Ruutfunktsioon avaldub kujul y = ax2 + bx + c, kus a, b ja c on mistahes arvud ja ruutliikme kordaja a 0. Ruutfunktsiooni y = ax2 + bx + c graafikuks on parabool. Kui a > 0, siis parabooli harud avanevad üles, kui a < 0, siis alla. Parabooli sümmeetriatelge nimetatakse parabooli teljeks ja punkti, kus parabool lõikub oma teljega nimetatakse parabooli haripunktiks. Parabooli skitseerimiseks tuleb leida nullkohad ( võrrandi ax2 + bx + c = 0 lahendid) ja x + x2 haripunkt ( haripunkti abstsissi leiame kas nullkohtade aritmeetilise keskmisena 1 2 b
PARABOOL Parabooliga puututakse kokku juba koolimatemaatikas. Joonistatakse graafikuid, mis avanevad üles- või allapoole, mille haripunkt on koordinaatide alguspunktis või mitte, mis lõikavad x-telge või mitte jne. Järgmine joonis kirjeldab, millise tasandiga tuleb koonust lõigata, et nende lõikejoon oleks parabool. Järgnevalt vaatleme, kuidas parabool defineeritakse. Tegeleme parabooli võrrandiga, mis erineb pisut koolimatemaatikas õpitust. Lisaks joonistame paraboole, mis võivad avaneda nii üles või alla kui ka vasakule või paremale. Esitatud on nii teooria kui näiteülesanded. Iseseisvalt on võimalik läbi lahendada harjutusülesandeid, kus tuleb siiski paber ja pliiats appi võtta. Arvuti teel saab lahendada testi, mis aitab parabooli võrrandist selgust luua. Parabool on joon, mille iga punkti X(x; y) kaugus ühest kindlast sirgest (juhtjoonest)
Ruutfunktsioon Ruutfunktsiooni üldkuju: Ruutliige on funktsiooni pealiikmeks, kuna ruutliige määrab selle graafiku iseloomu ja kuju. Lineaarliige ja vabaliige mõjuvad vaid graafiku asukohta koordinaatteljestikus. Ruutfunktsiooni graafik on parabool Parabooli kuju sõltub ruutliikme kordaja suurusest ja märgist: Parabooli joonestamine: · Koosta väärtuste tabel. · Joonesta koordinaattasand. · Kanna arvutatud punktid koordinaattasandile. · Ühenda tasandile kantud punktid. Parabooli haripunkti koordinaatide arvutamine Parabooli nullkohtade arvutamine Ülesanded 1. Joonesta parabool graafik vahemikus . Lahenduskäik: Kui , siis Kui , siis Kui , siis Kui , siis Kui , siis Kui , siis Kui , siis 2
Ruutfunktsioon ja selle graafik EESMÄRGID Parabooli y = ax2 + k joonestamine Tutvustada lihtsamat parabooli Parabooli y = ax2 + bx +c joonestamine Paraboolide joonestamine Parabooli y = ax2 + k joonestamine Sümmeetriatelg y = x2 x=0 x y (x, y) (–2, 4) y –2 4 –1 1 (–1, 1) 0 0 (0, 0) 1 1 (1, 1) x 2 4 (2, 4) Parabool avaneb ülespoole. Haripunkt (0, 0) Parabooli y = ax2 + k joonestamine
suuruse üks kindel väärtus. · x ja y on muutujad · x on argument · y on funktsiooni väärtus · a on kordaja ehk mingi arv Argumenti + väärtuste hulka nimetatakse funktsiooni määramispiirkonnaks, ning muutuja y vastavate väärtuste hulka funtsiooni väärtuste piirkonnaks. Määramispiirkond- x Väärtuste piirkond- y · Ruutfunktsiooni graafikuks on parabool. · Parabool on sümmeetriline y-telje suhtes. · Parabooli sümmeetriatelge nimetatakse parabooli teljeks. · Parabooli ja tema telje ühist punkti nimetatakse parabooli haripunktiks. Mida suurem on kordaja a absoluutväärtus, seda kitsam on parabool. Argumendi x neid väärtusi, mille korral funktsiooni väärtus on null, nimetatakse funktsiooni nullkohtadeks. Hulkliiget, mille liikmeteks on ruutliige, lineaarliige ning vabaliige ja ainult need, nimetatakse tuurkolmliikmeks.
Ande AndekasLammutaja Matemaatika Ruutfunktsioonid Ruutfunktsiooni harud avanevad üles, kui a>0 ja alla, kui a<0. Ruutfunktsiooni graafikuks on parabool, mis on sümmeetriline y- telje suhtes. y = ax² parabooli haripunkt asub koordinaatide alguspunktis (0;0). y =ax² + c parabooli haripunkt asub punktis (0;c) (y- teljel, punktis c). y = ax² + bx parabooli üks harudest läbib punkti (0;0) ja teine haru (-b/a;0). y = ax² + bx + c parabooli haripunkt võib asuda ükskõik kus. Ruutfunktsiooni nullkohad on x väärtused, mille puhul y=0 (graafikul lõikepunktid x-teljega). Haripunti tähiseks on Xh. Mida väiksem on a, seda laiem on parabool. Xh = b/2a = (x1 + x2)/2 x = (-b ± b2 4ac) / 2a x1 + x2 = -p x1 * x2 = q x = p/2 ± (p/2)2 q
1. 2p. Väga lihtne ülesanne. Vastus: x>2 3 x 2 4 2x 2 6 x 0 6x3 6x 2. 3p. Arvteljele tuleb kanda 4 väärust, nende hulgas on 2 kahekordset väärtust ja null. Intervallmeetodil lahendades alustad paremalt joonistamist ALT. Lõppvastuses on ka üks üksik väärus. Vastuseks on poollõik või üksik element 2 x 2 32 3. 2p. Ruutvõrratuse lahendamine, mille lahendamine eeldab parabooli joonistamist ja sealt vastuse lugemist. Vastuseks on lõik x2 4 0 4. 1p. Ruutvõrratuse lahendamine, mille lahendamine eeldab parabooli joonistamist ja sealt vastuse lugemist. Kuigi nullkohad puuduvad on võrratuse lahendiks kõik reaalarvud. 3 3x 2 1 5x 1 5. 3p. Teisendad võrratust, lahendad intervallmeetodil. Märgid joonisele õige piirkonna. Annad vastuse
(0;b) ja läbib punkti (1; a+b). Sirge tõus a näitab, kui palju muutub sirgel oleva punkti ordinaat (y) siis, kui abstsiss (x) kasvab ühe ühiku võrra. Ruutfunktsioon Ruutfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis on esitatud ruutavaldisega y = ax 2 + bx + c, kus ax 2 on ruutliige, bx on lineaarliige, c on vabaliige. Ruutfunktsiooni graafikuks on joon, mida nimetatakse parabooliks. Parabooli sümmeetriatelg on sirge, mille suhtes parabool on sümmeetriline (nimetatakse ka parabooli teljeks). Sümmeetriatelje ja parabooli ühist punkti nimetatakse haripunktiks. Punkte x-teljel, kus parabool lõikab või puudutab x-telge nimetatakse nullkohtadeks. Nendes punktides on funktsiooni väärtus 0. Sirge võrrand Sirge võrrandi üldkuju on y=ax+b Võrrandi lahendi leidmiseks on antud kaks punkti A(a;b) ja B(c;d), mis asuvad ühel sirgel. = Punkti ja sihivektoriga määratud sirge võrrand A(a;b) =(c;d) on sisevektor
4)y=2tanx lnx 5)y=xsinx 6) y=cos 2x- sin2x 3 - 2x + x 2 7)y=tanx cosx 8) y = 9) y=sin2x x 2 x -1 2. Leia funktsiooni y= kasvamis ja kahanemispiirkonnad ja 1 - 3x ekstreemumpunktid. Määra ka nende liik. 3. Leia parabooli haripunkti koordinaadid y= 7x2+4x. 4. Leia joone y=(x+1) (x-1) (x-2) puutuja punktis , mille abstsiss on -3. x 5. Leia joone y= puutuja, mis on x -1 2 1) paralleelne sirgega x+y =5 2) risti sirgega 8x-3y=1 6. Punkti liikumisel on läbitud tee ja aja vaheline seos s=4t3-3t2+5t+8.Leia 1)algkiirus 2)hetkiirus ja kiirendus 1 sekundi lõpus. 7. Esita parabooli y= 2x2-8x +3 puutuja võrrand 1) kohal x=-2
imaginaarteljeks Poolteljed Nelja lõiku AO, OB ja CO, OD ning nende pikkusi a ja b nimetame hüperbooli pooltelgedeks 13 Asümptoodid Sirgeid s1, s2, mis on määratud võrranditega nimetatakse hüperbooli asümptootideks Reaaltelg Lõigu AB pikkust nimetatakse hüperbooli reaalteljeks. Parabool Parabooliks nimetatakse tasandilist joon, mille iga punkt P asub võrdsel kaugusel sirgest l ja punktist F, st parabooli iga punkt P rahuldab tingimust r = d, kus r on kaugus punktide P ja F vahel, d on punkti P kaugus sirgest l. Parabooli kanooniline võrrand Parabooli fookus Punkti F nimetatakse parabooli fookuseks Sümmeetriateljed Sirge, mis läbib punkti F ja on risti sirgega l, on parabooli sümmeetriatelg Tipud Parabooli lõikepunkti sümmetriateljega nimetatakse parabooli tippuks. Fokaalparameeter Arvu p nimetatakse parabooli fokaalparameetriks Juhtsirged Sirget l nimetatakse parabooli juhtsirgeks
Funktsiooni mõisted Lineaarfunktsiooni graafik on sirge. Lineaarfunktsiooni graafiku joonestamiseks peab teadma vähemalt kahe punkti koordinaate. Funktsiooni y = 3x + 1 graafik ei läbi koordinaatide alguspunkti. Kui sirge läbib punkte (2; 2) ja (5; 2), siis see sirge on paralleelne x-teljega. Kui sirge läbib punkte (3; 4) ja (3; 2007), siis see sirge on risti x-teljega. Funktsiooni y = 4x + 2 graafik ei läbi punkti (2; 10). Parabooli joonestamiseks tuleb välja arvutada rohkem kui kahe punkti koordinaadid. Ruutfunktsiooni graafik läbib y-telge ühes punktis. Parabooli ja x-telje lõikepunktide x-koordinaate nimetatakse ruutfunktsiooni nullkohtadeks. Pöördvõrdelise seose graafik on hüperbool. Sõltuvuse y = 3 : x graafiku harud paiknevad esimeses ja kolmandas koordinaatveerandis. Pöördvõrdelise sõltuvuse y = a : x graafik ei läbi y-telge. Pöördvõrdelise sõltuvuse y = 5 : x graafiku haru...
PARABOOL: Parabool Tasandi selliste punktide hulk, mille iga punkt on võrdsel kaugusel sirgest l ja punktist F. p Parabooli fookus F; ning fookuse koordinaadid F 2 ;0 . Parabooli sümmeetriateljed parabool on sümmeetriline sirge s ehk e1 -telje suhtes. Seega on sirge s parabooli P teljeks. Parabooli tipud - paraboolil on ainult üks tipp, mis asub reeperi alguspunktis O(0; 0). p Parabooli juhtsirge sirge l x1 = - 2 Parabooli kanooniline reeper - Reeperi alguspunkti O paigutame lõigu KF keskpunkti. Ühikvektori e1 valime samasuunaliseks vektoriga KF. Ühikvektori e2 valime selliselt, et e1 e2 ning {e1 ;e2} on parema käe baas.
= (3,6; 4,8). 1) Tee joonis. 2) Arvuta rombi diagonaalide pikkused. 3) Arvuta nurk tipu K juures. 4) Koosta tippe L ja M läbiva sirge s võrrand. 5) Arvuta sirge s ja sirge x + y = 10,3 lõikepunkt. ÜL. 4 Antud on parabool y = x2 ja ringjoon, mille keskpunkt asetseb koordinaatide alguspunktis ning mis läbib punkti (2; 2 ). 1) Joonesta antud ringjoon koordinaatteljestikus ja koosta selle ringjoone võrrand. 2) Arvuta ringjoone ja parabooli lõikepunktide koordinaadid. 3) Joonesta ringjoonega samas teljestikus parabool. 4) Arvuta ringjoone ja parabooli lõikepunktide kaugused punktidest, kus ringjoon lõikab y-telge. ÜL.5 Tasandil on antud 4 sirget. Esimene neist on antud võrrandiga y = x + 3. Teine on paralleelne esimesega ja läbib punkti P(2; -1). Kolmas on risti esimesega ja läbib punkti Q(-3; -1). Neljas on paralleelne y-teljega ja läbib punkti R(6; 3)
123. Hüperbooli Poolteljed - ∃b 2 :c 2=a2+ b2 → a−reaal−; b−imaginaarpooltelg b −b 124. Hüperbooli asümptoodid – s1 : y = x , s2 : y= x a a 125. Parabool- nim. tasandilist joont, mille iga punkt P asub võrdsel kaugusel sirgest l ja punktist F, st parabooli iga punkt P rahuldab tingimust r=d, kus r on kaugus punktide P ja F vahel, d on punkti P kaugus sirgest l. 126. Parabooli kanooniline võrrand - y 2=2 px p 127. Parabooli fookus- F( 2 ,0) Punkti F nimetatakse parabooli fookuseks 128. Parabooli sümmeetriateljed- Sirge, mis läbib punkti F ja on risti sirgega l 129. Parabooli tipud – parapooli lõikepunkt sümmeetriateljega 130. Parabooli fokaalparameeter- arv p. Parabooli kõrgus fookuse kohal
3. Vektor tasandil. Joone võrrand Põhiteadmised · Punkti koordinaadid; · vektor, vektori koordinaadid; · vektorite summa ja vahe; · vektori korrutamine arvuga; · kahe vektori skalaarkorrutis; · vektori pikkus ja nurk vektorite vahel; · vektorite ristseisu ja kollineaarsuse tunnused; · joone võrrandi mõiste; · sirge võrrand tasandil; · kahe sirge vastastikused asendid; · ringjoone võrrand; · parabooli võrrand. Põhioskused · Tehete sooritamine vektoritega geomeetriliselt ja koordinaatkujul; · vektorite kasutamine geomeetriaülesannete lahendamisel; · sirge võrrandi koostamine, kui sirge on määratud punkti ja tõusuga, tõusu ja algordinaadiga, kahe punktiga, punkti ja sihivektoriga; · sirge tõusu määramine; · kahe sirge vahelise nurga arvutamine; · ringjoone ja parabooli võrrandite koostamine;
Ruutfunksioon on seos kahe muutuja vahel.Ühele muutujale antakse väärtused ja teine arvutatakse nende põhjal. Muutujad=x ja y c=vabaliige kordajad:a-ruutliikmekordaja b-lineaarliikme kordaja Funktsiooni saab esitada tabelina,valemiga,graafikuna,järjestatud arvupaaridesse. Graafikuks : parabool Parabool on sümmeetriline oma telje suhtes.Telg läbib alati parabooli haripunkti. y=ordinaat x=abstsiss nullkoht:need on punktid,kus funktsioonigraafik lõikab x-telge. korrutis on 0,kui üks teguritest on 0
Parabool lend PA-13A Sissejuhatus Parabool lennuks nimetatakse lennutüüpi, mille käigus saavutatakse õhusõiduki parabooli laadsel liikumisel kaaluta olek. Parabool lend Zero G · Ainukene firma maailmas, kes hetkel sellist teenust pakub. · Hind ühele inimesele alates 3948. · Ühe lennu jooksul on võimalik kaaluta olekut kogeda 15 korda. · Kaaluta olek kestab selle ajal 20-30 sekundit. Parabool lend Parabool lend graafikuna Parabool lend graafikuna Kaalutaolek Video · https://www.youtube.com/watch?v=1ieR8hIXUIg Küsimusi? Täname kuulamast!
Ruutfunktsioon Across 4. Ruutfunktsiooni graafikuks on joon, mida nimetatakse Parabooliks 6. c on ? Vabaliige 7. bx on Lineaarliige 8. Sümmeetriatelje ja parabooli ühist punkti nimetatakse Haripunktiks Down 1. funktsiooni, mis on esitatud ruutavaldisega nimetatakse Ruutfunktsiooniks 1. Parabool avaneb üles, kui kordaja a on Positiivne 2. Punkte x-teljel, kus parabool lõikab või puudutab x-telge nimetatakse nullkohtadeks 3. Parabool avaneb alla, kui kordaja a on Negatiivne MARI LIIS LEPPOJA
Aasta 2006 2007 2008 2009 2010 Absoluutne - aheljuurdekas v Absoluutne - alusjuurdekasv Värskeima tulu ja vanima tulu absoluutse alusjuurdekasvu põhjal võib öelda, et 2007 oli kõige halvem aasta ning 2010 oli parim aasta. 5. Trendimudel ja prognoosimine. Kuna tulud pole n-ö sirgjooneliselt suurenenud, vaid on ka langust olnud, siis kõige parem on trendi hinnata parabooli abil, sest ka see on kõikuva iseloomuga. Aasta Jrk-nr Abiaeg T Tulu y T2 yT yT2 T4 2006 1 2007 2 2008 3 2009 4 2010 5 Kokku 0 T2 leidmine: 2006 2007 2008 2009 2010 yT2 leidmine: 2006 2007 2008 2009 2010 yT leidmine: 2006 2007 2008 2009 2010 T4 leidmine: 2006 2007 2008 2009 2010 Trendi parabooli valem on , kus Seega kordajad on järgmised: Parabooli võrrand on seega .
2. Lõik otspunktidega on ringjoone diameetriks. Leidke: 1) ringjoone võrrand; 2) sellele ringjoonele punktides (2,5; 4,5) ja (0;2) joonestatud puutujate võrrandid ja nende puutujate lõikepunkt. 3. Tuletage joone võrrand, kui joone iga punkti kaugused punktidest M(0;-3) ja N(2;3) on võrdsed. Näidake, et otsitav joon on lõigu MN keskristsirge. 4. Parabool läbib punkte (-1;0), (5;0) ja (0;-10). Leidke parabooli võrrand ja tema haripunkti koordinaadid ning puutuja võrrand punktis (0;-10). 5. Leidke parabooli y = x2 2x haripunkti koordinaadid. 1) Vektori v =(a;9) alguspunkt asetseb antud parabooli haripunktis. Leidke parameetri a väärtused a1 ja a2, mille korral vektori v lõpppunkt asetseb samuti sellel paraboolil. 2) Leidke vektorite v1 =(a1;9) ja ja v 2 =(a2;9) vahelise nurga suurus, võttes a1 ja a2 väärtused eelmisest punktist. 6
7. Kui hüperbooli sümmeetriakeskpunkt on punktis P0(x0,y0) on hüperbooli võrrandiks (x-x0) 2/a2 (y-y0) 2/b2=1, üldvõrrandiks Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0, kus A ja C on eri märgiga ja parameetrilisteks võrranditeks x=x0+- acosht ja y=y0+-bsinht, t[0,2 ]. II järku jooned. Parabool Def. Parabooliks nimetatakse tasapinna R2 niisuguste punktide geomeetrilist kohta, mis asuvad võrdsel kaugusel antud punktist F, mida nimetatakse fookuseks ja antud sirgest L, mida nimetatakse juhtjooneks. Parabooli fookuse F kaugust juhtjoonest L tähistatakse 2r. Kanooniline võrrand y=ax2.Parabooli omadused: 1. Parabool on sümmeetriline y-telje suhtes, s.t. kui f(x) =ax2, siis f(-x) = f(x). 2. Parabooli tipp ehk haripunkt asub koordinaatide alguses. 3. Kui a>0, siis parabool avaneb üles (nagu ülaloleval joonisel), a<0 korral avaneb parabool alla. 4. Parabool võib olla sümmeetriline ka x-telje suhtes. Siis asub parabooli fookus x-teljel ja juhtjoon on paralleelne y-teljega
Ruutvõrratuse lahendamine 1. Lahendame võrrandi ax2 + bx + c = 0. 2. Skitseerime parabooli y = ax2 + bx + c. 3. Leiame jooniselt võrratuse lahendihulga. Näide1. Lahendame võrratuse 2x2 + 7x + 3 > 0. 2x2 + 7x +3 = 0 - 7 ± 49 - 4 2 3 - 7 ± 49 - 24 - 7 ± 25 - 7 ± 5 x= = = = 22 4 4 4 -7+5 -2 - 7 - 5 - 12 x1 = = = -0,5 ja x2 = = = -3
poolt määratud nelinurga ümbermõõt 4. Leidke parameetri m väärtused, mille korral vektorid ja on risti. 5. Kas vektorid ja asuvad ühel sirgel? 6. Kas punktid , võivad olla püramiidi tippudeks? 7. Kontrolli, kas vektor on avaldatav vektorite ja kaudu? 8. Arvutada parabooli haripunkti kohavektori ja vektori summa koordinaadid. 9. Leidke nurk vektorite ja vahel. 10. RE(2000) Rööpküliku kolme tipu koordinaadid on K(1;0;3), L(0;1;5) ja M(-2;1;2). Leidke: a) tipu L vastastipu N koordinaadid b) diagonaalide lõikepunkti koordinaadid c) tipu L juures oleva nurga koosinus. Arvutage rööpküliku KLMN pindala.
tabelid ning märgime saadud punktid koordinaatteljestikku. Visualiseerimiseks soovitan kasutada programmi GeoGebra. Kui punktid on koordinaatteljestikku märgitud (vt joonis 14), siis ühendame need pideva joonega (vt joonis 15). Joonis 14 Joonis 15 Kui õpilased teevad esimesed paraboolid vihikusse, siis tuleb tähelepanu pöörata sellele, et punkte ei ühendataks sirglõikudega ning parabooli tipus (haripunktis) ei oleks teravikpunkti. Mõisted ,,parabooli haripunkt" ja ,,parabooli telg" võtame kasutusele kohe, niipea kui oleme joonestanud esimesed paraboolid. Teema ,,Ruutfunktsioon y = ax2 + c" visualiseerimiseks soovitan kasutada programmi GeoGebra. Muutes liuguri abil arvu c väärtusi näeme, et tekib terve ,,parv" ühise teljega paraboole (vt joonis 16). Kui võrrandil ax2 + c = 0 on lahendid, siis lõikab parabool x-telge (üldisemalt: abstsisstelge) kahes punktis. Nende
Kauba hinda alandati 10% võrra. Mitme protsendi võrra tuleb uut hinda veel alandada, et kogu hinnaalandus oleks 28%? 11. Ringi raadiusega 1 on joonestatud maksimaalse suurusega võrdkülgne kolmnurk, sellesse siseringjoon, saadud ringi võrdkülgne kolmnurk jne. Leia tekkivate kolmnurkade pindalade summa. 12. Humalavars kasvab 6 cm ööpäevas. Ta väändub ümber puu maaga 30° nurga all. Puu ümbermõõt on 25 cm. Kui kiiresti kasvab humal 3 m kõrgusele maapinnast? 13. Parabooli lõigatakse teljega ristuva sirgega. Parabooli ning selle sirge lõikepunktide A ja B vaheline kaugus on 32 cm, parabooli telje ning nimetatud sirge lõikepunkti C ja parabooli tipu D vaheline kaugus on 6 cm. Punktist B 8 cm kaugusel, punktis E on lõigule AB tõmmatud ristsirge, mis lõikab parabooli punktis F. Leia E ja F vaheline kaugus 14. Korrapärase kolmnurkse püramiidi põhiserva a ja külgserva b kaudu avalda üht
x R x1, 2 Graafik asub x- teljest allpool (nullkoht!) – funktsiooni väärtused ei ole positiivsed > x Ø Graafik asub x- teljest ülevalpool - funktsiooni väärtused on kogu aeg positiivsed > xR Graafik asub x- teljest allpool - funktsiooni väärtused on kogu aeg negatiivsed > x Ø Kokkuvõte: Ruutvõrratuse lahendamiseks 1) skitseerin parabooli a)määran, kas parabool avaneb alla või üles b)leian nullkohad 2) leian jooniselt võrratuse lahendid Lahenda järgmised võrratused: x 2 2 x 15 > 0 x 2 2 x 15 < 0 x 2 2 x 15 0 x 2 2 x 15 0
c. f''(x)<0 tuleb Emax y2=fx2 7. Graafiku kumerus/nõgususvahemikud; a. kumerus:y''<0 b. nõgusus:y''>0 8. Käänupunktid; f''(x)=0 saad x1 ; y1=f(x) (algneasi) 9. Joone ...asümptoodid a. püst... x=a (katkevuskohad) lim f ( x) xa b. rõht... y=b (piir parabooli otsal) xlim f ( x ) ARV! - c. kald... y=mx+b ; m=limx-> [f(x)/x] b =limx-> [fx-mx] 10. Joonista graafik
a <0 II ja IV veerand Ruutfunktsioon (parabool) Jada on funktsioon, mille y=ax+bx+c määramispiirkonnaks on positiivne naturaalarvude hulk Parabooli haripunkti saab arvutada: Funktsiooni määramispiirkond - Xh=-b/2a või Xh=(X1*X2)/2 valemina antud funktsiooni x selliste väärtuste hulk, mille korral on võimalik funktsiooni f(x)väärtust arvutada Funktsioonide esitamise viisid:
Hilisem elu Veetiskogu oma elu leiutades, avastades ja katsetades Tal otseselt tööd ei olnud Teda ei hinnatud matemaatikuna Rooma armee rünnak Sitsiilia saarele Eluaastate lõpp Hukkus umbes 212 eKr, kui Rooma väed vallutasid Sürakuusa Rooma kindral keelas Archimedese tappa "Ära puutu mu ringe!" Archimedese hauakivi Avastused ja leiutised Arvutas välja väga täpse Pi väärtuse Arvutas välja parabooli segmendi pindala Pi Leidis meetodi pöördkehade ruumala arvutamiseks Tõestas arvujada lõpmatuse Avastused ja leiutised 2 Archimedese spiraal Archimedese printsiip Ligikaudne arvutusviis ringjoone jaoks Koonuse, poolkera ja silindri ruumalad suhtuvad 1:2:3 Kang, mis lennutas 250kg kive õhku Pii ehk Archimedese konstant on võrdne tasandil paikneva ringjoone pikkuse ja diameetri suhtega 3,14159 3 =
Nurg kahe sirge vahel. Tema arvutamisvalem taandatud kujul antud sirgete jaoks. Nurk kahe tasandi vahel. Nurk sirge ja tasandi vahel. 18. Ringjoone definitsioon ja võrrand. Ellipsi definitsioon ja kanooniline võrrand. Ellipsi fookused. Ellipsi ekstsentrilisus ja juhtjooned. Ellipsi optiline omadus. Hüperbooli definitsioon ja kanooniline võrrand. Hüperbooli fookused, harud, ekstsentrilisus. Hüperbooli kaldasümptoodid ja juhtjooned. Hüperbooli alternatiivne definitsioon. Parabooli definitsioon ja kanooniline võrrand. Parabooli fookus, juhtjoon, ekstsentrilisus. Parabooli optiline omadus. Matemaatikutele tulemused tõetustega 1. Determinandi leidmine, kus viimases reas kõik elemendid peale viimast võrduvad nulliga. 2. Determinandi arendis j-nda veeru järgi. 3. Maatriksi pöördmaatriksi arvutamise valem. 4. Crameri valemi tuletamine 5. Kronecker-Capelli valemi tuletamine 6. Igal nullist erineval kompleksarvul on n erinevat n-juurt. 7
Ruutfunktsioon y=ax+c, kus a ja Valemis y=ax+c Graafikuks on y=ax+c: c on antud arvud on ax ruutliige ja parabool, mis on ning x ja y on c vabaliige. sümeetriline y muutujad. telje suhtes. Parabooli haripunkt on punktis (0;c). Kui a>0, siis avaneb parabool ülespoole, kui a<0, siis
Tasandi võrrandite tuletuskäigud. Tuletuskäik: punkti kaugus sirgeni ristkoordinaatides tasandil ja ruumis. Tuletuskäigud: punkti kaugus tasandini ristkoordinaatides, nurk kahe sirge, kahe tasandi, sirge ja tasandi vahel (ristkoordinaatides). Ellipsi kanoonilise võrrandi tuletuskäik lähtudes ellipsi definitsioonist. Hüperbooli kanoonilise võrrandi tuletuskäik lähtudes hüperbooli definitsioonist. Parabooli kanoonilise võrrandi tuletuskäik lähtudes parabooli definitsioonist. Teoreem 26.1. Ellipsoidi võrrandi tuletuskäik lähtudes ellipsi kanoonilisest võrrandist.
· Assümtootideks nim sirgeid, millele hüperbool kulgemisel lõpmatusse piiramatult läheneb. Assümtoote on 2. . x=a, x=-a; y=-b, y=b. Hüperbooli ekstsentrilisus Risthüperbooliks nim hüperbooli, mille reaal-ja imaginaartelg on võrdsed a=b. 2a- reaaltelg (a-reaalpooltelg) 2b- imaginaartelg (b-imaginaarne pooltelg) Parabool Parabooliks nim tasandi nende punktide hulka, mille kaugus antud punktist ja antud sirgest on võrdne. Mainitud punkti nim parabooli fookuseks ja sirget parabooli juhtsirgeks. Fookuste kaugus juhtsirgest tähistatakse p ja nim parabooli parameetriks. F(0; p/2) fookuse koordinaadid y= -p/2 juhtsirge võrrand 2p- fokaallaius Paraboolil, mille sümmetriatelg on x-telg, mille haripunkt on punktis (0,0), mille juhtjooneks on x=-p/2 ja fookus punktis (p/2;0) on võrrandiks y2=2px. 2p>0 parabool on sümmeetriline y-telje suhtes ja avaneb y-telje positiivses suunas.
Pöördsilindrilise pinna lõikamisel tasandiga saame kas ringjoone, kaks paralleelset sirget või ellipsi vastavalt sellele, kas tasand asetseb silindri telje suhtes risti, paralleelselt või kaldu. 12. Mis juhtumil tasapind lõikab pöördkoonust ellipsit mööda? Kui tasand lõikab pöördkoonuse kõiki moodustajaid, kuid ei läbi koonuse tippu, siis on lõikejoon ellips (sealhulgas ringjoon). 13. Mis juhtumil tasapind lõikab pöördkoonust parabooli mööda? Kui lõikav tasand on paralleelne pöördkoonuse üheainsa moodustajaga, kuid ei läbi koonuse tippu, siis lõikejoon on parabool. 14. Mis juhtumil tasapind lõikab pöördkoonust hüperbooli mööda? Kui lõikav tasand on paralleelne pöördkoonuse kahe moodustajaga, kuid ei läbi koonuse tippu, siis lõikejoon on hüperbool. 15. Mis juhtumil tasapind lõikab pöördkoonust sirgeid mööda?
Pöördsilindrilise pinna lõikamisel tasandiga saame kas ringjoone, kaks paralleelset sirget või ellipsi vastavalt sellele, kas tasand asetseb silindri telje suhtes risti, paralleelselt või kaldu. 12. Mis juhtumil tasapind lõikab pöördkoonust ellipsit mööda? Kui tasand lõikab pöördkoonuse kõiki moodustajaid, kuid ei läbi koonuse tippu, siis on lõikejoon ellips (sealhulgas ringjoon). 13. Mis juhtumil tasapind lõikab pöördkoonust parabooli mööda? Kui lõikav tasand on paralleelne pöördkoonuse üheainsa moodustajaga, kuid ei läbi koonuse tippu, siis lõikejoon on parabool. 14. Mis juhtumil tasapind lõikab pöördkoonust hüperbooli mööda? Kui lõikav tasand on paralleelne pöördkoonuse kahe moodustajaga, kuid ei läbi koonuse tippu, siis lõikejoon on hüperbool. 15. Mis juhtumil tasapind lõikab pöördkoonust sirgeid mööda?
vedelikku asetatud keha kaotab oma kaalust nii palju, kui palju kaalub vedelik selle keha ruumala suuruses. Ta andis ligikaudse arvutusviisi ringjoone jaoks; leidis lause, et koonuse, poolkera ja silindri ruumalad suhtuvad nagu 1:2:3, kui nende aluspinnad ja kõrgused on võrdsed. Veel õnnestus tal ekshaustatsioonimeetodil arvutada lõpmatu geomeetrilise rea abil parabooli segmendi pindala, seejuures rakendas ta täiesti korrektselt infinitesimaalarvutust. Uurimuses "Liivaarvutus" tõestas ta arvujada lõpmatuse. Sürakuusa kaitsmine Pärast kuningas Hieron II surma (214 eKr), kuulutas Sürakuusa ennast Kartaago liitlaseks. Seejärel blokeeris konsul Marcellus kuuekümne laevaga linna mere poolt. Ta kinnitas üksteise külge 8 laeva. Nende peale ehitati suur piiramistorn, mille abil loodeti linnamüür mere poolt purustada
Pöördkehade ruumala arvutamine · Pöördehade ruumala arvutamisel kasutatakse pöördkeha poolküljeristlõike funktsioonivalemit ja määratud integraali. 1) On vaja funktsioonivalemit, millest pöördkeha moodustada. Olgu selleks y = f ( x) 2) Et leida ruumala, tuleb funktsioon võtta ruutu, selle ruutu integreerida ja korrutada - h ( f ( x) ) dx , kus integraali rajad määravad pöördkeha kõrguse x-teljel. 2 ga: V = 0 · Näide KOONUSE moodustumisest: x 1) Võtame näiteks funktsiooni y = ja määramispiirkonnaks X = [ 0; 4] 4 2) Järgmiseks leiame ruumala: 2 4 x 4 4 2 x x3 43 03 4 V = dx = dx = = - = 4 0 0 1...
6 0,53 5 0,72 4 1,00 3 1,27 2 1,52 1 1,90 0 2,55 4.2.2 Anduri kalibreerimine Kasutades eelmise ülesande käigus programmi poolt välja arvutatud graafikul kujutatud parabooli arv- liikmeid, kalibreerime anduri. Parameeter Väärtus a 0,94 cm/V2 b - 5,89 cm/V c 8,85 cm 3 4.7 Optiline positsiooniandur 4.7.1 Andmete kogumine
puutuja punktis, mille abstsiss on 3. 15. (2002) Vaatleme funktsioone f ( x) cos 2 x ja g ( x) cos x . 1) Avaldage cos 2x suuruse cos x kaudu. 2) Lõigul 0;2 a) lahendage võrrand f(x) = g(x); b) joonestage ühes ja samas teljestikus funktsioonide f(x) ja g(x) graafikud; c) leidke joonise abil x väärtused, mille korral f(x) > g(x). 16. (2002) 1) Leidke parabooli y x 2 2 x haripunkti koordinaadid. 2) Vektori v (a;9) alguspunkt asetseb parabooli y x 2 2 x haripunktis. Leidke parameetri a väärtused a1 ja a2 , mille korral vektori v lõpppunkt asetseb samuti sellel paraboolil. 3) Leidke vektorite v ( a1 ;9) ja v (a 2 ;9) vahelise nurga
2,361868 kaugus d= ruutjuur((x-1)^2+(y-2)^2) Ülesanne 2. Leia kõveral y = ln(x) punkt, mis on lähim punktile (3; 4). tingimus x y kuna on ln funktsioon siis x = 1 1,7E-008 3,721568 1,314145 kaugus 2,781093 Ülesanne 3. Leia parabooli y=x 2 -x+2miinimumpunkt lõigus [-2; 4] x tingimused changing cells : 0,5 0,5 (constraints) 0,5 funktsioon target cell: 1,75 Ülesanne 4. kordajad siia
Hüperbooli asümptoodiks nim sirget millele hüperbool kulgemisel lõpmatusse piiramatult läheneb. Risthüperbooliks ehk võrdhaarseks hüperbooliks nim hüperbooli mille reaal- ja imaginaartelg on võrdsed, (a=b). Siit järeldub, et risthüperbooli asümptoodid ristuvad. Parabool Parabooliks nim tasandi niisuguste punktide hulka mis asuvad võrdsel kaugusel antud punktist, mida nim fookuseks ja antud sirgest mida nim juhtjooneks. Fookuse kaugust juhtjoonest tähistatakse tähega p, mida nim parabooli parameetriks. x²=2py so parabooli kanooniline võrrand. Selle võrrandiga antud parabool on sümmeetriline y-telje suhtes ja tema tipp ehk haripunkt asetseb koordinaatide alguspunktis. Parabool võib olla sümmeetriline ka x-telje suhtes. Sel juhul asetseb parabooli fookus x-teljel ja juhtjoon on paralleelne y-teljega. y²=2px Maatriksid Ruutmaatriks ja ristkülikmaatriks Kui ühe ja sama vektori koordinaadid asetseksid ühes reas ning samanimelised koordinaadid
jagunevad 1) laotuvad joonpinnad (kooniline, silindriline, puutujute pind) 2) mittelaotuvad Milliseid lõikeid võib saada pöördsilindri lõikamisel tasapinnaga?(oleneb tasapinna asendist) ellips, ring, kaks paralleelset sirget Mis juhtumil tasapind lõikab pöördkoonust ... ? - 1) ellipsit mööda - Kui lõikuv tasand ei ole paralleelne ega risti teljega ega ühti ühegi pöördkoonuse moodustajaga (tasandi kaldenurk on suurem kui koonuse moodustaja oma telje suhtes) 2) parabooli mööda - Kui lõikuv tasand ei ole paralleelne ega risti teljega ja on paralleelne pöördkoonuse moodustajaga (tasandi kaldenurk on võrdne koonude moodustaja omaga telje suhtes 3) hüperbooli mööda - Kui tasand on paralleelne kahe koonuse moodustajaga või tasandi kaldenurk on väiksem kui moodustajate oma pöörlemistelje suhtes 4) sirgeid mööda - Kui koonuse moodustajate alguspunkt kuulub lõikavale tasapinnale ja tasapinna kaldenurk
rakendada elus toimuvate protsesside kirjeldamiseks. Ruutfunktsiooni ja pöördvõrdelise seose graafikute joonestamisega ette antud valemi järgi on juba põhikoolis tegeldud. Sellest tuleks nüüdki alustada joonestada graafikuid nii paberil kui arvuti abil, meenutada kõiki ruutfunktsiooni graafikuga seotud mõisteid (nullkohad, nende arv, avanemine, telg, haripunkt, lõikepunktid telgedega). Kitsa kursuse õppijad sellega piirduvadki, st parabooli ja hüperbooli võrrandeid nad koostama ei pea. Laias kursuses võib õpetaja graafiku ette anda ja lasta joone võrrandi ära arvata. Näiteks allpool toodud - 0,5 9 hüperboolide (joonis 8 ja 9) korral saame, et y = ja y = . Vajalikud andmed tuleb x x õpilasel lugeda jooniselt, arutledes enne, milliseid fakte üldse vaja läheb. Joonis 8 Joonis 9
35. Skitseerige kabinetprojektsiooni teljestik ja märkige telgede juurde moondetegurid. my=0,5 36. Milliseid jooni võib saada pöördsilindri lõikamisel tasandiga, olenevalt viimase asendist? Kaks paralleelset sirget, ellips ja ring 37. Mis juhtumil tasand lõikab pöördkoonust ellipsit mööda? Tasand lõikab pöördkoonust ellipsit mööda, kui tasand lõikab kõiki koonuse moodustajaid. 38. Mis juhtumil tasand lõikab pöördkoonust parabooli mööda? Tasand lõikab pöördkoonust parabooli mööda, kui tasand on paralleelne ühe moodustajaga ja ei läbi koonuse tippu. 39. Mis juhtumil tasand lõikab pöördkoonust hüperbooli mööda? Tasand lõikab pöördkoonust hüperbooli mööda, kui tasand on paralleelne kahe koonuse moodustajaga. 40. Mis juhtumil tasand lõikab pöördkoonust sirgeid mööda? Tasand lõikab pöördkoonust sirgeid mööda, kui tasand läbib pöördkoonuse tippu. 41. Nimetage kõik teist järku jooned.
Paarisarv on täisarv, mis jagub kahega. Nt. (0), 2, 4, 6, 8, 10, 12, ... Kahe paarisarvu liitmisel saadakse paarisarv, ning kahe paarisarvu korrutamisel saadakse samuti paarisarv. Nt. 18+18=36; 18*18=324. Paaritu arv on täisarv, mis ei jagu kahega. Nt. 1, 3, 7, 9, 11, 13 ...Kahe paaritu arvu korrutamisel saadakse paaritu arv, kuid kahe paaritu arvu liitmisel saadakse paarisarv. Nt. 7*7=49; 7+7=14. Parabool on ruutfunktsiooni graafik. Parabooli haripunkt on punkt, mis asub parabooli sümmeetriateljel. See jaotab parabooli kaheks haruks. Paralleelsed sirged on sirged, mis pikendamisel üksteisega kunagi ei ristu. Sirged a ja b ning sirged d ja e on paralleelsed. Piirdenurk on nurk, mille tipp on ringjoonel ja haarad lõikavad ringjoont nimetatakse piirdenurgaks Punkti abtsiss ehk x - koordinaat on esimene punkti koordinaatidest ühe-, kahe- või kolmemõõtmelises koordinaadistikus.
Seetõttu järgib tolmusaba rohkem või vähem komeedi orbiiti. Nõrkadel komeetidel saba harilikult puudub, heledatel on märgatav ioonsaba, väga heledatel on nähtavad mõlemat tüüpi saba. Nii perioodiliste kui vaid kord ilmunud komeetide orbiidid on väga piklikud. Erinevalt planeetidest tiirlevad komeedid kõikvõimalikes tasandites ning suvalises suunas. On olemas perioodilised komeedid, mis liiguvad mööda ellipsit ja mitteperioodilised komeedid liiguvad mööda parabooli. Suurem osa pikaperioodilisi komeete pärineb Päikesesüsteemi äärealadelt, Öpiku-Oorti pilvest, lühiperioodilised seevastu Neptuuni orbiidi taga paiknevast Kuiperi pilvest. 4. Mida nim. meteooriks? Mis on meteoriit? Leia materjali meteoriitide koostise ja suuremate Maale langenud meteoriitide kohta. Meteoor on Maa atmosfääri sattunud meteoorkeha poolt põhjustatud valgus-, heli-, elektri- jm. nähtuste kompleks. Meteoori põhjustava meteoorkeha massi võib hinnata jälje heleduse järgi
1429) and 310/71 (u 3.1408) vahepeal, mis läheb kooskõlla pii tegeliku väärtusega, mis on 3.1416. Ta tõestas ka ringi pindala võrsust pii korrutisega raadiuse ruudust. ( ) ,,Ringi kvadratuur" Tegemist on Archimedese kirjutatud uurimusega geomeetrias, sisaldades 24 väidet, mis puudutavad paraboole, kulmineerudes tõestusega, et parabooli segmendi pindala on selle sisse joonistatud kolmnurgast. Põhiidee tõestusest on parabooli segmendi jagamine lõpmatult paljudeks kolmnurkadeks, nagu näidatud paremal pool asuval joonisel. Iga kolmnurk on joonistatud enda paraboolisegmendi sisse täpselt samamoodi nagu sinine kolmnurk on joonistatud suure segmendi sisse. 18. kuni 21. väiteni tõestab Archimedes, et iga väikse kolmnurga pindala on üks kaheksandik suurema kolmnurga pindalast. Kaasaegsest 8
ja on paralleelne esiekraaniga (eestvaates pöördkoonuse moodustajaga (tasandi paralleelne esijäljega, pealtvaates paralleelne kaldenurk on suurem kui koonuse teljega). moodustaja oma telje suhtes). 28. Mis on tasandi põhilangusjoon 38. Mis juhul lõikab tasand pöördkoonust (esilangusjoon) ja mis on tema tunnus parabooli mööda? Kui lõikav tasand ei ole kaksvaate alusel? Põhilangusjoon- paralleelne ega risti teljega ja on paralleelne tasapinnal asetsev sirge, mis on risti pöördkoonuse moodustajaga (tasandi horisontaalide0ga, pealtvaaade on risti iga kaldenurk on võrdne koonuse moodustaja selle tasapinna horisontaali pealtvaatega omaga telje suhtes). (põhijäljega). Esilangusjoon- tasapinnal 39
Matemaatika 11. klassi valemid Astendamise abivalemid am n a an a a =a m n m +n (a m ) n = a mn ( ab) n = a n b n n = a m -n = n a b b n p Liitprotsendiline kasvamine (kahanemine): L = A 1 + , kus L on 100 lõppväärtus, A - algväärtus, p - kasvamise protsent, n - kasvutsüklite arv. Logaritmide omadused: log a c = b a b = c ...
Trajektoor on keha või punkti (keha osa või punktmassi) teekond liikumisel ruumis või tasandil. Trajektoori kuju järgi saab liikumist liigitada sirgjooneliseks, kõverjooneliseks, ringjooneliseks jne. Looduses esineb sirgjoonelist liikumist harva, tavaliselt on sirgjooneline vaid mõni osa trajektoorist. Trajektoori pikkust, mille keha läbib mingi ajavahemiku jooksul nimetatakse teepikkuseks. Näiteks kahurist tulistatud kuuli trajektoor vaakumis on raskusjõu mõjul parabooli kujuga. Liikumise suhtelisus Tänapäeva füüsikas võetakse asukoha mõõtmisel aluseks kindel vaatleja kindlas taustsüsteemis (koordinaadistikus koos kellaga aja mõõtmiseks) ning liikumist vaadeldakse ainult sääraselt fikseeritud taustsüsteemi suhtes. Sellega järgitakse relatiivsusprintsiipi, millest tuleneb, et ei ole olemas absoluutset liikumist. Et absoluutselt liikumatut taustsüsteemi ei ole olemas, siis on iga mehaaniline liikumine suhteline. Liikumise kiirus
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
