Pöördvõrdeline seos Maarika Virkunen Kui kahe muutuja x ja y vahelise seose saab esitada kujul ehk on antud arv (konstant), kus siis öeldakse, et muutuja y on pöördvõrdline muutujaga x Et x0, siis graafikul puudub punkt, mille abstsiss on null. Pöördvõrdelise seose omadus Ühe muutuja väärtuse suurenemisel (vähendamisel) mingi arv korda väheneb (suureneb) teise muutuja väärtus sama arv korda. Mis seos esineb järgmistes tabelites? x -8 -4 -2 -1 y 1 2 4 8 x -2 -1 1 2 y -4 -2 2 4 x -4 -1 2 5 y 2,4 0,6 -1,2 -3 x 2 4 5 8
b) milliste argumendi x väärtuste korral on funktsiooni f(x) väärtused suuremad funktsiooni g(x) väärtustest. c) Funktsiooni f(x) väärtus, kui x e sin 3 . 11. (2000) On antud funktsioon f(x) = x ln x x ln 5. 1) Leidke funktsiooni f(x) määramispiirkond, graafiku ja x-telje lõikepunkt ja miinimumpunkti abstsiss. 2) Koostage joone y = f(x) puutuja võrrand punktis, kus joon lõikab x-telge. 2 sin x 1 12. (2000) On antud funktsioon f ( x) , x (0; ) . sin x 1) Selgitage, kas funktsioon f(x) on määratud lõigul [0 ; ]. 2) Leidke vahemikus ( 0; ) a) Funktsiooni f(x) nullkohad;
7)y=tanx cosx 8) y = 9) y=sin2x x 2 x -1 2. Leia funktsiooni y= kasvamis ja kahanemispiirkonnad ja 1 - 3x ekstreemumpunktid. Määra ka nende liik. 3. Leia parabooli haripunkti koordinaadid y= 7x2+4x. 4. Leia joone y=(x+1) (x-1) (x-2) puutuja punktis , mille abstsiss on -3. x 5. Leia joone y= puutuja, mis on x -1 2 1) paralleelne sirgega x+y =5 2) risti sirgega 8x-3y=1 6. Punkti liikumisel on läbitud tee ja aja vaheline seos s=4t3-3t2+5t+8.Leia 1)algkiirus 2)hetkiirus ja kiirendus 1 sekundi lõpus. 7. Esita parabooli y= 2x2-8x +3 puutuja võrrand 1) kohal x=-2 2) juhul, kui puutuja tõus on 4 3) punktides , milles sirge y= 2x-3 lõikab parabooli. 8
funktsiooni g(x) väärtustest; 1.4. Leia funktsiooni f(x) väärtus, kui x = 10 cos 4 2. On antud funktsioon y =x 3 -5x 2 . Leia selle funktsiooni 2.1. nullkohad; 2.2. positiivsus- ja negatiivsusvahemikud; 2.3. ekstreemumkohad, nende liik ning ekstreemumpunktid; 2.4. kasvamis- ja kahanemisvahemikud; 2.5. skitseeri selle funktsiooni graafik; 2.6. graafikule puutuja punktis, mille abstsiss on 5. 3. Antud on funktsioonid f(x) = sin2x ja g(x) = sinx. 3.1. lahenda võrrand f(x) = g(x) lõigul [0;2] ; 3.2. joonesta ühes ja samas teljestikus funktsioonide f(x) ja g(x) graafikud lõigus [0;2] ; 3.3. leia joonise abil x väärtused, mille korral f(x) < g(x) 4. Kalju äärne maatükk tuleb jagada ristkülikukujuliselt kahte võrdsesse ossa nii et nende pindala oleks maksimaalne. Leia maatükkide mõõtmed, kui traadi pikkus on 600 m. 5
Joone puutuja tõus ja võrrand Olgu kõverale y = f(x) tõmmatud puutuja punktis A. Olulised mõisted: A(x0, y0) puutepunkt x0 puutepunkti abstsiss ehk x-koordinaat y0 puutepunkti ordinaat ehk y-koordinaat - puutuja tõusunurk k puutuja tõus k = y ( x 0 ) Puutuja võrrand k = tan y - y 0 = k ( x - x0 ) Puutuja võrrandi väljakirjutamiseks peavad
Ruutfunksioon on seos kahe muutuja vahel.Ühele muutujale antakse väärtused ja teine arvutatakse nende põhjal. Muutujad=x ja y c=vabaliige kordajad:a-ruutliikmekordaja b-lineaarliikme kordaja Funktsiooni saab esitada tabelina,valemiga,graafikuna,järjestatud arvupaaridesse. Graafikuks : parabool Parabool on sümmeetriline oma telje suhtes.Telg läbib alati parabooli haripunkti. y=ordinaat x=abstsiss nullkoht:need on punktid,kus funktsioonigraafik lõikab x-telge. korrutis on 0,kui üks teguritest on 0
Displacement mass Mass-veeväljasurve (DISM) t Waterplane area coefficient Veeliinitasandi täidlustegur CWP - Block coefficient Üldtäidlus- e. plokktegur CB - Ship's speed Laeva kiirus v sõlm Density Tihedus t/m3 X of centre of gravity Raskuskeskme abstsiss XG (LCG) m X of centre of bouyancy Ujuvuskeskme abstsiss XB (LCB) m Centre of bouyancy above keel Ujuvuskeskme aplikaat KB (VCB) m Centre of gravity above keel Raskuskeskme aplikaat KG (VCG) m Moment trim 1 cm Moment, mis trimmib 1 cm MTC tm/cm Ton per 1 cm draught Tonniühik 1 cm süvise kohta TPC t/cm 2
Funktsiooni, mida saab esitada kujul y = ax+ b nimetatakse lineaarfunktsiooniks. Avaldis ax on lineaarliige. Arv b on vabaliige, b väärtus vastab argumendi (x) väärtusele 0. Arv a näitab, mille võrra muutub funktsioon (y), kui argument (x) suureneb ühe võrra. Lineaarfunktsiooni y = ax + b graafikuks on sirge, mis lõikub y-teljega punktis (0;b) ja läbib punkti (1; a+b). Sirge tõus a näitab, kui palju muutub sirgel oleva punkti ordinaat (y) siis, kui abstsiss (x) kasvab ühe ühiku võrra. Ruutfunktsioon Ruutfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis on esitatud ruutavaldisega y = ax 2 + bx + c, kus ax 2 on ruutliige, bx on lineaarliige, c on vabaliige. Ruutfunktsiooni graafikuks on joon, mida nimetatakse parabooliks. Parabooli sümmeetriatelg on sirge, mille suhtes parabool on sümmeetriline (nimetatakse ka parabooli teljeks). Sümmeetriatelje ja parabooli ühist punkti nimetatakse haripunktiks.
.. + y8 + 0,75 y 9 + 0,5 y 9,5 + 0,25 y10 ] = 2 L f ( A) 2 - L2 Nii arvutatakse kõigi veeliinide tasandite pindalad baasliinist kuni ülemise tekini. Saadud pindalade väärtustest koostatakse epüür, kus ordinaadiks on süvis, mis võimaldab arvutada mahulist veeväljasurvet ja ujuvuskeskme aplikaati KB mistahes süvisel. Ujuvustasandi kese F tegelikul veeliinil on alati laeva kalde puhul pöördetelje määraja trimmi arvutuste alus. Ujuvustasandi keskme F abstsiss XF arvutatakse tabelis. Kasutades ordinaatide momentide (inglise keeles first moment) arvutamisel õla kordajaid 1...5 , kusjuures ahtrisuunas on kordajad negatiivsed ja miidlis 0, saame valemi vahede summana. Äärmiste ordinaatide puhul tuleb ka trapetsreegli (või Simpsoni reegli) kordajat mitte unustada. Kasutades momentide arvutamisel f(A) osakomponente, kus on trapetsreegel (või Simpsoni reegel) juba olemas on kordajateks 5...1;0;-1...-5. Füüsikast on
Kui hulga X igale elemendile x on seatud vastavusse hulga Y üks kindel element y, siis öeldakse, et hulgal X on määratud funktsioon. Määramispiirkond koosneb nendest x väärtustes, mille korral saab välja arvutada y väärtuse. Arvestada tuleb: 1)nulliga ei saa jagada 1)paarisarvulise juuriga juurt saab võtta ainult positiivsetest arvudest või arvust 0. 1)määramispiirkond- leian jooniselt need x väärtused, mille korral on võimalik paralleelselt y teljega liikuda graafikuni. 2)muutumispiirkond-leian y teljelt. 3)nullkohad-selline x väärtus, mille korral funktsiooni graafik läbib või puudutab x telge. Y=0 4)positiivsuspiirkond-kui graafik asub ülevalpool x telge, on funktsiooni väärtused positiivsed. y>0 5)negatiivsuspiirkond-kui graafik asub allpool x telge, on funktsiooni väärtused negatiivsed. Y<0 6)kasvamisvahemik-leian jooniselt need x väärtused mille korral graafikut vasakult paremale joonestades käsi tõuseb. 7)kahanemisvahemik-leia...
4 x-teljega ja kolmnurk 2 asetseb I veerandis, siis A(0 ; 0) B(10 ; 0) teise tipu (B) koordinaadid 0 5 10 x on (10; 0). algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Näide 1(järg) Kolmanda tipu (C) abstsiss on 5, kuna tema projektsioon x-teljele (punkt D) asub võrdkülgse kolmnurga alusel AB ning võrdkülgse kolmnurga korral kõrgus (lõik CD) ühtib mediaaniga (kolmnurga tippu ja vastaskülje keskpunkti ühendava lõiguga). Täisnurksest kolmnurgast ADC y C (5; 5 3) leiame Pythagorase teoreemi põhjal 8 kaateti DC:
1 1. õppetükk Kontrolltöö I tase 1) Kujuta ühel ja samal arvteljel hulgad A 3; 2 ja B 1; 4 Leia hulgad A B ja A B . 4 2) Arvuta kalkulaatorit kasutamata avaldise 0,2 0,04 2 0, 5 8 4 1,5 täpne väärtus. 3 3) Arvuta a) 4 7 4 7 b) 4 7 33 ...
koht 3. b) Antud on funktsiooni y = x3 -5x2 +3x - 11 1) Leidke selle funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud 2) Leidke selle funktsiooni vähim väärtus lõigul [ 0 ; 5 ] 3) Skitseeri funktsiooni graafik lõigul [ 0 ; 5 ] . Vastus:1) kasvab, x< 1/3 või x>3 ; kahaneb, kui 1/3< x <3 2) y =-20 c) On antud funktsioon f ( x) = xln6 - xlnx 1) leidke funktsiooni f ( x) a) määramispiirkond b) graafiku ja x - telje lõikepunkt c) maksimumpunkti abstsiss 2) Koostage joone y = f ( x) puutuja võrrand punktis, kus joon lõikab x - telge. Vastus:1) a) ( 0 ; ) b) ( 6 ; 0 ) c ) 6/e 2) y = -x +6 d) Millise a korral on funktsioonil y a ln x x 3x ekstreemum punktis x = 1 2 Määrake ekstreemumi liik. Vastus:a = 1; x = 1 on miinimumkoht; y = -2 ex y ln x 2
1) Leidke selle funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud 2) Leidke selle funktsiooni vähim väärtus lõigul [ 0 ; 5 ] 3) Skitseeri funktsiooni graafik lõigul [ 0 ; 5 ] . Vastus: 1) X1=( ; 1/3 ), X2=(3 ; ); X=( 1/3 ; 3); 2) y = 20 c) On antud funktsioon f ( x) = xln6 - x lnx 1) leidke funktsiooni f ( x) a) määramispiirkond b) graafiku ja x - telje lõikepunkt c) maksimumpunkti abstsiss 2) Koostage joone y = f ( x) puutuja võrrand punktis, kus joon lõikab x - telge. Vastus:1) a) X=( 0 ; ) b) ( 6 ; 0 ) c ) xmax= 6/e 2) y = x +6 y a ln x x 2 3x d) Millise a korral on funktsioonil ekstreemum punktis x = 1 Määrake ekstreemumi liik. Vastus: a = 1; x = 1 on miinimumkoht ex y ln x2
b) Leidke f(x) kasvamisvahemik, ekstreemumid. c) Lahendage võrrand f(x) = g(x), kus g(x) = x2 + ln2 x. 15. On antud f-n f(x) = e x x. 1) Leidke x, mille korral f ´(x) = 0. 2) Skitseerige f(x) graafik lõigul [0; 2]. 3) Arvutage antud funktsiooni graafikuga ning sirgete x = 1 ja x = 2 ning x-teljega piiratud kujundi pindala. 16. On antud f-n f(x) = x ln 6 x ln x Leidke 1) määramispiirkond, maksimumpunkti abstsiss, 2) graafiku ja x-telje lõikepunkt. 3) Koostage joone y = f(x) puutuja võrrand punktis, kus joon lõikab x-telge.
Üldjuhul on graafikuks sujuv, ilma murdepunktideta kõver. Selle saamiseks tuleb kõigepealt katsepunktidele teljesuunaliste sirglõikudena usaldusalad märkida. Seejärel aga nendest selline sujuv kõver läbi tõmmata, mis oleks kõige lähemal katsepunktidele ja läbiks samas kõiki usaldusalasid. Joonis 7. Katsepunktide lähendamine sujuva kõveraga. Joonisel 7 esitatud lähenduskõvera mingi punkti A ordinaadi määramatuse leidmiseks fikseeritakse tema abstsiss (näiteks xA) ja mõõdetakse punkti A ümbruses sümmeetriliselt asetseva n katsepunkti kõrvalekalded lähendussirgest y-telje sihis yi yi . Siin on y i katsepunkti ordinaat kohal xi ja y i lähendussirgel oleva punkti ordinaat sama xi kohal. Fikseeritud abstsissi x A määramatus loetakse võrdseks nulliga, teise koordinaadi y A A- tüüpi laiendmääramatus U A ( y A ) arvutatakse aga valemiga (eeldades, et hälbed yi yi on
y - 4 y - 16 y - 3 y - 4 15. Kolmnurga tippudeks on punktid (-6; 3); (2; -3) ja (4; 6). Joonesta antud kolmnurk koordinaatteljestikus. Joonesta mediaanid ja leia jooniselt mediaanide lõikepunkti koordinaadid. 16. Joonesta funktsioon y = -2x + 4 graafik. Kirjuta välja graafiku ning koordinaattelgede lõikepunktide koordinaadid. Leia punkt, mille ordinaat on 6. 17. Joonesta funktsiooni y = x 2 -1 graafik. Leia lõikepunktid koordinaattelgedega ja punk, mille abstsiss on -2. 18. Joonesta ühes ja samas teljestikus lineaarfunktsiooni y = x + 2 ja ruutfunktsiooni y = -x 2 + 4 graafikud. Tähista lõikepunktid tähtedega ning leia jooniselt nende punktide koordinaadid. 19. Joonesta ühes ja samas teljestikus lineaarfunktsiooni y = - x - 2 ja ruutfunktsiooni y = x 2 - 4 graafikud. Tähista lõikepunktid tähtedega ning leia jooniselt nende punktide koordinaadid. 20
10 LINEAARFUNKTSIOONI GRAAFIK. Graafikuks on sirge mis läbib punkti b. Lineaarfunksiooni y = ax + b graafik on võrdelise seose y = ax graafikuga paralleelne sirge, mis lõikab y-telge punktis (0;b). Kui b > 0, siis see sirge lõikab y- telge b ühikut ülalpool kordinaatide aluspunkti, ja kui b < 0, siis |b| ühikut allpool kordinaatide aluspunkti. 4.11 ÜHE TUNDMATUGA LINEAARVÕRRANDI JA LINEAARVÕRRATUSE GRAAFILINE LAHENDAMINE. Lineaarfunktsiooni y = ax + b graafiku ja x-telje lõikepunkti abstsiss on lineaarvõrrandi ax + b = 0 lahend. NÄIDE! -2x+6=0 1)Võrrand kirjutatakse funktsioonina. y =0 , y = -2x + 6 2) Koosta tabel. 3) Märgi punktid kordinaatteljestikule ja tõmba sirge. 4) Vastuse leian X telje ja graafiku (sirge) lõike punktis. -2x + 6 > 0 Võrrandi lahendamisel toimub täpselt samal viisil nagu graafilisel lahendamisel. Leian millise x-i väärtuste korral on y väärtused positiivsed. Kui x on suurem kui näiteks 3, siis on y väärtus negatiivne.
veerandis. Mida suurem on võrdetegur, seda püstisem on graafiku asend funktsioonide valemite üldkujud erinevad ainult vabaliikme väärtuse teljestikus. (Selgita välja, missugune joon joonisel vastab millisele seosele). poolest. NB! Lineaarfunktsiooni y = ax + b graafik läbib x-telge punktis, mille abstsiss on ühe NB! Kui meil on antud ainult joon ning selle järgi on vaja välja selgitada võrdelise seose tundmatuga lineaarvõrrandi ax + b = 0 lahendiks. Sellel omadusel põhineb ühe valem, siis valime sobiva muutuja x väärtuse, loeme graafikult sellele vastava y tundmatuga lineaarvõrrandi ja lineaarvõrratuse graafiline lahendamine. y väärtuse ning leiame nende muutujate jagatise
Arv e. Piirväärtuse arvutamine. L'Hospitali valem, selle kasutamise eeldused. Tuletis, selle rakendused Tuletis, selle geomeetriline tähendus. Funktsiooni tuletis on funktsiooni ja argumendi muudu suhte piirväärtus argumendi muudu tõkestamatul lähenemisel nullile. Geomeetriline tähendus ülesanne joone puutujast See tähendab, et funktsiooni tuletise geomeetriliseks vasteks on funktsiooni graafiku puutuja tõus punktis, mille abstsiss on x. Mehaaniline tähendus ülesanne punkti kiirjusest Tuletise arvutamine definitsiooni järgi. Funktsiooni tuletise leidmist nimetatakse ka diferentseerimiseks. Tuletise leidmiseks on vaja: 1. fikseerida argumendi mingi väärtus x 2. ja arvutada sellele vastav funktsiooni väärtus 3. anda argumendile muut x ja arvutada uuele 4. argumendi väärtusele x + x vastav 5. funktsiooni väärtus 6. arvutada funktsiooni muut y y 7. moodustada suhe x 8
(Näide12) 13.ruutvõrrand on kus ax2 -ruutliige,bx-lineaarliige,c-vabaliige 2 Täielik ruutvõrrand on ax +bx+c=0 Mittetäielik ruutvõrrand on ax2+c=0 või ax2+bx=0 Taandatud ruutvõrrandi üldkuju on kus p ja q on konstandid. Taandatud ruutvõrrandi lahendid on Viète'i teoreemi järgi peavad lahendid rahuldama samasusi ja 14-23.(Näide 13-22) 24.Funktsiooni väärtus-y-väärtus Argument-x-väärtus Ordinaat-y-väärtus Abstsiss-x-väärtus 25-27.(Näide 23-25) 28. Ruut: (Näide26) S = a² (pindala = alus x alus) P = 4a Ristkülik: S = ab ( pindala = pikem külg x lühem külg) P = 2(a + b) 29. Rööpkülik:paralleelsete vastaskülgedega neli nurk.(Näide 27) S = ah (pindala = alus x kõrgus) P = 2(a + b) Omadused: 1)rööpküliku diagonaal jaotab rööpküliku kaheks võrdseks kolmnurgaks 2)Rööpküliku vastas küljed on võrdsed 3)rööpküliku vastas nurgad on võrdsed
laeva dokkimisel, kui laeval on oluline trimm ja laeva kokkupuutepind merepõhja või doki tugipadjaga on väike, siis reaktsioonijõud on rakendatud ühes punktis. Reaktsiooni jõud avaldatakse valemist GM L T , R = AWP GM L + AWP ( XF + XR) 2 kus AWP veeliinitasandi pindala m2 ; XF veeliinitasandi keskme abstsiss m ; laeva mass-veeväljasurve t-des enne reaktsiooni rakendumist; T süvise muutus reaktsiooni algmomendist m ; XR reaktsiooni punkti abstsiss m ; vee tihedus t/m3 . Põikipüstuvuse, õigemini metatsentri kõrguse GM, muutumine arvutatakse valemist R TR + J x (GM ) = - , -R
18.Milline on meridiaanide ja paralleelide kuju püstsilindrilises konformses proj.Mis on paralleelide vahekauguse muutuse põhjus?(merkatori) Meriidiaanid on paralleelsed sirged, mille omavahelised kaugused on proportsionaalsed nenge geogr pikkuste vahega.Kuna tegelikuses meridiaanid koonduvad ,siis projektsiooni meridiaanide vaheline kaugus kaardil ,suundudes poolusele ,kasvab ,võrreldes tõelisega.parallelid on parallelsed sirgjooned 19.Meridionaalosa Merkatori projektsiooni abstsiss (x) paralleeli kaugus ekvaatorist minutites. 20.Millised on UTM ja NL-42 projektsiooni kolm põhierinevust?= 1.NL42 puhul võetakse telgmeridiaani projekts x teljeks ja ekvaator y teljeks, UTM puhul on vastupidi 2.NL42 kui puutujasilindrilisel projektsioonil on mõõtkava telgmeridiaanil 1.00 UTM puhul aga 0,9996 Mõlemal juhul, eemaldudes telgmeridiaanist ,mõõtkava suureneb .UTM puhul saavutatakse Eesti aladel juba mõõtkava 1,000 telgmeridiaanist lidikaude 180 km kaugusel 3
süsteemi X-telg. Y-teljeks on võetud ekvaatori joon või sellega paralleelne joon. Telgmeridiaaniks loetakse meridiaane, mis asuvad üksteisest 6o kaugusel alates 3o meridiaanist. Telgmeridiaanid on meridiaanid, mille pikkuseks on 3o, 9o, 15o jne. Telgmeridiaane on kokku 60. Igas 6o tsoonis kehtib omaette ristkoordinaatide süsteem. Punkti koordinaatide määramisel võetakse aluseks punktile lähim telgmeridiaan. Joonistel kujutatakse koordinaattelgi ristuvate sirgetena. X ehk abstsiss on positiivne ekvaatorist põhja pool ja negatiivne lõuna pool. Y ehk ordinaat on positiivne telgmeridiaanist ida pool ja negatiivne lääne pool. Telgmeridiaanil on ordinaadi väärtus 500 km. Y-koordinaadi kolm viimast numbrit tähistavad kilomeetreid ja esimesed tsooni numbrit. 2 Koostanud: Ene Ilves Põhjalaius BA=58º10'+ΔB 60ʺ=3,7cm ΔBʺ=4,35cm
on lõigatud 6 avaust vahekaugusega 10cm. Äär on lamestatud. Koordinaatide ruudustiku kontrollimine on õnnestunud, kui ülemiste nurkade vahekaugus on 500,0±0,3mm. Pärast ruutude joonestamist kontrollitakse nende täpsust, mõõtes sirkli ja põikmõõtkava abil diagonaalide ja külgede pikkused. Punktide kandmine plaanile ristkoordinaatide järgi.. Punktide pealekandmise õigsust saab kontrollida nii, et tuleb määrata joone ja mõlemal lehel oleva ruudu ühine külje lõikepunkti (K) abstsiss. Situatsiooni mõõdistamise plaanile kandmine. Selleks konstrueeritakse plaanile kantud mõõdistamisvõrgu joonele abrissi andmetel kolmnurga ja joonlaua abil ristsirged ning märgitakse nende pikkused vastavalt mõõtkavale. Saadud punktid ühendatakse omavahel, juhindudes abrissil näidatud joonisest ja märgitakse kontuuride sisse leppemärgid. Polaarkoordinaatidega mõõistatud punktide pealekandmiseks kasutatakse suurt goedeetilist ringmalli, mille abil saab konstrueerida
(suurim) väärtus, on vaja vastav funktsioon y = f(x) esitada valemina. Moodustame funktsiooni S x y , asendades selles y ülesandes antud avaldisega, saame ühe muutuja x funktsiooni S ( x) . Uurime saadud funktsiooni tuletise abil, st leiame tuletise S x ja lahendame võrrandi S x 0 . Maksimum- ja miinimumkoha eraldamiseks uurime funktsiooni tuletise märgi muutumist tuletise iga nullkoha ümbruses või funktsiooni teise tuletise märki tuletise nullkohal. Kui punkti P abstsiss on leitud, asendame selle seosesse y f x ja arvutame punkti P ordinaadi. 2) Olgu puutepunkt M x0 ; y 0 . Teame, et funktsiooni y f x graafiku puutuja tõus kohal x0 on võrdne funktsiooni tuletisega sellel kohal, seega a f x0 . Kuna punkt M x0 ; y 0 asetseb nii joonel y f x kui ka puutujal y ax b saame koostada võrrandisüsteemi: # y0 ax0 b " , kus a f x0 . ! y0 f x0
2 Lahendus: On antud jooned y = sin x ja y = cos x lõigul - ; . Joonte puutujad on paralleelsed, kui nende tõusud 2 2 on võrdsed: k1 = k2. Olgu k1 funktsiooni y = sin x tõus ja k2 funktsiooni y = cos x tõus. Funktsiooni y = f(x) puutuja tõus kohal x0 avaldub k = f´(x0), kus x0 on puutepunkti abstsiss. k1 = ( sin x ) = cos x ja k2 = ( cos x ) = - sin x cos x = - sin x 2 2 x0 = x = - , sest cos - = cos = ja - sin - = - - sin = 4 4 4 2 4 4 2 2. Leiame sirgetega y = sin x ja y = cos x piiratud kujundi pindala. 4 S1 = S 2 = ( cos x - sin x ) dx 0
abc A1x + B1y + C1 = 0 S= L( x 0 ; y 0 ) 4R 34. Vekor tasandil. Joone võrrand. Punkti koordinaadid tasandil A2x + B2 y + C2 = 0 y-telg ordinaat x-telg abstsiss 35. Kahe punkti vaheline kaugus d = ( x 2 - x1 ) + ( y 2 - y1 ) 48. Ringjoone võrrand 2 2 36. Vektor. Tehted vektoritega a b ( x - a ) 2 + ( y - b) 2 = R2 49. Fn-ide graafikud 37
2) Nurga koosinuseks nimetatakse nurga lõpphaara mistahes punkti abstsissi suhet selle x punkti kaugusesse koordinaatide alguspunktist: cos = r 3) Nurga tangensiks nimetatakse nurga lõpphaara mistahes punkti ordinaadi ja abstsissi x y suhet (abstsiss ei tohi olla 0): tan = x cot = ( y 0) y Näide: Nurga lõpphaaral on võetud punkt a koordinaatidega A(-3;4). Leia sin, cos, tan. x=-3 y=4 r= OB 2 + BA2 r= 25 =5 4 3 4 1 sin= cos= - tan= = -1 5 5 -3 3
D. Õppeaines käsitletud olulised võrrandid Püstuvuse põhivalem BM = I WP / DISV , kus IWP on ujuvuspinna teine inertsimoment Kastikujulise kere I WP = L × B 3 / 12 Laevakujulise kere I WP = L × B 3 / 18 Keskmise kaubalaeva BM = B 2 / 12,6T Mahukeskme aplikaat KB = T - 1 / 3( T / 2 + DISV / AWP ) L Mahukeskme abstsiss XB = 1 / DISV AS xdx , kus AS on jooksev kaarepind 0 või XB = MASX / DISV , kus MA SX on kaarepindade momentide summa ahtriperpendikulaari suhtes Metatsentri kõrgus KM = KB + BM Raskuskeskme aplikaat KG = M Z / , kus M Z on laeva ja lastikomponentide raskuskesete momentide summa kiilutasandi suhtes
1) - järku diferentsiaali esimest järku diferentsiaali: d n(y) =f(n) (x)dxn 66.Teist järku tuletise mehaaniline tõlgendus Funktsiooni teist järku tuletiseks ehk teiseks tuletiseks nimetatakse tema tuletise tuletist ja seda tähistatakse sümboliga y'' 67.Kirjeldage joone puutuja ja normaali võrrandite leidmist. Puutuja võrrand y-y0 =f´(x0)(x-x0) ehk y= f(x0) + f´(x0)(x-x0) Leida parabolile y=x2 4x puutuja, kui on antud abstsiss x0=3 X0 = 3 seega f(x0)= 32-4*3=-3 Puutepunkt ehk P(3;-3) Leian f´(x) =2x-4 f´(x0) = f´(3) = 6-4=2 Panen saadud andmed lihtsalt valemisse: y= -3 + 2(x-3) Normaali võrrand: y-y0 =-(1/f´(x0))*(x-x0) ülesannet lahendan samamoodi nagu puutuja leidmisel, meil on juba kõik andmed siis lihtsalt penen saadud andmed valemisse ..... 68.L'Hospitali reegel 69
· Funktsioonil y=f(x) ei saa olla rohkem kui üks piirväärtus. L'Hospitali valem, selle kasutamise eeldused. See reegel on rakendatav ainult 0/0 ja / korral. Tuletis , selle rakendused. Tuletis, selle geomeetriline tähendus Funktsiooni tuletis on funktsiooni ja argumendi muudu suhte piirväärtus argumendi muudu tõkestamtul lähenemisel nullile. Funktsiooni tuletise geomeetriline tähendus on et funktsiooni graafiku puutuja tõus punktis mille abstsiss on x. Tuletise arvutamine definitsiooni järgi. · Funktsiooni tuletise leidmist nim ka diferentseerimiseks. Tuletise leidmiseks on vaja: · fikseerida argumendi mingi väärtus x ja arvutada sellele vastav funktsiooni väärtus · anda argumendile muut x ja arvutada uuele argumendi väärtusele x+x vastav funktsiooni väärtus · arvutada funktsiooni muut y · moodustada suhe y/x · leida selle suhte piirväärtus eeldusel, et argumendi muut x läheneb nullile
statistikat, kui järeldavat statistikat (mis kontrollib hüpoteeside kehtivust). Tüüpiliselt sisaldab see osa palju kokkuvõtvaid tabeleid, diagramme, jooniseid. Väga tähtis on lugemisel aru saada kõigist tabelitest ja joonistest. Jooniste puhul peab olema selge, kuidas on kujutatud sõltuvad ja sõltumatud muutujad. Tavaliselt kujutatakse sõltumatu (eksperimentaatori poolt varieeritav) muutuja (independent variable) abstsiss- e. x-teljel; sõltuv (registreeritav, mõõdetav) muutuja (dependent variable) ordinaat- e. y-teljel. 6. arutelu . See on artikli kõige "loomingulisem" osa. Siin autor interpreteerib, mida saadud tulemus sisuliselt tähendab (võib juhtuda, et autor eelistab endale soodsat mõttekäiku ja võib jätta kõrvale alternatiivsed seletused). Ühtlasi on see ka formaalsete nõuete järgi, mida APA Publication Manual esitab, kõige vabamalt esitatav osa artiklist.
7. Joonisel on funktsiooni y = f ( x ) graafik. Leia millisesse antud vahemikest kuulub võrrandi f ( x ) -1,2 = 0 lahend? 1)( -5;-4 ) 2)( 2;3) 3)(3;4 ) 4)(5;6 ) x -3 8. Leia võrrandi 2 x +1 - 32 = 0 lahend või lahendite summa. 1) 2 2) -2 3) 3 4) -3 9. Leia kõigi täisarvude summa, mis on võrratuse 3 < x -5 <6 lahendiks. 1) 15 2) 19 3) 20 4) 21 10. Leia sellise punkti abstsiss, millest funktsioonile f ( x ) = 5 x 2 - 4 x -1 f joonestatud puutuja tõus on 16. 1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 B-1 Arvuta 6 log 4 2 81 log 27 16 + ( 3) log 3 169 x 17 x - x = 0 . 2 B-2 Leia mitu lahendit on võrrandil tan
1 1 ( arctan x ) = ( arctan u ) = u 1 + x2 1+ u2 4.7 Joone puutuja Funktsiooni tuletisel on järgmine geomeetriline tähendus: 34 funktsiooni y = f ( x ) tuletis võrdub funktsiooni graafiku puutuja tõusuga punktis, mille abstsiss on x. Seega k = f ( x ) . Joonele y = f ( x ) punktis ( x0 ; y 0 ) tõmmatud puutuja võrrand on y - y 0 = k ( x - x0 ) , kus puutuja tõus k = f ( x0 ) = tan (nurk on puutuja tõusunurk). 4.8 Funktsiooni uurimine Kui funktsioon y = f ( x ) on antud ilma oma määramispiirkonnata X, tuleb see kõigepealt leida. Funktsiooni y = f ( x ) kasvamispiirkonnaks (kahanemispiirkonnaks) nimetatakse
Ristkoordinaadistik tasandil: Kaks ristuvat suunaga arvsirget Alguspunktid ühtivad Ühikud on võrdsed punkti ristkoordinaadid sirgel on selle punkti kaugus null/alguspunktist. Koordinaatteljel asuva punkti P asukoht määratakse üheselt kindlaks ühe reaalarvuga x (nn punkti P koordinaadiga), mis on võrdne punkti P kaugusega |OP| telje alguspunktist O, kas neg või pos suunal. punkti ristkoordinaadid tasandil on selle punkti ristprojektsioonid abstsiss- ja ordinaatteljel. P(x;y) Leiame punkti P ristprojektsioonid Px ja Py vastavalt x-teljel ja y-teljel. Olgu punkti Px koordinaat abstsissteljel xP ja punkti Py koordinaat ordinaatteljel yP. Selle järgi punkti koordinaadid on P(x;y). 11. Polaarkoordinaadistik tasandil. Punkti polaar- ja ristkoordinaatide vahelised seosed. polaarkoordinaat kahemõõtmeline koordinaatide süsteem, kus iga tasandi punkt on
pindala valemeid. Pindala arvutamine piiripunktide ristkoordinaatide järgi- Pindala arvutamiseks ristkoordinaatide järgi kasutatakse Gaussi valemit ja selle modifikatsioone. Gaussi valem: i=n 2 P= ( X i Y i+1 -Y i X i +1) i=1 Selle valemi kasutamisel pindala arvutamiseks on vaja leida järjest korrutised (X i ·Yi+i) ja (Yi ·Xi+i), st on vaja korrutada punkti i abstsiss järgmise punkti ordinaadiga ja vastupidi. Seejärel arvutatakse ndende korrutiste vahel, mis summeerimisel annavad polügooni kahekordse pindala. 2.3. Millise täpsusega saadakse maatüki pindala analüütilise meetodiga. Üldjuhul täpsus suurem kui 0,05% maatüki pindalast Pindala täpsus sõltub: põhiliselt maastikul tehtud mõõtmiste täpsusest ja väähesel määral oleneb täpsus ka
1 1 arctan x arctan u u 1 x2 1 u2 4.7 Joone puutuja Funktsiooni tuletisel on järgmine geomeetriline tähendus: 34 funktsiooni y f x tuletis võrdub funktsiooni graafiku puutuja tõusuga punktis, mille abstsiss on x. Seega k f x . Joonele y f x punktis x0 ; y 0 tõmmatud puutuja võrrand on y y 0 k x x0 , kus puutuja tõus k f x0 tan (nurk on puutuja tõusunurk). 4.8 Funktsiooni uurimine Kui funktsioon y f x on antud ilma oma määramispiirkonnata X, tuleb see kõigepealt leida.
ja tähistatakse zA). Kuna ekraanid on omavahel risti, on tegemist ristkoordinaadistikuga. X , y ja z on koordinaatteljed, nende lõikepunkt 0 on koordinaatide alguspunkt. Koordinaatide alguspunkt jaotab kõik teljed positiivseteks ja negatiivseteks suundadeks. Mistahes ruumipunkti asukohta teljestiku suhtes võib väljendada koordinaatidega. Nii on selel 12 punkti A koordinaadid A (xA,yA,zA): xA on x- koordinaat ehk abstsiss, yA on y-koordinaat ehk ordinaat, zA on z-koordinaat ehk aplikaat. Esi -, põhi- ja külgekraan lõikuvad omavahel paarikaupa mööda jooni x, y ja z, mis on üksteise suhtes risti, moodustades ristteljestiku Oxyz. Punkt O on telgede ühispunkt. Nüüd pööratakse ekraanid ε1 ja ε3 koos nendele projekteerunud punkti kujutistega vastavalt nooltega näidatud suunas ühtivusse esiekraaniga ε2 (sele12b). Tekib punkti kolmvaade. Seejuures on telg y nähtav kahes kohas: z – telje
Tasandi võrrand telglõikudes - Tasandi võrrandit nimetatakse tasandi võrrandiks telglõikudes. Kordajaid p1, p2 ja p3 nimetatakse tasandi telglõikudeks. Normaalvektor Vektorit n := u × v nimetatakse tasandi normaalvektoriks. Koordinaattasand - Koordinaattasand on tasand, millel on koordinaatteljestik. Koodinaatteljestik koosneb kahest ristuvast arvteljest. Abstsisstelg ehk xtelg on joonisel positiivse suunaga vasakult paremale, tema koordinaate nimetatakse abstsissideks. Punkti abstsiss näitab, kui kaugel asub punkt yteljest. Ordinaattelg ehk ytelg on joonisel positiivse suunaga alt üles, tema koordinaate nimetatakse ordinaatideks. Punkti ordinaat näitab, kui kaugel asub punkt x teljest. Koordinaatteljed jaotavad tasandi neljaks koordinaatveerandiks: I veerand, II veerand, III veerand, IV veerand. Tasandeid üldvõrranditega x1 = 0; x2 = 0 ja x3 = 0 nimetatakse vastavalt x2x3- koordinaattasandiks, x1x3-koordinaattasandiks ja x1x2-koordinaattasandiks.
n n n (n-1) (n-1) Funktsiooni y=f(x) n-järku tuletiseks y =d y/dx =(d/dx)*(y )=(y )´ 27. Kirjeldage joone puutuja ja normaali võrrandite leidmist. Puutuja võrrand y-y =f´(x )(x-x ) ehk y-y =k(x-x ) 1 1 1 1 1 2 Leida parabolile y=x -4x puutuja, kui on antud abstsiss x = 3 0 2 x = 3 seega y = 3 -4*3=-3 Puutepunkt ehk P(3;-3) 0 0 tõusu k ehk f´(x)'i leian y´=2x-4 k=f´(3)6-4=2 Panen saadud andmed lihtsalt valemisse: y+3=2(x-3) y=2x-9 Normaali võrrand: y-y =-(1/f´(x))*(x-x ) (ülesannet lahendan samamoodi nagu puutuja 1 1
loomulikult nii kirjeldavat statististikat, kui järeldavat statistikat (mis kontrollib hüpoteeside kehtivust). Tüüpiliselt sisaldab see osa palju kokkuvõtvaid tabeleid, diagramme, jooniseid. Väga tähtis on lugemisel aru saada kõigist tabelitest ja joonistest. Jooniste puhul peab olema selge, kuidas on kujutatud sõltuvad ja sõltumatud muutujad. Tavaliselt kujutatakse sõltumatu (eksperimentaatori poolt varieeritav) muutuja (independent variable) abstsiss- e. x-teljel; sõltuv (registreeritav, mõõdetav) muutuja (dependent variable) ordinaat- e. y-teljel. 6) arutelu (Discussion). See on artikli kõige "loomingulisem" osa. Siin autor interpreteerib, mida saadud tulemus sisuliselt tähendab (võib juhtuda, et autor eelistab endale soodsat mõttekäiku ja võib jätta kõrvale alternatiivsed seletused). Ühtlasi on see ka formaalsete nõuete järgi, mida APA Publication Manual esitab, kõige vabamalt esitatav osa artiklist. 7) viited (References)
kuuluvatele argumendi x v¨a¨artustele. Muutumispiirkonda t¨ahistatakse s¨ umboliga Y. N¨aide 1.7. Leiame n¨aites 1.6 antud funktsiooni muutumispiirkonna. Juu- re all on ruutfunktsioon 2x - x2 , mille graafikuks on allapoole avanev para- bool. M¨a¨aramispiirkonna X = [0; 2] otspunktides on ruutfunktsiooni v¨a¨artus 0, seega on ka antud funktsiooni v¨ahim v¨a¨artus 0. Ruutfunktsiooni suurimaks v¨a¨artuseks on parabooli haripunkti ordinaat. Parabooli haripunkti abstsiss 0+2 on xh = = 1, millele vastav ordinaat on yh = 2 · 1 - 12 = 1. V¨a¨artus 2 1 on juure all oleva ruutfunktsiooni suurimaks v¨a¨artuseks ning u ¨htlasi juu- re suurimaks v¨a¨artuseks. J¨arelikult on funktsiooni muutumispiirkonnaks l~oik Y = [0; 1]. 5 1.1.3 Funktsioonide liigitamine Funktsioone liigitatakse nende s¨ ummeetriaomaduste, v¨a¨artuste kordumise v~oi mingi muu tunnuse alusel. Definitsioon 1
annaabi.ee 
