Matemaatiline analüüs terve konspekt (0)

YMM3731  Matemaatilne anal ¨u ¨us I
Gert   Tamberg
Matemaatikainstituut
Tallinna Tehnika ¨ulikool
[email protected]
http://www.ttu.ee/gert-tamberg
G. Tamberg (TT ¨
U)
YMM3731 Matemaatilne anal ¨u ¨us I
1 / 25
˜
Oppeaine sisu
˜
Oppeaine jaotub kahte  ossa :
1
Diferentsiaalarvutus ( loengud  1-9)
2
Integraalarvutus (loengud 10-16)
˜
Oppeaine l ˜opphinne pannakse v ¨alja viiepallis ¨usteemis. Tudengil on
v ˜oimalik saada oma hinne k ¨atte semestri jooksul  sooritatud
kontrollt ¨o ¨ode p ˜ohjal. Selleks tuleb kirjutada kolm teooria t ¨o ¨od
(kollokviumi) loengumaterjali kohta ja kaks ¨ulesannete t ¨o ¨od
harjutustundide materjali kohta. Eksmihindest poole moodustab
teooriat ¨o ¨ode hinne, teise poole ¨ulesannete t ¨o ¨ode hinne.
Esimene kontrollt ¨o ¨o harjutustunni materjali kohta toimub umbes 9.
˜oppen ¨adalal, teine 15. n ¨adalal. M ˜olema ¨ulesannete kontrollt ¨o ¨o eest on
v ˜oimalik saada max 100 punkti. Eksamieelduseks on m ˜olema
¨ulesannete kontrollt ¨o ¨o sooritamine v ¨ahemalt 51 punktile v ˜oi kahe t ¨o ¨o
punktide summa v ¨ahemalt 111.
G. Tamberg (TT ¨
U)
YMM3731 Matemaatilne anal ¨u ¨us I
2 / 25
Diferentsiaalarvutus I
Kasutatav s ¨umboolika. Funktsiooni m ˜oiste ja omadused.
Elementaarfunktsioonid.
Jada  piirv  ¨a ¨ artus . Arv e.
Funktsiooni piirv ¨a ¨artus. Joone as ¨umptoodid. L ˜opmata v ¨aikesed ja
l ˜opmata suured suurused. Funktsiooni pidevus. L ˜oigul  pidevate
funktsioonide omadused.
Funktsiooni  tuletis . Liitfunktsiooni tuletis. P ¨o ¨ordfunktsiooni tuletis.
Parameetri-liselt esitatud funktsiooni tuletis. Ilmutamata
funktsiooni tuletis. Logaritmiline diferentseerimine. P ˜ohiliste
elementaarfunktsioonide  tuletised .
K ˜orgemat j ¨arku tuletised. Leibnizi valem. Funktsiooni
diferentsiaalid . Funktsiooni kasvamine ja kahanemine.  Lokaalne
ekstreemum .
G. Tamberg (TT ¨
U)
YMM3731 Matemaatilne anal ¨u ¨us I
3 / 25
Diferentsiaalarvutus II
Keskv ¨a ¨artusteoreemid. L’ Hospitali  reegel.
Taylori valem pol ¨unoomi korral. Taylori valem. Taylori valemi
j ¨a ¨akliige.
Joone  puutuja  ja  normaal . Funktsiooni lokaalne ekstreemum.
Joone  kumerus  ja n ˜ogusus. K ¨a ¨anupunktid.
Funktsiooni  uurimine . Iteratsioonimeetod.
G. Tamberg (TT ¨
U)
YMM3731 Matemaatilne anal ¨u ¨us I
4 / 25
Integraalarvutus
M ¨a ¨aramata  integraal  ja selle omadused. M ¨a ¨aramata  integraalide
tabel. Muutujate vahetus m ¨a ¨aramata  integraalis .  Ositi
integreerimine  m ¨a ¨aramata integraalis.
Hulkliikme  teguriteks  lahutamine. Ratsionaalfunktsiooni
osamurdudeks lahutamine. Lihtsamate osamurdude
integreerimine.
Trigonomeetriliste ja h ¨uperboolsete funktsioonide integreerimine.
Algebraliste funktsioonide integreerimine. Mitte-elementaarsed
integraalid .
M ¨a ¨aratud integraal ja selle omadused.
M ¨a ¨aratud integraal ¨ulemise raja  funktsioonina .  Newton -Leibnizi
valem. Muutujate vahetus ja ositi integreerimine m ¨a ¨aratud
integraalis.
M ¨a ¨aratud integraali rakendused. P ¨aratud integraalid.
G. Tamberg (TT ¨
U)
YMM3731 Matemaatilne anal ¨u ¨us I
5 / 25
Kirjandus
Tammeraid I. Matemaatiline anal ¨u ¨us I. Tallinn, TT ¨
U kirjastus, 2003.
Piskunov N. S.  Diferentsiaal - ja integraalarvutus I. Tallinn, Valgus,
1981.
Kangro  G. Matemaatiline anal ¨u ¨us I. Tallinn, Valgus, 1978.
L ˜ohmus A., Petersen I., Roos H. K ˜orgema  matemaatika
¨ulesannete kogu. Tallinn, Valgus, 1982.
Reimers E. Matemaatilise anal ¨u ¨usi  praktikum  I. Tallinn, Valgus,
1988.
Ruustal E., J ˜ogi T., Tuutmaa V. Matemaatiline anal ¨u ¨us I.
Harjutused. Tallinn, TT ¨
U kirjastus, 1999.
G. Tamberg (TT ¨
U)
YMM3731 Matemaatilne anal ¨u ¨us I
6 / 25
Reaalarvud
Matemaatiline anal ¨u ¨us
Matemaatiline anal ¨u ¨us on matemaatika osa, milles funktsioone ja
nende ¨uldistusi uuritakse piirv ¨a ¨artuste meetodil.
Piirv ¨a ¨artuse m ˜oiste on tihedalt seotud l ˜opmata v ¨aikese suuruse
m ˜oistega. V ˜oib ka v ¨aita, et matemaatiline anal ¨u ¨us uurib funktsioone ja
nende ¨uldistusi l ˜opmata v ¨aikeste meetodil.
Guillaume  Franc¸ois  Antoine  de l’H ˆopital (l’ Hospital ), Sainte-Mesme’
markii, d’Entremont’i krahv (1661–1704)
Analyse  des Infiniment Petits  pour  l’Intelligence des Lignes Courbes
(1696).
G. Tamberg (TT ¨
U)
YMM3731 Matemaatilne anal ¨u ¨us I
7 / 25
Reaalarvud
Matemaatiline anal ¨u ¨us
Matemaatiline anal ¨u ¨us on matemaatika osa, milles funktsioone ja
nende ¨uldistusi uuritakse piirv ¨a ¨artuste meetodil.
Piirv ¨a ¨artuse m ˜oiste on tihedalt seotud l ˜opmata v ¨aikese suuruse
m ˜oistega. V ˜oib ka v ¨aita, et matemaatiline anal ¨u ¨us uurib funktsioone ja
nende ¨uldistusi l ˜opmata v ¨aikeste meetodil.
Guillaume Franc¸ois Antoine de l’H ˆopital (l’Hospital), Sainte-Mesme’
markii, d’Entremont’i krahv (1661–1704)
Analyse des Infiniment Petits pour l’Intelligence des Lignes Courbes
(1696).
G. Tamberg (TT ¨
U)
YMM3731 Matemaatilne anal ¨u ¨us I
7 / 25
Reaalarvud
Matemaatiline anal ¨u ¨us
Matemaatiline anal ¨u ¨us on matemaatika osa, milles funktsioone ja
nende ¨uldistusi uuritakse piirv ¨a ¨artuste meetodil.
Piirv ¨a ¨artuse m ˜oiste on tihedalt seotud l ˜opmata v ¨aikese suuruse
m ˜oistega. V ˜oib ka v ¨aita, et matemaatiline anal ¨u ¨us uurib funktsioone ja
nende ¨uldistusi l ˜opmata v ¨aikeste meetodil.
Guillaume Franc¸ois Antoine de l’H ˆopital (l’Hospital), Sainte-Mesme’
markii, d’Entremont’i krahv (1661–1704)
Analyse des Infiniment Petits pour l’Intelligence des Lignes Courbes
(1696).
G. Tamberg (TT ¨
U)
YMM3731 Matemaatilne anal ¨u ¨us I
7 / 25
Reaalarvud
Umbrused
Reaalarvu  absoluutv ¨a ¨artus
4
3
y
2
1
x , x
0
|x| =
0
-4
-2
2
4
x
−x, x  N
xn ∈ Uε(a)
∀n > N
xn ∈ Uε(b)
Saame vastuolu kuna vastavalt eeldusele Uε(a) ∩ Uε(b) = ∅.
G. Tamberg (TT ¨
U)
YMM3731 Matemaatilne anal ¨u ¨us I
10 / 24
Jada piirv ¨a ¨artus
T ˜okestatus
Definitsioon
Jada nimetatakse {xn} nimetatakse t ˜okestatuks, kui leidub selline arv
M > 0, et iga n ∈ N korral xn ∈ UM(0), st
∀n ∈ N(d(xn, 0)
M).
Definitsioon
Arvjada  nimetatakse {xn} nimetatakse ¨ulalt t ˜okestatuks, kui leidub arv
M, et iga n ∈ N korral xn
M.
Definitsioon
Arvjada nimetatakse {xn} nimetatakse alt t ˜okestatuks, kui leidub arv
M, et iga n ∈ N korral xn
M.
G. Tamberg (TT ¨
U)
YMM3731 Matemaatilne anal ¨u ¨us I
11 / 24
Jada piirv ¨a ¨artus
T ˜okestatus
Definitsioon
Jada nimetatakse {xn} nimetatakse t ˜okestatuks, kui leidub selline arv
M > 0, et iga n ∈ N korral xn ∈ UM(0), st
∀n ∈ N(d(xn, 0)
M).
Definitsioon
Arvjada nimetatakse {xn} nimetatakse ¨ulalt t ˜okestatuks, kui leidub arv
M, et iga n ∈ N korral xn
M.
Definitsioon
Arvjada nimetatakse {xn} nimetatakse alt t ˜okestatuks, kui leidub arv
M, et iga n ∈ N korral xn
M.
G. Tamberg (TT ¨
U)
YMM3731 Matemaatilne anal ¨u ¨us I
11 / 24
Jada piirv ¨a ¨artus
Lause
Konstantse jada piirv ¨a ¨artus on see konstant.
Lause
Iga  koonduv  jada on t ˜okestatud.
G. Tamberg (TT ¨
U)
YMM3731 Matemaatilne anal ¨u ¨us I
12 / 24
Jada piirv ¨a ¨artus
Lause
Kui lim xn = a ja lim yn = a ning xn  0, et iga x ∈ (a, a + δ) korral kehtib
v ˜orratus |f (x ) − b|  0, et
x →a
f (x ) = b + α(x )
∀x ∈ (a − δ, a + δ) \ {a},
kus α(x ) on piirprotsessis x → a l ˜opmata v ¨aike suurus.
G. Tamberg (TT ¨
U)
YMM3731 Matemaatilne anal ¨u ¨us I
7 / 25
L ˜opmata v ¨aikesed ja l ˜opmata suured suurused
Reaalmuutuja funktsioon
Lause
Kui piirprotsessis x → a α(x ) ∼ α1(x) ja β(x) ∼ β1(x), siis
α(x )
lim
= lim
1(x ) .
x →a β(x )
x →a β1(x )
Lause
Kui lim f (x ) = b, siis leidub δ > 0, et
x →a
f (x ) = b + α(x )
∀x ∈ (a − δ, a + δ) \ {a},
kus α(x ) on piirprotsessis x → a l ˜opmata v ¨aike suurus.
G. Tamberg (TT ¨
U)
YMM3731 Matemaatilne anal ¨u ¨us I
7 / 25
Funktsiooni pidevus
Funktsiooni pidevus
Definitsioon
Funktsiooni f (x ) nimetatakse pidevaks punktis a, kui on t ¨aidetud kolm
tingimust:
∃f (a);
∃ lim f (x);
x →a
lim f (x ) = f (a).
x →a
T ¨ahistatakse f (x ) ∈ C(a).
Definitsioon
Funktsiooni f (x ), mis ei ole pidev punktis a, nimetatakse katkevaks
punktis a ja punkti a nimetatakse funktsiooni f (x ) katkevuspunktiks.
G. Tamberg (TT ¨
U)
YMM3731 Matemaatilne anal ¨u ¨us I
8 / 25
Funktsiooni pidevus
Funktsiooni pidevus
Definitsioon
Funktsiooni f (x ) nimetatakse pidevaks punktis a, kui on t ¨aidetud kolm
tingimust:
∃f (a);
∃ lim f (x);
x →a
lim f (x ) = f (a).
x →a
T ¨ahistatakse f (x ) ∈ C(a).
Definitsioon
Funktsiooni f (x ), mis ei ole pidev punktis a, nimetatakse katkevaks
punktis a ja punkti a nimetatakse funktsiooni f (x ) katkevuspunktiks.
G. Tamberg (TT ¨
U)
YMM3731 Matemaatilne anal ¨u ¨us I
8 / 25
Funktsiooni pidevus
Funktsiooni pidevus
Definitsioon
Funktsiooni f (x ) nimetatakse pidevaks punktis a, kui on t ¨aidetud kolm
tingimust:
∃f (a);
∃ lim f (x);
x →a
lim f (x ) = f (a).
x →a
T ¨ahistatakse f (x ) ∈ C(a).
Definitsioon
Funktsiooni f (x ), mis ei ole pidev punktis a, nimetatakse katkevaks
punktis a ja punkti a nimetatakse funktsiooni f (x ) katkevuspunktiks.
G. Tamberg (TT ¨
U)
YMM3731 Matemaatilne anal ¨u ¨us I
8 / 25
Funktsiooni pidevus
Funktsiooni pidevus
Definitsioon
Funktsiooni f (x ) nimetatakse pidevaks punktis a, kui on t ¨aidetud kolm
tingimust:
∃f (a);
∃ lim f (x);
x →a
lim f (x ) = f (a).
x →a
T ¨ahistatakse f (x ) ∈ C(a).
Definitsioon
Funktsiooni f (x ), mis ei ole pidev punktis a, nimetatakse katkevaks
punktis a ja punkti a nimetatakse funktsiooni f (x ) katkevuspunktiks.
G. Tamberg (TT ¨
U)
YMM3731 Matemaatilne anal ¨u ¨us I
8 / 25
Funktsiooni pidevus
Funktsiooni pidevus
Definitsioon
Funktsiooni f (x ) nimetatakse pidevaks punktis a, kui on t ¨aidetud kolm
tingimust:
∃f (a);
∃ lim f (x);
x →a
lim f (x ) = f (a).
x →a
T ¨ahistatakse f (x ) ∈ C(a).
Definitsioon
Funktsiooni f (x ), mis ei ole pidev punktis a, nimetatakse katkevaks
punktis a ja punkti a nimetatakse funktsiooni f (x ) katkevuspunktiks.
G. Tamberg (TT ¨
U)
YMM3731 Matemaatilne anal ¨u ¨us I
8 / 25
Funktsiooni pidevus
Reaalmuutuja funktsioon
Katkevuspunktide liigid
Definitsioon
Funktsiooni f (x ) katkevuspunkti a nimetatakse esimest liiki
katkevuspunktiks, kui punktis a eksisteerivad funktsiooni f (x ) l ˜oplikud
¨uhepoolsed piirv ¨a ¨artused.
Definitsioon
Funktsiooni f (x ) katkevuspunkti a, mis ei ole esimest liiki, nimetatakse
teist liiki katkevuspunktiks.
G. Tamberg (TT ¨
U)
YMM3731 Matemaatilne anal ¨u ¨us I
9 / 25
Funktsiooni pidevus
Reaalmuutuja funktsioon
Katkevuspunktide liigid
Definitsioon
Funktsiooni f (x ) katkevuspunkti a nimetatakse esimest liiki
katkevuspunktiks, kui punktis a eksisteerivad funktsiooni f (x ) l ˜oplikud
¨uhepoolsed piirv ¨a ¨artused.
Definitsioon
Funktsiooni f (x ) katkevuspunkti a, mis ei ole esimest liiki, nimetatakse
teist liiki katkevuspunktiks.
G. Tamberg (TT ¨
U)
YMM3731 Matemaatilne anal ¨u ¨us I
9 / 25
Funktsiooni pidevus
Reaalmuutuja funktsioon
Argumendi muut ∆x = x − a
ja sellele vastav funktsiooni muut
∆y = f (x ) − f (a) = f (a + ∆x ) − f (a).
Lause
Funktsioon f (x ) on pidev punktis a  parajasti  siis, kui
lim ∆y = 0.
∆x →0
Lause
Funktsioon f (x ) on pidev punktis a parajasti siis, kui punkti a ¨umbruses
f (x ) on esitatav kujul
α(x )
f (x ) = f (a) + α(x ) = f (a) + o(1),
kus
lim
= 0 ⇔ α(x ) = o(1).
x →a
1
G. Tamberg (TT ¨
U)
YMM3731 Matemaatilne anal ¨u ¨us I
10 / 25
Funktsiooni pidevus
Reaalmuutuja funktsioon
Argumendi muut ∆x = x − a
ja sellele vastav funktsiooni muut
∆y = f (x ) − f (a) = f (a + ∆x ) − f (a).
Lause
Funktsioon f (x ) on pidev punktis a parajasti siis, kui
lim ∆y = 0.
∆x →0
Lause
Funktsioon f (x ) on pidev punktis a parajasti siis, kui punkti a ¨umbruses
f (x ) on esitatav kujul
α(x )
f (x ) = f (a) + α(x ) = f (a) + o(1),
kus
lim
= 0 ⇔ α(x ) = o(1).
x →a
1
G. Tamberg (TT ¨
U)
YMM3731 Matemaatilne anal ¨u ¨us I
10 / 25
Funktsiooni pidevus
Reaalmuutuja funktsioon
Argumendi muut ∆x = x − a
ja sellele vastav funktsiooni muut
∆y = f (x ) − f (a) = f (a + ∆x ) − f (a).
Lause
Funktsioon f (x ) on pidev punktis a parajasti siis, kui
lim ∆y = 0.
∆x →0
Lause
Funktsioon f (x ) on pidev punktis a parajasti siis, kui punkti a ¨umbruses
f (x ) on esitatav kujul
α(x )
f (x ) = f (a) + α(x ) = f (a) + o(1),
kus
lim
= 0 ⇔ α(x ) = o(1).
x →a
1
G. Tamberg (TT ¨
U)
YMM3731 Matemaatilne anal ¨u ¨us I
10 / 25
Funktsiooni pidevus
Reaalmuutuja funktsioon
Argumendi muut ∆x = x − a
ja sellele vastav funktsiooni muut
∆y = f (x ) − f (a) = f (a + ∆x ) − f (a).
Lause
Funktsioon f (x ) on pidev punktis a parajasti siis, kui
lim ∆y = 0.
∆x →0
Lause
Funktsioon f (x ) on pidev punktis a parajasti siis, kui punkti a ¨umbruses
f (x ) on esitatav kujul
α(x )
f (x ) = f (a) + α(x ) = f (a) + o(1),
kus
lim
= 0 ⇔ α(x ) = o(1).
x →a
1
G. Tamberg (TT ¨
U)
YMM3731 Matemaatilne anal ¨u ¨us I
10 / 25
Funktsiooni tuletis
Reaalmuutuja funktsioon
Funktsiooni tuletis
Definitsioon (Tuletis)
Funktsiooni y = f (x ) tuletiseks kohal x nimetatakse funktsiooni
y = f (x ) muudu ∆y ja argumendi muudu ∆x suhte piirv ¨a ¨artust, kui
argumendi muut l ¨aheneb  nullile .
∆y
f (x ) − f (a)
f (a) := lim
= lim
∆x →0 ∆x
x →a
x − a
T ¨ahistatakse
df
f (a),
(a),
y (a)
dx
Definitsioon ( Diferentseeruvus )
Kui funktsioon f omab punktis a l ˜oplikku tuletist, siis ¨oeldakse et ta on
selles punktis  diferentseeruv . T ¨ahistame f ∈ C1(a) v ˜oi f ∈ D(a).
Tuletise arvutamist nimetatakse diferentseerimiseks.
G. Tamberg (TT ¨
U)
YMM3731 Matemaatilne anal ¨u ¨us I
11 / 25
Funktsiooni tuletis
Reaalmuutuja funktsioon
Funktsiooni tuletis
Definitsioon (Tuletis)
Funktsiooni y = f (x ) tuletiseks kohal x nimetatakse funktsiooni
y = f (x ) muudu ∆y ja argumendi muudu ∆x suhte piirv ¨a ¨artust, kui
argumendi muut l ¨aheneb nullile.
∆y
f (x ) − f (a)
f (a) := lim
= lim
∆x →0 ∆x
x →a
x − a
T ¨ahistatakse
df
f (a),
(a),
y (a)
dx
Definitsioon (Diferentseeruvus)
Kui funktsioon f omab punktis a l ˜oplikku tuletist, siis ¨oeldakse et ta on
selles punktis diferentseeruv. T ¨ahistame f ∈ C1(a) v ˜oi f ∈ D(a).
Tuletise arvutamist nimetatakse diferentseerimiseks.
G. Tamberg (TT ¨
U)
YMM3731 Matemaatilne anal ¨u ¨us I
11 / 25
Funktsiooni tuletis
Reaalmuutuja funktsioon
Funktsiooni tuletis
Definitsioon (Tuletis)
Funktsiooni y = f (x ) tuletiseks kohal x nimetatakse funktsiooni
y = f (x ) muudu ∆y ja argumendi muudu ∆x suhte piirv ¨a ¨artust, kui
argumendi muut l ¨aheneb nullile.
∆y
f (x ) − f (a)
f (a) := lim
= lim
∆x →0 ∆x
x →a
x − a
T ¨ahistatakse
df
f (a),
(a),
y (a)
dx
Definitsioon (Diferentseeruvus)
Kui funktsioon f omab punktis a l ˜oplikku tuletist, siis ¨oeldakse et ta on
selles punktis diferentseeruv. T ¨ahistame f ∈ C1(a) v ˜oi f ∈ D(a).
Tuletise arvutamist nimetatakse diferentseerimiseks.
G. Tamberg (TT ¨
U)
YMM3731 Matemaatilne anal ¨u ¨us I
11 / 25
Funktsiooni tuletis
Reaalmuutuja funktsioon
Vasak- ja  parempoolsed  tuletised
Definitsioon
Funktsiooni y = f (x ) vasakpoolseks tuletiseks kohal x nimetatakse
suurust
def
∆y
f (x −) =
lim
∆x →0− ∆x
Definitsioon
Funktsiooni y = f (x ) parempoolseks tuletiseks kohal x nimetatakse
suurust
def
∆y
f (x +) =
lim
∆x →0+ ∆x
G. Tamberg (TT ¨
U)
YMM3731 Matemaatilne anal ¨u ¨us I
12 / 25
Funktsiooni tuletis
Reaalmuutuja funktsioon
Diferentseeruvuse ja  pidevuse  seos
Lause
Funktsioon f (x ) on diferentseeruv punktis a parajasti siis, kui punkti a
¨umbruses f (x ) on esitatav kujul
o(x − a)
f (x ) = f (a) + f (a)(x − a) + o(x − a),
kus
lim
= 0.
x →a
x − a
Lause
Funktsiooni f (x ) diferentseeruvusest punktis x j ¨areldub selle
funktsiooni pidevus punktis x , st
f (x ) ∈ D(x ) ⇒ f (x ) ∈ C(x ).
G. Tamberg (TT ¨
U)
YMM3731 Matemaatilne anal ¨u ¨us I
13 / 25
Funktsiooni tuletis
Reaalmuutuja funktsioon
Lause
Kui funktsioonid f (x ) ja g(x ) on diferentseeruvad punktis x ja
c ∈ R on konstant, siis selles punktis on diferentseeruvad ka
funktsioonid cf (x ), f (x ) + g(x ), f (x )g(x ) ja t ¨aiendaval  eeldusel
g(x ) = 0 ka f (x )/g(x ),  kusjuures
(cf (x )) = cf (x ),
(f (x ) + g(x )) = f (x ) + g (x ),
(f (x )g(x )) = f (x )g(x ) + f (x )g (x ),
f (x )
f (x )g(x ) − f (x )g (x )
g(x )
g2(x )
G. Tamberg (TT ¨
U)
YMM3731 Matemaatilne anal ¨u ¨us I
14 / 25
Funktsiooni tuletis
Reaalmuutuja funktsioon
Liitfunktsiooni tuletis
Lause
Kui funktsioonidel f (x ) ja g(u) eksisteerivad l ˜oplikud tuletised vastavalt
kohtadel x ja f (x ), siis liitfunktsioonil g(f (x )) on l ˜oplik tuletis kohal x ,
kusjuures
dg(f (x ))
dg(f (x ))
df (x )
= g (f (x )) · f (x ).
dx
df (x )
dx
T ˜oestus.
T ¨ahistame u = f (x ). Siis y = g(u) ning
dy
∆y
∆y
∆u
∆y
∆u
y =
= lim
= lim
= lim
· lim
dx
∆x →0 ∆x
∆x →0 ∆u
∆x
∆x →0 ∆u
∆x →0 ∆x
diferentseeruvusest
∆y
∆u
dy du
= lim
· lim
= g (f (x ))·f (x ).
j ¨areldub pidevus
∆u→0 ∆u ∆x→0 ∆x
du dx
G. Tamberg (TT ¨
U)
YMM3731 Matemaatilne anal ¨u ¨us I
15 / 25
Funktsiooni tuletis
Reaalmuutuja funktsioon
P ¨o ¨ordfunktsiooni tuletis
Lause
Kui l ˜oigul [a, b] pideval ja  rangelt  monotoonsel funktsioonil y = f (x ) on
kohal x nullist erinev tuletis, siis p ¨o ¨ordfunktsioonil x = f −1(y ) leidub
tuletis kohal f (x ), kusjuures
df −1(y )
1
dy
f (x )
ehk
dx
1
dy
dy
dx
G. Tamberg (TT ¨
U)
YMM3731 Matemaatilne anal ¨u ¨us I
16 / 25
Funktsiooni tuletis
Reaalmuutuja funktsioon
Parameetrilselt esitatud funktsiooni tuletis
Lause
Kui funktsioon y = f (x ) on esitatud parameetrilisel kujul
x = ϕ(t)
(α ≤ t ≤ β) ,
y = ψ(t)
kusjuures funktsioonid ϕ(t) ja ψ(t) on diferentseeruvad vahemikus
(α, β) ja ϕ(t) on l ˜oigul [α, β] rangelt  monotoonne  ning
ϕ(t) = 0 (t ∈ (α, β)), siis
dy
dy
y
ψ(t)
y =
= dt = . = .
(α  0
leidub δ(ε) > 0, et iga x korral, mis t ¨aidab tingimust 0  0, et iga x ∈ (a − δ(ε), a) korral kehtib
v ˜orratus |f (x ) − b|  0 leidub δ(ε) > 0, et iga x ∈ (a, a + δ(ε)) korral
kehtib v ˜orratus |f (x ) − b|