MATEMAATIKA 8. KLASS GEOMEETRILISED KUJUNDID Kesknurgaks nimetatakse ringi kahe raadiuse vahelist nurka. Sektori kaare AB kohta öeldakse, et kesknurk toetub sellele kaarele. Kaarekraad Ringjoone kaht punkti ühendavat lõiku nimetatakse kõõluks. Pikim kõõl on ringjoone diameeter. Ringjoone punktist tõmmatud kahe kõõlu vahelist nurka nimetataks piirdenurgaks. Kõõlude teiste otspunktide vahelise kaare BC kohta öeldakse, et piirdenurk toetub sellele kaarele. TEOPiirdenurk on pool temaga samale kaarele toetuvast kesknurgast. TTKõik ühele ja samale kaarele toetuvad piirdenurgad on võrdsed.
kolmas täht vahele) ja tõmmatakse kohale joonestada kõõlude otspunktidesse raadiused kaareke; mõõdetakse kaarekraadides; kõõl: tekivad kaks võrdkülgset kolmnurka ringjoone kaht punkti ühendav lõik, kõige iga nurk on 60° pikem kõõl on ringjoone diameeter kõõlude vahele jääb kaks sellist nurka seega kõõlude vaheline nurk on 2 60°=120° NB kesknurk suurusega 1° toetub kaarele, mis moodustab ringjoonest 2.Kesknurk - ringjoone kahe raadiuse vaheline Ül.1056 nurk; toetub raadiuste vahele jäävale Leida jooniselt kesknurga suurus. ringjoone kaarele Antud kaar on 85°, sellele toetub kesknurk, seega =85°. NB saab kasutada sektori joonestamisel, piirdenurga arvutamisel Antud kaar on 130°, kesknurk toetub kaarele
c vektor a vektor b vektor a + vektor b = vektor c vektori a pikkus = a vektori b pikkus = b vektori c pikkus = c KESKNURK Kesknurk nurk ringi kahe raadiuse vahel. Selle suurus on määratletud raadiuste vahele jääva kaare pikkuse ja raadiuse pikkuse suhtena: l = . R 1 rad on selline kesknurk, mis toetub raadiuse pikkuselisele kaarele: l = R; =1 rad Kuna kogu ringjoone pikkus l = 2R , siis 1 ringi sisse (360o) mahub 2 radiaani.
Ühtlane ringjooneline liikumine on kiirendusega liikumine. Meeldetuletuseks: Ühtlaselt muutuval sirgjoonelisel liikumisel on kiirendus. Kiirendus on füüsikaline suurus, mis näitab kui palju muutub kiirus ajaühikus. Valem a=(v-vO)/t Ringjoone pikkuse valem: c=2πr ehk c=πd (sest 2r=d) seega π=c/d (π on ümbermõõdu ja läbimõõdu suhe) Meeldetuletuseks: π=3,14 Ringi pindala valem: S=πr2 1 radiaan (rad) on kesknurk, mis vastab kaarele pikkusega raadius. Kesknurk on kahe raadiuse poolt moodustatud nurk. Joonkiiruse valem: v=2πr/T Joonkiirus on suunatud mööda puutujat ning on risti raadiusega. 360O=2π*rad ==> 1 rad=360O/2π=360O/6,28=57O18I Nurkkiiruse valem: w=2π/T (rad/s) Nurkkiirus näitab millise nurga võrra pöördub raadius. Valemitest v=2πr/T ja w=2π/T järeldus nurkkiiruse ja joonkiiruse vaheline seos v=wr
Sfääri mistahes punkti kaugust kera keskpunktist nimetatakse kera RAADIUSEKS. 2. Mõningad mõisted, mis on seotud kera, ringi ja ringjoonega: Ringjoone puutuja sirge, mis puutub ringjoont (kera pinda) ainult ühes kohas ja on risti ringi (kera) raadiusega Kaare pikkus ringjoone või sfääri kahe punkti vaheline kaugus, mis arvutatakse järgmise valemiga L=x·R kus x on kesknurk radiaanides ja R on ringi või ringjoone raadius. Kui kesknurk on antud kraadides (kraadides nurk), siis teisendatakse see radiaanidesse valemiga (Vaata ka kursusel 7 tööjuhendis 3 antud valemeid kaare pikkuse ja sektori pindala kohta!) NB!!!! pöördkehade ARVUTUSTES: (silinder, koonus ja kera) Silindri, koonuse ja kera valemites esinev suurus ( mis on ligikaudse väärtusega) tuleb arvutustes jätta tähe kujule kuni lõppvastuseni
Vektori summa ja vahe projektsioon on üksikute vektorite projektsioonide summa või vahe. Ringliikumine on kõverjoonelise liikumise erijuht. Trajektooriks on ringjoon. Tiirlemine kõveruskeskpunkt asub väljaspool keha. Näiteks Maa tiirleb ümber Päikese. Pöörlemine Kõveruskeskpunkt on keha sees näiteks. Maakera pöörleb. Pöördenurk nurk, mille võrra pöördub ringjooneliselt liikuv keha ja trajektoori keskpunkti ühendav raadius. 1 radiaan on kesknurk, mis vastab ringjoone kaarele, mille pikkus on võrdne selle ringjoone raadiusega. Nurkkiirus keha liikumist saab iseloomustada erinevate kiirustega. 1)joonkiirus (tavaline kiirus v=l/t) 2) nurkkiirus- pöördenurga ja selle sooritamiseks kuluva ajavahemiku jagatis. Nurkkiirus näitab millise nurga võrra pöördub keha ja liikumise kõveruskeskpunkti ühendav raadius ajavahemikus. ME vaatame sellist liikumist, kus keha kiiruse moodul ühtlasel ringjoonelisel liikumisel ei muutu
RINGJ.LIIKUMINE-KEHA PUNKTIDE TRAJEKTOORIKS ON RINGJOON V SELLE OSA JA MILLE KIIRUSE MOODUL EGA SUUND EI MUUTU.KUI KÕVERUSKESKPUNKT ON KEHA SEES ON TEGEMIST PÖÖRDLIIKUMISEGA.PÖÖRDNURK-NURK,MILLE VÕRRA PÖÖRDUB RINGJOONELISELT LIIKUV KEHA,TRAJEKTOORI KÕVERUSKESKPUNKTI ÜHENDAV RAADIUS.RADIAAN-KESKNURK,MIS VASTAB RINGJOONE KAARELE,MILLE PIKKUS ON VÕRDNE SELLE RINGJOONE RAADIUSEGA.JOONKIIRUS- LÄBITUD TEEPIKKUSE JA LIIKUMISAJA SUHE.NURKKIIRUS-PÖÖRDENURGA JA SELLE SOORITAMISEKS KULUNUD AJAVAHEMIKU JAGATIS.PERIOOD-AJAVAHEMIK,MILLE JOOKSUL LÄBITAKSE ÜKS TÄISRING.SAGEDUS-AJAÜHIKUS TEHTAVATE TÄISRINGIDE ARV.KESKTÕMBEKIIRENDUS-ALATI RISTI JOONKIIRENDUSE VEKTORIGA,SUUNATUD RINGI KESKPUNKTI POOLE,SÕLTUB TRAJEKTOORI KÕVERUSRAADIUSEST,KEHA KIIRUSEST.
Siinuse Teoreem ja Kolmnurga pindala kahe külje ja nendevahelise nurga järgi . R- kolmnurga ümberringjoone raadius Piirdenurk- on kõõlude vaheline nurk, mille tipp on ringjoon. Piirdenurk võrdub poolega samale haarale toetuvast kesknurgast. Kesknurk- on raadiuste vaheline nurk, sest toetub : Sin(a)=a/2R : kaks külge ja ühe külje vastasnurk! a/sin(a)=2R : kaks nurka ja ühe nurga vastas külg! Kolmnurga küljed on võrdelised vastasnurkade siinustega. Siinusteoreemi abil saame lahendada kolmnurki kui on antud: 1. Kaks nurka ja üks külg. 2. Kaks külge ja on antud ühe külje vastasnurk. Kolmnurk Kolmnurga pindala võrdub kahe külje ja nendevahelise nurga siinuse poole korrutisega:
kolmas täht vahele) ja tõmmatakse kohale joonestada kõõlude otspunktidesse raadiused kaareke; mõõdetakse kaarekraadides; kõõl: tekivad kaks võrdkülgset kolmnurka ringjoone kaht punkti ühendav lõik, kõige iga nurk on 60° pikem kõõl on ringjoone diameeter kõõlude vahele jääb kaks sellist nurka seega kõõlude vaheline nurk on 2 60°=120° NB kesknurk suurusega 1° toetub kaarele, mis moodustab ringjoonest 2.Kesknurk - ringjoone kahe raadiuse vaheline Ül.1056 nurk; toetub raadiuste vahele jäävale Leida jooniselt kesknurga suurus. ringjoone kaarele Antud kaar on 85°, sellele toetub kesknurk, seega =85°. NB saab kasutada sektori joonestamisel, piirdenurga arvutamisel Antud kaar on 130°, kesknurk toetub kaarele
vaba vnkumine - vnkumine, mis toimub ilma vlise ju mjuta. laine pikkus - piki levimissihti mdetud vhim vahekaugus kahe samas taktis vnkuva punkti vahel. harmooniline vnkumine - kik vnkumised mida saab kirjeldada siinusfunktsiooni abil. 2) nurkkiirus - kiirus, mis nitab nurga muutumist mingi aja jooksul. w=f/t w - nurkkiirus | f - prdenurk.| t -. aeg joonekiirus - on ringiliikumisel lbitud teepikkuse ja liikumisaja suhe. V=l/t | v- joonkiirus|l-teepikkus|t-aeg radiaan - on selline kesknurk, mis vastab ringjoone kaarele, mille pikkus on vrdne selle ringjoone raadiusega. sagedus - sageduseks nim vnkeperioodi prdvrtus, nitab hes sekundis tehtud tisvngete arvu. f=1/T f=sagedus ja T-tisvnge kesktmbekiirendus - kiirendus, mis on suunatud keha keskpunkti poole a=v(ruut) r jumoment - ju ja ju la korrutis M=f*l l-julg, f- jud, M-jumoment impulsimoment - punktmassi prlemishul L=mvr=pr Suletud ssteemi kogu impulss on kehade igasugused vastastikmjul jv.
Punkt Selgitus PK Kaare pikkus Kesknurk Koordinaadid kõveral a A 0+00 0+25 0+50 0+75 1+00 1+25 1+50 1+75 2+00 2+25 KA 2+44,36 2+50 5.64 3` 14`` 5.64
Värvitavas seinas moodustavad aknad 18% selle seina pindalast. Maja pikkus on 9,4 m. Kui suur ala esiseinast on tädi Maalil vaja katta? 6. Arvuta sektori puuduvad elemendid ja täida lüngad. x r l S o 60 4,3 cm 0,53 1,59 dm2 2,6 m 1,7 m /8 24 dm2 x ringi sektori kesknurk; r raadius; L kaare pikkus; S sektori pindala 7. Arvuta avaldise täpne väärtus a) sin 0 o + 2 cos 60 o - 3 tan 45 o d) 2 sin - 6 cos + 3 tan b) 2 sin 30 o - tan 45 o + cos 90 o 3 6 3 c) (sin 55 o
a+b k= . 2 a+b Trapetsi pindala S = h = kh , kus h on trapetsi kõrgus ja k on kesklõik. 2 Ringjoon ja ring Ringjoone pikkus c = 2 r . Ringjoone kaare pikkus l = r , kus r on ringi raadius ja kesknurk radiaanides. Ringi pindala S = r 2 . r2 Ringi sektori pindala S = . 2
1 lm (luumen) on valgusvoog, mida kiirgab valgusallikas valgustugevusega 1cd ruuminurga ühikusse 1sr. 1 lx (luks) on selline valgustatus, mille korral valgusvoog 1lm jaotub ühtlaselt pinnale 1 m 2. 1 N on jõud, mis annab kehale massiga 1kg kiirenduse 1m/s 2. 1 Pa on rõhk, mille korral 1m2 pinnale mõjub jõud 1N. 1 q on elektrilaeng, mis läbib juhi ristlõiget 1 s joksul, kui voolutugevus juhis on 1A. 1 rad on kesknurk, mis toetub raadiuse pikkusele kaarele. 1 sr on selline ruuminurk, mis toetudes tipuga kera keskpunkti, haarab kera pinnast raadiuse ruuduga võrdse pindala. 1 T on sellise homogeense magnetvälja magnetiline induktsioon, mille korral vooluraamile pindalaga 1m2 ja voolutugevusega 1A mõjub max pöördemoment 1Nm. 1 V on selline elektrivälja potentsiaal, mille korral 1-kulonilise laengu lõpmatusse viimisel tehakse 1J tööd.
Trapets kumer nelinurk, millel on 2 paralleelset erineva pikkusega ja 2 mitteparalleelset külge. · 2 Võrdhaarne trapets aluse lähisnurgad võrdsed; vastasnurkade summa 180°; sümmeetriline aluste keskristsirge suhtes; diagonaalid võrdsed, lõikepunkt asub trapetsi sümmeetriateljel. Ringjoon (ring) kesknurk (tipp ringjoone keskpunktis, haarad lõikavad ringjoont), piirdenurk (tipp ringjoonel, haarad lõikavad ringjoont). Samale kaarele toetuvad piirdenurgad on võrdsed. Diameetrile toetuv piirdenurk on täisnurk. Puutuja on risti puutepunkti tõmmatud raadiusega, st A = B = 90°. Puutujate lõikepunkt on puutepunktidest võrdsel kaugusel, st OA = OB. 180°. 2 , .
13. Vektori vastandvektoriks nim. vektorit, millel on antud vektoriga sama siht ja pikkus, kuid vastupidine suund. 14. Vektorid on kollineaarsed ehk samasihilised, kui nad asuvad ühel ja samal sirgel või paralleelsetel sirgetel. 15. v= lp - ap 16. Vektori pikkus võrdub koordinaatide ruutjuure summast. 17. sin= vastask./hüp. cos= lähisk./ hüp. tan= vastask./ lähisk. 18. 1 radiaan on raadiuse pikkusele kaarele toetuv kesknurk. 19. Skalaarkorrutis: a ja b skalaarkorrutiseks a*b nim. nende vektorite pikkuste ning vektoritevahelise nurga koosinuse korrutist. a * b = |a|* |b| * cos 20. Skalaarkorrutis koordinaatides: skalaarkorrutis koordinaatides võrdub vastavate koordinaatide korrutiste summaga. a * b = x1 * x2 + y1 * y2 21. = a * b = 0 22. a || b = x1/x2 = y1/y2 23. Kolmnurga pindala võrdub kahe külje ja nendevahelise nurga siinuse poole korrutisega. 24
X x O 0 xz-tasandil on ringjoon raadiusega r. Mööda seda ringjoont toimub liikumine vastupäeva. Liikumine algab punktist P0, millele vastab nurk 0. Seda nurka nimetatakse algfaasiks. Teatud aja t pärast on punkti asukoht P ja sellele vastav pöörlemisnurk . - 0 Nurkkiirus = t Nurka mõõdetakse radiaanides. Radiaan on kesknurk, millele vastava kaare pikkus on võrdne raadiusega. 1 rad = 180/ kraadi. Geomeetriast on teada, et s - 0 = (1) r kus s on punkti poolt läbitud kaare pikkus. Et liikumine on ühtlane, siis v = const ja s vt v = v t. Siit saame = ehk = . Oleme saanud seose nurkkiiruse ja joonkiiruse rt r vahel.
Sel teel saadud kujundi pindala on 27 cm². Leida suurema ringi raadius. 88. Ringjoonel asetsevast punktist on joonestatud diameeter ja raadiusega võrdne kõõl. Leida nendevaheline nurk. 89. Ühest punktist on ringjoonele tõmmatud kaks puutujat. Puutuja pikkus on 12 cm ja puutepunktide baheline kaugus 14,4 cm. Leida ringjoone raadius. 90. Kaks ringjoont puudutavad teineteist ja 60°-se nurga mõlemat haara. Leida suurema ringjoone raadius, kui väiksema raadius on r. 91. Sektori kesknurk on 60° ja raadius R. Avaldada sektorisse joonestatud ringi raadius. 92. Ringjoon raadiusega 4 cm on lahti painutatud niisuguseks kaareks, mille raadius on 5 cm. Arvutada kaarele vastav kesknurk. 93. Arvutada sektori pindala, kui ringi raadius on 10 cm ja sektori vastav kesknurk on 150°. 94. Leida korrapärase kuusnurga pindala, kui tema ümberringjoone raadius on 6 dm. 95. Arvutada ringjoone pikkus, kui ta on korrapärase kõõlkuusnurga ümbermõõdust 7 cm võrra suurem. 96
:sin(180º+)=-sin, cos(180º+)=-cos, tan(180º+)=tan 14. IV v taandamisvalemid: sin(360º-)=-sin, cos(360º-)=cos, tan(360º-)=-tan Funktsioon I veerand II veerand III veerand IV veerand sin + + cos + + tan + + 15. 16. Nurgaradiaan on kesknurk, mis toetub raadiuse pikkusele kaarele. 17. Seos kraadimõõdu ja radiaanmõõdu vahel on 180º= rad 18. Vektorite a ja b skalaarkorrutiseks a · b nim. nenede vektorite pikkuste ning vektoritevahelise nurga koosinuse korrutist. 19. Vektorite ristiseisu tunnus: kaks nullvektorist erinevat vektorit on risti siis ja ainult siis, kui nenede skalaarkorrutis on null 20. Siinusteoreem: a/sin = b/sin = c/sin 21. Koosinusteoreem: a2=b2-c2-2bccos, b2=a2+c2-accos, c2=a2+b2-2abcos 22
Ringjoon- antud punktist jääval kaugusel asetsevate punktide hulk Ring-ringjoonega piiratud tasandiosa, koos seda piirava ringjoonega Tühihulk- hulk, milles pole ühtegi elementi Osahulk-hulk, mille kõik elemendid on ka teise hulga elemendid Hulkade ühend- kõigi elementide hulk, mis kuuluvad vähemalt ühte kahest hulgast Hulkade ühisosa- kahe hulga kõigi ühiste elementide hulk Kõõl- sirglõik, mis ühendab ringjoone kahte punkti Kesknurk- ringoone kekskpunktis tõmmatud kahe raadiuse vaheline nurk Piirdenurk- ringjoone punktist tõmmatud kahe kõõlu vaheline punkt Ringjoone puutuja- sirge, millel on ringjoonega üks ühine punkt
Sõnasta teoreem mediaanide lõikepunkti kohta. Kolmnurga mediaaniks nimetatakse lõiku, mis ühendab tipu vastaskülje keskpunktiga. Igal kolmnurgal on kolm mediaani. Teoreem: Kolmnurga mediaanid lõikuvad ühes punktis, mis jaotab iga mediaani kaheks osaks nii, et tipu poolne osa on kaks korda pikem, kui küljepoolne osa. 1 Mis on kõõl? Tee selgitav joonis. Kõõluks nimetatakse ringjoone kaht punkti ühendavat lõiku. Pikim kõõl on ringjoone diameeter. 1Mis on kesknurk? Tee selgitav joonis. Kesknurgaks nimetatakse ringjoone kahe raadiuse vahelist nurka. 1Mis on piirdenurk? Tee selgitav joonis. Piirdenurgaks nimetatakse ringjoone tipust tõmmatud kahe kõõlu vahelist nurka. 1Sõnasta teoreem piirdenurgast. Piirdenurk on pool temaga samale kaarele toetuvast kesknurgast. 1Mis on korrapärane hulknurk? Korrapäraseks hulknurgaks nimetatakse hulknurka, mille kõik küljed ja nurgad on võrdsed. 1Mis on korrapärase hulknurga apoteem
Trapetsi kesklõik on AB + DC paralleelne alustega ja on võrdne poolega aluste summast. EF = 2 Trapetsi pindala võrdub kesklõigu ja kõrguse korrutisega : S = k *h .Lõik EF on kesklõik. 32.Kolmnurga mediaan Kolmnurga mediaaniks nimetatakse kolmnurga tipust vastaskülje keskpunkti tõmmatud lõiku. Kolmnurga mediaanid lõikuvad kõik ühes punktis. 33.Kesknurk Kesknurgaks nimetatakse nurka, mille tipp asetseb ringi keskpunktis ja mille haarad lõikavad ringjoont. Kesknurka mõõdetakse kraadides. AOB on kesknurk 34.Ringjoone kaar Ringjoone kahe punkti vahele jäävat osa nimetatakse ringjoone kaareks. Kaart mõõdetakse kraadides. Kaks punkti jaotavad ringjoone kaheks kaareks. AB on kaar. 35.Ringjoone kõõl Ringjoone kõõluks nimetatakse lõiku, mis ühendab ringjoone kaht punkti. Kõige pikem kõõl on diameeter. 36.Ringi sektor
mediaaniks. Kolmnurgal on kolm mediaani. Kõik mediaanid lõikuvad ühes punktis, mida nimetatakse mediaanide lõikepunktiks. Kolmnurga kõrguseks nimetatakse kolmnurga tipust selle tipu vastasküljele või selle pikendusele tõmmatud ristlõiku ja samuti selle ristlõigu pikkust. 22. Ringjoon, ring. Ringjoon on punktide hulk, mille kaugused ringjoone keskpunktist on võrdsed. Ring on ringjoonega piiratud tasandi osa. 23. Kesknurk, ringjoone kaar, kõõl. Kesknurk on nurk, mille tipp asetseb ringjoone keskpunktis ja haaradeks on raadiused. Lõiku, mis ühendab ringjoone kahte punkti nimetatakse kõõluks. Ringjoone kaar… --------------------------- 24. Piirdenurk, selle omadus. Thalese teoreem, Pythagorase teoreem. Nurka, mille tipp asetseb ringjoonel ja haaradeks on kõõlud nimetatakse piirdenurgaks. Thalese teoreem – Diameetrile toetuv piirdenurk on täisnurkne! Pythagorase teoreem – Kaatetite ruutude summa on võrdne hüpotenuusi ruuduga.
Ringliikumine - kõverjoonelise liikumise erijuht, trajektooriks ringjoon või selle osa Tiirlemine - keha liigum mööda sirgjoonelist trajektoori ja selle raadiuse keskpunkt on väljaspool keha Pöörlemine - punkt, mille ümber keha liigub, on keha sees, keha eri punkti sooritavad eri trajektoori, keha ei saa vaadelda punktmassina Pöördenurk - selle võrra pöördub ringliikumisel keha asukohta ja trajektoori kõveruskeskpunkti ühendav raadius [ƒ ; rad] Radiaan - kesknurk, mis toetub kaarele, mille pikkus on võrdne selle ringjoone raadiusega [360° = 2π rad; 1 rad = 57°; ƒ = l / r] Pöörlemisperiood - ajavahemik, mille jooksul läbitakse 1 täisring [T - s; T = t/n] Pöörlemissagedus - ajaühikus tehtavate täisringide arv [f - Hz; f = 1 / T] Joonkiirus - ühtlase ringliikumise teepikkuse ja aja jagatis [v = l / t] Nurkkiirus - võrdne ajaühikus sooritatava pöörde nurgaga [v = ω*r; oomega; ω = 2πf - pöörlemissagedus; ω = 2π/T]
selle punkti kaugused puutepunktidest on võrdsed. Ringjoone pikkus C = 2r = d Ringjoone kaare pikkus l, mis vastab kesknurgale (kraadides), avaldub valemina r l= 180 o d 2 Ringi pindala S = r 2 = 4 Ringide pindalad suhtuvad nagu nende raadiuste või diameetrite ruudud. (kraadides), avaldub valemina r 2 lr Sektori pindala, mille kesknurk on S= = 360 o 2
Selleks peab enne pöördenurka paikneva piketi ja peale pöördenurka asetseva piketi vahekaugus olema 100+D m. Peale pikettide ülekandmist kõverale jääb nende vahekaugus võrdseks s γ =180 ° 100 m-ga. Pikettide kandmiseks kõverale tuleb leida kaare kesknurk π∗R . Piketi asukoha kaarel leiame suuruste x=R∗sinγ ja y=R∗(1−cosγ) kaudu. Piketi kaarele kandmiseks leitakse vahe s-x, mis mõõdetakse pöördenurgast mööda tangenslõiku tagasi kõvera alguse KA suunas. Saadud punktist mõõdetakse ristsirge suunas leitud suurus y ning seal asetsebki kaarele kantud pikett. 3. Teetrassi mahamärkimise kavandamine, reeperite paigutamine, sidumine põhivõrguga, märkide valik
selle punkti kaugused puutepunktidest on võrdsed. Ringjoone pikkus C 2r d Ringjoone kaare pikkus l, mis vastab kesknurgale (kraadides), avaldub valemina r l 180 o d 2 Ringi pindala S r 2 4 Ringide pindalad suhtuvad nagu nende raadiuste või diameetrite ruudud. r 2 lr Sektori pindala, mille kesknurk on (kraadides), avaldub valemina S 360 o 2
Kolmnurga mediaaniks nimetatakse elementaargeomeetrias kolmnurga tipust vastaskülje ke skpunkti tõmmatud lõiku või selle pikkust. Kolmnurgal on kolm mediaani. Kõik nad lõikuvad ühes punktis, mida nimetatakse mediaanide lõikepunktiks. 34.Kõrvunurgad(Näide31) Tippnurgad-võrdsed(Näide32) Lähisnurgad-asuvad kõrvuti ühel ja samal sirgel(Näide 33) Põiknurgad-asuvad ühel ja samal sirgel aga mitte kõrvuti(Näide34) 35.Kesknurk on ringjoone kahe raadiuse vaheline nurk. Ringjoone punktist tõmmatud kahe kõõlu vahelist nurka nim.piirdenurgaks.(Näide 35) Kõik ühele ja samale kaarele ulatatavad piirdenurgad on võrdsed Piirdenurk on pool temaga samale kaarele toetavast kesknurgast 36. Ringjoone pikkuse saab arvutada valemiga: C=2· ·r Ringi pindala saame arvutada valemiga S = · r2 37.sirgel millel on ringjoonega ainult üks ühine punkt nim.puutujaks.(Näide36) 38
, - piirdenurgad a b (a-b)2=(b-a)2 = Aritmeetiline keskmine ` - kesknurk a - b= - (b-a) b a a -n (a1+a2):2; (a1+a2+...+an):n Pöördvõrdeline seos : y = a - b - (b - a) 1 Geomeetriline keskmine Ruut
r l= r kaare raadius 180 r l 1 2 Sektori pindala: S= = r x 2 2 r 2 S= 360 Piirdenurk on ringjoone mingist punktist lähtuva kahe kõõlu vaheline nurk, mis toetub nurga haarade vahele jäävale kaarele. Kesknurk on ringjoone keskpunktist tõmmatud kahe raadiuse vaheline nurk, mis toetub kaarele. Piirdenurk võrdub poolega samale kaarele toetuvast kesknurgast. Ühele ja samale kaarele toetuvad piirdenurgad on võrdsed. Diameetrile toetuv piirdenurk on täisnurk. NURGAD Kahe sirge lõikamisel tekkinud kõrvunurkade summa on 180° ning tippnurgad on võrdsed. Kaks sirget on paralleelsed parajasti siis, kui nende lõikamisel kolmanda sirgega tekkinud · Kaasnurgad on võrdsed
α,β - piirdenurgad ⎛a⎞ ⎛b⎞ (a-b)2=(b-a)2 ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ Aritmeetiline keskmine α` - kesknurk a - b= - (b-a) ⎝b⎠ ⎝a⎠ a −n (a1+a2):2; (a1+a2+…+an):n Pöördvõrdeline seos : y = a − b − (b − a) ⎛1⎞ Geomeetriline keskmine Ruut
liiki, projekteerimise tehnilisi tingimusi. T tangens kõvera puutujapikkus nurgatipust kõveraalguseni või kõveralõpuni K ringikõverapikkus vahe kaugus kõvera alguse ja lõpuvahel e. kaare pikkus bisektor nurgapoolitaja D mõõduliig trassi lühenemine tangensilt kõverale ülemineku tõttu T = R * tan ( / 2); K = * R * / 180o; = R (sec ( / 2) 1); D = 2 * T * K Ristjoonte viis: Arvutatakse valitud kaarepikkusele K vastav kesknurk = 180o / (*R ) * K Arvutatakse kõvera punktide ristkoordinaadid X1 = R sin Y1 = R (1 cos ) X2 = R sin 2 Y2 = R (1 cos 2 ) KA = NP T KL = KA + K KK = KA + K / 2 = KL K / 2 44. Trassi nivelleerimine. Tavaliselt nivelleeritakse trassi tehnilise nivelleerimise tingimustele vastavalt. Trass nivelleeritakse otse ja vastassuunas keskelt nivelliiriga. Kui trassi mõlemas otsas
liiki, projekteerimise tehnilisi tingimusi. T tangens kõvera puutujapikkus nurgatipust kõveraalguseni või kõveralõpuni K ringikõverapikkus vahe kaugus kõvera alguse ja lõpuvahel e. kaare pikkus bisektor nurgapoolitaja D mõõduliig trassi lühenemine tangensilt kõverale ülemineku tõttu T = R * tan ( / 2); K = * R * / 180o; = R (sec ( / 2) 1); D = 2 * T * K Ristjoonte viis: Arvutatakse valitud kaarepikkusele K vastav kesknurk = 180o / (*R ) * K Arvutatakse kõvera punktide ristkoordinaadid X1 = R sin Y1 = R (1 cos ) X2 = R sin 2 Y2 = R (1 cos 2 ) KA = NP T KL = KA + K KK = KA + K / 2 = KL K / 2 44. Trassi nivelleerimine. Tavaliselt nivelleeritakse trassi tehnilise nivelleerimise tingimustele vastavalt. Trass nivelleeritakse otse ja vastassuunas keskelt nivelliiriga. Kui trassi mõlemas otsas
1 lm (luumen) on valgusvoog, mida kiirgab valgusallikas valgustugevusega 1cd ruuminurga ühikusse 1sr. 1 lx (luks) on selline valgustatus, mille korral valgusvoog 1lm jaotub ühtlaselt pinnale 1 m 2. 1 N on jõud, mis annab kehale massiga 1kg kiirenduse 1m/s 2. 1 Pa on rõhk, mille korral 1m2 pinnale mõjub jõud 1N. 1 q on elektrilaeng, mis läbib juhi ristlõiget 1 s joksul, kui voolutugevus juhis on 1A. 1 rad on kesknurk, mis toetub raadiuse pikkusele kaarele. 1 sr on selline ruuminurk, mis toetudes tipuga kera keskpunkti, haarab kera pinnast raadiuse ruuduga võrdse pindala. 1 T on sellise homogeense magnetvälja magnetiline induktsioon, mille korral vooluraamile pindalaga 1m2 ja voolutugevusega 1A mõjub max pöördemoment 1Nm. 1 V on selline elektrivälja potentsiaal, mille korral 1-kulonilise laengu lõpmatusse viimisel tehakse 1J tööd.
krvunurgad. Vlisnurkade summa vrdub tisprdega ehk 360 kraadi. 30. Kolmnurga kesklik. * Kolmnurga keskliguks nimetatakse tema kahe klje kekspunkte ahendavat liku. *Kolmnurga kesklik on lik, mis hendab kolmnurga klgede keskpunkte 31. Trapetsi kesklik. * Trapetsi kesklik on paralleelne alustega ja vrdub aluste poolsummaga. 32. Kolnurga mediaan. * Kolmnurga mediaaniks nimetatakse liku , mis hendab kolmnurga tippu selle vastasklje keskpunktiga. 33. Kesknurk. * Kesknurgaks nimetatakse nurka, mille tipp asetseb ringi keskpunktis. 34. Ringjoone kaar. * Ringjoone osa tema kahe punkti vahel koos nende punktidega nimetatakse ringjoone kaareks. 35. Ringjoone kl. * Ringi kl on ringlik , mis hendab kaht ringjoone punkti. 36. Ringi sektor. * Mingit osa ringist nimetatakse ringi sektoriks. (Tisprde suurus on 380kraadi). 37. Piirdenurk. * Nurga ringjoone hise otspunktiga klude vahel nimetatakse piirdenurgaks. 38. Teoreem piirdenurgast.
30+00 6400491,60 697777,05 31+00 6400496,45 697876,93 B 31+73 6400500,00 697950,00 Kõvera piketaaz Tangensi koordinaatide süsteem Piketi Kaare pikkus Tangensi dir- Kõver PK kõveral Kesknurk fii koord. b kaugus väärtus k koord. a tan-il nurk tan-ist 5+15,27 6+00 84,73 3,03 84,69 2,24 84,8056 7+00 184,73 6,62 184,32 10,65 84,8056
52 nihe-keha lõppasukoha ja algusasukoha vahe mõõdetuna linnulennult 53 vektor-füüsikaline suurus, mida iseloomustab peale arvulise väärtuse ka suund 54 skalaar-füüsikalist suurus, mis on esitatav vaid ühe mõõtarvu ja mõõtühikuga 55 punktmass-füüsikalise keha mudel, mille puhul keha mass loetakse koondatuks ühte ruumipunkti 56 pöördenurk-nurk, mille võrra pöördub ringliikumises oleva keha trajektoori raadius mingi aja jooksul 57 radiaan-pöördenurga mõõtühik, kesknurk, millele vastav ringjoone kaare pikkus võrdub ringjoone raadiusega 58 reaktiivliikumine-selle liikumise põhimõtteks on, et lõhkeaine põlemisel tekkivate gaaside rõhu tõttu liigub raketi kest koos kütuse tagavaraga gaaside liikumisele vastassuunas. 59 sekund-ühik aja mõõtmiseks, igapäevases ajaarvestuses on sekund 1/60 minutit ehk 1/3600 tundi 60 suletud süsteem-füüsika süsteem, millel on ümbritseva keskkonnaga energia-, kuid
projekteerimise tehnilisi tingimusi. T tangens kõvera puutujapikkus nurgatipust kõveraalguseni või kõveralõpuni K ringikõverapikkus vahe kaugus kõvera alguse ja lõpuvahel e. kaare pikkus bisektor nurgapoolitaja D mõõduliig trassi lühenemine tangensilt kõverale ülemineku tõttu T = R * tan ( / 2); K = * R * / 180o; = R (sec ( / 2) 1); D = 2 * T * K Ristjoonte viis: Arvutatakse valitud kaarepikkusele K vastav kesknurk = 180o / (*R ) * K Arvutatakse kõvera punktide ristkoordinaadid X1 = R sin Y1 = R (1 cos ) X2 = R sin 2 Y2 = R (1 cos 2 ) KA = NP T KL = KA + K KK = KA + K / 2 = KL K / 2 72. Trassi nivelleerimine. Tavaliselt nivelleeritakse trassi tehnilise nivelleerimise tingimustele vastavalt. Trass nivelleeritakse otse ja vastassuunas keskelt nivelliiriga. Kui trassi mõlemas otsas on reeperid siis
Mediaanide lõikepunkt jaotab mediaani pikkusega 60mm lõikudeks pikkustega a) 20mm, 40mm; b) 30mm, 30mm; c) 1dm, 5dm; d) 10mm, 50mm; e) 25mm, 35mm. Kui ringi pindala on 100m2, siis ringjoone raadius on a) 50m; b) 10m; c)10m; d) 10dm; e) 20m. Kui ringjoone raadius on 15dm, siis ringi pindala on a) 15dm2; b) 225dm2; c) 15dm2; d) 30dm; e) 225dm. Kui ringjoone raadius on 7cm, siis ringjoone pikkus on a) 49cm2; b) 49dm2; c) 14dm; d) 3,2dm; e) 14cm. Kui piirdenurk on 100°, siis vastav kesknurk on a) 100°; b) 150°; c) 360°; d) 200°; e) 50°. Kui mitu nurka on korrapärasel hulknurgal, kui tema sisenurk on 60° a) 6; b) 11; c) 9; d) 3; e) 8. Kui korrapärase kümmenurga külje pikkus on 16mm, siis kümmenurga ümbermõõt on a) 8mm; b) 32cm; c) 160mm; d) 32mm; e) 1,6mm Kui korrapärase kolmnurga ümberringjoone raadius on 10dm, siis selle kolmnurga pindala on a) 100dm2; b) 130dm2; c) 20dm2; d) 5m2; e) 100cm2. VALE! VALE! VALE! VALE! VALE! VALE! VALE! VALE! VALE! VALE!
Hektar pindalaühik 1ha = 10 000m2. 25. Hulkliige üksliikmete summa . 26. Hulktahukas e. polüeeder hulkadega piiratud geomeetriline keha. 27. Hüpotenuus täisnurkse kolmnurga kõige pikem külg, mis paikneb täisnurga vastas. 28. Irratsionaalarv reaalarv, mis pole ratsioonaalarv. 29. Jalg vana pikkuseühik, mis võrdub 12 tolliga. 1 jalg = 30,48cm. 30. Kaar kõverjoone kahe punkti vahele jääv osa. 31. Kaatet täisnurkse kolmnurga teravnurga vastas olev külg. 32. Kesknurk nurk, mille tipp asetseb ringi keskpunktis. 33. Kiirteteoreem kui nurga haarasid lõigata paralleelsete sirgetega, siis nurga ühel haaral tekkinud lõigud on võrdelised teise haara vastavate lõikudega. 34. Konstant suurus, mille väärtus vaadeldavas protsessis või mõttekäigus ei muutu. 35. Koonus keha, mille moodustab ühe oma kaateti ümber pöörlev täisnurkne kolmnurk. 36. Koordinaadid arvud, mis määravad üheselt punkti asukoha tasandil. 37
kasutatavatele MÕÕTÜHIKUD * Nurgaühikud * Pikkusühikud * Pinnaühikud Nurgaühikud Kasutusel on kolm erinevat tasanurkade mõõtühikute süsteemi: 1. Kuuekümnendsüsteem - nurga mõõtühik on kraad 1°=60=3600 täisnurk on 90° täisring on 360° 2. Tsentesimaalsüsteem - nurga mõõtühik on goon täisnurk on 100g täisring on 400g 1g = 0,9° 3. Radiaansüsteemi - nurga mõõtühik on radiaan 1 radiaan (1 rad) on kesknurk, mille haarade vahele jääva ringjoonekaare pikkus K on võrdne selle kaare raadiusega R. On SI-süsteemi lisaühik. Pikkusühikud Meeter võrdub vahemaaga, mille valgus läbib vaakumis 1:299 792 458 sekundiga (valguse kiirus). Eestis on alates 1. jaan 1929 kasutusel meetermõõdustik 1 km = 1000 m 1 m =10 dm =100 cm = 1000 mm 1 m = 0,4687 sülda =1,4061 arssinat = 3,2809 jalga = 39,37040tolli 1 dm = 10 cm 1 cm = 10 mm = 0,01 m 1 toll =2,54 cm =0,0254 cm Pinnaühikud
* Pikkus (m) * Mass ( kg ) * Aeg (s) * El.voolu tugevus (A) * Termodün. temperatuur (K) * Ainehulk (mol) * Valgustugevus ( cd ) L.ü. Kesknurk ( rad ) Kordsed ühikud. Eesliide Lühend Kordsus peta P 1015 tera T 1012 giga G 109 mega M 106 kilo k 103
pindala ei muutu) on koormatud painutava jõuga F (Joon. 14.1), sisejõudude analüüsiks kasutatakse lõikemeetodit: · varda koormatud osas tehakse radiaallõige (lõikemeetod); · radiaallõigetes mõjuvad sisejõud: N (pikijõud), Q (põikjõud) ja M (paindemoment); · sisejõudude epüürid on siinuselised (sinusoidi suurim ja vähim väärtus paiknevad lõigul, mille kesknurk on 90º); Kõver varras Ristlõike sisejõud Arvutusskeem Neutraalkiht K R0
a, kusjuures selle väärtuse ette tuleb panna sama märk (+,-), mis märgiga on vaadeldav trigonomeetriline funktsioon selles veerandis, kuhu kuulub esialgne nurk. 5.7 Negatiivse nurga trigonomeetrilised funktsioonid 5.8 Nurga radiaanmõõt · Kraadimõõt · Detsimaalkraadimõõt e kümnendkraadimõõt. Täisnurk jaotatakse 100 võrdseks osaks, rahvusvaheline nimetus on goon. 100g=90o · Radiaanmõõdusüsteem. Mõõtühikuks nurgaradiaan, mis on kesknurk, ms toetub raadiuse pikkusele kaarele. 180=rad 5.9 Funktsioon y=sin x Kuna sinfunktsiooni väärtused korduvad 2 järel, siis öeldakse, et sinfunktsioon on perioodiline funktsioon perioodiga 2. · Sinfunktsioon graafik lõikab x-telge iga järel alates argumendi väärtusest x=0, st kohtades x=n. Need kohad on nullkohad, sest neis kohtades sin x=0. · Suurim väärtus on 1 ja vähim -1. 5.10 Funktsioon y=cos x Koosinusfunktsioon on perioodiline funktsioon perioodiga 2
x3 K x2 y1 1 =K/R×180°/ 14 K x1 0 R Y Ristjoonte puhul x telg läheb mööda tangensit KA-st või KL-st NP poole ja y puhul on temaga risti. Märkimiseks valitakse sobiv kaare pikkus. Igale valitud kaare pikkusele vastab kesknurk . Vastavad ristjoonte pikkused arvutatakse valemitega X1=R×sin ja y1=R(1-cos). Järgmistes valemites iga kord suureneb. Koordinaadid arvutatakse välja kuni kõvera keskpunktini(KK) või veidi üle.Märkimine tehakse KL ja KA keskkoha poole. Siin kasutatakse ruletti ja linti ning ristjoone püstitamiseks teodoliiti ja selle tõttu on märkimine mõnevõrra ebamugav kuid ta on täpne. Selle meetodi puuduseks on, et y koordinaat hakkab kiiresti kasvama ja võib sattuda kinnisele maastikule.
1 lm (luumen) on valgusvoog, mida kiirgab valgusallikas valgustugevusega 1cd ruuminurga ühikusse 1sr. 1 lx (luks) on selline valgustatus, mille korral valgusvoog 1lm jaotub ühtlaselt pinnale 1 m 2. 1 N on jõud, mis annab kehale massiga 1kg kiirenduse 1m/s 2. 1 Pa on rõhk, mille korral 1m2 pinnale mõjub jõud 1N. 1 q on elektrilaeng, mis läbib juhi ristlõiget 1 s joksul, kui voolutugevus juhis on 1A. 1 rad on kesknurk, mis toetub raadiuse pikkusele kaarele. 1 sr on selline ruuminurk, mis toetudes tipuga kera keskpunkti, haarab kera pinnast raadiuse ruuduga võrdse pindala. 27 1 T on sellise homogeense magnetvälja magnetiline induktsioon, mille korral vooluraamile pindalaga 1m2 ja voolutugevusega 1A mõjub max pöördemoment 1Nm.
Kandela on valgustugevus, mida kiirgab 1/600 000 m2 absoluutselt musta keha pinda pinnaga ristiolevas suunas plaatina hangumistemperatuuril ja rõhul 101 325 Pa. Mool on süsteemi ainehulk, mis sisaldab niisama palju struktuurseid elemente, kui palju on aatomeid nukleiidis 12C massiga 0,012 kg. Struktuursed elemendid peavad olema spetsifitseeritud ja neiks võivad olla aatomid, molekulid, ioonid, elektronid ja teised osakesed või spetsifitseeritud osakeste rühmad. Lisaühikud: Radiaan on kesknurk, millele vastav kaarepikkus võrdub ringi raadiusega. Steradiaan on tipuga kera tsentrisse toetuv ruuminurk, mis haarab kera pinnal raadiuse ruuduga võrdse pindala. ENAMKASUTATAVAD SÜSTEEMIVÄLISED MÕÕTÜHIKUD Uurus Mõõtühik Tähis Seos Pikkus ongström Å 1 Å = 10-10 m Mass tonn t 1 t = 103 kg
Kineetiline energia Liikuv keha energia. Ek=mv2/2 Potsensiaalne energia Keha võib, aga ei pruugi teha tööd.Ep=mgh Energia- Keha või kehade võime teha tööd. Energia jäävuse seadus Energia ei saa tekkida ega kaduda. Ta võib muunduda ühest liigist teise või kanduda ühelt kehalt teisele.E=const Perioodilised liikumised Pöördenurk nurk, mille võrra pöördub ringjooneliselt liikuv keha ja trajektoori keskpunkti ühendav raadius. fii =l/r Radiaan Üks radiaan on kesknurk, mis vastab ringjoone kaarele, mille pikkus on võrne selle ringjoone raadiusega. (Kraadi ja radiaani seos) Nurkkiirus on füüsikaline suurus, mis näitab raadiuse pöördenurka ajaühiku kohta. l = 2f = = t r Nurkkiiruse ja joonkiiruse seos v = r t T=
3! 2!6! 2! 3! 8! 2!3! 5! 6 7 8 14 m C42 4! 10! 4!2! 8! 2! 3 4 2! 8! 2 p ( L2 ) = = 2 = : = = = , n C10 2!2! 2!8! 2! 2! 10! 2!2! 8! 9 10 15 5 2 1 P ( B ) = p ( L1) p ( L2) = = . 14 15 21 Vastus: Tõenäosus, et võetud pallid on sama värvi, on 19/40 ja 4 kollase palli saamise tõenäosus on 1/21. 5. (15p) Sektorisse, mille raadius on R ja kesknurk , on kujundatud ring. Avaldage ringi raadius ning ringi sektori pindalade suhe. Avaldage see suhe, kui = 60 o . Lahendus: Ringjoone puutuja on risti puutepunkti tõmmatud raadiusega r. Seega R r . a) VOAB on täisnurkne kolmnurk. Saame leida ringi raadiuse r. AO = R r; BO r
ÜLESANDED 1) Arvuta võrdhaarse trapetsi pindala, kui pikem alus on 44 cm ja haar 17 cm ning diagonaal 39 cm. V: 540 cm² 2) Rõnga pindala on S. Väiksema ringi raadius moodustab kümnendiku suurema S ringi ümbermõõdust. Leia suurema ringi raadius. V: R 5 25 3 3) Riigieksam 1998. Sektorisse, mille raadius on R ja kesknurk , on kujundatud ring. Avalda ringi raadius ning ringi ja sektori pindalade suhe. Arvuta see suhe, 2 sin 2 kui =60 . V : o 2 2 2 3 1 sin 2 4) Leia täisnurkse kolmnurga küljed, kui ta siseringjoone raadius on r = 6 cm ja
annaabi.ee 
