- 2 - 2 - 2 2 2 2 2 sin = m = Arcsin m -1 m 1 Arcsin m = ( -1) n arcsin m + n - arcsin m 2 2 sin = m 2
x x2 2. (sin x) = cos x. 3. (cos x) = - sin x. 1 4. (tan x) = . cos2 x 1 5. (cot x) = - . sin2 x 6. (ax ) = ax ln a a > 0, a = 1. 7. (ex ) = ex . 1 8. (loga x) = a > 0, a = 1. x ln a 1 9. (ln x) = . x 1 10. (arcsin x) = 1 - x2 1 11. (arccos x) = - 1 - x2 1 12. (arctan x) = 1 + x2 1 13. (arccot x) = - 1 + x2 14. (sh x) = ch x 15. (ch x) = sh x 1 16. (th x) = ch2 x 1 17. (cth x) = - sh2 x Diferentseerimisreeglid
1 - cos = 2 sin 2 1 + cos = 2 cos 2 2 2 tan Liitmisvalemid ) = sin ) = sin ) = cos ) = cos Korrutise teisendamine summaks Trigonomeetrilised põhivõrrandid x = ( - 1) arcsin m + n n sin x = m, , nZ ± arccos m + 2n cos x = m, x= ,nZ tan x = m, x = arctan m + n , nZ arc cot m + n cot x = m, x= , nZ Võrrandeid: sin x = 1, sin x = - 1, sin x = 0; cos x = 1, cos x = - 1, cos x = 0;
x dx = cot x + c sin u 16 1 u x 1 (arcsin x) = 1 x 2 (arcsin u )x = 2 1 x2 dx = arcsin x + c 1 u 17
24 -2 -1 -1 nurk Leiame arvutuslikult, milline on teoreetiline nurk väljatugevuse esimese miinimumi ja teise maksimumi jaoks. Sünfaassete allikate korral on miinimumide nurgad on ligikaudselt arvutatavad valemiga: min arcsin (n - 0,5) ja maksimumide nurgad valemiga: min arcsin n d d Kiirgurite omavaheliseks kauguseks võtan d=12cm ja =0,042m, n=1 Leiame nurga esimese miinimumi jaoks min arcsin[(1-0,5)·0,042/0,12] = arcsin 0,175 =10,07 Leiame teise maksimumi nurga max arcsin(1·0,042/0,12) = arcsin 0,35 = 20,49 Arvutatud tulemused on väga lähedased mõõtmistel saadud tulemustega. Kokkuvõte:
See õpetus peax andma selguse antud seostest ja kuidas seda kõike rakendada Game Maker -is. Selle teadmine võib tulla kasuks, kui on vaja leida erinevaid nurki. Räägin siis mõningad põhitõed seoses siinus, koosinus ja tangensiga. Kõik suhted on seotud täisnurkse kolmnurgaga. Ilma täisnurgata vastavad seosed ei kehti. Pildil: a = alus / kaatet 1 b = kõrgus / kaatet 2 c = hüpotenuus A' = alfa kraad B' = beeta kraad GM funktsioonid: radtodeg(x) = teeb radiaanid kraadideks arcsin(x) = sin-1 e. siinuse pöördväärtus arccos(x) = cos-1 e. koosinuse pöördväärtus arctan(x) = tan-1 e. tangese pöördväärtus Nurkade leidmine Siinus: sin = vastaskülg / hüpotenuus Seda seost tulebki nii võtta nagu kirjutatud. Vastaskülg vaadatakse tulenevalt sellest, millist kraadi on vaja leida. Kui vaja leida A', siis tema vastaskülg on tema vastas olev külg ehk a. Vastava tehte tegemisel on vaja teha veel teisendusi, enne kui kraadi saab kätte tuleb siinusest
1.Leidsin arvutuslikult, milline on teoreetiline nurk väljatugevuse esimese miinimumi ja teise maksimumi jaoks ja võrdlesin seda katsete käigus saadud tulemusega. Võre kiirgurite omavaheliseks kauguseks võtsin d = 12 cm. Eeldasin, et kiirgurid on sünfaassed ja signaal on võrdse amplituudiga. Kui allikad on sünfaassed, siis miinimumide nurgad on ligikaudselt arvutatavad valemiga min arcsin ( n - 0,5) d kus on lainepikkus [m] ja n on naturaalarv. Selleks, et leida esimest miinimumi, võtsin n = 1. Maksimumide nurgad on ligikaudselt arvutatavad valemiga min arcsin n d kus on lainepikkus [m] ja n on naturaalarv. Selleks, et leida teist maksimumi, tuleb võtsin n = 1 (kui n = 0, saame peamaksimumi). f = 8,05 GHz = 8,05 * 109 Hz
sin = 2 1 + tan 2 2 1 - tan 2 cos = 2 1 + tan 2 2 · Trigonomeetrilised põhivõrrandid sin x = m, x = ( -1) arcsin m + n, n Z n cos x = m, x = ±arccos m + 2n, n Z tan x = m, x = arctan m + n, n Z cot x = m, x = arc cot m + n, n Z · Arkusfunktsioonide omadusi sin(arcsin x) = x cos(arccos x) = x tan(arctan x) = x arcsin( x) = arcsin x arccos( x) = arccos x
cos cos = -2sin( + ) /2 *sin( - ) /2 tan + tan = sin( + ) / (cos*cos) tan tan = sin( - ) / cos*cos) Trigonomeetriliste funktsioonide korrutise teisendamine summaks. sin*sin = 0,5[cos( - ) cos( + b)] cos*cos = 0,5[cos( + ) + cos( - )] sin*cos = 0,5[sin( + ) + sin( - )] Huvitavaid lisavalemeid. 1 + cos = 2cos2 (/2) 1 cos = 2sin 2(/2) cos + sin = 2cos( - 45°) sin8 = 2sin4*cos4 Trigonomeetriliste võrrandite lahendusvalemid . sin x = m Lahendus: x = (-1) n *arcsin m + n nZ (n on täisarv) cos x = m Lahendus: x = ± arccos m + n nZ tan x = m Lahendus: x = arctan m + n nZ cot x = m Lahendus: x = arccot m + n nZ Arkusfunktsioonid. Nurkade väärtused -90° arcsin m 90° ( -1 m 1 ) 0° arccos m 180° ( -1 m 1 ) -90°< arctan m < 90° 0°< arccot m < 90° Negatiivse nurga teisendamine positiivseks. arcsin(-m) = -arcsin m
2 1 + tan 2 1 - tan 2 cos = 2 2 1 + tan 2 · Trigonomeetrilised põhivõrrandid sin x = m, x = ( -1) arcsin m + n, n Z n cos x = m, x = ± arccos m + 2n, n Z tan x = m, x = arctan m + n, n Z cot x = m, x = arc cot m + n, n Z · Arkusfunktsioonide omadusi sin(arcsin x) = x cos(arccos x) = x tan(arctan x) = x arcsin( x) = arcsin x
2 1 + tan 2 1 - tan 2 cos = 2 2 1 + tan 2 · Trigonomeetrilised põhivõrrandid sin x = m, x = ( -1) arcsin m + n, n Z n cos x = m, x = ± arccos m + 2n, n Z tan x = m, x = arctan m + n, n Z cot x = m, x = arc cot m + n, n Z · Arkusfunktsioonide omadusi sin(arcsin x) = x cos(arccos x) = x tan(arctan x) = x arcsin( x) = arcsin x
Trigonomeetriliste funktsioonide tuletised Hüperboolne trig. 1 1 e x - e -x (sin x ) = cos x ( arcsin x ) = ( sh x ) = ch x ( arsh x ) = sh x := 1- x2 x 2 +1 2
sin x = m cos x = m tan x = m TRIGONOMEETRILISE VÕRRANDI LAHENDAMINE 1) Teisendan trigonomeetrilise võrrandi põhivõrrandiks: a) kui võimalik, lahendan ruutvõrrandi sin x; cos x või tan x järgi b) Kasutades trigonomeetrilisi valemeid teisendan vasakupoole korrutiseks, kui parem pool on 0 (null). c) Kui on käes trigonomeetriline põhivõrrand, kasutan üldlahendi valemeid. Üldlahendi valemid: a) sin x = m x= (-1) n arcsin m + n n Z arcsin m = x= (-1) n + n n Z b) cos x = m x = +- arccos m + 2n n Z arccos m = x = +- + 2n n Z c) tan x = m x = arctan m + n n Z arctan m = x = + n n Z
r = 2*D2 / = 0,63 m = 6,3*10-7 m a) D = 0,135 mm = 1,35*10-4 m r = 2*(1,35*10-4)2 / 6,3*10-7 = 0,0579 m b) D = 0,23 mm = 2,3*10-4 m r = 2*(2,3*10-4)2 / 6,3*10-7 = 0,1679 m c) D = 0,115 mm = 1,15*10-4 m r = 2*(1,15*10-4)2 / 6,3*10-7 = 0,0420 m 2. Arvutasime kiirgusintensiivsuse miinimumide kaugused kiirguse tsentrist erinevate ekraani kauguste ja pilu laiuste korral. Kasutades valemeid u = *(D / )*sin => = arcsin [u / *(D / )] x / L = tan => x = L*tan saame, et x1 = L*tan[arcsin ( / D)] x2 = L*tan[arcsin (2* / D)] a) D = 0,135 mm = 1,35*10-4 m b) D = 0,23 mm = 2,3*10-4 m L1 = 0,5 m L2 = 1,0 m L1 = 1,0 m L2 = 1,3 m x1 = 2,3 mm x1 = 4,7 mm x1 = 2,7 mm x1 = 3,6 mm x2 = 4,7 mm x2 = 9,3 mm x2 = 5,5 mm x2 = 7,1 mm c) D = 0,115 mm = 1,15*10-4 m L1 = 0,6 m L2 = 1,2 m
--- &8A4= oa*#*d*J* A6d n 4* o@$ *A *.8&e Trigonomeetnilised p6hiv6rrandid sinx=m = *=(-l)' arcsin m+nn, neZ.'2 TE 7n 1-n 2 COSX=m = X=+afCCOSm+2nIE, neZ, 0(arccosru(n JE
x 00 300 450 600 900 Trigonomeetriliste võrrandite lahendamine sin x = m Üldlahend on kujul sin x 0 0,5 2 3 1 n x = (− 1) arcsin m + nπ = II veerandi nugad 2 2 n = (− 1) arcsin m + n ⋅ 180° kus n ∈ Z. cos x 1 3 2 0,5 0 cos x = m Üldlahend on kujul 2 2 x = ±arccos m + 2nπ =
translatsioonipaar liuguri ja liikumatu lüli vahel. Seega väntmehhanismi vabadusaste W 3* n 2* p5 p4 3*3 2* 4 1 2. Punkti A koordinaadid xA = OA*cos = 40*cos yA = OA*sin = 40*sin Kui =130, siis xA = 40*cos = 40*cos 130 -25,7 cm yA = 40*sin = 40*sin 130 30,6 cm 3. Punkti B koordinaat xB = OA*cos+AB*cos = 40*cos+110*cos Siinus teoreem OA/sin=AB/sin => sin = (OA* sin)/AB =>=arcsin((OA* sin)/AB) = = arcsin((40* sin)/110) arcsin(0,36sin) Kui =60, siis = arcsin(0,36*sin) = arcsin(0,36*sin130) 16 xB = 40*cos+110*cos = 40*cos130+110*cos16 80,0 cm 4. Punkti C koordinaadid xC = OA*cos+AC*cos = 40*cos+45*cos yC = (AB-AC)*sin = (110-45)*sin = 65* sin Kui =60, siis 18 ja xC = 40*cos+45*cos = 40*cos130+45*cos16 17,5 cm yC = 65* sin = 65* sin16 = 17,9 cm 5
(u+v)'=u'+v' Funktsiooni korrutise tuletis (c*u)'=c*u' (u*v)'=c'u+cu' Astmefunktsiooni tuletis (xa)'=axa-1 (x)'=1/(2x) Trigonomeetriliste funktsioonide tuletised Logaritmfunktsiooni tuletised (logax)'=1/(x ln a) (lnx)'=1/x Eksponent funktsiooni tuletised (ax)'=axln a (ex)'=ex Liitfunktsioon F ( x) = f (u ) g ( x) Veel reegleid funktsioonide tuletiste kohta: x = 1 1 1 = 2 x x c = 0 Trigonomeetrilised põhivõrrandid sin x = m, x = ( -1) arcsin m + n, n Z n cos x = m, x = ±arccos m + 2n, n Z tan x = m, x = arctan m + n, n Z cot x = m, x = arc cot m + n, n Z Funktsiooni tuletis ( xx)))=x)=cos (((F(aeax - sin ))))=)=x=) (ln axxxx)) ===)(u= (sin (cos ( x x 1x =af= a= 1ln en22(-xxa11)1 2 ) 1ag1ln xxxnx x xx
4. f(x, y ) = e x y ln y fx' = exy y lny + exy fy' = exy x lny + exy/ y Leida määramispiirkond ja kirjeldada neid 1. f (x, y) = 1 / x2 + y2 Kuna tegu on jagatisega, siis on kitsenduseks, et nimetaja st. x2 + y2 >=0 ning x >= y, kuid x=y / 0 sest vaadates funktsiooni ei saa 0 jagada, x= 0 on katkevuspunkt. x (-; 0) ja (0;), kuid funktsiooni X (0; ) 2. f (x, y) = arcsin( x2 + y2) Kitsendusena tuleb arvestada trigonomeetriliste funktsioonide omadusi, mistõttu on arcsin funktsiooni määramispiirkond X [-1; 1] 3. f (x, y) = 1 /(z x2 y2 ) Kitsendusena peab arvestama, et juure all olev avaldis on > 0 ja x2< z > y2 z x2 y2 > 0, x2< z y2 Mistõttu selle funktsiooni määramispiirkond on X (0; )
tan x' = 2 1 cos x cos 2 x dx=tan xC 1 cot x '=- 2 1 sin x sin2 x dx=-cot xC Arkusfunktsioonid 1 1 arcsin x ' = dx=arcsin xC 1-x 2 1-x 2 1 1 arctan x' = 1x 2 1x 2 dx=arctan xC Konstantne tegur kf x ' =kf ' x kf x dx=k f x dx
külje c vastasnurk 2ac = 180o - - = 180 - - o = 180o - - a sin b sin c sin = arcsin = arcsin = arcsin b a b a sin b sin c sin = arcsin = arcsin = arcsin c c a 6) Koonus
Loetleme siinkohal üles põhilised elementaarfunktsioonid: 1) konstantne funktsioon y = c ; 2) astmefunktsioon y = x , kus on reaalarv; 3) eksponentfunktsioon y = a x , kus a on ühest erinev positiivne arv ( a > 0, a 1) ; 4) logaritmfunktsioon y = log a x , kus a on ühest erinev positiivne arv ( a > 0, a 1) ; 5) trigonomeetrilised funktsioonid y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x ; 6) arkusfunktsioonid y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x, y = arc cot x . Toome sisse liitfunktsiooni mõiste. Kui y on muutuja u funktsioon, s.t. y = f ( u ) ja u omakorda sõltub muutujast x, s.t. u = g ( x ) , siis saame, et y on muutuja x funktsioon: y= f g ( x) . Seda viimast funktsiooni nimetatakse liitfunktsiooniks. Moodustame näiteks ühe liitfunktsiooni. Olgu y = f ( u ) = u ja
pöördfunktsioon puudub, kuna igale muutuja y väärtusele funktsiooni muutumispiirkonnast vastab lõpmata palju argumendi x väärtusi. Küll aga võime leida selle funktsiooni pöördfunktsiooni sel juhul, kui ahendame tema määramispiirkonna lõiguks X = [- / 2; / 2] 10 Näide 1 Kui X = [- / 2 ; / 2] on siinusfunktsiooni pöördfunktsiooniks vastav arkusfunktsioon: x = arcsin y, Y [-1; 1] y 2 NB! Esialgse funktsiooni y = arcsin x muutumispiirkonnast saab 1,5 y= x pöördfunktsiooni 1
x dx = cot x + c sin u 16 1 u x 1 (arcsin x) = 1 x 2 (arcsin u )x = 2 1 x2 dx = arcsin x + c 1 u 17
korral funktsiooni y = f(x) väärtust saab arvutada. Tähistatakse tähega X. Meenutame tingimusi, mille koral eksisteerivad järgmised matemaatilised operatsioonid: a murd eksisteerib, kui b 0 ; b paarisaste juur 2n a eksisteerib, kui a 0 ; murd, kus b 2 n a eksisteerib, kui a 0 ; arvu logaritm log a N eksisteerib, kui N 0 ; arkussiinus arcsin x eksisteerib, kui x 1 1 x 1 ; arkuskoosinus arccos x eksisteerib, kui x 1 1 x 1 ; 3x 1 Näide 1. Leida funktsiooni y määramispiirkond. x2 1 3x 1 Lahendus. Murd on määratud, kui selle murru nimetaja ei ole võrdne nulliga. Sellepärast x2 1
5. lim x . 6. lim x 2 - 5 x + 6 - x . 7. lim . x x +1 x + x0 x 1 +x3 8. y = 1 + x . V2 1. , , . : 1 f ( x ) = arcsin ( 3 x - 9) + . 2 2 2 x - 5 x +1 x -8 1 -x2 2. xlim . 3. lim 3 . 4. lim . 3 3x 6 + 7 x8 x -2 x 1 sin (x ) x -1 5. lim x +2
y ' = lim = lim x 2 lim cos x x 0 x 2 x / 20 x0 2 2 2 = cos x MOTT. 2 Ülesanne (kodus): Leida y = cos x tuletis. Diferentseerimise põhivalemid 1 y = const y' = 0 y = arcsin x y' = 1- x2 y = x y ' = x -1 1 1 y = arccos x y' = - y= x y' = 1- x2 2 x 1 1 1 y = arctan x y' = y= y' = - 2 1+ x2 x x 1
x3 - 5x2 + 3x + 9 lim . x3 x3 - 8x2 + 21x - 18 4. Arvutada piirv¨aa¨rtus l'Hospitali reeglit kasutades: (1 - x)2 lim . x1 1 - sin x 2 5. Arvutada piirv¨aa¨rtus l'Hospitali reeglit kasutades: lim arcsin x cot x . x0 6. Arvutada piirv¨aa¨rtus l'Hospitali reeglit kasutades: x 1 lim - . x1 x - 1 ln x 7. Leida funktsiooni f (x) = 6 + 8x3 - x4 kasvamis- ja kahanemispiirkonnad ning lokaalsed ekstreemumid. 8. Leida funktsiooni 3
c'=0 x'=1 (c × x)'=c (1/x)'=-1/x2 (√x)'=1/2√x (xn)'=n × xn-1 (ax)'=axIn a (ex)'=ex (In x)'=1/x (logax)'=1/x In (sin x)'=cos x (cos x)'=-sin x a (tan (cot x)'=- (arcsin x)'=1/cos2x 1/sin2x x)'=1/√1-x2 (arccos x)'=- (arctan (arccot x)'=- 1/√1-x2 x)'=1/1+x2 1/1+x2
( ln x ) = 1 ( log a x ) = 1 (a ) = a x x ln a x x ln a (sin x ) =cos x (cos x ) =-sin x ( tan x ) = 1 cos 2 x -1 ( arcsin x ) = 1 ( arccos x ) = ( arctan x ) = 1 2 1-x 2 1 - x2 1+ x [u( x ) + v( x ) ] = u ( x ) + v ( x ) [u( x ) - v( x ) ] = u ( x ) - v ( x ) [c u( x )] = c u ( x ) (uv ) = u v + v u u u v - uv = v v2
2 x (a ) = a x x ln a ( ln x ) = 1 ( log a x ) = 1 x x ln a ( sin x ) = cos x ( cos x ) = -sin x ( tan x ) = 12 cos x -1 ( arcsin x ) = 1 ( arccos x ) = ( arctan x ) = 1 2 1-x 2 1 - x2 1+ x Funktsioonide summa, vahe, korrutise ja jagatise tuletise valemid: [ u( x ) + v( x ) ] = u( x ) + v ( x ) [ u( x ) - v( x ) ] = u ( x ) - v ( x ) [ c u( x ) ] = c u( x ) ( uv ) = uv + v u u u v - uv = v v2
2 2 1 1 cos cos = [ cos( - ) + cos( + )] cos 2 = (1 - cos 2 ) 2 2 1 sin cos = [ sin( - ) - sin( + )] 2 Trigonomeetriliste põhivõrrandite lahendamine: Kui sin x = m , siis x = (-1) n arcsin m + n , kus n Z Kui cos x = m , siis x = ± arccos m + 2k , kus k Z Kui tan x = m , siis x = arctan m + l , kus l Z Kui cot x = m , siis x = arc cot m + t , kus t Z Aritmeetiline jada: a + an 2a + (n - 1) d a n = a1 + ( n - 1)d Sn = 1 n Sn = 1 n 2 2
cos = sin (90° - ) 1 tan = cot (90° - ) = tan(90°-) Eriväärtuste tabel: 0 30 45 60 90 180 270 360° ° ° ° ° ° ° ° 1 2 3 sin 0 2 2 2 1 0 -1 0 3 2 1 cos 1 2 2 2 0 -1 0 1 3 3 tan 0 2 1 - 0 - 0 Arkusfunktsioonid: arcsin(-x) = -arcsinx sin(arcsinx) = x arccos(-x) = arccosx cos(arccosx) = x arctan(-x) = -arctanx tan(arctanx) = x
+ - sin - sin = 2 cos sin 2 2 + - cos + cos = 2 cos cos 2 2 + - cos - cos = -2 sin sin 2 2 +tan sin ( + ) tan = cos cos Trigonomeetrilised põhivõrrandid: sin x = m x = ( -1) n arcsin m + n , n Z cos x = m x = +arccos m + 2n , n Z tan x = m x = arctan m + n , n Z
x x2 2. (sin x) = cos x. 3. (cos x) = − sin x. 1 4. (tan x) = . cos2 x 1 5. (cot x) = − . sin2 x 6. (ax ) = ax ln a a > 0, a = 1. 7. (ex ) = ex . 1 8. (loga x) = a > 0, a = 1. x ln a 1 9. (ln x) = . x 1 10. (arcsin x) = √ 1 − x2 1 11. (arccos x) = − √ 1 − x2 1 12. (arctan x) = 1 + x2 1 13. (arccot x) = − 1 + x2 14. (sh x) = ch x 15. (ch x) = sh x 1 16. (th x) = ch2 x 1 17. (cth x) = − sh2 x
sin = 2 2 1 + tan 2 1 - tan 2 cos = 2 2 1 + tan 2 · Trigonomeetrilised põhivõrrandid sin x = m, x = ( -1) arcsin m + n, n Z n cos x = m, x = ± arccos m + 2n, n Z tan x = m, x = arctan m + n, n Z cot x = m, x = arc cot m + n, n Z · Arkusfunktsioonide omadusi sin(arcsin x) = x cos(arccos x) = x tan(arctan x) = x arcsin( x) = arcsin x arccos( x) = arccos x
· tan·cot= 1 · cos= a2+c2-b2/2·a·c · sin(±)= sin·cos±sin·cos · c2= a2+b2-2·a·b·cos · cos(±)= cos·cos±sin·sin · cos= a2+b2-c2/2·a·b · tan(±)= tan±tan/1tan·tan · sin(arcsinx)= x, kui x1 · sin2= 2sin·cos · arcsin(-x)= -arcsinx · cos2= cos2-sin2 · cos(arccos)= x, kui x1 · tan2= 2tan/1-tan2 · arccos(-x)= -arccosx · 1+cos= 2cos2 /2 · tan(arctanx)= x · 1-cos= 2sin2 /2 · arctan(-x)= -arctanx · sin/2= ±1-cos/2 · arcsinx+arccosx= /2
Valin standartse laius 52mm. 6 Arvutan väikese hammasratta laiuse: b1 = b2 + (2...4) = 52 + 4 = 56mm Hambumismoodul: 2 K m M h 10 3 2 5,8 264,54 10 3 m = = 1,393 , kus d 2 b2 [ ] F2 164,1 52 258 Km = 5,8 Kaldhammaste puhul [1.lk.14] Valin standartse hambumismooduli 1,5 Hammaste kaldenurk: 4m 4 1,5 min = arcsin = arcsin = arcsin 0,11558 = 6,625 b2 52 Summarne hammaste arv: 2a cos min 2 112 cos 6,625 Z = = = 148,3361 m 1,5 Valin summarseks hammaste arvuks 148 Leian tegeliku hammaste kaldenurga: Z m 148 1,5 = arccos( ) = arccos( ) = arccos 0,991 = 7,692 = 7 41'34 '' 2 a 2 112 Väikese hammasratta hammaste arv: Z 148
Eriväärtuste tabel: 0 30° 45° 60° 90° 180 270° 360° ° ° sin 0 1 2 3 1 0 -1 0 2 2 2 cos 1 3 2 1 0 -1 0 1 2 2 2 3 1 3 tan 0 - 0 - 0 2 Arkusfunktsioonid: arcsin(-x) = -arcsinx sin(arcsinx) = x arccos(-x) = arccosx cos(arccosx) = x arctan(-x) = -arctanx tan(arctanx) = x Ande Andekas-Lammutaja Trigonomeetriline võrrand
Korrutise _ teisendus _ summaks : 3 1 3 0 0 1 sin · sin = [ cos( - ) - cos( + ] 2 1 cos · cos = [ cos( + ) + cos( - )] Võrrandite üldlahendid: 2 sin x = m 1 sin · cos = [ sin( + ) + sin( - )] x = (-1)K arcsin m + n 2 x = (-1)K ° + n180° x = (-1)K r + n cos x = m x = ±arccos m + 2n x = ±° + n360° x = ±r + 2n tan x = m x = arctan m + n x = ° + n180° x = r + n Summa teisendus korrutiseks: sin( + ) sin( - ) tan + tan = tan - tan =
Trigonomeetrilised võrrandid Kordamine (lai matemaatika) 1. Trigonomeetrilised põhivõrrandid Näide: sin x = 0,3342 arcsin 0,3342 = 19,5 0 Vastus : x = ( - 1) 19,5 0 + n 180 0 , n Z n Näide: Lahenda võrrand lõigul - 90 ;90 0 0 [ ] 2 cos 3 x + 2 = 0 3x = ±135 0 + n 360 0 , n Z : 3 n = 1 x = ±45 0 + 1 120 0 2 cos 3 x = - 2 : 2 x = ±45 0 + n 120 0 , n Z x3 = 165 0 (ei sobi ), x 4 = 75 0
Funktsiooni y = sinx pööramisel ahendatakse tema määramispiirkond kokkuleppeliselt lõiguks [ −π π ; 2 2 ] . Seega on funktsioon y = sin x, x ∈ [ −π π ; 2 2 ] on üksühene. Selle funktsiooni pöördfunktsiooni nimetatakse arkussiinuseks ja tähistatakse x = arcsin y. Kehtivad seosed arcsin[sin x] = x ja sin[arcsin y] = y. Funktsiooni y = cos x, mis ei ole samuti üksühene kogu arvteljel, pööramisel ahendatakse tema määramispiirkond lõiguks [0, π]. Funktsiooni y = cos x, x ∈ [0, π] pöördfunktsioon kannab nimetust arkuskosinus ja seda täühistatakse x = arccos y. Kehtivad valemid arccos[cos x] = x ja cos[arccos y] = y Funktsioonide y = tan x ja y = cot x p¨o¨oramisel ahendatakse tan x
1 + cos = 2 cos 2 2 1 - cos = 2sin 2 2 3.12 Korrutise teisendamine summaks 1 sin sin = cos ( - ) - cos ( + ) 2 1 cos cos = cos ( - ) + cos ( + ) 2 1 sin cos = sin ( - ) + sin ( + ) 2 tan + tan tan tan = cot + cot 3.13 Trigonomeetriliste funktsioonide pöördfunktsioonid (arkusfunktsioonid) 1. arcsin m on absoluutväärtuselt vähim nurk, mille siinus on m: sin ( arcsin m ) = m , kusjuures - arcsin m , 2 2 -1 m 1 . 2. arccos m on vähim mittenegatiivne nurk, mille koosinus on m: cos ( arccos m ) = m , kusjuures
Peamine probleem trigonomeetriliste funktsioonide pööramisel on see, et nad ei ole terves oma määramispiirkonnas üksühesed. Seetõttu ei ole võimalik saada neile funktsioonidele terves oma määramispiirkonnas 2 üheseid pöördfunktsioone. Pöördfunktsiooni defineeritakse nende funktsioonide määramispiirkondade alamhulkadel. arcsin[sin x] = x ja sin[arcsin y] = y, neist esimene iga x [-/2, /2] korral. arccos[cos x] = x ja cos[arccos y] = y, neist esimene iga x [0, ] korral. arctan[tan x] = x , tan[arctan y] = y , arccot[cot x] = x , cot[arccot y] = y, neist esimene iga x (-/2, /2 ) ja kolmas iga x (0, ) korral. Arkusfunktsioonide määramispiirkonnad ja väärtuste hulgad on järgmised: y = arcsin x : X = [-1, 1], Y = [-/2,/2] , y = arccos x : X = [-1, 1], Y = [0, ] , y = arctan x : X = R, Y = (-/2,/2) , y = arccot x : X = R, Y = (0, ) .
x ln a sin x cos x cos x sin x tan x 1 cos 2 x 1 arcsin x 1 arccos x arctan x 1 2 1x 2 1 x2 1 x Funktsioonide summa, vahe, korrutise ja jagatise tuletise valemid: u x v x u x v x
2 1 cos cos cos cos 2 1 sin cos sin sin 2 tan tan tan tan cot cot 3.13 Trigonomeetriliste funktsioonide pöördfunktsioonid (arkusfunktsioonid) 1. arcsin m on absoluutväärtuselt vähim nurk, mille siinus on m: sin arcsin m m , kusjuures arcsin m , 2 2 1 m 1 . 2. arccos m on vähim mittenegatiivne nurk, mille koosinus on m:
0 2 6. , µ : 1 1 - 3 2 = [1 - 3 = ] 0 1 1. y = + ) 0 = (- ;0) (0;+ ) ) ) 1 ) ,2 2 1 1 1 1 = + =2 = 2 2 1 2 2 (1) = 1 + 1 = 2 = µ 1 1 (2) = 2 + = 2 = 2 2 = = 2 = = + 2+1 3 arcsin 2 x 2. = 1 1 - 2 = 2 +1 3 1 - 2 = 1 = 3 2 1 3 1 2 3. 2 = 2 = - = - = = 3 3 3 3 3 = 3 3 1 2 3
-12 -9 -6 -3 0 3 6 9 12 -0,5 -1 Küll aga võime leida selle funktsiooni pöördfunktsiooni sel juhul, kui -1,5 ahendame tema määramispiirkonna lõiguks X = [ - / 2 ; / 2] ; sel korral on siinusfunktsiooni pöördfunktsiooniks vastav arkusfunktsioon: x = arcsin y, y [-1; 1] Pöördfunktsiooni näited (2) Näide Galilei seadus ütleb, et kõrguselt h vabalt langeva keha kiiruse v määrab valem v 2 = 2 gh. Siit saame v2 kas v = 2 gh või h= . 2g Esimene valem annab lõppkiiruse v, mille keha omandab kõrguselt h langedes. Teine valem annab kõrguse h, millelt keha peab langema, et omandada
koosinusfunktsioon y=cos X=R Y=[-1;1] -1cosx1 cos(-x)=cosx paarisfunktsioon-graafik on sümmeetriline y-telje suhtes koosinusfunktsioon on perioodiline funktsioon perioodiga 2 Tangensfunktsioon y=tan x ei tohi võrduda 90°, 270°, -90°, -270° tan(-x)=-tanx paaritufunktsioon Tangensfunktsioon on perioodiline funktsioon perioodiga Arkusfunktsioon Siinusfunktsiooni pöördfunktsioon y=arcsinx Arkussiinus x on nurk, mille siinus on x y=arcsin(-x)=-arcsin n X=(-1)arcsinm+n Koosinusfunktsiooni pöördfunktsioon y=arccosx Arkuskoosinus x on nurk, mille koosinus on x arccos(-x)=-arccosx x=±arccosm+2 Tangensfunktsiooni pöördfunktsioon y=arctanx Arkustangens on nurk, mille tangens on x arctan(-x)=-arctanx x=arctanm+n Homogeenne trigonomeetriline võrrand võib olla järgmisel kujul: 2 2 asinx+bsinx=0 asinx+bcosx+csinxcosx=0 Tuletis (x²)´=2x (u±v)´=u´±v´
Ringjoone veeremisel mööda sirget joonistab kinnispunkt tsükloidi kaari. Tsükloidi parameetrilised võrrandid: Joonis 6. Paaris- ja paaritufunktsioon Olgu funktsioonil f (x) 0-punkti suhtes sümmeetriline määramispiirkond ehk –a < x < a. f(-x) = f(x) – paarisfunktsioon f(-x) = -f(x) – paaritufunktsioon Joonis 7. Nt. (-x)2 = x2, paarisf. (-x)3 = -x3, paarituf. sin(-x) = -sinx, paarituf, cos (-x) = cosx, paarisf, tan (-x) = -tanx, paarituf, arcsin (-x) = -arcsinx, paarituf. arctan(-x) = -arctan, paarituf, arccos(-x) , ei ole paaritu ega paarisf. Perioodiline funktsioon Niisugust funktsiooni f(x), mis rahuldab tingimust f(x+t)=f (x), t≠0, iga x ja x+t korral määramispiirkonnast, nim. perioodiliseks funktsiooniks vähimat arvu t aga selle funktsiooni perioodiks. Kui on teada perioodilise funktsiooni ajagraafiku osa perioodi pikas poollõigus, siis on teada ka kogu graafik. Tuntud perioodilised funktsioonid on sinx (periood
annaabi.ee 
