10. (arcsin x) = 1 - x2 1 11. (arccos x) = - 1 - x2 1 12. (arctan x) = 1 + x2 1 13. (arccot x) = - 1 + x2 14. (sh x) = ch x 15. (ch x) = sh x 1 16. (th x) = ch2 x 1 17. (cth x) = - sh2 x Diferentseerimisreeglid Antud kaks funktsiooni u = u(x), v = v(x). 1. [u(x) ± v(x)] = u (x) ± v (x); 2. [u(x)v(x)] = u (x)v(x) + u(x)v (x); 3. Kui c on konstant, siis [c · u(x)] = cu (x). u(x) u (x)v(x) - u(x)v (x) 4. = ; v(x) v 2 (x) 1 v (x) 5. =- . v(x) v 2 (x) 6. Liitfunktsiooni y = f [(x)] tuletis y = f [(x)] (x)
10. (arcsin x) = √ 1 − x2 1 11. (arccos x) = − √ 1 − x2 1 12. (arctan x) = 1 + x2 1 13. (arccot x) = − 1 + x2 14. (sh x) = ch x 15. (ch x) = sh x 1 16. (th x) = ch2 x 1 17. (cth x) = − sh2 x Diferentseerimisreeglid Antud kaks funktsiooni u = u(x), v = v(x). 1. [u(x) ± v(x)] = u (x) ± v (x); 2. [u(x)v(x)] = u (x)v(x) + u(x)v (x); 3. Kui c on konstant, siis [c · u(x)] = cu (x). u(x) u (x)v(x) − u(x)v (x) 4. = ; v(x) v 2 (x) 1 v (x) 5. =− . v(x) v 2 (x) 6. Liitfunktsiooni y = f [ϕ(x)] tuletis y = f [ϕ(x)] ϕ (x)
y tan x 1 y ln x 1 y' = y'= cos 2 x x y cot x 1 y' = sin 2 x Diferentseerimisreeglid f g ' x0 = f ' x0 + g ' x0 f g ' x0 = f ' x0 - g ' x0 fg ' x0 = f ' x0 g x0 + f x0 g ' x0 cf ' x0 = c f ' x0 , kus c const f ' xo g xo f xo g ' xo ' f x0 g = g 2 xo
y = cos x y ' = - sin x y = ax y ' = a x ln a 1 y = ex y' = e x y = tan x y' = 1 cos 2 x y = log a x y' = 1 x ln a y = cot x y' = - 2 sin x y = ln x 1 y '= 3 x Tagasi Tehetega seotud diferentseerimisreeglid Teoreem Kui funktsioonid f ja g on diferentseeruvad punktis x0, siis ka f f + g, f - g, f g, (kui g ( x0 ) 0) g on diferentseeruvad selles punktis ja ( f + g )( x0 ) = f ( x0 ) + g ( x0 ) ( f - g )( x0 )= f ( x0 )- g ( x0 ) ( fg )( x0 )= f ( x0 ) g ( x0 )+ f ( x0 ) g ( x0 ) (cf )( x0 ) = c f ( x0 ), c = const f f ( x0 ) g ( x0 ) - f ( x0 ) g ( x0 ) 0 ( x ) = 2
Olgu antud funktsioon y = f ( x ) , x X ja olgu a X . Funktsiooni pidevus antud punktis Funktsiooni f nimetatakse pidevaks punktis a, kui lim f ( x ) = f ( a ) . Kui x a funktsioon f on pidev piirkonna X igas punktis, siis öeldakse, et funktsioon f on pidev piirkonnas X. Antud hulgal Kõikjal 10. Funktsiooni tuletis. Pidevus ja diferentseeruvus. Aritmeetiliste tehetega seotud diferentseerimisreeglid ( tõestus summa korral ). y Funktsiooni tuletis Kui on olemas piirväärtus lim , siis seda piirväärtust nimetatakse funktsiooni f x 0 x tuletiseks punktis x ja märgitakse sümbolitega: dy df ( x ) y = f ( x ) = = = y x = f x = y = f ( x )
......... 13 17. Tuletise mõiste, tuletise geomeetriline interpretatsioon (joone puutuja kaudu), tuletise leidmise skeem. ..............................................................................................................................14 18. Seos funktsiooni pidevuse ja diferentseeruvuse vahel (tõestusega). ....................................... 14 19. Funktsioonide y=sin x, y=cos x , y=loga x , y=ax tuletiste leidmine. .....................................14 20. Tehetega seotud diferentseerimisreeglid. Funktsioonide y = tan x , y = cot x tuletiste leidmine. ........................................................................................................................................ 16 21. Eeskiri pöördfunktsiooni tuletise leidmiseks. Funktsioonide y = arcsin x , y = arccos x, y = arctan x, y = arc cot x tuletiste leidmine. .......................................................................................16 22. Kirjeldada logaritmilise diferentseerimise võtet
x 0 x 2 2 Tuletise leidmine diferentseerimine. Diferentsiaalarvutus matemaatilise analüüsi osa, mis käsitleb tuletise leidmist, omadusi ja rakendusi. Funktsiooni f diferentseeruvus punktis x lõpliku tuletise f (x) olemasolu.selles Punktis. Pidevus ja diferentseeruvus: iga punktis x diferentseeruv funktsioon on pidev selles punktis. 2.Tehetega seotud diferentseerimisreeglid Teoreem 9. Kui funktsioonidel u = u (x) ja v = v (x) eksisteerivad lõplikud tuletised u punktis x ,siis ka funktsioonidel u+v, uv, uv, eksisteerivad lõplikud tuletised v punktis x, kusjuures 10 (u ± v) =u ± v, 20 (uv) =u v+ vu, 30 (cv) = cu, c=const u u v - v u 40 ( ) = , v( x) 0. v v2 3
Vastupidine ei kehti, s.t. funktsiooni pidevusest ei järeldu tuletise olemasolu selles punktis. Iga elementaarfunktsiooni tuletis on elementaarfunktsioon. Kuna kõik elementaarfunktsioonid on pidevad oma määramispiirkonnas, siis säilitavad nad seega oma pidevuse tuletise võtmisel. 16 Kordamine matemaatilise analüüsi I eksamiks matemaatika-informaatika teaduskonnas 04/05 õ.a Diferentseerimisreeglid Tehetega seotud diferentseerimisreeglid Kui funktsioonidel u = u ( x ) ja v = v( x ) on olemas tuletised punktis x, siis a) (u ± v ) = u ± v ; b) (uv ) = u v + uv ; u u v - uv c) = , (v(x ) 0) . v v2 Tõestus: a) Tähistame u + v = h . h h( x + x ) - h( x ) u (x + x ) + v( x + x ) - u ( x ) - v( x ) h( x ) = lim = lim = lim =
lõikajate piirseis. Kohal a ∈ D diferentseeruva funktsiooni f : D → R graafiku puutujaks punktis (a, f (a)) nimetatakse sirget, mis on määratud võrrandiga y = f′ (a) (x − a) + f (a) Niisiis, punktis a diferentseeruva funktsiooni f korral • punktis (a, f (a)) on funktsiooni graafiku puutujaks punkte (a, f (a)) ja (x, f (x)) läbiva lõikaja piirseis protsessis x → a, • tuletis f′ (a) on võrdne puutuja tõusuga, s.t. tõusunurga tangensiga. 23. Tehetega seotud diferentseerimisreeglid (*) Teada funktsioonide summa, vahe, korrutise ja jagatise tuletiste valemeid. (f ± g)′ (a) = f′ (a) ± g′ (a) (fg)′ (a) = f (a) g′ (a) + f′ (a) g (a) Tõestada summa ja korrutise valemid (laused 5.2 ja 5.4). Summa tõestus: Kui funktsioonid f : D → R ja g : D → R on punktis a ∈ D diferentseeruvad, siis ka funktsioonid f + g ja f − g on selles punktis diferentseeruvad ning (f ± g)′ (a) = f′ (a) ± g′ (a)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3.7.2 Bolzano–Cauchy teoreemide tõestus Heine-Boreli lemma abil . . . . . . . . . 84 3.7.3 Weierstrassi teoreemide tõestus Heine–Boreli lemma abil . . . . . . . . . . . 85 3.7.4 Cantori teoreemi tõestus Heine–Boreli lemma abil . . . . . . . . . . . . . . 85 4 Diferentseeruvad funktsioonid 87 4.1 Diferentseeruvuse mõiste ja diferentseerimisreeglid . . . . . . . . . . . . . . . 87 4.1.1 Tuletis, selle geomeetriline ja analüütiline tähendus . . . . . . . . . . 87 4.1.2 Tehetega seotud diferentseerimisreeglid . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 4.1.3 Liitfunktsiooni ja pöördfunktsiooni diferentseerimine . . . . . . . . . 91 4.2 Diferentseeruvuse keskväärtusteoreemid, nende rakendused . . . . . . . . . . 93 4.2.1 Fermat’ ja Rolle’i teoreem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 4.2
10. L~opmatult kahanevate suuruste v~ordlemine 11. Funktsiooni pidevuse m~oiste. Tarvilik ja piisav tingimus funktsiooni pidevuseks 12. Elementaarfunktsioonide pidevus 13. L~oigul pidevate funktsioonide omadused 14. Funktsiooni katkevuspunktid 15. Funktsiooni tuletise m~oiste, selle geomeetriline ja mehhaaniline t~olgendus 1 16. Pidevus ja diferentseeruvus 17. M~onede p~ohiliste elementaarfunktsioonide tuletised 18. Diferentseerimisreeglid 19. P¨o¨ordfunktsiooni tuletis 20. Liitfunktsiooni tuletis 21. Logaritmiline diferentseerimine 22. Ilmutamata funktsiooni tuletis 23. Parameetrilisel kujul esitatud funktsiooni tuletis 24. Funktsiooni diferentsiaal 25. K~orgemat j¨arku tuletised 26. Joone puutuja ja normaali v~orrandid 27. Rolle'i teoreem 28. Cauchy teoreem 29. Lagrange'i teoreem 30. L'Hospitali reegel 31. L'Hospitali reegel teistel m¨aa¨ramatuse juhtudel 32. Taylori valem 33
annaabi.ee 
