on esitatud tabelis (Tabel ). Tabel . Punktide 1, 2 ja 3 geodeetilised ning ristkoordinaadid Punkt B L X(km) Y(km) 1 5923'35'' 2507'35'' 6684,37 564,03 2 5924'20'' 2510'33'' 6685,80 566,81 3 5925'13'' 2509'58'' 6687,45 566,23 1) Meridiaanide koonduvuse arvutamine. a) Meridiaanide koonduvuse arvutamine mõõdetud direktsiooninurkade ja tõeliste asimuutide järgi. At12= 6400'00''; At13= 3700'00''; 12= 6300'00''; 13= 3600'00'' Valemid: = At12- 12 1= 6400'- 6300'= 100'; 2= 3700'- 3600'= 100' Kaardil on NE: 109' b) Meridiaanide koonduvuse arvutamine punktide geodeetiliste koordinaatide järgi: Valemid: = L*sinB, kus L= L-Lt ja Lt= 2500'(telgmeridiaani väärtus) L1= 2507'35''- 2500'00'' = 07'35'' 1=07'35''*sin 5923'35''= 06'32''
Laboratoorne töö nr 4 Joonte orienteerimine Direktsiooninurgad 12 = 122° 13 = 154°30 Tõelised asimuudid A12 = 124° A13 = 156°30 Horistontaalnurk = 32°30 Punkt B L X Y 1 58°5526 26°185 6533850 655450 2 58°5436 26°2033 6532350 657850 3 58°5413 26°19 6531850 656400 1. Meridiaanide koonduvuse arvutamine a) Meridiaanide koonduvuse arvutamine mõõdetud direktsiooninurkade ja tõeliste asimuutide järgi. 1 = A12 - 12 = 124° -122° = 2° 2 = A13 - 13 = 156°30 -154°30 = 2° Kaardil on SW : 1°51 a) Meridiaanide koonduvuse arvutamine punkti geodeetiliste koordinaatide järgi. = L × sin B, kus L = L - Lt ja Lt = 24°00, see on te lg meridiaani väärtus. L1 = 26°185 - 24° = 2°185 1 = 2°185 × sin 58°5526 = 1°5816 L2 = 26°2033 - 24° = 2°2033
b on positiivsed parameetrid. On leitud, et kasum saavutab maksimumi, kui K=3a-b ja L=a+2b Milliste a ja b väärtuste korral omab see lahend motet? Leida võrdleva staatika tulemused ja selgitada, mida need tähendavad. Selgitada, mida tähendab geomeetriliselt tingliku ekstreemumi ülesande max min z=f(x,y) g(x,y)=0 lahendamine. Selgitada Lagrange’i kordaja majanduslikku tähendust Selgitada, kuidas on defineeritud rea summa Koonduva ja hajuva rea mõiste Mis on diskonteerimine? Rea koonduvuse tarvilik tunnus? Kas selle täidetus tagab alati rea koonduvuse? Kirjeldada koonduvate ridade omadusi. Sõnastada positiivste ridade koonduvuse Cauchy tunnus Sõnastada positiivste ridade koonduvuse D’Alemberti tunnus Rea absoluutse koonduvuse ja tingimisi koonduvuse mõiste? Leibnizi tunnus vahelduvate märkidega rea koonduvuse kontrollimiseks? Mis on funktsionaalrida? Mis on funktsionaalrea koonduvuspiirkond ja piirfunktsioon? Mis on astmerida? Mis on funktsiooni Taylori
eksisteerib), st: U= limn->Un 2. Koonduva ja hajuva rea mõiste. Kui piirväärtus U on lõplik siis nimetatakse rida koonduvaks. Kui piirväärtus U on lõpmatu või piirväärtus U hoopiski puudub, siis öeldakse et rida hajub. Kui U= või U=- siis öeldakse, et rea summa on või -. 3. Mis on diskonteerimine? Diskonteerimiseks nimetatakse raha nüüdisväärtuse leidmist lõppsumma järgi. Teooriaküsimused nr. 15 1. Rea koonduvuse tarvilik tunnus? Kas selle täidetus tagab alati rea koonduvuse? 2. Kirjeldada koonduvate ridade omadusi. Olgu U ja V koonduvad read, siis U+V on ka koonduv. U=u1+u2+u3+...+ui+... V=v1+v2+v3+...+vi+... U+v = (u1+v1) + (u2+v2)...+(ui+vi)+... Kui rida U on koonduv, on koonduv ka cU (c on suvaline konstant) cU=cu1+cu2+...+cui+... 3. Sõnastada positiivste ridade koonduvuse Cauchy tunnus. 4. Sõnastada positiivste ridade koonduvuse D'Alemberti tunnus. 5
U= 2. Koonduva ja hajuva rea mõiste. Kui piirväärtus U on lõplik siis nimetatakse rida koonduvaks. Kui piirväärtus U on lõpmatu või piirväärtus U hoopiski puudub, siis öeldakse et rida hajub. Kui U= või U=- siis öeldakse, et rea summa on või -. 3. Mis on diskonteerimine? Diskonteerimiseks nimeetatakse raha nüüdiväärtuse leidmist lõppsumma järgi. TEOORIAKÜSIMUSED nr 15 1. Rea koonduvuse tarvilik tunnus? Kas selle täidetus tagab alati rea koonduvuse? Rea koonduvus tarvilik tunnus: Ei garanteeri rea koonduvust, rida võib koonduda kui küsimus jääb lahtiseks (kas on tingimisi koonduv või absoluutselt koonduv). 2. Kirjeldada koonduvate ridade omadusi. Olgu U ja V koonduvad read, siis U+V on ka koonduv. U=u1+u2+u3+...+ui+... V=v1+v2+v3+...+vi+... U+v = (u1+v1) + (u2+v2)...+(ui+vi)+... Kui rida U on koonduv, on koonduv ka cU (c on suvaline konstant) cU=cu1+cu2+...+cui+... 3
Rea summaks nimetatakse tema osasummade jada (Un) piirväärtust U (juhul kui see eksisteerib). 58. Koonduva ja hajuva rea mõiste. Kui piirväärtus U on lõplik siis nimetatakse rida koonduvaks. Kui piirväärtus U on lõpmatu või piirväärtus U hoopiski puudub, siis öeldakse et rida hajub. Kui U= või U=- siis öeldakse, et rea summa on või -. 59. Mis on diskonteerimine? Diskonteerimiseks nimetatakse raha nüüdiväärtuse leidmist lõppsumma järgi. 60. Rea koonduvuse tarvilik tunnus? Kas selle täidetus tagab alati rea koonduvuse? Rea koonduvus tarvilik tunnus: Ei garanteeri rea koonduvust, rida võib koonduda kui küsimus jääb lahtiseks (kas on tingimisi koonduv või absoluutselt koonduv). 61. Kirjeldada koonduvate ridade omadusi. Koonduvaid ridu võib liikmeti liita ja tulemuseks saadud rida on koonduv. Olgu U ja V koonduvad read, siis U+V on ka koonduv. U=u1+u2+u3+...+ui+... V=v1+v2+v3+...+vi+... ... 62
Üldiseks teist järku joonintegraaliks nim. järgmist joonintegraalide summat: Teist liiki joonintegraali definitsioonist järeldub vahetult kaks omadust: 1. Kui muuta teist liiki joonintegraalis joone läbimise suunda, siis märk integraali ees muutub vastupidiseks, s.t. 2. Kui C on suvaline joonel AB asuv punkt, siis 10. Rida. Rea summa: vastavate mõistete definitsioonid; rida koondumine ja hajumine; teoreemid 33.1 33.3 tõestustega; rea koonduvuse tarvilik tingimus tõestusega. Avaldist u1+u2+...+un+...= nim. arvreaks (33.1.). Arve u1+u2+...+un+... nim. seejuures realiikmeteks. Rea esimese n liikme summat nim. rea n-ndaks osasummaks: sn= u1+u2+...+un. Kui eksisteerib piirväärtus , siis seda nim. rea (33.1.) summaks ja öeldakse, et rida koondub. Kui piirväärtus ei eksisteeri (näiteks sn, kui n), siis öeldakse, et rida (33.1.) hajub ja tal puudub summa. Teoreem 33.1. Lõpliku arvu rea (33.1
võrdub nulliga. Joonintegraali sõltumatus integreerimisteest (tuletada vastav valem kahemõõtmelisel juhul ja esitada vastav valem ilma tuletamata kolmemõõtmelisel juhul ). Konservatiivse jõuvälja mõiste. 44. Esimest liiki pindintegraali definitsioon. Pinna pindala ja pinna massi arvutamine (tuletada vastavad valemid). 45. Arvrida, arvrea osasumma ja arvrea summa. Geomeetriline rida ja selle koonduvus. Sõnastada ja tõestada arvrea koonduvuse tarvilik tingimus. 46. Arvridade koonduvustunnused: majoranttunnus, d'Alemberti tunnus, integraaltunnus ja Leibnitzi tunnus. 47. Funktsionaalrea mõiste. Funktsionaalrea koonduvuspiirkond. Funktsionaalrea majont. Majoranttunnus funktsionaalrea koonduvuse hindamisel. 48. Astmerea mõiste. Asterea koonduvusvahemik ja koonduvusraadius. Nihutatud asterida. Taylori ja McLaurini read.
Absoluutselt koonduva rea ümberjärjestuse koonduvus. Tingimisi koonduva rea ümberjärjestuse koonduvus............................................ 6 7. Funktsionaalread. Funktsionaalrea punktiviisi koonduvus. Koonduvus normi järgi. Ühtlane koonduvus.Weierstraßi tunnus................................................................................................ 6 8.Astmeread. Astmerea koonduvusraadiuse mõiste. Koonduvusraadiuse leidmine. Abeliteoreem: ühtlase ja absoluutse koonduvuse seos koonduvusraadiusega....................... 8 9. Astmeridade liikmeti diferentseerimine ja integreerimine. Astmeridade rakendusi..............9 10. Fourier' rida ortogonaalse süsteemi korral. Besseli võrratus ja Parsevali võrdus. Fourier' rida ortogonaalse süsteemi korral:.......................................................................................... 9 11.Fourier' rida ortogonaalsete polünoomide süsteemi järgi Lehendre'i või Tsebõsovi polünoomide näitel................
Absoluutselt koonduva rea ümberjärjestuse koonduvus. Tingimisi koonduva rea ümberjärjestuse koonduvus............................................ 6 7. Funktsionaalread. Funktsionaalrea punktiviisi koonduvus. Koonduvus normi järgi. Ühtlane koonduvus.Weierstraßi tunnus................................................................................................ 6 8.Astmeread. Astmerea koonduvusraadiuse mõiste. Koonduvusraadiuse leidmine. Abeliteoreem: ühtlase ja absoluutse koonduvuse seos koonduvusraadiusega....................... 8 9. Astmeridade liikmeti diferentseerimine ja integreerimine. Astmeridade rakendusi..............9 10. Fourier' rida ortogonaalse süsteemi korral. Besseli võrratus ja Parsevali võrdus. Fourier' rida ortogonaalse süsteemi korral:.......................................................................................... 9 11.Fourier' rida ortogonaalsete polünoomide süsteemi järgi Lehendre'i või Tsebõsovi polünoomide näitel................
Fourier’ teisenduse omadusi: • F f(t + Abeli teoreem: ühtlase ja absoluutse koonduvuse seos koonduvusraadiusega. ∑∞𝒌=𝟏 𝒂𝒌 = 𝒂𝟏 + 𝒂𝟐 +. . . +𝒂𝒌 +. .. , kus 𝒂𝒌 (𝒌 ∈ 𝑵) on reaalarvud, nimetatakse arvreaks
31. Arvrea koonduvus ja summa Arvujadast u1, u2, ... , un moodustunud avaldist uk = u1+u2+...+un+...seda avaldistt nim reaks. Need arvud u1, u2, ..., un on rea liikmed n- esimesest liikmest koostatud summa Sn=u1+u2+...+un -> rea osasumma, kui olemas limnSn =Sk, siis seda piirväärtust nim rea summaks (kindel suurus) uk=S, öeldakse, et rida koondub. Kui piirväärtust ei eksisteeri või see on lõpmatus, siis rida hajub. 32. Rea koonduvuse tarvilik tingimus Rea koonduvuse tarvilik tingimus: kui rida ai =1 i koondub siis, kui nlim an = 0 33. Positiivsete arvridade võrdlusteoreemid majoranttunnus
11. Tähtede ja numbrite kombinatsioon, mis kujutab kaardilehe aadressi maakeral. Eesti Põhikaart on jagatud 50x50cm suurusteks kaardilehtedeks. Mõõtkavas 1:10 000 on kaardilehel kujutatud maa-ala5x5 km, mõõtkavas 1:20 000 aga 10x10km. 13. Asimuut- horisontaalnurk, meridiaani P-suunast päripäeva kuni antud jooneni. Direktsiooninurk- horisontaalnurk, telgmeridiaani P-suunast päripäeva kuni antud jooneni. Seos- direktsiooninurk võeti kasutusele, et lihtsamates ül vältida meridiaanide koonduvuse mõju arvestamist. Rumb- Antud suuna ja meridiaani lähima suuna vaheline teravnurk. Tabelinurk- teravnurgaks taandatud direktsiooninurk. 14. Joone koordinaatide juurdekasvude arvutamine selle joone direktsiooninurga ja joone pikkuse horisontaalprojektsiooni järgi. X= I,IV+ II,III- Y=I,II+ III,IV- 15. Pöörülesanne, antud on kahe punkti koordinaadid 16. IV I III II 17. Riiklik geodeetiline referentssüsteem
kui iga e > 0 leidub N(ε) ϵ N, et iga n> N(ε) ja iga XϵXUC korral kehtib |Sn(x)-S(x)|<ε
(n>N(ε)).
Weierstraßi tunnus.
Kui leidub selline positiivsete liikmetega arvrida
Et iga naturaalarvu kϵN ja iga x ϵ XUC korral kehtib |UK(x)|≤ak
Siis funktsioon Σ UK(X) Koondub ühtlaselt hulgal XUC
8.Astmeread. Astmerea koonduvusraadiuse mõiste. Koonduvusraadiuse leidmine.
Abeliteoreem: ühtlase ja absoluutse koonduvuse seos koonduvusraadiusega.
Astmeread
Astmereaks nim. Funtksiooni kujul (tϵR)
Suurusi akϵR nim. astmerea kordajateks. Astmerea määramispiirkonnaks on R.
Muutujavahetusega x=t-a saame alati minna üle kujule
Astmerea koonduvusraadiuse mõiste
Astmerea
koonduvusraadiuseks R nim. suurust (so. Mittenegatiivset arvu või
+(lõpmatus)), et rida koondub absoluutselt iga |x| korral kui |x-a|
Aastane muutus 9', ööpäevane on 15'. Järelikult ei saa magnetilise meridiaani järgi joont orienteerida täpsemalt kui 15'. Täpsus 15' rahuldab meid paljudel juhtudel, kuid arvutustööde läbiviimisel on see tülikas. Ageom Amag tmag A1, A2, A3 - otseasimuudid A'2, A'3 - vastuasimuudid Pika sirge korral asimuudid eri punktides ei ole võrdsed. A 1 A2 A3 Otse- ja vastuasimuudi vahe on alati 180o ehk poolring. Et vältida meridiaanide koonduvuse mõju, on tarvitusele võetud direktsiooninurgad. Direktsiooninurk on horisontaalnurk, mida mõõdetakse telgmeridiaani või temaga paralleelse joone põhja suunast päripäeva kuni antud jooneni. ( =0o-360o) Rumb on teravnurgaks taandatud asimuut. Rumb on teravnurk, mida mõõdetakse meridiaani kas põhja või lõuna suunast kuni antud jooneni. B RA;B A RB;A Tabelinurk on teravnurgaks taandatud direktsiooninurk. Tabelinurkade leidmine: I veerand: T=1
korrektselt, Kuid eemaldudes sellest paralleelist pooluse või ekvaatori suunas, hakkavad moonutused järjest suurenema. Koonuse laotamisel tasandile näeme, et meridiaanid on kujutatud koonuse tipust Z väljuvate sirgetena ja paralleelid kontsentriliste ringkaartena. [2] Joonis 3.3 5 Kooniliste projektsioonide hea omadus on ka meridiaanide koonduvuse võrdlemisi loomulik esitamine. Koonilisi projektsioone on detailides üksteisest raske eristada. Esimese tunnusena tuleks uurida paralleelide vahesid, kui see viitab kahele standardparalleelile, siis võib kahtlustada ühte kahest kindlast omadusest õigepindsust või õigenurksust. Üpris oluline on ka see, millistel kaartidel projektsiooni kasutatakse, atlasekaartidel on tegu pigem lihtsate ja õigepikkuseliste või õigepindsete projektsioonidega. [5] 4
Tõepoolest, kuna Li on osakaare Mi-1Mi pikkus, siis kaarte pikkuste summa n ln = / Li võrdub joone L pikkusega. i= 1 2. Kui L on materiaalne joon pideva joontihedusega (P), siis selle joone mass avaldub esimest liiki joonintegraaliga: m = (P)dL L 31. Arvrea mõiste. Arvrea koonduvuse tarvilik tingimus. Olgu antud reaalarvude jada a1, a2, a3,........ Avaldist S ai = a1+ a2+ a3+... nim. arvreaks i =1 Lim a i = 0. Arvrea koonduvuse tarvilik tingimus. Kui rida ai koondub, siis
Kirjutame ka x=(xn) = (x1, x2,...,xn,...). Jada x=(xn) nimetatakse koonduvaks, kui eksisteerib lõplik piirväärtus lim x n = a. n Jada, mis ei koondu ( nlim x n = ± või lim x n ), , nimetatakse hajuvaks. n 22. Arvread. Arvrea osasumma. Arvrea koonduvus ja hajuvus, arvrea absoluutne koonduvus. Arvrea koonduvuse tarvilik tingimus*. Lõpmatu arvrea ehk rea all mõeldakse avaldist: ( u n ) = u n = u 0 + u1 + ... + u n + ... (1) n=0 Kus u 0 , u1 , ... on arvud, mida nimetatakse rea liikmeteks Suvalise indeksiga rea liiget u n nimetatakse rea üldliikmeks n Summasid u k =1 1 + u 2 + u 3 + ... + u n , n IN nimetatakse rea(1) otsesummadeks
1) L PL2 Q F ( x, y )dx = F ( x, f a 2 ( x ))dx 24. Arvrea mõiste. Arvrea koonduvuse tarvilik tingimus. Arvreaks nimetatakse avaldist Jaotame lõigu [a,b] n osalõiguks punktidega a=t0, t1, t2, ..., tn=b, kusjuures ti=ti-ti-1, xi=(ti) ja yi=(ti) Punktid Mi((ti),(ti))L b
51503807 0.50831639 0.50633481 B1 58.999883116 q/b 6394020.3597464 6478571.27401 6503925.642076 h 139.5423342139 84690.4565988 110044.8246635 5444117.429 z -5519137.37 -3163957.73 -1278278.77 -25108814 -19664696.6 -25108.814 -25.108814 -19664.6966 -19.6646966 Kõrgema geodeesia V iseseisev töö Kaare pikkuse, mõõtkava ja meridiaanide koonduvuse arvutamine Andmed: B= 58º00´00,00´´ L= 25º00´00,00´´ X (m) = 6430460.059 Y (m) = 618207.902 1. Meridiaani 1º kaare pikkus B2 = 59º00'00'' (B −B )M X= 2 ρ 1 M= 6381972.101 m
Arvu S nimetatakse rea (1) summaks. Arvrida, mis ei koondu, nimetatakse hajuvaks. Näide. Rida n = 1 + 2 + ... + n + ... hajub, sest n =1 n(n + 1) lim S n = lim (1 + 2 + ...n) = lim = . Antud juhul kirjutame S=. n n n 2 2.2. Arvrea koonduvuse tarvilik tingimus. Teoreem 20. Kui rida (1) koondub, siis nlim u n = 0. See tingimus pole piisav rea (1) koonduvuseks. 1 1 Näiteks rida (harmooniline rida ) hajub, kuigi lim u n = lim = 0. n =1 n n n n 2.3. Rea absoluutne ja tingimisi koonduvus.
Vähendatud programm 1. Kahemuutuja funktsiooni integraalsumma ja kahekordse integraali definitsioonid. Kahekordse integraali geomeetriline sisu. 2. Kahekordse integraali omadused (põhjendusi ei küsi). 3. y- ja x-telje suhtes regulaarsed piirkonnad. Kahekordse integraali esitus kaksikintegraalina y- ja x-telje suhtes regulaarsete piirkondade korral. Millal nimetatakse piirkonda regulaarseks? 4. Muutujate vahetus kahekordse integraali all. Kahekordse integraali teisendamine polaarkoordinaatidesse (esitada vastav valem tuletamata). 5. Kolmemuutuja funktsiooni integraalsumma ja kolmekordse integraali definitsioonid. 6. Kolmekordse integraali omadused (põhjendusi ei küsi). 7. Kolmekordse integraali esitamine kolmikintegraalina. 8. Muutujate vahetus kolmekordse integraali all. 9. Silinderkoordinaadid ja nende seosed ristkoordinaatidega. Kolmekordse integraali teisendamine silind...
Tõeline asimuut on horisontaalnurk, mida mõõdetakse tõelise meridiaani põhjapoolsest otsast päripäeva kuni antud jooneni. Magnetiline asimuut (sama nagu tõeline ainult magneetiline meridiaan) Otseasimuut nim. asimuuti, mis on määratud ühest otspunktist joone kulgemise suunas. Vastuasimuut määratud teisest otspunktist joone vastupidi kulgemise suunas. Joone vastuasimuut võrdub joone otseasimuudiga pluss sihtpunktis ja seisupunktis määratud meridiaanide koonduvuse vahe ning ± 180 o. Rumb on horisontaalnurk, mida mõõdetakse tõelise meridiaani põhja- või lõunapoolsest otsast ida või lääne suunas kuni antud jooneni. Direktsiooninurk telgmeridiaani suuna ja x-telje suuna vaheline nurk (selle nurga ja teodoliidi käigu kaudu võimalik arvutada ristkoor- d). Meridiaanide koonduvus tähendab ristkoordinaadistiku püsttelje ja meridiaani vahelist nurka, kusjuures see nurk on positiivne sel juhul, kui meridiaan kaldub põhjasuunas
Kui N= max(n1; n2),siis vastavalt eeldusele n>N korral
- < Xn < Zn < Yn < a + Zn U(a), mis vastavalt piirväärtuse def. annab
7*(Jada tõkestatus. Koonduva jada tõkestatuse tõestus) Jada {Xn} nimetatakse tõkestatuks, kui
leidub selline arv M>0, et iga n N korral Xn Um(0).
*Lause: Iga koonduv jada on tõkestatud.
*Tõestus:
a). Tõestame, et iga koonduv jada on Cauchy jada.
b). Näitame, et iga Cauchy jada on tõkestatud.
8*(Monotoonsed jadad. Monotoonse ja tõkestatud jada koonduvuse seos. Osajadad. Bolzano-
Wierstrassi)Monotoonseks jadaks nimetatakse jada, mis on kogu ulatuses mittekasvav või
mittekahanev.
*Bolzano- Weierstrassi teoreem: Igast tõkestatud jadast saab eraldada koonduva osajada.
*Jada {Xn} osajadaks {Yn} nim. jada, mis on saadud jadast {Xn} lõpliku või lõpmatu hulga jada
elementide väljajätmise teel.
*Lause: Xn < Xn+1 ; Xn < M
*Tõestus: Fikseerime n. Xn < Xn+1 ; Xn < M ; Xn- Xn+1
∃ N1 : Iga n (n ≥ N1 => xn = |xn – a | < ε/2) Kuna lim xn = b, siis (võttes (*) e = ε/2) ∃ N2 : Iga n (n ≥ N2 => xn = |xn – b | < ε/2) Nüüd |a - b| = |a – xn + xn - b| ≤ |-(xn - a)| + |xn - b| = |xn - a| + |xn - b| < ε/2 + ε/2 =ε ↑abs väärtuse kolmnurga om: iga x,y € IR |x + y|= |x| + |y| *- lim xn = a iga ε > 0 ∃N € IN iga n (n ≥ N => |xn -a| < ε) 8. Koonduva jada tõkestatusest (*) Defineerida jada tõkestatuse ja koonduvuse mõiste: Jada (xn) on tõkestatud parajasti siis, kui ∃m,M ∈ IR : m ≤ xn ≤ M iga n ∈ IN korral, selle tingimuse võime esitada kujul ∃K > 0 : |xn| ≤ K iga n ∈ IN korral Jada x=(xn) nimetatakse koonduvaks, kui eksisteerib lõplik piirväärtus Tuua näiteid tõkestatud ja tõkestamata jadadest. Tõkestatud: konstantne jada (3, 3, 3, …), hääbuv jada (1, ½, ⅓, ¼, … ) Tõkestamata: tõkestamatult kasvav (6-ga jaguvad naturaalarvud alates arvust 6),
lim f (xnk ) = lim f x′nk = f (c) k→∞ k→∞ (selgitada!)z, niisiis lim f (xnk ) − f x′nk = 0. k→∞ Jada koonduvuse definitsiooni kohaselt on mingist indeksist N alates täidetud tingimus f (xnk ) − f x′nk < ε0 (selgitada!)z, kuid see on vastuolus punktide xn ja x′n valikuga. Oleme jõudnud vastuoluni, järelikult on meie vastuväiteline oletus vale, s.t. funktsioon f on lõigus [a, b] ühtlaselt pidev. 3.5.2 Lipschitzi funktsioonid Vaatleme näitena üht ühtlaselt pidevate funktsioonide klassi. Definitsioon. Olgu D mingi intervall
on mõõtkava telgmeridiaanil 1,0000. kuubid. , T = planeedi 7. Loetle fundamentaalsed geodeetilised 21. Kirjelda meridiaanide koonduvust ellipsoidil tiirlemisperiood, a = planeedi orbiidi suur konstandid (7). fM- geotsentriline ja TM ning L-Est projektsioonides: pooltelg gravitatsioonikonstant, a0-ekvatoriaalraadius, J2- Maa kumerus tingib meridiaanide koonduvuse. Selle Satelliitide tiirlemiseperioodide ruudud on dünaamiline lapikus e geopotensiaali normaalne termini alla mahub kaks mõistet. Esimene neist on võrdrlised nende orbiitide suurte pooltelgede harmooniline II astme koefitsent, f- universaalne geodeetiline meridiaanide koonduvus ehk kuupidega p2= 4 πa3/(G(m1+m2)). gravitatsioonikonstant, fM A- geotsentriline meridiaanide koonduvus ellipsoidil. Selle all 35
Joonis 4 Normeeritud omafunktsioon deltafunktsioonina. 25. Funktsioonide süsteemi täielikkus Kvantmehhaanikas kasutatavate operaatorite kohta peame esitama täiendava nõude, mis garanteeriks superpositsioonilise seose kehtivuse mistahes oleku ja operaatorile vastava füüsikalise suuruse omaolekute vahel. Selleks peame nõudma, et mistahes olekufunktsioon oleks arendatav antud operaatori sõltumatute omafunktsioonide järgi ritta vähemalt keskmise koonduvuse mõttes. Funktsioonide süsteemi, mille abil saame meelevaldse samasse klassi kuuluva funktsiooni aproksimeerida kuitahes täpselt keskmise koonduvuse mõttes, nimetatakse täielikuks süsteemiks. MLT 6004 Kvantmehhaanika 25 Järelikult: kõikide kvantmehhaaniliste operaatorite omafunktsioonide süsteemid peavad olema täielikud. Vaatleme konkreetsuse mõttes diskreetse omaväärtuste spektriga operaatorit L^ ning
Cauchysid. Kord nägi ta ka noort Cauchyd, kes oli kehaliselt nii nõrk, et ei suutnud ringi joosta, vaid istus nagu pattukahetsev munk oma raamatute ja paberite taga näides sellest isegi veel rõõmu tundvat. Laplace märkas varsti poisi fenomenaalset matemaatilist andekust ja soovitas tal jõudu kokku hoida. Paar aastat hiljem kuulas Laplace murelikult Cauchy seletusi lõpmatutest ridadest, sest tal tekkis hirm, et julge nooruki avastused ridade koonduvuse alal põhjustavad viimati tema enese taevamehaanika hiiglaehituse kokkuvarisemise. ,,Maailmasüsteem" pääses tookord ainult karvapealt hävingust: kui Maa peaaegu ringikujuline orbiit olnuks ainult pisut elliptilisem, oleksid lõpmatud read, millele Laplace oma arvutused üles oli ehitanud ohates, harjunud. Õnnekombel oli saatus Laplace'i selle katastroofi eest säästnud. Olles oma ridade koonduvust Cauchy meetodil hoolikalt kontrollinud, leidis ta kergendatult ohates, et asi klapib siiski
17. Mis on magnetiline asimuut? Magnetilisest meridiaanist mõõdetud asimuute nimetatakse magnetiliseks asimuudiks (Am). 18. Mis on direktsiooninurk? Direktsiooninurk horisontaalnurk, mida mõõdetakse telgmeridiaanist või temaga paralleelse sirge põhja suunast päripäeva kuni antud jooneni (0-360o) 19. Milleks kasutatakse direktsiooninurka? Et vältida meridiaanide koonduvuse mõju 20. Mis on rumb? Rumbiks ehk tabelinurgaks nimetatakse nurka lähtesuuna põhja- või lõunapoolsest otsast kuni antud suunani vahemikus 0-90 kraadi, lisades juurde veerandi nimetuse. 21. Mis on geodeetiline vastuülesanne? Geodeetilise vastuülesandega arvutatakse joone algus- ja lõpp-punkti koordinaatide järgi punktidevaheline joonepikkus lA-B ja joone (suuna) direktsiooninurk A-B 22. Mis on nivelliir?
Tõestame, et iga koonduv jada on Cauchy jada. b). Näitame, et iga Cauchy jada on tõkestatud.(9 Punkt) 4*(Pöördfunktsioon. Monotoonsed funktsioonid. Kasvavad ja kahanevad funktsioonid) Funktsiooni y = f (x) (x ∈ X ) pöördfunktsiooniks nimetatakse 8*(Monotoonsed jadad. Monotoonse ja tõkestatud jada koonduvuse seos. funktsiooni x = f −1 (y ) , mis igale arvule y ∈ Y = f (X ) seab vastavusse arvu x ∈ X , Osajadad. Bolzano-Wierstrassi)Monotoonseks jadaks nimetatakse jada, mis on kogu kusjuures y = f (x). ulatuses mittekasvav või mittekahanev.
monotoonne kui tõkestatud, seega on ta koonduv, s.t. lim U 2 n -1 = U . n U 2 n = U 2 n -1 + a 2 n lim U 2 n = lim U 2 n -1 + lim a 2 n = U + 0 = U , sest a n 0 n n n lim U 2 n -1 = U lim U 2 n = U lim U n = U n n n Absoluutse koonduvuse mõiste Definitsioon: Kui rea un korral koondub rida n =0 un , siis öeldakse, et rida n =0
Kõige tuntum fraktal on Mandelbroti fraktal. Seega tuleks fraktali joonistamiseks käia läbi see komplekstasandi piirkond, Olgu c kompleksarv. Moodustame jada ning iga erineva c puhul kontrollida koonduvust. Koonduvuse kontrollimine ei z0 = 0 ole aga lihtne, sest näiteks kui võtta c = 0,2501, siis jääb veel 900 järjestikuse z n +1 = z n2 + c. n = 0, 1, 2, 3, ... jada liikme korral resultaat ringi x2 + y2 4 sisse. Tegelikult aga see väärtus
14. Milline jada läheneb arvule e = 2.718282.....? Kontroll: 15. Milline arvrida on koonduv, hajuv? Esitada 1 näide koonduva arvrea kohta ja teine näide hajuva arvrea kohta! Illustreerida näiteid graafiliselt! Arvrida koondub, kui tal on olemas lõplik piirväärtus, hajub siis kui läheneb lõpmatusele. koondub hajub Graafikud punktis 13 ! 16. Millised on võimalused arvrea koonduvuse kindlakstegemiseks! Tuua 2 näidet! Võrdlustestiga ja D'Alemberti testiga 17. Formuleerida positiivsete liikmetega rea võrdlustest. Tuua näide kasutamise kohta! (I) ( II ) Kui , siis (II) arvrea koonduvusest järeldub (I) arvrea koonduvus ja (I) arvrea hajuvusest järeldub (II) arvrea hajuvus. 18. Formuleerida positiivsete liikmetega rea D'Alemberti test. Tuua näide kasutamise kohta
a N st ka antud juhul p¨aratu integraal hajub. dx Seega p¨aratu integraal koondub, kui > 1 ja hajub, kui 1. a x Paljudel juhtudel on vaja v¨alja selgitada, kas p¨aratu integraal koonub v~oi hajub. Integraali tegelik v¨aa¨rtus seejuures ei olegi oluline. Koonduvuse v~oi hajuvuse u¨le otsustamisel on abiks j¨argmised teoreemid. S~onastame need 12 l~opmatu u ¨lemise rajaga p¨aratu integraali korral, aga kehtima j¨a¨avad need ka l~opmatu alumise rajaga ja m~olema l~opmatu rajaga p¨aratu integraali puhul. Teoreem 3. Kui pooll~oigul [a; ) m¨a¨aratud ja pidevad funktioonid f (x) ja (x) rahuldavad tingimust 0 f (x) (x) ja p¨aratu integraal
2 3 4 5 6 ¨ G. Tamberg (TTU) YMM3731 Matemaatilne analu¨ us ¨ I 4 / 27 ¨ Paratud integraalid ¨ Paratu integraali koonduvuse piisavad tunnused ¨ Paratu integraali koonduvuse piisavad tunnused Lause (Cauchy tunnus) + ¨ Paratu integraal f (x) dx koondub parajasti siis, kui iga > 0 korral a ~ leidub B > 0, et iga A1 > B ja A2 > B korral kehtib vorratus A2 f (x) dx < . A1 ¨
punktis. Aastane muutus 9', ööpäevane on 15'. Järelikult ei saa magnetilise meridiaani järgi joont orienteerida täpsemalt kui 15'. Täpsus 15' rahuldab meid paljudel juhtudel, kuid arvutustööde läbiviimisel on see tülikas. Ageom Amag tmag A1, A2, A3 - otseasimuudid A'2, A'3 - vastuasimuudid Pika sirge korral asimuudid eri punktides ei ole võrdsed. A1 A2 A3 Otse- ja vastuasimuudi vahe on alati 180o ehk poolring. Et vältida meridiaanide koonduvuse mõju, on tarvitusele võetud direktsiooninurgad. Direktsiooninurk on horisontaalnurk, mida mõõdetakse telgmeridiaani või temaga paralleelse joone põhja suunast päripäeva kuni antud jooneni. ( =0o-360o) Rumb on teravnurgaks taandatud asimuut. Rumb on teravnurk, mida mõõdetakse meridiaani kas põhja või lõuna suunast kuni antud jooneni. B RA;B A RB;A Tabelinurk on teravnurgaks taandatud direktsiooninurk. Tabelinurkade leidmine: I veerand: T=1
1. Koostada Lagrange funktsioon, leida sadulpunkt, 2. Koostada optimaalsustingimused, 3. Leida optimaalne lahend otsesel või kaudsel meetodil 27. Gradiente mittekasutavad optimeerimismeetodid ja algoritmid: otsingumeetod ja juhusliku otsingu meetod. Otsesed optimeerimismeetodid: Tüüpilises otsingumeetodis toimub minimeerimise suuna määramine sihifunktsiooni väärtuste samm-sammulise arvutamise teel. Piirangute puudumisel reeglina gradientmeetodid tagavad lahendusprotsessi kiirema koonduvuse kui otsingumeetodid. Ometi eelistatakse osadel juhtudel kasutada nimelt otsingu meetodeid. Nende meetodite eeliseks on see, et nad ei nõua sihifunktsiooni pidevust ega diferentseeritavust. Lihtsamat tüüpi iteratiivsete otsimismeetodite põhimõte on selles, et igas järjestikuses iteratsioonis (sammus) muudetakse vaid ühe muutuja väärtust, jättes ülejäänute väärtused muutmata. Samas arvutatakse välja, kui palju ja millises suunas muutus sihifunktsiooni väärtus
Meridiaanide koondumine. Rumb, tabelinurk. Asimuut on horisontaalnurk, mida mõõdetakse meridiaani (keskpäevajoone) põhjasuunast päripäeva kuni antud jooneni ( 0°- 360°). Asimuut on kas magnetiline või geograafiline. Eestis on nende erinevus 7°. Direktsiooninurk horisontaalnurk, mida mõõdetakse telgmeridiaani või temaga paralleelse joone põhja suunast päripäeva kuni antud jooneni. Kasutusele võeti, et lihtsamates ülesannetes vältida meridiaanide koonduvuse mõju pidevat arvestamist. Joone rumbiks nim antud suuna ja keskpäevajoone lähima suuna vahelist teravnurka, mida mõõdetakse 0° kuni 90°- ni ida või lääne suunas. Teravnurgaks taandatud asimuut. Meridiaanide koonduvus antud kaardilehel tähendab nurka ristkoordinaadistiku püsttelje ja meridiaani vahel, kusjuures see nurk on positiivne sel juhul, kui püsttelg kaldub meridiaanist paremale (itta) ning negatiivne, kui püsttelg kaldub meridiaanist vasakule (läände).
Meridiaanide koondumine. Rumb, tabelinurk. Asimuut on horisontaalnurk, mida mõõdetakse meridiaani (keskpäevajoone) põhjasuunast päripäeva kuni antud jooneni ( 0˚-360˚). Asimuut on kas magnetiline või geograafiline. Eestis on nende erinevus 7˚. Direktsiooninurk – horisontaalnurk, mida mõõdetakse telgmeridiaani või temaga paralleelse joone põhja suunast päripäeva kuni antud jooneni. Kasutusele võeti, et lihtsamates ülesannetes vältida meridiaanide koonduvuse mõju pidevat arvestamist. Joone rumbiks nim antud suuna ja keskpäevajoone lähima suuna vahelist teravnurka, mida mõõdetakse 0˚ kuni 90˚- ni ida või lääne suunas. Teravnurgaks taandatud asimuut. Meridiaanide koonduvus antud kaardilehel tähendab nurka ristkoordinaadistiku püsttelje ja meridiaani vahel, kusjuures see nurk on positiivne sel juhul, kui püsttelg kaldub meridiaanist paremale (itta) ning negatiivne, kui püsttelg kaldub meridiaanist vasakule (läände).
n =0 n x summaks S (x ) . Muudel juhtudel öeldakse, et ta hajub punktis x . Funktsionaalrea summa on samuti argumendi x funktsioon. Def. Funktsionaalrea u (x ) n =0 n koonduvuspiirkonnaks ning absoluutse koonduvuse piirkonnaks nimetatakse vastavalt hulki X = u n ( x ) koondub ning A = u n ( x ) koondub . n =0 n =0 Iga funktsionaalrida esitab oma koonduvuspiirkonnas X funktsiooni S = S ( x ) : u (x ) = S (x ) .
kasutatavateks leiutisteks.50 Nagu eelpool sai mainitud on nanotehnoloogia üli-interdistsiplinaarne, mistõttu tekib leiutise patendivalikul väljakutse seoses kindla valdkonnaala koonduvusega, kus erinevate lõpptulemite valimine võib muutuda raskeks tehnoloogiliste lahenduste eristamiseks. Näiteks, nanotehnoloogia kasutatavus on levinud nii meditsiinis kui ka bioteaduste valdkonnas, kus peamiseks rakenduseks on ravimi manustussüsteemid. Seega koonduvuse määratletamatusest tulenevalt võib üks kindel toode nanomeditsiinis olla nii ühelt poolt meetod kui ka toode, mistõttu on potentsiaalne risk patenditavuse nõuete mittevastavuse tekkimiseks, kus tegu ei ole tööstuslikult kasutatava leiutisega. Manustussüsteem võib ühelt poolt olla meetod, kus transporditakse vajalik kogus ravimit seda vajavale kehaosale või objektile, ja teiselt poolt toode ehk ravimikandja, mis vajaliku koguse sihtkohta transpordib. Seega võib lahkarvamuste 48
Meridiaanide koonduvus: Meridiaanide koonduvus antud kaardilehel tähendab nurka ristkoordinaadistiku püsttelje ja meridiaani vahel, kusjuures see nurk on positiivne sel juhul, kui püsttelg kaldub meridiaanist paremale (itta) ning negatiivne, kui püsttelg kaldub meridiaanist vasakule (läände). Meridiaanide koonduvus sõltub asukohast (pikkus ja laiuskraadidest sõltuv funktsioon). Tavaliselt kantakse meridiaanide koonduvuse keskmistatud väärtus kaardilehele. Muutused kaardilehe piires saab kindlaks teha järgmise metoodikaga: Nurk g määratakse täisnurkse kolmnurga abil, mille kaatetid on a ja b. Kui kolmnurga külje b pikkuseks võetakse terve põhikaardi (M: 1:20 000) lääneraami pikkus (standardkaardilehtedel 50 cm e. 10 km looduses), siis lühema külje a võime arvutada lõikude a1 ja a2 (so meridiaani kaugus
a N st ka antud juhul p¨aratu integraal hajub. dx Seega p¨aratu integraal koondub, kui > 1 ja hajub, kui 1. a x Paljudel juhtudel on vaja v¨alja selgitada, kas p¨aratu integraal koonub v~oi hajub. Integraali tegelik v¨aa¨rtus seejuures ei olegi oluline. Koonduvuse v~oi hajuvuse u¨le otsustamisel on abiks j¨argmised teoreemid. S~onastame need 12 l~opmatu u ¨lemise rajaga p¨aratu integraali korral, aga kehtima j¨a¨avad need ka l~opmatu alumise rajaga ja m~olema l~opmatu rajaga p¨aratu integraali puhul. Teoreem 3. Kui pooll~oigul [a; ) m¨a¨aratud ja pidevad funktioonid f (x) ja (x) rahuldavad tingimust 0 f (x) (x) ja p¨aratu integraal
Integraal koondub. 2. Arvutame integraali b [ ] dx dx b = lim = lim ln |x| = lim [ln b - 0] = . 1 x b 1 x b 1 b Integraal hajub. 129 P¨aratu integraali koonduvuse kindlaks tegemiseks ei ole alati vaja selle in- tegraali arvulist v¨a¨ artust leida. Selleks v~oib kasutada nn. hindamisteoreeme. Esitame siinkohal kaks taolist teoreemi ilma t~oestusteta. Teoreem 5.5. Kui iga x a korral kehtivad v~ 0 f (x) g(x) ja orratused integraal a g(x)dx koondub, siis koondub ka integraal a f (x)dx. -x aide
Integraal koondub. 2. Arvutame integraali b dx dx b = lim = lim ln |x| = lim [ln b - 0] = . 1 x b 1 x b 1 b Integraal hajub. 129 P¨aratu integraali koonduvuse kindlaks tegemiseks ei ole alati vaja selle in- tegraali arvulist v¨a¨artust leida. Selleks v~oib kasutada nn. hindamisteoreeme. Esitame siinkohal kaks taolist teoreemi ilma t~oestusteta. Teoreem 5.5. Kui iga x a korral kehtivad v~ orratused 0 f (x) g(x) ja integraal a g(x)dx koondub, siis koondub ka integraal a f (x)dx. -x aide
mitmekesisusega, aga ka valglate aineringega, epidemioloogiaga, maastiku esteetikaga jms. Maastikuindeksid jagunevad kaheks põhitüübiks olenevalt sellest, kas nende abil saab hinnata maastiku kompositsiooni või konfiguratsiooni. Maastiku kompositsiooni mõõdavad mitmekesisuse indeksid ning pindala indeksid. Need näitavad eraldise tüüpide suhteid maastikus. Maastiku konfiguratsiooni iseloomustavad serva, kuju, koonduvuse ja kontrastsuse indeksid. Kultuurmaastikud, looduslikud maastikud, pool-looduslikud maastikud. 185. Maastike väärtused. Majanduslikud ja mittemajanduslikud väärtused Maastike väärtusi: 1. kultuurilis-ajalooline väärtus 2. esteetiline väärtus 3. looduslik väärtus 4. identiteediväärtus 5. rekreatiivne ja turismipotentsiaal ehk puhkeväärtus Kultuurilis-ajalooline väärtus: 1
annaabi.ee 
