................................................. -4- Kokkuvõte.............................................................................................................................-4- Kasutatud kirjandus............................................................................................................. -5- Ligikaudne arv ja selle tüvenumbrid Ligikaudse arvu tüvenumbriteks nimetatakse selle arvu kirjutises olevaid õigeid numbreid, välja arvatud kümnendmurru alguses olevad nullid (avanullid). Tüvenumbrid moodustavad arvu tüve. Seega algavad tüvenumbrid alati nullist erineva numbriga ja viimasele tüvenumbrile vastav kümnendjärk määrab ligikaudse arvu vea ülemäära. Arvu tüvenumbrid ei muutu, kui muuta koma asukohta arvus, korrutades või jagades seda arvu 10 mingi astmega. Ligikaudse arvu murdosa lõpust ei tohi nulle lihtsalt niisama ära jätta. Näiteks kui arv 63,7031 on antud sajandiku täpsusega, siis tuleb see kirjutada sajandikeni ümardatult 63,70
e 2=( 0, 1,0, … , 0 ) , ⃗ e 3=( 1, 0,0, … , 0 ) , ⃗ ............... e n=( 0,0, 0, … , 1) . ⃗ Tõestus: Oletades, et mingi kordajate α 1, α 2, … , α n komplekti korral, mis korraga pole nullid, osutub nendest vektoritest moodustatud lin.kombo α 1⃗ e 1+ α 2 ⃗ e n= ⃗0 e 2+ …+α n ⃗
Näiteks : 1234 = 1,234 * 10 12,34 = 1,234 * 10 Tavaliselt täisarvu lõpus olevaid nulle tüvenumbriteks ei loeta, sest pole teada millist arvu ümardati. Näiteks arv 50 000 võib olla saadud arvust 49,876. Kui aga ümardatav arv on teada, siis saab täpselt teada, milline lõpunullidest on tüvenumber ja milline mitte. Näiteks : 27 015 27 000 Ligikaudse täisarvu tüvenumbriteks loetakse selle arvu kõik numbrid, välja Arvatud ümardamisel tekkinud nullid. Ligikaudse kümnendmurru Tüvenumbrid on kõik selle arvu nullid, välja arvatud alguses olevad nullid. 4. Arvutamine ligikaudsete arvudega. Ligikaudsete arvude korrutises ja jagatises tuleb säilitada nii mitu tüvenumbrit, kui mitu on neid vähima tüvenumbritega arvuga lähteandmetes. Näiteks : Alfred läbis võistlustel staadioniringi (400m) 77 sekundiga. Leides Alfredo keskmist kiirust jagame 400 : 77 = 5,194805...m/s
Ligikaudsed arvud Ligikaudse arvu tüvenumbriteks nimetatakse selle arvu kirjutises olevaid õigeid numbreid, välja arvatud kümnendmurru alguses olevad nullid (avanullid). Tüvenumbrid moodustavad arvu tüve. Tüvenumbrid algavad alati nullist erineva numbriga ning viimasele tüvenumbrile vastav kümnendjärk määrab ligikaudse arvu vea ülemmäära. Praktilistes ülesannetes kasutame arve, mis on saadud mõõtmise teel. Need iseloomustavad antud suurust vaid ligikaudselt, erinedes täpsest suurusest teatava vea võrra. Täpse arvu A ja tema ligikaudse väärtuse ehk lähendi korral nimetatakse lähendi veaks suurust | A- |
arvuga korrutatud teatud teine rida/veerg. Om7 Kahe n- järku determinandi A ja B korrutis A B on arvuliselt võrdne teatava uue n- järku determinandiga C, mille i-nda rea ja j-nda veeru ühine element cij saadakse determinandi A i-nda rea ja determinandi B j-nda veeru vastavate elementide korrutamisel ning saadud tulemuste liitmisel. Om8 Kui determinandi mingi rea/veeru kõik elemendid on nullid, siis võrdub determinant nulliga. Om9 Kui determinandis kõik allpool/ülal peadiagonaali paiknevad elemendid on nullid, siis võrdub determinandi väärtus tema peadiagonaali elementide korrutisega ehk pealiikmega. Om10 Determinandi väärtus võrdub nulliga parajasti siis ( siis ja ainult siis), kui selle determinandi ridade/veergude hulk on lineaarselt sõltuv. Ridade ja veergude lineaarne sõltuvus on tarvilik ja piisav
Vektorite korrutamine arvuga vektori korrutamisel saadakse esialgsega kollineaarne vektor, muutuda võivad pikkus ja suund. Korrutamise omadused: assotsiatiivsus arvuga korrutamise suhtes; distributiivsus arvude liitmise suhtes; distributiivsus vektorite liitmise suhtes; arvu üks omadus 1*a=a. 3)Vektorite lineaarne sõltuvus ja sõltumatus. Vektoreid 1; 2;...n nimetatakse lineaarselt sõltuvaiks, kui leiduvad arvud a1; a2;...an, mis ei ole korraga nullid ning mille puhul kehtib seos (lineaarne kombinatsioon) 1a1 + 2a2+...+nan=0 . Kui kõik kordajad on nullid on süsteem lineaarselt sõltumatu. 4)Vektorruum ja tema baas. Vektori koordinaadid antud baasi suhtes. Vektorruumi baas on tema max lineaarselt sõltumatute vektorite hulk/süsteem. Mistahes vektori lisamisel muutub süsteem lineaarselt sõltuvaks. Me võime avaldada lisatud vektori baasi elementide kaudu. Antud baasis on vektorite
Ülesanne 3 Kirjutada makro, mis väljastab töölehele ühte veergu alates määratud nimega lahtrist juhuarvud 1..20 ja kirjutab iga lahtri kõrvale sõna paaris või paaritu vastavalt juhuarvu väärtusele. Eelnevalt tuleb vanad andmed kustutada. ridu Ülesanne 1 Kirjutada Sub-protseduur (makro), mis teeb antud tabelis positiivsete arvude kirja rasvaseks ja negatiivsete arvude kirja kaldkirjaks, nullid jäävad samaks. Programm peab töötama suvalise suurusega arvudega täidetud lahtrite piirkonnal nimega tabel. Enne programmi käivitust tuleb tabeli lahtrite kiri muuta tavaliseks, sest vahepeal võisid andmed muutuda. Kaldkirja saab määrata lahtrile, omistades omadusele Font.Italic väärtus True, rasvase kirja määramiseks kasutage omadust Font.Bold. Programmi testimiseks looge töölehele tabel ja täitke see arvudega. Programmi käivitamiseks looge nupp.
Valime teises seoses x= 2 ja kolmandad seoses y= 1 Saame 1+ 2= 2 ja 1 +2= 1 oleme saanud 1=1 +2 =2 , et 1 ja 2 olid V nullelemendid, siis on kõik V nullelemendid omavahel võrdsed, st. Saab olla vaid üks nullelement. 2.Sirgete kimp, mis sisaldab teineteisest erinevaid sirgeid üldvõrranditega s: A1x1+A2x2+A3=0; t: B1x1+B2x2+B3=0; koosneb parajasti nendest sirgetest, mille üldvõrrand avaldub kujul (A1x1+A2x2+A3)+(B1x1+B2x2+B3)=0; kus ja on vabalt valitud reaalarvud, mis ei ole korraga nullid. Tõestus: 1) On vaja näidata, et uus võrrand kirjeldab alati antud kimpu kuuluvat sirget: Olgu P(p1,p2) antud kibu keskpunkt, st Ps ja Pt, mistõttu P koordinaadid peavad rahuldama mõlemat võrradit- A1P1+A2P2+A3=0 ja B1P1+B2P2+B3=0. Olgu ,R, siis (A1P1+A2P2+A3)+(B1P1+B2P2+B3)=*0+*0=0. Seega punkti P koordinaadid rahuldavad võrrandit (A1x1+A2x2+A3)+(B1x1+B2x2+B3)=0. Paneme tähele, et (A1x1+A2x2+A3)+(B1x1+B2x2+B3)=(A1+B1)x1+(A2+B2)x2+(A3+B3)=0 Seega
Karnaugh tabel Tuletatud funktsiooni lihtsustamine ehk loogikafunktsiooni minimeerimine. Loogiliste ühtede grupid: 1. Ühed peavad asuma üksteise kõrval, mitte diagonaaliti. 2. Grupid võivad koosneda 2-st, 4-st, 16-st jne ühest. 3. Grupp peab olema võimalikult suur ( valida alati kõige suurem grupp). 4. Üks võib kuuluda mitmesse gruppi. 5. Gruppide moodustamine kestab seni, kuni kõik loogilised nullid või ühed hakkavad kuuluma mingisse gruppi. Näide: Ya funktsiooni minimeerimine Ya= 21 + 20 + 31 + 321 + 30 + 320 Yb funktsiooni minimeerimine Yb= 31 + 30 + 320 + 310 Yc funktsiooni minimeerimine Yc= 31 + 30 + 21 + 10 + 321 Yd funktsiooni minimeerimine Yd= 210 + 320 + 210 + 310 Ye funktsiooni minimeerimine Ye= 320 + 310 + 31 + 10 Yf funktsiooni minimeerimine Yf= 321 + 32 + 10 + 20 + 31 Yg funktsiooni minimeerimine Yg= 31 + 21 + 320 + 210 + 321
8. klassi matemaatika mõisted ja valemid Ümardamisel kasutatakse järkusid. Tüvenubriteks loetakse: 1) täisarvus kõik numbrid väljaarvatud arvu lõpus olevad nullid. 2) kümnendmurrus kõik numbrid va. Arvu ees olevad nullid. Arvutamine ligiklaudsete arvudega: 1) liitmisel, lahutamisel ümardatakse lõppvastus ühise madalaima järguni. (Tüvenumbrite madalaima järguni) 2) korrutamisel, jagamisel tuleb lõppvastus ümardada nii, et temas oleks sama palju tüvenumbreid, kui oli seda vähima tüvenumbrite arvuga algandmes. 3) mitme tehtega ülesandes tuleb: a) arvutada iga tehe eraldi ja jätta 1 varunumber ning lõppvastus ümardada täpselt. b) hinnata iga tehte tulemust ja otsustada milleni tuleb vastus ümardada
4 5 6 2 5 8 7 8 9 3 6 9 A= , siis AT = . 6. Ruutmaatriksit, mille kõik peadiagonaalist väljaspool asuvadelemendid on nullid, nimetatakse diagonaalmaatriksiks; näiteks 2 0 0 0 5 0 0 0 3 A= . 7. Diagonaalmaatriksit, mille kõik peadiagonaali elemendid on ühed, nimetatakse ühikmaatriksiks
mis määrab mingi vektori, nimetatakse vektorite e1, e2, . . . ,en LINEAARSEKS KOMBINATSIOONIKS. Kui selles avaldises kõik kordajad võrduvad üheaegselt nulliga, st 1 = 2 = . . . = n = 0, siis öeldakse, et lineaarne kombinatsioon on TRIVIAALNE. Vastasel korral, kui kas või üks kordajatest i , i = 1, 2 , . . . , n, on nullist erinev, öeldakse, et lineaarne kombinatsioon on MITTETRIVIAALNE. DEFINITSIOON 3. Kui avaldis (A) võrdub nullvektoriga ainult siis, kui kõik kordajad on nullid, st ainult siis, kui avaldis (A) on triviaalne lineaarne kombinatsioon, siis öeldakse, et vektorid e 1, e2, . . . ,en moodustavad LINEAARSELT SÕLTUMATU SÜSTEEMI. DEFINITSIOON 4. Kui leidub mittetriviaalne lineaarne kombinatsioon (A), mis võrdub nulliga, siis öeldakse, et vektorid e1, e2, . . . , en moodustavad LINEAARSELT SÕLTUVA SÜSTEEMI. DEFINITSIOON 5. Vaadeldava vektorite hulga maksimaalset sõltumatute vektorite hulka nimetatakse selle vektorite hulga BAASIKS.
mis määrab mingi vektori, nimetatakse vektorite e1, e2, . . . ,en LINEAARSEKS KOMBINATSIOONIKS. Kui selles avaldises kõik kordajad võrduvad üheaegselt nulliga, st 1 = 2 = . . . = n = 0, siis öeldakse, et lineaarne kombinatsioon on TRIVIAALNE. Vastasel korral, kui kas või üks kordajatest i , i = 1, 2 , . . . , n, on nullist erinev, öeldakse, et lineaarne kombinatsioon on MITTETRIVIAALNE. DEFINITSIOON 3. Kui avaldis (A) võrdub nullvektoriga ainult siis, kui kõik kordajad on nullid, st ainult siis, kui avaldis (A) on triviaalne lineaarne kombinatsioon, siis öeldakse, et vektorid e 1, e2, . . . ,en moodustavad LINEAARSELT SÕLTUMATU SÜSTEEMI. DEFINITSIOON 4. Kui leidub mittetriviaalne lineaarne kombinatsioon (A), mis võrdub nulliga, siis öeldakse, et vektorid e1, e2, . . . , en moodustavad LINEAARSELT SÕLTUVA SÜSTEEMI. DEFINITSIOON 5. Vaadeldava vektorite hulga maksimaalset sõltumatute vektorite hulka nimetatakse selle vektorite hulga BAASIKS.
X4 on rebaste kogus ja neid on parim toota 170 tükki (169,5 ümardatud). 3. Abitundmatute väärtuste analüüs. Kui me lahendaksime seda ülesannet tavaliselt simpleksmeetodiga, siis peaksid esinema ka abitundmatud, mis tähendaksid ressursside ülejääki. Lahendatud Exceliga tabelist on näha, et materjalid puuvillariie, täitematerjal, karusnahk ja plüüs on kasutatud kuni ülemise piiranguni. See tähendab, et ülejääke ei ole ja neli viiendiku abitundmatuid on kõik nullid. Niiti juhul on aga määratud ülejääk, sest et see ei olnud kasutatud lõpuni (801,7m 980-st). Ülejäägi väärtus on siis 980-801,7=178,3 m. Siis abitundmatu x5 väärtus on 178,3. 4. Lahendi stabiilsuse analüüs. On vaja uurida, kas leidub selline sihifunktsiooni muutus, mis muutuks saadud tulemust veel paremaks. Andmed +ej ja ej näitavad vastavalt positiivset ja negatiivset muutust iga muutuja korral, millega säiliks optimaalne lahend. Reduced cost (
ligikaudsete arvudega. Ligikaudsete arvude korral tuleb teada, millise veaga need on antud. Meie vaatame selliseid arve, mille korral järeldub arvu kirjutisest kohe ka arvu vea ülemmäär. See tähendab seda, et arv kirjutatakse õigete numbritega. Õigeks loetakse numbrit, mille kümnendkohale vastav ühik on suurem vea ülemmäärast. Ligikaudse arvu tüvenumbriteks nimetatakse selle arvu kirjutises olevaid õigeid numbreid, välja arvatud kümnendmurru alguses olevad nullid ehk avanullid. Tüvenumbrid moodustavad arvu tüve. Niisiis, tüvenumbrid algavad alati nullist erineva numbriga. Viimasele tüvenumbrile vastav kümnendjärk määrab ligikaudse arvu vea ülemmäära. Arvu tüvenumbrid ei muutu siis, kui: **muuta koma asukohta arvus **korrutada arvu 10 mingi astmega **jagada arvu 10 mingi astmega Näiteks: arvudel 30,17; 3,017; 0,030017; ja 3017 on ühed ja samad tüvenumbrid. Need on 3 - 0 - 1 - 7 (kolm - null - üks - seitse).
ka d kb c k (ad cb) k c d c d Determinant võrdub nulliga, kui determinandi kahe rea (veeru) vastavad elemendid on võrdelised. a b a b k 0 ka kb a b Kui determinandi ühe rea (veeru) kõik elemendid on nullid, siis on determinant võrdne nulliga. a b a 0 0b 0 0 0 Kui determinandis asuvad ühel pool peadiagonaali vaid nullid, siis on determinant võrdne peadiagonaali elementide korrutisega. Kui ühel pool kõrvaldiagonaali on vaid nullid, siis on determinandi väärtus võrdne kõrvaldiagonaali elementide korrutise vastandarvuga.
c d c d Determinant võrdub nulliga, kui determinandi kahe rea (veeru) vastavad elemendid on võrdelised. a b a b k 0 ka kb a b Kui determinandi ühe rea (veeru) kõik elemendid on nullid, siis on determinant võrdne nulliga. a b a 0 0b 0 0 0 Kui determinandis asuvad ühel pool peadiagonaali vaid nullid, siis on determinant võrdne peadiagonaali elementide korrutisega. Kui ühel pool kõrvaldiagonaali on vaid nullid, siis on determinandi väärtus võrdne kõrvaldiagonaali elementide korrutise vastandarvuga.
· Lõik- Lõik ehk sirglõik on sirge kaht punkti A ja B ühendav osa, punktid A ja B kaasa arvatud. Seda lõiku tähistatakse AB.[1] Punkte A ja B nimetatakse lõigu otspunktideks. Jordani maatriks- Jordani maatriksiks nimetatakse blokk- diagonaalset maatriksit, mis koosneb Jordani kastidest. Jordani kastiks nimetatakse ruutmaatriksit, mille kõik peadiagonaali elemendid on võrdsed, vahetult peadiagonaali kohal asuvad elemendid on ühed, ent ülejäänud elemendid on nullid. · Lemma- Lemma ehk abiteoreem on teoreem, millel pole küll iseseisvat tähtsust, kuid mis osutub vajalikuks vaadeldava matemaatilise teooria mõne teise teoreemi sõnastamisel. · Fundamentaaljada- Fundamentaaljadaks ehk Cauchy jadaks nimetatakse jada vn, mille elemendid teineteisele indeksi n kasvades lõputult lähenevad. · Hüpotenuus- Hüpotenuus on täisnurga vastaskülg täisnurkses kolmnurgas; ka selle külje pikkus
i n ∑ →M i=0 i=1 kusjuures kõik üksikud jõumomendid on arvutatud ühe ja sama vabalt valitud punkti suhtes 𝑃 ⃗ = 0 (saame valida taustsüsteemi, et see nõue oleks täidetud). Kui me valime jõudude koondumispunkti jõumomentide arvutamise taandamistsentriks, siis osutub, et kõik jõumomendid on nullid ja jääb järele ainult väliste jõudude vektorsumma nulli nõue (puuduvad keha pöörata üritavad jõud. Veel oluline: Jäigale kehale mõjuvat raskusjõudu võib vaadelda kui keha raskuskeskmesse rakendatud jõudu. Sellest järeldub, et gravitatsiooniväljas asetseva koonduvate jõudude süsteemi korral on jõudude koondumispunkt alati raskusjõu sihil. Ühel tasapinnal paiknevate koonduvate jõudude süsteemi korral on tasakaaluks
Astendamine Naturaalarvuline astendaja 2³=222=8 00= - a0=1, kui a0 , st iga arv astmes 0 on võrdne ühega (kui see arv ei ole 0). Näide:11²=121 , 12²=144,1 3²=169 1³=1 2³=8 3³=27 4³=64 5³=125 6³=216 7³=343 10³=1000 20=1 21=2 22=24 23=8 24=16 25=32 26=64 27=128 28=256 29=512 210=1024 Tehted astmetega 1) am an = a m + n Näiteks: 2² 2³ = 22+3 = 25 = 32 Võrdsete alustega astmete korrutamisel võime astendajad liita ning saadud tulemusega astendada antud alust. 2) am : an = a m-n Näiteks: 36 : 34 = 36-4 = 3² = 9 Võrdsete alustega astmete jagamisel võime jagatava astendajast lahutada jagatava astendaja ning saadud tulemusega astendada alust. 3) (a b)n = an bn Näiteks: (2 4)² = 2² 4...
TEHTED MURDUDEGA KÜMNENDMURRUD: 1. Liitmine/lahutamine: 1) Paigutame koma alla koma. Näide: 174,6 48,328 = 174,600 2) Lisame nullid. 48,328 126,272 2. Korrutamine: 1) Jätame tegurites komad esialgu tähele panemata Näide: 64,5 - 1 koht ja korrutame neid nagu naturaalarve; · 5,6 - 1 koht 2) Loeme, mitu kohta on pärast koma mõlemas teguris kokku. 3870
nimatsioon: hüppamine, salto vm Arva ära Kordused 2 Fuktsiooni nullkohad Fx 3 sin( 2 x 1) 5 cos( x / 2 3) algus samm lõpp jaotisi a_0 b_0 -5 1 5 10 1 2 Excel VBA Excel x y y_1 Nullid -5 -4.779704 -4.779704 #VALUE! -4 #VALUE! #VALUE! #VALUE! -3 #VALUE! #VALUE! #VALUE! -2 #VALUE! #VALUE! #VALUE! -1 #VALUE! #VALUE! #VALUE! 0 #VALUE! #VALUE! #VALUE! 1 #VALUE! #VALUE! #VALUE! 2 #VALUE! #VALUE! #VALUE! 3 #VALUE! #VALUE! #VALUE! 4 #VALUE! #VALUE! #VALUE!
3 4l ülesandes ON = 2l OD = 3 E O 0 60 2l 2 N EO = AE = OB = 2l cos 600 X A ja X B on nullid, kuna nende sihilisi jõude rohkem ei ole. Tasakaaluvõrrandid: N 1.) Fkz = 0 : Z A + Z B - - mg = 0 k =1 N r 4l 2.) M A x ( Fk ) = 0 : Z B 6l cos 600 - mg (2 2l cos 600 - l cos 600 ) - (2 2l cos 600 - cos 60 0 ) = 0 k =1 3
See on ühejuhtmeline vooluahel. Rööpõhenduse korral vooluahela hargneb kahest või enamaks haruks. Kõik elektriahelate lahendused taanduvad jada-või rööpühenduse reeglitele. Ohmi seadus : Patarei on ühetüübiliste seadmete kogum,mis on omavahel ühendatud süsteemiks. Vooluallikaga on jadamisi on ühendatud tarviti R ja ampmeeter A.Voltmeeter on ühendatud rööbiti nii vooluallika kui ka tarvitiga.Mõlemad lülitid on avatud.Ampmeeter ja voltmeeter näidud on nullid. Voltmeeter näitab vooliallika allikapinget ehk elektromootorjõudu. Elektromotoorjõud on põhjuseks mis tekitab ja säilitab elektrivoolu suletud vooluahelas. Mõlemad lülitid on suletud.Voltmeeter näit on mõnevõrra väiksem sest ta näitab pingelangust välisahelas VALEM: I- E R+r Igas elektrilises vooluringis toimub energia maandumine. A-IUt kus A(J)-vooluringis tehtav töö I(A)-voolutugevus U(V)-pinge
Arvu a numbreid nimetatakse arvu x tüvenumbriteks. nt 0,04050000 102030000 Kümnendmurru lõpunullid on tüvenumbrid, avanullid aga mitte. Täisarvu lõpus olevad nulle ei loeta tüvenumbriteks, sest pole teada millist arvu ümardati. Kui ümardatav arv on teada, saame öelda millised on tüvenumbrid. Nt sajalisteni 27013 ~27000 Selles arvus on sajaliste kohal seisev null tüvenumber. Ligikaudse täisarvu tüvenumbreid loetakse kõik selle arvu numbrid v.a lõpus olevad nullid (kui ümardamisel tekkinud).Ligikaudse kümnendmurru tüvenumbriteks peetakse kõiki numbreid v.a avanulle, mis on arvu alguses. Arvutamine ligikaudsete arvudega Ligikaudsete arvude korrutises ja jagatises tuleb säilitada nii mitu tüvenumbrit, kui mitu on antud vähima tüvenumbritega arvuga lähteandmetes. 400/7= 5.194805195 ~5,2 4,32*0,3456= 1,499904 ~1,50 Ligikaudsete arvude summas ja vahes säilitatakse kõige madalam järk, mis kõigis lähteandmetes teada. 23,4+123=146,4 ~146
lahtril ja vajuta nupule . Ülejäänud summade kokkuarvutamiseks ei ole enam vaja valemit sisestada, vaid saad valemi allapoole kopeerida. Selleks tee kõigepealt hiireklõps juba arvutatud lahtril (vastusega), seejärel liigu hiirega sama lahtri alumisse paremasse nurka, hiire kuju muutub pisikeseks mustaks ristiks , nüüd hoides all hiire klahvi tõmba kuni Käibemaksu lahtrini. Nagu Sa märkasid tekkisid täitmata lahtrite kõrvale Summa lahtrisse nullid (0,00). Kuna Sa kopeerisid valemi ka nendesse lahtritesse, siis hiljem täites Koguse ja Hinna lahtri, arvutub summa automaatselt. Proovi! Käibemaksu jaoks tuleb esmalt kokku liita eelnevad lahtrid ja seejärel saadud summa korrutada 18%-ga. Käibemaksu arvutamiseks tee jällegi esmalt hiireklõps vastavas lahtris (siin E19), seejärel võrdusmärk ning kirjuta SUM (võid ka väikeste tähtedega), nüüd sulg (, sulu järele nende
3 vCx = vCA cos 30o = 45 = 38,9711 (cm / s ) 2 vC y = vA + vCA sin 30 = 20 + 45 o 0,5 = 42,5 vC = vC2 x + vC2 y = 38,97112 + 42,52 = 57, 6222 (cm / s ) 2.2 Kiirendused Ülesande teksti kohaselt on nii OA kui I kogu aeg konstantsed. Konstandi tuletis on aga null. Seetõttu siin ülesandes & OA = 0 ja & I = 0 , mistõttu siin & II = 0 ja seega ka II = 0 .Kuna kõik nurkkiirendused on nullid, siis ainukesed kiirendused siin on normaalkiirendused. a A = a An = OA2 AO = 12 20 = 20 (cm / s 2 ) y r r rn rt aB = a A + aBA + aBA n aBA = II 2 BA = 4,52 15 = 303, 75 (cm / s 2 ) r r rn aA A t aBA = II BA = 0 aB = a A + aBA x
liitmisel. 8. a+b=b+a 2. (µ*a')=(µ)a' Kui determindandi mingi rea/veeru kõik elemendid on nullid, siis determinant 3. a+£=a (nullelemendi leidumise seadus) 3. (a'+b')=a'+b' võrdub nulliga. 9. Kui kõik allpool/ülalpool peadiagonaali 4. a*=£
Nagu eespool öeldud, siis väikse dispersiooniga mõõtmistulemusel on teistega võrreldes suurem kaal. Tabelis 1 on neljas nurgamõõtmine teistest tunduvalt suurema kaaluga, ehk siis täpsem. 1 Järgnevalt koostame kaalumaatriksi (Tabel 2), mille peadiagonaalil paikevad eespool leitud kaalude väärtused. Kuna tegu on sõltumatute mõõtmistega, siis on tegu diagonaalmaatriksiga, mis tähendab, et diagonaalivälised elemendid on nullid. Tabel 2. Kaalumaatriks 0.081633 0 0 0 0 0.028727 0 0 0 0 0.045269 0 0 0 0 0.189036 Kaalumaatriksi pöördmaatriks on kovariatsioonimaatriks (Tabel 3), mis tähendab, et peadiagonaalil asetsevad nüüd nurgamõõtmiste dispersioonide väärtused. Kuna
> #Mitu puud on sinu proovitükil? > PRT332=subset(puud2015,PRT=="332") #Teen eraldi andmestiku PRT332-st > length(table(PRT332$PUU)) #Loetlen puude arvu PRT-l [1] 121 VASTUS: Minu proovitükil on 121 puud Mitu 1. rinde puud on puuliikide kaupa sinu proovitükil? Esita tabel vaid proovitükil esinevate liikide kohta. #Mitu 1. rinde puud on puuliikide kaupa proovitükil. PUUD1=droplevels(subset(PRT332,RIN=="1")) #Teen 1. rinde puude andmestiku, viskan välja mitte vajaliku ehk nullid. table(PUUD1$PL) #Vaatan puid puuliikide kaupa #Ühendan saadud andmed ühte tabelisse P1=with(PUUD1,tapply(D,PL,length)) P1 PRT332RIN=data.frame(PL=names(P1),Rinne1=P1) PRT332RIN write.table(PRT332RIN,"clipboard",sep="t",dec=",",row.names=FALSE) > #Mitu 1. rinde puud on puuliikide kaupa proovitükil. > PUUD1=droplevels(subset(PRT332,RIN=="1")) #Teen 1. rinde puude andmestiku, viskan välja mitte vajaliku ehk nullid. > table(PUUD1$PL) #Vaatan puid puuliikide kaupa HB KS 23 13
esialgse pikkuse võrra (=1). Elastsusmooduli arvutamiseks venitusest esitatakse valem kujul E=Fl/(Sl). Elastsuse mõõtmiseks riputatakse traadile algkoormus F 0 traadi sirgestamiseks ja vihid traadi venitamiseks. Kahe vesiloodi kasutamisega elimineeritakse kronsteini võimaliku nihkumise mõju mõõtetulemustele, sest nii määratakse ainult klambritavahelise traadiosa pikenemine. Töö käigus suurendatakse koormist järk-järgult, reguleerides iga kord vesiloodide nullid keskele ning registreerideskruvikute lugemid. Siis eemaldatakse vihid vastupidises järjekorras ja registreeritakse jällegi kruvikute lugemid. Saadud tulemuste põhjal ehitatakse graafik teljestikus l=f(F) Elastsusmooduli E arvutamisel võiks kasutada ükskõik missugust vastavate suuruste l ja F paari, kuid suurema täpsuse saamiseks kasutatakse graafikut. Töö käik 1. Mõõtke traadi pikkus l klambrite vahel 2
Gustav Adolfi Gümnaasium Ligikaudne arv ja selle tüvenumbrid Ligikaudse arvutuse eeskirjad Allar Henri Kivi 8.a Kristel Eik Tallinn, 2011 Sissejuhatus Ligikaudse täisarvu tüvenumbriteks loetakse selle arvu kõik numbrid, välja arvatud lõpus olevad nullid. Ligikaudse kümnendmurru tüvenumbrid on kõik selle arvu numbrid, välja arvatud arvu alguses olevad niinimetatud avanullid [1] Ligikaudse arvu tüvenumbrid Ligikaudse arvu tüvenumbriks nimetatakse selle arvu kirjutuses olevaid õigeid numbreid. Olgu meil mingi ligikaudne arv X mis on saadud ümardamise, mõõtmise või arvutamise tulemusena. Kui kirjutame arvu standardkujul, siis saame selle esitada kujul X = a · 10n. Arvu A numbreid nimetatakse arv...
hüppamine, salto vm. Kordused 2 Fuktsiooni nullkohad algus samm lõpp jaotisi a_0 b_0 -5 1 5 10 2 3 Excel VBA Excel y_1 x y y_1 Nullid 12 -10 #NAME? #NAME? 10 30 #NAME? #NAME? 70 #NAME? #NAME? 8 110 #NAME? #NAME? 6 150 #NAME? #NAME? 4 190 #NAME? #NAME
leidub teatav regulaarne maatriks C nii, et on täidetu tingimus A*C=C*B A=C*B*C^-1. Võrdsussarnasuse erijuht. Kõik kolm maatriksit peavad olema sama järku. A~B. Suurimat naturaalarvu, mille korral maatriksil leidub nullist erinev k-ndat järku miinor, nimetatakse selle maatriksi astakuks ja märgitakse üles järgmiselt: rang(A). Vastavalt sellele definitsioonile peab leiduma suurim naturaalarv k, mille korral Mvk pole null. Kui on naturaalarv, mis on k-st suurem, siis on vastavad miinorid nullid. Kronecker-Capelli teoreem: Lineaarvõrrandite süsteem on lahenduv siis ja ainult siis(parajasti siis), kui võrrandite süsteemimaatriksi ja võrrandite süsteemi laiendatud maatriksi astakud on võrdsed. Kui teatava ruutmaatriksi korral leidub maatriks nx1, ei tohi olla nullmaatriks ja leidub reaalarv lambda nii, et on täidetud tingimus A*X=lambda*X, siis arvu lambda nimetatakse maatriksi A omaväärtuseks ja maatriksit X maatriksi A omavektoriks. Arvpolünoom ja selle nullkoht: avaldis
4. determinandi rea elemendid ja veeru elemendid võib ära vahetada. st, ruutmaatriksi ja tema transponeeritud maatriksi determinantide väärtused on võrdsed. 5. kui determinandis on nullide rida (veerg), siis determinandi väärtus on null. 6. Kui determinandis on kaks ühesugust rida (veergu), siis on determinandi väärtus null. 7. kui determinandis peadiagonaalist allpool (ülalpool) asetsevad elemendid on kõik nullid, siis determinandi väärtus võrdub peadiagonaali elementide korrutisega. põhimõte sama: mistahes determinandi D väärtus on võrdne tema ridade elementide ja nende alamdeterminantide korrutiste summaga. 6. Pöördmaatriksi mõiste. Pöördmaatriksi olemasolu tingimus, leidmise eeskiri. ruutmaatriksi A pöördmaatriks selline maatriks A-1 (maatriks B), mille korral AA-1 = A-1A = E (AB = BA = E). E ühikmaatriks (diagonaalmaatriks, mille kõik peadiagonaali elemendid
ühes ja samas veerus, saame tabeli, mida nim maatriksiks ja tähistatakse A= (a11 a12... a1n)(a21 a22 ... a2n)...(am1 am2 ... amn) kui m=n siis saame maatriksi mida nim ruutmaatriksiks, ehk n²- maatriksiks. Kui mn siis nim maatriksit ristkülikmaatiksiks ehk mn-maatriksiks. Lühidalt tähistatakse maatriksit A= (aik) kus sümbol aik tähistab maatriksi mistahes elementi. I näitab elemendi asukohta ridades, indeks k-veergudes. Maatriksi elemendid võivad olla nullid aga ühegi elemendi asukoht ei tohi tühi olla. Maatriksite teisendamisel kasutatakse samaväärsusteisendusi, mistõttu teisendatud maatriksid on vaid samaväärsed. Samaväärsuse tähistamiseks kas. Märki ~ Maatriksi astak Kui maatriksis leidub vähemalt üks nullist erinev r-järku miinor, kuid mitte ühtki nullist erinevat kõrgemat järku miinorit, siis maatriksi astak on r. Kui tegemist on mn-maatriksiga siis ei saa
Tuletatud funktsiooni lihtsustamine ehk loogikafunktsiooni minimeerimine. Loogiliste ühtede grupid: 1. Ühed peavad asuma üksteise kõrval, mitte diagonaaliti. 2. Grupid võivad koosneda 2-st, 4-st, 16-st jne ühest. 3. Grupp peab olema võimalikult suur ( valida alati kõige suurem grupp). 4. Üks võib kuuluda mitmesse gruppi. 5. Gruppide moodustamine kestab seni, kuni kõik loogilised nullid või ühed hakkavad kuuluma mingisse gruppi. Näide: Ya funktsiooni minimeerimine ´ b´ ´ b´ b´ ´ ´ Ya= b 2 b 1+ b 2 0 + b 3 b
Konsoolse otsa pöördenurk: 3 Tala tugedevahelise osa suurima läbipainde asukoht (kohal, kus pöördenurk , täpsusega ± 0,1 m) ning läbipaine sellel kohal vmax Läbipaine tugede vahel on SUURIM seal, kus elastse joone puutuja on horisontaalne ehk kohal, kus =0 REEGEL: Universaalvõrrandisse jäävad vaid need koormused, mis mõjuvad antud koordinaadist x vasakul. Alltoodud väärtused käivad tugedevahelise x väärtuse kohta. Kui tingimused on sellised nagu nad on ehk nullid, siis võib järeldada, et x peab olema 0,625, kuna siis ei lähe arvesse mitte ükski võrrandi osa ning võrrand võrdub 0-ga. Suurim läbipaine on tugedevahelisel ala punktis x = 0,625 või sellest vasakul, seda aga selle võrrandiga kontrollida ei ole võimalik. Läbipaine vmax on samuti 0. Järeldused Tala otsa pöördenurk ja läbipaine on vastavalt -0,17 ja 7 mm. Suurim läbipaine tugedevahelisel alal
lükkame nulli tagasi. Väikeste valimite jaoks on Q- statistiku kasutamine praktikas eelistatavam, kuna testi võimsus on Box-Pierce testi omast suurem. Tarkvarapaketi EViews korrelogrammil on Ljung-Boxi testi statistik ning testi olulisuse tõenäosus. Kui olulisuse tõenäosus m-ndas reas on väiksem kui etteantud olulisuse nivoo (mis tavaliselt on kas 0.05 või 0.10), siis lükkame nulli, et kõik kuni m-ndat järku autokorrelatsioonikordajad on nullid, tagasi. Kui Ljung-Boxi testi korral on olulisuse tõenäosus mistahes m korral suurem olulisuse nivoost, siis öeldakse, et aegrida on genereeritud valge müra protsessi poolt. Seda, kas aegrida on statsionaarne või mitte, saab samuti analüüsida korrelogrammi põhjal. Osutub, et mittestatsionaarsete aegridade korral autokorrelatsioonikordajad reeglina kahanevad aeglaselt ning ka näiteks k = 50 korral on oluliselt nullist erinevad.
nimatsioon: hüppamine, salto vm. Kordused 2 Fuktsiooni nullkohad Fx 3 sin( 2 x 1) 5 cos( x / 2 3) algus samm lõpp jaotisi a_0 b_0 -5 1 5 10 2 3 Excel VBA Excel x y y_1 Nullid y_1 -5 -4.779704 #VALUE! 0 -4 #VALUE! #VALUE! -6 -4 -2 0 2 -3 #VALUE! #VALUE! -1 -2 #VALUE! #VALUE! -2
Esimene araabia nr. tähistab õigusakti rühma: 2 primaarõigusakt 3 kohustuslik sekundaarõigusakt Sellele järgneb õigusakti väljaandmise aasta kaks viimast nrit, millele järgneb õigusakti tunnustäht. Need tähed on: R määrus D otsus L direktiiv Lõpus on õigusakti järjekorra nr., mis väljendatakse 4 nriga. (kui nr. pole nelja nriga, tuleb ette panna nullid, nt. 0017) 7. Abiprogramm ISPA, tema rakendusvaldkonnad ja finantseerimiskord. Abiprogramm ISPA on ELI kandidaatriikide keskkonna ja infrastruktuuri arendamiseks ette nähtud rahastamise eriprogramm. 75% vajalikust rahast annab Brüssel, 25% paneb juurde abivajav riik kaasfinantseerijana. Tänaseks on ISPA abiprogramm Eesti jaoks lõppenud, kuna Eesti on juba täisliige. 8. Abiprogramm SAPARD, tema rakendusvaldkonna dja finantseerimiskord.
x - x1 y - y1 = . s1 s2 y s A(x1; y1) 0 x Sirge üldvõrrand Sirge üldvõrrandiks on kaht tundmatut sisaldav lineaarne võrrand kujul Ax + By + C = 0, kus kordajad A ja B ei ole korraga nullid. Mõningate spetsiifiliste sirgete võrrandid: x-teljega paralleelne sirge: y = b; y-teljega paralleelne sirge: x = a; nullpunkti läbiv sirge: y = kx; x-telg: y = 0; y-telg: x = 0. Kahe sirge vastastikused asendid Asend y = kx + b Ax + By + C = 0 A1 B1 C1
ümarsulgudega. Maatriksit tähistatakse suure tähega: Maatriksi järk tähistab maatriksi mõõtmeid: A on m*n järku maatriks. Liigid: · Ruutmaatriks (m=n) · Diagonaalmaatriks ruutmaatriks, mille peadiagonaalis arvud, muud elemendid 0-d. · Ühikmaatriks diagonaalmaatriksi erijuht. Peadiagonaali elemendid 1-d. Täh E. · Nullmaatriks kõik nullid. Täh . 2. Tehted maatriksitega (korrutamine arvuga, liitmine, lahutamine, korrutamine). · Korrutamine arvuga: korrutades maatriksit reaalarvuga, muutuvad kõik elemendid, selle arvu korra suuremaks. · Maatriksite liitmine: mõõtmed peavad olema samad. Ühemaatriksi elemendid liidetakse teise maatriksi vastavate elementidega: A = (a ij) ja B = (bij) A+B =(cij) kus cij = aij + bij.
1) , CR , C, CR , C Kasutatakse lineaarvõrrandite süsteemide, maatriksvõrrandite lhendamiseks ja pöördmaatriksi leidmiseks.Maatriksi astaku r(A) leidmiseks on 2 meetodit.selle aluseks on elementaarteisendamine A .1) kui m.A on saadud teisenduste 1)ja 2) abil m.B A siis on nende astakud r(A)=r(B). Iga (m*n) maatriksit võib teisendada nii et tekib antud maatriksi vastav K-järku ühikmaatriks,kõik ülejäänud elemendid on nullid.siit atak r(A)=K 9. Lineaarvõrrandite süsteem ja selle maatriks kuju. .lineaarne võrrand süsteemiks on maatriksi lõplikust arvust lin.võrrandist koosnevat süsteem.. aij (i-m,j-n)-süsteemi kordajad,b-süsteemi vabaliikmed,x-tundmatud.arvud mis rahuldvad süsteemi (()) ongi süsteemi lahendus. A=-süst.maatriks. B=- süst.laien maatriks. - süst.tundmatute maatriks. B=-süst.vabaliikme maatriks. Siis korrutis(maatriksite) A
Lahendust tuleks jätakata kuni parandid on muutunud tühiselt väikeseks. Tabel 9. Maatriks X muutujate x ja y paranditega teisest lähendusest -0.004 0.005 Võttes teisest lähendusest leitud parandid ja liites need teises lähenduses kasutatud muutujatele x ja y ning arvutuskäiku taas korrates, siis saame kolmandas lähenduses muutujate paranditeks väga väikesed suurused. Proovides ka neljandat lähendust, siis ilmneb, et parandid tulevad nullid. Tabel 10. Maatriks X muutujate x ja y paranditega kolmandast lähendusest - 0.000006 7 0.000050 Lõplikeks muutujate x ja y väärtusteks võtame kolmandas lähenduses kasutatud väärtusi, kus on arvestatud esimesest ja teisest lähendusest leitud parandeid. Muutujate väärtusteks on x= 2,0 ja y= 0,5. 2) Leidke hälbed vi ehk parandid mõõtmistulemustele, et mõõtmistulemused rahuldaksid geomeetrilisi tingimusi. Hälvete vi leidmiseks kasutame valemit V= JK-K
Kui D = 0, Dx = 0 ja Dy = 0, siis ja võrrandisüsteemil on a2 c2 a2 c2 a2 b2 c2 0 lõpmata palju lahendeid. Kui kõik kolm determinanti on nullid, siis tundmatud avalduvad kujul x = ja 0 a1 b1 c1 0 0 3
22. Kuidas on võimalik elementide võrku hõrendada ja tihendada? Esimene võimalus: elemendid on erineva kuju ja suurusega. Teine võimalus: nelinurkse tsooni vastaskülgedel valida erinev arv sõlmpunkte. 23. Mida kujutab endast ribamaatriksi laius? Üks tähtsamaid suurusi, mille abil iseloomustatakse ribamaatriksit, on nn ribalaius B. Joonisel toodud näites on ribalaius B = 3. Koefitsiendid C1,C2,...,C24 on mingid arvud, mille seas võivad olla ka mõned nullid, kuid väljaspool seda riba, õige ribamaatriksi korral, peavad olema ainult nullid. On selge, et mida väiksem on ribalaius B, seda väiksem on vajalik arvutuste hulk ning seda väiksem on vajalik masinaaeg. 24. Ribamaatriksi laiuse arvutusvalem. Uurimused on näidanud, et ribalaiuse B võib arvutada järgmise valemi abil: B = (R+1)Q kus Q on tundmatute arv sõlmes ja R elemendi sõlmenumbrite maksimaalne vahe. B
.kümnendjärk määrab ligikaudse arvu vea ülemmäära Arvu vea ülemmäär on arvu viimase numbri asukoht arvus. Kui me võtaksime arvu 42,9, siis selle vea ülemmääraks oleks üks kümnendik, aga kui oleks 42,943, siis oleks ülemmääraks .üks tuhandik Nulliga lõppevate täisarvude korral tekib küsimus, kas need nullid on tüvenumbrid või ei ole. [[2; lk 34 Ebamäärasust ligikaudsete täisarvude kirjutamisel saab vältida, kui kasutada standardkuju. Standardkuju esimeseks teguriks on sel juhul arvu tüvi, mis on kirjutatud kõikide [tüvenumbritega. Nt. 450 cm = 4,5 10² cm; 60 kg = 6 10 kg. [2; lk 35 Ligikaudse arvutuse eeskirjad .3
(m, n)-maatriksite hulka tähistame Mat(m, n) abil. Maatriksite liigid: ● ruutmaatriks Maatriksit, mille ridade arv on võrdne veergude arvuga, s.t. m = n, nimetatakse ruutmaatriksiks. ● ristkülikmaatriks Maatriksit, mille ridade arv erineb veergude arvust, s.t. m 6= n, nimetatakse ristkülikmaatriksiks. ● ühikmaatriks Maatriks, mille peadiagonaalil olevad numbrid on ühed ja ülejäänud nullid. ● nullmaatriks Me nimetame (m, n)-maatriksit nullmaatriksiks, kui selle maatriksi kõik elemendid on nullid. Nullmaatriksi tähiseks on Θ. ● vastandmaatriks Maatriksi A vastandmaatriksiks nimetatakse maatriksit, mille elementideks on maatriksi A elementide vastandarvud. Maatriksi A vastandmaatriksi tähiseks on −A. Seega (m, n)-maatriks B = (bkl) on (m, n)- maatriksi A = (aij ) vastandmaatriks, kui bij = −aij .
Omadus 7. (Determinandi arendis rea või veeru järgi) Determinandi D mis tahes reanumbri i korral kehtib (arendis i-nda rea järgi) ja mis tahes veerunumbri j korral kehtib (arendis j-nda veeru järgi), kus ja Mij on determinant, mis tekib determinandist D i-nda rea ja j-nda veeru kõrvaldamisel. Omadus 8. Kui determinandi mingis reas või veerus on kõik arvud nullid, siis determinandi väärtus võrdub nulliga. Omadus 9. Ruutmaatriksi A = ( aij ) R n×n determinandi A = D mis tahes reanumbrite i ja k korral kehtib võrdus kus Akj on determinandi elemendi akj alamdeterminant. Analoogselt mis tahes veerunumbrite j ja k korral . Omadus 10. Kui A ja B on ühte ja sama järku ruutmaatriksid, siis det( AB) = (det A) (det B) 4
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
