Lembit Pallase materjalid (8)

YMM3731 Matemaatiline analu¨u¨s I 2007/08 ~o.-a. su¨gissemestril
3,5 AP 4 2-0-2 E S Dots. Lembit Pallas TTU¨ Matemaatikainstituut V-404, tel. 6203056 e-post: lpallas@ staff .ttu.ee K¨asitletavad teemad on toodud punktide kaupa. Neid punkte tuleb vaadelda ka kui kollokviumide ja eksami teooriak¨ usimusi.
1. Funktsiooni m~ oiste ja esitusviisid
2. Funktsioonide liigitamine (paaris- ja paaritud funktsioonid, perioodilised funktsioo- nid, kasvavad ja kahanevad funktsioonid)
3. P¨o¨ordfunktsioon
4. Liitfunktsioon
5. Jada piirv ¨aa¨ rtus
6. Funktsiooni piirv¨aa¨rtus ¨ 7. Uhepoolsed piirv¨aa¨ rtused
8. L~opmatult kasvavad ja l~opmatult kahanevad suurused
9. Piirv¨a¨artusteoreemid
10. L~opmatult kahanevate suuruste v~ordlemine
11. Funktsiooni pidevuse m~oiste. Tarvilik ja piisav tingimus funktsiooni pidevuseks
12. Elementaarfunktsioonide pidevus
13. L~oigul pidevate funktsioonide omadused
14. Funktsiooni katkevuspunktid
15. Funktsiooni tuletise m~oiste, selle geomeetriline ja mehhaaniline t~olgendus
1 16. Pidevus ja diferentseeruvus
17. M~onede p~ohiliste elementaarfunktsioonide tuletised
18. Diferentseerimisreeglid
19. P¨o¨ordfunktsiooni tuletis
20. Liitfunktsiooni tuletis
21. Logaritmiline diferentseerimine
22. Ilmutamata funktsiooni tuletis
23. Parameetrilisel kujul esitatud funktsiooni tuletis
24. Funktsiooni diferentsiaal
25. K~orgemat j¨arku tuletised
26. Joone puutuja ja normaali v~orrandid
27. Rolle'i teoreem
28. Cauchy teoreem
29. Lagrange 'i teoreem
30. L' Hospitali reegel
31. L'Hospitali reegel teistel m¨aa¨ramatuse juhtudel
32. Taylori valem
33. Funktsioonide ex , sin x ja cos x arendid Maclaurini valemi j¨ argi
34. Funktsiooni kasvamine ja kahanemine
35. Funktsiooni lokaalsed ekstreemumid
36. Funktsiooni suurim ja v¨ahim v¨a¨ artus antud l~oigul
37. Funktsiooni graafiku kumerus ja n~ogusus. K¨aa¨nupunktid
38. Funktsiooni graafiku as¨ umptoodid
39. Algfunktsioon ja m¨aa¨ ramata integraal
40. Integraalide tabel
2 41. M¨aa¨ramata integraali omadusi
42. Integreerimine muutuja vahetusega
43. Ositi integreerimine
44. Osamurrud ja nende integreerimine
45. Ratsionaalse murru lahutamine osamurdudeks
46. M~onede trigonomeetriliste funktsioonide klasside integreerimine
47. Irratsionaalavaldiste integreerimine
48. M¨aa¨ratud integraali m~oiste
49. M¨aa¨ratud integraali omadused
50. M¨aa¨ratud integraali arvutamine. Newton -Leibnizi valem
51. Muutuja vahetus m¨aa¨ratud integraalis
52. Ositi integreerimine (m¨aa¨ratud integraali korral)
53. L~opmatute rajadega p¨aratud integraalid
54. P¨aratud integraalid t~okestamata funktsioonidest
55. M¨aa¨ratud integraali ligikaudne arvutamine. Trapetsvalem
56. Pindala arvutamine ristkoordinaatides
57. Polaarkoordinaadistik. K~oversektori pindala polaarkoordinaatides
58. K~overjoone kaare pikkus
Kirjandus 1. N. S. Piskunov, Diferentsiaal- ja integraalarvutus, I, II, Tallinn 1983.
2. A. L~ohmus, I. Petersen, H. Roos, K~orgema matemaatika u ¨lesannete kogu. Tallinn, 1982.
3. L. Pallas, M¨aa¨ramata integraal. Tallinn, 2005
4. I. Tammeraid, Matemaatiline anal¨ uu¨s I. Tallinn, 2001.
3 5. G. N. Berman , Matemaatilise anal¨ uu¨si kursuse u ¨lesannete kogu. Moskva , 1977 (vene keeles).
N¨adalas toimub 2 tundi loenguid ja 2 tundi harjutusi. Loengus esitatakse uus materjal, mida harjutustunnis kinnistatakse u ¨lesannete lahendamisega. Loengumaterjalid on internetis kodulehek ¨ uljel www.staff.ttu/lpallas Semester l~opeb suulise eksamiga. Eksamipiletis on kaks teooriak¨ usimust ja kaks u ¨lesannet. Kokku neli punkti, mis k~oik omavad v~ordset kaalu. Eksamieelduseks on kahe kontrollt¨o¨o kirjutamine semestri jooksul. Kontrollt¨o¨od toi- muvad harjutustunnis, 1. kontrollt¨o¨o 8. ja 2. kontrollt¨o¨o 15. ~oppen¨adalal. Kontrollt¨o¨ode ja u ¨htlasi eksami t¨ uu¨p¨ulesanded on interneti aadressil www.staff.ttu.ee/lpallas/matan1yles.pdf Kontrollt¨oid hinnatakse 100-punkti s¨ usteemis. Selleks, et kontrollt¨o¨o oleks arvestatud, peab see olema kirjutatud v¨ahemalt 51-le punktile. ¨ opilased, kes kirjutavad m~olemad kontrollt¨o¨od u Uli~ ¨lalnimetatud aegadel v¨ahemalt 80 punktile, on eksamil u ¨lesannetest vabastatud. Semestri jooksul toimub kolm kollokviumi (osaeksamit). Esimene - funktsioon, piirv¨aa¨rtus, pidevus (punktid 1 - 14) - 12. oktoobril 18.00 v~oi 10. oktoobril 14.00. Teine - funktsiooni tuletis, tuletise rakendusi (punktid 15 - 38) - 23. novembril 18.00 v~oi 28. novembril kell 14.00. Kolmas - m¨a¨aramata ja m¨a¨aratud integraal (punktid 39 - 58) - 21. detsembril kell 18.00. Kollokviumid on kirjalikud ja ei sisalda u ¨ lesandeid vaid ainult teooriat. Vajaduse korral toimub kollokviumile j¨argnevas konsultasioonis t¨o¨o kaitsmine. Kui kollokvium on kirjutatud v¨ahemalt kuuele punktile ja u ¨li~opilane on tulemusega rahul, siis vastavaid teemasid eksamil ei ole. Konsultatsioonid toimuvad kolmap¨aeviti 14.00 (kuni kaheksanda n¨adalani ainult paa- risn¨adalatel) ja reedeti 18.00.
4 1 Funktsioon, piirv¨ a¨ artus, pidevus 1.1 Funktsioon 1.1.1 T¨ ahistused Arvuhulki t¨ahistatakse u ¨ldlevinud viisil: N - naturaalarvude hulk, Z - t¨aisarvude hulk, Q - ratsionaalarvude hulk, R - reaalarvude hulk. Piirkonnaks nimetatakse reaalarvude hulga alamhulki: vahemik, l~oik, pooll~oik ja nende u ¨ hendid . Piirkondi hakkame t¨ ahistama suurte t¨ahtedega X, Y, Z, ... . Konstant on suurus, mis antud kontekstis omab ainult u ¨hte kindlat v¨aa¨rtust. Konstante t¨ahistatakse matemaatilises anal¨ uu ¨sis t¨ahestiku algust¨ahtedega a, b, c, ... . Muutuvaks suuruseks nimetatakse suurust, mis v~oib omandada mistahes v¨a¨artust mingisugusest piirkonnast . Muutuvid suurusi t¨ahistatakse t¨ahestiku l~oput¨ahtedega x, y, z, ... . T¨aisarvuliste muutujate t¨ahistamiseks kasutatak- se t¨ahti i, j, k, l, m ja n. Funktsioone t¨ahistatakse t¨ahtedega f, g, h ja nende kreeka vastetega (fii), ( psii ) (hii). Matemaatilise anal¨ uu¨si kursuses on muutuvateks suurusteks reeglina (kui ei ole tehtud t¨aiendavat eeldust ) reaalarvulised muutujad. Kirjaviisi x X loetakse: suurus x kuulub piirkonda X. ¨ Uldlevinud on kahe nn kvantori - universaalsuskvantori ja olemasolu- kvantori kasutamine. S¨ umbolit loetakse teksti sees "iga"ja s¨ umbolit loetakse "eksisterib"v~oi "leidub". Kirjaviisi x > 0 [a; b] loetakse: iga positiivse x v¨a¨artuse korral leidub l~oik [a; b].
1.1.2 Funktsiooni m~ oiste ja esitusviisid Definitsioon 1.1. Kui igale muutuja x v¨a¨artusele mingisugusest piirkonnast X on vastavusse seatud u ¨ks muutuja y kindel v¨a¨artus piirkonnast Y , siis muutujat y nimetetakse muutuja x funktsiooniks. Seda asjaolu m¨argitakse matemaatilise anal¨ uu ¨sis y = f (x), y = F (x), y = (x) jne. Muutuvat suurust x nimetatakse s~oltumatuks muutujaks ehk argumendiks ja muutuvat suurust y s~oltuvaks muutujaks ehk funktsiooniks. S¨umbol f m¨argib reeglit v~oi eeskirja, mis selle vastavuse korraldab. Seega - funktsioonist saab k~onelda siis, kui on olemas eeskiri, mis igale u¨he muutuja v¨a¨artusele seab vastavusse teise muutuja u¨he kindla v¨a¨artuse. Funktsioone saab esitada tabelina, graafikuna ja anal¨ uu ¨tiliselt.
1 N¨ aide 1.1. Tabel x y -2 3 -1 11 0 15 esitab definitsiooni kohaselt funktsiooni, sest igale muutuja x v¨aa¨ rtuselegraafik . N¨ aide 1.2. Graafik esitab y
y0 P
x0 x
Joonis 1.1: Funktsiooni esitusviis graafikuna
t~oepoolest u ¨laltoodud definitsiooni m~ottes funktsiooni, sest argumendi v¨a¨artusele x0 vastab graafiku punkt P . Selle punkti ordinaat y0 on u ¨heselt m¨aa¨ratud, seega igale argumendi x v¨a¨artusele seab graafik vastavusse u ¨he kindla y v¨a¨artuse. Kolmandaks funktsiooni esitusviisiks on anal¨ uu¨tiline esitusviis. Siin eris- tame funktsiooni esitust ilmutatud kujul, ilmutamata kujul ja funktsiooni parameetrilist esitusviisi. Funktsioon esitatakse ilmutatud kujul v~ordusena y = f (x), kus vasakul pool v~ordusm¨ arki on y ja paremal mingisugune anal¨ uu¨tiline avaldis muutuja x suhtes. Ilmutatud kujul on k~oik p~ohilised elementaarfunktsioonid: ruut- funktsioon y = x2 - 2x + 3, trigonomeetrilised funktsioonid, eksponent - ja logaritmfunktsioonid jne. Enne kui asuda funktsiooni ilmutatud kuju ja parameetrilise esitusviisi juurde, peab funktsiooni m~oistet laiendama. Edaspidi loeme muutuja y muu- tuja x funktsiooniks ka juhul, kui igale x v¨a¨artusele vastab kaks y v¨a¨artust, kolm y v¨a¨artust, ... , l~opmatult palju muutuja y v¨a¨artusi. Esimesel juhul ¨oeldakse, et funktsioon on kahene, teisel juhul - funktsioon on kolmene, ... , funktsioon on l~opmatult mitmene .
2 N¨ aide 1.3. Ilmutamata kujul on funktsioon x2 + y 2 = r2 , kus r on positiivne konstant. Selle funktsiooni graafikuks on ringjoon keskpunktiga koordinaatide alguses, raadiusega r. Selle funktsiooni ilmutamiseks, st tei- y
y1
x0 r x
y2
Joonis 1.2: Ringjoon raadiusega r
sendamiseks ilmutatud kujule , avaldame v~ordusest muutuja y. K~oigepealt y 2 = r2 - x2 , millest y = ± r2 - x2 . Igale x v¨a¨artusele vahemikust (-r; r) vastab kaks muutuja y v¨a¨artust. Joonisel vastab argumendi x0 v¨a¨artusele kaks y v¨a¨artust y1 = r2 - x20 ja y2 = - r2 - 2 x0 . Seega on antud juhul tegemist kahese funktsiooniga. Funktsioonid y = r - x2 ja y = - r2 - x2 2
on selle kahese funktsiooni u ¨hesteks harudeks. Kui ilmutatumata kujul esi- tatud funktsiooni graafikuks on kogu ringjoon, siis funktsiooni y = r 2 - x2 graafikuks on ringjoone u ¨ lemine pool ja funktsiooni y = - r2 - x2 graafi - kuks ringjoone alumine pool. Kolmandaks funktsiooni anal¨ uu ¨tiliseks esitusviisiks on funktsiooni para- meetriline esitusviis. Parameetrilise esitusviisi korral ei ole kaks muutujat x ja y omavahel otseselt v~ordusega seotud, vaid on seotud l¨abi kolmanda muutuja, nn parameetri t. Parameetrilise esitusviis on u ¨ ldjuhul x = (t) y = (t) Parameetrilisel kujul on v~oimalik esitada k~oiki funktsioone. Funktisooni y = x2 parameetriliseks esitusviisiks on x=t y = t2 Funktsiooni x2 + y 2 = r2 parameetriliseks esitusviisiks on x = r cos t y = r sin t
3 Selles esitusviisis on parameetriks t joonisel n¨aidatud nurk. y
t r x
Joonis 1.3: Parameetri t t¨ahendus
Funktsiooni y = x2 parameetrilist esitusviisi tavaliselt ei kasutata, sellel puudub m~ote. K¨ull aga kasutatakse funkktsiooni x2 + y 2 = r2 parameetrilist esitusviisi. On funktsioone, millele ainsaks m~oistlikuks esitusviisiks on parameetriline esitusviis. N¨aide 1.4. Vaatleme parameetrilisel kujul esitatud funktsiooni x = a(t - sin t) y = a(1 - cos t) Funktsiooni graafikuks on ts¨ ukliline joon, mida nimetatakse ts¨ ukloidiks. Ts¨ ukloid on joon, mille kirjeldab ringjoone raadiusega a u ¨ks punkt, mis alg- y
2a x
Joonis 1.4: Ts¨ ukloid
asendis asub koordinaatide alguspunktis, kui panna ringjoon veerema m¨o¨oda x-telge. Sellisel juhul on funktsiooni parameetrilises esitusviisis parameetriks t selle ringjoone p¨o¨ordenurk algasendi suhtes.
4 Definitsioon 1.2. Funktsiooni y = f (x) m¨a¨aramispiirkonnaks nimeta- takse niisugust argumendi x v¨a¨artuste hulka, millele anntud eeskirja kohaselt saab vastavusse seada muutuja y v¨a¨artuse. Funktsiooni m¨a¨aramispiirkond on kas funktsiooni definitsiooniga ette an- tud v~oi funktsiooni enda poolt m¨a¨aratud. Funktsiooni m¨a¨aramispiirkonda t¨ahistatakse s¨ umboliga X. N¨ aide 1.5. Funktsiooni x, kui 0 x 1 f (x) = 2 - x, kui 1 m¨aa¨ramispiirkonnaks on l~oik X = [0; 2], sest v¨aljaspool seda l~oiku ei ole funktsioon defineeritud. Funktsiooni graafik on esitatud joonisel. y
1 y = f( x)
1 2 x
N¨aide 1.6. Funktsiooni y = 2x - x2 m¨a¨aramispiirkonna annab ette kitsendus 2x - x2 0. Selle v~orratuse lahendihulka kuuluvad argumendi x v¨a¨artused, mis rahuldavad tingimust 0 x 2, seega antud funktsiooni m¨a¨aramispiirkonnaks on l~oik X = [0; 2].
Definitsioon 1.3. Funktsiooni y = f (x) muutumispiirkonnaks nimeta- takse muutuja y nende v¨a¨artuste hulka, mis vastavad k~oikidele m¨a¨aramispiirkonda kuuluvatele argumendi x v¨a¨artustele. Muutumispiirkonda t¨ahistatakse s¨ umboliga Y. N¨aide 1.7. Leiame n¨aites 1.6 antud funktsiooni muutumispiirkonna. Juu- re all on ruutfunktsioon 2x - x2 , mille graafikuks on allapoole avanev para- bool . M¨a¨aramispiirkonna X = [0; 2] otspunktides on ruutfunktsiooni v¨a¨artus 0, seega on ka antud funktsiooni v¨ahim v¨a¨artus 0. Ruutfunktsiooni suurimaks v¨a¨artuseks on parabooli haripunkti ordinaat. Parabooli haripunkti abstsiss 0+2 on xh = = 1, millele vastav ordinaat on yh = 2 · 1 - 12 = 1. V¨a¨artus 2 1 on juure all oleva ruutfunktsiooni suurimaks v¨a¨artuseks ning u ¨htlasi juu- re suurimaks v¨a¨artuseks. J¨ arelikult on funktsiooni muutumispiirkonnaks l~oik Y = [0; 1].
5 1.1.3 Funktsioonide liigitamine Funktsioone liigitatakse nende s¨ ummeetriaomaduste, v¨a¨artuste kordumise v~oi mingi muu tunnuse alusel. Definitsioon 1.4. Funktsiooni y = f (x) nimetatakse paarisfunktsioo- niks , kui x X korral f (-x) = f (x). Paarisfunktsioonideks on n¨aiteks y = x2 , y = |x| ja y = cos x. Neist kahe esi- mese graafikud on esitatud joonisel 1.5 ja kolmanda graafik joonisel 1.6. Kui y y 4 4 x2 y=
| |x = 2 2
y -2 2 x -2 2 x
Joonis 1.5: funktsioonid y = x2 ja y = |x|
y
1
-2 - 2 x
-1
Joonis 1.6: funktsioon y = cos x
paarisfunktsiooni graafikule kuulub punkt x; f (x), siis definitsioonis esitatud tingimuse kohaselt kuulub graafikule ka punkt -x; f (x). Need kaks punkti paiknevad koordinaatteljestikus s¨ ummeetriliselt y-telje suhtes. J¨arelikult on iga paarisfunktsiooni graafik s¨ ummeetriline y-telje suhtes. Definitsioon 1.5. Funktsiooni y = f (x) nimetatakse paarituks, kui x X korral f (-x) = -f (x).
6 y
y = x3 2
-2 2 x
-2
Joonis 1.7: funktsioon y = x3
y
1
-2 - 2 x -1
Joonis 1.8: funktsioon y = sin x
Paarituteks funktsioonideks on y = x3 , y = sin x ja y = tan x. Nende funkt- sioonide graafikud on esitatud vastavalt joonistel 1.7, 1.8 ja 1.9. Kui mis tahes paaritu funktsiooni graafikule kuulub punkt (x; f (x)), siis definitsioonis esitatud tingimuse kohaselt kuulub sellele ka punkt (-x; -f (x)). Need kaks punkti paiknevad s¨ ummeetriliselt koordinaatide alguspunkti suh- tes. Seega on k~oikide paaritute funktsioonide graafikud s¨ummeetrilised koor- dinaatide alguspunkti suhtes. 1+x N¨aide 1.8. Uurime, kas funktsioon y = ln on paaris v~oi paaritu. 1-x -1 1+x 1-x 1+x T¨ahistame f (x) = ln ja leiame f (-x) = ln = ln = 1-x 1 - (-x) 1-x 1+x - ln = -f (x). 1-x Saime , et x X korral f (-x) = -f (x), st funktsioon on paaritu. Kehtivad j¨argmised v¨aited.
7 y
1 - 32 - 2 2 3 2 x -2 - 2 -1
Joonis 1.9: funktsioon y = tan x
· Kahe paarisfunktsiooni korrutis on paarisfunktsioon ;
· kahe paaritu funktsiooni korrutis on paarisfunktsioon;
· paaris- paaritu funktsiooni korrutis on paaritu funktsioon.
T~oestame antud v¨aidetest teise. Olgu f (x) ja g(x) paaritud funktsioonid. T¨ahistame nende korrutise h(x) = f (x)g(x) ja leiame h(-x) = f (-x)g(-x) = -f (x) · [-g(x)] = f (x)g(x), st korrutis h(x) on t~oepoolest paarisfunktsioon. 1+x N¨aide 1.9. Vaatleme funktsiooni y = x ln . 1-x 1+x Funktsioon f (x) = x on paaritu, funktsioon g(x) = ln on n¨aite 1-x 4 p~ohjal samuti paaritu, j¨arelikult nende korrutis, st antud funktsioon on paaris. Definitsioon 1.6. Funktsiooni y = f (x) nimetatakse perioodiliseks, kui selline reaalarv T = 0, et x X korral
f (x + T ) = f (x).
Siin on eeldatud, et ka x + T X. V¨ahimat positiivset sellist reaalarvu (kui see eksisteerib) nimetatakse funktsiooni perioodiks . Selle definitsiooni esimese poole p~ohjal on siinusfunktsioon perioodiline, sest definitsioonis n~outud reaalarvuks T sobivad 4, 10, -6 jne. V¨ahimaks
8 positiivseks selliseks reaalarvuks on aga 2, mis on definitsiooni p~ohjal sii- nusfunktsiooni perioodiks. Koosinusfunktsiooni perioodiks on samuti 2, tan- gensfunktsiooni perioodiks on . Trigonomeetrilised funktsioonid ei ole kaugeltki mitte ainsateks perioodi- listeks funktsioonideks. Defineerime nn "saehamba"funktsiooni x - n, kui nx f (x2 ).
9 y
f (x2 )
f (x1 )
x1 x2 x
Joonis 1.11: kasvav funktsioon y
f (x1 )
f (x2 )
x1 x2 x
Joonis 1.12: kahanev funktsioon
Seega funktsiooni nimetatakse kasvavaks, kui kahest m¨a¨aramispiikonnast v~otud argumendi v¨a¨artusest suuremale vastab v¨aiksem funktsiooni v¨a¨artus. Definitsioon 1.10. Funktsiooni y = f (x) nimetatakse monotoonselt ka- hanevaks, kui kui kahe mis tahes argumendi x1 , x2 X korral, mis rahulda- vad tingimudt x1 Konstantne funktsioon on esitatud definitsioonide p~ohjal samaaegselt nii monotoonselt kasvav kui ka monotoonselt kahanev.
1.1.4 P¨ o¨ ordfunktsioon N¨aites 1.1 esitatud tabel seab igale x v¨a¨artusele vastavusse y v¨a¨artuse. T¨apselt samuti aga seab see tabel igale y v¨a¨artusele vastavusse x v¨a¨artuse, st muutuja y on selles tabelis vaadeldav argumendina ja muutuja x funktsioonina . N¨aites 1.2 esitatud graafik seab teatud piirkonnas igale y v¨aa¨rtusele vasta- vusse u¨he, kaks v~oi kolm muutuja x v¨a¨artust. Funktsiooni laiendatud m~oiste kohaselt on muutuja x vaadeldav muutuja y funktsioonina.
10 x N¨ aide 1.10. Anal¨ uu ¨tiline funktsioon y = seab igale x v¨a¨artusele x+1 vastavusse y v¨a¨artuse. Avaldades sellest v~ordusest muutuja x saame, et x = y , st muutuja y v¨a¨artustele seab see v~ ordus vastavusse muutuja x v¨a¨artuse. 1-y Peale selle, et muutuja y on muutuja x funktsiooniks, on muutuja x vaadeldav muutuja y funktsioonina. J¨arelikult on iga eeskirjaga (tabeliga, graafikuga, anal¨ uu ¨ tilise avaldisega) m¨a¨aratud kaks funktsiooni, millest teist nimetatakse esimese p¨o¨ordfunktsiooniks. Edaspidi hakkame funktsiooni y = f (x) p¨o¨ordfunktsiooni t¨ahistama x = (y). Sellises t¨ahistuses langevad p¨oo¨rdfunktsiooni ja selle p¨oo¨rdfunktsiooni graafikud kokku. Tavaliselt aga t¨ahistatakse p¨o¨ordfunktsioonis argument uues- ti x-ga ja funktsioon y-ga ning p¨o¨ordfunktsioon esitatakse y = (x). Kui antud funktsiooni y = f (x) graafikule kuulub punkt koordinaatidega (x; y), siis p¨o¨ordfunktsiooni graafikule kuulub punkt koordinaatidega (y; x). Teise punkti saame esimesest , peegeldades seda koordinaattasandi I ja III veerandi nurgapoolitaja (sirge y = x) suhtes. J¨arelikult: p¨o¨ordfunktsiooni y = (x) graafiku saame antud funktsiooni y = f (x) graafiku peegeldamise teel sirge y = x suhtes. Vaatleme n¨aiteid. N¨ aide 1.11. Olgu antud funktsiooniks ruutfunktsioon y = x2 , mille graa- fik on esitatud joonisel 1.5. Avaldades v~ordusest muutuja x, saame p¨ oo ¨ rdfunktsiooniks x = ± y ja p¨arast t¨ahistuse vahetamist y = ± x. Selle p¨o¨ordfunktsiooni graafikuks on funktsiooni y = x2 graafiku peegeldus sirge y = x suhtes (joonis 1.13). y x
4 = y x2 y=
x 2 y=
-2 2 4 x y = - x -2
Joonis 1.13: funktsioon y = x2 ja selle p¨oo¨ rdfunktsioon
11 N¨aide 1.12. Olgu antud funktsiooniks eksponentfunktsioon y = 2x . Siit muutuja x = log2 y ja p¨arast t¨ahistuse vahetamist y = log2 x. Eksponent- funktsiooni p¨o¨ordfunktsiooniks on logaritmfunktsioon . y
x 2x
= y 4
y= x 2 log 2 y=
-2 2 4 x
-2
Joonis 1.14: funktsioon y = 2x ja selle p¨oo¨rdfunktsioon y = log2 x
Eraldame siinusfunktsioonist y = sin x osa, mille m¨aa¨ramispiirkond on - ; (joonis 1.15). 2 2 y
1
- 2 x 2
-1
Joonis 1.15: funktsioon y = sin x l~oigul - ; 2 2
Antud juhul vastab igale muutuja y [-1; 1] v¨a¨artusele u ¨ks muutuja x v¨aa¨rtus. Seda p¨o¨ordfunktsiooni t¨ahistatakse x = arcsin y. P¨arast t¨ahistuse muutmist saame funktsiooni y = sin x, x - ; p¨oo¨rdfunktsiooni y = 2 2 arcsin x. Selle funktsiooni m¨a¨aramispiirkond on X = [-1; 1] ja muutumis- piirkond Y = - ; . 2 2
12 y 2
-1 1 x
- 2
Joonis 1.16: funktsioon y = arcsin x
Avaldades v~ordusest y = sin x muutuja x, saame y [-1; 1] korral x = (-1)n arcsin y + n, n Z. Vahetades t¨ahistuse, saame l~opmatult mitmese funktsiooni y = (-1)n arcsin x + n, n Z, mida t¨ahistatakse y = Arcsin x y 2
x -1 1
-2
Joonis 1.17: funktsioon y = Arcsin x
Eraldame koosinusfunktsioonist osa, mille m¨a¨aramispiirkond on [0; ] (joo- nis 1.18). Igale y [-1; 1] v¨a¨artusele vastab u ¨ks muutuja x v¨a¨artus. Seda funtksioo- ni t¨ahistatakse x = arccos y. P¨arast t¨ahistuse vahetamist saame funktsioo- ni y = arccos x, mille m¨a¨aramispiirkond X = [-1; 1] ja muutumispiirkond Y = [0; ].
13 y
1
x
-1
Joonis 1.18: funktsioon y = cos x l~oigul [0; ] y
2
-1 1 x
Joonis 1.19: funktsioon y = arccos x
Funktsioonide y = arcsin x ja y = arccos x vahel kehtib x [-1; 1] puhul seos arcsin x + arccos x = 2 Avaldades v~ordusest y = cos x muutuja x, saame x = ± arccos y + 2n, n Z. P¨arast t¨ahistuse vahetamist saadud l~opmatult mitmest funkt- siooni y = ± arccos x + 2n, n Z t¨ahistatakse y = Arccos x. Eraldame tangensfunktsioonist osa, mille m¨a¨aramispiirkond on vahemik - ; . Selle funktsiooni graafikuks on koordinaatide alguspunkti l¨abiv 2 2 tangensfunksiooni haru (joonis 1.9). Sellise funktsiooni puhul vastab igale y (-; ) v¨a¨artusele parajasti u ¨ks muutuja x v¨a¨artus vahemikust - ; 2 2 ja seda t¨ahistatakse x = arctan y. P¨arast t¨ahistuse vahetamist saame y = tan x, x - ; , p¨o¨ordfunktsiooni y = arctan x. Selle m¨a¨aramispiirkond 2 2
14 y 2
x -1 1
-2
Joonis 1.20: funktsioon y = Arccos x
X = (-; ) ja muutumispiirkond - ; . 2 2 y 2
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 x
- 2
Joonis 1.21: funktsioon y = arctan x Avaldades v~orrandist y = tan x muutuja x, saame x = arctan y + n, n Z. Vahetades t¨ahistuse, saame funktsiooni y = tan x l~opmatult mitmese p¨o¨ordfunktsiooni y = arctan x+n, n Z, mida t¨ahistataskse y = Arctan x. Lisame juba vaadeldud trigonomeetrilistele funtksioonidele veel neljanda y = cot x. Graafik on esitataud joonisel 1.22 Eraldame funktsioonist y = cot x v¨alja haru m¨a¨aramispiirkonnaga (0; ). Sellel harul vastab igale y (-; ) v¨a¨artusele u ¨ks muutuja x v¨a¨artus. Seda funtksiooni t¨ahistatakse x = arccot y. P¨arast t¨ahistuse muutmist on funkt- siooni y = cot x, x (0; ) p¨o¨ordfunktsiooniks y = arccot x. Selle funktsiooni m¨a¨aramispiirkond X = (-; ) ja muutumispiirkond Y = (0; ).
15 y
1
- 2 x -2 - 32 - 2 3 2 2 -1
Joonis 1.22: funktsioon y = cot x y
2
-4 -2 2 4 x
Joonis 1.23: funktsioon y = arccot x
Funktsioonide y = arctan x ja y = arccot x vahel kehtib x (-; ) korral seos arctan x + arccot x = . 2 Avaldades v~orrandist y = cot x muutuja x, saame x = arccot y + n, n Z. Vahetades t¨ahistuse, saame funktsiooni y = cot x l~opmatult mitmese p¨o¨ordfunktsiooni y = arccot x + n, n Z, mida t¨ahistataskse y = Arccot x.
1.1.5 Hu ¨ perboolsed funktsioonid ja nende p¨ o¨ ordfunktsioonid Paele vaadeldud p~ohiliste elementaarfunktsioonide vaadeldakse matemaati - lises anal¨ uu¨sis veel nn h¨ uperboolseid funktsioone ja nende p¨o¨ordfunktsioone, nn areafunktsioone. H¨ uperboolsed funktsioonid ja areafunktsioonid avaldu- vad juba vaadeldud p~ohiliste elementaarfunktsioonide kaudu.
16 H¨uperboolseteks funktsioonideks on h¨uperboolne siinus , h¨ uperboolne koo- sinus , h¨ uperboolne tangens ja h¨ uperboolne kootangens . H¨uperboolne siinus y = sh x on defineeritud kui ex - e-x sh x = . 2 H¨ uperboolse siinuse graafik on esitatud joonisel 1.24. Funktsiooni m¨a¨aramispiirkond X = (-; ) ja muutumispiirkond Y = (-; ). y
4
2
-2 2 x
-2
-4
Joonis 1.24: h¨ uperboolne siinus y = sh x
H¨ uperboolne koosinus y = ch x on defineeritud kui ex + e-x ch x = . 2 H¨ uperboolse koosinuse graafik on joonisel 1.25. Selle funktsiooni m¨a¨aramispiirkond X = (-; ) ja nmuutumispiirkmond Y = [1; ). H¨uperboolse siinuse ja koosinuse jaoks kehtib rida analoogilisi seoseid , mis on tuttavad trigonomeetriliste siinuse ja koosinuse korral. · ch2 x - sh2 x = 1; · sh 2x = 2 sh x ch x; · ch 2x = ch2 x + sh2 x. H¨ uperboolne tangens y = th x on defineeritud kui sh x ex - e-x th x = = x . ch x e + e-x
17 y
4
2
x -2 2
Joonis 1.25: h¨ uperboolne koosinus y = ch x
H¨ uperboolse tangensi graafik on joonisel 1.26. Selle funktsiooni m¨a¨aramispiirkond on X = (-; ) ja muutumispiirkond Y = (-1; 1). y 1
-2 2 x
-1
Joonis 1.26: h¨ uperboolne tangens y = th x
H¨ uperboolne kootangens y = cth x on defineeritud kui 1 ch x ex + e-x cth x = = = x . th x sh x e - e-x H¨uperboolse kootangensi graafik on joonisel 1.27. Selle funktsiooni m¨a¨aramispiirkond on X = (-; 0) (0; ) ja muutumispiirkond Y = (-; -1) (1; ). Leiame funktsiooni y = sh x p¨o¨ordfunktsiooni. Selleks avaldame v~orran- ex - e-x dist y = muutuja x. Korrutades v~orrandi m~olemad pooled suuru- 2 sega 2e saame e - 2yex - 1 = 0, st ruutv ~orrandi ex suhtes, millest x 2x
ex = y + y 2 + 1.
18 y
1
-2 2 x
-1
Joonis 1.27: h¨ uperboolne kootangens y = cth x
Miinusm¨ark juure ees ei ole v~oimalik, sest y - y 2 + 1 on negatiivne, aga x e negatiivne ei saa olla. Avaldame viimasest v~ordusest x = ln(y + y 2 + 1). Vahetades t¨ahistuse, saame funktsiooni y = sh x p¨o¨ordfunktsiooniks y = ln(x + x2 + 1). Seda funkrtsiooni nimetatakse areasiinuseks ja t¨ahistatakse y = arsh x. ex + e-x Avaldades samal viisil v~orrandist y = muutuja x, saame x = 2 ln(y+ y 2 - 1).Vahetades t¨ahistuse saame, et funktsiooni y = ch x p¨o¨ordfunktsiooniks on y = ln(x + x2 - 1), mida nimetatakse areakoosinuseks ja t¨ahistatakse y = arch x. ex - e-x 1 1+y Avaldame v~orrandist y = x -x muutuja x. Tulemuseks on x = ln . e +e 2 1-y P¨arast t¨ahistuse vahetamist saame funktsiooni y = th x p¨o¨ordfunktsiooniks 1 1+x y = ln , mida nimetatakse areatangensiks ja t¨ahistatakse y = arth x. 2 1-x
1.1.6 Liitfunktsioon Oletame, et argumendile x X on vastavusse seatud muutuja u v¨aa¨rtus,
u = g(x),
st u on muutuja x funktsioon ja omandab v¨a¨artusi hulgast U Muutuja u U v~oib omakorda olla argumendiks mingile teisele funktsioonile, st
y = f (u).
19 Kui asendada u muutuja x kaudu viimasesse funktsiooni, saame liitfunkt- siooni y = f [g(x)]. Funktsioone u = g(x) ja y = f (u) nimetatakse liitfunktsiooni komponent - funktsioonideks ehk komponentideks. Seejuures funktsiooni u = g(x) nimeta- takse seesmiseks ja funktsiooni y = f (u) v¨aliseks. N¨aide 1. Liitfunktsiooni y = 1 - x2 komponendid on seesmine funkt- sioon u = 1 - x2 ja v¨aline funktsioon y= u. 1+x 1 N¨aide 2. Kui koostada komponentidest u = ja y = ln u liit- 1-x 2 funktsioon, saame 1 1+x y = ln , 2 1-x st funktsiooni y = arth x. On olemas liitfunktsioone, millel on komponente rohkem kui kaks. Kui u on x funktsioon, u = h(x), muutuja v on u funktsioon v = g(u) ja muutuja y on v funktsioon
t = f (v),<. Analoogilisel viisil saab defineerida nelja, viie ja enam komponendiga liit- funktsioonid. N¨aide 3. Koostame komponentidest u = cos x, v = log u ja y = v liitfunktsiooni ja leiame selle m¨a¨aramispiirkonna. Asendades teise funktsiooni u, ssame v = log cos x ja asendades selle omakorda kolmandasse, saame
y= log cos x.
20 M¨aa¨ramispiirkonna leidmiseks kirjutame tingimuse
log cos x 0
ehk cos x 1. Viimane tingimus on v~oimalik ainult juhul, kui cos x = 1, millest x = 0, ±2, ±4, . . ., st m¨aa¨ramispiirkond koosneb u ¨
21 1.2 Piirv¨ a¨ artus 1.2.1 Jada piirv¨ a¨ artus Reaalarvude hulga ja arvtelje punktide hulga vahel on u ¨ks¨ uhene vastavus. Edaspidi kasutame samas t¨ahenduses m~oisteid reaalarv a ja arvtelje punkt a. Kahe reaalarvu a ja b vaheliseks kauguseks on |b - a|. Samuti on |b - a| arvtelje punktide a ja b vaheliseks kauguseks. Definitsioon 1.1. Punkti a u ¨mbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (a - ; a + ), st vahemikku, mis on punkti a suhtes s¨ummeetriline. Olgu vaatluse all jada
y1 , y2 , y3 , ..., yn , .... (1.1)
Definitsioon 1.2. Reaalarvu b nimetatakse jada (1.1) piirv¨a¨artuseks, kui > 0 korral leidub niisugune jada indeks N , et niipea, kui n > N , siis |yn - b| 0 korral on v~oimalik leida niisugune jada liige, p¨arast mida on k~oik jada liikmed reaalarvule b l¨ahemal kui Definitsioonis esitatud tingimuse |yn -b| arne sellega, et jada liige yn kuulub b u ¨mbrusesse, st yn (b-; b+). Seega on v~oimalik jada piirv¨a¨artuse definitsioon 2 u ¨ mber s~onastada u¨mbruse m~oistet kasutades. Definitsioon 1.2'. Reaalarvu b nimetatakse jada (1.1) piirv¨a¨artuseks, kui iga u¨mbruse (b - ; b + ) korral leidub niisugune jada indeks N , et niipea kui n > N , siis yn (b - ; b + ). Viimase definitsiooni kohaselt on reaalarv b jada (1.1) piirv¨a¨artuseks, kui u ¨ mbruse (b - ; b + ) korral on v~oimalik leida niisugune jada liige, p¨arast mida k~oik jada liikmed kuuluvad b u ¨mbrusesse. N¨aide 1.1. Vaadeldes jada 1 2 3 n ; ; ; ...; ; ..., 2 3 4 n+1 paneme t¨ahele, et mida kaugemale jadas minna, seda 1-le l¨ahedasema suuruse saame. Uurime, mitmendast liikmest alates on jada liikmed 1-le l¨ahemal kui n = 0, 01, st - 1 1 n-n-1 1 Teisendades saame, et 100, st n > 99. J¨arelikult on p¨arast 99. liiget (st alates 100.-st liikmest) k~oik vaadeldava jada liikmed 1-le l¨ahemal kui 0,01. Uurime, mitmendast liikmest alates on jada liikmed 1-le l¨ahemal kui n = 0, 001, - 1 999, st p¨arast 999. liiget on jada liikmed u ¨hele l¨ahemal kui 0,001. T¨aiesti suvalise > 0 korral n - 1 ehk n > - 1 Reaalarvu a t¨aisosa t¨ahistatakse [a]. Seda t¨ahistust kasutades saame j¨areldada, 1 et k~oik jada liikmed, mis j¨argnevad liikmele indeksuga N = - 1, on 1-le l¨ahemal kui . Asjaolu, et antud jada piirv¨a¨artus v~ordub 1-ga, kirjutatakse n lim = 1. n n + 1
¨ Uldisemalt, kui jada (1.1) piirv¨a¨artus on b, siis kirjutatakse lim yn = b. n
Jada piirv¨a¨artuse leidmisel on seega k¨usimus p¨ ustitatud u ¨htemoodi: mis- sugusels reaalarvule hakkavad l¨ahenema jada liikmed minnes selles jadas u ¨ha kaugemale (suurematele indeksitele). N¨aide 1.2. T¨ uu ¨piliseks jadaks , millel piirv¨a¨artus puudub, on 1; -1; 1; -1; 1; . . . ; (-1)n+1 ; . . . (1.2) Siin paarituarvulise indeksiga jada liikmed on 1 ja paarisindeksiga jada liik- med on -1. Kui n¨ uu ¨d oletada, et jada (1.2) piirv¨a¨artus on n¨aiteks kahe j¨arjestikuse liikme aritmeetiline keskmine, st 0, siis jada piirv¨a¨artuse definitsiooni koha- selt peaks > 0 korral alates teatud jada liikmest kehtima tingimused |1 - 0| 2 1.2.2 Funktsiooni piirv¨ a¨ artus Jada piirv¨a¨artuse korral saame r¨a¨akida ainult u¨hest piirprotsessist n . Funktsiooni f (x) piirv¨a¨artust v~oib defineerida suvalise piirprotsessi x a, sealhulgas ka piirprotsessi x ± korral. Funktsiooni piirv¨a¨artuse defineerimisel kasutame kaht (v¨aikest) positiiv- set suurust ja . Definitsioon 2.1. Reaalarvu b nimetatakse funktsiooni f (x) piirv¨a¨artuseks piirprotsessis x a, kui > 0 korral niisugune > 0, et kui |x - a| y f (x) y= y =b+
b y =b- x=a-
x=a+
a x
Joonis 1.1: Funktsiooni piirv¨a¨artus
Funktsiooni piirv¨a¨artust on ka v~oimalik defineerida u ¨mbruste kaudu. Definitsioon 2.1'. Reaalarvu b nimetatakse funktsiooni f (x) piirv¨a¨artuseks piirprotsessis x a, kui iga b u ¨mbruse (b - ; b + ) korral leidub a niisugune u ¨ mbrus (a - ; a + ), et kui x (a - ; a + ), siis f (x) (b - ; b + ). Kirjutatakse sel puhul lim f (x) = b. xa
Piirprotsessis x on funktsiooni piirv¨a¨artuse definitsioon sisuliselt jada piirv¨aa¨ rtuse definitsiooni kordus. Ainsaks erinevuseks on see, et jada
3 piirv¨aa¨rtuse puhul on n t¨aisarvuline muutuja, aga funktsiooni piirv¨a¨artuse korral on x reaalarvuline muutuja. Definitsioon 2.2. Reaalarvu b nimetatakse funktsiooni f (x) piirv¨a¨artuseks piirprotsessis x , kui > 0 korral niisugune N > 0, et kui x > N , siis |f (x) - b| Definitsioon 2.3. Reaalarvu b nimetatakse funktsiooni f (x) piirv¨a¨artuseks piirprotsessis x -, kui > 0 korral niisugune N > 0, et kui x ¨ Definitsioon 2.4. Oeldakse, et funktsiooni f (x) piirv¨a¨artuseks on piirprotsessis x a, kui N > 0 korral niisugune > 0, et kui |x - a| N . T¨ahistatakse lim f (x) = . xa
¨ Definitsioon 2.5. Oeldakse, et funktsiooni f (x) piirv¨a¨artuseks on - piirprotsessis x a, kui N > 0 korral niisugune > 0, et kui |x - a| Olgu N > 0. L~opmatuse u ¨mbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (N ; ) ja - u ¨mbruseks suvalist vahemikku (-; -N ). Definitsioonid 2, 3, 4 ja 5 on samuti v~oimalik s~onastada u ¨mbruste kaudu. N¨aiteks definitsiooni 4 u ¨mbers~onastus oleks j¨argmine. ¨ Definitsioon 2.4'. Oeldakse, et funktsiooni f (x) piirv¨a¨artuseks on piirprotsessis x a, kui iga l~opmatuse u ¨mbruse (N ; ) korral leidub niisu - gune a u¨mbrus (a - ; a + ), et kui x (a - ; a + ), siis f (x) (N ; ).
1.2.3 ¨ Uhepoolsed piirv¨ a¨ artused Punkti a vasakpoolseks u ¨mbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (a - ; a) ja punkti a parempoolseks u ¨mbruseks suvalist vahemikku (a; a + ) Definitsioon 3.1. Reaalarvu b1 nimetatakse funktsiooni f (x) vasakpool- seks piirv¨a¨artuseks piirprotsessis x a, kui b1 u ¨mbruse (b1 - ; b1 + ) korral a vasakpoolne u ¨mbrus (a - ; a), et kui x (a - ; a), siis f (x) (b1 - ; b1 + ).
4 T¨ahistatakse lim f (x) = b1 . xa-
Definitsioon 3.2. Reaalarvu b2 nimetatakse funktsiooni f (x) parem- poolseks piirv¨aa¨ rtuseks piirprotsessis x a, kui b2 u ¨mbruse (b2 - ; b2 + ) korral a parempoolne u ¨mbrus (a; a + ), et kui x (a; a + ), siis f (x) (b2 - ; b2 + ). T¨ahistatakse lim f (x) = b2 . xa+
Teoreem 3.1. Kui funktsioonil on olemas piirv¨a¨artus piirprotsessis x a, siis on olemas ka m~olemad u ¨hepoolsed piirv¨a¨artused ja need on v~ordsed. T~oestus. Oletame, et lim f (x) = b. Definitsiooni kohaselt b u ¨mbruse xa (b-; b+) korral leidub selline a u ¨mbrus (a-; a+), et kui x (a-; a+), siis f (x) (b - ; b + ). Aga nii juhul x (a - ; a) kui ka juhul x (a; a + ) x (a - ; a + ). Seega b u ¨mbruse (b - ; b + ) korral leidub selline a vasakpoolne u ¨mbrus (a - ; a), et kui x (a - ; a), siis f (x) (b - ; b + ) ja leidub a parempoolne u ¨mbrus (a; a + ), et kui x (a; a + ), siis f (x) (b - ; b + ), st lim f (x) = b xa-
ja lim f (x) = b. xa+
Teoreem 3.2. Kui funktsioonil on mingis piirprotsessis olemas u ¨hepoolsed piirv¨aa¨rtused ja need on v~ordsed, siis on funktsioonil olemas piirv¨a¨artus selles piirprotsessis. Kui u ¨hepoolsed piirv¨a¨artused ei ole v~ordsed, siis funktsioonil vaadeldavas piirprotsessis piirv¨a¨artust ei ole. |x| |x| N¨ aide 3.1. Leiame lim ja lim . x0- x x0+ x |x| Kui x 0-, siis x |x| lim = -1. x0- x
|x| Kui x 0+, siis x > 0 ja |x| = x, st = 1. Seega x |x| lim = 1. x0+ x
5 y ) y = f (x y = b2 +
b2 y = b2 -
y = b1 +
b1 y = b1 -
a x x) f( = y
¨ Joonis 1.2: Uhepoolsed piirv¨aa¨rtused
¨ Uhepoolsete piirv¨a¨artuste erinevusest j¨areldub, et ei ole olemas piirv¨a¨atrust |x| lim . x0 x
1 1 N¨ aide 3.2. Leiame lim arctan ja lim arctan . x0- x x0+ x 1 Kui x 0-, siis -, seega x 1 lim arctan = - . x0- x 2 1 Kui x 0+, siis , seega x 1 lim arctan = . x0- x 2 1 Siit teeme j¨arelduse, et pole olemas piirv¨a¨artust lim arctan . x0 x sin x N¨ aide 3.3. Funktsioon ei ole m¨a¨aratud, kui x = 0. x sin x sin x On v~oimalik t~oestada, et lim = 1 ja lim = 1. Seega x0- x x0+ x piirv¨a¨artus sin x lim = 1. x0 x
6 y
1 y = sin x x
-2 - 2 x
sin x Joonis 1.3: Funktsioon y = x
1.2.4 L~ opmatult kasvavad ja l~ opmatult kahanevad suurused Vaatleme funktsiooni ehk muutuvat suurust y = y(x) piirprotsessis x a (sh x ±). Definitsioon 4.1. Muutuvat suurust y nimetatakse l~opmatult kasvavaks piirprotsessis x a, kui lim |y| = , xa
st lim y = v~oi lim y = - xa xa 1 aide 4.1. Funktsioon y = on l~opmatult kasvav piirprotsessis x 0, N¨ x sest 1 lim = - x0- x
ja 1 lim = . x0+ x
N¨ aide 4.2. Funktsioon y = ln x on l~opmatult kasvav piirprotsessis x 0+, sest lim ln x = -, x0+
ja piirprotsessis x , sest
lim ln x = x
Definitsioon 4.2. Muutuvat suurust = (x) nimetatakse piirprotsessi x a l~opmatult kahanevaks, kui lim = 0. xa Teoreem 4.1. Muutuva suuruse y piirv¨a¨artus on b parajasti siis, kui see muutuv suurus avaldub b ja l~opmatult kahaneva suuruse summana, st
lim y = b y = b + xa
7 T~oestus. Tarvilikkus. Oletame, et lim y = b, st > 0 korral niisugune xa > 0, et kui |x - a| 0 korral niisugune > 0, et kui |x - a| 0 korral niisugune 1 > 0, et kui |x - a| 0 korral niisugune 2 > 0, et kui |x - a| Valides suuruseks suurustest 1 ja 2 v¨ saame, et kui |x - a| arkus . Teoreem 4.2 kehtib ka kolme, nelja v~oi enama l~opmatult kaha - neva liidetava korral. Definitsioon 4.3. muutuvat suurust y nimetatakse t~okestatuks punkti a u ¨ mbruses (a - ; a + ) kui niisugune konstant N > 0, et x (a - ; a + ) korral |y| 0, et punkti a u ¨mbruses |y| 0 korral niisugune > 0, et kui |x - a| 8 st y on l~opmatult kahanev suurus. J¨ areldus 4.4. Konstantse suuruse ja l~opmatult kahaneva suuruse korru - tis on l~opmatult kahanev suurus. See j¨areldub vahetult eelmisest j¨areldusest, sest konstantne suurus on t~okestatud. J¨ areldus 4.5. Kahe l~opmatult kahaneva suuruse korrutis on l~opmatult kahanev suurus, st kui ja on l~opmatult kahanevad suurused, siis ka on l~opmatult kahanev suurus. T~oestus j¨areldub sellest, et iga piirprotsessis x a l~opmatult kahanev suurus on a u ¨mbruses t~okestatud (ja t~okestatud v¨aikese suurusega ). Teoreem 4.6. L~opmatult kahaneva suuruse ja nullist erinevat piirv¨a¨artust omava suuruse jagatis on l~opmatult kahanev suurus, st kui on l~opmatult kahanev suurus ja lim y = b ning b = 0, siis on l~opmatult kahanev suurus. xa y T~oestus*. T~oestuses kasutame reaalarvude absoluutv¨a¨artuse omadust ||a| - |b|| |a - b|. Kui lim y = b siis > 0 korral niisugune > 0, et kui |x - a| Mainitud absoluutv¨a¨artuse omaduse p~ohjal ||y| - |b|| |b| - Siis p¨oo¨rdv¨a¨artuste korral on t¨aidetud tingimus 1 1 1 Et on suvaline positiivne suurus, siis v~oime valida = 0, 1|b|, mille korral 1 1 1 malt alampunktis 1.2.7.
9 1.2.5 Piirv¨ a¨ artusteoreemid Piirv¨aa¨rtusteoreemid v~oib jaotada kahte klassi. Esiteks tehetega seotud piirv¨aa¨rtusteoreemid ja teiseks nn j¨arjestusega seotud piirv¨a¨artusteoreemid. Alustame tehetega seotud piirv¨aa¨rtusteoreemidest. Selleks vaatleme piir- protsessis x a kahte muutuvat suurust y = y(x) ja z = z(x). Teoreem 5.1. Kahe muutuva suuruse summa piirv¨a¨artus on v~ordne nen- de suuruste piirv¨a¨artuste summaga :
lim (y + z) = lim y + lim z. xa xa xa
T~oestus. T¨ahistame lim y = b1 xa
ja lim z = b2 xa
Teoreemi 4.1 p~ohjal eksisteerivad niisugused l~opmatult kahanevad suuru- sed ja , et y = b1 + ja z = b2 + . J¨arelikult y + z = b1 + b2 + + . Teoreemi 4.2 p~ohjal on + l~opmatult kahanev suurus, seega, rakendades veel kord teoreemi 4.1, saame, et
lim (y + z) = b1 + b2 , xa
mida oligi tarvis t~oestada. Teoreem 5.2. Kahe muutuva suuruse korrutise piirv¨a¨artus on v~ordne nende suuruste piirv¨a¨artuste korrutisega:
lim yz = lim y · lim z. xa xa xa
T~oestus. T¨ahistame j¨alle lim y = b1 xa
ja lim z = b2 xa
Teoreemi 4.1 p~ohjal eksisteerivad niisugused l~opmatult kahanevad suuru- sed ja , et y = b1 + ja z = b2 + . J¨arelikult yz = (b1 + )(b2 + ), st yz = b1 b2 + b1 + b2 + . J¨arelduse 4.4 p~ohjal on b1 ja b2 l~opmatult kahanevad suurused. J¨arelduse 4.5 p~ohjal on l~opmatult kahanev suurus. Teoreemi 4.2 p~ohjal on = b1 + b2 + l~opmatult kahanev suurus. Seega
yz = b1 b2 + ,
10 kus on l~opmatult kahanev suurus ja teoreemist 4.1 j¨areldame, et
lim yz = b1 b2 , xa
mida, arvestades t¨ahistusi, oligi tarvis t~oestada. J¨ areldus 5.3. Konstantse suuruse saab tuua piirv¨a¨artuse ette, st kui c on konstant, siis lim cy = c lim y xa xa
T~oestus j¨areldub eelmisest teoreemist
lim cy = lim c · lim y xa xa xa
ja sellest, et konstantse suuruse piirv¨a¨artus v~ordub konstandi endaga lim c = c. xa J¨ areldus 5.4. Kahe muutuva suuruse vahe piirv¨aa¨rtus on v~ordne nende suuruste piirv¨a¨artuste vahega, st
lim (y - z) = lim y - lim z. xa xa xa
T~oestuseks kirjutame
lim (y - z) = lim (y + (-1)z) xa xa
Teoreemi 5.1 p~ohjal
lim (y + (-1)z) = lim y + lim (-1)z xa xa xa
ja j¨arelduse 5.3 p~ohjal
lim y + lim (-1)z = lim y - lim z xa xa xa xa
Teoreem 5.5. Kahe muutuva suuruse jagatise piirv¨a¨artus on v~ordne nen- de suuruste piirv¨a¨artuste jagatisega, kui nimetaja piirv¨a¨artus ei v~ordu 0-ga, st y lim y lim = xa , xa z lim z xa
kui lim z = 0. xa T~oestus*. T~oestuseks t¨ahistame taas
lim y = b1 xa
11 ja lim z = b2 = 0 xa Teoreemi 4.1 p~ohjal eksisteerivad niisugused l~opmatult kahanevad suuru- sed ja , et y = b1 + ja z = b2 + . Siis y b1 + b1 b1 + b1 = = + - z b2 + b2 b2 + b2 Viies kaks viimast murdu u ¨ hisele nimetajale, saame y b1 b1 b2 + b2 - b1 b2 - b1 b1 b2 - b1 = + = + (1.3) z b2 b2 (b2 + ) b2 b2 (b2 + ) Viimases jagatises on lugeja b2 + (-b1 ) j¨arelduse 4.4 ja teoreemi 4.2 p~ohjal l~opmatult kahanev suurus. Nimetaja b22 + b2 avaldub konstandi b22 ja l~opma- tult kahaneva suuruse b2 summana. Teoreemi 4.1 p~ohjal on nimetaja piirv¨a¨artus b22 = 0. Jagatis b2 - b1 b2 (b2 + ) kui l~opmatult kahaneva suuruse ja nullist erinevat piirv¨a¨artust omava suuruse jagatis on teoreemi 4.6 p~ohjal l~opmatult kahanev suurus. J¨arelikult v~orduses y b1 b2 - b1 (1.3) avaldub suhe konstandi ja l~opmatult kahaneva suuruse z b2 b2 (b2 + ) summana. Teoreemi 4.1 p~ohjal y b1 lim= , xa z b2 mida oligi tarvis t~oestada. J¨atkame nn j¨arjestusega seotud piirv¨a¨artusteoreemidega. Teoreem 5.6. Mittenegatiivse suuruse piirv¨a¨artus antud piirprotsessis on mittenegatiivne, st kui muutuv suurus y 0 punkti a mingis u ¨mbruses ja lim y = b, siis b 0. xa T~oestus. Oletame vastuv¨aiteliselt, et lim y = b |b|. Kui valida positiivne nii, et 12 J¨argmise teoreemi jaoks vaatleme piirprotsessis x a kolme muutuvat suurust u = u(x), v = v(x) ja w = w(x). Teoreem 5.8. Kui punkti a mingis u ¨mbruses u w v ja v~ordsed piirv¨a¨artused lim u = b ning lim v = b, siis ka lim w = b xa xa xa T~oestus. Kui u w ja w v, siis teoreemi 5.7 p~ohjal lim u lim w ja xa xa lim w lim v. Eelduse j¨argi lim u = b ning lim v = b, seega xa xa xa xa
b lim w b, xa
j¨arelikult lim w = b, mida oligi tarvis t~oestada. xa Teoreem 5.9. Piirprotsessis x a monotoonselt kasvaval (kahaneval) t~okestatud suurusel on olemas l~oplik piirv¨a¨artus selles protsessis. N¨aide 5.1. Funktsioon y = arctan x on kasvav piirprotsessis x , samuti t~okestatud, sest x R korral | arctan x| 1.2.6 Arv e n 1 Vaatleme jada, mille u ¨ldliige yn = 1+ , st jada n n 9 64 625 1 2, , , , ..., 1 + ,... (1.4) 4 27 256 n N¨aitame, et see jada on t~okestatud ja kasvav. Newtoni binoomvalemi abil n 1 1 n(n - 1) 1 n(n - 1) . . . (n - k + 1) 1 1 yn = 1+ =1+n· + · 2 + ... + k + ... + n = n n 2! n k! n n 1 1 1 1 k-1 1 1 + 1 + (1 - ) + . . . + (1 - ) . . . (1 - ) + ... + n st jada on t~okestatud. Kasutades yn jaoks tehtud teisendusi, saame 1 1 1 1 k-1 1 yn+1 = 2+ (1- )+. . .+ (1- ) . . . (1- )+. . .+ 2! n+1 k! n+1 n+1 (n + 1)n+1
13 i i i i Sellest, et > i = 1, . . . , k - 1 j¨areldub, et 1 - Euleri arvuks ja t¨ahistatakse n 1 lim 1+ =e n n
Kui x > 0 on suvaline reaalarv, siis leidub niisugune naturaalarv n, et n x x3 - 3x2 + 2 = 0
¨ks lahend , sest funktsioon f (x) = x3 - 3x2 + 2 on on l~oigul [0; 2] v¨ahemalt u pidev kogu reaalarvude hulgal, kaasa arvatud l~oigul [0; 2] ja f (0) = 2 ning f (2) = -2. Kuigi antud kontekstis pole see oluline, on lihtne kontrollida, et selleks lahendiks on x = 1.
23 2.1 Funktsiooni tuletise m~ oiste. Tuletise geomeetriline ja mehaaniline t~ olgendus Olgu antud funktsioon y = f (x). Fikseerime selle funktsiooni m¨a¨aramispiirkonnas u ¨he vabalt valitud punkti x. L¨ahtudes sellest fikseeritud v¨a¨artusest, suuren - dame argumenti x muudu x v~orra. Argumendi muudu v~orra erinevas punk - tis on argumendi v¨a¨artuseks x + x. Funktsiooni v¨a¨artus selles punktis on f (x + x). Funktsiooni v¨a¨artus muutub y = f (x + x) - f (x) v~orra. Suu- rust y nimetatakse argumendi muudule x vastavaks funktsiooni muuduks. Definitsioon 1 Funktsiooni muudu ja argumendi muudu suhte piirv¨a¨artust argumendi muudu l¨ahenemisel nullile nimetatakse funktsiooni tuletiseks ko- hal x ja t¨ahistatakse f (x). Seega definitsiooni kohaselt y f (x) = lim . (2.1) x0 x
Funktsiooni tuletist f (x) t¨ahitatakse veel y . Need on nn Newtoni t¨ahistused. dy df Peale selle on kasutusel Leibnizi t¨ahistused ja . dx dx Definitsioon 2 Funktsiooni, millel on olemas tuletis kohal x, nimetatakse diferentseeruvaks kohal x. Tuletise geomeetriliseks t~olgenduseks vaatleme mingisugust funktsiooni y = f (x) graafikut . y
Q f (x + x)
f (x) P R
x x + x x
Joonis 2.1: tuletise geomeetriline t~olgendus
Argumendi v¨a¨artusele x vastab graafiku punkt P ja v¨a¨artusele x + x punkt Q. T~ombame l¨abi punktide P ja Q graafiku l~oikaja. L~oikaja t~ousunurga
1 t¨ahistame -ga. T¨aisnurkses kolmnurgas P RQ nurk tipu P juures on sel juhul samuti . Selle nurga vastaskaateti RQ pikkus on y ja l¨ahiskaateti P R pikkus x. Seega y tan = x st funktsiooni muudu ja argumendi muudu suhe t¨ahendab l~oikaja P Q t~ousu. Kui n¨ uu ¨d x 0, siis x + x x, seega graafikul Q P ja l~oikaja P Q hakkab l¨ahenema funktsiooni graafikule punktis P t~ommatud puutujale. Puutuja t~ousunurk ja funktsiooni tuletis y f (x) = lim = lim tan = tan x0 x
t¨ahendab geomeetriliselt funktsiooni graafikule punktis abstsissiga x t~ omma - tud puutuja t~ousunurga tangensit ehk puutuja t~ousu. Kui vaatleme muutujat x ajana, siis kirjeldab funktsioon y = f (x) min- gisugust ajas kulgevat protsessi, n¨aiteks sirgjoonelist liikumist. Ajahetkel x on liikuv objekt punktis f (x) ja ajahetkel x + x punktis f (x + x). Seega y ajavahemiku x jooksul on objekt liikunud y v~orra. Suhe t¨ahendab x objekti keskmist liikumiskiirust ajavahemiku x jooksul. Mida v¨aiksem on ajavahemik x, seda t¨apsemalt iseloomustab see keskmine kiirus objekti lii- kumiskiirust ajahetkel x. Seega piirv¨a¨artus x l¨ahenemisel 0-le, st funkt- siooni tuletis kohal x kujutab endast objekti liikumiskiirust ajahetkel x. See arutlus on u¨le kantav mistahes protsessile. Kui see protsess on kirjeldatav funktsiooniga y = f (x), siis f (x) t¨ahendab selle protsessi muutumiskiirust hetkel x.
2.2 Pidevus ja diferentseeruvus Selle alampunkti eesm¨argiks on n¨aidata, et funktsiooni diferentseeruvusest antud punktis j¨areldub alati pidevus selles punktis ja et vastupidine v¨aide ei kehti. Toome n¨aite funktsioonist, mis antud punktis on pidev, kuid mitte diferentseeruv . Teoreem 2.1. Kui funktsioon y = f (x) on diferentseeruv kohal x, siis on see ka pidev kohal x. T~oestus. Olgu funktsioon y = f (x) diferentseeruv kohal x, st f (x) = y lim . N¨aitame, et kehtib funktsiooni pidevuseks tarvilik ja piisav tingi - x0 x mus. Selleks leiame y y lim y = lim x = lim lim x = f (x) · 0 = 0, x0 x0 x x0 x x0
2 mida oligi tarvis t~oestada. J¨argnev n¨aide aga t¨ahendab, et funktsiooni pidevusest diferentseeruvust ei j¨areldu. Vaatleme funktsiooni y = |x| punktis x = 0. Selles punktis on funktsiooni muut y = |0 + x| - |0| = |x|. Seega
lim y = lim |x| = 0, x0 x0
st pidevuseks tarvilik ja piisav tingimus kohal x = 0 on t¨aidetud. Leides aga u ¨hepoolsed piirv¨a¨artused |x| lim = -1 x0- x ja |x| lim = 1, x0+ x |x| n¨aeme, et puudub piirv¨a¨artus lim , st funktsioonil y = |x| puudub x0 x tuletis kohal x = 0.
2.3 Mo~ nede po ~hiliste elementaarfunktsioonide tuleti- sed Selles alampunktis leiame definitsiooni (2.1) abil elementaarfunktsioonide tu- letisi. Alustame konstantsest funktsioonint y = c. Siis f (x) = c ja f (x + 0 x) = c ning y = c - c = 0. Konstandi tuletis c = limx0 = 0. Siit x saame esimese reegli: konstandi tuletis v~ordub nulliga:
c = 0.
Teiseks vaatleme naturaalarvulise astendajaga astmefunktsiooni y = xn . Antud juhul f (x) = xn , f (x + x) = (x + x)n ja funktsiooni muut y = (x + x)n - xn . Newtoni binoomvalemi abil
y = xn + nxn-1 x + Cn2 xn-2 x2 + ... + xn - xn = nxn-1 x + Cn2 xn-2 x2 + ... + xn .
Siit y = nxn-1 + Cn2 xn-2 x + ... + xn-1 . x ja y (xn ) = lim = nxn-1 , x0 x
3 sest k~oik liidetavad alates teisest sisaldavad x positiivse astendajaga astet. Teine tuletise leidmise reegel on seega:
(xn ) = nxn-1 . (2.2) Kolmandaks y = x. Leiame funktsiooni muudu y = x + x - x ja tuletise definitsiooni kohaselt x + x - x ( x + x - x)( x + x + x) ( x) = lim = lim = x0 x x0 x( x + x + x) x + x - x 1 1 1 1 lim = lim = = x- 2 . x0 x( x + x + x) x0 x + x + x 2 x 2 1 Neljandaks y = . Leiame funktsiooni muudu, x 1 1 x - x - x x y = - = =- x + x x x(x + x) x(x + x) ja tuletise definitsiooni j¨argi
1 -1 1 = lim = - 2 = -x-2 . x x0 x(x + x) x Viimased kaks n¨aidet viitavad sellele, et astmefunktsiooni tuletise valem (2.2) kehtib mitte ainult naturaalarvulise astendaja korral vaid ka negatiivsete ja murruliste astendajate puhul. Viiendaks y = sin x. Leiame funktsiooni muudu y = sin(x + x) - sin x = sin x cos x + cos x sin x - sin x = cos x sin x - sin x(1 - cos x). Tuletise definitsiooni abil saame piirv¨a¨artuse omadusi kasutades, et cos x sin x - sin x(1 - cos x) (sin x) = lim = x0 x cos x sin x sin x(1 - cos x) = lim - = x0 x x sin x 1 - cos x = cos x lim - sin x lim = x0 x x0 x (1 - cos x)(1 + cos x) = cos x - sin x lim = x0 x(1 + cos x) sin2 x = cos x - sin x lim = x0 x(1 + cos x) sin x sin x = cos x - sin x lim · = cos x - sin x · 0 = cos x. x0 x 1 + cos x
4 Seega (sin x) = cos x. Samalaadsete teisenduste abil saab tuletise definitsioonist , et (cos x) = - sin x. Seitsmendaks leiame naturaallogaritmi y = ln x tuletise. Fikseerime funkt- siooni m¨a¨aramispiirkonnas u ¨he argumendi v¨a¨artuse x > 0 ja leiame funkt- x + x x siooni muudu y = ln(x + x) - ln x = ln = ln 1 + . Tuletise x x definitsiooni p~ohjal 1 1 x x x (ln x) = lim ln 1 + = lim ln 1 + . x0 x x x0 x x Argumendi v¨aa¨rtus x > 0 on fikseeritud ja x 0, seega ja x x 1 1 x x (ln x) = x lim ln 1 + x = x x 1 x x 1 x 1 1 = lim ln 1+ x = ln e x = . x x x x
J¨arelikult 1 (ln x) = . x ¨ a¨anud p~ohiliste elementaarfunktsioonide tuletised leiame j¨argmistes Ulej¨ alampunktides.
2.4 Diferentseerimisreeglid Funktsiooni tuletise leidmist nimetatakse funktsiooni diferentseerimiseks, diferentseerimisreeglid on tuletise leidmise reeglid. Olgu meil antud kaks funktsiooni u = u(x) ja v = v(x), mille kohta eeldame, et m~olemad on diferentseeruvad kohal x. Teoreem 4.1. Funktsioonide summa tuletis on v~ordne nende funktsioo- nide tuletiste summaga:
[u(x) + v(x)] = u (x) + v (x).
5 T~oestus. T¨ahistame summa y(x) = u(x) + v(x). Siis
y = u(x + x) + v(x + x) - [u(x) + v(x)] = = u(x + x) - u(x) + v(x + x) - v(x) = u + v
ja piirv¨a¨artuse omaduste t~ottu u + v u v y (x) = lim = lim + lim = u (x) + v (x). x0 x x0 x x0 x
Teoreem 4.2. Funktsioonide korrutise tuletis on
[u(x)v(x)] = u (x)v(x) + u(x)v (x).
T~oestus. T¨ahistame korrutise y(x) = u(x)v(x). Siis
y = u(x + x)v(x + x) - u(x)v(x) = = u(x + x)v(x + x) - u(x)v(x + x) + u(x)v(x + x) - u(x)v(x) = = [u(x + x) - u(x)]v(x + x) + u(x)[v(x + x) - v(x)] = = u · v(x + x) + u(x)v.
Piirv¨aa¨rtuse omaduste t~ottu u · v(x + x) + u(x)v y (x) = lim = x0 x u v = lim lim v(x + x) + u(x) lim . x0 x x0 x0 x
Eelduse kohaselt on funktsioon v(x) diferentseeruv kohal x. Teoreemi 2.1 p~ohjal on v(x) ka pidev kohal x. Seega pidevuse kolmandast tingimusest lim v(x + x) = v(x). J¨arelikult y (x) = u (x)v(x) + u(x)v (x). x0
N¨ aide 1. Leiame funktsiooni y = x sin x + cos x tuletise
y = (x sin x + cos x) = (x sin x) + (cos x) = = x sin x + x(sin x) - sin x = sin x + x cos x - sin x = x cos x.
J¨ areldus 4.3. Konstantse teguri saab tuua tuletise m¨argi alt v¨alja:
[c · u(x)] = c · u (x).
T~oepoolest teoreemi 4.2 p~ohjal [c · u(x)] = c · u(x) + c · u (x) = c · u (x).
6 Selle j¨arelduse abil saame j¨arjekordse p~ohilise elementaarfunktsiooni y = loga x (a > 0, a = 1) tuletise, kasutades selleks logaritmide aluse mut- ln x mise valemit loga x = . Saame ln a 1 1 1 1 1 (loga x) = ln x = (ln x) = · = . ln a ln a ln a x x ln a Seega 1 (loga x) = . x ln a J¨areldus 4.4. Kahe funktsiooni vahe tuletis on v~ordne nende funktsioo- nide tuletiste vahega:
[u(x) - v(x)] = u (x) - v (x).
P~ohjenduseks piisab , kui kirjutame k~oigepealt teoreemi 4.1 ja seej ¨arel j¨arelduse 4.3 p~ohjal, et [u(x) - v(x)] = [u(x) + (-1)v(x)] = u (x)+[(-1)v(x)] = u (x) - v (x). Teoreem 4.5. Jagatise tuletis on
u(x) u (x)v(x) - u(x)v (x) = , v(x) v 2 (x) eeldusel , et v(x) = 0. T~oestus. T¨ahistame jagatise u(x) y(x) = . v(x) Siis u(x) = y(x)v(x) ja korrutise tuletise leidmise reegli p~ohjal
u (x) = y (x)v(x) + y(x)v (x),
millest u (x) - y(x)v (x) y (x) = . v(x) Asendades y(x) jagatisega, saame u(x)v (x) u (x) - v(x) u (x)v(x) - u(x)v (x) y (x) = = , v(x) v 2 (x) mida oligi tarvis t~oestada.
7 Teoreemi 4.5 abil leiame funktsiooni y = tan x tuletise
sin x (sin x) cos x - sin x(cos x) cos2 x + sin2 x 1 (tan x) = = 2 = 2 = . cos x cos x cos x cos2 x Seega 1 (tan x) = . cos2 x Sama h~olpus on teoreemi 4.5 abil n¨aidata, et 1 (cot x) = - 2 . sin x 2.5 P¨ o¨ordfunktsiooni tuletis Olgu antud u ¨ hene funktsioon y = f (x), millel on olemas u ¨hene p¨o¨ordfunktsioon x = (y). Teoreem 5.1. Kui funktsioonil y = f (x) on kohal x tuletis f (x) = 0, siis p¨o¨ordfunktsiooni tuletis 1 (y) = . f (x) T~oestus. P¨oo¨rdfunktsiooni argumendiks on y, st x 1 (y) = lim = . y0 y y lim y0 x
Eelduse kohaselt on funktsioon y = f (x) diferentseeruv kohal x, j¨arelikult teoreemi 2.1 p~ohjal ka pidev kohal x. Pideva funktsiooni p¨o¨ordfunktsioon x = (y) on samuti pidev vastaval kohal y, st sellest, et y 0 j¨areldub, et ka x 0. Siit saame, et 1 1 (y) = = , y f (x) lim x0 x
mida oli vaja t~oestada. Kuigi p¨o¨ordfunktsioon ja p¨o¨ordv¨a¨artus on kaks t¨aiesti erinevat m~oistet, on n¨ uu ¨d selgunud , et l¨abi tuletise on nad ometi seotud: p¨o¨ordfunktsiooni tuletis on antud funktsiooni tuletise p¨o¨ordv¨a¨artus. Loomulikult kehtib ka vastupidine. Antud funktsiooni tuletis on p¨oo¨rdfunktsiooni tuletise p¨o¨ordv¨a¨artus: 1 f (x) = . (2.3) (y)
8 Sellise kujul hakkame teoreemi 5.1 kasutama. Alustame funktsioonist y = ax , (a > 0, a = 1). Selle p¨o¨ordfunktsioon on x = loga y ja (2.3) j¨argi 1 1 (ax ) = = = y ln a = ax ln a. (loga y) 1 y ln a Seega (ax ) = ax ln a Arvestades sellega, et ln e = 1, saame (ex ) = ex Edasi leiame funktsiooni y = arcsin x tuletise. Selle p¨o¨ordfunktsioon on x = sin y ja (2.3) p~ohjal 1 1 1 1 (arcsin x) = = = = . (sin y) cos y 2 1 - sin y 1 - x2
Seega 1 (arcsin x) = 1 - x2 Et x [-1; 1] korral arcsin x+arccos x = , siis arccos x = -arcsin x 2 2 ja arvestades sellega, et on konstant, saame 2 1 (arccos x) = - 1 - x2 J¨argmiseks leiame funktsiooni y = arctan x tuletise. Selle p¨o¨ordfunktsioon on x = tan y ja (2.3) p~ohjal 1 1 1 1 (arctan x) = = = = . (tan y) 1 2 1 + tan y 1 + x2 cos2 y Seega 1 (arctan x) = 1 + x2 Kasutades seost arctan x + arccot x = , saame 2 1 (arccot x) = - 1 + x2
9 2.6 Liitfunktsiooni tuletis Liitfunktsiooni y = f [(x)] kaheks komponendiks on y = f (u) ja u = (x). Teoreem 5.2. Kui u = (x) on diferentseeruv kohal x ja y = f (u) dife- rentseeruv vastaval kohal u, siis liitfunktsioon y = f [(x) = f [(x)] (x). (2.4) T~oestus. T¨ahistame liitfunktsiooni F (x) = f [(x)]. Siis y = F (x) ja y y u F (x) = lim = lim · = x0 x x0 u x y u = lim · lim . x0 u x0 x
Funktsioon u = (x) on diferentseeruv kohal x, j¨arelikult teoreemi 2.1 p~ohjal ka pidev kohal x. Pidevuseks tarvilik ja piisav tingimus on t¨aidetud, seega sellest, et x 0 j¨areldub, et u 0 ja y u F (x) = lim · lim = f (u) (x), u0 u x0 x
mida oligi funktsiooni F (x) ja muutuja u t¨ahendust arvestades tarvis t~oes- tada. V~ordus (2.4) on liitfunktsiooni diferentseerimise reegel. Leiame selle reegli ¨ldise astmefunktsiooni y = x , kus x > 0, tuletise. Selleks esitame abil u funktsiooni x = e ln x ja kirjutame (2.4) p~ohjal (x ) = e ln x = e ln x ( ln x) = e ln x · = x · = x-1 . x x Seega igasuguse reaalarvulise astendaja korral (x ) = x-1 Arvestades sellega, et
e-x = e-x (-x) = -e-x ,
saame 1 x 1 (sh x) = (e - e-x ) = (ex + e-x ) = ch x 2 2 ehk (sh x) = ch x.
10 Samal viisil (ch x) = sh x. Jagatise tuletise leidmise reegli abil leiame
sh x (sh x) ch x - sh x(ch x) ch2 x - sh2 x 1 (th x) = = 2 = 2 = 2 . ch x ch x ch x ch x Seega 1 (th x) = ja ch2 x samuti on jagatise tuletise leidmise reegli abil h~olpus n¨aidata, et 1 (cth x) = - 2 . sh x 2.7 Logaritmiline diferentseerimine Logaritmilise diferentseerimise v~otet tuleb kasutada eelk~ oige funktsioonide y = [f (x)]g(x) korral, st kui funktsioonis on muutuv suurus muutuval astmel. Astmefunktsiooni puhul peab astendaja olema konstantne, eksponentfunkt- siooni puhul aga alus konstantne. Seega antud funktsiooni tuletise leidmiseks ei saa kasutada kumbagi valemit. Logaritmimine v~oimaldab teisendada funktsiooni nii, et seda on v~oimalik diferentseerida olemasolevaid reegleid kasutades. Nimelt
ln y = ln[f (x)]g(x) = g(x) ln f (x)
ja [f (x)]g(x) on teisenenud korrutiseks , milles teine tegur on liitfunktsioon ln f (x). Seda diferentseeritakse korrutise tuletise leidmise reeglit ja liitfunkt- siooni tuletise leidmise reeglit rakendades. Muutuja y on x funktsioon, seega vasak pool ln y on liitfunktsioon ja selle tuletis avaldub standardsel kujul 1 (ln y) = y . y
N¨ aide 1. Leiame funktsiooni y = (x2 + 1)x tuletise. Selleks k~oigepealt loga- ritmime ln y = x ln(x2 + 1) ja siis diferentseerime 1 1 y = ln(x2 + 1) + x 2 2x y x +1
11 ehk 1 2x2 y = ln(x2 + 1) + 2 . y x +1 Korrutades saadud v~orduse m~olemaid pooli suurusega y, saame
2x2 y = y ln(x2 + 1) + x2 + 1
ja p¨arast y asendamist
2 x 2 2x2 y = (x + 1) ln(x + 1) + 2 . x +1 x3 x - 1 N¨aide 2. Leiame funktsiooni y = 5 tuletise. (x + 3)2 Selle funktsiooni tuletist on v~oimalik leida ka logaritmilise diferentseeri- mise v~otteta, aga logaritmimine oluliselt h~olbustab diferentseerimist. Kasu- tades logaritmide omadusi, leiame x3 x - 1 1 2 ln y = ln 5 = 3 ln x + ln(x - 1) - ln(x + 3) (x + 3) 2 2 5
ja seej¨arel diferentseerime 1 1 1 1 2 1 y =3· + · - · . y x 2 x-1 5 x+3 Korrutades v~orduse m~olemaid pooli suurusega y, saame
3 1 2 y =y + - x 2(x - 1) 5(x + 3)
ehk p¨arast y asendamist x3 x - 1 3 1 2 y = 5 + - (x + 3) x 2(x - 1) 5(x + 3) 2
2.8 Ilmutamata funktsiooni tuletis Ilmutamata funktsiooni tuletise leidmiseks u ¨ks v~oimalus on funktsiooni ilmu- tamine, st funktsiooni teisendamine kujule y = f (x) ja selle diferentseerimine olemasolevate reeglite abil.
12 Tavaliselt on aga ilmutamata kujul esitatud funktsioonid mitmesed, seega tuleks p¨arast ilmutamist diferentseerida iga u ¨hest haru eraldi. Paljudel juhtu- del aga osutub funktsiooni ilmutamine k¨ ullaltki komplitseerituks v~oi hoopis v~oimatuks. Vaatleme ilmutamata funktsiooni diferentseerimist n¨aidete varal . N¨aide 1. Leiame y , kui x2 + y 2 = r2 . Selleks diferentseerime esitatud v~orduse m~olemaid pooli muutuja x j¨argi, arvestades sellega, et y 2 on liit- funktsioon: y on x funktsioon ja ruutfunktsioon on omakorda y funktsioon. Paremal pool v~ordusm¨arki on konstant, seega diferentseerimise tulemuseks saame 2x + 2y · y = 0. P¨arast y avaldamist x y =- . y Kui esmalt funktsioon ilmutada, saame kahese funktsiooni y = ± r2 - x2 . ¨hest haru y = r2 - x2 , saame Diferentseerides esimest u 1 x y = · (-2x) = - . 2 r 2 - x2 r 2 - x2 ¨hest haru y = - r2 - x2 , saame Diferentseerides teist u 1 x y =- · (-2x) = - . 2 2 r -x 2 - r 2 - x2 M~olemal juhul klapib tulemus ilmutamata kujust leitud tuletisega. N¨aide 2. Leiame y , kui sin(x + y) + cos(xy) = 0. V~orduse vasakul pool on kaks liitfunktsiooni. Esimeses on v¨aliseks funkt- siooniks siinus ja seesmiseks x + y, teises v¨aliseks funktsiooniks koosinus ja seesmiseks xy. Arvestades sellega, et y on x funktsioon, leiame v~orduse m~ole- malt poolt tuletise x j¨argi,
cos(x + y) · (1 + y ) - sin(xy) · (y + xy ) = 0.
P¨arast sulgude avamist saame
cos(x + y) + y cos(x + y) - y sin(xy) - xy sin(xy) = 0
ehk y [cos(x + y) - x sin(xy)] = y sin(xy) - cos(x + y), millest y sin(xy) - cos(x + y) y = . cos(x + y) - x sin(xy)
13 2.9 Parameetrilisel kujul esitatud funktsiooni tuletis Olgu funktsioon esitatud prameetrilise kujul
x = (t) y = (t).
Eeldme, et m~olemad parameetri t funktsioonid on u ¨hesed ja diferentseeruvad, dx et x tuletis t j¨argi = 0 ja et funktsioonil x = (t) eksisteerib u ¨hene dt p¨o¨ordfunktsioon t = (x). Muutuja y on muutja suhtes x liitfunktsioon
y = [(x)]
ja liitfunktsiooni diferentseerimise reegli kohaselt dy = [(x)] · (x) (2.5) dx P¨oo¨rdfunktsiooni tuletise leidmise reegli j¨argi 1 1 (x) = = dx . (t) dt
dy Kasutades t¨ahistusi [(x)] = (t) = , saame v~ordusest (2.5) dt dy dy dt = dx . dx dt
Matemaatilises anal¨ uu¨sis t¨ahistatakse tuletist parameetri j¨argi dx = x, dt mida loetakse "x-t¨app"ja dy = y, dt mida loetakse "y-t¨app". Kokkuv~ottes saame parameetrilisel kujul esitatud funktsiooni tuletise leidmise reegli dy y = (2.6) dx x
14 N¨ aide 1. Eelmises alampunktis vaadeldud ilmutamata funktsiooni x2 + y 2 = 2 r esitus parameetrilisel kujul on
x = r cos t y = r sin t.
Leides m~olema funktsiooni tuletised parameetri j¨argi, saame x = -r sin t ja y = r cos t ning parameetrilisel kujul esitatud funktsiooni tuletise leidmise reegli (2.6) abil saame tulemuse
dy r cos t cos t =- =- , dx r sin t sin t mis langeb kokku alampunktis 2.8 sama funktsiooni ilmutamata kujust leitud tuletisega. N¨aide 2. Leiame ts¨ ukloidi x = a(t - sin t) y = a(1 - cos t) puutuja t~ousu punktis, milles parameetri v¨aa¨rtus t = . 2 Joone (funktsiooni graafiku) puutuja t~ous antud punktis on v~ordne funkt- siooni tuletise v¨a¨artusega selles punktis. Seega tuleb leida tuletise v¨a¨artus punktis, milles parameeter t = . Selleks leiame x = a(1-cos t) ja y = a sin t 2 ning (2.6) abil dy a sin t sin t = = . dx a(1 - cos t) 1 - cos t Tuletise v¨a¨artus punktis, kus t = , on 2 sin 2 = 1. 1 - cos 2
J¨arelikult ts¨ ukloidi puutuja t~ous punktis, mis vastab parameetri v¨a¨artusele t = , v~ordub 1-ga. 2
2.10 Funktsiooni diferentsiaal Paljudel juhtudel on v¨aikeste argumendi muutude korral piisav, kui eral- dada funktsiooni muudust v¨alja selle lineaarne osa. Lineaarse funktsiooni k¨asitlemine on alati oluliselt lihtsam.
15 Olgu antud funktsioon y = f (x). Selle tuletis kohal x on defineeritud kui y f (x) = lim . x0 x y Sellisel juhul muutuv suurus x avaldub kui
y = f (x) + , x kus on piirprotsessis x 0 l~opmatult kahanev suurus. Korrutades vii- mase v~orduse m~olemaid pooli argumendi muuduga x, saame
y = f (x)x + x (2.7)
V~orduse (2.7) paremal pool on esimene liidetav fikseeritud x v¨a¨artuse korral lineaarne x suhtes, teine liidetav aga k~orgemat j¨arku l~opmatult kahanev suurus, kui x, sest x lim =0 x0 x
Definitsioon 1. Funktsiooni muudu avaldise (2.7) lineaarset osa f (x)x ninetatakse funktsiooni diferentsiaaliks ja t¨ahistatakse dy. Seega definitsiooni kohaselt
dy = f (x)x.
Kui funktsioon ja argument langevad u ¨hte, st y = x, siis y = 1 ja dy = dx = 1 · x. J¨arelikult s~oltumatu muutuja x korral dx = x, st s~otlumatu muutuja jaoks langevad diferentsiaali ja muudu m~oisted kokku. J¨arelikult saame funktsiooni diferentsiaali avaldiseks
dy = f (x)dx (2.8) N¨aide 1. Leiame funktsiooni y = arctan x diferentsiaali avaldise. Liitfunktsiooni tuletise leidmise reegli kohaselt 1 1 y = 1+x2 x
ja (2.8) j¨argi 1 1 dx dy = dx = . 1+x2 x 2(1 + x) x N¨ aide 2. Arvutame funktsiooni y = x2 muudu ja diferentsiaali v¨a¨artused, kui argument x muutub v¨a¨artusest 1 v¨a¨artuseni 1, 05.
16 Leiame funktsiooni muudu
y = 1, 052 - 12 = 0, 1025.
Argumendi muut ehk diferentsiaal on dx = x = 0, 05 funktsiooni tuletis y = 2x ja diferentsiaali v¨a¨artus seega dy = 2 · 1 · 0, 05 = 0, 1 Uurime, mida t¨ahendab funktsiooni diferentsiaal geomeetriliselt. Funktsiooni y
Q
} f (x + x)
y T
f (x) P R } dy
x x + x x
Joonis 2.2: funktsiooni diferentsiaal
tuletis t¨ahendab funktsiooni graafikule punktis P (abstsissiga x) t~omma- tud puutuja t~ousu ehk t~ousunurga tangensit. Korrutis f (x)dx t¨ahendab t¨aisnurkse kolmnurga P RT kaatetit RT ehk funktsiooni diferentsiaaliks on l~oigu RT pikkus. J¨arelikult n¨aitab diferentsiaali arvuline v¨a¨artus, kui palju muutub y ar- gumendi x muutudes x v~orra, kui liikumine m¨oo¨da joont on asendatud liikumisega m¨o¨oda joone puutujat. Mehaaniliselt on kiirus muutuv suurus. Kui fikseerida kiirus u ¨hes punktis ja j¨atkata liikumist selle kiirusega, siis diferentsiaal n¨aitab, kui pika vahemaa l¨abib liikuv objekt selle konstantse kiirusega ajavahemiku x jooksul. Kui x on piisavalt v¨aike, siis arvestades sellega, et y erineb diferent - siaalist dy suuruse v~orra, mis on x suhtes k~orgemat j¨arku l~opmatult kaha- nev suurus, v~oime kirjutada y dy. Funktsiooni muudu ja diferentsiaali definitsiooni kohaselt
f (x + x) - f (x) f (x)x,
millest saame ligikaudse valemi
f (x + x) f (x) + f (x)x. (2.9)
17 Valem (2.9) on rakendatav ainult suhteliselt v¨aikeste argumendi muutude x korral. N¨aide 3. Arvutame valemi (2.9) abil ln 0, 9 ligikaudse v¨a¨artuse. Siin valime x = 1, x = -0, 1 ja funktsiooni f (x) = ln x. Funktsiooni 1 tuletis f (x) = , funktsiooni v¨a¨artus f (1) = ln 1 = 0 ja tuletise v¨a¨artus x f (1) = 1. Seega valemi (2.9) j¨argi saame v¨a¨artuse
ln 0, 9 0 + 1 · (-0, 1) = -0, 1,
mis erineb tegelikust v¨aa¨rtusest v¨ahem kui 0, 0054 v~orra.
2.11 K~ orgemat j¨ arku tuletised Funktsiooni y = f (x) tuletis f (x) on mingisugune muutuja x funktsioon ja seda on omakorda v~oimalik diferentseerida. Definitsioon 1. Funktsiooni y = f (x) teist j¨arku tuletiseks f (x) nime- tatakse funktsiooni tuletise tuletist:
f (x) = [f (x)] .
Teist j¨arku tuletist t¨ahistatkse veel y . Leibnizi t¨ahistuses
d2 y d dy 2 = dx dx dx
d2 f v~oi dx2 2 N¨aide 1. Leiame funktsiooni y = e-x teist j¨arku tuletise. 2 2 K~oigepealt leiame y = e-x (-2x) = -2xe-x ja seej¨arel 2 2 2 y = -2e-x - 2xe-x · (-2x) = 2e-x (2x2 - 1).
Definitsioon 2. Funktsiooni y = f (x) n-ndat j¨arku tuletiseks f (n) (x) nimetatakse selle funktsiooni n - 1 j¨arku tuletise tuletist:
f (n) (x) = f (n-1) (x) .
Leibnizi t¨ahistuses d dn-1 y . dx dxn-1 N¨ aide 2. Leiame funktsiooni y = sin x n-ndat j¨arku tuletise.
18 Kasutame selleks matemaatilise induktsiooni meetodit. Induktsiooni ole- tuse tegemiseks esitame m~oned tuletise j¨argud taandamisvalemite abil y = cos x = sin x + , 2 y = - sin x = sin(x + ) = sin x + 2 · , 2 y = - cos x = sin x + 3 · , 2 y (4) = sin x = sin(x + 2) = sin x + 4 · . 2 Nende p~ohjal teeme oletuse y (n) = sin x + n · . Oletuse ~oigsust kontrol - 2 lime n + 1 j¨arku tuletise n y (n+1) = cos x + n · = sin x + + = sin x + (n + 1) 2 2 2 2 leidmisega. 2.12 Joone puutuja ja normaali v~ orrandid Selles alampunktis m~oeldakse joone all funktsiooni y = f (x) graafikut. Eesm¨argiks on tuletada joone puutuja ja normaali v~orrandid antud punktis. L¨ahtume tuntud faktist, et kui sirge l¨abib punkti P0 (x0 ; y0 ) ja sirge t~ous on k, siis sirge v~orrand on
y - y0 = k(x - x0 ).
Funktsiooni y = f (x) graafiku punkti, mille abstsiss on x0 , ordinaadiks on f (x0 ). Puutuja t~ous selles punktis on f (x0 ). Seega on puutuja v~orrandiks
y - f (x0 ) = f (x0 )(x - x0 ). (2.10)
Definitsioon. Joone normaalsirgeks ehk normaaliks antud punktis ni- metatakse joone selles punktis t~ommatud puutuja ristsirget. Kui kaks sirget on risti, siis teise sirge t~ous k2 avaldub esimese sirge t~ousu 1 1 k1 kaudu k2 = - . J¨arelikult on normaali t~ousuks - ja normaalsirge k1 f (x0 ) v~orrandiks 1 y - f (x0 ) = - (x - x0 ). (2.11) f (x0 ) N¨aide. Koostame joone y = cos x puutuja ja normaali v~orrandid punkis abstsissiga x0 = . 6
19 y
no rm
) f (x aa l
y= f (x0 )
x0 x
Joonis 2.3: joone puutuja ja normaal 3 Antud juhul f (x0 ) = cos = . Tuletise f (x) = - sin x abil leiame 6 2 1 1 puutuja t~ousu f = - ja normaali t~ousu - = 2. 6 2 f (6) Puutuja v~orrandiks (2.10) saame 3 1 y- =- x- 2 2 6 ehk 1 +6 3 y =- x+ . 2 12 +6 3 Puutuja v~orrandis on algordinaadi ligikaudseks v¨a¨artuseks 1, 128. 12 Normmali v~orrandiks (2.11) saame 3 y- =2 x- 2 6 ehk 3 3 - 2 y = 2x + . 6
20 3 3 - 2 Normaali v~orrandis on algordinaadi ligikaudseks v¨aa¨rtuseks 6 -0, 181. y
al ma nor 3 2 pu utu ja
- x 2 6 2
Joonis 2.4: funktsiooni y = cos x puutuja ja normaal punktis abstsissiga 6
21 3 Tuletise rakendusi Tuletise rakenduste teoreetiliseks aluseks on kolm teoreemi: Rolle'i, Cauchy ja Lagrange'i teoreemid . 3.1 Rolle'i teoreem Esmalt t~oestame u ¨he abiteoreemi, nn Fermat ' lemma . Fermat' lemma. Kui funktsioon f (x) on diferentseeruv punktis (a; b) ja funktsioonil on selles punktis maksimum (miinimum), siis f () = 0. T~oestus. Kui funktsioonil f (x) on maksimum punktis (a; b), siis leidub niisugune u ¨mbrus ( -; +), et mis tahes +x ( -; +) korral f ( + f ( + x) - f () x) 0, siis 0, seega x f ( + x) - f () lim 0. (3.2) x0- x Eelduse j¨argi f (x) on diferentseeruv punktis , st eksisteerib piirv¨aa¨rtus f ( + x) - f () lim . x0 x J¨arelikult on u ¨hepoolsed piirv¨aa¨rtused (3.1) ja (3.2) v~ordsed, mis on v~oimalik ainult siis, kui need m~olemad v~orduvad nulliga. Siis ka f () = 0. Kui funktsioonil on punktis (a; b) miinimum, on t~oestus analoogiline. Punkti , mille korral f () = 0, nimetatakse funktsiooni statsionaarseks punktiks. Teoreem (Rolle'i teoreem). Kui l~oigul [a; b] pideva ja vahemikus (a; b) diferentseeruva funktsiooni f (x) v¨a¨artused l~oiguotspunktides on v~ordsed, st f (a) = f (b), siis leidub vahemikus (a; b) v¨ahemalt u¨ks funktsiooni f (x) stat- sionaarne punkt. T~oestus. Kui funktsioon on l~oigul [a; b] konstantne, siis f (x) = 0 iga x (a; b) korral, st k~oik vahemiku (a; b) punktid on funktsiooni f (x) statsio- naarseteks punktideks. L~oigul pidev funktsioon omab suurimat ja v¨ahimat v¨a¨artust sellel l~oigul. Mittekonstantse funktsuiooni korral peab v¨ahemalt u ¨ks neist v¨a¨artustest eri- nema v¨a¨artusest f (a) = f (b). Oletame konkreetsuse m~ottes, et funktsioon omandab suuurima v¨a¨artuse mingisuguses punktis (a; b). Selles punktis on sel juhul t¨aidetud Fermat' lemma eeldused, seega f () = 0.
1 3.2 Cauchy teoreem Teoreem (Cauchy teoreem). Kui funktsioonid f (x) ja g(x) on pidevad l~oigul [a; b] ja diferentseeruvad vahemikus (a; b) ning g (x) = 0 vahemikus (a; b), siis leidub v¨ahemalt u¨ks punkt (a; b), et
f (b) - f (a) f () = . (3.3) g(b) - g(a) g ()
T~oestus. Eeldustest j¨areldub, et g(a) = g(b), sest vastasel korral rahul- daks funktsioon g(x) Rolle'i teoreemi eeldusi . Rolle'i teoreemi kohaselt peaks vahemikus (a; b) leiduma punkt , milles g () = 0, mis on eeldusega vastu- olus . Konstrueerime funktsiooni f (b) - f (a) F (x) = f (x) - f (a) - [g(x) - g(a)]. g(b) - g(a)
Funktsioonide f (x) ja g(x) pidevusest l~oigul [a; b] j¨areldub funktsiooni F (x) pidevus sellel l~oigul ning f (x) ja g(x) diferentseeruvusest vahemikus (a; b) funktsiooni F (x) diferentseeruvus selles vahemikus. Peale selle
f (b) - f (a) F (a) = f (a) - f (a) - [g(a) - g(a)] = 0 g(b) - g(a) ja
f (b) - f (a) F (b) = f (b)-f (a)- [g(b)-g(a)] = f (b)-f (a)-[f (b)-f (a)] = 0, g(b) - g(a)
st funktsiooni F (x) v¨a¨artused l~oigu otspunktides on v~ordsed. Seega rahuldab funktsioon F (x) Rolle'i teoreemi eeldusi, j¨arelikult leidub v¨ahemalt u ¨ks punkt (a; b), et F () = 0, st
f (b) - f (a) f () - g () = 0 g(b) - g(a)
ehk f (b) - f (a) f () = g (), g(b) - g(a) millest, p¨arast jagamist suurusega g () saamegi teoreemi v¨aite.
2 3.3 Lagrange'i teoreem Teoreem (Lagrange'i teoreem). Kui funktsioon f (x) on pidev l~oigul [a; b] ja diferentseeruv vahemikus (a; b), siis leidub v¨ahemalt u ¨ks punkt (a; b), et f (b) - f (a) = f (). (3.4) b-a T~oestuseks piisab, kui v~otame Cauchy teoreemis g(x) = x, sest siis g(b) = b, g(a) = a ja g (x) = 1.
3.4 L'Hospitali reegel L'Hospitali reegel h~olbustab jagatise piirv¨aa¨rtuse f (x) lim xa g(x)
arvutamist, kui tegemist on 00 - v~oi - t¨ uu¨pi m¨a¨aramatusega. 0 Teoreem 1 (L'Hospitali reegel 0 - tu ¨u¨ pi m¨a¨aramatuse korral). Kui funktsioonid f (x) ja g(x) rahuldavad punkti a mingis u ¨mbruses (a - ; a + ) Cauchy teoreemi eeldusi, lim f (x) = lim g(x) = 0 ning eksisteerib piirv¨a¨artus xa xa
f (x) lim , xa g (x)
f (x) siis eksisteerib ka piirv¨aa¨rtus lim ja xa g(x)
f (x) f (x) lim = lim . xa g(x) xa g (x)
T~oestus. Funktsioonide f (x) ja g(x) pidevuse t~ottu a u ¨mbruses f (a) = g(a) = 0. Kui x > a, siis Cauchy teoreemi p~ohjal leidub selline (a; x) (kui x sest piirv¨aa¨rtus ei s~oltu muutuja t¨ahistusest.
3 M¨ arkus. Kui lim f (x) = lim g (x) = 0 ja funktsioonid f (x) ning g (x) xa xa rahuldavad Cauchy teoreemi eeldusi punkti a u¨mbruses, siis saab L'Hospitali reeglit uuesti rakendada:
f (x) f (x) lim = lim . xa g (x) xa g (x)
Teoreem 1 (L'Hospitali reegel - tu ¨u¨ pi m¨ a¨ aramatuse korral). Kui funktsioonid f (x) ja g(x) rahuldavad punkti a mingis u ¨mbruses (a - ; a+) Cauchy teoreemi eeldusi, lim f (x) = lim g(x) = ± ning eksisteerib xa xa piirv¨a¨artus f (x) lim , xa g (x)
f (x) siis eksisteerib ka piirv¨aa¨rtus lim ja xa g(x)
f (x) f (x) lim = lim . xa g(x) xa g (x)
Selle teoreemi eelduse lim f (x) = lim g(x) = ± t~ottu rahuldavad funkt- xa xa sioonid f (x) ja g(x) Cauchy teoreemi eeldusi punkti a mingis u ¨mbruses (a - ; a + ) v¨alja arvatud punktis a. M¨ arkus. M~olemas teoreemis v~oib piirprotsessiks olla ka x ±. ln(1 + x) N¨aide 1. Leiame piirv¨a¨artuse lim . x0 x Siin on tegemist 00 -t¨ uu¨pi m¨a¨aramatusega. L'Hospitali reegli j¨argi 1 ln(1 + x) (ln(1 + x)) lim = lim = lim 1+x = 1. x0 x x0 x x0 1
ex - e-x - 2x N¨ aide 2. Leiame piirv¨a¨artuse lim . x0 x - sin x Ka siin on 00 -t¨ uu¨pi m¨a¨aramatus. L'Hospitali reegli p~ohjal
ex - e-x - 2x ex + e-x - 2 lim = lim . x0 x - sin x x0 1 - cos x Tekkis uuesti 00 -t¨ uu¨pi m¨a¨aramatus ja teist korda L'Hospitali reeglit rakenda- des saame ex - e-x ... = lim . x0 sin x
4 Taas on 00 - t¨ uu¨pi m¨a¨aramatus ja veel kord L'Hospitali reeglit kasutades saame
ex - e-x - 2x ex + e-x lim = lim = 2. x0 x - sin x x0 cos x tan x N¨ aide 3. Leiame piirv¨aa¨rtuse lim . x 2 tan 3x Selles piirv¨a¨artus¨ulesandes on - t¨ uu ¨pi m¨a¨aramatus. L'Hospitali reegli kohaselt 1 tan x 2 cos2 3x lim = lim cos3 x = lim x 2 tan 3x x 2 x 2 3 cos2 x. cos2 3x
Tekkis 00 - t¨ uu¨pi m¨a¨aramatus. Kasutades L'Hospitali reeglit veel kaks korda, saame tan x 2 cos 3x(- sin 3x) · 3 sin 3x cos 3x lim = lim = lim = x 2 tan 3x x 2 3 · 2 cos x(- sin x) x 2 sin x cos x
sin 3x cos 3x -1 -3 sin 3x 3 = lim lim = lim = -1 · = 3. x 2 sin x x 2 cos x 1 x 2 - sin x -1
3.5 L'Hospitali reegel teistel m¨ a¨ aramatuse juhtudel Selles alampunktis vaatleme L'Hospitali reegli rakendamist juhtudel, kui on m¨a¨aramatus kujul 0 · , - , 00 , 1 v~oi 0 . K~oigil vaadeldavatel juhtudel taandatakse piirv¨a¨artuse leidmine kas 00 - v~oi - t¨ uu¨pi m¨a¨aramatusele. M¨a¨aramatus kujul 0 · on piirv¨a¨artuses lim yz, kus lim y = 0 ja lim z = xa xa xa . y z Sel juhul saame kirjutada kas y · z = v~oi y · z = . Esimesel ju- 1 1 z y 1 1 hul lim = 0 ja teisel juhul lim = . Seega esimesel viisil on piirv¨aa¨rtus xa z xa y 0 lim yz taandatud 0 - t¨ ¨pi m¨a¨aramatusele, aga teisel viisil uu - t¨ uu¨pi m¨a¨aramatusele. xa n N¨aide 1. Leiame piirv¨a¨artuse lim x ln x, kui n N. x0 Ilmsellt lim xn = 0 ja lim ln x = -. Piirv¨a¨artus tandub -t¨ uu¨pi m¨a¨aramatusele, x0 x0 kui kirjutada ln x lim xn ln x = lim -n . x0 x0 x
L'Hospitali reegli p~ohjal 1 xn lim xn ln x = lim x = lim = 0. x0 x0 -nx-n-1 x0 -n
5 M¨aa¨ ramatus kujul - on piirv¨a¨artuses lim (y - z), kui lim y = ja xa xa lim z = . xa 1 1 - 1 1 z y Avaldis y - z on teisendatav y - z = - = . 1 1 1 1 · y z y z 1 1 Antud juhul lim = 0 ja lim = 0, seega m¨a¨aramatus t¨ uu¨pi - on xa y xa z teisendatav 00 -t¨ uu¨pi m¨a¨aramatuseks. 1 1 N¨aide 2. Leiame piirv¨a¨artuse lim - . x1 ln x x - 1 M~olema murru nimetaja piirv¨a¨artused on nullid , seega on - -t¨ uu ¨pi m¨aa¨ramatus. V~ottes murrud u ¨ hisele nimetajale, saame piirv¨ aa ¨ rtuses
1 1 x - 1 - ln x lim - = lim x1 ln x x - 1 x1 (x - 1) ln x
m¨aa¨ramatuse t¨ uu¨pi 00 . L'Hospitali reegli abil
1 x - 1 - ln x 1- x-1 lim = lim x = lim . x1 (x - 1) ln x x1 1 x1 x ln x + x - 1 ln x + (x - 1) x Tekkis uuesti piirv¨a¨artus, kus on 00 -t¨ uu¨pi m¨a¨aramatus. Kasutades veel kord L'Hospitali reeglit saame, et
1 1 1 1 lim - = lim = . x1 ln x x - 1 x1 1 2 ln x + x · + 1 x Kui on m¨a¨aramatus t¨ uu¨pi 00 , 1 v~oi 0 , on k~oigil kolmel juhul piirv¨a¨artus z lim y . Esimesel juhul lim y = 0 ja lim z = 0, teisel juhul lim y = 1 ja xa xa xa xa lim z = ning kolmandal juhul lim y = ja lim z = 0. xa xa xa z Kasutades teisendusi y z = eln y = ez ln y ja funktsiooni ex pidevust, saame k~oigil kolmel vaadeldaval juhul piirv¨aa¨rtuse kirjutada kujule lim z ln y lim y z = exa . (3.5) xa
Esimesel juhul lim ln y = -, st tekib 0 · -t¨ uu¨pi m¨a¨aramatus. Teisel xa juhul lim ln y = 0, tekib samuti 0 · -t¨ uu¨pi m¨a¨aramatus. Kolmanal juhul xa
6 lim ln y = . Seega tekib k~oigil kolmel juhul e astendajas piirv¨a¨artus, kus xa on 0 · -t¨uu ¨pi m¨a¨aramatus. N¨ aide 3. Leiame piirv¨a¨artuse lim (cot x)sin x . x0 ¨lesandes on 0 -t¨ Antud u uu¨pi m¨a¨aramatus. P¨arast teisendusi ln cot x lim sin x ln cot x lim 1 x0 lim (cot x)sin x = ex0 =e sin x x0 saame e astendajas -t¨ uu¨pi m¨aa¨ramatuse. L'Hospitali reegli p~ohjal 1 ln cot x cot x - sin12 x tan x lim 1 lim cos x lim e x0 sin x =e x0 - sin2x = ex0 cos x = e0 .
Seega lim (cot x)sin x = 1. x0 x 1 N¨aide 4. T~oestame L'Hospitali reegli abil, et lim 1 + = e. |x| x ¨lesandes 1 -t¨ Teadaolevalt on selles u uu ¨pi m¨a¨aramatus. T~oestuse saame teisenduste 1 1 ln 1 + x 1 x lim x ln 1 + lim 1 lim 1+ = e|x| x = e|x| x |x| x ja L'Hospitali reegli 1 1 ln 1 + 1 · 1+ x1 x 1 lim 1 x lim 1 lim 1 x = e|x| 1 + |x| e|x| x =e x x = e1 = e
abil.
3.6 Taylori valem Taylori valemit kasutatakse suvalise funktsiooni y = f (x) esitamiseks hulk- liikme abil punkti a u ¨mbruses v~oimalikult suure t¨apsusega. Kui diferentsiaali abil ligikaudse arvutamise valemis
f (x + x) f (x) + f (x)x
t¨ahistada fikseeritud punkt x asemel a-ga ja muutuv punkt a + x asemel x-ga, st x = a + x, siis x = x - a ja
f (x) f (a) + f (a)(x - a)
7 kujutab endast funktsiooni ligikaudset esitamist x-a suhtes lineaarse avaldise kaudu. Taylori valemi eesm¨argiks on selle t¨apsustamine, lisades x - a esimest astmet sisaldavale liikmele selle teist kolmandat, jne astet sisaldavad liikmed. Seega on eesm¨argiks funktsiooni f (x) esitamine punkti a u ¨mbruses v~oima- likult t¨apselt hulkliikme
Pn (x) = c0 + c1 (x - a) + c2 (x - a)2 + c3 (x - a)3 + ... + cn (x - a)n (3.6)
abil. Eeldame, et funtksioonil f (x) on punkti a u ¨mbruses pidevad tuletised kuni n + 1 j¨arguni ja n~ouame, et otsitav pol¨ unoom Pn (x) rahuldab punktis a tingimusi Pn (a) = f (a), Pn (a) = f (a), Pn (a) = f (a), (3.7) Pn (a) = f (a), ....................... Pn(n) (a) = f (n) (a). L¨ahtudes tingimustest (3.7), leiame hulkliikme (3.6) kordajad funktsiooni f (x) ja selle tuletiste v¨a¨artuset kaudu. K~oigepealt Pn (a) = c0 ja tingimustest (3.7) esimese t~ottu c0 = f (a). Diferentseerides hulkliiget (3.6), saame
Pn (x) = c1 + 2c2 (x - a) + 3c3 (x - a)2 + ... + ncn (x - a)n-1 ,
millest Pn (a) = c1 ja tingimustest (3.7) teise t~ottu f (a) c1 = f (a) = . 1! Diferentseerides hulkliiget (3.6) teist korda, saame
Pn (x) = 2c2 + 6c3 (x - a) + ... + n(n - 1)cn (x - a)n-2 ,
millest Pn (a) = 2c2 ja tingimustest (3.7) kolmanda t~ottu f (a) f (a) c2 = = . 2 2! Diferentseerides hulkliiget (3.6) kolmandat korda, saame
Pn (x) = 6c3 + ... + n(n - 1)(n - 2)cn (x - a)n-3 ,
8 millest Pn (a) = 6c3 ja tingimustest (3.7) neljanda t~ottu f (a) f (a) c3 = = . 6 3! Diferentseerides hulkliiget (3.6) n-ndat korda, saame Pn(n) (x) = n(n - 1)(n - 2) · ... · 3 · 2cn , (n) millest Pn (a) = n(n - 1)(n - 2) · ... · 3 · 2cn ja tingimustest (3.7) viimase t~ottu f (n) (a) cn = . n! Seega on tingimusi (3.7) rahuldavaks pol¨ unoomiks (3.6) f (a) f (a) f (a) f (n) (a) Pn (x) = f (a)+ (x-a)+ (x-a)2 + (x-a)3 +...+ (x-a)n . 1! 2! 3! n! (3.8) Seda hulkliiget nimetatakse funktsiooni f (x) Taylori pol¨ unoomiks punkti a u ¨mbruses v~oi funktsiooni f (x) Taylori pol¨ unoomiks x - a astmete j¨argi. x - a f (k) (a) astmete kordajaid (k = 0, 1, 2, . . . , n nimetatakse funktsiooni f (x) k! Taylori kordajateks. N¨aide 1. Arvutame 1, 2 eimese, teise, kolmanda ja neljanda astme Taylori pol¨ unoomi abil. Taskuarvuti abiga 1, 2 = 1, 095445115. Siin f (x) = x, a = 1, x = 1, 2 ja x-a = 0, 2. Arvutusteks leiame f (1) = 1 1 1 1 = 1, funktsiooni tuletise f (x) = x- 2 , millest f (1) = , teise tuletise 2 2 1 -3 1 3 5 f (x) = - x 2 , millest f (1) = - , kolmanda tuletise f (x) = x- 2 , mil- 4 4 8 3 15 7 15 lest f (1) = ja neljanda tuletise f (4) (x) = - x- 2 , millest f (4) (1) = - . 8 16 16 Esimese astme Taylori pol¨ unoomi abil saame f (a) 1 f (a) + (x - a) = 1 + · 0, 2 = 1, 1. 1! 2 Teise astme Taylori pol¨ unoomi abil saame 1 f (a) f (a) 1 f (a) + (x - a) + (x - a)2 = 1 + · 0, 2 - 4 · 0, 22 = 1, 095. 1! 2! 2 2! Kolmanda astme Taylori pol¨unoomi abil saame f (a) f (a) f (a) f (a) + (x - a) + (x - a)2 + (x - a)3 = 1! 2! 3! 1 3 1 1 + · 0, 2 - · 0, 2 + 8 · 0.23 = 1, 0955. 4 2 2 2! 3!
9 Neljanda astme Taylori pol¨ unoomi abil saame
f (a) f (a) f (a) f (4) (a) f (a) + (x - a) + (x - a)2 + (x - a)3 + (x - a)4 = 1! 2! 3! 4! 1 3 15 1 1 + · 0, 2 - · 0, 2 + · 0.2 - 16 · 0, 24 = 1, 0954375. 4 2 8 3 2 2! 3! 4! Tehtud arvutustest j¨areldub, et mida k~orgema astme Taylori pol¨unoomi arvutusteks kasutada, seda t¨apsem funktsiooni v¨a¨artus saadakse. Absoluut - set t¨apsust aga u ¨ldjuhul ei saavutata. Funktsiooni v¨aa¨rtus ja pol¨ unoomi v¨a¨artus erinevad teineteisest suuruse
Rn (x) = f (x) - Pn (x)
v~orra. Valemit f (x) = Pn (x) + Rn (x), (3.9) kus Pn (x) on funktsiooni f (x) Taylori pol¨ unoom (3.8), nimetatakse funkt- siooni f (x) Taylori valemiks ja suurust Rn (x) Taylori valemi j¨a¨akliikmeks. On v~oimalik t~oestada, et Taylori valemi j¨a¨akliige avaldub kujul
(x - a)n+1 (n+1) Rn (x) = f [a + (x - a)], (3.10) (n + 1)!
kus 0 Seep ¨arast j¨a¨akliikme abso- luutv¨a¨artust mitte ei arvutata, vaid hinnatakse seda u ¨laltpoolt. N¨ aide 2. Hindame u ¨ laltpoolt viga, mis tehakse, kui arvutatakse 1, 2 kolmanda astme Taylori pol¨ unoomi abil. Selleks peame hindama |R3 (x)| v¨a¨artust. N¨aites 1 saime kolmanda astme Taylori pol¨ unoomi abil 1, 2 v¨a¨artuseks 1, 0955. Kasutades n¨aites 1 leitud neljandat tuletist, saame j¨a¨akliikme avaldise (3.10)
(x - 1)4 15 R3 (x) = - · . 4! 16 (1 + (x - 1))7
Hindame j¨a¨akliikme absoluutv¨aa¨rtust
0, 24 15 |R3 (1, 2)| = · , 24 16 (1 + 0, 2)7
10 kus 0 leta 0,0000625.
3.7 Funktsioonide ex , sin x ja cos x arendid Maclaurini valemi abil Maclaurini valemiks nimetatakse Taylori valemit x astmete j¨argi ehk Taylori valemit 0 u ¨mbruses. Maclaurini valemi saame valemist (3.9), asendades selles Pn (x) Taylori pol¨ unoomiga (3.8), milles a = 0. Seega , Maclaurini valem on f (0) f (0) 2 f (0) 3 f (n) (0) n f (x) = f (0) + x+ x + x +. . .+ x + Rn (x), (3.11) 1! 2! 3! n! mille j¨aa¨kliikme avaldiseks saame (3.10) p~ohjal xn+1 (n+1) Rn (x) = f (x), (3.12) (n + 1)! kus 0 3.7.1 Funktsioon f (x) = ex Leiame f (0) = 1, f (x) = ex , millest f (0) = 1, ..., f (n) (x) = ex , millest f (n) (0) = 1. Funktsiooni ex arendiks Maclaurini valemi (3.11) abil saame 1 1 1 1 ex = 1 + x + x2 + x3 + . . . + xn + Rn (x) 1! 2! 3! n! ehk x x x2 x3 xn e =1+ + + + ... + + Rn (x) 1! 2! 3! n! mille j¨aa¨kliikmeks on (3.12) p~ohjal xn+1 x Rn (x) = e , (n + 1)! kus 0 11 Fikseeritud x v¨aa¨rtuse korral on ex t~okestatud suurus, xn+1 x x x x = · · · ... · . (n + 1)! 1 2 3 n+1 Olgu q mingi v¨a¨artus, mis rahuldab tingimusi 0 N , siis lim q n+1-N = q 1-N lim q n = 0. n n
xn+1 J¨arelikult on l~opmatult kahanev suurus ja Rn (x), kui l~opmatult ka- (n + 1)! haneva suuruse ja t~okestatud suuruse korrutis, on samuti l~opmatult kahanev suurus, st lim Rn (x) = 0. n Tingimus (3.13) t¨ahendab seda, et iga fikseeritud x R v¨a¨artuse korral saame funktsiooni ex v¨a¨artust arvutada Maclaurini valemi abil kui tahes suure t¨apsusega, v~ottes selle arendis x x2 x3 xn 1+ + + + ... + 1! 2! 3! n! piisavalt palju liikmeid, st v~ottes n piisavalt suure.
3.7.2 Funktsioon f (x) = sin x Eespool on n¨aidatud, et funktsiooni f (x) = sin x n-ndat j¨arku tuletis f (n) (x) = sin x + n . Leiame f (0) = 0, f (0) = sin = 1, f (0) = sin = 0, 2 2 3 5 f (0) = sin = -1, f (4) (0) = sin 2 = 0, f (5) (0) = sin = 1 jne. Siit 2 2 j¨areldub, et k~oik funktsiooni sin x paaris j¨arku tuletised punktis 0 v~ordu- vad 0-ga, paaritut j¨arku tuletised f (2n+1) (0) = 1, kui n on paarisarv ja f (2n+1) (0) = -1, kui n on paaritu.
12 Seega funktsiooni sin x arend Maclaurini valemi (3.11) abil on
x x3 x5 x2n+1 sin x = - + - . . . + (-1)n + R2n+1 (x) 1! 3! 5! (2n + 1)!
mille j¨aa¨kliige on (3.12) p~ohjal
x2n+2 x2n+2 R2n+1 (x) = sin x + (2n + 2) = sin (x + (n + 1)) , (2n + 2)! 2 (2n + 2)!
kus 0 st funktsiooni sin x v¨a¨artust on v~oimalik Maclaurini valemi abil arvutada kui tahes suure t¨apsusega, v~ottes arendis
x x3 x5 x2n+1 - + - . . . + (-1)n 1! 3! 5! (2n + 1)!
piisavalt palju liikmeid.
3.7.3 Funktsioon f (x) = cos x Funktsiooni f (x) = cos x n-ndat j¨arku tuletis on f (n) (x) = cos x + n · . 2 3 Leiame f (0) = 1, f (0) = cos = 0, f (0) = cos = -1, f (0) = cos = 2 2 0, f (4) (0) = cos 2 = 1 jne. K~oik funktsiooni cos x paaritut j¨arku tuletised punktis 0 on v~ordsed 0-ga. Paaris j¨arku tuletised f (2n) (0) = 1, kui n on paarisarv ja f (2n) (0) = -1, kui n on paaritu. Seega funktsiooni cos x arend Maclaurini valemi (3.11) abil on
x2 x4 n x 2n cos x = 1 - + - . . . + (-1) + R2n (x) 2! 4! (2n)!
mille j¨aa¨kliige on (3.12) p~ohjal
x2n+1 R2n (x) = cos x + (2n + 1) , (2n + 1)! 2
kus 0 lim R2n (x) = 0, n
13 st funktsiooni cos x v¨a¨artust on v~oimalik Maclaurini valemi abil arvutada kui tahes suure t¨apsusega, v~ottes arendis x2 x4 n x 2n 1- + - . . . + (-1) 2! 4! (2n)! piisavalt palju liikmeid. N¨aide. Arvutame cos 0, 5 Maclaurini valemi abil, v~ottes n = 2 ja j¨aa¨kliikme absoluutv¨a¨artuse abil hindame maksimaalset viga (0, 5 = 28 38 52 ). Arvutame 0, 52 0, 54 cos 0, 5 1 - + = 1 - 0, 125 + +0, 0026 = 0, 8776 2! 4! ja j¨aa¨kliikme x5 5 R4 (x) = cos x + , 5! 2 kus 0 3.8 Funktsiooni kasvamine ja kahanemine Teoreem 1. Kui funktsioon f (x) on kasvav piirkonnas X, siis selles piirkon- nas f (x) 0. T~oestus. Kui x > 0, siis x+x > x. Eelduse kohaselt f (x+x) > f (x), y st y > 0 ja > 0. Kui x 0. J¨arelikult x y f (x) = lim 0. x0 x
Teoreem 2. Kui funktsioon f (x) on kahanev piirkonnas X, siis selles piirkonnas f (x) 0. T~oestus on analoogiline teoreemi 1 t~oestusega. Teoreem 3. Kui f (x) on diferentseeruv piirkonnas X ja f (x) > 0 , siis funktsioon f (x) on selles piirkonnas kasvav. T~oestus. Fikseerime piirkonnas X kaks argumendi v¨a¨artust x1 ja x2 , sel- liselt, et x1 14 Eelduse j¨argi f () > 0 ja punktide x1 ja x2 valiku t~ottu x2 -x1 > 0. J¨arelikult ka f (x2 ) - f (x1 ) > 0, st f (x2 ) > f (x1 ) ehk funktsioon on kasvav. Samal viisil on v~oimalik t~oestada j¨argmine teoreem. Teoreem 4. Kui f (x) on diferentseeruv piirkonnas X ja f (x) kasvamis - ja kahanemispiirkonna. Funktsiooni m¨a¨aramispiirkond X = R. Leiame tuletise y = 2xe-x - x e = xe-x (2 - x). Teoreemi 3 j¨argi saame kasvamispiirkonna tingimu- 2 -x
sest xe-x (2 - x) > 0 ja teoreemi 4 p~ohjal kahanemispiirkonna tingimu- sest xe-x (2 - x) 0, siis esimene v~orratus on samav¨a¨arne v~orratusega x(2 - x) > 0 ja teine samav¨a¨arne v~orratusega x(2 - x) naks X = (0; 2) ja teise v~orratuse lahendihulk funtksiooni kahanemispiir- konnaks X = (-; 0) (2; ).
3.9 Funktsiooni lokaalsed ekstreemumid ¨ Definitsioon 1. Oeldakse, et funktsioonil on punktis x1 lokaalne maksimum, kui sellel punktil leidub selline u¨mbrus (x1 -; x1 +), et iga x (x1 -; x1 +) korral f (x) f (x2 ). Kui t¨ahistada x = x1 + x, saame tingimuse f (x) kuuluma definitsioonis 1 mainitud u ¨mbrusse. Kui t¨ahistada x = x2 + x, saame tingimuse f (x) > f (x2 ) kirjutada f (x2 + x) - f (x2 ) > 0 ehk y > 0. J¨areldus 2. Funktsioonil on punktis x2 lokaalne miinimum, kui funkt- siooni muut selles punktis on v¨aikeste argumendi muutude korral positiivne. Teoreem 1 (Ekstreemumi olemasoluks tarvilik tingimus). Kui funkt- sioonil f (x) on punktis x0 lokaalne ekstreemum , siis f (x0 ) = 0 v~oi f (x0 ) ei eksisteeri. T~oestus. Oletame konkreetsuse m~ottes, et funktsioonil on punktis x0 lo- y kaalne maksimum. Siis j¨areldus 1 p~ohjal on y 0, siis 0 ja piirv¨a¨artusteoreemi p~ohjal x y lim 0. (3.15) x0+ x
¨ Uhepoolsed piirv¨a¨artused (3.14) ja (3.15) on v~ordsed ainult juhul, kui need m~olemad v~orduvad nulliga. Aga siis ka y f (x0 ) = lim = 0. x0 x Kui aga u ¨hepoolsed piirv¨a¨artused (3.14) ja (3.15) on erinevad, siis y f (x0 ) = lim =0 x0 x
puudub. Definitsioon 3. Punkti x0 , kus f (x0 ) = 0, nimetatakse funktsiooni f (x) statsionaarseks punktiks. Definitsioon 4. Funktsiooni f (x) kriitiliseks punktiks nimetatakse selle funktsiooni statsionaarset punkti, v~oi punkti, kus tuletis puudub. Kasutades viimast definitsiooni, saame ekstreemumi olemasoluks tarvili- ku tingimuse u ¨mber s~onastada j¨argmiselt. Kui funktsioonil f (x) on punktis x0 lokaalne ekstreemum, siis x0 on funkt- siooni f (x) kriitiline punkt, st mujal kui kriitilises punktis funktsioonil lo- kaalset ekstreemumit olla ei saa. See tingimus on ekstreemumi olemasoluks tarvilik, kuid mitte piisav. Funktsiooni y = x3 tuletis y = 3x2 v~ordub nulliga, kui x = 0, st x = 0 on funktisooni y = x3 kriitiline punkt, kuid sellel funktsioonil punktis x = 0 ekstreemumit ei ole. Teoreem 2. Olgu x0 funktsiooni f (x) kriitiline punkt ja olgu funktsioon diferentseeruv x0 u ¨mbruses (x0 - ; x0 + ). Siis kehtivad v¨aited. 1) Kui x0 vasakpoolses u¨mbruses (x0 -; x0 ) on f (x) > 0 ja parempoolses u ¨mbruses (x0 ; x0 + ) on f (x) 0, siis funktsioonil f (x) on punktis x0 lokaalne miinimum.
16 3) Kui x0 vasakpoolses u ¨mbruses (x0 -; x0 ) on f (x) > 0 ja parempoolses u ¨mbruses (x0 ; x0 + ) on f (x) > 0, siis funktsioon f (x) on punktis x0 kasvav. 4) Kui x0 vasakpoolses u ¨mbruses (x0 -; x0 ) on f (x) f (x) - f (x0 ) = f ()(x - x0 ).
Eelduse kohaselt f () 0. Korrutis f ()(x - x0 ) 0 ja x valiku t~ottu x0 - x > 0. Korrutis f ()(x - x0 ) > 0, seega f (x0 ) > f (x). Iga fikseeritud x (x0 - ; x0 + ) korral on t¨aidetud tingimus f (x) 0 ja x valiku t~ottu x - x0 > 0. Korrutis f ()(x - x0 ) > 0, seega f (x) > f (x0 ). Fikseerime x0 vasakpoolses u ¨mbruses punkti x (x0 -; x0 ). L~oigul [x; x0 ] on t¨aidetud Lagrange'i teoreemi eeldused, st leidub selline (x; x0 ), et
f (x0 ) - f (x) = f ()(x0 - x).
Eelduse kohaselt f () > 0 ja x valiku t~ottu x0 - x > 0. Korrutis f ()(x - x0 ) > 0, seega f (x0 ) > f (x). Seega iga x > x0 korral f (x) > f (x0 ) ja iga x 17 x x0 j¨areldus f (x) > 0 f (x) 0 funktsioonil f (x) on punktis x0 lokaalne miinimum f (x) > 0 f (x) > 0 funktsioon on punktis x0 kasvav f (x) reaalarvud . Leiame 3 2 1 3x + 2(x - 1) 5x - 2 y = x2 + (x - 1) · x- 3 = = 3 3· x3 3· 3x 2 Siit saame, et y = 0, kui 5x - 2 = 0, st x = ja y ei eksisteeri, kui x = 0. 5 2 Kriitilised punktid on x1 = 0 ja x2 = . 5 Kui x 0. 2 Kui 0 0, seega y , siis 5x - 2 > 0 ja 3 x > 0, st y > 0. 5 Et kriitilisest punktist x1 = 0 vasakul on y > 0 ja paremal y 0. Seega 5 selles kriitilises punktis on funktsioonil lokaalne miinimum.
3.10 Funktsiooni ekstreemumi liigi uurumine teise tu- letise abil Olgu x0 funktsiooni f (x) statsionaarne punkt, st f (x0 ) = 0. Teoreem. Olgu f (x) on m¨a¨aratud ja pidev statsionaarse punkti x0 min- gis u ¨mbruses. Kui f (x0 ) 0, siis on funktsioonil f (x) punktis x0 lokaalne miinimum. T~oestus. Kui f (x0 ) 0 ja kui x > x0 , siis f (x0 ) 18 K~oigepealt leiame y = 2 cos x - 2 sin 2x = 2 cos x(1 - 2 sin x). Statsio- naarsed punktid saame v~orrandist
2 cos x(1 - 2 sin x) = 0. 1 Kui 2 cos x = 0, siis x = + n, n Z. Kui 1 - 2 sin x = 0, st sin x = , siis 2 2 x = (-1)n + n, n Z. Kokku saime kaks stationaarsete punktide hulka. 6 Edasi leiame y = -2 sin x - 4 cos 2x. Arvutades selle v¨a¨artuse punktides x = + n, n Z saame, et y = -2 sin + n - 4 cos 2 + n . 2 2 2 Arvestades sellega, et sin + n = (-1)n ja cos( + 2n) = cos = 2 -1, on y + n = -2(-1)n +4 > 0 iga n Z korral. J¨arelikult punktides 2 x = + n n Z on antud funktsioonil lokaalne miinimum. 2 Punktides x = (-1)n + n, n Z saame, et 6 y = -2 sin (-1)n + n - 4 cos 2 (-1)n + n 6 6 1 n 1 = -2 · - 4 cos (-1) + 2n = -1 - 4 cos (-1)n = -1 - 4 · = -3. 2 3 3 2 J¨arelikult on antud funktsioonil punktides x = (-1)n + n, n Z lokaalne 6 maksimum.
3.11 Funktsiooni suurim ja v¨ ahim v¨ a¨ artus antud l~ oigul Olgu funktsioon y = f (x) pidev l~oigul [a; b]. Suurima ja v¨ahima v¨a¨artuse leidmine tugineb kahel faktil. 1. L~oigul pidev funktsioon omab suurimat ja v¨ahimat v¨a¨artust sellel l~oigul. 2. L~oigul pidev funktsioon omandab suurima ja v¨ahima v¨a¨artuse kas krii - tilises punktis (st punktis, kus funktsioonil v~oib olla lokaalne ekstreemum) v~oi l~oigu otspunktis. Nendest kahest v¨aitest tuleneb eeskiri funktsiooni y = f (x) suurima ja v¨ahima v¨a¨artuse leidmiseks l~oigul [a; b]. 1. Leiame funktsiooni y = f (x) l~oiku [a; b] kuuluvad kriitilised punktid x1 , x2 , . . .. ja arvutame nendes funktsiooni v¨a¨artused f (x1 ), f (x2 ), . . .. 2. Arvutame funktsiooni v¨a¨artused l~oigu otspunktides f (a) ja f (b). 3. Leitud v¨a¨artuste hulgast valime suurima ymax ja v¨ahima ymin .
19 N¨aide. Leiame funktsiooni y = x3 -3x suurima ja v¨ahima v¨a¨artuse l~oigul [-2; 2]. Siin y = 3x2 - 3 ja kriitilised punktid saame v~orrandist 3x2 - 3 = 0, millest x1 = -1 ja x2 = 1. Funtsiooni v¨a¨artused kriitilistes punktides on f (-1) = (-1)3 - 3(-1) = 2 ja f (1) = 1 - 3 = -2. Funktsiooni v¨a¨artused l~oigu otspunktides f (-2) = (-2)3 - 3(-2) = -2 ja f (2) = 2. Seega
ymax = y(-1) = y(2) = 2
ja ymin = y(-2) = y(1) = -2.
3.12 Funktsiooni graafiku kumerus ja n~ ogusus. K¨ a¨ anupunktid Definitsioon 1. Funktsiooni graafikut nimetatakse kumeraks piirkonnas X, kui u¨ kski selles piirkonnas graafikule t~ommatud puutuja ei ole graafikust allpool. Definitsioon 2. Funktsiooni graafikut nimetatakse n~ogusaks piirkonnas X, kui u ¨kski selles piirkonnas graafikule t~ommatud puutuja ei ole graafikust u ¨lalpool. Definitsioon 3.Funktsiooni graafiku k¨a¨anupunktiks nimetatakse punkti, mis eraldab kumeruspiirkonda n~ogususpiirkonnast. J¨ areldus definitsioonidest. K¨a¨anupunktis graafiku puutuja l~oikab graa- fikut, sest u ¨hel pool k¨a¨anupunkti ei ole puutuja graafikust allpool ja teisel pool puutujast u ¨lalpool. Funktsiooni graafiku kumeruspiirkonda t¨ahistatakse s¨umboliga X ^ ja n~ogu- suspiirkonda s¨ umboliga X. Teoreem 1. Olgu pideval funktsioonil y = f (x) piirkonnas X pidevad esimest ja teist j¨arku tuletised. Kui f (x) y¯ - f (x) = f (x0 ) + f (x0 )(x - x0 ) - f (x) = -[f (x) - f (x0 )] + f (x0 )(x - x0 ).
L~oigul [x0 ; x] on t¨aidetud k~oik Lagrange'i teoreemi eeldused, st leidub selline x¯ (x0 ; x), et f (x) - f (x0 ) = f (¯ x)(x - x0 ). Seega
y¯ - f (x) = -f (¯ x)(x - x0 ) + f (x0 )(x - x0 ) = -(x - x0 )(f (¯ x) - f (x0 )).
20 Ka funktsiooni f (x) jaoks on l~oigul [x0 ; x¯] Lagrange'i teoreemi eeldused t¨aidetud, st leidub selline (x0 ; x¯), et f (¯ x) - f (x0 ) = f ()(¯ x - x0 ). J¨arelikult y¯ - f (x) = -f ()(x - x0 )(¯x - x0 ). Kui x > x0 , siis x - x0 > 0 ja et x0 0 ja (x - x0 )(¯ x - x0 ) > 0. Kasutades eeldust f (x) 0 ehk y¯ > f (x) Kui x 0, seega y¯ > f (x). Seega mis tahes puutepunkti abstsissist x0 erinevale x X v¨a¨artusele vastav ordinaat puutujal on suurem kui graafiku punkti ordinaat, st puutu - ja punkt on k~orgemal kui graafiku punkt. Definitsiooni kohaselt on graafik kumer. Analoogilise viisil t~oestatakse. Teoreem 2. Olgu pideval funktsioonil y = f (x) piirkonnas X pidevad esimest ja teist j¨arku tuletised. Kui f (x) > 0 piirkonnas X, siis on funkt- siooni graafik selles piirkonnas n~ogus. Teoreem 3. Kui f (x0 ) = 0 v~oi f (x0 ) ei eksisteeri ja f (x) muu- dab punktis x0 m¨arki, siis on funktsiooni graafikul punktis abstsissiga x0 k¨a¨anupunkt. 2 N¨aide. Leiame funktsiooni y = e-x graafiku kumerus- ja n~ogususpiir- konnad ning k¨a¨anupunktid. 2 2 2 2 Leiame y = -2xe-x ja y = -2e-x + 4x2 e-x = 2e-x (2x2 - 1). 2 Et 2e-x > 0, saame teise tuletise nullkohad v~orrandist 2x2 - 1 = 0, 1 1 millest x1 = - ja x2 = . 2 2 1 Kumeruspiirkonna leiame v~orratusest 2x2 - 1 0, millest x . Teist j¨aku tuletis muudab m¨arki m~olema leitud x v¨a¨artuse korral. 2 1 1 1 1 Kui x = - , siis y = e- 2 . Kui x = , siis y = e- 2 . 2 2 Seega on funktsiooni graafiku k¨ umeruspiirkond X ^ = - 1 ; 1 , n~ogu- 2 2 = -; - 1 1 1 1 suspiirkond X ; ja k¨a¨anupunktid K1 - ; 2 2 2 e 1 1 ning K2 ; 2 e
21 3.13 Funktsiooni graafiku asu ¨ mptoodid Olgu O koordinaatide alguspunkt ja M (x; y) funktsiooni y = f (x) graafiku punkt. ¨ Definitsioon 1. Oeldakse, et funktsiooni graafiku punkt liigub l~opmatus- -- -- se, kui vektori OM pikkus t~okestamatult kasvab, st |OM | = x2 + y 2 . Definitsioon 2. Sirget nimetetakse funktsiooni graafiku as¨ umptoodiks, kui graafiku punkti liikumisel l~opmatusse selle punkti kaugus sirgest on l~opma- tult kahanev suurus. Graaafiku as¨umptoodid jaotatakse vertikaalas¨ umptootideks ja kaldas¨ umptootideks. Vertikaalse sirge v~orrandiks on x = a. See sirge on funktsiooni graafiku vertikaalas¨ umptoodiks, kui graafiku punkti M (x; y) liikumisel l~opmatusse, selle kaugus sirgest on l~omatult kahanev suurus, st -- lim |x - a| = 0. |OM | -- V~ordused lim -- |OM | = x2 + y 2 = lim -- a2 + y 2 = on v~oima- |OM | |OM | likud ainult siis, kui lim |y| = . J¨arelikult on sirge x = a funktsiooni y = f (x) graafiku vertikaalas¨ umptoodiks, kui lim f (x) = ± xa-
v~oi lim f (x) = ± xa+ Kui as¨umptoodiks olev sirge ei ole vertikaalne, siis selle t~ousunurk = , 2 sirge t~ous k = tan on l~oplik suurus ja kaldas¨ umptoodi v~orrand on y = kx+b. Tuletame valemid sirge t~ousu ja algordinaadi m¨a¨aramiseks funktsiooni y = f (x) j¨argi. Kui funktsiooni y = f (x) graafiku punkti M (x; y) liikumisel l~opmatusse punkti kaugus sirgest y = kx + b on l~opmatult kahanev suurus, siis |x| (vastasel korral on tegemist vertikaalas¨umptoodiga). Olgu M funktsiooni graafiku punkt (joonis 3.1) ja punkti kaugus sirgest y = kx + b l~oigu M P pikkus. Eelduse kohaselt on sirge y = kx + b funktsiooni y = f (x) graafiku as¨ umptoodiks, seega definitsiooni 2 kohaselt
lim M P = 0. (3.16) |x|
Ilmselt P M Q = (vastavalt ristuvate haaradega nurgad). Et = , 2 siis cos = 0 ja v~orduse M P = M Q · cos t~ottu j¨areldub tingimusest (3.16), et lim M Q = 0. |x|
22 y
) b M y = f (x + kx y=
P Q
x x
Joonis 3.1: funktsiooni graafiku kaldas¨ umptoot
Aga M Q = |f (x) - (kx + b)|. Seega
lim (f (x) - kx - b) = 0. (3.17) |x|
ehk f (x) b lim x -k- = 0. |x| x x Et |x| , siis viimane tingimus on t¨aidetud ainult juhul, kui
f (x) b lim -k- = 0. |x| x x
b V~orduse lim = 0 t~ottu saame viimasest tingimusest, et |x| x
f (x) lim -k = 0, |x| x
millest f (x) k = lim (3.18) |x| x
V~orduset (3.17) saame, et
b = lim (f (x) - kx). (3.19) |x|
23 S~onastame tulemuse teoreemina. Teoreem. Sirge y = kx + b on funktsiooni y = f (x) graafiku kal- das¨umptoodiks parajasti siis, kui eksisteerivad valemites (3.18) ja (3.19) esi- nevad piirv¨a¨artused ja parameetrid k ja b on arvutatavad vastavalt valemite (3.18) ja (3.19) p~ohjal. x2 N¨ aide. Leiame funktsiooni y = graafiku as¨ umptoodid. x-1 Funktsioon on katkev punktis x = 1. Arvutades u ¨hepoolsed piirv¨a¨artused
x2 lim = - x1- x - 1
ja x2 lim = x1+ x - 1
saame, et sirge x = 1 on antud funktsiooni graafiku vertikaalas¨ umptoodiks. Leiame valemi (3.18) abil kaldas¨ umptoodi t~ousu
x2 x2 k = lim : x = lim 2 =1 x x - 1 x x - x
ja valemi (3.19) abil algordinaadi
x2 x2 - x2 + x x lim -x = lim = lim = 1. x x-1 x x-1 x x-1
Antud funktsiooni kaldas¨ umptoodiks on seega sirge y = x + 1. x2 Funktsiooni y = graafik ja selle as¨ umptoodid on esitatud joonisel x-1 3.2.
24 y x=1
6 1 + x
4 = y
2
-4 -2 2 4 x
-2
x2 Joonis 3.2: funktsiooni y = graafik ja selle as¨ umptoodid x-1
25 Paljudel matemaatilistel operatsioonidel on olemas p¨o¨ordoperatsioonid. Nii on n¨aiteks liit- mise p¨o¨ordoperatsiooniks lahutamine, korrutamise p¨o¨ordoperatsiooniks jagamine, astendamise p¨o¨ordoperatsiooniks juurimine . Diferentseerimise p¨o¨ordoperatsiooniks on integreerimine, st funkt- siooni leidmine, kui on teada selle funktsiooni tuletis (ajas kulgeva protsessi kirjeldamine, kui on teada selle protsessi kulgemise intensiivsus antud ajamomendil).
1 a¨ M¨aramata integraali mo ~iste ja omadused Funktsiooni f (x) algfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni F (x), mille korral F (x) = f (x). x2 x2 Nii on n¨aiteks funktsiooni x algfunktsiooniks , sest ( ) = x, funktsiooni cos x algfunktsioo- 2 2 niks sin x, sest (sin x) = cos x jne. Algfunktsioon ei ole u ¨heselt m¨a¨aratud, sest n¨aiteks peale funktsiooni sin x on cos x algfunktsioonideks ka sin x + 2, sin x - ja igasugune avaldis kujul sin x + C, kus C on suvaline konstant. ¨ Uldjuhul, kui funktsiooni f (x) algfunktsiooniks on F (x), siis on f (x) algfunktsiooniks ka avaldis kujul F (x) + C, kus C on suvaline konstant. Tekib k¨ usimus, kas funktsioonil f (x) on veel muid algfunktsioone, mis ei avaldu kujul F (x) + C. Sellele annavad vastuse kaks j¨argmist lauset. Lause 1.1. Kui F (x) = 0 piirkonnas X, siis F (x) on selles piirkonnas konstantne. T~oestus. Fikseerime u¨he punkti x X. Kasutades Lagrange'i teoreemi, v~oime suvalise x korral kirjutada (eeldusel, et ka x + x X ), et
F (x + x) - F (x) = F ()x,
kus X on mingisugune v¨a¨artus x ja x + x vahel. Et eelduse kohaselt funktsiooni F (x) tuletis v~ordub nulliga kogu piirkonnas X, siis ka F () = 0 ja j¨arelikult ka F (x+x)-F (x) = 0 ehk suvalise x korral F (x + x) = F (x), mis sisuliselt t¨ahendab seda, et funktsiooni v¨aa¨rtus piirkonna X suvalises punktis x + x on v~ordne funktsiooni v¨aa¨rtusega fikseeritud punktis x ehk funktsioon on piirkonnas X konstantne. Lause 1.2. Kui F (x) ja G(x) on kaks erinevat funktsiooni f (x) algfunktsiooni, siis nad erinevad teineteisest mitte rohkem kui konstandi v~orra. T~oestus. Eelduse kohaselt F (x) = f (x) ja G (x) = f (x). Seega
[G(x) - F (x)] = G (x) - F (x) = f (x) - f (x) = 0
ja lausest 1 j¨areldub, et G(x) - F (x) = C, kus C on suvaline konstant, ehk G(x) = F (x) + C ja lause 2 v¨aide on t~oestatud. Kogu eelneva v~oib kokku v~otta j¨argmiselt: kui funktsioon F (x) on funktsiooni f (x) alg- funktsiooniks, siis on selleks ka avaldis kujul F (x) + C, kus C on suvaline konstant ja muul kujul algfunktsioone funktsioonil f (x) ei ole. See asjaolu annab aluse j¨argmiseks definitsiooniks. Definitsioon 1.3. Kui F (x) on funktsiooni f (x) algfunktsioon, siis avaldist kujul F (x)+C, kus C on suvaline konstant, nimetatakse funktsiooni f (x) m¨a¨aramata integraaliks ja t¨ahistatakse
f (x)dx.
Siin funktsiooni f (x) nimetatakse integreeritavaks funktsiooniks, dx argumendi diferentsiaaliks ja korrrutist f (x)dx integreeritavaks avaldiseks. Seega definitsiooni kohaselt
f (x)dx = F (x) + C,
1 kus suvaline konstant C kannab ka nimetust integreerimiskonstant. Eeltoodud n¨aidete p~ohjal
cos xdx = sin x + C,
x2 xdx = + C. 2 Teeme m¨a¨aramata integraali definitsioonist m~oningad j¨areldused. J¨ areldus 1.4. f (x)dx = f (x), st m¨aa¨ramata integraali tuletis on v~ordne integreerita- va funktsiooniga. T~oepoolest, definitsiooni kohaselt f (x)dx = (F (x) + C) = f (x). areldus 1.5. d f (x)dx = f (x)dx, st m¨aa¨ramata integraali diferentsiaal on v~ordne J¨ integreeritava avaldisega. V¨aide j¨areldub sellest, et funktsiooni diferentsiaaliks on funktsiooni tuletise ja argumendi dife- rentsiaali korrutis: d f (x)dx = f (x)dx dx = f (x)dx
J¨ areldus 1.6. dF (x) = F (x) + C, st m¨aa¨ramata integraal funktsiooni diferentsiaalist on v~ordne selle funktsiooni ja suvalise konstandi summaga. T~oepoolest, kui F (x) = f (x), siis
dF (x) = F (x)dx = f (x)dx = F (x) + C.
2 P~ ohiintegraalide tabel Selles punktis esitame p~ohiliste elementaarfunktsioonide m¨a¨aramata integraalid. x+1 2.1. Astmefunktsiooni integraal x dx = + C, R, = -1. +1
Selle kolm erijuhtu : dx = x + C,
dx 1 = - + C, x2 x dx = 2 x + C. x Esimene erijuhtudest sisaldub u¨ldises astmefunktsiooni integraalis astendajaga = 0, teine 1 astendajaga = -2 ja kolmas astandajaga = - . Kui astmefunktsiooni integraalis = -1, 2 siis dx 2.2. = ln |x| + C. x Trigonomeetriliste funktsioonide integraalid: 2.3. cos xdx = sin x + C.
2.4. sin xdx = - cos x + C.
dx 2.5. = tan x + C. cos2 x
2 dx 2.6. = - cot x + C. sin2 x ax 2.7. Eksponentfunktsiooni integraal ax dx = + C, a > 0, a = 1 ln a
ja selle erijuht ex dx = ex + C.
Integraalid, mille algfunktsioonideks on arkusfunktsioonid (mitte arkusfunktsiooonide integraa - lid - neid vaatleme allpool). dx 2.8. = arcsin x + C. 1 - x2 dx x 2.9. = arcsin + C. 2 a -x 2 a dx 2.10. = arctan x + C. 1 + x2 dx 1 x 2.11. 2 2 = arctan + C. a +x a a Kaks naturaallogaritmiga seotud intetgraali. dx 2.12. = ln |x + x2 ± a2 | + C. x2 ± a2 dx 1 a+x 2.13. 2 2 = ln + C. a -x 2a a-x H¨uperboolste funktsioonide integraalid 2.14. sh xdx = ch x + C
2.15. ch xdx = sh x + C
dx 2.17. = - cth x + C sh2 x dx 2.17. = th x + C ch2 x K~oik tabelis olevad valemid on vahetult kontrollitavad , sest paremal pool v~ordusm¨arki olev funktsioon peab olema integreeritava funktsiooni algfunktsiooniks, st selle tuletis peab olema v~ordne integreeritava funktsiooniga (valemite 2.12 ja 2.13 puhul on lugejal soovitatav selles veenduda).
3 M¨ a¨ aramata integraali omadused Selles punktis t~oestame kolm m¨a¨aramata integraali omadust ja kasutame neid omadusi in- tegreerimisel. Omadus 3.1. [f (x)+g(x)]dx = f (x)dx+ g(x)dx, st kahe funktsiooni summa m¨a¨aramata integraal on v~ordne nende funktsioonide m¨a¨aramata integraalide summaga. T~oestus. Kaks m¨a¨aramata integraali on v~ordsed, kui nad erinevad teineteisest u ¨limalt kons- tandi v~orra ehk nende tuletised on v~ordsed. N¨aitame seda. V~ottes vasakult poolt tuletise, saame j¨arelduse 1.4 abil, et [f (x) + g(x)]dx = f (x) + g(x).
3 Paremalt poolt tuletist v~ottes kasutame sama j¨areldust ja summa tuletise omadust:
f (x)dx + g(x)dx = f (x)dx + g(x)dx = f (x) + g(x).
Omadus 3.2. Kui a on konstant, siis af (x)dx = a f (x)dx, st konstantse teguri saab tuua integraali m¨argi ette. Omaduse 3.2 p~ohjendus on analoogililine omaduse 3.1 p~ohjendusega. Omadus 3.3. [f (x)-g(x)]dx = f (x)dx- g(x)dx, st kahe funktsiooni vahe m¨aa¨ramata integraal on v~ordne nende funktsioonide m¨a¨aramata integraalide vahega. P~ohjenduseks kasutame kahte eelmist omadust:
[f (x) - g(x)]dx = [f (x) + (-1)g(x)]dx = f (x)dx + (-1)g(x)dx
= f (x)dx - g(x)dx.
Toome m~oned n¨aited integraalidest, mida on v~oimalik leida, kasutades p~ohiintegraalide tabelit ja m¨a¨aramata integraali omadusi 3.1 - 3.3. N¨ aide 3.4. Leiame (x2 + 2 sin x) dx. Kasutades omadusi 3.1 ja 3.2 ning tabeliintegraale 2.1 ja 2.4, leiame x3 x2 dx + 2 sin xdx = x2 dx + 2 sin xdx = - 2 cos x + C. 3 N¨ aide 3.5. Leiame (x - 1)2 dx. x(1 + x2 ) Siin avame esmalt lugejas sulud , seej¨arel jagame liikmeti, taandame, kasutame omadusi 3.3 ja 3.2 ning tabeliintegraale 2.2 ja 2.10: (x - 1)2 x2 + 1 - 2x x2 + 1 2x dx = dx = - dx x(1 + x2 ) 2 x(1 + x ) x(1 + x ) x(1 + x2 ) 2
1 2 dx dx = - 2 dx = -2 x 1+x x 1 + x2 = ln |x| - 2 arctan x + C. N¨ aide 3.6. Leiame cos 2x dx. sin2 x cos2 x Kasutades j¨argem¨o¨oda kahekordse argumendi koosinuse valemit, liikmeti jagamist, m¨a¨aramata integraali omadust 3.3 ja tabeliintegraale 2.5 ning 2.6, saame, et cos 2x cos2 x - sin2 x cos2 x sin2 x dx = dx = - dx sin2 x cos2 x sin2 x cos2 x sin2 x cos2 x sin2 x cos2 x 1 1 dx dx = 2 - 2 dx = 2 - = - cot x - tan x + C. sin x cos x sin x cos2 x M¨arkus. Siiani oleme integreerimismuutujana kasutanud ainult t¨ahte x. Loomulikult ei s~oltu m¨a¨aramata integraal sellest, millega on t¨ahistatud integreerimismuutuja, vaid ainult in- tegreeritavast funktsioonist, seega
f (x)dx = f (y)dy = f (t)dt = . . . .
4 Kaugeltki mitte k~oiki funktsioone ei ole v~oimalik integreerida esitatud kolme n¨aite eeskujul elementaarmatemaatika v~otteid kasutades. J¨argnevas vaatleme meetodeid , mis lubavad tabeli abil integreeritavate funktsioonide klassi oluliselt laiendada.
4 Integreerimine muutuja vahetusega Vaatleme integraali f (x)dx ja u ¨hest funktsiooni x = (t), millel on u ¨hene p¨o¨ordfunktsioon t = (x). Teoreem 4.1. Kui x = (t) on rangelt kasvav (rangelt kahanev diferentseeruv funktsioon, siis f (x)dx = f [(t)] (t)dt (4.1)
T~oestus. Kasutame j¨alle asjaolu, m¨aa¨ramata integraalid on v~ordsed, kui on v~ordsed nende tuletised. Diferentseerime v~orduse (4.1) m~olemat poolt x j¨argi ja veendume, et tulemus on sama. Vasaku poole tuletis on j¨arelduse 1.4 p~ohjal f (x). Parema poole algfunktsioon on muutuja t funktsioon, seega muutuja x j¨argi tuletist v~ottes peame paremat poolt diferentseerima kui liitfunktsiooni: integraali tuletis t j¨argi korda t tuletis x j¨argi, st
dt f [(t)] (t)dt = f [(t)] (t)dt · . x t dx
J¨arelduse 1.4 p~ohjal f [(t)] (t)dt = f [(t)] (t). t
Tehtud eelduse t~ottu (t) = 0, seega p¨o¨ordfunktsiooni t = (x) tuletiseks on antud funktsiooni tuletise p¨oo¨rdv¨a¨artus, st dt 1 = (x) = . dx (t) Kokku saame, et
1 f [(t)] (t)dt = f [(t)] (t) · = f [(t)] = f (x) x (t)
ehk t~oepoolest on v~orduse (4.1) m~olema poole tuletised v~ordsed funktsiooniga f (x), mis t~oes- tabki teoreemi v¨aite. M¨ arkus. Funktsioon x = (t) ja tema p¨o¨ordfunktsioon t = (x) kujutavad endast u ¨ht ja sama s~oltuvust muutujate t ja x vahel. Seega v~oib muutuja vahetuse teha nii u¨hel v~oi teisel kui ka mistahes muul sama s~oltuvust v¨aljendaval kujul. N¨ aide 4.2. Leiame integraali x . x2 + 1 Selles integraalis saab kasutada muutuja vahetust t = x2 + 1, aga samuti ka x2 = t - 1 v~oi dt x = t - 1. Kasutame esitatud v~oimalustest viimast, leiame dx = ja 2 t-1 x t-1 dt dt dx = = = t + C = x2 + 1 + C. x2 + 1 t-1+12 t-1 2 t
5 dt Kasutades aga pakutud v~oimalustest esimest, saame dt = 2xdx ehk xdx = t~ottu, et 2 x 1 dt dx = = t + C = x2 + 1 + C. x2 + 1 t2 Teeme teoreemist 4.1 kaks j¨areldust. J¨ areldus 4.3. f (x) dx = ln |f (x)| + C, f (x) st muuru, mille lugejas on nimetaja tuletis, m¨aa¨ramata integraaliks on naturaallogaritm nime- taja absoluutv¨a¨artusest, millele lisandub integreerimiskonstant. f (x) T~oepoolest, tehes integraalis dx muutuja vahetuse t = f (x), saame dt = f (x)dx f (x) t~ottu, et f (x) dt dx = = ln |t| + C = ln |f (x)| + C. f (x) t N¨ aide 4.4. Leiame cos x cot xdx = dx = ln | sin x| + C. sin x N¨ aide 4.5. Leiame xdx 1 2x 1 2 = dx = ln(x2 + 1) + C. x +1 2 x2 +1 2 N¨ aide 4.6. Leiame ch x cth xdx = dx = ln | sh x| + C. sh x
Siin ei pea naturaallogaritmi argument olema absoluutv¨aa¨rtuse m¨arkide vahel, sest avaldis x2 +1 on nagunii iga x v¨aa¨rtuse korral positiivne. J¨areldus 4.7. Kui f (x)dx = F (x) + C, siis a = 0 korral
1 f (ax + b)dx = F (ax + b) + C, a st kui integreeritava funktsiooni argument x on asendatud lineaarse avaldisega ax + b, siis on ka algfunktsiooni argumendiks ax + b ja niisugaue argumendiga algfunktsiooni tuleb korrutada x kordaja p¨oo¨rdv¨a¨artusega 1/a. J¨arelduse 4.7 v¨aite kontrollimiseks piisab lineaarsest muutuja vahetusest t = ax+b, mille korral 1 dt = adx ehk dx = dt ning a 1 1 1 1 f (ax + b)dx = f (t) dt = f (t)dt = F (t) + C = F (ax + b) + C. a a a a
N¨ aide 4.8. Teades, et cos xdx = sin x + C, saame j¨areldusest 4.7, et
1 cos(3x + 4)dx = sin(3x + 4) + C. 3
6 dx aide 4.9.Teades, et N¨ = tan x + C, leiame cos2 x dx 1 x x 2 x = 1 tan + C = 3 tan + C. cos 3 3 3 3
dx 1 x N¨ aide 4.10.Teades, et (tabeliintegraal 2.11) = arctan + C, leiame 2 + x2 2 2 dx dx 1 2x + 1 = = arctan + C. 4x2 + 4x + 3 2 (2x + 1) + 2 2 2 2 Lihtsamatel juhtudel ei pea alati uut muutujat kasutusele v~otma. Oletame, et f (x)dx on tabeliintegraal. Kui on vaja leida integraal
(x)f [(x)]dx,
siis kasutades funktsiooni diferentsiaali avaldist d[(x)] = (x)dx, kirjutame
(x)f [(x)]dx = f [(x)]d[(x)]
ja tulemuse vaatame tabelist, kasutades integreerimismuutuja x asemel muutujat (x). Niisu- gust integreerimist nimetatakse integreerimiseks diferentsiaali m¨argi alla viimisega . 1 N¨aide 4.11. Kasutades diferentsiaali d(x2 + 2) = 2xdx ehk xdx = d(x2 + 2) ja tabeliin- 2 tegraali 2.1, leiame 3 1 1 (x 2 + 2) 2 (x 2 + 2) x2 + 2 x x2 + 2dx = x2 + 2d(x2 + 2) = 3 + C = + C. 2 2 2 3
aide 4.12. Kasutades diferentsiaali d(x3 ) = 3x2 dx ja tabeliintegraali 2.4, leiame N¨ 1 1 1 x2 sin x3 dx = 3x2 sin x3 dx = sin x3 d(x3 ) = - cos x3 + C. 3 3 3
5 Ositi integreerimine Olgu meil antud kaks diferentseeruvat funktsiooni u = u(x) ja v = v(x). Nende funktsioo- nide korrutise diferentsiaal d(uv) = udv + vdu. M¨a¨aratud integraali omaduse 3.1 p~ohjal
d(uv) = udv + vdu
ja j¨arelduse 1.6 t~ottu uv = udv + vdu.
Viimasest v~ordusest saame ositi integreerimise valemi
udv = uv - vdu. (5.1)
7 Ositi integreerimise valemi rakendamisel kerkib u ¨les kaks p~ohiprobleemi. Esiteks - milliste funktsioonide korral seda rakendada ja teiseks - kuidas valida funktsioon u ning funktsiooni v diferentsiaal dv. Siin on u ¨hest retsepti v~oimatu anda. Ositi integreerimise valem on rakendatav v¨aga mitmesuguste funktsioonide integreerimisel, kaasa arvatud ka niisuguste integraalide kor- ral, mille leidmine muude meetoditega on l¨ uhem ja lihtsam. Enam huvi pakuvad funktsioonid, mille integreerimine muude meetoditega osutub v~oimatuks. N¨aiteks on ainult ositi integreeri- tavad: 1) hulkliikmete ja siinuste korrutised, 2) hulkliikmete ja koosinuste korrutised, 3) hulkliikmete ja eksponentfunktsioonide korrutised, kusjuures k~oigil kolmel juhul ositi integreerimise valemis funktsiooniks u valitakse hulkliige ja diferentsiaaliks dv vastavalt siinuse ja argumendi diferentsiaali dx korrutis, koosinuse ja argu- mendi diferentsiaali dx korrutis v~oi eksponentfunktsiooni ja argumendi diferentsiaali dx korru- tis. N¨aide 5.1. Leiame (x2 + 3x) sin 2xdx. Siin on integreeritavaks funktsiooniks hulkliikme ja siinuse korrutis. Seega valime ositi integreerimise valemis (5.1) u = x2 + 3x ja dv = sin 2xdx. Edasi leiame funktsiooni u diferentsiaali du = (2x+3)dx ja, kasutades j¨areldust 4.6, funktsiooni 1 v = sin 2xdx = - cos 2x. Funktsiooni v leidmisel on otstarbekas integreerimiskonstant v~otta 2 v~ordseks nulliga, sest hiljem koonduksid seda integreerimiskonstanti sisaldavad liikmed ikkagi v¨alja. Selles v~oib iga lugeja ise veenduda. Ositi integreerimise valemi rakendamisel saame n¨ uu ¨d, et 1 1 (x2 + 3x) sin 2xdx = - (x2 + 3x) cos 2x - (2x + 3) - cos 2xdx 2 2 1 1 = - (x2 + 3x) cos 2x + (2x + 3) cos 2xdx. 2 2 Viimane integraal kujutab endast hulkliikme ja koosinuse korrutist. Ka seda peab integree- 1 rima ositi, valides u = 2x + 3 ja dv = cos 2xdx. Siis du = 2dx ja v = cos 2xdx = sin 2x ning 2 ositi integreerimise valemi abil 1 1 (2x + 3) cos 2xdx = (2x + 3) sin 2x - sin 2x · 2dx = 2 2 2x + 3 2x + 3 1 = sin 2x - sin 2xdx = sin 2x + cos 2x + C. 2 2 2 Seega kokkuv~ottes 1 2x + 3 1 (x2 + 3x) sin 2xdx = - (x2 + 3x) cos 2x + sin 2x + cos 2x + C 2 4 4 2 1 - 6x - 2x 2x + 3 = cos 2x + sin 2x + C. 4 4 N¨ aide 5.2. Leiame x5x dx. Siin on integreertavaks funktsiooniks hulkliikme (erijuhuna u ¨ksliikme x) ja eksponentfunkt- siooni korrutis. Seega valime ositi integreerimise valemis u = x ja dv = 5x dx. Siis du = dx, 5x v = 5x dx = ja ln 5 5x 5x x5x 1 x5x dx = x - dx = - 5x dx ln 5 ln 5 ln 5 ln 5 x5x 1 5x 5x 1 = - · +C = x- + C. ln 5 ln 5 ln 5 ln 5 ln 5
8 Peale eespool toodud korrutiste on veel mitmeid funktsioonide t¨uu¨pe, mida on v~oimalik integreerida ainult ositi. N¨aide 5.3. Leiame x log xdx. dx Siin valime ositi integreerimise valemis u = log x ja dv = xdx. Sellisel juhul du = , x ln 10 x2 v = xdx = ja 2 x2 x2 dx x2 1 x2 x2 x log xdx = log x - = log x - xdx = log x - + C. 2 2 x ln 10 2 2 ln 10 2 4 ln 10
N¨ aide 5.4. Leiame arcsin xdx. Ositi integreerimise valemis valime u = arcsin x ja dv = dx (rohkem valikuv ~oimalusi siin pole- dx gi!). Edasi leiame du = , v = dx = x ja ositi integreerimise valemi abil 1 - x2 xdx arcsin xdx = x arcsin x - . 1 - x2 dt Viimases integraalis teeme muutuja vahetuse t = 1 - x2 . Siis dt = -2xdx ehk xdx = - ja 2 xdx 1 dt =- = - t + C = - 1 - x2 + C. 1 - x2 2 t Seega arcsin xdx = x arcsin x + 1 - x2 + C.
6 Ratsionaalavaldiste integreerimine 6.1 aisosa eraldamine Ratsionaalavaldise t¨ Ratsionaalavaldiseks nimetatakse kahe hulkliikme jagatist. N¨aiteks on ratsionaalavaldisteks
1 2x2 - x + 1 x3 + 1 x4 , , , (6.1) x2 - 1 x3 - x2 + x - 1 x3 - 1 x2 + 1 ehk u ¨ldkujul a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + am xm , b0 + b1 x + b2 x2 + . . . + bn xn kus a0 ja b0 on vastavalt lugeja ja nimetaja vabaliikmed, a1 , a2 , . . . , am vastavate x atsmete arvulised kordajad lugejas ning b1 , b2 , . . . , bn vastavate x astmete kordajad nimetajas . Juhul kui m ratsionaalsed lihtmurrud, kaks viimast aga ratsionaalsed liigmurrud. Ratsionaalse liigmurru korral eraldatakse sellest k~oigepealt t¨aisosa, st liigmurd esitatakse hulkliikme ehk t¨aisosa ja ratsionaalse lihtmurru summana. Lihtsamatel juhtudel saab t¨aisosa eraldada ratsio- naalset murdu sobiva arvuga samaaegselt korrutades ja jagades ja lugejale sobivaid suurusi liites ja lahutades, st tehes elementaartehteid, mis murru v¨a¨artust ei muuda.
9 x2 N¨ aide 6.1. Eraldame ratsionaalse liigmurru t¨aisosa ja integreerime. K~oigepealt ja- 2x - 1 game ja korrutame murdu 4-ga, x2 1 4x2 = , 2x - 1 4 2x - 1 seej¨arel liidame lugejale -1 + 1,
x2 1 4x2 - 1 + 1 1 4x2 - 1 1 1 = = + , 2x - 1 4 2x - 1 4 2x - 1 4 2x - 1 millest p¨arast taandamist saame, et
x2 1 1 = (2x + 1) + . 2x - 1 4 4(2x - 1) 1 1 Tulemusena saime t¨aisosaks hulkliikme (2x+1) ja murdosaks ratsionaalse lihtmurru . 4 4(2x - 1) N¨ uu¨d on antud ratsionaalavaldis h~olpsasti integreeritav:
x2 dx 1 1 dx 1 1 = (2x - 1)dx + = (x2 + x) + ln |2x - 1| + C. 2x - 1 4 4 2x - 1 4 8 Viimase integraali leidmiseks saab kasutada n¨aiteks j¨areldust 4.6. Keerulisematel juhtudel kasutatakse hulkliikmete jagamisel p~ohim~otet: mitu korda mahub jagaja k~orgeim aste jagatava k~orgeimasse astmesse. N¨ aide 6.2. Eraldame t¨aisosa ratsionaalses liigmurrus
2x4 - 3x3 + x2 - 2 . x2 - 3x + 2 Siin on jagajas x2 - 3x + 2 muutuja x k~orgeimaks astmeks x2 ja jagatavas 2x4 - 3x3 + x2 - 2 on k~orgeima astmega liige 2x4 . Jagaja k~orgeimat astet peab korrutama suurusega 2x2 , selleks et saada jagatava k~orgeimat astet. Seega esimeseks liikmeks jagatises on 2x2 . Sellega korrutame kogu jagaja, tulemuse 2x4 - 6x3 + 4x4 kirjutame jagatava alla ja lahutame:
2x4 - 3x3 + x2 - 2 : x2 - 3x + 2 2x4 - 6x3 + 4x2 2x2 + 3x + 6. 3x3 - 3x2 - 2 3x3 - 9x2 + 6x 6x2 - 6x - 2 6x2 - 18x + 12 12x - 14
Lahutamise tulemuseks on 3x3 - 3x2 - 2. J¨argmise liikme jagatisse leiame saadud tulemuse ja jagaja k~orgemate astmete v~ordlemise teel - jagaja k~orgeimat astet x2 tuleb korrutada suurusega 3x, selleks et saada k~orgeimat astet 3x3 . Korrutame 3x-ga kogu jagajat, kirjutame tulemuse 3x3 - 9x2 + 6x eelmise lahutamise tulemuse alla ning lahutame uuesti u ¨lemisest alumise. Tu- lemuseks on 6x2 - 6x - 2. Selle hulkliikme k~orgeima astme saamiseks peame jagaja k~orgeimat astet x2 korrutama 6-ga. Korrutame 6-ga kogu jagajat, kirjutame tulemuse 6x2 - 18x + 12 eelmise lahutamise tulemuse alla ning lahutame taas u ¨lemisest alumise. Saame 12x - 14, milles
10 muutuja x k~orgeim aste on madalam kui jagajas. J¨arelikult on jagatise t¨aisosaks 2x2 + 3x + 6, j¨a¨agiks 12x - 14 ja antud ratsionaalne liigmurd on esitatav kujul 2x4 - 3x3 + x2 - 2 2 12x - 14 = 2x + 3x + 6 + . x2 - 3x + 2 x2 - 3x + 2 Tulemust on lihtne kontrollida: v~ottes parempoolse avaldise u ¨hisele nimetajale, peame tagasi saama esialgse liigmurru. Saadud summas tekkinud hulkliikme integreerimine on lihtne, seega ratsionaalavaldise in- tegreerimise seisukohast tuleb p~ohit¨ahelepanu p¨oo¨ rata ratsionaalse lihtmurru integreerimisele. Selleks tuleb ratsionaalne lihtmurd lahutada osamurdudeks.
6.2 Osamurrud Osamurdusid on nelja liiki (A, B, a,b ja c t¨ahistavad konstante). A · Esimest liiki osamurd ; x-a A · teist liiki osamurd , kus k N ja k > 1; (x - a)k Ax + B · kolmandat liiki osamurd , kus nimetajas oleval ruutkolmliikmel reaalsed null- ax2 + bx + c kohad puuduvad; Ax + B · neljandat liiki osamurd , kus k N ja k > 1 ja nimetajas oleval ruutkolm- (ax2 + bx + c)k liikmel reaalsed nullkohad puuduvad. Tabeliintegraalist 2.2 saame j¨arelduse 4.6 abil esimest liiki osamurru integraali A dx = A ln |x - a| + C. (6.2) x-a Teist liiki osamurru integreerimise kohta esitame n¨aite. N¨ aide 6.3. Kasutades j¨alle j¨areldust 4.6, leiame 5dx -3 (x + 2)-2 5 =5 (x + 2) dx = 4 +C =- + C. (x + 2)3 -2 2(x + 2)2 Kolmandat liiki osamurru integreerimise tulemuseks on u ¨ldjuhul naturaallogaritmi ja arkustan- gensi summa. Kui lugejas on ainult konstant, st A = 0, siis on integreerimise tulemuseks ainult arkustangens. N¨aide 6.4. Ruutkolmliikmel 9x2 + 6x + 5 = 4 + 9x2 + 6x + 1 = 4 + (3x + 1)2 reaalsed nullkohad ilmselt puuduvad ja j¨arelduse 4.6 abil saame tabeliintegraali 2.11 rakendades, et dx dx 1 1 3x + 1 1 3x + 1 = = · arctan + C = arctan + C. 9x2 + 6x + 5 4 + (3x + 1)2 3 2 2 6 2 Kui lugejas on nimetaja tuletis v~oi selle mingi arv kordne, siis on kolmandat liiki osamurru integreerimise tulemuseks ainult naturaallogaritm. N¨aide 6.5. Leiame (3x + 1)dx 1 (18x + 6)dx 1 2 = 2 = ln(9x2 + 6x + 5) + C. 9x + 6x + 5 6 9x + 6x + 5 6
11 ¨ Uldjuhul eraldame kolmandat liiki osamurru integreerimisel lugejast k~oigepealt naturaallo- garitmi saamiseks vajaliku osa, kasutades murru korrutamist ja jagamist sobivaltvalitud kons- tandiga ja seej¨arel u ¨he ja sama konstandi lugejale liitmist ja lugejast lahutamist. P¨arast seda j¨a¨ab teise murru lugejasse ainult konstant ja selle murru integreerimise tulemusena saame ar- kustangensi. N¨ aide 6.6. Kasutades n¨aidete 6.4 ja 6.5 tulemusi, leiame
(2x - 1)dx 1 (18x - 9)dx 1 18x + 6 - 6 - 9 2 = 2 = 9x + 6x + 5 9 9x + 6x + 5 9 9x2 + 6x + 5 1 (18x + 6)dx 15 dx 1 = 2 - 2 = ln(9x2 + 6x + 5) 9 9x + 6x + 5 9 9x + 6x + 5 9 5 1 3x + 1 1 5 3x + 1 - · arctan + C = ln(9x2 + 6x + 5) - arctan + C. 3 6 2 9 18 2
6.3 Ratsionaalse lihtmurru lahutamine osamurdudeks Ratsionaalse lihtmurru lahutamine osamurdudeks s~oltub sellest, kas nimetajas oleval hulkliik- mel on ainult u¨hekordsed reaalsed nullkohad, kas sellel esineb kordseid reaalseid nullkohti v~oi kas sellel on teguriteks ruutkolmliikmeid, millel reaalsed nullkohad puuduvad. Vaatleme siin neid kolme juhtu n¨aidete varal. (4x2 - 3x - 4)dx N¨ aide 6.7. Leiame integraali . x3 + x2 - 2x Nimetajas oleva ruutkolmliikme teguriteks lahutus on
x3 + x2 - 2x = x(x2 + x - 2) = x(x - 1)(x + 2).
Siin on nimetajal kolm erinevet reaalset nullkohta x1 = 0, x2 = 1 ja x3 = -2. Iga nimetajas oleva teguri jaoks kirjutame u ¨he esimest liiki osamurru,
4x2 - 3x - 4 4x2 - 3x - 4 A B C 3 2 + + . (6.3) x + x - 2x x(x - 1)(x + 2) x x-1 x+2
Tundmatud konstandid A, B ja C m¨a¨arame nii, et kolme osamurru summa oleks antud ratsio- naalavaldisega samaselt v~ordne (). Viies kolm osamurdu u ¨hisele nimetajals, saame samasuse
4x2 - 3x - 4 A(x - 1)(x + 2) + Bx(x + 2) + Cx(x - 1) . x(x - 1)(x + 2) x(x - 1)(x + 2)
Kahe samaselt v~ordse murru nimetajad on samaselt v~ordsed, seega saame ka lugejate kohta samasuse A(x - 1)(x + 2) + Bx(x + 2) + Cx(x - 1) 4x2 - 3x - 4. (6.4) Samasus t¨ahendab seda, et v~ordus kehtib iga x korral. Kordajad A, B ja C saame h~olpsasti m¨aa¨rata, andes muutujale x j¨argem¨oo¨da v¨a¨artusteks nimetaja nullkohad. Kui x = 0, siis saame samasusest (6.4), et -2A = -4, millest A = 2. Kui x = 1, saame samasusest (6.4) 3B = -3, millest B = -1 ja kui x = -2, saame samasusest (6.4) 6C = 18, millest C = 3. Sellega on meil konstandid m¨a¨aratud ja osamurdudeks lahutuse (6.3) abil leiame
(4x2 - 3x - 4)dx 2 1 3 = - + dx x3 + x2 - 2x x x-1 x+2 dx dx dx = 2 - +3 = 2 ln |x| - ln |x - 1| + 3 ln |x + 2| + C. x x-1 x+2
12 dx N¨aide 6.8. Leiame integraali 3 2 . x +x -x-1 Lahutades nimetajas oleva hulkliikme teguriteks
x3 + x2 - x - 1 = x2 (x + 1) - (x + 1) = (x + 1)(x2 - 1) = (x - 1)(x + 1)2 ,
n¨aeme, et nimetajal on kaks reaalset nullkohta x1 = 1 ja x2 = -1, millest teine on kahekordne, ¨ st nimetaja sisaldab kaks korda tegurit x + 1. Uhekordse nullkoha jaoks kirjutame u¨he esimest liiki osamurru nagu eelmises n¨aiteski, kahekordse nullkoha jaoks kirjutame aga u ¨he esimest ja u ¨he teist liiki osamurru ehk osamurdudeks lahutuse kirjutame kujul 1 1 A B C + + . (6.5) x3 + x2-x-1 (x - 1)(x + 1)2 x - 1 x + 1 (x + 1)2 ¨ Uldjuhul tuleb kordse nullkoha jaoks v¨alja kirjutada nii mitu osamurdu, kui suur on tema kordsus, kusjuures iga j¨argneva osamurru nimetaja astendaja on u ¨he v~orra suurem. V~ottes lahutuses (6.5) parema poole u¨hisele nimetajale, saame samasuse
1 A(x + 1)2 + B(x - 1)(x + 1) + C(x - 1) , (x - 1)(x + 1)2 (x - 1)(x + 1)2
millest omakorda j¨areldub lugejate samasus
A(x + 1)2 + B(x - 1)(x + 1) + C(x - 1) 1. (6.6)
V~ottes samasuses (6.6) x = 1, saame 4A = 1, millest A = 1/4. V~ottes samasuses (6.6) x = -1, saame -2C = 1 ehk C = -1/2. Kolmanda kordaja m¨aa¨ramiseks enam nullkohta ei ole, seep¨arast anname muutujale x u ¨he suvalise (v~oimalikult lihtsa) v¨a¨artuse, n¨aiteks x = 0. Samasusest (6.6) saame, et A - B - C = 1. Kasutades juba leitud A ja C v¨a¨artusi, leiame B = A - C - 1 = -1/4. N¨ uu ¨d leiame osamurdudeke lahutuse (6.5) abil integraali
dx 1 1 1 1 1 1 = - - dx x3 x2 + -x-1 4 x - 1 4 x + 1 2 (x + 1)2 1 dx 1 dx 1 dx 1 1 1 1 = - - 2 = ln |x - 1| - ln |x + 1| + · +C 4 x-1 4 x+1 2 (x + 1) 4 4 2 x+1 1 x-1 1 = ln + + C. 4 x+1 2(x + 1) x+1 N¨ aide 6.9. Leiame integraali dx. x3 + 2x2 + 3x Lahutades nimetajas oleva hulkliikme teguriteks
x3 + 2x2 + 3x = x(x2 + 2x + 3),
n¨aeme, et nimetajal on u¨ks reaalne nullkoht x1 = 0. Peale selle sisaldab nimetaja tegurina ruut- kolmliiget, millel reaalsed nullkohad puuduvad. Osamurdudeks lahutuses kirjutame u ¨hekordse reaalse nullkoha jaoks esimest liiki osamurru ja teguriteks lahutamatu ruutkolmliikme jaoks kirjutame kolmandat liiki osamurru. Osamurdudeks lahutuse esitame samasusena x+1 x+1 A Bx + C + 2 . (6.7) x3 2 + 2x + 3x 2 x(x + 2x + 3) x x + 2x + 3
13 Viies osamurrud u ¨hisele nimetajale, saame samasuse x+1 A(x2 + 2x + 3) + (Bx + C)x , x(x2 + 2x + 3) x(x2 + 2x + 3) millest j¨areldub lugejate samasus Ax2 + 2Ax + 3A + Bx2 + Cx x + 1 Antud juhul on reaalseid nullkohti ainult u ¨ks, kordajaid tuleb aga m¨a¨arata kolm. Seep¨arast ka- sutame siin asjaolu, et kaks hulkliiget on samaselt v~ordsed parajasti siis, kui muutuja vastavate astmete kordajad on v~ordsed. V~ottes samasuse vasakul pool vastavad x astmed kokku, saame (A + B)x2 + (2A + C)x + 3A x + 1 Paremal pool ruutliige puudub, st selle kordaja v~ordub nulliga. Seega ruutliikmete kordajate v~ordsus annab meile v~orrandi A+B = 0. Lineaarliikmete kordajate v~ordsus annab teise v~orran- di 2A + C = 1 ja vabaliikmete v~ordsus kolmanda v~orrandi 3A = 1. Meil on kolmest v~orrandist ja kolmest tundmatust koosnev v~orrandis¨usteem A+B = 0 2A + C = 1 3A = 1, mille lahendamisel saame, et A = 1/3, B = -1/3 ja C = 1/3. Kasutades osamurdudeks lahutust (6.7), leiame x+1 1 3 - 31 x + 13 1 dx 1 (x - 1)dx 3 dx = + 2 dx = - 2 x + 2x + 3x x x + 2x + 3 3 x 3 x2 + 2x + 3 1 1 1 (2x - 2)dx 1 1 (2x + 2 - 4)dx = ln |x| - · 2 = ln |x| - 3 3 2 x + 2x + 3 3 6 x2 + 2x + 3 1 1 (2x + 2)dx 4 dx = · 2 ln |x| - 2 + 2 6 6 x + 2x + 3 6 2 + x + 2x + 1 1 1 2 dx = ln x2 - ln(x2 + 2x + 3) + 6 6 3 2 + (x + 1)2 1 x2 2 x+1 = ln 2 + arctan + C. 6 x + 2x + 3 3 2 2
7 Mo~nede trigonomeetriliste funktsioonide klasside in- tegreerimine Selles punktis vaatleme trigonomeetrilistest funktsioonidest koosnevate ratsionaalavaldiste integreerimist, st integraale kujul
R(sin x, cos x)dx, (7.1)
kus R(sin x, cos x)dx kujutab endast ratsionaalavaldist sin x ja cos x suhtes. Sellised ratsio- naalavaldised on n¨aiteks 1 1 cos3 x + sin x , , sin x 2 + cos x sin2 x + cos x v~oi erandjuhul trigonomeetriliste funktsioonide korrutised, n¨aiteks sin 2x cos2 x.
14 7.1 ¨ Uldine muutuja vahetus x Muutuja vahetusega t = tan saab integraali (7.1) alati teisendada ratsionaalavaldise in- 2 x tegraaliks, sest = arctan t millest x = 2 arctan t ja 2 2dt dx = . 1 + t2 Teiseks, x x x sin 2 · 2 sin cos sin x = 2= 2 2 . 1 2 x x sin + cos2 2 2 x Jagades viimases avaldises lugejat ja nimetajat suurusega cos2 , saame 2 x 2 tan sin x = 2 = 2t . x 1 + t2 1 + tan2 2 Kolmandaks, x x x cos 2 · - sin2 cos2 cos x = 2= 2 2 1 2 x 2 x cos + sin 2 2 x ehk p¨arast lugeja ja nimetaja jagamist suurusega cos2 2 x 1 - tan2 2 cos x = 2 = 1-t . x 1 + t2 1 + tan2 2 x Seega on integraal (7.1) muutuja vahetusega t = tan teisendatav ratsionaalavaldise integraa- 2 liks 2t 1 - t2 2dt R 2 , 2 . 1+t 1+t 1 + t2 dx N¨ aide 7.1. Leiame integraali . 2 + cos x x 2dt 1 - t2 Teeme siin muutuja vahetuse t = tan . Asendades dx = ja cos x = saame, et 2 1 + t2 1 + t2
2dt dx 1 + t2 = 2dt = 2 + cos x 1 - t2 3 + t2 2+ 1 + t2 x 1 t 2 tan = 2 · arctan + C = arctan 2 + C. 3 3 3 3
15 7.2 Muutuja vahetus t = tan x x Muutuja vahetus t = tan on universaalne trigonomeetrilistest funktsioonidest koosnevate 2 avaldiste integreerimiseks ja seep¨arast alati rakendatav, aga oma universaalsuse t~ottu viib sellise muutuja vahetuse kasutamine sageli liiga keeruliste ratsionaalavaldiste integreerimiseni, mida on v~oimalik v¨altida, kui kasutada v¨ahem u¨ldisi muutuja vahetusi. Koos vaatleme kaht j¨argmist t¨ uu¨ pi integraali: R(sin2 x, cos2 x)dx
ja R(tan x)dx,
millest esimeses integreeritav funktsioon kujutab endast ratsionaalavaldist sin2 x ja cos2 x suh- tes (st ei sisalda siinuse ja koosinuse paarituid astmeid) ja teine ratsionaalavaldist tan x suhtes. Muutuja vahetusega t = tan x taanduvad m~olemad integraalid ratsionaalavaldiste integraa- lideks. Antud juhul x = arctan t, dt dx = , (7.2) 1 + t2 tan2 x t2 sin2 x = = (7.3) 1 + tan2 x 1 + t2 ja 1 1 cos2 x = 2 = . (7.4) 1 + tan x 1 + tan2 x dx N¨aide 7.2. Leiame integraali . cos 2x Kasutades kahekordse nurga koosinuse valemit ja valemeid (7.2) - (7.4), saame
dt dx dx 1 + t2 = = cos 2x cos2 x - sin2 x 1 t2 - 1 + t2 1 + t2 dt 1 1+t 1 1 + tan x = 2 = ln + C = ln +C 1-t 2 1-t 2 1 - tan x 1 cos x + sin x = ln + C. 2 cos x - sin x
cos xdx N¨ aide 7.3. Leiame integraali . sin x + cos x Jagades lugeja ja nimetaja suurusega cos x, saame ratsionaalavaldise tan x suhtes, milles teeme muutuja vahetuse t = tan x ning dx asendame valemi (7.2) abil
dt cos xdx dx 1 + t2 = dt = = . sin x + cos x tan x + 1 t+1 (1 + t)(1 + t2 )
Viimase integraali leidmiseks lahutame saadud ratsionaalavaldise osamurdudeks
1 A Bt + C A(1 + t2 ) + (Bt + C)(1 + t) + . (1 + t)(1 + t2 ) 1+t 1 + t2 (1 + t)(1 + t2 )
16 Tegemist on kahe murru samasusega, kus nimetajad on samaselt v~ordsed. J¨arelikult kehtib ka lugejate kohta samasus A + At2 + Bt + Bt2 + C + Ct 1 ehk (A + B)t2 + (B + C)t + A + C 1. Vastavate muutuja t astmete kordajate v~ordsusest saame kordajate A, B ja C m¨a¨aramiseks kirjutada (arvestades sellega, et paremal pool on ruut- ja lineaarliikme kordajad nullid) v~orran- dis¨ usteemi A+B =0 B+C =0 A + C = 1, 1 1 1 millest A = , B = - ja C = . Seega 2 2 2 cos xdx 1 dt 1 t-1 1 1 2tdt 1 dt = - 2 dt = ln |t + 1| - 2 + 2 sin x + cos x 2 t+1 2 t +1 2 4 t +1 2 t +1 1 1 1 = ln |t + 1| - ln t2 + 1 + arctan t + C. 2 4 2 Tehes saadud avaldises tagasiasenduse t = tan x saame, et cos xdx 1 1 1 = ln |tanx + 1| - ln tan2 x + 1 + arctan(tan x) + C sin x + cos x 2 4 2 1 sin x + cos x 1 1 1 = ln - ln + x+C 2 cos x 4 cos2 x 2 1 sin x + cos x 1 1 1 1 = ln + ln | cos x| + x + C = ln | sin x + cos x| + x + C. 2 cos x 2 2 2 2
7.3 Muutuja vahetused t = sin x ja t = cos x Kui ratsionaalavaldis on kujul (v~oi h~olpsasti teisendatav kujule) R(sin x) cos x, siis integraali
R(sin x) cos xdx (7.5)
leidmiseks tehakse muutuja vahetus t = sin x, st dt = cos xdx, mille tagaj ¨arjel integraal (7.5) teiseneb ratsionaalavaldise integraaliks R(t)dt. sin 2xdx aide 7.4. Leiame integraali N¨ . 1 + sin x Kahekordse argumendi siinuse valemit kasutades saame sin 2xdx 2 sin x = cos xdx, 1 + sin x 1 + sin x st integraali kujul (7.5), milles teeme muutuja vahetuse t = sin x, dt = cos xdx. Seega
sin 2xdx tdt t+1-1 t+1 dt =2 =2 =2 dt - 2 1 + sin x 1+t 1+t 1+t 1+t dt =2 dt - 2 = 2t - 2 ln |1 + t| + C = 2 sin x - 2 ln |1 + sin x| + C. 1+t
17 Integraali R(cos x) sin xdx (7.6)
leidmiseks tehakse muutuja vahetus t = cos x. Siis dt = - sin xdx ja integraal (7.6) teiseneb ratsionaalavaldise integraaliks - R(t)dt. sin xdx aide 7.5. Leiame integraali N¨ . cos x - cos2 x Integraal on kujul (7.6). Muutuja vahetusega t = cos x, dt = - sin xdx saame, et sin xdx dt dt =- = . cos x - cos2 x t - t2 t2 -t Saadud integreeritava funktsiooni lahutame osamurdudeks 1 1 A B A(t - 1) + Bt + , t2 - t t(t - 1) t t-1 t(t - 1) millest saame lugejate samasuse A(t - 1) + Bt 1. V~ottes viimases t = 1 saame, et B = 1 ning v~ottes t = 0 saame, et A = -1. Seega sin xdx dt dt 2 =- + cos x - cos x t t-1 t-1 cos x - 1 = ln |t - 1| - ln |t| + C = ln + C = ln + C. t cos x
7.4 Teisi v~ otteid trigonometriliste avaldiste integreerimiseks Integraali, milles esinevad ainult siinuse ja koosinuse paarisastmed, st integraali kujul
sin2n x cos2m xdx (7.7)
on veel v~oimalik leida poolnurga siinuse ja koosinuse valemite 1 - cos 2x sin2 x = (7.8) 2 ja 1 + cos 2x cos2 x = (7.9) 2 abil. N¨ aide 7.6. Leiame integraali sin4 x cos2 xdx. Valemite (7.8) ja (7.9) abil leiame 2 4 2 1 - cos 2x 1 + cos 2x sin x cos xdx = dx 2 2 1 1 = (1 - 2 cos 2x + cos2 2x)(1 + cos 2x)dx = (1 - cos 2x - cos2 2x + cos3 2x)dx 8 8 1 1 1 - cos 4x 1 = sin2 2x - cos 2x(1 - cos2 2x) dx = dx - sin2 2x cos 2xdx. 8 8 2 8
18 Saadud integraalidest on teine kujul (7.5). Tehes selles muutuja vahetuse t = sin 2x saame, et 1 dt = 2 cos 2xdx ehk cos 2xdx = dt ning 2 1 1 sin4 x cos2 xdx = (1 - cos 4x) dx - t2 dt 16 16 3 x 1 t x 1 1 = - sin 4x - +C = - sin 4x - sin3 2x + C 16 64 48 16 64 48 x 1 3 1 1 3 = - sin x cos x + sin x cos x - sin x cos3 x + C. 3 16 16 16 6 Viimane teisendus ei ole ilmne, seda peab lugeja ise kontrollima. Korrutiste sin ax cos bx, cos ax cos bx ja sin ax sin bx integreerimiseks kasutatakse trigono- meetria valemeid 1 sin cos = [sin( + ) + sin( - )], (7.10) 2 1 cos cos = [cos( - ) + cos( + )] (7.11) 2 ja 1 sin sin = [cos( - ) - cos( + )]. (7.12) 2 N¨ aide 7.7. Leiame integraali sin 5x cos 4x sin 3xdx.
Valemi (7.10) abil leiame 1 sin 5x cos 4x sin 3xdx = (sin 9x + sin x) sin 3xdx 2 1 1 = sin 9x sin 3xdx + sin x sin 3xdx 2 2 ning valemi (7.12) abil 1 1 sin 5x cos 4x sin 3xdx = (cos 6x - cos 12x)dx + (cos 2x - cos 4x)dx 4 4 1 1 1 1 1 1 = sin 6x - sin 12x + sin 2x - sin 4x + C 4 6 12 4 2 4 1 1 1 1 = sin 6x - sin 12x + sin 2x - sin 4x + C. 24 48 8 16
8 Ratsionaalavaldiste ex suhtes integreerimine Kui R(ex ) t¨ahistab ratsionaalavaldist eksponentfunktsiooni ex suhtes, siis integraaliR(ex )dx dt leidmiseks tehakse muutuja vahetus t = ex . Siis dt = ex dx, st dt = tdx, millest dx = . t 2x x e - 2e N¨ aide 8.1. Leiame integraali dx. e2x + 1 dt Integraali leidmiseks teeme muutuja vahetuse t = ex . Siis dx = ja t e2x - 2ex t2 - 2t dt t-2 1 2t dt 2x dx = 2 · = 2 dt = 2 dt - 2 2 e +1 t +1 t t +1 2 t +1 t +1 1 1 = ln(t2 + 1) - 2 arctan t + C = ln(e2x + 1) - 2 arctan ex + C. 2 2
19 9 Irratsionaalavaldiste integraale Irratsionaalavaldisteks on juuri ehk radikaale sisaldavad avaldised , n¨aiteks 3 x-1 v~oi x2 4 - x2 . 1+ x-1 ¨ Uldine p~ohim~ote irratsionaalavldisete integreerimisel on sarnane trigonomeetriliste avaldiste integreerimisega. Teatud kaalutlustest l¨ahtudes tehakse muutuja vahetus, mis teisendab irrat- sionaalavldise integraali ratsionaalavaldise integraaliks.
9.1 Olgu integraal kujul m ax + b n ax + b R x, , ..., dx. (9.13) cx + d cx + d st integraal avadisest, mis sisaldab muutujat x ja erinevaud juuri murdlineaarsest avaldisest ax + b , kus a, b, c ja d on antud konstandid. niisuguse avaldise integreerimiseks saab kasutada cx + d muutuja vahetust ax + b = tk , (9.14) cx + d kus k on juurijate m, ..., n v¨ahim u ¨hiskordne. V~ordusest (9.14) avaldame muutuja x ja selle diferentsiaali dx. 3 x-1 N¨aide 9.1. Leiame integraali dx. 1+ x-1 Siin on avaldise x-1 juurijate v¨ahimaks u ¨hiskordseks 2·3 = 6. Seega muutuja vahetuseks (9.14) 6 6 5 3 2 3 on selles integraalis x-1 = t , millest x= t +1, dx = 6t dt, x - 1 = t , x - 1 = t ja (silmas pidades hilisemat tagasiasendust) t = 6 x - 1. Vajalike asenduste abil saame ratsionaalavaldise integraali 3 x-1 t2 · 6t5 dt t7 dt dx = =6 . 1+ x-1 1 + t3 1 + t3 Integreeritavaks funktsiooniks on selles ratsionaalne liigmurd, millest k~oigepealt t¨aisosa eralda - mel saame t7 dt 4 t = t - t + . 1 + t3 1 + t3 Saadud v~orduse paremal pool oleva ratsionaalse lihtmurru integreerimiseks kasutame osamur- dudeks lahutust t t A Bt + C A(1 - t + t2 ) + (Bt + C)(1 + t) + . 1 + t3 (1 + t)(1 - t + t2 ) 1 + t 1 - t + t2 (1 + t)(1 - t + t2 ) Siit saame lugejate samasuse
(A + B)t2 + (B + C - A)t + A + C t,
millest muutuja t vastavate astmete kordajate v~ordsuse t~ottu kirjutame v¨alja v~orrandis¨ usteemi A+B =0 B+C -A=1 A + C = 0.
20 1 1 1 usteemi lahenditeks on A = - , B = ja C = . Kasutades saadud tulemusi, leiame S¨ 3 3 3 3 x-1 tdt dx = 6 (t4 - t)dt + 6 1+ x-1 1 + t3 6t5 6t2 1 dt 1 (t + 1)dt = - +6· - +6· 5 2 3 t+1 3 t2 - t + 1 6t5 2t + 2 6t5 2t - 1 + 3 = - 3t2 - 2 ln |t + 1| + dt = - 3t 2 - 2 ln |t + 1| + dt 5 t2 - t + 1 5 t2 - t + 1 6t5 2t - 1 dt - 3t2 - 2 ln |t + 1| + dt + 3 2 5 t2 - t + 1 t- 1 + 3 2 4 5 1 6t 2 t- = - 3t2 - 2 ln |t + 1| + ln(t2 - t + 1) + 3 · arctan + C 2 5 3 3 2 6t5 t2 - t + 1 2t - 1 = - 3t2 + ln 2 + 2 3 arctan + C 5 (t + 1) 3 66 (x - 1)5 3 x-1- x-1+16 6 2 x-1-1 = - 3 3 x - 1 + ln 2 + 2 3 arctan + C. 5 6 x-1+1 3
9.2 Integraal R(x, ax2 + bx + c)dx. Euleri asendused Olgu antud irratsionaalavldise integraal R x, ax2 + bx + c dx. (9.15)
Sellist intgraali on alati v~oimalik leida Euleri asenduste abil. 9.2.1. Euleri esimene asendus Kui integraali (9.15) juurealuse avaldise ruutliikme kordaja a > 0, siis kasutatakse Euleri esi- mest asendust ax2 + bx + c = t - x a. (9.16) 2 2 2 T~ostes v~orduses (9.16) m~olemad pooled ruutu , saame ax + bx + c = t - 2 atx + ax , millest t2 - c saame avaldada muutuja x = ja selle diferentsiaali dx, mis on samuti ratsionaalavaldis b + 2 at t suhtes. Seega saame integraali (9.15) asendusega (9.16) teisendada ratsionaalavaldise integ - raaliks. dx N¨ aide 9.2. Leiame integraali . x2 + 2x + 3 Siin a = 1, st integreerimiseks kasutame asendust x2 + 2x + 3 = t - x. Siit j¨areldub, et x2 + 2x + 3 = t2 - 2tx + x2 ehk t2 - 3 x= . 2(1 + t) Seega t2 - 3 t2 + 2t + 3 x2 + 2x + 3 = t - = 2(1 + t) 2(1 + t) ja 1 2t(1 + t) - t2 + 3 t2 + 2t + 3 dx = · dt = dt. 2 (1 + t)2 2(1 + t)2
21 Asendades leitud suurused integraali, saame (t2 +2t+3)dt dx 2(1+t)2 dt = t2 +2t+3 = = ln |1 + t| + C. x2 + 2x + 3 2(1+t) 1+t Tagasiasendus t = x + x2 + 2x + 3 annab tulemuseks dx = ln |x + 1 + x2 + 2x + 3| + C. x2 + 2x + 3
9.2.2. Euleri teine asendus Kui integraalis (9.15) a kus on u ¨ks nullkohtadest x1 v~oi x2 . Oletame konkreetsuse m~ottes, et = x1 . T~ostes v~orduse (9.17) m~olemad pooled ruutu, saame ax2 + bx + c = t2 (x - x1 )2 ehk a(x - x2 ) = t2 (x - x1 ), millest t2 x1 - ax2 x= t2 - a ja ilmselt on ka diferentsiaali dx avaldis t suhtes ratsionaalne. (x - 1)dx N¨ aide 9.2. Leiame integraali . (x + 1) 1 - x2 juurealuse funktsiooni nullkohad x1 = 1 ja x2 = -1 ning2 Euleri teiseks Siin asenduseks sobib 1 - x = t(x - 1). Ruutu t~ostes saame -(x - 1)(x + 1) = t (x - 1) ehk x + 1 = t2 (1 - x), 2 2
millest t2 - 1 2t2 x= 2 , x+1= 2 t +1 t +1 ja 4tdt dx = 2 . (t + 1)2 Integraalis esineva x - 1 j¨atame muutuja t kaudu avaldamata, sest on ilmne, et asendamisel see taandub. Tehes vajalikud teisendused , leiame
(x - 1)dx (x - 1) (t24tdt +1)2 = 2t2 (x + 1) 1 - x2 t2 +1 t(x - 1) 2 (t + 1)4tdt 2dt = = . 2t3 (t2 + 1)2 t2 (t2+ 1) Saadud integreeritava funktsiooni lahutame osamurdudeks 2 A B Ct + D + 2+ 2 , t2 (t2+ 1) t t t +1 millest j¨areldub, et At(1 + t2 ) + B(1 + t2 ) + (Ct + D)t2 2
22 ehk (A + C)t3 + (B + D)t2 + At + B 2. Vastavate muutuja t astmete kordajate v~ordsuse t~ottu saame v~orrandis¨ usteemi A+C =0 B+D =0 A=0 B = 2,
millest A = 0, B = 2, C = 0 ja D = -2. Seega
(x - 1)dx 2 2 = 2 - 2 dt (x + 1) 1 - x2 t t +1 2 = - - 2 arctan t + C. t 1 - x2 1 - x2 Tagasiasendusega t = =- saame x-1 1-x (x - 1)dx 2(1 - x) 1 - x2 = + 2 arctan +C (x + 1) 1 - x2 1 - x2 1-x 1-x 1+x =2 + 2 arctan + C. 1+x 1-x M¨ arkus. Euleri teine asendus (9.17) on rakendatav ka juhul a > 0, kui ruutkolmliikmel on olemas reaalsed nullkohad. 9.2.3. Euleri kolmas asendus Kui integraalis (9.15) c 0, kasutatakse selle ratsionaliseerimiseks Euleri kolmandat asendust ax2 + bx + c = tx - c. (9.18) Sellisel juhul ax2+ bx + c = t2 x2 - 2 ctx + c ehk p¨arast c koondamist ja muutujaga x jagamist ax + b = t2 x - 2 ct, millest b + 2 ct x= 2 t -a ja ilmselt on ka dx avaldis ratsionaalne muutuja t suhtes. dx N¨aide 9.3. Leiame integraali . (x + 1) 1 + x - x2 Siin a Sellisel juhul 1 + x - x2 = t2 x2 - 2tx + 1, x(1 - x) = x(t2 x - 2t),
23 millest 2t + 1 t2 + 2t + 2 x= , x+1= , t2 + 1 t2 + 1 2(t2 + t - 1) dx = - dt (t2 + 1)2 ja 2t + 1 t2 + t - 1 1 + x - x2 = t · 2 -1= . t +1 t2 + 1 Asendades leitud suurused integraali, leiame 2(t +t-1) 2 dx (t2 +1)2 dt = 2 t +2t+2 t +t-1 2 (x + 1) 1 + x - x2 t2 +1 · t2 +1 dt dt = -2 = -2 = -2 arctan(t + 1) + C. t2 + 2t + 2 1 + (t + 1)2 1 + 1 + x - x2 Tagasiasendusega t = saame tulemuseks x dx 1 + x + 1 + x - x2 = -2 arctan + C. (x + 1) 1 + x - x2 x 9.3 Integraal R(x, ax2 + bx + c)dx. Trigonomeetrilised asendused Euleri asendused on integraali (9.15) leidmisel alati rakendatavad, kuid sarnaselt universaalse x asendusega t = tan trigonomeetriliste avaldiste integreerimiseks tekivad ka siin paljudel juh- 2 tudel keerukad teisendused, mida on v~oimalik v¨altida spetsiaalseid muutuja vahetusi kasutades. Viimastest vaatleme trigonomeetrilisi asendusi integraali (9.15) leidmiseks. Alati on v~oimalik juurealusest avaldisest eraldada kaksliikme ruut teisendustega 2 b b b2 ax2 + bx + c = a x2 + x + +c- a 2a 4a 2 b 4ac - b2 = a x+ + 2a 4a 4ac - b2 b T¨ahistades k = , saame integraalist (9.15) lineaarse muutuja vahetusega t = x + , 4a 2a dt = dx (integreerimismuutuja t¨ahistame uuesti x-ga) R(x, ax2 + k)dx (9.19)
Integraalis (9.19) on s~oltuvalt ruutliikme kordaja a ja vabaliikme k m¨arkidest kolm v~oimalust. 9.3.2 Esiteks olgu m~olemad kordajad a ja k on positiivsed. Siis saame integraali (9.19) kirjutada kui R(x, a2 x2 + k 2 )dx.
Irrastionaalsusest vabanemiseks kasutatakse muutuja vahetust k x= tan t, (9.20) a 24 millest kdt dx = a cos2 t ja k a2 x2 + k 2 = k 2 tan2 t + k 2 = cos t
dx N¨ aide 9.4. Leiame integrali . Tehes siin muutuja vahetuse (9.20) x = 2 tan t x2 x2 + 2 saame, et 2dt 2 2+2 = 2 dx = , x 2 tan t + 2 = cos2 t cos t ja dx 2dt 1 cos tdt = = . x x2 + 2 2 2 tan 2 t cos2t cos t 2 sin2 t Viimase integraali leidmiseks teeme muutuja vahetuse z = sin t. Siis dz = cos tdt ja dx 1 dz 1 1 = 2 =- +C =- +C x2 x2 + 2 2 z 2z 2 sin t 2 1 1 + tan2 t 1 + x2 2 + x2 =- +C =- +C =- x +C =- + C. 2 tan t 2 tan t 2 · 2 2x 1+tan2 t
9.3.2 Teiseks olgu a 0. Sel juhul on integraal (9.19) esitatav kui R(x, k 2 - a2 x2 )dx.
Irratsionaalsusest vabanemiseks kasutatakse muutuja vahetust k x= sin t, (9.21) a mille korral k dx = cos tdt a ja k 2 - a2 x2 = k 2 - k 2 sin2 t = k cos t. 1 - x2 aide 9.5. Leiame integrali N¨ dx. x2 Muutuja vahetusega (9.21) x = sin t saame, et dx = cos tdt, 1 - x2 = cos t ja 1 - x2 cos t cos tdt 1 - sin2 t dt dx = 2 = 2 dt = - dt x 2 sin t sin t sin2 t 1 - sin2 t 1 - x2 = - cot t - t + C = - -t+C =- - arcsin x + C. sin t x 9.3.3 Kolmandaks olgu a > 0 ja k 25 Selles kasutatakse irratsionaalsusest vabanemiseks muutuja vahetust k x= , (9.22) a sin t mille korral k cos tdt dx = - a sin2 t ja k2 1 - sin2 t k cos t a2 x 2 - k 2 = - k2 = k = . sin2 t 2 sin t sin t x2 - 4 N¨ aide 9.6. Leiame integrali dx. x2 2 Muutja vahetusega (9.22) x = saame, et sin t 2 cos t 2 cos t dx = - dt, x2 - 4 = sin2 t sin t ja
2 cos t x2 - 4 sin t 2 cos t cos2 tdt dx = 4 - dt = - x2 sin2 t sin2 t sin t 1 - sin2 t dt dt =- dt = sin tdt - = - cos t - . sin t sin t sin t t 2dz J¨arelej¨aa¨nud integraali leidmiseks teeme muutuja vahetuse z = tan , millest dt = ja 2 1 + z2 2z sin t = ja 1 + z2 2dz x2 - 4 1+z 2 dz dx = - cos t - 2z = - cos t - x2 1+z 2 z t = - cos t - ln |z| + C = - cos t - ln tan + C. 2 2 Tagasiasenduste jaoks leiame sin t = , x 4 x2 - 4 cos t = 1- 2 = x x ja t sin t 2 tan = = . 2 1 + cos t x + x2 - 4 Seega x2 - 4 x2 - 4 2 x2 - 4 dx = - - ln + C = - + ln |x + x2 - 4| + C. x2 x 2 x+ x -4 x Siin - ln 2 + C on asendatud uuesti suvalise konstandiga C.
26 9.4 Diferentsiaalbinoomi integreerimine Diferentsiaalbinoomiks nimetatalse avaldist x (ax + b) , milles , ja on ratsionaalarvud , aga a ja b on suvalised reaalarvud. Diferentsiaalbinoomi integraali x (ax + b) dx (9.23) saab teisendada ratsionaalavaldise integraaliks kolmel juhul. Kui on t¨ aisarv teiseneb (9.23) ratsionaalavldise integraaliks muutuja vahetusega x = tn , kus n on murdude ja u ¨ hine nimetaja. N¨aide 9.7. Leiame integraali x( 3 x + 1)2 dx. 1 1 Selles diferentsiaalbinoomis = , = ja = 2, j¨arelikult saab avaldise teisendada ratsio- 2 3 naalseks muutuja vahetusega x = t6 . Siis x = t3 , 3 x = t2 , dx = 6t5 dt ja x( 3 x + 1)2 dx = 6 t3 (t2 + 1)2 t5 dt = 6 (t12 + 2t10 + t8 )dt 6t13 12t11 2t9 1 12 6 2 = + + + C = x2 6 x + x x5 + x x + C. 13 11 3 13 11 3 +1 Kui on t¨aisarv teiseneb (9.23) ratsionaalavldise integraaliks muutuja vahetusega ax + b = tn , kus n on murru nimetaja. x5 dx N¨aide 9.8. Leiame integraali . 1 - x2 1 +1 Selles diferentsiaalbinoomis = 5, = 2, = - ja = 3, seega saab avaldise teisendada 2 ratsionaalseks muutuja vahetusega 1 - x2 = t2 . Siit avaldame x2 = 1 - t2 , xdx = -tdt, x5 dx = x4 · xdx = -(1 - t2 )2 tdt ja x5 dx (1 - t2 )2 tdt =- = - (1 - 2t2 + t4 )dt 1 - x2 t 2 1 2 1 = -t + t3 - t5 + C = - 1 - x2 + (1 - x2 ) 1 - x2 - (1 - x2 )2 1 - x2 + C. 3 5 3 5 +1 Kui + on t¨ aisarv teiseneb (9.23) ratsionaalavldise integraaliks muutuja vahetusega a + bx- = tn , kus n on murru nimetaja. dx N¨aide 9.9. Leiame integraali . x (2 + x3 )2/3 2
2 +1 Integreeritavas diferentsiaaalbinoomis = -2, = 3 ja = - . Seega + = -1 ja 3 2 avaldise saab teisendada ratsionaalseks muutuja vahetusega 1 + 2x-3 = t3 . Siit x3 = 3 ja t -1 2t2 dt x2 dx = - 3 . Teisendades integraali lugejasse x2 dx, saame (t - 1)2 dx x2 dx = . x (2 + x3 )2/3 2 x4 (2 + x3 )2/3
27 2 Edasi avaldame t kaudu saadud nimetaja. Muutuja vahetusest 2+x3 = x3 t3 , millest (2+x3 ) 3 = x2 t2 ja 2 2 2 4t2 x4 (2 + x3 ) 3 = x6 t2 = 3 t2 = 3 . t -1 (t - 1)2 Asendades lugeja ja nimetaja, leiame 2 dx - (t2t3 -1) dt 2 1 = 4t2 =- dt x2 (2 + x3 )2/3 (t3 -1)2 2 3 1 1 3 2 x3 + 2 =- t+C =- 1+ 3 +C =- + C. 2 2 x 2x Vene matemaatik P. L. Tseb~osov on n¨aidanud, et vaadeldud kolm juhtu on ainsad, mille korral diferentsiaalbinoomil on elemetaarfunktsioonide hulgas olemas algfunktsioon.
10 Mitte-elementaarsed integraalid Elementaarfunktsioonide diferentseerimiseks on olemas kindlad reeglid ja iga elementeerfunkt- siooni tuletist on v~oimalik nende j¨argi leida, u ¨ksk~oik kui keerulise avaldisega meil ka tegemiset ei oleks. Kuid juba paljudel lihtsatel juhtudel ei ole elementaarfunktsiooni f (x) integraal
f (x)dx
elementaarfunktsioonide kaudu l~oplikul kujul v¨aljendatav. Sellisteks on n¨aiteks integraalid sin x cos x dx si x = dx, ci x = dx, ja li x = , x x ln x mida nimetatakse vastavalt integraalsiinuseks, integraalkoosinuseks ja integraallogaritmiks. Nen- de funktsioonide v¨a¨artused on tabuleeritud ja seep¨arast saab neid funktsioone nii integreeri- misel kui ka arvutustes sama edukalt kasutada, nagu harilikku siinust, koosinust ja logaritmi. Ka integraal 2 e-x dx
ei avaldu l~oplikul kujul elementaarfunktsioonide kaudu. Kuid funktsiooni 1 2 /2 (x) = e-x dx + C, 2 mis rahuldab tingimust (0) = 0, nimetatakse Laplace'i funktsiooniks ja seda on p~ohjalikult uuritud ning selle v¨a¨artused samuti tabuleritud. Rakendustes esinevad sageli veel integraalid R(x, ax3 + bx2 + cx + d)dx, (10.24) R(x, ax4 + bx3 + cx2 + dx + e)dx, (10.25)
mis on elementaarfunktsioonide kaudu avaldatavad ainult erijuhtudel. Kui need integraalid ei kujuta elementaarfunktsioone, nimetatakse neid elliptilisteks integraalideks.
28 11 ¨ Ulesanded Vahetu integreerimine x2 2x x 11.1. x+ x dx. Vastus: + + C. 2 3 1 4 1 8 11.2. + + 2 dx. Vastus: - - + 2x + C. x2 x x x x (1 - x)2 2 2 11.3. dx. x x - 4 x - + C. Vastus: x x 3 x 2x2 x 11.4. ( x - 1)(x + x + 1)dx Vastus: - x + C. 5 4 3 x2 - 4 x 6 4 11.5. dx. Vastus: x 6 x - x3 + C. x 7 3
11.6. cot2 xdx. Vastus: - cot x - x + C.
3 · 2x - 2 · 3x 2 · (1, 5)x 11.7. dx. Vastus: 3x - + C. 2x ln 1, 5 1 + cos2 x 1 11.8. dx. Vastus: (tan x + x) + C. 1 + cos 2x 2 (1 + 2x2 )dx 1 11.9. . Vastus: arctan x - + C. x2 (1 + x2 ) x dx 1 11.10. . Vastus: arcsin x + C. 3 - 3x2 3 dx 11.11. . Vastus: ln x + 4 + x2 + C. 4 + x2 dx 1 5-x 11.12. . Vastus: ln + C. x2 - 5 2 5 5+x
11.13. th2 xdx. Vastus: x - th x + C. Integreerimine muutuja vahetusega (diferentsiaali m¨argi alla viimisega) (x + 1)12 11.14. (x + 1)11 dx. Vastus: + C. 12 (5 - 2x) 5 - 2x 11.15. 5 - 2xdx. Vastus: - + C. 3 1 2 11.16. x x2 + 1dx. Vastus: (x + 1) x2 + 1 + C. 3 x3 dx 1 4 11.17. . Vastus: x + 3 + C. x4 + 3 2
29 1 11.18. cos(5x - 2)dx. Vastus: sin(5x - 2) + C. 5
11.19. tan xdx. Vastus: - ln | cos x| + C.
1 5 11.20. sin4 x cos xdx. Vastus: sin x + C. 5 sin 2x 11.21. dx. Vastus: - ln(1 + cos2 x) + C. 1 + cos2 x tan x tan2 x 11.22. dx. Vastus: + C. cos2 x 2 dx 11.23. 2 . Vastus: -2 1 + cot x + C. sin x 1 + cot x ex dx 11.24. . Vastus: ln(ex + 2) + C. ex + 2 2 1 2 11.25. xe-x dx. Vastus: - e-x + C. 2
11.26. cos xesin x dx. Vastus: esin x + C.
23x-1 11.27. 23x-1 dx. Vastus: + C. 3 ln 2 ln x ln2 x 11.28. dx. Vastus: + C. x 2 dx 11.29. . Vastus: ln | ln x| + C. x ln x dx 1 11.30. . Vastus: arctan 2x + C. 1 + 4x2 2 dx 1 3x 11.31. . Vastus: arcsin + C. 4 - 9x2 3 2 xdx 1 11.32. . Vastus: arctan x2 + C. x4 + 1 2 ex dx 11.33. . Vastus: arctan ex + C. e2x + 1 ex dx 11.34. . Vastus: arcsin ex + C. 1 - e2x dx 11.35. . Vastus: ln | arctan x| + C. (1 + x2 ) arctan x dx 11.36. . Vastus: arcsin(ln x) + C. x 1 - ln2 x
30 e2x - 1 11.37. dx. Vastus: ex + e-x + C. ex 1+x 11.38. dx. Vastus: arcsin x - 1 - x2 + C. 1 - x2 3x - 1 3 2 1 x 11.39. dx. Vastus: ln(x + 4) - arctan + C. x2 + 4 2 2 2 2x - arcsin x 2 arcsin x arcsin x 11.40. dx. Vastus: -2 1 - x2 - + C. 1 - x2 3 ch x 11.41. dx. Vastus: ln |1 + sh x| + C. 1 + sh x dx 11.42. . Vastus: ln | th x| + C. sh x ch x ch3 x 11.43. sh3 xdx. Vastus: - ch x + C. 3 Ositi integreerimine
11.44. xe-x dx. Vastus: -xe-x - e-x + C.
x+2 1 11.45. (x + 2) sin 2xdx. Vastus: - cos 2x + sin 2x + C. 2 4 x x x 11.46. x cos dx. Vastus: 2x sin + 4 cos + C. 2 2 2 x · 3x 3x 11.47. x3x dx. Vastus: - 2 + C. ln 3 ln 3
11.48. x sh xdx. Vastus: x ch x - sh x + C
11.49. ln xdx. Vastus: x ln x - x + C.
11.50. arccos xdx. Vastus: x arccos x - 1 - x2 + C.
1 2 11.51. x arctan xdx. Vastus: [(x + 1) arctan x - x] + C. 2
11.52. ln(x2 + 1)dx. Vastus: x ln(x2 + 1) - 2x + 2 arctan x + C.
11.53. arctan xdx. Vastus: (x + 1) arctan x - x + C.
(x3 + 1) ln(1 + x) x3 x2 x 11.54. x2 ln(1 + x)dx Vastus: - + - + C. 3 9 6 3
31 arcsin x 11.55. dx. Vastus: 2 x arcsin x + 2 1 - x + C. x x2 11.56. x tan2 xdx. Vastus: x tan x - + ln | cos x| + C. 2 T¨aisosa eraldamine x x 1 11.57. dx. Vastus: - ln |2x + 1| + C. 2x + 1 2 4 2x + 3 2 5 11.58. dx. Vastus: x + ln |3x + 2| + C. 3x + 2 3 9 (1 + x)2 11.59. dx. Vastus: x + ln(x2 + 1) + C. x2 + 1 x2 - 1 11.60. dx. Vastus: x - 2 arctan x + C. x2 + 1 x3 x3 x2 11.61. dx. Vastus: - + x - ln |x + 1| + C. x+1 3 2 x2 dx 3 3+x 11.62. . Vastus: ln - x + C. 9 - x2 2 3-x x5 x3 1 11.63. dx. Vastus: + ln |x3 - 1| + C. x3 - 1 3 3 Ratsionaalavaldiste integreerimine 2x - 1 11.64. dx. Vastus: 3 ln |x - 2| - ln |x - 1| + C. x2 - 3x + 2 3x + 2 11.65. dx. Vastus: 2 ln |x| + ln |x + 1| + C. x2 + x x2 + 2x + 6 11.66. dx. Vastus: 3 ln |x - 1| - 7 ln |x - 2| + 5 ln |x - 4| + C. (x - 1)(x - 2)(x - 4) dx 2 3 1 11.67. . Vastus: ln |2x - 3| + ln |3x + 1| - ln |x| + C. 6x3 - 7x2 - 3x 33 11 3 x2 + 1 1 x+1 5 x-2 11.68. dx. Vastus: ln + ln + C. (x2 - 1)(x2 - 4) 3 x-1 12 x+2 x5 + x4 - 8 x3 x2 11.69. dx. Vastus: + + 4x + 2 ln |x| + 5 ln |x - 2| - 3 ln |x + 2| + C. x3 - 4x 3 2 dx x 1 11.70. . Vastus: ln - + C. x(x - 1)2 x-1 x-1 2 x-8 3 x-2 11.71. dx. Vastus: + ln + C. x - 4x2 + 4x 3 x-2 x 2x - 1 1 1 11.72. dx. Vastus: - + C. x2 (x- 1)2 x x-1
32 3x - 2 x2 + 1 11.73. dx. Vastus: ln + 3 arctan x + C. x(x2 + 1) x2 dx 1 1 1 11.74. . Vastus: ln |x| - ln(x2 + 2x + 2) - arctan(x + 1) + C. x(x2 + 2x + 2) 2 4 2 dx 1 1 1 2x - 1 11.75. ln |x + 1| - ln(x2 - x + 1) + arctan Vastus: + C. x3 +1 3 6 3 3 3x2 + 5x + 12 5 5 9 3 x 11.76. 4 2 dx. Vastus: ln(x2 +1)- ln(x2 +3)+ arctan x- arctan +C. x + 4x + 3 4 4 2 2 3
Trigonomeetriliste funktsioonide integreerimine dx 1 tan x2 + 3 11.77. . Vastus: ln + C. 4 + 5 cos x 3 tan x2 - 3 dx 1 x 1 x 11.78. . Vastus: ln tan + tan2 + C. (1 + cos x) sin x 2 2 4 2 dx 2 x 11.79. . Vastus: ln tan + + C. sin x + cos x 2 8 2 dx 1 11.80. . Vastus: + C. 5 - 4 sin x + 3 cos x 2 - tan x2 dx 1 x 1 x 1 x 11.81. . Vastus: tan2 + ln tan - cot2 + C. sin3 x 8 2 2 2 8 2 tan x 1 2 11.82. dx. Vastus: - ln |2 sin x - cos x| - x + C. 1 - 2 tan x 5 5 dx | sin x| 11.83. . Vastus: ln + C. tan x cos 2x cos 2x dx 2 1 11.84. . Vastus: tan x + tan3 x + tan5 x + C. cos6 x 3 5 dx 2 11.85. . Vastus: arctan( 2 tan x) + C. 1 + sin2 x 2 sin xdx 1 11.86. . Vastus: + C. (1 - cos x)2 cos x - 1 sin3 xdx 1 1 11.87. . Vastus: - + C. cos4 x 3 3 cos x cos x tan xdx 1 + cos x 11.88. . Vastus: ln + C. 1 + cos x cos x sin3 xdx 11.89. . Vastus: cos x - 2 arctan(cos x) + C. cos2 x + 1 1 1 11.90. sin2 xdx. Vastus: x - sin 2x + C. 2 4
33 3 1 1 11.91. cos4 xdx. Vastus: x + sin 2x + sin 4x + C. 8 4 32 1 1 11.92. sin2 x cos2 xdx. Vastus: x- sin 4x + C. 8 32 5 1 3 1 11.93. sin6 xdx. Vastus: x - sin 2x + sin 4x + sin3 2x + C 16 4 64 48 1 1 11.94. sin 5x sin 3xdx. Vastus: sin 2x - sin 8x + C. 4 16 1 1 11.95. cos 2x cos xdx. Vastus: sin x + sin 3x + C. 2 6 1 1 11.96. sin 4x cos 3xdx. Vastus: - cos 7x - cos x + C. 14 2 x Ratsionaalavaldiste e suhtes integreerimine ex dx 11.97. . Vastus: arctan ex + C. e2x + 1 e2x dx 11.98. . Vastus: ex - ln(ex + 1) + C. ex + 1 dx 11.99. . Vastus: ln(1 + ex ) - e-x - x + C. ex + e2x ex dx 1 ex - 3 11.100. . Vastus: arctan + C. e2x - 6ex + 13 2 2 Irratsionaalavaldiste integreerimine x 11.101. dx. Vastus: 2 arctan x + C. x(x + 1) 2+x 3 15 11.102. dx. Vastus: (3 - x) 3 (3 - x)2 - 3 (3 - x)2 + C. 3 3-x 5 2 dx 11.103. . Vastus: 2 x - 3 3 x + 6 6 x - 6 ln( 6 x + 1) + C. x+ x3
x-1 11.104. dx. Vastus: x - 2 x - 1 + 2 ln( x - 1 + 1) + C. x-1+1 1 - x dx 1+x- 1-x 1-x 11.105. · . Vastus: ln + 2 arctan + C. 1+x x 1+x+ 1-x 1+x Irratsionaalavaldiste integreerimine. Euleri asendused dx x + x2 + 4x - 4 11.106. . Vastus: arctan + C. x x2 + 4x - 4 2 dx x + 1 + x + x2 11.107. . Vastus: ln + C. (1 + x) 1 + x + x2 x + 1 + x + x2 + 2
34 dx 3 11.108. . Vastus: 2 ln |x + x2 + x + 1| - ln |2x + 1 + 2 x2 + x + 1| + x + x2 + x + 1 2 3 1 + C. 2 2x + 1 + 2 x2 + x + 1 x2 + 2x 11.109. dx. Vastus: x2 + 2x + ln | x2 + 2x + x + 1| + C. x dx 2 2(x + 1) - 2 + x - x2 11.110. . Vastus: ln + C. x 2 + x - x2 2 2(x + 1) + 2 + x - x2 dx 1 - x + 1 - 2x - x2 1 + 1 - 2x - x2 11.111. . Vastus: ln -2 arctan + 1 + 1 - 2x - x2 1 + 1 - 2x - x2 x C. Vastus: Irratsionaalavaldiste integreerimine. Trigonomeetrilised asendused x 1 11.112. 2 - x2 dx. Vastus: arcsin + x 2 - x2 + C. 2 2 81 x 1 11.113. x2 9 - x2 dx. Vastus: arcsin - x(9 - 2x2 ) 9 - x2 + C. 8 3 8 x+1 1 11.114. 3 - 2x - x2 dx. Vastus: 2 arcsin + (x + 1) 3 - 2x - x2 + C. 2 2 x2 1 1 11.115. dx. Vastus: arcsin x - x 1 - x2 + C. 1 - x2 2 2 4 + x2 (4 + x2 ) 4 + x2 11.116. dx. Vastus: - + C. x4 12x3 dx x2 + 16 11.117. . Vastus: - + C. x2 x2 + 16 16x 2x + 1 2 11.118. 4x2 + 4x + 5dx. Vastus: ln 4x2 + 4x + 5 + 2x + 1 + 4x + 4x + 5+C. 4 1 2 3 11.119. x2 - 3dx. Vastus: x x - 3 + ln x - x2 - 3 + C. 2 2 x2 - 4 (x2 - 4) x2 - 4 11.120. dx. Vastus: + C. x4 12x3 1 1 11.121. 9x2 - 6xdx. Vastus: ln 3x - 1 - 9x2 - 6x + (3x - 1) 9x2 - 6x + C. 6 6 Diferentsiaalbinoomi integreerimine dx 6 3 x+9 11.122. . Vastus: ln |x| - 3 ln | 3 x + 1| + + C. x( 3 x + 1)3 2( 3 x + 1)2 3 x+1 11.123. 3 dx. Vastus: 2( 3 x + 1) 3 x + 1 + C. x2
35 4 3 8 4 3 11.124. (1 + x) dx. Vastus: (1 + x) (7x + 3 x - 4) + C. 77 dx 1 3 1 3 3 2 3 x2 + 11.125. . 2 3 2 2 2 Vastus: ln( x + 1-1)- ln[ (x + 1) + x + 1+1]+ arctan 3 x x2 + 1 2 4 2 3 C. dx x 11.126. 3 . Vastus: + C. (1 + x2 ) 2 1 + x2
dx 1 + 2x2 11.127. 3 . Vastus: - + C. x2 (1 + x2 ) 2 x 1 + x2 dx 1 (1 + x4 )2 1 + x4 1 (1 + x4 ) 1 + x4 1 1 + x4 11.128. . Vastus: - + - + C. x11 1 + x4 10 x10 3 x6 2 x2
36 5 M¨ a¨ aratud integraal 5.1 M¨ a¨ aratud integraali mo ~iste Olgu funktsioon y = f (x) m¨a¨aratud l~oigul [a; b]. Jaotame l~oigu [a; b] suvalisel viisil punktidega x1 , x2 , ... xn-1 n osal~oiguks, kusjuures
a = x0 Tekkinud osal~oigud on [xk-1 ; xk ], kus k = 1, 2, . . . , n. T¨ahistagu xk = xk - xk-1 k-nda osal~oigu pikkust. Edasi valime igalt osal~oigult t¨aiesti suvalise punkti k [xk-1 ; xk ], k = 1, 2, . . . , n, ja moodustame korrutised f (k )xk . Liites need korrutised, saame summa n sn = f (k )xk , k=1
mida nimetatakse funktsiooni f (x) integraalsummaks l~oigul [a; b]. Jaotuspunktid x1 , x2 , . . . on suvalised. Seeaga on osal~oikude pikkused xk , k = 1, 2, . . . , n erinevad. T¨ahistagu pikima osal~oigu pikkust st
= max xk . 1kn
Definitsioon 1. Kui piirv¨a¨artus
lim sn 0
ei s~oltu sellest, kuidas on l~oik [a; b] jaotatud osal~oikudeks [xk-1 ; xk ], ega sel- lest, kuidas on valitud punktid k osal~oikudel, siis seda piirv¨a¨artust nimeta- takse funktsiooni f (x) m¨aa¨ratud integraaliks rajades a-st b-ni ja t¨ahistatakse b f (x)dx. a
Seda loetakse: integraal rajades a-st b-ni f kohal x de x. Seejuures integereerimisl~oigu alguspunkti a nimetatakse alumiseks rajaks ja l~oigu l~opp-punkti b u ¨lemiseks rajaks. Seega definitsiooni kohaselt b n f (x)dx = lim f (k )xk . a 0 k=1
1 Kui l~oigul [a; b] on f (x) 0, siis integraalsummas esinevad korrutised f (k )xk on selliste ristk ¨ ulikute pindaladeks, mille alused on xk ja k~orgu- sed f (k ). Selliste ristk¨ ulikute pindalade summa, st integraalsumma sn on ligikaudu v~ordne niisuguse k~overtrapetsi pindalaga, mis alt on piiratud x- teljega , vasakult sirgega x = a, paremalt sirgega x = b ja u ¨lalt funktsiooni y = f (x) graafikuga. Kui vaadelda piirprotsessi 0, siis k~oikide osal~oikude pikkused hak- kavad kahanema ja selleks et osal~oigud kataksid kogu l~oigu [a; b], tuleb v~otta neid osal~oike j¨arjest rohkem. Ristk¨ulikute pindalade summa sn hakkab osal~oiku- de arvu kasvades t¨apsemalt iseloomustama k~overtrapetsi pindala. Seega, kui l~oigul [a; b] on f (x) 0, siis m¨a¨aratud integraal t¨ahendab geomeetriliselt k~overtrapetsi pindala. Definitsioon 2. Funktsioone, mis rahuldavad definitsioonis 1 esitatud tingimusi, nimetatakse l~oigul [a; b] integreeruvateks funktsioonideks. Kehtib teoreem. Teoreem 1. Kui funktsioon f (x) on pidev l~oigul [a; b], siis on see ka integreeruv l~oigul [a; b]. M¨ arkus. L~oigul [a; b] katkevate funktsioonide hulgas leidub nii integree- ruvaid kui ka mitteintegreeruvaid.
5.2 M¨ a¨ aratud integraali p~ ohiomadused Omadus 1 Kahe funktsiooni summa m¨a¨aratud integraal on v~ordne nende funktsioonide m¨aa¨ratud integraalide summaga: b b b [f (x) + g(x)]dx = f (x)dx + g(x)dx. (5.1) a a a
T~oestus M¨aa¨ratud integraali definitsiooni kohaselt b n I= [f (x) + g(x)]dx = lim [f (k ) + g(k )]xk . a 0 k=1
Avades summa m¨argi all sulud ja kasutades asjaolu, et summa ei s~oltu liide- tavate j¨arjekorrast, saame n n I = lim f (k )xk + g(k )xk . 0 k=1 k=1
Summa piirv¨aa¨rtus v~ordub piirv¨a¨artuste summaga, seega n n I = lim f (k )xk + lim g(k )xk , 0 0 k=1 k=1
2 mille liidetavad on m¨a¨aratud integraali definitsiooni kohaselt vastavalt v~ordu- se (5.1) paremal pool olevad integraalid. Omadus 2. Konstantse teguri c saab tuua m¨a¨aratud integraali m¨argi alt v¨alja: b b cf (x)dx = c f (x)dx. a a J¨ areldus 1. Kahe funktsiooni vahe m¨a¨aratud integraal v~ordub nende funktsioonide m¨aa¨ratud integraalide vahega: b b b [f (x) - g(x)]dx = f (x)dx - g(x)dx. a a a
T~oestus tugineb kahele esimesele omadusele. Kirjutades f (x) - g(x) = f (x) + (-1)g(x), saame b b b b [f (x) - g(x)]dx = [f (x) + (-1)g(x)]dx = f (x)dx + (-1) g(x)dx, a a a a
mida oligi tarvis t~oestada. Omadus 3. Kui f (x) 0 l~oigul [a; b], siis ka b f (x)dx 0. a
T~oestus. Kui f (x) 0 kogu l~oigul [a; b], siis on f (x) 0 igal osal~oigul [xk-1 ; xk ], k = 1, 2, . . . , n, seega ka f (k ) 0. Korrutades viimast v~orratust k-nda osal~oigu pikkusega, saame f (k )xk 0, k = 1, 2, . . . , n. Liites n mittenegatiivset suurust, saame mittenegatiivse suuruse st n f (k )xk 0. k=1
Mittenegatiivse suuruse piirv¨a¨artus on piirprotsessis 0 mittenegatiivne suurus, mis t~oestabki omaduse. J¨ areldus 2. Kui l~oigul [a; b] f (x) g(x), siis b b f (x)dx g(x)dx. a a
T~oestus. Eelduse kohaselt g(x) - f (x) 0, seega omadus 3 j¨argi b [g(x) - f (x)]dx 0. a
3 J¨arelduse 1 p~ohjal b b g(x)dx - f (x)dx 0, a a mis ongi v¨aiteks. Omadus 4. Funktsiooni f (x) m¨aa¨ratud integraali absoluutv¨aa¨rtus on v¨aiksem v~oi v~ordne selle funktsiooni absoluutv¨a¨artuse m¨a¨aratud integraalist: b b f (x)dx |f (x)|dx. a a
T~oestus. M¨aa¨ratud integraali definitsiooni kohaselt b n n I= f (x)dx = lim f (k )xk = lim f (k )xk a 0 0 k=1 k=1
n n b lim |f (k )xk | = lim |f (k )|xk = |f (x)|dx. 0 0 a k=1 k=1
Omadus 5. Kui vahetada m¨aa¨ratud integraalis rajad , muutub m¨ark in- tegraali ees vastupidiseks: a b f (x)dx = - f (x)dx. b a
T~oestus. M¨a¨aratud integraali definitsioonis ei v~oi piirv¨a¨artus s~oltuda sel- lest, kuidas on antud l~oik osal~oikudeks jaotatud. Seega v~oime m~olema integ- raali definitsioonis valida samad jaotuspunktid ja k~oikidel osal~oikudel valida samad juhuslikud punktid k . Defineerides paremal asuvat m¨aa¨ratud integ- raali st liikudes punktist a punkti b, on xk = xk -xk-1 . Defineerides vasakul asuvat m¨a¨aratud integraali st liikudes vastupidises suunas punktist b punkti a, on sama osal~oigu "pikkus"xk-1 - xk = -xk . Seega on integraalsumma u ¨le l~oigu [b; a] 1 1 f (k )(-xk ) = f (k )(-xk ) = - f (k )xk . [b;a] k=n k=n
Summa ei s~oltu liidetavate j¨arjekorrast, seega n f (k )(-xk ) = - f (k )xk [b;a] k=1
4 ja v~ottes saadud v~orduse m~olemalt poolt piirv¨a¨artuse piirprotsessis 0, saame v¨aite. J¨areldus 3. Kui m¨a¨aratud integraali alumine ja u¨lemine raja on v~ordsed, v~ordub integraal nulliga: a f (x)dx = 0. a T~oestus. Vahetades integraalis rajad, saame omadus 5 p~ohjal a a f (x)dx = - f (x)dx a a
ehk a 2 f (x)dx = 0, a millest j¨areldubki v¨aide. Omadus 6 (M¨ a¨ aratud integraali l~ oigul aditiivsuse omadus). b c b f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx. a a c
T~oestus. Oletame esiteks, et c asub l~oigul [a; b], st a jaotused osal~oikudeks. Seega integraalsumma u ¨le kogu l~oigu [a; b]
f (k )xk = f (k )xk + f (k )xk . [a;b] [a;c] [c;b]
Kui l~oigul [a; b] maksimaalse osal~oigu pikkus 0, siis m~olemal tekkinud l~oigul maksimaalsete osal~oikude pikkused l¨ ahenevad samuti nullile. Seega, v~ottes saadud v~orduse m¨alemalt poolt piirv¨a¨artuse piirprotsessi 0, saa- me v¨aite. Kui c asub v¨aljaspooll~oiku [a; b], n¨aiteks c > b > a, siis t~oestatud juhu p~ohjal c b c f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx. a a b Siit b c c f (x)dx = f (x)dx - f (x)dx a a b
5 ja omadus 5 p~ohjal p¨arast viimases integraalis rajade vahetamist b c b f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx. a a c
Samuti saab n¨aidata, et omadus j¨aa¨b kehtima ka juhul c st m¨a¨aratud integraal j¨a¨ab v¨ahima v¨a¨artuse ja integreerimisl~oigu pikkuse korrutise ning suurima v¨a¨artuse ja integreerimisl~oigu pikkuse korrutise vahe- le. T~oestus. V~orratuste t~oestused on sarnased. Seep¨arast t~oestame ainult pa- rempoolse v~orratuse. Funktsiooni f (x) suurim v¨a¨artus l~oigul [a; b] on M . Seega iga osal~oikudel juhuslikult valitud punktis k on f (k ) M , st iga k = 1, 2, . . . , n korral f (k )xk M xk . Summeerides saame, et n n f (k )xk M xk = k=1 k=1 = M (x1 - x0 + x2 - x1 + x3 - x2 + . . . + xn - xn-1 ) = M (b - a), sest t¨ahistuse kohaselt x0 = a ja xn = b. V~ottes saadud v~orratuse n f (k )xk M (b - a) k=1
m~olemalt poolt piirv¨a¨artuse piirprotsessis 0 ja arvestades sellega, et paremal pool on konstantne suurus, saame v¨aite. Omadus 8 (m¨ a¨ aratud integraali keskv¨ a¨ artuse omadus). Kui funkt- sioon f (x) on pidev l~oigul [a; b], siis leidub v¨ahemalt u ¨ks selline punkt [a; b], et b f (x)dx = f ()(b - a). a T~oestus. L~oigul pidev funktsioon omab v¨ahimat v¨a¨artust m ja suurimat v¨a¨artust M sellel l~oigul, seega kehtib omadus 7. Jagades selle v¨aites esineva m~olema v~orratuse m~olemat poolt integreerimisl~oigu pikkusega b - a, saame b 1 m f (x)dx M. b-a a
6 J¨arelikult b 1 f (x)dx b-a a on mingisugune v¨a¨artus v¨ahima ja suurima v¨a¨artuse vahel. L~oigul [a; b] pidev funktsioon aga omandab k~oiki v¨a¨artusi v¨ahima ja suurima v¨a¨artuse vahelt, muuhulgas ka seda v¨aa¨rtust. Seega leidub punkt [a; b], milles b 1 f () = f (x)dx. (5.2) b-a a
Korrutades saadud v~orduse m~olemat poolt integreerimisl~oigu pikkusega b-a, saame v¨aite. Omadus 8 v¨aites esinevat v¨a¨artust f () nimetatakse funktsiooni f (x) keskv¨a¨artuseks l~oigul [a; b]. Seda arvutatakse valemi (5.2) j¨argi.
5.3 M¨a¨ aratud integraali arvutamine. Newton-Leibnizi valem Olgu funktsiooni f (x) m¨a¨aratud l~oigul [a; b]. Defineerime l~oigul [a; b] m¨a¨aratud integraali u ¨ lemise raja funktsiooni x (x) = f (t)dt (5.3) a
Teoreem 2. Kui f (x) on pidev l~oigul [a; b], siis (x) = f (x). T~oestus. T~oestuseks kasutame funktsiooni (x) definitsiooni (x + x) - (x) (x) = lim . x0 x Kasutades m¨aa¨ratud integraali l~oigul aditiivsuse omadust leiame x+x x (x + x) - (x) = f (t)dt - f (t)dt = a a x x+x x x+x f (t)dt + f (t)dt - f (t)dt = f (t)dt. a x a x
Eelduse kohaselt on f (x) pidev l~oigul [a; b]. Seega keskv¨a¨artus omaduse p~ohjal leidub selline [x; x + x], et (x + x) - (x) = f ()(x + x - x) = f ()x. Sellest j¨areldub, et (x + x) - (x = f (). x
7 Tuletise definitsioonis x 0. J¨arelikult x + x x ja et on u ¨ks punkt x ja x + x vahelt, siis ka x. Seega
(x) = lim f () = lim f () x0 x
ning funktsiooni f (x) pidevuse t~ottu (x) = f (x), mida oligi tarvis t~oestada. Teoreemi 2 p~ohjal on funktsioon (x) funktsiooni f (x) algfunktsiooniks. Kui F (x) on funktsiooni f (x) tuntud algfunktsioon (m¨a¨aratud integraali ta- beli j¨argi v~oi mingi integreerimismeetodi abil saadud), siis punkti 4.1 lau- se 1.2 p~ohjal (x) ja F (x) erinevad teineteisest u¨limalt konstandi v~orra, st (x) = F (x) + C. Funktsiooni (x) definitsiooni p~ohjal x F (x) + C = f (t)dt. (5.4) a
V~ottes selles v~orduses x = a, saame eelmise punkti j¨areldusest 3, et a F (a) + C = f (t)dt = 0, a
millest C = -F (a). Asendades selle v~ordusesse (5.4), saame, et x F (x) - F (a) = f (t)dt a
ja v~ottes viimases v~orduses x = b, tekib v~ordus b F (b) - F (a) = f (t)dt. (5.5) a
Seega on m¨a¨aramata integraalist tuttav algfunktsioon sobiv vahend m¨a¨aratud integraali arvutamiseks ja saadud reegel on s~onastatav j¨argmiselt. Funkt- siooni f (x) m¨aa¨ratud integraal rajades a-st b-ni on v~ordne algfunktsiooni v¨a¨artuse kohal b ja algfunktsiooni v¨a¨artuse kohal a vahega. Arvutuste h~olbus- tamiseks kasutatakse kirjaviisi b F (b) - F (a) = F (x) . a
Asendades v~orduses (5.5) integreerimismuutuja t muutujaga x, saame m¨a¨aratud integraali arvutamiseks valemi b b f (x)dx = F (x) = F (b) - F (a), (5.6) a a
8 mis on tuntud Newton-Leibnizi valemi nime all. N¨aide 1. Leiame e e dx = ln x = ln e - ln 1 = 1. 1 x 1
N¨ aide 2. Leiame 1 xdx . 0 1 + x2 Kasutame integreerimiseks v~ordust d(1 + x2 ) = 2xdx ja leiame 1 1 xdx 1 2xdx 1 1 d(1 + x2 ) = = = 0 1+x 2 2 0 1 + x2 2 0 1 + x2 1 1 2 = · 2 1 + x = 2 - 1. 2 0
aide 3. Arvutame funktsiooni f (x) = x2 keskv¨a¨artuse l~oigul [1; 3]. N¨ Keskv¨a¨artuse arvutamise valemi (5.2) j¨argi leiame 3 3 1 2 1 x3 1 27 1 13 1 x dx = = - = =4 . 3-1 1 2 3 1 2 3 3 3 3
5.4 Muutuja vahetus m¨ a¨ aratud integraalis Muutuja vahetuse valik s~oltub integreeritavast funktsioonist ja need p~ohim~otted on m¨a¨aramata integraali korral l¨abi vaadatud. M¨a¨aratud integraali arvutamisel huvitab meid selle arvuline v¨a¨artus, mit- te esialgse funktsiooni algfunktsioon. Seep¨arast ei minda m¨a¨aratud integraa- lis p¨arast muutuja vahetust enam tagasi vanale muutujale, vaid arvutatakse rajad uue muutuja jaoks. Tehes m¨a¨aratud integraalis b f (x)dx a
muutuja vahetuse x = (t), leiame dx = (t)dt, v~orrandist (t) = a uue muutuja jaoks alumise raja t = ja v~orrandist (t) = b u ¨lemise raja t = . Siis b f (x)dx = f [((t)] (t)dt. a
9 2 N¨ aide 4. Arvutame I = 8 - x2 dx. Irratsionaalsusest vabanemiseks 0 teeme muutuja vahetuse x = 2 2 sin t. Siis dx = 2 2 cos tdt ja 8 - x2 = 8 - 8 sin2 t = 8 cos2 t = 2 2 cos t. Arvutame rajad uue muutuja t jaoks. Kui x = 0, siis sin t = 0, millest t = 0. 2 Kui x = 2, siis 2 2 sin t = 2 ehk sin t = , millest t = . Seega 2 4 4 4 I = 2 2 cos t · 2 2 cos tdt = 8 cos2 tdt = 0 0 4 4 4 = 4 (1 + cos 2t)dt = 4 dt + 2 cos 2td(2t) = 0 0 0 4 4 = 4t + 2 sin 2t = + 2. 0 0
5.5 Ositi integreerimine Olgu u(x) ja v(x) l~oigul [a; b] diferentseeruvad funktsioonid. Sellisel juhul nende korrutise difrentsiaal d(uv) = udv + vdu. Punkti 4.1. j¨arelduse 1.6 p~ohjal on diferentsiaali d(uv) u ¨ heks algfunkt- siooniks uv. Integreerides viimast v~ordust rajades a-st b-ni, saame b b b uv = udv + vdu, a a a
millest b b b udv = uv - vdu. (5.7) a a a Oleme saanud ositi integreerimise valemi m¨a¨aratud integraali arvutamiseks. Valemi kasutamisel on funktsiooni u ja diferentsiaali dv valiku p~ohim~otted samad, mis m¨a¨aramata integraali korral. e N¨ aide 5. Leiame ln xdx. 1 dx Valides siin u = ln x ja dv = dx, leiame du = ja v = x ning ositi x integreerimise valemi (5.7) p~ohjal e e e e dx ln xdx = x ln x - x· =e-x = e - (e - 1) = 1. 1 1 1 x 1
10 5.6 L~ opmatute rajadega p¨ aratud integraalid P¨aratuid integraale on kahte t¨ uu¨pi. K¨aesolevas punktis vaatleme l~opma- tute rajadega p¨aratuid integraale ja j¨argmises punktis p¨aratuid integraale t~okestamata funktsioonidest. Definitsioon 1. Olgu funktsioon f (x) m¨a¨aratud ja pidev pooll~oigul [a; ). N Kui iga N [a; ) korral on olemas m¨aa¨ratud integraal f (x)dx ja a N eksisteerib piirv¨aa¨rtus lim f (x)dx, siis seda piirv¨aa¨rtust nimetatakse N a funktsiooni f (x) l~opmatu u ¨lemise rajaga p¨aratuks integraaliks ja t¨ahistatakse f (x)dx. a Definitsiooni 1 kohaselt N f (x)dx = lim f (x)dx. (5.8) a N a
Seega tuleb p¨aratu integraali arvutamiseks leida k~oigepealt funktsiooni f (x) m¨a¨aratud integraal rajades a-st N -ni ja saadud avaldisest arvutada piirv¨a¨artus piirprotsessis N . dx N¨aide 6. Leiame . 0 1 + x2 Arvutusvalemi (5.8) j¨argi N N dx dx = lim = lim arctan x = lim (arctan N -arctan 0) = . 0 1 + x2 N 0 1 + x2 N 0 N 2
Definitsioon 2. Olgu funktsioon f (x) m¨a¨aratud ja pidev pooll~oigul (-; b]. b Kui iga M (-; b] korral on olemas m¨aa¨ratud integraal f (x)dx ja M b eksisteerib piirv¨aa¨rtus lim f (x)dx, siis seda piirv¨a¨artust nimetatakse M - M funktsiooni f (x) l~opmatu alumise rajaga p¨aratuks integraaliks ja t¨ahistatakse b f (x)dx. - Definitsiooni 2 j¨argi b b f (x)dx = lim f (x)dx. (5.9) - M - M
Kui funktsioon f (x) on m¨a¨aratud ja pidev vahemikus (-; ), siis m~ole- ma l~opmatu rajaga p¨aratu integraali defineerimisel jaotatakse integraal su-
11 valises punktis c (-; ) kaheks, c f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx, - - c
ning tekkinud liidetavatest esimene on l~opatu alumise rajaga p¨aratu integraal ja teine l~opmatu u ¨lemise rajaga p¨aratu integraal. Definitsioon 3. Kui v~ordustes (5.8) v~oi (5.9) esinev piirv¨a¨artus on l~oplik, siis ¨oeldakse, et p¨aratu integraal koondub, kui piirv¨a¨artus on l~opmatu v~oi piirv¨a¨artust ei ole olemas, siis ¨oeldakse, et p¨aratu integraal hajub. N¨ aide 7. Olgu a > 0. Uurime, milliste v¨a¨artuste korral p¨aratu integraal dx koondub ja milliste v¨a¨artuste korral hajub. a x Leiame N dx dx = lim . a x N a x Kui = 1, siis N x-+1 N -+1 a-+1 I = lim = lim - . N - + 1 N - + 1 - + 1 a
Kui > 1, siis
1 1 1 lim -1 - = , N (1 - )N (1 - )a-1 ( - 1)a-1
st p¨aratu integraal koondub. Kui N 1- a1- lim - = , N (1 - ) (1 - )a-1
st p¨aratu integraal hajub. Kui = 1, siis N dx = lim ln x = lim (ln N - ln a) = , a x N a N
st ka antud juhul p¨aratu integraal hajub. dx Seega p¨aratu integraal koondub, kui > 1 ja hajub, kui 1. a x Paljudel juhtudel on vaja v¨alja selgitada, kas p¨aratu integraal koonub v~oi hajub. Integraali tegelik v¨aa¨rtus seejuures ei olegi oluline. Koonduvuse v~oi hajuvuse u¨le otsustamisel on abiks j¨argmised teoreemid. S~onastame need
12 l~opmatu u ¨lemise rajaga p¨aratu integraali korral, aga kehtima j¨a¨avad need ka l~opmatu alumise rajaga ja m~olema l~opmatu rajaga p¨aratu integraali puhul. Teoreem 3. Kui pooll~oigul [a; ) m¨a¨aratud ja pidevad funktioonid f (x) ja (x) rahuldavad tingimust 0 f (x) (x) ja p¨aratu integraal (x)dx (5.10) a
koondub, siis koondub ka p¨aratu integraal f (x)dx. (5.11) a
Kui pooll~oigul [a; ) m¨a¨aratud ja pidevad funktioonid f (x) ja (x) ra- huldavad tingimust 0 (x) f (x) ja p¨aratu integraal (5.10) hajub, siis hajub ka p¨aratu integraal (5.11). Teoreem 4. Kui pooll~oigul [a; ) m¨a¨aratud ja pidevad funktioonid f (x) ja (x) on piiprotsessis x ekvivalentsed, siis p¨aratu integraali (5.10) koonduvusest j¨areldub p¨aratu integraali (5.11) koonduvus ja p¨aratu integ- raali (5.10) hajuvusest p¨aratu integraali (5.11) hajuvus . Definitsioon 4. P¨arartut integraali (5.11) nimetatakse absoluutselt koon- duvaks, kui koondub p¨aratu integraal |f (x)|dx. a
Teoreem 5. P¨aratu integraali (5.11) absoluutsest koonduvusest j¨areldub selle koonduvus. N¨aide 8. Uurime p¨aratu integraali arctan xdx 1 1 + x2 koonduvust. Pooll~oigul [0; ) on t¨aidetud tingimus arctan x . N¨aite 6 p~ohjal 2 dx arctan x p¨aratu integraal 2 koondub. V~ottes teoreemis 3 f (x) = ja 0 1+x 1 + x2 1 (x) = · saame, et antud p¨aratu integraal koondub. 2 1 + x2 dx N¨aide 9. Uurime p¨aratu integraali koonduvust. 2 x-1 1 1 Piirprotsessis x on funktsioonid f (x) = ja (x) = ekviva- x-1 x lentsed, sest 1 x-1 x lim 1 = lim = 1. x x x - 1 x
13 dx N¨aite 7 p~ohjal p¨aratu integraal hajub. Seega teoreemi 4 p~ohjal hajub 2 x ka antud p¨aratu integraal. sin xdx N¨ aide 10. Uurime p¨aratu integraali koonduvust. 1 x2 sin x 1 Iga x R korral on t¨aisetud tingimus 2 2 . N¨aite 7 p~ohjal p¨aratu x x dx integraal koondub. Teoreemi 3 p~ohjal antud p¨aratu integraal koon- 2 x2 dub absoluutselt ja teoreemist 5 j¨areldame, et antud p¨aratu integraal koon- dub.
5.7 P¨ aratud integraalid to ~kestamata funktsioonidest Olgu funktsioon f (x) t~okestamata l~oigu [a; b] l~opp-punkti b u ¨mbruses. Definitsioon 5. Kui iga > 0 korral on olemas m¨a¨aratud integraal b- b- f (x)dx ja eksisteerib piirv¨a¨artus lim f (x)dx, siis seda piirv¨a¨artust a 0 a nimetatakse p¨aratuks integraaliks t~okestamata funktsioonist u ¨lemise raja b u ¨mbruses ja t¨ahistatakse f (x)dx. a Definitsiooni 5 kohaselt p¨aratu integraal t~okestamata funktsioonist u ¨lemise raja b u ¨mbruses arvutatakse valemi b b- f (x)dx = lim f (x)dx (5.12) a 0 a abil. Nagu n¨aha, on p¨aratu integraali t~okestamata funktsioonist oma kirjapil- dilt t¨apselt samasugune , nagu m¨a¨aratud integraal. Asjaolu, et integreeritav funktsioon on t~okestamata mingisuguse l~ oigus asuva punkti u ¨mbruses, tuleb iga¨ uhel endal ¨ara taibata. Olgu funktsioon f (x) t~okestamata l~oigu [a; b] alguspunkti a u ¨mbruses. Definitsioon 6. Kui iga > 0 korral on olemas m¨a¨aratud integraal b b f (x)dx ja eksisteerib piirv¨aa¨rtus lim f (x)dx, siis seda piirv¨aa¨rtust a+ 0 a+ nimetatakse p¨aratuks integraaliks t~okestamata funktsioonist alumise raja b u ¨mbruses ja t¨ahistatakse f (x)dx. a Definitsiooni 6 kohaselt p¨aratu integraal t~okestamata funktsioonist alu- mise raja a u ¨mbruses arvutatakse valemi b b f (x)dx = lim f (x)dx (5.13) a 0 a+
14 abil. Kui funktsioon f (x) on t~okestamata l~oigu [a; b] sisepunktis c, siis kasuta- des m¨a¨aratud integraali l~oigul aditiivsuse omadust, kirjutame b c b f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx a a c
ja tekkinud summas on liidetavad juba defineeritud t¨ uu¨pi p¨aratud integraalid. Kui arvutusvalemites (5.12) ja (5.13) olevad piirv¨a¨artused on l~oplikud, siis ¨oeldakse, et p¨aratu integraal koondub, kui aga need piirv¨a¨artused on l~opmatud v~oi neid ei ole olemas, siis ¨oeldakse, et p¨aratu integraal hajub. Definitsioon 7. P¨aratut integraali nimetatakse absoluutselt koonduvaks, kui koondub p¨aratu integraal b |f (x)|dx. a
N¨ aide 11. Uurime, kuidas s~oltub p¨aratu integraali b dx (5.14) a (b - x)
koonduvus v~oi hajuvus astendajast . 1 Integreeritav funktsioon on t~okestamata u ¨lemise raja b u ¨mbruses. (b - x) Seega valemi (5.12) j¨argi b b- dx dx = lim . a (b - x) 0 a (b - x)
Oletame, et = 1. Kasutades diferentsiaali m¨argi alla viimist saame, et b- b- b- dx (b - x)-+1 - lim = - lim (b - x) d(b - x) = - lim = 0 a (b - x) 0 a 0 - + 1 a -+1 (b - a)-+1 (b - a)1- 1- = - lim - = lim - . 0 - + 1 - + 1 0 1- 1-
Kui > 1, siis - 1 > 0 ja lim -1 = 0, seega 0
1- 1 lim = lim = , 0 1 - 0 (1 - )-1
st p¨aratu integraal hajub.
15 Kui 0 ja lim 1- = 0, seega 0
(b - a)1- 1- (b - a)1- lim - = , 0 1- 1- 1-
st p¨aratu integraal koondub. Kui = 1, siis b- b- b- dx d(b - x) lim = - lim = - lim ln |b - x| = 0 a (b - x) 0 a b-x 0 a = lim (ln |b - a| - ln ||) = , 0
st ka antud juhul p¨aratu integraal hajub. J¨arelikult p¨aratu integraal (5.14) koondub, kui koondub, siis koondub ka p¨aratu integraal b f (x)dx. (5.16) a
Teoreem 4'. Kui pooll~oigul [a; b) m¨a¨aratud ja pidevad funktioonid f (x) ja (x) on piiprotsessis x b ekvivalentsed, siis p¨aratu integraali (5.15) koonduvusest j¨areldub p¨aratu integraali (5.16) koonduvus ja p¨aratu integ- raali (5.15) hajuvusest p¨aratu integraali (5.16) hajuvus. Teoreem 5'. P¨aratu integraali (5.16) absoluutsest koonduvusest j¨areldub selle koonduvus.
5.8 M¨ a¨ aratud integraali ligikaudne arvutamine Newton-Leibnizi valemi kasutamine m¨a¨aratud in- tegraali arvutamiseks n~ouab integreeritava funktsiooni algfunktsiooni leid- 2 sin x 1 mist. On aga suhteliselt lihtsaid funktsioone, n¨aiteks e-x , ja , mil- x ln x lel elementaarfunktsioonide hulgas algfunktsioon puudub ja Newton-Leibnizi
16 y
yk-1 S
yk R
y = f (x)
P Q a xk-1 xk b x
valem ei ole rakendatav. Sellisel puhul kasutatakse m¨a¨aratud integraali ar- vutamiseks ligikaudseid meetodeid. Vaatleme k¨aesolevas punktis neist u ¨hte, nn trapetsvalemit. Trapetsvalemi tuletamiseks jaotame integreerimisl~oigu [a; b] n v~ordse pik- ¨ osal~oigu pikkus on sellisel juhul h = b - a . T¨ahistame kusega osal~oiguks. Uhe n jaotuspunktid x0 = a, x1 = a + h, x2 = a + 2h, ..., xk = a + kh, ..., xn = a + nh = b ja arvutame nendes jaotuspunktides funktsiooni v¨a¨artused y0 = f (x0 ), y1 = f (x1 ), y2 = f (x2 ), ..., yk = f (xk ), ..., yn = f (xn ). Vertikaalsed sirged x = xk , k = 1, 2, ..., n - 1 jaotavad k~overtrapetsi ¨ abBA n k~overtrapetsiks P QRS. Uhendame punktid R ja S sirgega, mille tu- lemusena tekib trapets P QRS, mille aluste P S ja QR pikkused on vastavalt yk-1 ja yk ning k~orguseks u ¨he osal~oigu pikkus h. Selle trapetsi pindala yk-1 + yk Sk = · h. 2 Trapetseid P QRS on n t¨ ukki ja nende pindalade summa iseloomustab li- gikaudu k~overtrapetsi abBA pindala. On ilmne, et trapetsite pindalade sum- ma iseloomustab k~overtrapetsi pindala seda t¨apsemalt, mida suurem on n, st mida suuremaks hulgaks osal~oikudeks on jagatud l~oik [a; b]. K~overtrapetsi pindala on aga m¨a¨aratud integraali geomeetriliseks t¨ahenduseks. Seega on m¨a¨aratud integraal ligikaudu v~ordne trapetsite P QRS pindalade summaga, st b y0 + y1 y1 + y2 yn-1 + yn f (x)dx S1 + S2 + . . . + Sn = ·h+ ·h+. . .+ · h. a 2 2 2
17 h V~ottes sulgude ette, saame ligikaudse valemi 2 b h f (x)dx (y0 + 2y1 + 2y2 + . . . + 2yn-1 + yn ), (5.17) a 2 mida nimetatkse trapetsvalemiks. Paneme t¨ahele, et saadud valemis k~oik funktsiooni v¨aa¨rtused esinevad kahekordselt, va funtsiooni v¨aa¨rtused integ- reerimisl~oigu otspunktides y0 = f (a) ja yn = f (b). 2 N¨ aide 12. Arvutame trapetsvalemi abil x2 dx. 0 N¨aide on valitud nii, et seda integraali oleks v~oimalik ka t¨apselt arvutada ja trapetsvalemi abil saadud tulemustega v~orrelda. Newton-Leibnizi valemi 2 2 2 x3 8 j¨argi x dx = = = 2, (6). 0 3 0 3 Arvutame sama integraali trapetsvalemi abil, jagades integreerimisl~oigu 2-0 [0; 2] neljaks osal~oiguks, st v~ottes n = 4. Siis u ¨he osal~oigu pikkus h = = 4 0, 5 ja jaotuspunktideks on punktid x0 = 0, x1 = 0, 5, x2 = 1, x3 = 1, 5 ja x4 = 2. Arvutame jaotuspunktides funktsiooni f (x) = x2 v¨a¨artused y0 = 0, y1 = 0, 25, y2 = 1, y3 = 2, 25 ja y4 = 4. Trapetsvalemi (5.17) p~ohjal 2 x2 dx 0, 25(0 + 2 · 0, 25 + 2 · 1 + 2 · 2, 25 + 4) = 2, 75. 0
Arvutame sama integraali trapetsvalemi abil, jagades integreerimisl~oigu [0; 2] kaheksaks osal~oiguks. Siis u ¨he osal~oigu pikkus on h = 0, 25 ja jaotus- punktid on x0 = 0, x1 = 0, 25, x2 = 0, 5, x3 = 0, 75, x4 = 1, x5 = 1, 25, x6 = 1, 5, x7 = 1, 75 ja x8 = 2. Funktsiooni f (x) = x2 v¨a¨artused jaotuspunktides y0 = 0, y1 = 0, 0625, y2 = 0, 25, y3 = 0, 5625, y4 = 1, y5 = 1, 5625, y6 = 2, 25, y7 = 3, 0625 ja y8 = 4. Trapetsvalemi (5.17) j¨argi 2 x2 dx 0, 125(0+2·0, 0625+2·0, 25+2·0, 5625+2·1+2·1, 5625+2·2, 25+2·3, 0625+4) = 2, 6875. 0
18 5.9 Pindala arvutamine ristkoordinaatides Kui l~oigul [a; b] funktsioon f (x) 0, siis m¨a¨aratud integraal t¨ahendab geomeetriliselt niisuguse k~overtrapetsi pindala, mis on piiratud alt x-teljega, u ¨lalt funktsiooni y = f (x) graafikuga, vasakult sirgega x = a ja paremalt sirgega x = b. y ) f (x y=
b S= f (x)dx x=a
x=b a
a x b
Joonis 5.1. k~overtarpetsi, kui f (x) 0
Joonisel 5.1 esitatud k~overtrapetsi pindala on b
SabBA = f (x)dx. (5.1) a
Oletame, et funktsioon f v~oib l~oigul [a; b] omada ka negatiivseid v¨a¨artusi. Olgu vaja arvutada joonisel 5.2 esitatud kujundi, mis on piiratud sirgetega x = a, x = b, x-teljega ja funktsiooni y = f (x) graafikuga, pindala. y y = f( x)
a x b
Joonis 5.2. Funktsiooni graafikuga ja x-teljega piiratud k~overtarpets
Kui asendada funktsioon y = f (x) funktsiooniga y = |f (x)|, siis funkt- siooni y = |f (x)| graafiku ja x-teljega (joonis 5.3) piiratud kujundi pindala on v~ordne joonisel 5.2 toodud kujundi pindalaga.
1 y
y = |f (x )| a x b
Joonis 5.3. Funktsiooni absoluutv¨aa¨rtuse graafikuga ja x-teljega piiratud k~overtarpets
Kuid |f (x)| 0 t~ottu on joonisel 5.3 esitatud kujundi pindala (seega ka joonisel 5.2 esitatud kujundi pindala) on (5.1) t~ottu b
S= |f (x)|dx. (5.2) a
N¨ aide 1. Leiame sinosoidiga ja x-teljega piiratud kujundi ruumala, kui x [0; 2]. Kujund, mille pindala tuleb leida, on joonisel 5.4. Pindala arvtutamise valemist (5.2) 2
S= | sin x|dx. 0
M¨aa¨ratud integraali l~oigul aditiivsuse omaduse t~ottu 2
S= | sin x|dx + | sin x|dx. 0
Et aga
sin x, kui sin x 0 ehk x [0; ] | sin x| = - sin x, kui sin x siis 2
S = sin xdx - sin xdx 0 2 = - cos x + cos x = -(-1 - 1) + 1 - (-1) = 4. 0
2 y
1
2 x
-1
Joonis 5.4. Sinusoidi u ¨he perioodi graafikuga ja x-teljega piiratud k~overtarpets
y
B y = f (x)
A x=a
x=b b S= [f (x) - g(x)]dx a
A B
y = g(x) a b x
Joonis 5.5. Kahe funktsiooni graafikuga piiratud k~overtarpetsi pindala
J¨argnevalt vaatleme k~overtrapetsit, mis ei ole alt piiratud x-teljega, vaid funktsiooni y = g(x) graafikuga. Piirkond on kujutatud joonisel 5.5. Ilmselt on k~overtrapetsi A B BA pindala k~overtrapetsite abBA ja abB A pindalade vahe. SA B BA = SabBA - SabB A . Kuid (5.1) j¨argi b b
SA B BA = f (x)dx - g(x)dx, a a
ehk m¨aa¨ratud interdaali omaduse t~ottu b
SA B BA = [f (x) - g(x)]dx. (5.3) a
3 M¨arkus. Joonisel 5.5 on eeldatud, et l~oigul [a; b] on 0 g(x) f (x). Tegelikult on mittenegatiivsuse n~oue liigne. Valem kehtib, kui l~oigul [a; b] on t¨aidetud tingimus g(x) f (x). 1 x2 N¨aide 2. Arvutame joonega y = ja parabooliga y = piiratud 1 + x2 2 kujundi pindala. M~olemad vaadeldavad funktsioonid on paarisfunktsioonid, seega m~olema graafikud ja j¨arelikult ka nendega piiratud kujund (joonis 5.6) s¨ ummeetriline y-telje suhtes. Joonte l~oikepunktide abstsisside leidmiseks lahendame v~orran- y
1
-2 -1 1 2 x
1 x2 Joonis 5.6. Joonega y = ja paraboliga y = piiratud k~overtarpets 1 + x2 2
di 1 x2 = . 1 + x2 2 Antud v~orrandist saame biruutv~orrandi x4 + x2 - 2 = 0, millest x2 = 1 v~oi x2 = -2. Teisel v~orrandil reaalarvulised lahendid puuduvad, esimesel on aga kaks lahendit x1 = -1 ja x2 = 1, mis on u ¨htlasi joonte l~oikepunktide abstsissid. Seega (5.3) t~ottu on joonisel 5.6 oleva k~overtrapetsi pindala 1 1 1 x2 x3 1 1 S=2 - dx = 2 arctan x - =2 - = - . 1 + x2 2 6 0 4 6 2 3 0
Edasi oletame, et k~overtrapets on u ¨lalt piiratud parameetrilisel kujul esi- tatud joonega x = x(t), y = y(t), mis on esitatud joonisel 5.7. Eeldame, et punktis A on parameetri t v¨a¨artus ja punktis B t = . Et punktis A on x = a ja punktis B on x = b, siis
a = x() ja b = x(). (5.4)
Kirjutame k~overttrapetsi pindala (5.1) integraalina b
SabBA = ydx a
4 ja l¨aheme selles integraalis u ¨le muutujale t. Muutuja y on parameetrilistest v~orranditest asendatav, muutja x diferentsiaal dx = xdt ja rajad muutuja t jaoks saame v~orranditest (5.4). Asendades saame, et antud juhul on k~overt- rapetsi abBA pindala arvutatav valemist
SabBA = y xdt. (5.5)
y B t) = y( t= = x ( t ), y x A t= S= y xdt
a b x
Joonis 5.7. Parameetrilisel kujul esitatud funktsiooni graafikuga piiratud k~overtarpetsi pindala
N¨aide 3. Arvutame ellipsiga x = a cos t, y = b sin t piiratud kujundi pindala. Antud ellips on kujutatud joonisel 5.8. y b
-a a x
-b
Joonis 5.8. Ellips pooltelgedega a ja b
Ellipsi keskpunkt on koordinaatide alguspunktis ja poolteljed on a ning b. Et vaadeldav ellips on s¨ ummeetriline m~olema koordinaattelje suhtes, siis
5 arvutame koordinaattasandi esimeses veerandis paikneva osa pindala ja kor- rutame selle 4-ga. Veerandi ellipsi vasakpoolses otspunktis x = 0 ja y = b, seega parameeter t = , parempoolses punktis aga x = a ja y = 0, seega 2 t = 0. Leides veel x = -a sin t, saame valemist (5.5) ellipsi pindala 0 0
S=4 b sin t(-a sin t)dt = -4ab sin2 tdt. 2 2
P¨arast rajade vahetamist ja poolnurga siinuse valemi kasutamist 2 2 2
S = 2ab (1 - cos 2t)dt = 2ab dt - ab cos 2td(2t) = 0 0 0 2 2 = 2abt - ab sin 2t = ab. 0 0
5.10 Polaarkoordinaadistik. Pindala arvutamine polaar - koordinaatides Peale Cartesiuse ristkoordinaadistiku on kasutusel veel teisi tausts¨ usteeme, mille suhtes punkti asukoht tasandil on u ¨ ¨heselt m¨a¨aratud. Uheks selliseks tausts¨usteemiks on polaarkoordinaadistik, mis koosneb u ¨hest fikseeritud punk - tist tasandil, nn poolusest ja sellest punktist l¨ahtuvast teljest , nn polaarteljest. polaartelg poolus
Joonis 5.9. Polaarkoordinaadistik
Polaarkoordinaadistikus on punkti P asukoht u ¨heselt m¨a¨aratud polaar- nurgaga , so nurgaga , mis j¨aa¨b punkti P ja poolust O u ¨hendava sirge ja polaartelje vahele, ning polaarkauguse ehk polaarraadiusega , so punkti P - kaugusega poolusest O ehk vektori OP pikkusega (vt joonis 5.10). - Polaarnurka ja polaarraadiust = |OP | nimetetakse punkti P polaar- koordinaatideks . Seda asjaolu m¨argitakse P (, ). J¨argnevalt leiame seosed punkti P polaarkoordinaatide ja ristkoordinaati- de vahel, kui ristkoordinaadistik on paigutatud polaarkoordinaadistiku suh- tes nii, et x-telje positiivne suund u ¨ htib polaartelje suunaga ja y- telg on t~ommatud risti x-teljega l¨abi pooluse . Olgu punkti P ristkoordinaadid x ja y ning polaarkoordinaadid ja . x Joonisel 5.11 esitatud t¨aisnurksest kolmnurgast OQP saame, et cos = ja y sin = , millest x = cos (5.6) y = sin
6 P (, )
O
Joonis 5.10. Punkti P polaarkoordinaadid
y P
Q O x
Joonis 5.11. Rist - ja polaarkoordinaadid
T~ostes v~orrandites (5.6) m~olemad pooled ruutu ja liites, saame, et x2 + y 2 = 2 cos2 + 2 sin2 , millest
= x2 + y 2 (5.7) y Jagades v~ordustest (5.6) teise esimesega, eeldusel, et x > 0, saame = x tan . Et arkustangensi v¨aa¨rtused on k~oik vahemikus - ; , aga polaar- 2 2 nurk muutub pooll~oigul (-; ], siis tuleb polaarnurga u ¨heseks m¨a¨aramiseks ristkoordinaatide x ja y j¨argi kasutada valemit y arctan , kui x > 0, x y arctan + , kui x 0, x y arctan - , kui x 0, = x (5.8) , kui x = 0 y > 0, 2 - , kui x = 0 y Paljudel funktsioonidel on polaarkoordinaadistikus oluliselt lihtsam esi- tusviis kui ristkoordinaatides. Polaarkoordinaatide puhul loetakse tavaliselt argumendiks polaarnurk ja funktsiooniks polaarraadius . Seega funktsioon polaarkoordinaatides esitatakse s~oltuvusena = (), mis iseloomustab, kui- das polaarraadius s~oltub polaarnurgast.
7 N¨aide 1. Teisendame ilmutamata kujul antud funktsiooni (x-r)2 +y 2 = 2 r polaarkoordinaatidesse. Selle funktsiooni graafikuks on ringjoon keskpunktiga (r; 0) ja raadiusega r. Avades antud v~orduses sulud, saame x2 - 2rx + r2 + y 2 = r2 ehk x2 + y 2 = 2rx. Minnes teisenduste (5.6) abil u ¨le polaarkoordinaatidele, saame 2 = 2r cos ehk = 2r cos . N¨aeme, et polaarraadius avaldub polaarnurga suhteliselt lihtsa ilmutatud funktsioonina, mille graafikuks olev ringjoon on joonisel 5.12.
r 2r
Joonis 5.12. Funktsioon = 2r cos
N¨ aide 2. Teisendame polaarkoordinaatidesse ilmutamata kujul esitatud funktsiooni (x2 + y 2 )2 = a2 (x2 - y 2 ), kus konstant a > 0. Selle funktsiooni graafiku joonestamine ristkoordinaatides on k¨ ullaltki keeruline. Teisendame funktsiooni teisenduste (5.6) abil polaarkoordinaati- desse. Asendades muutujad x ja y, saame 4 = a2 ( 2 cos2 - 2 sin2 ). P¨arast saadud v~orduse jagamist 2 -ga saame 2 = a2 cos 2 ehk =a cos 2. J¨alle on funktsioon polaarkoordinaatides oluliselt lihtsam kui ristkoor- dinaatides. Paneme t¨ahele, et joon tekib piirkonda, kus cos 2 0 ehk 3 5 - v~oi . Andes esimeses piirkonnas polaarnur- 4 4 4 4 gale v¨a¨artusi, arvutame vastavad polaarkauguse v¨a¨artused 0 ± ± ± ± 12 8 6 4 3 2 1 a a a a 0 2 2 2 ja andes teises piirkonnas -le v¨a¨artusi, leiame
± ± ± ± 12 8 6 4 3 2 1 a a a a 0 2 2 2
8 Asendame t¨apsed v¨a¨artused ligikaudsetega ja kanname polaarkoordi- naadistikku punktid (0; a), ± ; 0, 93a , ± ; 0, 84a , ± ; 0, 71a , ± ; 0, 93a , 12 8 6 12 ± ; 0, 84a , ± ; 0, 71a ja (, a). Tekkinud joont nimetatakse Ber- 12 12 noulli lemniskaadiks.
4 =
/ 3
= /4
6 / = /8 = /12 =
= a
/4
= 5
4 Joonis 5.13. Bernoulli lemniskaat
Tuletame valemi polaarkoordinaatides antud k~oversektori pindala arvu- tamiseks. Olgu k~oversektor OAB piiratud sirgetega = ja = ning joonega = () (joonis 5.14). Antud k~oversektoris polaarnurk .
B R P Q
A
k-1 k k O
Joonis 5.14. K~oversektor
Jaotame l~oigu [; ] suvalisel viisil n osal~oiguks punktidega
= 0 Igale jaotuspunktile vastab u ¨ks nurk polaarkoordinaadistikus.
9 Igal osal~oigul valime suvalise punkti k [k-1 ; k ] ja l¨ahendame k~over- sektorit , mille kesknurk on k = k - k-1 ringi sektoriga OQR, mille kesknurk on k ja raadius polaarkaugus (k ) fikseeritud nurga k korral. Joonisel vastab raadiusele l~oik OP . Kokku tekib meil n sellist ringi sektorit. Neist k-nda pindala on sektori 2 (k )k pindala valemi j¨argi . Liites k~oikide ringi sektorite pindalad kokku, 2 saame ligikaudu k~oversektori OAB pindala n 2 (k ) k . k=1 2
2 () Viimane summa on funktsiooni integraalsumma l~oigul [; ]. T¨ahistame 2 maksimalse osal~oigu pikkuse = max k ja vaatleme piirprotsessi 0. 1kn See aga t¨ahendab, et k~oikide sektorite kesknurgad kahanevad t~okestamatult ja sektorite pindalade summa hakkab u ¨ha t¨apsemalt esitama k~oversektori OAB pindala. Kui eeldada funktsiooni = () pidevust l~oigul [; ], siis eksisteerib integraalsumma piirv¨aa¨rtus n 2 (k ) 1 2 lim k = ()d. 0 k=1 2 2
J¨arelikult arvutatakse k~oversektori OAB pindala valemi 1 2 S= ()d (5.9) 2
abil. N¨aide 3. Arvutame Bernoulli lemniskaadiga = a cos 2 piiratud piir- konna pindala. Jooniselt 5.13 on ilmne, et s¨ ummeetria t~ottu piisab veerandi kujundi pi- dala arvutamisest ja selle 4-ga korrutamisest. V~otame selleks veerandiks osa, kus 0 ja arvutame valemi (5.9) abil 4 4 4 4 1 2 2 2 2 4 S =4· d = 2 a cos 2d = a cos 2d(2) = a sin 2 = a2 . 2 0 0 0 0
5.11 K~ overjoone kaare pikkus Vaatleme joont AB, mis on funktsiooni y = f (x) graafikuks (joonis 5.15). T¨ahistame punkti A abstsissi a-ga ja punkti B abstsissi b-ga. Eeldame, et funktsioon f (x) on l~oigul [a; b] pidev ja omab vahemikus (a; b) pidevat tule- tist. Niisugustel eeldustel nimetatakse joont AB siledaks. Valime joonel AB punktid A = P0 , P1 , . . . Pk-1 , Pk , . . . Pn = B nii, et iga j¨argmise punkti abstsiss xk oleks eelmisest xk-1 suurem,
10 y
B Pk-1 yk-1 Pk yk
A
a xk-1 xk x b
Joonis 5.15. K~overjoon ja sellesse joonestatud murdjoon
¨ st xk = xk - xk-1 > 0. Uhendame punktid Pk-1 ja Pk (k = 1, 2, . . . , n) sirgl~oikudega. Nii tekib murdjoon P0 P1 . . . Pk-1 Pk . . . Pn . T¨ahistades murd- joone k-nda l¨uli pikkuse sk , saame murdjoone pikkuseks summa n sk . (5.10) k=1
Piirprotsess max sk 0 kindlustab murdjoone k~oikide l¨ ulide pikkuste 1kn l¨ahenemise 0-le. Definitsioon 1. K~overjoone kaare pikkuseks s nimetatakse sellesse ku- jundatud murdjoone pikkuse piirv¨a¨artust murdjoone pikima l¨ uli l¨ahenemisel 0-le, st n s= lim sk . (5.11) max sk 0 k=1 1kn
Punkti alguses tehtud eeldustel tuletame sellest definitsioonist l¨ahtudes valemi k~overjoone kaare AB pikkuse arvutamiseks. Olgu yk = yk - yk-1 . Siis k~overjoone k-nda l¨ uli pikkus on
2 yk sk = x2k + yk2 = 1+ xk , xk
sest konstruktsiooni t~ottu xk 0. Funktisoon f (x) rahuldab Lagrange'i teoreemi eeldusi, seega leidub selline k (xk-1 , xk ), et
yk yk - yk-1 = = f (k ) xk xk - xk-1 ja sk = 1 + (f (k ))2 xk .
11 Kui sk 0 siis ka xk 0 ja definitsioon 1 j¨argi n s= lim 1 + (f (k ))2 xk . max xk 0 k=1 1kn
Viimane summa on funktsiooni 1 + [f (x)]2 integraalsumma. Seega m¨a¨aratud integraali definitsiooni kohaselt arvutatakse kaare AB pikkus valemist b
s= 1 + [f (x)]2 dx. (5.12) a
N¨aide 1. Arvutame naturaallogaritmi y = ln x graafiku kaare pikkuse, kui x [1; 3]. 1 1 x2 + 1 Leiame y = , 1 + y 2 = 1 + 2 ja 1 + y 2 = . Valemi (5.12) x x x j¨argi 3 dx s= x2 + 1 · . x 1 Saadud integraalis teeme muutuja vahetuse t = x2 + 1 ehk t2 = x2 + 1 ja 2tdt = 2xdx, millest p¨arast m~olema poole jagamist suurusega 2x2 saame, dx tdt tdt et = 2 = 2 . Kui x = 1, siis t = 2 ja kui x = 3, siis t = 2. x x t -1 P¨arast muutuja vahetust 2 2 2 2 tdt t2 - 1 + 1 dt s = t· 2 = dt = dt - = t -1 t2 - 1 1 - t 2 2 2 2 2 2 1 1+t 1 1 2+1 = 2 - 2 - ln = 2 - 2 - ln 3 + ln = 2 1-t 2 2 2 2-1 1 ( 2 + 1)2 2+1 = 2 - 2 + ln - ln 3 = 2 - 2 + ln 0, 918. 2 2-1 3 Olgu joon AB parameetrilisel kujul esitatud funktsiooni x = x(t) ja y = y(t) graafikuks. Olgu punktis A parameetri v¨aa¨rtus ja punktis B v¨aa¨rtus . Eeldame, et funktsioonid x = x(t) ja y = y(t) on pidevad l~oigul [; ], et neil on pidevad tuletised vahemikus (; ) ja et x > 0, st x = x(t) on rangelt kasvav funktsioon. Teeme kaare pikkuse arvutamise valemis (5.12) muutuja vahetuse, st l¨ahme u ¨le parameetrile t. Parameetrilisel kujul esitatud y funktsiooni tuletis f (x) = ja diferentsiaal dx = xdt. Kui x = a, siis t = . x Kui x = b, siis t = . Valemist (5.12) saame 2 y s= 1+ xdt. x
12 Arvestades eeldust x > 0 saame vaadeldaval juhul joone kaare pikkuse arvutamiseks valemi
s= x 2 + y 2 dt. (5.13)
N¨aide 2. Arvutame ts¨ ukloidi x = a(t - sin t), y = a(1 - cos t) u ¨he kaare pikkuse. y
2a
a
a 2a x
Joonis 5.16. Ts¨ ukloidi kaar, kui t [0; 2]
Ts¨ ukloid on ts¨ ukliline joon, mille u ¨ks kaar moodustub, kui parameeter t muutub v¨a¨artusest 0 v¨a¨artuseni 2. Leiame tuletised x = a(1 - cos t) ja y = a sin t ning nende ruutude summa x 2 + y 2 = a2 (1 - cos t)2 + a2 sin2 t = a2 (1 - t 2 cos t + cos2 t + sin2 t) = 2a2 (1 - cos t) = 4a2 sin2 . J¨arelikult x 2 + y 2 = 2 t 2a sin . 2 N¨uu¨d saame valemi (5.13) abil 2 2 2 t t t t s = 2a sin dt = 4a sin d = 4a - cos = 8a. 2 2 2 2 0 0 0
M¨arkus. Ruumilise joone parameetriliste v~orranditega x = x(t), y = y(t) ja z = z(t) kaare pikkuse arvutamiseks parameetri muutumisel l~oigul [; ] kehtib valemiga (5.13) analoogiline valem
s= x 2 + y 2 + z 2 dt. (5.14)
N¨ aide 3. Leiame kruvijoone x = a cos t, y = a sin t, z = bt, kus a ja b on positiivsed konstandid, esimese keerme pikkuse. Kruvijoone esimine keere moodustub, kui 0 t 2. Valemi (5.14) rakendamiseks leiame x = -a sin t, y = a cos t, z = b ja
x 2 + y 2 + z 2 = a2 + b2 .
13 Valemi (5.14) j¨argi saame kruvijoone esimese keerme pikkuseks 2 s= a2 + b2 dt = 2 a2 + b2 . 0
Olgu joone kaareks polaarkoordinaatides esitatud funktsiooni = () graafik, kui [; ]. Asendades ristkoordinaatidelt polaarkoordinaatidele u ¨ lemineku valemites (5.6) muutuja tema avaldisega kaudu, saame joone parameetrilised v~orrandid
x = () cos y = () sin ,
kus parameetriks on polaarnurk . Kaare pikkuse valemi tuletamiseks kasutame valemit (5.13). Selleks leia- me x = () cos - () sin ja y = () sin + () cos ning
x 2 + y 2 = 2 () cos2 - 2 () cos () sin + 2 () sin2 + 2 + () sin2 + 2 () sin () cos + 2 () cos2 = 2 = ()(cos2 + sin2 ) + 2 ()(sin2 + cos2 ) = 2 () + 2 ().
Seega saame valemist (5.13) polaarkoordinaatides esitatud joone = (), kus , kaare pikkuse arvutamiseks valemi
s= 2 + 2 d. (5.15)
N¨ aide 4. Arvutame kardioidi = a(1 + cos ) pikkuse (joonis 5.17).
2a
Joonis 5.17. Kardioid
Selle t~ottu, et cos on paarisfunktsioon, on kardioid polaartelje suhtes s¨ ummeetriline joon. Kogu kardioidi pikkuse arvutamiseks arvutame poole
14 kardioidi (selle osa, kus 0 ) pikkuse ja korrutame kahega. Valemi (5.15) kasutamiseks leiame = -a sin ja
2 2 + = a2 (1 + cos )2 + a2 sin2 = 2a2 (1 + cos ) = 4a2 cos2 . 2 N¨ uu¨d valemi (5.15) s=2 2a cos d = 8a cos d = 8a sin = 8a. 2 2 2 2 0 0 0
5.12 P¨ o¨ ordkeha ruumala Rahuldagu l~oigul [a; b] m¨a¨aratud ja pidev funktsioon f (x) tingimust f (x) 0. Olgu k~overtrapets (joonis 5.18) abBA piiratud x-teljega, sirgetega x = a, x = b ja funktsiooni y = f (x) graafikuga. Paneme k~overtrapetsi p¨o¨orlema u ¨mber x-telje. y
f (x) B y= x=b
A x=a
a b x
Joonis 5.18. K~overtrapetsi p¨o¨orlemisel u ¨mber x-telje tekkinud p¨o¨ordkeha
Seame eesm¨argiks tuletada tekkinud p¨o¨ordkeha ruumala. Jaotame l~oigu [a; b] vabalt valitud punktidega
a = x0 n osal~oiguks. Igal osal~oigul valime suvalise punkti k [xk-1 ; xk ]. Jaotame p¨o¨ordkeha x-teljega ristuvate tasanditega x = xk (k = 0, 2, . . . , n) kihtideks. L¨ahendame kihi, mis j¨a¨ab tasandite x = xk-1 ja x = xk vahele, ruumala niisuguse silindri ruumalaga, mille raadius on f (k ) ja k~ orgus xk = xk - xk-1 . Selle silinri ruumala on vk = f 2 (k )xk .
15 y
f (x) B y= f (k )
x=b A
x=a a xk-1 xk b x
Joonis 5.19. P¨oo¨ rdkeha l¨ ahendamine silindrite ruumalade summaga
K~oikide niisuguste silindrite ruumalade summa n f 2 (k )xk k=1
on funktsiooni f 2 (x) integraalsumma. Selle summa piirv¨a¨artus piirprotsessis b
max xk 0 on v~ordne integraaliga f 2 (x)dx. Seega on joone y = 1kn a f (x), kus x [a; b] p¨o¨orlemisel u ¨mber x-telje tekkiva p¨o¨ordkeha ruumala V arvutatav valemist b
V = y 2 dx. (5.16) a N¨aide 1. Leiame poolringjoone y = r2 - x2 p¨o¨orlemisel u ¨mber x telje tekkinud p¨o¨ordkeha ruumala. Poolringjoon on s¨ ummeetrilise y-telje suhtes. Seep¨arast leiame veerand- ringjoone, kus 0 x r p¨oo¨rlemisel u ¨mber x-telje tekkinud p¨oo¨rdkeha ruumala ja korrutame tulemuse kahega. Valemist (5.16) saame y 2 = r2 - x2 t~ottu, et r r x3 r3 4r3 V = 2 (r2 - x2 )dx = 2 r2 x - = 2 r3 - = . 3 0 3 3 0
16 6 Mitme muutuja funktsioonid Reaalarvude j¨arjestatud paaride (x, y) hulga ja tasandi punktide hulga vahel on u ¨ks¨ uhene vastavus, st igale paarile vastab u ¨ks kindel punkt tasandil ja igale tasandi punktile vastavad selle koordinaadid ehk u ¨ks reaalarvude j¨arjestatud paar. Piirkonnaks nimetatakse (x, y)-tasandi punktide alamhulka. Tasandilisi piirkondi hakkame t¨ahistama s¨ umboliga D. N¨aiteks piirkond<
on tasandi niisuguste punktide hulk, mis asuvad koorinaatide alguspunk- tist mitte kaugemal kui u ¨ks u¨hik ehk u¨hikulise raadiusega ring koos seda u ¨ mbritseva ringjoonega. Piirkonda piiravat joont nimetatakse piirkonna rajajooneks ja rajajoone punkte piirkonna rajapunktideks. Rajajoonel mitte asuvaid punkte nimeta- takse piirkonna sisepuntideks. Piirkonsa nimetatakse kinniseks, kui see sisaldab k~oiki oma rajapunkte, st sisaldab rajajoont. Piirkonda nimetatakse lahtiseks, kui see ei sisalda u ¨htegi rajapunkti. Edaspidi kujutame joonistel kinnise piirkonna rajajoont pideva joonega ja lahtise piirkonna rajajoont katkendliku joonega.
Joonis 6.1. Kinnine ja lahtine ring
Punkti u ¨mbruseks tasandil nimetatakse suvalise raadiusega lahtist ringi, mille keskpunktiks on punkt ise. Kui > 0 on suvaline reaalarv, siis punkti (x0 , y0 ) -¨ umbruseks on lahtine ring
U (x0 , y0 ), kui f (x) = x2 - 1.
¨ Ulesannetes 20. - 39. leida piirv¨aa¨rtused. (n + 1)3 - (n - 1)3 20. lim . n (n + 1)2 + (n - 1)2
2 n2 + 1 + n 21. lim 3 . n n6 + 1 8x3 - 1 22. lim1 2 . x 2 6x - 5x + 1
1 x3 - 2x2 - 8x 23. lim . x4 x2 - x - 12
1 1 24. lim 2 - 2 . x2 x(x - 2) x - 3x + 2 1+x- 1-x 25. lim . x0 x 2- x-3 26. lim . x7 x2 - 49 x+h- x 27. lim . h0 h x2 28. lim . x0 1 - 1 - x2 (x + 1)(x + 2) 29. lim . x 2x2 10 + x5 30. lim . x 1 - 2x5
1 - 2x2 + 3x4 31. lim . x 1 + 2x3 tan 2x 32. lim . x0 sin 5x 1 - cos3 x 33. lim . x0 x sin 2x
1 1 34. lim - . x0 sin x tan x 35. lim - x tan x. x 2 2 x 4 2 36. lim 1+ . x x x2 x2 + 2 37. lim . x x2 - 1 x-1 2x - 3 2 38. lim . x 2x + 1 2 39. lim (1 + x) x . x0
1 40. T~oestada tuletise definitsiooni abil, et ( x) = . 2 x
2 1 1 41. T~oestada tuletise definitsiooni abil, et =- . x x2 ¨ Ulesannetes 42. - 50. leida funktsiooni tuletis ja v~oimaluse korral liht- sustada avaldis. 1 - x2 42. y = x2 + x3 43. y = log3 (x2 + 2x + 4) x 44. y = x · 10 45. y = ln x + 1 + x2 - 1 + x2 11 5 46. y = 9 + 6 x9
47. y = ln(ex cos x + e-x sin x) 1 x+1 48. y = (3 - x) 1 - 2x - x2 + 2 arcsin 2 2 3x2 - 1 49. y = 3 + ln 1 + x2 + arctan x 3x sin2 x cos2 x 50. y = + 1 + cot x 1 + tan x 51. Arvutada z (0), kui z(t) = t3 + 1 t.
52. Rihmaratta p¨o¨ordenurga s~oltuvus ajast on = t2 + 3t - 5. Leida nurkkiirus ajahetkel t = 5. 8a3 53. Leida joone y = puutuja t~ous punktis abstsissiga x = 2a. 4a2 + x2 54. Leida y , kui x4 + y 4 = x2 y 2 .
55. Leida y , kui y sin x - cos(x - y) = 0.
56. Leida y , kui 2y ln y = x.
57. Leida y , kui 2x + 2y = 2x+y . 1 58. Leida y , kui y = x x . x x 59. Leida y , kui y = . 1+x x-2 60. Leida y , kui y = 5 . (x + 3)3 x2 dy 61. Leida , kui x = t(1 - sin t), y = t cos t. dx 3 62. Leida ellipsi x = 2 cos t, y = sin t puutuja t~ous punktis A 1; - . 2
3 63. Avaldada funktsiooni y = xe2x diferentsiaal dy. x 64. Arvutada funktsiooni y = ln 2 diferentsiaali ja muudu v¨a¨artused, x +1 1 kui x = 2 ja x = . 30 65. Arvutada funktsiooni diferentsiaali abil ligikaudu ln 1, 01. 66. Arvutada funktsiooni diferentsiaali abil ligikaudu 4 16, 64. 67. Leida y , kui y = 1 + x2 .
68. Leida y , kui y = x(sin ln x + cos ln x). x 69. Leida y (n) , kui y = . x+1 70. Arvutada f IV (1), kui f (x) = x6 - 4x3 + 4.
71. Leida y , kui ex+y = xy. d2 y 72. Leida , kui x = ln t, y = t2 - 1. dx2 ¨ Ulesannetes 73. - 80. leida piirv¨a¨artus L'Hospitali reegli abil. 3 x- 32 73. lim x2 x- 2 eax - ebx 74. lim x0 2x - 2 arctan x 75. lim x 1 ln 1 + x
76. lim x3 e-x x
1 x 77. lim - x1 ln x ln x
78. lim xsin x x0 x 1 79. lim x0 x 1 80. lim (ex + x) x . x0
81. Arendada funktsioon f (x) = x5 - 3x3 + 1 Taylori valemi abil x - 1 astmete j¨argi.
82. Koostada funktsiooni y = sin2 x teist j¨arku Taylori valem punkti x0 = 0 u ¨mbruses. 83. Koostada funktsiooni y = x3 ln x 3. j¨arku Taylori valem punkti x0 = 1 u ¨mbruses.
4 x 84. Leida funktsiooni y = kasvamis- ja kahanemispiirkond . ln x 85. Leida funktsiooni y = 2 sin x + cos 2x l~oiku [0; 2] kuuluv kasvamis- ja kahanemispiirkond.
86. Leida funktsiooni y = x - ln(1 + x) lokaalsed ekstreemumid.
87. Leida funktsiooni y = (x - 5)2 3 (x + 1)2 lokaalsed ekstreemumid. 1 88. Leida funktsiooni y = x sin x + cos x - x2 l~oiku - ; kuuluvad 4 2 2 lokaalsed ekstreemumid. x-1 89. Leida funktsiooni y = suurim ja v¨ahim v¨a¨artus l~oigul [0; 4]. x+1 90. Leida funktsiooni y = sin 2x-x suurim ja v¨ahim v¨a¨artus l~oigul - ; . 2 2 x3 91. Leida funktsiooni y = graafiku kumerus- ja n~ogususpiirkond x2 + 3 ning k¨a¨anupunktid. 2 92. Leida funktsiooni y = e-x graafiku kumerus- ja n~ogususpiirkond ning k¨a¨anupunktid. 3x2 - 2x 93. Leida funktsiooni y = graafiku as¨ umptoodid. x-1 x 2 94. Leida funktsiooni y = + graafiku as¨ umptoodid. 2 x x3 1 95. Leida funktsiooni y = + m¨aa¨ramispiirkond, nullkohad, lokaal - 3 x sed ekstreemumid, kasvamis- ja kahanemispiirkonnad, k¨a¨anupunktid, kumerus- ja n~ogususpiirkonnad, graafiku as¨ umptoodid. Kas funktsioon on paaris v~oi paaritu? Joonestada funktsiooni graafik. ¨ Ulesannetes 96. - 127. leida m¨a¨aramata integraal 3 x2 - 4 x 96. dx x (1 + 2x2 )dx 97. x2 (1 + x2 ) 1 + cos2 x 98. dx 1 + cos 2x dx 99. x2 -5 100. 5 - 2xdx
x3 dx 101. x4 + 3
5 102. tan xdx
103. sin4 x cos xdx
ex dx 104. ex + 2 dx 105. x ln x xdx 106. x4 + 1 dx 107. x 1 - ln2 x 1+x 108. dx 1 - x2
109. (x + 2) sin 2xdx
110. x3x dx
111. ln(x2 + 1)dx
112. arccos xdx
2x + 3 113. dx 3x + 2 x3 dx 114. x+1 dx 115. 6x3 - 7x2 - 3x x5 + x4 - 8 116. dx x3 - 4x x2 + 1 117. dx (x2 - 1)(x2 - 4) 3x - 2 118. dx x(x2 + 1) dx 119. x3 +1 dx 120. 4 + 5 cos x
6 tan x 121. dx 1 - 2 tan x dx 122. cos6 x sin3 xdx 123. cos4 x
124. sin2 xdx
dx 125. x(x + 1) 2+x 126. dx 3 3-x dx 127. x+ 3x ¨ Ulesannetes 128. - 138. arvutada m¨aa¨ratud integraal 16 dx 128. 0 x+9- x 2 1 e x dx 129. 1 x2 e3 dx 130. 1 x 1 + ln x 1 dx 131. 0 x2 + 4x + 5 2 dx 132. 1 x + x2 2 133. cos5 x sin 2xdx 0 134. x3 sin xdx 0 3 xdx 135. 4 sin2 x e-1 136. ln(x + 1)dx 0
1 xdx 137. 0 1+x
7 29 3 (x - 2)2 dx 138. 3 3+ 3 (x - 2)2 ¨ Ulesannetes 139. - 145. arvutada p¨aratu integraal 139. e-2x dx 0 dx 140. - x2 + 2x + 2 x 141. dx 0 (1 + x)3 142. x sin xdx 0 2 xdx 143. 1 x-1 1 144. x ln xdx 0 2 dx 145. 1 (x - 1)(2 - x) 146. Arvutada paraboolidega y 2 +8x = 16 ja y 2 -24x = 48 piiratud kujundi pindala.
147. Arvutada astroidiga x = a cos3 t, y = a sin3 t piiratud kujundi pindala.
148. Arvutada Pascali teoga = 2a(2 + cos ) piiratud kujundi pindala
149. Arvutada joone y = ln(1 - x2 ) kaare pikkus l~oigul 0; 12 . 150. Arvutada joone y = x - x2 + arcsin x pikkus.
151. Arvutada joone x = a(cos t + t sin t), y = a(sin t - t cos t) kaare pikkus punktist, milles t = 0 punktini, milles t = . 3 152. Arvutada h¨ uperboolse spiraali = 1 pikkus v¨a¨artusest = 4 v¨aa¨rtuseni = 43 .
Vastused 1. X = (-; -5) (-5; 0); 2. X = [-1; 3]; 3. X = [-4; -] [0; ]; 4: X = (4; 5) (6; ); 5. Y = [-1; 3] 6. Y = [0; 2]; 7. y = 2 ± x 1-x x 1 + x; 8. y = log2 ; 9. y = ln (10 - 3); 10. y = ± cos 1-x 4 x2 (0 x 2; 11. y = 8x - 8; 12. y = arccos 1+x ; 14. Paari- 1 tu; 15. Paaris; 16. Ei ole kumbki; 17. Paaris; 18. - ; 19. x 3 0; 20. 3; 21. 4; 22. 6; 23. 3 ; 24. ; 25. 1; 26. 7
8 1 1 1 1 - ; 27. ; 28. 2; 29. ; 30. - ; 31. ; 32. 56 2 x 2 2 2 3 1 ; 33. ; 34. 0; 35. 1; 36. e2 ; 37. e3 ; 38. ; 39. 5 4 e x-2 2x + 2 x ln 10 e2 ; 42. ; 43. ; 44. 10 x 1 + ; x3 (x2 + 2x + 4) ln 3 2 5 1-x 54 x4 (ex + e-x )(cos x - sin x) 45. ; 46. ; 47. ; 1 + x2 11 5 10 ex cos x + e-x sin x 55 · 9 + 6 x9 x2 x5 + 1 48. ; 49. 4 ; 50. - cos 2x; 51. 1; 52. 1 - 2x - x2 x (1 + x2 ) 1 x y 2 - 2x2 y cos x + sin(x - y) 13 rad s ; 53. - ; 54 · 2 ; 55. ; 56. 2 y 2y - x2 sin(x - y) - sin x 1 2y - 1 1 -2 ; 57. 2x-y · ; 58. x x (1 - ln x); 2(1 + ln y) 1 - 2x x x 1 x x-2 1 3 2 59. + ln ; 60. - - ; 1+x 1+x 1+x (x + 3) 3· 5 x 2 2(x - 2) x + 3 5x cos t - t sin t 3 61. ; 62. ; 63. e2x (1 + 2x)dx; 64. dy = -0, 01, 1 - sin t - t cos t 6 1 y = -0, 0100044; 65. 0, 01; 66. 2, 02; 67. ; (1 + x ) 1 + x2 2
2 sin ln x n+1 n! y [(x - 1)2 + (y - 1)2 ] 68. - ; 69. (-1) · ; 70. 360; 71. - ; x (x + 1)n+1 x2 (y - 1)3 2 a-b 72. 4t2 ; 73. ; 74. ; 75. 2; 76. 0; 77. -1; 78. 1; 3· 2 6 2 79. 1; 80. e2 ; 81. -1-4(x-1)+(x-1)2 +7(x-1)3 +5(x-1)4 +(x-1)5 ; 2x3 sin 2x 5 82. x2 + R2 (x), kus R2 (x) = - ; 83. x - 1 + (x - 1)2 + 3 2 11 3 (x - 1)4 (x - 1) + R3 (x), kus R3 (x) = ; 84. X = (e; ), 6 4[1 + (x - 1)] 5 3 X = (0; 1) (1; e); 85. X = 0; ; ; 2 , X = 6 2 6 2 5 3 ; ; ; 86. Kohal x = 0 lok. miin. 87. Kohtadel 6 2 6 2 x = -1 ja x = 5 lok. miin. kohal x = 0, 5 lok. maks. 88. Kohal x = 0 lok. miin. Kohtadel x = ± lok. maks. 89. ymin = y(0) = -1, 3 3 ymax = y(4) = ; 90. ymax = y - = , ymin = y = - ; 5 2 2 2 2 ^ 3 3 3 3 91. X = -; - 0; , X = - ; 0 ; ; 92. 5 5 5 5 X^ = - 1 ; 1 , X = -; - 1 1 ; ; 93. x = 1, y = 2 2 2 2 x 3x + 1; 94. x = 0, y = ; 95. X = (-; 0) (0; ), nullkohti pole, 2 kohal x = -1 lok. maks. kohal x = 1 lok. miin. X = (-; -1) (1; ), X = (-1; 0) (0; 1), X ^ = (-; 0), X = (0; ), k¨a¨anupunkte pole, verti- 4 6x 6 x 4 x3 kaalas¨ umptoot x = 0, kaldas¨ uptoote pole; 96. - +C; 97. 7 3
9 1 1 1 5-x arctan x - + C; 98. (tan x + x) + C; 99. ln + C; x 2 2 5 5+x (2x - 5) 5 - 2x 1 4 100. + C; 101. x + 3 + C; 102. - ln | cos x| + C; 3 2 5 sin x 103. + C; 104. ln(ex + 2) + C; 105. ln | ln x| + C; 106. 5 1 arctan x2 + C; 107. arcsin ln x + C; 108. arcsin x - 1 - x2 + C; 2 (x + 2) cos 2x sin 2x x3x 3x 109. - + + C; 110. - 2 + C; 2 4 ln 3 ln 3 111. x ln(x2 + 1) - 2x + 2 arctan x + C; 112. x arccos x - 1 - x2 + C; 2x 5 x3 x 2 113. + ln |3x + 2| + C; 114. - + x - ln |x + 1| + C; 115. 3 9 3 2 3 2 2 3 1 x x ln |2x - 3| + ln |3x + 1| - ln |x| + C; 116. + + 4x + 2 ln |x| + 33 11 3 3 2 1 x+1 5 x-2 5 ln |x - 2| - 3 ln |x + 2| + C; 117. ln + ln + C; 3 x-1 12 x+2 x2 + 1 1 1 118. ln 2 + 3 arctan x + C; 119. ln |x + 1| - ln(x2 - x + 1) + x 3 6 1 2x - 1 1 tan x2 + 3 1 arctan + C; 120. ln x + C; 121. - ln |2 sin x - 3 3 3 tan 2 - 3 5 2x 2 1 1 cos x| - + C; 122. tan x + tan3 x + tan5 x + C; 123. - 5 3 5 3 cos3 x 1 1 1 + C; 124. x - sin 2x + C; 125. 2 arctan x + C; 126. cos x 2 4 3 15 3 (3-x) 3 (3 - x)2 - (3 - x)2 +C; 127. 2 x-3 3 x+6 6 x-6 ln( 6 x+ 5 2 1) + C; 128. 12; 129. e - e; 130. 2; 131. arctan 3 - arctan 2; 1 8 2 (9 - 4 3) 1 3 132. ln ; 133. ; 134. 3 - 6; 135. + ln ; 2 5 7 36 2 2 3 3 1 1 136. 1; 137. 2 - ; 138. 8 + ; 139. ; 140. ; 141. ; 2 2 2 2 8 1 32 142. Hajub; 143. ; 144. - ; 145. ; 146. 6; 147. 3 4 3 2 3 2 1 a a ; 148. 18a2 ; 149. ln 3 - ; 150. 2; 151. ; 152. 8 2 2 3 5 ln + 2 12
10