punktid A ja B kaasa arvatud. Seda lõiku tähistatakse AB.[1] Punkte A ja B nimetatakse lõigu otspunktideks. Jordani maatriks- Jordani maatriksiks nimetatakse blokk- diagonaalset maatriksit, mis koosneb Jordani kastidest. Jordani kastiks nimetatakse ruutmaatriksit, mille kõik peadiagonaali elemendid on võrdsed, vahetult peadiagonaali kohal asuvad elemendid on ühed, ent ülejäänud elemendid on nullid. · Lemma- Lemma ehk abiteoreem on teoreem, millel pole küll iseseisvat tähtsust, kuid mis osutub vajalikuks vaadeldava matemaatilise teooria mõne teise teoreemi sõnastamisel. · Fundamentaaljada- Fundamentaaljadaks ehk Cauchy jadaks nimetatakse jada vn, mille elemendid teineteisele indeksi n kasvades lõputult lähenevad. · Hüpotenuus- Hüpotenuus on täisnurga vastaskülg täisnurkses kolmnurgas; ka selle külje pikkus
Teemad: I loeng: 1) Ikoonilised, indeksilised ja sümbolilised märgid. Diagramm 2) Sõnavara: leksikon, lekseem, lemma. Sõnaliigid (Iseseisev töö neile, kes loengusse tulla ei saa: Fred Karlsson ,,Üldkeeleteadus", lk 29-30. M. Ehala "Eesti keele struktuur", II trükk 17-24), Fred Karlsson ,,Üldkeeleteadus", lk 214-225) Ikoonilised, indeksilised ja sümbolilised märgid I Inimliigi ehk kõige suuremaks erinevuseks loomariigist on võime luua sümbolisüsteeme, üks selline on keel. Seega: anname infot edasi sümbolitega.
Operaatori abil (*)-arvutatavatest funktsioonidest saadud funktsioonide (*)-arvutatavus Tallinn 2014 Sissejuhatus Käesolevas referaadis keskendume operaatori abil saadud funktsioonide (*)-arvutatavusele, need funktsioonid on osaliselt rekursiivsed. Selleks, et uurida selliseid protsesse toome sisse vajalikud mõisted ja definitsioonid ning tõestame lemma, mis tõestab, et (*)-arvutatavatest funktsioonidest operaatori abil saadud funktsioonid on samuti (*)-arvutatavad. Anname ka sellise teoreemi tõestamise idee, mis ütleb, et iga osaliselt rekursiivne funktsioon on Turingi mõttes arvutatav ehk antud juhul (*)-arvutatav. 1. Osaliselt rekursiivsed funktsioonid. Operaatori µ abil saadud funktsioonide (*)-arvutatavus. Enne põhiosa juurde asumist toome sisse mõned vajalikud definitsioonid. Definitsioon 1.1
2) [ ] (induktsiooni samm) Liitmise assotsiatiivsus Naturaalarvude liitmine on assotsiatiivne: [ + ( + ) = ( + ) + ] Tõestus: Kahe välimise üldisuse kvantori jaoks kasutame otsese tõestamise taktikat. Tähistagu ja suvalisi naturaalarve. Piisab, kui tõestame [ + ( + ) = ( + ) + ] Kasutame siin üldisuse kvantoriga väite tõestamiseks induktsiooni muutuja z järgi. Siis on vaja tõestada: o Lemma 1.1 + ( + 0) = ( + ) + 0 (baaslemma) o Lemma 1.2 [( + ( + ) = ( + ) + ) ( + ( + ) = ( + ) + )] (sammulemma) Lemma 1.1 tõestuseks rakendame kummalgi pool aksioomi P3: Vasak pool: + ( + 0) = + , Parem pool: ( + ) + 0 = + . Järelikult on vasak ja parem pool tõepoolest võrdsed. Lemma 1.2 tõestus. Üldisuse kvantoriga lemma 1.2 tõestamiseks tähistagu c suvalist naturaalarvu. Peame tõestama ( + ( + ) = ( + ) + ) ( + ( + ) = ( + ) + )]
{0,é1, é2}. Et p1 ja p2 on üheselt määratud, siis r1=r2=(p12+p22). Jääb üle jäidata, et 1= 2 . Kuna sin funktisioon võib 2 jooksul omada mitu korda sama väärtust, siis sellest ei piisa, cõtame appi cos'nuse. Suurused p1/( p12+p22) ja p2/( p12+p22) on sammuti üheselt määratud. Et vahemikus [0, 2) ei saa olla kahte erinevat nurka mille sinused võrrduksid cosinustega, järelikult peab 1= 2. Seega on poolusest erineva punkti polaarkoordinaadid üheselt määratud. 9. (lemma 9.2)Teist järku joone keskpunkt K poolitab joone iga punkti K läbiva kõõlu. tõestus: Teist järku joone diameetri kõik punktid kuuluvad samale sirgele. Tõestus: Ogu antud teist järku joon : a11x12+2a12x1x2+a22x22+2a1x1+2a2x2+a0 , selle keskpunkt K ja keskpunkti K läbiv kõõl AB. Siis A,B ja K on samal sirgel. Et AB on kõõl, siis ükski lõigul AB punk A ja B vahel ei saa kuuluda. Tuleb näidata, et AK ja KB on võrdse pikkusega. Oletame vastuväiteliselt, et |KB|<|KA|
𝑎 𝑢 ≠0 5 Algebraic degree is one of the most important properties of Boolean functions, when it comes to cryptography. One of the basic requirements relative to the Boolean functions used in stream ciphers is that they allow to increase the linear complexity, which is obtained if these functions have a high algebraic degree.[7] Lemma 2.1. The weight of a Boolean function 𝑓 over 𝔽𝑛2 is an odd number if and only if deg 𝑓 = 𝑛. Theorem 2.1. If a Boolean function𝑓 of 𝑛 variables has a degree of deg 𝑓 = 𝑑 > 1 , then the following inequality stands correct: 2𝑛−𝑑 ≤ 𝑤𝑡(𝑓) ≤ 2 𝑛 − 2𝑛−𝑑 Proof. Let 𝑥𝑖1 𝑥𝑖 2 … 𝑥𝑖 𝑑 be the monomial with the highest degree enclosed in the ANF of function𝑓. Let
mille esimeseks reaks on omakorda substitutsioon j1 , j2 , ... , jn . Kui paar ik , il ( k < l ) moodustab inversiooni substitutsioonis i1 , i2 , ... , in , siis ik > il ja seetõttu paar l, k moodustab inversiooni substitutsioonis j1 , j2 , ... , jn . Nii tekib üksühene vastavus substitutsioonide i1 , i2 , ... , in ja j1 , j2 , ... , jn inversioone moodustavate paaride vahel. Seega kehtib Lemma 1. Kui i1 , i2 , ... , in on n-ndat järku substitutsioon ja substitutsioon j1 , j2 , ... , jn on saadud substitutsioonist i1 , i2 , ... , in äsja kirjeldatud viisil, siis ( i1 , i2 , ... , in ) = ( j1 , j2 , ... , jn ) . Näide 4. Vaatleme näites 2 esinevat neljandat järku substitutsiooni 4, 1, 3, 2. Siin 1 2 3 4 ^ 2 4 3 1
Matemaatilise analüüsi teine teooria KT 18. Esitada funktsiooni muut diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? Tõestada ei ole vaja. 19. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid. Sõnastada Fermat' lemma (tõestust ei küsi). Funktsioon peab olema määratud punkti ümbruses. Absoluutseid ekstreemume ei tohi segi ajada lokaalsete ekstreemumitega (aboluutse ekstreemumi puhul ei pea olema funktsioon punkti ümbruses määratud). Funktsiooni graafiku puutuja selles punktis on paralleelne x-teljega (ehk tuletis on null). 20. Kõrgemat järku tuletiste definitsioonid. 21. Funktsiooni Taylori polünoomi valem (tuletada pole vaja). Millal nimetatakse Taylori polünoomi McLaurini polünoomiks
Nii me näitasime, et Tähistades ja vahe järgmiselt Kehtib võrratus: Et avaldada väärtust kaudu peame kõigepealt avaldama suhte: Korrutades saadud avaldist saame: kus Nüüd näemegi, et koosneb kahest liidetavast, mis kahanevad piirprotsessis Võrdleme neid suuruseid suhtes: Lisaks kehtib veel: · Diferentsiaali omadused: 1. 2. 3. 4. 5. 3. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid. Sõnastada Fermat' lemma. · Funktsiooni lokaalne maksimum Funktsioonil on punktis lokaalne maksimum, kui: a) Funktsioon on määratud mingis ümbruses ( b) Igal puhul kehtib võrratus · Funktsiooni lokaalen miinimum Funktsioonil on punktis lokaalne miinimum, kui: a) Funktsioon on määratud mingis ümbruses b) Iga puhul kehtib võrratus Lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse funktsiooni lokaalseteks ekstreemumiteks.
- . . jano pani + P . heitii niitii . . - lemma paoli + P . . . . kylmoi holla e- P . VERBITSYPIT k -
S. Poole (toim.). Communication and Group Decision Making. 2nd ed. United States of America: SAGE Publications, 269-300 p. Pace, R.W., Faules, D.F. Organizational Communication. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, Inc. 1994, 386 p. Past, A. (2009). Too oma meeskond ühte paati. Sisekommunikatsioon ettevõtetes ja organisatsioonides. Nurga, A. (toim.) Tallinn: Äripäeva. Vos, M. & H. Schoemaker. (1999). Integrated Communication: Concern, internal and marketing communication. Ultrecht: LEMMA BV Vos, M. & H. Schoemaker (2001) Integrated communication: Concern, internal and marketing communication. 2nd ed. Utrecht: Lemma Publishers. Äripäeva kommunikatsiooni käsiraamat. (2012). Tallinn: Äripäeva Kirjastus
Tõestada ei ole vaja. = + , kus = Mõlemad liidetavad on lõpmatult kahanevad protsessis 0. Diferentsiaal on sama järku lõpmatult kahanev suurus kui ja teine liidetav on kõrgemat järku lõpmatult kahanev suurus suhtes. Kehtib ligikaudne valem kui 0. 19) Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid. Sõnastada Fermat' lemma (tõestust ei küsi). Öeldakse, et funktsioonil on punktis lokaalne maksimum, kui 1. Funktsioon on määratud punkti mingis ümbruses - , + ; 2. Iga - , + korral kehtib võrratus . Öeldakse, et funktsioonil on punktis lokaalne miinimum, kui 1. Funktsioon on määratud punkti mingis ümbruses - , + ; 2. Iga - , + korral kehtib võrratus .
KT 2, MAT. ANALÜÜS 18. Esitada funktsiooni muut diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu ∆x suhtes, kui ∆x läheneb nullile? Tõestada ei ole vaja. ∆y = f’(a)∆x + β Diferentsiaal ja jääkliige on lõpmatult kahanevad protsessis ∆x → 0. 19. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid. Sõnastada Fermat’ lemma (tõestust ei küsi). Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 − ɛ, x1 + ɛ); 2. iga x ∈ (x1 − ɛ, x1 + ɛ) korral kehtib võrratus f(x) ≤ f(x1). Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne miinimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 − ɛ, x1 + ɛ); 2
.., ~Mn, siis need jõupaarid võib asendada ühe jõupaariga mille moment on ~M1=~Mk. Jõupaaride süsteemi tasakaal. (*Kuna jõupaaride süsteem on ekvivalentne ühe jõupaariga, siis jõupaaride süsteemi tasakaaluks peab selle jõupaari moment M võrduma nulliga.* Resultantjõupaari momendi võrdumine nulliga keha tasakaaluks jõupaaride süsteemi mõjul tarvilik ja piisav. ~M=0 => M= 0=> Mx=0, My=0, Mz=0 => Mkx=0, Mky=0, Mkz=0.) 16. Jõusüsteemi taandamine. Lemma jõu paralleelsest ülekandmisest (Lemma: Igat jäigale kehale mõjuvat jõudu võib paralleelselt üle kanda mistahes uude rakenduspunkti kui kehale rakendada lisaks veel jõupaar, mille moment on võrdne ülekantava jõu momendiga tema uue rakenduspunkti suhtes.) Peavektor. ( ~F=~F`=~F - seda jõudu nimetatakse peavektoriks; Peavektor on jõusüsteemi invariant) Taandamistsenter. ( Valitud punkti O nimetatakse taandamistsentriks) Jõusüsteemi invariant. ( Jõusüsteemiga seotud suurusi, mis
• leksikaalsed morfeemid (tüved ja tuletusliited) • leksikaalsed sõnad e. lekseemid • sõnade püsiühendid (neidki loetakse lekseemideks) Lekseem, semeem Lekseem võib olla • lihtne: jalg • tuletatud: -jalg/ne • liitne: lauajalg = laua + jalg • mitmest sõnast koosnev: jalga laskma ’põgenema’ Igasse lekseemi kuulub vähemalt üks tähenduskomponent e. semeem. Polüseemia korral kuulub ühte lekseemi rohkem semeeme. Lemma ja lemmatiseerimine • Terminiga lekseem rööpselt kasutatakse ka terminit lemma (< kr. ‘aluseks võetu, eeldatu'). Lemma tähistab kokkukuuluvate sõnavormide hulka. • Lemmatiseerimine: kokkukuuluvad sõnavormid viiakse ühe lemma (algvormi) alla. Paralekseem Tekstis realiseerub lekseem alati mingi konkreetse sõnavormina. Viimaseid nimetatakse leksikaalses semantikas ka paralekseemideks (< kr. para ' kõrval, juures').
..,qn läbimata. Hulk R0 ij = {a∈Σ | qj ∈ δ(qi ,a)} on lõplik ja seega esitatav regulaarse avaldisega. Oletame, et Rk ij on esitatav regulaarse avaldisega, siis on seda ka hulk Rk+1 ij = Rk ij ∪ Rk ik (Rk kk)* Rk kj Induktsioonireegli kohaselt on siis regulaarse avaldisega esitatav ka hulk Rij = Rn+1 ij, samuti ka L(M) = U {Rij | qi on algolek, qj on lõppolek}. 5 Keele regulaarsuse tarvilik tingimus (pumpamise lemma). Kui L on regulaarne keel, siis leidub konstant p, nii et iga sõne z ∈ L, |z| > p (sõnes on rohkem kui p tähte) on jaotatav kolmeks alamsõneks z = uvw, nii et |v| > 0 (keskmine osa pole tühi) ja uvjw ∈ L iga j = 0,1,2,... korral. T: Olgu L = L (M ), kus M = (Q , Σ, δ , Q0 , F ) ja Q = {q0 ,1 , . . . , qn }. Valime p = n. Siis sõne z = a1a2...an+1 aktsepteerimiseks peab automaat M tegema n+1 sammu. Järelikult vähemalt 1 olek peab korduma
varasematel sammudel juba leitud lühimad ahelad i … k ja k … j ning otsitav lühim ahel leitakse seega üles k-ndal sammul. Tõestus o Korrektsuse teoreemi võib sõnastada nii: Iga n korral kehtib: kui n on graafi tippude arv, siis Floyd-Warshalli algoritm annab etapi n tulemuseks maatriksi, kus aij on lühima tee pikkus tipust i tippu j . Sisemise väite tõestamiseks asendame ta parameetrist k sõltuva väitega: o Lemma. Etapi k (0kn) järel on aij lühima sellise tee pikkus, kus tipust i tippu jliikumiseks võib läbida vahetippe 1, … , k . Selge, et k = n puhul saame siit algoritmi korrektsuse. 45 Lemma 1 tõestame induktsiooniga k järgi. o Lemma. Etapi k (0kn) järel on aij lühima sellise tee pikkus, kus tipust i tippu j liikumiseks võib läbida vahetippe 1, … , k .
on kõrgemat järku lõpmatult kahanev suurus x suhtes. Järelikult väikese x korral hakkab diferentsiaal funktsiooni muudu avaldises domineerima. Seetõttu võime lugeda diferentsiaali dy funktsiooni muudu peaosaks. Jääkliikme võib väikese x korral funktsiooni muudu avaldises ära jätta. Kehtib ligikaudne valem y dy kui x 0 . 21. FUNKTSIOONI LOKAALSETE EKSTREEMUMITE DEFINITSIOONID. Sõnastada Fermat' lemma Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 - , x1 + ); 2. iga x (x1 - , x1 + ) korral kehtib võrratus f(x) f(x1). Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne miinimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 - , x1 + ); 2. iga x (x1 - , x1 + ) korral kehtib võrratus f(x) f(x1). Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni
nullile? 19. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid. Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum kui: funktsioon on määratud punkti x1 mingi ümbruses ( ; ) ja iga x ( ; ) korral kehtib võrratus f(x) f(x 1). Öeldakse et funktsioonil on punktis x1 lokaalne miinimum kui: funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses ( ; ) ja iga x kuulumisel ümbrusesse korral kehtib võrratus f(x) f(x1) Sõnastada Fermat' lemma . Kui funktsioonil on punktis x1 lokaalne ekstreemum ja funktsioon on selles diferentseeruv, siis f´(x1)=0 20. Kõrgemat järku tuletiste definitsioonid. Funktsiooni y=f(x) n-järku tuletiseks nimetatakse selle funktsiooni n-1 järku tuletise tuletist ja tähistatakse f(n). 21. Funktsiooni Taylori polünoomi valem. Millal nimetatakse Taylori polünoomi McLaurini polünoomiks? Taylori polünoomi nimetatakse mcLaurini polünoomiks, kui a=0 22
poolsaar Kanadas. 3. Luger <9: -i> <2e: -i> lugemisprojektor. automaatseade info sisestamiseks andmekandjalt; seade digiraamatute lugemiseks. 4. Lemma <7> MAT abiteoreem. <12> MAT abiteoreem; KEEL (arvutilingvistikas) sõna algvorm. 5. Letra <8> templett, surutäht Andmed puuduvad. vm surumärk (plastlehe küljest paberile surutav). 3. Võõrsõnade leksikonist ja ÕS 2013-st valitud sõnade definitsiooni võrdlus
muudu avaldises domineerima. Seetõttu võime lugeda diferentsiaali dy funktsiooni muudu peaosaks. jääkliikme võib väikese x korral funktsiooni muudu avaldises ära jätta. Kehtib ligikaudne valem y dy kui x 0 . Diferentsiaali omadused. 1. d(u + v) = du + dv, 2. d(u - v) = du - dv, 3. d(uv) = vdu + udv, 4. d(Cu) = Cdu , C - konstant, 5. d() = kui v 0. 24. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid. Sõnastada ja tõestada Fermat' lemma. Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 - , x1 + ); 2. iga x (x1 - , x1 + ) korral kehtib võrratus f(x) f(x1). Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne miinimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 - , x1 + ); 2. iga x (x1 - , x1 + ) korral kehtib võrratus f(x) f(x1). Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni
1. funktsioon f on m¨a¨aratud punkti x1 mingis u¨mbruses (x1 - ²,x1 + ²); 2. iga x (x1 - ²,x1 + ²) korral kehtib v~orratus f(x) f(x1). ¨ Oeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne miinimum, kui 1. funktsioon f on m¨a¨aratud punkti x1 mingis u¨mbruses (x1 - ²,x1 + ²); 2. iga x (x1 - ²,x1 + ²) korral kehtib v~orratus f(x) f(x1). Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funkt- siooni lokaalseteks ekstreemumiteks. Sõnastada ja tõestada Fermat' lemma. Kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne ekstreemum ja funktsioon on diferentseeruv selles punktis, siis f'(x1) = 0. T~oestus. Vaatleme juhtu, kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum. Siis, vastavalt lokaalse maksimumi definitsioonile, leidub punkti x1 u¨mbrus nii, et iga x korral sellest u¨mbrusest kehtib v~orratus f(x) - f(x1) 0 Selles u¨mbruses asuva arvu x me saame v~otta punktist x1 nii vasakult kui ka paremalt. Asugu x punktist x1 vasakul. Siis x - x1 < 0
1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 - , x1 + ); 2. iga x (x1 - , x1 + ) korral kehtib võrratus f(x) f(x1). Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne miinimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ¨umbruses (x1 - , x1 + ); 2. iga x (x1 - , x1 + ) korral kehtib v~orratus f(x) f(x1). Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni lokaalseteks ekstreemumiteks. Fermat' lemma. Kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne ekstreemum ja funktsioon on diferentseeruv selles punktis, siis f(x1) = 0. Rolle'i teoreem. Kui funktsioon f on lõigul [a, b] pidev, vahemikus (a, b) diferentseeruv ja rahuldab tingimust f(a) = f(b), siis leidub vahemikus (a, b) vähemalt üks punkt c nii, et f(c) = 0. Rolle'i teoreemil on lihtne geomeetriline sisu. See on järgmine. Nimelt teoreemi eeldustel on funktsiooni y = f(x) graafik sile joon, mille otspunktid
sometimes referred to as phonotypical forms. Wells, J.C. 1999. Phonetic transcription and analysis. Available at https://www.phon.ucl.ac.uk/home/wells/transcription-ELL.pdf, accessed January 19, 2016. Lyons, John. 1981. Language and Linguistics. Available at https://books.google.ee/books/about/Language_and_Linguistics.html?id=8Wg57a3DdYYC, accessed January 19, 2016 World Heritage Encyclopedia & Project Gutenberg. 2016. Lemma (Morphology). Available at http://self.gutenberg.org/articles/lemma_(morphology), accessed January 19, 2016. DIPHTHONGS Origin: Late Middle English: from French diphtongue, via late Latin from Greek diphthongos, from di- 'twice' + phthongos 'voice, sound'. A diphthong is a special kind of vowel sound. Most vowel sounds in English are made with the mouth in one position and with one pure sound. These vowel sounds are called monophthongs
Vaatleme nüüd võrrandit (12.3) Asendame Siis saame teise tuletise asendada Võrrandi (12.3) teisendub esimest järku võrrandiks u suhtes (12.4) 13. Lineaarne teist järku dif.võr ja selle lahendite omadused. Def 13.1 Teist järku lineaarne dif.võr on lineaarne lahendi ja selle tuletise suhtes. (13.1) Jagades võrrandi a(x)-ga saame lihtsama kuju (13.1)' ; ; Võrrandit, mille parem pool võrdub nulliga nim homogeenseks. (13.2) y=0 Lemma 13.1 Kui y1(x) ja y2(x) on kaks homogeense lin.võrrandi (13.2) lahendit, siis ka on samuti selle võrrandi lahend Tõestus 13.1 Tõepoolest Asendades võrrandis (13.2) saadus avaldisega saame: Lemma 13.2 Mittehomogeense võrrandi (13.1)' üldlahend koosneb homogeense võrrandi (13.2) üldlahendist ja mittehomogeense võrrandi . (13.3) Tõestus 13.2 Olgu homogeense lineaarse võrrandi üldlahend, mis rahuldab võrrandit Ja millest kõigi algtingimuste
Seetõttu võime lugeda diferentsiaali dy funktsiooni muudu peaosaks. Jääkliikme β võib väikese ∆x korral funktsiooni muudu avaldises ära jätta. Kehtib ligikaudne valem ∆y ≈ dy kui ∆x ≈ 0. Loetleda diferentsiaali omadused. 1. d(u + v) = du + dv, 2. d(u − v) = du − dv, 3. d(uv) = vdu + udv, 4. d(Cu) = Cdu, C − konstant, 5. d(u/ v)= (vdu−udv)/ v2 kui v 0. 24. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid. Sõnastada ja tõestada Fermat’ lemma. Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 − Ɛ²,x1 +Ɛ ²); 2. iga x ∈ (x1 − Ɛ²,x1 +Ɛ ²) korral kehtib võrratus f(x) ≤ f(x1). Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne miinimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 − Ɛ²,x1 +Ɛ ²); 2. iga x ∈ (x1 − Ɛ²,x1 +Ɛ ²) korral kehtib võrratus f(x) ≥ f(x1).
a ümbruses. Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni lokaalseteks ekstreemumiteks. Kui x a, siis kehtib ligikaudne valem f(x)P_n (x). Fermat' lemma - Kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne ekstreemum ja funktsioon on diferentseeruv selles punktis, siis Kui a = 0, siis nimetatakse Taylori poünoomi ka McLaurini polünoomiks. Seega on funktsiooni f(x1) = 0
. . . . . . . . . . . . . 79 3.5.5 Antud vahemikus ühtlaselt pidevad funktsioonid . . . . . . . . . . . . . . . 80 3.6 Pidevate funktsioonide lähendamine trepp- ja tükiti lineaarsete funktsioonidega . . . . 81 3.6.1 Lähendamine treppfunktsioonidega . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 3.6.2 Lähendamine tükiti lineaarsete funktsioonidega . . . . . . . . . . . . . . . . 82 3.7 Heine-Boreli lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3.7.1 Heine-Boreli lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3.7.2 Bolzano–Cauchy teoreemide tõestus Heine-Boreli lemma abil . . . . . . . . . 84 3.7.3 Weierstrassi teoreemide tõestus Heine–Boreli lemma abil . . . . . . . . . . . 85 3.7.4 Cantori teoreemi tõestus Heine–Boreli lemma abil . . . . . . . . . . . . . . 85
a. Funktsiooni muudu esitus diferentsiaali ja jääkliikme summana b. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile?(Tõestada) c. Loetleda diferentsiaali omadused c.1. c.2. c.3. c.4. c.5. 24. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid.Sõnastada ja tõestada Fermat' lemma. a. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid a.1. Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x lokaalne miinimum, kui a.1.1. Funktsioon f on määratud punkti x mingis ümbruses a.1.2. Igakorral kehtib võrratus; a.2. Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x lokaalne miinimum, kui a.2.1. Funktsioon f on määratud punkti x mingis ümbruses a
Definitsioon. Lokaalne maksimum: Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 - , x1 + ); 2. iga x (x1 - , x1 + ) korral kehtib võrratus f(x) f(x1). Definitsioon. Lokaalne miinimum: Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne miinimum, kui 1.funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 - , x1 + ); 2. iga x (x1 - , x1 + ) korral kehtib võrratus f(x) f(x1). 9. Fermat' lemma (tõestusega). Teoreem. Kui funktsioonil y = f(x) on punktis x1 lokaalne ekstreemum ja funktsioon on diferentseeruv selles punktis, siis f'(x1) = 0. Tõestus: 10. Rolle'i teoreem (tõestusega). Teoreem. Kui funktsioon y = f(x) on lõigul [a, b] pidev, vahemikus (a, b) diferentseeruv ja rahuldab tingimust f(a) = f(b), siis leidub vahemikus (a, b) vähemalt üks punkt c nii, et f'(c) = 0. Tõestus: Kuna f(x) on pidev lõigul [a, b], siis saavutab ta oma suurima ja vähima väärtuse
viii. Lisaks kehtib veel: a.ix. Nüüd teame,et diferentsiaal dy on sama järku kahanev suurus ja kõrgemat järku kahanev suurus suhtes. Järelikult võimalikult väikse väärtuse korral hakkab diferentsiaal avaldises domineerima. a.x. Kehtib võrratus: , kui b. Diferentsiaali omadused: c. 2. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid. Sõnastada ja tõestada Fermat' lemma. a. Öeldakse et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum, kui: a.i. Funktsioonil f on määratud punkt x1 mingis ümbruses (x1-, x1+ ) a.ii. Iga x (x1-, x1+ ) korral kehtib võrratus f(x) f(x1) b. Öeldakse et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne miinimum, kui: b.i. Funktsioonil f on määratud punkt x1 mingis ümbruses (x1-, x1+ ) b.ii. Iga x (x1-, x1+ ) korral kehtib võrratus f(x) f(x1) c
Oeldu p~ohjal v~oime leida algebralise t¨aiendi (4.2) ka valemi An-m = (-1)l Mn-m . (4.3) abil. Kokkuv~ottes me leiame algebralise t¨aiendi kas valemi (4.2) v~oi (4.3) abil olenevalt sellest kas kergem on leida k v~oi l. Lause 4.1. Miinori Mm ja tema algebralise t¨ aiendi An-m korrutis Mm An-m koosneb liidetavatest, mis on osa determinandi |X| avaldise (3.1) liidetavatest. T~oestus. T~oestame lemma esmalt erijuhul, kui miinor Mm asub maatriksis X priviligeeritud kohal, s.o. loodenurgas. Seega i1 = 1, i2 = 2, . . . , im = m; j1 = 1, j2 = 2, . . . , jm = m. Valemi (3.1) abil saame x11 x12 . . . x1m x21 x22 . . . x2m Mm = = ..................... xm1 xm2 . . . xmm
Oeldu p˜ohjal v˜oime leida algebralise t¨aiendi (4.2) ka valemi An−m = (−1)l Mn−m . (4.3) abil. Kokkuv˜ottes me leiame algebralise t¨aiendi kas valemi (4.2) v˜oi (4.3) abil olenevalt sellest kas kergem on leida k v˜oi l. Lause 4.1. Miinori Mm ja tema algebralise t¨ aiendi An−m korrutis Mm An−m koosneb liidetavatest, mis on osa determinandi |X| avaldise (3.1) liidetavatest. T˜oestus. T˜oestame lemma esmalt erijuhul, kui miinor Mm asub maatriksis X priviligeeritud kohal, s.o. loodenurgas. Seega i1 = 1, i2 = 2, . . . , im = m; j1 = 1, j2 = 2, . . . , jm = m. Valemi (3.1) abil saame x11 x12 . . . x1m x21 x22 . . . x2m Mm = = ..................... xm1 xm2 . . . xmm
Erijuhul, kui I on l˜oplik ja I = {1, 2, . . . , n}, on topoloogi- liste ruumide (Xi , Ti ), i ∈ I, otsekorrutise X = X1 × · · · × Xn topoloogia T baasiks ruumide Xi lahtiste hulkade Ai ∈ Ti otsekorrutised A1 × · · · × An . Kui Bi (xi ) on punkti xi ∈ Xi u ¨mbruste baas, siis punkti x = (x1 ; . . . ; xn ) u ¨mbruste baas on B(x) = { U1 × . . . × Un | U1 ∈ B1 (x1 ), . . . , Un ∈ Bn (xn ) }. Meetriliste ruumide otsekorrutise vaatlemiseks t˜oestame Lemma 5.1 Mis tahes reaalarvude a1 , . . . , an , b1 , . . . , bn jaoks kehtib v˜orratus n n n 2 ( ai b i ) ≤ ( a2i ) ·( b2i ). (5.4) i=1 i=1 i=1 T˜oestus. Vaatleme funktsiooni n n n n
7. Determinandi arendamine rea (veeru) järgi. Vaatleme teise meetodi determinandi arvutamiseks. Definitsioon. Maatriksi A = (aij) elemendi aij miinoriks Mij nimetatakse determinanti, mis saadakse maatriksi A determinandist i-nda rea ja j-nda veeru eemaldamisel. Näide. Determinandis ¯¯¯¯¯¯ on elemendi a21 = 2 miinoriks Definitsioon. Arvu nimetatakse ka elemendi aij alamdeterminandiks ehk algebraliseks täiendiks. Lemma 1. Kui determinandi detA viimases reas (veerus) kõik elemendid peale ann võrduvad nulliga, siis determinant võrdub elemendi ja tema täiendusmiinori korrutisega: detA =annMnn. Tõestus. Olgu Siis determinandi definitsiooni põhjal Et n on indeksitest , ... , suurem, siis nende indeksitega ta ei moodusta ühegi inversiooni ja võib kirjutada: ning sellepärast Lemma 2. Kui determinandi detA mingis reas (näiteks, i-ndas reas) (veerus) kõik elemendid
liidetavate jõupaaride momentide geomeetrilise summaga. M = M Mx = Mx , My = My , Mz = Mz M = (Mx² + My² + Mz²) 63.Ruumiliste jõupaarisüsteemide liitmine ja ekvivalentsus. 64.Tasapinnaliste jõupaarisüsteemide liitmine ja ekvivalentsus. 65.Kuidas näevad välja tasakaalutingimused juhul kui jäigale kehale mõjuvad ainult jõupaarid? lk.40-41. 66.Sõnastada Lemma jõu paralleellükkest. Jäigale kehale rakendatud jõudu võib ilma selle mõju muutmata kanda paralleelselt iseendaga keha mis tahes punkti, kui seejuures lisada jõupaar, mille moment võrdub ülekantava jõu momendiga uue rakenduspunkti suhtes. 67.Sõnastada staatika põhiteoreem. Jäigale kehale mõjuv mis tahes jõusüsteem asendub taandamisel meelevaldselt võetud tsentrisse ühe
astro (astron `täht') astro/noom, astro/füüsika, astro/ühik auto (autos `ise') auto/gramm, auto/didakt, auto/kraatlik biblio (biblion `raamat') biblio/graafia, biblio/fiil, biblio/kirje bio (bios `elu') bio/loogia, bio/mass, bio/rütm, bio/sfäär deka (deka `kümme') deka/liiter, dek/aad demo (dmos `rahvas') demo/graafia, demo/kraat di (dis `kaks korda') di/lemma, di/oksiid dia (dia `läbi, laiali, lahku') dia/positiiv, dia/meeter disko (diskos `ketas') disko/teek, disko/rütm droom (dromos `jooks') auto/droom, velo/droom, kordo/droom düs (dys, väljendab häiret, riket, raskust, puudulikkust) düs/graafia, düs/pepsia, düs/troofia epi (epi `juures, peal, pärast, üle, vastu, järel') epi/goon, epi/loog, epi/tsenter, epi/teel etno (ethnos `rahvas') etno/graafia, etno/lingvistika eu (eu `hea, ilus, meeldiv') eu/foonia, eu/femism, eu/stress
ekvivalentsed? Selliseid jõupaare, mille mõju jäigale kehale on ühesugune, nimetatakse ekvivalentseteks. Jõupaarid, millel on võrdne moment, on ekvivalentsed. · Kuidas liidetakse jõupaare? Jõupaare liidetakse nende momentvektorite vektoriaalse liitmise teel. Tasapinnalise jõupaaride süsteemi tasakaalus on vajalik ja piisav, et nende jõupaaride momentide algebraline summa võrduks nulliga. · Sõnastada lemma jõu paralleellükkest. Jõu mõju jäigale kehale ei muutu, kui see jõud paralleelselt iseendaga üle kanda suvalisse punkti ja sealjuures lisada jõupaar, mille moment on võrdne üle kantava jõumomendiga uue rakenduspunkti suhtes · Sõnastada staatika põhiteoreem. Suvaline jõusüsteem asendub taandamisel meelevaldselt valitud tsentrisse ühe jõuvektoriga, mis on võrdne jõusüsteemi peavektoriga ja rakendub taandamistsentris, ja ühe jõupaariga, mille moment on
detsembri seisuga oli korpuses 1 50 802 sõnet Eesmärgiks teha vana kirjakeele tekstid uurijatele ja huvilistele veebis kättesaadavaks Korpuses on olulisemad tekstid 16. – 18. sajandist Korpuses on kõik teadaolevad 16. sajandist ja mõjukamate autorite ja olulisemate tekstiliikide näited 17. sajandist 19. sajandi tekste on 520 307 sõne jagu Autorite kirjaviis on muutmata, korpus on märgendamata Päringuid saab teha sõne, lemma, sõnaliigi või muu märgenduse järgi. Saab valida ühe tekstigrupi või ühe või rohkem tekste, millest otsida. Eesti murrete Spontaanse kõne Vana kirjakeele korpus foneetiline korpus korpus Morfoloogia Tekstid on Sõnad märgendatakse Pole märgendatud, aga foneetilises ja morfoloogiliselt, aga sobilik grammatika
d (u +v )=du+dv 2. d (u-v )=du-dv 3. d (uv ) =vdu+ udv 4. d (Cu ) =Cdu, C-konstant (u) 5. d v = vdu-udv v2 , kui v 0 24.Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid. Sõnastada ja tõestada Fermat' lemma. a. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid 1.Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x lokaalne miinimum, kui 1. Funktsioon f on määratud punkti x mingis ümbruses (x - , x + ); 2. Iga x ( x - , x + ) korral kehtib võrratus f ( x) f (x ) ; 2.Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x lokaalne miinimum, kui 1.Funktsioon f on määratud punkti x mingis ümbruses ( x 1- , x 1+ ) ; 2.Iga x (x - , x + ) korral kehtib võrratus f (x) f (x ) . 3
T~ oestus. Olgu A = {a1 , . . . , ak } ja B = {b1 , . . . , bn } l~ oplikum~ oo~t- melise vektorruumi V baasid. Peame n¨ aitama, et k = n. Paneme t¨ahele, et B = {b1 , . . . , bn } on lineaarselt s~ oltumatu, A = {a1 , . . . , ak } on V moodustajate s¨ usteem. Lemma 6.2 p~ohjal n k. Analoogiliselt, kui A ja B vahetavad kohad, saame k n. Kokkuv~ ottes saame k = n. 6.4 M~ o~ode L~oplikum~o~otmelise vektorruumi m~ o~ otmeks ehk dimensiooniks ni- metatakse vektorite arvu selle vektorruumi baasis. Vektorruumi V m~o~odet t¨ahistatakse dim V . Nullruum on 0-m~ o~ otmeline, dim O = 0 (nullruumi baas on t¨ uhihulk). M¨ arkus
Tähistame, mi = inf f ( x) (29.1) M i = sup f ( x) Määratud integraalsummad n (29.2) S n = mi x i - alumine integraalsumma i =1 n S n = M i x i - ülemine integraalsumma i =1 On selge, et on täidetud võrratused n (29.3) m(b - a ) S n S n = f ( i )x i S n M (b - a) i =1 Lemma 8.1 Kui jaotusele J lisada üks täiendav punkt, siis alumine integraalsumma võib vaid kasvada ja ülemine integraalsumma vaid kahaneda. ' Sn Sn (29.4) ' Sn Sn Tõestus: Vaatleme näiteks S n Olgu J ' ühe punkti c lisamisega, mis asub lõigul [x i -1 , x i ] Kõik...integraalsummat jäävad muutumatuks, välja arvatud mi x i , mis asendub lisamisega m' i x' i + m' ' i x' ' i mi x' i + mi x' ' i = mi x i , sest m ' i m i ja m ' ' i m i Lemma 8
1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 - , x1 + ); 2. iga x (x1 - , x1 + ) korral kehtib v~orratus f(x) f(x1). Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne miinimum, kui 1.funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 - , x1 + ); 2. iga x (x1 - , x1 + ) korral kehtib võrratus f(x) f(x1). Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni lokaalseteks ekstreemumiteks. Sõnastada ja tostada Fermat' lemma. Kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne ekstreemum ja funktsioon on diferentseeruv selles punktis, siis f(x1) = 0. Tõestus. Vaatleme juhtu, kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum. Siis, vastavalt lokaalse maksimumi definitsioonile, leidub punkti x1 ümbrus nii, et iga x korral sellest ümbrusest kehtib võrratus f(x) - f(x1) 0. (3.21) Selles .umbruses asuva arvu x me saame võtta punktist x1 nii vasakult kui ka paremalt. Asugu x punktist x1 vasakul. Siis x - x1 < 0
Tähistame, mi = inf f ( x) (29.1) M i = sup f ( x) Määratud integraalsummad n (29.2) S n = mi x i - alumine integraalsumma i =1 n S n = M i x i - ülemine integraalsumma i =1 On selge, et on täidetud võrratused n (29.3) m(b - a ) S n S n = f ( i )x i S n M (b - a) i =1 Lemma 8.1 Kui jaotusele J lisada üks täiendav punkt, siis alumine integraalsumma võib vaid kasvada ja ülemine integraalsumma vaid kahaneda. ' Sn Sn (29.4) ' Sn Sn Tõestus: Vaatleme näiteks S n Olgu J ' ühe punkti c lisamisega, mis asub lõigul [x i -1 , x i ] Kõik...integraalsummat jäävad muutumatuks, välja arvatud mi x i , mis asendub lisamisega m' i x' i + m' ' i x' ' i mi x' i + mi x' ' i = mi x i , sest m ' i m i ja m ' ' i m i Lemma 8
S ( x ) = na n x n -1 . n =0 Astmerea (1) liikmeti integreerimisel või diferentseerimisel tema koonduvusraadius ei muutu. Samad omadused kehtivad ka astmerea (2) kohta tema koonduvusvahemikus (a - R; a + R ) . Teoreem (Abeli lemma). Kui astmerida (1) koondub koonduvusvahemiku (- R; R ) parem- poolses otspunktis R , siis selle astmerea summa S (x ) on vasakult pidev punktis R , st. S (R - ) = S ( R ) . Samasugune lemma kehtib ka koonduvusvahemiku vasakpoolse otspunkti - R kohta. 27 Kordamine eksamiks aines matemaatiline analüüs II (2004/2005 õa kevad) 3. Funktsioonide arendamine astmeritta
sisu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.6 Diferentsiaal kui funktsiooni muudu peaosa. Diferentsiaali ge- omeetriline sisu ja omadused. Funktsiooni lineaarne l¨ahend. . . . 69 3.7 N¨aiteid diferentsiaali ja lineaarse l¨ahenduse kasutamise kohta prak- tilistes arvutustes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.8 Funktsiooni lokaalsed ekstreemumid. Fermat' lemma . . . . . . . 74 3.9 Keskv¨a¨ artusteoreemid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.10 l'Hospitali reegel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 3.11 K~orgemat j¨arku tuletised ja diferentsiaalid. . . . . . . . . . . . . 80 3.12 Taylori ja McLaurini pol¨ unoomid. . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 4 Tuletise rakendused funktsiooni uurimisel 87
sisu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.6 Diferentsiaal kui funktsiooni muudu peaosa. Diferentsiaali ge- omeetriline sisu ja omadused. Funktsiooni lineaarne l¨ahend. . . . 69 3.7 N¨aiteid diferentsiaali ja lineaarse l¨ahenduse kasutamise kohta prak- tilistes arvutustes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.8 Funktsiooni lokaalsed ekstreemumid. Fermat' lemma . . . . . . . 74 3.9 Keskv¨a¨artusteoreemid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.10 l'Hospitali reegel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 3.11 K~orgemat j¨arku tuletised ja diferentsiaalid. . . . . . . . . . . . . 80 3.12 Taylori ja McLaurini pol¨ unoomid. . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 4 Tuletise rakendused funktsiooni uurimisel 87
Ruumiline jõupaaride süsteem on ekvivalentne ühe jõupaariga, mille moment on võrdne liidetavate jõupaaride momentide geomeetrilise summaga. 65. Tasapinnaliste jõupaarisüsteemide liitmine ja ekvivalentsus. Tasapinnaliste jõupaaride süsteem on ekvivalentne ühe jõupaariga, mille moment on võrdne liidetavate jõupaaride momentide algebralise summaga. 66. Kuidas näevad välja tasakaalutingimused juhul kui jäigale kehale mõjuvad ainult jõupaarid? 67. Sõnastada lemma jõu paralleellükkest. Jõu mõju jäigale kehale ei muutu, kui see jõud üle kanda suvalisse punkti ja sealjuures lisada jõupaar, mille moment on võrdne ülekantava jõumomendiga uue rakenduspunkti suhtes. 68. Sõnastada staatika põhiteoreem. Suvaline jõusüsteem asendub taandamisel meelevaldselt valitud tsentrisse ühe jõuvektoriga, mis on võrdne jõusüsteemi peavektoriga ja rakendub taandamistsentris, ja ühe jõupaariga, mille moment on
Ruumiline jõupaaride süsteem on ekvivalentne ühe jõupaariga, mille moment on võrdne liidetavate jõupaaride momentide geomeetrilise summaga. 65. Tasapinnaliste jõupaarisüsteemide liitmine ja ekvivalentsus. Tasapinnaliste jõupaaride süsteem on ekvivalentne ühe jõupaariga, mille moment on võrdne liidetavate jõupaaride momentide algebralise summaga. 66. Kuidas näevad välja tasakaalutingimused juhul kui jäigale kehale mõjuvad ainult jõupaarid? 67. Sõnastada lemma jõu paralleellükkest. Jõu mõju jäigale kehale ei muutu, kui see jõud üle kanda suvalisse punkti ja sealjuures lisada jõupaar, mille moment on võrdne ülekantava jõumomendiga uue rakenduspunkti suhtes. 68. Sõnastada staatika põhiteoreem. Suvaline jõusüsteem asendub taandamisel meelevaldselt valitud tsentrisse ühe jõuvektoriga, mis on võrdne jõusüsteemi peavektoriga ja rakendub taandamistsentris, ja ühe jõupaariga, mille moment on
-nide väärtustest, mille korral p kuulub q- sse {delta(a,q)} Sellest nähtub, et kui mittedeterministliku automaadi korral: (aw,p) (w,q*) kui q* kuulus delta(a,p) p kuulub P ja q kuulub Q Siis deterministliku automaadi korral: (aw,P) (w,Q) Järeldused: Väited on ekvivalentsed: · L on paremlineaarne keel · L on regulaarne hulk · L on aktsepteeritav deterministliku lõpliku automaadi abil 12. Keele regulaarsuse tarvilikud tingimused. Pumpamise lemma (tarvilik tingimus): Olgu n olekuga deterministlik lõplik automaat M. Iga sõna z, mida automaat aktsepteerib ning mille korral |z|>n, on esitatav kujul z = uvw sellisel viisil, et iga j>=0 jaoks ka uvjw kuulub automaadiga aktsepteeritavate (ehk keele sõnade hulka). Tõestus: Automaadi poolt skaneerimisel tehakse taktid delta(a,p) = q Sõna z = a1a2a3a4 korral on skaneerimine taktide jada (a1a2a3a4,q0)(a1a2a3,q1)* (e,qf).
annaabi.ee 
