Ristkoordinaatide väärtused võivad olla nii + kui märgiga. Geodeesias (kartograafias) kasutatavad ristkoordinaatteljed on vastupidised matemaatikas kasutatavatele. Geodeesias suundub x-telg põhja ja y-telg itta. Seega on x-telg alati üldistatult põhjasuunaks (meridiaani suunaks) ning y-telg on selle suunaga risti. Polaarkoordinaadid Polaarkoordinaadid esitatakse nurgaga koordinaattelje suhtes ja kaugusega telje alguspunktist. Nurki mõõdetakse kraadides (goonides), kaugusi meetrites. Et saada otsitava punkti polaarkoordinaate, on vaja eelnevalt teada vähemalt kahe lähtepunkti koordinaate. Polaarkoordinaate võib esitada järgmiselt 1. ühest kindelpunktist mõõdetud nurk baasjoone ja määratav punkti suuna vahel ning kaugus lähtepunktist määratavasse punkti 2...
Et p1 ja p2 on üheselt määratud, siis r1=r2=(p12+p22). Jääb üle jäidata, et 1= 2 . Kuna sin funktisioon võib 2 jooksul omada mitu korda sama väärtust, siis sellest ei piisa, cõtame appi cos'nuse. Suurused p1/( p12+p22) ja p2/( p12+p22) on sammuti üheselt määratud. Et vahemikus [0, 2) ei saa olla kahte erinevat nurka mille sinused võrrduksid cosinustega, järelikult peab 1= 2. Seega on poolusest erineva punkti polaarkoordinaadid üheselt määratud. 9. (lemma 9.2)Teist järku joone keskpunkt K poolitab joone iga punkti K läbiva kõõlu. tõestus: Teist järku joone diameetri kõik punktid kuuluvad samale sirgele. Tõestus: Ogu antud teist järku joon : a11x12+2a12x1x2+a22x22+2a1x1+2a2x2+a0 , selle keskpunkt K ja keskpunkti K läbiv kõõl AB. Siis A,B ja K on samal sirgel. Et AB on kõõl, siis ükski lõigul AB punk A ja B vahel ei saa kuuluda. Tuleb näidata, et AK ja KB on võrdse pikkusega. Oletame...
Leidub punkt A hulgas B nii, et kehtib võrdus f ( x, y )dxdy = f ( x(u, v), y(u, v)) J (u, v) dudv D D' xu xv , kus J (u , v ) = on funktsionaaldeterminant yu yv ehk jakobiaan 9. Polaarkoordinaadid ja nende seos ristkoordinaatidega. Kahekordse integraali teisendamine polaarkoordinaatidesse Olgu punkt A(a,b) fikseeritud punkt tasandil. Punkti P(x,y) polaarkoordinaatideks punkti A suhtes nimetatakse arvupaari ja , kus =|PA|=(x-a)2+(y-b)2 ja on nurk, mis tekib liikumisel x-telje suunaliselt vektorilt vektorile AP vastupäeva. Kokkuleppeliselt ]-,] x=cos+a x'=cos x'=-sin y=sin+b y'=sin y'=cos cos - sin...
Määramispiirkond, väärtuste hulk. Pöördfunktsioon. Seaduspärasust või teisendust, mis igale X elemendile x seab vastavuse ühe hulga Y elemendi y nim. argumendi x funktsiooniks ja kirjutatakse y=f(x) Funktsiooni y=f(x) määramispiirkonnaks on kõigi nende argumendi x väärtuste hulk, mille korral funktsioon omab mõtet ja on lõpliku väärtusega. Funktsiooni väärtuste hulgaks nim. nende väärtuste hulka, mida funktsioon omandab, kui läbib kogu määramispiirkonna. Tingimused, mis peavad olema täidetud elementaarfunktsioonide kaudu esitatud reaalmuutuja funktsioonil: B ( x) 1) A( x) 0 A( x) 2) 2 x A( x) A( x) 0 3) logaA(x) A(x) >0 arcsin A( x) 4) -1 A( x) 1 arccos A( x) Funktsiooni y=f(x) pöördfunktsiooniks nim. f-ni y=g(x), mis igale funktsiooni f väärtusele y seab vastavusse need argumendi x väärtused, mille korral y=f(x) Olgu funktsioonid y=f(x) ja y=g(x), siis väärtus y on teisendat...
f ( x, y, z )dxdydz = V , kus = f ( x(u , v, w), y (u , v, w), z (u , v, w)) J (u , v, w) dxdydz V' xu' xv' xw' J (u , v, w) = yu' yv' yw' on funktsionaaldeterminant ehk jakobiaan zu' zv' z w' Olgu antud punkt P(x,y,z)R3. Punkti P(x,y,z) silinderkoordinaatideks nimetatakse arvukolmikut , ja z, kus ja on punkti P projektsiooni polaarkoordinaadid xy- tasandil ja z on punkti P kaugus xy-tasandist. x=cos x'=cos x'=-sin xz'=0 y=sin y'=sin y'=cos yz'=0 z=z z'=0 z'=0 zz'=1 cos - sin 0 J ( , , z ) = sin cos 0 = Seega z 0 1 f ( x, y, z )dxdydz = f ( cos , sin , z ) dddz V V' Punkti P(x,y,z)R sfäärkoordinaadid ruumis alguspunktiga O on , ja , kus =|...
Suurusi, mis on täielikult iseloomustatud oma arvväärtusega nimetatakse skalaarideks (skalaarna suurus). Skalaari saab esitada arvteljel. Suurusi, mis on iseloomustatud oma arvväärtuse (suuruse), sihi ja suunaga nimetatakse vektoriteks. (arvväärtuse määrab punktide vaheline kaugus, sihi määrab punktidega antud sirge s(A,B), suund on määratud punktide järjestusega.) Vastandvektor sama suurus ja siht, aga erinev suund. Vabavektor vektori alguspunkt ei ole fikseeritud. Nullvektor pikkus on null, siht ja suund määramata. Ühikvektor . pikkus/arvväärtus on üks. Võrdsed vektorid sama siht suund ja arvväärtus. Kollineaarsed vektorid pärast ühisesse alguspunkti viimist asuvad ühel sirgel. Komplanaarsed vektorite kolmik, pärast ühisesse alguspunkti viimist asuvad ühel tasandil. 2)Lineaarsed tehted vektoritega. (liitmine ja arvuga korrutamine) Vektorite liitmine operatsioon, mis seab kahele ve...
-a. su¨gissemestril 3,5 AP 4 2-0-2 E S Dots. Lembit Pallas TTU¨ Matemaatikainstituut V-404, tel. 6203056 e-post: [email protected] K¨asitletavad teemad on toodud punktide kaupa. Neid punkte tuleb vaadelda ka kui kollokviumide ja eksami teooriak¨ usimusi. 1. Funktsiooni m~oiste ja esitusviisid 2. Funktsioonide liigitamine (paaris- ja paaritud funktsioonid, perioodilised funktsioo- nid, kasvavad ja kahanevad funktsioonid) 3. P¨o¨ordfunktsioon 4. Liitfunktsioon 5. Jada piirv¨aa¨rtus 6. Funktsiooni piirv¨aa¨rtus ¨ 7. Uhepoolsed piirv¨aa¨rtused 8. L~opmatult kasvavad ja l~opmatult kahanevad suurused 9. Piirv¨a¨artusteoreemid 10. L~opmatult kahanevate suuruste v~ordlemine 11. Funktsiooni pidevuse m~oiste. Tarvilik ja piisav tingimus funktsiooni pidevuseks 12. Elementaarfu...
Et kehiks järgmine vahetuse valem peab olema täidetud kaks tingimust: 1) x=x(u,v) ja y=y(u,v) 2) Olgu nim. pöördasendust määravatel funktsioonidel x(u,v) ja y(u,v) olemas osatuletised xu',xv',yu',yv' terves piirkonnas D siis kehtib valem (x,y)dxdy= [x(u,v), y(u,v)] || J(u,v)dudv D D 9. Polaarkoordinaadid ja nende seos ristkoordinaatidega. Kahekordse integraali teisendamine polaarkoordinaatidesse. Olgu A=(a;b) fikseeritud punkt xy-tasandil. Punkti P=(x;y) polaarkoordinaatideks punkti A suhtes nim arvupaari ja , kus on P ja A vaheline kaugus ja on nurk, mis tekib liikumisel x-telje suunaliselt vektorilt vektorile AP vastupäeva. polaarkaugus ja -polaarnurk. Ristkoordinaadid avalduvad polaarkoordinaatide kaudu järgmiste seostega:...
X, .Y, .Z, .XY, .XZ ja .YZ (vt. lisa 2); · vajadusel eelnevalt muuta jooksvat koordinaatsüsteemi (vt. juhendi teisest osast). Töö alustamiseks on vajalikud mõningad algteadmised arvutist, klaviatuurist, hiirest ja vajadusel ka printeritest või plotteritest. Samuti tuleb asjale kasuks matemaatiliste teadmiste olemasolu, eelkõige geomeetria vallas (rist- ja polaarkoordinaadid tasapinnal, rist- ja sfäär- koordinaadid kolmemõõtmelises ruumis). Ja loomulikult, kuna pakett on inglise keeles, siis ilma sellest keelest aru saamata on raskem hakkama saada (kuigi mitte võimatu!). 2. Ülevaade joonestuskäskudest Kui joonestuspakett AutoCAD Release 15.0 on arvutisse installeeritud (installeerimist me ei käsitle), siis tema käivitamine on võimalik ekraanil oleva ikooni abil (punast värvi A-täht). Tulemusena avaneb dialoogaken (vt...
Silinderkoordinaatide saamiseks tuleb punkt P(x,y,z) projekteerida XY-tasandile, selleks on joonisel 1 punkt P'(x,y,0). Punkti P' kaugus koordinaatide algusest O ongi parajasti polaar- raadius r (r = x 2 + y 2 ), polaarnurk (0O < 360O , või ka 180O < 180O ) on aga nurk X-telje positiivse suuna ja polaarraadiuse vahel, kusjuures x = rcos , y = rsin . Koordinaadid r ja on tavalised polaarkoordinaadid XY-tasapinnal. Sfäärkoordinaatide puhul on suurus punkti P(x,y,z) kaugus koordinaatide algusest O ( = x 2 + y 2 + z 2 ). Nurk määratakse siin samal viisil kui silinderkoordinaatide korral, aga vertikaaltasapinnas mõõdetav nurk (90O < 90O) määrab raadiuse kaldenurga XY-tasapinna suhtes. Praktilisel joonestamisel pole ülaltoodud seoseid koordinaatide vahel vaja teada, küll aga saab nurki ja kasutada jooniste vaatlemiseks suvalisest vaatesuunast (vt. punkt 5)....
Teadus, tehnoloogia ja geograafia * teadus- tegevus, mille eesmärk on uute oluliste teadmise saamine, nende süstematiseerimine ja rakendamine. jaguneb teadusharudeks. sisaldab FAKTI, TEOORIAT nt seaduspärasusi ja SOOVITUSI teadmiste kasutamiseks. * teaduslikud uurimismeetodid- annavad igale teadusharule oma veetlus-, katse-, ja analüüsivahendid, seavad kindlad reeglid. koosneb PROBLEEMI PÜSTITAMISEST (olemasolevad teooriad + praktiline vajadus), HÜPOTEESI SÕNASTAMISEST ja KONTROLLIMISEST (taustinfo kogumine, katsed ), TULEMUSTE PUBLITSEERIMISEST. Kokkuvõtteks UUS TEOORIA. * geograafia areng- kasvas välja Maa looduslike tingimuste, paikade, maade, piirkondade iseärasuste, looduse, rahvaste, majandustegevuse ja kommete uurimisest ja kirjeldamises. uurimismeetodina kasutati kaardistamist. (esmalt idamaade tsivilisatsioonides, kreeklased töötasid välja. )arengu käigus toimus spetsi...
Geoidi pind on ka nullnivooks, mille suhtes määratakse maapinna absoluutsed kõrgused. Ortogonaalproj mingi lähtepunkti ümbruses tuleb asendada maakera kumerpind horisontaalse tasandiga. Sellele projekteeruvad kõik vahelduvad punktid ja reljeefi elemendid. Horisontaalproj suhtarv, mis iseloomustab maapinna mõttelise osa kõrguse ja pikkuse suhtes. Horisontaalnurka on vaja teada geodeetiliste ja maastikupunktide plaanilise asendi määramisel. Neid mõõdetakse plaanil malliga, maastikul aga teodoliidi/bussooliga. Vertikaalnurk on maastiku kaldejoone ja horisontaaljoone vaheline nurk. Geodeetiliseks võrguks nim maastikul kindlustatud ja ühtses koordinaatide süsteemis olevat geodeetiliste punktide kogumit, millest lähtutakse geodeetilistel ja topograafilistel mõõdistamistel. Liigid: *Plaaniline geodeetiline võrk punktide asend on määratud geograafiliste...
Mis on kaart? a. Kaart on maapinna või muu taevakeha vähendatud üldistatud ja leppemärkidega seletatud mõõtkavaline tasapinnaline kujutis. 2. Mille poolest erineb kaart pildist? a. Kaardil on erilised matemaatilised seaduspärasused, nagu näiteks transformatsioon, projektsioon, mõõtkava jne. b. Kaart on üldistatud ja leppemärkidega seletatud. 3. Millised on kaardi funktsioonid? a. Kaart on inimkonnale vajaliku ruumiinfo ladu. b. Varustab meid pildiga maailmast, mis aitab aru saada ruumilistest mustritest ja seostest. 4. Milliseid ülesandeid kaart täidab? a. Kaardi ülesanneteks on ruumilise info talletamine, b. ruumilise info esitamine, c. kaart on õpetusvahendiks, d. kaart on praktiline töövahend (eriti teadusdokumendi konteksti...
Kokkuleppe põhjal 1) kaht kompleksarvu z1 = a1 + b1i ja z2 = a2 + b2i loetakse võrdseteks ( z1 = z2 ) , kui a1 = a2 ja b1 = b2 , s.t. kui nende reaalosad on võrdsed ja imaginaarosad on võrdsed; 2) kompleksarv võrdub nulliga, s.o. z = a + bi = 0 siis ja ainult siis, kui a = 0 ja b = 0 . Tähistame punkti A ( a ; b ) polaarkoordinaadid tähtedega ja r ( r 0 ) , lugedes pooluseks koordinaatide alguspunkti ja polaarteljeks x-telje positiivse suuna. Siis kehtivad seosed: a = r cos , b = r sin . Järelikult saab kompleksarvu z esitada kujul z = a + bi = r cos + ir sin ehk z = r ( cos + i sin ) . (3) Avaldist võrduse paremal poolel nimetatakse kompleksarvu z = a + bi...
Kordse integraali mõiste. Kahekordne intgeraal. Kahekordse integraali omadused...............1 2.Regulaarsed ja normaalsed piirkonnad. Kaksikintegraal. Kahekordse integraali arvutamine kaksikintegraali abi..................................................................................................................... 1 3.Muutujavahetus kordses integraalis. Jakobiaan. Polaarkoordinaadid .....................................2 4.Kolmekordne integraal ja selle arvutamine rist-, silinder- ja sfäärkoordinaatides..................3 5.Teist liiki joonintegraal ja Greeni valem.................................................................................4 6.Diferentsiaalvõrrandi mõiste...................................................................................................5 7.Cauchy ülesanne ehk algväärtusülesanne...
Ristkoordinaatide väärtused võivad olla nii + kui märgiga. Geodeesias (kartograafias) kasutatavad ristkoordinaatteljed on vastupidised matemaatikas kasutatavatele. Geodeesias suundub x-telg põhja ja y-telg itta. Seega on x-telg alati üldistatult põhjasuunaks (meridiaani suunaks) ning y-telg on selle suunaga risti. 6. Polaarkoordinaadid ja nende kasutamine maastikuobjektide asukohtade kirjeldamisel. Polaarkoordinaadid on kahemõõtmeline koordinaatide süsteem, kus iga punkt tasandil on üheselt määratud kaugusega fikseeritud punktist (koordinaatide alguspunktist ehk poolusest) ning nurgaga fikseeritud suunast. Polaarkoordinaatide kujutise tasapinnalisele ristkoordinaadistikule saab moodustada võrranditega: Kui r on kaugus poolusest ja on vastupäeva nurk polaarteljest, siis:...
Kollokvium 1. Hulga mõiste. Järjestatud hulk. Tehted hulkadega. Arvuhulgad. Teoreem. Ei leidu ratsionaalarvu, mille ruut on 2 (tõestada). Tõkestatud hulgad (näide). Tõkestamata hulgad (näide). Hulk koosneb elementidest, kusjuures elemendid ei kordu ja nende järjestus ei ole kindlaks määratud. Järjestatud hulk koosneb samuti elementidest, kuid selles hulgas on iga kahe elemendi kohta võimalik öelda, kumb neist on eelnev, kumb järgnev. Tehted hulkadega: * Hulkade A ja B ühendiks ehk summaks nimetatakse hulka, mille moodustavad kõik kas hulka A, hulka B või mõlemasse kuuluvad elemendid. Hulkade A ja B ühendit tähistatakse * Hulkade A ja B ühisosaks ehk korrutiseks nimetatakse hulka, mille moodustavad kõik üheaegselt nii hulka A kui ka hulka B kuuluvad elemendid. Hulkade A ja B ühisosa tähistatakse * Hulkade A ja B vaheks nimetatakse kõigi selliste elementide hulka, mis kuuluvad hulka A, kuid ei...
Väide. Kui funktsioon f on pidev kinnises tõkestatud piirkonnas D ning teisendus x = x(u , v ) , y = y (u , v ) on regulaarne ja teisendab piirkonna D piirkonnaks , siis f (x, y )dxdy = f [x(u, v ), y(u, v )]I (u, v )dudv . D Üleminek polaarkoordinaatidele Olgu r 0 ja punkti P = ( x, y ) polaarkoordinaadid . Seega x = r cos y = r sin (r , ) . cos - r sin Jakobiaan I (r , ) = sin r cos ( = cos r cos - sin (- r sin ) = r cos 2 + sin 2 = r . ) Seega f (x, y )dxdy = f (r cos , r sin ) r dr d . D 5...
Geodeetiline kõrgus h on selle punkti kaugus referentsellipsoidi pinnast mööda normaali (vertikaalne sirge). Mõõdistamisvõrk- need on tugipunktid, mille suhtes määratakse situatsiooni elementide ja maastiku objektide asend. Ristjoonte viis- kasutatakse tasasel või nõrga reljeefiga avamaastikul Polaarviis- määratakse punktidele polaarkoordinaadid , st horisontaalnurk ja Horisontaalprojektsioon Analüütiline viis-maastikul saadud mõõtmistulemuste ( jooned, nurgad) või arvutatud ristkoordinaatide järgi leitakse maakasutuse üldpindala. Graafiline viis. Seda viisi kasutatakse siis, kui on olemas maa-ala plaan aga puuduvad mõõdistamise andmed. Nivelleerimine, so. maapinna punktide kõrguste vahe e kõrguskasvude määramine maastikul ja nende järgi kõrguste arvutamine. Kasutatakse: 1. Võrkude rajamisel. 2...
Küsimustik on koostatud õppejõu konspekti põhjal. Kontrolltöödes ei küsita konspektis toodud näiteid ja väikeses kirjas olevaid osi. 1. Mitmemõõtmeline ruum. Punktid ja nende koordinaadid. Kaugus ja selle omadused. Polaarkoordinaadid ja nende seosed ristkoordinaatidega. 2. Parameetrilised jooned mitmemõõtmelises ruumis. Vektori parameetrilised võrrandid. Vektori pikkus ja koordinaadid. Mitmemõõtmeline ruum kui afiinne ruum. Samasuunalised ja vastassuunalised vektorid. Vektorite skalaarkorrutis. Mitmemõõtmeline ruum kui eukleidiline ruum. Cauchy- Schwartzi võrratus. 3. Lahtised ja kinnised kerad. Punkti ümbrus. Sise- ja rajapunktid. Lahtised ja kinnised hulgad. Sidus hulk...