Tähistatakse φ=Arg (z ) Arg ( z )=arg ( z ) +2 kπ , kus k ∈Z Argumendi peaväärtus – kompleksarvu z argument, mis kuulub poollõiku ¿ . Tähistatakse: arg ( z ) Väärtused: −π < arg ( z) ≤ π Tasandi igale punktile X saab vastavusse seada polaarkoordinaadid X ( ρ, φ) . Polaarpoolus – punkt O . Polaartelg – punktist O väljuv kiir. Tasandi ühekordseks katmiseks polaarkoordinaatidega: 0 ≤ ρ< ∞ ja −π < φ≤ π . Positiivsed nurgad – kellaosutile vastassuunas Negatiivsed nurgad – kellaosuti suunas Polaar- ja ristkoordinaatide vaheline seos: {xy==ρcosφ
ainult ühes punktis. Tasapinnalised ristkoordinaadid x ja y on kasutusel ainult tasandil, mida maakera ei ole. Maakera tasapinnale teisendamiseks kasutatakse projektsioone ning tasapinnal võetakse kasutusele ka ristkoordinaadid. Ristkoordinaate mõõdetakse meetrites. X on punkti kaugus koordinaatide alguspunktist põhja või lõuna suunas, y on kaugus koordinaatide alguspunktist ida või lääne suunas. Ristkoordinaatide väärtused võivad olla nii + kui – märgiga. 6. Polaarkoordinaadid ja nende kasutamine maastikuobjektide asukohtade kirjeldamisel. Polaarkoordinaadid on kahemõõtmeline koordinaatide süsteem, kus iga punkt tasandil on üheselt määratud kaugusega fikseeritud punktist (koordinaatide alguspunktist ehk poolusest) ning nurgaga fikseeritud suunast. Polaarkoordinaatide kujutise tasapinnalisele ristkoordinaadistikule saab moodustada võrranditega: x=r*cos(θ); y=r*sin(θ);
mõõdetakse meetrites. X on punkti kaugus koordinaatide alguspunktist põhja või lõuna suunas, y on kaugus koordinaatide alguspunktist ida või lääne suunas. Ristkoordinaatide väärtused võivad olla nii + kui märgiga. Geodeesias (kartograafias) kasutatavad ristkoordinaatteljed on vastupidised matemaatikas kasutatavatele. Geodeesias suundub x-telg põhja ja y-telg itta. Seega on x-telg alati üldistatult põhjasuunaks (meridiaani suunaks) ning y-telg on selle suunaga risti. Polaarkoordinaadid Polaarkoordinaadid esitatakse nurgaga koordinaattelje suhtes ja kaugusega telje alguspunktist. Nurki mõõdetakse kraadides (goonides), kaugusi meetrites. Et saada otsitava punkti polaarkoordinaate, on vaja eelnevalt teada vähemalt kahe lähtepunkti koordinaate. Polaarkoordinaate võib esitada järgmiselt 1. ühest kindelpunktist mõõdetud nurk baasjoone ja määratav punkti suuna vahel ning kaugus lähtepunktist määratavasse punkti 2
Vastavalt valemile punkti P(p1,p2) kauguse leidmiseks sirgest s: A1x1+B2x2+C3=0 tasandil d(P,s)= | A1p1+B2p2+C3|/(A2+B2), saame 1) d(M, l1)=|m1+a/e|/(12+02)=| m1+a/e | =|1/e *em1+1/e *a| = 1/e *|em1 +a| 2) d(M, l2)= |m1-a/e|/ (12+02)= | m1+a/e | = |1/e *em1-1/e *a| = 1/e *|em1 -a|. Näeme, et r1(M)/d(M,l1)= |em1 +a| / (1/e* |em1 +a|) = e = |em1 -a| / (1/e *|em1 -a|)= r2(M)/d(M,l2). 4. (t. 4.2)Fikseeritud pooluse ja polaartelje suhtes on iga poolusest erineva punkti polaarkoordinaadid ühiselt määratud.Tõestus :Olgu fikseeritud poolus O ja polaartelg l. Olgu P mingi poolusest erinev punkt tasandil. Oletame, et meil on võimalik valida 2 paari polaarkoordinaateP'le: P1(r1,1) ja P2(r2,2). Toome sisse ristreeperi {0,é1, é2}, kus é1 on on poolusest O lähtuv ühikvektor polaarteljel l ja é2 on vektoriga é1 ristuv ühikvektor mille korral {é1, é2} on parema käe baas. Siis kehtivad seosed r1=r2=(p12+p22), r2=(p12+p22), sin1= sin2
topograafilised plaanid- lisaks maastikuobjektidele on kujutatud ka reljeef (maapinna kõrgusinfo). H-geoidikõrgus (eesti ametlik) h-ellipsoidikõrgus Kordinaatide süsteemid 1. geodeetilised kordinaadid meridiaanid ja paralleled Laius B ja pikkus L 2. ristkordinaadid • telgmeridiaan • ekvaatori joon geodeesias suureneb X kordinaat põhjapoole ja Y kordinaat suureneb ida poole!!! eestis on lähtemeridiaaniks 24 kraadi 18 minutit. 3. polaarkoordinaadid • horisontaalnurk • join horisontaalprojektsioon 4. kõrgus-süsteemid • Absoluutkõrgus- geoid • ellipsoidkõrgus • suvaline e suhteline (näiteks võtad äärekivi punktiks mille järgi mõõdad) Kaardiprojektsioon see on maaellipsoidi (maapinna) tasandil matemaatiliselt väljendatud kujutamise viis. Kaardivõrk- kaardile kantud meridiaanide ja paralleelide võrk Moonutuste iseloomu järgi on projektsioonid: • konformsed eek õigenurksed • ekivalentsed e õigepindsed
FILLETRAD 0 trim + extend koos ----------------------- Koordinaatide sisestamine: Kokku on 4 võimalust sisestada punktide koordinaate: 1. karteesiuse koordinaadistik (2D ja 3D) 1a. absoluutne line (enter) 50,50 (enter) valib esimese punkti joonise nullpunktist lähtuvalt 50mm x ja 50mm y-suunas. 1b. suhteline eelmise punkti suhtes line (enter) (vali esimene punkt hiirega) @50,50 (enter) teine punkt asub esimese suhtes 50mm x-suunas ja 50mm y-suunas. 2. polaarkoordinaadid (2D) line (enter) (vali 1. punkt) @50<45 (enter) teine punkt asub esimese suhtes 50mm kaugusel ja 45 kraadise nurga all. ----------------------- ERILISTELE PROFFIDELE: 3. sfäärkoordinaadid (3D) line (enter) (vali 1. punkt) @50<45<45 (enter) teine punkt asub esimese suhtes 50mm kaugusel ja xy-tasandil 45 kraadise nurga all ja xy tasandi suhtes 45 kraadise nurga all. 4. silinderkoordinaadid (3D) line (enter) (vali 1. punkt) @50<45,20 ? (enter)
kujutamine tasapinnal Horisontaalnurk – kahe vertikaaltasapinna vaheline nurk horisontasapinnal Vertikaalnurk – mingi joone ja horisontaaltasapinna vaheline nurk Kaart – reeglipäraste moonutustega maapinna kujutis tasapinnal; suuremate alade jaoks Plaan – moonutusteta maapinna kujutis tasapinnal; väiksemate alade jaoks Koordinaatsüsteemid: Geodeetilised k. (meridiaanid ja paraleelid; laius ja pikkus), Ristkoordinaadid (telgmeridiaan ja ekvaatorjoon või nendega II suunad), Polaarkoordinaadid (horisontaalnurk ja joone horisontaalprojektsioon), Absoluutkoordinaadid (geoid, ellipsoid, suvaline e. suhteline) Mõõtkava – reaalse joone pikkuse ja kaardil oleva joone pikkuse suhe Maastiku reljeef: Pinnavormid (negatiivsed, positiivsed ja neutraalsed) Asimuut – meridiaani põhjasuuna ja antud suuna vaheline nurk; tõeline ja magnetiline Direktsiooninurk – telgmeridiaani ja antud suuna vaheline nurk Rumb – antud suunale kõige lähima meridiaani ja antud suuna vaheline nurk
2. Nüüdisaegsed uurimismeetodid geograafias kaugseire- andmete kogumine kaugelt (satelliit, lennukitelt, soojuskaamera) kartograafias, metsatulekahjud, tormid, maavarad, loomaränded asukoha määramine: 1. GPS- globaalne positsioneerimissüsteem, koosneb satelliitidest ja seirejaamadest 2. GIS- geoinfo süsteem (vaja mitut satelliiti) 3. geograafilised koordinaadid (N/S laius, E/N pikkus) näitavad kaugust nurgakraadides ekvaatorist ja algmeridiaanist 4. polaarkoordinaadid- asimuudi (nurk põhjasuuna ja objekti suuna vahel) ja kaugusega. 90* ida, 180* lõuna, 270* lääs, 360* põhi. 5. ristkoordinaadid- kaugust ekvaatorist ja algmeridiaanist (km) 3. Arvutikaardid Kaartide jaotus MÕÕTKAVA alusel: 1. suuremõõtkavalised kaardid (piiriks on 1:100 000, nt 1:20 000) TÄPNE! topograafilised kaardid, plaanid. (1 cm-> 1000m-> 1km ) nt. Eesti põhikaart 2. keskmisemõõtkavalised kaardid (1:100 000-1: 1 000 000) nt Eesti kaart 3
Contents 1.Kordse integraali mõiste. Kahekordne intgeraal. Kahekordse integraali omadused...............1 2.Regulaarsed ja normaalsed piirkonnad. Kaksikintegraal. Kahekordse integraali arvutamine kaksikintegraali abi..................................................................................................................... 1 3.Muutujavahetus kordses integraalis. Jakobiaan. Polaarkoordinaadid.....................................2 4.Kolmekordne integraal ja selle arvutamine rist-, silinder- ja sfäärkoordinaatides..................3 5.Teist liiki joonintegraal ja Greeni valem.................................................................................4 6.Diferentsiaalvõrrandi mõiste...................................................................................................5 7.Cauchy ülesanne ehk algväärtusülesanne.....................................................
4)Vektorruum ja tema baas. Vektori koordinaadid antud baasi suhtes. Vektorruumi baas on tema max lineaarselt sõltumatute vektorite hulk/süsteem. Mistahes vektori lisamisel muutub süsteem lineaarselt sõltuvaks. Me võime avaldada lisatud vektori baasi elementide kaudu. Antud baasis on vektorite koordinaadid üheselt määratletud; võrdsetel vektoritel on võrdsed koordinaadid. Baasivektorite arvu me nim selle vektori mõõtmeks(dimensioon). 5)Polaarkoordinaadid tasandil. (kõverjoonelised koordinaadid), mis on määratud polaarraadiuse(pikkus) ja polaarnurgaga. Seosed riskoordinaatidega x=r*cos ja y=r*sin ning r=x2+y2 ja =arctan y/x. 6)Maatriks, parameetrid, erikujulised maatriksid. Maatriksiks nimetame nende arvude tabelit, milles on m rida ja n veergu. Maatriksi rea elemendid on vaadeldavad n-mõõtmelise vektori koordinaatidena(reas asuvad sama vektori koordinaadid); veerud aga m-mõõtmelise vektori koordinaatidena(veerus on
mis igale arvule y Y = f ( X ) seab vastavusse arvu x X , kusjuures y = f (x), . Näide: y = pöördfunktsioon on x = log2 Üksühene funktsioon ja selle graafik . Kui iga y korral hulgast Y leidub ainult üks x nii, et valitud y on selle x-i kujutiseks, siis öeldakse, et funktsioon f on üksühene. Näide: Näide: Funktsioon, millel pole pöördfunktsiooni. y = x + arctanx 7. Funktsioon ilmutamata kujul. Funktsioon, mis on antud parameetrilisel kujul. Polaarkoordinaadid, üleminek parameetrilisele esitusele. Näited Funktsioon ilmutamata kujul. Kui võrrandi F(x,y) = 0 on x X korral üks lahend y = f(x), siis öeldakse et see võrrand määrab funktsiooni y = f(x), x X ilmutamata kujul. Näiteks: lox +log(y+2) 2 = 0 Funktsioon, mis on antud parameetrilisel kujul. Funktsiooni f muutujate x ja y väärtused saab määrata ka teatavate abimuutuja t funktsioonide x = x(t) ja y = y(t), t T väärtustena.
Täisprogrammi küsimustik Selle küsimustiku järgi saab ette valmistada teooria kontrolltööde B variantideks. Küsimustik on koostatud õppejõu konspekti põhjal. Kontrolltöödes ei küsita konspektis toodud näiteid ja väikeses kirjas olevaid osi. 1. Mitmemõõtmeline ruum. Punktid ja nende koordinaadid. Kaugus ja selle omadused. Polaarkoordinaadid ja nende seosed ristkoordinaatidega. 2. Parameetrilised jooned mitmemõõtmelises ruumis. Vektori parameetrilised võrrandid. Vektori pikkus ja koordinaadid. Mitmemõõtmeline ruum kui afiinne ruum. Samasuunalised ja vastassuunalised vektorid. Vektorite skalaarkorrutis. Mitmemõõtmeline ruum kui eukleidiline ruum. Cauchy- Schwartzi võrratus. 3. Lahtised ja kinnised kerad. Punkti ümbrus. Sise- ja rajapunktid. Lahtised ja kinnised hulgad. Sidus hulk
2) Kuuekümnendsüsteem 3) Sajandsüstem (goonid) 1g=0,9°, täisnurk =100g, täisring 400g Kaart ja plaan Kaardil on sees moonutused, plaanil neid ei ole. Kaart - maapinna kujutis moonutustega Plaan - maapinna tasaplaaniline kujutis ilma moonutusteta. Situatsiooniplaan - kujutatakse maastikuobjekte ehk kontuure. Topograafiline - koos reljeefiga Koordinaatsüsteemid (geodeetilised-, tasapinnalised-, polaarkoordinaadid) 1. Geodeetilised koordinaadid (geograafilised) Mõõdistatakse meridiaane ja paralleele Laiuskraadi B ja pikkuskraadi L 0° meridiaan - Greenwichi meridiaan Laiuskraadi max väärtus B 90° Pikkuskraadi max väärtus 180° . Eesti on 58° põhjalaiust, 27 ° idapikkust Ristkoordinaadi süsteem (tasapinnalised) X;Y koordinaadid y-telg on ekvaatoriga paralleelne
Suhteline kõrgus on punkti kaugus suhtelisest nivoopinnast mõõdetuna mööda loodijoont. Geodeetiline kõrgus h on selle punkti kaugus referentsellipsoidi pinnast mööda normaali (vertikaalne sirge). Mõõdistamisvõrk- need on tugipunktid, mille suhtes määratakse situatsiooni elementide ja maastiku objektide asend. Ristjoonte viis- kasutatakse tasasel või nõrga reljeefiga avamaastikul Polaarviis- määratakse punktidele polaarkoordinaadid, st horisontaalnurk ja Horisontaalprojektsioon Analüütiline viis-maastikul saadud mõõtmistulemuste ( jooned, nurgad) või arvutatud ristkoordinaatide järgi leitakse maakasutuse üldpindala. Graafiline viis. Seda viisi kasutatakse siis, kui on olemas maa-ala plaan aga puuduvad mõõdistamise andmed. Nivelleerimine, so. maapinna punktide kõrguste vahe e kõrguskasvude määramine maastikul ja nende järgi kõrguste arvutamine. Kasutatakse: 1. Võrkude rajamisel. 2
6) Keskväärtusteoreem. Leidub punkt A hulgas B nii, et kehtib võrdus f ( x, y )dxdy = f ( x(u, v), y(u, v)) J (u, v) dudv D D' xu xv , kus J (u , v ) = on funktsionaaldeterminant yu yv ehk jakobiaan 9. Polaarkoordinaadid ja nende seos ristkoordinaatidega. Kahekordse integraali teisendamine polaarkoordinaatidesse Olgu punkt A(a,b) fikseeritud punkt tasandil. Punkti P(x,y) polaarkoordinaatideks punkti A suhtes nimetatakse arvupaari ja , kus =|PA|=(x-a)2+(y-b)2 ja on nurk, mis tekib liikumisel x-telje suunaliselt vektorilt vektorile AP vastupäeva. Kokkuleppeliselt ]-,] x=cos+a x'=cos x'=-sin y=sin+b y'=sin y'=cos cos - sin
> 0, a 1). · Trigonomeetrilised funktsioonid: y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x Nendes valemites väljendatakse sõltumatu muutuja x radiaanides. · Arkusfunktsioonid: y = arcsin x , y = arccos x , y = arctan x , y = arc cot x . Kui meil on kaks funktsiooni f(x) ja g(x) ning kui nendest funktsioon f[g(x)], siis on tegemist nö liitfunktsiooniga. 5. Polaarkaugus ja polaarnurk, polaarkoordinaadid. Seosed polaar- ja ristkoordinaatide vahel, joonis. Punkti M asukoha tasapinnal määravad kaks arvu: polaarkaugus (polaarraadius) , mis on punkti M kaugus poolusest, ja polaarnurk , mis on polaartelje ja lõigu OM vahel. Vastu kellaosuti liikumise suunda mõõdetud nurk loetakse positiivseks ja kellaosuti liikumise suunas mõõdetud nurk negatiivseks. Arve ja nimetatakse punkti M polaarkoordinaatideks. Polaarkaugus on alati mittenegatiivne: 0
gravitatsiooniseadusi. Tema arvustustest selgus, et Maa polaarraadius on lühem ekvaatori raadiusest (1/230 võrra, st Maa poolused on kokku surutud). 1735. aastal Prantsuse teadlaste ekspeditsiooni tulemused Peruuse ja Lapimaale kinnitasid Newtoni teooriat. Kaartide arenedes hakati kasutama teisi kaardile omaseid tähiseid: koordinaate ja kõrguste süsteeme. Koordinaate kasutatakse kaartidel asukoha määramiseks. Põhilised koordinaatide süsteemid on geograafilised, rist- ja polaarkoordinaadid. Kõrguste süsteemides saab eristada kolme süsteemi: absoluutset, geodeetilist ja suhtelist kõrgust või kõrguskasvu. Punkti absoluutne kõrgus määratakse mere või ookeani keskmisest pinnast, mida nimetatakse nullnivoopinnaks. Punkti geodeetiline kõrgus on selle punkti kaugus referentsellipsoidi pinnast mööda normaali. 1 Õppejõud , kes on pensionil, aga annab vahepeal loenguid Kõrgus kasv on maapinna kahe punkti kõrguste vahe. Plaan erineb kaardist nii palju, et
Seda joont, mida mööda keha liigub, nimetatakse trajektooriks. Koordinaadid Keha asukoha kirjeldamiseks kasutatavaid arve nimetatakse koordinaatideks. Koordinaadisüsteem ehk koordinaadistik ehk koordinaatide süsteem on eeskiri, mis määrab punkti asukoha ühe või enama arvu abil. Enam levinud koordinaadid on lineaarsed koordinaadid, mille alla kuuluvad ristkoordinaadid ja kaldkoordinaadid. Kõverjoonelised koordinaadid kahemõõtmelises ruumis, mille alla kuuluvad polaarkoordinaadid, elliptillised koordinaadid, paraboolsed koordinaadid, hüperboolsed kordinaadid, bipolaarsed koordinaadid. On ka olemas kõverjoonelised koordinaadid kolmemõõtmelises ruumis, mille alla kuuluvad silindrilised ja sfäärilised koordinaadid. Punkti asukoha üheseks määramiseks vajalik koordinaatide arv on ruumi mõõde ehk dimensioon. Koordinaatide määramiseks valitakse mingid kindlad suunad, milles asukohta taustkeha suhtes mõõdetakse. Samuti lepitakse kokku mõõtühikud. Kokkulepitud
) b) Koordinaatviis - DEF: Liikumise määramise viisi, mis seisneb punkti koordinaatide kui aja funktsioonide esitamises, nimetatakse liikumise määramise koordinaatviisiks ja ta nõuab konkreetse koordinaadistiku valikut. I) Ristkoordinaadid x=x(t), y=y(t), z=z(t) => M(x,y,z) II) Silindrilised koordinaadid: = (t) raadius, =(t) asimuut, z=z(t) aplikaat. M(,,z). Ristkoordinaatidele x= r*cos *cos, y= rcos*cos, z= r* sin. III) Sfäärilised koordinaadid r= r(t), = (t), = (t). M (r, , ) IV) Polaarkoordinaadid r=r(t), = (t). M(r, ). Ristkoordinaatidele: x= rcos , y= rsin c) loomulik viis DEF: Liikumise määramise loomuliku viisi puhul antakse ette punkti trajektoor ja ta liikumise seadus sel trajektooril. = (t) -liikumisseadus 20. Vektori skalaarse argumendi järgi võetud tuletise mõiste. Olgu vektor ~a antud mingis koordinaatide süsteemis kui skalaarse argumendi u pidev funktsioon. ~a= ~a(u), vahet ~a= ~a(u+u)- ~a(u) nimetatakse vektori ~a juurdekasvuks.
Kahekordse integraali olemasolu teoreemist järeldub, et kui n -> lõpmatus ja osapiirkondade ∆sj suurim läbimõõt läheneb nullile, siis on sellel summal olemas piirväärtus, mis võrdub funktsiooni f(x,y) kahekordse integraaliga ülre piirkonna D. Minnes võrduses piirile, saame ehk . Kaksikintegraali avaldise väljakirjutamisel saame lõpuks . 3.Muutujavahetus kordses integraalis. Jakobiaan. Polaarkoordinaadid. Teisendust t →x ϵ Rn, nimetatakse regulaarseks , kui Ta on üksühene osatuletised xk(t), k=1,…..,n on pidevad piirkonnas Ω teiseduse jakobiaan n Kui funktsioon f on pidev piirkonnas Ω R ja teisendus t →x ϵ Ω on regulaarne n piirkonnas Ω’ R ning teisendub piirknna Ω’ piirkonnaks Ω, siis Üleminek polaarkoordinaatidele, kui teisendus on kujul
Funktsioon, mis ei ole elementaarfunktsioon (tooge näide). Põhilised elementaarfunktsioonid ja nende graafikud. Graafikute teisendused. Elementaarfunktsiooni definitsioon. Funktsioone, mis saadakse põhilistest elementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehte ja liitfunktsiooni moodustamise teel, nimetatakse elementaarfunktsioonideks. Funktsioon, mis ei ole elementaarfunktsioon. 7. Funktsioon ilmutamata kujul. Funktsioon, mis on antud parameetrilisel kujul. Polaarkoordinaadid, üleminek parameetrilisele esitusele. Näited Funktsioon ilmutamata kujul. Kui võrrandi F(x,y) = 0 on x X korral üks lahend y = f(x), siis öeldakse et see võrrand määrab funktsiooni y = f(x), x X ilmutamata kujul. Näiteks: lox +log(y+2) 2 = 0 Funktsioon, mis on antud parameetrilisel kujul. Funktsiooni f muutujate x ja y väärtused saab määrata ka teatavate abimuutuja t funktsioonide x = x(t) ja y = y(t), t T väärtustena.
Geodeetiline pikkus (L) nurk algmeridiaani ja punkti M läbiva meridiaani vahel. Astronoomilised koordinaadid geograafilised koor-d määratakse astronoomiliste vaatlustega. Lähtesuunaks on loodjoon ja punkti asukoht määratakse geoidil. Absoluutne kõrgus H, määratakse geoidi teel. Astronoomiline laius () on nurk ekvaatori tasapinna ja punkti läbiva loodjoone vahel. Astronoomiline pikkus () on kahetahuline nurk algmeridiaani ja punkti läbiva meridiaani tasapinna vahel. Polaarkoordinaadid lähtepunktiks on kahe tuntud punktide vahelin joon. Bipolaarkoordinaadid võivad olla määratud, kas kahe nurga või kahe joone kaudu. Ristkoordinaadid alguspunkt on maa raskuskeskmes. z- teljeks on maapinna pöörlemistelg, x-teljeks on nullmeridiaan ja ekvaatori tasandi lõikejoon, y-teljeks on nendega risti olev joon ekvaatori tasandil. Kõrgused: Geodeetiline kõrgus - on vertikaalne kaugus ellipsoidi pinnalt kuni maapinnani mööda punkti läbivat normaali.
nimetatakse kaaskompleksarvudeks. Kokkuleppe põhjal 1) kaht kompleksarvu z1 = a1 + b1i ja z2 = a2 + b2i loetakse võrdseteks ( z1 = z2 ) , kui a1 = a2 ja b1 = b2 , s.t. kui nende reaalosad on võrdsed ja imaginaarosad on võrdsed; 2) kompleksarv võrdub nulliga, s.o. z = a + bi = 0 siis ja ainult siis, kui a = 0 ja b = 0 . Tähistame punkti A ( a ; b ) polaarkoordinaadid tähtedega ja r ( r 0 ) , lugedes pooluseks koordinaatide alguspunkti ja polaarteljeks x-telje positiivse suuna. Siis kehtivad seosed: a = r cos , b = r sin . Järelikult saab kompleksarvu z esitada kujul z = a + bi = r cos + ir sin ehk z = r ( cos + i sin ) . (3) Avaldist võrduse paremal poolel nimetatakse kompleksarvu z = a + bi
X on punkti kaugus koordinaatide alguspunktist põhja või lõuna suunas, y on kaugus koordinaatide alguspunktist ida või lääne suunas. Ristkoordinaatide väärtused võivad olla nii + kui märgiga. Geodeesias (kartograafias) kasutatavad ristkoordinaatteljed on vastupidised matemaatikas kasutatavatele. Geodeesias suundub x-telg põhja ja y-telg itta. Seega on x-telg alati üldistatult põhjasuunaks (meridiaani suunaks) ning y-telg on selle suunaga risti. 6. Polaarkoordinaadid ja nende kasutamine maastikuobjektide asukohtade kirjeldamisel. Polaarkoordinaadid on kahemõõtmeline koordinaatide süsteem, kus iga punkt tasandil on üheselt määratud kaugusega fikseeritud punktist (koordinaatide alguspunktist ehk poolusest) ning nurgaga fikseeritud suunast. Polaarkoordinaatide kujutise tasapinnalisele ristkoordinaadistikule saab moodustada võrranditega: Kui r on kaugus poolusest ja on vastupäeva nurk polaarteljest, siis:
liiki joonintegraaliks. Seda tähistatakse: VALEM Kui funktsioon f on pidev joonel AB, siis on tal olemas I liiki joonintegraal, kusjuures kehtib valem: VALEM Kui joon AB asub z, x, y tasandil, siis nimetatakse integraali tasandiliseks. Sellisel juhul võib olla ka funktsioon f kahe muutuja funktsioon f(x,y). See esitub kujul: VALEM Parameetriline võrrand: x=x(t) y=y(t) tЄ[α;β] , siis VALEM Ristkoordinaadid: y=y(x), xЄ[a,b], siis VALEM Polaarkoordinaadid: ρ=ρ(φ), φЄ[α;β], siis ʃABf(x,y,z)ds=ʃαß:f(ρcosφ;ρsinφ)sqrt[ρ2+(ρ’)2]dφ OMADUSED: 1)Joonintegraal ei sõltu integreerimistee läbimise suunast. ʃABf(x,y,z)ds=ʃBAf(x,y,z)ds 2)Joonintegraal on aditiivne. ʃABf(x,y,z)ds=ʃACf(x,y,z)ds + ʃCBf(x,y,z)ds 3)Joonintegraal on lineaarne, iga arvu k ja l korral VALEM 12. II liiki joonintegraal, selle omadused ja arvutamine, näide Olgu xyz-ruumis antud joon AB ning sellel joonel kolmemuutuja funktsioon f(x,y,z)
f ( x, y )dxdy = f ( x(u, v), y(u, v)) J (u, v) dudv , kus D D' J (u , v ) = yu yv on funktsionaaldeterminant ehk jakobiaan Polaarkoordinaadid ja nende seos ristkoordinaatidega. Kahekordse integraali teisendamine polaarkoordinaatidesse Olgu punkt A(a,b) fikseeritud punkt tasandil. Punkti P(x,y) polaarkoordinaatideks punkti A suhtes nimetatakse arvupaari ja , kus =|PA|=(x-a)2+(y-b)2 ja on nurk, mis tekib liikumisel x-telje suunaliselt vektorilt vektorile AP vastupäeva. Kokkuleppeliselt ]-,] x=cos+a x'=cos x'=-sin y=sin+b y'=sin y'=cos cos - sin
Kui P jookseb läbi kogu piirkonna D siis, siis kujutuspilt P' kujundav uv-tasandi teatud piirkonna D'. Et kehiks järgmine vahetuse valem peab olema täidetud kaks tingimust: 1) x=x(u,v) ja y=y(u,v) 2) Olgu nim. pöördasendust määravatel funktsioonidel x(u,v) ja y(u,v) olemas osatuletised xu',xv',yu',yv' terves piirkonnas D siis kehtib valem (x,y)dxdy= [x(u,v), y(u,v)] || J(u,v)dudv D D 9. Polaarkoordinaadid ja nende seos ristkoordinaatidega. Kahekordse integraali teisendamine polaarkoordinaatidesse. Olgu A=(a;b) fikseeritud punkt xy-tasandil. Punkti P=(x;y) polaarkoordinaatideks punkti A suhtes nim arvupaari ja , kus on P ja A vaheline kaugus ja on nurk, mis tekib liikumisel x-telje suunaliselt vektorilt vektorile AP vastupäeva. polaarkaugus ja -polaarnurk. Ristkoordinaadid avalduvad polaarkoordinaatide kaudu järgmiste seostega:
järku determinant: ja kolmekordne integraal üle piirkonna V teisendatakse kolmekordseks integraaliks üle piirkonna V' valemi (25.3.) abil: Kolmekordne integraal silinderkoordinaatides. Niinimetatud silinderkoordinaatide korral määratakse punkti P asukoht ruumis kolme arvuga , r ja z, kus ja r on punkti P projektsiooni polaarkoordinaadid xy-tasandil ning z on punkti P aplikaat, s.o. punkti ja xy- tasandi vaheline kaugus, mis on võetud märgiga +, kui punkt on xy-tasandist kõrgemal, ja märgiga -, kui ta on sellest allpool. Funktsiooni z=f(x,y,z) kolmekordset integraali, mis on antud ristkoordinaatides, saab kergest teisendada kolmekordseks integraaliks silinderkoordinaatides. Võttes arvesse, et , saame: Kolmekordne integraal sfäärkoordinaatides.
• Maakera tasapinnale teisendamiseks kasutatakse projektsioone ning tasapinnal võetakse kasutusele ka ristkoordinaadid. • Ristkoordinaate mõõdetakse meetrites. • X on punkti kaugus koordinaatide alguspunktist põhja või lõuna suunas, y on kaugus koordinaatide alguspunktist ida või lääne suunas. • Ristkoordinaatide väärtused võivad olla nii + kui – märgiga. Polaarkoordinaadid esitatakse nurgaga koordinaattelje suhtes ja kaugusega telje alguspunktist. Nurki mõõdetakse kraadides (goonides), kaugusi meetrites. Geodeesia on teadus Maa ning selle pinna osade kuju ja suuruse määramisest, seejuures kasutatavatest mõõtmismeetoditest, mõõtmistulemuste matemaatilisest töötlemisest ning maapinna osade mõõtkavalisest kujutamisest digitaalselt või paberkandjal kaartidel plaanide ja profiilidena
x=x(t) Kui f c I(D), kus D={(x,y)|(a<=x<=b) ((x) <= y <= (x))}, siis f(P)dS = abdx(x) (x)f(x,y)dy. y=y(t) z=z(t) Muutujavahetus kordses integraalis. Mida iseloomustab jakobiaan. Polaarkoordinaadid. t c [a,b], siis Xdx + Ydy + Zdz = ab(X(x(t), y(t), z(t))x(t) + Y(x(t),y(t),z(t))y(y) + Z(x(t),y(t),z(t))z(t))dt. Teisendust (u,v) (x,y) nimetatakse regulaarseks, kui Greeni valem: Kui funktsioonid X ja Y ning nende osatuletised Xy ja Yx on pidevad xy-tasandi sidusas piirkonnas D, mille rajajoon Ta on üksühene
valida ka üksteisest sõltumatuid kursusi Matemaatika A (arvud ja avaldised, arvjadad, matemaatiline induktsioon, Newtoni binoom, arvuti ja programm- meerimine, kujundite lüke, sarnasus), Matemaatika B (vektorid tasandil ja ruumis, kompleksarvud ja tehted nendega, tõenäosuse arvutamine, binoom- jaotus, lihtsamate arvutusalgoritmide programmeerimine) või Matemaatika C (maatriksid ja tehted nendega, lineaarvõrrandisüsteemid, teist järku jooned, polaarkoordinaadid, joone võrrand polaarkoordinaatides). Oluliseks peetakse õpilaste loogilise mõtlemise ja intuitsiooni arendamist, matemaatika põhimõistete lahtimõtestamist nende rakendatavuse aspektist, üldse matemaatika rakendusliku aspekti rõhutamist, eksperimentide korraldamist, 15 õpilaste iseseisvat uurimistööd. Ka põhikooli programmis rõhutatakse, et tuleb anda õpilastele ülesandeid iseseisvaks lahendamiseks. 3
paralleelne suund. Tasapinna ristkoordinaadid jagavad tasapinna 4 veerandiks. Kohaliku tähtsusega mõõdistamise puhul kasutatakse ka suvalisi ristkoordinaatide süsteeme. Koordinaatide alguspunkt on seljuhul vabalt määratud, kuid X-telg peab olema ikkagi orienteeritud põhja suunas ja Y-telg ida suunas. Põhja suunaks valitakse sageli magnetiline põhja-lõuna suund, mis määratakse bussooli magnetnõela järgi. 6. Polaarkoordinaadid ja nende kasutamine maastikuobjektide asukohtade kirjeldamisel Polaarkoordinaatidega sooritatakse tänapäeval valdav osa välimõõtmisi. Selleks seatakse instrument üles ühte teatud punkti. Fikseeritakse teisele teatud punktile ja see on algsuunaks 0°00'. Kui fikseerida nüüd mõõdistatavale punktile, mõõdetakse horisontaalnurk beeta (am) ja kaugus d(AM). Need elemendid ongi polaarkoordinaadid ja nende abil saab määrata punkti M asukoha. 7
Geotsentrilisi koordinaate saab ümber arvutada geograafilisteks koordinaatideks. 4. Ristkoordinaadid. Maastikupunkti asukoha plaanil või kaardil saab määrata ristkoordinaatidega x ja y. Selleks tuleb valida sobiv ristkoordinaatide süsteem. Eesti riikliku koordinaatide süsteemi x-teljeks on 24o meridiaan või sellega paralleelne suund ja y- teljeks ekvaatori kujutis või sellega paralleelne suund. Tasapinna ristkoordinaadid jagavad tasapinna 4 veerandiks. 5. Polaarkoordinaadid. Polaarkoordinaate kasut. samuti tasapinnal. Koosneb kahest elemendist: s polaarraadius, polaarnurk. Alguspunktiks polaartelg. Selle saab määrata kas riiklikkus koordinaatide süsteemis või suvaliselt. 6. Eesti baaskaardi TM projektsioon. Eesti baaskaart on topograafiline kaart mõõtkavas 1:50 000, mis valmis aastatel 1994- 96 Eesti-Rootsi ühisprojekti raames. Kogu riiki kattev kaart koosneb 112 kaardilehest mõõtmetega 50x50 cm ehk 25x25 km maapinnal
Geotsentrilisi koordinaate saab ümber arvutada geograafilisteks koordinaatideks. 4. Ristkoordinaadid. Maastikupunkti asukoha plaanil või kaardil saab määrata ristkoordinaatidega x ja y. Selleks tuleb valida sobiv ristkoordinaatide süsteem. Eesti riikliku koordinaatide süsteemi x-teljeks on 24o meridiaan või sellega paralleelne suund ja y- teljeks ekvaatori kujutis või sellega paralleelne suund. Tasapinna ristkoordinaadid jagavad tasapinna 4 veerandiks. 5. Polaarkoordinaadid. Polaarkoordinaate kasut. samuti tasapinnal. Koosneb kahest elemendist: s polaarraadius, polaarnurk. Alguspunktiks polaartelg. Selle saab määrata kas riiklikkus koordinaatide süsteemis või suvaliselt. 6. Eesti baaskaardi TM projektsioon. Eesti baaskaart on topograafiline kaart mõõtkavas 1:50 000, mis valmis aastatel 1994- 96 Eesti-Rootsi ühisprojekti raames. Kogu riiki kattev kaart koosneb 112 kaardilehest mõõtmetega 50x50 cm ehk 25x25 km maapinnal
43. Millistest matemaatilise aluse komponentidest sõltub kaardi koordinaadi väärtus? a. Geodeetiline alus (ellipsoidi suurus, orienteeritus) b. Mõõtühikud (SI, briti mõõtühikute süsteem, vana vene mõõtühikute süsteem, nurgamõõduühikud) c. Kaardiprojektsioon 44. Mis on koordinaadid? a. Arvud, mis määravad punkti asendi tasandil, pinnal, ruumis (ristkoordinaadid, polaarkoordinaadid) b. Jaotatakse alguspunkti järgi: geotsentrilised, topotsentrilised c. Jaotatakse tasapinna järgi: ekvatoriaalsed, ekliptilised, horisontaalsed, orbitaalsed d. Geograafilised koordinaadid: astronoomilised ja geodeetilised (laius, pikkus) e. Paraleel -> väikering, Meridiaan ehk ortodroom -> suurring, Loksodroom 45. Mis on geotsentrilised koordinaadid? a. 0 on keskel b. x ja y lõikuvad ekvaatoril c
atmosfäärirõhk planeedi (mere) pinnal: 1 atm = 760mmHg ≈ 101,3kPa. atmosfääri koostises on: * 78,08% lämmastikku (N2) * 20,95% hapnikku (O2) * 0,930% argooni (Ar) * 0,039% süsihappegaasi (CO2) * ~ 1% veeauru (H2O, sõltub ilmaoludest) Olgu Maa kohta rõhutatud veel, et Maal on keskmise tugevusega (magnetinduktsiooniga) magnetväli 25 … 65 μT (mikroteslat), mille poolused asuvad planeedi geograafiliste pooluste läheduses. Geograafilise põhjapooluse kaugus (polaarkoordinaadid 90,0°N; 180,0°W) magnetilisest lõunapoolusest (koordinaadid 85,9°N; 147,0°W) on vaid umbes 455,9 km pikki meridiaani mõõdetuna. Maa pöörlemistelg moodustab tiirlemistasandiga 23,4° nurga (23°24’ ≈ 0,4084π rad). Kuu on Maale ainus looduslik kaaslane ning kõige lähem taevakeha. (Tõe huvides olgu siiski nimetatud, et aeg-ajalt satuvad Maale lähemale üksikud väikeplaneedid – asteroidid, samuti sabatähed ehk komeedid).
veerandrumbideks. Meresõidu arenedes osutus horisondi jaotus rumbisüsteemis liiga ebatäpseks. Asendati see veerandringi süsteemiga, milles iga horisondi veerand jaotati 90° kraadiks. Suundi hakati lugema peasuundadest N ja S paremale ja vasakule poole näit. 45°NE; 34°SW 20. sajandi alguses asendati veerandringi süsteem ringskaala süsteemiga, milles horisont jaotatakse põhja suunast päripäeva 360 kraadiks. Välimine ring polaarkoordinaadid Sisemine ring - rumbid Tõeline kurss, tõeline peiling ja kursinurk Tõeline kurss (TK) - tõelise meridiaani tasandi põhjasuuna ja laeva pikitasandi vööripoolse suuna vaheline kahetahuline nurk, mida mõõdetakse päripäeva 0° - 360°. Tõeline peiling (TP) - tõelise meridiaani tasandi põhjasuuna ning vaatleja silma ja objekti läbiva püsttasandi vaheline kahetahuline nurk, mida mõõdetakse 0° - 360°.
veerand-rumbideks. Meresõidu arenedes osutus horisondi jaotus rumbisüsteemis liiga ebatäpseks. Asendati see veerandringi süsteemiga, milles iga horisondi veerand jaotati 90° kraadiks. Suundi hakati lugema peasuundadest N ja S paremale ja vasakule poole näit. 45°NE; 34°SW 20. sajandi alguses asendati veerandringi süsteem ringskaala süsteemiga, milles horisont jaotatakse põhja suunast päripäeva 360 kraadiks. Välimine ring polaarkoordinaadid Sisemine ring - rumbid Tõeline kurss, tõeline peiling ja kursinurk Tõeline kurss (TK) - tõelise meridiaani tasandi põhjasuuna ja laeva pikitasandi vööripoolse suuna vaheline kahetahuline nurk, mida mõõdetakse päripäeva 0° - 360°. Tõeline peiling (TP) - tõelise meridiaani tasandi põhjasuuna ning vaatleja silma ja objekti läbiva püsttasandi vaheline kahetahuline nurk, mida mõõdetakse 0° - 360°.
· olemasolevate punktide üksikkoordinaatidest (X, Y ja/või Z) uue punkti moodusta- miseks kasutada punktifiltreid .X, .Y, .Z, .XY, .XZ ja .YZ (vt. lisa 2); · vajadusel eelnevalt muuta jooksvat koordinaatsüsteemi (vt. juhendi teisest osast). Töö alustamiseks on vajalikud mõningad algteadmised arvutist, klaviatuurist, hiirest ja vajadusel ka printeritest või plotteritest. Samuti tuleb asjale kasuks matemaatiliste teadmiste olemasolu, eelkõige geomeetria vallas (rist- ja polaarkoordinaadid tasapinnal, rist- ja sfäär- koordinaadid kolmemõõtmelises ruumis). Ja loomulikult, kuna pakett on inglise keeles, siis ilma sellest keelest aru saamata on raskem hakkama saada (kuigi mitte võimatu!). 2. Ülevaade joonestuskäskudest Kui joonestuspakett AutoCAD Release 15.0 on arvutisse installeeritud (installeerimist me ei käsitle), siis tema käivitamine on võimalik ekraanil oleva ikooni abil (punast värvi A-täht). Tulemusena avaneb dialoogaken (vt
ning rajapunkti rajapunktiks. Väide. Kui funktsioon f on pidev kinnises tõkestatud piirkonnas D ning teisendus x = x(u , v ) , y = y (u , v ) on regulaarne ja teisendab piirkonna D piirkonnaks , siis f (x, y )dxdy = f [x(u, v ), y(u, v )]I (u, v )dudv . D Üleminek polaarkoordinaatidele Olgu r 0 ja punkti P = ( x, y ) polaarkoordinaadid. Seega x = r cos y = r sin (r , ) . cos - r sin Jakobiaan I (r , ) = sin r cos ( = cos r cos - sin (- r sin ) = r cos 2 + sin 2 = r . ) Seega f (x, y )dxdy = f (r cos , r sin ) r dr d . D 5
lõikuvad ainult ühes punktis. Tasapinnalised ristkoordinaadid x ja y on kasutusel ainult tasandil, mida maakera ei ole. Maakera tasapinnale teisendamiseks kasutatakse projektsioone ning tasapinnal võetakse kasutusele ka ristkoordinaadid. Ristkoordinaate mõõdetakse meetrites. X on punkti kaugus koordinaatide alguspunktist põhja või lõuna suunas, y on kaugus koordinaatide alguspunktist ida või lääne suunas. Ristkoordinaatide väärtused võivad olla nii + kui märgiga. Polaarkoordinaadid esitatakse nurgaga koordinaattelje suhtes ja kaugusega telje alguspunktist. Nurki mõõdetakse kraadides (goonides), kaugusi meetrites. 11.Ajavööndid, ajasüsteemid. Tõeline päikeseaeg = kohalik aeg.*Vööndiaeg = ajavööndi piires, kokkuleppeline. *Tunninurk- kui palju maakera 1tunni jooksul pöörleb ümber oma telje(360:24 = 15kraadi tunnis)tunninurk=15' *Maailmaajad on piiritletud ajaloolis-looduslike tunnuste järgi. Kalender on kindel ajaarvamissüsteem.
78,08% lämmastikku (N2) 20,95% hapnikku (O2) 0,930% argooni (Ar) 0,039% süsihappegaasi (CO2) ~ 1% veeauru (H2O, sõltub ilmaoludest) Olgu Maa kohta rõhutatud veel, et Maal on keskmise tugevusega (magnetinduktsiooniga) magnetväli 25 … 65 μT (mikroteslat), mille poolused asuvad planeedi geograafiliste pooluste läheduses. Geograafilise põhjapooluse kaugus (polaarkoordinaadid 90,0°N; 180,0°W) magnetilisest lõunapoolusest (koordinaadid 85,9°N; 147,0°W) on vaid umbes 455,9 km pikki meridiaani mõõdetuna. Maa pöörlemistelg moodustab tiirlemistasandiga 23,4° nurga (23°24’ ≈ 0,4084π rad). 6.2. KUU Kuu on Maale ainus looduslik kaaslane ning kõige lähem taevakeha. Kuu tähtsaimad karakteristikud on: kaugus Maast keskmine 384 399 km, lähim 362 000 km, suurim 405 400 km
y = v(t ) dl = x 2 + y 2 dt x2 t2 o S= ydx = y x dt x1 t1 (34.6) t2 l = x 2 + y 2 dt o t1 dx = x dt Polaarkoordinaadid 4) = u ( ) x = cos 2 0 - u = sin l = + = + 2 2 2 2 Joon polaarkoordinaatides
y = v(t ) dl = x 2 + y 2 dt x2 t2 o S= ydx = y x dt x1 t1 (34.6) t2 l = x 2 + y 2 dt o t1 dx = x dt Polaarkoordinaadid 4) = u ( ) x = cos 2 0 - u = sin l = + = + 2 2 2 2 Joon polaarkoordinaatides
Ristkoordinaadid e Cartesiuse koordinaadid. Selles teljestikus määratakse keha asukoht kolme kauguse kaudu: alustades liikumist koordinaatide lõikepunktist, esiteks liikudes piki x-telge, siis ristisuunas piki y-telge ja lõpuks ristisuunas piki z-telge. Kaugused x, y ja z kokkuleppelisest nullpunktist ongi keha ristkoordinaadid. Kasutatakse nt USAs linnadeplaneerimisel.Tsentraalsümmeetriliste (kerakujuliste nagu aatomid) liikumiste kirjeldamiseks on nn polaarkoordinaadid. Polaarkoordinaate on samuti kolm, kuid ainult üks neist (raadius r) omab pikkuse (kauguse) dimensiooni, kaks ülejäänut on nurgad, mis määravad selle liikumise suuna, mida mööda minnes määratud punkti jõutakse. Esimene on nurk (teeta), mis määrab erinevuse vertikaalsihist ja teine on nurk ϕ, mis määrab erinevuse kokkuleppelisest horisontaalsihist x. Kasutatakse nt elektroni orbitaalide kvantmehaaniliseks kirjeldamiseks vesiniku aatomis ja geograafias. 61
Võrrandi y' = f(x, y) üldlahendiks piirkonnas D nimetatakse 𝜕𝑓(𝑥0 ,𝑦0 ) 𝜕𝑓(𝑥0 ,𝑦0 ) 6. Muutujavahetus kordses integraalis. Mida iseloomustab jakobiaan. Polaarkoordinaadid. Teisendust t →x statsionaarne punkt ,s.t. =0, = 0. Siis punktis 𝑃0 (𝑥0 , 𝑦0 ): 1) On funktsioonil f(x,y) lokaalne suvalisest konstandist C sõltuvat lahendit y = y(x, C), mis rahuldab tingimust: iga punkti (x0, y0) ϵ D korral 𝜕𝑥 𝜕𝑦
määramisel võetakse Eestis X-teljeks 24°-meridiaan või sellega paralleelne suund, Y-teljeks ekvaatori kujutis või sellega paralleelne suund. Kohaliku täpsusega mõõdistamise puhul kasutatakse ka suvalisi ristkoordinaatide süsteeme. Koordinaatide alguspunkt on sel juhul vabalt määratud, kuid X-telg peab olema ikka orjenteeritud põhja suunas ja Y-telg ida suunas. Põhjasuunaks valitakse sageli magnetiline põhja-lõuna suund, mis määratakse bussooli magnetnõela järgi. 6. Polaarkoordinaadid ja nende kasutamine maastikuobjektide asukohtade kirjeldamisel Maastiku punkti m asend geodeetilise võrgu punktide A ja B suhtes võib olla määratud: 1)poraalkoordinaatidega, polaarraadiusega S ja polaarnurgaga 2)bipolaarkoordinaatidega S1 ja S2- kahe polaarraadiusega 3)Bipolaarkoordinaatidega 1 ja 2 7. Kumeral pinnal saadud mõõtmistulemuste väljendamine tasapinnal Kõigepealt tuleks kanda geodeetilise võrgu punktid kumerale pinnale.Seejärel kantakse
teeme (vt joonis 1): ristkoordinaate xyz, silinderkoordinaate rz ja sfäärkoordinaate . Silinderkoordinaatide saamiseks tuleb punkt P(x,y,z) projekteerida XY-tasandile, selleks on joonisel 1 punkt P'(x,y,0). Punkti P' kaugus koordinaatide algusest O ongi parajasti polaar- raadius r (r = x 2 + y 2 ), polaarnurk (0O < 360O , või ka 180O < 180O ) on aga nurk X-telje positiivse suuna ja polaarraadiuse vahel, kusjuures x = rcos , y = rsin . Koordinaadid r ja on tavalised polaarkoordinaadid XY-tasapinnal. Sfäärkoordinaatide puhul on suurus punkti P(x,y,z) kaugus koordinaatide algusest O ( = x 2 + y 2 + z 2 ). Nurk määratakse siin samal viisil kui silinderkoordinaatide korral, aga vertikaaltasapinnas mõõdetav nurk (90O < 90O) määrab raadiuse kaldenurga XY-tasapinna suhtes. Praktilisel joonestamisel pole ülaltoodud seoseid koordinaatide vahel vaja teada, küll aga saab nurki ja kasutada jooniste vaatlemiseks suvalisest vaatesuunast (vt. punkt 5).
10). - Polaarnurka ja polaarraadiust = |OP | nimetetakse punkti P polaar- koordinaatideks. Seda asjaolu m¨argitakse P (, ). J¨argnevalt leiame seosed punkti P polaarkoordinaatide ja ristkoordinaati- de vahel, kui ristkoordinaadistik on paigutatud polaarkoordinaadistiku suh- tes nii, et x-telje positiivne suund u ¨htib polaartelje suunaga ja y-telg on t~ommatud risti x-teljega l¨abi pooluse. Olgu punkti P ristkoordinaadid x ja y ning polaarkoordinaadid ja . x Joonisel 5.11 esitatud t¨aisnurksest kolmnurgast OQP saame, et cos = ja y sin = , millest x = cos (5.6) y = sin 6
annaabi.ee 
