1 1 e x - e -x (sin x ) = cos x ( arcsin x ) = ( sh x ) = ch x ( arsh x ) = sh x := 1- x2 x 2 +1 2 e + e -x
Lause 3. 6)Arkusfunktsioonid y= arcsin x, y= arccos x , y= arctan x ja y=arccot x. Lõigul pidev funktsioon omab iga väärtust, mis paikneb ekstremaalsete väärtuste 7)Hüperboolsed funktsioonid y=sh x, y=ch x, y=th x, y=cth x vahel.Lause 4. Lõigul [a;b] pideva ja rangelt monotoonse funktsiooni f(x) 8)Areafunktsioonid y=arsh x, y=arch x, y=arth x, y=arcth x pöördfunktsioon on pidev lõigul otspunktidega f(a) ja f(b).Lause 5. Lõigul pidev 9. Jada mõiste. Punkti ümbruse erinevad definitsioonid. funktsioon on üheselt pidev sellel lõigul.Lause 6. Elementaarfunktsioon on pidev Jada. Definitsioon nimetatakse funktsiooni, mille määramispiirkonnaks on määramispiirkonna sidepunktides. naturaalarvude hulk N. Näide: n =
-10 8. H¨ uperboolsete funktsioonide p¨o¨ordfunktsioone nimetatakse areafunktsioonideks (paketis SWP areafunktsioonid puuduvad). Funktsiooni y = sh x (X = R Y = R) p¨o¨ordfunktsiooni nimetatakse areasiinuseks ja t¨ahistatakse x = arsh y (X = R Y = R). P¨o¨orame funktsiooni y = sh x. Leiame, et y = (ex - e-x )/2 e2x - 1 = 2yex e2x - 2yex - 1 = 0 28 ex = y ± y 2 + 1. Et y < y 2 + 1 ja eksponentfunktsiooni v¨a¨artused on vaid positiivsed, siis ex = y + y 2 + 1 x = ln(y + y 2 + 1) arsh y = ln(y + y 2 + 1) ja arsh x = ln(x + x2 + 1).
Hüperboolne tangens y = th x = sh x / ch x X = (- , ) Y = (- 1,1) Hüperboolne kootangens y = cth x = ch x / sh x X = (- ,0 ) (0, ) Y = (- ,1) (1, ) y = sh x y = ch x y = th x y = cth x 6. Areafunktsioonid Liigitus Üldkuju Määramispiirkond Muutumispiirkond Areasiinus y = arsh x X = Y = (- , ) Areakoosinus y = arch x X = [1, ) Y = [0, ) Areatangens y = arth x X = (- 1,1) Y = (- , ) Areakootangens y = arcth x X = (- ,1) (1, ) Y = (- ,0 ) (0, ) y = arsh x y = arch x y = arth x y = arcth x
dx = arctan(x) + C dx = - arccot(x) + C 1 + x2 1 + x2 Hüperboolsed funktsioonid sh(x) dx = ch(x) + C ch(x) dx = sh(x) + C 1 1 dx = th(x) + C dx = - cth(x) + C ch2 (x) sh2 (x) Hüperboolsete funktsioonide pöördfunktsioonid 1 1 dx = arsh(x) + C dx = arch(x) + C x2 +1 x2 -1 1 1 dx = arth(x) + C dx = arcth(x) + C 1 - x2 1 - x2 Märkus 7.5 Kõikidel funktsioonidel ei pruugi leiduda algfunktsiooni elemetaar- funktsioonide kujul (selliste algfunktsioonide väärtusi saab arvutada ainult ligikaudsete meetoditega). Näiteks järgmisi integraale ei saa esi-
-1 Joonis 1.27: h¨ uperboolne kootangens y = cth x Miinusm¨ark juure ees ei ole v~oimalik, sest y - y 2 + 1 on negatiivne, aga x e negatiivne ei saa olla. Avaldame viimasest v~ordusest x = ln(y + y 2 + 1). Vahetades t¨ahistuse, saame funktsiooni y = sh x p¨o¨ordfunktsiooniks y = ln(x + x2 + 1). Seda funkrtsiooni nimetatakse areasiinuseks ja t¨ahistatakse y = arsh x. ex + e-x Avaldades samal viisil v~orrandist y = muutuja x, saame x = 2 ln(y+ y 2 - 1).Vahetades t¨ahistuse saame, et funktsiooni y = ch x p¨o¨ordfunktsiooniks on y = ln(x + x2 - 1), mida nimetatakse areakoosinuseks ja t¨ahistatakse y = arch x. ex - e-x 1 1+y Avaldame v~orrandist y = x -x
annaabi.ee 
