(3 punkti). x 2 4x 2. Arvutada y’(1), kui y ln (3 punkti). x 2 4x x3 2. Arvutada y’(1), kui y ln (3 punkti). 3. Arendada funktsioon MacLaurini ritta, kasutades kuni x3 3. Arendada funktsioon MacLaurini ritta, kasutades kuni neljandat järku tuletist: f(x) = 2-sin(2x) (3 punkti). neljandat järku tuletist: f(x) = 2-sin(2x) (3 punkti). 4. Arvutada y’, kui y = (2x-3)sinx (3 punkti). 4. Arvutada y’, kui y = (2x-3)sinx (3 punkti). 5. Arvutada järgmised piirväärtused: (2+3+3 punkti)
N. P2(x)=x2+x-7 [P2(x)=5+7/1!(x-3)+2/2!(x-3)2] 1.19. Taylori valem. Kui funktsioon f(x) on kohal a diferentseeruv n-korda, siis on võimalik funktsioonile seada vastavusse n-järku Taylori polünoom: Et üldjuhul need asjad ei ole võrdsed, siis kehtib seos: Kogu seda asja nim Taylori valemiks punktis a, ning seda esimest osa Taylori n-järku polünoomiks kohal a ( Tn(x) ) ja Rn-i nim Taylori valemi jääkliikmeks. Funktsiooni f(x) Taylori valemit a=0 korral nim f-ni f(x) n-järku Maclaurini valemiks: Ja seda sama asja ilma Rn(x)-ta nim Maclaurini polünoomiks Mn(x)=. Ning selljuhul oleks Rn(x) Maclaurini valemi jääkliige. N. F(x)=ex N.Leian y=cosx jaoks (2n+1)-järku Maclaurini valemi: [leian 3 tuletist kohal x ja 0] 1.20. Taylori valemi jääkliige Uurin abifunktsiooni: Eeldame, et see f-n f(x) on n+1 korral diferentseeruv. Kui see on nii siis on see nii ka F(x) korral. Siis on võimalik kasutada Rolle'i teoreemi. Kui , siis F(x) peaks olema a ja x vahel
diferentseeruv vahemikus (a,b), siis leidub punkt c ∈ (a,b) nii, et f(b)-f(a)=f´(c)(b-a) Cauchy keskväärtusteoreem:Kui funktsioonid f ja g on pidevad lõigul [a,b] ja diferentseeruvad 𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎) 𝑓´(𝑐) vahemikus (a,b),kusjuures g´(x)≠0,siis leidubvahemikus (a,b) punkt c, et 𝑔(𝑏)−𝑔(𝑎)=𝑔´(𝑐) 7. L’Hospitali reegel. 8. Taylori valem. Jääkliikme kujud. Maclaurini valem. 9. Funktsiooni kasvamine ja kahanemine. Seos tuletisega. TEOREEM- Funktsiooni kasvamise ja kahanemise seos tuletise märgiga Olgu funktsioon f diferentseeruv vahemikus (a, b). Siis kehtivad järgmised väited: 1. Kui f′(x) > 0 iga x ∈ (a, b) korral, siis f on kasvav vahemikus (a, b). 2. Kui f′(x) < 0 iga x ∈ (a, b) korral, siis f on kahanev vahemikus (a, b). 10. Lokaalsed ekstreemumid. Statsionaarsed ja kriitilsed punktid. Tarvilikud ja piisavad tingimused.
11. Tõestada L'Hospitali reegel määramatuse korral . NB ! Nullid peaksid seal võrdusmärgi all ja üleval olema. = = 1 = = = 1 = = = 1 = = = 1 12.Taylori valemi tuletamine, Taylori valem, Maclaurini valem. Olgu y= f (x) mingis punkti a sisaldavas vahemikus n + 1 korda diferentseeruv. Leiame n-astme polünoomi, mis rahuldab tingimusi: , , Polünoomi otsime kujul:
kuna x -a <0, siis Δy ≤0 kui f ’(c) ≥0 iga c ϵ(a -δ;a). Analoogiliselt x ϵ(a;a + δ) korral leidub c ϵ(a;x), nii et Δy = f (x) -f (a) = f ’(c)(x -a) kuna x -a >0, siis Δy ≤0 kui f ’(c) ≤0 12.Taylori valemi tuletamine, Taylori valem, Maclaurini valem. iga c ϵ(a;a + δ). Olgu y= f (x) mingis punkti a sisaldavas vahemikus n + 1 korda diferentseeruv. Leiame n-astme polünoomi, Seega on vajalik funktsiooni pidevus punktis a, tuletise olemasolu punktis a ei ole vaja. mis rahuldab tingimusi: Analoogilselt on võimalik tõestada lokaalse miinimumi juhtum.
( a+ ) f ( ) f ( x) siis lim = lim = l , f ( x) f ( x ) x a + g ( ) x a + g ( x ) seega lim = lim =l x a + g ( x ) x a + g ( x ) ( a+ ) 17. Taylori valem, Maclaurini valem. Taylori valem: Kui funktsioon f on n-korda diferentseeruv punktis a, siis punktis x = a + x kehtib Taylori valem 1 1 f ( x ) = f ( a ) + f ( a ) x + f ( a ) x 2 + ... + f ( n) ( a ) x n + a n ( x ) 2 n! (
Kõikide selliste väärtuste x=a hulka X, mille korral rida koondub nimetatakse funktsionaalrea koondvuspiirkonnaks. Seades igale punktile hulgast X vastavusse tekkinud arvrea summe S, saame funktsiooni S=f(x), mida nimetatakse rea piirfunktsiooniks. 2. Mis on astmerida? Astmereaks nimetatakse funktsionaalrida, mis on esitatav kujul: = c0 + c1 (x-a) + c2(x-a)2..+ci(x-a)i + ... 3. Mis on funktsiooni Taylori rida, mis on funktsiooni Maclaurini rida? Astmerida, mille kõik kordajad Cn avalduvad valemiga: Cn= nimetatakse Taylori reaks ja tähistatakse: f(x) Erijuhul, kui a=0, nimetatakse Taylori rida Maclaurini reaks: f(x) 4. Milline tingimus on nii tarvilik kui ka piisav, et funktsiooni f(x) Taylori rida koonduks funktsiooniks f(x)? Selleks, et funktsiooni Taylori rida koonduks väärtuseks f(x), on nii piisav kui ka tarvilik, et:
Puutujate meetod ehk Newtoni meetod (lahendame võrrandi teatud lõigul [a,b] , lõigu valime nii , et f(a)*f(b)<0 , st et f(a) aja f(b) on erimärgilised, võrrandi lahend kuulub sellisel juhul piirkonda[a,b], selleks, et antud piirkonnas oleks meile sobivaid lahendeid täpselt üks, siis peab funktsiooni tuletis antud piirkonnas püsima alati sama märgiga) Taylori (MacLaurini) valem - Taylori valem: f ( a ) ( x - a) + f ( a) ( x - a) 2 + + f ( a) ( x - a) n ( n) f ( x) f ( a) + 1! 2! n! MacLaurini valem kehtib siis , kui a=0 , seega saab valem järgmise kuju:
koonduva arvrea. Kõikide selliste väärtuste x=a hulka X, mille korral rida koondub nimetatakse funktsionaalrea koondvuspiirkonnaks. Seades igale punktile hulgast X vastavusse tekkinud arvrea summa S, saame funktsiooni S=f(x), mida nimetatakse rea piirfunktsiooniks. 65. Mis on astmerida? Astmereaks nimetatakse funktsionaalrida, mis on esitatav kujul: c0 + c1 (x-a) + c2(x-a)2..+ci(x-a)i + ... Erijuhtum, kui a=0 66. Mis on funktsiooni Taylori rida, mis on funktsiooni Maclaurini rida? Astmerida, mille kõik kordajad Cn avalduvad valemiga Cn= nimetatakse Taylori reaks ja tähistatakse: f(x) Erijuhul, kui a=0, nimetatakse Taylori rida Maclaurini reaks: f(x) 67. Milline tingimus on nii tarvilik kui ka piisav, et funktsiooni f(x) Taylori rida koonduks funktsiooniks f(x)? Selleks, et funktsiooni Taylori rida koonduks väärtuseks f(x), on nii piisav kui ka tarvilik, et lim R (x) = 0
Siit saame, et (M.O.T.T.)
6. Logaritmilise tuletise valemi tuletamine.
7. Parameetriliselt antud funktsiooni tuletise valemi tuletamine.
8. Taylori valem. Jääkliikme kujud. Maclaurini valem.
8. Leibnizi valemi tõestus.
1. Cauchy kuju: Rn(x) = (0
Astmerida, mille kordajad on antud valemiga ck= , nimetatakse k! Taylori reaks ∞ f (k )( 0) k Kui a=0 saame f (x)=∑ ∗x – sellist rida nimetatakse k=1 k! Maclaurini reaks 34.Astmerida(definitsioon, omadused, koonduvusraadius ja koonduvusintervall- kuidas neid leida? ∞ Astmereaks nimetatakse funktsionaalrida kujul ∑ cn x n , kus c0, n=0 c1.... on arvud, mida nimetatakse rea kordajateks.
1! 2! n! ( x 0 ) ( x 0 ) ( x 0 ) ( n) ( x 0 ) ( x) = + ( x - x0 ) + ( x - x 0 ) 2 + ... + ( x - x0 ) n + Rn 0! 1! 2! n! Jääkliige ehk viga Rn näitab (x)-Pn erinevust ehk Rn on lähendamisel tehtud viga,kui fni (x) lähendada polünoomiga Pn Rn= Maclaurini ritta arendamisel arendame antud fni f(x) punkti x=0(ümbruses),st kõige pealt teisendatakse antud fn polünoomi kujule ,kus kordajateks on antud fni tuletised kohal X=0,st tuletiste väärtused punktis 0:f´(o),f´´(0)...kaudu. Avaldame polünoomide kordajad tuletiste väärtuste kaudu kohal x = 0 : f (0) f (0) f (0) f ( 4 ) ( 0) f ( n ) (0) a1 = , a2 = , a3 = , a4 = ,..., a n = . 1! 2
𝑘 𝑥→0 𝑥→0 *Nüüd tuleb näidata induktsioonisamm:eeldame, et valem kehtib juhul 𝑛 − 1 ja näitame, et sel 12).(Taylori valemi tuletamine, Taylori valem, Maclaurini valem). (𝑛−1) 𝑛 − 1 (𝑘) (𝑎)𝑔(𝑛−1−𝑘) Olgu y= f (x) mingis punkti a sisaldavas vahemikus n + 1 korda diferentseeruv. Leiame n- juhul kehtib ta ka n korral. Seega kehtib: [𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)]𝑥=𝑎 = ∑𝑛−1 𝑘=0 ( )𝑓 (𝑎)
tunnus? Kas selle täidetus tagab alati rea koonduvuse? Kirjeldada koonduvate ridade omadusi. Sõnastada positiivste ridade koonduvuse Cauchy tunnus Sõnastada positiivste ridade koonduvuse D’Alemberti tunnus Rea absoluutse koonduvuse ja tingimisi koonduvuse mõiste? Leibnizi tunnus vahelduvate märkidega rea koonduvuse kontrollimiseks? Mis on funktsionaalrida? Mis on funktsionaalrea koonduvuspiirkond ja piirfunktsioon? Mis on astmerida? Mis on funktsiooni Taylori rida, mis on funktsiooni Maclaurini rida? Milline tingimus on nii tarvilik kui ka piisav, et funktsiooni f(x) Taylori rida koonduks funktsiooniks f(x)?
L´Hospitali reegliga L´Hospitali reegliga Mathcadi abil Mathcadi abil 15. Leida käsitsi piirväärtus ! Käsitsi: Kontroll mathcadiga: 16. Leida käsitsi piirväärtus ! Käsitsi: Kontroll mathcadiga: 17. Leida käsitsi piirväärtus ! Käsitsi: Kontroll mathcadiga: OSA 8 1. Defineerige Taylori rida! Esitada 2 näidet! Taylori reaks nimetatakse lõpmatut atmerida. Näited: 2. Defineerige Maclaurini rida rida! Esitada 2 näidet! Kui Taylori reas võtta , siis nimetatakse saadud rida Maclaurini reaks. Näited: 3. Näidata animatsiooni abil kuidas konkreetse funktsiooni Taylori rida läheneb antud funktsioonile rea liikmete arvu kasvamisel 4. Millistel tingimustel on antud funktsioonil f(x) kohal x = x 0 maksimaalne väärtus? ehk I tuletis peab võrduma 0-ga ja II tuletis peab olema väiksem 0-st. 5
2) kui esimene rida hajub mingi x=x0 0 puhul, siis ta hajub kõigi x väärtuste puhul, mis rahuldavad võrratust x > x1 Def: astmerea 1 koonduvusraadiuseks nim niisugust reaalarvu R>0, mille puhul rida 1 koondub absoluutselt, kui x < R , rida 1 hajub kui x > R Märkus: kui R = , siis rida 1 koondub kogu arvteljel. Kui R=0, siis rida 1 koondub ainult punktis x=0. Def: vahemikku (-R,R) nim rea 1 koonduvusvahemikuks ja vastavalt vahemikku (a-R,a+R) rea 2 koonduvusvahemikuks. Taylori ja Maclaurini read Olgu funktsioon y=f(x) lõpmatu arv kordi pidevalt diferentseeruv, st tal leiduvad mistahes järku pidevad tuletised y(n)=f(n)(x). Sellele funktsioonile vastavaks Taylori reaks nim astmerida: f ( n ) (a) y = f ( x) ( x - a ) ,0!= 1 n n =0 n!
1! 2! nimetatakse funktsiooni f Taylori reaks ja tema kordajaid (3) Taylori kordajateks. Kui a = 0 , siis reast (4) saame rea f (n ) ( x ) n f (0 ) f (0 ) 2 x = f (0 ) + x+ x + ... , n =0 n! 1! 2! mida nimetatakse Maclaurini reaks. Teoreem. Vahemikus X = (a - R; a + R ) piiramata diferentseeruv funktsioon f on arendatav Taylori reaks (4) selles vahemikus parajasti siis, kui funktsiooni f Taylori valemi jääkliige a n rahuldab vahemikus X tingimust lim a n = 0 . n Kokkuvõttes, kui funktsioon f on arendatav astmereaks (2) (või (1)) vahemikus X , siis see astmerida on funktsiooni f Taylori rida (vastavalt Maclaurini rida).
siis kehtib valem 1 1 f (a )( x - a ) 2 + ..... + f ( n ) (a )( x - a ) n + n , f ( x ) = f ( a ) + f (a )( x - a ) + 2! n! kus n on protsessis x a kõrgemat järku lõpmata väike kui ( x - a ) n . Suurust n = n[(xa)] nimetatakse Taylori valemi jääkliikmeks. Erijuhul a = 0, saame Maclaurini valemi: 1 1 1 f ( x) = f (0) + f (0) x + f (0) x 2 + f (0) x 3 + ... + f ( n ) (0) x n + n , 2! 3! n! kus n = n ( x ) on protsessis x 0 kõrgemat järku lõpmata väike kui x n . Kui funktsioon on f on (n+1) korda diferentseeruv punkti a mingis ümbruses, siis jääkliige n esitub nn. Lagrange´i kujul: 1 ( n +1)
xa ( x a) 2 ( x a) 3 ( x a) n ( n) Taylori rida f ( x) = f (a) + f (a ) + f ( a ) + f (a ) + + f ( a ) + R n ( x ) 1! 2! 3! n! x x2 x3 x n (n) Maclaurini rida f ( x ) = f (0) + f (0) + f (0) + f (0) + + f (0) + Rn ( x) 1! 2! 3! n! x x 2 x3 xn ex =1+ + + + + , kus n = 0,1,2,3... 1! 2! 3! n! x3 x5 (1) n 1 x 2 n 1 sin x = x + + , kus n = 1,2,3... 3! 5! (2n 1)!
xa ( x a) 2 ( x a) 3 ( x a) n ( n) Taylori rida f ( x) = f (a) + f (a ) + f ( a ) + f (a ) + + f ( a ) + R n ( x ) 1! 2! 3! n! x x2 x3 x n (n) Maclaurini rida f ( x ) = f (0) + f (0) + f (0) + f (0) + + f (0) + Rn ( x) 1! 2! 3! n! x x 2 x3 xn ex =1+ + + + + , kus n = 0,1,2,3... 1! 2! 3! n! x3 x5 (1) n 1 x 2 n 1 sin x = x + + , kus n = 1,2,3... 3! 5! (2n 1)!
Iga koonduv rida ei tarvitse absoluutselt koonduda. Koonduvat rida, mis ei koondu absoluutselt nimetatakse tingimisi koonduvaks Leibnitzi tunnuse järgi. 6. Leibnizi tunnus vahelduvate märkidega rea koonduvuse kontrollimiseks? Teooriaküsimused nr. 16 1. Mis on funktsionaalrida? Mis on funktsionaalrea koonduvuspiirkond ja piirfunktsioon? 2. Mis on astmerida? 3. Mis on funktsiooni Taylori rida, mis on funktsiooni Maclaurini rida? 4. Milline tingimus on nii tarvilik kui ka piisav, et funktsiooni f(x) Taylori rida koonduks funktsiooniks f(x)?
2. Graafiline lahendamine 3. Numbriline lahendamine.- reaalselt kasutakse väga palju. Vaja on tavalist vastus(Kolme tüvekohaga) f(x)=0 Joosteme graafiku y=f(x) Leiame lõigu [a,b] Kus funktsioon muudab märki.Selles lõigus on pukt, kus f(punkt)=0 1.Edasi kasutakse lõigu poolitamist. Lahend on [a,b] f´peab olema sama märgiga Leidub täpstelt üks lahend. Võetakse keskkpunk a+b/2 ja arvutame f(a+b/2) jälgime märki saab teada kas lahend kuulub [a+b/2;b] ja siis korratakse seda. Taylori(MacLaurini)valem f ( 0 ) f ( 0) 2 f ( n ) ( 0) n f ( x ) f ( 0) + x+ x + + x 1! 2! n! . Seda valemit nimetatakse Mclaurini valemiks. Mitme (kahe) muutuja funktsioon, osatuletise rakendused Määramispiirkond Kui argumentide väärtuste paarile (x0;y0) vastav z väärtus on olemas, siis öedakse, et z=f(x;y)on määratud punktis (x0;y0). Argumentide väärtuspaaride hulka, mille korral
20. Liitfunktsiooni tuletis 21. Logaritmiline diferentseerimine 22. Ilmutamata funktsiooni tuletis 23. Parameetrilisel kujul esitatud funktsiooni tuletis 24. Funktsiooni diferentsiaal 25. K~orgemat j¨arku tuletised 26. Joone puutuja ja normaali v~orrandid 27. Rolle'i teoreem 28. Cauchy teoreem 29. Lagrange'i teoreem 30. L'Hospitali reegel 31. L'Hospitali reegel teistel m¨aa¨ramatuse juhtudel 32. Taylori valem 33. Funktsioonide ex , sin x ja cos x arendid Maclaurini valemi j¨argi 34. Funktsiooni kasvamine ja kahanemine 35. Funktsiooni lokaalsed ekstreemumid 36. Funktsiooni suurim ja v¨ahim v¨a¨artus antud l~oigul 37. Funktsiooni graafiku kumerus ja n~ogusus. K¨aa¨nupunktid 38. Funktsiooni graafiku as¨ umptoodid 39. Algfunktsioon ja m¨aa¨ramata integraal 40. Integraalide tabel 2 41. M¨aa¨ramata integraali omadusi 42. Integreerimine muutuja vahetusega 43
n! x n +1 ( n +1) x n +1 (1 - ) n ( n +1) (18.4) R n ( x) = f ( x) = f ( x) (n + 1)! n! x = x 0 + x 0 < <1 © 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 30 Maclaurini valem. Funktsioonide ex, sin x, cos x, ln(1+x) ja (1+x)a valemid (tõestusega). Kui Taylori valemis (24.4) võtta x 0 = 0, siis saame Maclaurini valemi. f ' (0) f ' ' (0) 2 f ( n ) (0) n (18.1) f ( x) = f (0) + x+ x + ... + x + R n ( x) 1! 2! n1! x n +1 (18.2) R n ( x) = f ( n +1)
n! x n +1 ( n +1) x n +1 (1 - ) n ( n +1) (18.4) R n ( x) = f ( x) = f ( x) (n + 1)! n! x = x 0 + x 0 < <1 © 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 30 Maclaurini valem. Funktsioonide ex, sin x, cos x, ln(1+x) ja (1+x)a valemid (tõestusega). Kui Taylori valemis (24.4) võtta x 0 = 0, siis saame Maclaurini valemi. f ' (0) f ' ' (0) 2 f ( n ) (0) n (18.1) f ( x) = f (0) + x+ x + ... + x + R n ( x) 1! 2! n1! x n +1 (18.2) R n ( x) = f ( n +1)
Rn(x)=((x-a)n+1)/(n+1)!f(n+1)[a+(x-a)], 0< <1 Kui punktil x=a ümbruses on funktsioonil f(x) mistahes järku tuletised, siis võib Taylori valemis arvu n võtta kuitahes suure. Oletades, et vaadeldavas ümbruses läheneb jääkliige Rn nullile, kui n0 limn0Rn=0 n puhul saab rea, mida nim Taylori reaks: f(x)=f(a)+(x-a)f '(a)+...+(x-a)n/n!f(n) (a)+.. Paremal pool võrdust olev rida koondub ja tema summa võrdub funktsiooniga f(x). Taylori rea erijuhtum on (a=0 puhul) Maclaurini rida: f(x)=f(0) +xf `(0)+(x2)/2!f `'(0)+...+(xn)/n!f(n)(0)+...
a n (x ) = o x n , kui x 0 , nimetatakse Taylori valemi jääkliikmeks Peano kujul ja ülejäänud osa Taylori polünoomiks. Kui a = 0 , siis x = x ja Taylori valemist saame valemi 1 1 f ( x ) = f (0 ) + f (0)x + f (0)x 2 + ... + f (n ) (0 )x n + a n ( x ) , 2 n! mida nimetatakse ka Maclaurini valemiks. Tõestus: ( x ) f ( x + x) - f ( x) = f ( x)x + 1 (x) , lim 1 = 0 ( 1 om kõrgemat järku lõpmata väike x suhtes) x 0 x (x) f ( x + x) - f ( x) - f ( x)x f ( x + x) - 0 - f ( x) lim 1 2 = lim = lim =
.. , g^ (k)(t)=((/x)* x+(/ ) muut F = F (x + x, y + xy) - F (x,y) . Ühelt poolt on seoste (1.6.1) ja (1.6.2) põhjal F = 0. Teisalt eeldusel, et funktsioon F *y)f^ k(x+tx,y+ty) (0kn+1) ja g^ (k)(0)=((/ x)* x+ ( /)* y)k^ f(x,y) (0kn). Et funktsiooni g(t) n-järku on diferentseeruv punktis (x, y), leiame seose (1.4.2) põhjal F = Fx (x, y) y + Fy(x, y) xy + , kusjuures suurus on Maclaurini valem on kujul g(t)= (^ ()(0) /!)t^ k + ((^ (+1)() )/(+1)!) ^ +1 (0<<1), siis f(x+x, y+y)=g(1)= ^ kõrgemat järku lõpmata väike, võrreldes suurusega ^2 +^2 . Seega Fx (x, y) x + Fy (x, y) xy + = 0, millest ()(0)/! + ^ (+1)()/ (+1)! (0<<1), mille abil jõuame n-järku Taylori valemini f(x+x, y+y)= 1 / ! ( (/) * x+
x = x 0 + ( x - x0 ) t (13.3) y = y0 + ( y - y0 )t 0 t 1 Kui t = 0 , siis saame punkti P( x 0 , y 0 ) ja kui t = 1 , siis punkti Q( x, y ) . Kahe muutuja funktsioon f ( x, y ) määrab lõigul PQ ühe muutuja liitfunktsiooni F ( t ) = f ( x , y ) = f ( x0 + ( x - x 0 ) t , y 0 + ( y - y 0 ) t ) (13.4) Seejuures F ( 0 ) = f ( x 0 , y 0 ) ja F (1) = f ( x, y ) Kirjutame funktsiooni F ( t ) teist järku Taylori valemi punktis t = 0 (Maclaurini valem). F ( 0) F ( 0) 2 F ( t ) = F ( 0) + t+ t + R2 ( t ) 1! 2! t3 kus R2 ( t ) = F ( ) , ( 0, t ) 3! Võtame selles valemis t = 1 , saame F ( 0) F ( 0) F ( 1) = F ( 0) + + + R2 (1) 1! 2! 1 kus R2 (1) = F ( t ) , t ( 0,1) 3!
15. Olgu ühemuutuja funktsioon y = f(x) antud ilmutamata kujul võrrandiga F(x, y) = 0. Tuletada valem Et funktsiooni g(t) n-järku Maclaurini valem on kujul g(t)=∑𝑛𝑘=0 𝑡 + 𝑡 (0<θ<1), siis f(x+∆x, osatuletisi võib uuesti diferentseerida nii x kui ka y järgi, saades kolmandat järku osatuletised
Astmerida ak (x − a)k , mille kordajad on P k=0 määratud valemiga f (n) (a) an = (n ∈ N0 ) , n! nimetatakse funktsiooni f Taylori reaks punktis a. Taylori rida punktis a = 0 nimetatakse funktsiooni f Maclaurini reaks. Väljend arendage funktsioon f Taylori reaks punkti a ümbruses (mõnikord öeldakse ka: arendage funktsioon f Taylori reaks punktis a) tähendab järgmist: tuleb leida r > 0 ning kordajate jada (ak ) nii, et iga x ∈ Ur (a) korral ∞ X f (x) = ak (x − a)k . k=0
f (n+1) (c) (Rn f )(x) = (x - a)n+1 , c [a, x]. (n + 1)! ¨ G. Tamberg (TTU) YMM3731 Matemaatilne analu¨ us ¨ I 12 / 13 Taylori valem Taylori valem Taylori valemi erijuhtu a = 0 nimetame Maclaurini valemiks (c (0, x)) n f (k) (0) k f (x) = x + (Rn f )(x). k! k=0 ¨ Kui meil eksisteerib ka (n + 1)-jarku tuletis f (n+1) (b), b [0, x], siis saame Maclaurini valemi ja¨ aklikme ¨ Lagrange kujul.
annaabi.ee 
