TAANDAMISVALEMID X-TELJEST I veerand II veerandist I veerandisse Sin(90®-α)=cosα Sin(180®-α)=sin α Cos(90®-α)=sinα Cos(180®- α)= -cosα Tan(90®-α)=cotα Tan(180®-α)= -tanα Sin(π/2-α)=cosα Cot(180®-α)= - cotα Cos(π/2-α)=sinα Sin(π- α)=sin α Tan(π/2-α)=cotα Cos(π- α)= - cos α Tan(π- α)= -tan α II veerandist I veerandisse Cot(π- α)= -cot α Sin(90®+α)=cosα Cos(90®+α)= -sinα III veerandist I veerandisse Tan(90®+α)= -cotα Sin(180®+ α)= -sin α Sin(π/2+α)=cosα Cos(180®+α)= -cosα Cos(π/2+α)= -sinα Tan(180®+α)= tanα Tan(π/2+α)= -cotα Cot(180®+α)=cotα Sin(π+α)= -sinα III veerandist I veerandisse Cos(π+α)= - cosα Sin(270®-α)= -cosα Tan(π+α)=tanα Cos(270®-α)= -sinα Cot(π+α)=cotα Tan(270®-α)=cotα Sin...
Täiendusnurga valemid. sin (90 - ) =cos cos (90 - ) = sin tan (90 - ) = 1/tan = cot cot (90 - ) = 1/cot = tan Negatiivse nurga siinus, koosinus, tangens ja kootangens. sin (- ) = -sin cos (- ) = cos tan (- ) = -tan cot (- ) = -cot Trigonomeetria põhivalemid ja nende järeldused. sin 2 + cos2 = 1 tan =sin /cos cot =cos /sin tan cot =1 1+ tan 2 = 1/cos2 1 + cot2 = 1/sin2 sin 4 + cos4 = 1 - 2 sin2 cos2 sin 6 +cos6 = 1 - 3sin 2 cos2 Kahe nurga summa ja vahe siinus, koosinus, tangens ja kootangens. sin ( + ) =sin cos + cos sin tan ( + ) = tan + tan / (1 - tan tan )
Trigonomeetria valemid Täisnurkse kolmnurga teravnurga siinus, koosinus, tangens ja kootangens: Põhiseosed: Täiendusnurga valemid: Mõningate nurkade trigonomeetriliste funktsioonide väärtused: 0 1 1 0 0 1 - - 1 0 Iga nurk x esitub kujul:
ax2 + bx + c ( ruutkolmliikme lahutamine teguriteks) : ax2 + bx + c = a(x-x1)(x-x2). x1 ja x2 ruutvõrrandi lahendid. DETERMINANDID = a ·d - c·b. = aei + cdh +bfg gec ahf dbi. TRIGONOMEETRIA PÕHISEOSED sin2 + cos2 = 1 1 + cot2 a = tan = tan a cot a =1 1+ tan2 a = TÄIENDUSNURGA VALEMID sin (90 - a) =cos a cos (90 - a) = sin a tan (90 - a) = 1/tan a = cot a cot (90 - a) = 1/cot a = tan a NEGATIIVSE NURGA SIINUS,KOOSINUS,TANGENS JA KOOTANGENS. sin (- a) = -sin a cos (- a) = cos a tan (- a) = -tan a cot (- a) = -cot a KAHEKORDSE NURGA SIINUS, KOOSINUS, TANGENS JA KOOTANGENS. sin 2a =2sin a cos a cos 2a =cos2 a - sin2 a cos 2a = 2 cos2 a -1 cos 2a = 1- 2 sin2 a tan 2a = 2 tan a/ (1 - tan2 a) cot 2a = cot2 a - 1/ (2cot a) NURKADE TRIGONOMEETRILISTE FUNKTSIOONIDE VÄÄRTUSED. 0 30 45 60 90 sin 0 0.5 1
ümber." (Indrek) ,,Ärge uskuge armastust: naise armastus on ainult silmus mehe kägistamiseks. Jääge vabaks, nagu olen vaba mina, teie seltsimees. Ja parim vahend armumise vastu on matemaatika, ainult matemaatika. Mina arstin ennast ikka matemaatikaga. Aitab suurepäraselt. Isegi imestan mõnikord, kui ruttu ja hästi ta aitab. Korrake kasvõi ükskord ühte, esiti väikest, siis keksmist, pärast võtme käsile võrrandid, logaritmid, siinus, koosinus, tangens, kootangens. Kahju, et te ei tunne integraale ja diferentsiaale need aitavad kõige paremini. Aga ühte ütlen ma teile: hoiduge lõpmatuse eest, teate, number kaheksa küljeli; lõpmatus lõpeb armatusega, sest see on siisuke siga. Tema in itse armastuse isa ja ema kokku, sest armastuses on ika kas null või lõpmatus. Niisugune on armastus. Nii et seda midage meeles, seda kaheksat, mis küljeli. Kõik muu, mida raskem ja keerulisem, seda parem. Lõpmatus ei ole nimelt sugugi raske ja
Trig. funktsioon tangens y y = tan x -3/2 -/2 /2 3/2 - 0 x 1. periood = 2. määramispiirkond: X = (-; ){(2k + 1)/2} 3. paaritu 23 Trig. funktsioon kootangens y = cot x y 1. periood = 2. määramispiirkond: X = (-; ){k} -/2 /2 3/2 (kõik reaalarvud, mis ei ole - 0 2 arvu täisarvkordsed) x 3. paaritu 24
Siinus-ja koosinusfunktsioon: i. Määramispiirkond: X=(- π ∞ ;∞¿. =(2k+1) 2 , k ∈ Z j. Muutumispiirkond: Y=(-1;1) n. y= cot x:X=R ∖ x x =k k. π ,k ∈ Z l. Tangens- ja kootangens funks: o. Muutumispiirkond Y= (- ∞ ;∞¿ p. 6. Arvu L nimetatakse funktsiooni f(x) piirväärtuseks kohal a, kui iga ε > 0 puhul leidub niisugune arv δ > 0 , et iga x ≠ a puhul, mis rahuldab võrratust I x-a I ¿ δ , kehtib võrratus I f(x) –L I ¿ ε . (Graafik) 7
Ratsionaalfunktsioon on kahe polünoomi jagatis 27. Defineerida hüperboolsed trigonomeetrilised funktsioonid. (lk 20) Matemaatikas ja selle rakendustes kasutatakse palju nn hüperboolseid trigonomeetrilisi funktsioone. Nendeks on: Hüperboolsed funktsioonid on eksponentfunktsiooni abil määratletud funktsioonid, mis on analoogsed trigonomeetriliste funktsioonidega. Trigonomeetrilised funktsioonid on elementaarfunktsioonid siinus, koosinus, tangens, kootangens, seekans ja kooseekans, mille argument on geomeetriliselt tõlgendatav ühikringjoone kaarepikkusena või vastava kesknurgana. 28. Kirjeldada funktsiooni esitust ilmutatud kujul ja ilmutamata kujul. (lk 21) Analüütiliselt antud funktsioon võib olla kas ilmutatud või ilmutamata kujul. Funktsiooni y = f(x) ilmutatud kujuks on võrrand, mille vasakul pool on y ja paremal pool avaldis, mis võib sisaldada muutujat x, kuid mitte muutujat y. näiteks y = x 2 − x. Funktsiooni y = f(x)
· Hüperpoolsed funktsioonid- hüperpoolne sinus: y=shx = 2 e x + e -x hüperpoolne koosinus: y = chx= 2 hüperpoolne tangens: y = thx hüperpoolne kootangens: y = cthx · Areafunktsioond - areasiinus: y = arshx areakoosinus: y = archx areatangens: y = arthx areakootangens: y = arcthx 4. Funktsiooni piirväärtuste ( lim x a f (x) = A ja lim x a f (x) = ± ) definitsioonid. Funktsiooni piirväärtuse omadused: kahe funktsiooni summa*, vahe, korrutise ja jagatise piirväärtus. lim x a f (x) = A definitsioon: Olgu antud funktsioon y = f ( x ) , x X
a hüpotenuus c c vastaskaatet a b Teravnurga tangens = ; tan = , tan = b lähiskaatet b a lähiskaatet b a Teravnurga kootangens = ; cot = , cot = vastaskaatet a b + = 90o ehk + = . 2 3.3 Täiendusnurkade trigonomeetrilised funktsioonid Täiendusnurkadeks on nurgad, mille summa on , s.t. + = .
a hüpotenuus c c vastaskaatet a b Teravnurga tangens ; tan , tan b lähiskaatet b a lähiskaatet b a Teravnurga kootangens ; cot , cot vastaskaatet a b 90o ehk . 2 3.3 Täiendusnurkade trigonomeetrilised funktsioonid
v loogiline "ja", konjuktsioon arctan x arkustangens w loogiline "või", disjunktsioon const konstant Y järeldub, "kui ..., siis" cos x koosinus ¬ loogiline eitus, "pole tõsi, et" cot x kootangens > eksisteerimine, olemasolu ctg x kootangens oe iga (element, objekt), üldsus exp x eksponentfunktsioon lim f funktsiooni või jada piirväärtus Tuletised ja integraalid dy ln x naturaallogaritm
Hüperboolne siinus y = sh x = X = Y = (- , ) 2 e x + e-x Hüperboolne koosinus y = ch x = X = (- , ) Y = [1, ) 2 Hüperboolne tangens y = th x = sh x / ch x X = (- , ) Y = (- 1,1) Hüperboolne kootangens y = cth x = ch x / sh x X = (- ,0 ) (0, ) Y = (- ,1) (1, ) y = sh x y = ch x y = th x y = cth x 6. Areafunktsioonid Liigitus Üldkuju Määramispiirkond Muutumispiirkond Areasiinus y = arsh x X = Y = (- , )
uperboolne koosinus def ch x = (ex + e-x )/2 (X = R Y = [1; +) ) 27 (paketis SWP cosh x), h¨ uperboolne tangens def th x = sh x/ch x (X = R Y = (-1; 1) (paketis SWP tanh x) ja h¨ uperboolne kootangens def cth x = ch x/sh x (X = R{0} Y = R [-1; 1]) (paketis SWP coth x). N¨aide 10. Skitseerime SWP abil l~oigul [-2.5; 2.5] funktsioonide sh x ja ch x graafikud, kusjuures sh x graafiku esitame peenema joonega, 4 y 2
uperboolseid funktsioone ja nende p¨o¨ordfunktsioone, nn areafunktsioone. H¨ uperboolsed funktsioonid ja areafunktsioonid avaldu- vad juba vaadeldud p~ohiliste elementaarfunktsioonide kaudu. 16 H¨uperboolseteks funktsioonideks on h¨uperboolne siinus, h¨ uperboolne koo- sinus, h¨ uperboolne tangens ja h¨ uperboolne kootangens. H¨uperboolne siinus y = sh x on defineeritud kui ex - e-x sh x = . 2 H¨ uperboolse siinuse graafik on esitatud joonisel 1.24. Funktsiooni m¨a¨aramispiirkond X = (-; ) ja muutumispiirkond Y = (-; ). y 4 2
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
