1. Kordamisteema Algebraliste avaldiste lihtsustamine Lihtsustamiseks kasutatakse: 1) Ühise teguri sulgude ette toomist. Kui on vaja muuta avaldises märke, tuleb sulgude ette tuua miinusmärk. 2) Ühise nimetaja leidmist: kui kõigi liikmete nimetajad on lahti kirjutatud, siis ühiseks nimetajaks valitakse kõige suurem nimetaja ja lisatakse teistest nimetajatest see, mida valitud nimetajas pole. Kui on tegemist astmetega, tuleb
TRIGONOMEETRILISTE AVALDISTE LIHTSUSTAMINE. TÕESTA SAMASUSED. 2 cos 2 a 1 1 cos 2a 1 tan a 1. 2 tan a sin 2 a 2. 0 1 sin 2a 1 tan a 4 4 1 sin a cos a 4 4 2 1 sin a 1 sin a 3.. 4. 2 tan a cos a4 2 cos a 1 sin a 1 sin a sin a cos a 1 cos a cos 2a cos 3a 5. a =1 6. 2 cos a sin a cos a tan ...
Trigonomeetriliste avaldiste teisendamine Trigonomeetria põhivalemid sin 2 + cos 2 = 1 sin tan = cos 1 1 + tan = 2 cos 2 cos cot = sin Taandamisvalemid Taandamisvalemite rakendamiseks piisab järgmise reegli teadmisest: nurkade - , + ja 2 - korral teiseneb nende siinus avaldiseks sin , koosinus avaldiseks cos ja tangens avaldiseks tan , mille ees olev märk ("+" või "-") sõltub sellest, milline on vastavalt siinuse, koosinuse või tangensi märk veerandis, kuhu kuulub esialgne nurk - , + ja 2 - Märgi määramisel loetakse nurk teravnurgaks. Kui nurk on kirjutatud kujul / 2 ± või 3 / 2 ± , siis muutub, sin cos tan cot cos sin cot tan. märgi määramise reegel jääb endiseks. Trigonomeetriliste funktsioonide märgid + ...
3. AVALDISTE TEISENDUSI. LINEAARVÕRRAN D Koostajad: Gerli Savila, Janek Käsper, Erik Mandel, Marek Käsper. 3.1 KORRUTISE LIHTSUSTAMINE • Korrutamise vahetuvuse ja ühenduvuse seaduste kohaselt võetakse kõik arvulised tegurid omaette ja tähelised tegurid omaette rühma. 5 x a x (-3) x b x c = -3 x 5 x abc = -15abc • Kordaja 1 jäetakse korrutises kirjutamata. abc • Kordaja -1 asemele kirjutatakse ainult miinusmärk. - abc ÜLESANNE 1: LIHTSUSTA KORRUTIS JA LEIA KORDAJA 1) 5a●(-3)bc= 2) 4x●(-2)= 3) 10●(-a)●0.1= 4) 5a● (-0.2)●b = 5) 3,5●(-2x) ●(- 1)= ÜLESANNE 1: VASTUSED • 1) VASTUS: 5a●(-3)bc=-15abc , kordaja -15 • 2) VASTUS: 4x●(-2)=-8x , kordaja -8 • 3) VASTUS: 10●(-a)●0.1=-a , kordaja -1 • 4) VASTUS: 5a● (-0.2)●b =-ab , kordaja -1 • 5) VASTUS: 3,5●(-2x...
Ande Andekas-Lammutaja Matemaatika Valemid trigonomeetriliste avaldiste lihtsustamiseks I. sin 2 + cos 2 = 1 sin tan = cos cos cot = sin 1 1 + tan 2 = cos 2 1 1 + cot 2 = sin 2 tan × cot = 1 II. sin( ± ) = sin cos ± cos sin cos( ± ) = cos cos sin sin tan ± tan tan( ± ) = 1 tan tan III. sin 2 = 2 sin cos cos 2 = cos 2 - sin 2 2 tan tan 2 = 1 - tan 2 IV.
Ratsionaal- ja irratsionaalavaldiste lihtsustamine Valemid: Lihtsusta avaldised: Leia avaldise määramispiirkond ja lihtsusta avaldis ning joonesta saadud funktsiooni graafik Lihtsusta avaldis ja kontrolli, kas väärtus on väiksem arvust, kui ?
• Loomine / kasutuseks avamine
• Struktuuri muutmine
• Andmete lisamine
• Sirvimine
• Andmete kustutamine
• Arvutused koos valikutingimustega
• Failioperatsioonid
• Tabelite (failide) sulgemine
Tabelite loomine ja avamine
CREATE – andmetabeli struktuuri
loomine.
SELECT 0 – tühja tööpiirkonna
valimine
USE
Sisseastumiseksamid: Matemaatika Eesti keel Inglise keel Matemaatika (60 min) 1) Arvuhulgad, nende omadused; 2) Arvutamine kümnend- ja harilike murdudega; 3) Protsendi mõiste tundmine ja selle kasutamine ülesannete lahendamisel; 4) Lineaar-, ruut-, murdvõrrandite lahendamine; 5) Lineaar- ja ruutvõrrandisüsteemide lahendamine; 6) Tekstülesannete lahendamine (lineaarvõrrandi, ruutvõrrandi, lineaar-võrrandisüsteemi või ruutvõrrandisüsteemi abi; 7) Algebraliste avaldiste lihtsustamine; 8) Ringjoone pikkus ja ringi pindala; 9) Ruudu, ristküliku, rööpküliku, kolmnurga, trapetsi ja rombi ümbermõõt ja pindala; 10) Trigonomeetria kasutamine geomeetriliste ülesannete lahendamisel; 11) Kuubi, risttahuka ja püstprisma ruumala ja pindala leidmine Koidula Gümnaasium Eesti keel (30 min) Eesti keele töö koosneb kahest osast: 1
· trigonomeetrilised põhiseosed; · trigonomeetriline avaldis; · taandamisvalemid nurkade 90o , 180 o ja 360 o puhul; · kahe nurga summa ja vahe siinus, koosinus, tangens; · kahekordse ja poolnurga siinus, koosinus, tangens; · siinus- ja koosinusteoreem; · trigonomeetrilised funktsioonid, nende graafikud ja omadused; · trigonomeetrilised põhivõrrandid. Põhioskused · Täis-, terav- ja nürinurksete kolmnurkade lahendamine; · trigonomeetriliste avaldiste teisendamine; · taandamisvalemite kasutamine; · trigonomeetriliste funktsioonide graafikute skitseerimine ja lugemine; · lihtsamate trigonomeetriliste võrrandite lahendite leidmine etteantud piirkonnas; · trigonomeetria valemite kasutamine geomeetriaülesannete lahendamisel. Valemid · Trigonomeetriliste funktsioonide väärtuste märgid Funktsioon I veerand II veerand III veerand IV veerand
Ülesanded harilike ja kümnendmurdude kohta I Leidke avaldiste täpsed väärtused hariliku murruna 7 1. 7 20 13 2. 8 14 7 3. 7 12 15 4. 1 26 7 5. 3 16 5 6. 5 8 79 7. 1 144 II Teisenda kümnendmurd harilikuks murruks 1 1. 2 1 2. 4 1 3. 8 3 4.
Õppematerjalide loomist toetab AS Topauto/autod, markide Seat, Suzuki, Hyundai ning kasutatud autode müüja üle Eesti 6. Logaritm- ja eksponentfunktsioonid. Logaritm- ja eksponentvõrrandid ning võrratused Põhiteadmised · Arvu logaritmi mõiste ja omadused; · naturaallogaritm; · eksponent- ja logaritmfunktsioonid, nende graafikud ja omadused. Põhioskused · Avaldiste logaritmimine ja potentseerimine; · üleminek logaritmi ühelt aluselt teisele; · eksponent- ja logaritmfunktsiooni omaduste kasutamine vastavate võrrandite ja võrratuste lahendamisel; · eksponent- ja logaritmfunktsioonide graafikute skitseerimine ja lugemine; · eksponent- ja logaritmfunktsioonide pöördfunktsioonide, nende määramis- ja muutumispiirkondade leidmine ning graafikute skitseerimine. Valemid · Arvu logaritm ja selle omadused
(Kellavedru või elektrimootoriga käivitatav mehaaniline Päikesesüsteemi vähendatud mudel paremini mõista planeetide liikumist ning aastaaegade vaheldumist Maal,Geneetilise informatsiooni talletamist DNA molekulis aitab aga mõista miljoneid kordi suurendatud mudel ) Tegemist on abstraktse mudeliga siis, kui kui füüsikalist objekti või nähtust uuritakse ja kirjeldatakse mitte ainelise mudeli, vaid mõtteliste ettekujutuste ning neid väljendavate matemaatiliste avaldiste abil. (Rongi liikumise modelleerimiseks piisab, kui lihtsalt kujutame selle liikumist ette ja esitame matemaatilise valemi, mis lubab rongi asukoha mistahes ajahetkel välja arvutada. Rongisõidu nähtust on võimalik kirjeldada matemaatiliste avaldistega) Mis on üldmudelid? Too näiteid üldmudelitest! Üldmudeliteks kutsutakse mudeleid, mis on sõltumata konkreetsest nähtusest või isegi füüsikaharust kasutatavad kogu füüsikas. (keha)
· arvtelje vahemik, lõik ja poollõigud; · arvu absoluutväärtus; · ratsionaalarvulise astendajaga aste; · ratsionaal- ja irratsionaalavaldised; · protsent; · aritmeetiline ja geomeetriline keskmine; · korrutamise abivalemid. Põhioskused · Võrrandi ja võrratuse lahendihulga, funktsioonimääramis-, muutumis-, positiivsus- ja negatiivsuspiirkondade ning kasvamis- ja kahanemisvahemike kujutamine punktihulkadena; · astmeid ja juuri sisaldavate avaldiste lihtsustamine; · protsendi mõiste kasutamine: protsendi leidmine arvust, arvu leidmine protsendi järgi, kahe arvu suhte väljendamine protsentides. Valemid a, kui a 0 · Arvu absoluutväärtus a= - a, kui a < 0 · Astme mõiste ja omadused a 0 = 1, kui a 0 a1 = a a n = a a a a, kui n N 2
Ülesanded harilike ja kümnendmurdude kohta I Leidke avaldiste täpsed väärtused hariliku murruna 1 3 1 1 8 2 3 1. 5 4 5 3 1 3 1 1 8 2 3 2. 2 7 2 2 1 7 3 1 7 1 2 3. 4 19 7 3 7 3 19 11 1 1 1 4. 12 20 26 26 5 1 1 5 5 7 5. 4 4 3 6 4 3 15 3 6. 1 3 1 3 8
· trigonomeetrilised põhiseosed; · trigonomeetriline avaldis; · taandamisvalemid nurkade 90o , 180 o ja 360 o puhul; · kahe nurga summa ja vahe siinus, koosinus, tangens; · kahekordse ja poolnurga siinus, koosinus, tangens; · siinus- ja koosinusteoreem; · trigonomeetrilised funktsioonid, nende graafikud ja omadused; · trigonomeetrilised põhivõrrandid. Põhioskused · Täis-, terav- ja nürinurksete kolmnurkade lahendamine; · trigonomeetriliste avaldiste teisendamine; · taandamisvalemite kasutamine; · trigonomeetriliste funktsioonide graafikute skitseerimine ja lugemine; · lihtsamate trigonomeetriliste võrrandite lahendite leidmine etteantud piirkonnas; · trigonomeetria valemite kasutamine geomeetriaülesannete lahendamisel. Valemid · Trigonomeetriliste funktsioonide väärtuste märgid Funktsioon I veerand II veerand III veerand IV veerand
error on Haskell-i sisse ehitatud funktsioon ja käib ainult monad-i kohta. Näide Maybe monad-st: instance Monad Maybe where return x = Just x Nothing >>= f = Nothing Just x >>= f = f x fail _ = Nothing _ tähendab seda, et ei ole tähtis, mis väärtus või tüüp muutujal on. 12.4 do notation do notation on programmeerimise stiil, mida saab kasutada monad andmetüüpidega. Lisaks kasutatakse seda veel selleks, et vältida lambda avaldiste kirjutamist. test :: Maybe Bool test = do x <- Just 9 Just (x > 8) x <- Just 9 tähendab seda, et muutujale x väärtustatkse monadic value. Just (x > 8) tähendab seda, et kasutatakse Maybe monad-ist esimest funktsiooni. 12.5 The list monad instance Monad [] where return x = [x] xs >>= f = concat (map f xs) fail _ = [] 12.6 Monad laws 12.6.1 Left identity
· arvtelje vahemik, lõik ja poollõigud; · arvu absoluutväärtus; · ratsionaalarvulise astendajaga aste; · ratsionaal- ja irratsionaalavaldised; · protsent; · aritmeetiline ja geomeetriline keskmine; · korrutamise abivalemid. Põhioskused · Võrrandi ja võrratuse lahendihulga, funktsioonimääramis-, muutumis-, positiivsus- ja negatiivsuspiirkondade ning kasvamis- ja kahanemisvahemike kujutamine punktihulkadena; · astmeid ja juuri sisaldavate avaldiste lihtsustamine; · protsendi mõiste kasutamine: protsendi leidmine arvust, arvu leidmine protsendi järgi, kahe arvu suhte väljendamine protsentides. Valemid a, kui a 0 · Arvu absoluutväärtus a = - a, kui a < 0 · Astme mõiste ja omadused a 0 = 1, kui a 0 a1 = a a n = a a a a, kui n N 2
Mudel - loodusobjekti jäljendus, mis asendab originaali selle lihtsamaks mõistmiseks ning uurimiseks Aineline mudel - kasutatakse siis, kui uuritav objekt on palja silmaga vaatlemiseks kas liiga väike või liiga suur. Reeglina kujutab aineline mudel mikro- või megamaailma objekti. Abstraktne mudel - kui loodusobjekti uuritakse ja kirjeldatakse mitte ainelise mudeli, vaid mõtteliste kujutluste ning neid väljendavate matemaatiliste avaldiste abil. Abstraktne mudel on objekti mõtteline visioon, kontseptsioon objektist mõtleva inimese teadvuses. Füüsika üldmudel - mudel, mis sõltumata konkreetsest nähtusest või isegi füüsikaharust on kasutatav kogu füüsikas Füüsikaline objekt kasutatakse kahes tähenduses: üks võimalus on nimetada füüsikalisteks objektideks ainult kehi ja väljasid (kitsam tähendus). Teine variant hõlmab füüsikalise objekti mõiste alla ka loodusnähtused ehk protsessid (lai tähendus).
lõigutaandega lõik. 9. Leheküljed tuleb nummerdada. 10. Tabelis iga lahtri sisu on keskele joondatud. Mitmerealine lahter on tabelis üks lahter kuhu tuleb panna mitu rida teksti. Näpunäide: tabeli ridade alguses olevad F1, F11 jne on kah tegelikult tabeli lahtrid, mis aga ei ole joonitud. 11. "Muud võimalused" jms - lõigu varjuga raam ja taust. 12. Vertikaalne tekst on tekstiboks, mille raam on tehtud punktiirjoontega. 13. Matemaatiliste avaldiste vormistamiseks kasutage võimaluse korral Microsoft Equation 3.0. 14. Lk.3 olev joonis tuleb teha Wordi joonistamisvahenditega (mitte diagrammi- vahenditega). 4
P = m( g ± a ). Märk + vastab üles, märk - alla suunatud kiirendusele a. Kui keha langeb vabalt, siis a = g ja P = 0, st keha on kaaluta olekus. Kaaluta olek olek, milles on kõik vabalt langevad (ainult raskusjõu mõjul liikuvad) kehad. Maa tehiskaaslaste liikumine. I kosmiline kiirus Ümber Maa mööda ringjoonelist orbiiti liikuva tehiskaaslase kiiruse v leiame kesktõmbejõu Fk = m ak ja gravitatsioonijõu Fg avaldiste võrdsustamisel: m v2 m = G mM 2 , ( RM + h ) ( RM + h ) G mM v= , RM + h kus m on tehiskaaslase mass. Kui tehiskaaslane liiguks maapinna kõrgusel (h = 0), siis G mM vI = RM ja vI = 7,9 10 m/s
Nimesid ehk identifikaatoreid käsutatakse protseduuride, konstantide, muutujate ja mõne muu elemendi tähistamiseks. Nimede esitamiseks on kindlad reeglid. Suvaline nimi peab algama tähega, ta võib sisaldada ainult tähti, numbreid ja allkriipse, nimes ei tohi olla tühikuid. Suur-ja väiketähti nimedes ei eristata. Nime pikkus võib olla kuni 255 märki. Nimede näiteid a, S, Fy, x1, r_2, pikkus, ringLraadius, LoeAlg, PriRiM, p3s21k9 Konstantide ja avaldiste esitamise reegleid käsitletakse järgnevates jaotistes. Piirajad esinevad alati paaris, neid käsutatakse mõne keelekonstruktsiooni alguse ja lõpu fikseerimiseks. Peamised piirajad on ( ) - ümarsulud -- käsutatakse avaldise osade ning parameetrite ja argumentide piiritlemiseks Sqr ((a + b)/(c + d)), Function NatS2 ( n1,n2) 11 " -jutumärgid - käsutatakse stringkonstantide esitamisel "Pindala" Eraldajad on mõeldud keelekonstruktsiooni elementide teineteisest eraldamiseks. Peamised
õpitulemused oskab esitada matemaatiliste sümbolite keeles väljendatud teksti tavakeeles; oskab matemaatiliselt kirjeldada lihtsamaid probleeme ning neid lahendada; oskab prognoosida ja analüüsida lahendustulemusi; oskab kasutada matemaatilisi teadmisi teistes õppeainetes ja igapäevaelus; mõistab matemaatikat kui inimkultuuri osa ja saab aru matemaatika rollist tsivilisatsiooni arengus. I Reaalarvud ja avaldised Põhioskused Astmeid ja juuri sisaldavate avaldiste lihtsustamine. Protsendi mõiste kasutamine: protsendi leidmine arvust, arvu leidmine protsendi järgi, kahe arvu suhte väljendamine protsentides. Liitprotsendiline kasvamine või kahanemine. Arvu absoluutväärtus. Arvu absoluutväärtus ....a,...kui......a 0 a= - a,...kui.......a < 0 Astme mõiste ja omadused a 0 = 1, kui a 0 1 a =a -n 1 a = n a m+ n a a = a m n m
1.Kontrollida neeldumisseaduse x1 x1x2 = x1 x2 kehtimist võrduse mõlema poole avaldiste tõeväärtustabelite võrdlemise teel. x1 x2 x1x2 x1 x1x2 x1 x2 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 2.Lihtsustada avaldist loogikaalgebra põhiseoste abil: x1 x2 x1 x3 x2 = x1 x2 x2 x1 x3 = x2 x1 x3
e TaDNK ? : kas sellel funktsioonil on veel lihtimplikante lisaks neile 3-mele ? . . . . ongi Taandatud DNK i t kõik lihtimplikandid ( TaDNK jaoks kontuuridevalik ) : t x 3 x4 u avaldiste lihtsustamisel tekkib sageli TaDNK ( mitte MDNK ) v x 1 x2 00 01 11 10 r 00 1 1 A 01 1 1 t 11 1 t u u 10 1 1 1 In s t i TaDNK : f = ¯4 w x
protsent, uus takse u hinnast. 24 tuleb alem, mis on kõigisse beli Viimasesse lahtrisse peaks tulema selline arv. rinev protsent, uus hind e alghinnast. 40 tuleb alem, mis on kõigisse teistesse rinev protsent, uus hind e alghinnast. 40 tuleb alem, mis on kõigisse teistesse tesse. Viimasesse lahtrisse peaks tulema selline arv. Sisestage lahtrisse kood (H3) oma üliõpilaskood.Siia sisestada oma üliõpilaskood Valemid annavad avaldiste numbrid. (number) kood y nr z nr NB! Esitage ainult oma variandi avaldised. 164790 1 5 Koostada valemid funktsioonide y ja z
Selliseid niinimetatud ainelisi mudeleid saame palja silmaga vaadata ja soovi korral ka käega katsuda. Ainelisi mudeleid valmistatakse siis, kui uuritav objekt on vatlemiseks liiga suur või väike. 3. Abstraktne mudel- objekti või nähtuse mõtteline visioon. Juhul, kui füüsikalist objekti või nähtust uuritakse ja kirjeldatakse mitte ainelise mudeli, vaid mõtteliste ettekujutuste ning neid väljendavate matemaatiliste avaldiste abil, on tegemist abstraktse mudeliga. 4. Füüsikaline objekt-Füüsikalised objektid on materiaalsed, st eksisteerivad sõltumata inimese teadvusest. Füüsikalisi objekte on kahesuguseid : Väljad on mitteainelised objektid. Väljade tunnuseks on see, et nad mõjutavad kehi ja omavad energiat. Näiteks Maa gravitatsiooniväli tekitab inimesele mõjuva raskusjõu, elektriväli sunnib juuksed peas püsti tõusma ning elektri- ja
2) Milliseid tasandilisi kujundeid õpetatakse I kooliastmes ? Tasandilisi kujundeid: ruut, ring, kolmnurk, ristkülik. Tasandilisi kujundeid vaadeldakse ruumiliste kujundite osadena. 3) Milliseid hulktahukaid ja milliseid pöördkehi õpetatakse I kooliastmes? Kuup, kera, kolmnurkne püramiid, risttahukas II Ülesannete lahendamine: arvutusülesanded (arvutusseaduste rakendamine, tehete järjekord), osa ja terviku leidmine (murrud), avaldiste koostamine ja lugemine (vt. 2.osa konspektis lk 16), ühikute teisendamine, tekstülesannete lahendamine mitme avaldisega ja ühe avaldisega (NB! Korrektset vormistamist vt 1.osa konspektist). erinevat tüüpi ühetehteliste tekstülesannete koostamine.
Uurimuslikuks osaks on ka Promethean digitahvlite tarkvara ActivInspire abil valminud õppevideod. Kokku on 26 videot, nende vaatamiseks palun varuda aega. Usun, et sageli ajapuuduses olevatel õpetajatel on nende videote vaatamisest abi tundide ettevalmistamisel, aga ka töös puudujatega või aine õppimisel raskustesse sattunud õpilastega. Väidan seda ühe valminud õppevideo põhjal, mis valmis koostöös juhendajaga. Nimetatud õppevideo teemaks on avaldiste lihtsustamine. Õppevideotes kasutatavad töönuppude selgitused on töös alapeatükkidena seetõttu, et neid oleks võimalik töö sisukorra abil kiiresti leida. Uurimistöö referatiivses osas käsitlen erinevaid digitahvlite liike ning võrdlen ja toon välja erinevate digitahvlite omadused. Töös pööran tähelepanu firma Promethean digitahvlitele, kuna neid tahvleid kasutatakse Paide Gümnaasiumis. 1. Digitahvlite liigid
12 6 12 6 2 12 12 4 4 1 Vastus: Avaldise täpne väärtus on . 4 algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Murd, mille lugejaks ja nimetajaks on avaldised Kui avaldise koosseisu kuulub murd, mille lugejaks ja/või nimetajaks on omakorda avaldis(ed), siis tuleb nende avaldiste väärtused leida "eelisjärjekorras". Näide 5 7 9 - 2,8 15 Arvutame avaldise 1 8 täpse väärtuse. + 0,875 3 21 Lahendus 1) leiame lugejaks oleva avaldise väärtuse: 4 7 7 8 7 4 7 4 3 7 - 12 9 - 2,8 = 9 - 2 = 7 + - =7 + - = 7+ =
1 1 0 1 1 t i 1 1 1 0 0 Kui (paljude operandidega) disjunktsioonitehte operandidest on v u väärtusega 1 paaritu arv operande (näiteks ainult üks operand), siis r Tõeväärtustabelite täpne kokkulangevus tõestab nendele vastavate avaldiste võib sellises avaldises asendada kõik disjunktsioonitehted tehtega A loogilist samaväärsust. Seega võib konjunktsioonitehet kasutades sulge lahti korrutada mitte ainult suhtes, vaid ka suhtes.
B B A = B |______________________________________________________________________________| T Ü __ Hulgaaritmeetiliste avaldiste TEISENDUSED = A ( C A ) ( A B C ) = T Hulgaavaldis teisendatakse hulgaalgebra põhiseoste ja hulgatehete asendusseoste abil lihtsamale / lühemale, kuid esialgsega samaväärsele kujule. = A C ( A B C ) =
rimine. Lähtudes määramata integraali definitsioonist ja kasutades tuletise tabeleid, on võimalik saada ka integraalide tabeleid. Põhiintegraalide tabel on antud ka ülesannetekogus [1] lk 63-64. Nende valemite õigsuses on võimalik veenduda diferentseerimise teel (vt [5], lk 358-360). Näiteid nende tabelite rakendamise kohta võib leida raamatutest [3], lk 209-213 ja [5], lk 362. Enne avaldiste integreerimist tuleks kasutada ka integreeritavate avaldiste lihtsustamise võima- lusi. Näide 3.4 (3x - 2)2 dx = (9x2 - 12x + 4)dx = 9x2 dx - 12xdx + 4dx = x3 x2 =9 x2 dx - 12 xdx + 4 dx = 9 - 12 + 4x + C = 3 2 = 3x3 - 6x2 + 4x + C. Näide 3.5
4. Avaldised ja operaatorid Avaldise mõiste selgitamiseks toome mõned näited. Lihtsamad avaldised on literaalid (mõni konkreetne väärtus, näiteks mõni sõne või arv) või muutuja nimi: 56 // arvuline literaal false // loogikaväärtuse literaal x // muutuja x Kahe esimese ehk konstantse avaldise väärtuseks on konstant ise. Muutuja väärtuseks on väärtus, mis on omistatud vastavale muutujale. Järgmine rida on samuti avaldis: x + 56 Selle avaldise väärtuseks on avaldiste x ja 56 väärtuste summa. Operaator on avaldises arvutuslikku tehet tähistav märk. JavaScript'i operaatorid on sarnased Java ja C keele operaatoritega. Aritmeetika operaatorid. Aritmeetilised operaatorid on: + - liitmine ja sõnesidurdus; - - lahutamine; * - korrutamine; / - jagamine; % - jäägi leidmine; ++ - järel- või eel-ühikusuurendamine; -- - järel- või eel-ühikuvähendamine. Võrdsus operaatorid
. . . = ¯2 ( x x ¯1 x4 w x1 ) w x2 ( x1 x ¯3 ) r jääkfunktsiooni kaudu esitatavad loogikafunktsioonide / avaldiste erikujud : |______________________________________________________________________________| A Shannoni arendused /¯¯ ülesanne: ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ loogikafunktsiooni tuletis t SHANNONI ARENDUSED
r /¯¯ A Numbrimärkidena 0 ja 1 esitatud loogikaväärtusi nimetatakse ka "konstant 0" ja "konstant 1" , et rõhutada nende erinevust muutujatest xi . Loogikaavaldis on loogikamuutujaid xi , konstante 0 1 ja Kontrollida eelpoolsete avaldiste x1 x¯2 w x2 ja x1 w x ¯1 x2 t tehtemärke sisaldav kooslus, mis tema muutujate xi väärtustamisel loogilist võrdsust nende tõeväärtustabelite võrdlemise teel u omandab samuti loogikaväärtuse 0 või 1 . u x1 x2 x1 x
dv = sin xdx v = - cos x e cos xdx = e sin x - e sin xdx = x x x ( = e x sin x - - e x cos x - - e x cos xdx = ) = e x sin x + e x cos x - e x cos xdx Saime tagasi esialgse integraali aga töö ei ole olnud sugugi asjatu, avaldame I = e x cos xdx I = e x ( sin x + cos x ) - I 2 I = e x ( sin x + cos x ) 1 I = e x ( sin x + cos x ) + C 2 MURDRATSIONAALSETE AVALDISTE LAHUTAMINE OSAMURDUDEKS Ratsionaalmurruks nimetatakse kahe polünoomi jagatist: P ( x ) a0 + a1 x + + an x n = Q( x ) b0 + b1 x + + bm x m Vaatleme juhtu, kus lugejas asuva polünoomi aste on madalam, kui nimetajas asuva oma, s.t. n< m. Sellise murru saab lahutada teatud arvu lihtsamate, nn osamurdude summaks. Olgu Q( x ) = 0 lahendid erinevad ja reaalsed Q( x ) = c0 ( x - c1 )( x - c2 ) ( x - cm ) , siis sellise Q ( x ) puhul
kasutatakse otsingu laiendamiseks. Metamärk võimaldab hõlmata sõnade ainsuse ja mitmuse, erinevad kirjutusviisid (nt nimede puhul) ning pöörde või käändelõpud. Metamärgiga otsingut rakendatakse peamiselt sõnatüve otsingul (sarnase tüvega sõnade otsinguks), kus siis metamärk lisatakse sõna lõppu, kuid metamärki võib rakendada ka sõna alguses. Pesastamine on Boole'i loogikaoperaatorite abil koostatud päringuavaldiste omavaheline kokkuühendamine. Avaldiste vahel kasutatakse sulgusid. Tehete järjekord on sama, mis matemaatikas: kõigepealt tehakse tehted sulgudes ning seejärel ülejäänud tehted. Näiteks: (Tallinn AND kool) NOT (Tartu Ülikool OR Tallina Ülikool) Enamasti on vahendusinfoallikates võimalus otsingut sooritada: autori või mõne teise teaviku loomisega seotud isiku (koostaja, tõlkija jt) või organisatsiooni nime järgi raamatu, artikli pealkirja või väljaande seeria järgi
2 z1 ± z2 = (a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i 3 z1 · z2 = (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i 4 z1 z1 · z¯2 a + bi ac + bd bc − ad = 2 = = 2 + 2 i. z2 |z2 | c + di c + d2 c + d2 Kompleksarvude liitmine on analoogiline vektorite liitmisega. Korrutamine algebralisel kujul on tavaline algebraliste avaldiste korrutamine. Jagamine defineeritakse korrutamise kaudu. Teist ja kolmandat j¨ arku determinandid. Crameri valemid. Kompl ¨ Ulesanne Leida kompleksarvude summa, vahe, korrutis, jagatis, moodulid ja kaaskompleksid: 1 z1 = 3, z2 = −4i 2 u1 = 2 − 5i, u2 = 3 + i 3 w1 = 1 + i, w2 = −3 + 2i Teist ja kolmandat j¨
Kuna eksisteerivad piirväärtused Võtame piirväärtuse, kui n ja , siis (tõestusega). 26. Ratsionaalfunktsioonide integreerimine. max xi0 ; max xi0 27. Trigonomeetriliste avaldiste integreerimine. Siis vastavalt "kahe politseiniku" teoreemile 28. Määratud integraal ja selle omadused. eksisteerib ka piirväärtus Keskväärtusteoreem (tõestusega). 30
R(cos x ) sin xdx (8) leidmiseks kasutatakse muutuja vahetust t = cos x . Siis dt = - sin xdx ja integraal (8) teiseneb jälle ratsionaalavaldise integraaliks: R(cos x ) sin xdx =- R( t )dt. 5.Kumbagi kahest viimasest muutuja vahetusest ei saa kasutada siis, kui integraalis sin m x cos n xdx naturaalarvud m ja n on mõlemad paarisarvud. Niisugust tüüpi avaldiste integreerimiseks kasutatakse poolnurga siinuse ja koosinuse valemeid: 1 - cos 2 x sin 2 x = , 2 1 + cos 2 x cos 2 x = . 2 Edasi näiteks sin 4 x = (sin 2 x ) 2 , cos6 x = (cos2 x ) 3 jne. 6
4) y = 5) y = 6) y = x +3 3x - 3 x+2 FUNKTSIOONI PIIRVÄÄRTUSE ARVUTAMINE Tülikas ja aeganõudev on funktsiooni piirväärtust leida, arvutades funktsiooni väärtusi selle koha ümbruses. Piirväärtuse arvutamiseks kasutatakse tavaliselt funktsiooni piirväärtuse omadusi ning mitmesuguseid avaldiste lihtsustamise võtteid. Need on ühise teguri sulgude ette toomine, summa ja vahe ruutude ning kuupide abivalemeid, ruutkolmliikme teisendamine korrutiseks, taandamine jne. Funktsiooni piirväärtuse arvutamisel on kasulik tunda piirväärtuse omadusi. Olgu f(x) ja g(x) pidevad funktsioonid ning c konstant. Kehtivad järgmised omadused: · lim[ f ( x) ± g ( x)] = lim f ( x) ± lim g ( x) xa xa xa
Muutuja MUUTUJA on andmeobjekt, mille väärtus võib programmi täitmise käigus muutuda. AVALDIS on väärtuse leidmise eeskiri, mis moodustatakse operandidest ja operaatoritest ning nende grupeerimiseks kasutatakse sulgusid. Aritmeetiline avaldis Aritmeetilises avaldises kasutatakse eeskätt arvutüüpi andmeobjekte ja aritmeetilisi tehtemärke. Ka võib aritmeetilises avaldises kasutada arvutüüpi funktsioone. Kõik eespool toodud näited avaldiste kohta on olnud aritmeetilised avaldised. Loogiline avaldis Loogiline avaldis sisaldab ühte või enamat loogilist operaatorit ja võib tihti sisaldada aritmeetilisi avaldisi. Matemaatikast tuntud loogiline avaldis on võrratus, mille puhul on tulemuseks samuti tõeväärtus. PROGRAMMEERIMISKEELE LAUSED OMISTAMISEKS nimetatakse väärtuse kirjutamist andmeobjekti poolt hõivatud mälupesadesse ehk andmeobjekti väärtustamist.
Olgu . Siis hulga A alamhulkade hulk on järgmine: Teoreem: Iga mittedeterministik automaat N=(Q, Σ, δ, Q0, F), mis aktsepteerib keelt A, on teisendatav sama keelt aktsepteerivaks deterministlikuks lõplikuks automaadiks M = (Q’, Σ, δ′, Q0′, F′). Kui mittedeterministlikul on k olekut, siis talle vastaval deterministlikul võib olla kuni 2k olekut. T: eeldame, et N-is pole ε-üleminekuid. 4 Regulaarsete avaldiste ja lõplike automaatide samaväärsus. Teoreem: Regulaarse avaldisega defineeritud keel on aktsepteeritav (mittedeterministliku) lõpliku automaadiga. T: vastavalt avadlise struktuurile saame rekursiivselt teha automaadi: Teoreem: Lõpliku automaadi poolt aktsepteeritav keel on defineeritav regulaarse avaldisega. T: Olgu M = (Q,Σ,δ,Q1,F) lõplik automaat olekute hulgaga Q = {q0,q1,…,qn}. Defineerime Rk ij kui sõnede
Võrratuse lahendamisel tuleb alati silmas pidada, et lahendite piirkondade hulka ei tohi sattuda tundmatu lubamatuid väärtusi, so selliseid väärtusi, mille puhul mõni võrratuses sisalduv avaldis kaotab mõtte. Võrratuse määramispiirkonnaks (MP) nimetatakse tundmatu kõigi selliste väärtuste hulka, mille korral kõik võrratuses sisalduvad avaldised omavad tähendust 4 (on arvutatavad) . Võrratuse MP on võrratuses esinevate avaldiste (funktsioonide) MP-de ühisosa. Illustreerime MP mõistet näitega. x + 2 (5x - 3) Näide 1. 0. 1 - x ( x + 1) Selle võrratuse MP on antud järgmiste tingimustega x + 2 0 (selleks, et juurim ine lugeja s oleks võimalik) 1 - x > 0 ( selleks, et nimeta jas saaks juurida ja jagada) x -1 (et saaks (x + 1) - ga jagada) x -2 (avaldise x + 2 MP) 1
(x= e ) 4) log x 4 x 3.1 1 2 ( x1 = 3 ja x2 = 1 ) 5) log 7 x 2 2 x 34 0 ( x1 = -5 ja x2 = 7 ) 9. Lahendame võrrandi log( x 14) log( x 2) 3 log 4 potentseerimise teel. Näide Kaotame logaritmi sümboli potenseerimise teel (jälgi eelnevalt, et kõikide avaldiste ees oleks log): log( x 14) log( x 2) 3 log 4 ( x 14)( x 2) 43 x 2 2 x 14 x 28 64 x 2 16 x 36 0 x1 2, x2 18 Kontroll: log( 2 14) log( 2 2) 3 log 4 log 16 log 4 log 43 log 16 * 4 log 64 log 64 log 64 log( 18 14) log( 18 2) 3 log 4 log( 4) log( 16) 3 log 4 Arv -18 ei sobi lahendiks, sest avaldisel log(-4) ja ka log(-16) väärtus puudub. Vastus: x = 2 Ülesanne 9. Lahenda logaritmvõrrand.
matemaatilised avaldised esitatakse tavaliselt teksti sees omaette reale viimata. Võrdsust ja võrratust väljendavad valemid ning võrrandid esitatakse omaette real paigutatuna soovitavalt selle keskele. Pikad valemid ja nende teisendused paigutatakse mitmele reale. Üleminek järgmisele reale tuleks teha tehtemärgi kohal. 9 Kõigi töös esinevate valemite ja matemaatiliste avaldiste saamist tuleb selgitada. Kirjandusest võetud valemite selgitus piirdub viitega allikale. Tuletatud valemite puhul esitatakse lähtevõrrandid ning selgitatakse tuletuskäiku, tingimusi ja lihtsustatavaid eeldusi. Valemis tuleks kasutada eelkõige üldlevinud tähiseid. Kasutatavate tähiste seletused paigutatakse valemite järele, kusjuures igas uues valemis seletatakse ainult esmakordselt esinevaid tähiseid. Kui
Sisukord Arvusüsteemid ................................................................................................................................................... 2 Kahendkoodid.................................................................................................................................................... 4 Loogikafunktsioonid ja loogikaavaldised ........................................................................................................... 5 Avaldiste teisendused........................................................................................................................................ 8 Karnaugh’ kaart ................................................................................................................................................. 9 McCluskey’ minimeerimismeetod ................................................................................................................... 10 Loogikaskeemid
füüsika ja mida kasutavad kõik loodusteadused, nimetatakse füüsikalisteks mudeliteks. • Loodusteaduslikke, sealhulgas ka füüsikalisi mudeleid, liigitatakse tavaliselt ainelisteks ja abstraktseteks mudeliteks. Ainelisi mudeleid kasutatakse siis, kui uuritav objekt on palja silmaga vaatlemiseks kas liiga väike või liiga suur. • Juhul, kui loodusobjekti uuritakse ja kirjeldatakse mitte ainelise mudeli, vaid mõtteliste kujutluste ning neid väljendavate matemaatiliste avaldiste abil, on tegemist abstraktse mudeliga (ld abstractus 'mõtteline’). • Analüütilise mudeli loomist alustame rongi liikumise sihipärasest vaatlusest, millega kaasneb mõõtmine. • Ühe punktina kujuteldav rong, auto või lennuk on tuntud füüsika üldmudelina, millel nimeks punktmass. Matemaatilisele avaldisele tuginevat loodusnähtuse (nt rongi liikumise) kirjeldust nimetatakse analüütiliseks mudeliks. Rongi asukoha sõltuvust ajast saab peale matemaatilise
.255) vastava märgi 5 Loogilised funktsioonid Võimaldavad esitada tingimuslike valemeid. IF(tingimus;avaldis1;avaldis2) tingimus - võrdlus või loogikaavaldis võrdlus märgid: < <= > >= = <> avaldis1, avaldis2 - suvalised avaldised, võivad sisaldada IF-funktsiooni. =if(x<=0;3*sin(x+2);cos(x/3)-5) =if(palk<=500;0;0,26*(palk-500)) =if(x<2;x+3;if(x<=5;x/5-1;2*sin(x))) AND(loogikaavaldis{;loogikaavaldis}) - tagastab väärtuse TRUE ("tõene"), kui kõikide avaldiste väärtused on tõesed OR(loogikaavaldis{;loogikaavaldis}) - tagastab väärtuse TRUE ("tõene"), kui vähemalt ühe avaldise väärtus on tõene =if(and(x>=2;x<=10);3*x+2;0) =if(or(a3="m";a3="M");0,5*p;0,25*p) NOT(loogikaavaldis) TRUE() tagastab loogilise väärtuse TRUE FALSE() tagastab loogilise väärtuse FALSE NB! Need väärtused võib lahtrisse või valemisse kirjutada ilma funktsioone kasutamata
dv = sin xdx v = - cos x x cos xdx = x sin x - 2 x sin xdx = 2 2 ( ) = x 2 sin x - 2 - x cos x - - cos xdx = x 2 sin x + 2 x cos x - 2 sin x + C Kontroll: leiame tuletise (x 2 sin x + 2 x cos x - 2 sin x + C ) = 2 x sin x + x 2 cos x + + 2 cos x - 2 x sin x - 2 cos x = x 2 cos x MURDRATSIONAALSETE AVALDISTE LAHUTAMINE OSAMURDUDEKS Ratsionaalmurruks nimetatakse kahe polünoomi jagatist: P ( x ) a0 + a1 x + + an x n = Q( x ) b0 + b1 x + + bm x m Vaatleme juhtu, kus lugejas asuva polünoomi aste on madalam, kui nimetajas asuva oma, s.t. n< m. Sellise murru saab lahutada teatud arvu lihtsamate, nn osamurdude summaks. Olgu Q( x ) = 0 lahendid erinevad ja reaalsed Q( x ) = c0 ( x - c1 )( x - c2 ) ( x - cm ) , siis sellise Q ( x ) puhul P( x ) A1 A2 A
annaabi.ee 
