Kolokvium 1 materjal (0)

TTU¨ Matemaatikainstituut http://www.staff.ttu.ee/math/
Ivar Tammeraid http://www.staff.ttu.ee/itammeraid/
¨ US MATEMAATILINE ANALU ¨ I
Elektrooniline ~oppevahend
Tallinn, 2001 Tr¨ ukitud versioon : Ivar Tammeraid, Matemaatiline anal¨ uu ¨ Kirjastus, ¨s I, TTU Tallinn 2001, 227 lk, ISBN 9985-59-289-1
¨ Raamatukogu Viitenumber http://www.lib.ttu.ee TTU ~opikute osakonnas 517/T-15
c Ivar Tammeraid, 2001 Sisukord 0.1. Eess ~ ona K¨aesoleva ~ oppevahendi aluseks on autori poolt viimastel aastatel Tallinna Tehnika¨ ulikoo- lis bakalaureuse ~ oppe u ¨li~ opilastele peetud u ¨he muutuja funktsiooni diferentsiaal - ja inte- graalarvutuse loengud nimetuse "Matemaatiline anal¨ uu¨s I" all. Siiski ei ole tegu pelgalt u ¨hel semestril esitatu kirjapanekuga. Lisatud on paljude v¨aidete t~oestused, mille esi- tamiseks napib loengutel aega. Samuti on tunduvalt mahukam n¨aite¨ ulesannete hulk. ¨ Uhtses kontekstis on lisatud ka keskkoolis-g¨ umnaasiumis matemaatilisest anal¨ uu¨sist esi- ~ tatu. Oppevahend pakub t¨ aiendavaid v~oimalusi u ¨li~opilaste iseseisvaks t¨o¨oks. T~oestuseta esitatud oluliste v¨ aidete korral on antud viide ~opikule, millest huviline v~oib leida kor- rektse t~ oestuse. ~ Oppevahendi eesm¨ argiks on tutvustada lugejat matemaatilise anal¨ uu ¨si p~ohit~odedega u ¨he muutuja funktsiooni korral. Matemaatiline anal¨ uu¨s on matemaatika osa, milles funktsioone ja nende u ¨ldistusi uuritakse piirv ¨a¨artuste meetodil. Piirv¨a¨artuse m~ oiste on tihedalt seotud l~ opmata v¨ aikese suuruse m~oistega. V~oib ka v¨aita, et matemaatiline anal¨ uu¨s uurib funktsioone ja nende u ¨ldistusi l~opmata v¨aikeste meetodil. Nii tehnikas kui ka looduses uuritavate protsesside kirjeldamisel kasutatakse funktsionaalseid seoseid ja nende uurimiseks matemaatilist anal¨ uu ¨si. Antud ~oppevahendis k¨asitletakse klassikalist matemaatilist anal¨ uu¨si, mille p~ohiliseks uurimisobjektiks on funktsioon. Esitatud pi- irv¨a¨artuste meetod on rakendatav ka t¨anap¨aeva matemaatika uurimisobjektide, nagu funktsionaal, operaator jne korral. P~ohilised viited on ~ ~ opikutele [5] ja [10]. Opikut [11] ja ~oppematerjali [13] on m~oistlik kasutada selle kursuse p~ ohit~ ~ odedega tutvumisel. Ingliskeelse ~opikuna sobib [7]. Opikute- ga [7] ja [10] t¨o¨ otamisel on kasulikuks abivahendiks matemaatikas~onaraamat [4] , millest leiate eestikeelsete matemaatiliste terminite t~olked inglise ja vene keelde ja ka vastupidi. Matemaatikaleksikon [3] , mis sisaldab m¨arks~onu nii elementaar - kui ka nn k~orgema matemaatika olulisematest valdkondadest v~oimaldab kiiresti leida matemaatiliste termi- nite l¨uhikesi m¨ a¨ aratlusi. Teoreetilise materjali omandamise h~olbustamiseks, kordamiseks ja kinnistamiseks sobivad teatmikud [2] ja [6] ning metoodiline materjal [9] . Opik ~ [12] on abiks lineaaralgebraga seotud probleemide lahendamisel. Opikust ~ [18] leiate numbrilised meetodid. M~olema peat¨ uki l~ opus on u¨lesanded, mis enamikus on varustatud vastustega , kusju- ures m~ oningatele u ¨lesannetele on lisatud n¨apun¨ aide sobiva lahendusmeetodi valikuks . ¨ Ulesandeid esitatud teooria kohta on v~oimalik leida ka u ¨lesandekogudest [1], [8], [14] ja ~oppevahendist [16] . Matemaatikapaketid MATLAB , MAPLE, MATHCAD , MATH - EMATICA [10] jpt v~ oimaldavad kinnistada selles kursuses omandatut. Oppevahendi ~ koostamisel on kasutatud paketti "Scientific WorkPlace 3.0", l¨ uhendatult SWP. T¨anan dotsente A. L~ ohmust ja F. Vichmanni, kes abistasid autorit paljude kasulike m¨arkustega k¨ asikirja vormistamisel . Autor
5 0.2. Kasutatav s¨ umboolika ~ Oppevahendis esitatavad v¨aited koosnevad lausetest, millest iga kohta v~oib ¨oelda, kas ta on t~ oene (~ oige ) v~ oi v¨ a¨ar. Liigitame need laused liht- ja liitlauseteks. N¨aiteks laused "x X" (x on hulga X element) ja "y Y " on lihtlaused ning lause " (x X) (y Y ) " (x on hulga X element ja y on hulga Y element) ehk l¨ uhidalt "x X y Y " umbolit kasutame selles kontekstis s~ona "ja" ning s¨ on liitlause. S¨ umbolit s~ona "v~oi" asemel. Olgu A ja B kaks lauset. T¨ ahistus
AB (0.2.1)
on l¨uhikirjapilt v¨ aitele "kui lause A on t~oene, siis on t~oene ka lause B". Veel o¨eldakse, et "eelduse A t¨ aidetusest (t~oesusest) j¨areldub v¨aite B t~oesus" v~oi "eeldus A on piisav v¨aite B t~ oesuseks" ehk "tingimusest A j¨areldub (loogiliselt) v¨aide B". V¨aide
(n 6N) (n 3N)
ehk l¨ uhidalt n 6N n 3N, (0.2.2) kus 3N on kolmega (j¨ agita) , ning a¨ , on (0.2.1) t¨ uu ¨pi. aite korral lauseks A lause "n 6N" ja lauseks B vastavalt "n 3N". Seejuures on selle n¨ V¨aidet (0.2.2) tuleb lugeda "kui arv n on kuuega jaguv naturaalarv , siis arv n jagub kolmega". Tingimus "n 6N" on piisav v¨aite "n 3N" t~oesuseks. Samas tingimus "n 6N" ei ole tarvilik v¨ aite "n 3N" t~oesuseks, n¨aiteks "9 / 6N", kuid "9 3N". T¨ahistus AB (0.2.3) on l¨uhikirjapilt v¨aitele "laused A ja B on loogiliselt samav¨ a¨arsed ", st kui lause A on t~oene, siis ka B on t~oene, ja vastupidi, kui lause B on t~oene, siis on t~oene ka A. V¨aidet (0.2.3) v~oib kirja panna ka kujul
(A B) (B A) .
Veel ¨oeldakse v¨ aite (0.2.3) korral, et tingimus A on tarvilik ja piisav v¨aite B t~oesuseks ehk v¨aide B on t~oene parajasti siis (siis ja ainult siis), kui on t~oene v¨aide A. N¨aiteks v¨aide ((n 3N) (n 2N)) (n 6N) ehk l¨ uhidalt n 3N n 2N n 6N (0.2.4) on (0.2.3) t¨ uu¨pi. V¨ aidet (0.2.4) v~ oib lugeda "naturaalarv n jagub kuuega parajasti siis, kui n jagub kolmega ja n jagub kahega" ehk "tingimused n jagub kolmega ja n jagub kahega on tarvilikud ja piisavad naturaalarvu n kuuega jaguvuseks" v~oi "naturaalarv n jagub kuuega siis ja ainult siis, kui n jagub kolmega ja n jagub kahega".
6 S¨umbolit kasutatakse s~ onade "iga" v~oi " suvaline " ehk "mis tahes" asemel. N¨aiteks v¨aites x > 1 x2 > x, st iga u¨hest suurema arvu x korral on x2 suurem kui x, r~ohutatakse, et see j¨areldus kehtib iga x > 1 korral. S¨umbolit kasutatakse s~ ona "eksisteerib" v~oi s~onapaari "on olemas" asemel. N¨aiteks v¨aidet "kui f (x) = x3 +ax2 +bx+c on reaalsete kordajatega kolmandat j¨arku pol¨ unoom, siis tal leidub reaalne nullkoht x1 " saame esitada kujul
a, b, c R f (x) = x3 + ax2 + bx + c x1 R : f (x1 ) = 0. ~ Oppevahendist [17] leiate t¨ aiendavat informatsiooni eeltoodud l¨uhikirjapiltide kasu- tamisv~ oimaluste kohta. S¨ umbolit kasutatakse t~ umbolit n¨aite¨ oestuse l~opu t¨ahisena ja s¨ ulesande lahen- duse l~opu t¨ ahisena. Autori arvates sobib nimetus "teoreem" eriti kaalukate v¨aidete jaoks ja kuna enamus antud ~ oppevahendis esitatud v¨aiteid on lihtsad, siis s~onastatakse nad lausetena (inglise keeles "proposition"). Kui tekstis on viidatud n¨aiteks Lausele 2.12.3, siis see t¨ ahendab viidet teise peat¨ uki kaheteistk ¨ umnenda punkti Lausele 3. Vi- ite korral sama punkti piires ei lisata peat¨ uki ja punkti numbrit. Hulga elementide loetelus v~ oi punkti koordinaatide puhul kasutatakse eraldajana tavaliselt koma , n¨ ja (x, y) . Kui hulga elementideks v~oi punkti koordinaatideks on arvud, siis v¨a¨ararusaamise v¨ altimiseks kasutatakse eraldajana semikoolonit, n¨ ja (3; 4.5) . K¨ umnendmurrus kasutatakse eraldajana punkti. Kasutusel on j¨ argnevad arvuhulga t¨ ­ naturaalarvude hulk; ­ naturaalarvuga k jaguvate naturaalarvude hulk; ­ t¨ aisarvude hulk; ­ ratsionaalarvude hulk; I ­ irratsionaalarvude hulk, s.o l~ opmatute mitteperioodiliste k¨umnendmurdude hulk; R = Q I ­ reaalarvude hulk; R + ­ positiivsete reaalarvude hulk; R- ­ negatiivsete reaalarvude hulk; C = z | z = x + iy x R y R i2 = -1 ­ kompleksarvude hulk; ­ l~ oik; (a, b) Y
funktsiooni f muutumispiirkonnaks. Elementi x nimetatakse funktsiooni f argumendiks ehk s~ oltumatuks muutujaks ja elementi y s~ oltuvaks muutujaks. Kasutatakse ka t¨ahistust y = y(x) r~ohutamaks fakti, et suurus y on suuruse x funkt- argnevalt piirdume juhuga X R ja Y R. Muutuvaks suuruseks nimetatakse sioon . J¨ suurust, mis v~oib omandada mitmesuguseid reaalarvulisi v¨a¨artusi. Nende v¨a¨artuste hulka nimetatakse muutuva suuruse muutumispiirkonnaks. Definitsioon 2. Kui hulga X R igale elemendile x on vastavusse seatud element y hulgast Y R, siis ¨ oeldakse, et hulgal X on m¨a¨aratud (¨ uhene) u ¨he ( reaal -)muutuja (reaalsete v¨a¨ artustega) funktsioon f. Arvupaaride hulka<
nimetatakse funktsiooni f graafikuks. Anal¨ uu¨tiliselt esitatud funktsiooni y = f (x) (x [a, b]) graafiku ligikaudseks skit - seerimiseks koostatakse esiteks funktsiooni tabel x0 x1 ... xi ... xn f (x0 ) f (x1 ) ... f (xi ) ... f (xn )
kus xi = a + ih (i = 0; 1; . . . ; n) ja h = (b - a) /n. J¨argmise sammuna kantakse punk- tid Pi (xi , f (xi )) (i = 0; 1; . . . ; n) xy - tasandile ja u ¨hendatakse seej ¨arel sujuva joonega . Analoogiliselt toimub funktsiooni y = f (x) (x [a, b]) graafiku skitseerimine arvuti abil, kusjuures kasutatakse mingit graafikapaketti. Ka sel korral tuleb m¨a¨arata punk- tide arv, milles arvutatakse funktsiooni f v¨a¨ artus . Saadud punktide u ¨hendamiseks xy - tasandil kasutab pakett seejuures teatud struktuuriga funktsioone, n¨aiteks pol¨ unoome. J¨argnevalt on graafikute skitseerimiseks kasutatud p~ohiliselt paketti SWP, vaid m~onin- gatel erijuhtudel on kasutatud TE X-is kirjutatud programme . M~oiste "funktsioon" asemel kasutatakse ka m~oistet " kujutus ." Hulka f (X) nimeta- takse hulga X kujutiseks kujutamisel funktsiooniga f. Kui anal¨ uu¨tiliselt esitatud funkt- siooni y = f (x) korral ei ole funktsiooni m¨a¨aramispiirkond fikseeritud, siis funktsiooni m¨a¨aramispiirkonnaks X loetakse k~ oigi nende argumendi x v¨a¨artuste hulka, mille korral
8 antud eeskiri y = f (x) omab m~otet. Olgu edaspidi lihtsuse m~ottes Y = f (X). Funktsiooni defineerimisel k~ oneldakse hulga X elemendile hulga Y elemendi vas- tavusse seadmisest, kuid ei fikseerita vastavusse seadmise viisi, mille abil vastavus re- aliseeritakse. Enam levinud funktsiooni esitusviisid on: 1) anal¨uu ¨tiline esitus valemi abil, mis n¨aitab, milliseid tehteid millises j¨arjekorras tuleb teostada argumendi v¨ a¨ artusega, et saada vastavat funktsiooni v¨a¨artust; 2) geomeetriline esitus graafiku abil; 3) numbriline esitus tabeli abil; 4) esitus arvutiprogrammi abil. Definitsioon 3. Kui hulga X igale elemendile on vastavusse seatud v¨ahemalt u ¨ks hulga Y element ja v¨ ahemalt u ¨hele hulga X elemendile on vastavusse seatud mitu elementi hulgast Y, siis ¨ oeldakse, et hulgal X on m¨a¨aratud mitmene funktsioon f. N¨aiteks kahese funktsiooni f korral leidub v¨ahemalt u ¨ks argumendi v¨a¨artus x funkt- siooni m¨ a¨aramispiirkonnast X, millele vastab kaks erinevat funktsiooni v¨a¨artust y1 ja y2 , ning ei leidu argumendi v¨ a¨artust, millele vastab rohkem kui kaks funktsiooni v¨a¨artust. Tavaliselt t~ olgendatakse mitmest funktsiooni u¨heste funktsioonide (mitmese funkt- siooni harude) komplektina. J¨ argnevalt, k~oneldes funktsioonist, eeldame vaikimisi, et tegemist on u¨ hese funktsiooniga. N¨ aide 1. Vaatleme funktsiooni y = x2 , kus X = [-1; 1], mille graafik on kujutatud joonisel
0.8
0.6 y 0.4
0.2
-1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 x 0.8 1 1.2
Leiame, et Y = [0; 1]. Funktsioon y = x2 seab igale arvule l~oigust [-1; 1] vastavusse t¨apselt u ¨he arvu l~ oigust [0; 1]. Seega on vaadeldav funktsioon u ¨ hene . M¨argime, et iga s~oltuva muutuja y v¨a¨ artus pooll~ oigust (0; 1] Y on kahe erineva argumendi v¨a¨artuse x kujutiseks, st kui vaadelda muutujat x muutuja y funktsioonina , saame mitmese funkt- siooni x = x(y). Seejuures x = - y (Y = [0; 1]) ja x = y (Y = [0; 1]) on selle kahese funktsiooni kaks erinevat haru. aide 2. Olgu y = |x| . Et N¨
x, kui x 0 |x| = -x, kui x otet iga x R korral. Seega X = R = (-, +) ja Y = siis antud eeskiri omab m~
9 [0; +) . Funktsiooni y = |x| graafikuks on
4
3 y 2
1
-4 -2 0 2 4 x
Kuna muutuja y iga v¨ a¨ artus vahemikust (0; +) on muutuja x kahe erineva v¨a¨artuse kujutiseks, siis x = x(y) on kahene funktsioon ja x = -y (Y = [0; +)) ning x = y (Y = [0; +)) on selle kahese funktsiooni erinevad harud. Reaalarvu absoluutv¨ a¨artusel on j¨argmised omadused: 1 |a| 0; 2 |-a| = |a| ; 3 |a| a; 4 |a| -a; 5 |a| - |b| |a + b| |a| + |b| ; 6 |a| - |b| |a - b| |a| + |b| ; 7 ||a| - |b|| |a + b| ; 8 ||a| - |b|| |a - b| ; a |a| 9 |ab| = |a| |b| ; 10 = ; b |b| 11 |a| b -b a b (b 0) ; 12 |a| 0) . N¨ aide 3. Vaatleme funktsiooni y = 4 - x2 . Antud eeskiri omab m~otet, kui juuritav on mittenegatiivne: 4 - x2 0. Seega X = [-2; 2]. Leiame, et Y = [0; 2]. Funktsiooni graafikuks on
1.8 1.6 1.4 1.2 y 1 0.8 0.6 0.4 0.2 -2 -1 0 1 x 2
Muutuja y iga v¨ a¨ oigust [0; 2) Y on kahe erineva muutuja x v¨a¨artuse ku- artus pooll~ jutiseks. Vaadeldes muutujat x muutuja y funktsioonina, saame kahese funktsiooni x = x (y) , kusjuures x = - 4 - y 2 (Y = [0; 2]) ja x = 4 - y 2 (Y = [0; 2]) on selle kahese funktsiooni harud. N¨ aide 4. Olgu y = log(1 - x). Antud eeskiri omab m~otet, kui logaritmitav on positiivne: 1 - x > 0, st x 10 graafikuks on
1
0.5 -6 -5 -4 x -3 -2 -1 0
-0.5
y
-1.5
-2
Antud funktsioon on u ¨hene. S~ oltuva muutuja y iga v¨a¨artus l~opmatust vahemikust (-; ) = Y on t¨ ¨he argumendi v¨a¨artuse x X kujutiseks, st kui vaadelda muu- apselt u ¨hese funktsiooni x = 1 - 10y tujat x muutuja y funktsioonina x = x (y) , saame samuti u (Y = (-, +)) . N¨aide 5. Olgu y = arccos x. Et koosinuse v¨a¨artused kuuluvad l~oiku [-1; 1], siis antud eeskiri omab m~ otet, kui x [-1; 1], st X = [-1; 1]. Arkuskoosinuse v¨a¨artused kuuluvad l~ oiku [0; ]. Seega Y = [0; ]. Funktsiooni graafikuks on
3
2.5
2 y 1.5
1
0.5
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 x 1 1.5
S~oltuva muutuja y iga v¨ a¨ artus l~ ¨he argumendi v¨a¨artuse x X oigust [0; ] on t¨apselt u kujutiseks, st kui vaadelda muutujat x muutuja y funktsioonina x = x (y) , saame samuti u ¨hese funktsiooni x = cos y (Y = [0; ]) . N¨ aide 6. Vaatleme Haar 'i funktsiooni (nn Haar'i emalainekest)
0, kui x 0 sign (x) = 0, kui x = 0 , -1 kui x nimetatakse signum-funktsiooniks. Kasutatakse ka t¨ahistust sgn(x). Selle funktsiooni m¨a¨ . Skitseerime funktsiooni y = sign(x) graafiku
1
y 0.5
-4 -2 0 2 4 x
-0.5
-1
Definitsioon 4. Funktsioonide
y = f (x) (x X)
ja z = g(y) (y Y f (X) Y ) liitfunktsiooniks ehk superpositsiooniks nimetatakse funktsiooni z = g(f (x)). Seega f g gf x - y - z x z, kus g f on funktsioonide f ja g liitfunktsiooni t¨ahistuseks. Liitfunktsiooni g f m¨a¨aramispiirkond on X ja v¨ a¨artuste piirkond
Z = g (f (X)) .
Funktsioone f ja g nimetatakse liitfunktsiooni g(f (x)) koostisosadeks. N¨aites 3 esitatud funktsioon on liitfunktsioon
x - 4 - x2 - 4 - x2 ,
samuti N¨ aites 4 esitatud funktsioon
x - 1 - x - log(1 - x). oib koostisosi olla rohkem kui kaks. N¨aiteks funktsioonil cos2 sin x on Liitfunktsioonil v~ koostisosi neli: x sin x sin x cos sin x cos2 sin x.
Definitsioon 5. Funktsiooni f , mille m¨a¨aramispiirkond X on s¨ ummeetriline nullpunkti suhtes, nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui x X : f (-x) = f (x).
13 Definitsioon 6. Funktsiooni f , mille m¨a¨aramispiirkond X on s¨ummeetriline nullpunkti suhtes, nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui x X : f (-x) = -f (x). Et N¨aites 1 esitatud funktsiooni y = x2 m¨a¨aramispiirkond X = [-1; 1] on s¨ ummeetri- line nullpunkti suhtes ja x X : f (-x) = (-x)2 = x2 = f (x), siis on see funktsioon paarisfunktsioon . Ka N¨aidetes 2 ja 3 esitatud funktsioonid on paarisfunktsioonid (kontrollige!). N¨ aites 8 on esitatud paaritu funktsioon. N¨aide 9. Uuurime, kas funktsioon y = log(x + x2 + 1) on paaris- v~oi paaritu funktsioon. Et x R : x + x2 + 1 > 0, siis X = R, st vaadeldava funktsiooni m¨a¨aramispiirkond X on s¨ ummeetriline nullpunkti uhidalt, -X = X), kusjuures suhtes (l¨ , ja (-x + x2 + 1)(-x - x2 + 1) x R : f (-x) = log(-x + (-x)2 + 1) = log = -x - x2 + 1 -1 1 = log = log = log 1 - log x + x2 + 1 = 2 -x - x + 1 x + x2 + 1
= - log(x + x2 + 1) = -f (x). J¨ arelikult on uuritav funktsioon paaritu funktsioon. Skitseerime selle funktsiooni graafiku l~oigul [-10; 10]
1.2 1 0.8 y 0.6 0.4 0.2
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 -0.2 x -0.4 -0.6 -0.8 -1 -1.2
Lause 1. Iga funktsioon f , mille m¨a¨aramispiirkond X on s¨ ummeetriline nullpunkti suhtes, on esitatav kujul f = f1 + f2 , kus f1 on paarisfunktsioon ja f2 on paaritu funktsioon. T~oestus. Olgu def def f1 (x) = (f (x) + f (-x))/2, f2 (x) = (f (x) - f (-x))/2.
Leiame, et x X : f1 (x) + f2 (x) = (f (x) + f (-x))/2 + (f (x) - f (-x))/2 = f (x)
14 ja x X : f1 (-x) = (f (-x) + f (-(-x)))/2 = (f (-x) + f (x))/2 = f1 (x) ning
x X : f2 (x) = (f (-x) - f (-(-x)))/2 = (f (-x) - f (x))/2 = -f2 (x).
N¨aiteks Heaviside'i funktsioon H(x), mis ei ole paaris ega paaritu, on esitatav ku- jul H = f1 + f2 , kus f1 (x) = (H(x) + H(-x))/2, f2 (x) = (H(x) - H(-x))/2 ja funktsioonide f1 , f2 ning H graafikud on vastavalt
1.2 1.2 1.2 1 1 1 0.8 0.8 0.8 y 0.6 y 0.6 y 0.6 0.4 0.4 0.4 0.2 0.2 0.2
-4 -2 0 2x 4 -4 -2 0 2x 4 -4 -2 2 x 4 -0.2 -0.2 -0.2 -0.4 -0.4 -0.4 -0.6 -0.6 -0.6 -0.8 -0.8 -0.8 -1 -1 -1 -1.2 -1.2 -1.2
Definitsioon 7. Funktsiooni f nimetatakse perioodiliseks, kui leidub selline arv T = 0, et iga x X korral ka x ± T X ja f (x + T ) = f (x). V¨ahimat positiivset arvu T , mille korral f (x + T ) = f (x) x X, nimetatakse funktsiooni f (x) perioodiks . N¨aidetes 1-6, 8, 9 esitatud funktsioonid on mitteperioodilised. N¨aite 7 funktsioon [x] on mitteperioodiline ja funktsioon x - [x] perioodiline perioodiga T = 1. N¨aide 10. Uurime funktsiooni y = sin(cx) perioodilisust juhul, kui c on mingi fikseeritud positiivne reaalarv . Et X = R, siis iga x X korral suvalise T jaoks x ± T X. J¨ ab kontrollida, kas leidub selline T , et sin(c(x + T )) = sin(cx) iga x X a¨ korral, st sin(cx + cT ) = sin(cx). J¨arelikult peab
cT = 2k (k Z) T = 2k/c (k Z)
ja v¨ahim positiivne arv, mis rahuldab tingimust sin(cx + cT ) = sin(cx) on T = 2/c. Seega on funktsioon y = sin(cx) perioodiline, kusjuures perioodiks on T = 2/c. Definitsioon 8. Funktsiooni f nimetatakse kasvavaks ehk rangelt kasvavaks pi- irkonnas X, kui iga x1 X ja x2 X korral, mis rahuldavad v~orratust x1 f (x2 ). N¨aidetes 4 ja 5 on esitatud kahanevad funktsioonid.
15 Definitsioon 10. Monotoonseks funktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis kogu oma m¨ a¨ aramispiirkonnas on mittekahanev (monotoonselt kasvav funktsioon) v~oi mit- tekasvav (monotoonselt kahanev funktsioon). N¨aidete 4, 5, 8, 9 funktsioonid ja N¨aite 7 funktsioon [x] on monotoonsed funktsioonid. Definitsioon 11. Rangelt monotoonseks funktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis kogu oma m¨ a¨ aramispiirkonnas on kasvav v~oi kahanev. N¨aidetes 4, 5 ja 9 on antud rangelt monotoonsed funktsioonid. N¨aites 1 esitatud funktsioon y = x2 (x [-1; 1]) ei ole monotoonne , kuid on rangelt kahanev l~oigul [-1; 0] ja rangelt kasvav l~oigul [0; 1]. Definitsioon 12. Funktsiooni f nimetatakse u ¨lalt t~ okestatud (vastavalt alt t~ okestatud ) funktsiooniks hulgal X1 X, kui leidub selline reaalarv M (vastavalt m), et iga x X1 korral kehtib v~ orratus f (x) M (vastavalt m f (x)). Funktsiooni f , mis on nii alt kui ka u¨lalt t~ okestatud hulgal X1 , nimetatakse t~ okestatud funktsiooniks hulgal X1 . Kui funktsioon f on t~ okestatud hulgal X, siis t¨ahistatakse seda l¨uhidalt
f (x) = O (1) (x X) .
Kui funktsioon f on u ¨lalt (alt) t~ okestatud hulgal X, siis t¨ahistatakse seda l¨ uhidalt
f (x) = OR (1) (x X) (f (x) = OL (1) (x X)) .
N¨aidetes 1, 3, 5, 8 esitatud funktsioonid ja N¨aite 7 funktsioon x - [x] on t~okestatud oma m¨a¨aramispiirkonnas ning N¨ aidetes 2, 4, 9 funktsioonid ja N¨aites 7 esitatud funktsioon [x] on t~ okestamata. Definitsioon 13. Funktsiooni y = f (x) (x X) p¨ o¨ordfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni x = f -1 (y) , mis igale arvule y Y = f (X) seab vastavusse arvu x X, kusjuures y = f (x), st f -1 f y - x x - y.
Kui hulgal X m¨ a¨aratud funktsiooni y = f (x) erinevatele argumendi v¨a¨artustele x vastavad funktsiooni erinevad v¨ a¨artused y, siis p¨o¨ordfunktsioon x = f -1 (y) on u ¨hene. Leiame N¨aites 4 esitatud funktsiooni y = log(1 - x) p¨o¨ordfunktsiooni:
y = log(1 - x) 10y = 1 - x x = 1 - 10y f -1 (y) = 1 - 10y . ¨ Definitsioon 14. Oeldakse, et funktsioon y = f (x) (x X) on esitatud v~orrandi F (x, y) = 0 abil ilmutamata kujul, kui
x X : F (x, f (x)) = 0.
Ilmutamata kujul esitatud funktsiooni y = f (x) korral k~oneldakse ka v~orrandi F (x, y) = 0 lahendina hulgal X defineeritud ilmutamata funktsioonist. Ilmutamata funktsioon v~oib olla kas u ¨ nimetatakse v~orrandiga F (x, y) = 0 antud ilmutamata funktsiooni graafikuks.
16 V~orrandiga F (x, y) = 0 esitatud ilmutamata funktsiooni y = f (x) (x [a, b]) graafiku skitseerimisel tuleb esiteks iga xi = a + ih (i = 0; 1; . . . ; n h = (b - a) /n) korral la- hendada v~ orrand F (xi , y) = 0. def Et y = f (x) y - f (x) = 0, siis funktsiooni F (x, y) = y - f (x) korral y = f (x) F (x, y) = 0, st iga (¨ uhest v~oi mitmest) funktsiooni v~oib k¨asitleda ilmu- tamata funktsiooni erijuhuna. N¨ aide 11. Olgu funktsioon y = f (x) esitatud ilmutamata kujul v~orrandi
x2 /9 + y 2 /4 - 1 = 0, (1.1.1)
mis esitab ellipsi, abil. Lahendame selle v~orrandi suuruse y suhtes:
y = ±2 1 - x2 /9 (x [-3; 3]) .
Saame kahese funktsiooni y = f (x), mis on m¨a¨aratud l~oigul [-3; 3]. Kui t¨ahistada
f1 (x) = 2 1 - x2 /9 , f2 (x) = -2 1 - x2 /9,
siis y = f1 (x) (x [-3; 3]) ja y = f2 (x) (x [-3; 3]) on kahese funktsiooni y = f (x) harud, kusjuures 2 2 x [-3; 3] : x2 /9 + (f1 (x)) /4 - 1 = 0 , x2 /9 + (f2 (x)) /4 - 1 = 0.
Tegemist on ellipsi
2
y 1
-3 -2 -1 0 1 2 3 x
-1
-2
u ¨lemist ja alumist poolt m¨ a¨aravate funktsioonidega f1 ja f2 . Definitsioon 15. Funktsionaalse s~oltuvuse y = f (x) (x X) esitust kujul
x = (t) y = (t) (t T ), (1.1.2)
kus (T ) = X ja t T : (t) = f ((t)), nimetatakse funktsiooni f parameetriliseks esituseks ning k~oneldakse parameetriliselt esitatud funktsioonist f.
17 Funktsiooni f parameetrilist esitust (1.1.2) v~oime illustreerida diagrammi abil
x t f y
Esitust (1.1.2) kasutatakse sageli kujul x = (t) (t T ). y = (t) nimetatakse parameetriliselt esitatud funktsiooni graafikuks. Parameetriliselt esitatud funktsiooni x = (t) y = (t) (t [, ]) graafiku skitseerimisel tuleb esiteks koostada tabel t0 t1 ... ti ... tn (t0 ) (t1 ) ... (ti ) ... (tn ) (t0 ) (t1 ) ... (ti ) ... (tn ) kus ti = + ih (i = 0; 1; . . . ; n) ja h = ( - ) /n. J¨argmise sammuna kantakse punktid ((ti ), (ti )) (i = 0; 1; . . . ; n) xy -tasandile ja u ¨hendatakse seej¨arel sujuva joonega. V~orrandeid (1.1.2) nimetatakse joone parameetrilisteks v~orranditeks. Sageli kasu- tatakse parameetrilist esitusviisi punkti liikumise kirjeldamiseks. Funktsiooni esitust kujul y = f (x) (x X) v~oib vaadelda kui parameetrilise esituse erijuhtu , valides parameetriks x, st x = x y = f (x) (x X) ehk x=x (x X). y = f (x) Kui esituses (1.1.2) m¨a¨ arab funktsioon u ¨ks¨ uhese vastavuse hulkade T ja X vahel, st parameetri t erinevatele v¨ a¨artustele vastavad muutuja x erinevad v¨a¨artused, siis -1 def ja funktsiooni parameetriline esitus m¨a¨arab u ¨hese funktsiooni y = f (x), kus f (x) = -1 (x) (x X). Sel juhul x t -1 f = -1 y
18 Kui funktsiooni korral ei ole vastavus hulkade T ja X vahel u ¨ks¨ uhene, siis v¨ahemalt u ¨ks muutuja x v¨ a¨ artus on mitme hulga T elemendi kujutiseks. Kui neile muutuja t v¨a¨artustele vastab v¨ahemalt kaks erinevat funktsiooni y v¨a¨artust, siis on tegemist mitmese funktsiooni parameetrilise esitusega. Seega annab funktsiooni parameetri- line esitus t¨aiendava v~ oimaluse mitmese funktsiooni kirjeldamiseks. N¨aiteks juhtu, kui v¨ahemalt u ¨ks muutuja x v¨ a¨ artus on hulga T kahe erineva elemendi t1 ja t2 kujutiseks funktsiooniga ning elementidele t1 ja t2 vastavad erinevad funktsiooni v¨a¨artused y1 ja y2 , saame kujutada diagrammil
t1 t2 . . y1 y2 x f1 f2
kus f1 ja f2 on mitmese funktsiooni f kaks erinevat haru. Kui (T ) = X ja t T : F ((t), (t)) = 0, siis v¨ahemalt u ¨ks v~ orrandi F (x, y) = 0 abil antud ilmutamata funktsiooni haru on esi- tatav parameetrilisel kujul
x = (t) y = (t) (t T ).
N¨aites 11 seosega (1.1.1) esitatud ilmutamata funktsiooni parameetriliseks esituseks on x = 3 cos t (t [0; 2]), (1.1.3) y = 2 sin t st (t) = 3 cos t ja (t) = 2 sin t. Asendades muutujad x ja y seoste (1.1.3) abil, saame 2 2 t [0; 2] : (3 cos t) /9 + (2 sin t) /4 - 1 = 0.
Seostega (1.1.3) antud funktsiooni graafik langeb kokku ilmutamata funktsiooni (1.1.1) graafikuga. Parameetri v¨a¨ artustele l~oigust [0; ] vastab ilmutamata funktsiooni haru
f1 (x) = 2 1 - x2 /9.
T~oepoolest, ([0; ]) = [-3; 3] ja
t [0; ] : f1 (3 cos t) = 2 1 - (3 cos t)2 /9 = 2 sin2 t = 2 sin t,
st t [0; ] : (t) = f1 ((t)) . Et ([; 2]) = [-3; 3] ja
t [; 2] : f2 (3 cos t) = -2 1 - (3 cos t)2 /9 = -2 sin2 t = 2 sin t,
19 st t [; 2] : (t) = f2 ((t)) ,
siis parameetri v¨ a¨artustele l~ oigust [, 2] vastab ilmutamata funktsiooni haru
f2 (x) = -2 1 - x2 /9.
N¨ aide 12. Olgu ilmutamata funktsioon antud v~orrandi
x2/3 y 2/3 + =1 a2/3 b2/3 abil, kus a = const > 0 ja b = const > 0. Selle funktsiooni graafikut nimetatakse astroidiks. Funktsiooni parameetriliseks esituseks on
x = a cos3 t, (t [0; 2]). y = b sin3 t
Leiame, et 2/3 2/3 a cos3 t b sin3 t t [0; 2] : + = cos2 t + sin2 t = 1. a2/3 b2/3 N¨aidake, et ka sel korral langeb parameetriliselt esitatud funktsiooni graafik kokku il- mutamata funktsiooni graafikuga. Kasutage selleks ilmutamata funktsiooni harusid b 3 f1 (x) = - a2/3 - x2/3 (X = [-a, a]) , a b 3 f2 (x) = a2/3 - x2/3 (X = [-a, a]) . a Skitseerime graafiku juhul kui a = 3 ja b = 2 :
2
y 1
-3 -2 -1 0 1 2 3 x
-1
-2
Punkti asukoha m¨ a¨ aramiseks tasandil on lisaks ristkoordinaatidele teisi v~oimalusi. Vaatleme j¨ argnevalt polaarkoordinaate. Polaarkoordinaadistik on m¨a¨aratud punktiga O, mida nimetatakse pooluseks, sellest v¨aljuva kiirega, mida nimetatakse polaarteljeks,
20 ja pikkus¨ uhikuga. J¨argnevalt on polaarkoordinaadistiku pooluseks valitud ristkoordi- naadistiku alguspunkt ja polaarteljeks x-telg (x, y) r y O x
Definitsioon 16. Punkti (x, y) kohavektori pikkust nimetatakse polaarraadiuseks. Nurka , mille punkti (x, y) kohavektor moodustab x-telje positiivse suunaga, nimetatakse polaarnurgaks, kusjuures vastu kellaosuti liikumise suunda m~o~odetud nurk loetakse posi - tiivseks ja kellaosuti liikumise suunas m~o~odetud nurk negatiivseks. Punktile (x, y) vastav polaarnurk ei ole u ¨heselt m¨a¨aratud. Nimelt sellele nurgale 2k (k Z) lisamisel saadud nurk m¨a¨arab sama punkti (x, y). Punkti (x, y) = (0; 0) polaarkoordinaatide u ¨heseks m¨ aramiseks valime 0 x = cos , y = sin , y = x2 + y 2 , tan = (x = 0). x Funktsiooni y = f (x) (x X) graafikut xy-tasandil k¨ . Seda punktihulka saab m¨a¨arata ka polaarkoordinaatide abil, l¨ahtudes v~ orrandist sin = f ( cos ), mis seob kahte muutujat ja . Olgu nende v¨a¨artuste hulk, mille korral suurus on m¨a¨aratav v~ orrandist sin = f ( cos ). Tulemuseks saame funktsiooni
= g () ( ) ,
joone y = f (x) esituse polaarkoordinaatides. Illustreerime eel¨oeldut diagrammi abil juhul kui x > 0 x = arctan (y/x) f (x, y) g y = x2 + y 2
21 Teisalt saame x = cos g (, ) f y = sin
Polaarkoordinaatides esitatud joone = g () ( [, ]) skitseerimisel tuleb esiteks koostada tabel 0 1 ... i ... n (0 ) (1 ) . . . (i ) . . . (n )
kus i = + ih (i = 0; 1; . . . ; n) ja h = ( - ) /n. J¨argmise sammuna kantakse punk- tid (i , (i )) (i = 0; 1; . . . ; n) tasandile, kusjuures i on punkti polaarnurk ja (i ) polaarraadius. Seej¨ arel u¨hendatakse saadud punktid sujuva joonega. Kui on teada joone y = f (x) (x X) v~orrand polaarkoordinaatides = g () ( ) , siis valides parameetriks polaarnurga , saame selle joone u ¨he v~oimaliku para- meetrilise esituse
x = g () cos y = g () sin ( ) .
aide 13. Skitseerime polaarkoordinaatides esitatud funktsiooni = 1 - cos N¨ ( [0, 2)) graafiku
1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2
-2 -1.8 -1.4 -1 -0.8 -0.4 00.2 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -1.2
Joont = a (1 - cos ) ( [0, 2)) nimetatakse kardioidiks. Selle joone u ¨ heks para- meetriliseks esituseks on
x = a (1 - cos ) cos y = a (1 - cos ) sin ( [0, 2)) .
N¨ aide 14. Skitseerime polaarkoordinaatides esitatud funktsiooni
= ( [0, 2])
22 graafiku
1 -2 2 4 6 0
-1
-2
-4
Joont polaarkoordinaatides esitatud v~orrandiga = a ( [0, +)) nimetatakse Archimedese spiraaliks. Selle joone u ¨heks parameetriliseks esituseks on x = a cos y = a sin ( [0, +)) .
1.2. Elementaarfunktsioonid Alustame k~oige lihtsamatest ja k~oige rohkem uuritud ning rakendustes enim kasu- tatavatest funktsioonidest, st p~ ohilistest elementaarfunktsioonidest . 1. Konstantne3
2 y
1
-4 -2 0 2 4 x
-1
2. Astmefunktsioon y = x (¨ uldjuhul X = R+ Y = R+ ). Juhul = 2n ( n N) saame, et
y = x2n () on paarisfunktsioon ja kui = 2n + 1 (n N), siis y = x2n+1 (X = R Y = R) on paaritu funktsioon. Kui = 1/(2n) (n N), siis saame y = 2n x (). Juhul = 1/(2n + 1) (n N) leiame, et y = 2n+1 x (X = R Y = R)
23 on paaritu funktsioon. aide 2. Skitseerime paketi SWP abil funktsioonide x2 , x3 , N¨ x, 3 x graafikud
2 2 2 2
y y y y 1 1 1 1
-1.4 -1 -0.6 -0.2 0.2 0.6 1 1.2 0 0.2 0.6 1 1.2 0 0.2 -1.4 -1 0 0.2 -0.6 -0.2 0.6 1 1.2 x -1.4 -1 -0.6 -0.2 -1.4 -1 -0.6 -0.2 0.6 1 1.2 x x x
-1 -1 -1 -1
-2 -2 -2 -2
3. Eksponentfunktsioon
y = ax (0 1) X = R Y = R+ .
Eksponentfunktsioon y = ax on rangelt monotoonne hulgal R, kusjuures juhul a > 1 on see funktsioon rangelt kasvav ja juhul 0 3.5 3.5
3 3
2.5 2.5
2 2
1.5 1.5
1 1
0.5 0.5
-2 -1 0 1x 2 -2 -1 0 1x 2
4. Logaritmfunktsioon
y = loga x (0 1) X = R+ Y = R .
Logaritmfunktsioon y = loga x on eksponentfunktsiooni x = ay p¨o¨ordfunktsioon. Loga- ritmfunktsioon y = loga x on rangelt monotoonne hulgal R+ , kusjuures juhul a > 1 on see funktsioon rangelt kasvav ja juhul 0 24 6 6
4 4
2 2
0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 x x -2 -2
-4 -4
-6 -6
5. Trigonomeetrilised funktsioonid
y = sin x, y = cos x (X = R Y = [-1; 1] T = 2)
ja y = tan x (X = (- + k, + k) Y = R T = ) kZ 2 2 ning y = cot x (X = (k, (k + 1)) Y = R T = ). kZ
Antud ~oppevahendis on trigonomeetriliste funktsioonide argumendid antud radiaanides. Tuletame meelde, et u ¨ks radiaan on kesknurk , millele vastava ringjoone kaare pikkus v~ordub selle ringjoone raadiusega. Seega on t¨aisnurga suurus /2 radiaani. N¨aide 5. Skitseerime funktsioonide sin x ja cos x graafikud l~oigul [-2; 2] , kusju- ures sin x graafiku skitseerime peene joonega
1.2 1 0.8 y 0.6 0.4 0.2
-6 -4 -2 0 2 4 6 -0.2 x
-0.4 -0.6 -0.8 -1
N¨ aide 6. Kuidas skitseerida funktsiooni y = sin (x + b) graafikut? Esitame selle funktsiooni kujul y = sin ( (x - a)) , kus a = -b/. L¨ahtume funkt- siooni y = sin x, mille periood on 2, graafikust. J¨argmisena skitseerime funktsiooni y = sin (x) , mille periood on (2) /, graafiku. Kui viimast graafikut nihutada xy-tasandil au ¨ hiku v~orra paremale (kui a > 0), saame funktsiooni y = sin ( (x - a)) graafiku. Kui a 25 1 1 1 0.8 0.8 0.8 0.6 0.6 0.6 0.4 0.4 0.4 0.2 0.2 0.2
-4 -2 0 2 x 4 0 0 -0.2 -4 -2 2 x 4 -4 -2 2 x 4 -0.2 -0.2 -0.4 -0.4 -0.4 -0.6 -0.6 -0.6 -0.8 -0.8 -0.8 -1 -1 -1
N¨ aide 7. Sktitseerime funktsioonide tan x ja cot x graafikud l~oigul [-3/2; 3/2]
4 4
y y 2 2
-4 -2 0 2x 4 -4 -2 0 2x 4
-2 -2
-4 -4
6. Arkusfunktsioonid . Funktsiooni y = sin x (X = R Y = [ - 1; 1]) igale argu - mendi v¨ a¨ artusele x vastab t¨ ¨ks funktsiooni v¨a¨artus y [-1; 1]. Kui fikseerida apselt u u ¨ks siinusfunktsiooni v¨ artus y [-1; 1], siis see v¨a¨artus saavutatakse l~opmata paljude a¨ erinevate argumendi v¨ a¨ artuste x korral. Seda l~opmata mitmest funktsiooni t¨ahistatakse x = Arcsin y. R~ ohutame, et funktsioonidel y = sin x ja x =Arcsin y on u ¨ hine graafik. Kui soovime u ¨ks¨ uhest vastavust, siis valime v¨alja hulga X sellise alamhulga X1 , et vas- tavus muutujate x ja y vahel oleks u ¨ks¨ uhene. Tavaliselt valitakse X1 = [-/2; /2] ja saadakse funktsioon x = arcsin y, mida nimetatakse arkussiinuseks ( t¨apsemini arkussi- inuse peav¨ artuseks). Kui teostada peegeldus x y, siis saadakse funktsioon a¨ y = arcsin x, kusjuures X = [ - 1; 1] Y = [-/2; /2]. M¨argime, et /2 1.57. N¨aide 8. Skitseerime funktsioonide y =Arcsin x ja y = arcsin x graafikud:
8 2 6 y4 y 1 2
-1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 x 0.8 1 1.2 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 x 0.8 1 1.2 -2 -1 -4
-6 -2 -8
26 Analoogselt saadakse funktsiooni y = cos x (X = R Y = [ - 1; 1]) p¨o¨oramisel l~opmata mitmene funktsioon x = Arccos y ja selle u ¨hene haru x = arccos y. Peegelduse x y abil saadakse funktsioon
y = arccos x (X = [ - 1; 1] Y = [0; ]),
mida nimetatakse arkuskoosinuseks ja mille graafik on skitseeritud N¨aites 1.1.5. M¨ar- gime, et funktsioonide x = cos y ja y = Arccos x graafikud u ¨ htivad . Funktsiooni y = tan x (X = (- + k; + k) Y = R) kZ 2 2 p¨o¨oramisel saame l~opmata mitmese funktsiooni x = Arctan y ja selle u ¨hese haru x = arctan y ning viimasest peegelduse x y abil funktsiooni arkustangens
y = arctan x (X = R Y = (-/2; /2)).
M¨argime, et funktsioonide x = tan y ja y = Arctan x graafikud u ¨htivad. Analoogselt j~outakse funktsiooni
y = cot x (X = (k, (k + 1)) Y = R) kZ
p¨o¨oramisel funktsioonini arkuskootangens
y = arccot x ( X = R Y = (0; )).
N~ aide 9. Skitseerime funktsioonide arctan x ja arccot x graafikud, kusjuures arctan x graafiku skitseerime peenema joonega
3
2 y 1
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 x 6 8 10
-1
7. Defineerime h¨ uperboolsed funktsioonid : h¨ uperboolne siinus def sh x = (ex - e-x )/2 (X = R Y = R)
(kasutatakse samuti t¨ ahist sinh x, n¨aiteks paketis SWP), h¨ uperboolne koosinus def ch x = (ex + e-x )/2 (X = R Y = [1; +) )
27 (paketis SWP cosh x), h¨ uperboolne tangens def th x = sh x/ch x (X = R Y = (-1; 1)
(paketis SWP tanh x) ja h¨ uperboolne kootangens def cth x = ch x/sh x (X = R\{0} Y = R\ [-1; 1])
(paketis SWP coth x). N¨aide 10. Skitseerime SWP abil l~oigul [-2.5; 2.5] funktsioonide sh x ja ch x graafikud, kusjuures sh x graafiku esitame peenema joonega,
4
y 2
-2 -1 0 1 2 x
-2
-4
ning funktsioonide th x ja cth x graafikud, kusjuures cth x graafiku peenema joonega
10 8 6 4 2
0 -2 -1 1 2 -2 -4 -6 -8 -10 8. H¨ uperboolsete funktsioonide p¨o¨ordfunktsioone nimetatakse areafunktsioonideks (paketis SWP areafunktsioonid puuduvad). Funktsiooni
y = sh x (X = R Y = R)
p¨o¨ordfunktsiooni nimetatakse areasiinuseks ja t¨ahistatakse
x = arsh y (X = R Y = R).
P¨o¨orame funktsiooni y = sh x. Leiame, et
y = (ex - e-x )/2 e2x - 1 = 2yex e2x - 2yex - 1 = 0
28 ex = y ± y 2 + 1. Et y ex = y + y 2 + 1 x = ln(y + y 2 + 1) arsh y = ln(y + y 2 + 1)
ja arsh x = ln(x + x2 + 1). oltuvus y =ch x (X = R Y = [1; +) ) muutujate x ja y vahel ei ole Funktsionaalne s~ u ¨ks¨ uhene (vt graafikut). P¨ o¨ orame funktsiooni y = ch x. Leiame, et
y = (ex + e-x )/2 e2x + 1 = 2yex e2x - 2yex + 1 = 0
ex = y ± y 2 - 1. Et y > y2 - 1 Y = [1; +) y ± y 2 - 1 > 0,
siis funktsiooni y = ch x p¨oramisel saadakse kahene funktsioon x = ln(y ± y 2 - 1). o¨ 2 Haru ln(y + y - 1) nimetatakse areakoosinuseks ja t¨ahistatakse arch y. Seega
arch y = ln(y + y 2 - 1) arch x = ln(x + x2 - 1).
Funktsiooni y = arch x korral leiame, et X = [1; +) . Funktsiooni y = th x (X = R Y = (-1; 1)) p¨o¨ordfunktsiooni nimetatakse areatan- gensiks ja t¨ ahistatakse x = arth y. P¨o¨orame funktsiooni y = th x. Leiame, et
ex - e-x y = th x y = sh x/ch x y = (ex + e-x )y = ex - e-x ex + e-x 1+y 1 1+y e2x (y - 1) = -y - 1 e2x = x = ln 1-y 2 1-y 1 1+y arth y = ln . 2 1-y J¨arelikult, 1 1+x arth x = ln . 2 1-x Funktsiooni y = arth x korral leiame, et X = (-1; 1) ja Y = R. Funktsiooni y = cth x (X = R\{0}Y = R\[-1; 1]) p¨o¨oramisel saadavat funktsiooni x = arcth y nimetatakse areakootangensiks. P¨o¨orame funktsiooni y = arcth x. Leiame, et ex + e-x y = cth x y = x (ex - e-x )y = ex + e-x e - e-x 1+y 1 y + 1 xy e2x (y - 1) = 1 + y e2x = x = ln y-1 2 y-1
29 xy 1 x+1 y= ln . 2 x-1 J¨arelikult, 1 x+1 ln arcth x = . 2 x-1 Funktsiooni y = arcth x korral leiame, et X = R\ [-1; 1] ja Y = R\{0}. N¨aide 11. Skitseerime SWP abil funktsioonide arsh x ja arch x graafikud vastavalt peene ja j¨ ameda joonega
2
1
-4 -2 0 2 4 x
-1
-2
ning funktsioonide arth x ja arcth x graafikud vastavalt j¨ameda ja peene joonega
4
3
y 2
1
-4 -3 -2 -1 1 x2 3 4 -1
-2
-3
-4 Definitsioon 1. Elementaarfunktsiooniks nimetatakse iga funktsiooni, mida on v~oimalik esitada p~ ohiliste elementaarfunktsioonide kaudu, kasutades l~oplik arv korda aritmeetilisi operatsioone (liitmine, lahutamine, korrutamine, jagamine) ja liitfunkt- siooni moodustamist. Definitsioon 2. Funktsiooni Pn (x) = a0 xn + a1 xn-1 + . . . + an-1 x + an (a0 = 0), kus a0 , a1 , . . . , an-1 , an on konstandid ja n N ning x on muutuja, nimetatakse n-astme pol¨ unoomiks ehk t¨ aisratsionaalseks funktsiooniks. Konstante a0 , a1 , . . . , an nimetatakse pol¨ unoomi kordajateks ja arvu n pol¨ unoomi astmeks. Algebra p~ ohiteoreem. Igal komplekssete kordajatega n-astme pol¨ unoomil Pn (x) on t¨apselt n kompleksset nullkohta ( kordsed nullkohad kaasa arvatud) x1 , x2 , . . . , xn . Lause 1. Kui kompleksarv x1 = + i on reaalsete kordajatega n-astme pol¨ unoomi Pn (x) (n 2) nullkohaks, siis on selle pol¨ unoomi nullkohaks ka arvu x1 kaaskomplek- sarv x1 = - i. Lineaartegurite x - ( + i) ja x - ( - i) korrutis on reaalsete kordajatega ruutpol¨ unoom kujul x2 + px + q, kus p = -2 ja q = 2 + 2 .
30 Definitsioon 3. Ratsionaalfunktsiooniks ehk murdratsionaalseks funktsiooniks nime- tatakse kahe pol¨ unoomi jagatisena esitatavat funktsiooni, st
f (x) = Qm (x)/Pn (x) (m, n N),
kusjuures Qm (x) ja Pn (x) on pol¨ unoomid. Definitsioon 4. Ratsionaalfunktsiooni nimetatakse lihtmurruks, kui m liigmurruks . Definitsioon 5. Murdlineaarseks funktsiooniks nimetatakse funktsiooni kujul a0 x + a1 (b0 = 0) . b0 x + b 1
Definitsioon 6. Algebraliseks funktsiooniks nimetatakse funktsiooni y = f (x), mis rahuldab v~ orrandit
P (x)y n + Q(x)y n-1 + . . . + R(x)y + S(x) = 0 (n N),
kus P (x), Q(x), . . . , R(x) ja S(x) on mingid pol¨ unoomid. Lihtsamateks algebralisteks funktsioonideks on konstantne funktsioon, astmefunkt- sioon x ( Q\{0}) ja pol¨ unoom. Definitsioon 7. Irratsionaalfunktsiooniks nimetatakse algebralist funktsiooni, mis ei ole ratsionaalfunktsioon. Kui Z, siis x on ratsionaalfunktsioon ja kui Q / Z, siis x on irrat- sionaalfunktsioon. Definitsioon 8. Funktsioone, mis ei ole algebralised, nimetatakse transtsendentse- teks funktsioonideks. Transtsendentseteks funktsioonideks on n¨aiteks trigonomeetrilised funktsioonid, ek- sponentfunktsioon ja logaritmfunktsioon.
1.3. Jada piirv¨ a¨ artus Funktsiooni piirv¨ a¨ artuse m~ oiste on matemaatilise anal¨uu ¨si alustala, olles aluseks nii funktsiooni tuletise kui ka integraali defineerimisel. Seega on paljud funktsiooni tuletise ja integraali omadused vahetud j¨areldused funktsiooni piirv¨a¨artuse omadustest. Kuigi enamik neist omadustest on lihtsalt t~oestatavad ka u ¨ldisemal juhul, piirdume neist paljude t~ oestamisega vaid jada korral. J¨argnevad rakendused aitavad avada funktsiooni piirv¨a¨artuse, mis esmatutvumisel tundub olevat liiga keerukas m~oiste, s¨ ugava sisu. J¨are- likult tuleb varuda kannatust! See matemaatiline konstruktsioon on seda v¨a¨art! ~ Oppevahendi kasutajale, kel esialgu puudub soov s¨ uveneda piirv¨a¨artuse m~oiste n¨ uans- sidesse, v~oib punktidega 1.3 ja 1.5 tutvumisel soovitada v~otta neis esitatud v¨aited esialgu t~oestuseta v~oi piirduda m~one lihtsamaga neist t~oestustest. Definitsioon 1. Funktsiooni f (x), mille m¨a¨aramispiirkonnaks on k~oigi naturaalarvude hulk N, nimetatakse jadaks. Suurust xn = f (n) nimetatakse jada u ¨ldliikmeks.
31 Jada t¨ v~oi l¨. N¨, st<.
Suuruse n piiramatul kasvamisel t¨ aheldame, et jada liikmed l¨ ahenevad arvule 1, st eri- nevad kui tahes v¨ ahe arvust 1. Kui me u ¨ritame N¨ aites 1 esitatud probleemi matemaatiselt korrektselt esitada, siis tekib esiteks k¨usimus, kuidas kirjeldada korrektselt "suuruse piiramatut kasvamist" ja "jada liikmete l¨ ahenemist mingile arvule." Teiseks tekib k¨ usimus, kuidas korrektselt siduda neid kaht m~ oistet N¨aites 1 k¨ asitletud probleemi kirjeldamisel. Definitsioon 2. Kui > 0, siis arvu a -¨ umbruseks (epsilon-¨ umbruseks) nimetatakse vahemikku (a- , a + ) ja t¨ ahistatakse l¨uhidalt U (a). Definitsioon 3. Suuruse + M -¨ umbruseks nimetatakse vahemikku (M, +) ja t¨ahistatakse UM (+). Definitsioon 4. Suuruse - M -¨ umbruseks nimetatakse vahemikku (-, M ) ja t¨ahistatakse UM (-). Definitsioon 5. Kui M > 0, siis suuruse M -¨ umbruseks nimetatakse u ¨hendit (-, -M ) (M, +) ja t¨ ahistatakse UM (). NB! S¨umbolit kasutatakse tihti ka suuruse + l¨ (l~ oplikuks) piirv¨ a¨artuseks, kui su- valise positiivse arvu korral leidub selline naturaalarv n0 , mis u ¨ ldjuhul s~oltub arvust , st n0 (), et iga naturaalarvu n, mis on suurem kui n0 , korral on rahuldatud v~orratus |xn - a| lim xn = a n+
v~oi n+ xn - a ehk l¨uhidalt xn a. Definitsioon 7. Kui suvalise M R korral leidub selline n0 N, et iga n N n > n0 korral xn > M, siis ¨ piirv¨a¨artus on + ja t¨ahistatakse lim xn = + n+
ehk l¨ uhidalt xn +.
Analoogiliselt defineeritakse ka xn - ja xn . Kui
xn + xn - xn ,
32 siis k~oneldakse l~ opmatust piirv¨ a¨artusest. Definitsioon 8. Jada, millel on l~oplik piirv¨a¨artus, nimetatakse koonduvaks jadaks. Jada, millel ei ole l~ oplikku piirv¨ a¨artust, nimetatakse hajuvaks jadaks. Seega ka l~opmatut piirv¨a¨ artust omav jada on hajuvxn a ( > 0 n0 = n0 () N : n > n0 |xn - a| ja vastavalt
xn + (M R n0 = n0 (M ) N : n > n0 xn > M ) .
N¨ aide 2. T~ oestame Definitsiooni 6 abil, et N¨ piirv¨a¨artus on arv 1. Olgu > 0 suvaline. Antud n¨ aite korral xn = (n - 1)/n ja a = 1. Uurime Definit- sioonis 6 esinevat tingimust |xn - a| n-1 1 1 -1 Kui valida n0 = [1/], kus [1/] on t¨aisosa arvust 1/, siis n > n0 n > 1/ ja hinnangute ahela (1.3.1) abil saame
n-1 > 0 n0 = n0 () = [1/] N : n > n0 - 1 ohjal (n - 1)/n 1. st Definitsiooni 6 p~ Kasutades u ¨mbruse m~ oistet, v~ oib Definitsioonile 6 anda kuju
xn a ( > 0 n0 = n0 () N : n Un0 (+) xn U (a)) .
L¨ahtudes eelnevalt esitatud funktsiooni t~okestatuse m~oistest, vt Definitsiooni 1.1.12, saame alajuhuna jada t~ okestatuse m~oiste. ¨ on t~ okestatud , kui leidub selline arv M > 0, et |xn | M (n N).
¨ on u ¨lalt t~ okestatud , kui leidub selline reaalarv M, et xn M (n N).
33 Definitsioon 11. ¨ on alt t~ okestatud , kui leidub selline reaalarv m, et xn m (n N).< on t~ okestatud, t¨ahistatakse xn = O(1) (n ) ehk l¨ uhidalt xn = O(1) on u ¨lalt (alt) t~okestatud, siis seda t¨ahistatakse xn = OR (1) (xn = OL (1)) . Vaatleme j¨ argnevalt piirv¨ a¨artuse omadusi. Lause 1. Konstantse jada piirv¨ a¨artuseks on see konstant, st
xn = c xn c.
T~ oestus. L¨ ahtume jada piirv¨ a¨artuse definitsioonist . Et suvalise > 0 korral
|xn - c| = |c - c| = 0 siis ( > 0 n0 N : n > n0 |xn - c| = 0 Lause 2. Jada koonduvusest j¨areldub selle jada t~okestatus, st
xn a xn = O(1).
T~ oestuseks kasutame j¨ argmist v¨aidete ahelat def. xn a ( = 1 n0 N : n > n0 |xn - a| kasutame kolmnurga v~orratust ||xn | - |a|| |xn - a| (n > n0 |xn | - |a| n0 |xn | Lause 3. Kui jada piirv¨a¨ artus a on nullist erinev, siis jada teatud elemendist alates on jada liikme absoluutv¨ a¨artus suurem kui |a| /2, st |a| (xn a) a = 0 n0 N : n > n0 |xn | > . 2 T~ oestuseks esitame v¨ aidete ahela def. |a| |a| xn a = n0 N : n > n0 |xn - a| 34 kasutame kolmnurga v~orratust ||xn | - |a|| |xn - a| |a| n > n0 ||xn | - |a|| |a| |a| n > n0 - n0 n0 |xn | > . 2
Lause 4. Kui jadadxn a yn b xn yn a b.
T~oestame selle lause vastuv¨ aiteliselt, st oletame, et a > b. Valime = (a - b)/2 > 0. Tulemuseks saame
xn a ( = (a - b)/2 > 0 n1 N : n > n1 |xn - a| 0 n2 N : n > n2 |yn - b| |xn - a| n0 |yn - b| n0 (b - a)/2 n0 (3b - a)/2 n0 (a + b)/2 xn a yn a xn zn yn zn a.
T~ oestus. Kui > 0, siis
xn a (n1 = n1 () N : n > n1 |xn - a| n2 |yn - a| 35 (n > n0 |xn - a| n0 - n0 a - n0 a - 0 n0 N : n > koondub ja selle jada piirv¨a¨, kusjuures selle jada piirv¨a¨artuseks on |a| , st
xn a |xn | |a| .
T~ oestus j¨ areldub jada piirv¨ a¨artuse definitsioonist ja kolmnurga v~orratusest:
xn a ( > 0 n0 N : n > n0 |xn - a| ||xn |-|a|||xn -a| ( > 0 n0 N : n > n0 ||xn | - |a|| koondub ja selle jada piirv¨a¨ koondub ja selle jada piirv¨ (c = konst ), kusjuures nende jadade pi- irv¨a¨artusteks on vastavalt ca, a + b, ab ja a/b. T~oestus. Kasutades vastavat eeldust ja jada piirv¨a¨artuse definitsiooni, saame: c=0 xn a (c = konstant)
(( > 0 / |c| > 0) n0 N : n > n0 |xn - a| 0 n0 N : n > n0 |cxn - ca| 0 n0 N : n > n0 (|xn - a| 0 n0 N : n > n0 |xn - a| + |yn - b| 0 n0 N : n > n0 |(xn + yn ) - (a + b)| 36 Et |xn yn - ab| = |(xn yn - ayn ) + (ayn - ab)| |xn yn - ayn | + |ayn - ab| yn b (M >0 |yn |M ) |xn - a| |yn | + |a| |yn - b| M |xn - a| + |a| |yn - b| , siis (xn a) ( yn b) ( > 0 n0 N : n > n0 (|xn - a| 0 n > n0 |xn yn - ab| n1 |yn ||b|/2 |b| |yn | |b| |xn - a| + |a| |yn - b| 2 2 |a| 2 2 = |xn - a| + 2 |yn - b| , |b| |b| b siis (xn a) ( yn b) b = 0 > 0 n2 N : n > n2 (|xn - a| xn a 2 |b| 2 |a| b2 > 0 n0 N : n > koondub ja selle jada piirv¨a¨artuseks on arv a, siis selle ¨ldliige xn on esitatav kujul xn = a + yn , kus yn 0. jada u T~oestus. Valiku yn = xn - a korral saame, et a + yn = a + (xn - a) = xn , kusjuures
lim yn = lim (xn - a) = lim xn - lim a = a - a = 0. n + n n n
Lause 9. Iga u ¨lalt (alt) t~ okestatud monotoonselt kasvav (kahanev) jada on koon- duv, st xn = OR (1) c v~oi xn = OL (1) c.
37 T~ oestust vt [5], lk 102­103. Definitsioon 11. Iga jada, mis saadakse jadast mingi l~opliku v~oi l~opmatu hulga jada elementide v¨ aljaj¨ kaks osajada N¨<
(v~oetakse l¨ ahtejadast vaid paarisarvulise indeksiga liikmed) ja<
(v~oetakse vaid paarituarvulise indeksiga liikmed). Lause 10 ( Bolzano -Weierstrassi teoreem). Igast t~okestatud jadast saab eraldada koonduva osajada, st xn = O(1) c.< on hajuv, kuid m~olemad esitatud N¨ on koonduvad, kusjuures
(2n - 1)/(2n) 1
ja (-2n)/(2n + 1) -1.
Lause 11 (Cauchy kriteerium ) on l~oplik piirv¨a¨artus parajasti siis, kui vastavalt igale positiivsele arvule leidub niisugune naturaalarv n0 , et iga naturaalarvu p puhul |xn+p - xn | kui n > n0 . T~oestust vt [5], lk 108­110. N¨aide 4. Jada (n + 1)2 /2n2 piirv¨a¨artuse arvutamisel t~odeme, et nii murru lugeja kui ka nimetaja l¨ ahenevad l~ opmatusele. K~oneleme, et on tegemist m¨ a¨arama- tusega t¨ uu¨pi "l~ opmatus jagatud l~opmatusega" ja t¨ahistame = v~oi . Selle m¨a¨arama- tuse avamiseks teeme kindlaks selle murru lugejas ja nimetajas oleva pol¨unoomi astme. M~olema pol¨unoomi aste on n2 ning maksimaalne neist astmetest on samuti n2 . Jagame murru lugejat ja nimetajat maksimaalse astmega n2 (murru v¨a¨artus ei muutu!). Peale murru l¨abijagamist l¨ aheneb lugeja u¨hele ja nimetaja kahele. Seda asjaolu t¨ahistame
38 1 l¨ uhidalt = . Seega on m¨ a¨aramatus avatud ning jada piirv¨a¨artuseks on 1/2 : 2
2 1 1+ (n + 1)2 n 1 rakendame lim = lim = = n 2n2 n 2 2 Lauset 7 2 1 lim 1+ n n 1 = = . lim 2 2 n
N¨ aide 5. 3 n2 + n 2 lim = max ;1 = 1 : n1 = n n+1 3
3 1/n + 1/n2 0 nlim 3 1/n + 1/n2 = lim = = 0. n 1 + 1/n 1 lim (1 + 1/n) n
N¨ aide 6. (n + 2)! + (n + 1)! 1 · 2 · 3 · · · (n + 1)(n + 2) + 1 · 2 · 3 · · · (n + 1) lim = lim = n (n + 2)! n 1 · 2 · 3 · · · (n + 1)(n + 2)
1 · 2 · 3 · · · (n + 1)((n + 2) + 1) n+3 1 + 3/n 1 = lim = lim = lim = 1. n 1 · 2 · 3 · · · (n + 1)(n + 2) n n + 2 n 1 + 2/n 1
N¨ aide 7. 1 1 1 + + ··· + 1+ n 1 - q n+1 lim 2 4 2n = ? qk = q=1 = n 1 1 1 ? 1-q 1 + + + ··· + k=0 3 9 3n 1 1 1 1- 1- lim 4 1 - 2n+1 3 n 2n+1 4 = lim = = . n 1 1 1 3 1- 1 - n+1 lim 3 1 - n+1 2 3 n 3
N¨ aide 8. 1 1 1 ? 1 1 1 lim + + ··· + = = - = n 1·2 2·3 n(n + 1) k(k + 1) k k+1
1 1 1 1 1 1 1 1 = lim - + - + - + ··· + - = n 1 2 2 3 3 4 n n+1
39 1 1 = lim - = 1. n 1 n+1
N¨ aide 9. 3n - 1 n 1 - 1/3n 1 lim = [: 3 ] = lim = 1. n 3n + 1 n 1 + 1/3n 1
1.4. Arv e Arv e defineeritakse kui piirv¨ a¨artus n def 1 e = lim 1+ . n+ n<, kus n 1 xn = 1+ . n Leiame, et n n n 1 n xn = 1+ = (a + b) = Cnk an-k bk = Cnk ak bn-k = n k=0 k=0
n k 0 1 k n 1 1 1 1 1 = Cnk 1n-k = Cn0 + Cn1 + . . . + Cnk + . . . + Cnn = n n n n n k=0
n! n(n - 1) · · · (n - k + 1) = Cnk = = , Cn0 = 1 = k!(n - k)! k!
n 1 n(n - 1) · · · (n - k + 1) 1 n(n - 1) · · · 1 1 =1+ · + ... + · k + ... + · n = 1! n k! n n! n 1 1 k-1 1 n-1 1- 1- ··· 1 - 1- ··· 1 - 1 n n n n n 1+ + +. . .+ +. . .+ 1! 2! k! n! 1 1 1 1 1 1 1+ + + ... + + ... + k-1 (k N) 1! 2! k! n! k! u ¨lalt t~ okestatud. V~ordleme liikmeid xn ja xn+1 , st suurusi n k n+1 k 1 1 Cnk 1n-k ja k Cn+1 1n+1-k . n n+1 k=0 k=0
40 Nende summade kaks esimest vastavat liidetavat on v~ordsed. V~ordleme j¨argmisi vas- tavaid liidetavaid k k 1 1 Cnk k ja Cn+1 (k = 2, . . . , n). n n+1 Et 1/n > 1/(n + 1), siis i-1 i-1 1- 0 korral leidub selline arv = (), et
0 T~ oestus. Lause t~ oesus j¨ areldub Definitsioonist 1 ja arvu a -¨ umbruse definitsioonist, vt Definitsiooni 1.3.2, kusjuures
x U (x0 )\{x0 } 0 ja f (U (x0 )\{x0 }) U (a) (0 Lause 1 v¨ aide on l¨ uhidalt kirja pandav kujul
lim f (x) = a ( > 0 = () > 0 : 0 N¨ aide 1. N¨ aitame, l¨ ahtudes vahetult Lausest 1, et
4x3 + 2x lim = 2. (1.5.1) x0 x
Kui kasutada Lause 1 t¨ ahistust, siis f (x) = 4x3 + 2x /x, x0 = 0 ja a = 2. Olgu suvaline positiivne arv. N¨ aitame, et leidub selline = () , mille korral
4x3 + 2x 0 Et 4x3 + 2x 4x3 + 2x - 2x -2 siis valiku = /2 korral
0 st kehtib v¨ aide (1.5.2), millest j¨ areldub Lause 1 p~ohjal ka v¨aide (1.5.1).
42 N¨ aide 2. Uurime Heaviside'i funktsiooni (vt N¨aidet 1.1.6 ) H(x) piirv¨a¨artust punktis x0 = 0. Olgu > 0. Et punkti 0 suvalises u ¨ mbruses leidub nii punkte, milles funktsiooni v¨a¨ artus on 0, kui ka punkte, milles funktsiooni v¨a¨artus on 1, siis 0 0, mille korral
0 J¨arelikult, lim H(x). x0
Vaadates funktsiooni H(x) graafikut, v~oib v¨aita, et l¨ahenedes punktile 0 vasakult, saame tulemuseks 0, ja l¨ahenedes punktile 0 paremalt, saame tulemuseks 1. Defineerime punkti x0 u ¨hepoolsed -¨ umbrused ja funktsiooni f (x) u¨hepoolsed piirv¨ a¨artused . Definitsioon 2. Kui > 0, siis punkti x0 vasakpoolseks -¨ umbruseks nimetatakse vahemikku (x0 - , x0 ) ja t¨ uhidalt U (x0 -). ahistatakse l¨ Definitsioon 3. Kui > 0, siis arvu x0 parempoolseks -¨ umbruseks nimetatakse vahemikku (x0 , x0 + ) ja t¨ahistatakse l¨ uhidalt U (x0 +). Definitsioon 4. Suurust a nimetatakse funktsiooni f (x) vasakpoolseks piirv¨ a¨ ar- tuseks punktis x0 , kui suuruse a suvalise -¨umbruse U (a) korral leidub selline punkti x0 vasakpoolne -¨ umbrus U (x0 -), et f (U (x0 -)) U (a). Asjaolu, et suurus a on funktsiooni f (x) vasakpoolne piirv¨a¨artus punktis x0 , t¨ ahis - tatakse lim f (x) = a xx0 -
v~oi xx0 - f (x) a. Analoogiliselt Lausega 1 saab n¨ aidata, et
lim f (x) = a ( > 0 = () > 0 : 0 Definitsioon 5. Suurust a nimetatakse funktsiooni f (x) parempoolseks piirv¨ a¨ ar- tuseks punktis x0 , kui suuruse a suvalise -¨ umbruse U (a) korral leidub selline suuruse x0 parempoolne -¨ umbrus U (x0 +), et f (U (x0 +)) U (a). Asjaolu, et suurus a on funktsiooni f (x) parempoolne piirv¨a¨artus punktis x0 , t¨ahis- tatakse lim f (x) = a xx0 +
v~oi xx0 + f (x) a. Analoogiliselt Lausega 1 saab n¨ aidata, et
lim f (x) = a ( > 0 = () > 0 : 0 43 N¨aites 2 esitatud Heaviside'i funktsiooni H(x) korral leiame, et
lim H(x) = 0 lim H(x) = 1. x0- x0+
N¨ aide 3. Vaatleme piirv¨ a¨artust 1 lim sin . x0 x Skitseerime funktsiooni sin (1/x) graafiku hulgal (-0.1; 0) (0; 0.1)
1 0.8 0.6 0.4 0.2
-0.1 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 x -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1
Graafikult on n¨ aha, et piirprotsessis x 0 funktsiooni v¨a¨artused ei l¨ahene u ¨helegi suu- rusele, vaid v~onguvad arvude -1 ja +1 vahel. Analoogiliselt N¨aitega 2 v~oib rangelt t~oestada, valides 0 1 0.8 0.6 0.4 0.2
0 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 x 6 8 10 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1
N¨ aidake, et 1 lim sin = 0. x x
Enamik funktsiooni piirv¨ a¨ artuse omadusi on sarnased jada piirv¨a¨artuse omadustega, sest t~oene on j¨ argnev v¨ aide.
44 Lause 2 (vt [5], lk 89­90). Suurus a (mis v~oib olla ka + v~oi - v~oi ) on funkt- siooni f (x) (parempoolne, vasakpoolne) piirv¨a¨artus punktis x0 , mis v~oib olla ka + v~oi - v~ oi , parajasti siis, kui funktsiooni f (x) m¨a¨aramispiirkonnas iga (paremalt, vasakult) punktile x0 l¨ puhul, kus xn = x0 (n N), kehtib seos lim f (xn ) = a. n S~onastame esiteks m~oningad funktsiooni piirv¨a¨artuse omadused. Nende omaduste t~oestused on sarnased jada piirv¨ a¨artuse vastavate omaduste t~oestustega. Lause 3. Konstantse funktsiooni piirv¨a¨artuseks on see konstant, st
f (x) = c lim f (x) = c. xx0
Lause 4. Kui eksisiteerib funktsiooni f (x) piirv¨a¨artus punktis x0 , siis leidub punkti ¨mbrus U (x0 ), et funktsioon f (x) on t~okestatud hulgal U (x0 )\{x0 }, st x0 selline u
lim f (x) U (x0 ) : f (x) = O(1) (x U (x0 )\{x0 }) . xx0
T~ oestus. L¨ ahtume funktsiooni piirv¨a¨artuse definitsioonist. Olgu lim f (x) = a. xx0 Valime = 1. Lause 1 p~ ohjal leidub selline suurus > 0, mis m¨a¨arab punkti x0 korral ¨mbruse U (x0 ) |f (x) - a| |f (x)| Lause 5. Kui funktsiooni piirv¨a¨artus punktis x0 on nullist erinev, siis leidub punkti x0 selline u¨mbrus U (x0 ), et hulgal U (x0 )\{x0 } on funktsiooni f (x) absoluut- v¨a¨artus suurem kui pool funktsiooni piirv¨a¨artuse absoluutv¨a¨artusest, st
|a| lim f (x) = a = 0 U (x0 ): x U (x0 )\{x0 } |f (x)| > . xx0 2
Lause 6. Kui eksisteerivad funktsioonide f (x) ja g(x) piirv¨a¨artused punktis x0 ja ¨mbrus U (x0 ), et hulga U (x0 )\{x0 } igas punktis kehtib v~orratus leidub punkti x0 selline u f (x) g(x), siis samasugust v~ orratust rahuldavad ka nende funktsioonide piirv¨a¨artused, st
lim f (x) = a lim g(x) = b (U (x0 ): f (x) g(x) ( x U (x0 )\{x0 })) xx0 xx0
a b.
Lause 7. Kui funktsioonidel f (x) ja g(x) on punktis x0 sama piirv¨a¨artus a ja leidub ¨mbrus U (x0 ), et hulga U (x0 )\{x0 } igas punktis kehtib v~orratuste punkti x0 selline u
45 f (x) h(x) g(x) ahel, siis funktsiooni h(x) piirv¨a¨artus punktis x0 on samuti a, st
lim f (x) = a lim g(x) = a xx0 xx0 lim h(x) = a. (U (x0 ): x U (x0 )\{x0 } f (x) h(x) g(x) ) xx0
M¨ arkus 1. Lause 7 v¨ aitega sarnane v¨aide kehtib ka u ¨hepoolsete piirv¨a¨artuste korral. N¨ aide 4. T~ oestame, et sin x lim = 1. x0 x Kuna meid huvitab selle funktsiooni k¨aitumine nullpunkti u ¨mbruses ja (sin x) /x on paarisfunktsioon, siis piisab uurida vastavat parempoolset piirv¨a¨artust ning piirduda juhuga 0 E D B x O A C
siis kolmnurga OAB pindala SOAB , ringi sektori OCB pindala SOCB ja kolmnurga OCD pindala SOCD rahuldavad v~orratuste ahelat
SOAB SOCB SOCD . (1.5.3)
Olgu x nurga AOB suurus radiaanides. Et u ¨hikringi esimese veerandi korral
(cos x) · (sin x) x 1 · tan x SOAB = , SOCB = · 12 · , SOCD = , 2 2 2 siis v~orratuste ahel (1.5.3) omandab kuju
(cos x) (sin x) x tan x , 2 2 2 millest saame x 1 cos x . sin x cos x Kuna limx0+ cos x = 1 ja limx0+ 1/ (cos x) = 1, siis viimasest ahelast j¨areldub M¨arkuse 1 p~ ohjal limx0+ x/ (sin x) = 1. M¨argime, et
x sin x lim =1 lim = 1. x0+ sin x x0+ x
46 Seega limx0+ (sin x) /x = 1. Arvestades, et (sin x) /x on paarisfunktsioon, saame limx0- (sin x) /x = 1. J¨ arelikult,
x x sin x lim =1 lim =1 lim = 1. x0+ sin x x0+ sin x x0 x
Skitseerime funktsiooni (sin x) /x graafiku hulgal [-50; 0) (0; 50]
1
0.6
0.4
0.2
-40 -20 0 20 40 x -0.2
Lause 8. Kui funktsiooni f (x) piirv¨a¨artus punktis x0 on a, siis funktsiooni |f (x)| piirv¨a¨artus punktis x0 on |a| , st
lim f (x) = a lim | f (x)| = |a| . xx0 xx0
Lause 9. Kui punktis x0 on funktsiooni f (x} piirv¨a¨artus a ja funktsiooni g(x} piir- v¨a¨artus b ning c on konstant, siis punktis x0 eksisteerivad ka funktsioonide cf (x), f (x)+ g(x) ja f (x)g(x) piirv¨ a¨artused, kusjuures nende funktsioonide piirv¨a¨artusteks on vas- tavalt ca, a+b ja ab. Kui lisaks leidub selline arvu x0 u¨mbrus U (x0 ), et hulga U (x0 )\{x0 } igas punktis on funktsiooni g(x) v¨ a¨artus nullist erinev ja b = 0, siis punktis x0 ek- sisteerib ka funktsiooni f (x)/g(x) piirv¨a¨artus, kusjuures selleks piirv¨a¨artuseks on a/b, st lim f (x) = a lim g(x) = b xx0 xx0 lim (c · f (x)) = c · lim f (x) = c · a, xx0 xx0 lim (f (x) + g(x)) = lim f (x) + lim g(x) = a + b, xx0 xx0 xx0 lim (f (x) · g(x)) = lim f (x) · lim g(x) = a · b, xx0 xx0 xx0 lim g(x)=0 lim f (x) f (x) a xx0 xx0 lim = = . xx0 g(x) lim g(x) b xx0
T~ oestame neist v¨ aidetest teise. Et
lim f (x) = a ( > 0 1 = 1 () > 0 : 0 47 ja
lim g(x) = b ( > 0 2 = 2 () > 0 : 0 ning
|(f (x) + g(x)) - (a + b)| = |(f (x) - a) + (g(x) - b)| |f (x) - a| + |g(x) - b| ,
siis = min (1 , 2 ) korral
( > 0 = () > 0 : 0 lim (f (x) + g(x)) = lim f (x) + lim g(x) = a + b. xx0 xx0 xx0
Lause 10. Kehtivad valemid (vt [5], lk 105­106) x x 1 1 1/x lim 1+ = e, lim 1+ = e, lim (1 + x) = e. x+ x x- x x0
1/x Skitseerime funktsiooni (1 + x) graafiku hulgal (-0.5; 0) (0; 0.5)
3.8 3.6 3.4 3.2 y3 2.8 2.6 2.4 2.2
-0.4 -0.2 2 0 0.2 x 0.4
Tihti tuleb avada 00 , , 0 · , - ja 1 t¨ uu¨pi m¨a¨aramatusi. Nende avamiste tulemused s~ oltuvad konkreetse u ¨ lesande korral uuritava avaldise komponentide nullile v~oi l~opmatusele l¨ahenemise kiirusest. Toome m~ oningad n¨ aited piirv¨ a¨ artuse arvutamise kohta. N¨ aide 5. Uurime piirv¨ a¨ artust x lim . x1 1-x Selle n¨ aite korral l¨ aheneb murru lugeja u¨hele ja nimetaja nullile. Kui muutuja x l¨aheneb u ¨hele vasakult (paremalt), siis murd l¨aheneb pluss ( miinus ) l~opmatusele, st x 1 x 1 lim = + lim = -. x1- 1-x 0 x1+ 1-x 0
48 J¨arelikult funktsiooni x/ (1 - x) absoluutv¨a¨artus l¨aheneb pluss l~opmatusele. Antud as- jaolu t¨ahistame x 1 lim = . x1 1 - x 0
ja u ¨tleme, et selle murru piirv¨ artus on . a¨ N¨aide 6. Leiame piirv¨ a¨ artuse x3 + 3x2 + 2x 0 x(x + 2)(x + 1) lim 2 = lim = x-2 x - x - 6 0 x-2 (x - 3)(x + 2)
aheneb arvule - 2, st x ei v~ordu arvuga - 2, muutuja x l¨ = = st teguriga x + 2 v~ oib lugejat ja nimetajat l¨abi jagada x(x + 1) 2 2 = lim = - . x-2 x - 3 -5 5
N¨ aide 7. Leiame piirv¨ a¨artuse 1 3 - lim - = x1 1 - x 1 - x3
nii esimene kui ka teine murd l¨ahenevad suurusele , = = st tegemist on - t¨ uu ¨pi m¨a¨aramatusega 1 3 1 + x + x2 - 3 = lim - = lim = x1 1 - x (1 - x) (1 + x + x2 ) x1 (1 - x) (1 + x + x2 ) (x + 2) (x - 1) -x - 2 -3 = lim 2 = lim = -1. x1 (1 - x) (1 + x + x ) x1 1 + x + x2 3
N¨ aide 8. Leiame piirv¨ a¨artuse x2 + 1 + x + lim 4 = x+ x3 + x - x -
muutuja x maksimaalne aste nii lugejas kui ka nimetajas on x, j¨ arelikult on muutuja x maksimaalne aste murru jaoks x ja = jagame nii murru lugeja kui kanimetaja l¨abi suurusega x, = 4 x2 + 1 x>0 x3 + x x>0 4 = 1 + 1/x2 ja = 1/x + 1/x3 x x 1 + 1/x2 + 1/x 1 = lim = -1. x+ 4 1/x + 1/x3 -1 -1
N¨ aide 9. Leiame piirv¨ a¨artuse 1 + x2 - 1 0 1 + x2 - 1 1 + x2 + 1 lim = lim = x0 x2 0 x0 x2 1 + x2 + 1
49 1 + x2 - 1 1 1 1 = lim = lim = . x0 x2 1 + x2 + 1 x0 1 + x2 + 1 2 2
aide 10. Olgu m, n N. Leiame piirv¨a¨artuse N¨ m x-1 0 lim = x1 n x - 1 0
m m n n ( m x - 1) xm-1 + xm-2 + . . . + 1 xn-1 + xn-2 + . . . + 1 = lim = x1 n n m m ( n x - 1) xn-1 + xn-2 + . . . + 1 xm-1 + xm-2 + . . . + 1 n n (x - 1) xn-1 + xn-2 + . . . + 1 0 = lim = x1 + ... + 1 0 m-1 mm m-2 (x - 1) x + x n n xn-1 + xn-2 + . . . + 1 n n = lim m m = . x1 xm-1 + xm-2 + . . . + 1 m m
N¨ aide 11. Leiame piirv¨ a¨artuse (-) lim x3 x3 + 1 - x3 - 1 = x+ x3 x3 + 1 - x3 - 1 x3 + 1 + x3 - 1 = lim = x+ x3 + 1 + x3 - 1 x3 x3 + 1 - x3 + 1 2 x3 = lim = lim = x+ x3 + 1 + x3 - 1 x+ x3 + 1 + x3 - 1 Jagame lugejat janimetajat 2 2 = = lim = 1. suurusega x3 x+ 1+ 1/x3 + 1- 1/x3 2
N¨ aide 12. Leiame piirv¨ a¨artuse
tan 2x 0 trigonomeetrilisi funktsioone sisaldava m¨a¨aramatuse 00 lim = sin x = x0 sin 5x 0 avamiseks on meil esialgu vaid u¨ks seos, lim =1 x0 x sin 2x sin 2x 1 2 = lim 2x · 0 = lim · = x0 sin 5x cos 2x 0 x0 sin 5x 5 cos 2x 5x sin x sin 2x sin 5x lim =1 lim = 1 lim =1 , 2 = x0 x x0 2x x0 5x = . 5 lisaks kasutame Lauset 9
50 N¨ aide 13. Leiame piirv¨ a¨artuse 2 1 - cos x 0 2 sin2 (x/2) sin2 (x/2) 1 sin (x/2) 1 lim 2 = lim 2 = lim 2 = lim · = . x0 x 0 x0 x x0 2 (x/2) x0 2 x/2 2
N¨ aide 14. Leiame piirv¨ a¨artuse 1 - sin x 0 lim 2 = [ (y = /2 - x x = /2 - y) (x /2 y 0) ] = x/2 (/2 - x) 0
1 - sin (/2 - y) 0 1 - cos y 0 vaadake 1 = lim = lim = = . y0 y2 0 y0 y2 0 N¨aidet 13 2
N¨ aide 15. Leiame piirv¨ a¨artuse x x x x 1 (1 + x) - 1 1 lim = lim = lim 1- = x 1+x x 1+x x 1+x 1 1 teeme muutujate vahetuse y = - x = -1 - , = 1+x y = kusjuures x y 0 -1 lim (1 + y) -1-1/y -1 -1/y y0 1 = lim (1 + y) = lim (1 + y) (1 + y) = 1/y = . y0 y0 lim (1 + y) e y0
1.6. L~ opmata v¨ aikesed ja l~ opmata suured suurused Definitsioon 1. Muutuvat suurust (funktsiooni) (x) nimetatakse l~ opmata v¨ aike- seks suuruseks piirprotsessis x x0 , kui
lim (x) = 0. xx0
L~opmata v¨ aikest suurust nimetatakse ka h¨ a¨ abuvaks suuruseks. Asjaolu, et (x) on aike suurus piirprotsessis x x0 , t¨ahistatakse ka kujul l~opmata v¨
(x) = o(1) (x x0 ) .
N¨aide 1. Funktsioonid x, x3 , sin x, 1 - cos x, ex - 1 ja ln (1 - x) on piirprotsessis x 0 l~ opmata v¨ aikesed suurused, sest
lim x = 0, lim x3 = 0, lim sin x = 0, lim (1 - cos x) = 0, x0 x0 x0 x0
lim (ex - 1) = 0, lim ln (1 - x) = 0. x0 x0
51 Definitsioon 2. Muutuvat suurust (x) nimetatakse l~ opmata suureks suuruseks piirprotsessis x x0 , kui lim (x) = . xx0 L~opmata suurt suurust nimetatakse ka vohavaks suuruseks. N¨aide 2. Suurused 1/x, 1/x3 , 1/ sin x, 1/ (1 - cos x) , 1/ (ex - 1) ja 1/ ln (1 - x) on piirprotsessis x 0 l~ opmata suured, sest
lim 1/x = , lim 1/x3 = , lim 1/ sin x = , lim 1/ (1 - cos x) = , x0 x0 x0 x0
lim 1/ (ex - 1) = , lim 1/ ln (1 - x) = . x0 x0
M¨ arkus 1. Muutuvate suuruste juures on v¨aga oluline vaadeldav piirprotsess. Nimelt, u ¨hes piirprotsessis v~ oib vaadeldav suurus olla l~opmata v¨aike ja teises piirprot- sessis v~ oib sama suurus olla l~opmata suur ning enamikes piirprotsessides ei u¨ks ega teine. N¨aiteks on suurus x2 piirprotsessis x 0 l~opmata v¨aike ja piirprotsessis x l~opmata suur ning k~ oigis u ¨lej¨ a¨anud piirprotsessides ei ole u ¨ks ega teine. Definitsioonidest 1 ja 2 j¨ arelduvad Laused 1 ja 2. Lause 1. Mingis piirprotsessis l~ opmata v¨aikese suuruse p¨o¨ordv¨a¨artus on samas piir- protsessis l~ opmata suur suurus. Lause 2. Mingis piirprotsessis l~ opmata suure suuruse p¨o¨ordv¨a¨artus on samas piir- protsessis l~ opmata v¨ aike suurus. Lause 3. Kahe samas piirprotsessis l~opmata v¨aikese suuruse summa, vahe ja korrutis on samuti l~opmata v¨ aike suurus selles piirprotsessis. T~ oestus. Kui komponentide piirv¨a¨artused eksisteerivad, siis summa, vahe ja kor- rutise piirv¨ a¨artus on vastavalt piirv¨ a¨artuste summa, piirv¨a¨artuste vahe ja piirv¨a¨artuste korrutis. Seega lause v¨aited kehtivad. Lause 4. L~ opmata v¨ aikese suuruse korrutis t~okestatud suurusega on l~opmata v¨aike suurus. T~oestus. Olgu (x) l~opmata v¨aike suurus piirprotsessis x x0 ja f (x) t~okestatud funktsioon suuruse x0 mingis u ¨mbruses U (x0 ), st
M > 0 : |f (x)| M (x U (x0 )) .
Kui > 0, siis l~ opmata v¨ aikese suuruse definitsiooni p~ohjal leidub selline U (x0 ), et |(x) - 0| > 0 µ > 0 : |(x)f (x)| kusjuures µ, kui suurus x0 on l~oplik, ja µ, kui x0 on l~opmatu. opmata v¨aike piirprotsessis x x0 . J¨arelikult on suurus (x)f (x) l~ Lause 5. Kahe samas piirprotsessis l~opmata suure suuruse korrutis on samuti l~opmata suur suurus selles piirprotsessis.
52 T~oestus. Olgu (x) ja (x) l~ opmata suured suurused piirprotsessis x x0 , st kui tahes suure > 0 korral leiduvad sellised suuruse x0 u ¨mbrused U (x0 ) ja U (x0 ), et
x U (x0 )\{x0 } (x) U () x U (x0 )\{x0 } (x) U () .
opmata suur suurus piirprotsessis x x0 , sest J¨arelikult on suurus (x)(x) l~
> 0 µ > 0 : (x Uµ (x0 )\{x0 } (x)(x) U ()) ,
kusjuures µ, kui suurus x0 on l~oplik, ja µ, kui x0 on l~opmatu.
Definitsioon 3. Kui (x) ja (x) on l~opmata v¨aikesed suurused piirprotsessis x x0 ja lim (x)/(x) = 0, siis ¨oeldakse, et suurus (x) on v~orreldes suurusega (x) xx0 k~ orgemat j¨arku l~ opmata v¨aike suurus selles piirprotsessis. N¨aide 3. Piirprotsessis x 0 on suurused x ja 1-cos x l~opmata v¨aikesed. N¨aitame, et suurus 1 - cos x on v~ orreldes suurusega x k~orgemat j¨arku l~opmata v¨aike suurus selles piirprotsessis
1 - cos x 0 2 sin2 x/2 sin x/2 1· 0 lim = lim = lim · sin x/2 = 0. x0 x 0 x0 x x0 x/2
Definitsioon 4. Kui (x) ja (x) on l ~opmata suured suurused piirprotsessis x x0 ja lim (x)/(x) = , siis ¨ oeldakse, et suurus (x) on v~orreldes suurusega (x) xx0 k~ orgemat j¨arku l~ opmata suur suurus selles piirprotsessis. N¨aide 4. Piirprotsessis x 0 on suurused 1/x ja 1/ (1 - cos x) l~opmata suured. N¨aitame, et suurus 1/ (1 - cos x) on v~orreldes suurusega 1/x k~orgemat j¨arku l~opmata suur suurus selles piirprotsessis 1/ (1 - cos x) 0 x x/2 1 1· lim = lim = lim · = . x0 1/x 0 x0 2 sin2 x/2 x0 sin x/2 sin x/2
Lause 6. Kui suurus (x) on v~orreldes suurusega (x) k~orgemat j¨arku l~opmata v¨aike piirprotsessis x x0 , siis suurus 1/(x) on v~orreldes suurusega 1/(x) k~orgemat j¨arku l~opmata suur selles piirprotsessis. T~ oestage! Definitsioon 5. L~ opmata v¨ aikeseid (suuri) suurusi (x) ja (x) nimetatakse piir- protsessis x x0 ekvivalentseteks l~ opmata v¨aikesteks (suurteks) suurusteks, kui
(x) lim = 1. xx0 (x)
Seda fakti t¨ ahistatakse
(x) (x) (x x0 )
53 ehk xx0 (x) (x).
N¨ aide 5. Et sin x lim =1 x0 x siis sin x x (x 0) .
N¨ aide 6. Et 2 1 - cos x 0 2 sin2 x/2 sin x/2 lim = lim = lim = 1, x0 x2 /2 0 x0 x2 /2 x0 x/2 siis x2 1 - cos x (x 0) . 2
¨ Ulesanne 1. N¨ aidake, et
tan x x (x 0) , ln(1 + x) x (x 0) , ex - 1 x (x 0) .
M¨ arkus 2. Enamik suuruste ekvivalentsusseoseid on esitatud piirprotsessi x 0 korral. Juhul kui x0 = 0, on piirprotsessi x x0 korral otstarbekas kasutada muutujate vahetust y = x - x0 . N¨ aiteks
sin(x - ) x - (x ),
sest sin y y (y 0) , kusjuures y = x - . Lause 7. Kui l~opmata v¨aike suurus (x) on ekvivalentne suurusega 1 (x) piir- protsessis x x0 ja l~ opmata v¨ aike suurus (x) on ekvivalentne suurusega 1 (x) samas piirprotsessis, siis (x) 1 (x) lim = lim , xx0 (x) xx0 1 (x)
st xx xx (x) 1 (x) (x) 0 1 (x) (x) 0 1 (x) lim = lim . xx0 (x) xx0 1 (x)
T~ oestus. Et eelduse p~ ohjal lim ((x)/1 (x)) = 1 ja lim ((x)/1 (x)) = 1, siis xx0 xx0 lause v¨ aide j¨ areldub j¨ argmisest v~ orduste ahelast (x) (x)/1 (x) 1 (x) lim = lim · = xx0 (x) xx0 (x)/1 (x) 1 (x)
54 lim ((x)/1 (x)) xx0 1 (x) 1 (x) = · lim = lim . lim ((x)/1 (x)) xx0 1 (x) xx0 1 (x) xx0
Analoogiline v¨ aide peab paika ka l~opmata suurte suuruste korral. N¨ aide 8. Kasutades Lause 7 v¨ aidet, leiame piirv¨a¨artuse
sin 7x (sin x x (x 0)) (sin 7x 7x (x 0)) lim = = x0 sin 12x (sin x x (x 0)) (sin 12x 12x (x 0)) 7x 7 = lim = . x0 12x 12
M¨ arkus 3. Ekvivalentsete l~ opmata v¨aikeste suuruste vahe on k~orgemat j¨arku l~opmata v¨aike. N¨ aiteks x - sin x x3 /6 (x 0) , kuigi sin x x (x 0) .
Lause 8. Iga piirprotsessis x x0 piirv¨a¨artust omav suurus f (x) on esitatav kujul f (x) = a + (x) (x U (x0 )\) , kus U (x0 ) on suuruse x0 mingi u ¨mbrus, a = lim f (x) ja suurus (x) on l~opmata v¨aike xx0 piirprotsessis x x0 . def T~oestus. Olgu (x) = f (x) - a. Et
lim (x) = lim (f (x) - a) = lim f (x) - lim a = a - a = 0, xx0 xx0 xx0 xx0
siis suurus (x) on l~ opmata v¨ aike piirprotsessis x x0 . Lause 8 annab meile v~ oimaluse t~oestada lihtsamal viisil funktsiooni piirv¨a¨artuse tehetega seotud omadusi. T~ oestame n¨aiteks eelmise punkti lause 9 kolmanda v¨aite, et funktsioonide korrutise piirv¨ a¨artus on tegurite piirv¨a¨artuste korrutis
lim f (x) = a f (x) = a + (x) lim g(x) = b g(x) = b + (x) xx0 xx0
f (x)g(x) = (a + (x)) (b + (x)) = ab + (a(x) + b(x) + (x)(x)) = ab + (x). Et suurused (x) ja (x) on l~opmata v¨aikesed piirprotsessis x x0 , siis Lausete 3 ja 4 p~ohjal on ka suurus (x) = a(x) + b(x) + (x)(x) l~opmata v¨aike selles piirprotsessis. Seega
f (x)g(x) = ab + (x) lim f (x)g(x) = ab = lim f (x) · lim g(x) . xx0 xx0 xx0
55 1.7. Funktsiooni pidevus Esialgne kujutelm pidevast funktsioonist seostub omadusega , et teatud piirkon- nas saab selle funktsiooni graafikut joonestada ilma kirjutusvahendit paberilt t~ostmata. ¨ Uritame j¨ argnevalt anda funktsiooni pidevusele range matemaatilise kirjelduse. Definitsioon 1. Funktsiooni f (x) nimetatakse pidevaks punktis x0 , kui on t¨aidetud kolm tingimust:
1) f (x0 ); 2) lim f (x); xx0 3) lim f (x) = f (x0 ). xx0
uhidalt f (x) C (x0 ) . Fakti, et funktsioon f (x) on pidev punktis x0 , t¨ahistame l¨ M¨arkus 1. Tihti esitatakse funktsiooni f (x) pidevuse tingimusena punktis x0 vaid tingimus 3, mille korral eeldatakse vaikimisi tingimuste 1 ja 2 t¨aidetust, st kui vaadel- dakse suurusi f (x0 ) ja lim f (x), siis eeldatakse nende olemasolu. Et xx0 lim x = x0 , siis xx0
(f (x) C (x0 )) lim f (x) = f lim x . xx0 xx0
N¨aide 1. Uurime funktsiooni f (x) = |x| pidevust punktis x0 = 0. Esiteks, f (0) = |0| = 0. Teiseks, lim f (x) = lim |x| = 0. x0 x0
Et ka Definitsiooni 1 kolmas tingimus on t¨aidetud, siis funktsioon y = |x| on pidev punktis 0. Definitsioon 2. Funktsiooni f (x), mis ei ole pidev punktis x0 , nimetatakse katke- vaks funktsiooniks punktis x0 , kusjuures punkti x0 nimetatakse funktsiooni f (x) katke- vuspunktiks. N¨ aide 2. Uurime funktsiooni f (x) = (sin x) /x pidevust punktis 0. Kuigi
sin x lim , x0 x
aita, et funktsioon (sin x) /x on katkev punktis 0, sest f (0) (ei ole t¨aidetud v~oime v¨ esimene tingimus) ja seega ei saa olla t¨aidetud ka kolmas tingimus. N¨aide 3. Funktsioon (sin x) /x, kui x = 0; f (x) = 1, kui x = 0
aidetud on k~oik kolm esitatud tingimust. on pidev punktis 0, sest t¨
56 Definitsioon 3. Punkti x0 nimetatakse funktsiooni f (x) esimest liiki katkevuspunk- tiks, kui punktis x0 eksisteerivad funktsiooni f (x) u ¨hepoolsed l~oplikud piirv¨a¨artused, st
lim f (x) lim f (x). xx0 - xx0 +
N¨ aide 4. Et Heaviside'i funktsiooni H(x) korral
lim H(x) lim H(x) = 0 lim H(x) = 1, x0 x0- x0+
siis punkt 0 on funktsiooni H(x) esimest liiki katkevuspunkt . Nendime, et H(0) = 1. Seega v~oime r¨ a¨akida funktsiooni H(x) parempoolsest pidevusest punktis 0. Definitsioon 4. Funktsiooni f (x) iga katkevuspunkti, mis ei ole esimest liiki, nimetatakse selle funktsiooni teist liiki katkevuspunktiks. N¨aide 5. Funktsiooni x/ (x + 2) katkevuspunkt x = -2 on teist liiki katkevuspunkt, sest x x lim = + lim = -. x-2- x + 2 x-2+ x + 2
Skitseerime funktsiooni y = x/ (x + 2) graafiku ja sirged v~orranditega y = 1 ning x = -2
8
6
y4
2
-8 -6 -4 -2 0 2 4x 6 8 -2
-4
-6
-8
Definitsioon 5. Suurust x = x - x0 nimetatakse argumendi muuduks ehk argu- mendi kasvuks ja suurust
y = f (x) - f (x0 ) = f (x0 + x) - f (x0 )
nimetatakse argumendi muudule x vastavaks funktsiooni y = f (x) muuduks ehk kasvuks punktis x0 . Lause 1. Funktsioon f (x) on pidev punktis x0 parajasti siis, kui
lim y = 0, x0
st f (x) C(x0 ) lim y = 0. x0
T~ oestus. Funktsiooni pidevuse definitsioonis esinevale kolmandale tingimusele on antav kuju lim (f (x) - f (x0 )) = 0 xx0
57 ehk lim (f (x0 + (x - x0 )) - f (x0 )) = 0 x-x0 0
v~oi lim y = 0. x0
N¨aide 6. Uurime funktsiooni y = x2 pidevust punktis x0 . Kasutame selleks Lauses 1 esitatud tingimust. Et 2 y = f (x0 + x) - f (x0 ) = (x0 + x)2 - x20 = 2x0 x + (x) ,
siis 2 lim y = lim 2x0 x + (x) = 0, x0 x0
st funktsioon x2 on pidev punktis x0 . Et punkt x0 on suvaline reaalarv, siis funktsioon x2 on pidev reaaltelje igas punktis. Lause 2. Funktsioon f (x) on pidev punktis x0 parajasti siis, kui see funktsioon on punkti x0 u ¨mbruses esitatav kujul
f (x) = f (x0 ) + (x),
kus (x) on l~ opmata v¨aike suurus piirprotsessis x x0 . T~ oestus j¨ areldub Lausest 1.6.8, arvestades funktsiooni pidevuse definitsiooni. Lause 3. Kui funktsioonid f1 (x) ja f2 (x) on pidevad punktis x0 ning c1 , c2 R, siis punktis x0 on pidevad ka funktsioonid c1 f1 (x)+ c2 f2 (x) ja f1 (x)f2 (x) ning t¨aiendaval tingimusel f2 (x0 ) = 0 ka funktsioon f1 (x)/f2 (x). T~oestus. Lause 2 p~ohjal on funktsioonid f1 (x) ja f2 (x) punkti x0 u ¨mbruses esi- tatavad kujul f1 (x) = f1 (x0 ) + 1 (x), f2 (x) = f2 (x0 ) + 2 (x), kus 1 (x) ja 2 (x) on l~ aikesed suurused piirprotsessis x x0 . Et opmata v¨
c1 f1 (x) + c2 f2 (x) = c1 (f1 (x0 ) + 1 (x)) + c2 (f2 (x0 ) + 2 (x)) =
= c1 f1 (x0 ) + c2 f2 (x0 ) + c1 1 (x) + c2 2 (x) = c1 f1 (x0 ) + c2 f2 (x0 ) + (x), milles suurus (x) = c1 1 (x) + c2 2 (x) on Lausete 1.6.3 ja 1.6.4 p~ohjal l~opmata v¨aike piirprotsessis x x0 , siis c1 f1 (x) + c2 f2 (x) C(x0 ). Suuruse f1 (x)/f2 (x) jaoks saame esituse
f1 (x) f1 (x0 ) + 1 (x) f1 (x0 ) = = + (x), f2 (x) f2 (x0 ) + 2 (x) f2 (x0 )
kusjuures suurus 1 (x)f2 (x0 ) - 2 (x)f1 (x0 ) (x) = (f2 (x0 ) + 2 (x)) f2 (x0 )
58 kui l~opmata v¨ aikese suuruse ja t~ okestatud suuruse korrutis on l~opmata v¨aike suurus piirprotsessis x x0 . Definitsioon 6. Funktsiooni y = f (x) nimetatakse pidevaks paremalt punktis x0 , kui lim y = 0, x0+
ja pidevaks vasakult punktis x0 , kui
lim y = 0. x0-
Lause 4. Funktsioon y = f (x) on pidev punktis x0 parajasti siis, kui ta on selles punktis pidev nii vasakult kui ka paremalt. T~oestage! Heaviside'i funktsioon H(x) on pidev paremalt punktis 0, kuid katkev selles punktis vasakult. Lause 4 p~ ohjal v~oib v¨ aita, et funktsioon H(x) on katkev punktis 0. ¨ Definitsioon 7. Oeldakse, et funktsioon f (x) on pidev hulgal X R, kui f (x) on pidev hulga X igas punktis. Fakti, et funktsioon f (x) on pidev hulgal X, t¨ahistatakse uhidalt f (x) C(X). l¨ Lause 5. Kui funktsioon g(x) on pidev punktis a ja funktsioon f (u) on pidev punktis g(a), siis liitfunktsioon f [g(x)] on pidev punktis a. T~oestage! Peab paika j¨ argmine v¨ aide. Lause 6. Elementaarfunktsioon on pidev m¨a¨aramispiirkonna sisepunktides. N¨ aide 7. Leiame piirv¨ a¨ artuse
k=0 ln (1 + kx) 0 1/x y = kx x = y/k lim = lim ln (1 + kx) = = x0 x 0 x0 x0y0
k kasutame Lauset 6 logaritm- k/y 1/y = lim ln (1 + y) = lim ln (1 + y) = = y0 y0 funktsiooni korral k kasutame Lauset 6 1/y = ln lim (1 + y) = = y0 astmefunktsiooni korral k 1/y = ln lim (1 + y) = ln ek = k. y0
1.8. Joone as¨ umptoodid Vaatleme funktsiooni piirv¨ a¨artuse m~oiste u ¨ht rakendust geomeetrias. Definitsioon 1. Kui funktsiooni y = f (x) graafiku punkti t~okestamatul eemaldu- misel selle punkti kaugus mingist sirgest l¨aheneb nullile, siis nimetatakse seda sirget antud joone as¨umptoodiks.
59 N¨aide 1. Skitseerime funktsiooni y = x2 - 1 /x graafiku ja v~orranditega y = x ning x = 0 esitatud sirged
4
y 2
-4 -2 0 2 x 4
-2
-4
N¨aeme jooniselt, et kui funktsiooni y = x2 - 1 /x graafiku punkt eemaldub t~okestamatult, siis (x -) (x 0-) (x 0+) (x +) . Juhtudel x - ja x + l¨ aheneb punkt sirgele y = x ning juhtudel x 0- ja x 0+ l¨aheneb punkt sirgele x = 0. J¨arelikult v~oib joonise p~ohjal arvata, et funktsiooni y = x2 - 1 /x graafikul on kaks as¨ umptooti, v~orranditega y = x ja x = 0. Joonel y = f (x) v~ oib olla: 1) p¨ ustas¨umptoot v~orrandiga x = a selle joone teist liiki katkevuspunkti x = a korral; 2) kaldas¨ umptoot v~orrandiga y = kx+b protsessis x - v~oi x +, kusjuures kaugenemisi x - ja x + tuleb uurida eraldi. Joone y = f (x) p¨ustas¨umptootide leidmiseks tuleb leida joone k~oik teist liiki katkevuspunktid ja leida neis funktsiooni u ¨hepoolsed piirv¨a¨artused, kusjuures p¨ ustas¨umptoodiga kaasneb selles punktis v¨ahemalt u¨ks u ¨hepoolne l~opmatu piirv¨a¨artus. Joone y = f (x) kaldas¨ ump- tootide leidmiseks tuleb suurused a ja b m¨a¨arata: juhul x - seosest lim (f (x) - kx - b) = 0, x-
millest saame, et f (x) k = lim b = lim (f (x) - kx) ; x- x x-
juhul x + seosest lim (f (x) - kx - b) = 0, x+
millest saame, et f (x) k = lim b = lim (f (x) - kx) . x+ x x+
Kui uuritaval juhul vaadeldavad piirv¨a¨artused suuruste k ja b leidmiseks eksisteerivad, siis eksisteerib kaldas¨ umptoot, kui ei, siis mitte. N¨ aide 2. Leiame joone x6 + x2 + 6 y= x2 - 1
60 umptoodid. See funktsioon on m¨a¨aratud kogu reaalteljel, v¨alja arvatud x = ±1, as¨ mis on funktsioonile teist liiki katkevuspunktid. Leiame u¨hepoolsed piirv¨a¨artused neis punktides: x6 + x2 + 6 8 x6 + x2 + 6 8 lim 2 = +, lim = -, x-1- x -1 +0 x-1+ x2 - 1 -0
x6 + x2 + 6 8 x6 + x2 + 6 8 lim = -, lim = +. x1- x2 - 1 -0 x1+ x2 - 1 +0
Seega on uuritava joone p¨ umptootide v~orrandeiks x = -1 ja x = 1. Uurime esiteks ustas¨ umptoodi olemasolu protsessis x -. Saame, et kaldas¨ x6 + x2 + 6 jagame selle murru lugejat ja nimetajat k = lim = x- x (x2 - 1) (negatiivse!) suurusega x3 - 1 + x-4 + 6x-6 -1 = lim = -1 x- 1 - x-2 1
ja x6 + x2 + 6 x6 + x2 + 6 + x3 - x - b = lim +x = lim = x- x2 - 1 x- x2 - 1
2 x6 + x2 + 6 - x3 - x = lim = x- (x2 - 1) x6 + x2 + 6 - x3 + x
-2x4 + 6 = lim = x- (x2 - 1) x6 + x2 + 6 - x3 + x
-2x-1 + 6x-5 0 = lim = 0. x- (1 - x-2 ) - 1 + x-4 + 6x-6 - 1 + x-2 -2
J¨arelikult on juhul x - kaldas¨ umptoodi v~orrandiks y = -x. Analoogiliselt saab n¨aidata, et juhul x + on kaldas¨ umptoodi v~orrandiks y = x. Skitseerime l~oigul [-8; 8] funktsiooni y = x6 + x2 + 6/ x2 - 1 ja tema as¨umptootide graafikud:
8
6
y 4
2
-8 -6 -4 -2 2 x4 6 8 -2
-4
-6
-8
61 1.9. L~ oigul pidevate funktsioonide omadused Vaatleme j¨argnevalt l~ ¨ oigul [a, b] pideva funktsiooni f (x) omadusi. Oeldakse, et funktsioon on pidev l~ oigul [a, b] , kui ta on pidev vahemikus (a, b) ja punktis a on pidev paremalt ja punktis b pidev vasakult. Lause 1. L~ oigul pidev funktsioon on t~okestatud sellel l~oigul. T~ oestus. Olgu f (x) C[a, b]. Eeldame v¨aitevastaselt, et funktsioon f (x) on t~okestamata sellel l~ oigul, st suvalise n N korral leidub selline xn [a, b], et n |f (xn )|, kusjuures f (xn ). Seega, lim xnk = c [a, b]. Kasu- k+ tades funktsiooni pidevust l~ oigul [a, b], leiame, et lim f (xnk ) = f (c), kusjuures suurus k+ n k f (c) on l~ oplik. Teisalt j¨ areldub tingimusest f (xn ) tingimus f (xnk ) . Oleme saanud vastuolu, mis oli tingitud v¨aitevastasest eeldusest. Seega on l~oigul pidev funktsioon t~okestatud sellel l~oigul. M¨ arkus 1. L~ oplikus vahemikus pidev funktsioon ei ole u ¨ldjuhul t~okestatud selles vahemikus. N¨ aiteks funktsioon f (x) = 1/x on pidev vahemikus (0; 1), kuid ei ole t~okestatud selles vahemikus. T~ oesti, M > 1 korral on vahemiku (0; 1/M ) igas punktis funktsiooni f (x) v¨ a¨ artus suurem kui M. Definitsioon 1. Hulga X R v¨ ahimat u ¨lemist t~oket nimetatakse hulga X u ¨lemiseks rajaks ehk supreemumiks. Hulga X u ¨lemist raja t¨ahistatakse sup X ehk supxX x. Definitsioon 2. Hulga X R suurimat alumist t~oket nimetatakse hulga X alu- miseks rajaks ehk infiimumiks. Hulga X alumist raja t¨ahistatakse inf X ehk inf xX x. N¨. Leiame sup X ja inf X. Hulga X u ¨lemiseks t~ okkeks on suvaline M R, mis rahuldab seost M 1. Selliste t~okete hulgas on t~oke 1 v¨ahim. SeegaHulga X alumiseks t~okkeks on suvaline m R, mis rahuldab seost m 0. Selliste t~okete hulgas on t~ oke 0 suurim. SeegaNendime, et selle n¨ aite korral
sup X X inf X / X.
Hulga X R u ¨ lemise raja m~ oiste (alumise raja m~oiste) on hulga X maksimaalse elemendi max X m~ oiste (minimaalse elemendi min X m~oiste) u¨ldistus, nimelt
sup X X sup X = max X (inf X X inf X = min X)
ja sup X / X max X inf X / X min X .
62 Kehtib "pidevuse aksioomiks" nimetatav v¨aide. Lause 2 (vt [5], lk 16­18). Igal u ¨lalt t~okestatud reaalarvude hulgal on olemas u ¨ lemine raja ja igal alt t~ okestatud reaalarvude hulgal on olemas alumine raja. Definitsioon 3. Funktsiooni maksimaalset ja minimaalset v¨a¨artust hulgal nimeta- takse u ¨he nimega ekstremaalseteks v¨ a¨ artusteks sel hulgal. Lause 3. L~ oigul pideval funktsioonil on olemas ekstremaalsed v¨a¨artused sellel l~oigul. oestus. Olgu f (x) C[a, b]. Lause 1 p~ohjal on funktsioon f (x) t~okestatud sel T~ l~oigul, st funktsiooni v¨x[a,b] on t~okestatud. Lause 2 p~ohjal on a¨ olemas u ¨lemine raja M = sup f (x). x[a,b]
aitevastaselt, et iga x [a, b] korral f (x) = M. Vaatleme funktsiooni Oletame v¨ 1 g(x) = . M - f (x) Nendime, et g(x) > 0 (x [a, b]) ja g(x) C[a, b], sest
1 C[a, b] M - f (x) C[a, b] M - f (x) = 0 (x [a, b]).
Et g(x) > 0 (x [a, b]) ja Lause 1 p~ohjal on funktsioon g(x) t~okestatud sel l~oigul, siis leidub selline konstant K > 0, et l~ oigu [a, b] iga punkti x korral 1 1 1 K M - f (x) f (x) M - , M - f (x) K K st, et oleme saanud funktsiooni v¨ a¨x[a,b] v¨aiksema u ¨lemise t~okke M - 1/K, kui on seda u ¨lemine raja M = sup f (x). See on vastuolu, mis on tingitud x[a,b] v¨aitevastasest oletusest. Analoogiliselt t~oestatakse lause v¨aite teine pool, kasutades abifunktsiooni 1 g(x) = , f (x) - m kusjuures m = inf f (x). T~ oestage! x[a,b] Esitame l¨uhidalt m~oningad tulemused, mis leiavad edaspidi kasutamist. Lause 4 (vt [5], lk 129­130). L~oigul pidev funktsioon omab iga v¨a¨artust, mis paikneb ekstremaalsete v¨a¨artuste vahel. Lause 5 (vt [5], lk 132­133). L~ oigul [a, b] pideva ja rangelt monotoonse funktsiooni f (x) p¨o¨ ordfunktsioon on pidev l~oigul otspunktidega f (a) ja f (b). Definitsioon 4. Funktsiooni f (x) nimetatakse u ¨ htlaselt pidevaks hulgal X R, kui
> 0 = () > 0 : x1 , x2 X |x1 - x2 | Lause 6 (vt [5], lk 136­137). L~ oigul pidev funktsioon on u ¨htlaselt pidev sel l~oigul.
63 1.10. Funktsiooni tuletis Vaatleme funktsiooni y = f (x) muutu
y = f (x + x) - f (x), def mis vastab argumendi muudule x kohal x. Et y = f (x), siis f = y. Definitsioon 1. Funktsiooni y = f (x) tuletiseks kohal x nimetatakse funktsiooni y = f (x) muudu y ja argumendi muudu x suhte piirv¨a¨artust, kui argumendi muut l¨aheneb nullile. Funktsiooni y = f (x) tuletist kohal x t¨ahistatakse f (x), st def y f (x) = lim . x0 x
Kasutatakse ka t¨ ahistusi df (x) d dy = f (x) = =y. dx dx dx Geomeetriliselt v~ oib funktsiooni f (x) tuletist punktis x interpreteerida kui selle funkt- siooni graafikule punktis (x, f (x)) konstrueeritud puutuja (l~oikaja piirseisu) t~ousunurga tangensit. Kui funktsiooni muudu ja argumendi muudu suhte piirv¨a¨artus on l~opmatu, siis k~oneldakse l~ opmatust tuletisest. Kui funktsioonil f (x) on l~opmatu tuletis punktis x, siis funktsiooni graafikule punktis (x, f (x)) t~ommatav puutuja on paralleelne y-teljega. Definitsioon 2. Kui funktsioonil f (x) on tuletis punktis x, siis ¨oeldakse, et funkt- sioon on diferentseeruv punktis x. Fakti, et funktsioonil f (x) eksisteerib tuletis punktis x0 , t¨ahistame l¨ uhidalt f (x) D(x0 ), st f (x0 ) f (x) D(x0 ). Fakti, et funktsioonil f (x) eksisteerib tuletis hulga X R igas punktis, t¨ahistame f (x) D(X). N¨ aiteks, funktsiooni f (x) diferentseeruvust vahemikus (a, b) t¨ahistame f (x) D ((a, b)) ehk l¨ uhidalt f (x) D(a, b). N¨aide 1. Leiame funktsiooni y = xn (n N) tuletise n k n n Cnk xn-k (x) - xn y (x + x) - x 0 n (x ) = lim = lim = lim k=0 = x0 x x0 x 0 x0 x 2 n xn + Cn1 xn-1 x + Cn2 xn-2 (x) + . . . + Cnn (x) - xn = lim = x0 x 2 n-1 n Cn1 xn-1 x + Cn2 xn-2 (x) + . . . + Cnn-1 x (x) + Cnn (x) = lim = x0 x n-2 n-1 = lim Cn1 xn-1 + Cn2 xn-2 (x) + . . . + Cnn-1 x (x) + Cnn (x) = nxn-1 . x0 Seega (xn ) = nxn-1 (n N) ,
64 kusjuures xn D(R) (n N) . N¨ aidake, et saadud tuletise leidmise eeskiri peab paika juhul -n N. N¨ aide 2. Leiame funktsiooni y = n x (n N) tuletise punktis x = 0. Saame n y n x + x - n x 0 x = lim = lim = x0 x x0 x 0
n n n-1 n n-2 n x + x - n x (x + x) + (x + x) x + ... + xn-1 = lim = x0 n n-1 n n-2 n x (x + x) + (x + x) x + ... + xn-1
(x + x) - x = lim = x0 n n-1 n n-2 n x (x + x) + (x + x) x + ... + xn-1
1 = n . n xn-1 Seega 1 1 1 -1 xn = xn (n N) , n 1 kusjuures x n D(R+ ) (n N) . N¨ aide 3. Leiame funktsiooni y = sin x tuletise
y sin (x + x) - sin x 0 (sin x) = lim = lim = x0 x x0 x 0
2 sin ((x) /2) cos (x + (x) /2) sin((x)/2)(x)/2 = lim = x0 x
2 ((x) /2) cos (x + (x) /2) = lim = lim cos (x + (x) /2) = cos x. x0 x x0
Seega (sin x) = cos x, kusjuures sin x D(R). N¨aide 4. Uurime funktsiooni y = |x| tuletise olemasolu punktis 0. Et
|0 + x| - |0| |x| lim = lim , x0 x x0 x
siis funktsiooni y = |x| tuletist punktis 0 ei eksisteeri, sest
|x| |x| lim = -1 lim = 1. x0- x x0+ x
65