Matemaatiline analüüs I (0)

Matemaatiline anal¨ uu¨s I
Jaan Janno ii Sisukord
1 Funktsioonid ja nendega seotud m~ oisted 1 1.1 Reaalarvud ja Arvtelg . Absoluutv¨a¨artuse m~ oiste . Reaalarvudest koosnevad hulgad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 J¨a¨ avad ja muutuvad suurused. Funktsiooni m~oiste ja esitusviisid. 3 1.3 Funktsioonide liigid. Konstantne funktsioon. Astme-, eksponent - ja trigonomeetrilised funktsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 P¨o¨ ordfunktsiooni m~oiste. Logaritmfunktsioon . Arkusfunktsioonid . 8 1.5 Tehted funktsioonidega. Elementaarfunktsioon . Pol¨ unoom ja ratsionaalfunktsioon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.6 Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid. Parameetrilisel kujul an- tud jooned ja funktsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.7 H¨uperboolsed trigonomeetrilised funktsioonid. . . . . . . . . . . . 22
2 Piirv ¨a¨ artus ja pidevus 27 2.1 Muutuva suuruse piirprotsessid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2 Jada piirv¨a¨artus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3 L~opmatult kahanevad , l~opmatult kasvavad ja t~okestatud suurused. 30 2.4 Funktsiooni piirv¨a¨ artus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.5 Funktsiooni u ¨hepoolsed piirv¨a¨artused. . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.6 Funktsiooni piirv¨a¨ artuste omadused. . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.7 L~opmatult kahanevad, kasvavad ja t~okestatud suurused kui funk - tsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.8 L~opmatult kahanevate ja l~opmatult kasvavate suuruste v~ordlemine. 43 2.9 Funktsiooni pidevus. Katkevuspunktide liigitus. . . . . . . . . . . 45 ¨ 2.10 Uhepoolne pidevus. Pidevus hulkadel . Elementaarfunktsioonide pidevus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.11 L~oigul pidevate funktsioonide omadusi. . . . . . . . . . . . . . . . 52
3 Tuletis ja diferentsiaal 57 3.1 Tuletise, diferentseeruva funktsiooni ja diferentsiaali m~oisted. . . 57 3.2 N¨aiteid tuletiste kohta rakendustes. . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.3 Tuletiste arvutamise p~ohireeglid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.4 Ilmutamata funktsiooni, p¨o¨ordfunktsiooni ja parameetrilise funk- tsiooni diferentseerimine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
iii 3.5 Joone puutuja ja normaalsirge. Diferentseeruvuse geomeetriline sisu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.6 Diferentsiaal kui funktsiooni muudu peaosa . Diferentsiaali ge- omeetriline sisu ja omadused. Funktsiooni lineaarne l¨ahend. . . . 69 3.7 N¨aiteid diferentsiaali ja lineaarse l¨ahenduse kasutamise kohta prak- tilistes arvutustes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.8 Funktsiooni lokaalsed ekstreemumid . Fermat ' lemma . . . . . . . 74 3.9 Keskv¨a¨ artusteoreemid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.10 l' Hospitali reegel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 3.11 K~orgemat j¨arku tuletised ja diferentsiaalid . . . . . . . . . . . . . 80 3.12 Taylori ja McLaurini pol¨ unoomid. . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4 Tuletise rakendused funktsiooni uurimisel 87 4.1 Funktsiooni kasvamine ja kahanemine. . . . . . . . . . . . . . . . 87 4.2 Lokaalsete ekstreemumite tarvilikud ja piisavad tingimused. . . . 88 4.3 Funktsiooni suurima ja v¨ahima v¨a¨artuse leidmine l~oigul. . . . . . 92 4.4 Joone kumerus , n~ogusus ja k¨a¨anupunktid. . . . . . . . . . . . . . 92 4.5 Joone as¨ umptoodid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5 Integraalid 103 5.1 Algfunktsioon ja m¨a¨aramata integraal . . . . . . . . . . . . . . . . 103 5.2 Integraalide tabel. M¨a¨aramata integraali omadused. . . . . . . . 104 5.3 Asendusv~ote ja ositi integreerimine m¨a¨aramata integraali aval- damisel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 5.4 Ratsionaalfunktsioonide integreerimine. Ratsionaalfunktsiooni in- tegraalile taanduvad integraalid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 5.5 Integraalsumma ja m¨a¨aratud integraal. . . . . . . . . . . . . . . . 118 5.6 M¨a¨ aratud integraali geomeetriline sisu. . . . . . . . . . . . . . . . 120 5.7 M¨a¨ aratud integraali omadused. Integraali keskv¨a¨artusteoreem. . 122 5.8 Muutuva u ¨ lemise rajaga integraal. Newton - Leibnitzi valem. . . . 124 5.9 Asendusv~ote ja ositi integreerimine m¨a¨aratud integraali korral. . 127 5.10 P¨aratud integraalid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 5.11 M¨a¨aratud integraali rakendusi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
iv Peat¨ ukk 1
Funktsioonid ja nendega seotud m~ oisted
1.1 Reaalarvud ja Arvtelg. Absoluutv¨ a¨ artuse m~ oiste. Reaalarvudest koosnevad hulgad. Enne arvu m~oiste k¨asitlemist toome sisse m~oned hulkadega seotud t¨ahised. Hulk (tavalises m~ottes) koosneb elementidest (e hulga liikmetest), kusjuures elemendid ei kordu ja nende j¨arjestus ei ole kindlaks m¨a¨aratud. Hulga t¨ahistami- seks eraldame vaadeldavad elemendid komadega ja piiritleme hulga loogeliste sulgudega . N¨ on elementidest 0, 7 ja 5 koosnev hulk. Hulk v~oib olla antud ka keerulisemal kujul. N¨ on hulk, mille ele- mendid on arvutatavad valemiga x2 , kusjuures x v~oib omandada v¨a¨. Peale tavaliste hulkade kasutame edaspidi ka j¨arjestatud hulki. J¨ arjestatud hulk koosneb samuti elementidest, kuid selles hulgas on iga kahe elemendi koh- ta on v~oimalik ¨oelda, kumb neist on eelnev, kumb j¨argnev. Tavalise hulga ja j¨arjestatud hulga eristamiseks lepime kokku, et viimase t¨ahistamisel kasutame loogeliste sulgude asemel u ¨marsulgi. Peale selle lubame j¨arjestatud hulga ele- mentidel ka korduda. N¨aiteks (-1, 1, -1, 1, . . .) on j¨arjestatud hulk, milles -1-le j¨argneb 1, sellele omakorda -1 jne.< ja t¨. T¨aisarvude baasil defineerime ratsionaalarvud. Ratsionaalarvuks nimetatakse kahe t¨aisarvu p ja q jagatist p/q, kusjuures q = 0. Ratsionaalarvude hulga t¨ ahis on Q. Seega, l¨. Iga ratsionaalarvu saab esitada kas l~opliku v~oi l~opmatu perioodilise k¨umnendmurruna. L~opmatuid mitteperioodilisi k¨ umnendmurde nimetatakse irratsionaalarvudeks. Irratsionaalarvude hulga t¨ahis on I. Uks ¨ ja sama arv ei saa olla samaaegselt nii
1 ratsionaal - kui ka irratsionaalarav. Seet~ottu ei oma ratsionaalarvude ja irrat- sionaalaarvude hulgad u ¨ hisosa , st Q I = . Ratsionaalarvud ja irratsionaalarvud kokku moodustavad reaalarvude hulga. Reaalarvude hulga t¨ahis on R. Seega R = Q I.
Arvtelje m~ oiste. Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on valitud nullpunkt , pikkus¨ uhik ja positiivne suund. Kasutades neid kolme parameetrit, saab arvtelje punktidele seada vastavusse reaalarvud. T~oepoolest, nullpunktist u ¨he u¨ hiku v~ orra positiivses suunas paikneb punkt, mis vastab arvule 1, poole u ¨hiku v~orra negatiivses suunas paikneb punkt, mis vastab arvule -1/2 jne. V~oib v¨aita, et igale arvtelje punktile vastab u ¨ks ja ainult u¨ks reaalarv ja vastupidi: igale reaalarvule vastab u ¨ks ja ainult u ¨ ¨ks arvtelje punkt. Oeldu p~ohjal saab reaalarvud samastada sirge (arvelje) punktidega. Olgu tasandil antud kaks arvtelge , mis on ristuvad oma nullpunktides. Need moodustavad tasandil nn koordinaatteljestiku. Tasandi punkti ristkoordinaatideks nimetatakse selle punkti ristprojektsioone koordinaatttelgedele. Igale tasandi punktile vastab u ¨ks ja ainult u¨ks ristkoordinaatidest moodustatud arvupaar ja vastupidi: igale arvupaarile vastab u ¨ks ja ainult u ¨ks tasandi punkt. Matemaatikas t¨ ahistatakse tavaliselt u ¨hel ristuvatest koordinaattelgedest olevat olevat arvu x-ga ja teisel koordinaatteljel oleval arvu y-ga. Sel juhul on tegemist xy- teljestikuga ja me saame r¨a¨akiga tasandil asuva punkti x- ja y-koordinaatidest.
Absoluutv¨ a¨ artuse m~ oiste. Reaalarvu a absoluutv¨a¨artuseks nimetatakse j¨
nimetatakse funktsiooni f v¨a¨artuste hulgaks.
Mitmeseks funktsiooniks nimetatakse kujutist, mis seab suuruse x igale v¨ a¨ artusele tema muutumispiirkonnast vastavusse teatud hulga suuruse y v¨a¨artusi, kusjuures leidub v¨ahemalt u ¨ks x v¨a¨artus, millele vastab mitu y v¨a¨artust. Ar- gumendi, s~oltuva muutuja, m¨a¨aramispiirkonna ja v¨a¨artuste hulga m~oisted on mitmese funktsiooni korral analoogilised vastavate m~oistetega u ¨ hese funktsiooni korral.
NB! K¨aesolevas konspektis t¨ahendab m~oiste "funktsioon" ilma t¨aiendita " mitmene " alati u ¨hest funktsiooni.
Funktsiooni esitusviisid. 1. Esitusviis tabeli kujul. Funktsiooni argumendi v~oimalikud v¨a¨artused esi- tatakse tabeli u¨hes reas (veerus) ja neil vastavad funktsiooni v¨a¨artused tabeli teises reas (veerus). On v~oimalik vaid siis, kui funktsiooni argu - mendil on l~oplik arv v¨a¨artusi. 2. Anal¨ uu¨tiline esitusviis. Funktsioon esitatakse valemi kujul. Kui vaja, lisa- takse ka m¨a¨aramispiirkonna kirjeldus. N¨aiteks avaldis
y = x2 , x [0, 1]
4 kirjeldab funktsiooni, mille m¨a¨aramispiirkonnaks on l~oik [0, 1] ja iga x kor- ral sellelt l~oigult arvutatakse argumendile x vastavad funktsiooni v¨a¨artused f (x) vastavalt valemile f (x) = x2 . Anal¨ uu ¨tiliselt antud funktsiooni loomulikuks m¨a¨aramispiirkonnaks nimeta- takse argumendi k~oigi nende v¨a¨artuste hulka mille korral funktsiooni avaldis on t¨aielikult m¨a¨ ¨laltoodud funktsioon y = x2 , x [0, 1] ei aratud. N¨aiteks u ole antud oma loomulikus m¨a¨aramispiirkonnas. Selle funktsiooni loomulik m¨ aramispiirkond on X = R. a¨ 3. Graafiline esitusviis. Funktsioon esitatakse graafikuna tasandil ristkoordi- naadistikus. Olgu antud funktsioon f , mille argument on x, s~oltuv muu- tuja y ja m¨a¨ aramispiirkond X. Kanname tasandile ristuvad x- ja y-teljed. Vaatleme selles teljestikus joont G, mis koosneb k~oikv~oimalikest punk - tidest P = (x, f (x)), kusjuures P esimene koordinaat x jookseb l¨abi kogu m¨a¨ aramispiirkonna X. Seda joont nimetataksegi funtsiooni f graafikuks. Seega, l¨ uhidalt kirjutades on funktsiooni f graafiku definitsioon j¨ . Graafiku punkti P teist koordinaati f (x) v~oib t~olgendada P "k~orgusena" x- telje suhtes. Kui f (x) > 0, siis on graafiku "k~ orgus " positiivne, st graafik paikneb u ¨lalpool x-telge. Kui aga f (x) teljest allapoole (vt joonis 1.1). yy y = f (x)
P1·
f (x1 ) > 0 x2 G x1 x
f (x2 ) · P2
Joonis 1.1 Kuna xy-teljestikus antud punkti u ¨ldkuju on P = (x, y), funktsiooni f graafik koosneb aga punktidest P = (x, f (x)), siis rahuldavad graafiku punktid v~orrandit y = f (x). Suvaline y- teljega paralleelne sirge saab funktsiooni graafikut l~oigata mak- simaalselt u ¨hes punktis. See omadus tuleneb otseselt funktsiooni u ¨hesusest.
5 T~oepoolest: kui leiduks y-teljega paralleelne sirge, mis l~oikaks graafikut mitmes punktis, siis oleks funktsiooni graafikul vaadeldavas kohas mitu "k~orgust", seega oleks ka funktsioonil u ¨he argumendi korral mitu v¨a¨artust. ¨ (Uhesel) funktsioonil ei saa aga mitut v¨a¨artust olla. Juhul, kui vaadeldav funktsioon on mitmene, siis eksisteerib v¨ahemalt u ¨ks y-teljega paralleleelne sirge, mis l~oikab funktsiooni graafikut mitmes punktis.
1.3 Funktsioonide liigid. Konstantne funktsioon. Astme-, eksponent- ja trigonomeetrilised funkt- sioonid . Paaris- ja paaritud funktsioonid. Funktsiooni f nimetatakse paarisfunkt- siooniks, kui iga x X korral kehtib v~ ordus f (-x) = f (x). Funktsiooni f nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui iga x X korral kehtib v~ordus f (-x) = -f (x).
Perioodilised funktsioonid. Funktsiooni f nimetatakse perioodiliseks, kui leidub konstant C > 0 nii, et iga x X korral kehtib v~ordus f (x + C) = f (x). V¨aikseimat sellist konstanti C nimetatakse funktsiooni f perioodiks .
Kasvavad ja kahanevad funktsioonid. Olgu D funktsiooni f m¨a¨aramispiir- konna alamhulk. Valime hulgast D kaks suvalist arvu x1 ja x2 nii, et kehtib v~ orratus x 1 f (x1 ) > f (x2 ),
siis on f kahanev hulgas D. Kasvamispiirkonnas funktsiooni graafik t~ouseb, kahanemispiirkonnas aga langeb.
Konstantne funktsioon. Astme- ja eksponent- ja trigonomeetrilised funktsioonid. K¨aesolevas alamparagrahvis alustame p~ohiliste elementaarfunkt- sioonide loetlemist ja omaduste kirjeldamist. Konstantne funktsioon y = C. Ilmselt selle funktsiooni korral<.
Graafik on selline:
6 y
C
x Joonis 1.2: konstantne funktsioon y = C
Astmefunktsioon on funktsioon j¨argmisel kujul
y = xa , kus a on nullist erinev konstantne astendaja. Selle funktsiooni m¨a¨aramispiirkond, v¨a¨artuste hulk ja graafik s~oltuvad oluliselt astmest a. M¨ a¨aramispiirkond on j¨ argmine. a) a = p/q, kus p, q Z ja q on paaritu. Selle juhu alla kuuluvad n¨ aiteks k~ oik t¨ aisarvuliste astendajatega funktsioonid: y = x, y = x2 , y = x-1 , y = x-2 jne, sest a Z on esitatav kujul a = a/1. Samuti h~ olmab see juht paarituid juuri: y = x1/3 , y = x1/5 , y = x-1/3 , y = x-1/5 jne. Paneme t¨ ahele, et kui a > 0, siis on k~oik need funktsioonid suvalise reaalaravu x korral m¨ a¨aratud. Kui a 0, siis X = R ja kui nullpunkt, sest nulliga jagamine ei ole v~ a 0, siis on taolised funktsioonid x 0 korral m¨ a¨ aratud. Kui a 0, siis X = [0, ) ja kui a Eksponentfunktsioon on funktsioon j¨argmisel kujul:
y = ax ,
kus astme alus a on konstantne ja rahuldab v~orratust a > 0. Lisaks sellele v~orratusele eeldame veel, et a = 1, sest a = 1 korral saame konstantse funkt- siooni y = 1x = 1. Eksponentfunktsiooni korral
X = R ja Y = (0, ).
Graafik on juhtudel a > 1 ja 0 kvalitatiivselt erinev (vt joonised 1.4 ja 1.5 tagapool). Nagu graafikutelt n¨ahtub, on funktsioon y = ax kasvav kogu oma m¨a¨ aramispiirkonnas, kui a > 1 ja kahanev kogu oma m¨a¨aramispiirkonnas, kui 0 y = sin x, y = cos x, y = tan x ja y = cot x
radiaanides antud argumendiga x.
7 Funktsioon cos on defineeritud kui x-telje suhtes nurga all paikneva tasandilise vektori x-koordinaadi suhe tema pikkusesse, ja sin kui taolise vektori y-koordinaadi suhe tema pikkusesse. Kraadides antud nurga teisendamisel radiaanidesse kehtib seos 180 kraadi = radiaani. Funktsioonid sin ja cos on l~oigult [0, 2] j¨ atkatud perioodiliselt kogu sin 1 arveljele. Funktsioonid tan ja cot on defineeritud valemitega tan = cos ja cot = tan . Trigonometriliste funktsioonide m¨a¨aramispiirkonnad ja v¨a¨artuste hulgad on j¨ argmised:< (2k + 1) y = tan x : X =R\ || k Z , Y = R , 2 y = cot x : X = R \, Y = R .
Graafikud leiab lugeja joonistelt 1.8 - 1.11 tagapool. Funktsioonid y = sin x ja y = cos x on perioodilised perioodiga 2 ning y = tan x ja y = cot x perioodiga . Funktsioonid y = sin x, y = tan x ja y = cot x on paaritud ning y = cos x paaris.
1.4 P¨ o¨ordfunktsiooni m~ oiste. Logaritmfunktsioon. Arkusfunktsioonid. ¨ uhese funktsiooni m~ Uks¨ oiste. Olgu antud funktsioon y = f (x). Vas- tavalt funktsiooni definitsioonile on tegemist kujutisega, mis seab igale argu- mendi x v¨ a¨ artusele oma m¨a¨aramispiirkonnast vastavusse u ¨he kindla y v¨a¨artuse. Vaatleme n¨ uu¨d teatud kitsamat erijuhtu . Nimelt eeldame, et ka argument x funktsiooni v¨a¨ artuse f (x) kaudu u ¨heselt m¨a¨aratud. See t¨ahendab, et iga y kor- ral hulgast Y leidub ainult u ¨ks x nii, et valitud y on selle x-i kujutiseks. Kui see on nii, siis ¨oeldakse, et funktsioon f on u ¨ks¨ ¨ uhese funktsiooni korral uhene. Uks¨ on v~orrand y = f (x) muutuja x suhtes u ¨heselt lahenduv. N¨aiteks kuupfunktsioon y = x3 on u ¨ks¨uhene. Iga y korral leidub ainult u ¨ks x nii, et valitud y on selle x-i kuup . Arv 8 on ainult u ¨he arvu (so 2) kuup, arv -27 on ainult u ¨he arvu (so -3) kuup jne. Lahendades v~orrandi y = x3 muutuja x suhtes saame argumendi x esituse y kaudu: x = 3 y. Seevastu ruutfunktsioon y = x2 ei ole u ¨ ks¨ uhene. Iga y > 0 korral leidub kaks x-i nii, et valitud y on m~olema x-i ruut. Arv 4 nii -2 kui 2 ruut. V~orrandi y = x2 lahendamisel saame kaks funktsiooni x = y ja x = - y ehk u ¨he mitmese funktsiooni x = ± y. Funktsiooni u ¨ks¨uhesust saab kindlaks teha ka graafiku abil. Kui suvaline x-teljega paralleelne sirge l¨abib funktsiooni graafikut maksimaalselt u ¨hes punk- tis, siis on see funktsioon u uhene. Nii on see n¨aiteks kuupfunktsiooni y = x3 ¨ ks¨ graafikuga. Seevastu ruutfunktsiooni y = x2 graafikut ( parabooli ) l¨abib x- teljega paralleelne ja selle telje peal asuv sirge kahes punktis. Nagu n¨agime, ei ole viimasel juhul tegemist u ¨ks¨uhese funktsiooniga.
8 ¨ uhese funktsiooni p¨ Uks¨ o¨ ordfunktsioon. Uks¨ ¨ uhese funktsiooni y = f (x) p¨o¨ordfunktsiooniks nimetatakse kujutist, mis seab igale f (x)-le funktsiooni f v¨a¨artuste hulgast vastavusse x-i. P¨o¨ordfunktsiooni avaldise saame, kui lahen- dame v~orrandi y = f (x) muutuja x suhtes. P¨o¨ordfunktsioonis funktsiooni argu- ment ja s~oltuv muutuja vahetavad oma kohad. See t¨ahendab, et kui funktsiooni f argumendiks on x ja s~oltuvaks muutujaks y, siis funktsiooni f p¨o¨ordfunktsiooni argumendiks on y ja s~oltuvaks muutujaks x. Samuti vahetavad p¨o¨ordfunktsioonis kohad esialgse funktsiooni m¨a¨ aramispiirkond ja v¨a¨artuste hulk. Olgu x = g(y) u¨ ks¨ uhese funktsiooni y = f (x) p¨o¨ordfunktsioon. Siis funkt- sioonid f ja g kompenseerivad teineteist j¨argmises m~ottes. Fikseerime mingi x v¨a¨artuse ja arvutame f (x). Seej ¨arel arvutame g[f (x)], st funktsioon g kohal f (x). Tulemusena saame esialgse x v¨a¨artuse tagasi. Samuti arvutades antud y kaudu f [g(y)] saame y v¨a¨artuse tagasi. Need seosed saab kirjutada kujul
g[f (x)] = x , f [g(y)] = y . (1.2)
Kui g of funktsiooni f p¨o¨ordfunktsiooni, siis f on g p¨o¨ordfunktsioon. Funktsiooni y = f (x) ja tema p¨o¨ordfunktsiooni x = g(y) graafikud kattuvad xy-teljestikus. See on nii sellep ¨arast, et funktsioonid y = f (x) ja x = g(y) m¨a¨aravad u¨ hed ja samad arvupaarid (x, y), seega ka u ¨hed ja samad punktid P = (x, y) tasandil. Erinevus neis kahes funktsioonis seisneb ainult selles, et f seab x-le vastavusse y-i, kuid g seab y-le vastavusse x-i.
yy y = f (x) x = g(y) y = g(x) G x Joonis 1.3
Kui aga p¨o¨ordfunktsiooni x = g(y) avaldises muutujate x ja y kohad va- hetada, st esitada ta kujul y = g(x), siis selle funktsiooni graafik peegeldub u ¨le sirge y = x. Seega on funktsioonide y = f (x) ja y = g(x) graafikud s¨ ummeetrilised sirge y = x suhtes (joonis 1.3).
9 Logaritmfunktsioon. Arkusfunktsioonid. J¨atkame eelmises paragrahvis alustatud p~ohiliste elementaarfunktsioonide loetelu m~onede oluliste p¨o¨ordfunkt- sioonidega. Logaritmfunktsioon. Suvaline x-teljega paralleelne sirge l¨abib eksponentfunktsiooni y = ax graafikut maksimaalselt u¨hes punktis (vt joonised 1.4, 1.5). Seega on eksponentfunktsioon u ¨ks¨uhene ning tal on olemas p¨o¨ordfunktsioon. Eksponentfunktsiooni y = ax p¨ o¨ordfunktsioon on logaritmfunktsioon x = loga y , kus a on logaritmi alus. Nii nagu eksponentfunktsiooni korral eeldame, et a > 0 ja a = 1. Vastavalt valemitele (1.2) kehtivad seosed loga [ax ] = x ja aloga y = y. Kuna p¨o¨ ordfunktsiooni v~otmisel m¨a¨aramispiirkond ja v¨a¨artuste hulk va- hetavad oma kohad, siis l¨ahtudes eksponentfunktsioonist (vt §1.3) n¨aeme, et funktsiooni y = loga x m¨a¨aramispiikond ja v¨a¨artuste hulk on vastavalt X = (0, ) ja Y = R. Graafik on juhtudel a > 1 ja 0 peegeldus sirge y = x suhtes. Arkusfunktsioonid. Trigonomeetriliste funktsioonide p¨o¨ordfunktsioonid on nn. arkusfunktsioonid. Peamine probleem trigonomeetriliste funktsioonide p¨o¨oramisel on see, et nad ei ole terves oma m¨a¨ aramispiirkonnas u ¨ ks¨ uhesed. T~oepoolest, vaadeldes trigono- meetriliste funktsioonide graafikuid joonistel 1.8 - 1.11 n¨aeme, et x-teljega pa- ralleelsed sirged v~oivad neid graafikuid l~oigata paljudes punktides. Seet~ottu ei ole v~oimalik saada neile funktsioonidele terves oma m¨a¨aramispiirkonnas u ¨heseid p¨o¨ ordfunktsioone. P¨o¨ ordfunktsioonid defineeritakse nende funktsioonide m¨a¨ara- mispiirkondade alamhulkadel. Vaatleme seda iga trigonomeetrilise funktsiooni korral l¨ahemalt. Funktsioon y = sin x ei ole u ¨ks¨ uhene, sest u ¨hele sin x v¨a¨artusele vastab l~ opmata palju x v¨ a¨ artusi. N¨aiteks x- telg l~oikab siinuse graafikut l~opmata arvus erinevates punktides (vt joonis 1.8). Funktsiooni y = sin x p¨o¨oramisel ahen- datakse tema m¨a¨ aramispiirkond kokkuleppeliselt l~oiguks [- 2 , 2 ], st j¨aetakse vaatluse alt v¨alja kogu see sin x osa, mille korral x [- 2 , 2 ]. Vaadeldes joonisel 1.8 l~oigul [- 2 , 2 ] paiknevat siinuse graafiku osa n¨aeme, et suvaline x-teljega paralleelne sirge l~oikab seda maksimaalselt u ¨hes punktis. Seega on funktsioon y = sin x, x [- , ] 2 2 u ¨ks¨uhene. Selle funktsiooni p¨o¨ordfunktsiooni nimetatakse arkussiinuseks ja t¨ ahistatakse x = arcsin y. Kehtivad seosed arcsin[sin x] = x ja sin[arcsin y] = y, (1.3)
10 neist esimene iga x [- 2 , 2 ] korral. Funktsiooni y = cos x, mis ei ole samuti u ¨ks¨ uhene kogu arvteljel, p¨o¨oramisel ahendatakse tema m¨a¨ aramispiirkond l~oiguks [0, ]. Sellel l~oigul on ta u ¨ks¨ uhene (joonis 1.9). Funktsiooni y = cos x, x [0, ] p¨o¨ordfunktsioon kannab nimetust arkuskosinus ja seda t¨ahistatakse x = arccos y. Kehtivad valemid
arccos[cos x] = x ja cos[arccos y] = y,
neist esimene iga x [0, ] korral. Funktsioonide y = tan x ja y = cot x p¨o¨oramisel ahendatakse tan x va- hemikule (- 2 , 2 ) ja cot x vahemikule (0, ). Funktsioonide y = tan x, x (- , ) ja y = cot x, x (0, ) 2 2 p¨o¨ordfunktsioonid on vastavalt arkustangens x = arctan y ja arkuskotangens x = arccot y. Kehtivad valemid
arctan[tan x] = x , tan[arctan y] = y , arccot[cot x] = x , cot[arccot y] = y,
neist esimene iga x (- 2 , 2 ) ja kolmas iga x (0, ) korral. Arkusfunktsioonide m¨a¨aramispiirkonnad ja v¨a¨artuste hulgad on j¨argmised: y = arcsin x : X = [-1, 1], Y = [- , ] , 2 2 y = arccos x : X = [-1, 1], Y = [0, ] , y = arctan x : X = R, Y = (- , ) , 2 2 y = arccot x : X = R, Y = (0, ) .
Need saab leida lihtsalt, kui vahetada u¨ laltoodud trigonomeetriliste funktsioonide ahendite m¨a¨ aramispiirkonnad ja v¨a¨artuste hulgad. Arkusfunktsioonide graafikud on kujutatud joonistel 1.12 - 1.15. V~orreldes omavahel jooniseid 1.8 - 1.11 ja 1.12 - 1.15 n¨aeme, et arkusfunktsioonide graafikud on trigonomeetriliste funktsioonide ahendite graafikute peegeldused u ¨le sirge y = x. P¨ o¨ ordfunktsioon funktsioonist, mis ei ole u ¨ ks¨uhene. Olgu vaadeldav funktsioon y = f (x) oma m¨ a¨ aramispiirkonnaga X ja v¨ aa ¨rtuste hulgaga Y k¨ull u ¨ hene , kuid mitte u ¨ks¨uhene. Funktsiooni f p¨ ordfunktsiooniks nimetatakse kujutist, mis igale y Y seab vastavusse k~ o¨ oigi selliste x X hulga, mille korral kehtib v~ordus f (x) = y. ¨ Uhese, kuid mitte u¨ ks¨ uhese funktsiooni p¨o¨ ordfunktsioon on mitmene. Selliste funkt- sioonide n¨aideteks on terves oma m¨ a¨ aramispiirkonnas antud trigonomeetriliste funktsioonide p¨o¨ ordfunktsioonid ehk "suure algust¨ ahega" arkusfunktsioonid. T¨ apsemalt: terves m¨ aa ¨ramis- piirkonnas antud funktsioonide y = sin x, y = cos x, y = tan x ja y = cot x p¨oo ¨rdfunktsioonid on vastavalt x = Arcsin y, x = Arccos y, x = Arctan y ja x = Arccot y. Arvutame n¨.
11 y
1
x
Joonis 1.4: y = ax kui a > 1
y
1
x
Joonis 1.5: y = ax kui 0 12 y
x 1
Joonis 1.6: y = loga x kui a > 1
y
x 1
Joonis 1.7: y = loga x kui 0 13 y 1 x 2 3 3 2 2 2 1 2 2 Joonis 1.8: y = sin x
y 1 x 2 3 3 2 2 2 1 2 2 Joonis 1.9: y = cos x
14 y
x 2 3 3 2 2 2 2 2
Joonis 1.10: y = tan x
y
x 2 3 3 2 2 2 2 2
Joonis 1.11: y = cot x
15 y 2
x 1 1
2
Joonis 1.12: y = arcsin x
y
2
x 1 1
Joonis 1.13: y = arccos x
16 y 2
x
2
Joonis 1.14: y = arctan x
y
2
x
Joonis 1.15: y = arccot x
17 1.5 Tehted funktsioonidega. Elementaarfunkt- sioon . Pol¨ unoom ja ratsionaalfunktsioon. Algebralised tehted funktsioonidega. Olgu antud kaks funktsiooni y = f (x) ja y = g(x) u ¨hise m¨a¨aramispiirkonnaga X. Funktsioonide f ja g summa on defineeritud kui kujutis, mis seab igale x X vastavusse muutuja y v¨a¨artuse valemiga y = f (x) + g(x). Funktsioonide f ja g summa loomulik t¨ahis on f + g. Seega kehtib f ja g summa puhul seos
y = (f + g)(x) = f (x) + g(x).
Analoogiliselt defineeritakse ka funktsioonide f ja g vahe y = (f - g)(x) = f (x) - g(x), korrutis y = (f g)(x) = f (x)g(x) ja jagatis y = (f /g)(x) = f (x)/g(x). Summa, vahe ja korrutise m¨a¨aramispiirkonnaks on X. Jagatise m¨ aramispiirkond koosneb k~oigist sellistest x X, mille korral g(x) = 0. a¨
Liitfunktsiooni m~ oiste. Olgu antud kaks funktsiooni: y = f (x) m¨a¨aramispiir- konnaga Xf ja z = g(y) m¨a¨aramispiirkonnaga Yg . Asendades suuruse y funkt- siooni g avaldises f (x)-ga saame uue funktsiooni, mille argumendiks on x ja s~ oltuvaks muutujaks z, kusjuures x ja z vaheline seos on antud kujul z = g[f (x)]. Tegemist on funktsioonide f ja g baasil defineeritud liitfunktsiooniga. T¨ahistame seda funktsiooni s¨umboliga g f . Seega v~oime kirjutada v~orduse
z = (g f )(x) = g[f (x)].
Liitfunktsiooni g f m¨a¨aramispiirkond ei tarvitse kattuda f m¨a¨aramispiirkon- naga. Liitfunktsioon g f on m¨a¨aratud ainult sellistel x-i v¨a¨artustel hulgas Xf , mille korral f (x) asub funktsiooni g m¨a¨aramispiirkonnas. T~oepoolest, ainult sellisel juhul saame me leida funktsiooni g v¨a¨artuse kohal f (x) ehk suuruse g[f (x)]. Seega on g f m¨a¨aramispiirkond j¨argmine:< . N¨aiteks annavad f (x) = sin x ja g(y) = y liitfunktsiooni (g f )(x) =
sin x. Kuna Xf = R ja Yg = [0, ).
Elementaarfunktsiooni m~ oiste. P~ohilisteks elementaarfunktsioonideks on argmised funktsioonid: konstantne funktsioon, y = xa , y = ax , y = sin x, y = j¨ cos x, y = tan x, y = cot x, y = loga x, y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x ja y = arccot x. Elementaarfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis on saadud p~ohilistest elementaarfunktsioonidest l~opliku arvu aritmeetiliste tehete (so liitmiste, lahuta - miste, korrutamiste, jagamiste) ja liitfunktsioonide moodustamise teel. N¨aiteid elementaarfunktsioonide kohta: ex elementaarfunktsioon y = 5 + 7 tan x - cos x on moodustatud p~ ohilistest elemen- taarfunktsioonidest y = 5, y = 7, y = tan x, y = ex ja y = cos x l~opliku arvu
18 aritmeetiliste tehetega; elementaarfunktsioon y = arcsin (3x ) on p~ohiliste elementaarfunktsioonide y = 3x ja y = arcsin x liitfunktsioon; elementaarfunktsioon y = 2arccos x + tan32 x - 4 on saadud p~ohilistest elemen- taarfunktsioonidest y = 2x , y = arccos x, y = 3, y = tan x, y = x2 , y = 4 ja y = x1/2 l~ opliku arvu aritmeetiliste tehete ja liitfunktsioonide moodustamisega. Elementaarfunktsioonide hulka kuuluvad ka pol¨unoomid ja ratsionaalfunkt- sioonid. n- astme pol¨ unoom on defineeritud avaldisega
P (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + an-1 xn-1 + an xn ,
kus a0 , a1 , a2 , . . . , an-1 , an on konstandid ja an = 0. Ratsionaalfunktsioon on kahe pol¨ unoomi jagatis
a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + an-1 xn-1 + an xn R(x) = . b0 + b1 x + b2 x2 + . . . + bm-1 xm-1 + bm xm
K~oik funktsioonid ei ole elementaarfunktsioonid. Selle kohta saab tuua u ¨sna lihtsaid n¨aiteid. N¨aiteks ei ole elementaarfunktsioon nn Heaviside'i funktsioon, mis on defineeritud j¨, Y = (-, -1) (1, ) . Graafikud on toodud joonistel 1.18 - 1.21.
H¨uperboolse siinuse ja kosinuse kaudu on defineeritud veel 1 2 sech x = = x - h¨ uperboolne seekant : cosh x e + e-x 1 2 csch x = = x - h¨ uperboolne koseekant . sinh x e - e-x Funktsioonide sinh x, cosh x, tanh x ja coth x p¨o¨ordfunktsioonid on nn area- funktsioonid: x = arsinh y - areasiinus (funktsiooni y = sinh x p¨o¨ordfunktsioon) , x = arcosh y - areakosinus (funktsiooni y = cosh x p¨o¨ordfunktsioon) , x = artanh y - areatangens (funktsiooni y = tanh x p¨o¨ordfunktsioon) , x = arcoth y - areakotangens (funktsiooni y = coth x p¨o¨ordfunktsioon) .
22 Nii nagu h¨ uperboolsed trigonomeetrilised funktsioonid, on ka areafunktsioonid elementaarfunktsioonid. Toome siinkohal areafunktsioonide avaldised p~ ohiliste elementaarfunktsioonide kaudu koos m¨ a¨aramispiirkondade ja v¨ a¨artuste hulkadega: ( ) arsinh x = ln x + x2 + 1 : X = R, Y = R , ( ) arcosh x = ln x + x2 - 1 : X = [1, ), Y = [0, ) , 1 1+x artanh x = ln : X = (-1, 1), Y = R , 2 1-x 1 x+1 arcoth x = ln : X = (-, -1) (1, ), Y = R \ . 2 x-1
H¨uperboolne siinus ja kosinus on seotud teatud teist liiki joone, nn h¨ uperbooliga. Selle selgitamiseks tuletame k~oigepealt u¨ he abivalemi. Arvutame: ( )2 ( x )2 ex + e-x e - e-x (cosh x) - (sinh x) = 2 2 - 2 2 1 [ 2x ] 1 [ ] = e + e-2x + 2 - e2x + e-2x - 2 4 4 e2x e-2x 1 e2x e-2x 1 = + + - - + = 1. 4 4 2 4 4 2 J¨arelikult kehtib valem
(cosh x)2 - (sinh x)2 = 1 . (1.9)
See seos on tuntud trigonomeetria valemi (cos x)2 + (sin x)2 = 1 analoog h¨uper- boolsete trigonomeetriliste funktsioonide korral. Vaatleme n¨ uu ¨ = lim [f (x + x) - f (x)]g(x + x) + f (x)[g(x + x) - g(x)] = x0 x
f (x + x) - f (x) = lim lim g(x + x) + x0 x x0
g(x + x) - g(x) +f (x) lim = x0 x = f (x)g(x) + f (x)g (x) = (f g + f g )(x) .
Sellega ongi reegel 2 t~oestatud. Reeglitest 1 ja 2 j¨arelduvad veel 2 lihtsat valemit: 4. (Cf ) = C f + C f = 0 f + C f = C f , C - konstant, 5. (f - g) = [f + (-1)g] = f + [(-1)g] = f + (-1)g = f - g . J¨argnevalt tuletame valemeid liitfunktsiooni diferentseerimiseks. Olgu y = f (x) ja z = g(y) kaks diferentseeruvat funktsiooni ning olgu nendest moodus - tatud liitfunktsioon z = g[f (x)]. Tuletame meelde, et funktsiooni tuletise saab esitada s~oltuva muutuja ja argumendi diferentsiaalide jagatisena (valem (3.4)). Kuna funktsiooni f argument on x ja s~oltuv muutuja y, siis kirjutades valemi (3.4) u¨les punktis x, saame f (x) = dx dy . Analoogiliselt toimime ka funktsiooniga g, mille argument on y ja s~oltuv muutuja z. Esitame g tuletise s~oltuva muutuja ja argumendi diferentsiaalide jagatisena. Saame g (y) = dy dz . Viimaks avaldame ka liitfunktsiooni z = g[f (x) = = = = g (y)f (x) = g [f (x)] f (x) . dx dy dx dy dx Seega oleme t~oestanud j¨ = g [f (x)] f (x).
3.4 Ilmutamata funktsiooni, p¨o¨ordfunktsiooni ja parameetrilise funktsiooni diferentseerimine. Ilmutamata kujul antud funktsiooni diferentseerimine. Olgu vaatluse all funktsioon y = f (x), mis on antud ilmutamata kujul v~orrandiga F (x, y) = 0.
62 Funktsiooni f ilmutamiseks tuleb lahendada v~orrand F (x, y) = 0 muutuja y suhtes. Sageli on see v¨aga raske u ¨ lesanne . ~ Onneks saab ilmutamata kujul antud funktsiooni diferentseerida ka nii, et teda ei ole vaja eelnevalt ilmutada. Tuletise v~oib arvutada otseselt, l¨ahtudes funktsiooni m¨a¨ aravast v~orrandist F (x, y) = 0. Sealjuures tuleb aga arvestada asjaolu, et k~oik y-it sisaldavad liikmed selles v~orrandis on liitfunktsioonid , mille sisemiseks funktsiooniks on y = f (x). Kirjeldame n¨aiteks v~orrandiga
sin y - x + cos x - y = 0 (3.5)
m¨a¨aratud funktsiooni y = f (x) diferentseerimise protseduuri. V~orrand (3.5) on liiga keeruline selleks, et teda lahendada y suhtes ja seej¨arel arvutada y otseselt funktsiooni f avaldisest. Arvutame y kaudselt . Selleks on kaks sisuliselt samav¨ a¨ arset, kuid formaalselt pisut erinevat v~oimalust. Esimese l¨ahenemisviisi korral asendame k~oigepealt v~orrandis (3.5) suuruse y suurusega f (x). Saame
sin[f (x)] - x + cos x - f (x) = 0 .
Arvutame n¨ uu¨d tuletise kasutades §3.1 toodud valemeid ja §3.3 esitatud liit- funktsiooni diferentseerimise eeskirja. Saame
cos[f (x)] · f (x) - 1 - sin x - f (x) = 0 .
Avaldades sellest seosest f (x) ongi meil tuletis k¨aes:
1 + sin x 1 + sin x f (x) = = . (3.6) cos[f (x)] - 1 cos y - 1
Teine ja lihtsam v~oimalus on selline, et me ei asenda v~orrandis (3.5) y-it f (x)-ga, vaid diferentseerimisel peame meeles, et y-it sisaldavad funktsioonid on liitfunk- tsioonid. Arvutame:
cos y · y - 1 - sin x - y = 0 .
Avaldades siit y saame
1 + sin x y = , cos y - 1
mis langeb kokku eelnevalt arvutatud tulemusega (3.6).
¨ uhese funktsiooni p¨ Uks¨ o¨ordfunktsiooni diferentseerimine. Teoreem 3.2. Olgu u ¨ks¨ uhese funktsiooni y = f (x) p¨ o¨ordfunktsioon x = g(y). Siis kehtib valem 1 g [f (x)] = . (3.7) f (x)
63 T~ oestus. Funktsiooni f argument on x ja s~oltuv muutuja y. Seega f (x) = dx dy . P¨o¨ordfunktsiooni x = g(y) argument on y ja s~oltuv muutuja x. J¨arelikult g (y) = dx dy . Kasutades neid valemeid arvutame:
dx 1 1 g [f (x)] = g (y) = = dy = . dy dx f (x) Olemegi t~oestanud valemi (3.7). N¨aide. Teatavasti on funktsioon x = arcsin y funktsiooni y = sin x p¨o¨ordfunkt- sioon argumendi v¨a¨artuste x [- 2 , 2 ] korral. T~oestame valemi (arcsin x) = 1 1-x2 kasutades selleks teoreemi 3.2. Teoreemi 3.2 ja valemi (sin x) = cos x p~ohjal 1 1 (arcsin y) = = . (sin x) cos x Esitame siin funktsiooni cos x funktsiooni sin x kaudu. Teatavasti kehtib j¨argmine trigonomeetia valem: cos x = ± 1 - sin2 x, kus ruutjuure ees olev m¨ark s~oltub cos x m¨ argist. Antud juhul x [- 2 , 2 ]. Sel l~oigul on cos x mittenegatiivne. Seega cos x = 1 - sin2 x ning 1 (arcsin y) = . 1 - sin2 x Kasutades siin seost x = arcsin y ja asjaolu, et funktsioonid arcsin ja sin kom- penseerivad teineteist (vt (1.3)) tuletame valemi 1 1 (arcsin y) = = . 1 - [sin(arcsin y)]2 1 - y2 T¨ ¨mber x-ga saamegi valemi (arcsin x) = ahistades muutuja y u 1 1-x2 . Parameetriliselt antud funktsiooni diferentseerimine. Teoreem 3.3. Olgu funktsioon y = f (x). Muudame l~oigu [a, b] t¨ ukeldust j¨arjest peenemaks selliselt, et pikima osal~oigu pikkus n l¨aheneb nullile. Kui f on pidev l~ oigul [a, b], siis on integraalsummal Sn taolises piirprotsessis l~oplik piirv¨a¨artus.
118 Seda piirv¨a¨artust nimetatakse funktsiooni f m¨ aa¨ratud integraaliks l~oigul [a, b] ja t¨ahistatakse b f (x)dx . a
Seega definitsiooni kohaselt b f (x)dx = lim Sn . (5.16) a n 0 b Integraali a f (x)dx komponendid kannavad j¨argmisi nimetusi: a - integraali alumine raja, b - integraali u ¨lemine raja, [a, b] - integreerimisl~oik, x - integree- rimismuutuja, f - integreeritav funktsioon, f (x)dx - integraalialune avaldis.
N¨aide f¨ uu¨ sikast. Liikugu materiaalne objekt x-teljel punktist a punkti b. M~ojugu temale j~oud F , mis u ¨ ldiselt s~oltub koordinaadist x, st F = F (x). Eesm¨argiks on leida valem t¨o¨o A arvutamiseks, mille j~oud F teeb vaadeldava objekti liikumisel punktist a punkti b. Kui F on konstantne, siis avaldub t¨o¨o valemiga A = F (b - a). Kui F ei ole konstantne, siis tuleb t¨o¨o arvutamisel kasutada integreerimist. Idee on j¨argmine: jaotame vaadeldava l~oigu [a, b] v¨aikesteks osal~oikudeks nii, et igal osal~oigul on j~oud ligikaudselt konstantne. Igal osal~oigul arvutame t¨o¨o eraldi, kasutades selleks u ¨laltoodud valemit. Seej¨arel liidame osal~oikudel tehtud t¨o¨od kokku saades t¨o¨ o tervel l~oigul [a, b]. Niiviisi saame ligikaudse t¨o¨o valemi. T¨apse t¨o¨o valemi saame, kui muudame l~oigu t¨ ukelduse "l~opmata peeneks", st v~otame ligikaudsest t¨o¨ o valemist piirv¨a¨artuse pikima osal~oigu pikkuse l¨ahenemisel nullile. Asume t¨o¨o valemi tuletamise juurde. Seejuures eeldame, et funktsioon F (x) on pidev. Pidevus on vajalik selleks, et F (x) muutuks v¨aikestel osal~oikudel v¨ahe. Teatavasti l¨aheneb pideva funktsiooni muut nullile tema argumendi muudu l¨ahenemisel nullile (vt §2.9). Jaotame l~oigu [a, b] n osal~oiguks punktidega x0 , x1 , x2 , . . . , xn , kusjuures a = x0 119 Mida v¨aiksem on osal~oigu [xi-1 , xi ] pikkus, seda v¨ahem muutub j~oud sellel oigul ja seda t¨apsem on valem Ai F (pi )xi . Olgu n pikima osal~oigu osal~ pikkus. Mida v¨aiksem on n , seda v¨aiksemad on osal~oikude pikkused ning j¨ arelikult on seda t¨apsem valem (5.17). Teisest k¨ uljest, valemi (5.17) pare- mal poolel seisab funktsiooni F integraalsumma l~oigul [a, b]. Integraalsumma l¨ aheneb m¨a¨aratud integraalile protsessis n 0. Seega saame ligikaudsest valemist (5.17) piirprotsessis n 0 j¨argmise t¨apse valemi t¨o¨o jaoks: b A = F (x)dx . a
5.6 M¨ a¨ aratud integraali geomeetriline sisu. Olgu funktsioon f pidev l~oigul [a, b]. Eeldame, et f (x) 0. Vaatleme joontega y = f (x), x = a, x = b ja y = 0 piiratud k~overtrapetsit (joonisel 5.2 on see u ¨mbritsetud pideva joonega).
yy
y = f (x) f (pi ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Si 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 · · · xn-1 p·n b G a p1 x1 p2 x2 xi-1 pi xi x x0 xn
Joonis 5.2
T¨ ahistame selle kujundi pindala s¨umboliga S. Meie eesm¨ark on tuletada valem pindala S jaoks. Selleks jaotame l~oigu [a, b] n osal~oiguks punktidega x0 , x1 , x2 , . . . . . . , xn , kusjuures a = x0 120 Vaatleme osal~oigule [xi-1 , xi ] toetuvat k~overtrapetsi osa Si (joonisel 5.2 on selle k¨ uljed t~ommatud katkendliku joonega). Kui xi on v¨aike, siis muutub pidev funktsioon f osal~oigul [xi-1 , xi ] v¨ahe. Seega v~oib ta sellel osal~oigul lugeda ligikaudselt v~ordseks konstandiga f (pi ) ehk
f (x) f (pi ) kui x [xi-1 , xi ] . (5.18)
J¨arelikult on Si ligikaudselt ristk ¨ ulik ja tema pindala avaldub ligikaudu k~orguse ja aluse korrutisena:
Si f (pi )xi .
Terve k~overtrapetsi ligikaudse pindala valemi saame, kui summeerime osapiir- kondade pindalad :
n S f (pi )xi . (5.19) i=1
M¨argime, et saadud valemi paremal poolel seisab aluseid xi ja k~orgusi f (pi ) omavate ristk¨ulikute u ¨ hendi (vt joonis 5.3) pindala. Mida v¨aiksem on xi , seda v¨ahem muutub funktsioon f osal~oigu [xi-1 , xi ] peal, j¨arelikult seda t¨apsem on valem (5.18). Seega, mida peenem on [a, b] t¨ ukeldus, seda t¨apsem on ka pindala valem (5.19). Teisest k¨uljest, valemi (5.19) paremal poolel on funktsiooni f integraalsumma l~oigul [a, b]. J¨arelikult, kui pikima osal~oigu pikkus n l¨aheneb nullile, siis l¨aheneb nimetatud integraal- b summa m¨a¨ aratud integraalile a f (x)dx. Kokkuv~ottes, piirporotsessis n 0 saame ligikaudsest valemist (5.19) j¨argmise t¨apse valemi pindala jaoks:
b S = f (x)dx . (5.20) a
L~opuks tuleme veel tagasi valemi (5.19) juurde. Nagu n¨agime, seisab selle paremal poolel joonisel 5.3 kujutatud ristk¨ ulikute u¨hendi pindala. Valemit b (5.19) saab kasutada m¨a¨aratud integraali a f (x)dx ligikaudseks arvutamiseks. Oma geomeetrilise sisu t~ottu nimetatakse seda valemit ristk¨ulikvalemiks. b b N¨aide. Arvutame a dx = a 1 dx. Kuna l~oigule [a, b] toetuva ja k~orgust 1 omava ristk¨uliku pindala on b - a, siis
b dx = b - a. a
121 yy
T1 1 f (p1 ) f v f (p2 ) y = f (x) f (pi ) d f (pn )
xn-1 pn b G a p 1 x1 p 2 x2 xi-1 pi xi x x0 xn
Joonis 5.3
5.7 M¨a¨ aratud integraali omadused. Integraali keskv¨ a¨ artusteoreem. M¨ a¨ aratud integraali omadusi.
b b b 1. a [f (x) ± g(x)]dx = a f (x)dx ± a g(x)dx. NB! Omadus 1 ei kehti korrutamise ja jagamise korral! See t¨ ahendab, et b b b [f (x)g(x)]dx = f (x)dx · g(x)dx ja ab a b a
[f (x) : g(x)]dx = f (x)dx : g(x)dx. a a
b b 2. a Cf (x)dx = C a f (x)dx, C - konstant. Lisame veel m~oned olulised omadused. Nende omaduste p~ohjendamisel on hea kasutada m¨a¨ aratud integraali f¨ uu¨sikalist sisu: j~ou F (x) pool tehtud t¨o¨o ma- b teriaalse objekti liikumisel punktist a punkti b avaldub valemiga A = a F (x)dx. b Me defineerisime m¨a¨aratud integraali a f (x)dx l~oigul [a, b]. Et selline definit- sioon omaks m~otet, peab kehtima v~orratus a otte rakendamise tulemusena (vt. §5.9) tekib sageli integraal, mille alumine raja on suurem kui u ¨lemine. Allj¨argnevatest omadustest esimesed kaks ongi definitsioonid, mis laiendavad m¨aa¨ratud integraali juhule a b.
122 a 3. a f (x)dx = 0, P~ ohjendus: kui a = b, siis aon l¨abitud teepikkus v~ordne nulliga, seega on o v~ordne nulliga, st a F (x) = 0. ka t¨o¨ b a 4. Kui a > b, siis a f (x)dx = - b f (x)dx. P~ohjendus. J~ou F (x) poolt tehtud t¨o¨o liikumisel punktist a punkti b on b a a F (x)dx ning t¨o¨ o liikumisel punktist b punkti a on b F (x)dx. Seega, kui materiaalne objekt liigub punktist a punkti b ja sealt tagasi punkti a, b a on kogu tehtud t¨o¨o v~ordne summaga a F (x)dx + b F (x)dx. Kuid kuna sel juhul on kogu l¨abitud teepikkus v~ordne nulliga, kehtib v~ordus b a F (x)dx + F (x)dx = 0. a b
Viies selles v~orduses teise liidetava paremale poole tekibki valem b a F (x)dx = - F (x)dx. a b
J¨argnev omadus u ¨ tleb , et integreerimisl~oikude liitmisel integraalide v¨a¨artused liituvad: c b c 5. a f (x)dx = a f (x)dx + b f (x)dx. P~ ohjendus. J~ou F (x) poolt tehtud t¨o¨od liikumisel punktist a punkti b b c ning punktist b punkti c on vastavalt a F (x)dx ning b F (x)dx. Seega, kui objekt liigub punktist a u ¨le punkti b punkti c, on j~ou poolt tehtud kogut¨ o¨o v~ordne summaga b c F (x)dx + F (x)dx. a b
Kuid teisest k¨uljest on j~ouv¨alja poolt c tehud t¨o¨o liikumisel punktist a punkti c on v~ordne ka integraaliga a F (x)dx. Seega saamegi valemi c b c F (x)dx = F (x)dx + F (x)dx. a a b
V~orratus, mida rahuldavad kaks funktsiooni, laieneb ka nende funktsioonide integraalidele: b b 6. Kui a b ja f1 (x) f2 (x) iga x [a, b] korral, siis a f1 (x)dx a f2 (x)dx. P~ohjendus. J~oufunktsioonide F1 (x) ja F2 (x) poolt tehtud t¨o¨od liikumisel b b punktist a punkti b on vastavalt a F1 (x)dx ja a F2 (x)dx. Kui F1 (x) F2 (x) ja l¨abitud teepikkus on positiivne, st b > a, siis on j~ou F2 poolt tehtud t¨o¨ o suurem v~oi v~ordne j~ou F1 poolt tehtud t¨o¨ost, st b b F1 (x)dx F2 (x)dx. a a
123 Teoreem 5.2 (Integraali keskv¨ a¨ artusteoreem). Kui f (x) on pidev l~ oigul [a, b], siis leidub sellel l~ oigul v¨ ahemalt u ¨ks punkt c nii, et b b f (x)dx = f (c) dx = f (c) (b - a) . (5.21) a a
T~ oestus. Kuna f (x) on pidev l~oigul [a, b], saavutab ta sellel l~oigul oma suurima artuse (l~oigul pidevate funktsioonide omadus 1 §2.11). Olgu M ja v¨ahima v¨a¨ artus ja m v¨ahim v¨a¨artus. Siis kehtivad iga x [a, b] korral v~orratused suurim v¨a¨ m f (x) M . M¨a¨ aratud integraali omaduse 6 p~ohjal b b b m dx f (x)dx M dx. a a a b b Kuna m ja M on konstandid, siis omaduse 2 p~ohjal m dx = m dx ja b b a a
a M dx = M a dx. Seega b b b m dx f (x)dx M dx. a a a b Jagades suurusega a dx saame b f (x)dx m a b M. a dx b a f (x)dx N¨ aeme, et arv b dx paikneb funktsiooni f (x) suurima ja v¨ahima v¨a¨artuse a vahel. Kuna l~oigul [a, b] pidev funktsioon f (x) saavutab sellel l~oigul iga v¨a¨artuse oma suurima ja v¨ahima v¨a¨artuse vahel (l~oigul pidevate funktsioonide omadus 2 §2.11), siis leidub v¨ahemalt u¨ks punkt c [a, b] nii, et b a f (x)dx f (c) = b . a dx b b Korrutades seda v~ordust arvuga a dx ja arvestades, et a dx = b - a, saame valemi (5.21). Teoreem on t~oestatud.
5.8 Muutuva u ¨ lemise rajaga integraal. Newton- Leibnitzi valem. Muutuva u¨ lemise rajaga integraal. Oleme vaadelnud kahte liiki integraale: 1. m¨a¨ aramata integraal f (x)dx , mis on defineeritud kui funktsiooni f alg- funktsioonide u ¨ldavaldis;
124 b 2. m¨a¨ aratud integraal a f (x)dx, mis on defineeritud kui funktsiooni f integ- raalsumma piirv¨a¨artus. J¨argnevalt vaatame u ¨hte olulist seost nende kahe integraalit¨ uu¨bi vahel. Olgu antud funktsioon f (t), mis on pidev l~oigul [a, b]. Siis on sellel funkt- b sioonil olemas m¨a¨ aratud integraal a f (t)dt. Asendame selle integraali u ¨lemise raja muutujaga x. Siis saame j¨argmise l~oigul [a, b] defineeritud funktsiooni: x (x) = f (t)dt , x [a, b]. a b Osutub, et sellisel viisil oleme me teisendanud m¨a¨aratud integraali a f (t)dt m¨a¨aramata integraaliks. T¨apsemalt: (x) on funktsiooni f algfunktsioon, st u ¨ks konkreetne funktsioon m¨a¨ aramata integraaliga f (x)dx antud funkt- sioonide parvest. S~onastame ja t~oestame selle v¨aite teoreemina. Teoreem 5.3. Kui f on pidev l~ oigul [a, b], siis funktsioon , mis avaldub x valemiga (x) = a f (t)dt, on funktsiooni f algfunktsioon l~ oigul [a, b]. T~ oestus. Teoreemi v¨aite t~oestamiseks peame n¨aitama, et
(x) = f (x) iga x [a, b] korral.
Olgu x suvaline punkt l~oigult [a, b]. Nagu tavaliselt, t¨ahistame s¨ umboliga x argumendi x muutu. Kasutades m¨a¨aratud integraali omadust 3 §5.7 arvutame: x+x x x+x (x + x) = f (t)dt = f (t)dt + f (t)dt a a x x+x = (x) + f (t)dt . x
Seega saame funktsiooni muudu jaoks seose x+x = (x + x) - (x) = f (t)dt . (5.22) x
Integraali keskv¨a¨artusteoreemi p~ohjal leidub punktide x ja x + x vahel punkt c nii, et kehtib v~ordus x+x f (t)dt = f (c)(x + x - x) = f (c)x . (5.23) x
T¨ apsemalt: Kui x > 0, siis leidub integraali keskv¨ a¨artusteoreemi p~ ohjal l~ oigul [x, x + x] punkt c nii, et kehtib (5.23). Kui aga x st samuti kehtib (5.23).
125 V~ ottes (5.22) ja (5.23) kokku saame seose = f (c)x, millest j¨areldub et
= f (c) . x Selle v~orduse vasakul pool olev jagatis koondub funktsiooni tuletiseks punktis x piirprotsessis x 0. Peale selle, kuna c paikneb x ja x + x vahel, siis c x, kui x 0. Kokkuv~ottes saame v~orduse (x) = lim = lim f (c) = f (x) . x0 x cx
Olemegi t~oestanud, et (x) = f (x) iga x [a, b] korral ja sellega ka teoreemi v¨ aite. Newton-Leibnitzi valem. Eelmises alamparagrahvis vaatlesime u ¨hte v~oimalust teisendada m¨a¨aratud integraal m¨a¨aramata integraaliks. N¨ uu ¨d vaatleme teist- pidist teisendust, st m¨a¨aratud integraali saamist m¨a¨aramata integraalist. Konkreetselt olgu F funktsiooni f algfunktsioon, st F on u ¨ks konkreetne funktsioon m¨a¨aramata integraaliga f (x)dx antud funktsioonide perest. Esi- tame k¨usimuse: kuidas oleks v~oimalik sellisel juhul arvutada m¨a¨aratud integraal b a f (x)dx? Vastuse koos arvutusvalemiga annab j¨argmine teoreem. Teoreem 5.4 (Newton-Leibnitzi valem). Kui F on pideva funktsiooni f algfunktsioon l~ oigul [a, b], siis kehtib valem b b f (x)dx = F (b) - F (a) =: F (x) a . (5.24) a
T~oestus. Teoreemi eelduse kohaselt on F funktsiooni f algfunktsioon l~oigul x [a, b]. Peale selle, teoreem 5.3 p~ohjal on ka funktsioon (x) = a f (t)dt funkt- siooni f algfunktsioon l~oigul [a, b]. Kuna u ¨he ja sama funktsiooni kaks algfunkt- siooni v~oivad teineteisest erineda vaid liidetava konstandi v~orra (teoreem 5.1), siis kehtib seos x f (t)dt = F (x) + C . (5.25) a
J¨ argnevalt leiame konstandi C v¨a¨artuse. Selleks paneme avaldises (5.25) muu- tuja x v~orduma a-ga. Saame v~orduse a f (t)dt = F (a) + C , a
mille vasak pool v~ordub nulliga m¨a¨aratud integraali omaduse 1 p~ohjal (vt §5.7). Seega, 0 = F (a) + C, millest tuletame valemi C = -F (a) konstandi C jaoks. N¨ uu¨d saame kirjutada v~orduse (5.25) kujul x f (t)dt = F (x) - F (a) . a
126 Pannes selles avaldises muutuja x v~orduma arvuga b, j~ouamegi Newton-Leibnitzi valemini (5.24). Teoreem on t~oestatud. 1 aiteid. 1. Arvutame -1 ex dx. Kuna ex dx = ex +C, siis Newton-Leibnitzi N¨ valemit kasutades saame 1 1 1 ex dx = ex -1 = e1 - e-1 = e - . -1 e 6 2. Arvutame 0 cos 3xdx. Kuna cos 3xdx = 13 sin 3x + C, siis 6 1 1 1 1 cos 3xdx = sin 3x 06 = [sin - sin 0] = [1 - 0] = . 0 3 3 2 3 3
5.9 Asendusv~ ote ja ositi integreerimine m¨ a¨ aratud integraali korral. Asendusv~ ote. Vaatleme m¨a¨ aratud integraali b f (x)dx . (5.26) a
Teeme integraali all asenduse valides uueks muutujaks u, mis s~oltub x-st j¨argmisel viisil: u = (x). Eeldame, et on u ¨ks¨ uhene ja diferentseeruv. T¨ahistame p¨o¨ordfunktsiooni -ga. Siis x = (u) . (5.27) Paneme kirja funktsiooni tuletise diferentsiaalide jagatisena: dx du = (u). Korrutades seda v~ordust du-ga saame dx = (u)du . (5.28) Kasutades valemeid (5.27) ja (5.28) saame integraali (5.26) all suurused x ja dx asendada vastavate u-st s~oltuvate suurustega. Erinevalt m¨a¨aramata integraalist, tuleb m¨a¨aratud integraali korral lisaks suurustele x ja dx asendada ka integree- rimisl~oik koos rajadega. Uus integreerimisl~oik koosneb funktsiooni u = (x) v¨a¨artustest, mis on saadud argumendi x varieerimisel u ¨le kogu esialgse integ- reerimisl~ ¨ oigu [a, b]. Uhtlasi on uue integraali alumine raja v~ordne u v¨a¨artusega, mis vastab muutuja x v¨a¨ artusele a ja u ¨lemine raja on v~ordne u v¨a¨artusega, mis vastab muutuja x v¨ a¨artusele b. Seega on uue integraali alumine raja (a) ja u ¨lemine raja (b). Kokkuv~ottes saame j¨argmise valemi: b (b) f (x)dx = f [(u)] (u)du . (5.29) a (a)
1 2 (arccotx) dx N¨ aide. Arvutame -1 1+x2 . Teeme asenduse u = arccotx. Siis dx du = - . 1 + x2
127 Taolise asenduse puhul lihtsustub integraalialune avaldis kujule -u2 du. Arvu- tame rajad uues integraalis: arccot(-1) = 3 4 , arccot 1 = 4 . Seega 1 4 [ ( )3 ] (arccotx)2 dx u3 4 1 ( )3 3 13 3 2 = - u du = - 2 = - - = . -1 1+x 3 4 3 34 3 4 4 92
Ositi integreerimine. Olgu u = u(x) ja v = v(x) kaks diferentseeruvat funkt- siooni. Paneme kirja nende korrutise diferentsiaali avaldise:
d(uv) = vdu + udv .
Integreerime seda avaldist rajades a-st b-ni. Saame b b b d(uv) = vdu + udv . (5.30) a a a Arvutame eraldi selle avaldise vasaku poole. Kuna d(uv) = uv+C integraalide tabeli valemi 1 p~ohjal, siis Newton-Leibnitzi valemi t~ottu b b d(uv) = uv a . a
Asendame selle v~orduse seose (5.30) vasakusse poolde. Saame b b b uv a = vdu + udv . a a b Viies a vdu v~orduse teisele poolele, tuletame ositi integreerimise valemi m¨a¨aratud integraali jaoks: b b b udv = uv a - vdu . (5.31) a a N¨ aide. Arvutame 0 x2 cos x2 dx. V~otame u = x2 ja dv = cos x2 dx. Siis du = 2xdx ja v = 2 sin x2 . Integreerime ositi: x x x x2 cos dx = 2x2 sin -4 x sin dx. 0 2 2 0 0 2 Integraali 0 x sin x2 dx tuleb uuesti ositi integreerida. Selleks v~otame u = x ja dv = sin x2 dx. Siis du = dx ja v = -2 cos x2 . Saame [ ] x x x x 2 x cos dx = 2x sin2 - 4 -2x cos +2 cos dx = 0 2 2 0 2 0 0 2 x [ x x ] [ x x] = 2x2 sin -4 -2x cos +4 sin = (2x2 - 16) sin + 8x cos = 2 0 2 0 2 0 2 2 0 [ ] [ ] = (2 2 - 16) sin + 8 cos - (2 · 0x2 - 16) sin 0 + 8 · 0 · cos 0 = 2 2 - 16. 2 2
128 5.10 P¨ aratud integraalid. L~ opmatute rajadega p¨ aratud integraalid.
1. P¨ aratu integraal pooll~ oigul [a, ). Olgu antud funktsioon f , mis on pidev l~opmatul pooll~oigul [a, ). Seega on f pidev ka k~oigil l~oplikel l~oikudel [a, b], kus b > a. J¨arelikult eksisteerib m¨a¨aratud integraal b f (x)dx iga b > a korral a
(vt §5.5). Vaatleme selle integraali k¨aitumist protsessis b . Piir- b v¨ a¨ artust lim a f (x)dx nimetatakse funktsiooni f p¨ aratuks integraaliks b oigul [a, ) ja t¨ahistatakse a f (x)dx. Seega definitsiooni kohaselt pooll~ b f (x)dx = lim f (x)dx . (5.32) a b a
2. P¨ aratu integraal pooll~ oigul (-, b]. Olgu f pidev l~opmatul pooll~oigul b (-, b]. P¨aratu integraal - f (x)dx defineeritakse j¨argmise piirv¨a¨artu- sega: b b f (x)dx = lim f (x)dx . (5.33) - a- a
aratu integraal tervel arvteljel (-,). Eeldame, et f on pidev tervel 3. P¨ arvteljel (-, ). P¨aratu integraal - f (x)dx defineeritakse valemiga a f (x)dx = lim f (x)dx . (5.34) - a -a
P¨aratut integraali nimetatakse koonduvaks, kui ta eksisteerib ja on l~oplik. Vas- tasel juhul nimetatakse p¨aratut integraali hajuvaks. N¨aiteid. 1. Arvutame integraali 1 dxx2 . Vastavalt definitsoonile saame b [ ] [ ] dx dx 1 b 1 = lim = lim - = lim - + 1 = 1. 1 x2 b 1 x2 b x 1 b b
Integraal koondub. 2. Arvutame integraali b [ ] dx dx b = lim = lim ln |x| = lim [ln b - 0] = . 1 x b 1 x b 1 b
Integraal hajub.
129 P¨aratu integraali koonduvuse kindlaks tegemiseks ei ole alati vaja selle in- tegraali arvulist v¨a¨ artust leida. Selleks v~oib kasutada nn. hindamisteoreeme. Esitame siinkohal kaks taolist teoreemi ilma t~oestusteta. Teoreem 5.5. Kui iga x a korral kehtivad v~ 0 f (x) g(x) ja orratused integraal a g(x)dx koondub, siis koondub ka integraal a f (x)dx. -x aide. Hindame p¨aratu integraali 1 e x2dx koonduvust. Kuna ex on kas- N¨ vav funktsioon, siis kehtib ex e1 = e iga x 1 korral, Sellest v~orratusest tuletame e-x = e1x 1e iga x 1 korral. Seega kehtib j¨argmine hinnag : e-x 1 iga x 1 korral. x2 e x2 Selles v~orratuses paremal pool oleva funktsiooni integraal koondub, sest eespool- toodud n¨aite 1 p~ohjal dx 1 dx 1 1 2 = 2 = ·1= . 1 e x e 1 x e e e-x dx J¨ arelikult, teoreem 5.5 p~ohjal koondub ka integraal 1 x2 M¨arki muutva funktsiooni p¨aratu integraali hindamiseks saab kasutada n¨aiteks j¨ argmist teoreemi: Teoreem 5.6. Kui a |f (x)|dx koondub, siis koondub ka a f (x)dx. aide. Hindame p¨aratu integraali 1 sinxxdx N¨ 2 koonduvust. Kuna iga x korral kehtib v~orratus sin x 1 2 x2 x ja integraal 1 dxx2 koondub, siis teoreem 5.5 p~ ohjal integraal 1 sinxxdx dx 2 koondub. Teoreemi 5.6 p~ohjal j¨areldub sellest omakorda integraali 1 sinxxdx 2
koonduvus . P¨aratud integraalid katkevatest funktsioonidest. §5.5 toodud m¨a¨aratud integraali definitsioonis eeldasime, et f on pidev l~oigul [a, b]. Vaatleme n¨ uu ¨d juhtu, kui f on katkev . Kui f -l on katkevuspunktid l~oigul [a, b], siis selle funkt- siooni integraalsumma ei tarvitse omada l~oplikku piirv¨a¨artust, seega ei eksisteeri b viimasel juhul ka m¨a¨aratud integraali a f (x)dx. Siiski on katkevat funktsiooni teatud juhtudel v~oimalik integreerida p¨aratu integraali m~ottes. Vaatleme kahte erijuhtu: 1. Olgu funktsioon f pidev pooll~oigul [a, b) ja olgu b selle funktsiooni katke- vuspunkt. Siis on f pidev k~oigil l~oikudel [a, c], kus c on a ja b vahel, st c (a, b). J¨arelikult eksisteerib m¨a¨aratud integraal c f (x)dx iga c (a, b) korral. a c b Selleks, et saada integraalist a f (x)dx integraali a f (x)dx, tuleb meil l¨ahendada arvuga c arvu b. Kuna c paikneb vahemikus (a, b), on tegemist
130 b vasakpoolse piirv¨a¨ artusega. Seega defineeritakse p¨aratu integraal a f (x)dx j¨ argmiselt: b c f (x)dx = lim- f (x)dx . a cb a
2. Olgu funktsioon f pidev pooll~oigul (a, b] ja olgu a selle funktsiooni katke- vuspunkt. Siis on f pidev k~oigil l~oikudel [c, b], kus c (a, b). P¨aratu b integraal a f (x)dx defineeritakse j¨argmise parempoolse piirv¨a¨artusega: b b f (x)dx = lim+ f (x)dx . a ca c
Kui p¨aratu integraal katkevast funktsioonist eksisteerib ja on l~oplik, siis ¨oeldakse, et ta koondub. Vastasel juhul ¨oeldakse, et p¨aratu integraal hajub. 1 dx N¨aited. 1. Arvutame integraali 0 x . Integreeritav funktsioon 1x on pidev pool~oigul (0, 1] ja katkev punktis x = 0. Seega definitsiooni kohaselt 1 dx 1 dx 1 = lim = lim 2 x c = lim+ (2 - 2 c) = 2. 0 x c0+ c x c0+ c0
Integraal koondub. 1 dx 2. Arvutame integraali 0 x . Vastavalt definitsioonile 1 1 dx dx 1 = lim+ = lim+ ln |x| c = lim+ (- ln c) = . 0 x c0 c x c0 c0
Integraal hajub.
5.11 M¨ a¨ aratud integraali rakendusi. §5.5 t~oime me n¨aite m¨a¨aratud integraali rakendamise kohta t¨o¨o arvutamisel. Selles paragrahvis vaatleme veel m~oningaid m¨a¨aratud integraali rakendusi. Kuna integreerimine on tuletise arvutamise p¨o¨ordoperatsioon, saab reeglina tuletisi sisaldavaid valemeid esitada ka integraalsel kujul. K~oigepealt vaatlemegi kahte taolist n¨aidet. Varda massi arvutamine joontiheduse kaudu. Vaatleme x-telje kohal paiknevat varrast, mis asub punktide 0 ja l vahel (vt §3.2 toodud joonist). P¨ ustitame j¨argmise u ¨ lesande : antud on aine joontihedus (x) kogu vardas, so l~oigul [0, l]. M¨ a¨arata tuleb varda kogumass m. §3.2 me juba n¨aitasime, et joontiheduse (x) jaoks kehtib j¨ argmine valem: (x) = m (x), kus m(x) on osal~ oigu [0, x] kohal paikneva vardaosa mass. Massi leidmiseks integreerime k~ oigepealt joontiheduse valemit l~ oigul [0, l]: l l (x)dx = m (x)dx. 0 0
131 Ilmselt on m (x) algfunktsioon m(x). Seega Newton-Leibnitzi p~ ohjal l l m (x)dx = m(x) = m(l) - m(0). 0 0
Seega l (x)dx = m(l) - m(0). 0 Siinjuures m(0) punkti 0 kohal paikneva l~ opmatult v¨ aikese vardaosa mass, seega m(0) = 0, ja m(l) on terve l~ oigu [0, l] kohal paikneva varda mass, seega m(l) = m. Olemegi tuletanud j¨ argmise valemi varda massi jaoks: l m = (x)dx. 0
Laengu koguse arvutamine voolutugevuse kaudu. §3.2 me tuletasime j¨ argmise valemi:
I(t) = q (t),
kus I(t) on voolutugevus juhtme ristl~ oikes ajahetkel t ja q(t) on ajavahemikus [0, t] seda ristl~ oiget l¨ abinud laeng. Taolist valemit kasutades saab arvutada voolutugevuse laengukoguse kaudu. P¨ ustitame n¨uu ¨ d vastupidise u¨ lesande: antud on voolutugevus I(t) ja leida tuleb ajavahemikus [0, t0 ] juhtme ristl~oiget l¨ ¨ abinud laeng. Ulesande lahendamiseks integreerime toodud valemit rajades 0 kuni t0 : t0 t0 I(t)dt = q (t)dt. 0 0
Vastavalt Newton Leibnitzi valemile t0 q (t)dt = q(t0 ) - q(0). 0
Seega t0 I(t)dt = q(t0 ) - q(0). 0 Kuna q(0) = 0 (q(0) v~ ordub ajahetkel t = 0 juhet l¨ abiva laenguga, mis on t¨ uhiselt v¨ aike), siis saame j¨ argmise valemi t0 q(t0 ) = I(t)dt, 0 mis annabki ajavahemikus [0, t0 ] juhtme ristl~ oiget l¨ abinud laengu.
J¨ argnevalt vaatleme m¨a¨aratud integraali geomeetrilisi rakendusi. Nende n¨aidete juures puuduvad tuletisi sisaldavad l¨ahteseosed. Seet~ottu kasutame Newton- Leibnitzi valemi asemel m¨a¨aratud integraali definitsiooni ja vahetut geomeetrilist sisu. Pindala arvutamine. Olgu antud funktsioon f (x) 0. Vaatleme joonisel 5.2 kujutatud joone y = f (x) ja x-telje vahel paiknevat k~overtrapetsit. Nagu agime §5.6, avaldub selle k~overtrapetsi pindala valemiga n¨ b S = f (x)dx . (5.35) a
J¨argnevalt k¨asitleme pisut teistsugust juhtu. Vaatleme tasandilist kujundit D, mis on alt piiratud joonega y = f1 (x) ja u ¨lalt joonega y = f2 (x), kusjuures
132 a x b (joonis 5.4). Meid huvitab D pindala S. N¨aitame, et S saab esitada f2 ja f1 vahe integraalina, st b S = [f2 (x) - f1 (x)] dx . (5.36) a
Valemi (5.36) t~oestamiseks nihutame D u¨lespoole x-telge. Selleks leiame sellise positiivse arvu C, mille korral kehtib v~orratus f1 (x) + C 0 ja defineerime funktsioonid
g1 (x) = f1 (x) + C ning g2 (x) = f2 (x) + C.
Olgu D joonte y = g1 (x) ja y = g2 (x) vahel paiknev kujund. T¨anu C sobivale valikule asetseb kujund D x-telje peal (joonis 5.4). M¨argime, et juhul kui D asetseb juba x-telje peal, siis ei ole taolist nihutamise operatsiooni vaja teha, st v~otame C = 0 ja D = D.
yy
y = g2 (x)
D C
y = g1 (x)
y = f2 (x)
D G a b x y = f1 (x)
Joonis 5.4
Kujundite D ja D pindalad on v~ordsed. J¨arelikult tuleb S leidmiseks arvu- tada D pindala. Kuna jooned y = g1 (x) ja y = g2 (x) asetsevad u ¨lalpool x- telge (st g1 (x) 0, g2 (x) 0), siis v~oib kujundi D pindala arvutada selliselt, et lahutame joone y = g2 (x) ja x-telje vahele j¨a¨ava k~overtrapetsi pindalast joone y = g1 (x) ja x-telje vahele j¨a¨ava k~overtrapetsi pindala. Kuna valemi (5.35) p~ohjal v~ordub y = g2 (x) ja x-telje vahele j¨a¨ava k~overtrapetsi pindala
133 b integraaliga a g2 (x)dx ning y = g1 (x) ja x-telje vahele j¨a¨ava k~overtrapetsi b b pindala integraaliga a g1 (x)dx, siis S = a [g2 (x) - g1 (x)] dx. L~opuks arvutame b b S = [g2 (x) - g1 (x)] dx = [f2 (x) + C - f1 (x) - C] dx = a a b = [f2 (x) - f1 (x)] dx . a
Olemegi t~oestanud valemi (5.36). Ruumala arvutamine ristl~ oigete pindalade j¨ argi. Olgu antud ruumiline keha V , mis paikneb tasandite x = a ja x = b vahel. T¨ahistame selle keha ruumala samuti V -ga. Tuletame valemi V arvutamiseks. Vaatleme keha V l~oiget x-teljega ristuva tasandiga (joonis 5.5). Tekkiva ristl~ oike pindala s~oltub l~oiketasandi asukohast, seega on ta muutuja x funkt- sioon. T¨ahistame ristl~oike pindala S(x)-ga. Eeldame, et S(x) on pidev.
y z
V S(x)
G a x b x y Joonis 5.5
T¨ ukeldame l~oigu [a, b] osal~oikudeks punktidega a = x0 134 Vaatleme tasandite x = xi-1 ja x = xi vahele j¨a¨avat keha kihti Vi (joonis 5.6). Kui xi on v¨aike, siis muutub ristl~oike pindala S(x) osal~oigul [xi-1 , xi ] v¨ahe ja me saame ta lugeda ligikaudselt v~ordseks S(pi )-ga, st
S(x) S(pi ) kui x [xi-1 , xi ] .
Sellisel juhul on Vi ligikaudselt silinder , mille p~ohja pindala ja k~orgus on vas- tavalt S(pi ) ja xi . Seega avaldub Vi ruumala ligikaudselt valemiga
Vi S(pi )xi .
y z
V Vi
pi · G a x1 x2 xi-1 xi xn-1 b x x0 xn y Joonis 5.6
Terve keha ruumala ligikaudse valemi saame summeerides Vi ruumalad: n V S(pi )xi . (5.37) i=1
Mida peenem on l~oigu [a, b] jaotus, seda t¨apsem on ligikaudne v~ordus Vi S(pi )xi ning seda t¨apsem on ka valem (5.37). Teisest k¨ uljest: valemi (5.37) paremal poolel seisab funktsiooni S integraalsumma l~oigul [a, b]. J¨arelikult saame pikima osal~oigu pikkuse n l¨ahenemisel nullile j¨argmise t¨apse valemi keha ruumala jaoks ristl~oigete pindalade j¨argi: b V = S(x) dx . (5.38) a
135 Erijuht: p¨oo ¨ rdkeha ruumala. Olgu antud funktsioon f l~oigul [a, b]. Eeldame, et f (x) on pidev ja f (x) 0. Vaatleme joontega y = f (x), x = a, x = b ja y = 0 piiratud k~overtrapetsit K (joonis 5.7 vasakul). Paneme kujundi K p¨o¨orlema u ¨mber x-telje. Tulemusena saame p¨oo¨rdkeha V (joonis 5.7 paremal). Keha V l~ oikamisel x-teljega ristuva tasandiga tekkiv l~oige on ring, mille raadius v~ordub f (x)-ga (sest kujundi K k~orgus punktis x on f (x)). Seega on ristl~oike pindala S(x) = f 2 (x) ja u ¨ldisest valemist (5.38) saame j¨argmise valemi V ruumala jaoks:
b V = f 2 (x) dx . (5.39) a
y y y z
y = f (x) V
K
G G a b x x y
Joonis 5.7
136 y y ·
y = f (x) f (xi ) li · f (xi-1 ) ·
xi-1 xi xn-1 b G a x1 x2 x x0 xn
Joonis 5.8
Joone pikkuse arvutamine. Olgu antud joon v~orrandiga y = f (x), kus a x b. T¨ahistame selle joone pikkuse l-ga. Meid huvitab valem l arvutamiseks. Eeldame, et f (x) on diferentseeruv. Jaotame l~oigu [a, b] osal~oikudeks punk- tidega a = x0 xi = xi - xi-1 , yi = f (xi ) - f (xi-1 ) .
Vaatleme osal~oigu [xi-1 , xi ] kohale j¨a¨avat joone osakaart li . See osakaar on suurendatult kujutatud joonisel 5.9.
· li yi · xi
Joonis 5.9
Kuna f (x) on eelduse kohaselt diferentseeruv, on vaadeldav joon sile. Sile joon on aga sirgestuv (st suurendamisel muutub "sirgemaks"). J¨arelikult on v¨aikese xi korral osakaar li ligikaudselt sirgl~oik ja joonisel 5.9 on ligikaudne t¨aisnurkne kolmnurk. Seega v~oime me li pikkuse arvutamisel kasutada Pythago- rase teoreemi. T¨ahistades li pikkuse samuti li -ga saame li (xi )2 + (yi )2 . (5.40)
137 Edasi avaldame selles valemis esineva funktsiooni muudu yi argumendi muudu xi kaudu. Selleks sobib kasutada Lagrange'i teoreemi (vt §3.9). Nimetatud teoreemi p~ohjal leidub vahemikus (xi-1 , xi ) punkt pi nii, et kehtib v~ordus
f (xi ) - f (xi-1 ) = f (pi )(xi - xi-1 ) .
Seega yi = f (pi )xi ja valemit (5.40) saab teisendada j¨argmiselt: li (xi )2 + (f (pi )xi )2 = (xi )2 + [f (pi )]2 (xi )2 = = 1 + [f (pi )]2 xi .
Terve joone ligikaudse pikkuse saame kui summeerime li ligikaudsed pikkused: n l 1 + [f (pi )]2 xi . (5.41) i=1
Mida v¨aiksem on xi , seda " sirgem " on osakaar li ja j¨arelikult on seda t¨apsem ka ligikaudne v~ordus (5.40). Sellest tuleneb, et mida v¨aiksemad on osal~oigud, seda t¨apsem on valem (5.41). Teisest k¨ uljest, valemi (5.41) paremal poolel seisab funktsiooni 1 + [f (x)]2 integraalsumma l~oigul [a, b]. J¨arelikult pikima osal~ oigu pikkuse n l¨ahenemisel nullile saame j¨argmise t¨apse valemi vaadeldava joone pikkuse jaoks: b l = 1 + [f (x)]2 dx . (5.42) a
138