* Punktis a nimetatakse diferentseeruva f'ni f(x) statsionaarseks punktiks, kui f'(a)=0 * Punktis a nimetatakse f'ni f(x) kriitiliseks punktiks, kui a on statsionaarne punkt või punktis a puudub sel funktsioonil tuletis * Kui punkt a on f'ni f(x) statsionaarne punkt ja f''(x) on pidev punktis a ning f''(a)0, siis f'il f(x) on punktis a range lok ekstreemum, kusjuures f''(a)>0 korral on punktis a range lok miinimum ja f''(a)<0 korral on punktis a range lok maksimum * Kui f'ni f(x) korral f'(a)=...=f(m)(a)=0 ja f(m+1)(a)0 ning f(m+1)(x) on pidev punkis a siis 1. Juhul kui m on paaritu, siis on f'il f punktis a range lok ekstreemum, kusjuures f(m+1)(a)>0 korral on punktis a range lok miinimum ja f(m+1)(a)<0 korral on punktis a range lok maksimum.2. Juhul kui m on paarisarv, siis ei ole f'il f punktis a lok ekstreemumi. * Eeldame, et f f(x) on pidev lõigul [a-,a+] ning diferentseeruv vahemikel (a-,a) ja (a,a-) suvalise >0 korral. 1. Kui f'(...
KT2 Pöördfunktsiooni tuletis on antud funktiooni tuletise pöördväärtus. Kui l~oigul [a; b] pideval ja rangelt monotoonsel funktsioonil y =f(x) leidub kohal a nullist erinev tuletis, siis pöördfunktsioonil x = g(y) leidub tuletis kohal b = f(a), kusjuures g '(b)=1/f ' (a) Param kujul f tuletis: kui f y=f(x) on antud parameetrilisel kujul x(t)=(t); y(t)=(t) , t=[a,b], kusjuures f-id (t) ja (t) on diferentseeruvad vahemikus (a,b) ja (t) on rangelt monotoonne lõigul[a,b] ning (t)0 (t=(a,b), siis y '=(t)/(t) F f(x) n-järku tuletiseks nim f-i f(x) (n-1)-järku tuletise tuletits, st fn(x)=(fn-1(x)) ' F-i y=f(x) n-järku diferentsiaaliks nim diferentsiaali selle f-i n-1 järku diferentsiaalist dny=d(dn-1y) Funktsiooni y = f(x) nimetatakse rangelt kasvavaks punktis x, kui leidub selline positiivne arv , et suvaliste x1 (x-,x) ja x2 (x; x + ) korral f(x1) < f(x) < f(x2). Kui funktsioon on rangelt kasvav punktis x, siis leidub selline 0, et 0|x| --y...
Õppematerjalide loomist toetab AS Topauto/autod, markide Seat, Suzuki, Hyundai ning kasutatud autode müüja üle Eesti 4. Funktsioonid ja nende graafikud Põhiteadmised Võrdeline sõltuvus; pöördvõrdeline sõltuvus; üksühene seos; funktsiooni mõiste; lineaar- ja ruutfunktsioon; funktsiooni määramis- ja muutumispiirkond; funktsiooni nullkohad, positiivsus- ja negatiivsuspiirkonnad; funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud, ekstreemumid; paaris- ja paaritufunktsioon; perioodiline funktsioon; pöördfunktsioon; astme-, eksponent-, logaritm- ja trigonomeetrilised funktsioonid. Põhioskused Võrdeline jaotamine; funktsioonide garaafikute skitseerimine ja lugemine; funktsiooni nullkohtade, määramis-, muutumis-, positiivsus-, negatiivsuspiirkondade, kasvamis- ja kahenemisvahemike leidmine võrrandite ja võrratuste lahendamise teel...
Funktsioonid ja nende graafikud © T. Lepikult, 2010 Funktsioon Kui muutuva suuruse x igale väärtusele, mis kuulub tema muutumispiirkonda, vastab teise suuruse y üks kindel väärtus, siis öeldakse, et y on x funktsioon. Asjaolu, et üks muutuja on teise funktsioon, tähistatakse y = f(x). Näited: Kuubi ruumala on tema serva pikkuse funktsioon, suusataja poolt läbitud teepikkus on aja funktsioon, vedru deformatsioon on tõmbejõu funktsioon jne. Funktsiooni argument Muutujat x nimetatakse seejuures sõltumatuks muutujaks e. argumendiks. Argumendi x väärtuste hulka, mille puhul saab määrata funktsiooni y väärtusi vastavalt eeskirjale f(x), nimetatakse funktsiooni määramispiirkonnaks. Määramispiirkonnale vastavat funktsiooni väärtuste hulka nimetatakse funktsiooni muutumispiirkonnaks. Näide Ringi pindala sõltuvust raadiusest kirjeldab funktsioon ...
1*(Normi ja kauguse def. Näidata, et reaalarvu abs.väärtus rahuldab normi ja aksioome)Normiks vektorruumis V nimetatakse reeglit, mis igale vektorile seab vastavusse skalaari , kusjuures on täidetud järgnevad tingimused: 1). 2). 1). *Kauguseks ruumis V nimetatakse reeglit, mis igale kahele selle ruumi elemendile seab vastavusse skalaari d(u,v), kusjuures on täidetud järgnevad tingimused: 1). 2). 3). *Lause: Reaalarvu absoluutväärtus rahuldab normi aksioome. Tõestus: 2*( -ümbruse definitsioon. Reaalarvu ühepoolsed ümbrused. Lõpmatuse ümbrused)Punkti - ümbrukseks nim. hulka *Reaalarvu a R korral saame U(a) = {x R|a - < x < a + }. *Reaalarvu a vasakpoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist poollõiku (a - , a], kus > 0. *Reaalarvu a parempoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist poollõiku [a, a + ), kus > 0. *Suuruse lõpmatus ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (M , ), kus M > 0. *Suuruse miinus lõpmatus ...
Reaalarvu absoluutväärtuseks nimetatakse mitte-negatiivset reaalarvu, mis rahuldab tingimusi: |x|=-x, kui x<0 |x|=x, kui x>=0 Funktsiooniks nimetatakse vastavust, mille järgi sõltumatu muutuja igale väärtusele seatakse vastavusse sõltuva muutuja mingi väärtus. Funktsiooni määramispiirkonnaks nimetatakse argumendi x väärtuste hulka, mille puhul saab määrata y väärtusi vastavalt eeskirjale f(x). Funktsiooni muutumispiirkonnaks nimetatakse vastavalt määramispiirkonnale vastavat funktsiooni väärtuste hulka. Funktsiooni F(x) pöördfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni f-1, mis seab igale f muutumispiirkonna väärtustele y vastavusse need väärtused x määramispiirkonnast, mille korral f(x)=y. Elementaarseteks põhifunktsioonideks nimetatakse analüütiliselt antud funktsioone: Konstantne funktsioon : y=0 Astmefunktsioon y=x astmes a Eksponentfunktsioon y=a astmes x Logaritmfunktsioon y...
1. Defineerige ühe muutuja funktsiooni ning tooge näited. Intuitiivselt võib funktsiooni all mõista ,,eeskirja", mis seab igale antud sisendile vastavusse üheselt määratud väljundi. Ringi pindala sõltub ringjoone raadiusest, st ( ) Ühtlase kiirusega liikuva keha poolt läbitu teepikkus sõltub ajast, st ( ) Tagasisaadav summa hoiustamisele antud rahasummast sõltub hoiustamise perioodist ehk ajast 2. Mida nimetatakse funktsiooni graafikuks? Kas ringjoon sobib mingi funktsiooni graafikus? Kui reaalarvude hulga X igale elemendile on mingi eeskirja f abil vastavusse seatud ainult üks reaalarv y, siis öeldakse, et hulgas X on määratud funktsioon f, ja kirjutatakse ( ) Funktsiooni ( )graafikuks nimetatakse punktide (x,y) hulka {( )} ( ) xy-tasandil. Funktsiooni graafik on joon võrrandiga ( ). Ringjoon ei saa olla mingi funktsiooni graa...
Arvtelg sirge, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Reaalarvu absoluutväärtus - nimetatakse järgmist mittenegatiivset reaalarvu: |a| = a kui a 0 -a kui a < 0 . Absoluutväärtuste omadused: |-a|=|a| |ab|=|a||b| |a+b||a|+|b| |a-b|| |a|-|b| | Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused - Reaalarvu a ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (a - , a + ), kus > 0 on ümbruse raadius. Reaalarvu a vasakpoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist poollõiku (a - , a], kus > 0. Reaalarvu a parempoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist poollõiku [a, a+), kus > 0. Suuruse lõpmatus ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (M,), kus M > 0. Suuruse miinus lõpmatus ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (-,-M), kus M > 0. Tõkestatud hulgad - Reaalarvudest koosnevat hulka A nimetatakse tõkestatuks, kui leidub lõplik vahemik (a, b) nii, et A (a, b). Jääv suurus suurus, mille arvuline väärtus ei muutu. Muutuv suurus suurus, m...
Täisprogramm Selle programmi järgi saab ette valmistada teooria kontrolltööde B (so raskemateks) variantideks. Esimese kontrolltöö materjal hõlmab lõike 1 22 ja teise kontrolltöö materjal hõlmab lõike 23 - 45. Igas kontrolltöös on 5 küsimust. Üks küsimus viiest on valitud jämedas kirjas (bold face) olevate teemade hulgast. Vähemalt kaks küsimust viiest sisaldavad tõestusi, tuletuskäike või põhjendusi. Programm järgib otseselt õppejõu konspekti. Kontrolltöödes ei küsita konspektis esitatud näiteid ja väikeses kirjas olevaid osi. 1. Def. Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Def. Reaalarvu a absoluutväärtuseks nimetatakse järgmist mittenegatiivset reaalarvu: Absoluutväärtuste omadused: · |-a|=|a| · |ab|=|a||b| · |a+b||a|+|b| · |a-b|| |a|-|b| | Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused: Def. Rea...
1. · Arvtelje mõiste Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Võib väita, et igale arvtelje punktile vastab üks ja ainult üks reaalarv ja vastupidi: igale reaalarvule vastab üks ja ainult üks arvtelje punkt. · Absoluutväärtuse mõiste. Reaalarvu a absoluutväärtuseks nimetatakse järgmist mittenegatiivset reaalarvu: |a| = a kui a 0 -a kui a < 0 . Reaalarvu a absoluutväärtus |a| on punkti a ja nullpunkti vaheline kaugus arvteljel. · Absoluutväärtuse omadused: 1. | - a| = |a| 2. |ab| = |a| |b| 3. |a + b| |a| + |b| 4. |a - b| | |a| - |b| | · Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused. Reaalarvu a ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (a - , a + ), kus > 0 on ümbruse raadius. o Reaalarvu a vasakpoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist poollõiku (a - , a], kus > 0. o Reaalarvu a parempoolseks ümbruseks nimetat...
Parameetrilisel kujul antud funktsioon Funktsiooni piirväärtuse definitsiooni laienemine juhtudele a = ± ja b = 1.Arvtelje mõiste. Reaalarvu absoluutväärtus. Loetleda 4.Üksühese funktsiooni ja pöördfunktsiooni definitsioonid. Vaatleme funktsiooni y=f(x). Toome lisaks muutujale x ± absoluutväärtuse Seosed funktsiooni ja tema pöördfunktsiooni ja y sisse ka kolmanda muutuja t. x= (t). Siis saab ka Funktsioonil f on piirväärtus kohal a, kui suvalises piirprotsessis xa, mis omadused. Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused. määramispiirkondade ja väärtuste hulkade vahel, vastastikune muutuja y avaldada parameetri t kaudu. y = (t). ...
Matemaatiline analüüs I kontrolltöö Punktid 1-22 1. Arvtelje mõiste. Reaalarvu absoluutväärtus. Loetleda absoluutväärtuse omadused. Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused. Tõkestatud hulga definitsioon. a. Arvtelje mõiste Arvteljeks nim sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Kasutades neid kolme parameetrit, saab arvtelje punktidele seada vastavusse reaalarvud. Igale arvtelje punktile vastab ainult üks reaalarv ja vastupidi. b. Reaalarvu absoluutväärtus Reaalarvu absoluutväärtuseks nimetatakse järgmist mittenegatiivset arvu |a|= a, kui a 0, -a, kui a<0 c. Loetleda absoluutväärtuse omadused |-a|=|a|; |ab|=|a|*|b|; |a+b||a|+|b|;|a-b||a|-|b| d. Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused d.i. Reaalarvu a ümbruseks nim suvalist vahemikku (a-,a+), k...
LIISI KINK 1 MATEMAATILINE ANALÜÜS I Vähendatud programm Selle programmi järgi saab ette valmistada teooria kontrolltööde A (so lihtsamateks) variantideks. Esimese kontrolltöö materjal hõlmab lõike 1 17 ja teise kontrolltöö materjal hõlmab lõike 18 - 33. Igas kontrolltöös on 4 küsimust, millest üks on valitud jämedas kirjas (bold face) bold face olevate teemade hulgast (see on kõige olulisem materjal), 2 küsimust on valitud ülejäänud teemadest ja viimase 4-nda küsimuse all on võimalik kirjutada omal valikul 1/4-1/2 lk teksti antud programmi ulatuses. Programm järgib otseselt Jaan Janno konspekti. Kontrolltöödes ei küsit...
Sisujuht 16. Esimest liiki katkevuspunkt - niisugust katkevuspunkti, kus funktsioonil f on olemas ühepoolsed piirväärtused f ( a+) = lim f(x); x a+ ja f( a- ) = lim f(x); x a - nimetatakse 1. liiki katkevuspunktiks. ( hüppekoht, kõrvaldatav katkevuskoht, ................................................... 3 17. Teist liiki katkevuspunkt - arvu a nimetatakse funktsiooni y = f(x) teist liiki katkevuspunktiks, kui lim f(x); x a - on lõpmatu või ei eksisteeri ............................................ 4 20. Diferentseeruv funktsioon - kui funktsioonil y = f(x) on tuletis punktis x = x0, siis ütleme, et funktsioon on diferentseeruv punktis x0. Kui funktsioon on aga diferentseeruv mingi piirkonna igas punktis, öeldakse, et funktsioon on diferentseeruv selles piirkonnas. ..................................... 4 1. Arvuhulgad: naturaal-, täis-, ratsionaal-, reaal- ja kompleksarvud. Nende omadused. ...............6 2. Reaalarvu absoluutväärt...
Funktsioon Funktsiooni definitsioon Olgu X mingi reaalarvude hulk. Kui muutuja x igale väärtusele hulgas X vastab muutuja y üks kindel väärtus, siis öeldakse, et y on muutuja x funktsioon. Asjaolu, et üks muutuja on teise funktsioon, tähistatakse y = f (x), y = y (x), y = (x) jne. Muutujat x nimetatakse seejuures sõltumatuks muutujaks e. argumendiks. Muutujat y, mille väärtused leitakse vastavalt sõltumatu muutuja väärtustele, nimetatakse sõltuvaks muutujaks. Argumendi x väärtuste hulka, mille puhul saab määrata funktsiooni y väärtusi vastavalt eeskirjale f (x), nimetatakse funktsiooni määramispiirkonnaks. Määramispiirkonnale vastavat funktsiooni väärtuste hulka nim. funktsiooni muutumispiirkonnaks. 2 Funktsiooni esitusviise Funktsiooni esitus tabelina x x1 x2 ....... xn y y1 y2 ...... yn Funktsiooni graafiline esitusviis ...
Def:Funktsiooni y=f(x) tuletiseks kohal x nimetatakse funktsiooni y=f(x) muudu Δy ja argumendi muudu Δx suhte piirväärtust, kui argumendi muut läheneb nullile. Def: Kui funktsioonil f(x) on tuletis punktis x, siis öeldakse, et funktsioon on diferentseeruv punktis x. Def: Geomeetriliselt võib funktsiooni y=f(x) interpreteerida kui selle funktsiooni graafikule punktis (x; f(x)) konstrueeritud tõusunurga tangensit. Def: Funktsiooni y=f(x) parempoolseks tuletiseks kohal x nimetatakse suurust f ´(x +) = lim Δy Δx Δ→0+ Δy Def: Funktsiooni y=f(x) vasakpoolseks tuletiseks kohal x nimetatakse suurust ...
Matemaatika põhimõisted ja - definitsioonid 1. Funktsioon- kui muutuva suuruse x igale väärtusele, mis kuulub tema muutumispiirkonda, vastab teise suuruse y üks kindel väärtus, siis öeldakse, et y on x funktsioon. 2. Elementaarne põhifunktsioon- elementaarseteks põhifunktsioonideks nim. järgmisi analüütiliselt antud funktsioone: konstantne funktsioon y = c; astmefunktsioon y = xa ; eksponentfunktsioon y = ax , kus a on ühest erinev pos. arv; logaritmfunktsioon ; trigonomeetrilised funktsioonid; arkusfunktsioonid; 3. Elementaarfunktsioon- funktsioon, mis saadakse põhielementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete ja liitfunktsioonide moodustamise tulemusena. 4. Tõkestatud funktsioon- funktsiooni f(x) nim. tõkestatuks piirkonnas A, kui leidub selline reaalarv k, nii et | f(x) | <= k iga x A korral. 5. Perioodiline funktsioon- funktsiooni f(x) nim. perioodiliseks, kui leidub selline nullist eri...
1. Arvtelje mõiste. Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on valitud nullpunkt,pikkuühik ja positiivne suund. Kasutades neid kolme parameetrit, saab arvtelje punktidele seada vastavusse reaalarvud. Võib väita,et igale arvtelje punktile vastab üks ja ainult üks realarv ja vastupidi:igale realarvule vastab üks ja ainult üks avtelje punkt. Olgu tasandil antud kaks arvtelge, mis on ristuvad oma nullpunktides. Need moodustavad tasandil nn koordinaatteljestiku. Tasandi punkti ristkoordinaatideks nimetatakse selle punkti ristprojektsioone koordinaatttelgedele. Igale tasandi punktile vastab üks ja ainult üks ristkoordinaatidest moodustatud arvupaar ja vastupidi: igale arvupaarile vastab üks ja ainult üks tasandi punkt. Matemaatikas tähistatakse tavaliselt ühel ristuvatest koordinaattelgedest olevat olevat arvu x-ga ja teisel koordinaatteljel oleval arvu y-ga. Sel juhul on tegemist xy-teljestikuga ja me saame rääki...
Ainekava eksamiks ,, Matemaatiline analüüs I " 2007 2008 kevadsemester 1. Naturaalarvud, täisarvud, ratsionaalarvud, irratsionaalarvud, reaalarvud. Naturaalarvud arvud, mis saadakse loendamise teel, tähistatakse: IN (1, 2, 3, 4, 5, 6, ..., ) Täisarvud kõik naturaalarvud ja nende vastandarvud ning lisaks 0, tähistatakse Z m Ratsionaalarvud on sellised reaalarvud, mida saab esitada kahe täisarvu m ja n jagatisena nii et n n 0 . Igal ratsionaalarvul on ka lõpmatu kümnendmurdarendus ja see on alati perioodiline, tähistatakse Q Irratsionaalarvud mitteperioodilised lõpmatud kümnendmurrud. Tähistus I Reaalarvud hulk R, koosneb k...
YMM3731 Matemaatiline analu¨u¨s I 2007/08 ~o.-a. su¨gissemestril 3,5 AP 4 2-0-2 E S Dots. Lembit Pallas TTU¨ Matemaatikainstituut V-404, tel. 6203056 e-post: [email protected] K¨asitletavad teemad on toodud punktide kaupa. Neid punkte tuleb vaadelda ka kui kollokviumide ja eksami teooriak¨ usimusi. 1. Funktsiooni m~oiste ja esitusviisid 2. Funktsioonide liigitamine (paaris- ja paaritud funktsioonid, perioodilised funktsioo- nid, kasvavad ja kahanevad funktsioonid) 3. P¨o¨ordfunktsioon 4. Liitfunktsioon 5. Jada piirv¨aa¨rtus 6. Funktsiooni piirv¨aa¨rtus ¨ 7. Uhepoolsed piirv¨aa¨rtused 8. L~opmatult kasvavad ja l~opmatult kahanevad suurused 9. Piirv¨a¨artusteoreemid 10. L~opmatult kahanevate suuruste v~ordlemine 11. Funktsiooni pidevuse m~oiste. Tarvilik ja piisav tingimus funktsiooni pidevuseks 12. Elementaarfu...
Matemaatiline anal¨ uu¨s I Jaan Janno ii Sisukord 1 Funktsioonid ja nendega seotud m~ oisted 1 1.1 Reaalarvud ja Arvtelg. Absoluutv¨a¨artuse m~oiste. Reaalarvudest koosnevad hulgad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 J¨a¨avad ja muutuvad suurused. Funktsiooni m~oiste ja esitusviisid. 3 1.3 Funktsioonide liigid. Konstantne funktsioon. Astme-, eksponent- ja trigonomeetrilised funktsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 P¨o¨ordfunktsiooni m~oiste. Logaritmfunktsioon. Arkusfunktsioonid. 8 1.5 Tehted funktsioonidega. Elementaarfunktsioon. Pol¨ unoom ja ratsionaalfunktsioon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.6 Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid. Parameetrilisel kujul an- tud jooned ja funktsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.7 H¨uperboolsed trigonom...
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
