a ; '(x)=f()x/x=(x0; x+xx; x)=lim(x)f()=f(x). Järeldus: (x) on f(x)'i algfunktsioon. Valem: F(x) rajades a'st b'ni =F(b)-F(a)= integraal a'st b'ni f(x)dx 4. Muutuja vahetus määratud integraalis. b b f ( x)dx = f [(t )] f ' (t )dt a a 5. Ositi integreerimine (määratud integraali korral). b b udv = uv a - vdu b a a 6. Lõpmatute rajadega päratud integraalid. f(x); x[a;[ DEF. kui iga N[a;[ leidub integraal rajades a'st N'ini f(x)dx ja sellest piirväärtus N, siis seda nim lõpmatu ülemise rajaga päratuks integraaliks f(x)dx (rajad a ja ). Kui see piirväärtus on lõplik, siis öeldakse et päratu integraal koondub,
= f [ ( t )] = f ( x ) ja tõepoolest on võrduse (1) mõlema poole tuletised võrdsed funktsiooniga f ( x ) , mis tõestabki teoreemi väite. Märkus. Funktsioon x = ( t ) ja tema pöördfunktsioon t = ( x ) kujutavad endast üht ja sama sõltuvust muutujate t ja x vahel, seega võib muutuja vahetuse teha nii ühel või teisel kujul kui ka mistahes muul kujul, mis väljendab sama sõltuvust. 37. Ositi integreerimise valem Olgu meil antud kaks diferentseeruvat funktsiooni u = u( x ) ja v = v ( x ) . Nende funktsioonide korrutise diferentsiaal on: d ( uv ) = udv + vdu . Võttes selle võrduse mõlemalt poolt määramata integraali, saame määramata integraali esimest omadust kasutades, et d ( uv ) = udv + vdu . Pumkti 4.1.1 järelduse 3 põhjal saame viimasest võrduse uv = udv + vdu ,
Näide: Funktsiooni f(x) = 2e2x algfunktsiooniks on funktsioon F(x) = e2x, sest F´ (x) = 2e2x = f(x). Määramata integraaliks funktsioonist y=f(x) nim kõikide algfunktsioonide hulka ehk f(x)dx = F(x) + C. Määramata integraali omadused: 1) [f(x)dx]' = f(x); 2) d[f(x)dx] = f(x)dx; 3) dF(x)=F(x)+C; 4) af(x)dx = af(x)dx; 5) [f(x) +- g(x)]dx = f(x)dx +- g(x)dx. 37. Integreerimisvõtteid (muutujavahetus, ositi integreerimine). Muutujavahetus - f(u)du = f[g(x)]g'(x)dx; ( u = g(x); du = g'(x)dx ) Ositi integreerimine - udv = uv - vdu; (harilikult u-ks kas x aste või ln). 38. Määratud integraali mõiste ja omadused. Newton-Leibnizi valem. Määratud integraal eeldusel, et f(x) on pidev lõigus [a;b]; kui leidub piirväärtus, siis see on määratud integraal funktsioonist y=f(x) rajades a-st b-ni. Omadused: 1) Kui rajad on võrdsed on integraal 0
Kaldasümptoot ja horisontaalasümptoot. Esitada valemid kaldasümptoodi võrrandi kordajate jaoks piirprotsessis x (tuletada pole vaja). 26. Algfunktsiooni definitsioon. Sõnastada teoreem algfunktsioonide üldavaldise kohta (tõestust ei küsi). Funktsiooni määramata integraal ja selle geomeetriline sisu. 27. Integraalide tabel. Määramata integraali omadused (ilma tõestusteta). 28. Kirjeldada asendusvõtet määramata integraali avaldamisel. Esitada ositi integreerimise valem määramata integraali jaoks (tuletada pole vaja). Ositi integreerimise valem määramata integraali jaoks: 29. Funktsiooni integraalsumma ja määratud integraali mõisted. 30. Määratud integraali geomeetriline sisu: kõvertrapetsi pindala leidmine. Esitada vastav valem ilma tuletamata. 31. Määratud integraali omadused (ilma põhjendusteta). 32. Newton-Leibnitzi valem ilma tõestuseta. 33. Kirjeldada asendusvõtet määratud integraali arvutamisel
Sel juhul: f(x) dx = f[(t)]'(t)dt [f(x) dx]' = f(x) [ f[(t)]'(t)dt]' = [liitfunktsiooni järgi, kus t=(x)] = [ f[(t)]'(t)dt]''(x) = 1 =f[(t)]'(t) '(x) = [asendades pöördfunktsiooni kaudu] = f[(t)]'(t) ' (t ) = f[(t)] = [asendades tagasi muutuja x'i seosest x=(t)] = f(x) M.O.T.T. OSITI INTEGREERIMINE MÄÄRAMATA INTEGRAALIS Meil on kaks funktsiooni: u ja v, mõlemad funktsioonid on diferentseeruvad ja mõlemad on argumendi x funktsioonid. Tihti tuleb ette olukordi, kus tuleb integreerida kahe funktsiooni korrutist: uv . Kuna integreerimisel tuleb alati avaldada ka diferentsiaal, siis alguseks teemegi seda: Kuna diferentsiaal on tuletise ja argumendi muudu korrutis, siis analoogselt korrutise tuletise valemi järgi (uv)´ = u'v + uv' on korrutise diferentsiaal:
3.2 Teatamiskohustuse mittetäitmisel on Laenuandjal õigus nõuda Laenusaajalt leppetrahvi _____ % laenusummast. 4. Lepingu kehtivus ja lepingu ülesütlemine. 4.1 Laenuandjal on õigus käesolev leping üles öelda, kui Laenusaaja: 4.1.1 andis Lepingu sõlmimisel väärinformatsiooni oma majandusliku seisu kohta; 4.1.2 on viivituses enam kui kahe osa tagastamisega või ühe osa tagastamisega kauem kui kolm kuud (kui laenu tagasimaksmine on ositi kokku lepitud); 4.1.3 ei täida kohustust maksta intressi selle tasumiseks antud täiendava tähtaja jooksul; 4.1.4 vara suhtes algatatakse sundtäitmine, mille tõttu oluliselt väheneb Laenusaaja maksevõime; 4.2 Lepingu ülesütlemisel Laenuandja poolt kohustub Laenusaaja tasuma kõik võlgnetavad summad ___ (_____________) kalendripäeva jooksul alates Lepingu ülesütlemise teate kättesaamist. 5. Lõppsätted 5.1 Lepingu muudatused vormistatakse kirjalikult Lepingu lisadena. 5
*Y soovis Zlt osta erinevate pindade puhastusseadmeid.Kuna need olid kallid ja Y soovis tasuda nende eest ositi,siis sõlmiti omavahel kirjalik dokument, mille pealkirjaks oli leping.Lepingusse kirjutati, et Y on õigus nimetatud seadmeid vallata ja kasutada ja kohustus selle eest ettenähtud tasu maksta ning tasu ositi maksmise graafik. Lepingu sõmimise hetkest sai Y Zlt ka seadmed ja sai nendega tööle hakata. Millise lepingu liigiga võis Y ja Z vahel sõlmitud lepingu puhul olla tegemist ja kas nimetatud sisuga leping oli leping, mille sõlmimist soovis Y ka tegelikult ? *Töötaja võttis tööandja kassast natuke raha laenukset kuni järgmisel päeval saabuva palgapäevani seda laenata ja koju süüa osta.See reegel,et kassaraha tuleb õhtuks täies mahus
mille jooned on üksteisest tuletatavad y-telje paralleellükk abil. 12. Integraalide tabel. Määramata integraali omadused 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) Määramata integraali omadused: 1. 2. 3. 13. Kirjeldada asendusvõtet määramata integraali avaldamisel. Esitada ositi integreerimise valem määramata integraali jaoks (tuletada pole vaja). Asendusvõte määramata integraali avaldamisel Integraali avaldamisel asendusvõttega tehagse selle integraali all muutuja vahetus. 1. Valime mingi funktsiooni 2. Asendame integreerimise x järgi integreerimisega u järgi 3. Eeldades, et on üksühene ja diferentseeruv omab ta pöördfunktsiooni 4. Kirjutame funktsiooni tuletise diferentsiaalide jagatisena 5
1 1 tx= = tx g (t )' Tehes tagasiasenduse f[g(t)]=f(x) f ' ( x) Valem integraali f ( x) dx leidmiseks d ln x d x 1 1 1 x 1 ln x = * = signx = = * = d x dx x x x x x 5. Tuletada ositi integreerimise valem. Esitada põhilised ositi integreeruvad integraalid. Põhilised ositi integreeruvad integraalid 1) cos x sin xdx 2) (ax +b) sin xdx 3)? 6. Defineerida funktsiooni f(x) määratud integraal lõigul [a;b]. Mis on a f ( x)dx b geomeetriline tähendus, kui f(x) _0 7. Sõnastada ja tõestada matemaatilise analüüsi põhiteoreem(st millega võrdub määratud integraali tuletis muutuva ülemise raja järgi). 8
Funktsiooni diferentsiaalid. Funktsiooni kasvamine ja kahanemine. Lokaalne ekstreemum. 6. Keskväärtusteoreemid. L'Hospitali reegel. 7. Taylori valem polünoomi korral. Taylori valem. Taylori valemi jääkliige. 8. Joone puutuja ja normaal. Funktsiooni lokaalne ekstreemum. Joone kumerus ja nõgusus. Käänupunktid. 9. Funktsiooni uurimine. Iteratsioonimeetod. 10. Määramata integraal ja selle omadused. Määramata integraalide tabel. Muutujate vahetus määramata integraalis. Ositi integreerimine määramata integraalis. 11. Hulkliikme teguriteks lahutamine. Ratsionaalfunktsiooni osamurdudeks lahuta-mine. Lihtsamate osamurdude integreerimine. 12. Trigonomeetriliste ja hüperboolsete funktsioonide integreerimine. 13. Algebraliste funktsioonide integreerimine. Mitte-elementaarsed integraalid. 14. Määratud integraal ja selle omadused 15. Määratud integraal ülemise raja funktsioonina. Newton-Leibnizi valem. Muutujate
valitud konstandist C. Määramata integraali võib ka tõlgendada kui üheste funtksioonide parve y = F(x) + C, kus konstandi C igale väärtusele vastab üks ühene funktsioon. Kujutades seda funktsioonide parve graafiliselt tasandil xy-koordinaadistikus saame joonteparve, millel jooned on üksteisest tuletatavad y-telje sihilise paralleellükke abil. 30. Integraalide tabel 31. Kirjeldada asendusvõtet määramata integraali avaldamisel. Esitada ositi integreerimise valem määramata integraali jaoks Vaatleme määramata integraali (5.2) Integraali (5.2) avaldamisel asendusvõottega tehakse selle integraali all muutuja vahetus. Selleks valitakse mingi funktsioon u = (x) ja integreerimine muutuja x järgi asendatakse integreerimisega muutuja u järgi. Eeldame, et on üksühene ja diferentseeruv. Tähistame funktsiooni pöördfunktsiooni -ga. Seega x = (u) (5.3) Paneme kirja funktsiooni tuletise diferentsiaalide jagatisena:
v.a.artusele a ja .ulemine raja on võrdne u väärtusega, mis vastab muutuja x väärtusele b. Seega on uue integraali alumine raja (a) ja b b ülemine raja (b). Kokkuvõttes saame järgmise valemi: udv = uv a - vdu b a a Ositi integreerimise valemi tuletamine Vaatleme funktsioone u ( x ) ja v( x ) . Korrutise tuletise valem on: ( u v ) = uv + uv . Teisendame: uv = ( u v ) - uv dx Korrutame argumendi diferentsiaaliga dx uvdx = ( u v ) dx - uvdx ja integreerime uvdx = ( u v ) dx - uvdx . udx = du
3. Töö vastuvõtmise kohustus (Tellija on kohustatud selle töö vastu võtma) Asja üleandmise kohustus Töövõtja peab tööna valmistatud asja tellijale üle andma. Kui asi on valmistatud töövõtja materjalist, peab töövõtja tegema võimalikuks omandi ülemineku tellijale. Tasu maksmise kohustus Kui kokku on lepitud töö vastuvõtmine tellija poolt, muutub töövõtja tasunõue sissenõutavaks, kui töö on vastu võetud või loetakse vastuvõetuks. Kui töö tuleb üle anda ositi ja hind on samuti määratud ositi, tuleb iga osa eest tasuda vastava tööosa vastuvõtmisel. Tellija ei pea töö eest tasuma enne, kui tal on olnud võimalus asi üle vaadata, kuid kokku võib leppida ka teisiti. Töö vastuvõtmise kohustus Tellija on kohustatud valmis töö vastu võtma. Kui tellija valmis tööd vastu ei võta, loetakse töö ikka vastuvõetuks, välja arvatud, kui töö vastuvõtmisest keeldumine on põhjendatud. Eelarve ületamine
3).(Ositi integreerimine määramata integraalis. Valemi tuletamine.) Lebesgue’i teoreem Funktsioon f on lõigul [a;b] Riemanni mõttes integreeruv parajasti siis, Määratud integraali rakendused. kui ta on tõkestatud lõigul [a;b] ja pidev peaaegu kõikjal st katkev hulgal, mille Lebesgue mõõt on null. Hulga D c R Lebesgue mõõt on null siis, kui iga ε>0 korral saame leida hulka D katva vahemike süsteemi, mille pikkuste summa on väiksem kui ε. See peab näiteks paika lõpliku arvu punktide korral, st kui D= {xk є R| k=1,2,…..n} (xk sisaldava vahemiku pikkus < ε/n), sauti kui punkte on lõpmata palju, aga me saame nad nummerdada(loenduv hulk) , st D={ xk є R|kєN} (xk sisaldava vahemiku pikkus < ε/2 astmes k. Leidub ka muidu hulki, mille Lebesgue mõõt on null. Seega vastavalt Lebesgue’i teoreemile on integreeruv tõkestatud funktsioon, millel on lõplik või loenguv hulk ...
x = g(t) on diferentseeruv piirkonnas T , kusjuures selle funktsiooni muutumispiirkonnaks on X, siis f (x)dx = f [g(t)]g (t)dt. Lauses toodud valemi põhjenduse ja selle rakenduse näiteid võib leida raamatutest [3], lk 162-165; [4], lk 218-219; [5], lk 363-365. Integreerimisel on sageli lihtsam leida sobivat asendust kujul t = h(x), nagu seda tegime ka näidetes 3.8-3.10. 3.5 Ositi integreerimine Vaatame kahte diferentseeruvat funktsiooni u = u(x) ja v = v(x). Nende funktsioonide korrutise tuletis leitakse valemiga (uv) = u v + v u, diferentsiaal korrutisest on seega d(uv) = vdu + udv. Avaldades viimasest võrdusest udv, saame udv = d(uv) - vdu. Kui nüüd eksisteerib integraal vdu, siis ilmselt eksisteerib ka integraal udv, sest integraali
Erijuht: 5 = CAB +4 8' H Määramata integraali omadused: 1. 50 ±N 1 =5 ±5N 2. 5 = 5 , kus on konstant 3. Kui 5 =2 + 4 ja , on konstandid, siis 5 + = (2 + +4 28) Kirjeldada asendusvõtet määramata integraali avaldamisel. Esitada ositi integreerimise valem määramata integraali jaoks (tuletada pole vaja). Vaatleme määramata integraali 5 . Integraali avaldamisel asendusvõttega tehakse selle integraali all muutuja vahetus. Selleks valitakse mingi funktsioon O = P ja integreerimine muutuja järgi asendatakse integreerimisega muutuja O järgi. Eeldame, et P on üksühene ja diferentseeruv. Tähistame funktsiooni P pöördfunktsiooni Q-ga. Seega = Q O . Paneme
konstantne tegur on toodav piirväärtuste märgi ette, siis lim max 0 =1(1 1 ( ) + 2 2 ( )) = 3).(Ositi integreerimine määramata integraalis. Valemi tuletamine.) *Kui u(x) ja v(x) on diferentseeruvad funktsiooni hulgal X ja eksisteerib määramata
3. 28. Kirjeldada asendusvõtet määramata integraali avaldamisel. Integraali avaldamisel asendusvõttega tehakse selle integraali all muutuja vahetus. Valitakse mingi funktsioon u ja integreeritakse muutuja x asemel muutujat u. Eeldades et valitud funktsioon u on üksühene ja diferentseeruv, leitakse selle funktsiooni pöördfunktsioon. Leitud pöördfunktsioon kirjutatakse diferentsiaalide jagatisena, korrutatakse võrdust du-ga ning saadud funktsioonid asendadakse integraali all. Esitada ositi integreerimise valem määramata integraali jaoks (tuletada pole vaja). 29. Funktsiooni integraalsumma ja määratud integraali mõisted. Integraalsummaks nimetatakse lõigul (a;b) pideva funktsiooni f osalõikude punktide summasid Määratud integraal: Kui lõigu (a;b) mistahes jaotuse korral. Kus max ja punktide p mistahes valiku korral integraalsumma läheneb ühele ja samale piirväärtusele s= Siis piirväärtust s nimetatakse f-ni määratud integraaliks lõigul (a;b). 30
1 1 arctan x' = 1x 2 1x 2 dx=arctan xC Konstantne tegur kf x ' =kf ' x kf x dx=k f x dx Summa f x g x ' = f ' xg ' x f x g x dx= f x dx g x dx Korrutis uv ' =u ' vuv ' Ositi integreerimine udv =uv- vdu Jagatis u v '= u ' v-uv ' v 2 Liitfunktsioon [ f g x ] '= f g ' g ' x Kui f x dx=F xC , siis f ax =b dx= 1a F axbC
Küsimuse tekst Segakulude kogusumma Vali üks: a. suureneb tegevusmahu vähenedes b. suureneb tegevusmahu suurenedes c. ei muutu tegevusmahu muutudes d. väheneb tegevusmahu vähenedes Küsimus 3 Küsimuse tekst Kulude täpne prognoosimine pole oluline Vali üks: a. finantsaruannete koostamiseks b. hinnakujunduseks c. rahavajaduse hindamiseks d. plaanide ja eelarvete koostamiseks Küsimus 4 Küsimuse tekst Astakkulu Vali üks: a. kaetakse ositi b. sarnaneb segakulude vähese ulatusega olulisusvahemikus c. on (a) ja (b d. on segakulu erijuhus Küsimus 5 Küsimuse tekst Olulisusvahemiku (relevant range) tähtsus seisneb selles, et ta on vahemik, kus Vali üks: a. ükski eeltoodud vastuvariant pole õige b. tooteühiku muutuvkulud on erinevad erineva tegevusmahu puhul c. tooteühiku muutuvkulud ja püsikulude kogusumma jäävad konstantseks d
9. a.10. b. Määramata integraali omadused b.1. NB! Omadus ei kehti korrutamise ja jagamise korral. b.2. b.3. Kui Tõestame omaduse 3. Selleks peame näitama, et Kasutades liitfunktsiooni diferentseerimise eeskirja ja võrdust saame seose 35. Kirjeldada asendusvõtet määramata integraali avaldamisel. Tuletada ositi integreerimise valem määramata integraali jaoks. a. Kirjeldada asendusvõtet määramata integraali avaldamisel Vaatleme määramata integraali Integraali avaldamisel asendusvõttega tehakse selle integraali all muutuja vahetus. Selleks valitakse mingi funktsioon ja integreerimine muutuja x järgi asendatakse integreerimisega muutuja u järgi. Eeldame, et on üksühene ja diferentseeruv. Tähistame funktsiooni
(T) = X D(t) -1 t = '(x) Tõestus. Kui funktsioon x = (t) (rangelt monotoonne), siis . Lause3 (muutujate vahetus määramata integraaliks). Kui funktsioon x = ( t ) on rangelt monotoonne hulgal T, kusjuures ( T ) = X ja ( t ) D ( t ), siis . Lause4 Lause 3 eeldustel peab paika algoritm, mis kannab diferentsiaali märgi alla viimise võtte nime. Tõestuseks piisab seosest muutuja t asendamist muutujaga x. Lause5 Ositi integreerimine. Olgu u(x) ja v(x) diferentseeruvad funktsioonid hulgal X. Kuna (uv)' = u'v + v'u, siis uv'=(uv)' u'v. eeldusel, et eksisteerib , on võimalik võtta viimase seose mõlemast määramata integraal. Et , siis eksisteerib ka ja saame tulemuseks , kusjuures suvalise konstandi C võtame kokku teise liidetavaga, st kahe suvalise konstandi summa on suvaline konstant. Kuna dv = v'dx ja du = u'dx, siis eelnev seos on esitatav kujul . Polünoomid
diferentsiaal dx. Muutuja vahetuse valemi üldkuju: Üks eriti tore valem f ( x )dx = f [( t )]( t )dt 1 veel : f ( ax + b ) dx = a F ( ax + b ) + C . Määratud integraali korral- kuna olemas on rajad, siis tuleb pärast muutuja vahetust ka rajad ümber arvutada , muidu on see kõik samamoodi nagu määramata integraali korral. Ositi integreerimise valemi tuletamine- Vaatleme funktsioone u ( x ) ja v( x ) . Korrutise tuletise valem on: (u v ) =uv +uv . Teisendame: uv =(u v ) -u v dx Korrutame argumendi diferentsiaaliga dx uvdx =(u v ) dx -u vdx ja integreerime uvdx =(u v ) dx -uvdx . udx = du Et, ning määramata integraali 3. omaduse põhjal (uv )dx =uv +C . vdx = dv
b. kogukulusid tooteühiku kohta c. muutuvkulude kogusummat d. püsikulusid tooteühiku kohta Küsimus 2 Vastus salvestatud Marked out of 1,00 Küsimuse tekst Olulisusvahemikus Vali üks: a. Püsikulud ühiku kohta muutuvad b. Muutuvkulude (vc) kogusumma jääb samaks c. Kogukulud ühiku kohta ei muutu d. Muutuvkulud ühiku kohta muutuvad Küsimus 3 Vastus salvestatud Marked out of 1,00 Küsimuse tekst Astakkulu Vali üks: a. kaetakse ositi b. on segakulu erijuhus c. on nii segakulu erijuhus kui sarnaneb segakulule olulisvahemikus d. sarnaneb segakulude vähese ulatusega olulisusvahemikus Küsimus 4 Vastus salvestatud Marked out of 1,00 Küsimuse tekst Olulisusvahemiku (relevant range) tähtsus seisneb selles, et ta on vahemik, kus Vali üks: a. tooteühiku muutuvkulud on erinevad erineva tegevusmahu puhul b. tooteühiku kohta tulevad püsikulud on konstantsed igasuguse tegevusmahu juures c
Seega x = (u) . Paneme kirja funktsiooni tuletise diferentsiaalide jagatisena: dx/ du = '(u). Korrutades seda võrdust du-ga saame dx = '(u)du .Asendame x-i ja dx-i integraali all: f(x)dx =f[(u)]'(u)du . Muutujate vahetus määratud integraalis: Kui fC[a,b] ja (t) on pidevalt diferentseeruv lõigul [,] ja ()=a ja ()=b, siis b a f ( x )dx = f ((t))' (t)dt = f((t))d(t) Ositi integreerimine määramata integraalis: Olgu u = u(x) ja v = v(x) kaks diferentseeruvat funktsiooni. Paneme kirja nende korrutise diferentsiaali avaldised(uv) =vdu +udv-- udv = uv -vdu . b b
maksmisele tavaline tasu, selle puudumisel aga vastavalt asjaoludele mõistlik tasu. Töövõtja ei või nõuda tasu töö eelarve koostamise eest. Töövõtja tasunõue muutub sissenõutavaks töö valmimisest. Kui kokku on lepitud töö vastuvõtmine tellija poolt või kui see on tavaline, muutub töövõtja tasunõue sissenõutavaks, kui töö on vastu võetud või loetakse vastuvõetuks. Kui töö tuleb üle anda ositi ja hind on samuti määratud ositi, tuleb iga osa eest tasuda vastava tööosa vastuvõtmisel. Tellija ei pea töö eest tasuma enne, kui tal on olnud võimalus asi üle vaadata, välja arvatud juhul, kui kokkulepitud üleandmisviis või maksmise tingimused ei anna talle selleks võimalust. Tarbijatöövõtulepingu puhul on tühine kokkulepe, mille kohaselt tarbija kohustub maksma töövõtjale ettemaksuna rohkem kui poole töövõtjale makstavast tasust. Töö vastuvõtmise kohustus (VÕS § 638)
jooksul;kiirus on muutuv suurus. Diferentsiaal-korrutist f'(x)x ja tähis sümboliga dy. L'Hospital-. Algfunkt-F(x) hulgas X, kui F'(x)=f(x) hulgas X. Määramata integraal-F(x) +C(suvaline konstant), tähistat . Omadused:, 2 funkt summa määramata integr=nende funkt määra. Integ summaga; kui a on konstant, saab selle integr märgi ette tuua;2 funkt vahe määramata integr=f määram integr vahega. Asendusvõte(määratud)-muutujavahetuse võte, on pidev ja integreeruv . Ositi-kasut, kus intregeeritavaks on . Määratud integ-lõigul , mis vastab argumendi muudule . Newton-Leibniz-vahelüli määratud ja määramata integr vahel. . Määratud om: sama määramataga, kui vahetada rajad, siis muutub märk vastupidiseks. Kujundi S-f(x)0 lõik, siiis trapets on ülalt piiratud joonega y=f(x), alt x-telg, vasak ja parem sirgega x=a,x=b, S= . Ruumala-vaja h, ristlõike S(x) lõikekoha x funkt.na V=. DV-võrrand, mis seob f-ne, tuletisi ja argumente
alamaktides. Eelnõuga muudetakse KaLSi ühes valdkonnas ja KVTSi neljas valdkonnas. Samuti muudetakse kaitseväeteenistuse seaduse rakendamise seadust ning nähakse seal ette vastavad rakendussätted. Eelnõu näeb ette järgmised muudatused: 1) Ühekordse hüvitise väljamaksmine kaitseväelase ja Kaitseliidu liikme töövõimetuse korral veteranipoliitika meede 4.3.2. Eelnõu kohaselt kaotatakse alates 1. aprillist 2013. a kehtiva ühekordse hüvitise ositi väljamaksmine ja see makstakse välja korraga. Senini kehtinud ositi maksmise regulatsioon demotiveerib haavatuid esimese kolme aasta ravikäitumisel, sest mida paremini nad ennast ravivad, seda vähem hüvitist nad saavad. Näiteks ei ole raske vigastuse puhul tihti lootust, et töövõime võiks täies ulatuses taastuda. Seega ei ole põhjendatud hüvitise ositi maksmine, kuna kaitseväeteenistuses tekkiv tervisekahjustus
+1 1 dx = ln x + C x e x dx = e x + C ax a x dx = +C ln a sin xdx = - cos x + C cos xdx = sin x + C 1 dx = tan x + C cos 2 x 1 dx = arcsin x + C 1- x2 1 dx = arctan x + C 1+ x2 Määramata integraali kaks omadust: Af ( x ) dx = A f ( x ) dx , kus A on konstant [ f ( x ) + g ( x ) ] dx = f ( x ) dx + g ( x ) dx 11. Diferentsiaali märgi alla viimise võte määramata integraali leidmiseks. Ositi integreerimise valem. f ( x ) f ( x ) dx või g [ f ( x ) ] f ( x ) dx . Sel juhul tehakse muutuja vahetus (võetakse uueks muutujaks) t = f ( x ) siis dt = f ( x ) dx ja saame f ( x ) f ( x ) dx = tdt või, g [ f ( x ) ] f ( x ) dx = g ( t ) dt Ositi integreerimise valem: udv = uv - vdu 12. Integraalne alamsumma ja ülemsumma (valemid ja joonis). Integraalsumma (valem ja joonis). Määratud integraali definitsioon (sõnastus ja valem). Kõvertrapetsi pindala
muusikat. 1976 asutas nüüdismuusika ans. "Ensemble InterContemporain", mis on praegu üks maailma kuulsamaid. Looming 1940ndate lõpus ja 1950ndail komponeeris lähtudes rangest (kohati ka totaalsest) serialismist Esimene klaverisonaat, "Polyphonie X" 18 instr-le; esimene totaalselt serialistlik teos oli "Struktuurid I" (1952) kahele klaverile, esiettekandel Pariisis mängisid Messiaen ja Boulez. 1950ndate teisest poolest alates viljeles vaba serialismi, st kasutab seeriaid ositi või on seeria lühem kui 12 nooti. Rohkem tõuseb esile kõlapeenus, tämbrinüansid. Tähtteoses "Meistrita haamer" ("Le Marteau sans maître" 1955; René Char'i poeemidele) kontraaldile ja 6 instrumentalistile on seeria kasutus vabam, meloodiline stiil meenutab improvisatsiooni ja tämber on koosseisust tulenevalt üsna eksootiline. Boulez kirjutas varasemaid teoseid korduvalt ümber, andes neile uusi vormilisi lahendusi work in progress
üks ühene funktsioon, kujutades seda funktsiooni xy-konrdinaadistikus saame joonteparve mille jooned on üksteisest tuletatavad y-telje paralleellükke abil. 12. Integraalide tabel. Määramata integraali omadused (sh omadus 3 koos tõestusega) a. Määramata integraali omadused: b. 3. omaduse tõestus: b.i. Kasutades leiame seose = 13. Kirjeldada asendusvõtet määramata integraali avaldmisel. Tuletada ositi integreerimise valem määramata integraali jaoks. a. Integraali avaldamisel asendusvõttega tehakse selle integraali all muutuja vahetus: a.i. Valime mingi funktsiooni a.ii. Asendame integreerimise x järgi integreerimisega u järgi a.iii. Eeldades, et on üksühene ja diferentseeruv omab ta pöördfunktsiooni a.iv. Kirjutame funktsiooni tuletise diferentsiaalide jagatisena a.v
maksta pärast käsundi täitmist on vastu võetud või loetakse või käsundi täitmiseks antud vastuvõetuks. Kui töö tuleb üle tähtaja möödumist ja anda ositi ja hind on samuti käsundusleping lõpeb enne määratud ositi, tuleb iga osa eest käsundi täitmist või selle tasuda vastava tööosa täitmiseks antud tähtaja vastuvõtmisel.
81.Määramata integraali omadused [f(x)+g(x)]dx =f(x)dx + g(x)dx, st kahe funktsiooni summa määramata integraal on võrdne nende funktsioonide määramata integraalide summaga. Kui a on konstant, siis af(x)dx = af(x)dx, st konstantse teguri saab tuua integraali märgi ette. [f(x)-g(x)]dx = f(x)dx - g(x)dx, st kahe funktsiooni vahe määramata integraal on võrdne nende funktsioonide määramata integraalide vahega. 82. Ositi integreerimise valem Viimasest võrdusest saame ositi integreerimise valemi udv = uv - vdu. 83.Muutuja vahetus määramata integraalis. 84.Millist funktsiooni nimetatakse ratsionaalfunktsiooniks? Ratsionaalfunktsioon - ratsionaalfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni kujul: y = Fn(x) / Gm(x) kus Fn(x) ja Gm(x) on n ja m järku polünoomid. Polünoom - hulkliige. Lõpliku summa näol esinev matemaatiline avaldis 85.Määratud integraali mõiste
Tööandjal ja töötajal on õigus tööleping üles öelda üksnes käesolevas seaduses sätestatud alustel. Nõuete sissenõutavus töölepingu lõppemisel 1)Töölepingu lõppemisega muutuvad kõik töösuhtest tulenevad nõuded sissenõutavaks. 2) Täielikult või osaliselt pärast töölepingu lõppemist täidetavatelt tehingutelt makstava tasu sissenõutavaks muutumise võib kirjaliku kokkuleppega edasi lükata, kuid mitte kauemaks kui kuueks kuuks. 3)Ositi täidetavate tehingute puhul võib sissenõutavaks muutumise edasi lükata mitte kauemaks kui üheks aastaks. 4)Kindlustuslepingute ja tehingute puhul, mille täitmine nõuab enam kui pool aastat, võib sissenõutavaks muutumise edasi lükata mitte kauemaks kui kaheks aastaks. Töölepingu korraline ülesütlemine Töötaja võib tähtajatu töölepingu igal ajal korraliselt üles öelda. Töötaja ei või korraliselt üles öelda, va.töötaja asendamise ajaks.
2.13 Integraal ülemise raja funktsioonina f(x)I[a,b]f(x)I[a,c], cb. Võtan kasutusle abifunktsiooni G(x)[a,b]. DEF1. x[a,b] Tõestus. G=G(x+x)+G(x). joonis! G=f(x+x)x, kui minna piirile x0 siis ka |G|0 ja siis ka G0ja s.t DEF2. Enne tõestasin, et G'(x) on f(x) algfunktsioon. F(x)=G(x)+C s.t, et suvaline algfunktsioon 2.14. Newton-Leibnizi valem Lause. Funktsiooni f(x) suvaline algfunktsioon on kirja pandav sellisel kujul: x=a: Näide. 2.15 Muutuja vahetus ja ositi integreerimine U(x), v(x) d(uv)=vdu+udv N. Kui F(x) on lõigul pideva funktsiooni f(x) algfunktsioon siis . x=(t), a b, . Lause2. (x=(t), ()=b, ()=a) N. N. N. 2.20 Päratud integraalid DEF1. Kui f(x)I[a,c] iga c(a,b) korral ja , siis funktsiooni f(x) lõigul [a,b] selleist piirväärtust: nim. päratuks integraaliks. Analoogiliselt defineeritakse ka pärtud integraal juhul, kui funktsioon f(x) on tõkestamata punkti a ümbruses: . N. Seega ntud päratu integraal koondub.
v dx 2 , kus v ≠ 0 Ositi integreerimine: Määramatused: x dx x sin√ xx+C ( tan x ) = 2 cos x ∫ 1+ x2 =arctan x+C 0 ∫ u dv=uv∞−∫ v du
Leidub ka muidu hulki, mille Lebesgue mõõt on null. Seega vastavalt Lebesgue’i teoreemile on integreeruv tõkestatud funktsioon, millel on lõplik või loenguv hulk esimest liiki katkevuspunkte. Tõestame järgnevas mõned erijuhud: Lause : Lõigul integreeruv funktsioon on tõkestatud sellel lõigul. 4. Algfunktsiooni definitsioon. Määramata integraali definitsioon. Määramata integraal kui tuletise ja diferentsiaali pöördoperaator. 5. Muutujavahetus 6. Ositi integreerimine. 7. Osamurdudeks jagamine. 8. Määratud integraal ülemise raja funktsioonina. Newton-Leibnizi valem. 9. Integraali keskväärtusteoreemid. 10.Taylori valemi jääkliikme intergraalkuju 11.Defineerida päratud integraalid katkevatest funktsioonidest. Defineerida lõpmatute rajadega päratud integraalid 12. Määratud integraali rakendused. PÖÖRDKEHA RUUMALA: 13. Määratud integraali ligikaudne arvutamine. Kvadratuurvalemid.
f[(t)]'(t)dt= F[()] F[()] Aga kuna eeldasime, et () = a ja () = b, siis F[()] F[()] = F(b) F(a) Seega kokkuvõtlikult: b b a b a f(x) dx = F(x) = F(b) F(a) F[()] F[()] = F(b) F(a) a f(x) dx = f[(t)]'(t)dt 3) Ositi integreerimine Ositi integreerimine määratud integraalis sarnaneb põhimõtteliselt ositi integreerimisele määramata integraalis. Meil on kaks funktsiooni u ja v ning mõlemad on diferentseeruvad argumendil x. Kui on taas vaja leida nende korrutise integraal, siis alustame sama ideega: võtame tuletise korrutisest: (uv)' = u' v + uv' Nüüd teeme pöördtehte ja integreerime neid rajades a-st b-ni: b b b (uv)' dx = u ' v dx + uv'dx
∫¿ ∫ f ( x ) dx ∓ ∫ g ( x ) dx a f ( x ) dx=¿ ∫¿ ∫ a f ( x ) dx , kus a on konstant 1 Kui ∫ f ( x ) dx = F + C ja a,b on konstandid, siis ∫ f ( ax+ b ) dx = a F(ax+b) + C 28. Kirjeldada asendusvõtet määramata integraali avaldamisel. Esitada ositi integreerimise valem määramata integraali jaoks (tuletada pole vaja). Vaatleme määramata integraali ∫ f ( x ) dx . Integraali avaldamisel asendusvõttega tehakse selle integraali all muutuja vahetus. Selleks valitakse mingi funktsioon u = ϕ(x) ja integreerimine muutuja x järgi asendatakse integreerimisega muutuja u järgi Eeldame, et ϕ on üksühene ja diferentseeruv. Tähistame funktsiooni ϕ pöördfunktsiooni ψ-ga
Kui f(x) ja F(x) on integreeruvad punktis f(x) siis L1. Määratud integrali lineaarsuse omadused: 2.2 Määramata integraalide tabel 1.. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. x(-1;1) T.19 y=arshx x=shy . 2.3 Muutujate vahetus määramata integraalis F'(x)=f(x) (xX). x=(t). L1. (t)D(a,b) C[a,b] ja ka rangelt monotoonne Järeldus. . N. 2.4 Ositi integreerimine u=u(x), v=v(x), xX. d(uv)=(uv)'dx=u'vdx+uv'dx. d(uv)=vdu+udv. L. Kui funktsioonid u=u(x) ja v=v(x) ja u(x)*v(x) on diferentseeruvad hulgal xX, siis peab paika väide N. N. 2.5 Polünoomi lahutamine teguriteks Olgu .Kõik arvulised kordajad. Olgu polünoomi kompleksarvuline nullkoht. Seega Pn()=0. Ja kui see on nii, siis kehtib ka võrdus .Summa kompleks . Kui see polünoom on reaalsete kordajatega ja võrrandil Pn(x)=0 on lahendiks , siis tema lahendiks on ka
Kui y teine tuletis on väiksem kui 0 siis on kumer aka SAD face. 25) Funktsiooni globaalsed ekstreemumid. 26) Newtoni meetod http://www.mathema.ee/mathematica/ptk7/ptk7.htm osa 2.2 27) Algfunktsioon ja määramata integraal. 28) Integreerimise põhivalemid. 29) Tehetega seotud integreerimisreeglid. 30) Muutujate vahetus määramata integraalis. Muutujate vahetuse valem: For more information go to porns lecture nr 11 31) Ositi integreerimine. For more information go to porns lecture nr 11 32) Määratud integraal. 33) Tasandilise kujundi pindala. 34) Pöördkeha ruumala. 35) Määratud integraali ligikaudne arvutamine.
Määramata integraal ja selle omadused. 24. Integraalarvutuse põhiteoreem (tõestusega). 25. Ositi integreerimine ja muutuja vahetus Kuna eksisteerivad piirväärtused Võtame piirväärtuse, kui n ja , siis (tõestusega). 26. Ratsionaalfunktsioonide integreerimine. max xi0 ; max xi0 27
Selleks valitakse mingi funktsioon u = (x) ja integreerimine muutuja x j¨argi asendatakse integreerimisega muutuja u j¨argi. Eeldame, et on u¨ksu¨hene ja diferentseeruv. T¨ahistame funktsiooni p¨o¨ord- funktsiooni -ga. Seega x = (u) Paneme kirja funktsiooni tuletise diferentsiaalide jagatisena: dx/ du = '(u). Korrutades seda v~ordust du-ga saame dx = '(u)du. Kasutades valemeid asendame x ja dx integraali all. Saame avaldise f(x)dx = f[(u)] '(u)du. Tuletada ositi integreerimise valem määramata integraali jaoks. Olgu u = u(x) ja v = v(x) kaks diferentseeruvat funktsiooni. Paneme kirja nende korrutise diferentsiaali avaldise d(uv) = vdu + udv. Integreerime seda avaldist. Saame d(uv) =vdu +udv. Kuna d(uv) = uv + C integraalide tabeli valemi 1 p~ohjal, siis uv + C = vdu + udv. Konstandi C v~oib sellest valemist v¨alja j¨atta, sest m~olemad m¨a¨aramata integraalid udv ja vdu sisaldavad juba m¨a¨aramata konstante
kuid käsundiandja oluliseks lepingu- arvel, samuti rikkumiseks. käsundiandja poolt Võimalik on alati kokku käsundisaajale käsundi leppida ka töö täitmiseks üleantud üleandmine ositi ning nõuded ja vallasasjad ei ka tasu maksmine ositi. kuulu käsundisaaja pankrotivarasse ja neile ei saa pöörata sissenõuet täite- menetluses käsundi-
ei saa pöörata sissenõuet lepingurikkumiseks. täitemenetluses Võimalik on alati käsundisaaja vastu. kokku leppida ka töö -Teenuste vastuvõtmine üleandmine ositi ning ja üleandmine toimub ka tasu maksmine ositi. Poolte poolt allkirjastatava Teenuste üleandmise- vastuvõtmise akti alusel, mille
' F ( x ) =f (x ) saame seose ' [ 1 a ]1 a ' 1 1 F ( ax +b ) +C = [ F ( ax+ b ) ] = F ' ( ax +b )( ax +b )' = F' ( ax+ b )a=f ( ax+b) a a 35. Kirjeldada asendusvõtet määramata integraali avaldamisel. Tuletada ositi integreerimise valem määramata integraali jaoks. Kirjeldada asendusvõtet määramata integraali avaldamisel Vaatleme määramata integraali f ( x ) dx Integraali avaldamisel asendusvõttega tehakse selle integraali all muutuja vahetus. Selleks valitakse mingi funktsioon u=( x) ja integreerimine muutuja x järgi asendatakse integreerimisega muutuja u järgi. Eeldame, et on üksühene ja diferentseeruv. Tähistame funktsiooni pöördfunktsiooniga -ga. Seega
(homogeensus). Määramata integraal on lineaarne operaator, st = + ja/või =c (c ). 2. Näidata, et määramata integraal on lineaarne operaator. Operaatorit L:V W nimetame lineaarseks kui on täidetud tingimused: 1° L(f+g) = L(f) + l(g) kui f,g (aditiivsus) 2° L(cf) = cL(f) kui f V ja c (homogeensus) Määramata integraal on lineaarne operaator, st +g(x)dx= f(x)dx+ g(x)dx 3. Ositi integreerimine määramata integraalis. Valemi tuletamine. *Kui u(x) ja v(x) on differentseeruvad funktsiooni hulgal X ja eksisteerib määramata integraal , siis eksisteerib kindlasti ka määramata integraal . Tõestus: Olgu u(x) ja v(x) differentseeruvad funktsioonid hulgal X. Kuna . Eeldades, et eksisteerib , on võimalik võtta viimase seose mõlemast poolest määramaa integraal
= ln |2x2 + 2x| 1 = 0, 5[ln(32 + 8) - ln(2 + 2)] = 0, 5 ln 1, 15. 2 4 dt M.v. t = 2x2 + 2x, dt = (4x + 2)dx, dx = . 2(2x + 1) 7. Leida integraalid (ositi integreerimisega) (2p): ln x x sin(2x)dx, dx. 0 x3 Lahendus. 5 pi pi
võrdusest saame seose G = F +C, mis näitab, et G ikkagi avaldub kujul F + C. Jõudsime vastuolule. Teoreem on tõestatud. Määramata integraali mõiste. Funktsiooni f algfunktsioonide üldavaldist F(x)+C, kus C on konstant, nimetatakse funktsiooni f määramata integraaliks ja tähistatakse f(x)dx. Seega definitsiooni kohaselt f(x)dx = F(x) + C , C - konstant . Geomeetriline sisu 34. Integraalide tabel 35. Kirjeldada asendusvõtet määramata integraali avaldamisel. Tuletada ositi integreerimise valem määramata integraali jaoks. Vaatleme määramata integraali (5.2) Integraali (5.2) avaldamisel asendusvõottega tehakse selle integraali all muutuja vahetus. Selleks valitakse mingi funktsioon u = (x) ja integreerimine muutuja x järgi asendatakse integreerimisega muutuja u järgi. Eeldame, et on üksühene ja diferentseeruv. Tähistame funktsiooni pöördfunktsiooni
8. Funktsiooni tuletis. Liitfunktsioon. Tuletise geomeetriline tähendus. Kõrgema järku tuletised. Diferentsiaal. · y'= f '(xn) Fuktsiooni tuletis on joone y=f(x) tõus punktis M0 (x0; y0) · y= f(u), kus u = g(x) Diferentsiaal funktsioonide tuletiste leidmine 9. Funktsiooni uurimine 10. L Hospitali reegel (piirväärtuse leidmine) 11. Määramata integraal (defenitsioon, omadused), arvatamine, muutuja vahetuse ja ositi integreerimise abil. 12. Määratud integraal. Neuwtoni-Leibnitzi valem. Rakendused
annaabi.ee 
