - lim z. xa xa xa
T~oestuseks kirjutame
lim (y - z) = lim (y + (-1)z) xa xa
Teoreemi 5.1 p~ohjal
lim (y + (-1)z) = lim y + lim (-1)z xa xa xa
ja j¨arelduse 5.3 p~ohjal
lim y + lim (-1)z = lim y - lim z xa xa xa xa
Teoreem 5.5. Kahe muutuva suuruse jagatise piirv¨a¨artus on v~ordne nen- de suuruste piirv¨a¨artuste jagatisega, kui nimetaja piirv¨a¨artus ei v~ordu 0-ga, st y lim y lim = xa , xa z lim z xa
kui lim z = 0. xa T~oestus*. T~oestuseks t¨ahistame taas
lim y = b1 xa
11 ja lim z = b2 = 0 xa Teoreemi 4.1 p~ohjal eksisteerivad niisugused l~opmatult kahanevad suuru- sed ja , et y = b1 + ja z = b2 + . Siis y b1 + b1 b1 + b1 = = + - z b2 + b2 b2 + b2 Viies kaks viimast murdu u ¨ hisele nimetajale, saame y b1 b1 b2 + b2 - b1 b2 - b1 b1 b2 - b1 = + = + (1.3) z b2 b2 (b2 + ) b2 b2 (b2 + ) Viimases jagatises on lugeja b2 + (-b1 ) j¨arelduse 4.4 ja teoreemi 4.2 p~ohjal l~opmatult kahanev suurus. Nimetaja b22 + b2 avaldub konstandi b22 ja l~opma- tult kahaneva suuruse b2 summana. Teoreemi 4.1 p~ohjal on nimetaja piirv¨a¨artus b22 = 0. Jagatis b2 - b1 b2 (b2 + ) kui l~opmatult kahaneva suuruse ja nullist erinevat piirv¨a¨artust omava suuruse jagatis on teoreemi 4.6 p~ohjal l~opmatult kahanev suurus. J¨arelikult v~orduses y b1 b2 - b1 (1.3) avaldub suhe konstandi ja l~opmatult kahaneva suuruse z b2 b2 (b2 + ) summana. Teoreemi 4.1 p~ohjal y b1 lim= , xa z b2 mida oligi tarvis t~oestada. J¨atkame nn j¨arjestusega seotud piirv¨a¨artusteoreemidega. Teoreem 5.6. Mittenegatiivse suuruse piirv¨a¨artus antud piirprotsessis on mittenegatiivne, st kui muutuv suurus y 0 punkti a mingis u ¨mbruses ja lim y = b, siis b 0. xa T~oestus. Oletame vastuv¨aiteliselt, et lim y = b |b|. Kui valida positiivne nii, et 12 J¨argmise teoreemi jaoks vaatleme piirprotsessis x a kolme muutuvat suurust u = u(x), v = v(x) ja w = w(x). Teoreem 5.8. Kui punkti a mingis u ¨mbruses u w v ja v~ordsed piirv¨a¨artused lim u = b ning lim v = b, siis ka lim w = b xa xa xa T~oestus. Kui u w ja w v, siis teoreemi 5.7 p~ohjal lim u lim w ja xa xa lim w lim v. Eelduse j¨argi lim u = b ning lim v = b, seega xa xa xa xa
b lim w b, xa
j¨arelikult lim w = b, mida oligi tarvis t~oestada. xa Teoreem 5.9. Piirprotsessis x a monotoonselt kasvaval (kahaneval) t~okestatud suurusel on olemas l~oplik piirv¨a¨artus selles protsessis. N¨aide 5.1. Funktsioon y = arctan x on kasvav piirprotsessis x , samuti t~okestatud, sest x R korral | arctan x| 1.2.6 Arv e n 1 Vaatleme jada, mille u ¨ldliige yn = 1+ , st jada n n 9 64 625 1 2, , , , ..., 1 + ,... (1.4) 4 27 256 n N¨aitame, et see jada on t~okestatud ja kasvav. Newtoni binoomvalemi abil n 1 1 n(n - 1) 1 n(n - 1) . . . (n - k + 1) 1 1 yn = 1+ =1+n· + · 2 + ... + k + ... + n = n n 2! n k! n n 1 1 1 1 k-1 1 1 + 1 + (1 - ) + . . . + (1 - ) . . . (1 - ) + ... + n st jada on t~okestatud. Kasutades yn jaoks tehtud teisendusi, saame 1 1 1 1 k-1 1 yn+1 = 2+ (1- )+. . .+ (1- ) . . . (1- )+. . .+ 2! n+1 k! n+1 n+1 (n + 1)n+1
13 i i i i Sellest, et > i = 1, . . . , k - 1 j¨areldub, et 1 - Euleri arvuks ja t¨ahistatakse n 1 lim 1+ =e n n
Kui x > 0 on suvaline reaalarv, siis leidub niisugune naturaalarv n, et n x x3 - 3x2 + 2 = 0
¨ks lahend , sest funktsioon f (x) = x3 - 3x2 + 2 on on l~oigul [0; 2] v¨ahemalt u pidev kogu reaalarvude hulgal, kaasa arvatud l~oigul [0; 2] ja f (0) = 2 ning f (2) = -2. Kuigi antud kontekstis pole see oluline, on lihtne kontrollida, et selleks lahendiks on x = 1.
23 2.1 Funktsiooni tuletise m~ oiste. Tuletise geomeetriline ja mehaaniline t~ olgendus Olgu antud funktsioon y = f (x). Fikseerime selle funktsiooni m¨a¨aramispiirkonnas u ¨he vabalt valitud punkti x. L¨ahtudes sellest fikseeritud v¨a¨artusest, suuren - dame argumenti x muudu x v~orra. Argumendi muudu v~orra erinevas punk - tis on argumendi v¨a¨artuseks x + x. Funktsiooni v¨a¨artus selles punktis on f (x + x). Funktsiooni v¨a¨artus muutub y = f (x + x) - f (x) v~orra. Suu- rust y nimetatakse argumendi muudule x vastavaks funktsiooni muuduks. Definitsioon 1 Funktsiooni muudu ja argumendi muudu suhte piirv¨a¨artust argumendi muudu l¨ahenemisel nullile nimetatakse funktsiooni tuletiseks ko- hal x ja t¨ahistatakse f (x). Seega definitsiooni kohaselt y f (x) = lim . (2.1) x0 x
Funktsiooni tuletist f (x) t¨ahitatakse veel y . Need on nn Newtoni t¨ahistused. dy df Peale selle on kasutusel Leibnizi t¨ahistused ja . dx dx Definitsioon 2 Funktsiooni, millel on olemas tuletis kohal x, nimetatakse diferentseeruvaks kohal x. Tuletise geomeetriliseks t~olgenduseks vaatleme mingisugust funktsiooni y = f (x) graafikut . y
Q f (x + x)
f (x) P R
x x + x x
Joonis 2.1: tuletise geomeetriline t~olgendus
Argumendi v¨a¨artusele x vastab graafiku punkt P ja v¨a¨artusele x + x punkt Q. T~ombame l¨abi punktide P ja Q graafiku l~oikaja. L~oikaja t~ousunurga
1 t¨ahistame -ga. T¨aisnurkses kolmnurgas P RQ nurk tipu P juures on sel juhul samuti . Selle nurga vastaskaateti RQ pikkus on y ja l¨ahiskaateti P R pikkus x. Seega y tan = x st funktsiooni muudu ja argumendi muudu suhe t¨ahendab l~oikaja P Q t~ousu. Kui n¨ uu ¨d x 0, siis x + x x, seega graafikul Q P ja l~oikaja P Q hakkab l¨ahenema funktsiooni graafikule punktis P t~ommatud puutujale. Puutuja t~ousunurk ja funktsiooni tuletis y f (x) = lim = lim tan = tan x0 x
t¨ahendab geomeetriliselt funktsiooni graafikule punktis abstsissiga x t~ omma - tud puutuja t~ousunurga tangensit ehk puutuja t~ousu. Kui vaatleme muutujat x ajana, siis kirjeldab funktsioon y = f (x) min- gisugust ajas kulgevat protsessi, n¨aiteks sirgjoonelist liikumist. Ajahetkel x on liikuv objekt punktis f (x) ja ajahetkel x + x punktis f (x + x). Seega y ajavahemiku x jooksul on objekt liikunud y v~orra. Suhe t¨ahendab x objekti keskmist liikumiskiirust ajavahemiku x jooksul. Mida v¨aiksem on ajavahemik x, seda t¨apsemalt iseloomustab see keskmine kiirus objekti lii- kumiskiirust ajahetkel x. Seega piirv¨a¨artus x l¨ahenemisel 0-le, st funkt- siooni tuletis kohal x kujutab endast objekti liikumiskiirust ajahetkel x. See arutlus on u¨le kantav mistahes protsessile. Kui see protsess on kirjeldatav funktsiooniga y = f (x), siis f (x) t¨ahendab selle protsessi muutumiskiirust hetkel x.
2.2 Pidevus ja diferentseeruvus Selle alampunkti eesm¨argiks on n¨aidata, et funktsiooni diferentseeruvusest antud punktis j¨areldub alati pidevus selles punktis ja et vastupidine v¨aide ei kehti. Toome n¨aite funktsioonist, mis antud punktis on pidev, kuid mitte diferentseeruv . Teoreem 2.1. Kui funktsioon y = f (x) on diferentseeruv kohal x, siis on see ka pidev kohal x. T~oestus. Olgu funktsioon y = f (x) diferentseeruv kohal x, st f (x) = y lim . N¨aitame, et kehtib funktsiooni pidevuseks tarvilik ja piisav tingi - x0 x mus. Selleks leiame y y lim y = lim x = lim lim x = f (x) · 0 = 0, x0 x0 x x0 x x0
2 mida oligi tarvis t~oestada. J¨argnev n¨aide aga t¨ahendab, et funktsiooni pidevusest diferentseeruvust ei j¨areldu. Vaatleme funktsiooni y = |x| punktis x = 0. Selles punktis on funktsiooni muut y = |0 + x| - |0| = |x|. Seega
lim y = lim |x| = 0, x0 x0
st pidevuseks tarvilik ja piisav tingimus kohal x = 0 on t¨aidetud. Leides aga u ¨hepoolsed piirv¨a¨artused |x| lim = -1 x0- x ja |x| lim = 1, x0+ x |x| n¨aeme, et puudub piirv¨a¨artus lim , st funktsioonil y = |x| puudub x0 x tuletis kohal x = 0.
2.3 Mo~ nede po ~hiliste elementaarfunktsioonide tuleti- sed Selles alampunktis leiame definitsiooni (2.1) abil elementaarfunktsioonide tu- letisi. Alustame konstantsest funktsioonint y = c. Siis f (x) = c ja f (x + 0 x) = c ning y = c - c = 0. Konstandi tuletis c = limx0 = 0. Siit x saame esimese reegli: konstandi tuletis v~ordub nulliga:
c = 0.
Teiseks vaatleme naturaalarvulise astendajaga astmefunktsiooni y = xn . Antud juhul f (x) = xn , f (x + x) = (x + x)n ja funktsiooni muut y = (x + x)n - xn . Newtoni binoomvalemi abil
y = xn + nxn-1 x + Cn2 xn-2 x2 + ... + xn - xn = nxn-1 x + Cn2 xn-2 x2 + ... + xn .
Siit y = nxn-1 + Cn2 xn-2 x + ... + xn-1 . x ja y (xn ) = lim = nxn-1 , x0 x
3 sest k~oik liidetavad alates teisest sisaldavad x positiivse astendajaga astet. Teine tuletise leidmise reegel on seega:
(xn ) = nxn-1 . (2.2) Kolmandaks y = x. Leiame funktsiooni muudu y = x + x - x ja tuletise definitsiooni kohaselt x + x - x ( x + x - x)( x + x + x) ( x) = lim = lim = x0 x x0 x( x + x + x) x + x - x 1 1 1 1 lim = lim = = x- 2 . x0 x( x + x + x) x0 x + x + x 2 x 2 1 Neljandaks y = . Leiame funktsiooni muudu, x 1 1 x - x - x x y = - = =- x + x x x(x + x) x(x + x) ja tuletise definitsiooni j¨argi
1 -1 1 = lim = - 2 = -x-2 . x x0 x(x + x) x Viimased kaks n¨aidet viitavad sellele, et astmefunktsiooni tuletise valem (2.2) kehtib mitte ainult naturaalarvulise astendaja korral vaid ka negatiivsete ja murruliste astendajate puhul. Viiendaks y = sin x. Leiame funktsiooni muudu y = sin(x + x) - sin x = sin x cos x + cos x sin x - sin x = cos x sin x - sin x(1 - cos x). Tuletise definitsiooni abil saame piirv¨a¨artuse omadusi kasutades, et cos x sin x - sin x(1 - cos x) (sin x) = lim = x0 x cos x sin x sin x(1 - cos x) = lim - = x0 x x sin x 1 - cos x = cos x lim - sin x lim = x0 x x0 x (1 - cos x)(1 + cos x) = cos x - sin x lim = x0 x(1 + cos x) sin2 x = cos x - sin x lim = x0 x(1 + cos x) sin x sin x = cos x - sin x lim · = cos x - sin x · 0 = cos x. x0 x 1 + cos x
4 Seega (sin x) = cos x. Samalaadsete teisenduste abil saab tuletise definitsioonist , et (cos x) = - sin x. Seitsmendaks leiame naturaallogaritmi y = ln x tuletise. Fikseerime funkt- siooni m¨a¨aramispiirkonnas u ¨he argumendi v¨a¨artuse x > 0 ja leiame funkt- x + x x siooni muudu y = ln(x + x) - ln x = ln = ln 1 + . Tuletise x x definitsiooni p~ohjal 1 1 x x x (ln x) = lim ln 1 + = lim ln 1 + . x0 x x x0 x x Argumendi v¨aa¨rtus x > 0 on fikseeritud ja x 0, seega ja x x 1 1 x x (ln x) = x lim ln 1 + x = x x 1 x x 1 x 1 1 = lim ln 1+ x = ln e x = . x x x x
J¨arelikult 1 (ln x) = . x ¨ a¨anud p~ohiliste elementaarfunktsioonide tuletised leiame j¨argmistes Ulej¨ alampunktides.
2.4 Diferentseerimisreeglid Funktsiooni tuletise leidmist nimetatakse funktsiooni diferentseerimiseks, diferentseerimisreeglid on tuletise leidmise reeglid. Olgu meil antud kaks funktsiooni u = u(x) ja v = v(x), mille kohta eeldame, et m~olemad on diferentseeruvad kohal x. Teoreem 4.1. Funktsioonide summa tuletis on v~ordne nende funktsioo- nide tuletiste summaga:
[u(x) + v(x)] = u (x) + v (x).
5 T~oestus. T¨ahistame summa y(x) = u(x) + v(x). Siis
y = u(x + x) + v(x + x) - [u(x) + v(x)] = = u(x + x) - u(x) + v(x + x) - v(x) = u + v
ja piirv¨a¨artuse omaduste t~ottu u + v u v y (x) = lim = lim + lim = u (x) + v (x). x0 x x0 x x0 x
Teoreem 4.2. Funktsioonide korrutise tuletis on
[u(x)v(x)] = u (x)v(x) + u(x)v (x).
T~oestus. T¨ahistame korrutise y(x) = u(x)v(x). Siis
y = u(x + x)v(x + x) - u(x)v(x) = = u(x + x)v(x + x) - u(x)v(x + x) + u(x)v(x + x) - u(x)v(x) = = [u(x + x) - u(x)]v(x + x) + u(x)[v(x + x) - v(x)] = = u · v(x + x) + u(x)v.
Piirv¨aa¨rtuse omaduste t~ottu u · v(x + x) + u(x)v y (x) = lim = x0 x u v = lim lim v(x + x) + u(x) lim . x0 x x0 x0 x
Eelduse kohaselt on funktsioon v(x) diferentseeruv kohal x. Teoreemi 2.1 p~ohjal on v(x) ka pidev kohal x. Seega pidevuse kolmandast tingimusest lim v(x + x) = v(x). J¨arelikult y (x) = u (x)v(x) + u(x)v (x). x0
N¨ aide 1. Leiame funktsiooni y = x sin x + cos x tuletise
y = (x sin x + cos x) = (x sin x) + (cos x) = = x sin x + x(sin x) - sin x = sin x + x cos x - sin x = x cos x.
J¨ areldus 4.3. Konstantse teguri saab tuua tuletise m¨argi alt v¨alja:
[c · u(x)] = c · u (x).
T~oepoolest teoreemi 4.2 p~ohjal [c · u(x)] = c · u(x) + c · u (x) = c · u (x).
6 Selle j¨arelduse abil saame j¨arjekordse p~ohilise elementaarfunktsiooni y = loga x (a > 0, a = 1) tuletise, kasutades selleks logaritmide aluse mut- ln x mise valemit loga x = . Saame ln a 1 1 1 1 1 (loga x) = ln x = (ln x) = · = . ln a ln a ln a x x ln a Seega 1 (loga x) = . x ln a J¨areldus 4.4. Kahe funktsiooni vahe tuletis on v~ordne nende funktsioo- nide tuletiste vahega:
[u(x) - v(x)] = u (x) - v (x).
P~ohjenduseks piisab , kui kirjutame k~oigepealt teoreemi 4.1 ja seej ¨arel j¨arelduse 4.3 p~ohjal, et [u(x) - v(x)] = [u(x) + (-1)v(x)] = u (x)+[(-1)v(x)] = u (x) - v (x). Teoreem 4.5. Jagatise tuletis on
u(x) u (x)v(x) - u(x)v (x) = , v(x) v 2 (x) eeldusel , et v(x) = 0. T~oestus. T¨ahistame jagatise u(x) y(x) = . v(x) Siis u(x) = y(x)v(x) ja korrutise tuletise leidmise reegli p~ohjal
u (x) = y (x)v(x) + y(x)v (x),
millest u (x) - y(x)v (x) y (x) = . v(x) Asendades y(x) jagatisega, saame u(x)v (x) u (x) - v(x) u (x)v(x) - u(x)v (x) y (x) = = , v(x) v 2 (x) mida oligi tarvis t~oestada.
7 Teoreemi 4.5 abil leiame funktsiooni y = tan x tuletise
sin x (sin x) cos x - sin x(cos x) cos2 x + sin2 x 1 (tan x) = = 2 = 2 = . cos x cos x cos x cos2 x Seega 1 (tan x) = . cos2 x Sama h~olpus on teoreemi 4.5 abil n¨aidata, et 1 (cot x) = - 2 . sin x 2.5 P¨ o¨ordfunktsiooni tuletis Olgu antud u ¨ hene funktsioon y = f (x), millel on olemas u ¨hene p¨o¨ordfunktsioon x = (y). Teoreem 5.1. Kui funktsioonil y = f (x) on kohal x tuletis f (x) = 0, siis p¨o¨ordfunktsiooni tuletis 1 (y) = . f (x) T~oestus. P¨oo¨rdfunktsiooni argumendiks on y, st x 1 (y) = lim = . y0 y y lim y0 x
Eelduse kohaselt on funktsioon y = f (x) diferentseeruv kohal x, j¨arelikult teoreemi 2.1 p~ohjal ka pidev kohal x. Pideva funktsiooni p¨o¨ordfunktsioon x = (y) on samuti pidev vastaval kohal y, st sellest, et y 0 j¨areldub, et ka x 0. Siit saame, et 1 1 (y) = = , y f (x) lim x0 x
mida oli vaja t~oestada. Kuigi p¨o¨ordfunktsioon ja p¨o¨ordv¨a¨artus on kaks t¨aiesti erinevat m~oistet, on n¨ uu ¨d selgunud , et l¨abi tuletise on nad ometi seotud: p¨o¨ordfunktsiooni tuletis on antud funktsiooni tuletise p¨o¨ordv¨a¨artus. Loomulikult kehtib ka vastupidine. Antud funktsiooni tuletis on p¨oo¨rdfunktsiooni tuletise p¨o¨ordv¨a¨artus: 1 f (x) = . (2.3) (y)
8 Sellise kujul hakkame teoreemi 5.1 kasutama. Alustame funktsioonist y = ax , (a > 0, a = 1). Selle p¨o¨ordfunktsioon on x = loga y ja (2.3) j¨argi 1 1 (ax ) = = = y ln a = ax ln a. (loga y) 1 y ln a Seega (ax ) = ax ln a Arvestades sellega, et ln e = 1, saame (ex ) = ex Edasi leiame funktsiooni y = arcsin x tuletise. Selle p¨o¨ordfunktsioon on x = sin y ja (2.3) p~ohjal 1 1 1 1 (arcsin x) = = = = . (sin y) cos y 2 1 - sin y 1 - x2
Seega 1 (arcsin x) = 1 - x2 Et x [-1; 1] korral arcsin x+arccos x = , siis arccos x = -arcsin x 2 2 ja arvestades sellega, et on konstant, saame 2 1 (arccos x) = - 1 - x2 J¨argmiseks leiame funktsiooni y = arctan x tuletise. Selle p¨o¨ordfunktsioon on x = tan y ja (2.3) p~ohjal 1 1 1 1 (arctan x) = = = = . (tan y) 1 2 1 + tan y 1 + x2 cos2 y Seega 1 (arctan x) = 1 + x2 Kasutades seost arctan x + arccot x = , saame 2 1 (arccot x) = - 1 + x2
9 2.6 Liitfunktsiooni tuletis Liitfunktsiooni y = f [(x)] kaheks komponendiks on y = f (u) ja u = (x). Teoreem 5.2. Kui u = (x) on diferentseeruv kohal x ja y = f (u) dife- rentseeruv vastaval kohal u, siis liitfunktsioon y = f [(x)] on diferentseeruv kohal x ja {f [(x)]} = f [(x)] (x). (2.4) T~oestus. T¨ahistame liitfunktsiooni F (x) = f [(x)]. Siis y = F (x) ja y y u F (x) = lim = lim · = x0 x x0 u x y u = lim · lim . x0 u x0 x
Funktsioon u = (x) on diferentseeruv kohal x, j¨arelikult teoreemi 2.1 p~ohjal ka pidev kohal x. Pidevuseks tarvilik ja piisav tingimus on t¨aidetud, seega sellest, et x 0 j¨areldub, et u 0 ja y u F (x) = lim · lim = f (u) (x), u0 u x0 x
mida oligi funktsiooni F (x) ja muutuja u t¨ahendust arvestades tarvis t~oes- tada. V~ordus (2.4) on liitfunktsiooni diferentseerimise reegel. Leiame selle reegli ¨ldise astmefunktsiooni y = x , kus x > 0, tuletise. Selleks esitame abil u funktsiooni x = e ln x ja kirjutame (2.4) p~ohjal (x ) = e ln x = e ln x ( ln x) = e ln x · = x · = x-1 . x x Seega igasuguse reaalarvulise astendaja korral (x ) = x-1 Arvestades sellega, et
e-x = e-x (-x) = -e-x ,
saame 1 x 1 (sh x) = (e - e-x ) = (ex + e-x ) = ch x 2 2 ehk (sh x) = ch x.
10 Samal viisil (ch x) = sh x. Jagatise tuletise leidmise reegli abil leiame
sh x (sh x) ch x - sh x(ch x) ch2 x - sh2 x 1 (th x) = = 2 = 2 = 2 . ch x ch x ch x ch x Seega 1 (th x) = ja ch2 x samuti on jagatise tuletise leidmise reegli abil h~olpus n¨aidata, et 1 (cth x) = - 2 . sh x 2.7 Logaritmiline diferentseerimine Logaritmilise diferentseerimise v~otet tuleb kasutada eelk~ oige funktsioonide y = [f (x)]g(x) korral, st kui funktsioonis on muutuv suurus muutuval astmel. Astmefunktsiooni puhul peab astendaja olema konstantne, eksponentfunkt- siooni puhul aga alus konstantne. Seega antud funktsiooni tuletise leidmiseks ei saa kasutada kumbagi valemit. Logaritmimine v~oimaldab teisendada funktsiooni nii, et seda on v~oimalik diferentseerida olemasolevaid reegleid kasutades. Nimelt
ln y = ln[f (x)]g(x) = g(x) ln f (x)
ja [f (x)]g(x) on teisenenud korrutiseks , milles teine tegur on liitfunktsioon ln f (x). Seda diferentseeritakse korrutise tuletise leidmise reeglit ja liitfunkt- siooni tuletise leidmise reeglit rakendades. Muutuja y on x funktsioon, seega vasak pool ln y on liitfunktsioon ja selle tuletis avaldub standardsel kujul 1 (ln y) = y . y
N¨ aide 1. Leiame funktsiooni y = (x2 + 1)x tuletise. Selleks k~oigepealt loga- ritmime ln y = x ln(x2 + 1) ja siis diferentseerime 1 1 y = ln(x2 + 1) + x 2 2x y x +1
11 ehk 1 2x2 y = ln(x2 + 1) + 2 . y x +1 Korrutades saadud v~orduse m~olemaid pooli suurusega y, saame
2x2 y = y ln(x2 + 1) + x2 + 1
ja p¨arast y asendamist
2 x 2 2x2 y = (x + 1) ln(x + 1) + 2 . x +1 x3 x - 1 N¨aide 2. Leiame funktsiooni y = 5 tuletise. (x + 3)2 Selle funktsiooni tuletist on v~oimalik leida ka logaritmilise diferentseeri- mise v~otteta, aga logaritmimine oluliselt h~olbustab diferentseerimist. Kasu- tades logaritmide omadusi, leiame x3 x - 1 1 2 ln y = ln 5 = 3 ln x + ln(x - 1) - ln(x + 3) (x + 3) 2 2 5
ja seej¨arel diferentseerime 1 1 1 1 2 1 y =3· + · - · . y x 2 x-1 5 x+3 Korrutades v~orduse m~olemaid pooli suurusega y, saame
3 1 2 y =y + - x 2(x - 1) 5(x + 3)
ehk p¨arast y asendamist x3 x - 1 3 1 2 y = 5 + - (x + 3) x 2(x - 1) 5(x + 3) 2
2.8 Ilmutamata funktsiooni tuletis Ilmutamata funktsiooni tuletise leidmiseks u ¨ks v~oimalus on funktsiooni ilmu- tamine, st funktsiooni teisendamine kujule y = f (x) ja selle diferentseerimine olemasolevate reeglite abil.
12 Tavaliselt on aga ilmutamata kujul esitatud funktsioonid mitmesed, seega tuleks p¨arast ilmutamist diferentseerida iga u ¨hest haru eraldi. Paljudel juhtu- del aga osutub funktsiooni ilmutamine k¨ ullaltki komplitseerituks v~oi hoopis v~oimatuks. Vaatleme ilmutamata funktsiooni diferentseerimist n¨aidete varal . N¨aide 1. Leiame y , kui x2 + y 2 = r2 . Selleks diferentseerime esitatud v~orduse m~olemaid pooli muutuja x j¨argi, arvestades sellega, et y 2 on liit- funktsioon: y on x funktsioon ja ruutfunktsioon on omakorda y funktsioon. Paremal pool v~ordusm¨arki on konstant, seega diferentseerimise tulemuseks saame 2x + 2y · y = 0. P¨arast y avaldamist x y =- . y Kui esmalt funktsioon ilmutada, saame kahese funktsiooni y = ± r2 - x2 . ¨hest haru y = r2 - x2 , saame Diferentseerides esimest u 1 x y = · (-2x) = - . 2 r 2 - x2 r 2 - x2 ¨hest haru y = - r2 - x2 , saame Diferentseerides teist u 1 x y =- · (-2x) = - . 2 2 r -x 2 - r 2 - x2 M~olemal juhul klapib tulemus ilmutamata kujust leitud tuletisega. N¨aide 2. Leiame y , kui sin(x + y) + cos(xy) = 0. V~orduse vasakul pool on kaks liitfunktsiooni. Esimeses on v¨aliseks funkt- siooniks siinus ja seesmiseks x + y, teises v¨aliseks funktsiooniks koosinus ja seesmiseks xy. Arvestades sellega, et y on x funktsioon, leiame v~orduse m~ole- malt poolt tuletise x j¨argi,
cos(x + y) · (1 + y ) - sin(xy) · (y + xy ) = 0.
P¨arast sulgude avamist saame
cos(x + y) + y cos(x + y) - y sin(xy) - xy sin(xy) = 0
ehk y [cos(x + y) - x sin(xy)] = y sin(xy) - cos(x + y), millest y sin(xy) - cos(x + y) y = . cos(x + y) - x sin(xy)
13 2.9 Parameetrilisel kujul esitatud funktsiooni tuletis Olgu funktsioon esitatud prameetrilise kujul
x = (t) y = (t).
Eeldme, et m~olemad parameetri t funktsioonid on u ¨hesed ja diferentseeruvad, dx et x tuletis t j¨argi = 0 ja et funktsioonil x = (t) eksisteerib u ¨hene dt p¨o¨ordfunktsioon t = (x). Muutuja y on muutja suhtes x liitfunktsioon
y = [(x)]
ja liitfunktsiooni diferentseerimise reegli kohaselt dy = [(x)] · (x) (2.5) dx P¨oo¨rdfunktsiooni tuletise leidmise reegli j¨argi 1 1 (x) = = dx . (t) dt
dy Kasutades t¨ahistusi [(x)] = (t) = , saame v~ordusest (2.5) dt dy dy dt = dx . dx dt
Matemaatilises anal¨ uu¨sis t¨ahistatakse tuletist parameetri j¨argi dx = x, dt mida loetakse "x-t¨app"ja dy = y, dt mida loetakse "y-t¨app". Kokkuv~ottes saame parameetrilisel kujul esitatud funktsiooni tuletise leidmise reegli dy y = (2.6) dx x
14 N¨ aide 1. Eelmises alampunktis vaadeldud ilmutamata funktsiooni x2 + y 2 = 2 r esitus parameetrilisel kujul on
x = r cos t y = r sin t.
Leides m~olema funktsiooni tuletised parameetri j¨argi, saame x = -r sin t ja y = r cos t ning parameetrilisel kujul esitatud funktsiooni tuletise leidmise reegli (2.6) abil saame tulemuse
dy r cos t cos t =- =- , dx r sin t sin t mis langeb kokku alampunktis 2.8 sama funktsiooni ilmutamata kujust leitud tuletisega. N¨aide 2. Leiame ts¨ ukloidi x = a(t - sin t) y = a(1 - cos t) puutuja t~ousu punktis, milles parameetri v¨aa¨rtus t = . 2 Joone (funktsiooni graafiku) puutuja t~ous antud punktis on v~ordne funkt- siooni tuletise v¨a¨artusega selles punktis. Seega tuleb leida tuletise v¨a¨artus punktis, milles parameeter t = . Selleks leiame x = a(1-cos t) ja y = a sin t 2 ning (2.6) abil dy a sin t sin t = = . dx a(1 - cos t) 1 - cos t Tuletise v¨a¨artus punktis, kus t = , on 2 sin 2 = 1. 1 - cos 2
J¨arelikult ts¨ ukloidi puutuja t~ous punktis, mis vastab parameetri v¨a¨artusele t = , v~ordub 1-ga. 2
2.10 Funktsiooni diferentsiaal Paljudel juhtudel on v¨aikeste argumendi muutude korral piisav, kui eral- dada funktsiooni muudust v¨alja selle lineaarne osa. Lineaarse funktsiooni k¨asitlemine on alati oluliselt lihtsam.
15 Olgu antud funktsioon y = f (x). Selle tuletis kohal x on defineeritud kui y f (x) = lim . x0 x y Sellisel juhul muutuv suurus x avaldub kui
y = f (x) + , x kus on piirprotsessis x 0 l~opmatult kahanev suurus. Korrutades vii- mase v~orduse m~olemaid pooli argumendi muuduga x, saame
y = f (x)x + x (2.7)
V~orduse (2.7) paremal pool on esimene liidetav fikseeritud x v¨a¨artuse korral lineaarne x suhtes, teine liidetav aga k~orgemat j¨arku l~opmatult kahanev suurus, kui x, sest x lim =0 x0 x
Definitsioon 1. Funktsiooni muudu avaldise (2.7) lineaarset osa f (x)x ninetatakse funktsiooni diferentsiaaliks ja t¨ahistatakse dy. Seega definitsiooni kohaselt
dy = f (x)x.
Kui funktsioon ja argument langevad u ¨hte, st y = x, siis y = 1 ja dy = dx = 1 · x. J¨arelikult s~oltumatu muutuja x korral dx = x, st s~otlumatu muutuja jaoks langevad diferentsiaali ja muudu m~oisted kokku. J¨arelikult saame funktsiooni diferentsiaali avaldiseks
dy = f (x)dx (2.8) N¨aide 1. Leiame funktsiooni y = arctan x diferentsiaali avaldise. Liitfunktsiooni tuletise leidmise reegli kohaselt 1 1 y = 1+x2 x
ja (2.8) j¨argi 1 1 dx dy = dx = . 1+x2 x 2(1 + x) x N¨ aide 2. Arvutame funktsiooni y = x2 muudu ja diferentsiaali v¨a¨artused, kui argument x muutub v¨a¨artusest 1 v¨a¨artuseni 1, 05.
16 Leiame funktsiooni muudu
y = 1, 052 - 12 = 0, 1025.
Argumendi muut ehk diferentsiaal on dx = x = 0, 05 funktsiooni tuletis y = 2x ja diferentsiaali v¨a¨artus seega dy = 2 · 1 · 0, 05 = 0, 1 Uurime, mida t¨ahendab funktsiooni diferentsiaal geomeetriliselt. Funktsiooni y
Q
} f (x + x)
y T
f (x) P R } dy
x x + x x
Joonis 2.2: funktsiooni diferentsiaal
tuletis t¨ahendab funktsiooni graafikule punktis P (abstsissiga x) t~omma- tud puutuja t~ousu ehk t~ousunurga tangensit. Korrutis f (x)dx t¨ahendab t¨aisnurkse kolmnurga P RT kaatetit RT ehk funktsiooni diferentsiaaliks on l~oigu RT pikkus. J¨arelikult n¨aitab diferentsiaali arvuline v¨a¨artus, kui palju muutub y ar- gumendi x muutudes x v~orra, kui liikumine m¨oo¨da joont on asendatud liikumisega m¨o¨oda joone puutujat. Mehaaniliselt on kiirus muutuv suurus. Kui fikseerida kiirus u ¨hes punktis ja j¨atkata liikumist selle kiirusega, siis diferentsiaal n¨aitab, kui pika vahemaa l¨abib liikuv objekt selle konstantse kiirusega ajavahemiku x jooksul. Kui x on piisavalt v¨aike, siis arvestades sellega, et y erineb diferent - siaalist dy suuruse v~orra, mis on x suhtes k~orgemat j¨arku l~opmatult kaha- nev suurus, v~oime kirjutada y dy. Funktsiooni muudu ja diferentsiaali definitsiooni kohaselt
f (x + x) - f (x) f (x)x,
millest saame ligikaudse valemi
f (x + x) f (x) + f (x)x. (2.9)
17 Valem (2.9) on rakendatav ainult suhteliselt v¨aikeste argumendi muutude x korral. N¨aide 3. Arvutame valemi (2.9) abil ln 0, 9 ligikaudse v¨a¨artuse. Siin valime x = 1, x = -0, 1 ja funktsiooni f (x) = ln x. Funktsiooni 1 tuletis f (x) = , funktsiooni v¨a¨artus f (1) = ln 1 = 0 ja tuletise v¨a¨artus x f (1) = 1. Seega valemi (2.9) j¨argi saame v¨a¨artuse
ln 0, 9 0 + 1 · (-0, 1) = -0, 1,
mis erineb tegelikust v¨aa¨rtusest v¨ahem kui 0, 0054 v~orra.
2.11 K~ orgemat j¨ arku tuletised Funktsiooni y = f (x) tuletis f (x) on mingisugune muutuja x funktsioon ja seda on omakorda v~oimalik diferentseerida. Definitsioon 1. Funktsiooni y = f (x) teist j¨arku tuletiseks f (x) nime- tatakse funktsiooni tuletise tuletist:
f (x) = [f (x)] .
Teist j¨arku tuletist t¨ahistatkse veel y . Leibnizi t¨ahistuses
d2 y d dy 2 = dx dx dx
d2 f v~oi dx2 2 N¨aide 1. Leiame funktsiooni y = e-x teist j¨arku tuletise. 2 2 K~oigepealt leiame y = e-x (-2x) = -2xe-x ja seej¨arel 2 2 2 y = -2e-x - 2xe-x · (-2x) = 2e-x (2x2 - 1).
Definitsioon 2. Funktsiooni y = f (x) n-ndat j¨arku tuletiseks f (n) (x) nimetatakse selle funktsiooni n - 1 j¨arku tuletise tuletist:
f (n) (x) = f (n-1) (x) .
Leibnizi t¨ahistuses d dn-1 y . dx dxn-1 N¨ aide 2. Leiame funktsiooni y = sin x n-ndat j¨arku tuletise.
18 Kasutame selleks matemaatilise induktsiooni meetodit. Induktsiooni ole- tuse tegemiseks esitame m~oned tuletise j¨argud taandamisvalemite abil y = cos x = sin x + , 2 y = - sin x = sin(x + ) = sin x + 2 · , 2 y = - cos x = sin x + 3 · , 2 y (4) = sin x = sin(x + 2) = sin x + 4 · . 2 Nende p~ohjal teeme oletuse y (n) = sin x + n · . Oletuse ~oigsust kontrol - 2 lime n + 1 j¨arku tuletise n y (n+1) = cos x + n · = sin x + + = sin x + (n + 1) 2 2 2 2 leidmisega. 2.12 Joone puutuja ja normaali v~ orrandid Selles alampunktis m~oeldakse joone all funktsiooni y = f (x) graafikut. Eesm¨argiks on tuletada joone puutuja ja normaali v~orrandid antud punktis. L¨ahtume tuntud faktist, et kui sirge l¨abib punkti P0 (x0 ; y0 ) ja sirge t~ous on k, siis sirge v~orrand on
y - y0 = k(x - x0 ).
Funktsiooni y = f (x) graafiku punkti, mille abstsiss on x0 , ordinaadiks on f (x0 ). Puutuja t~ous selles punktis on f (x0 ). Seega on puutuja v~orrandiks
y - f (x0 ) = f (x0 )(x - x0 ). (2.10)
Definitsioon. Joone normaalsirgeks ehk normaaliks antud punktis ni- metatakse joone selles punktis t~ommatud puutuja ristsirget. Kui kaks sirget on risti, siis teise sirge t~ous k2 avaldub esimese sirge t~ousu 1 1 k1 kaudu k2 = - . J¨arelikult on normaali t~ousuks - ja normaalsirge k1 f (x0 ) v~orrandiks 1 y - f (x0 ) = - (x - x0 ). (2.11) f (x0 ) N¨aide. Koostame joone y = cos x puutuja ja normaali v~orrandid punkis abstsissiga x0 = . 6
19 y
no rm
) f (x aa l
y= f (x0 )
x0 x
Joonis 2.3: joone puutuja ja normaal 3 Antud juhul f (x0 ) = cos = . Tuletise f (x) = - sin x abil leiame 6 2 1 1 puutuja t~ousu f = - ja normaali t~ousu - = 2. 6 2 f (6) Puutuja v~orrandiks (2.10) saame 3 1 y- =- x- 2 2 6 ehk 1 +6 3 y =- x+ . 2 12 +6 3 Puutuja v~orrandis on algordinaadi ligikaudseks v¨a¨artuseks 1, 128. 12 Normmali v~orrandiks (2.11) saame 3 y- =2 x- 2 6 ehk 3 3 - 2 y = 2x + . 6
20 3 3 - 2 Normaali v~orrandis on algordinaadi ligikaudseks v¨aa¨rtuseks 6 -0, 181. y
al ma nor 3 2 pu utu ja
- x 2 6 2
Joonis 2.4: funktsiooni y = cos x puutuja ja normaal punktis abstsissiga 6
21 3 Tuletise rakendusi Tuletise rakenduste teoreetiliseks aluseks on kolm teoreemi: Rolle'i, Cauchy ja Lagrange'i teoreemid . 3.1 Rolle'i teoreem Esmalt t~oestame u ¨he abiteoreemi, nn Fermat ' lemma . Fermat' lemma. Kui funktsioon f (x) on diferentseeruv punktis (a; b) ja funktsioonil on selles punktis maksimum (miinimum), siis f () = 0. T~oestus. Kui funktsioonil f (x) on maksimum punktis (a; b), siis leidub niisugune u ¨mbrus ( -; +), et mis tahes +x ( -; +) korral f ( + f ( + x) - f () x) 0, siis 0, seega x f ( + x) - f () lim 0. (3.2) x0- x Eelduse j¨argi f (x) on diferentseeruv punktis , st eksisteerib piirv¨aa¨rtus f ( + x) - f () lim . x0 x J¨arelikult on u ¨hepoolsed piirv¨aa¨rtused (3.1) ja (3.2) v~ordsed, mis on v~oimalik ainult siis, kui need m~olemad v~orduvad nulliga. Siis ka f () = 0. Kui funktsioonil on punktis (a; b) miinimum, on t~oestus analoogiline. Punkti , mille korral f () = 0, nimetatakse funktsiooni statsionaarseks punktiks. Teoreem (Rolle'i teoreem). Kui l~oigul [a; b] pideva ja vahemikus (a; b) diferentseeruva funktsiooni f (x) v¨a¨artused l~oiguotspunktides on v~ordsed, st f (a) = f (b), siis leidub vahemikus (a; b) v¨ahemalt u¨ks funktsiooni f (x) stat- sionaarne punkt. T~oestus. Kui funktsioon on l~oigul [a; b] konstantne, siis f (x) = 0 iga x (a; b) korral, st k~oik vahemiku (a; b) punktid on funktsiooni f (x) statsio- naarseteks punktideks. L~oigul pidev funktsioon omab suurimat ja v¨ahimat v¨a¨artust sellel l~oigul. Mittekonstantse funktsuiooni korral peab v¨ahemalt u ¨ks neist v¨a¨artustest eri- nema v¨a¨artusest f (a) = f (b). Oletame konkreetsuse m~ottes, et funktsioon omandab suuurima v¨a¨artuse mingisuguses punktis (a; b). Selles punktis on sel juhul t¨aidetud Fermat' lemma eeldused, seega f () = 0.
1 3.2 Cauchy teoreem Teoreem (Cauchy teoreem). Kui funktsioonid f (x) ja g(x) on pidevad l~oigul [a; b] ja diferentseeruvad vahemikus (a; b) ning g (x) = 0 vahemikus (a; b), siis leidub v¨ahemalt u¨ks punkt (a; b), et
f (b) - f (a) f () = . (3.3) g(b) - g(a) g ()
T~oestus. Eeldustest j¨areldub, et g(a) = g(b), sest vastasel korral rahul- daks funktsioon g(x) Rolle'i teoreemi eeldusi . Rolle'i teoreemi kohaselt peaks vahemikus (a; b) leiduma punkt , milles g () = 0, mis on eeldusega vastu- olus . Konstrueerime funktsiooni f (b) - f (a) F (x) = f (x) - f (a) - [g(x) - g(a)]. g(b) - g(a)
Funktsioonide f (x) ja g(x) pidevusest l~oigul [a; b] j¨areldub funktsiooni F (x) pidevus sellel l~oigul ning f (x) ja g(x) diferentseeruvusest vahemikus (a; b) funktsiooni F (x) diferentseeruvus selles vahemikus. Peale selle
f (b) - f (a) F (a) = f (a) - f (a) - [g(a) - g(a)] = 0 g(b) - g(a) ja
f (b) - f (a) F (b) = f (b)-f (a)- [g(b)-g(a)] = f (b)-f (a)-[f (b)-f (a)] = 0, g(b) - g(a)
st funktsiooni F (x) v¨a¨artused l~oigu otspunktides on v~ordsed. Seega rahuldab funktsioon F (x) Rolle'i teoreemi eeldusi, j¨arelikult leidub v¨ahemalt u ¨ks punkt (a; b), et F () = 0, st
f (b) - f (a) f () - g () = 0 g(b) - g(a)
ehk f (b) - f (a) f () = g (), g(b) - g(a) millest, p¨arast jagamist suurusega g () saamegi teoreemi v¨aite.
2 3.3 Lagrange'i teoreem Teoreem (Lagrange'i teoreem). Kui funktsioon f (x) on pidev l~oigul [a; b] ja diferentseeruv vahemikus (a; b), siis leidub v¨ahemalt u ¨ks punkt (a; b), et f (b) - f (a) = f (). (3.4) b-a T~oestuseks piisab, kui v~otame Cauchy teoreemis g(x) = x, sest siis g(b) = b, g(a) = a ja g (x) = 1.
3.4 L'Hospitali reegel L'Hospitali reegel h~olbustab jagatise piirv¨aa¨rtuse f (x) lim xa g(x)
arvutamist, kui tegemist on 00 - v~oi - t¨ uu¨pi m¨a¨aramatusega. 0 Teoreem 1 (L'Hospitali reegel 0 - tu ¨u¨ pi m¨a¨aramatuse korral). Kui funktsioonid f (x) ja g(x) rahuldavad punkti a mingis u ¨mbruses (a - ; a + ) Cauchy teoreemi eeldusi, lim f (x) = lim g(x) = 0 ning eksisteerib piirv¨a¨artus xa xa
f (x) lim , xa g (x)
f (x) siis eksisteerib ka piirv¨aa¨rtus lim ja xa g(x)
f (x) f (x) lim = lim . xa g(x) xa g (x)
T~oestus. Funktsioonide f (x) ja g(x) pidevuse t~ottu a u ¨mbruses f (a) = g(a) = 0. Kui x > a, siis Cauchy teoreemi p~ohjal leidub selline (a; x) (kui x sest piirv¨aa¨rtus ei s~oltu muutuja t¨ahistusest.
3 M¨ arkus. Kui lim f (x) = lim g (x) = 0 ja funktsioonid f (x) ning g (x) xa xa rahuldavad Cauchy teoreemi eeldusi punkti a u¨mbruses, siis saab L'Hospitali reeglit uuesti rakendada:
f (x) f (x) lim = lim . xa g (x) xa g (x)
Teoreem 1 (L'Hospitali reegel - tu ¨u¨ pi m¨ a¨ aramatuse korral). Kui funktsioonid f (x) ja g(x) rahuldavad punkti a mingis u ¨mbruses (a - ; a+) Cauchy teoreemi eeldusi, lim f (x) = lim g(x) = ± ning eksisteerib xa xa piirv¨a¨artus f (x) lim , xa g (x)
f (x) siis eksisteerib ka piirv¨aa¨rtus lim ja xa g(x)
f (x) f (x) lim = lim . xa g(x) xa g (x)
Selle teoreemi eelduse lim f (x) = lim g(x) = ± t~ottu rahuldavad funkt- xa xa sioonid f (x) ja g(x) Cauchy teoreemi eeldusi punkti a mingis u ¨mbruses (a - ; a + ) v¨alja arvatud punktis a. M¨ arkus. M~olemas teoreemis v~oib piirprotsessiks olla ka x ±. ln(1 + x) N¨aide 1. Leiame piirv¨a¨artuse lim . x0 x Siin on tegemist 00 -t¨ uu¨pi m¨a¨aramatusega. L'Hospitali reegli j¨argi 1 ln(1 + x) (ln(1 + x)) lim = lim = lim 1+x = 1. x0 x x0 x x0 1
ex - e-x - 2x N¨ aide 2. Leiame piirv¨a¨artuse lim . x0 x - sin x Ka siin on 00 -t¨ uu¨pi m¨a¨aramatus. L'Hospitali reegli p~ohjal
ex - e-x - 2x ex + e-x - 2 lim = lim . x0 x - sin x x0 1 - cos x Tekkis uuesti 00 -t¨ uu¨pi m¨a¨aramatus ja teist korda L'Hospitali reeglit rakenda- des saame ex - e-x ... = lim . x0 sin x
4 Taas on 00 - t¨ uu¨pi m¨a¨aramatus ja veel kord L'Hospitali reeglit kasutades saame
ex - e-x - 2x ex + e-x lim = lim = 2. x0 x - sin x x0 cos x tan x N¨ aide 3. Leiame piirv¨aa¨rtuse lim . x 2 tan 3x Selles piirv¨a¨artus¨ulesandes on - t¨ uu ¨pi m¨a¨aramatus. L'Hospitali reegli kohaselt 1 tan x 2 cos2 3x lim = lim cos3 x = lim x 2 tan 3x x 2 x 2 3 cos2 x. cos2 3x
Tekkis 00 - t¨ uu¨pi m¨a¨aramatus. Kasutades L'Hospitali reeglit veel kaks korda, saame tan x 2 cos 3x(- sin 3x) · 3 sin 3x cos 3x lim = lim = lim = x 2 tan 3x x 2 3 · 2 cos x(- sin x) x 2 sin x cos x
sin 3x cos 3x -1 -3 sin 3x 3 = lim lim = lim = -1 · = 3. x 2 sin x x 2 cos x 1 x 2 - sin x -1
3.5 L'Hospitali reegel teistel m¨ a¨ aramatuse juhtudel Selles alampunktis vaatleme L'Hospitali reegli rakendamist juhtudel, kui on m¨a¨aramatus kujul 0 · , - , 00 , 1 v~oi 0 . K~oigil vaadeldavatel juhtudel taandatakse piirv¨a¨artuse leidmine kas 00 - v~oi - t¨ uu¨pi m¨a¨aramatusele. M¨a¨aramatus kujul 0 · on piirv¨a¨artuses lim yz, kus lim y = 0 ja lim z = xa xa xa . y z Sel juhul saame kirjutada kas y · z = v~oi y · z = . Esimesel
80% sisust ei kuvatud. Kogu dokumendi sisu näed kui laed faili alla
Vasakule Paremale
Lembit Pallase materjalid #1 Lembit Pallase materjalid #2 Lembit Pallase materjalid #3 Lembit Pallase materjalid #4 Lembit Pallase materjalid #5 Lembit Pallase materjalid #6 Lembit Pallase materjalid #7 Lembit Pallase materjalid #8 Lembit Pallase materjalid #9 Lembit Pallase materjalid #10 Lembit Pallase materjalid #11 Lembit Pallase materjalid #12 Lembit Pallase materjalid #13 Lembit Pallase materjalid #14 Lembit Pallase materjalid #15 Lembit Pallase materjalid #16 Lembit Pallase materjalid #17 Lembit Pallase materjalid #18 Lembit Pallase materjalid #19 Lembit Pallase materjalid #20 Lembit Pallase materjalid #21 Lembit Pallase materjalid #22 Lembit Pallase materjalid #23 Lembit Pallase materjalid #24 Lembit Pallase materjalid #25 Lembit Pallase materjalid #26 Lembit Pallase materjalid #27 Lembit Pallase materjalid #28 Lembit Pallase materjalid #29 Lembit Pallase materjalid #30 Lembit Pallase materjalid #31 Lembit Pallase materjalid #32 Lembit Pallase materjalid #33 Lembit Pallase materjalid #34 Lembit Pallase materjalid #35 Lembit Pallase materjalid #36 Lembit Pallase materjalid #37 Lembit Pallase materjalid #38 Lembit Pallase materjalid #39 Lembit Pallase materjalid #40 Lembit Pallase materjalid #41 Lembit Pallase materjalid #42 Lembit Pallase materjalid #43 Lembit Pallase materjalid #44 Lembit Pallase materjalid #45 Lembit Pallase materjalid #46 Lembit Pallase materjalid #47 Lembit Pallase materjalid #48 Lembit Pallase materjalid #49 Lembit Pallase materjalid #50 Lembit Pallase materjalid #51 Lembit Pallase materjalid #52 Lembit Pallase materjalid #53 Lembit Pallase materjalid #54 Lembit Pallase materjalid #55 Lembit Pallase materjalid #56 Lembit Pallase materjalid #57 Lembit Pallase materjalid #58 Lembit Pallase materjalid #59 Lembit Pallase materjalid #60 Lembit Pallase materjalid #61 Lembit Pallase materjalid #62 Lembit Pallase materjalid #63 Lembit Pallase materjalid #64 Lembit Pallase materjalid #65 Lembit Pallase materjalid #66 Lembit Pallase materjalid #67 Lembit Pallase materjalid #68 Lembit Pallase materjalid #69 Lembit Pallase materjalid #70 Lembit Pallase materjalid #71 Lembit Pallase materjalid #72 Lembit Pallase materjalid #73 Lembit Pallase materjalid #74 Lembit Pallase materjalid #75 Lembit Pallase materjalid #76 Lembit Pallase materjalid #77 Lembit Pallase materjalid #78 Lembit Pallase materjalid #79 Lembit Pallase materjalid #80 Lembit Pallase materjalid #81 Lembit Pallase materjalid #82 Lembit Pallase materjalid #83 Lembit Pallase materjalid #84 Lembit Pallase materjalid #85 Lembit Pallase materjalid #86 Lembit Pallase materjalid #87 Lembit Pallase materjalid #88 Lembit Pallase materjalid #89 Lembit Pallase materjalid #90 Lembit Pallase materjalid #91 Lembit Pallase materjalid #92 Lembit Pallase materjalid #93 Lembit Pallase materjalid #94 Lembit Pallase materjalid #95 Lembit Pallase materjalid #96 Lembit Pallase materjalid #97 Lembit Pallase materjalid #98 Lembit Pallase materjalid #99 Lembit Pallase materjalid #100 Lembit Pallase materjalid #101 Lembit Pallase materjalid #102 Lembit Pallase materjalid #103 Lembit Pallase materjalid #104 Lembit Pallase materjalid #105 Lembit Pallase materjalid #106 Lembit Pallase materjalid #107 Lembit Pallase materjalid #108 Lembit Pallase materjalid #109 Lembit Pallase materjalid #110 Lembit Pallase materjalid #111 Lembit Pallase materjalid #112 Lembit Pallase materjalid #113 Lembit Pallase materjalid #114 Lembit Pallase materjalid #115 Lembit Pallase materjalid #116 Lembit Pallase materjalid #117 Lembit Pallase materjalid #118 Lembit Pallase materjalid #119 Lembit Pallase materjalid #120 Lembit Pallase materjalid #121 Lembit Pallase materjalid #122 Lembit Pallase materjalid #123 Lembit Pallase materjalid #124 Lembit Pallase materjalid #125 Lembit Pallase materjalid #126 Lembit Pallase materjalid #127 Lembit Pallase materjalid #128 Lembit Pallase materjalid #129 Lembit Pallase materjalid #130 Lembit Pallase materjalid #131 Lembit Pallase materjalid #132 Lembit Pallase materjalid #133 Lembit Pallase materjalid #134 Lembit Pallase materjalid #135 Lembit Pallase materjalid #136 Lembit Pallase materjalid #137 Lembit Pallase materjalid #138 Lembit Pallase materjalid #139 Lembit Pallase materjalid #140 Lembit Pallase materjalid #141 Lembit Pallase materjalid #142 Lembit Pallase materjalid #143 Lembit Pallase materjalid #144 Lembit Pallase materjalid #145 Lembit Pallase materjalid #146 Lembit Pallase materjalid #147 Lembit Pallase materjalid #148 Lembit Pallase materjalid #149 Lembit Pallase materjalid #150 Lembit Pallase materjalid #151 Lembit Pallase materjalid #152 Lembit Pallase materjalid #153 Lembit Pallase materjalid #154 Lembit Pallase materjalid #155 Lembit Pallase materjalid #156 Lembit Pallase materjalid #157 Lembit Pallase materjalid #158 Lembit Pallase materjalid #159 Lembit Pallase materjalid #160 Lembit Pallase materjalid #161 Lembit Pallase materjalid #162 Lembit Pallase materjalid #163 Lembit Pallase materjalid #164 Lembit Pallase materjalid #165 Lembit Pallase materjalid #166 Lembit Pallase materjalid #167 Lembit Pallase materjalid #168 Lembit Pallase materjalid #169 Lembit Pallase materjalid #170 Lembit Pallase materjalid #171 Lembit Pallase materjalid #172 Lembit Pallase materjalid #173 Lembit Pallase materjalid #174 Lembit Pallase materjalid #175 Lembit Pallase materjalid #176 Lembit Pallase materjalid #177 Lembit Pallase materjalid #178 Lembit Pallase materjalid #179 Lembit Pallase materjalid #180 Lembit Pallase materjalid #181 Lembit Pallase materjalid #182 Lembit Pallase materjalid #183 Lembit Pallase materjalid #184 Lembit Pallase materjalid #185 Lembit Pallase materjalid #186 Lembit Pallase materjalid #187 Lembit Pallase materjalid #188 Lembit Pallase materjalid #189 Lembit Pallase materjalid #190 Lembit Pallase materjalid #191 Lembit Pallase materjalid #192 Lembit Pallase materjalid #193 Lembit Pallase materjalid #194 Lembit Pallase materjalid #195 Lembit Pallase materjalid #196 Lembit Pallase materjalid #197 Lembit Pallase materjalid #198 Lembit Pallase materjalid #199 Lembit Pallase materjalid #200 Lembit Pallase materjalid #201 Lembit Pallase materjalid #202 Lembit Pallase materjalid #203 Lembit Pallase materjalid #204 Lembit Pallase materjalid #205 Lembit Pallase materjalid #206 Lembit Pallase materjalid #207 Lembit Pallase materjalid #208 Lembit Pallase materjalid #209 Lembit Pallase materjalid #210 Lembit Pallase materjalid #211 Lembit Pallase materjalid #212 Lembit Pallase materjalid #213 Lembit Pallase materjalid #214 Lembit Pallase materjalid #215 Lembit Pallase materjalid #216 Lembit Pallase materjalid #217 Lembit Pallase materjalid #218 Lembit Pallase materjalid #219 Lembit Pallase materjalid #220 Lembit Pallase materjalid #221 Lembit Pallase materjalid #222 Lembit Pallase materjalid #223 Lembit Pallase materjalid #224 Lembit Pallase materjalid #225 Lembit Pallase materjalid #226 Lembit Pallase materjalid #227 Lembit Pallase materjalid #228 Lembit Pallase materjalid #229 Lembit Pallase materjalid #230 Lembit Pallase materjalid #231 Lembit Pallase materjalid #232 Lembit Pallase materjalid #233 Lembit Pallase materjalid #234 Lembit Pallase materjalid #235 Lembit Pallase materjalid #236 Lembit Pallase materjalid #237 Lembit Pallase materjalid #238 Lembit Pallase materjalid #239 Lembit Pallase materjalid #240 Lembit Pallase materjalid #241 Lembit Pallase materjalid #242 Lembit Pallase materjalid #243 Lembit Pallase materjalid #244 Lembit Pallase materjalid #245 Lembit Pallase materjalid #246 Lembit Pallase materjalid #247 Lembit Pallase materjalid #248 Lembit Pallase materjalid #249 Lembit Pallase materjalid #250 Lembit Pallase materjalid #251 Lembit Pallase materjalid #252 Lembit Pallase materjalid #253 Lembit Pallase materjalid #254 Lembit Pallase materjalid #255 Lembit Pallase materjalid #256 Lembit Pallase materjalid #257 Lembit Pallase materjalid #258 Lembit Pallase materjalid #259 Lembit Pallase materjalid #260 Lembit Pallase materjalid #261 Lembit Pallase materjalid #262 Lembit Pallase materjalid #263 Lembit Pallase materjalid #264 Lembit Pallase materjalid #265 Lembit Pallase materjalid #266 Lembit Pallase materjalid #267 Lembit Pallase materjalid #268 Lembit Pallase materjalid #269 Lembit Pallase materjalid #270 Lembit Pallase materjalid #271 Lembit Pallase materjalid #272 Lembit Pallase materjalid #273
Punktid 5 punkti Autor soovib selle materjali allalaadimise eest saada 5 punkti.
Leheküljed ~ 273 lehte Lehekülgede arv dokumendis
Aeg2009-01-15 Kuupäev, millal dokument üles laeti
Allalaadimisi 754 laadimist Kokku alla laetud
Kommentaarid 8 arvamust Teiste kasutajate poolt lisatud kommentaarid
Autor pubekas Õppematerjali autor

Lisainfo

Materjalid on ühte pdf faili kokku pantud ja lisatud sisukord.
matemaatika analüüs , lembit pallas

Mõisted

loengumaterjalid, eksamipiletis, eksamieelduseks, kollokviumid, piirkonnaks, konstant, ilmutatud kujul, ilmutamata kujul, parameetrilise esitusviis, juu, paarisfunktsioonideks, paarituteks funktsioonideks, koosinusfunktsiooni perioodiks, ti x, eksponent, st u, funktsioonideks, muutuja v, viimane tingimus, reaalarvu b, viimane tingimus, reaalarvu b, med, reaalarvu b, reaalarvu b, reaalarvu b2, vaatleme funktsiooni, tis, viimases jagatises, jagatis, st jada, lisaks sellele, sioonid, eelduse kohaselt, tis, fikseerime funkt, eelduse kohaselt, eelduse kohaselt, tuletis, muutuja y, muutuja y, korrutades vii, mehaaniliselt, joone normaalsirgeks, tekkis 0, teisendatav 0, antud ulesandes, teadaolevalt, absoluut, maclaurini valemiks, eespool, punktis 0, samal viisil, funktsioonil, kriitilised punktid, eelduse kohaselt, lid, 13 puhul, integraal, niisu, ratsionaalavaldiseks, lahutamise tulemuseks, osamurdusid, mel, astmete kordajad, sellised ratsio, integreeritavaks funktsiooniks, nullkohad, euleri asendused, diferentsiaalbinoomil, sellisteks, nen, seeaga, paremal pool, newton, eelduse kohaselt, 1 lau, valemi kasutamisel, integreeritav funktsioon, newton, newton, muutuja y, antud ellips, ellipsi keskpunkt, polaarkoordinaadistikus, rist, kesknurk, viimane summa, niisugustel eeldustel, joone k, viimane summa, poolringjoon, piirkonnaks, piirkonsa, ruumiliseks piirkonnaks, lahtine piirkond, antud tingimuses, nendeks pindadeks, gume xy, esitame funkt, vasakul saa, argumentide muutu, suunatuletis, diks, diendiks, tuletis, gradient, jektsioon xy, viimane tingimus, mad 0, selliseid punkte, kindlakstegemisel, globaalseteks ekstreemumiteks, osakaared, mad koordinaadid, mehhaanikast, kinniseks jooneks, kinniseks jooneks, sirge sihivektor, viimases integraalis, joon l, joonintegraal, jaotus osapiirkondadeks, piirkonda d, kaksikin, integreerimispiirkond d, integreerimispiirkond, vaadeldavas uv, jaotame uv, tehtud eeldustel, minandiks, piirkond d, lemniskaat, arvutame lem, integreerimispiirkond, integreeritav funktsioon, siooni xy, muu, rimispiirkonnaks, reaks, tuntumad arvread, rea n, kirjutades n, viimane tingimus, funktsionaalreaks, astmereaks, kasvamis, kumerus

Kommentaarid (8)

echo profiilipilt
echo: see sama teema mis netis staffi lehel üleval. mõtetu punktide raiskamine :S
21:12 03-01-2010
ketchup profiilipilt
ketchup: Tänan. Materjal aitas.
05:43 14-09-2010
martin89 profiilipilt
martin89: vägagi hea konspekt!
22:57 16-09-2009


Sarnased materjalid

142
pdf
Matemaatiline analüüs I
142
pdf
Matemaatilise analüüsi konspekt TTÜ s
39
pdf
Matemaatiline analüüs I konspekt -Tõkestatud hulgad
816
pdf
Matemaatika - Õhtuõpik
37
docx
Matemaatiline analüüs l
32
pdf
Matemaatiline analüüs II konspekt - MITME MUUTUJA FUNKTSIOONID
1080
pdf
Matemaatiline analüüs terve konspekt
22
doc
Matemaatiline analüüs I - kordamine eksamiks-ainekava järgi koostatud konspekt



Faili allalaadimiseks, pead sisse logima
Kasutajanimi / Email
Parool

Unustasid parooli?

UUTELE LIITUJATELE KONTO MOBIILIGA AKTIVEERIMISEL +50 PUNKTI !
Pole kasutajat?

Tee tasuta konto

Sellel veebilehel kasutatakse küpsiseid. Kasutamist jätkates nõustute küpsiste ja veebilehe üldtingimustega Nõustun