Matemaatiline analüüs II loengukonspekt (0)

MATEMAATLINE ANALÜÜS II
1.  KORDSED   INTEGRAALID
Kordame kõigepealt mõningaid  teemasid  Matemaatlise analüüsi I osast.
1.1 Kahe  muutuja  funktsioonid
Kui Tasndi R2 mingi piirkonna D igale punktile x, y
D  seatakse  ühesel viisil
vastavusse arv z, siis öeldakse, et piirkonnas D on määratud kahe muutuja funktsioon
z
f x, y .
Piirkoda D nimetataksefunktsiooni f määramispiirkonnaks. See on mingi piirkond
xy-tasandil.
Näide 1. Poolsfääri z
1
x2
y2 määramispiirkonnaks on ring x2
y2
1.
Funktsiooni z
ln x
y määramispiirkonnaks on pooltasand y
x (sirgest y
x
ülespoole jääv tasandi osa: vaata joonist).
Kahe muutja funktsioon ise esitab pinda xyz-ruumis (ruumis R3).
Näide 2. Funktsiooni z
x2
y2 graafikuks on pöördparaboloid (vaata allpool olevat
joonist)
Kahe muutuja funktsiooni f nivoojoonteks nimetatakse jooni
f x, y
c
Näide 3. Tüüpiline näide nivoojoontest on kaardi tasakõrgusjooned: need on punktid
kaardil, millel on sama kõrgus.
Funktsiooni z
f x, y osamuuduks x järgi nimetatakse vahet
xz
f x
x, y
f x, y
ja osamuuduks y järgi vahet
yz
f x, y
y
f x, y .
Funktsiooni z
f x, y täismuuduks nimetatakse vahet
z
f x
x, y
y
f x, y .
oluline on teada, et üldiselt
z
xz
yz.
Funktsiooni z
f x, y osatletiseks x järgi, tähistame zx, fx x, y , z , f , nimetatakse
x
x
piirväärtust
z
lim
xz
lim
f x
x,y
f x,y
x
x 0
x
x 0
x
Analoogiliselt funktsiooni z
f x, y osatletiseks y järgi, tähistame zy, fy x, y , z , f ,
y
y
nimetatakse piirväärtust
z
lim
xz
lim
f x,y
y
f x,y .
y
y 0
y
y 0
y
Joonisel on geomeetriliselt kujutataud funktsiooni z
f x, y osatuletisi punktis A a, b :
need on vastavalt pinna z
f x, y ja tasandite x
a ja y
b lõikumisel tekkinud joonte lx
ja ly puutujate tõusud zx
tan , zy
tan .
Funktsiooni z
f x, y täisdiferentsiaaliks dz või df nimetatakse  avaldist
dz
fx x, y dx
fy x, y dy
Funktsiooni, millel on täisdiferentsiaal, nimetatakse diferentseeruvaks.
Nagu jooniselt näha, kujutab funktsiooni z
f x, y täisdiferentsiaal geomeetriliselt
funktsiooni f graafiku puutujatasandi aplikaadi (z-koordinaadi) muutu üleminekul punktist
P x, y punkti P1 x
x, y
y .
Näide 4. Funktsiooni z
x2 sin y  osatuletised  on
z
2x sin y
y
const
x
z
x2 cos y
x
const
y
ja täisdiferentsiaal
dz
2x sin y dx
x2 cos y dy.
Selle väärtus punktis 2,
kui x
0, 01 ja y
on
4
100
dz x 2,y /4
2 2 sin
0, 01
22 cos
0, 117
4
4
100
Ligikaudses arvutuses kasutatakse võrdust
z
f x
x, y
y
f x, y
dz,
kust
f x
x, y
y
f x, y
dz
Näide 5. Näite 4 andmetel
f 2, 01;
22 2 sin
0, 117
2, 828
0, 117
2, 945.
4
100
4
Täpselt
f 2, 01;
2, 012 sin
2, 945106
2, 945
4
100
4
100
Funktsiooni z
f x, y osatuletistest zx (või fx x, y , z , f
ja z
f )
x
x
y (või fy x, y ,
z
y
y
saab võtta uuesti osatuletisi: saame teist järku osatuletised
2
2
z
z
f
xx (tähistatakse ka fxx või
või
x2
x2
2
2
z
z
f
xy (fxy,
või
x y
x y
2
2
z
z
f
yx (fyx,
või
) ja
y x
y x
2
2
z
z
f
yy (fyy,
või
y2
y2
Osatuletisi zxy ja zyx nimetatakse segatuletisteks
Teist järku osatuletisi võib uuesti diferentseerida nii x kui ka y järgi,  saades  kolmandat
järku osatuletised. Neid on ilmselt juba kaheksa:
3z
3
3
3
3
3
3
3
z
z
z
z
z
z
z , jne.
x3
x2 y
x y x
x y2
y x2
y x y
y2 x
y3
Näide 6. Leia funktsiooni f x, y
x2y
y3 teist järku osatuletised.
f
2xy
f
2y
x
y
2f
2
2
2
2y
f
2x
f
2x
f
6y
x2
x y
y x
y2
Siin segatuletiste võrdsus ei ole juhuslik. Nimelt kehtib
Teoreem  1. Kui funktsioon z
f x, y ja selle osatuletised zx, zy, zxy ja zyx on mingi
punkti ümbruses  pidevad , siis selles punktis funktsiooni segatuletised on võrdsed, s.t.
2z
2z
(z
x y
y x
xy
zyx)
Osatuletise  rakendused .
1. Ekstreemumi leidmine.
Funktsiooni z
f x, y  maksimumi  ja miinimumi nimetatakse tema ekstreemumiteks.
Näide 7. Funktsioonil z
x
1 2
y
2 2
1 on miinimum punktis 1, 2 . (Vaata
allolevat joonist)
Punkte P x0, y0 , milles funktsiooni osatuletised on  nullid  või puuduvad (s.t.
f
x
x
x
0, y0
0 ja
f
y
0, y0
0 või  nendest  kasvõi üks puudub), nimetatakse funktsiooni
kriitilisteks punktideks. Kehtib
Teoreem 2 (Ekstreemumi tarvilik tingimus). Kui funktsioonil z
f x, y on punktis
x0, y0  ekstreemum , siis see punkt on kriitiline punkt.
Selle teoreemi järgi saab ekstreemum olla (kuid ei pea olema) vaid  kriitilises  punktis.
Teoreem 3 (Ekstreemumi piisav tingimus). Olgu punkt P x0, y0 funktsiooni z
f x, y
kriitiliseks punktiks ja olgu funktsioon osatuletised kuni kolmanda järguni pidevad selle
punkti ümbruses, st
f
x
x
x
0, y0
0 ja
f
y
0, y0
0. Siis punktis x0, y0 on
2
2
2
2
1) funktsiooni f maksimum, kui A
f
x
f
f
0, y0
x0, y0
x0, y0
0 ja
x2
y2
x y
2f x0,y0
0,
x2
2
2) funktsiooni f miinimum, kui A
0 ja
f
x0, y0
0,
x2
3) funktsioonil f ei ole ekstreemumit, kui A
0,
4) funktsioonil f võib olla ekstreemum, kui A
0.
z
2 x
1
0
Näites 7
x
, kust kriitiliseks punktiks tuleb punkt 1, 2 .
z
2 y
2
0
y
2z
2
2
2
z
2
z
0, kust A
4
0.
x2
y2
x y
2
Kuna
z
2
0, siis on puntis 1, 2 miinimum.
x2
2. Pinna puutujatasand ja normaal.
Vaatleme  pinda z
f x, y , kus x, y
D. Punktile P0 x0, y0
D vastav punkt pinnal
olgu Q0 x0, y0, z0 . Siis pinnal z
f x, y on olemas punktis Q0 z- teljega  mitteparalleelne
puutujatasand  parajasti  siis, kui funktsioon on diferentseeruv punktis P0 ja
puutujatasandi võrrand on
fx x0, y0 x
fy x0, y0 y
z
d
0.
Arvu d leiame tingimusest, et punkt Q0 x0, y0, z0 kuulub puutujatasandile.
Punktis Q0 x0, y0, z0 puutujatasandiga ristiolevat  vektorit  n nimetatakse pinna
normaaliks punktis Q0.
Näide 10. Leida puutujatasand ja  normaal  pinnale z
xy
x
y punktis Q0 1, 1, 3 .
Leiame osatuletised
zx
y
1, zy
x
1; zx 1, 1
2, zy 1, 1
2
Seega puutujatasand punktis Q0
2x
2y
z
d
0
2 1
2 1
3
d
0
d
1
2x
2y
z
1
0
Normaal on siis n
2, 2, 1 .
1.2 Määratud  integraal  ja selle rakendusi
Määratud  integraaliks  nimetati integraalsummade piirväärtust
b f x dx lim x
a
i
0
f
i
xi
Newton -Leibnizi valem lubab määratut integraali arvutada määramata integraali
f x dx
F x
C
abil järgmiselt
b f x dx F b
F a
F x
b
a .
a
Määramata integraali arvutamiseks kasutame  integraalide  tabelit
1. xadx
xa 1
C a
1
a 1
2.
dx
x
ln
x
C
3. sin xdx
cos x
C
4. cos xdx
sin x
C
5.
dx
tan x
C
cos2x
6.
dx
cot x
C
sin2x
7. tan xdx
ln
cos x
C
8. cot xdx
ln
sin x
C
9. exdx
ex
C
10. axdx
ax
C
ln a
11.
dx
arctan  x
C
1 x2
12.
dx
arcsin  x
C
1 x2
ja integraali omadusi
I
f x
g x dx
f x dx
g x dx
II af x dx
a f x dx
III f x dx
F x
C
f ax
b dx
1
a F ax
b
C
Kehtib ka muutujate  vahetuse  valem e. asendusvõte
f
x
x dx
f t dt, kus t
x
ja  ositi  integreerimise valem
udv
uv
vdu.
Näide 11.
1 1
1.
2x3
3 sin x
5 x dx
2 x3 1
3
cos x
5 x 2
C
1 x4 3 cos x
10 x x C
3 1
1
1
2
3
2
1
1
5
2.
3
1
x 4 x dx
3 x 3 dx
1
x 2 dx
x 4 dx
9 3 x2
x
x2 4 x
C
3 x
2 x
2
2
9
1
3
3.
sin x cos xdx
t
sin x, dt
cos tdx
t dt
t 2 dt
1 t 2
C
2
sin3x
C
3
3
2
1
2
1
4.
xdx
t
1
x2, dt
2xdx
1
t
2
2 dt
t
1
2
1
0
2
1 x2
1
1
2
5.
xdx
t
1
x2, dt
2xdx, xdx
dt
1
dt
1 ln t 21
ln 2
0, 833
0 1 x2
2
2
1
t
2
2
ln 2
6.
ln3xdx
ln 2
1
x
t
ln x, dt
dx
x
t3dt
t4
ln42
1
ln 1
4
0
4
4 ln42
ln 2
u
ln x
du
dx
x
7. x ln xdx
x2 ln x
xdx
x2 ln x
x2
C
dv
xdx
v
x2
2
2
2
4
2
u
arctan x
du
dx
8. arctan xdx
1 x2
x arctan x
1
2x
dx
2
dv
dx
v
x
1 x2
x arctan x
1 ln|1 x2| C
2
u
arcsin x
du
1
1
3
1 x
2 x
9.
arcsin x
4
dx
1
1 x
2
dv
dx
v
2 1
x
1 x
3
3
2 1
x arcsin x
4
4
2 1 x
1
dx
1
2
2 1 x x
2
3
2
1 arcsin 3
2
arcsin 1
4
dx
2
2
2
2
1
x
2
3
2
2 2
4
3 2
4
3
2
3
1
4 2
12
2
2
10.
4
x2 dx
x
2 sin t, dx
2 cos tdt
2
4
4 sin2t 2 cos tdt
0
0
4 2 cos2tdt
4 2 1 cos2t dt
0
0
2
0
0
a
11.
dx
dx
dx
lim
dx
dx
a
lima
1 x2
1 x2
0
1 x2
a 1 x2
0 1 x2
lim
0
a
a
arctan x
a
lima
arctan x
0
1
a
12.
dx
lim
dx
a
a 1 0
lima 1 0 2 1
x
0
2.
0
1 x
0
1 x
Määratud integraali rakendusi.
1. Tasapinnalise kujundi pindala.
Kui kõvertrapets (vaata joonist all) on piiratud ülalt ja alt vastavalt joontega y
f x ja
y
g x ning vasakult ja paremalt vastavalt sirgetega x
a ja x
b, siis tema pindala
saab leida  valemist
b
S
f x
g x dx
a
Näide 12. Leida kõverate y
cos x ja y
cos 2x vahele lõigul 0, 2
olev pindala.
Joonestame algul selle kujundi
Näeme, et lõigul 0, 2
kõverad y
cos x ja y
cos 2x lõikuvad punktides, kus
cos 2x
cos x
x
0, 2 , 4 , 2
3
3
Kuna kujund on sümmeetriline,  piisab  kui arvutame pinala lõigul 0,
ja korrutame
selle kahega
2
S
2
3
cos x
cos 2x dx
cos 2x
cos x dx
0
2
3
2
2
sin x
1 sin 2x 3
1 sin 2x
sin x
3 3
2
0
2
2
3
2. Joone kaare pikkus
2.1 Lõigul a, b pidevalt diferentseeruva funktsiooni y
f x kaare pikkus arvutatakse
valemist
b
s
1
f´ x 2 dx
a
Näide 13. Leida lõigu
y
3 x
2,
x
0, 2
pikkus.
2
s
1
3 dx
4
0
Näide 14. Kõvera y
sin x kaare pikkus lõigul 0, 2
on
2
s
1
cos2x dx
7. 64
0
2.2 Kui parameetrilisel kujul antud  joonel
x
x t
t
y
y t
on olemas pidevad  tuletised  x t ja y t , t
, siis
s
x t 2
y t 2 dt
Näide 15. Leiame ringjoone pikkuse, kui tema raadius on R.
Ringjoone parameetrilised võrrandid on
x
R cos t ,
t
0, 2
y
R sin t
Seega
2
2
s
R2 sin2t
cos2t dt
R
dt
2 R.
0
0
3. Pöördpinna ruumala
Keha, mis tekib pideva  joonega  y
f x , x-teljega ja sirgetega x
a ja x
b piiratud
kõvertrapetsi (vt. joonis)
pöörlemisel ümber x-telje, ruumala on
b
V
f x 2dx
a
Kui sama kõvertrapets pöörleb ümber y-telje, on tekkinud keha ruumala
b
V
2
xf x dx
a
Näide 16. Vaatleme kõvertrapetsit (sinusoidi), mis on piiratud joonega y
sin x,
x
0,
ja x-teljega.
Kui see kõvertrapets pöörleb ümber x-telje, on tekkinud pöördkeha ruumala
V
sin2xdx
1
cos 2t dt
t
1
2
0
sin 2t
0
4. 93
0
2
0
2
4
2
Kui sama kõvertrapets pöörleb ümber y-telje, on tekkinud pöördkeha ruumala
u
x
du
dx
V
2
x sin xdx
2
x cos x
0
cos xdx
0
dv
sin xdx
v
cos x
0
2
sin x
0
2 2
19. 74
4. Pöördpinna pindala
4.1 Pöördkeha, mis tekib joontega y
f x (millel on pidev  tuletis ), x-teljega ja
sirgetega x
a ja x
b piiratud kõvertrapetsi pöörlemisel ümber x-telje, pindala on
b
S
2
f x
1
f´ x 2 dx
a
Sama kõvertrapetsi pöörlemisel ümber y-telje tekkiva pöördkeha pindala on
b
S
2
x 1
f´ x 2 dx
a
Näide 17. Leiame eelmise näite kõvertrapetsi (sinusoidi) pöörlemisel ümber x-telje
tekkiva pöördkeha pindala
S
2
sin x 1
cos2x dx
|u
cos x, du
sin xdx|
0
1
2
1
u2 du
2
1 ln
2
1
1 ln
2
1
2
1
2
2
2
ln
2
1
2
14. 42
Sama kõvertrapetsi (sinusoidi) pöörlemisel ümber y-telje tekkiva pöördkeha pindala on
S
2
x 1
cos2x dx
37. 70.
0
4.2 Kui joon on antud parameetrilisel kujul
x
x t
t
y
y t
kus funktsioonidel x ja y on pidevad tuletised, siis ümber x-telje pöörlemisel tekkiva
pöördkeha pindala on
S
2
y t
x t 2
y t 2 dt.
Selle joone ümber y-telje pöörlemisel tekkiva pöördkeha pindala on
S
2
x t
x t 2
y t 2 dt.
Näide 18. Leida sfääri
x2
y2
z2
R2
pindala.
Seda sfääri võib vaadelda pöördpinnana, mis saadakse poole ringjoone
x
R cos t ,
t
0,
y
R sin t
pöörlemisel ümber x-telje.
S
2
R sin t R2 sin2t
R2 cos2t dt
2 R2
sin tdt
0
0
2 R2 cos t
0
2 R2 cos
cos 0
4 R2.
1.3 Kahekordne integraal
Vaatleme xy- tasapinnal  joonega L piiratud kinnist piirkonda D. Olgu selles piirkonnas
antud pidev funktsioon z
f x, y .  Jagame  piirkonna D n osapiirkonnaks, mida ja mille
pindalad tähistame S1, S2,
, Sn.
Võtame igas piirkonnas punkti Pi
Si. Siis  summat
V
n
n
f P
i 1
i
Si
nimetame  funktsiooni z
f x, y integraalsummaks. Kui piirkonna D igas punktis f
0,
siis see summa kujutab xyz-ruumi kõversilindrite summat
Definitsioon. Kui eksisteerib piirväärus
limmax S
V
i 0
n,
mis ei sõltu piirkonna D  osadeks   jagamise  viisist ega punktide Pi valikust
osapiirkonnas, siis seda nimetatakse funktsiooni z
f x, y kahekordseks integraaliks ja
tähiststakse
f P dS
f x, y dxdy.
D
D
Kui kahe muutuja funktsioonil z
f x, y on olemas kahekordne integraal,  nimetetakse
funktsiooni f integreeruvaks. Seega
f x, y dxdy
lim
n
max S
f P
i 0
i 1
i
Si.
D
On selge, et n
max Si 0. Piirkonda D nimetatakse integreeruvuspiirkonnaks.
Kui integreeruvuspiirkonnas f
0 , siis
f x, y dxdy võrdub keha ruumalaga, kus keha
D
on piiratud pinnaga z
f x, y , xy-tasandiga z
0 ja  silindrilise  pinnaga, mille
moodustajad on paralleelsed z-teljega ja juhtjooneks on piirkonna D rajajoon (vt. allpool
olevat joonist)
Ketib järgmine
Teoreem 4. Kinnises piirkonnas pidev funktsioon on integreeruv selles piirkonnas.
1.3.1 Kahekordse integraali omadused.
Kahekordsel integraalil on järgmised omadused
1. Aditiivsus. Kui D
D1
D2, siis
f x, y dxdy
f x, y dxdy
f x, y dxd
D
D1
D2
2.  Lineaarsus . Kui funktsioonid z
f x, y ja z
g x, y on integreeruvad, siis ka
funktsioon z
af x, y
bf x, y on integreeruv ja kehtib võrdus
af x, y
bg x, y dxdy
a
f x, y dxdy
b
g x, y dxdy.
D
D
D
Võttes b
0 või a
1 ja b
1, saame võrdused
af x, y dxdy
a
f x, y dxdy
D
D
f x, y
g x, y dxdy
f x, y dxdy
g x, y dxdy
D
D
D
3.  Monotoonsus . Kui funktsioonid z
f x, y ja z
g x, y on integreeruvad ja
f x, y
g x, y iga x, y
D korral, siis
f x, y dxdy
g x, y dxdy
D
D
4. Absoluutne integreeruvus. Kui funktsioon z
f x, y ja on integreeruv, siis ka
funktsioon
z
f x, y
on integreeruv ja kehtib võrratus
f x, y dxdy
f x, y
dxdy
D
D
5. Keskväärtusteoreem. Kui funktsioon z
f x, y ja on integreeruv, siis leidub selline
arv
min f x, y , max f x, y , et kehtib võrdus
f x, y dxdy
SD
D
Erijuhul, kui f on pidev piirkonnas D, siis leidub selline punkt x0, y0
D, et
f x0, y0 , s.t.
f x, y dxdy
f x0, y0 SD
D
1.4  Kaksikintegraal :
Definitsioon. Olgu piirkond D joontrapets
mis on piiratud joontega y
1 x , y
2 x , x
a, x
b, kus
1 x
2 x
, x
a, b .
Sealjuures
1 ja
2 on lõigul
a, b pidevad funktsioonid. Siis integraali
b
b
I
2 x
2 x
D
dx
f x, y dy
f x, y dy dx
a
1 x
a
1 x
nimetatakse funktsiooni f kaksikintegraaliks.
See võrdus ütleb, et kaksikintegraali arvutamine toimub kahe määratud integraali
arvutamise teel. Sisemises  integraalis
2 x f x, y dy
x
1 x
vaadeldakse muutujat x konstandina ja arvutataks see integraal kui x:i funktsioon
x .
Seejärel arvutatakse juba integraal
b
ID
x dx.
a
Saadud arv ongi kaksikintegraali väärtuseks.
Näide 19. Arvutada kaksikintegraal
1
1
2x x2
I
2
xy
D
dy dx.
0
1
2x x2
2 x
Arvutame kõigepealt sisemise integraali
1
2x x2
xy
dy.
1
2x x2
2 x
Selles integraalis on integreerimismuutujaks y,  kusjuures  muutujat x vaatleme
konstandina
1
2x x2
xy
1
2x x2
dy
x
ydy
x
y2
1
2x x2
1
2x x2
2 x
2 x
1
2x x2
2 x
2
1
2x x2
2
2
x
1
2x
x2
1
2x
x2
2 2 x
x
1
2 2x
x2
2x
x2
1
2 2x
x2
2x
x2
2 2 x
2x
2x
x2
2x
x 2
x
2x x .
2 x
2 x
Seega
1
1
5
1
3
I
2
2
2
2
2
D
2x x dx
2
x 2 dx
2x
0
0. 141
0
0
5
10
2
Kaksikintegraalis saab integreerimist teha ka teises järjekorras: enne x ja siis y järgi.
Nimelt kui piirkond D on joontrapets, mis on piiratud joontega
x
1 y , x
2 y , y
c, y
d, kus
1
2 ja
1 ning
2 on lõigul
c, d pidevad
funktsioonid,
siis kaksikintegraali saab arvutada kui kahte ühekordset integraali:
d
d
I
2 y
2 y
D
dy
f x, y dx
f x, y dx dy
c
1 y
c
1 y
Siin loetakse sisemises integraalis y konstantseks ja leitakse see kui y funktsioon
(integreerimismuutuja on x)
y
2 y
f x, y dx.
1 y
Nüüd
d
ID
y dy.
c
Näide 20. Muuta integreerimise järjekorda kaksikintegraalis
1
x
dx
f x, y dy.
0
x
Joontrapets on piiratud  sirgega  y
x ja parabooli  haruga  y
x , kusjuures x
0, 1
Nagu näeme jooniselt, võime joontrapetsit vaadelda ka kui  kujundit , mis on
moodustatud joontega x
y ja x
y2, kus y
0, 1 . Siis
1
x
1
y2
dx
f x, y dy
dy
f x, y dx
0
x
0
y
1.5 Kahekordse integraali arvutamine
Kahekordset integraali arvutatakse tegelikult kaksikintegraali abil. Nimelt kehtib
Teoreem 5.
b
b
f x, y dxdy
dx
2 x f x, y dy
2 x f x, y dy dx.
1
a
1 x
a
1 x
D
või
d
d
f x, y dxdy
dy
2 y f x, y dx
2 y f x, y dx dy
2
c
1 y
c
1 y
D
sõltuvalt sellest, kas piirkond D on esitatav joontrapetsina, mis on piiratud joontega
y
1 x , y
2 x , x
a, x
b (valem (1)) või piirkond D on joontrapets, mis on piiratud
joontega x
1 y , x
2 y , y
c, y
d (valem (2))
Näide 21. Arvutada kahekordne integraal
x2
y2 dy,
D
kus piirkond D on esitatud alloleval joonisel
Seega tuleb meil arvutada kaksikintegraal
1
x2
1
x2
dx
x2
y2 dy
x2
y2 dy dx.
0
0
0
0
Arvutame kõigepealt sisemise integraali ( lugedes  x
Const)
x2
x2
x
x2
y2 dy
x2y
y3
x2x2
x2 3
x4
x6 .
0
3
0
3
3
Integreerides nüüd funktsiooni
x rajades 0 kuni 1, saame
1
1
x4
x6
dx
x5
x7
1
1
26
0. 25.
0
3
5
3 7
0
5
21
105
Näide 22. Arvutada integraal
1
x
y dxdy,
D
kus piirkond D on piiratud joontega y
x, x
y , y
2, z
0.
Kasutame arvutamiseks valemit (2).
2
y
2
y
1
x
y dxdy
1
x
y dx dy
x
x2
xy
dy
0
y
0
2
y
D
2
2
y
y
y y
y
y2
y2
dy
y
3y
y y
y2
dy
0
2
2
0
2
2
2y y
2
3y2
2y2 y
y3
44
2
13
17. 15
3
4
5
6
15
0
Näide 23. Arvutada integraal
y
e x dxdy,
D
kus  piirkonnaks  D on  kolmnurk , mis on piiratud sirgetega y
x, y
0 ja x
1
Asendame kahekordse integraali kaksikintegraaliga, kasutades selleks valemit (1). Kui
y
kasutaksime valemit (2), siis tuleks integreerida funktsiooni e x muutuja x järgi: selline
integraal aga ei avaldu elementaarfunktsioonides.
y
1
x
y
1
y
x
1
e x dxdy
e x dy dx
xe x
dx
x e
1 dx
0
0
0
0
0
D
e
1 x2
1
e 1
0, 859
2
0
2
Piirkond D võib olla ka mitme joontrapetsi summa. Siis kasutame kahekordse
integraali aditiivsust.
Näide 24. Arvutada kahekordne integraal
ex ydxdy,
D
kus piirkonda piiravad kahe tsentrilise ruudu küljed, kusjuure nende  ruutude
keskpunktid on koordinaatide alguses, küljed on paralleelsed koordinaattelgedega ja
seesmise ruudu külg on 2 ning välimise ruudu külg on 4.
Jagame nüüd piirkonna D  neljaks  piirkonnaks D1, D2, D3 ja D4. Siis
ex ydxdy
ex ydxdy
ex ydxdy
ex ydxdy
D
D1
D2
D3
1
2
1
2
ex ydxdy
ex ydy dx
ex ydy dx
2
2
1
1
D4
1
1
2
2
1
ex ydy dx
ex ydy dx
ex 2
ex 2 dx
1
2
1
2
2
1
1
2
ex 2
ex 1 dx
ex 1
ex 2 dx
ex 2
ex 2 dx
1
1
1
e
1
e 3
e 4
e3
e2
e
1
1
e 1
e 2
e 3
e4
1
e 3
e 1
e 4
e2
e 2
e4
47. 09
1.6 Pindala ja ruumala arvutamine kahekordse integraali abil
1.6.1 Ruumala.
Kahekordse integraali  definitsioonist  nägime, et kui integreeruvuspiirkonnas D
funktsioon f
0 , siis kahekordne üle piirkonna D võrdub keha ruumalaga, mis on
piiratud pinnaga z
f x, y , xy-tasandiga (z
0 ja silindrilise pinnaga, mille moodustajad
on paralleelsed z-teljega ja juhtjooneks on piirkonna D rajajoon:
V
f x, y dxdy
D
Näide 25. Arvutada keha, mida piiravad pinnad x
0, y
0, x
y
z
1
0, z
0 ,
ruumala
1
1 x
V
1
x
y dxdy
1
x
y dy dx
0
0
D
1
1 x
1
1
x y
y2
dx
1
x 2
1 x 2
dx
0
2
0
0
2
1
1 1 x 2dx
1
1
1 x 3
1
0
1
1
0. 167
2
0
2
1
3
0
6
6
Kui keha, mille ruumala otsitakse, on piiratud pindadega
1 x, y
ja
2 x, y , kusjuures
2 x, y
1 x, y
ja mõlema projektsiooniks xy-tasandil on piirkond D (vaata näiteks
allpool olevat joonist)
siis
V
2 x, y
1 x, y
dxdy
D
1.6.2 Tasandilise piirkonna pindala.
Ilmselt
S
dxdy
D
Kui piirkonnaks D on joontrapets, siis saame selle joontrapetsi pindala arvutada
kaksikintegraalist
b
S
dx
2 x f x, y dy
a
1 x
või
d
S
dy
2 y f x, y dx
c
1 y
Näide 26. Arvutada joontega y
2
x2 ja y
x piiratud kujundi pindala
Leiame kõigepealt nende joonte lõikepunktid
y
2
x2 , millest saame asendusvõttega
y
x
x2
x
2
0,
x1
2, x2
1
ja
1
2 x2
1
S
dy dx
2
x2
x dx
2
x
2
1
2x
x3
x2
9
4. 5
3
2
2
2
1.6.3 Ruumilise kujundi pindala.
Kui pinna z
f x, y  projektsioon  xy-tasandil on D, kusjuures funktsioon f koos oma
osatuletistega on pidev selles piirkonnas D, siis selle pinnatüki pindala S avaldub
valemiga
2
2
S
1
z
z
dxdy.
x
y
D
Kui pinna võrrand on y
f x, z ja pinna projektsioon xz-tasandil on D, siis
2
2
S
1
y
y
dxdz.
x
z
D
Kui pinna võrrand on x
f y, z ja pinna projektsioon yz-tasandil on D, siis
2
2
S
1
x
x
dydz.
y
z
D
Näide 27. Leida silindri x2
y2
a2 pinna selle osa pindala, mille lõikab välja  silinder
x2
z2
a2.
Ülaloleval joonisel on kujutataud 1 vaadeldavast pindalast. Pinna võrrand on
8
y
a2
x2 , seetõttu
y
x
, y
0
x
a2 x2
z
ja
2
2
2
1
y
y
1
x
1
x2
a
x
z
a2 x2
a2 x2
a2 x2
Integreerimispiirkond kujutab endast veerandringi, s.t. z
a2
x2 , kus x
0, a .
Järelikult
a2 x2
a
a2 x2
a
S
8
a
dz dx
8 a
z
dx
0
0
a2 x2
0
a2 x2
0
a
8a
dx
8ax
a
0
8a2.
0
Näiteks kui a
2, siis S
32.
1.7 Kahekordne integraal polaarkoordinaatides.
Kui piirkond D on ring või selle osa, siis kahekordset integraali on lihtsam arvutada
polaarkoordinaatides kui ristkoordinaatides. Samuti on teatud joonte esitus lihtne
polaarkoordinaatides, samas kui see ristkoordinaatides on üpris keeruline.
Tuletame meelde polaarkoordinaadistiku mõistet. Valime tasapinnal mingi punkti O,
mida nimetatakse pooluseks ja sellest punktist väljuva kiire, mida nimetame
polaarteljeks p. Punkti M  asukohta  tasapinnal saab määrata kahe arvuga:
polaarkaugusega , mis väljendab punkti M kaugust poolusest O ja polaarnurgaga ,
mis näitab polaartelje ja lõigu OM vahelist nurka (
p , OM ). Nurga
mõõtmisel
loetakse  positiivseks  suunaks  kellaosuti  liikumisele vastupidist suunda. Arve
ja
nimetatkse punkti M polaarkoordinaatideks. Seega polaarkoordinaadistikus M
Tuletame meelde  seoseid   polaar - ja ristkoordinaatide vahel.  Paneme
riskoordinaadistiku alguse poolusesse ja ühtigu x-tleje positiivne suund polaarteljega
Siis
x
cos
x2
y2
y
sin
tan
y
x
Näiteks Ringjoone keskpunktiga pooluses ja  raadiusega  a võrrand
polaarkoordinaadistikus on
a (riskoordinaadistikus on see x2
y2
a2).
Joon
a (a const) kujutab nn Archimedese spiraali
Nn neljalehelise  roosi  võrrand polaarkoordinaatides on
a
sin 2
Olgu nüüd joontrapets D antud polaarkoordinaatides vörranditega
1
2
, kus
1
2
kui
Siis
f x, y dxdy
f
cos , sin
d d
D
D
2
f
cos , sin
d
d
1
Kui piirkond D on antud võrratustega
a,
b, kus a
b ja
1
1
kus
1
2
(vaata allolevat joonist),
siis
f x, y dxdy
f
cos , sin
d d
D
D
b
2
f
cos , sin
d
d
a
1
Näide 28. Arvutada kahekordne integraal
3 x2
y2 dxdy,
D
kus integreerimispiirkond D on antud võrratustega 0
y
1 ja
1
y2
x
1
y2 , s.o. pool ringi
Kuna integreerimispiirkond on ringi osa, siis arvutame kahekordse integraali
polaarkoordinaatides. Integreeritav funktsioon
2
3 x2
y2
3
cos2
2 sin2
2
3
cos2
sin2
2
3 ,
0,
ja kuna antud ringjoone võrrand polaarkoordinaatides on
1, siis 0
1 ja
1
2
1
5
3 x2
y2 dxdy
3
d
d
3 d
d
0
0
0
0
D
8
1
3
d
3
d
3
1. 178
0
8
8
0
8
3
0
Näide 29. Arvutada  Poissoni  integraal
e x2 dx.
Arvutame  esmalt  kahekordse integraali
IR
e x2 y2 dxdy,
D
kus integreerimispiirkonnaks on ring, mille rajajoone võrrand on
x2
y2
R2
Kuna integreerimispiirkonnaks on ring, siis on sobiv kasutada polaarkoordinaate
2
R
2
I
cos2
sin2
R
e x2 y2 dxdy
e
d
d
0
0
D
2
R
2
2
R
2
e
d
d
1
e
2
d
d
0
0
0
2
0
1
2
2
2
e
R d
1
e R2
e0 d
2
0
0
2
0
1
2
e R2
1
d
1
e R2 .
2
0
Kui laseme raadiusel nüüd lõpmatult kasvada, siis saame nn.
päratu kaksikintegraali
2
2
2
R
2
e
d
d
limR
e
d
d
0
0
0
0
limR
1
e R2
Saab näidata, et
2
2
2
e
d
d
e x2 dx
0
0
Seega
e x2 dx
See integraal, Poissoni integraal, esineb sageli tõenäosuusteoorias ja matemaatilises
ststistikas, sest nn. Gaussi kõver esitatakse selle integraali abil.
Poissoni integraali vahetu arvutamine määramata integraali abil ei ole võimalik, sest
funktsioon e x2 ei avaldu elementaarfunktsioonides: ei ole olemas ühtegi
elementaarfunktsiooni, mille  tuletis  oleks e x2 .
Näide 30. Arvutada sfääriga x2
y2
z2
22 ja silindriga x2
y2
2y
0 piiratud keha
ruumala (vt. näiteks allpool olevat joonist)
Siin võime integreerimispiirkonnaks võtta silindri x2
y2
2y
0 põhja, milleks on ring
keskpunktiga 0, 1 ja raadiusega R
1, sest selle võrrandi saame täisruuduks
teisendamisega esitada kujul x2
y
1 2
12.
Selle ringjoone saame esitada polaarkoordinaatides
cos
2
sin
2
2 sin
0
2 sin , kus
0,
Kuna integreeritav funktsioon on
z
4
x2
y2
z
4
cos
2
sin
2
4
2 ,
siis 1 ruumalast
4
1
2 sin
2 sin
V
2
4
2
d
d
2
1
4
2
2
d
d
4
0
0
0
0
2
3
2 sin
3
1
4
2
2
3
2
d
1
2
4
4 sin2
2
4 2 d
2
0
3
3
0
2
0
8
2
1
cos3
d
8
2 d
2 cos2 cos d
3
0
3
0
0
8
2
2
1
sin2
cos d
4
8
2 cos d
3
0
0
3
3
0
8
2 sin2 cos d
4
8 sin
2
8 sin3
2
3
0
0
3
3
3
3
0
4
8
8 1
4
16
4
3
4
3
3
3 3
3
9
9
V
16
3
4
9. 64
9
1.8 Kahekordse integraali füüsikalisi rakendusi
1.8.1 Aine mass.
Olgu piirkonnas D antud mingi aine  pindtihedus  pideva funktsioonina
x, y . Siis
piirkonnas D  leiduva  aine mass
m
x, y dxdy
D
Näide 31. Määrata ümmarguse plaadi mass, kui plaadi raadius on 4 ja aine
pindtihedus plaadi igas punktis on võrne selle punkti kaugusega ringi keskpunktist.
Seega
x, y
x2
y2 .
Jälle on kasulik kasutada polaarkoordinaate, sest integreerimispiirkond on ring
D : x2
y2
42
0, 4 ,
0, 2
x, y
x2
y2
2 cos2
2 sin2
ja
m
x, y dxdy
m
x2
y2 dxdy
D
D
2
4
2
3
2
d
d
4 d
64
d
128
134. 04
0
0
0
3
0
3
0
3
1.8.2 Tasandilise kujundi  inertsmoment .
Masspunkti P inertsmomendiks mingi punkti O suhtes nimetatakse punkti P massi m ja
kauguse r
OP ruudu korrutist, s.t.
I
mr2
Tasandilise kujundi D inertsmoment koordinaatide alguse O suhtes,  eeldusel  et
kujundi pindtihedus võrdub kõijal ühega, avaldub valemiga
IO
x2
y2 dxdy
3
D
Tasandilise kujundi D  inertsmomendid  vastavalt x- ja y-telje suhtes avalduvad aga
valemiga
Ixx
y2dxdy
D
Iyy
x2dxdy
D
Näide 32. Arvutada ringi D inertsmoment  keskpunkti  O suhtes, kui ringi raadius on R.
Minnes üle polaarkoordinaatidele, saame
2
R
I
2
O
x2
y2 dxdy
d
d
0
0
D
2
4
2
R d
R4
d
R4
0
4
0
4
0
2
Kui pinddtihedus ei võrdu ühega, vaid on mingi funktsioon
x, y , siis tasandilise
kujundi D inertsmoment koordinaatide alguse O suhtes on
IO
x, y x2
y2 dxdy
D
Samuti saab siis leida inertsmomendid koordinaattelgede suhtes.
Näide 33. Arvutada joontega y2
1
x, x
0 ja y
0 piiratud tasandilise kujundi
inertsmoment y-telje suhtes, kui pindtihedus igas punktis võrdub selle punkti ordinaadiga
y
1
1 x
1
I
x2y2
1 x
yy
yx2dxdy
yx2dy dx
dx
0
0
0
2
0
D
1
1 x2 1 x dx
1
0, 042
2
0
24
1.8.3 Tasandilise kujundi  masskese .
Kui tasandilise kujundi D pindtihedus on mingi funktsioon
x, y , siis tasandilise
kujundi D masskeskme xc, yc koordinaadid saab arvutada valemitest
x,y xdxdy
x,y ydxdy
x
D
D
c
yc
x,y dxdy
x,y dxdy
D
D
Avaldisi
My
x, y xdxdy
ja
Mx
x, y ydxdy
D
D
nimetatakse tasandilise kujundi staatilisteks momentideks vastavalt y- ja x-telje
suhtes. Meenutame, et integraal m
x, y dxdy väljendas vaadeldava kujundi massi.
D
Näide 34. Leida ellipsi
x2
y2
1
a2
b2
I veerandi masskeskme koordinaadid eeldusel, et pindtihedus on kõikides punktides 1.
x,y xdxdy
a
b
a
a2 x2 xdy dx
a
b
0
0
a
a2 x2 xdx
x
D
0
c
1
a
b
ab
x,y dxdy
a
a2 x2
4
dy
dx
0
0
D
b 1
a
a2 x2 3
3
a
4a
1
ab
0
3
4
x,y ydxdy
a
b
a
a2 x2 ydy dx
0
0
y
D
4b
c
1
ab
3
x,y dxdy
4
D
Siin me lähtusime teadmisest, et ellipsi pindala on ab.
1.9  Kolmekordne  integraal.
Olgu nüüd xyz-ruumis R3 antud mingi kinnise pinnaga piiratud piirkond V. Olgu
piirkonnas V defineeritud pidev kolme muutuja funktsioon u
f x, y, z .
Näiteks võime oletada, et f x, y, z
0 korral esitab see funktsioon mingi aine
jaotustihedust piirkonnas V.
Sarnaselt kahekordse  integraaliga , jaotame piirkonna V mingil viisil osapiirkondadeks
Vi ja valime igas osapiirkonnas punkti Pi
Vi. Moodustame  integraalsumma
n
f P
i 1
i
Vi
ja suurendame osapiirkondade Vi (see on ka osa Vi ruumala) arvu piiramatult nii, et
Vi suurim läbimõõt läheneks nullille.
Definitsioon. Kolmekordseks integraaliks piirkonnas V nimetatakse piirväärtust
f p dV
f x, y, z dxdydz
lim
n
max V
f P
i 0
i 1
i
Vi,
(4)
V
V
kui see eksisteerib. Kui kolme muutuja funktsioonil z
f x, y, z on olemas
kolmekordne integraal, nimetetakse funktsiooni f integreeruvaks. Kehtib
Teoreem 6. Kinnises piirkonnas V pidev funktsioon on integreeruv selles piirkonnas.
Kui u
f x, y, z esitab aine ruumitihedust piirkonnas V, siis integraal (4) annab kogu
ainehulga  selles ruumiosas.
Definitsioon. Kui integreerimispiirkond V on alt piiratud pinnaga z
1 x, y
ja ülalt
pinnaga z
2 x, y , kusjuures nendel pindadel on z-teljega paralleelsete sirgetega
ainult üks ühine punkt ja kui piirkonna V projektsioon xy-tasandil  rahuldab  tingimusi
y
1 x ,
2 x
kui x
a, b (selline piirkond on esitatud alloleval joonisel)
siis integraali
b
b
I
2 x
2 x,y
2 x
2 x,y
V
dx
dy
f x, y, z dz
f x, y, z dz dy dx
a
1 x
1 x,y
a
1 x
1 x,y
nimetatakse kolmikintegraaliks üle piirkonna V.
Näide 35. Arvutada funktsiooni u
xyz kolmikintegraal üle piirkonna V, mida piiravad
tasandid  x
0, y
0, z
0, x
y
z
1.
See piirkond on piiratud alt tasandiga z
0 (xy-tasand) ja ülalt tasandiga z
1
x
y
ning ta projektsioon xy-tasandil on piirkond D (vaata allpool olevat joonist)
Seega
1
1 x
1 x y
1
1 x
1 x y
I
xyz2
V
xyzdz dy dx
dy dx
0
0
0
0
0
2
0
1
1 x xy 1 x y 2
1
dy dx
x 1 x 4 dx
1
1. 39
10 3
0
0
2
0
24
720
Kolmekordsel integraalil on analoogilised omadused kahekordse integraaliga. Kehtib
ka analoogiline teoreem kolmekordse integraali arvutamiseks kolmikintegraali abil
Teoreem 7.
b
f x, y, z dxdydz
2 x
2 x,y f x, y, z dz dy dx
a
1 x
1 x,y
V
Analoogiliselt kaksikintegraali juhuga, kui seda võimaldab piirkonna V kuju, saab
koostada kolmikintegraali teistsuguse integreerimismuutujate järjekorraga ja teiste
rajadega.
Näide 36. Esitada kolmekordne integraal
f x, y, z dxdydz
V
kolmikintegraali abil, kui integreerimispiirkond V on määratud võrratustega
x2
y2
z2
8 ja x2
y2
2z.
Nagu jooniselt näeme, on V piiratud alt paraboloidiga x2
y2
2z ja ülalt sfääriga
x2
y2
z2
8. Integreerimispiirkond xy-tasandil on piiratud paraboloidi ja sfääri
lõikejoone projektsiooniga, milleks on  ringjoon  x2
y2
R2. Ringjoone raadiuse leiame
võrrandisüsteemist
x2
y2
z2
8
z2
2z
8
0
z
2 või z
4 (ei sobi)
x2
y2
2z
Seega x2
y2
2 2, ehk ringjoone võrrand on x2
y2
4 (R
2). Seega
2
4 x2
8 x2 y2
f x, y, z dxdydz
f x, y, z dz dy dx
2
4 x2
x2 y2
2
V
Väga õpetlik on järgmine
Näide 37. Esitada kolmekordne integraal
f x, y, z dxdydz
V
kolmikintegraali abil kõigi võimalike integreerimisjärjekordade jaoks, kui
integreerimispiirkond V on piiratud pindadega x
0, y
0, z
0,
x2
y2
z2
4R2 ja x2
y2
R2.
Integreerimispiirkond V on siin koordinaadistiku I oktandis väljaspool silindrit
x2
y2
R2 ja seespool sfääri x2
y2
z2
4R2.
1) Kui valime integreerimisjärjekorraks dx dy f x, y, z dz, siis z
0, 4R2
x2
y2 ,
xy-tasandi piirkond on  ringjoonest  x2
y2
R2 ringjooneni x2
y2
4R2 (z
0) s.t.
y
R2
x2 , 4R2
x2
kui x
0, R . Seega
R
4R2 x2
4R2 x2 y2
f x, y, z dxdydz
dx
dy
f x, y, z dz
0
R2 x2
0
V
2) Valime integreerimisjärjekorraks dy dx f x, y, z dz, siis muutub z samades rajades
kui eelmises osas, xz-tasandi piirkond tuleb aga jagada kaheks osaks sirgega y
R.
Siis
R
4R2 y2
4R2 x2 y2
f x, y, z dxdydz
dy
dy
f x, y, z dz
0
R2 y2
0
V
2R
4R2 y2
4R2 x2 y2
dy
dy
f x, y, z dz.
R
0
0
3) Valime integreerimisjärjekorraks dx dz f x, y, z dy. Siis peab integreerimispiirkonna
V  jagama  tasandiga x
R kaheks osaks
Osapiirkonnas I muutub y xz- tasandist  kuni sfäärini, s.t, y
0, 4R2
x2
z2 ,
samas kui xz-tasandil z
0, 4R2
x2
(y
0) kui x
R, 2R .
Osapiirkonnas II muutub y  silindrist  sfäärini, s.t. y
R2
x2 , 4R2
x2
z2 , samas
kui xz-tasandil z
0, 3 R
(y
0, x
R, R2
0
z2
4R2) kui x
0, R .
Seega
R
3 R
4R2 x2 z2
f x, y, z dxdydz
dx
dz
f x, y, z dy
0
0
R2 x2
V
2R
4R2 x2
4R2 x2 z2
dx
dz
f x, y, z dy.
R
0
0
4)  Valides  integreerimisjärjekorraks dz dx f x, y, z dy saame ülaloleva joonise põhjal
3 R
R
4R2 x2 z2
f x, y, z dxdydz
dz
dx
f x, y, z dy
0
0
R2 x2
V
3 R
4R2 z2
4R2 x2 z2
dz
dx
f x, y, z dy.
0
R
0
5) ja 6) Valides integreerimisjärjekorraks dy dz f x, y, z dx ja
dz dy f x, y, z dx jagame analoogiliselt juhtudega 3) ja 4)
integreerimispiirkonna V tasapinnaga y
R kaheks osaks
R
3 R
4R2 y2 z2
f x, y, z dxdydz
dy
dz
f x, y, z dx
0
0
R2 y2
V
2R
4R2 y2
4R2 y2 z2
dy
dz
f x, y, z dx,
R
0
0
3 R
R
4R2 y2 z2
f x, y, z dxdydz
dz
dy
f x, y, z dx
0
0
R2 y2
V
3 R
4R2 z2
4R2 y2 z2
dz
dy
f x, y, z dx.
0
R
0
Kui intergreerimispiirkond V on silinder, on kasulik kolmekordses integraalis üle minna
silinderkoordinaatidele x
cos , y
sin , z
z
f x, y, z dxdydz
f
cos , sin , z
d d dz
V
V
Näide 38. Leida piirkonna ruumala, kui ta on piiratud silidriga x2
y2
1 ja
tasanditega x
0, z
2 ja x
z
4
0
1
4
cos
1
V
dxdydz
d
d
dz
d
4
cos
2 d
0
0
2
0
0
V
3
1
d
2
cos
d
1
1 cos
d
1 sin
0
3
0
0
3
3
0
3, 14
Kui integreerimispiirkond on sfäär või selle osa, aitab üleminek
x
r cos sin
sfäärikoordinaatidele
y
r sin sin
0, 2
0,
z
r cos
Seal on raadiusega R kera võrrand
r
R.
Üleminekuvalemid on
f x, y, z dxdydz
f r cos sin , r sin sin , r cos
r2 sin drd d ,
V
V
kus
0, 2
0,
Näide 39. Üleminekuga sfäärikoordinaatidele leida integraal
xzdxdydz,
V
kus piirkond V on piiratud sfääriga x2
y2
z2
1 ja tasanditega x
0, y
0 ja z
0.
xzdxdydz
r cos sin r cos r2 sin drd d
V
V
1
1
2 cos d
r4dr 2 sin2 r cos d
2 cos d
r4dr
sin3
2
0
0
0
0
0
3
0
1
1
2 cos d
r4dr
1
2 cos d
1 sin
2
1
0, 067
3
0
0
0
15
0
15
15
1.9.1 Kolmekordse integraali rakendusi
1.9.1.1 Keha ruumala.
Kolmekordne integraal sobib hästi keha ruumala arvutamiseks. Nimelt kui võtame
integreeritava funktsiooni f x, y, z
1, siis kolmekordne integraal üle piirkonna V
väljendab piirkonna V ruumala:
V
dxdydz.
V
Näide 40. Leida pindadega x
0, y
x2, y
1, z
0 ja z
1
x piiratud keha ruumala
1
1
1 x
1
1
V
dxdydz
dx
dy
dz
dx
1
x dy
0
x2
0
0
x2
E
1
1
1
x 1
x2 dx
1
x
x2
x3 dx
0
0
1
x
x2
x3
x4
12 6 4 3
5
0. 42
2
3
4
0
12
12
1.9.1.2 Keha mass.
Kui keha jaotustihedus piirkonnas V on antud funktsiooniga f x, y, z
0, siis keha
mass avaldub valemiga
m
f x, y, z dxdydz
5
V
1.9.1.3 Keha masskese.
Kui keha jaotustihedus piirkonnas V on antud funktsiooniga f x, y, z
0, siis keha
masskeskme C xC, yC, zC koordinaadid saab arvutada valemitest
x
1
C
m
xf x, y, z dxdydz
V
y
1
C
m
yf x, y, z dxdydz
V
z
1
C
m
zf x, y, z dxdydz,
V
kus mass m arvutatakse valemist 5 .
Näide 41. On antud kera raadiusega R ja keskpunktiga koordinaatide alguses.
Määrata ülemise  poolkera  masskeskme koordinaadid, kui tihedus on  konstantne , s.t.
f x, y, z
0.
Ülemine poolkera on piiratud pindadega z
R2
x2
y2 ja z
0 ja tema
masskeskme koordinaadid on 0, 0, zC , kus
z
1
C
m
z 0dxdydz.
V
Minne  üle sfäärikoordinaatidele
0zdxdydz
R
2
2
04
r cos r2 sin dr d
d
z
V
0
0
0
C
R
2
2
r2 sin dr d
d
0dxdydz
04
0
0
0
V
R4
2 cos sin
2 d
d
R4
2
1 sin 2 d
4
0
0
4
2
0
2
R3
2 sin
2 d
d
R3
cos
2
3
3
2
0
0
0
R 1
cos 2
2
R 1 2
4 4
0
4 4
3R
1
1
8
3
3
Seega masskeskme koordinaadid on 0, 0, 3R
8
1.9.1.4 Keha inertsmomendid
Ixy, Iyz ja Ixz vastavalt xy-, yz- ja xz-tasandi suhtes leitaks valemitest
Ixy
z2f x, y, z dxdydz
V
Iyz
x2f x, y, z dxdydz
V
Ixz
y2f x, y, z dxdydz
V
Keha V inertsmomendid Ix, Iy ja Iz vastavalt x-, y- ja z-telje suhtes leitakse valemitest
Ix
Ixy
Ixz,
Iy
Ixy
Iyz,
Iz
Iyz
Ixz.
Keha V inertsmoment Il mingi telje l suhtes leitakse integraalist
Il
r2f x, y, z dxdydz,
V
kus r on punkti x, y, z kaugus  teljest  l.
Keha inertsmoment koordinaatide alguse O suhtes määratakse valemiga
IO
Ixy
Ixz
Iyz
Näide 42. Pöördsilindri kõrgus on 2h ja raadius R. Arvutada silindri inertsmoment tema
kesklõike  diameetri  suhtes, kui aine tihedus on konstantne, s. t f x, y, z
0.
Valime koordinaadistiku nii, et koordinaatide alguseks on silindri sümmetriakeskpunkt,
z-teljeks on aga silindri  telg
Siis tuleb arvutada silindri inertsmoment x-telje suhtes
Ix
Ixy
Ixz
y2
z2
0dxdydz.
V
Minne üle silinderkoordinaatidele saame
2
R
h
2
R
I
2h2
x
0
z2
2 sin2
dz
d
d
0
2h 2 sin2
d
d
0
0
h
0
0
3
2
2h2 R2
2hR4
2h2R2
2
0
sin2
d
0
2
2hR4
sin2 d
0
3
2
4
6
4
0
sin 2
2
2h2R2
2
1 cos 2
2h2R2
2
0
2
2hR4
d
2
2hR4
6
4
0
0
2
6
4
2
0
2h2R2
R2
0
2
2hR4
6
4
0
hR2
2h2
3
2
2.  JOONINTEGRAALID
2.1 Esimest liiki  joonintegraal
Olgu xyz-ruumis R3 antud joon AB parameetriliste võrranditega
x
x t
y
y t
t
z
z t
kus funktsioonid x, y ja z on sellel lõigul pidevalt diferentseeruvad . Sellist joont
nimetatakse ka sirgestuvaks. Kui need pidevad tuletised ei ole korraga nullid, siis
nimetatakse joont siledaks.
Märkus. Me vaatleme edaspidi nn. normaalseid jooni, s.t. jooni, mis on sirgestuvad või
isegi siledad. Samuti jätame välja  juhud , kus joon lõikub  iseendaga .
Olgu joonel AB antud kolme muutuja funktsioon f x, y, z . Jaotame joone AB n osaks
punktidega Pi (i
0, 1,
, n), kus A
P0 ja B
Pn. Saadud osakaarte Pi 1Pi pikkused
olgu si, kusjuures kaare pikkust mõõdame alati alguspunktist lõpp-punkti poole. Valime
igal osakaarel punkti Qi
Pi 1, Pi
ja moodustame summa
n
f Q
i 1
i
si.
Definitsioon. Kui sellel summal on max si
0 korral olemas piirväärtus sõltumata
joone osadeks jaotamise viisist ega punktide Qi valikust, siis nimetatakse seda
piirväärtust funktsiooni f esimest liiki joonintegraaliks ehk joonintegraaliks kaare pikkuse
järgi üle AB ja tähistatakse
J
f x, y, z ds
fds
lim
n
max s
f Qi
si
6
AB
AB
i
0
i 1
Joont AB integraalis (6) nimetatakse integreerimisteeks, punkti A nimetatakse
integreerimistee alguspunktiks ja punkti B tema lõpp-punktiks.
Integreerimisteed AB märgitakse ka ühe tähega L, s.o.
J
f x, y, z ds
f x, y, z ds.
AB
L
Kui joon on  kinnine , s.t. A
B, siis kasutatkse sageli ka sümbolit
J
f x, y, z ds
L
2.1.1 I liiki  joonintegraali  arvutamine
Kehtib
Teoreem 8. Kui funktsioon f on pidev joonel AB, siis on tal olemas I liiki jooninegraal
6 , kusjuures kehtib valem
2
2
2
J
f x, y, z ds
f x t , y t , z t
dx
dy
dz
dt
7
AB
dt
dt
dt
Kui joon AB asub xy-tasandil (või yz-, või xz-tasandil), siis nimetatakse joonintegraali
tasandiliseks. Sel korral ka funktsioon f võib olla kahe muutuja funktsioon ja
joonintegraal 6 esitub kujul
J
f x, y ds.
AB
Kui  tasandiline  joon AB on antud parameetriliste võrranditega
x
x t
t
y
y t
siis
2
2
f x, y ds
f x t , y t
dx
dy
dt.
8
AB
dt
dt
Kui tasandiline joon AB on antud ristkoordinaatides võrrandiga
y
y x ,
x
a, b ,
siis
b
2
f x, y ds
f x, y x
1
dy
dx
9
AB
a
dx
Kui aga tasandiline joon AB on antud polaarkoordinaatides võrrandiga
, kus punktile A vastab
, punktile B aga
siis
f x, y ds
f
cos , sin
2
2 d
10
AB
Näide 43. Leida tasandiline joonintegraal
J
xds ,
AB
2 y
kus joon AB on antud võrranditega
y
x
3,
x
1, 4 .
Kasutame valemit 9 , mille pöhjal
4
4
4
4
J
x
1
1 dx
x 3 3 dx
dx
3
dx
3 1
ln 7
ln 4
1, 32
1
2 x 3
1
x 3
1
1 x 3
Näide 44. Leida tasandiline joonintegraal
J
yds,
AB
kus joon AB on poolrinjoon
x2
y2
2x
y
0 , kus A 2, 0 , B 0, 0
Ülesannet saab lahendada kahel viisil. Joone AB võrrand polaarkoordinaatides on
2 cos ,
0,
2
Valemi 10 põhjal
J
2
sin
4 cos2
4 sin2 d
2 2
sin d
0
0
4 2 cos sin d
4 2 sin d sin
2
0
0
Teisalt , selle ringjoone AB parameetrilised võrrandid on
x
1
cos t ,
t
0,
y
sin t
Valemi 8 põhjal saame sama tulemuse:
J
yds
sin t sin2t
cos2t dt
sin tdt
cos t
0
2.
AB
0
0
Kui joon AB on ruumiline joon, siis öeldakse ka, et joonintegraal (6) on ruumiline
joonintegraal.
2.1.2 I liiki joonintegraali omadusi
Joonintegraali arvutamisel kasutatakse tema järgmisi omadusi
1. Joonintegraal 6 ei sõltu integreerimistee läbimise  suunast , s.t.
f x, y, z ds
f x, y, z ds
AB
BA
2. Joonintegraal on  aditiivne , s.t
f x, y, z ds
f x, y, z ds
f x, y, z ds
AB
AC
CB
3. Joonintegraal on lineaarne, s.t iga arvu k ja l korral
k f x, y, z
l g x, y, z ds
k
f x, y, z ds
l
g x, y, z ds
AB
AB
AB
Näide 45. Arvutada
x
y ds,
L
kus kinnine joon L koosneb punktide A 0, 0 ja B 1, 1 vahelisest parabooli y
x2
kaarest ning punkte B, C 1, 0 ja A ühendavast murdjoonest
Nüüd koosneb integreerimistee L kolmest tükist: parabooli kaarest L1, kus y
x2
y
x , x
0, 1 , sirglõikudest L2 , kus x
1, y
0, 1 ja L3 , kus y
0, x
0, 1 .
Seega
x
y ds
x
y ds
x
y ds
x
y ds
L1
L2
L3
L
Kasutame nüüd joone L1 puhul valemit 9 , joone L2 puhul aga arvestame, et ds
dy
x
1, siin
1
y 2
1
02
1
ja L3 puhul
ds
dx y
0, siin
1
y 2
1
02
1 ,
1
1
1
1
1
1
x
x
1
4x2 dx
1
y dy
xdx
1
8x 1
4x2 dx
1
y dy
xdx
0
0
0
4
0
0
0
1
1 4x2 3
1
1
y3
y
x2
1
1
5 5
1
5
1
5 5
2
3. 86
4
3
0
3
2
0
6
3
2
6
2
2
0
Näide 46. Arvutada
x
y ds,
L
kus L on joone
x2
y2
z2
R2
y
x
kaar, mis asub I oktandis.
Leiame joone L parameetrilised võrrandid
x
t
y
t
t
0, R
2
z
R2
2t2
Siin t muutumise  rajad  leiame sellest, et ühes joone L otspunktis (vt. joonist)
z
0
R2
2t2
0
t
R ,
2
teises L otspunktis
z
R
R2
2t2
R
t
0.
Nüüd
R
R
x
y ds
2
t
t
12
12
2t 2
dt
2
t
t
12
12
4t2
dt
L
0
2
R2 2t2
R2 2t2
0
R
R
R
R2 2t2
2
2
2t
2R2
dt
R
2
4tdt
R
2R2
0
2 R2
0
1
R2 2t2
2
0
R2 2t2
2
2
2
2.1.3 Esimest liiki joonintegraali rakendusi
2.1.3.1 Joone pikkus.
Kui xyz-ruumis antud joon AB on sirgestuv, siis, nagu näeme definitsioonist, avaldub
tema pikkus sAB valemiga
sAB
ds.
AB
2.1.3.2 Silinderpinna pindala.
Olgu funktsioon f x, y pidev xy-tasandil asetseval joonel AB. Vaatleme vertikaalset
silinderpinda ABCD, mille alumine serv on joon AB ja ülemine serv on funktsiooni f
graafik  z
f x, y .
Siis pinna ABCD pindala SABCD avaldub valemiga
SABCD
f x, y ds.
AB
Seda võib ka vaadelda kui I liiki joonintegraali geomeetrilist tõlgendust.
Näide 47. Leida vertikaalse silinderpinna pindala, kui pinna alumine serv asetseb
xy-tasandil ja ülemine serv on joon
x2
y2
a2
x
0, z
0.
z
x
See pind on püstsilinder, mis on alt piiratud xy-tasandiga ja ülalt tasandiga z
x.
Nagu näeme jooniselt, on see pindala
S
xds.
AB
Kasutame nüüd valemit (8), kusjuures joont AB on kasulik esitada parameetrilisel kujul
(arvestame ka sümmeetriat)
x
a cos t
t
0,
y
a sin t
S
2 2 a cot s
a sin t 2
a cos t 2 dt
2a2 2 cot tdt
2a2 sin t
2
0
2a2
0
0
2.1.3.3 Joone mass.
Kui joone AB joontihedus p
p x, y, z on pidev funktsioon, siis selle joone mass mAB
leitakse valemist
mAB
p x, y, z ds
AB
2.1.3.4 Joone masskese.
Eelmise punkti joone masskeskme C xC, yC, zC saame leida valemitest
x
1
1
1
C
m
xp x, y, z ds
yC
yp x, y, z ds
zC
zp x, y, z ds.
AB
AB
mAB
AB
mAB
AB
2.2 Teist liiki joonintegraalid.
Olgu xyz-ruumis R3 antud joon (vt. 2.1 Märkus) AB, millele on antud suund nii et A on
joone alguspunkt ja B on joone lõpp-punkt.
Olgu joonel AB antud kolme muutuja funktsioon f x, y, z . Jaotame joone AB n osaks
punktidega Pi (i
0, 1,
, n), kus A
P0 ja B
Pn. Valime igal osakaarel punkti
Qi
Pi 1, Pi ja moodustame summa
n
f Q
i 1
i
xi,
kus xi
xi
xi 1.
Definitsioon. Kui sellel summal on max xi
0 korral olemas piirväärtus sõltumata
joone osadeks jaotamise viisist ega punktide Qi valikust, siis nimetatakse seda
piirväärtust funktsiooni f teist liiki joonintegraaliks ehk joonintegraaliks koordinaadi x
järgi üle joone AB ja tähistatakse
J
f x, y, z dx
fdx
lim
n
max x
f Qi
xi
11
AB
AB
i
0
i 1
Erijuhul, kui joon AB asub x- teljel , on see määramatu integraal.
Moodustades summad
n
f Q
n
f Q
i 1
i
yi,
i 1
i
zi,
võime samal viisil defineerid joonintegraalid koordinaadi y või z järgi, s.o.
joonintegraalid
J
f x, y, z dy
fdy
lim
n
max y
f Qi
yi
12
AB
AB
i
0
i 1
ja
J
f x, y, z dz
fdz
lim
n
max z
f Qi
zi.
13
AB
AB
i
0
i 1
Definitsioon. Olgu joonel AB määratud kolm funktsiooni f x, y, z , g x, y, z ja q x, y, z ,
siis integraali
J
fdx
gdy
qdz
fdx
gdy
qdz
14
AB
AB
AB
AB
nimetatakse üldiseks II liiki joonintegraaliks ehk joonintegraaliks koordinaatide järgi.
Joonintegraalid 11 , 12 ja 13 on joonintegraali 14  erijuhud .
Joont ABintegraalides 11
14 nimetatakse integreerimisteeks, punkte A ja B
integreerimistee algus- ja lõpp-punktiks.
Joonintegraale nimetatakse tasandilisteks, kui joon AB asub kas xy- või xz- või
yz-tasandil (siis võib funktsioon f olla ka kahe muutuja funktsioon).
juhul kui joon AB on ruumiline joon, siis nimetatakse joonintegraale (10)-(13) ka
ruumilisteks joonintegraalideks.
2.2.1 II liiki joonintegraali omadusi
Teist liiki joonintegraalil on  muuseas  järgmised omadused:
1. II liiki joonintegraalid muudavad märki, kui integreerimistee AB suund muutub, s.t.
fdx
gdy
qdz
fdx
gdy
qdz.
AB
BA
2. Kui joon AB on risti x-teljega (y-teljega, z-teljega), siis
fdx
0
gdy
0,
qdz
0 .
AB
AB
AB
3. II liiki joonintegraalid on aditiivsed
fdx
gdy
qdz
fdx
gdy
qdz
fdx
gdy
qdz
AB
AC
CB
4. II liiki joonintegraalid on  lineaarsed , s.t. suvaliste konstantide k ja l jaoks
k f1
l f2 dx
k g1
l g2 dy
k q1
l q2 dz
AB
k
f1dx
g1dy
q1dz
l
f2dx
g2dy
q2dz.
AB
AB
Joonintegraalides (10)-(13) märgitakse integreerimisteed AB ka ühe tähega L, eriti siis,
kui joon AB on kinnine, s.t. A
B. Sel korral märgitakse integreerimistee läbimissuund
täiendavalt juurde. Siis tähistatkse joonintegraali ka sümboliga
fdx
gdy
qdz.
L
Kui kinnine joon L asub xy-tasandil, (s.t. meil on tegu integraaliga
f x, y dx
g x, y dy
L
), siis loetakse integreerimistee positiivseks suunaks sellist suunda, et z-telje poolt
vaadatuna jääb joone poolt piiratud ala vasakule (s.t joon läbitakse vastupäeva,
kellaosuti liikumise  vastassuunas ).
II liiki joonintegraali olemasolu  selgub  järgisest
Teoreem 9. Kui funktsioon f, g ja q on pidevad parameetriliste võrranditega antud
joonel AB, siis on tal olemas II liiki jooninegraal 11
14 , kusjuures kehtivad valemid
J
f x, y, z dx
f x t , y t , z t
dx dt
15
AB
dt
J
f x, y, z dy
f x t , y t , z t
dy dt
16
AB
dt
J
f x, y, z dz
f x t , y t , z t
dz dt
17
AB
dt
J
f x, y, z dx
g x, y, z dy
q x, y, z dz
AB
f x t , y t , z t
dx
g x t , y t , z t
dy
q x t , y t , z t
dz
dt 18
dt
dt
dt
Kui tasandiline joon AB on antud võrrandiga
y
y x ,
x
a, b ,
siis
b
f x, y dx
f x, y x dx.
19
AB
a
Näide 48. Leida joonintegraal
J
xydx,
L
kus joon L on kolmnurga ABC  kontuur , kus A 0, 0 , B 1, 0 ja C 0, 1 .
Aditiivsusest saame
J
xydx
xydx
xydx.
AB
BC
CA
Kuna CA on risti x-teljega, seega omaduse 2 põhjal viimane integraal üle CA on null..
Seega
J
xydx
xydx.
AB
BC
Kasutame nüüd valemit 19 .
Sirge AB võrrand on y
0, x
0, 1 .
Sirge BC võrrand aga y
1
x, x
1, 0 . Seega
1
0
0
J
x 0dx
x 1
x dx
x2
x3
1
0
1
2
3
1
6
2.2.2 II liiki joonintegraali sõltumatus integreerimisteest
II liiki joonintegraalil on huvitav omadus. Vaatleme lihtsuse mõttes tasandilist
joonintegraali
J
fdx
gdy,
20
L
üle tasandilise joone L , mis ühendab punkte M ja N. Siis joonintegraal ei sõltu
integreerimisteest, kui
J
fdx
gdy
fdx
gdy
fdx
gdy.
L
MQN
MPN
Meenutame, et funktsiooni z
u x, y täisdiferentsiaaliks nimetatakse avaldist
dz
ux x, y dx
uy x, y dy.
Selleks, et  avaldis  fdx
gdy oleks mingi funktsiooni täisdiferentsiaal, on tarvilik ja
piisav, et
fy
gx.
Osutub, et kehtib
Teoreem 10. Olgu funktsioonid f ja g ning nende osatuletised fy ja gx pidevad
piirkonnas D. Siis joonintegraal
J
fdx
gdy
AB
on sõltumatu integreerimisteest parajasti siis, kui selles piirkonnas D integraalialune
avaldis
fdx
gdy
on mingi funktsiooni täisdiferentsiaal, s.t.
f
f
g
y
gx
y
x
Sama kehtib ka ruumilise joonintegraali jaoks.
Teoreem 11. Olgu funktsioonid f, g ja q ning nende osatuletised fy, fz, gz, gx, qx ja qy
pidevad piirkonnas D. Siis joonintegraal
J
fdx
gdy
qdz
AB
on sõltumatu integreerimisteest parajasti siis, kui selles piirkonnas D integraalialune
avaldis
fdx
gdy
qdz
on mingi funktsiooni täisdiferentsiaal, s.t.
f
f
g
q
q
y
gx, gz
qy, qx
fz
, g
, f
y
x
z
y
z
x
Näide 49. Näidata, et joonintegraal
J
x
ey dx
xeydy
L
ei sõltu integreerimisteest.
Funktsioonid f x, y
x
ey ja g x, y
xey ja nende osatuletised fy
ey ja gx
ey on
pidevad kogu xy-tasandil ja fy
gx. Seega teoreemi 9 põhjal joonintegraal on
integreerimisteest sõltumatu kogu xy-tasandil.
Teoreemist 10 saame teha
Järeldus. Teoreemi 10 eeldustel II liiki joonintegraal üle kinnise kontuuri L, mis piirab
piirkonda D on võrdne 0:ga, s.t.
J
fdx
gdy
fdx
gdy
fdx
gdy
0,
MPN
MQN
L
parajasti siis kui
fy
gx
Seega võttes näite 49 integraalis piirkonnaks D näiteks ringi x
5 2
y
6 2
3,
saame et see joonintegraal üle ringjoone L
x, y : x
5 2
y
6 2
3
J
x
ey dx
xeydy
0
L
2.2.3  Greeni  valem
Kehtib ka Greeni valem, mis annab seose üle mingi tasandilise piirkonna D võetud
kahekordse integraali ja üle selle piirkonna rajajoone L võetud joonintegraali vahel
Teoreem 12. Olgu xy-tasandil antud kinnise kontuuriga L piiratud piirkond D ja olgu
piirkonnas D antud pidevad funktsioonid f ja g, millel on pidevad osatuletised. Siis
J
gx
fy dxdy
fdx
gdy
D
L
(Tuletame meelde, et tasandilises II liiki joonintegraalis läbitakse kontuur L nii, et
piirkond jääb ülalt vaadates kontuurist vasakule).
Näide 50. Leida Greeni valemi abil joonintegraal
x2 sin x
y dx
xy2
cos y dy,
L
kus L on ringjoon x2
y2
R2.
Siin f x, y
x2 sin x
y ja g x, y
xy2
cos y . Seega gx
y2 ja fy
x2 ja Greeni
valemi põhjal
2
R
J
x2
y2 dxdy
d
3d
R4
0
0
2
D
Näide 51. Arvutada joonintegraal
ex sin y
y dx
y2
ex cos y dy,
AB
kus AB on ringjoone y
ax
x2 kaar, A a, 0 ja B 0, 0 .
Seega terve ringjoon oleks (teisendame täisruutu)
2
2
x
a
y2
a
2
2
meie vaatleme ainult selle ülemisat poolt. Kaare AB asemel me võime vaadelta kinnist
joont ABA, sest aditiivsusest
ex sin y
y dx
y2
ex cos y dy
ABA
ex sin y
y dx
y2
ex cos y dy
ex sin y
y dx
y2
ex cos y dy.
AB
BA
Joone BA võrrand on aga y
0, seega ka dy
0 ja kogu teine integraal
ex sin y
y dx
y2
ex cos y dy
0.
BA
Seega
ex sin y
y dx
y2
ex cos y dy
ex sin y
y dx
y2
ex cos y dy
AB
ABA
ja me võime rakendada Greeni valemit, kus gx
fy
1. Järelikult
ex sin y
y dx
y2
ex cos y dy
dxdy,
AB
D
kus D on joonega ABA piiratud poolring. Nagu teada, esitab saadud kahekordne
integraal integreerimispiirkonna pindala. Järelikult on antud integraali väärtus
1
a
2
a2
2
2
8
2.2.4 Teist liiki joonintegraali rakendusi.
2.2.4.1 Tasandilise kujundi pindala.
Kui piirkond D on piiratud joonega L, mis on antud parameetriliste võrranditega
x
x t
t
y
y t
siis piirkonna D pidala saab arvutada valemitest
S
xdy
S
ydx
S
1
xdy
ydx
2
L
L
L
(Meenutame, et ringkäigu suund joonel L toimub vastupidiselt kellaosuti liikumise
suunale)
Näide 52. Arvutada ellipsi
x
a cos t
t
0, 2
y
b sin t
pindala.
Kasutame 3. pindala valemit
2
S
1
xdy
ydx
a cos tdy
b sin tdx
1
a cos tb cos t
b sin t
a sin t dt
2
2
0
L
L
ab
2
2
cos2t
sin2t dt
ab
dt
ab
2
0
2
0
2.2.4.2 Muutuva jõu poolt kõverjoonelisel teel tehtud töö.
Liikugu materiaalne punkt P x, y, z massiga m mööda joont AB jõu F toimel, mis punti
P liikumisel muutub nii suuruse kui ka sihi poolest, s.t.
F
X x, y, z , Y x, y, z , Z x, y, z .
Siis jõu F poolt tehtud töö W on arvutatav valemist
W
m
Xdx
Ydy
Zdz
AB
Näide 53. Määrata raskusjõu G poolt tehtud töö W massi m liikumisel mööda  suvalist
teed L punktist A a1, a2, a3 punkti B b1, b2, b3
Raskusjõu projektsioonid koordinaatttelgedele on
X
0,
Y
0,
Z
g.
Seega tehtud töö on
b
W
m
Xdx
Ydy
Zdz
m
3
g dz
mg a3
b3 .
AB
a3
Antud juhul joonintegraal ei sõltu integreerimisteest, vaid ainult selle algus- ja
lõpp-punktist. Veel täpsemini, raskusjõu poolt  tehtav  töö sõltub ainult tee alguspunkti ja
lõpp-punkti kõrguste vahest.
3. PIDINTEGRAALID
3.1 Esimest liiki  pindintegraal
Olgu kolmemõõtmelises ruumis R3 antud pind
Märkus. Me eeldame, et pind
on normaalne, s.t. ta on sile: tema igas punktis saab
leida puutujatasandi ja  normaali . Samuti eeldame, et ta on kahekügne, s.t. tema
mistahes joont pidi liikudes normaali suund lähtepunkti tagasijõudes jääb samaks.
Jagame pinna
mingil viisil n siledaks osaks
1,
2, ...
n, kus
Si tähistab tüki
i pindala.
Olgu pinnal
antud funktsioon
f P
f x, y, z
Moodustame integraalsumma
n
f Pi
Si,
i 1
kus Pi
i. Olgu
i osapiirkonna
i  diameeter .
Definitsioon. Kui sellel summal on max
i
0 korral olemas piirväärtus sõltumata
pinna
osadeks jaotamise viisist ega punktide Pi valikust, siis nimetatakse seda
piirväärtust funktsiooni f esimest liiki pindintegraaliks ehk pindintegraaliks pindala järgi
üle
ja tähistatakse
fdS
f x, y, z dS.
Seega
n
fdS
limmax 0
f Pi
Si
i 1
Kui pind
asub xy-tasandil ja f
R3, siis I liiki pindintegraal kujutab endast
kahekordset integraali. Sama on ka siis, kui pind asub yz- või xz-tasandil.
I liiki pindinegraali olemasolu järgneb järgmisest lausest
Teoreem 12. Kui pind
on sile ja funktsioon f on pidev sellel pinnal, siis eksisteerib
sellel funktsioonil I liiki pindinegraal üle pinna
3.1.1 Esimest liiki pindintegraali omadused
I liiki pindintegraalil on samad omadusd kui kahekordsel integraalil, s.t. I liiki
pindintegraal on aditiive, lineaarne,  monotoonne .
3.1.2 Esimest liiki pindintegraali arvutamine
3.1.2.1 Kui pind
on antud  ilmutatud  võrrandiga
z
z x, y , kus x, y
D,
siis pindintegraal avaldub kahekordse integraalina
fdS
f x, y, z x, y
1
z2
2
x
zy dxdy
21
D
Selle valemiga analoogsed valemid saame, kui pind
avaldub ilmutatud kujul
võrranditega x
x y, z või y
y x, z
Näide 54. Arvutada
x2
y2
z2 dS, kus
on  koonuse
x2
y2
z
h pind.
Antud juhul koosneb pind
kahest tükist:  koonilise  pinna tükist
1, kus z
x2
y2 ja
tasandi z
h tükist
2. Arvestades aditiivsust, saame
x2
y2
z2 dS
x2
y2
z2 dS
x2
y2
z2 dS.
1
2
Arvutamiseks teisendame mõlemad integraalid valemi
järgi kahekordseteks
integraalideks, kusjuures integreerimispiirkondadeks võtame pinnatükkide
1 ja
2
projektsioonid xy-tasandil, milleks osutub mõlemal juhul ring D võrrandiga x2
y2
h2.
Arvutame nüüd ruutjuure. Koonilise pinna puhul z
x2
y2 . Seega
z
x
y
x
zy
ja
x2 y2
x2 y2
1
x2
y2
2
x2 y2
x2 y2
Tasandi z
h puhul zx
zy
0 ja
1
0
0
1.
Seega
x2
y2
z2 dS
x2
y2
x2
y2
2 dxdy
x2
y2
h2 dxdy
D
D
h
h2 x2
h
h2 x2
2 2
dx
x2
y2 dy
dx
x2
y2
h2 dy
h
h2 x2
h
h2 x2
Nagu näeme, on  integreerimine  ristkoordinaatides tülikas, mistõttu läheme üle
polaarkoordinaatidele
2
h
2
h
x2
y2
z2 dS
2 2
d
3d
d
2
h2
d
0
0
0
0
2 2
2
h4
2
h4
h2
h2
2 2
3 h4
9, 16h4.
4
4
2
2
3.1.2.2 Kui pind
on antud parameetriliste võrranditega
x
x u, v
y
y u, v
u, v
D,
z
z u, v
siis
fdS
f x u, v , y u, v , z u, v
EG
F2 dudv,
22
D
kus
E
x2
2
2
2
2
2
u
yu
zu, F
xuxv
yuyv
zuzv, G
xv
yv
zv
Näide 55. Arvutada pindintegraal
x
y
z dS,
kus
on poolsfäär x2
y2
z2
R2, z
0 parameetriliste võrranditega
x
R cos sin
y
R sin sin
0, 2
0, 2
z
R cos
Saame
x
R sin sin
y
R cos sin
z
0
x
R cos cos
y
R sin cos
z
R sin ,
kust
E
R2 sin2
F
0
G
R2.
Valemi 22 põhjal saame nüüd
2
x
y
z dS
R3 2
sin2
cos
sin
sin
cos
d
d
0
0
2
R3 2 sin2
sin
cos
sin 2
d
R3 2 sin 2 d
0
2
0
0
R3 1
cos 2
cos 2 0
R3.
2
2
3.1.3 Esimest liiki pidintegraali rakendused
3.1.3.1 Pinnatüki pindala
Sileda  pinna
pindala on arvutatav valemiga
S
dS
23
Näide 56. Leida sfääri x2
y2
z2
R2 ülemise poole pindala.
Tuleb leida integraal 23 mööda pinda
z
R2
x2
y2 ,
kus x2
y2
R2.
Et
1
z2
2
y2
x
zy
1
x2
R2 x2 y2
R2 x2 y2
R
R2 x2 y2
siis valemi 21 põhjal saame
2
R
S
Rdxdy
R
d
d
2 R2
R2 x2 y2
0
0
R2
2
D
3.1.3.2 Pinna mass
Olgu pinna
pindtihedus määratud funktsiooniga
x, y, z . Siis pinna
mass m
on arvutatav valemiga
m
x, y, z dS
3.1.3.3 Masskeskme koordinaadid
Materjaalse pinna pindtihedusega
x, y, z masskeskme C(xC, yC, zc koordinaadid
saab leida valemitest
x
1
c
m
x
x, y, z dS
y
1
c
m
y
x, y, z dS
z
1
c
z
x, y, z dS
m
3.1.3.4 Pinna inertsmomendid
Kui pinna
pindtihedus on
x, y, z siis selle pinna inertsmomendid
koordinaattelgede suhtes on arvutatavad valemitega
Ix
y2
z2
x, y, z dS
Iy
x2
z2
x, y, z dS
Iz
x2
y2
x, y, z dS
3.2 Teist liiki pindintegraalid
Olgu ruumis R3 antud sile pind parameetriliste võrranditega
x
x u, v
y
y u, v
u, v
D,
z
z u, v
Näide. Sfääri x2
y2
z2
R2 parameetrilised võrrandid on
x
Rcos sin , y
R sin sin , z
R cos ,
0, 2
2
2
Sfäär on sile pind, s.t. tema igas punktis saab leida puutujatasandi ja normaali.
Sile pind
, mille määravad parameetrilised võrrandid on alati kahekülgne, s.t. tema
mistahes joont pidi liikudes normaali suund lähtepunkti tagasijõudes jääb samaks.
Seejuures pinna külge, mille määrab normaal n
cos , cos , cos
, kus
cos
A
A2 B2 C2
cos
B
A2 B2 C2
cos
C
A2 B2 C2
ja
yu zu
zu xu
xu yu
A
, B
, C
24
yv zv
zv xv
xv yv
nimetatakse pinna positiivseks küljeks (siis C
0, cos
0: normaal moodustab
z-teljega teravnurga . Pinna
teist külge nimetame siis pinna negatiivseks küljeks.
Erijuhul kui pind
on antud ilmutatud võrrandiga z
z x, y , kus x, y
D, siis tema
positiivseks küljeks on pinna ülemine külg ja negatiivseks küljeks tema alumine külg
xx yx
1 0
(C
1
0).
xy yy
0 1
Olgu pinnal
määratud kolme muutuja funktsioon f x, y, z .
Nagu osas 3.1 jagame pinna
mingil viisil n siledaks osaks
1,
2, ...
n ja valime
igas osas
i suvaliselt punkti Pi. Olgu
xy ,
pinnatüki
i
xzi
yzi
i projektsioonid
vastavalt xy , xz
yz-tasandil. Tähistame nende projektsioonide pindalad vastavalt
Sxy , S , S
ja moodustame integraalsummad
i
xzi
yzi
n
n
n
xy
f Pi
Sxy ,
f P
f P
i
xz
i
Sxzi
yz
i
Syzi
i 1
i 1
i 1
Tähistame tähega
osapiirkondade
1,
2, ...
n suurima diameetri.
Definitsioon. Piirväärtusi lim 0 xy, lim 0 xz, lim 0 yz nimetatakse funktsiooni f teist
liiki pindintegraalideks ehk pindintegraalideks projektsioonide järgi üle
ja märgitakse
vastavalt
f x, y, z dxdy,
f x, y, z dxdz,
f x, y, z dydz.
Seega
n
n
fdxdy
lim 0
f Pi
Sxy ,
fdxdz
lim
f P
i
0
i
Sxzi
i 1
i 1
n
fdydz
lim 0
f Pi
Syzi
i 1
Definitsioon. Olgu pinnal
määratud kolm funktsiooni f x, y, z , g x, y, z ja q x, y, z .
Siis üldiseks teist liiki pindintegraaliks nimetatakse järgmist pindintegraalide summat
fdxdy
gdxdz
qdydz
fdxdy
gdxdz
qdydz.
Avaldist fdxdy
gdxdz
qdydz nimetatakse integraalialuseks avaldiseks.
II liiki pidintegraali olemasolu saab kindlaks teha järgmise piisava tunnuse järgi
Teoreem 13. Kui pind
on sile ja funktsioon f on pidev sellel pinnal, siis eksisteerivad
selle funktsiooni II liiki pindintegraalid üle
3.2.1 Teist liiki pindintegraali omadused
II liiki pindintegraalil on samad omadusd kui kahekordsel integraalil, s.t. I liiki
pindintegraal on aditiive, lineaarne, monotoonne.
Kuid lisaks nendele on II liiki pindintegraalil veel järgmised omadused, mis eristavad
teda oluliselt I liiki pindintegraalist.
Omadus 1. Kui pind
on risti xy tasandiga, siis
f x, y, z dxdy
0.
Analoogiline omadus kehtib ka pidintegraalidele xz
ja yz projektsioonide järgi.
Omadus 2. Pinna
poole muutumisel muutub II liiki pindintegraali märk
vastupidiseks.
Paneme tähele, et I liiki pidintegraali märk ei sõltunud pinna
poolest
3.2.2 Teist liiki pindintegraali arvutamine
3.2.2.1 Kui pind
on antud parameetriliste võrranditega
x
x u, v
y
y u, v
u, v
z
z u, v
siis
fdxdy
f x u, v , y u, v , z u, v Cdudv
fdxdz
f x u, v , y u, v , z u, v Bdudv
25
fdydz
f x u, v , y u, v , z u, v Adudv,
kus A, B ja C on antud valemitega 24 . Sealjures paremal integraalide ees tuleb võtta
plussmärk, kui integreerimiseks on valitud pinna
positiivne külg (C
0. Siis cos
0:
normaal moodustab z-teljega teravnurga , ja miinusmärk, kui integreerimiseks on valitud
pinna
negatiivne külg.
Näide 57. Arvutada pindintegraal
I
xdydz
ydxdz
zdxdy,
kus tähendab poolsfääri x2
y2
z2
R2, z
0 välist poolt.
Poolsfääri saab esitada parameetriliste võrranditega
x
R cos sin , y
R sin sin , z
R cos ,
0, 2
0, 2
Siis, võttes u
, v
y
z
R cos sin
0
A
R2 sin2 cos
y
z
R sin cos
R sin
z
x
0
R sin sin
B
R2 sin2 sin
z
x
R sin
cos cos
xu yu
R sin sin
R cos sin
C
R2 cos sin
R2 sin 2
0
x
2
v
yv
R cos cos
R sin cos
Seega sfääri positiivseks küljeks on tema sisekülg.
Valemite 25 põhjal (siin peab leidma II liiki pindintegraali üle välimise külje, kus
C
0)
I
xA
yB
zC d d ,
kus
on ristkülik 0,2 ;0,
. Seega
2
2
I
R3
d
2
sin3
cos2
sin2
cos2 sin
d
0
0
2
R3
d
2
sin3
cos2 sin
d
0
0
2
R3
d
2
sin
sin2
cos2
d
0
0
2
2
R3
d
2 sin d
R3
d
2 R3
0
0
0
3.2.2 Kui pind
on antud ilmutatud kujul võrrandiga
z
z x, y ,
x, y
D,
siis
fdxdy
f x, y, z x, y dxdy
D
Samamoodi, kui pind
on antud ilmutatud kujul võrrandiga
x
x y, z ,
y, z
D,
siis
fdydz
f x y, z , y, z dydz.
D
Lõpuks kui pind
on antud ilmutatud kujul võrrandiga
y
y x, z , x, z
D,
siis
fdxdz
f x, y x, z , z dxdz
D
Näide 58. Leida pindintegraal
I
z2dxdy,
kus
on sfääri x2
y2
z2
1 alumise poole ülemine külg.
Esimese arvutusvalemi puhul sfääri alumine pool avaldub ilmutatud kujul
z
1
x2
y2
x, y
D
x, y : x2
y2
1 .
ûlemine külg tähendab, et parempoolses integraalis tuleb valida plussmärk. Nüüd
2
1
I
1
x2
y2 dxdy
d
1
2
d
0
0
2
D
3.2.3 Teist liiki pindintegraali arvutamist võib taandada I liiki pindintegraali
arvutamisele järgmise seose abil
fdydz
gdxdz
qdxdy
f cos
g cos
q cos
dS,
kus
cos
A
A2 B2 C2
n
cos , cos , cos
cos
B
A2 B2 C2
cos
C
A2 B2 C2
on integreerimiseks valitud pinna külje normaal.
3.2.3  Gauss -Ostrogradski valem
See valem võimaldab II liiki pindintegraali arvutada kolmekordse integraali abil.
Teoreem 14. Olgu ruumiline piirkond V kinnine ja tema rajapind
sile. Kui
funktsioonid f, g ja q ning nende osatuletised fx, gy ja qz on pidevad piirkonnas V, siis
kehtib Gauss-Ostrogradski valem
fdydz
gdxdz
qdxdy
fx
gy
qz dxdydz,
V
kus pindintegraal vasakul on võetud mööda pinna
väliskülge.
Näide 59. Leida Gauss-Ostrogradski valemi abil pindintegraal
I
zdxdy,
kus
on esimeses oktandis  asetseva  kera x2
y2
z2
R2 osa pinna väliskülg.
Et f
g
0, q
z, siis fx
gy
0 ja qz
1 ning
I
dxdydz,
V
kus
on esimeses oktandis asetseva kera x2
y2
z2
R2 osa.Et kera ruumala on
4
R3, siis I
R3 .
3
6
Gauss-Ostrogradski valemist saame ka II liiki pindintegraali geomeetrilise  rakenduse .
Nimelt kui funktsioonid f, g ja q rahuldavad piirkonnas V tingimust fx
gy
qz
1, siis
piirkonna V ruumala Von arvutatav valemiga
VV
fdxdy
gdxdz
qdydz.
Siit saame erijuhtudena valemid
VV
zdxdy
VV
ydxdz
VV
xdydz
V
1
V
zdxdy
ydxdz
xdydz
3
3.2.4  Stokesi  valem
See võimaldab arvutada II liiki joonintegraali II liiki pindintegraali abil.
Teoreem 15. Olgu pind
ja tema rajajoon L siledad. Kui funktsioonid f, g ja q ning
nende osatuletised fy, fz, gx, gz, qx ja qy on pidevad pinnal
, siis kehtib Stokesi valem
fdx
gdy
qdz
qy
gz dydz
fz
qx dzdx
gx
fy dxdy,
L
kus joonintegraal on võetud mööda joont L positiivses suunas pinna
külje suhtes,
mida mööda integreeritakse.