b). Joone käänupunktid. Punkti, mis eraldab pideva joone kumerat osa nõgusast, nimetatakse selle joone käänupunktiks. Asümptoodi mõiste. Vaatleme tasandil xy - teljestikus joont y = f(x). Sirget l nimetatakse joone y = f(x) asümptoodiks, kui joone y = f(x) jooksva punkti eemaldumisel lõpmatusse selle punkti kaugus sirgest l läheneb nullile. Punkt eemaldub lõpmatusse, kui selle punkti kaugus koordinaatide alguspunktist kasvab piiramatult. Vertikaalasümptoodid. Need on y-teljega paralleelsed sirged. Asümptoodi võrrand on x = a. Millistel tingimustel on sirge a=x joone y=f(x) vertikaalasümptoot? Sirge x = a on joone y = f(x) asümptoodiks siis ja ainult siis, kui kehtib vähemalt üks järgmistest piirväärtustest: limxa- f(x) = -, limxa- f(x) = , limxa+f(x) = - või limxa+f(x) = . Kaldasümptoodid. Need on sirged, mis ei ole paralleelsed y-teljega. Asümptoodi võrrand on y = kx + b, kus k on asümptoodi tõus
Võttes y=x, saame dy=dx = x'x= x, dx argumendi hulgal (a - , a) ja kumer hulgal (a, a + ). diferentsiaal dy=f'(x)dx <->f'(x)= . Omadusi: *funktsiooni diferentsiaal on võrdeline argumendi muuduga *nullist erineva tuletise korral on funktsiooni muut ekvivalentne funktsiooni diferentsiaaliga piirprotsessi x->0 *f'(x)= *d(f+g) = df + dg 12. Joone asümptoodid. Asümptootilised avaldised. *d(f+g) =df*g + f*dg Kui joone y=f(x) punkti P kaugenemisel lõpmatusse punkti P kaugus mingist sirgest läheneb *d() = . tõkestamatult nullile, siis seda sirget nimetatakse joone asümptoodiks.
selles vahemikus. Joone y = f (x) punkti C = (c, f (c)), mis eraldab joone kumerat osa nõgusast, nimetatakse selle joone käänupunktiks. (eeldame puutuja olemasolu punktis C). Käänupunktis puutuja lõikab joont. Näide. Leiame joone y = x3 +2 kumeruse ja nõgususe piirkonnad ning käänupunktid. Leiame y =3 x 2 , y =6 x. Siis teoreemi 19 põhjal on antud joon nõgus vahemikus (0,) ja kumer vahemikus (,0), joone käänupunktiks on punkt (0,2). 7. Joone asümptoodid Definitsioon 12. Sirget u nimetatakse joone y = f(x ) asümptoodiks, kui joone punkti P kaugenemisel lõpmatusse selle punkti kaugus sirgest u läheneb nullile. Joone punkti P=(x,y) kaugenemine lõpmatussetähendab seda, et x (x ) või y (y ). Asümptoodid liigitatakse püstasümptootideks (vertikaalasümptootideks), kald- asümptootideks ja rõhtasümptootideks ( horisontaalasümptootideks). I Püstasümptoodid on sirged võrrandiga x=a. Sirge x=a on joone y = f(x) püst-
2 2 = -; - 1 1 1 1 suspiirkond X ; ja k¨a¨anupunktid K1 - ; 2 2 2 e 1 1 ning K2 ; 2 e 21 3.13 Funktsiooni graafiku asu ¨ mptoodid Olgu O koordinaatide alguspunkt ja M (x; y) funktsiooni y = f (x) graafiku punkt. ¨ Definitsioon 1. Oeldakse, et funktsiooni graafiku punkt liigub l~opmatus- -- -- se, kui vektori OM pikkus t~okestamatult kasvab, st |OM | = x2 + y 2 . Definitsioon 2. Sirget nimetetakse funktsiooni graafiku as¨ umptoodiks, kui graafiku punkti liikumisel l~opmatusse selle punkti kaugus sirgest on l~opma-
annaabi.ee 
