f ( x) Et on pidev funktsioon, siis omandab ta iga väärtuse m ja M vahelt. Järelikult mingi µ = f ( ) korral ( a b ) on , s.t. b f (x )dx =f ()(b - a) a . 23. MUUTUVA ÜLEMISE RAJAGA INTEGRAAL (teoreem 5.3) Olgu määratud integraalis alumine raja fikseeritud ja ülemine raja muutuv. Siis muutub ka integraali väärtus, s.t. integraal on ülemise raja funktsioon. Tähistame muutuva raja x'ga ning integreerimismuutuja t'ga. Et see integraal on ülemise raja funktsioon, tähistame ta (x). Kui f(x) on pidev funktsioon ja , siis kehtib võrdus: =f(x)
teraseliik, keskaja islamistide armeel edukalt Euroopa ristisõdijate vastu võidelda. Damaskuse teras oli teraseliik (1,2...1,8% süsinikku sisaldav sitke, kõva ja elastne metall), mida kasutati Lähis-Idas mõõkade jt külmrelvade valmistamisel. See oli loodud wootz-terasest, mis oli välja töötatud Indias juba 300 aastat eKr. Metall oli selgelt äratuntav erilise tuhmsinise lainja pinna tõttu, mida iidse Pärsia poeedid on võrrelnud sipelgate rajaga ning voolava vee jälgedega. Sellised terad polnud mainekad vaid oma kõvaduse ja vastupidavuse poolest, vaid ka oma järsult lihvitud tugevate servade poolest. Kuulsa metalli varaseim kirjeldus pärineb XVI sajandist. Usutakse, et Egiptuse ja India moslemid tegid seda juba sadu aastaid varem. Sajandeid tehti mõõku, mis tekitasid eurooplaste hulgas kadedust ja sünnitasid hulga müüte -
majutust 45-le inimesele ja suvel 70-le. Talvisel ajal saab kasutada puhkeküla ümbruses olevaid suusaradasid. Suvel saab seigelda matkaradadel, sportida ning ratsutada. Samuti korraldatakse seal ka igal suvel meeleolukaid lastelaagreid. Lisaks eelnevale on Neeruti maastike avastamiseks ette valmistatud matkarada. Täpsemalt - 14km pikkune matkarada viib Pariisist Neeruti südamesse Kuresöödile ja toob teist teed pidi jälle Pariisi tagasi. Matkarada on võimalik läbida 4 erineva pikkuse rajaga, vastavalt inimese enda soovile. Ning mis kõige huvitavam - seal on võimalik tutvuda eesti kirjaniku ja arsti Fr. R. Kreutzwaldi eeposes "Kalevipoeg" tuntuks kirjutatud paiga loodusega. Tule Pariisi- seal jagub tegevust kõigile ning varsti kõrgub seal ka oma miniatuurne Eiffeli torn, et Pariisi oleks ikka täitsa Pariisi moodi.
Filmi ajalugu Esimene liikuva pildiga film loodi Eadweard Muybridge poolt 1878. aastal, kui ta filmis liikuvat hobust. Filmimiseks kasutas ta stereoskoopilist kaamerat. Kaamerad olid paigaldatud paralleelselt hobuste jooksu rajaga ja kõik kaamera luugid olid kontrollitavad liikuva nööriga, mis pääsesid liikuma koos hobuste kapjadega. Seal oli 21 osa, et jäädvustada hobuste jooks. See teeb umbes 1000 pilti sekundis. 1893. aastal tutvustas Thomas Edison rahvale kinetograafi ja kinetoskoopi. 1895. aastal leiutasid vennad Lumiereid kinesgraafi, see oli kaasas kantav, kolm ühes võimalusega: kaamera,printer ja projektor. Liumiereid näitasid Pariisis filmi, kus veovankrit vedav hobune liikus vaatajate poole.
Kui iga N [a; ) korral on olemas m¨aa¨ratud integraal f (x)dx ja a N eksisteerib piirv¨aa¨rtus lim f (x)dx, siis seda piirv¨aa¨rtust nimetatakse N a funktsiooni f (x) l~opmatu u ¨lemise rajaga p¨aratuks integraaliks ja t¨ahistatakse f (x)dx. a Definitsiooni 1 kohaselt N f (x)dx = lim f (x)dx. (5.8) a N a Seega tuleb p¨aratu integraali arvutamiseks leida k~oigepealt funktsiooni f (x)
3. 3.nädal 1)Soojendus vt eelmise nädala soojendust. Jooks vastupanu (2x) 2)Kiirendusjooks 10m – seejärel inertsiga 10-15m – ületamisega. kiirendusjooks 10m- seejärel 10-15m inertsiga (kestvus 10 min). 3)Vastupanuks vajalik kasutada lisavahendit (nt kummilinti). Jooks vastupanu ületamisega: kindlustada tugijala täielik sirutus ja lühiajaline kontakt rajaga (kestvus 6min). 4)Venitusharjutused.
vanemad taimehuvilised. Koht on atraktiivne ka seetõttu, et Viidumäel asub Saaremaa kõrgeim punkt ning 26 meetri kõrgusest vaatlustornist, mis on loodusradade kompleksi osa, avaneb ilus vaade Saaremaale. Külastajatel on võimalik parkida radade alguse ning kontori lähedusse parklasse, mis mahutab umbes 15 sõiduautot. Rada ning kontor on avatud igapäevaselt. Vaatetornil on eraldi parkla, mis mahutab samuti umbes 15 autot. Tegemist on kahe ringja kujuga rajaga (Joonis 3), mis mõlemad saavad alguse keskuse juurest. Kokku on rajad 4,6 km pikad (vastavalt 1. rada 2,8 ning teine 1,8 km), seega on inimestel võimalik valida, kui pika matka nad soovivad läbida. Vaatlustorn asub radadest umbes 400 m kaugusel, sinna on võimalik ligi pääseda autoga. Radadel on kokku 13 vaatluspunkti (1. rajal 3 ning teisel 10). Joonis 3. Kollastee katkematute joontega märgitud õpperajad
REFERAAT SUUSATAMINE 2010 Sõidustiilid KLASSIKALINE Klassikaline sõidustiil oli murdmaasuusatamise puhul ainsaks stiiliks kuni 1980ndate aastateni. Klassikalise stiili puhul eristatakse diagonaal- või vahelduvsammu, käär- või mäkketõususammu , paaristõukeid ja vahesammuga paaristõukeid. Ehk vahelduvtõukeline ja paaristõukeline sõiduviis. See sõidustiil sobib sõitmiseks paksus lumes ja ettetehtud rajaga. UISUSTIIL ehk VABA Uisustiili sõitmine eeldab suhteliselt tiheda lumekihi olemasolu ning laia rada. Võistlusalad Murdmaasuusatamine Laskesuusatamine Kahevõistlus Mäesuusatamine Suusahüpped Lumelauasõit Vigursuusatamine Murdmaasuusatamine Murdmaasuusatamine on spordiala, milles võisteldakse suusatamises. Sõltuvalt võistluse iseloomust kasutatakse murdmaasuusatamises kas klassikalist või vabastiili.
Prince poolt 14 oktoober 1888 a. Roundhays lääne Yorkshires. Inglismaa on üldiselt tuntud kui kõige varasem elava liikumise pildiga. aastal 1878 Leland Stanfordi sponsorluse all pildistas Eadweard Muybridge kiiresti liikuvat hobust kellel nimeks "Occident", kasutades selle12 seeriat stereoskoopilist kaamerat. Esimene edukas katse leidis aset 11 juuni Palo Alto farmis Californias ajakirjanduse kohalolekul. Kaamerad olid paigaldatud paralleelselt hobuste jooksu rajaga ja kõik kaamera luugid olid kontrollitavad liikuva nööriga,mis pääsesid liikumakoos hobuste kapjadega. Seal oli 21 osa et jäädvustada hobuste jooks. See teeb umbes 1000 pilti sekundis. Chicagos 1893 aastal maailma näitusel pidas Muybridge mitu loengut loomade teaduse edasiliikumisest loomaaretuse hallis,mis oli spetsiaalselt ehitatud "Midway Plaisance" näituse alustalaks. Ta kasutas enda loomaperiskoope, et näidata oma liikuvaid pilte
Peep Pahv On juunikuu viies päev. Rally Estonia korraldajate hulka kuuluvad Silver Kütt ja Margus Kiiver liiguvad koduse autospordi suursündmuse esimesel kiiruskatsel ja teevad bülletääni jaoks pilte, kui korraga köidab nende tähelepanu must Mercedese maastur. Auto roolis tunnevad nad ära Läti ühe tugevaima rallimehe Janis Vorobjovsi. Selleks hetkeks on käesoleva nädala reedel ja laupäeval sõidetava ralli stardini aega vähem kui poolteist kuud ja tulevastel võistlejatel rajaga tutvumine rangelt keelatud. Vorobjovs, mõistes, et ta tunti ära, peatab masina ning selgitab, et näitab oma õpilasele Dmitri Tagirovile ja tema kaardilugejale, kuidas Lõuna-Eesti keerulistel teedel kiiruslegendi koostada. Omapäi tegutsedes oleks see ränk reeglite rikkumine rallimaailmas võrreldakse seda isegi dopinguga. Reeglites on kirjas, et alates võistluse juhendi avaldamise hetkest ei tohi võistlejad kiiruskatseteks mõeldud teedel liigelda. Rally Estonia juhend avaldati 11
Nende katsete tulemuste kasutamiseks on saadud nõusolek Eesti Kergejõustikuliidu sprindi- ja tõkkejooksu alarühma vanemtreener Valter Espelt. Uuritavate arv oleks võinud olla suurem, aga arusaadavalt on Eestist raske leida väga palju kõrgel tasemel kiirjooksjaid. Testi tulemuste kvaliteet on hea. Kui töö eesmärgiks oli kiirjooksu kinemaatiline analüüs, siis testides ongi mõõdetud nii jooksu aega, sammu sagedust kui sammu pikkust, samuti jala kontakti aega rajaga. Esineb süsteemitust töö tulemuste esitamisel, mistõttu on tulemused raskesti jälgitavad. Töö tulemused ei ole esitatud piisava selgusega. Jooniste ja tabelite kvaliteet on hea ja need on hästi jälgitavad. Tulemuste esituste detailsus ja ülevaatlikkus ei ole väga hästi tasakaalus. Erinevates testides on kasutatud erinevat hulka inimesi ja tabelid ei ole välja toodud süsteemses järjekorras. Töö arutelus on esitatud sooritatud testide vahelised seosed. Kõiki saadud andmeid
4. Muutuja vahetus määratud integraalis. b b f ( x)dx = f [(t )] f ' (t )dt a a 5. Ositi integreerimine (määratud integraali korral). b b udv = uv a - vdu b a a 6. Lõpmatute rajadega päratud integraalid. f(x); x[a;[ DEF. kui iga N[a;[ leidub integraal rajades a'st N'ini f(x)dx ja sellest piirväärtus N, siis seda nim lõpmatu ülemise rajaga päratuks integraaliks f(x)dx (rajad a ja ). Kui see piirväärtus on lõplik, siis öeldakse et päratu integraal koondub, kui lõpmatu või puudub, siis hajub. Kui tegemist on ]-;[ siis võetakse konstant c ja kirjutatakse kahe integraalina (aditiivsus) 7. Päratud integralid tõkestamata funktsioonidest. 1) kui tegu on integraaliga f(x) rajades [a;b[. DEF. >0; kui leidub integraal rajades a'st b-'ni ja sellest piirväärtus, siis seda nim
Slaalomsuusad on 155-165 cm pikkused. Suurslaalom Suurslaalom on veidi slaalomist kiirem mäesuusatamise ala. Meeste raja kõrguste vahe peab olema 250-450 meetrit ja naistel vastavalt 250-400 meetrit. Maailmakarikavõistlustel on lubatud väiksem kõrgustevahe 300 meetrit. Kiirlaskumine Kiirlaskumine on mäesuusatamise ala, kus laskutakse alla järsult nõlvalt, kus on pikad sirged ja suure kaarega kurvid. Kiirlaskujad saavad enne võistlust rajaga tutvuda 3 päeva jooksul. Tiitlivõistlustel (OM, MM ja MK) on kiirlaskumisraja kõrguste vahe meestel 800- 1000 meetrit ja naistel vastavalt 500-800 meetrit. Kiirlakumisraja väravad peavad olema 8 meetri laiused. Tavaliselt on rada märgitud sinise värviga parema läbimise huvides, mis juhatab läbi väravate. Alpi kahevõistlus on mäesuusatamise ala, mis koosneb kiirlaskumisest ja slaalomist (kaks laskumist). Kõigi
Väravakepid valmistatakse plastmassist ja need on kinnitatud nii, et need painduvad, kui sportlane neist lähedalt möödub. Slaalomivõistlus kestab 50-60 sekundit ja võistlustel on kaks laskumist ning mõlema laskumise liitmise tulemusel selgub võitja. Slaalomsuusad on 155-165 cm pikkused. Kiirlaskumine Kiirlaskumine on mäesuusatamise ala, kus laskutakse alla järsult nõlvalt, kus on pikad sirged ja suure kaarega kurvid. Kiirlaskujad saavad enne võistlust rajaga tutvuda 3 päeva jooksul. Tiitlivõistlustel on kiirlaskumisraja kõrguste vahe meestel 800-1000 meetrit ja naistel vastavalt 500-800 meetrit. Kiirlakumisraja väravad peavad olema 8 meetri laiused. Tavaliselt on rada märgitud sinise värviga parema läbimise huvides, mis juhatab läbi väravate. Kiirlaskumise kiirus on mäesuusatamises suurim ja seetõttu ka riskid kukkuda väga suured. Keskmine kiirus on selgelt üle 100 km/h ja parimal juhul isegi kuni 150 km/h. Rajal on
★ Jooksusammu sagedus ★ Kontaktiaeg ★ Õhulennu aeg NT: 30-60m 60-80m 80-100m U. Bolt 9,58 1,67 1,61 1,66 jooksusamm: 1,41 1,32 jooksusammu sagedus : 4,69 kontaktiaeg: tasemel jooksjal 0,100 sek. Mida väiksem kontaktiaeg, seda suurem sammusagedus. Olulised momendid jooksutehnika analüüsimiseks Toefaas - ● jälgida “laetud” pöia kokkupuudet rajaga, ● hoojala reis on jõudnud toejala kõrvale, ● käed on jõudnud kere joonele, pöid otse enda alla, mitte kõrvale, ● jooksuasend kõrge, nurgad tugijala põlves ja puusas suured (140-145), ● tugijala säär vertikaalne (90 kraadi raja suhtes), ● kere minimaalne ettekalle (alla 10 kraadi vertikaalist), ● hoojala kand kõrgel tuhara all, hoojala pöid on enda poole võetud. 2. Äratõuke tipphetk- ● tõukejalg põlvest
. . < xn = b. Fikseerime igal osalõigul [xi-1, xi] ühe punkti pi. Tähistame xi = xi - xi-1 . Terve kõvertrapetsi ligikaudse pindala valemi saame, kui summeerime osapiirkondade pindalad: Saame ligikaudsest valemist järgmise täpse valemi pindala jaoks: Oma geomeetrilise sisu tõttu nimetatakse seda valemit ristkülikvalemiks. 35. Määratud integraali omadused 36. Teoreem muutuva ulemise rajaga integraalist ilma tõestuseta. NEWTON- LEIBNITZI VALEM Teoreem muutuva ülemise rajaga integraalist x Teoreem: Kui f on pidev lõigul [a, b], siis funktsioon , mis avaldub valemiga (x) = a f(t)dt, on funktsiooni f algfunktsioon lõigul [a, b]. Newton-Leibnitzi valem. Teoreem: Kui F on pideva funktsiooni f algfunktsioon lõigul [a, b], siis kehtib valem ba f(x)dx = F(b) - F(a) =: F(x)|ba 37
Päris musta plaati võib pintsli abil pesta ainult destilleeritud vees ja kindlasti seejärel loputada. Heliplaate tuleb säilitada originaalümbristes. Lisaks tuleb kasutada ka karpe, mis on täiendavaks tõkkeks tolmule. Säilitamiseks sobiv temperatuur on 15- 20℃ HELILINTIDE KORRASTAMINE Analoog – magnetiline salvestis Masterlint: Ühest või mitmest heliallikast (mikrofonist, mitme rajaga helilindilt) vahetult kokkusalvestatud esmane helilint, originaal, millest Laiatarbe valmistati helilint: koopiad (nt amatöörpraktikas heliplaadid). levinud salvestise- ja mahamängimise nimikiirused on 19,05; 9,53; 4,76 ja 2,38 cm/s. Digitaal-magneetiline helisalvestis ehk
protsessi käigus või lõhkeaineid; 12) puidust või sama laadi kiudmaterjalist tselluloosi, paberi või papi tootmine, kui valmistoodangu maht on vähemalt 200 tonni päevas; 13) kiirtee, 2100 meetri pikkuse või pikema peamaandumisrajaga lennuvälja, üle kümne kilomeetri pikkuse nelja sõidurajaga tee püstitamine või ühe või kahe sõidurajaga tee ehitamine vähemalt nelja sõidurajaga teeks; 14) uue raudteeliini ehitamine või uue raudteejaama ehitamine, kui ühe rajaga raudteeliini puhul on vähemalt neli jaamateed ja kahe rajaga raudteeliini puhul vähemalt viis jaamateed, olemasoleva raudteejaama laiendamine, kui laiendamise tulemusel on raudteejaamas ühe rajaga raudteeliini puhul vähemalt neli jaamateed ja kahe rajaga raudteeliini puhul vähemalt viis jaamateed, või olemasoleva raudteejaama jaamateede pikendamine pikkuseni vähemalt 1000 meetrit, kui raudteejaamas on ühe rajaga raudteeliini puhul vähemalt neli jaamateed ja kahe
12) puidust või sama laadi kiudmaterjalist tselluloosi, paberi või papi tootmine, kui valmistoodangu maht on vähemalt 200 tonni päevas; 13) kiirtee, 2100 meetri pikkuse või pikema peamaandumisrajaga lennuvälja, üle kümne kilomeetri pikkuse nelja sõidurajaga tee püstitamine või ühe või kahe sõidurajaga tee ehitamine vähemalt nelja sõidurajaga teeks; 14) uue raudteeliini ehitamine või uue raudteejaama ehitamine, kui ühe rajaga raudteeliini puhul on vähemalt neli jaamateed ja kahe rajaga raudteeliini puhul vähemalt viis jaamateed, olemasoleva raudteejaama laiendamine, kui laiendamise tulemusel on raudteejaamas ühe rajaga raudteeliini puhul vähemalt neli jaamateed ja kahe rajaga raudteeliini puhul vähemalt viis jaamateed, või olemasoleva raudteejaama jaamateede pikendamine pikkuseni vähemalt 1000 meetrit, kui raudteejaamas on ühe
samalaadsetest kiudmaterjalidest; [RT I 2008, 34, 209 - jõust. 01.08.2008] 13) kiirtee, 2100 meetri pikkuse või pikema peamaandumisrajaga lennuvälja, üle kümne kilomeetri pikkuse nelja sõidurajaga tee püstitamine või ühe või kahe sõidurajaga tee ehitamine vähemalt nelja sõidurajaga teeks; 14) uue raudteeliini ehitamine või uue raudteejaama ehitamine, kui ühe rajaga raudteeliini puhul on vähemalt neli jaamateed ja kahe rajaga raudteeliini puhul vähemalt viis jaamateed, olemasoleva raudteejaama laiendamine, kui laiendamise tulemusel on raudteejaamas ühe rajaga raudteeliini puhul vähemalt neli jaamateed ja kahe rajaga raudteeliini puhul vähemalt viis jaamateed, või olemasoleva raudteejaama jaamateede pikendamine pikkuseni vähemalt 1000 meetrit, kui raudteejaamas on ühe rajaga raudteeliini puhul vähemalt neli jaamateed ja kahe
Ka eestlased on ikkagi päris suurel määral rallirahvas ja jääbki selleks. Loodetavasti eestlaste seas suureneb huvi ralli vastu. Oleks ju uhke tunne mingis ralli MM entsüklopeedias näha eestlase nime. Ralli sõitja jaoks on saada uus parem auto sama hea kui saada armas lemmikloom või sõber. Auto kaotus võrdub lähedase kaotusega. Pealtvaatajad näevad põhiliselt ralliradade ääres tolmupilvi ja lumepööriseid tekitavaid, suurel kiirusel kihutavaid autosid ega märka autosse ja kiivri taha varjunud sportlasi. Enamiku teiste spordialadega võrreldes jääb autospordis nägemata sportlase pingutus inimvõimete piiril ja nii kipumegi mitte märkama, et nemadki on inimesed oma rõõmude ja muredega. Samuti jäävad tagaplaanile ja kaovad unustustehõlma need inimesed, tänu kellele on sportlastel vahendid, millega oma oskusi demonstreerida, ehk siis autod. Tavaliselt räägitakse ikka ühest või teisest ralliautost kui mingist umbisikulise "tootja" valmistatud s...
ja see päratu integraal koondub. 8 Kui piirväärtust ei eksisteeri või seeon lõpmatu, siis päratut integraali ei eksisteeri ehk päratu integraal hajub. b b Lõpmatu alumise rajaga integraal f ( x ) dx = lim f ( x ) dx - a - a + b
+ b rajades a-st +-ni f ( x ) dx = blim + f ( x ) dx ja see päratu integraal koondub. a a Kui piirväärtust ei eksisteeri või see on lõpmatu, siis päratut integraali ei eksisteeri ehk päratu integraal hajub. b b Lõpmatu alumise rajaga integraal f ( x ) dx = lim - a - f ( x ) dx a + b Mõlema lõpmatu rajaga päratu integraal f( x) dx = alim- f( x) dx
Epinefriin vabastab kiiresti suuredenergiahulgad. Glükagoon aitab hoida pikemaajaliselt glükoosi taset veres. Aktiveerib glükogeeni degradatsiooni ja glükogeneesi maksas. 4. Glükoosi oksüdatsiooni pentoosfosfaadi rada: roll, millistes kudedes toimub, kuidas reaktsioone rühmitatakse. Raja oksüdeerivate ja mitteoksüdeerivate reaktsioonide ülesanded. Lähteühend ja tekkivad produktid ning nende edasine kasutamine. Tegemist on aeroobse rajaga, mis toodab pentoosfosfaati, CO2 ja redutseerijat. Algab glükoos-6- fosfaadist ja koosneb kaheksast etapist. Kolm oksüdatiivset protsessi, millele järgneb viis mitte-oksüdatiivset protsessi (4 ensüümi). Varustab biosünteesi protsesse NADPH-ga kui redutseerijaga (rasvhapete süntees tsütosoolis, steroidide, aminohapete süntees). Produtseerib riboos-5-fosfaati nukleiinhapete sünteesiks. Intermediaadid võivad siseneda glükolüüsi
Sisukord Sissejuhatus........................................................................................................... 2 Kõrgushüpe............................................................................................................. 3 Kaugushüpe............................................................................................................ 5 Kettaheide.............................................................................................................. 6 Kuulitõuge.............................................................................................................. 7 Kiir-, pika- ja keskmaajooks.................................................................................... 9 LISAD.................................................................................................................... 12 Kokkuvõte....................................................................................
Fh = µ • m • g Kui keha liigub aluse suhtes ühtlase kiirusega, on veojõud võrdne liugehõõrdejõuga (Joonis 6) Fv = Fh Joonis 7. Hõõrdejõud sõltub keha raskusest Lennukite maandumisdistant oleneb sellest, kui kõva või sile on pind. Näiteks kui maas on muru (lühem kui 20 cm), siis see vähendab hõõrdumist ratta ja maa vahel ning vähendab ka pidurdamise jõudu. Pidureid ei saa vajutada nii kõvasti, rattad libisevad ja maandumisdistants pikeneb. Samuti on lood märja rajaga. See v’hendab hõõrdumist ratta ja raja vahel ning pidurdamisjõud väheneb ning maandumisdistants pikeneb. Näiteks kui rohi on kuiv ja umbes 20 cm siis pikeneb maandumisdistants 20 %. Märg rohi umbes 20 cm pikendab maandumisdistantsi 30 % võrra. Lumine ja pehme maandumisrada pikendab maandumisdistantsi 25 % võrra. (Kulmar, 2015) 1.6. INERTSJÕUD Inertsjõuks nimetatakse jõudu, mis on näiv ja mis mõjub kiirendusega liikuvale kehale, kui vaatleme seda keha paigalseisvana
Kuna m ja M on konstandid, siis omaduse 2 põhjal ja . Seega Jagades suurusega saame Näeme, et arv paikneb funktsiooni f(x) suurima ja vähima väärtuse vahel. Kuna lõigul pidev funktsioon saavutab sellel lõigul iga väärtuse oma suurima ja vähima väärtuse vahel, siis leidub üks punkt nii, et Korrutades seda võrdust arvuga ja arvestades, et saame valemi 40. Teoreem muutuva suuruse ülemise rajaga integraalist koos tõestusega. Newton-Leibnitzi valem. Valemi tõestus. a. Teoreem muutuva suuruse ülemise rajaga integraalist koos tõestusega Kui f on pidev lõigul [a,b], siis funktsioon , mis avaldub valemiga , on funktsiooni f algfunktsioon lõigul [a,b]. Olgu x suvaline punkt lõigult [a,b]. Tähistame sümboliga argumendi x muutu. Kasutades määratud integraali omadust 3 arvutame:
kõverdatakse hoojalg põlveliigeses ning seejärel rebitakse ette. 2. Vead, mida vältida jooksualadel - tähelepanu kontsentreerimist vaid mõnele üksikule harjutusele või võttele; väsimust maksimaalse kiiruse arendamisel; täistallal jooksmist sprindis. 3. Stardipakkude asetus rajal - Tõukejalapakk 1,5-2 pöida stardijoonest, tugijalg +1,5 pöid võrreldes tõukejala pakuga. Esimene pakk on laugem (u 45°) 4. Asend “kohtadele!” - Mõlemad pöiad on kontaktis pakkude ja rajaga. Tagumise jala põlv toetub rajale. Sirged käed toetuvad rajale õlgadelaiuselt, sõrmed on harali. Kukal on selja kõrgusel, silmavaade suunatud alla. Keharaskus jaotub võrdselt kõikide toetuspunktide vahel. 5. Asend “valmis!” - Pöid (kand) on tugevalt pakkudele surutud. Eesoleva jala põlveliiges on kõverdatud täisnurga all. Tagumise jala põlveliiges on kõverdatud 120–140kraadise nurga all. Puusad on veidi kõrgemal õlgadest, ülakeha on ette kallutatud
12) paberi v õi papi tootmine tootmisvõimsusega vähemalt 200 tonni ööpäevas või pulbi tootmine puidust või samalaadsetest kiudmaterjalidest; [RT I 2008, 34, 209 - jõust. 01.08.2008] 13) kiirtee, 2100 meetri pikkuse või pikema peamaandumisrajaga lennuvälja, üle kümne kilomeetri pikkuse nelja sõidurajaga tee püstitamine või ühe või kahe sõidurajaga tee ehitamine vähemalt nelja sõidurajaga teeks; 14) uue raudteeliini ehitamine või uue raudteejaama ehitamine, kui ühe rajaga raudteeliini puhul on vähemalt neli jaamateed ja kahe rajaga raudteeliini puhul vähemalt viis jaamateed, olemasoleva raudteejaama laiendamine, kui laiendamise tulemusel on raudteejaamas ühe rajaga raudteeliini puhul vähemalt neli jaamateed ja kahe rajaga raudteeliini puhul vähemalt viis jaamateed, või olemasoleva raudteejaama jaamateede pikendamine pikkuseni vähemalt 1000 meetrit, kui raudteejaamas on ühe rajaga raudteeliini puhul vähemalt neli jaamateed ja kahe
Olgu suurimaks väärtuseks M ja vähimaks m. Iga korral kehtib võrratus ja määratud integraali 6. omaduse põhjal: Kuna m ja M on konstandid siis võib nad tuua integraalimärgi ette Jagades suurusega saame Näeme, et arv asub vähima ja suurima väärtuse vahel. Lõigul pidevate punktsioonide teise omaduse järgi leidub vähemalt üks punkt nii, et Korrutame selle arvuga ja arvestades, et 18. Teoreem muutuva ülemise rajaga integraalist koos tõestusega. Newton-Leibnitzi valem. Valemi tõestus. a. Muutuva ülemise rajaga integraali teoreem - Kui f on pidev lõigul [a,b], siis funktsioon, mis avaldub valemiga , on funktsiooni f algfunktsioon lõigul [a,b] b. Tõestus: b.i. Olgu x suvaline punkt lõigul [a,b]. Tähistame argumendi x muudu sümboliga . b.ii. b.iii. Saame järgmise seose b.iv
12) paberi v õi papi tootmine tootmisvõimsusega vähemalt 200 tonni ööpäevas või pulbi tootmine puidust või samalaadsetest kiudmaterjalidest; [RT I 2008, 34, 209 jõust. 1.08.2008] 13) kiirtee, 2100 meetri pikkuse või pikema peamaandumisrajaga lennuvälja, üle kümne kilomeetri pikkuse nelja sõidurajaga tee püstitamine või ühe või kahe sõidurajaga tee ehitamine vähemalt nelja sõidurajaga teeks; 14) uue raudteeliini ehitamine või uue raudteejaama ehitamine, kui ühe rajaga raudteeliini puhul on vähemalt neli jaamateed ja kahe rajaga raudteeliini puhul vähemalt viis jaamateed, olemasoleva raudteejaama laiendamine, kui laiendamise tulemusel on raudteejaamas ühe rajaga raudteeliini puhul vähemalt neli jaamateed ja kahe rajaga raudteeliini puhul vähemalt viis jaamateed, või olemasoleva raudteejaama jaamateede pikendamine pikkuseni vähemalt 1000 meetrit, kui raudteejaamas on ühe
b VK = f 2 (x)dx. a 3. TASANDILISE KAARE PIKKUS Olgu tasandiline joon L määratud ilmutatud võrrandiga y = f(x). Kui selle joone kaare jaoks Lx = [ a, b ], siis b sL = 1 [f´(x)]2 dx. a 13 PÄRATUD INTEGRAALID 1. Esimest liiki päratud integraalid integraalid vähemalt ühe LÕPMATU RAJAGA: b f(x)dx = lim f(x)dx. a b a Üldiselt 0 b f(x)dx = lim f(x)dx + lim f(x)dx. - a - a b 0 2. Teist liiki päratud integraalid integraalid integreerimislõigul TÕKESTAMATA FUNKTSIOONIDEST: b b f(x)dx = lim f(x)dx, kui lim f(x) = .
Kuna nende elementide üheaegne treenimine pole võimalik, kasutatakse mitmeid erinevaid harjutusi, mis on suunatud nende spetsiifiliste jooksuelementide täiustamiseks. Sprindi põhieesmärk on saavutada võimalikult ruttu maksimaalne kiirus ning säilitada see kogu distantsi vältel. Sprinti ei tohi joosta kõrgete tossudega. Soovitan sisetingimustes kasutada õhukese tallaga jalatseid (puupõrandal ka paljajalu jooksu), sest siis tunnetab rajaga head kontakti .(http://www.oppekava.ee/index.php/Kiirjooks) Kaugushüpe Kaugushüpe on kergejõustiku ala, milles sportlased püüavad hüpata lähtepunktist võimalikult kaugele. Võistlejad sprindivad jooksurajal (mis tippspordivõistlustel on tavaliselt kaetud samasuguse kummeeritud rajakattega nagu jooksjaterajad), hüppavad maapinnast pisut kõrgemale ulatuvalt puust pakult nii kaugele kui suudavad, maandudes kastis, mis on täidetud peenikese kruusa või liivaga
ning kinnised väravad on 8-12 meetrit laiad ja nende vahekaugus on vähemalt 15 meetrit. 6 Ülisuurslaalomis kasutatakse samu suuski, kui kiirlaskumises ja need on 208-235 cm pikkused. Kiirlaskumine Kiirlaskumine on mäesuusatamise ala, kus laskutakse alla järsult nõlvalt, kus on pikad sirged ja suure kaarega kurvid. Kiirlaskujad saavad enne võistlust rajaga tutvuda 3 päeva jooksul. Tiitlivõistlustel on kiirlaskumisraja kõrguste vahe meestel 800-1000 meetrit ja naistel vastavalt 500-800 meetrit. Kiirlakumisraja väravad peavad olema 8 meetri laiused. Tavaliselt on rada märgitud sinise värviga parema läbimise huvides, mis juhatab läbi väravate. Kiirlaskumise kiirus on mäesuusatamises suurim ja seetõttu ka riskid kukkuda väga suured. Keskmine kiirus on selgelt üle 100 km/h ja parimal juhul isegi kuni 150 km/h.
Jagades suurusega ba dx saame m ba f(x)dxba dx M. Näeme, et arv ba f(x)dx ba dx paikneb funktsiooni f(x) suurima ja vähima väärtuse vahel. Kuna lõigul [a, b] pidev funktsioon f(x) saavutab sellel lõigul iga väärtuse oma suurima ja vähima väärtuse vahel, siis leidub vähemalt üks punkt c [a, b] nii, et f(c) = ba f(x)dx ba dx Korrutades seda võrdust arvuga ba dx ja arvestades, et ba dx = b - a, saame valemi. Teoreem on tõestatud. 40. Teoreem muutuva ülemise rajaga integraalist koos tõestusega. Newton- Leibnitzi valem. Valemi tõestus. Teoreem muutuva ülemise rajaga integraalist koos tõestusega. Teoreem 5.3. Kui f on pidev lõigul [a, b], siis funktsioon , mis avaldub valemiga (x) = xa f(t)dt, on funktsiooni f algfunktsioon lõigul [a, b]. Tõestus. Teoreemi väite tõestamiseks peame näitama, et (x) = f(x) iga x [a, b] korral. Olgu x suvaline punkt lõigult [a, b]. Nagu tavaliselt, tähistame sümboliga x argumendi x muutu. Kasutades
liigutustele. · Laua laius tavaliselt on see individuaalne, sõltub sageli jalasuuruset. Laiemad lauad kannavad paremini sõitjat värskes puuderlumes. · Laua jäikus Mida jäigem on laud, seda stabiilsem on temaga sõita. Laua jäikus on eelkõige oluline suurematel sõidukiirustel hooldatud nõlvadel. Pehme laud hakkab suurel kiirusel kantimise ajal põrkama ja sõitjal võib kaduda kontakt rajaga. · Laua kaal Mida väiksem on laua kaal seda lihtsam on sõita ja manööverdada · Laua suunad Lauad on kahe- ja ühesuunalised. Kahesuunalise lauaga saab sõita nii vasak, kui parem jalg ees. Ühesuunalise lauaga saab sõita ainult vasak või parem jalg ees. Sidemed Lumelaua sidemed võivad olla kas kõvad või pehmed, olenevalt saapa tüübist, mida nende kandmiseks vaja läheb
on väiksem. Seetõttu osundatakse suhtelise eelise seadusele vahel ka kui suhtelise kulu seadusele . Püsivate alternatiivkulude juures spetsialiseeruvad mõlemad riigid täielikult oma suhtelise eelise kauba tootmisele ja loobuvad üldse tootmast teist kaupa Autarkia - välismajanduslik isoleeritus, väliskaubanduse puudumine. Tarbimine autarkia tingimustes Kui ühendame ühiskonna samasuskõvera tootmisvõimaluste rajaga, saame leida tasakaalupunkti antud riigis autarkia tingimustes: · Kaubanduse puudumisel kujuneb tasakaalupunkt kohas, mis võimaldab ühiskonnale kõrgeima samasuskõvera - s.t. riigi tootmisvõimaluste raja ja samasuskõvera kõrgeimas puutepunktis. · Kahe kõvera ühesugune kalle puutepunktis väljendab riigisisese relatiivse hinna tasakaalu ja peegeldab riigi suhtelist eelist. 5. SUHTELISE EELISE SEADUS (KASVAVATE ALTERNATIIVKULUDE NÄITEL).
on väiksem. Seetõttu osundatakse suhtelise eelise seadusele vahel ka kui suhtelise kulu seadusele . Püsivate alternatiivkulude juures spetsialiseeruvad mõlemad riigid täielikult oma suhtelise eelise kauba tootmisele ja loobuvad üldse tootmast teist kaupa Autarkia - välismajanduslik isoleeritus, väliskaubanduse puudumine. Tarbimine autarkia tingimustes Kui ühendame ühiskonna samasuskõvera tootmisvõimaluste rajaga, saame leida tasakaalupunkti antud riigis autarkia tingimustes: • Kaubanduse puudumisel kujuneb tasakaalupunkt kohas, mis võimaldab ühiskonnale kõrgeima samasuskõvera - s.t. riigi tootmisvõimaluste raja ja samasuskõvera kõrgeimas puutepunktis. • Kahe kõvera ühesugune kalle puutepunktis väljendab riigisisese relatiivse hinna tasakaalu ja peegeldab riigi suhtelist eelist. 5. SUHTELISE EELISE SEADUS (KASVAVATE ALTERNATIIVKULUDE NÄITEL).
a f ( c )= b Korrutades seda võrdust arvuga dx ja arvestades, et dx=b-a a a dx a saame valemi b b f ( x ) dx=f ( c ) dx=f (c )(b-a) a a 40. Teoreem muutuva ülemise rajaga integraalist koos tõestusega. NewtonLeibnitzi valem. Valemi tõestus. Teoreem muutuva suuruse ülemise rajaga integraalist koos tõestusega x Kui f on pidev lõigul [a,b], siis funktsioon , mis avaldub valemiga ( x )= f ( t ) dt , on
12) puidust või sama laadi kiudmaterjalist tselluloosi, paberi või papi tootmine, kui valmistoodangu maht on vähemalt 200 tonni päevas; 13) kiirtee, 2100 meetri pikkuse või pikema peamaandumisrajaga lennuvälja, üle kümne kilomeetri pikkuse nelja sõidurajaga tee püstitamine või ühe või kahe sõidurajaga tee ehitamine vähemalt nelja sõidurajaga teeks; 14) uue raudteeliini ehitamine või uue raudteejaama ehitamine, kui ühe rajaga raudteeliini puhul on vähemalt neli jaamateed ja kahe rajaga raudteeliini puhul vähemalt viis jaamateed, olemasoleva raudteejaama laiendamine, kui laiendamise tulemusel on raudteejaamas ühe rajaga raudteeliini puhul vähemalt neli jaamateed ja kahe rajaga raudteeliini puhul vähemalt viis jaamateed, või olemasoleva raudteejaama jaamateede pikendamine pikkuseni vähemalt 1000 meetrit, kui raudteejaamas on ühe rajaga raudteeliini puhul vähemalt neli jaamateed ja kahe
Lähtepakud peab paigaldama nii, et need sobiksid jooksale ja vastaksid ta kasvule ning kehalistele võimetele. Tõukejalapakk 1,5-2 pöida stardijoonest (kaldenurk 45-50), tugijalg 1-1,5 pöida esimesest pakust (kaldenurk (50-60). 6. Asend “kohtadele!” - Jooksja astub pakkudest mööda nende ette ja võtab lähtasendi. Kõigepealt käed maha ja jalad paika, siis käed paika joone taha. Mõlemad pöiad on kontaktis pakkude ja rajaga. Tagumise jala põlv toetub rajale. Sirged käed toetuvad rajale õlgadelaiuselt, sõrmed on harali. Õlad on lähtejoone kohal. Kukal on selja kõrgusel, silmavaade suunatud alla. Keharaskus jaotub võrdselt kõikide toetuspunktide vahel. 7. Asend “valmis!” - Jooksja võtab optimalse lähteasendi. Puus tõstetakse õlavöötmest kõrgemale. Õlad on kätest veidi eespool. Vaade endiselt alla. Pöid (kand) on tugevalt pakkudele surutud.
Kuna lõigul [a, b] pidev funktsioon f(x) saavutab sellel lõigul iga väärtuse oma suurima ja vähima väärtuse vahel (lõigul pidevate funktsioonide omadus 2 §2.11), siis leidub vähemalt ¨uks punkt c ∈ [a, b] nii, et f(c) = ʃ b a f(x)dx ʃ b a dx . Korrutades seda võrdust arvuga ʃ b a dx ja arvestades, et ʃ b a dx = b − a, saame valemi (5.21). Teoreem on tõestatud. 40. Teoreem muutuva ülemise rajaga integraalist koos tõestusega. Muutuva ülemise rajaga integraal. Oleme vaadelnud kahte liiki integraale: 1. määramata integraal ʃ f(x)dx , mis on defineeritud kui funktsiooni f algfunktsioonide üldavaldis; 2. määratud integraal ʃ b a f(x)dx, mis on defineeritud kui funktsiooni f integraalsumma piirväärtus. TÕESTUS: Kui f on pidev lõigul [a, b], siis funktsioon Φ, mis avaldub valemiga Φ(x) = ʃ x a f(t)dt, on funktsiooni f algfunktsioon lõigul [a, b]. Tõestus. Teoreemi väite tõestamiseks
o.t.t. Märkus: Saab näidata, et määratud integraal eksisteerib ka juhul, kui f (x) on pidev kõikjal, v.a. loenduv või lõplik arv I liiki katkevuspunkte. c b b a f ( x)dx + f ( x)dx = f ( x)dx c a © 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 47 Teoreem muutuva ülemise rajaga integraalist (tõestusega). Newton-Leibnizi valem b b b f ( x)dx = f (t )dt = f (u )du a a a Vaatleme muutuva ülemise rajaga integraali x f (t )dt = ( x) a Teoreem 1 Olgu funktsioon f (t ) pidev lõigul [a, b] . Siis funktsioon (x) on diferentseeruv ja seejuures tema tuletis (31.1) ' ( x) = f ( x) Tõestus: Vastavalt definitsioonile ( x) ' ( x) = lim x 0 x
o.t.t. Märkus: Saab näidata, et määratud integraal eksisteerib ka juhul, kui f (x) on pidev kõikjal, v.a. loenduv või lõplik arv I liiki katkevuspunkte. c b b a f ( x)dx + f ( x)dx = f ( x)dx c a © 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 47 Teoreem muutuva ülemise rajaga integraalist (tõestusega). Newton-Leibnizi valem b b b f ( x)dx = f (t )dt = f (u )du a a a Vaatleme muutuva ülemise rajaga integraali x f (t )dt = ( x) a Teoreem 1 Olgu funktsioon f (t ) pidev lõigul [a, b] . Siis funktsioon (x) on diferentseeruv ja seejuures tema tuletis (31.1) ' ( x) = f ( x) Tõestus: Vastavalt definitsioonile ( x) ' ( x) = lim x 0 x
Eelpool kirjeldatud ummikust aitas suhtelise eelise teooria päästa G. Haberler 1936. aastal, viies ta alternatiivkulu teooria alusele. Niisiis omab teatud kauba tootmisel suhtelist eelist riik, kus alternatiivkulu antud kauba tootmiseks on väiksem. Sellisel kujul osundatakse suhtelise eelise seadusele vahel ka kui suhtelise kulu seadusele. Alternatiivkulu saab illustreerida tootmisvõimaluste rajaga, e. transformatsioonikõveraga. Tootmisvõimaluste rada on kõver, mis näitab alternatiivseid kombinatsioone kahest kaubast, mida riik võib toota, kasutades täielikult oma ressursse parima kasutatava tehnoloogia puhul. Tabelis 5 on toodud hüpoteetiline tootmisvõimaluste loend kahe kauba (õlle ja käekellade) tootmisvõimaluste kohta Saksamaal ja Sveitsis. 6. Tootmisteguriteproportsioonide teooria 7. Kaasaegsed kaubandusteooriad
33. Ositi integreerimine ja muutuja vahetus määratud 32. Newton-Leibnizi valem (tõestusega). integraali korral. Määratud integraali korral kehtivad Newton-Leibnizi valem valemid Vaatleme muutuva ülemise rajaga integraali Järeldus: on funktsioon, mis vastavalt integraalarvutuse põhiteoreemile (x)=F(x+C Kui x=a, siis Seega F(a)+C=0 ; C=-F(a) Võttes x=b, saame 17. Vaatleme Taylori valemit 19. Definitsioon 1 Ekstreemumiteks nimetatakse 20. Teoreem 1 (ekstreemumi piisavad tingimused)
Samuti saab seda v~otet kasutades leida integraale arkusfunktsioonidest. 36. Funktsiooni integraalsumma ja määratud integraali mõisted . 37. Töö arvutamine sirgjoonelisel liikumisel muutuvas jõuväljas. Tuletada vastav valem. 38. Määratud integraali geomeetriline sisu: kõvertrapetsi pindala leidmine. Tuletada vastav valem. 39. Määratud integraali omadused (sh omadused 3 6 koos põhjendustega). Integraali keskväärtusteoreem koos tõestusega. 40. Teoreem muutuva ülemise rajaga integraalist koos tõestusega. Newton- Leibnitzi valem . Valemi tõestus. 41. Kirjeldada asendusvõtet määratud integraali arvutamisel. Tuletada ositi integreerimise valem määratud integraali jaoks. 42. Defineerida lõpmatute rajadega päratud integraalid. Sõnastada päratute integraalide hindamisteoreemid. Defineerida päratud integraalid katkevatest funktsioonidest. 43. Tuletada joonte () 1 fxy = ja ( ) 2 fxy = vahel asuva kujundi pindala valem. 44
ja tähistatakse sümboliga 22. Integraali keskväärtusteoreem (tõestusega). Kui funktsioon y = f(x) on pidev lõigul [a, b], siis leidub sellel lõigul vähemalt üks punkt c nii, et Tõestus: Omaduse 10 järgi teame, et pidev funktsioon saavutab lõigul [a, b] oma vähima m ja suurima M väärtuse. m M Kuna lõigul pidev funktsioon omab kõiki oma väärtusi [a, b], siis leidub punkt c nii, et 23. Muutuva ülemise rajaga integraal. Teoreemi 5.3 tõestus. 24. Newton-Leibnitzi valem. Tõestusega Teoreem. Kui F(x) on pideva funktsiooni y = f(x) algfunktsioon lõigul [a, b], siis kehtib valem 25. Päratud integraalid. Mõisted ja geomeetriline tõlgendus. Teoreem. Kui pidev funktsioon y = f(x) on integreeruv igal lõigul [a, b] ( > a) ja eksisteerib lõplik piirväärtus Siis seda piirväärtust y = f(x) I liiki päratuks integraaliks rajades a-st +-ni ja kirjutatakse
kiirenduse faas, maksimaalse kiiruse faas, aeglustumise faas. 4. Maksimaalkiirusega jooksu sammu faasid - Tugifaas (esitugifaas ja tõukefaas) ja lennufaas (esimene hoofaas ja kõverdusfaas). 5. Stardipakkude asetus rajal - Tõukejalapakk 1,5-2 pöida stardijoonest, tugijalg +1,5 pöid võrreldes tõukejala pakuga. Esimene pakk on laugem (u 45°) 6. Asend "kohtadele!" - Mõlemad pöiad on kontaktis pakkude ja rajaga. Tagumise jala põlv toetub rajale. Sirged käed toetuvad rajale õlgadelaiuselt, sõrmed on harali. Kukal on selja kõrgusel, silmavaade suunatud alla. Keharaskus jaotub võrdselt kõikide toetuspunktide vahel. 7. Asend "valmis!" - Pöid (kand) on tugevalt pakkudele surutud. Eesoleva jala põlveliiges on kõverdatud täisnurga all. Tagumise jala põlveliiges on kõverdatud 120140kraadise nurga all. Puusad on
.. sõnastame selle teoreemi: TEOREEM x a Kui f(x) on pidev funktsioon ja (x) = f(t) dt, siis kehtib võrdus '(x) = f(x) ehk x a [ f(t) dt]'= f(x) , teisiti öeldes: Määratud integraali tuletis ülemise raja järgi (x väärtuse järgi, mis tähistab vaadeldava muutliku pikkusega lõigu lõpppunkti) on võrdne integreeritava funktsiooniga, kusjuures integreerimismuutuja on asendatud ülemise rajaga eeldusel, et integreeritav funktsioon on pidev. Siinkohal ei tasu unustada, et ülemine rada tähistab lihtsalt seda x väärtust, kus lõppeb see lõik, kus funktsiooni f(x) uurime. TÕESTUS Kuna me tahame tõestada võrdust '(x) = f(x), siis oleks vast hea avaldada definitsiooni järgi '(x): ( x + x ) - ( x ) lim '(x) = x 0 x Integraali ülemine rada omab x lisamisel seega väärtuse (x+x) . Samas muutus x võrra see lõik,
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
