Matemaatilise analüüsi konspekt TTÜ's (0)

Matemaatiline anal¨
u¨
us I
Jaan Janno
ii
Sisukord
1 Funktsioonid ja nendega seotud m˜
oisted
1
1.1  Reaalarvud  ja  Arvtelg . Absoluutv¨a¨artuse m˜ oiste . Reaalarvudest
koosnevad hulgad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2 J¨a¨avad ja muutuvad suurused. Funktsiooni m˜oiste ja esitusviisid.
3
1.3 Funktsioonide liigid.  Konstantne  funktsioon. Astme-,  eksponent -
ja  trigonomeetrilised  funktsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.4 P¨o¨ordfunktsiooni m˜oiste.  Logaritmfunktsioon .  Arkusfunktsioonid .
8
1.5  Tehted  funktsioonidega.  Elementaarfunktsioon . Pol¨
unoom ja
ratsionaalfunktsioon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
1.6  Ilmutatud  ja ilmutamata funktsioonid. Parameetrilisel kujul an-
tud jooned ja funktsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
1.7 H¨
uperboolsed trigonomeetrilised funktsioonid. . . . . . . . . . . .
22
2  Piirv ¨
a¨
artus  ja pidevus
27
2.1 Muutuva suuruse piirprotsessid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
2.2 Jada piirv¨a¨artus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
2.3 L˜opmatult  kahanevad , l˜opmatult kasvavad ja t˜okestatud suurused. 30
2.4 Funktsiooni piirv¨a¨artus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
2.5 Funktsiooni ¨
uhepoolsed piirv¨a¨artused. . . . . . . . . . . . . . . .
37
2.6 Funktsiooni piirv¨a¨artuste omadused. . . . . . . . . . . . . . . . .
41
2.7 L˜opmatult kahanevad, kasvavad ja t˜okestatud suurused kui  funk -
tsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
2.8 L˜opmatult kahanevate ja l˜opmatult kasvavate suuruste v˜ordlemine. 43
2.9 Funktsiooni pidevus. Katkevuspunktide liigitus. . . . . . . . . . .
45
2.10 ¨
Uhepoolne  pidevus. Pidevus  hulkadel . Elementaarfunktsioonide
pidevus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
2.11 L˜oigul  pidevate  funktsioonide omadusi. . . . . . . . . . . . . . . .
52
3  Tuletis  ja  diferentsiaal
57
3.1 Tuletise, diferentseeruva funktsiooni ja diferentsiaali m˜oisted. . .
57
3.2 N¨aiteid  tuletiste  kohta rakendustes. . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
3.3 Tuletiste arvutamise p˜ohireeglid . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
3.4 Ilmutamata funktsiooni, p¨o¨ordfunktsiooni ja parameetrilise funk-
tsiooni  diferentseerimine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
iii
3.5 Joone  puutuja  ja normaalsirge. Diferentseeruvuse geomeetriline
sisu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
3.6 Diferentsiaal kui funktsiooni muudu  peaosa . Diferentsiaali ge-
omeetriline sisu ja omadused. Funktsiooni lineaarne l¨ahend. . . .
69
3.7 N¨aiteid diferentsiaali ja lineaarse l¨ahenduse kasutamise kohta prak-
tilistes arvutustes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
3.8 Funktsiooni  lokaalsed   ekstreemumid .  Fermat ’  lemma  . . . . . . .
74
3.9 Keskv¨a¨artusteoreemid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
3.10 l’ Hospitali  reegel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
3.11 K˜orgemat j¨arku  tuletised  ja  diferentsiaalid . . . . . . . . . . . . .
80
3.12 Taylori ja McLaurini pol¨
unoomid. . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
4 Tuletise  rakendused  funktsiooni  uurimisel
87
4.1 Funktsiooni kasvamine ja kahanemine. . . . . . . . . . . . . . . .
87
4.2 Lokaalsete ekstreemumite tarvilikud ja  piisavad  tingimused. . . .
88
4.3 Funktsiooni suurima ja v¨ahima v¨a¨artuse leidmine l˜oigul. . . . . .
92
4.4 Joone  kumerus , n˜ogusus ja k¨a¨anupunktid. . . . . . . . . . . . . .
92
4.5 Joone as¨
umptoodid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
5  Integraalid
103
5.1  Algfunktsioon  ja m¨a¨aramata  integraal . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.2  Integraalide  tabel. M¨a¨aramata integraali omadused. . . . . . . . 104
5.3 Asendusv˜ote ja  ositi   integreerimine  m¨a¨aramata integraali aval-
damisel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.4 Ratsionaalfunktsioonide integreerimine. Ratsionaalfunktsiooni in-
tegraalile taanduvad integraalid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.5  Integraalsumma  ja m¨a¨aratud integraal. . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.6 M¨a¨aratud integraali geomeetriline sisu. . . . . . . . . . . . . . . . 120
5.7 M¨a¨aratud integraali omadused. Integraali keskv¨a¨artusteoreem. . 122
5.8 Muutuva ¨
ulemise  rajaga  integraal.  Newton - Leibnitzi  valem. . . . 124
5.9 Asendusv˜ote ja ositi integreerimine m¨a¨aratud integraali korral. . 127
5.10 P¨aratud integraalid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.11 M¨a¨aratud integraali rakendusi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
iv
Peat¨
ukk 1
Funktsioonid ja nendega
seotud m˜
oisted
1.1
Reaalarvud ja Arvtelg.
Absoluutv¨
a¨
artuse
m˜
oiste. Reaalarvudest koosnevad hulgad.
Enne arvu m˜oiste k¨asitlemist toome sisse m˜oned hulkadega seotud t¨ahised.
Hulk (tavalises m˜ottes) koosneb elementidest (e hulga liikmetest),  kusjuures
elemendid ei kordu ja nende j¨arjestus ei ole kindlaks m¨a¨aratud. Hulga t¨ahistami-
seks eraldame vaadeldavad elemendid  komadega  ja piiritleme hulga loogeliste
sulgudega . N¨aiteks < on elementidest 0, 7 ja 5 koosnev hulk. Hulk v˜oib
olla antud ka keerulisemal kujul. N¨aiteks < on hulk, mille ele-
mendid on arvutatavad valemiga x2, kusjuures x v˜oib omandada v¨a¨artusi 1, 2
ja 3. Viimase hulga v˜oib muidugi panna kirja ka ekvivalentsel kujul <.
Peale  tavaliste  hulkade kasutame edaspidi ka j¨arjestatud hulki. J¨arjestatud
hulk koosneb samuti elementidest, kuid selles hulgas on iga kahe elemendi koh-
ta on v˜oimalik ¨oelda,  kumb  neist on eelnev, kumb j¨argnev. Tavalise hulga ja
j¨arjestatud hulga eristamiseks lepime kokku, et viimase t¨ahistamisel kasutame
loogeliste  sulgude  asemel ¨
umarsulgi. Peale selle lubame j¨arjestatud hulga ele-
mentidel ka korduda. N¨aiteks (−1, 1, −1, 1, . . .) on j¨arjestatud hulk, milles −1-le
j¨argneb 1, sellele omakorda −1 jne.
Naturaalarvude hulk on N = < ja t¨aisarvude hulk on Z =
<.
T¨aisarvude baasil defineerime ratsionaalarvud. Ratsionaalarvuks nimetatakse
kahe t¨aisarvu p ja q jagatist p/q, kusjuures q = 0. Ratsionaalarvude hulga t¨ ahis
on Q. Seega, l¨
uhidalt kirjutades Q = <. Iga ratsionaalarvu
q
saab esitada kas l˜opliku v˜oi l˜opmatu perioodilise k¨
umnendmurruna.
L˜opmatuid mitteperioodilisi k¨
umnendmurde nimetatakse irratsionaalarvudeks.
Irratsionaalarvude hulga t¨ahis on I. ¨
Uks ja sama arv ei saa olla samaaegselt nii
1
ratsionaal - kui ka irratsionaalarav. Seet˜ottu ei oma ratsionaalarvude ja irrat-
sionaalaarvude hulgad ¨
uhisosa, st Q ∩ I = ∅.
Ratsionaalarvud ja  irratsionaalarvud  kokku moodustavad  reaalarvude  hulga.
Reaalarvude hulga t¨ahis on R. Seega R = Q ∪ I.
Arvtelje m˜
oiste. Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on valitud  nullpunkt ,
pikkus¨
uhik ja positiivne suund. Kasutades neid kolme parameetrit, saab arvtelje
punktidele seada vastavusse reaalarvud. T˜oepoolest,  nullpunktist  ¨
uhe ¨
uhiku
v˜orra positiivses suunas paikneb punkt, mis vastab arvule 1, poole ¨
uhiku v˜orra
negatiivses suunas paikneb punkt, mis vastab arvule −1/2 jne. V˜oib v¨aita,
et igale arvtelje punktile vastab ¨
uks ja ainult ¨
uks  reaalarv  ja vastupidi: igale
reaalarvule vastab ¨
uks ja ainult ¨
uks arvtelje punkt. ¨
Oeldu p˜ohjal saab reaalarvud
samastada sirge (arvelje) punktidega.
Olgu tasandil antud kaks  arvtelge , mis on ristuvad oma nullpunktides. Need
moodustavad tasandil nn koordinaatteljestiku. Tasandi punkti ristkoordinaatideks
nimetatakse selle punkti ristprojektsioone koordinaatttelgedele. Igale tasandi
punktile vastab ¨
uks ja ainult ¨
uks ristkoordinaatidest moodustatud arvupaar ja
vastupidi: igale arvupaarile vastab ¨
uks ja ainult ¨
uks tasandi punkt. Matemaatikas
t¨ahistatakse tavaliselt ¨
uhel ristuvatest koordinaattelgedest olevat olevat arvu
x-ga ja teisel koordinaatteljel  oleval  arvu y-ga.
Sel juhul on tegemist xy-
teljestikuga ja me saame r¨a¨akiga tasandil asuva punkti x- ja y-koordinaatidest.
Absoluutv¨
a¨
artuse m˜
oiste.  Reaalarvu  a absoluutv¨a¨artuseks nimetatakse j¨arg-
mist mittenegatiivset reaalarvu:
a
kui a ≥ 0
|a| =
−a kui a  0 on ¨
umbruse raadius. Arv x kuulub
arvu a ¨
umbrusesse (a − ε, a + ε) siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus  arvteljel
on arvust a v¨aiksem kui ε, st |x − a|  M .
Suuruse  miinus  l˜opmatus ¨
umbruseks nimetatakse  suvalist  vahemikku
(−∞, −M ), kus M > 0. Arv x kuulub miinus l˜opmatuse ¨
umbrusesse (−∞, −M )
siis ja ainult siis, kui x  0, siis on graafiku ”k˜ orgus ” positiivne, st
graafik  paikneb ¨
ulalpool x-telge. Kui aga f (x)  0
x2
G
x
x
1
f (x2)  0 nii, et iga x ∈ X korral kehtib v˜ ordus  f (x + C) = f (x).
V¨aikseimat sellist konstanti C nimetatakse funktsiooni f  perioodiks .
Kasvavad ja kahanevad funktsioonid. Olgu D funktsiooni f m¨a¨aramispiir-
konna alamhulk. Valime hulgast D kaks suvalist arvu x1 ja x2 nii, et kehtib
v˜orratus
x1  0, siis on k˜
oik need funktsioonid
suvalise reaalaravu x korral m¨
a¨
aratud. Kui a  0, siis X = R ja kui
a  0, siis on taolised funktsioonid x ≥ 0 korral m¨
a¨
aratud. Kui a  0, siis X = [0, ∞) ja
kui a  0. Lisaks sellele
v˜orratusele eeldame veel, et a = 1, sest a = 1 korral saame konstantse funkt-
siooni y = 1x = 1. Eksponentfunktsiooni korral
X = R ja Y = (0, ∞).
Graafik on juhtudel a > 1 ja 0  1 ja 0