10. Tuletada valem tasandilise kujundi massi arvutamiseks aine pindtiheduse kaudu. Olgu antud aine pindtihedus (P) kogupiirkonnas D. Jaotame piirkonna D osapiirkondadeks S1, S2, ..., Sn ja valime igas osapiirkonnas Si ühe punkti Pi. Tähistagu Si samaaegselt nii I-ndta tükki kui i-nda tüki pindala. Olgu S i mass mi. Kui osapiirkond Si on väike, siis võib aine pindtiheduse Si peal lugeda ligikaudselt konstatntseks ja võrdseks arvuga (Pi)Si saame funktsiooni integraalsumma n mn= (Pi)S, mis võrdub ligikaudselt piirkonna D massiga i=1 11. Tuletada valem tasandilise kujundi masskeskme koordinaatide arvutamiseks aine pindtiheduse kaudu. Olgu antud tasandiline materiaalne kujund D pindtihedusega (P). Määrata tuleb kujundi D masskeskme Pc=(xc,yc) koordinaadid. Ülesande lahendamiseks jaotame piirkonna D osapiirkondadeks S1,S2,...Sn ja valime igas osapiirkonnas Si ühe punkti Pi=(xi,yi)
Vähendatud programm 1. Kahemuutuja funktsiooni integraalsumma ja kahekordse integraali definitsioonid. Kahekordse integraali geomeetriline sisu. 2. Kahekordse integraali omadused (põhjendusi ei küsi). 3. y- ja x-telje suhtes regulaarsed piirkonnad. Kahekordse integraali esitus kaksikintegraalina y- ja x-telje suhtes regulaarsete piirkondade korral. Millal nimetatakse piirkonda regulaarseks? 4. Muutujate vahetus kahekordse integraali all. Kahekordse integraali teisendamine polaarkoordinaatidesse (esitada vastav
kehtib ka võrdus, et mixi f(i)xi Mixi ja võrdus vastavate summade kohta: n n n i =1 m x i =1 f( )x i =1 M x i i i i i i f(x) integraalne f(x) f(x) integraalne alamsumma integraalsumma ülemsumma Sn Sn Sn · Neid summasid saab väljendada, nagu teada geomeetriliselt, kus integraalne alamsumma omab ,,sisemise treppkujundi" pindala ja ülemsumma ,,välimise treppsumma pindala" · Integraalsuma (Sn) on aga arvuliselt võrdne selle kujundi pindalaga, mis on piiratud murdjoonega, mis asub kõvera all ja peal olevate murdjoonte vahel. Kujund on joonisel 2 see viirutatud ala · NB
piirväärtus (), mis ei sõltu lõigu [a,b] tükeldustest ega punktiks i valikust i osalõigust, siis seda nim. määratus integraaliks ehk: Sellest järeldub, et kui a=b, siis . Tõestus. cR, f(x)=c, x[a,b]. Kui f(x)C[a,b], siis f(x) on alati integreeruv lõigul [a,b] ehk f(x)I[a,b]. Kuna ja on konstandid ja f(x) ja g(x) I[a,b], siis eksisteerivad piirväärtused mõlemast eraldi. Kui lõigu [a,c] üheks jaotuspunktiks on b, siis saame jagada integraalsumma kaheks osaks. Tõestus. Kui valida integraalsumma jaoks sama tükelduse ja samad punktid i, siis saame: Tõestus. Olgu f(x) integreeruv lõigul [a,b]. Et f(x)I[a,b]|f(x)|I[a,b] ja lause 2 põhjal |f(x)|I[a,b]-|f(x)|I[a,b] ning -|f(x)|f(x)|f(x)|, x[a,b] ning lausete 2 ja 4 abil saame selle välja kirjutada nii . 2.13 Integraal ülemise raja funktsioonina f(x)I[a,b]f(x)I[a,c], cb. Võtan kasutusle abifunktsiooni G(x)[a,b]. DEF1. x[a,b] Tõestus. G=G(x+x)+G(x). joonis!
f ( P)dS = f ( A) dS 1. Kahemuutuja funktsiooni integraalsumma mõiste ja f * (P)dS = f * (P)dS + f * (P)dS = f (P)dS m d geomeetriline sisu
1. Kahekordne integraal: põhjalik selgitus (vastava piirkonna jaotus, integraalsumma definitsioon jne). Vaatleme xy-tasandil joonega L piiratud kinnist piirkonda D. Olgu antud pidev funktsioon z=f(x,y). Jaotame piirkonna D mingite joontega n osaks: s1, s2, s3,..., sn, mida nim. osapiirkondadeks. Uute sümbolite kasutuselevõtmise vältimiseks mõistame s1,... ,sn all mitte ainult vastavaid osapiirkondi, vaid ka nende pindasid. Võtame igas
21. Mitmemuutuja funktsiooni lokaalsete ekstreemumite mõisted. Statsionaarne punkt. Mitmemuutuja funktsiooni lokaalse ekstreemumi tarvilik tingimus. Kahemuutuja funktsiooni lokaalse ekstreemumi piisavad tingimused. 22. Kahemuutuja funktsiooni tingliku ekstreemumi mõiste. Lagrange'i funktsioon. Kahemuutuja funktsiooni tinglike ekstreemumite seos Lagrange'i funktsiooni statsionaarsete punktidega. 23. Kahemuutuja funktsiooni integraalsumma ja kahekordse integraali definitsioonid. Kahekordse integraali geomeetriline sisu. 24. Kahekordse integraali omadused (sh omadused 3-5 koos põhjendustega). 25. y- ja x-telje suhtes regulaarsed piirkonnad. Kahekordse integraali esitus kaksikintegraalina y- ja x-telje suhtes regulaarsete piirkondade korral. Millal nimetatakse piirkonda regulaarseks? 26. Ruumala arvutamine kahekordse integraali abil. Tuletada vastav valem. 27. Muutujate vahetus kahekordse integraali all
üksühene ja diferentseeruv. Tähistame funktsiooni ϕ pöördfunktsiooni ψ-ga. Seega x = ψ(u). Paneme kirja funktsiooni ψ dx tuletise diferentsiaalide jagatisena: du = ψ’(u). Korrutades seda võrdust du-ga saame dx = ψ’(u)du . Saame avaldise ∫ f ( x) dx = ∫ f [ψ (u)]ψ ’(u) du . ∫ udv=uv −∫ vdu 29. Funktsiooni integraalsumma ja määratud integraali mõisted. Integraalsumma mõiste. Olgu antud funktsioon f, mis on pidev lõigul [a, b]. Jaotame lõigu [a, b] n osalõiguks punktidega x0, x1, x2, . . . , xn, kusjuures a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = b. Tähistame järjekorras i- nda osalõigu pikkuse sümboliga ∆xi, st ∆xi = xi – xi−1. Valime igal osalõigul [xi−1, xi] ühe punkti pi. Moodustame summa Sn = f(p1)∆x1 n
5. Korrutame selle võrduse du-ga saame 6. Asendame x ja dx integraali all saame Ositi integreerimise valem Olgu ja kaks diferentseeruvat funktsiooni. 1. Paneme kirja nende korrutise diferentsiaali 2. Integreerime seda avaldist 3. Kuna , siis (konstandi C võib valemist välja jätta sest mõlemad määramata integraalid sisaldavad juba määramata konstante) 4. Viies võrduse teisele poolele saamegi 14. Funktsiooni integraalsumma ja määratud integraali mõisted See summa on funktsiooni integraalsumma lõigul Määratud integraal 1. Tähistame pikima osalõigu pikkuse sümboliga 2. Muudame [a,b] tükeldust järjest peenemaks nii, et pikima osalõigu pikkus läheneb nullile. 3. Kui f on pidev lõigul [a,b] siis integraalsummal on taolises piirprotsessis lõplik piirväärtus. Või Olgu reaalarvulise muutuja x pidev ja tõkestatatud funktsioon lõigus [a,b], siis
Valitakse mingi funktsioon u ja integreeritakse muutuja x asemel muutujat u. Eeldades et valitud funktsioon u on üksühene ja diferentseeruv, leitakse selle funktsiooni pöördfunktsioon. Leitud pöördfunktsioon kirjutatakse diferentsiaalide jagatisena, korrutatakse võrdust du-ga ning saadud funktsioonid asendadakse integraali all. Esitada ositi integreerimise valem määramata integraali jaoks (tuletada pole vaja). 29. Funktsiooni integraalsumma ja määratud integraali mõisted. Integraalsummaks nimetatakse lõigul (a;b) pideva funktsiooni f osalõikude punktide summasid Määratud integraal: Kui lõigu (a;b) mistahes jaotuse korral. Kus max ja punktide p mistahes valiku korral integraalsumma läheneb ühele ja samale piirväärtusele s= Siis piirväärtust s nimetatakse f-ni määratud integraaliks lõigul (a;b). 30. Määratud integraali geomeetriline sisu: kõvertrapetsi pindala leidmine. Esitada vastav valem ilma tuletamata.
Kordamisküsimused matemaatilise analüüsi (II) II osaeksamiks 2013 1. Kahekordne integraal (integraalsumma, kahekordse integraali definitsioon, kahekordse integraali omadused (vastavad teoreemid tõestuseta)). n Moodustame summa: Vn = f ( P1 )s1 + f ( P2 )s 2 + ... + f ( Pn )s n = f ( Pi )s i i =1 Seda summat nimetatakse funktsiooni f(x,y) integraalsummaks üle piirkonna D. Teoreem 1
26. Algfunktsiooni definitsioon. Sõnastada teoreem algfunktsioonide üldavaldise kohta (tõestust ei küsi). Funktsiooni määramata integraal ja selle geomeetriline sisu. 27. Integraalide tabel. Määramata integraali omadused (ilma tõestusteta). 28. Kirjeldada asendusvõtet määramata integraali avaldamisel. Esitada ositi integreerimise valem määramata integraali jaoks (tuletada pole vaja). Ositi integreerimise valem määramata integraali jaoks: 29. Funktsiooni integraalsumma ja määratud integraali mõisted. 30. Määratud integraali geomeetriline sisu: kõvertrapetsi pindala leidmine. Esitada vastav valem ilma tuletamata. 31. Määratud integraali omadused (ilma põhjendusteta). 32. Newton-Leibnitzi valem ilma tõestuseta. 33. Kirjeldada asendusvõtet määratud integraali arvutamisel. Esitada ositi integreerimise valem määratud integraali jaoks (tuletada pole vaja).
diferentsiaali avaldise (vt. Diferentsiaali omadus 3 §3.3) d(uv) = vdu + udv Integreerime seda avaldist. Saame: Kuna d(uv) = uv + C integraalide tabeli valemi 1 põhjal, siis Konstandi C võib sellest valemist välja jätta, sest mõlemad määramata integraalidudv javdu sisaldavad juba määramata konstante. Viiesvdu võrduseteisele poolele saame Saadud avaldis kannab ositi integreerimise valemi nime 36. Funktsiooni integraalsumma ja määratud integraali mõisted. Integraalsumma mõiste. Olgu antud funktsioon f, mis on pidev lõigul [a, b]. Jaotame lõigu [a, b] n osalõiguks punktidega x0, x1, x2, . . . , xn, kusjuures a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = b. Tähistame järjekorras i-nda osalõigu pikkuse sümboliga xi , st Valime igal osalõigul [xi-1, xi] ühe punkti pi. Moodustame summa: Seda summat nimetatakse funktsiooni f integraalsummaks lõigul [a, b]. Määratud integraali mõiste.
Tõestus: Oletame, et funktsioon pole lõigus [a,b] tõkestatud. Näitame, et funktsioon pole integreeruv. . Kuna f pole lõigus [a,b] tõkestatud, siis , kus f pole tõkestatud. Selles lõigus . Valime nii, et . Seega . . Seega pole Riemanni integraalsumma lõigus [a,b] tõkestatud ningpuudub ka integraalsumma piirväärtus ehk Riemanni integraal. 12. Näidata, et kui funktsioonid f (x) = g(x) välja arvatud lõplikus arvus punktides, siis .. Tõestame selle järelduse juhul, kui g(x) f(x) vaid punktis x=c selle lõigu tükeldus, kusjuures . Kuna g(x)
Eeldame, et on üksühene ja diferentseeruv. Tähistame funktsiooni pöördfunktsiooni -ga. Seega x = (u) (5.3) Paneme kirja funktsiooni tuletise diferentsiaalide jagatisena: Korrutades seda võrdust du-ga saame dx = '(u)du (5.4) Kasutades valemeid (5.3) ja (5.4) asendame x ja dx integraali (5.2) all. Saame avaldise Ositi integreerimine. Avaldis kannab ositi integreerimise valemi nime. 32. Funktsiooni integraalsumma ja määratud integraali mõisted. Integraalsumma mõiste. Olgu antud funktsioon f, mis on pidev lõigul [a, b]. Jaotame lõigu [a, b] n osalõiguks punktidega x0, x1, x2, . . . , xn, kusjuures a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = b. Tähistame järjekorras i-nda osalõigu pikkuse sümboliga xi , st Valime igal osalõigul [xi-1, xi] ühe punkti pi. Moodustame summa: Seda summat nimetatakse funktsiooni f integraalsummaks lõigul [a, b]. Määratud integraali mõiste. Tähistame pikima osalõigu pikkuse sümboliga n, st n = max{x1,x2, . . . ,xn}
Valime ( ) nii, et + + ( ) > . Seega > . - = . Seega pole Riemanni integraalsumma lõigus [a,b] tõkestatud ningpuudub ka integraalsumma piirväärtus ehk Riemanni integraal. 22).(Tuletada ositi integreerimise valem määratud integraali jaoks).
11. Diferentsiaali märgi alla viimise võte määramata integraali leidmiseks. Ositi integreerimise valem. f ( x ) f ( x ) dx või g [ f ( x ) ] f ( x ) dx . Sel juhul tehakse muutuja vahetus (võetakse uueks muutujaks) t = f ( x ) siis dt = f ( x ) dx ja saame f ( x ) f ( x ) dx = tdt või, g [ f ( x ) ] f ( x ) dx = g ( t ) dt Ositi integreerimise valem: udv = uv - vdu 12. Integraalne alamsumma ja ülemsumma (valemid ja joonis). Integraalsumma (valem ja joonis). Määratud integraali definitsioon (sõnastus ja valem). Kõvertrapetsi pindala arvutamise valem koos joonisega. Newton-Leibnizi valem. Summat s n nimetatakse integraalseks alamsummaks, summat sn integraalseks ülemsummaks. n s n = f ( 1 ) x1 + ( 2 ) x 2 + ... + ( n ) x n = f ( i ) xi
Jaotame lõigu [a, b] n osalõiguks punktidega x0, x1, x2, . . . , xn, kusjuures a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = b Tähistame järjekorras i-nda osalõigu pikkuse sümboliga xi , st xi = xi-xi-1. Valime igal osalõigul [xi-1, xi] ühe punkti pi iga Summeerides tööd üle osalõikude saame töö ligikaudse avaldise kogu lõigul [a, b] Valemi (5.17) paremal poolel seisab funktsiooni F integraalsumma lõigul [a, b]. Integraalsumma läheneb määratud integraalile protsessis n 0. Seega saame ligikaudsest valemist (5.17) piirprotsessis n 0 järgmise täpse valemi töö jaoks: 38. Määratud integraali geomeetriline sisu. Olgu funktsioon f pidev lõigul [a, b]. Eeldame, et f(x) 0. Vaatleme joontega y = f(x), x = a, x = b ja y = 0 piiratud kõvertrapetsit (joonisel 5.2 on see ümbritsetud pideva joonega). / Tähistame selle kujundi pindala sümboliga S. Meie eesmärk on tuletada valem pindala S jaoks
Olgu ) ja kaks diferentseeruvat funktsiooni. Paneme kirja nende korrutise diferentsiaali avaldise. Integreerime seda avaldist. Saame Kuna integraalide tabeli vaheli 1 põhjal, siis Konstandi C võib sellest valemist välja jätta, ses mõlemad määramata integraalid sisaldavad juba määramata konstante. Saadud avaldis kannab ositi integreerimise valemi nime. 36. Funktsiooni integraalsumma ja määratud integraali mõisted a. Funktsiooni integraalsumma Olgu antud funktsioon f, mis on pidev lõigul [a,b]. Jaotame lõigu osalõiguks punktidega , kusjuures Tähistame järjekorras i-nda osalõigu pikkuse sümboliga , st Valime igal osalõigul [] ühe punkti . Moodustame summa Seda summat nimetatakse funktsiooni f integraalsummaks lõigul [a,b] b. Määratud integraali mõiste
ja 14. Leidke funktsiooni asümptoodid! puuduvad (muidu saab kindlaks teha parfrac'iga) 15. Leidke funktsiooni asümptoodid! puuduvad 16. Leidke funktsiooni asümptoodid! puuduvad OSA 9 1. Defineerige määratud integraal! F-ni y=f(x) määratud integraaliks lõigus [a;b] nimetatakse avaldist F(b)-F(a), kus F tähistab antud f-ni algf-ni. 2. Milline on integraalsumma geomeetriline tõlgendus? 3. Asendage funktsiooni sin(x) graafik lõigul [1, 2] 10 x-teljega paralleelsest lõigust koosneva treppjoonega! Saab teha ceiliga. 4. Koostage funktsiooni sin(x) integraalsumma lõigul [1, 2]! Integraalsumma üldvalem: 5. Kirjutage üles määratud integraali 3 omadust! 1) Konstantse teguri võib tuua integraali märgi ette: 2) Summa integraal võrdub liidetavate integraalide summaga:
ʃvdu sisaldavad juba määramata konstante. Viies ʃvdu võrduse teisele poolele saame ʃudv = uv − ʃvdu Saadud avaldis kannab ositi integreerimise valemi nime. Ositi integreerimise valemit kasutades saab avaldada integraale ʃ xn sin(ax)dx, ʃ xn cos(ax)dx, ʃ xneaxdx, ʃ (lnx)ndx, kus n on positiivne täisarv ja a on reaalarvuline konstant. Samuti saab seda võtet kasutades leida integraale arkusfunktsioonidest. 36. Funktsiooni integraalsumma ja määratud integraali mõisted . Integraalsumma mõiste. Olgu antud funktsioon f, mis on pidev lõigul [a, b]. Jaotame lõigu [a, b] n osalõiguks punktidega x0, x1, x2, . . . , xn, kusjuures a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = b. Tähistame järjekorras i-nda osalõigu pikkuse sümboliga ∆xi , st ∆xi = xi − xi−1. Valime igal osalõigul [xi−1, xi ] ühe punkti pi . Moodustame summa Sn = f(p1)∆x1 + f(p2)∆x2 + . . . + f(pn)∆xn = Xn i=1 f(pi)∆xi Määratud integraali mõiste
.. , n ning nende osalõikude hulka nimetatakse lõigu [a ; b] tükelduseks. (I. Tammeraid) Tähistame k -osalõigu pikkuse järgnevalt ∆ x k =x k −x k −1 . Järgnevalt igalt osalõigult valime vabalt ühe punkti ξ k ∈ [ x k−1 ; x k ] , kus k =1,2, 3,... , n , ning moodustame korrutised f (ξ k ) ∆ x k . (L. Pallas) Liites sellised korrutised omavahel saame funktsiooni y=f ( x ) integraalsumma lõigul [a ;b] : n S abBA =∑ f ( ξ k ) ∆ x k . k =1 Saadud summat nimetatakse ka Riemanni summaks. (H. Päeva) Kuna jaotuspunktid x 1 , x 2 , x 3 , … x n−1 on valitud täiesti vabalt, siis osalõikude ∆ x k , k =1,2, 3,... , n pikkused samuti erinevad. Võtame pikima osalõigu tähistuseks λ , siis λ=max ∆ x k . 1≤ k ≤n (L. Pallas)
1.Kordse integraali mõiste. Kahemuutuja funktsiooni integraalsumma ja kahekordse integraali definitsioonid. Kahekordse integraali geomeetriline sisu. Kahekordse integraali omadused. Kui eksisteerib , mis ei sõltu osapiirkondadeks Dj jaotamise viisist ega punktide Pj ϵ Dj valikust, siis seda piirväärtust nimetatakse funktsiooni f(x,y) kahekordseks integraaliks üle piirkonna D ja tähistatakse Olgu D kinnine tõkestatud piirkond ruumis R2. Olgu z = ƒ (x,y) piirkonnas D määratud pidev funktsioon
n Päratud integraalid katkevatest funktsioonidest: Vaatleme juhtu, kui funktsioon on katkev. Kui f-l on katkevuspunktid lõigul [a, b], siis selle funktsiooni integraalsumma ei tarvitse omada lõplikku piirväärtust, n b S ∏ ( f )=h ∑ f ( a+hi ) εi
Tuletada ositi integreerimise valem määramata integraali jaoks: b.i. Olgu ja kaks diferentseeruvat funktsiooni. b.ii. Paneme kirja nende korrutise diferentsiaali b.iii. Integreerime seda avaldist b.iv. Kuna , siis (konstandi C võib valemist välja jätta sest mõlemad määramata integraalid sisaldavad juba määramata konstante) b.v. Viies võrduse teisele poolele saamegi 14. Funktsiooni integraalsumma ja määratud integraali mõisted. a. Funktsiooni f integraalsumma lõigul : b. Määratud integraal: b.i. Definitsioon 1: b.i.1. Tähistame pikima osalõigu pikkuse sümboliga b.i.2. Muudame [a,b] tükeldust järjest peenemaks nii, et pikima osalõigu pikkus läheneb nullile. b.i.3. Kui f on pidev lõigul [a,b] siis integraalsummal on taolises
Tähistame xi=xi-xi-1 ja yj=yj-yj-1 ja seega Sk= xi×yj. Valime punktid pi [xi-1,xi] ja rj [yj-1,yj]. Saame punkti Pk(pi,rj)Sk n m l m l Vn = f ( Pk ) S k = f ( pi , r j )xi y j = xi f ( pi , r j ) y j (*) k =1 i =1 j =1 i =1 j =1 l f ( p , r )y j =1 i j i on funktsiooni f(pi,y) integraalsumma lõigul [c,d]. Olgu l=max{y1, y2,...,yl}, siis piirväärtus l d lim f ( pi , rj )y j = f ( pi , y ) dy l 0 j =1 c Järelikult l d f ( pi , rj )y j = f ( pi , y )dy + i (**) j =1 c Pannes kokku valemid (*) ja (**) saame m d m d m Vn = xi f ( pi , y ) dy + i = f ( pi , y )dyxi + i xi =
u = (x) ja integreerimine muutuja x järgi asendatakse integreerimisega muutuja u järgi. Eeldame, et on üksühene ja diferentseeruv. Tähistame funktsiooni pöördfunktsiooni -ga. Seega x = (u) Paneme kirja funktsiooni tuletise diferentsiaalide jagatisena: dx du = (u). Korrutades seda võrdust du-ga saame dx = (u)du . Integraalsumma mõiste. Olgu antud funktsioon f, mis on pidev lõigul [a, b]. Jaotame lõigu [a, b] n osalõiguks punktidega x0, x1, x2, . . . , xn, kusjuures a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = b. Määratud integraali mõiste. Tähistame pikima osalõigu pikkuse sümboliga n, st n = max{x1,x2, . . . ,xn}. Muudame lõigu [a, b] tükeldust järjest peenemaks selliselt, et pikima osalõigu pikkus n läheneb nullile. Kui f on pidev
u=u ¿ ) ja diferentsiaali avaldise. d (uv ) =vdu+ udv Integreerime seda avaldist. Saame d (uv ) =¿ vdu+ udv ¿ Kuna d ( uv )=uv +C integraalide tabeli vaheli 1 põhjal, siis uv+ C= vdu+ udv Konstandi C võib sellest valemist välja jätta, ses mõlemad määramata integraalid sisaldavad juba määramata konstante. udv=uv - vdu Saadud avaldis kannab ositi integreerimise valemi nime. 36. Funktsiooni integraalsumma ja määratud integraali mõisted. Funktsiooni integraalsumma Olgu antud funktsioon f, mis on pidev lõigul [a,b]. Jaotame lõigu osalõiguks punktidega x 0 , x 1 , x 2 , ... x n , kusjuures a=x 0< x 1 < x 2< ...< x n=b Tähistame järjekorras i-nda osalõigu pikkuse sümboliga x i , st x i=x i-x i-1 Valime igal osalõigul [ x i-1 ; x i ] ühe punkti pi . Moodustame summa n S n=f ( p 1 ) x1 + f ( p 2 ) x2 +..
f (x)dx = lim f (k )xk . a 0 k=1 1 Kui l~oigul [a; b] on f (x) 0, siis integraalsummas esinevad korrutised f (k )xk on selliste ristk¨ ulikute pindaladeks, mille alused on xk ja k~orgu- sed f (k ). Selliste ristk¨ ulikute pindalade summa, st integraalsumma sn on ligikaudu v~ordne niisuguse k~overtrapetsi pindalaga, mis alt on piiratud x- teljega, vasakult sirgega x = a, paremalt sirgega x = b ja u ¨lalt funktsiooni y = f (x) graafikuga. Kui vaadelda piirprotsessi 0, siis k~oikide osal~oikude pikkused hak- kavad kahanema ja selleks et osal~oigud kataksid kogu l~oigu [a; b], tuleb v~otta neid osal~oike j¨arjest rohkem. Ristk¨ulikute pindalade summa sn hakkab osal~oiku- de arvu kasvades t¨apsemalt iseloomustama k~overtrapetsi pindala.
5. Korrutame selle võrduse du-ga saame 6. Asendame x ja dx integraali all saame Ositi integreerimise valem Olgu ja kaks diferentseeruvat funktsiooni. 1. Paneme kirja nende korrutise diferentsiaali 2. Integreerime seda avaldist 3. Kuna , siis (konstandi C võib valemist välja jätta sest mõlemad määramata integraalid sisaldavad juba määramata konstante) 4. Viies võrduse teisele poolele saamegi 36. See summa on funktsiooni integraalsumma lõigul Määratud integraal 1. Tähistame pikima osalõigu pikkuse sümboliga 2. Muudame [a,b] tükeldust järjest peenemaks nii, et pikima osalõigu pikkus läheneb nullile. 3. Kui f on pidev lõigul [a,b] siis integraalsummal on taolises piirprotsessis lõplik piirväärtus. Või Olgu reaalarvulise muutuja x pidev ja tõkestatatud funktsioon lõigus [a,b], siis määratud integraal
V = [ f ( x; y ) - g ( x; y )]dxdy Eeldusel, et: (x; y)D ja (x; y)g(x; y) D Kolmekordse integraali mõiste ja arvutamine =(x; y; z) määratud ja pidev ruumilises punktihulgas V [V: v1; v2; v3;...; vn] Eeldusel et Pkvk (k=1,2,...,n) ja Pk(k; k; n k) ning (Pk)vk f ( P ) v k =1 k k [ =(x; y; z) integraalsumma üle pk V] Osapiirk diameetriks nim osapk punktide vahelist suurimat kaugust = max diamv k = f ( x; y; z ) dxdydz kusjuures 1 k n. Def: Kui V n eksisteerib piirväärtus 0 lim f ( Pk ) v k ja see ei sõltu sellest kuidas pk V on jaotatud osapiirk-ks ega sellest 0
© 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 43 Määratud integraal ja selle omadused. Keskväärtusteoreem (tõestusega). Olgu y = f (x) pidev lõigul [a, b] Jaotame lõigu n osaks punktidega (28.1) x 0 = a, x1 , x 2 ,..., x n = b (28.2) J = {x 0 , x1 ,..., x n } - lõigu [a, b] jaotus Igal lõigukesel x i = x i - x i -1 i = 1,2,..., n võtame punkti i = [xi -1 , xi ] Moodustame integraalsumma n (28.3) S n = f ( i )x i i =1 Definitsioon 7.1 Funktsiooni y = f (x) määratud integraaliks lõigul [a, b] nimetatakse piirväärtust b (28.4) lim S n = f ( x)dx max xi 0 n a tingimusel, et piirväärtus eksisteerib. Määratud integraali omadused 1. Lineaarsus b b b (28
© 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 43 Määratud integraal ja selle omadused. Keskväärtusteoreem (tõestusega). Olgu y = f (x) pidev lõigul [a, b] Jaotame lõigu n osaks punktidega (28.1) x 0 = a, x1 , x 2 ,..., x n = b (28.2) J = {x 0 , x1 ,..., x n } - lõigu [a, b] jaotus Igal lõigukesel x i = x i - x i -1 i = 1,2,..., n võtame punkti i = [xi -1 , xi ] Moodustame integraalsumma n (28.3) S n = f ( i )x i i =1 Definitsioon 7.1 Funktsiooni y = f (x) määratud integraaliks lõigul [a, b] nimetatakse piirväärtust b (28.4) lim S n = f ( x)dx max xi 0 n a tingimusel, et piirväärtus eksisteerib. Määratud integraali omadused 1. Lineaarsus b b b (28
Korrutades seda võrdust LIISI KINK 14 MATEMAATILINE ANALÜÜS I O-ga saame Q O O. Kasutades eelnevaid valemeid saame avaldise 5 5 0Q O 1Q O O. Ositi integreerimis valem: 5 O T OT 5T O 29) Funktsiooni integraalsumma ja määratud integraali mõisted. Olgu antud funktsioon , mis on pidev lõigul 0 , 1. Jaotame lõigu 0 , 1 osalõiguks punktidega U, , , ... , , kusjuures U " " "" . Tähistame järjekorras B-nda osalõigu pikkuse sümboliga J , st J J JW . Valime igal osalõigul 0 JW , J 1 ühe punkti XJ . Moodustame summa Y X X X Z XJ J
funktsiooni kaksikintegraaliga üle sama piirkonna D (eeldame, et piirkond D on piiratud joontega Tõestus. Jaotame piirkonna D koordinaattelgedega paralleelsete sirgete abil n regulaarseks (täisnurkseks) piirkonnaks (2) Teisendame seda summat, rakendades iga liidetava suhtes kaksikintegraali kohta käivat keskväärtuse teoreemi . Võrdus (2) saab kuju , (3) Kus Pj on osapiirkonna sj mingi punkt. Võrduse parem pool on funktsiooni f(x,y) integraalsumma üle piirkonna D. Kahekordse integraali olemasolu teoreemist järeldub, et kui n -> lõpmatus ja osapiirkondade sj suurim läbimõõt läheneb nullile, siis on sellel summal olemas piirväärtus, mis võrdub funktsiooni f(x,y) kahekordse integraaliga ülre piirkonna D. Minnes võrduses piirile, saame ehk . Kaksikintegraali avaldise väljakirjutamisel saame lõpuks . 3.Muutujavahetus kordses integraalis. Jakobiaan. Polaarkoordinaadid. Teisendust t x Rn, nimetatakse regulaarseks , kui
Olgu u = u(x) ja v = v(x) kaks diferentseeruvat funktsiooni ning eksisteerigu määramata integraal , siis kehtib võrdus: = uv - Selgitus. Viimast valemit nimetatakse määramata integraali ositi integreerimise valemiks ja seda kasutatakse niisuguste avaldiste integreerimisel, mida saab esitada kahe teguri u ja dv korrutisena. Funktsioon u on sellinne, mis diferentseerimise kaudu muutub lihtsamaks (näiteks arcsinx, lnx, x3), aga dv on avaldis, millest integreerimise teel saame leida v. 21. Integraalsumma ja määratud integraal. Definitsioonid, lisaks ka korralik selgitus. Integraalsumma. On antud lõigul [a, b] esialgu pidev ja mittenegatiivne funktsioon y = f(x). Jaotame lõigu [a, b] n osaks punktidega a = x0, x1, x2 ... xn = b, kusjuures a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b. Igal lõigul pikkusega xi = xi xi 1 (ehk lõikudel [x0, x1], [x1, x2], ... [xn - 1, xn]) võtame punkti i ning arvutame funktsiooni vastava väärtuse f(i). Summat Sn = f(1)x1 + f(2)x2 +..
ja a xi + bn = yi i i o Geomeetriliselt näitab prognoosisirge ära kas katseandmetega xi ja yi määratud punktid P(xi, yi) asuvad sellel sirgel või selle läheduses. Kahekordse integraali mõiste Kui integraalsummal eksisteerib piirväärtus protsessis n läheneb lõpmatusse, mis ei sõltu piirkonna D osadeks jaotamise viisist ja punkti Pi valikust neis osades, siis nim funktsiooni w=f(x,y) integreeruvaks piirkonnas D ja integraalsumma piirväärtust nim selle funktsiooni kahekordseks integraaliks üle piirkonna D. lim=f(x,y)dxdy n> D Lause: Kui funk. on tõkestatud piirkonnas D, siis ta on integreeruv. Kahekordse integraali omadusi Lineaarsus: [f ( x, y ) + g ( x, y )]dxdy = f ( x, y )dxdy + g ( x, y )dxdy D D D Adatiivsus: kui D = D1 D2 ; D1 , D2 ei oma ühiseid sisepunkte, siis f ( x, y)dxdy = f ( x, y)dxdy + f ( x, y)dxdy
Omadus 5. Määratud integraali aditiivsuse omadus lõigul b c b ∫ f ( x ) dx=∫ f ( x ) dx +∫ f ( x ) dx . a a c Tõestus Oletame, et c asub lõigul [a ; b] . Jaotame selle lõigu osalõikudeks valides esmaseks jaotuspunktiks c . Seejärel jätkates lõigu [a ;b] jaotamist tekivad lõikudel [a ; c] ja [c ; b] omakorda osalõigud. Integraalsumma kogu lõigu [a ; b] ulatuses on ∑ f ( ξ k ) ∆ x k= ∑ f ( ξ k ) ∆ x k + ∑ f ( ξ k ) ∆ x k . [a ;b ] [a ; c] [c ;b] Kui lõigul [a ; b] suurima osalõigu pikkus λ → 0 , siis mõlemal tekkinud lõigul suurimate osalõikude pikkused lähenevad nullile. Seega, kui mõlemale poole rakendada piirväärtust λ → 0 , saame esialgse väite. Omadus 6.
m mööda joont AB jõu F toimel, mis selle punkti liikumisel muutub nii suuruse kui sihi poolest. F=[X(x,y,z), Y(x,y,z), Z(x,y,z)] Jõu F poolt tehtud töö: W=mʃABXdx+Ydy+Zdz 15. I liiki pindintegraal, selle omadused ja arvutamine, näide Olgu R3 antud pind Ω(pind, kus igas pt-s on võimalik leida puutujatasand ja normaal) Jagame pinna Ω n siledaks osaks Δσ1, Δσ2, … Δσn, kus ΔSi tähistab tüki Δσi pindala. Olgu pinnal antud funktsioon f(P)=f(x,y,z). Moodustame integraalsumma: VALEM, kus PiЄΔσi. Olgu λi osapiirkonna Δσi diameeter. DEF. Kui sellel summal on olemas maxλi→0 korral piirväärtus sõltumata pinna osadeks jaotamise viisist ning pt-de Pi valikust, siis nim seda piirväärtust funktsiooni f esimest liiki pindintegraaliks e pindint. pindala järgi üle Ω ja tähistatakse: ʃʃΩfdS=ʃʃΩf(x,y,z)dS Kui pind asub xy-tasandil, siis I liiki pindintegraal kujutab endast kahekordset integraali. (sama yz- ja xz-tasandi korral).
Gradient du du du Gradiendiks nimetatakse vektorit u= i+ j+ k dx dy dz Kahekordne integraal Funktsiooni f(x,y) kahekordseks integraaliks üle piirkonna D nimetatakse tema integraalsumma piirväärtust, kui suurim osapiirkondade diameeter läheneb nullile, kui see piirväärtus eksisteerib ja ei sõltu piirkonna D osadeks jaotamise viisist ega punktide (xi, yi) valikust Kõversilindri ruumala Kõverjoonelise silindri ruumala on võrdne kahekordse integraaliga funktsioonist f(x,y)>=0 üle piirkonna D, kui silinder on pealt piiratud pinnaga z=f(x,y) ja alt pinnaga D
.., n} . Valime suvaliselt punktid i ei ja moodustame summa n = f ( i )xi , i =1 kus xi = xi - xi -1 . Seda summat nimetatakse funktsiooni f Riemanni integraalsummaks lõigus [a, b] . Olgu osalõikude ei suurim pikkus, s.o. = max xi 1 i n . Definitsioon: Arvu nimetatakse integraalsumma n = f ( i )xi i =1 piirväärtuseks protsessis 0 , kui iga arvu > 0 korral leidub arv > 0 nii, et kehtib võrratus I - < , kui < , sõltumata lõigu [a, b] jaotusviisist ja punktide i valikust, ja kirjutatakse I = lim .
AWP 0 + AWP1 + AWP 2 + ... + 12 AWPn = int AWP . 0 2 15 2. Laeva ujuvus Trapetsreeglil on lisaks lihtsusele ka tabelarvutustes võimalus kasutada nn. ringsummerimist e. noolsummat int . Saadud integraalsumma on kahekordne trapetsreegli funktsioon, mille korrutamisel süvissammuga tuleb rakendada 0,5T saamaks tõese mahulise veeväljasurve . Heaks omaduseks on, et sellist summeerimist tunnustab ka Microsoft Excel. Võrdlusnäide: Olgu väikelaeva T = 0,2 m ning veeliinitasandite 0 ... 5 pindalad 0 1 2 3 4 5 WL 15 23 24 25 26 26 AWP . Arvuta igal WL-l, kui = Tf() f() WL
2 algoritmi järgi: n -1 ( (GZ ) n ) d = 0,0873 (GZ ) n + 2 (GZ ) i 1= 0 Tabel 3.2 DÜNAAMILISE PÜSTUVUSE diagrammi ordinaatide arvutus ° GZst m Integraalsumma int (2) GZdün=(3) 2 39 3. Laeva püstuvus n 1 2 3 4 0 0 0 0 0 1 10 GZ10 GZ10 ...
Jaotades piirkonda D edasi suvalisel viisil, tekivad rajajoont Г läbitakse positiivses suunas. Kui Yx = Xy , siis II liiki joonintegraal punktide P 0 ja P vahel ei sõltu z = x2 – y2 osatuletised 𝜕𝑥 = 2x ja 𝜕𝑦 = 2y võrduvad mõlemad 0-ga punktis P0(0;0), aga nagu veendusime, selles piirkondade D1 ja D2 suvalised jaotused osapiirkondadeks. Integraalsumma ∑𝑛𝑘=1 𝑓(𝑃𝑘 ) ∆𝑠𝑘 jaotame kaheks neid punkte ühendava joone valikust.Tõestus: Kõigepealt näitame, et: ∮Г 𝑋𝑑𝑥 = − ∬𝐷 𝑋𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦. 1. Olgu D
. . . . . . . . . . . . . . . 103 5.2 Integraalide tabel. M¨a¨aramata integraali omadused. . . . . . . . 104 5.3 Asendusv~ote ja ositi integreerimine m¨a¨aramata integraali aval- damisel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 5.4 Ratsionaalfunktsioonide integreerimine. Ratsionaalfunktsiooni in- tegraalile taanduvad integraalid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 5.5 Integraalsumma ja m¨a¨aratud integraal. . . . . . . . . . . . . . . . 118 5.6 M¨a¨ aratud integraali geomeetriline sisu. . . . . . . . . . . . . . . . 120 5.7 M¨a¨ aratud integraali omadused. Integraali keskv¨a¨artusteoreem. . 122 5.8 Muutuva u ¨ lemise rajaga integraal. Newton-Leibnitzi valem. . . . 124 5.9 Asendusv~ote ja ositi integreerimine m¨a¨aratud integraali korral. . 127 5.10 P¨aratud integraalid. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 103 5.2 Integraalide tabel. M¨a¨aramata integraali omadused. . . . . . . . 104 5.3 Asendusv~ote ja ositi integreerimine m¨a¨aramata integraali aval- damisel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 5.4 Ratsionaalfunktsioonide integreerimine. Ratsionaalfunktsiooni in- tegraalile taanduvad integraalid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 5.5 Integraalsumma ja m¨a¨aratud integraal. . . . . . . . . . . . . . . . 118 5.6 M¨a¨aratud integraali geomeetriline sisu. . . . . . . . . . . . . . . . 120 5.7 M¨a¨aratud integraali omadused. Integraali keskv¨a¨artusteoreem. . 122 5.8 Muutuva u ¨lemise rajaga integraal. Newton-Leibnitzi valem. . . . 124 5.9 Asendusv~ote ja ositi integreerimine m¨a¨aratud integraali korral. . 127 5.10 P¨aratud integraalid. . . . . . . . . .
Piirväärtus limx=0 sinx/x=1 (tõestusega). Arv e ja piirväärtus lim(1+1/x)=e 5. Funktsiooni pidevus. Ühepoolsed piirväärtused, Moodustame integraalsumma katkevuspunktid. Teoreemid lõigul pideva funktsiooni Definitsioon Funktsiooni y=f(x) määratud integraaliks lõigul kohta. [a,b] nimetatakse piirväärtust 6. Funktsiooni tuletis ja selle geomeetriline tähendus.
vdu sisaldavad juba m¨a¨aramata konstante. Viies vdu v~orduse teisele poolele saame udv = uv - vdu Saadud avaldis kannab ositi integreerimise valemi nime. Ositi integreerimise valemit kasutades saab avaldada integraale xn sin(ax)dx, xn cos(ax)dx, xneaxdx, (lnx)ndx, kus n on positiivne t¨aisarv ja a on reaalarvuline konstant. Samuti saab seda v~otet kasutades leida integraale arkusfunktsioonidest. 36. Funktsiooni integraalsumma ja määratud integraali mõisted . 37. Töö arvutamine sirgjoonelisel liikumisel muutuvas jõuväljas. Tuletada vastav valem. 38. Määratud integraali geomeetriline sisu: kõvertrapetsi pindala leidmine. Tuletada vastav valem. 39. Määratud integraali omadused (sh omadused 3 6 koos põhjendustega). Integraali keskväärtusteoreem koos tõestusega. 40. Teoreem muutuva ülemise rajaga integraalist koos tõestusega. Newton- Leibnitzi valem . Valemi tõestus. 41
f (x)dx = lim f (k )xk . a 0 k=1 1 Kui l~oigul [a; b] on f (x) 0, siis integraalsummas esinevad korrutised f (k )xk on selliste ristk¨ ulikute pindaladeks, mille alused on xk ja k~orgu- sed f (k ). Selliste ristk¨ ulikute pindalade summa, st integraalsumma sn on ligikaudu v~ordne niisuguse k~overtrapetsi pindalaga, mis alt on piiratud x- teljega, vasakult sirgega x = a, paremalt sirgega x = b ja u ¨lalt funktsiooni y = f (x) graafikuga. Kui vaadelda piirprotsessi 0, siis k~oikide osal~oikude pikkused hak- kavad kahanema ja selleks et osal~oigud kataksid kogu l~oigu [a; b], tuleb v~otta neid osal~oike j¨arjest rohkem. Ristk¨ulikute pindalade summa sn hakkab osal~oiku- de arvu kasvades t¨apsemalt iseloomustama k~overtrapetsi pindala.
9 ja 1.10 põhjal nii ratsionaal- kui ka irratsionaalarve. Seetõttu Mk = 1 ja mk = 0 iga k = 1, . . . , n korral. Järelikult seega S (T) − s (T) = 1 iga T ∈ [0;1] puhul. Teoreemi 11.3 põhjal ei ole funktsioon f integreeruv. Niisiis, leidub selliseid tõkestatud funktsioone, mis ei ole integreeruvad. 49. Tõkestatud funktsiooni Reimanni integraal Selgitada, kuidas moodustatakse funktsiooni Riemanni integraalsumma: Olgu f : [a, b] → R tõkestatud funktsioon ja olgu T [x 0, . . . , xn] lõigu [a, b] mingi alajaotus. Fikseerime iga k = 1, . . . , n korral täiesti suvaliselt punkti ξ k osalõigust [xk−1, xk] ning moodustame funktsiooni f alajaotusele T ning punktide komplektile ξ := {ξ1, . . . , ξn} vastava integraalsumma Kuna siis niisiis, s (T) ≤ σ (T, ξ) ≤ S (T) iga T ∈ T puhul, (11.5) sõltumata sellest, kuidas
annaabi.ee 
