Def.1 Hulka, mille elementideks on kõik m reaalarvust koosnevad järjestatud süsteemid (x1,x2,...xm) nim m-mõõtmeliseks ruumiks. Igat süsteemi (x1,x2,...xm) nim m-mõõtmelise ruumi punktiks ja tähist. P=(x1,x2,...xm) või P(x1,x2,...xm). Arbe x1,x2,...xm nim. punkti P koordinaatideks. Def.2 Sellist m-mõõtmelist ruumi, kus on määratud iga kahe punkti d(A,B) seosega d(A,B)=( i=1m(ai-bi))1/2 nim m-mõõtmeliseks eukleidiliseks ruumiks ja tähist. Rm Def.3 Kui hulgs D igale punktile P=(x1,x2,...xm) on vastavusse seatud üks kindel reaalarv w, siis öeldakse, et hulgal D on määratud w- muutuja funktsioon w=f(x1,x2,...xm), hulka D nim funi w=f(x1,x2,...xm) määramispiirkonnaks, suurusi x1,x2,...xm nim funi argumentideks (funil on m argumenti) Def.4 Punkti ARm ümbruseks nim iga lahtist kera S(a,r) (erijuhud: m=2 A ümbruseks lahtine ring S(a,r), m=1 A ümbruseks sümmeetriline vahemik) Def.5 Öeldakse, et hulk D on lahtine ruumis Rm kui iga tema punk...
11. Pinna puutuja, puutujatasand, normaal. Tuletada puutujatasandi võrrand. +tuletamine 12. Kõrgemat järku osatuletised. Segaosatuletised. 13. Näidata, kui funktsiooni z = f(x, y) teist järku segaosatuletised zxy ja zyx on pidevad punktis P(x, y), siis selles punktis zxy = zyx. 15. Kahe muutuja funktsiooni täisdiferentsiaali geomeetriline tähendus. +graafik 16. m-muutuja täisdiferentsiaal, m-muutuja funktsiooni diferentseeruvus, kõrgemat järku täisdiferentsiaal. +vihik +tõestus 19. Kahe muutuja ilmutamata funktsiooni osatuletised. 22. Defineerida lokaalne miinimum, lokaalne maksimum, statsionaarne punkt 24. Tõestada kahe muutuja funktsiooni lokaalse ekstreemumi piisavad tingimused 25. Mitme muutuja funktsiooni globaalne ekstreemum.
tähistatakse inf X Pidevuse aksioom - Igal ülalt tõkestatud reaalarvude hulgal on olemas ülemine raja ja igal alt tõkestatud reaalarvude hulgal on olemas alumine raja. Weierstrassi teoreemid - Lõigul pideval funktsioonil on olemas ekstremaalsed väärtused sellel lõigul. Bolzano-Cauchy teoreem – Lõigul pidev funktsioon omab iga väärtust, mis paikneb ekstremaalsete väärtuste vahel. 10.Tuletise definitsioon. Diferentseeruvus. Ühepoolsed tuletised. Diferentseeruvuse ja pidevuse seos. Tuletis – funktsiooni y=f(x) muudu Δy ja argumendi muudu Δx suhte piirväärtus, kui argumendi muut läheneb nullile. Diferentseeruvus – Kui funktsioon f omab punktis a lõplikku tuletist, siis öeldakse et ta on selles punktis deferentseeruv. Tähistame f ∈ C¹ (a) või f ∈ D(a). (Tuletise arvutamist nimetatakse diferentseerimiseks) Ühepoolsed tuletised -
f (x+x) Q lim tan = lim = tan x 0 x 0 x y P f(x) x Funktsiooni tuletis kohal x on võrdne 0 x x+x funktsiooni graafikule kohal x tõmmatud puutuja tõusuga. 9 Funktsiooni diferentseeruvus Funktsiooni tuletise leidmist nimetatakse funktsiooni diferentseerimiseks. Kui funktsioonil y = f (x) on tuletis punktis x = x0, siis ütleme, et funktsioon on diferentseeruv punktis x0. Kui funktsioon on diferentseeruv aga mingi piirkonna igas punktis, siis öeldakse, et see funktsioon on diferentseeruv selles piirkonnas. Teoreem. Kui funktsioonil on olemas lõplik tuletis antud kohal, siis funktsioon on pidev sellel kohal.
Kui funktsioonil f(x) on tuletis kohal x, siis öeldakse, et funktsioon on diferentseeruv punktis x. f´(x0) <->f(x) D(x0) DEF 3. Funktsiooni y=f(x) parempoolseks tuletiseks kohal x nim. suurust f´(x+)=limy/x, piirprotsessis x->0+ DEF 4. Funktsiooni y=f(x) vasakpoolseks tuletiseks kohal x nim. suurust f´(x-)=limy/x, piirprotsessis x->0- Funktsiooni tuletis: Lause 1. Funktsiooni f(x) diferentseeruvusest punktis x järeldub selle funktsiooni pidevus punktis x,st Tõestus. Funktsiooni diferentseeruvus punktis x tähendab, et . Kuna igas mingis punktis on piirväärtust omav suurus selle punkti teatud ümbruses esitatav piirväärtuse ja lõpmata väikese suuruse summana, siis , kusjuures . Seos on esitatav ka kujul , kusjuures suurus on piirprotsessis kõrgemat järku lõpmata väike võrreldes suurusega , sest ning sellest saab järeldada, et ja st, et Lause 2. Kui funktsioonid f(x) ja g(x) on diferentseeruvad puntis x ja on konstant, siis selles
seega antud funktsioon on pidev hulgal X = ( -, ), st pidev kõikjal. Kõik elementaarfunktsioonid on pidevad oma määramispiirkonnas (vt teoreem 6). Funktsiooni f katkevuspunktid selle funktsiooni määramispiirkonna kuhjumispunk- tid, milles funktsioon ei ole pidev. Näide. Funktsiooni f (x) = tan x katkevuspunktid on x = ± /2, ± 3/2, ... § 3 FUNKTSIOONI TULETIS JA DIFERENTSIAAL. 1.Tuletise definitsioon. Pidevus ja diferentseeruvus Olgu antud funktsioon y = f (x) , x X. Anname argumendile x muudu x, nii et x+ x X ja vastav funktsiooni muut olgu y = f(x+x) - f(x). Definitsioon 7. Kui eksisteerib piirväärtus (lõplik või lõpmatu) y lim , x 0 x siis seda piirväärtust nimetatakse funktsioonii f tuletiseks punktis x.
; xn) = C, kus C R on etteantud konstant, nimetatakse funktsiooni f nivoopinnaks 4.Mitme muutuja funktsiooni piirväärtus. Pidevus Definitsioon Funktsiooni u = f (x1; ...; xn) nimetatakse pidevaks piirkonnas , kui see funktsioon on pidev piirkonna 0 igas punktis. Lause Iga mitme muutuja elementaarfunktsioon on pidev omamääramispiirkonna sisepunktides 5) Mitmemuutuja funktsiooni osatuletised ja nende tähistus. Tõestada üks segatuletiste võrdsuse piisav tingimus. 6) Diferentseeruvus. Diferentseeruva mitmemuutuja funktsiooni ja täisdiferentsiaali definitsioonid. Võrrelda diferentseeruvuse ja tuletiste seost ühe- ning mitmemuutuja funktsiooni korral. Kusjuures on kõrgemat järku lõpmata väike usurus võrreldes vektori(x, y) pikkusega ||(x, y)||2 piirprotsessis (x, y)->(0,0) Kui funktsioonil z = f (x; y) on pidevad osatuletised fx ja fy punktis P(x; y), siis funktsioon z=f(x; y) on diferentseeruv selles punktis.
, xn ) nimetatakse pidevaks punktis A(a1,...,an), kui Ühemuutuja funktsioon: lim f(P) = f(A), PA, st on täidetud kolm tingimust: Pidevus kohal x c X c R f(x+x) = f(x) + o((x)o) 1) f (A); 2) lim f(P); PA 3)lim f(P) = f(A). PA Diferentseeruvus kohal eksisteerib f'x f(x+x) = f(x) + f'(x) x + o(x) Funktsiooni u = f (x1, . . . , xn) nimetatakse pidevaks piirkonnas 0 Rn, kui see funktsioon on pidev piirkonna 0 igas Lagrange' keskväärtusteoreem: Kui f pidev [x,x + x] ja diferentseeruv (x,x + x), siis leidub c (0,1) nii, et f(x+x) punktis
o. kui eksisteerib piirväärtus(*), siis funktsioon on argumendi antud väärtusel diferentseeruv. Teoreem: Kui funktsioon y = f(x) on diferentseeruv mingis punktis x= x0, siis on ta selles punktis pidev. Tõepoolest, kui lim(xx0) = f ' ( x ), siis = f ' ( xo ) + , kus on suurus, mis läheneb nullile, kui . Kuid siis f ' ( xo ). Siit järeldub, et See omakorda tähendab, et funktsioon f(x) on punktis x0 pidev! Järeldus: Punktis x diferentseeruv ehk omab tuletist. Funktsiooni pidevus ja diferentseeruvus on seotud: Iga diferentseeruv funktsioon on pidev! E: V: 8. Defineerida diferentseeruva funktsiooni diferentsiaal dy. Esitada funktsiooni muudu ja diferentsiaali vaheline seos. Eeldame, et funktsioon on diferentseeruv : st et on olemas tuletis. On olemas lim(xx0) = f ' ( x ), kusjuures f'(x) on lõplik suurus. Funktsiooni muut on ( võib tõlgendada kui muutujate x ja y absoluutse vea ülemmäärasid ligikaudsel arvutamisel.
f(A). Funktsioon on pidev piirkonnas D sel korral kui ta on pidev selle piirkonna igas punktis. Märkus: kui funktsioonid f ja g on pidevad, siis f ± g (aritm. Tehete abil saadavad funktsioonid) on ka selles piirkonnas pidev. (pidev f ± pidev f = pidev f) |PA|< f(P) f(A)0 Def: katkev on funktsioon punktis A: a) f(A) = (A ei kuulu MP-sse) b) lim P A f ( P) = c) lim P A f ( P ) f ( A) Osatuletised. Diferentseeruvus Funktsiooni osatuletisi arvutatakse teadaolevate reeglite kohaselt muutuja järgi mitme muutuja funktsioonist nii, et ülejäänud muutujad fikseeritakse käituvad konstantidena. I 2MF: w=f(x,y), P(x,y) D R 2 2MFil on 2 I j osatuletist 1 a) fix y-i f(x,y)F(x): kui on DV-uv, siis eksisteerib F f ( x + x, y ) - f ( x, y ) f ( x, y )
*Bolanzo Cauchy teoreem vahepealsetest väärtustest: Lõigul pidev funktsioon omab iga väärtust, mis paikneb ekstremaalsete väärtuste vahel. 24*(Ühtlane ja Lipschitzi pidevus)Funktsiooni f(x) nimetatakse ühtlaselt pidevaks hulgal X c R, kui X1, X2 X / |X1 - X2|< |f(X1) f(X2)|< . *Funktsiooni f(x) nim. Lipschitzi mõttes pidevaks funktsiooniks hulga X c R, kui leidub selline C , et iga a,b X korral |f(a) f(b)| |a-b|. 25*(Tuletise definitsioon. Diferentseeruvus. Ühepoolsed tuletised) Funktsiooni y=f(x) tuletiseks argumendi x järgi nimetatakse funktsiooni muudu ja argumendi muudu suhte piirväärtust, kui viimane suvaliselt läheneb nullile. Seega definitsiooni põhjal saame: f'(x)= . Tuletist tähistatakse f'(x). Antud funktsiooni f(x) tuletise leidmist nimetatakse selle funktsiooni diferentseerimiseks. Funktsiooni f(x) ühepoolsed tuletised aga märgime vastavalt f'(a+) ja f'(a-), ehk
Kui hulga X igale elemendile x on vastavusse seatud element y hulgast Y, siis öeldakse, et hulgal X Bolzano-Cauchy teoreem: Lõigul pidev funktsioon omab iga väärtust, mis paikneb ekstremaalsete on määratud (ühene) funktsioon f ja seda vastavust tähistatakse kas y= f(x) (x ∈ X) voi x (f →) y. väärtuste vahel. Hulka X nimetatakse funktsiooni f määramispiirkonnaks ja hulka f(X) = {y| x ∈ X ∧ y = f(x)} ⊂ 10. Tuletise definitsioon. Diferentseeruvus. Ühepoolsed tuletised. Diferentseeruvuse ja Y funktsiooni f muutumispiirkonnaks. Elementi x nimetatakse funktsiooni f argumendiks ehk pidevuse seos. sõltumatuks muutujaks ja elementi y sõltuvaks muutujaks Funktsiooni y = f(x) tuletiseks kohal x nimetatakse funktsiooni y = f(x) muudu ∆y ja argumendi
Viimaseid kahte teist järku osatuletist nimetatakse segatuletisteks. Teoreem 1 (Schwarzi teoreem). Kui funktsiooni f ( x, y ) osatuletised f xy ja f yx on pidevad punktis P = ( x, y ) , siis f xy (P ) = f yx (P ) . 4 Kordamine eksamiks aines matemaatiline analüüs II (2004/2005 õa kevad) 8. Mitme muutuja funktsiooni diferentseeruvus, täisdiferentsiaal Olgu antud funktsioon z = f (P ) , kus P D R m . Olgu argumendi xi (1 i m ) muut xi . Valime punkti Q = ( x1 + x1 ,..., x m + x m ) . Siis funktsiooni muut f = f (Q ) - f (P ) . Def. Funktsiooni z = f (P ) nimetatakse punktis P diferentseeruvaks, kui tema muut avaldub kujul f = f x1 (P )x1 + ... + f xm (P )xm + 1x1 + ... + m xm , kus i 0 kui xi 0 i {1,..., m}. Seejuures avaldist
Olgu antud funktsioon y = f ( x ) , x X ja olgu a X . Funktsiooni pidevus antud punktis Funktsiooni f nimetatakse pidevaks punktis a, kui lim f ( x ) = f ( a ) . Kui x a funktsioon f on pidev piirkonna X igas punktis, siis öeldakse, et funktsioon f on pidev piirkonnas X. Antud hulgal Kõikjal 10. Funktsiooni tuletis. Pidevus ja diferentseeruvus. Aritmeetiliste tehetega seotud diferentseerimisreeglid ( tõestus summa korral ). y Funktsiooni tuletis Kui on olemas piirväärtus lim , siis seda piirväärtust nimetatakse funktsiooni f x 0 x tuletiseks punktis x ja märgitakse sümbolitega: dy df ( x )
3), neist saame, et ehk Kuna koosinusfunktsioon on pidev kohal a = 0, siis ning lause 3.6 kohaselt 4.3 - Seosega määratud funktsioon f : D → R, kus D := (−1, 0)∪(0,∞) , on esitatav funktsioonide u = (1 + x)1/x ja y = ln u liitfunktsioonina. Kuna (s.t. kui x → 0, siis u → e) ja logaritmfunktsioon on pidev kohal e (s.t. siis 21. Tuletis ja diferentseeruvus. Diferentseeruva funkstiooni pidevus (*) Defineerida funktsiooni tuletis ja diferentseeruvus antud punktis. Funktsiooni f tuletiseks intervalli D punktis a nimetatakse (lõplikku või lõpmatut) piirväärtust (5.1) kui see eksisteerib. Kui piirväärtus (5.1) on lõplik (s.t. f′ (a) ∈ R), siis öeldakse, et funktsioon f on diferentseeruv punktis a ∈ D (ütleme ka diferentseeruv kohal a).
Ühepoolne pidevus. Katkevuspunktide liigid. iga x (a-(), a) korral kehtib võrratus |f(x) - b| < . 9. Hulgal pidevad funktsioonid. Lõigul pidevad funktsioonid. Ü lemine ja alumine raja. limxa- f(x) = b, f(x) b (noole kohal on xa- ) Pidevuse aksioom.Weierstrassi teoreemid ja Bolzano-Cauchy teoreem. Def. Def. Arvu b nim. fun-ni f parempoolseks piirväärtuseks punktis a, kui iga >0 leidub () 10. Tuletise definitsioon. Diferentseeruvus. Ühepoolsed tuletised. Diferentseeruvuse ja pidevuse >0, et iga x (a, a+()) korral kehtib võrratus |f(x) - b| < . seos. limxa+ f(x) = b, f(x) b (noole kohal on xa+ ) Lause. Fun-nil f eksisteerib piirväärtus punktis a parajasti siis kui iga jada { xn}, mis koondub 1. Normiks vektorruumis V nim
|a-b|. kehtib järgmine seos: Punktis a diferentseeruv funktsioon on selles punktis pidev. Väga edukalt on Diferentseeruvuse ja pidevuse seost võimalik tõestada ka Lagrange 25*(Tuletise definitsioon. Diferentseeruvus. Ühepoolsed tuletised) Funktsiooni ∆y 1 y=f(x) tuletiseks argumendi x järgi nimetatakse funktsiooni muudu ja =¿
1). ∀u ∈ V ||u || ≥ 0; ||u || = 0 u = δ Funktsiooni f(x,y) n+1 korda diferentseeruvusest punktis P(x,y) järeldub funktsiooni g(t) n+1 korda diferentseeruvus 2). ∀u ∈ V α ∈ R || α u || =|α | * ||u|| suunakoosinused. Tuletame meelde, et vektori suunakoosinued on koosinused nurkadest, mille see vektor moodustab
¨ kui ¨ argumendi muut laheneb nullile. y f (x) - f (a) f (a) := lim = lim x0 x xa x -a ¨ Tahistatakse df f (a), (a), y (a) dx Definitsioon (Diferentseeruvus) ~ Kui funktsioon f omab punktis a loplikku ¨ tuletist, siis oeldakse et ta on ¨ selles punktis diferentseeruv. Tahistame f C 1 (a) voi~ f D(a). Tuletise arvutamist nimetatakse diferentseerimiseks. ¨ G. Tamberg (TTU) YMM3731 Matemaatilne analu¨ us
=A+ . x−a x−a Kuna α ∈ o(x − a) protsessis x → a, siis f (x) − f (a) lim =A x→a x−a (selgitage!)z, mistõttu f ′ (a) = A ja järelikult f on diferentseeruv punktis a. Lause 4.2 väidab järgmist: f diferentseeruvus kohal a on samaväärne sellega, et leidub A ∈ R nii, et leiab aset koondumine (selgitage!z): f (x) − T1 (x) lim = 0, (4.4) x→a x−a kus T1 (x) = f (a) + A · (x − a). Sealjuures on arvu A rollis sel juhul arv f ′ (a).
8. L~opmatult kasvavad ja l~opmatult kahanevad suurused 9. Piirv¨a¨artusteoreemid 10. L~opmatult kahanevate suuruste v~ordlemine 11. Funktsiooni pidevuse m~oiste. Tarvilik ja piisav tingimus funktsiooni pidevuseks 12. Elementaarfunktsioonide pidevus 13. L~oigul pidevate funktsioonide omadused 14. Funktsiooni katkevuspunktid 15. Funktsiooni tuletise m~oiste, selle geomeetriline ja mehhaaniline t~olgendus 1 16. Pidevus ja diferentseeruvus 17. M~onede p~ohiliste elementaarfunktsioonide tuletised 18. Diferentseerimisreeglid 19. P¨o¨ordfunktsiooni tuletis 20. Liitfunktsiooni tuletis 21. Logaritmiline diferentseerimine 22. Ilmutamata funktsiooni tuletis 23. Parameetrilisel kujul esitatud funktsiooni tuletis 24. Funktsiooni diferentsiaal 25. K~orgemat j¨arku tuletised 26. Joone puutuja ja normaali v~orrandid 27. Rolle'i teoreem 28. Cauchy teoreem 29. Lagrange'i teoreem 30. L'Hospitali reegel 31
lim = lim = -1 ja lim = lim = +1. x0- x-0 x0- x x0+ x-0 x0+ x |x|-|0| Kuna need on erinevad, siis piirv¨a¨artust lim x-0 , mis m¨a¨arab funktsiooni x0 y = |x| tuletise punktis x = 0, ei eksisteeri. J¨arelikult on funktsiooni diferentseeruvus rangem tingimus kui pidevus. Pi- devate funktsioonide hulk on suurem kui diferentseeruvate funktsioonide hulk. Tuletame meelde, et funktsiooni pidevus t¨ahendab geoemeetriliselt joone (so funktsiooni graafiku) pidevust. Tekib k¨ usimus: milline on diferentseeruvuse geomeetriline sisu? Sellele saame vastuse §3.5. Tuletis kui funktsioon. Kui funktsioon f on diferentseeruv oma m¨a¨aramispiir- konna alamhulga D k~oigis punktides, siis ¨oeldakse, et see funktsioon on dife-
lim- = lim- = -1 ja lim+ = lim+ = +1. x0 x-0 x0 x x0 x-0 x0 x |x|-|0| Kuna need on erinevad, siis piirv¨a¨artust lim x-0 , mis m¨a¨arab funktsiooni x0 y = |x| tuletise punktis x = 0, ei eksisteeri. J¨arelikult on funktsiooni diferentseeruvus rangem tingimus kui pidevus. Pi- devate funktsioonide hulk on suurem kui diferentseeruvate funktsioonide hulk. Tuletame meelde, et funktsiooni pidevus t¨ahendab geoemeetriliselt joone (so funktsiooni graafiku) pidevust. Tekib k¨ usimus: milline on diferentseeruvuse geomeetriline sisu? Sellele saame vastuse §3.5. Tuletis kui funktsioon. Kui funktsioon f on diferentseeruv oma m¨a¨aramispiir- konna alamhulga D k~oigis punktides, siis ¨oeldakse, et see funktsioon on dife-
annaabi.ee 
