* Punktis a nimetatakse diferentseeruva f'ni f(x) statsionaarseks punktiks, kui f'(a)=0 * Punktis a nimetatakse f'ni f(x) kriitiliseks punktiks, kui a on statsionaarne punkt või punktis a puudub sel funktsioonil tuletis * Kui punkt a on f'ni f(x) statsionaarne punkt ja f''(x) on pidev punktis a ning f''(a)0, siis f'il f(x) on punktis a range lok ekstreemum, kusjuures f''(a)>0 korral on punktis a range lok miinimum ja f''(a)<0 korral on punktis a range lok maksimum * Kui f'ni f(x) korral f'(a)=...=f(m)(a)=0 ja f(m+1)(a)0 ning f(m+1)(x) on pidev punkis a siis 1. Juhul kui m on paaritu, siis on f'il f punktis a range lok ekstreemum, kusjuures f(m+1)(a)>0 korral on punktis a range lok miinimum ja f(m+1)(a)<0 korral on punktis a range lok maksimum.2. Juhul kui m on paarisarv, siis ei ole f'il f punktis a lok ekstreemumi. * Eeldame, et f f(x) on pidev lõigul [a-,a+] ning diferentseeruv vahemikel (a-,a) ja (a,a-) suvalise >0 korral. 1. Kui f'(...
KT2 Pöördfunktsiooni tuletis on antud funktiooni tuletise pöördväärtus. Kui l~oigul [a; b] pideval ja rangelt monotoonsel funktsioonil y =f(x) leidub kohal a nullist erinev tuletis, siis pöördfunktsioonil x = g(y) leidub tuletis kohal b = f(a), kusjuures g '(b)=1/f ' (a) Param kujul f tuletis: kui f y=f(x) on antud parameetrilisel kujul x(t)=(t); y(t)=(t) , t=[a,b], kusjuures f-id (t) ja (t) on diferentseeruvad vahemikus (a,b) ja (t) on rangelt monotoonne lõigul[a,b] ning (t)0 (t=(a,b), siis y '=(t)/(t) F f(x) n-järku tuletiseks nim f-i f(x) (n-1)-järku tuletise tuletits, st fn(x)=(fn-1(x)) ' F-i y=f(x) n-järku diferentsiaaliks nim diferentsiaali selle f-i n-1 järku diferentsiaalist dny=d(dn-1y) Funktsiooni y = f(x) nimetatakse rangelt kasvavaks punktis x, kui leidub selline positiivne arv , et suvaliste x1 (x-,x) ja x2 (x; x + ) korral f(x1) < f(x) < f(x2). Kui funktsioon on rangelt kasvav punktis x, siis leidub selline 0, et 0|x| --y...
4. Funktsioonid ja nende graafikud Põhiteadmised Võrdeline sõltuvus; pöördvõrdeline sõltuvus; üksühene seos; funktsiooni mõiste; lineaar- ja ruutfunktsioon; funktsiooni määramis- ja muutumispiirkond; funktsiooni nullkohad, positiivsus- ja negatiivsuspiirkonnad; funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud, ekstreemumid; paaris- ja paaritufunktsioon; perioodiline funktsioon; pöördfunktsioon; astme-, eksponent-, logaritm- ja trigonomeetrilised funktsioonid. Põhioskused Võrdeline jaotamine; funktsioonide garaafikute skitseerimine ja lugemine; funktsiooni nullkohtade, määramis-, muutumis-, positiivsus-, negatiivsuspiirkondade, kasvamis- ja kahenemisvahemike leidmine võrrandite ja võrratuste lahendamise teel; pöördfunktsioon, selle määramis- ja muutumispiirkonna leidmine ning graafiku skitseerimine. Valemid
kasvavaks, kui a < b f(a) < f(b); kahanevaks, kui a < b f(a) > f(b); iga a, b A korral. Näiteks on funktsioon y = ln x kasvav funktsioon, funktsioon y = -2x + 1 aga kahanev funktsioon. Pöördfunktsiooni definitsioon Olgu funktsiooni y = f(x) määramispiirkond X ja muutumispiirkond Y. Kui iga y Y korral leidub täpselt üks x X , nii et y = f(x), siis öeldakse, et funktsioonil y = f(x) on olemas pöördfunktsioon määramispiirkonnaga Y ja muutumispiirkonnaga X. Pöördfunktsiooni tähistatakse x = f -1(y) . Funktsiooni y = f(x) pöördfunktsiooni tähistuse x = f -1(y) asemel kasutatakse ka kuju y = f -1(x) (vahetatakse sõltuva ja sõltumatu muutuja tähistused). Funktsiooni pöördfunktsiooni pöördfunktsioon on funktsioon ise, st. (f -1)f -1(x) = f(x). Kehtib ka seos (f -1)f(x) = x Pöördfunktsiooni näited (1) Näide Funktsioonil y = sin x, X =R
muutumispiirkonnaks. *Funktsiooni, mille määramispiirkond on sümmeetriline nullpunkti suhtes, nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui : f(-x)=f(x) ja paarituks funktsiooniks, kui : f(-x)=-f(x). * Funktsiooni f nimetatakse perioodiliseks, kui leidub selline arv T =/= 0, et iga x X korral ka x ± T X ja f (x + T) = f (x) ja antiperioodiliseks, kui leidub T, nii et f(x+T)=-f(x) korral. 4*(Pöördfunktsioon. Monotoonsed funktsioonid. Kasvavad ja kahanevad funktsioonid) Funktsiooni y = f (x) (x X ) pöördfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni x = f -1 (y ) , mis igale arvule y Y = f (X ) seab vastavusse arvu x X , kusjuures y = f (x). *Monotoonseks nimetatakse funktsiooni, mis kogu oma määramispiirkonnas on mittekasvav või mittekahanev. *Rangelt monotoonseks nimetatakse funktsiooni, mis kogu oma määramispiirkonnas on kasvav või kahanev.
Reaalarvu absoluutväärtuseks nimetatakse mitte-negatiivset reaalarvu, mis rahuldab tingimusi: |x|=-x, kui x<0 |x|=x, kui x>=0 Funktsiooniks nimetatakse vastavust, mille järgi sõltumatu muutuja igale väärtusele seatakse vastavusse sõltuva muutuja mingi väärtus. Funktsiooni määramispiirkonnaks nimetatakse argumendi x väärtuste hulka, mille puhul saab määrata y väärtusi vastavalt eeskirjale f(x). Funktsiooni muutumispiirkonnaks nimetatakse vastavalt määramispiirkonnale vastavat funktsiooni väärtuste hulka. Funktsiooni F(x) pöördfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni f-1, mis seab igale f muutumispiirkonna väärtustele y vastavusse need väärtused x määramispiirkonnast, mille korral f(x)=y. Elementaarseteks põhifunktsioonideks nimetatakse analüütiliselt antud funktsioone: Konstantne funktsioon : y=0 Astmefunktsioon y=x astmes a Eksponentfunktsioon y=a astmes x Logaritmfunktsioon y...
paarituks funktsiooniks piirkonnas X. Paarisfunktsiooni graafik on sümmeetriline y-telje suhtes. Paaritu funktsiooni graafik on sümmeetriline koordinaatide alguspunkti suhtes. Trigonomeetrilised funktsioonid y=sinx, y=tanx, y=cot x, y=arcsinx ja y=arctanx on paaritud funktsioonid ning y=cos on paarisfunktsioon. Paaritu funktsiooni y=x3 graafik on sümmeetriline koordinaatide alguspunkti suhtes. 7. Defineerige funktsiooni y=f(x) pöördfunktsioon. Millisel tingimusel funktsioonil eksisteerib pöördfunktsioon? Milline seos on funktsiooni ja tema pöördfunktsiooni ääramispiirkondade vahel? Milline seos on funktsiooni ja tema pöördfunktsiooni graafikute vahel? Funktsioon y=f(x) korraldab vastavuse hulkade X ja Y elementide vahel. Kui selline vastavus on üks-ühene, st kui kehtib tingimus ( ) ( ) , siis öeldakse et funktsioonil y=f(x) eksisteerib pöördfunktsioon f -1: ( )
y = cot x : X = R {k || k Z}, Y = R. Graafikud. funktsioonid kujul y=sinx,y=cosx,y=tanx ja y=cotx radiaanides antud argumendiga x. Määramispiirkonnad ja väärtuste hulgad on järgmised: Üksühese funktsiooni mõiste. Olgu antud funktsioon y = f(x). Vastavalt funktsiooni definitsioonile on tegemist kujutisega, mis seab igale argumendi x väärtusele oma määramispiirkonnast vastavusse ühe kindla y väärtuse. Üksühese funktsiooni pöördfunktsioon - nimetatakse kujutist, mis seab igale f(x)-le funktsiooni f väärtuste hulgast vastavusse x-i. Pöördfunktsiooni avaldise saame, kui lahendame võrrandi y = f(x) muutuja x suhtes. Vahetavad pöördfunktsioonis kohad esialgse funktsiooni määramispiirkond ja väärtuste hulk. Olgu x = g(y) üksühese funktsiooni y = f(x) pöördfunktsioon. Siis funktsioonid f ja g kompenseerivad teineteist järgmises mõttes. g[f(x)] = x , f[g(y)] = y .
funktsiooni f väärtuste hulgast vastavusse x-i. Pöördfunktsioonis funktsiooni argument ja sõltuv muutuja vahetavad oma kohad, st kui funktsiooni f argumendiks on x ja sõltuvaks muutujaks y, siis funktsiooni f pöördfunktsiooni argumendiks on y ja sõltuvaks muutujaks y. Samuti vahetuvad pöördfunktsioonis kohad esialgse funktsiooni määramispiirkond ja väärtuste hulk. Olgu x=g(y) üksühese funktsiooni y=f(x) pöördfunktsioon. Siis funktsioonid f ja g kompenseerivad teineteist järgmises mõttes:fikseerime mingi x ja arvutame f(x). Seejärel arvutame g[f(x)], st funktsioon g kohal f(x). Tulemusena same esialgse x väärtuse tagasi. Samuti arvutades antud y kaudu f[g(y)] same y väärtuse tagasi. Need seosed saab kirjutada kujul g[f(x)]=x ja f[g(y)]=y. Funktsiooni y=f(x) ja tema pöördfunktsioon x=g(y) graafikud kattuvad xy-teljestikus. See on nii
Olgu antud funktsioon y = f (x). Eeldame, et ka argument x funktsiooni v¨aärtuse f (x) kaudu üheselt määratud. See tähendab, et iga y korral hulgast Y leidub ainult üks x nii, et valitud y on selle xi kujutiseks. Kui see on nii, siis öeldakse, et funktsioon f on üksühene. Üksühese funktsiooni korral on võrrand y = f (x) muutuja x suhtes üheselt lahenduv. · Üksühese funktsiooni pöördfunktsioon. Üksühese funktsiooni y = f(x) pöördfunktsiooniks nimetatakse kujutist, mis seab igale f(x)le funktsiooni f väärtuste hulgast vastavusse xi. · Seosed funktsiooni ja pöördfunktsiooni vahel: o Olgu x = g(y) üksühese funktsiooni y = f(x) pöördfunktsioon. Siis funktsioonid f ja g kompenseerivad teineteist järgmises mõttes. g[f(x)] = x , f[g(y)] = y .
- ü piirprotsessis x+ , mis rahuldab tingimust xa, funktsiooni väärtust f(x) kohad. Pöördfunktsioon saadakse, kui lahendatakse võrrand y=f(x) + xa 2 läheneb arvule b. lim+ () = -Reaalarvu parempoolseks ümbruseks nim suvalist poollõiku argumendi x suhtes
a.ii. Üksühese funktsiooni y=f(x) pöördfunktsiooniks nimetatakse kujutist, mis seab igale f(x)-le funktsiooni f väärtuste hulgast vastavusse x-i. b. Seosed funktsiooni ja tema pöördfunktsiooni määramispiirkondade ja väärtuste hulkade vahel, vastastikune kompenseerimine, funktsiooni ja pöördfunktsiooni graafikute omavaheline seos. Pöördfunktsiooni funktsiooni argument ja muutuja vahetavad oma kohad. Pöördfunktsioon saadakse, kui lahendatakse võrrand y=f(x) argumendi x suhtes. Pöördfunktsiooni argumendiks on y ja muutujaks x. Pöördfunktsioonis vahetavad kohad esialgse funktsiooni määramispiirkond ja muutumispiirkond.Funktsioon y=f(x) ja tema pöördfunktsioon x=g(y) graafikud kattuvad xy-teljestikus. Funktsiooni y=f(x) ja x=g(y) määravad ühed ja samad arvupaarid (x,y), seega ühed ja samad punktid P(x,y) tasandil.
väärtuste hulgad ja graafikud. Olgu antud funktsioon = ! . Eeldame, et iga korral hulgast leidub ainult üks nii, et valitud on selle -i kujutiseks. Kui see on nii, siis öeldakse, et funktsioon ! on üksühene. Üksühese funktsiooni = ! pöördfunktsiooniks nimetatakse kujutist, mis seab igale ! -le funktsiooni ! väärtuste hulgast vastavusse -i. Pöördfunktsiooni avaldise saame, kui lahendame võrrandi = ! muutuja suhtes. Eksponentfunktsiooni = , pöördfunktsioon on logaritmfunktsioon. Nii nagu eksponentfunktsiooni korral eeldame, et > 0 ja 1. Kuna pöördfunktsiooni võtmisel määramispiirkond ja väärtuste hulk vahetavad kohad, siis funktsiooni = log + määramispiirkond ja väärtuste hulk on vastavalt = 0, ja = . = log + graafik on = , graafiku peegeldus sirge = suhtes. Trigonomeetriliste funktsioonide pöördfunktsioonid on arkusfunktisoonid. Kuna
...............................................................32 8. Leida antud mitme muutuja funktsiooni täisdiferentsiaal. ........................................................ 32 9. Kontrollida, kas antud funktsioon on antud diferentsiaalvõrrandi lahendiks. ...........................32 1. Leida funktsiooni määramispiirkond. ........................................................................................32 2. Leida antud funktsiooni pöördfunktsioon ja pöördfunktsiooni määramispiirkond. .................. 32 3. Leida antud funktsiooni katkevuskohad, kõrvaldatava katkevuse puhul kõrvaldada katkevus. ........................................................................................................................................................ 32 4. Leida antud (ilmutatud) funktsiooni tuletis. .............................................................................. 32 5. Leida antud funktsiooni integraal. .................
tõkestatuks, kui leidub k" nii et f (x) k" iga x A korral. Funktsiooni f (x) nimetatakse piirkonnas A tõkestatuks, kui leidub reaalarv k, nii et | f (x)| k iga x A korral. y = x2 y = sin x tõkestatud funktsioon y = sin x y = x2 tõkestamata funktsioon (küll aga alt tõkestatud) 7 Pöördfunktsioon Olgu funktsiooni y = f (x) määramispiirkond X ja muutumis- piirkond Y. Kui iga y Y korral leidub täpselt üks x X, nii et y = f(x), siis öeldakse, et funktsioonil y = f(x) on olemas pöördfunktsioon määramispiirkonnaga Y ja muutumispiirkonnaga X. 5 5 2x+ 1 1 1 x-
Def:Funktsiooni y=f(x) tuletiseks kohal x nimetatakse funktsiooni y=f(x) muudu Δy ja argumendi muudu Δx suhte piirväärtust, kui argumendi muut läheneb nullile. Def: Kui funktsioonil f(x) on tuletis punktis x, siis öeldakse, et funktsioon on diferentseeruv punktis x. Def: Geomeetriliselt võib funktsiooni y=f(x) interpreteerida kui selle funktsiooni graafikule punktis (x; f(x)) konstrueeritud tõusunurga tangensit. Def: Funktsiooni y=f(x) parempoolseks tuletiseks kohal x nimetatakse suurust f ´(x +) = lim Δy Δx Δ→0+ Δy Def: Funktsiooni y=f(x) vasakpoolseks tuletiseks kohal x nimetatakse suurust ...
( sin, tan, cot ) 8. Liitfunktsioon- olgu funktsiooni f määramispiirkonnaks X ja muutumispiirkonnaks Y. Funktsiooni g määramispiirkond Yg sisaldugu piirkonnas Y ning tema muutumispiirkond olgu Z. Siis saab moodustada uue funktsiooni F, mis hulga X igale elemendile seab vastavusse elemendi hulgast Z eeskirja F(x) = g [ f (x) ] abil. Nii defineeritud funktsiooni F nim. liitfunktsiooniks. Funktsioone g ja f nim. liitfunktsiooni F koostisosadeks e. komponentideks. 9. Pöördfunktsioon- olgu funktsiooni y = f(x) määramispiirkonnaks X ja muutumispiirkonnaks Y. Kui iga y Y korral leidub täpselt üks x X , nii et y = f(x), siis öeldakse, et funktsioonil y = f(x) on olemas pöördfunktsioon määramispiirkonnaga Y ja muutumispiirkonnaga X. Pöördfunktsiooni tähistatakse x = f 1(y). 10. Punkti ümbrus- punkti x0 ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku, millesse see punkt kuulub: ( a; b): a < x0 < b 11. Muutuva suuruse piirväärtus- arvu a nim
Antud funktsiooni korral X = R ja Y = (0;1). 4. Üksühese funktsiooni ja pöördfunktsiooni definitsioonid. Kui iga y korral hulgast Y leidub ainult üks x nii, et valitud y on selle x-i kujutiseks, siis öeldakse, et funktsioon f on üksühene. Funktsiooni f pöördfunktsiooniks nimetatakse kujutist, mis igale y Y seab vastavusse kõigi selliste x X hulga, mille korral kehtib võrdus f(x) = y. Logaritmfunktsioon . Eksponentfunktsiooni pöördfunktsioon on logaritmfunktsioon x = loga y, kus a on logaritmi alus. Määramispiirkond X = (0;) Väärtuste hulk Y=R Graafik Arkusfunktsioonid ja nende seosed trigonomeetriliste funktsioonide ahenditega. Trigonomeetriliste funktsioonide pöördfunktsioonid on arkusfunktsioonid. Arkusfunktsioonide määramispiirkonnad, väärtuste hulgad ja graafikud. y = arcsin x : X = [-1; 1]; Y = [-/2; /2] ; y = arccos x : X = [-1; 1]; Y = [0; ] ; y = arctan x : X = R; Y = (- /2; /2) ;
Alt tõkestatud hulga suurimat alumist tõket nimetatakse selle hulga alumiseks rajaks ning tähistatakse inf X. Teoreem (pidevuse aksioom) Igal ülalt tõkestatud reaalarvude hulgal on olemas ülemine raja; igal alt tõkestatud reaalarvude hulgal on olemas alumine raja. 3. Funktsiooni mõiste. Funktsiooni määramispiirkond, muutumispiirkond, graafik. Funktsiooni põhilised esitusviisid. Liitfunktsioon, pöördfunktsioon. Paaris- ja paaritud funktsioonid. Perioodilised funktsioonid. Põhilised elementaarfunktsioonid. Elementaarfunktsioonid. Funktsioon - Kui igale arvule x X on mingi eeskirja f abil seatud vastavusse üks reaalarv y , siis öeldakse, et hulgas X on määratud funktsioon y=f(x) ja kirjutatakse y=f(x), x X Määramis ja muutumispiirkond - Hulka X nimetatakse funktsiooni määramispiirkonnaks ja hulka Y = { y | y = f ( x ) , x X } tema väärtuste hulgaks ehk muutumispiirkonnaks
x2 y= x 2 y= -2 2 4 x y = - x -2 Joonis 1.13: funktsioon y = x2 ja selle p¨oo¨rdfunktsioon 11 N¨aide 1.12. Olgu antud funktsiooniks eksponentfunktsioon y = 2x . Siit muutuja x = log2 y ja p¨arast t¨ahistuse vahetamist y = log2 x. Eksponent- funktsiooni p¨o¨ordfunktsiooniks on logaritmfunktsioon. y x 2x =
y = arccot x : X = R, Y = (0, ) . Need saab leida lihtsalt, kui vahetada u¨laltoodud trigonomeetriliste funktsioonide ahendite m¨a¨aramispiirkonnad ja v¨a¨artuste hulgad. Arkusfunktsioonide graafikud on kujutatud joonistel 1.12 - 1.15. V~orreldes omavahel jooniseid 1.8 - 1.11 ja 1.12 - 1.15 n¨aeme, et arkusfunktsioonide graafikud on trigonomeetriliste funktsioonide ahendite graafikute peegeldused u ¨le sirge y = x. P¨ oo ¨rdfunktsioon funktsioonist, mis ei ole u ¨ ks¨ uhene. Olgu vaadeldav funktsioon y = f (x) oma m¨ a¨ aramispiirkonnaga X ja v¨ a¨artuste hulgaga Y k¨ ull u ¨ hene, kuid mitte u¨ ks¨ uhene. Funktsiooni f p¨ oo
annaabi.ee 
