dx = x (α < t < β), täpiga tähistatakse tuletist parameetri järgi. d Ilmutamata funktsiooni tuletis: F(x, f(x))=0 → dx F(x, f(x))=0 Rolle’i teoreem: Kui funktsioon on pidev lõigul [a; b] ja diferentseeruv vahemikus (a; b) ning f (a) = f (b), siis leidub vahemikus (a; b) punkt c, kus f ′ (c) = 0. Lagrange'i keskväärtusteoreem: Kui funktsioon f on pidev lõigul [a,b] ja diferentseeruv vahemikus (a,b), siis leidub punkt c ∈ (a,b) nii, et f(b)- f(a)=f´(c)(b-a) Cauchy keskväärtusteoreem: Kui funktsioonid f ja g on pidevad lõigul [a,b] ja diferentseeruvad vahemikus f ( b )−f (a) f ' (c ) (a,b),kusjuures g´(x)≠0,siis leidubvahemikus (a,b) punkt c, et = L’Hospitali reegel:
2. iga x (x1 - , x1 + ) korral kehtib võrratus f(x) f(x1). Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne miinimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ¨umbruses (x1 - , x1 + ); 2. iga x (x1 - , x1 + ) korral kehtib v~orratus f(x) f(x1). Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni lokaalseteks ekstreemumiteks. Fermat' lemma. Kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne ekstreemum ja funktsioon on diferentseeruv selles punktis, siis f(x1) = 0. Rolle'i teoreem. Kui funktsioon f on lõigul [a, b] pidev, vahemikus (a, b) diferentseeruv ja rahuldab tingimust f(a) = f(b), siis leidub vahemikus (a, b) vähemalt üks punkt c nii, et f(c) = 0. Rolle'i teoreemil on lihtne geomeetriline sisu. See on järgmine. Nimelt teoreemi eeldustel on funktsiooni y = f(x) graafik sile joon, mille otspunktid A = (a, f(a)) ja B = (b, f(b)) asuvad x-telje suhtes samal kõrgusel. Teoreem
1. Näidata, et xϵRn korral rahuldab normi aksioome 2. puudu || x ||1: k | xk | 3. Näidata, et xϵRn korral rahuldab normi aksioome Normiks vektorruumis V nimetatakse reeglit, mis igale vektorile seab vastavusse skalaari , kusjuures on täidetud järgnevad tingimused: 1). 2). 3). 4. Tõestada üks segatuletiste võrdsuse piisav tingimus. 5. Näidata, et diferentseeruv kahe-või mitmemuutuja funktsioon on pidev. 6. Näidata, et kahe-või mitmemuutuja funktsioon on diferentseeruv, kui tema osatuletised on pidevad. 7.Liitfunktsiooni tuletise ja osatuletise valemid. Üks neist tuletada. Kui funktsioonid xi = xi (t) (i = 1; … ; n) on diferentseeruvad punktis t ja funktsioon u = f (x) on diferentseeruv punktis P(x1(t);…..; xn(t)), siis liitfunktsiooni f (x1(t); … ; xn(t)) = f (x(t)) = u(t) tuletis punktis t avaldub kujul
Kordamisküsimusi 3. teema kohta 1. Defineerida funktsiooni tuletis. Mis on diferentseeruv funktsioon ja diferentseerimine? Funktsiooni f tuletiseks punktis a nimetatakse järgmist suurust: f ( x )−f (a) f ' ( a )=lim x→ a x−a Kui funktsioon f omab punktis a lõplikku tuletist, siis öeldakse et ta on selles punktis diferentseeruv. Tuletise arvutamist nimetatakse diferentseerimiseks. 2. Esitada tuletise valem funktsiooni muudu ja argumendi muudu kaudu.
T3. Kui funktsioonil on olemas tuletis kohal x ja funktsioonil f on olemas tuletis vastaval kohal u = (x ), siis on ka liitfunktsioonil F olemas tuletis kohal x, kusjuures kehtib seos F' (x ) = f' (u)' (x ). T4. Kui piirkonnas X rangelt monotoonsel ja pideval funktsioonil f on kohal x olemas nullist erinev tuletis f'(x ), siis on pöördfunktsioonil olemas tuletis '(y) vastaval kohal y = f(x), kusjuures kehtib seos ' (y) =1/F'(x). Def2. Öeldakse, et funktsioon y=f(x) on diferentseeruv kohal x, kui tema muut sellel kohal omab kuju y=A x + , kus A on (x -st sõltumatu) konstant ja rahuldab tingimust lim x0/x=0. T5. Funktsioon y= f(x) on diferentseeruv kohal x parajasti siis, kui tal on olemas lõplik tuletis f' (x). Def3. Lõikaja PQ piirseisu, kui punkt Q läheneb piiramata punktile P mööda joont, nimetatakse joone y=f(x) puutujaks punktis P. Eeldades, et funktsioon on diferentseeruv kohal
T.5. Kinnises tõkestatud sidusas piirkonnas pidev fun. w=f(P) omab iga väärtust oma ekstremaalsete väärtuste vahel. Def.9 Suurust F'(a) nim funi z=f(x,y) osatuletiseks muutuja x järgi kohal A=(a,b) ja tähist. f'x(a,b)=f'x(A)=limh-0{[f(a+h,b)- f(a,b)]/h} Def.9' Suurust G'(b) nim funi z=f(x,y) osatuletiseks muutuja y järgi kohal A=(a,b) ja tähist. f'y(a,b)=f'y(A)= limh-0{[f(a,b+k)- f(a,b)]/h} Def.10 Öeldakse, et fun z=f(x,y) on diferentseeruv kohal P=(x,y) kui tema muudul f on kuju f=Ah+Bk+ T.6. Kui fun on diferentseeruv kohal P=(x,y) siis on ta pidev sellel kohal. T.7. Kui fun on diferentseeruv kohal P=(x,y) siis on tal olemas osatuletised f'x(P) ja f'y(P) sellel kohal. Tõestus: Eelduse kohaselt kehtivad lim(h,k)-(0,0)/(h2+k2)1/2=0 ja f=Ah+Bk+=0... T.8. Kui funil z=f(x,y) on kohal P=(x,y) pidevad osatuletised f'x(P) ja f'y(P) siis on see fun diferentseeruv kohal P. T.9
1.10 Funktsiooni tuletis DEF 1.Funktsiooni y=f(x) tuletiseks kohal x nim. funktsiooni y=f(x) muudu y ja argumendi muudu x suhte piirväärtust, kui argumendi muut läheneb nullile. f´(x)=limy/x, piirprotsessis x->0 DEF 2. Kui funktsioonil f(x) on tuletis kohal x, siis öeldakse, et funktsioon on diferentseeruv punktis x. f´(x0) <->f(x) D(x0) DEF 3. Funktsiooni y=f(x) parempoolseks tuletiseks kohal x nim. suurust f´(x+)=limy/x, piirprotsessis x->0+ DEF 4. Funktsiooni y=f(x) vasakpoolseks tuletiseks kohal x nim. suurust f´(x-)=limy/x, piirprotsessis x->0- Funktsiooni tuletis: Lause 1. Funktsiooni f(x) diferentseeruvusest punktis x järeldub selle funktsiooni pidevus punktis x,st Tõestus. Funktsiooni diferentseeruvus punktis x tähendab, et .
f(x) x Funktsiooni tuletis kohal x on võrdne 0 x x+x funktsiooni graafikule kohal x tõmmatud puutuja tõusuga. 9 Funktsiooni diferentseeruvus Funktsiooni tuletise leidmist nimetatakse funktsiooni diferentseerimiseks. Kui funktsioonil y = f (x) on tuletis punktis x = x0, siis ütleme, et funktsioon on diferentseeruv punktis x0. Kui funktsioon on diferentseeruv aga mingi piirkonna igas punktis, siis öeldakse, et see funktsioon on diferentseeruv selles piirkonnas. Teoreem. Kui funktsioonil on olemas lõplik tuletis antud kohal, siis funktsioon on pidev sellel kohal. 10 Näide Seega on pidevus funktsiooni diferentseeruvuse tarvilik tingimus. See tingimus ei ole aga piisav, sest leidub funktsioone,
monotoonne ning 𝜑̇ (𝑡) ≠ 0 (𝑡 ∈ (𝛼, 𝛽)), siis 𝑦 ′ = 𝑑𝑥 = 𝑑𝑡 𝑑𝑥 = 𝑥̇ = 𝜑̇(𝑡) (𝛼 < 𝑡 < 𝛽), täpiga 𝑑𝑡 tähistatakse tuletist parameetri järgi. 5. Ilmutamata funktsiooni tuletis. Korgemat järku tuletised. 6. Keskväärtusteoreemid. Rolle’i teoreem Kui funktsioon on pidev lõigul [a; b] ja diferentseeruv vahemikus (a; b) ning f (a) = f (b), siis leidub vahemikus (a; b) punkt c, kus f ′ (c) = 0. Lagrange'i keskväärtusteoreem: Kui funktsioon f on pidev lõigul [a,b] ja diferentseeruv vahemikus (a,b), siis leidub punkt c ∈ (a,b) nii, et f(b)-f(a)=f´(c)(b-a) Cauchy keskväärtusteoreem:Kui funktsioonid f ja g on pidevad lõigul [a,b] ja diferentseeruvad 𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎) 𝑓´(𝑐)
1. Tuletise lineaarsuse tõestus, st näidata, et saame konstandi tuletise märgi alt välja tuua ning summa tuletis on tuletiste summa. Lause: Kui funktsioonid f(x) ja g(x) on diferentseeruvad punktis x ja cR on konstant, siis selles punktis on diferentseeruv ka funktsioon cf(x) Tõestus:Korrutise tuletisest y'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) lähtuvalt, kui cR on konstant, siis y=c*f(x) tuletis on y'=f(x)*c'+f '(x)*c=0*f(x)+c*f '(x)=c*f '(x) Lause: Kui funktsioonid f(x) ja g(x) on diferentseeruvad punktis x ja cR on konstant, siis selles punktis on diferentseeruv ka funktsioon y=f(x)+g(x) Tõestus: y=f(x)+g(x) esmalt, toimides sammhaaval, tehes eraldi tehetena komponendid, saame
20. Esitada funktsiooni muut diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? Tõestada ei ole vaja. Funktsiooni muudu peaosa ja jääkliige. Olgu antud funktsioon, mis on diferentseeruv punktis a. Eeldame, et f (a)0. Valemist näeme, et funktsiooni muut y koosneb kahest liidetavast, millest esimene on diferentsiaal dy = f(a)x ja teine on . Mõlemad liidetavad on lõpmatult kahanevad protsessis x 0. Näeme, et esimene liidetav, so diferentsiaal dy on sama järku lõpmatult kahanev suurus kui x ja teine liidetav on kõrgemat järku lõpmatult kahanev suurus x suhtes. Järelikult väikese x korral hakkab diferentsiaal funktsiooni muudu avaldises domineerima
Niiet kui on täidetud see sama tingimuste kompott ja kehtivad sellised piirväärtused ja eksisteerib , siis kehtib võrdus . N. N. 1.18.Taylori polünoom. Olgu y=Pn(x) n-järku vektorruum, kus baasiks on {1, x-a, (x-a)2,...,(x-a)n} . Leian kordajad Ck: Pn(a)=C0 . Diferentseerides mõlemaid pooli, saame, et . Analoogilist mõttekäiku jätkates jõuame tulemuseni: N. P2(x)=x2+x-7 [P2(x)=5+7/1!(x-3)+2/2!(x-3)2] 1.19. Taylori valem. Kui funktsioon f(x) on kohal a diferentseeruv n-korda, siis on võimalik funktsioonile seada vastavusse n-järku Taylori polünoom: Et üldjuhul need asjad ei ole võrdsed, siis kehtib seos: Kogu seda asja nim Taylori valemiks punktis a, ning seda esimest osa Taylori n-järku polünoomiks kohal a ( Tn(x) ) ja Rn-i nim Taylori valemi jääkliikmeks. Funktsiooni f(x) Taylori valemit a=0 korral nim f-ni f(x) n-järku Maclaurini valemiks: Ja seda sama asja ilma Rn(x)-ta nim Maclaurini polünoomiks Mn(x)=. Ning selljuhul oleks
< f(x) < f(x2). Kui funktsioon on rangelt kasvav punktis x, siis leidub selline 0, et 0|x| --y/x0 Funktsiooni y = f(x) nimetatakse rangelt kahanevaks punktis x, kui leidub selline positiivne arv , et suvaliste x1 (x-,x) ja x2 (x; x + ) korral f(x1) f(x) f(x2). Kui funktsioon on rangelt kasvav punktis x, siis leidub selline 0, et 0|x| --y/x0 Fermat' teoreem väidab, et Kui F-il f(x) on punktis a lokaalne ekstreemum ja see f f(x) on diferentseeruv selles punktis, siis f-i tuletis punktis a=0 e f'(a)=0 Punkti a nim diferentseeruva f-i statsionaarseks punktiks, kui f'(a)=0 Punkti a nim f-i kriitiliseks punktiks ,kui a on statsionaare punkt või punktis a ei leidu f-il tuletist Kui punkt a on f-i statsionaarne punkt ja f''(x) on pidev punktis a ning f''(a)0, siis f-il on punktis a range lokaalne ekstreemum. Kui f''(a)0--lok max, f''(a)0--lok min Rolle'i teoreem
1.10 Funktsiooni tuletis DEF 1.Funktsiooni y=f(x) tuletiseks kohal x nim. funktsiooni y=f(x) muudu y ja argumendi muudu x suhte piirväärtust, kui argumendi muut läheneb nullile. f´(x)=limy/x, piirprotsessis x->0 DEF 2. Kui funktsioonil f(x) on tuletis kohal x, siis öeldakse, et funktsioon on diferentseeruv punktis x. f´(x0) <->f(x) D(x0) DEF 3. Funktsiooni y=f(x) parempoolseks tuletiseks kohal x nim. suurust f´(x+)=limy/x, piirprotsessis x->0+ DEF 4. Funktsiooni y=f(x) vasakpoolseks tuletiseks kohal x nim. suurust f´(x-)=limy/x, piirprotsessis x->0- 1.11 Liitfunktsiooni tuletis. Pöördfunktsiooni tuletis. Parameetriliselt esitatud funktsiooni tuletis. Ilmutamata funktsiooni tuletis. Logaritmiline diferentseerimine. Vaata näiteid vihikust! 1.12 Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised.
täisdiferentsiaaliks. Suurust d(df) nimetatakse funktsiooni f(x; y) teist järku täisdiferentsiaaliks ja tähistatakse d2f Funktsiooni f(x; y) n-järku täisdiferentsiaal defineeritakse kui esimest järku täisdiferentsiaal n-1-järku täisdiferentsiaalist, s.t dnf=d(dn-1f) Liitfunktsiooni osatuletised: Olgu g1(x1,...xm) ,...,gn(x1,...,xm) m- muutuja funkts-id punkti ARm mingis ümbruses U ja diferentseeruvad punktis A. Lisaks eeldame, et n-muutuja funkts f(y1,...,yn) on diferentseeruv punktis P(g1(A),...,gn(A)). Liitfunktsioon h(x1,...,xm)=f(g1(x1,...,xm),...,gn(x1,...,xm) on diferentseeruv punktis A, kusjuures h/xi(A)= f/y1(P) g1/x1(A)+...+ f/xyn(P) gn/x1(A), 1im Ilmutamat funktsiooni osatuletised:Olgu funktsioon y(x) antud ilmutamata võrrandiga F (x; y) = 0 ja P (x; y) olgu selle joone punkt. Kui F on diferentseeruv punktis P ja F/y(P ) 0, F ( P) - x F ( P) siis dy/dx= y
Def:Funktsiooni y=f(x) tuletiseks kohal x nimetatakse funktsiooni y=f(x) muudu Δy ja argumendi muudu Δx suhte piirväärtust, kui argumendi muut läheneb nullile. Def: Kui funktsioonil f(x) on tuletis punktis x, siis öeldakse, et funktsioon on diferentseeruv punktis x. Def: Geomeetriliselt võib funktsiooni y=f(x) interpreteerida kui selle funktsiooni graafikule punktis (x; f(x)) konstrueeritud tõusunurga tangensit. Def: Funktsiooni y=f(x) parempoolseks tuletiseks kohal x nimetatakse suurust f ´(x +) = lim Δy Δx Δ→0+ Δy Def: Funktsiooni y=f(x) vasakpoolseks tuletiseks kohal x nimetatakse suurust ...
kui: a) Funktsioon on määratud mingis ümbruses ( b) Igal puhul kehtib võrratus · Funktsiooni lokaalen miinimum Funktsioonil on punktis lokaalne miinimum, kui: a) Funktsioon on määratud mingis ümbruses b) Iga puhul kehtib võrratus Lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse funktsiooni lokaalseteks ekstreemumiteks. · Fermat' lemma Kui funktsioonil on punktis lokaalne ekstreemum ja funktsioon on diferentseeruv selles punktis siis 4. Kõrgemat järku tuletiste definitsioonid. N järku tuletis Funktsiooni n-järku tuletiseks nimetatakse selle funktsiooni n-1 järku tuletise tuletist N järku diferentsiaal Funktsiooni n-järku diferentsiaaliks nimetatakse selle funktsiooni n-1 järku diferentsiaali . Kehtib valem Kõrgemat järku diferentsiaalid Teades, et funktsiooni tuletis on , kus suurus dy
logaritmfunktsioon on pidev kohal e (s.t. siis 21. Tuletis ja diferentseeruvus. Diferentseeruva funkstiooni pidevus (*) Defineerida funktsiooni tuletis ja diferentseeruvus antud punktis. Funktsiooni f tuletiseks intervalli D punktis a nimetatakse (lõplikku või lõpmatut) piirväärtust (5.1) kui see eksisteerib. Kui piirväärtus (5.1) on lõplik (s.t. f′ (a) ∈ R), siis öeldakse, et funktsioon f on diferentseeruv punktis a ∈ D (ütleme ka diferentseeruv kohal a). Tõestada, et diferentseeruv funktsioon on pidev: Kui funktsioon f on punktis a diferentseeruv, siis on ta selles punktis pidev Eeldame, et funktsioon f on kohal a diferentseeruv, seega eksisteerib lõplik piirväärtus. Seetõttu , mis tähendabki funktsiooni f pidevust punktist a Näidata, et absoluutväärtusega määratud funktsioon ei ole kohal 0 diferentseeruv (näide 5.3).
Näide 1: Leian funktsiooni y=x2 tuletise y' suvalises punktis ( nt. x=3) (2 2 y'= lim(xx0)= lim 2 + = 2x Kui x=3, siis y'=3*2=6 Definitsioon: Kui funktsioonil y = f(x) on tuletis punktis x= x0, s.o. kui eksisteerib piirväärtus(*), siis funktsioon on argumendi antud väärtusel diferentseeruv. Teoreem: Kui funktsioon y = f(x) on diferentseeruv mingis punktis x= x0, siis on ta selles punktis pidev. Tõepoolest, kui lim(xx0) = f ' ( x ), siis = f ' ( xo ) + , kus on suurus, mis läheneb nullile, kui . Kuid siis f ' ( xo ). Siit järeldub, et See omakorda tähendab, et funktsioon f(x) on punktis x0 pidev! Järeldus: Punktis x diferentseeruv ehk omab tuletist. Funktsiooni pidevus ja diferentseeruvus on seotud: Iga diferentseeruv funktsioon on pidev! E: V: 8
segatuletiste võrdsuse piisav tingimus. 6) Diferentseeruvus. Diferentseeruva mitmemuutuja funktsiooni ja täisdiferentsiaali definitsioonid. Võrrelda diferentseeruvuse ja tuletiste seost ühe- ning mitmemuutuja funktsiooni korral. Kusjuures on kõrgemat järku lõpmata väike usurus võrreldes vektori(x, y) pikkusega ||(x, y)||2 piirprotsessis (x, y)->(0,0) Kui funktsioonil z = f (x; y) on pidevad osatuletised fx ja fy punktis P(x; y), siis funktsioon z=f(x; y) on diferentseeruv selles punktis. Kui funktsioon z = f (x; y) on diferentseeruv punktis P(x; y), siis funktsioon f on pidev selles punktis. Suurust df := fx (x; y)dx + fy (x; y)dy; kus dx := x ja dy := y, nimetatakse funktsiooni f (x; y) täisdiferentsiaaliks. Suurust d2f=d(df) nim teist järku täisdif. Kui funktsioonid xi = xi (t) (i = 1;...... ; n) on diferentseeruvad punktis t ja funktsioon u = f (x) on diferentseeruv punktis P(x1(t);.... ; xn(t)), siis liitfunktsiooni f (x1(t); ..
funktsioon. Kõrgemat järku leiame analoogselt. (u(x)/v(x))'= u'(x)v(x)-u(x)v'(x)/. Tõestus: Märkides y=f(x)=u(x)/v(x), leiame: 1) y= f(x + 6. Keskväärtusteoreemid. x)=( u(x+x))/v(x+) u(x)/v(x)=( u+u)/v+v u/v =( uv+uv - uv - uv)/v(v+v)=( uv- Rolle'i teoreem: Kui funktsioon on pidev lõigul [a, b] ja diferentseeruv vahemikus (a, b) ning f(a) = f(b), uv)/v(v+v); 2) y/x =((u/x)v u(v/x))/v(v+v); 3)y'= = (u'v uv')/, kus tuletise olemasolu siis leidub vahemikus (a, b) punkt c, kus f'(c) = 0. tõttu funktsioon v on pidev ja seega . (M.O.T.T) Lagrange'i keskvaartusteoreem: Kui funktsioon f on pidev loigul [a, b] ja diferentseeruv vahemikus (a, 4. Liitfunktsiooni tuletise valemi tuletamine. b), siis leidub punkt c (a, b), et f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)
ɛ); 2. iga x ∈ (x1 − ɛ, x1 + ɛ) korral kehtib võrratus f(x) ≤ f(x1). Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne miinimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 − ɛ, x1 + ɛ); 2. iga x ∈ (x1 − ɛ, x1 + ɛ ) korral kehtib võrratus f(x) ≥ f(x1). Fermat’ lemma - kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne ekstreemum ja funktsioon on diferentseeruv selles punktis, siis f’(x1) = 0. 20. Kõrgemat järku tuletiste definitsioonid. Olgu funktsioon y = f(x) diferentseeruv hulgas D. Siis on tema tuletis f’ hulgas D määratud funktsioon. Oletame, et f0 on samuti diferentseeruv hulgas D. Siis saame me arvutada funktsiooni f’ tuletise ehk funktsiooni f teise tuletise, mida tähistatakse f’’. Seda protseduuri võib jätkata. Funktsiooni f teise tuletise diferentseerimisel saame selle funktsiooni kolmanda tuletise f’’’ jne.
dy df ( x ) y = f ( x ) = = = y x = f x = y = f ( x ) dx dx Lagrange ' i Leibnizi Tähistus Newtoni tähistus tähistus liitfunktsiooni tähistus jne. korral Diferentseeruvus Kui funktsioonil f on lõplik tuletis kohal x, siis öeldakse, et ta on diferentseeruv sellel kohal Pidevus kui funktsioonil f on lõplik tuletis kohal x, siis on ta pidev kohal x. Diferentseerimisreeglid: 1. ( u ± v ) = u ± v 2. (uv ) = u v +uv u v - uv ( ( ) 3. u = , v x 0) v v2 SUMMA TÕESTUS: Tähistame u + v = h h h( x + x ) - h( x ) u ( x + x ) + v( x + x ) - u ( x ) - v( x )
lim f(x); x a - on lõpmatu või ei eksisteeri lim f(x); x a+ on lõpmatu või ei eksisteeri 18. Funktsiooni tuletis- funktsiooni y = f(x) tuletiseks f `(x) kohal x nimetatakse piirväärtust f ` (x) = lim y / x ; x 0 = lim f ( x + x) f(x) / x ; x 0, kui see piirväärtus eksisteerib. 19. Funktsiooni n-järku tuletis- funktsiooni n-järku tuletiseks nimetatakse tema (n 1)-järku tuletise tuletist ja seda tähistatakse f (n) (x) sümboliga. 20. Diferentseeruv funktsioon- kui funktsioonil y = f(x) on tuletis punktis x = x0, siis ütleme, et funktsioon on diferentseeruv punktis x0. Kui funktsioon on aga diferentseeruv mingi piirkonna igas punktis, öeldakse, et funktsioon on diferentseeruv selles piirkonnas. 21. Funktsiooni diferentsiaal- on antud piirkonnas X diferentseeruv funktsioon y = f(x). Selle funktsiooni tuletis piirkonna X mingis punktis x määratakse võrdusega: f ` (x) = lim y / x ; x 0
MATEMAATILINE ANALÜÜS I 0 0 0 = 0 + + + + 1! 2! ! 22) Funktsiooni kasvamise ja kahanemise seos tuletise märgiga (sõnastada vastav teoreem, tõestust ei küsi). Olgu funktsioon diferentseeruv vahemikus , . Siis kehtivad järgmised väited: 1. Kui > 0 iga , korral, siis on kasvav vahemikus , . 2. Kui < 0 iga , korral, siis on kahanev vahemikus , . 23) Funktsiooni kriitilise punkti definitsioon. Panna kirja lokaalse ekstreemumi tarvilik tingimus (põhjendust ei küsi). Panna kirja funktsiooni lokaalsete ekstreemumite piisavad tingimused (põhjendusi ei küsi).
8. Keskväärtusteoreemid. Rolle’i teoreemi tõestus. Rolle’i teoreem Kui funktsioon on pidev lõigul [a; b] ja diferentseeruv vahemikus (a; b) ning f (a) = f (b), siis leidub vahemikus (a; b) punkt c, kus f ′ (c) = 0. Tõestus: Kuna lõigul pidev funktsioon saavutab seal oma minimaalse ja maksimaalse väärtuse, siis leidub 5. Kõrgemat järku tuletised. Leibnizi valemi tõestus.
Mitmemuutuja funktsiooni mõiste. Mitmemuutuja funktsiooni piirväärtuse definitsioon. Pideva mitmemuutuja Kui funktsiooni z=f(x,y) on diferentseeruv kohal (x,y), siis funktsioon f on pidev sellel kohal. funktsiooni definitsioon. Kahemuutuja funktsiooni pidevuse geomeetriline sisu. Funktsioon z=f(x,y) on diferentseeruv kohal (x,y) siis, kui funktsioonil z=f(x,y) on pidevad osatuletised fx ja fy kohal (x,y). Kui hulga Rn igale punktile P(x1, . . . , xn) on vastavusse seatud muutuja u R kindel väärtus, siis öeldakse, et hulgal on Kui funktsiooni f(x,y) osatuletised fx(x,y) ja fy(x,y) on diferentseeruvad kohal (x,y), siis fxy = fyx kohal (x,y). defineeritud n-muutuja (skalaarväärtusega) funktsioon
funktsiooni määramispiirkonda. Funktsiooni tuletis on defineeritud järgmiselt: Kui funktsioon omab punktis lõplikku tuletist siis nimetame teda diferentseeruvaks. Tuletise leidmist kutsume aga diferentseerimiseks. · Tuletise valem argumendi muudu ja funktsiooni muudu kaudu argumendi muut kohal a funktsiooni muut kohal a Siis Teoreem Punktis a diferentseeruv funktsioon on selles punktis pidev Tõestus Kuna punktsi a diferentseeruv funktsioon on määratud punktis a siis on täidetud pidevuse esimene tingimus. Tuleb veel tõestada, et eksisteerib ja võrdub -ga · Tuletis, kui funktsioon Kui funktsioon on diferentseeruv alamhulga D kõikides punktides on ta diferentseeruv hulgas D · Põhilised elementaarfunktsioonide tuletised 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 19.
y(n)(x1) 0 ; n1 globaalseks ekstreemumiks. Teoreem 1 (ekstreemumi tarvilik tingimus) Funktsioonil Siis on järgmised võimalused: 1) g(a)=g(b) 2) g(x) on pidev lõigul [a,b] 3) g' (x) on diferentseeruv 1)n on paarisarv =>x1 on ekstreemum; vahemikus ( a,b) y=f(x) saavad olla ekstreemumid vaid nendes punktides, kus f'(x)=0 või ei eksisteeri üldse. y(n)(x1)<0=>x1 on max
23Funktsiooni muudu peaosa ja jääkliige. Olgu antud funktsioon, mis on diferentseeruv punktis a. Eeldame, et f(a)0 26l'Hospitali reegli põhjal saab 0/0 tüüpi määramatusega piirväärtuse arvutamisel üle minna piirväärtusele, mille all kasutades mõisteid: esineb esialgse murru lugeja tuletise ja nimetaja tuletise jagatis.
Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum kui: funktsioon on määratud punkti x1 mingi ümbruses ( ; ) ja iga x ( ; ) korral kehtib võrratus f(x) f(x 1). Öeldakse et funktsioonil on punktis x1 lokaalne miinimum kui: funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses ( ; ) ja iga x kuulumisel ümbrusesse korral kehtib võrratus f(x) f(x1) Sõnastada Fermat' lemma . Kui funktsioonil on punktis x1 lokaalne ekstreemum ja funktsioon on selles diferentseeruv, siis f´(x1)=0 20. Kõrgemat järku tuletiste definitsioonid. Funktsiooni y=f(x) n-järku tuletiseks nimetatakse selle funktsiooni n-1 järku tuletise tuletist ja tähistatakse f(n). 21. Funktsiooni Taylori polünoomi valem. Millal nimetatakse Taylori polünoomi McLaurini polünoomiks? Taylori polünoomi nimetatakse mcLaurini polünoomiks, kui a=0 22. Funktsiooni kasvamise ja kahanemise seos tuletise märgiga (sõnastada vastav teoreem, tõestust ei küsi).
y - y - x = 0. Diferentseerime seda x järgi: 6 y y - y - 2 x = 0, millest 6 2 5 6 y - 1 4. Rolle´i teoreem koos geomeetrilise tõlgendusega. Lagrange´i teoreem koos geomeetrilise tõlgendusega. Cauchy teoreem. Rolle´i teoreem: Kui funktsioon f ( x ) on lõigul [ a, b] pidev, selle lõigu igas seesmises punktis diferentseeruv ja lõigu otspunktides x = a ja x = b võrdne nulliga [ f ( a ) = f ( b ) = 0] , siis leidub sellel lõigul vähemalt üks seesmine punkt x = c, a < c < b , milles tuletis f ( x ) on null, s.o. f ( c ) = 0 . Lagrange´i teoreem. Kui funktsioon f ( x ) on lõigul [ a, b] pidev ja selle lõigu igas seesmises punktis diferentseeruv, siis leidub sellel lõigul vähemalt üks niisugune punkt x = c, a < c < b , et f ( b ) - f ( a ) = f ( c ) ( b - a ) . Cauchy teoreem
2. iga x (x1 - , x1 + ) korral kehtib võrratus f(x) f(x1). Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne miinimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 - , x1 + ); 2. iga x (x1 - , x1 + ) korral kehtib võrratus f(x) f(x1). Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni lokaalseteks ekstreemumiteks. Fermat' lemma - Kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne ekstreemum ja funktsioon on diferentseeruv selles punktis, siis f(x1) = 0. Tõestus : funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum. Siis, vastavalt lokaalse maksimumi definitsioonile, leidub punkti x1 ümbrus nii, et iga x korral sellest ümbrusest kehtib võrratus Selles ümbruses asuva arvu x me saame võtta punktist x1 nii vasakult kui ka paremalt. Asugu x punktist x1 vasakul. Siis x - x1 < 0. Jagame võrratuse negatiivse arvuga x - x1. Kuna negatiivse arvuga jagamisel võrratuse märk muutub vastupidiseks, saame
eksisteerib ka ja saamegi tulemuseks: , kusjuures suvalise konstandi C võtame kokku teise liidetavaga, st kahe suvalise kontsandi summa on suvaline konstat. Kuna ja siis ongi antud seos esitatav kujul . 4. Muutujate vahetus määramata integraalis. Valemi tuletamine. *Kui funktsioonil f on olemas algfunktsioon F ja t = (x) on diferentseeruv, siis kehtib muutujate vahetuse valem Eelnev tehnika on lühidalt esitatav kujul, mida nimetatakse diferentsiaali märgi alla viimise võtteks: Tõestus: dF( Integreerime, kasutades asendust t = : F( ehk F( . Seega,
a.2.1. Funktsioon f on määratud punkti x mingis ümbruses a.2.2. Iga korral kehtib võrratus a.3. Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni lokaalseteks ekstreemumiteks. b. Sõnastada ja tõestada Fermat' lemma Sõnastus: Kui funktsioonil f on punktis x lokaalne ekstreemum ja funktsioon on diferentseeruv selles punktis, siis f'(x)=0. Tõestus: b.1. b.2. 25. Sõnastada ja tõestada Rolle'i teoreem. Rolle'i teoreemi geomeetriline sisu. Sõnastada ja tõestada Cauchy teoreem. Sõnastada ja tõestada Lagrange'i teoreem. Lagrange'i teoreemi geomeetriline sisu. a. Sõnastada ja tõestada Rolle'i teoreem Sõnastus: Kui funktsioon f on lõigul [a,b] pidev, vahemikus (a,b) diferentseeruv ja
1. Tuletise, diferentseeruva funktsiooni ja diferentsiaali mõisted. Argumendi x diferentsiaal. Tuletis. Funktsiooni y = f(x) muudu y ja argumendi muudu x suhte piirväärtus kohal x argumendi muudu lähenemisel 0 nimetatakse selle funktsiooni tuletiseks kohal x ja x lim x 0 y tähistatakse y', f'(x) või st: y' = Kui viimane piirväärtus on lõplik, siis funktsioon y = f(x) on diferentseeruv kohal x. Funktsiooni tuletise leidmist nimetatakse diferentseerimiseks. 2. Seos funktsiooni diferentseeruvuse ja pidevuse vahel (vastava teoreemi tõestus, Teoreem 3.1.) Seos. Kui funktsioon y = f(x) on diferentseeruv punktis x, siis on ta selles punktis pidev. Kuid funktsiooni pidevust mingis punktis ei järeldu tuletise olemasolu selles punktis. Tõestus: Funktsioon on pidev, kui on täidetud järgmised tingimused:
Kui funktsioon ei ole konstantne lokaalse maksimumipunkti ümbruses, siis on selles punktis funktsiooni graafikul "tipp". Läbides maksimumpunkti vasakult paremale asendub funktsiooni kasvamine kahanemisega. Seevastu on lokaalne maksimum funktsiooni graafiku "org". Läbides seda punkti vasakult paremale asendub funktsiooni kahanemine kasvamisega. e. Fermat` lemma: Kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne ekstreemum ja funktsioon on diferentseeruv selles punktis, siis f`(x1)=0. e.i. Tõestus. Vaatleme juhtu, kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum. Siis, vastavalt lokaalse maksimumi definitsioonile, leidub punkti x1 ümbrus nii, et iga x korral sellest ümbrusest kehtib võrratus: f(x)-f(x1) 0 Vaatleme juhtu, kus funktsioonil on lokaalne maksimum, mistõttu peab kehtima võrratus järelikult
argumendi muudu lähenemisel nullile (kui see piirväärtus on olemas). Olgu meil funktsioon y=f(x) Joonis 10. ∆x – argumendi x muut ∆y – argumendi x muudule ∆x vastav funktsiooni muut ∆y = f (x+∆x) – f(x) Tuletise tähised: y ´ ; yx´ ; f´(x) ; (diferentsiaal) ; Tuletise definitsioon sümbolites: ∆y f ( x +∆ x )−f (x ) y ´ = lim = lim ∆ x →0 ∆ x ∆ x →0 ∆x Funktsiooni tuletise leidmist nim. diferentseeruv kui on olemas f ´(a). Kui funktsioon f(x) kirjeldab mingit protsessi (liikumist), siis selle funktsiooni tuletise väärtus kohal a on antud protsessi muutumise kiirus (intensiivsus) sellel kohal a. Joonis 11. Cos ja Sin tuletiste tabel: α+β α− β cosα-cosβ = -2sin 2 * sin 2 α+β α− β sinα+sinβ = 2sin 2 * cos 2
(sin x)= lim ( cos (x + ) ) = cos x. x 0 x 2 2 Tuletise leidmine diferentseerimine. Diferentsiaalarvutus matemaatilise analüüsi osa, mis käsitleb tuletise leidmist, omadusi ja rakendusi. Funktsiooni f diferentseeruvus punktis x lõpliku tuletise f (x) olemasolu.selles Punktis. Pidevus ja diferentseeruvus: iga punktis x diferentseeruv funktsioon on pidev selles punktis. 2.Tehetega seotud diferentseerimisreeglid Teoreem 9. Kui funktsioonidel u = u (x) ja v = v (x) eksisteerivad lõplikud tuletised u punktis x ,siis ka funktsioonidel u+v, uv, uv, eksisteerivad lõplikud tuletised v punktis x, kusjuures 10 (u ± v) =u ± v, 20 (uv) =u v+ vu, 30 (cv) = cu, c=const
f''(a)<0 korral on punktis a range lok maksimum * Kui f'ni f(x) korral f'(a)=...=f(m)(a)=0 ja f(m+1)(a)0 ning f(m+1)(x) on pidev punkis a siis 1. Juhul kui m on paaritu, siis on f'il f punktis a range lok ekstreemum, kusjuures f(m+1)(a)>0 korral on punktis a range lok miinimum ja f(m+1)(a)<0 korral on punktis a range lok maksimum.2. Juhul kui m on paarisarv, siis ei ole f'il f punktis a lok ekstreemumi. * Eeldame, et f f(x) on pidev lõigul [a-,a+] ning diferentseeruv vahemikel (a-,a) ja (a,a-) suvalise >0 korral. 1. Kui f'(x)>0 vahemikul (a-,a) ja f'(x)<0 vahemikul (a,a+), siis on f'il f punktis a lok maksimum 2. Kui f'(x)<0 vahemikul (a-,a) ja f'(x)>0 vahemikul (a,a+), siis on f'il f punkis a lok mii nimum. * Öeldakse, et f'ni f(x) graafik on kumer punktis a, kui leidub punkit a selline -ümbrus, et f'ni f(x) graafik on argumendi x väärtustel ümbrusest (a-,a+) allpool puutujat, mis on tõmmatud punktis f(x) f'ni graafikule
x 0 ( lim vv( x ) + v (x ) 2 ) 0 v(x ) + v 2 (x ) v 2 (x ) 17 Kordamine matemaatilise analüüsi I eksamiks matemaatika-informaatika teaduskonnas 04/05 õ.a Pöördfunktsiooni diferentseerimine Teoreem: Olgu funktsioonil f piirkonnas X pidev pöördfunktsioon g ja olgu f diferentseeruv kohal x, kusjuures f ( x ) 0 . Siis on funktsioon g diferentseeruv kohal y = f ( x ) ja kehtib seos 1 g ( x ) = . f ( y ) f ( x + x ) - f ( x ) f (x + x ) - f ( x ) f ( x ) = lim 0 >0 y = f ( x + x ) - f ( x ) 0
[a,b] osalõikudeks jaotamise viisist ega punktide valikust, siis öeldakse, et =1 ( ) + ()( - -1 ) + ( ()( - ) + =+1 ( ) ) + (( ) - *Kui funktsioonil f on olemas algfunktsioon F ja t = (x) on diferentseeruv, siis kehtib funktsioon f(x) on integreeruv (Riemanni mõttes) lõigul [a,b] ning seda piirväärtust ()) = 1 () + 2 () + (( ) - ()) kus 1 on lõigu [, ] tükeldus muutujate vahetuse valem nimetatakse funktsiooni f(x) määratud integraaliks ehk Riemanni integraaliks lõigul punktidega x0,x1, ..
summa tuletis on tuletiste summa). Lause: Kui funktsioonid f(x) ja g(x) on diferentseeruvad positiivne arv δ, et suvaliste x1 ϵ (x - δ; x) ja x2 ϵ (x; x + δ) korral f (x1) < f (x) < f (x2). punktis x ja cR on konstant, siis selles punktis on diferentseeruv ka funktsioon cf(x) Lause: Kui funktsioon y = f (x) on rangelt kasvav punktis x, siis leidub selline δ > 0, Tõestus:Korrutise tuletisest y’=f’(x)g(x)+f(x)g’(x) lähtuvalt, kui cR on konstant, siis y=c*f(x) tuletis on y’=f(x)*c’+f ’(x)*c=0*f(x)+c*f ’(x)=c*f ’(x) Lause: Kui funktsioonid f(x) ja g(x) on diferentseeruvad punktis x ja cR on konstant, siis
2. iga x (x1 - ²,x1 + ²) korral kehtib v~orratus f(x) f(x1). ¨ Oeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne miinimum, kui 1. funktsioon f on m¨a¨aratud punkti x1 mingis u¨mbruses (x1 - ²,x1 + ²); 2. iga x (x1 - ²,x1 + ²) korral kehtib v~orratus f(x) f(x1). Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funkt- siooni lokaalseteks ekstreemumiteks. Sõnastada ja tõestada Fermat' lemma. Kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne ekstreemum ja funktsioon on diferentseeruv selles punktis, siis f'(x1) = 0. T~oestus. Vaatleme juhtu, kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum. Siis, vastavalt lokaalse maksimumi definitsioonile, leidub punkti x1 u¨mbrus nii, et iga x korral sellest u¨mbrusest kehtib v~orratus f(x) - f(x1) 0 Selles u¨mbruses asuva arvu x me saame v~otta punktist x1 nii vasakult kui ka paremalt. Asugu x punktist x1 vasakul. Siis x - x1 < 0. Jagame v~orratuse negatiivse arvuga x - x1.
ühepoolsed piirväärtused f ( a+) = lim f(x); x a+ ja f( a- ) = lim f(x); x a - nimetatakse 1. liiki katkevuspunktiks. ( hüppekoht, kõrvaldatav katkevuskoht, ................................................... 3 17. Teist liiki katkevuspunkt - arvu a nimetatakse funktsiooni y = f(x) teist liiki katkevuspunktiks, kui lim f(x); x a - on lõpmatu või ei eksisteeri ............................................ 4 20. Diferentseeruv funktsioon - kui funktsioonil y = f(x) on tuletis punktis x = x0, siis ütleme, et funktsioon on diferentseeruv punktis x0. Kui funktsioon on aga diferentseeruv mingi piirkonna igas punktis, öeldakse, et funktsioon on diferentseeruv selles piirkonnas. ..................................... 4 1. Arvuhulgad: naturaal-, täis-, ratsionaal-, reaal- ja kompleksarvud. Nende omadused. ...............6 2. Reaalarvu absoluutväärtus, absoluutväärtuse omadused. .........................................
Teisest küljest: vastavalt omadusele 2 saavutab f iga väärtuse oma suurima ja vähima väärtuse vahel. Kuna antud juhul 0 jääb suurima ja vähima väärtuse vahele, siis kuskil peab vaadeldav funktsioon saavutama väärtuse 0. See tähendabki, et lõigul [a, b] leidub vähemalt üks punkt c, kus f(c) = 0. 18. Funktsiooni tuletise definitsioon. Diferentseeruva funktsiooni ja diferentseerimise mõisted. Tuletise valem funktsiooni muudu ja argumendi muudu kaudu. Tõestada, et diferentseeruv funktsioon on pidev. Tuletis kui funktsioon. Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised. Olgu antud funktsioon f ja kuulugu punkt a selle funktsiooni määramispiirkonda Funktsiooni f tuletis punktis a on defineeritud järgmiselt: f (a) = lim f(x) - f(a)/x-a xa Kui funktsioon f omab punktis a lõplikku tuletist, siis öeldakse et ta on selles punktis diferentseeruv. Tuletise arvutamist nimetatakse diferentseerimiseks.
lõigul [a, b] võivad esineda kas vahemikus (a, b) või ühes lõigu otspunktidest a või b. Lõigul pidev funktsioon saavutab sellel lõigul iga väärtuse oma suurima ja vähima väärtuse vahel. Kui funktsioon f on pidev lõigul [a, b] ja omandab selle lõigu otspunktides erineva märgiga väärtusi, siis leidub sellel lõigul vähemalt üks punkt c, kus f(c) = 0. 18. Kui funktsioon f omab punktis a lõplikku tuletist, siis öeldakse et ta on selles punktis diferentseeruv f(a) = Punktis a diferentseeruv funktsioon on selles punktis pidev. Tõestus. Kuna punktis a diferentseeruv funktsioon on määratud punktis a, siis on täidetud pidevuse definitsioonis toodud 1. tingimus. Jääb veel näidata 2. ja 3. tingimuse kehtivust, st tuleb tõestada, et lim xa f(x) eksisteerib ja võrdub arvuga f(a). Kuid see järeldub järgmisest võrduste reast: = = = f(a) · 0 + f(a) = f(a) . Kui funktsioon f on diferentseeruv oma määramispiirkonna
u = 3t - 2 y = sin u y = sin 2x u = 2x Liitfunktsioonil võib olla ka kolm või enam koostisosa, aga meie selliseid ülesandeid ei lahenda. Liitfunktsiooni y = f[g(x)] tuletis võrdub välise funktsiooni tuletise ja seesmise funktsiooni tuletise korrutisega. y x = y u u x 11.Kõrgemat järku tuletised. Tuletis kui funktsioon. Kõrgemat järku tuletised Kui funktsioon on diferentseeruv igas oma määramispiirkonna punktis, öeldakse lihtsalt, et funktsioon on diferentseeruv. Kui funktsioon on diferentseeruv, saame vaadelda tema tuletist funktsioonina . Sellisel juhul saame uurida funktsiooni tuletiste olemasolu. Funktsiooni tuletist nimetatakse funktsiooni teist järku tuletiseks ning tähistatakse . Kui funktsioon on diferentseeruv ehk
[ f (x) g (x)]' = f' (x) g' (x) [c f (x)]' = c f (x) [f (x) g (x)]' = f' (x) g (x) + g' (x) f (x) [f (x) / g (x)]' = [f' (x) g (x) g' (x) f (x)] / [g (x)]2 9. Keskväärtusteoreemid, L'Hospitali reegel. o Keskväärtusteoreemid: Rolle'i teoreem kui funktsiooni f (x) on pidev lõigul [a;b] ja diferentseeruv vahemikus (a;b) ning f (a) = f (b), siis vahemikus (a; b) leidub selline c, et f' (c) = 0, st f(x) C[a;b] D (a; b) ^ f (a) = f (b) c (a; b) : f' (c) = 0. Cauchy keskväärtusteoreem kui funktsioonid (x) ja (x) on pidevad lõigul [a; b] ja diferentseeruvad vahemikus (a; b), kusjuures '2 (x) + '2 (x) 0 ning vahemikus (b) (a),
𝑘=0 𝑐𝑘 𝜑𝑘 (𝑥)𝜑𝑚 (𝑥)𝑑𝑥 . Seose + 1) korda diferentseeruv punktis P(x, y), siis kehtib n-järku Taylori valem 𝑓(𝑥 + ∆𝑥, 𝑦 + ∆𝑦) = ∑𝑛𝑗=0 𝑗! (𝜕𝑥 ∆𝑥 +
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
