Taandamine-murru lugeja ja nimetaja jagamine ühe ja sama nullist erineva avaldisega * tegurdatakse murru lugeja ja nimetaja; * taandatakse arvulised tegurid * taandatakse muutujat sisaldavad võrdsed tegurid. Näide: 3. Korrutamine ja jagamine Korrutamine- algebraliste murdude korrutis võrdub murruga, mille lugejaks on antud murdude lugejate korrutis ja nimetajaks murdude nimetajate korrutis. 1. Tegurdamine 2. Viime ühisele murrujoonele 3. Taandame lugejas ja nimetajas olevad ühesugused liikmed(taandada saab tervet sulgu) Jagamine algebraliste murdude jagamiseks korrutatakse jagatav murruga, mis on saadud jagajast selle lugeja ja nimetaja vahetamise teel. 1. Tegurdamine 2. Jagajas vahetame nimetaja ja lugeja pooled 3. Viime ühisele murrujoonele 4.Taandame lugejas ja nimetajas olevad ühesugused liikmed Näide: 4. Algebraliste murdude astendamine -
C Ioonmassi ja iooni oksüdatsiooniastme vahe 34 Mis on gramm-evivalent-protsent? A Aniooni (või katiooni) g-ekvivalendi protsent vastavate ioonide B Katiooni g-ekvivalendi protsent anioonide suummast C Aniooni g-ekvivalendi protsent katioonide suummast 35 Kurlovi valem A Murd, mille lugejas on näidaud valdavad anioonid ja nimetajas B Murd, mille lugejas on näidaud valdavad katioonid ja nimetajas C Seos puurkaevu toodangu ja veetaseme alanduse vahel 36 Darcy seadus A R=2s B Q=kFI C v=kFI R =2s kH 37 Hüdrauliline gradient A I= H
2) ( 3) 4) milles a, b ja c on antud arvud ( ) ja x on tundmatu. MURDVÕRRAND JA VÕRRATUS Võrrandit, milles tundmatu asub ka murru nimetajas, nimetatakse murdvõrrandiks. Murdvõrrandi lahendamisel: 1) viime võrrandi kõik liikmed ühele poole võrdusmärki 2) viime kõik murud ühisele nimetajale 3) kasutame murru nulliga võrdumise tingimust: murd = 0 kui tema lugeja = 0 ja nimetaja ≠ 0 Murdvõrratus on võrratus, mis sisaldab muutujat murru nimetajas. JUURVÕRRAND JA VÕRRATUS Juurvõrrand on võrrand, milles muutuja esineb juuritavas. Näiteks ja on juurvõrrandid.
(7:3=2 j 1) ehk kaks tervet ja üks murdosa. 2. Selle (7/3) vastuseks on 2 1/3 3 Kuidas ma sellise vastuse sain? Esiteks ma jagasin 7 kolmega siis sain 2 jääk oli 1. Teiseks kirjutasin täisosa ära ja siis kirjutasin murd osa. Kolmandaks sain ma murd osa nii ,et ma kirjutasin jäägi (mis jäi 7:3 alles) lugeja kohta siis kirjutasin nimetajasse selle millega ma jagasin(7 ehk jagatav). Tagasi teisendamine. Algne näide 6 2/6=38 1. vaata mis arv on nimetajas. Näiteks seal on 6. siis korruta kuus täis osaga(6*6) ning liida sellele lugeja(6*6+2). Siis saad vastuse. Ma toon 3 näidet 2 3/6=15=6*2+3 3 6/7=27=7*3+6 100 8/9=908=9*100+8
ruumalaühiku massi. Ja lahustunud aine massi leidmiseks saab kahest eelmisest valemist tuletada seose: 2) Molaarne kontsentratsioon (CM) - Molaarne kontsentratsioon näitab lahustunud aine moolide arvu ühes kuupdetsimeetris (ühes liitris) lahuses 2 Lahustunud aine massi saab leida: 3) Molaalsus (Cm) Molaalsus näitab lahustunud aine moolide arvu 1 kilogrammis lahustis: NB! Murru nimetajas lahusti (vee) mass kilogrammides. 4) Moolimurd ( Moolimurd näitab lahustunud aine moolide arvu suhet lahusti ja kõikide lahustunud ainete moolide arvu summasse. Kui lahus koosneb lahustist ja vaid ühest lahustunud ainest, siis Mitut lahustunud ainet sisaldava lahuse korral tuleb murru nimetajas liita nende kõikide moolide arvud 5) Kontsentratsiooni määramine tiitrimisega HCl + NaOH NaCl + H2O
2 x -1 2) - ; = x-3 4x - 4 x - x 2 2 x a-x 1 2 x + a 2a + x 3) 2 - + . a + ax + x 2 a- x a x 3. Kaota irratsionaalsus murru nimetajas. 3 4 x 1) 2) 3 3) 5 2 x 3 5x 9 6 15
Murdvõrrandi lahendamine 9. klass Mis on murdvõrrand · Murdvõrrandiks nimetatakse võrrandit, mis sisaldab tundmatut murru nimetajas. 3 8 on murdvõrrand x4 x3 6 ei ole murdvõrrand 5 Murdvõrrandi lahendamine 1 · Viime kõik võrrandi liikmed võrrandi vasakule poolele ning anname siis sellele algebralise murru kuju: A( x) 0 B( x) · Kasutame murru nulliga võrdumise tunnust: murru väärtus võrdub 0-ga, kui tema lugeja võrdub 0-ga A( x) A( x) 0 0
ühine nimetaja üksikutele tähtedele a 3 ja a on a 3 b ja b on b ühine nimetaja sulgudele (a + b) ja (a + b) 2 on (a + b ) 2 (a – b) ja (b – a) leidmiseks võta neist ühes miinus sulu ette -(-b + a) = -(a –b), ühine on siis (a – b) ja miinusmärk läheb murru ette, kus muudab seal oleva märgi vastupidiseks 3) leia laiendajad, selleks jaga ühine nimetaja vana nimetajaga, mis on tegurdatud ehk laiendaja on see, mida tegurdatud nimetajas ei ole näit: ühine 2(a + b)(a – b) ja vana(a – b), laiendaja on 2(a + b) 4) korruta lugeja ja laiendaja ehk siis lugejas ava sulud 5) koonda lugejas sarnased liikmed (liida või lahuta; -2a -3a = -5a, -2a +3a= a, 2a -3a= -a) 6) tegurda lugejas 7) taanda Punktid 5) – 7) VÕIMALUSEL MURDVÕRRANDI LAHENDAMINE kõik vasakule poole = 0 leia ühine nimetaja leia laiendajad korruta laiendaja lugejaga
ühine nimetaja üksikutele tähtedele a 3 ja a on a 3 b ja b on b ühine nimetaja sulgudele (a + b) ja (a + b) 2 on (a + b ) 2 (a b) ja (b a) leidmiseks võta neist ühes miinus sulu ette -(-b + a) = -(a b), ühine on siis (a b) ja miinusmärk läheb murru ette, kus muudab seal oleva märgi vastupidiseks 3) leia laiendajad, selleks jaga ühine nimetaja vana nimetajaga, mis on tegurdatud ehk laiendaja on see, mida tegurdatud nimetajas ei ole näit: ühine 2(a + b)(a b) ja vana(a b), laiendaja on 2(a + b) 4) korruta lugeja ja laiendaja ehk siis lugejas ava sulud 5) koonda lugejas sarnased liikmed (liida või lahuta; -2a -3a = -5a, -2a +3a= a, 2a -3a= -a) 6) tegurda lugejas 7) taanda Punktid 5) 7) VÕIMALUSEL MURDVÕRRANDI LAHENDAMINE kõik vasakule poole = 0 leia ühine nimetaja leia laiendajad korruta laiendaja lugejaga koonda ja korrasta lugejas
pikkusesse st mitu korda on tegelikke vahemaid kaardil vähendatud * Mida väiksem on kaardi mõõtkava, seda suurem maaala kaardile mahub Mõõtkavade liigid * Arvmõõtkava * Joonmõõtkava * Põikjooneline mõõtkava Arvmõõtkava Plaanil oleva joone pikkuse ja vastava maastikujoone horisontaaljoone pikkuse suhe. See on kõige sagedamini esinev mõõtkava. Arvmõõtkava väljendatakse murruna, mille lugejas on arv 1 ja nimetajas on arv, mis näitab mitu korda on joone horisontaalprojektsiooni vähendatud paberile kandmisel. Mida suurem arv on nimetajas, seda väiksemaks loetakse mõõtkava ning seda suurem maa-ala mahub plaanile.
Kontroll: leiame tuletise (x 2 sin x + 2 x cos x - 2 sin x + C ) = 2 x sin x + x 2 cos x + + 2 cos x - 2 x sin x - 2 cos x = x 2 cos x MURDRATSIONAALSETE AVALDISTE LAHUTAMINE OSAMURDUDEKS Ratsionaalmurruks nimetatakse kahe polünoomi jagatist: P ( x ) a0 + a1 x + + an x n = Q( x ) b0 + b1 x + + bm x m Vaatleme juhtu, kus lugejas asuva polünoomi aste on madalam, kui nimetajas asuva oma, s.t. n< m. Sellise murru saab lahutada teatud arvu lihtsamate, nn osamurdude summaks. Olgu Q( x ) = 0 lahendid erinevad ja reaalsed Q( x ) = c0 ( x - c1 )( x - c2 ) ( x - cm ) , siis sellise Q ( x ) puhul P( x ) A1 A2 A = + + m = Q( x ) x - c1 x - c2 x - cm A1 ( x - c2 ) ( x - cm ) + A2 ( x - c1 )( x - c3 ) ( x - cm ) + + Am ( x - c1 ) ( x - cm -1 ) ( x - c1 )( x - c2 ) ( x - cm )
Murdvõrrandid Võrrandid, mis sisaldavad tundmatut murru nimetajas, on murdvõrrandid. Murdvõrrandite lahendamiseks peab kõigepealt oskama lihtsustada murde sisaldavaid avaldisi. 2x - 3 = 0. Näide 1. Lahendame võrrandi x+2 Murru väärtus on null, kui lugeja on null ja nimetaja nullist erinev, seega peavad üheaegselt olema täidetud tingimused 2x 3 = 0, millest x = 1,5 ning x + 2 = 0, ehk x = 2.
n m n a m Juure astendamisel astendatakse juuritav ja tulemus juuritakse antud juurijaga. m Ratsionaalarvulise (murrulise) astendajaga aste: a n n a m , kui a 0, m Z , n N , n 2. Murru nimetaja (lugeja) vabastamine irratsionaalsusest tähendab seda, et antud murd teisendatakse kujule, kus murru nimetajas (lugejas) ei esine enam juuri (ega ka murrulist astet). 3 Irratsionaalavaldisi (juuravaldisi), mis erinevad üksteisest ainult juuremärgi ees olevate kordajate poolest (või ei erine üldse), nimetatakse sarnasteks. Summat, mille liidetavate hulgas on sarnaseid juuravaldisi, saab koondada. Võrrandid ja võrratused Võrduse moodustavad kaks avaldist, mis on ühendatud võrdusmärgiga.
n m n a m Juure astendamisel astendatakse juuritav ja tulemus juuritakse antud juurijaga. m Ratsionaalarvulise (murrulise) astendajaga aste: a n n a m , kui a 0, m Z , n N , n 2. Murru nimetaja (lugeja) vabastamine irratsionaalsusest tähendab seda, et antud murd teisendatakse kujule, kus murru nimetajas (lugejas) ei esine enam juuri (ega ka murrulist astet). 3 Irratsionaalavaldisi (juuravaldisi), mis erinevad üksteisest ainult juuremärgi ees olevate kordajate poolest (või ei erine üldse), nimetatakse sarnasteks. Summat, mille liidetavate hulgas on sarnaseid juuravaldisi, saab koondada. Võrrandid ja võrratused Võrduse moodustavad kaks avaldist, mis on ühendatud võrdusmärgiga.
Kordamisteema Algebraliste avaldiste lihtsustamine Lihtsustamiseks kasutatakse: 1) Ühise teguri sulgude ette toomist. Kui on vaja muuta avaldises märke, tuleb sulgude ette tuua miinusmärk. 2) Ühise nimetaja leidmist: kui kõigi liikmete nimetajad on lahti kirjutatud, siis ühiseks nimetajaks valitakse kõige suurem nimetaja ja lisatakse teistest nimetajatest see, mida valitud nimetajas pole. Kui on tegemist astmetega, tuleb ühisesse nimetajasse suurima astendajaga tegur. 3) Abivalemeid: ( a + b )( a - b ) = a 2 - b 2 ( a + b ) 2 = a 2 + 2ab + b 2 ( a - b ) 2 = a 2 - 2ab + b 2 a 3 + b 3 = ( a + b ) ( a 2 - ab + b 2 ) a 3 - b 3 = ( a - b ) ( a 2 + ab + b 2 ) 4) Ruutkolmliikme lahutamist teguriteks:
Kasutada võib ka 100-ga korrutamist, mis näitab juhtude arvu 100 inimese kohta). Näidisülesanne: Eestis elas seisuga 01.01.2000.a 1,5 miljonit elanikku, kellest 33 000 põdes vähki. PR = 33 000/1 500 000 = 0,022 x 100 = 2,2% Vastus: Vähi levimusmäär on 01.01.2000.a seisuga 2,2% ehk 2,2 juhtu 100 inimese kohta. Sündimus Sündimuskordaja ehk sündimuskoefitsent on näitaja, mille lugejas on elussündide arv rahvastikus mingil ajaperioodil ning nimetajas keskmine rahvaarv samal ajaperioodil: Sündimuskordaja = (Sündide arv aastas/ Antud aasta rahvaarv) x 1000 Näidisülesanne: Aastal 2003 toimus Eestis 13 036 elussündi ja selle aasta rahvastiku keskmine arv oli 1 353 557. Leia sündimuskordaja. 13 036/1 353 557 = 0,0096 x 1000 = 9,6 Vastus: Sündimuskordaja oli 2003. aastal 9,6. Suremus Suremuse üldkordaja leidmiseks jagatakse kalendriaasta vältel ilmnenud surmajuhtude arv
Saime tagasi esialgse integraali aga töö ei ole olnud sugugi asjatu, avaldame I = e x cos xdx I = e x ( sin x + cos x ) - I 2 I = e x ( sin x + cos x ) 1 I = e x ( sin x + cos x ) + C 2 MURDRATSIONAALSETE AVALDISTE LAHUTAMINE OSAMURDUDEKS Ratsionaalmurruks nimetatakse kahe polünoomi jagatist: P ( x ) a0 + a1 x + + an x n = Q( x ) b0 + b1 x + + bm x m Vaatleme juhtu, kus lugejas asuva polünoomi aste on madalam, kui nimetajas asuva oma, s.t. n< m. Sellise murru saab lahutada teatud arvu lihtsamate, nn osamurdude summaks. Olgu Q( x ) = 0 lahendid erinevad ja reaalsed Q( x ) = c0 ( x - c1 )( x - c2 ) ( x - cm ) , siis sellise Q ( x ) puhul P( x ) A1 A2 A = + + m = Q( x ) x - c1 x - c2 x - cm A1 ( x - c2 ) ( x - cm ) + A2 ( x - c1 )( x - c3 ) ( x - cm ) + + Am ( x - c1 ) ( x - cm -1 ) ( x - c1 )( x - c2 ) ( x - cm )
Leida funktsiooni y = log 3 ( - x ) + määramispiirkond. x-7 Lahendus. See funktsioon on määratud, kui esimeses liidetavas olev logaritmitav on positiivne ehk siis - x > 0 või kui korrutame seda võrratust ( -1) -ga ja muudame võrratuse märki: -x > 0 ( -1) , siis saame x<0. Teine liidetav on murd, murru nimetajas oleva ruutjuure alune avaldis peab olema rangelt positiivne (ei saa olla võrdne nulliga): x-7 > 0 x>7. Ülesandes antud funktsiooni y määramispiirkond on mõlema liidetava määramispiirkonna ühisosa: Jooniselt näeme, et ühisosa ei olegi, seega ülesandes antud avaldis ei määra funktsiooni.
(kujutamist vaata õpik lk. 8) 9. Milline on kiiruste liitumise valem. Millised järeldused saab sellest teha? (Kui üks kiirustest on valguse kiirus, kui kiirused on väikesed) vk=(u+v)/1+(uv/c2) Kui keha liigub ühes süsteemis kiirusega c(valguse kiirus), siis liigub ta ka igas teises süsteemis kiirusega c. Kui nii u kui ka v (või vähemalt üks neist) on väiksed võrreldes c-ga, siis võime nimetajas teise liikme ära jätta ja saamegi klassikalise valemi. 10. Milline on sama keha mass erinevate vaatlejate poolt mõõdetuna. Kuidas seda seletada lähtudes massi mõistest? Erinevalt klassikalisest mehaanikast ei ole Einsteini relatiivsusteoorias keha mass absoluutne suurus, vaid sõltub keha liikumisest. Tavalistes olukordades pole massi relatiivsus eriti tähelepandav, kuid väga suurte kiirustega liikuvate kehade korral on see väga ilmekas
Ühiseks nimetajaks valitakse korrutis, mille tegureiks on üksikute murdude nimetajate kõigi erinevate tegurite kõrgeimad astmed. 2.2 Irratsionaalavaldised e juuravaldised Muutujatel on avaldistes vaid sellised väärtused, mille korral kõik juuritavad ja vastavad juured on mittenegatiivsed 2.3 Irratsionaalavaldiste tegurdamine 2.4 Murru nimetaja vabastamine irratsionaalsusest e juurte kaotamine murru nimetajas 2.5 Irratsionaalavaldiste lihtsustamine Toimime samamoodi nagu ratsionaalavaldiste puhul sooritame kõik avaldises nõutud tehted, arvestades tehete järjekorda, ning anname tulemusele algebralise murru, võimalusel täisavaldise kuju. Murru nimetaja vabastatakse irratsionaalsusest. Võrrandid ja võrrandisüsteemid 3.1 Võrdus, samasus, võrrand. Lineaar- ja ruutvõrrandid · Kui kaks avaldist ühendatakse võrdusmärgiga, saadakse võrdus.
puhul 1:100 000 ja 1:200 000. 3. Suurteks mõõtkavadeks loetakse topograafiliste plaanide puhul 1:1000 ja 1:500, kaartide puhul 1:10000, 1:25 000 ja 1:50 000. Mõõtkava liigid: 1. Arvmõõtkava plaanil oleva joone pikkuse ja vastava maastikujoone horisontaaljoone pikkuse suhe. See on kõige sagedamini esinev mõõtkava. Arvmõõtkava väljendatakse murruna, mille lugejas on arv 1 ja nimetajas on arv, mis näitab mitu korda on joone horisontaalprojektsiooni vähendatud paberile kandmisel. 1 Nt. 1:5000 või 5000 Mida suurem arv on nimetajas, seda väiksemaks loetakse mõõtkava ning seda rohkem detaile on kujutatud plaanil. Arvmõõtkava suhte mõlemad pooled on üheühikulised.
reziimiga (toodang ja veetaseme alandused ajas ei muutu). Ameeriklane Theis avastas, et mittestatsionaarsel reziimil S= 2 Q km ln 1, 5 at r ning on võimalik lahti saada õnnetust mõjuraadiusest R mis on võrdne R =1,5 at , km kus t on pumpamise kestus ja a = µ , siin murru nimetajas on juba tuttav veeand. Igasugused põhjavee rehkendused on seotud praktiliste vajadustega milleks on igasugune veetarbimine: · Joogiveeks · Tehniliseks veeks tööstuses · Maavarade kaevandamine · Maade kuivendamine · Maade niisutamine · Hüdrotehniline ehitus · Põhjavee kaitse. Põhjavee kaitstus ennekõike reostuse eest sõltub sellest kui pika teekonna peab reoaine läbima enne kui ta põhjavette jõuab
läbib neid kohti x - telge lõigates. -2 0 1 x Näide 3 Antud võrratuse lahendamine tähendab funktsiooni y = x2 (x + 2)(x - 1)3 negatiivsuspiirkonna leidmist. -2 0 1 x Antud juhul on negatiivsuspiirkonnaks, aga seega ka vastava võrratuse lahendiks hulk X (2;0) (0;1) Murdvõrratus Võrratust, mis sisaldab tundmatut murru nimetajas, nimetatakse murdvõrratuseks. Murdvõrratus esitub kujul: f ( x) 0 (või 0) g ( x) f ( x) 0 (või 0) g ( x) Murdvõrratus f ( x) Vaatame võrratust kujul 0 g ( x) selline võrratus on samaväärne seostega f ( x) g ( x) 0 g ( x) 0
= e-2 . x0 N¨ aide 8. Leida piirv¨aa¨rtus lim x2 - x - x2 + x . x- Lahendus. Piiril x - tekib m¨a¨aramatus - . M¨a¨aramatuse k~orvaldamiseks tekitame murru, kus irratsionaalsus on nimetajas: x 2-x- x 2+x x 2-x+ x2 + x lim x2 - x - x2 + x = lim = x- x- x2 - x + x 2 + x -2x -2x = lim = lim
Ristkoordinaatide väärtused võivad olla nii + kui märgiga Mis on mõõtkava, arv-, põik-, selgitav ja joonmõõtkava? Mõõtkava näitab seda mitu korda on tegelikke vahemaid kaardil vähendatud. Mida väiksem on kaardi mõõtkava, seda suurem maa-ala kaardile mahub. Arvmõõtkava plaanil oleva joone pikkuse ja vastava maastikujoone horisontaaljoone pikkuse suhe. See on kõige sagedamini esinev mõõtkava. Arvmõõtkava väljendatakse murruna, mille lugejas on arv 1 ja nimetajas on arv, mis näitab mitu korda on joone horisontaalprojektsiooni vähendatud paberile kandmisel. Mida suurem arv on nimetajas, seda väiksemaks loetakse mõõtkava ning seda rohkem detaile on kujutatud plaanil. Nt. 1:5000 või 1/5000 Joonmõõtkava on lihtsaim graafiline mõõtkava. See on tehtud joonisena, mis oma olemuselt on lihtne joonlõik, millele on märgitud jaotis looduses vastavate pikkustena. Joonmõõtkava konstrueerimiseks on vaja teada arvmõõtkava
ajavahemike järel soojuslevi suund. Tüüpiliseks regeneratiivseks seadmeks on rootortagasti. Rekuperatiivses, milledeks on näiteks plaat või vahesoojuskandjaga tagasti, soojuslevi suund ei muutu, va. suvel jahutusreziimile ülemikul. Soojustagasti hetkeline ja aastane kasutegur Soojustagasti hetkeline kasutegur võrdub suhtega, mille lugejas on sissepuhke õhu mingi parameetri muut soojustagstis (SPpt-SPet) ja nimetajas sama parameetri vahe väljatõmbe õhus enne tagastit ja sissepuhke õhus enne tagastit (VTet-SPet). SPpt sissepuhke õhu parameeter peale tagastit SPet sissepuhke õhu parameeter enne tagastit VTet väljatõmbe õhu parameeter enne tagastit Maksimaalse energiasäästu saavutamiseks on üldjuhul sissepuhke õhu parameeter enne soojustagastit võrdne välisõhu parameetriga (SPet=Välisõhk). Kõige enam levinud soojustagastites toimub ilmse soojuse vahetus ja sellisel
= 0 = 0 = = = = F E E aines . F0 B0 B vaakumis . Suurus näitab, kui mitu korda aine nõrgendab Suurus µ näitab, kui mitu korda aine tugevdab elektrivälja. magnetvälja. Väljatugevuse avaldis sisaldab suurust nimetajas: E0 E = Magnetinduktsiooni avaldis sisaldab suurust µ lugejas: B = µ B0 Kui keha tekitab aines elektrivälja tugevusega E, siis Kui vooluga juhe tekitab aines magnetvälja induktsiooniga
N- tüüpi. Aktseptorlisand: võtab el. omale ära. P-tüüpi. Magn. induktsiooni vektori B suund määratakse kruvireegliga: kui kruvi kulgeva liikumise suund ühtib voolu suunaga juhis, siis B-magn.indukts (T), M- kruvipea pöörleva liikumise suund ühtib induktsiooni suunaga. jõumoment (Nm), S-raami pindala. Keerdude arv nimetajas Magnetvoog on suurus, mis iseloomust. Magn. välja läbi mingi =B*S*cos (Wb) pinna. Magn.välja asetatud vooluga juhe hakkab liikuma Amperei jõu F=B*I*l*sin(*n) F-amperei jõud, l- mõjul. juhtme pikkus, -nurk B ja voolu vahel. Vasaku käe reegel: Kui asetada vasak käsi nii, et väljasirutatud sõrmed näitavad voolusuunda ja B suundub peopessa, siis kõrvalesirutatud pöial näitab Ampere'i jõu suunda.
Murd- ja juurvõrrand © T. Lepikult, 2010 Murdvõrrandi definitsioon Murdvõrrandiks nimetatakse võrrandit, milles muutuja esineb murru nimetajas. Murdvõrrandit saab samasusteisenduste abil teisendada kujule f ( x) 0 g ( x) Murdvõrrandi lahendamiseks lahendatakse võrrand f ( x) 0, mis on esialgse võrrandi järeldus (lahendite arv võib olla kasvanud). Et muutuja x lubatavad väärtused on kitsendatud tingimusega g ( x) 0, siis tuleb lahendamisel alati kontrollida, kas saadud muutuja väärtused on
I# + I$ = 1 I# = 1 - I$ 3 + 21 3 - 21 I# + I$ = 3 2 2 3 + 21 3 - 21 (1 - I$ ) + I$ = 3 2 2 3 + 21 3I$ + 21I$ 3I$ - 21 I$ - + =3 2 2 2 3 + 21 - 3I$ - 21I$ + 3I$ - 21 I$ =3 2 3 + 21 - 2 21I$ = 6 2 21I$ = 21 - 3 21 - 3 I$ = 2 21 Kaotan irratsionaalsuse nimetajas: 21 - 3 21 21 - 3 21 7 - 21 I$ = = = 2 21 21 42 14 Leian I# -e. 7 - 21 14 - 7 + 21 7 + 21 I# = 1 - = = 14 14 14 Vastus: eri viiside arv, kuidas sportlane saab moodustada endale n-kilomeetrilise treeningu, on 7 + 21 3 + 21 7 - 21 3 - 21 = + 14 2 14 2
Mercatori projektsioon on konformne ehk õigenurkne. Põiksilindrilise projektsiooni ehk TM projektsioon (Transverse Mercator). Selles projektsioonis saab edukalt kaardistada kogu maailma. Topograafiliste kaartide koostamisel kasutatakse Mercatori põiksilindrilist projektsiooni Arvmõõtkava s.o. plaanil oleva joone pikkuse ja vastava maastikujoone horisontaalprojektsiooni pikkuse suhe. Arvmõõtkava väljendatakse murruna, mille lugejas on arv 1 ja nimetajas on arv, mis näitab mitu korda on joone horisontaalprojektsiooni vähendatud paberile kandmisel. Joonmõõtkava on lihtsaim graafiline mõõtkava (joonis 3.1.). Selle konstrueerimiseks on vaja teada arvmõõtkava. Arvmõõtkava suhtest lähtudes valitakse sobiv mõõtkava alus Mõõtkava täpsuseks nimetatakse 0,1 millimeetrile plaanil vastavat joone pikkust maastikul. Plaan, so. maapinna väiksemate osade (kuni 300km2) vähendatud moonutusteta kujutis horisontaaltasandil. Kaart, so
korduvat numbrite rühma nimetatakse kümnendmurru perioodiks ja murdu ennast perioodiliseks kümnendmurruks. Lõplik kümnendmurd tekib ainult siis, kui hariliku murru (taandatud kuju) nimetaja ei sisalda teisi algtegureid peale arvude 2 ja 5.Siinkohal tasub meelde tuletada millised on algarvud, mis on väiksemad, kui 20. Nendeks on 2,3,5,7,11,13,17,19 . Kõigil teistel juhtudel tekib perioodiline kümnendmurd. Näited: 2 = 2 : 5 = 0,4 See on lõplik kümnendmurd, kuna, selle murru nimetajas on algtegur 5. 5 7 = 7 : 9 = 0,77777 See on lõpmatu ehk perioodiline murd, kuna selle murru nimetajas 9 on algteguriks 3 Ülesandeid: 47 9 · Teisenda kümnendmurdudeks: 1) 2) + 4,15 100 10 11. Pöördarvud Kaht arvu, mille korrutis on võrdne ühega, nimetatakse teineteise pöördarvudeks.
21 1197 ⋅100 57 6) 1,197: = = . 100 1000 ⋅ 21 10 57 Vastus. . 10 7 Näide 3. Leida x, kui 4 3 15 3 − 1 = 5,625. (5,5 + x) : 21 7 3 8 Lahendus. Esimese tehtega arvutame tundmatut x sisaldava murru väärtuse. Teises tehtes leiame selle murru nimetaja väärtuse. Nimetajas on jagatis, mille jagatava 5,5+x väärtuse arvutame kolmanda tehtega. Neljanda tehtega saame tundmatu x väärtuse. 4 3 15 3 3 5 1) = 1 + 5, 625 = 1 + 5 = 7; (5,5 + x) : 21 37 8 8 8 4 49 7 2) (5,5 + x ) : 21 73 = 3 : 7 = = ; 15 15 ⋅ 7 15 3 7 150 ⋅ 7
Lahustunud aine massi saab leida lahustunud aine moolide arvu ühes kuupdetsimeetris (ühes liitris) lahuses 3. Molaalsus (Cm) Molaalsus näitab lahustunud aine moolide arvu 1 kilogrammis lahustis 4. Moolimurd (CX) Mitut lahustunud ainet sisaldava Moolimurd näitab lahustunud aine lahuse korral tuleb murru nimetajas moolide arvu suhet lahusti ja kõikide liita nende kõikide moolide arvud lahustunud ainete moolide arvu summasse. Kui lahus koosneb lahustist ja vaid ühest lahustunud ainest, siis 5. ppm (parts per million) Ppm ehk parts per million näitab lahustunud aine massiosade arvu miljonis massiosas lahuses Veelgi madalamate sisalduste korral kasutatakse ppb (parts per billion, biljon ehk miljard 109) 6. Normaalne kontsentratsioon (Cn) Näitab lahustunud aine ekvivalentide (van
Relatiivne kõrgus on ühe koha kõrgus teise koha suhtes. Mis on mõõtkava? Mõõtkava näitab seda, mitu korda on tegelikke vahemaid kaardil vähendatud. Mida väiksem on kaardi mõõtkava, seda suurem maa-ala kaardile mahub. Mis on arvmõõtkava? Arvmõõtkava plaanil oleva joone pikkuse ja vastava maastikujoone horisontaaljoone pikkuse suhe. See on kõige sagedamini esinev mõõtkava. Arvmõõtkava väljendatakse murruna, mille lugejas on arv 1 ja nimetajas on arv, mis näitab mitu korda on joone horisontaalprojektsiooni vähendatud paberile kandmisel. Mida suurem arv on nimetajas, seda väiksemaks loetakse mõõtkava ning seda rohkem detaile on kujutatud plaanil (1:5000). Mis on selgitav mõõtkava? Selgitav mõõtkava esineb tavaliselt arvmõõtkavalistel plaanidel-kaartidel. Kui on antud näiteks mõõtkava 1:500, siis selgitav mõõtkava on selle lahti seletanud, et 1 cm plaanil või kaardil vastab 5-le meetrile looduses horisontaaltasapinnal.
8. Mis on mõõtkava, arv-, põik-, selgitav ja joonmõõtkava? Mõõtkava näitab seda, mitu korda on tegelikke vahemaid kaardil vähendatud. Mida väiksem on kaardi mõõtkava, seda suurem maa-ala kaardile mahub. Arvmõõtkava plaanil oleva joone pikkuse ja vastava maastikujoone horisontaaljoone pikkuse suhe. See on kõige sagedamini esinev mõõtkava. Arvmõõtkava väljendatakse murruna, mille lugejas on arv 1 ja nimetajas on arv, mis näitab mitu korda on joone horisontaalprojektsiooni vähendatud paberile kandmisel. Mida suurem arv on nimetajas, seda väiksemaks loetakse mõõtkava ning seda rohkem detaile on kujutatud plaanil (1:5000). Põik- ehk transversaalmõõtkava on kõige detailsema jaotisega graafiline mõõtkava, mis konstrueeritakse analoogselt joonmõõtkavale, kuid siin on oluline ka mõõtkava kõrgus, mis
a1 b1 a1 b1 Näide 3: Olgu vaja lahendada lineaarvõrrandisüsteem a2 b2 a2 b2 ¦ a1 x b1 y c1 Murru nimetajas olev determinant koosneb tundmatute ees olevatest § ¨a2 x b2 y c2 , kordajatest. Seda determinanti nimetatakse võrrandisüsteemi determinandiks kus a1, b1, c1, a2, b2 ja c2 on antud arvud ja x ning y on tundmatud. ja tähistatakse tähega D. Murru lugejas olevate determinantide elemendid on
47. Lõpmatu kümnendmurd kümnendmurd, mille ükski numbrikoht pole viimane. 48. Lähisküljed ühest ja samast tipust lähtuvad hulknurga küljed. 49. Mediaan kolmnurga tippu vastaskülje keskpunktiga ühendav lõik. 50. Minut ringjoone kaare või vastava kesknurga mõõtühik. 51. Mittetäielik ruutvõrrand ruutvõrrand, mis esitub kas kujul ax2+c=0 või kujul ax2+bx=0 või hoopis kujul ax2=0. 52. Murdvõrrand võrrand, mis sisaldab tundmatut murru nimetajas. 53. Naturaalarvud loendamise teel saadud arvud 1, 2, 3, ... 54. Nullkoht argumendi väärtus, mille korral funktsiooni väärtus on null. 55. Ordinaattelg y telg 56. Paarisarv kahega jaguv täisarv. 57. Paaritu arv täisarv, mis ei jagu kahega . 58. Parabool ruutfunktsiooni graafik. 59. Paralleelsus erinevate sirgete omadus olla ühe ja sama sihiga. 60. Perioodiline kümnendmurd kümnendmurd, mille murdosa mingist kindlast kohast
kellel esineb uuritav haigus mingi ajamomendil/ isikute arv rahvastikus samal ajamomendil. Levimusmäär väljendab antud haigusega inimeste osatähtsust ehk proportsiooni rahvastikus mingil ajamomendil. Nagu proportsioon ikka, on levimusmäär nimetu suurus ning ta ei saa olla väiksem kui 0 ega suurem kui 1. Kumulatiivhaigestusmäär- CI= isikute arv, kes haigestusid uuritavasse haigusesse mingil ajavahemikul/ isikute arv rahvastikus sama ajavahemiku algul. Lugejas ja nimetajas on ainult need isikud, kellel ajavahemiku alguses käsitletavat haigust ei esine ja kes järelikult on selle haiguse suhtes avatud riskile ehk riskiavatud. Seega kumulatiivhaigestusmäär näitab nende isikute proportsiooni, kes mingi ajavahemiku algul on haigusevabad, kui kes selle ajavahemiku vältel haigestuvad. Väärtused asuvad 0 ja 1 vahel. Kumulatiivhaigustemääraga peab alati esitama ka riskiperioodi pikkuse, mida tuleb arvesse võtta iga avaldatud väärtuse tõlgendamisel
6) Intensiivsuhtarvud on omavahel kvalitatiivselt erinevate kogumite suhted. Iseloomustatakse 1 nähtuse leviku intensiivsust teise nähtuse suhtes.(rahvastiku tiheduse näitarv, mis iseloomustab rahvastiku levikut[esimene nähtus] riigi territooriumi [teine nähtus] suhtes). Intensiivsuhtarvu 2 liiki: 1) Tihedussuhtarv Leitakse : ( üldkogum x/ üldkogum y). Mitu lugejasoleva kogumi ühikut langeb nimetajas oleva kogumi ühele ühikule. 2)Sagedussuhtarv Leitakse: (sündmuste kogum/ esemete kogum) või (dünaamiline kogum/staatiline kogum). Sellega leitakse näiteks suremuse ja sündivuse koefitsente, nt sünnijuhtumite arv jagatakse keskmise rahvaarvuga. 9. Keskmise mõiste ja tema tunnetuslikud omadused Keskmised on levinumaid kvantitatiivseid üldistusi., keskmisi võib olla ühel kogumil mitu.Keskmisi arvutatakse kogumi elementide kohta hangitud andmetest
9. Mis on mõõtkava? Mõõtkava näitab seda mitu korda on tegelikke vahemaid kaardil vähendatud. Mida väiksem on kaardi mõõtkava, seda suurem maa-ala kaardile mahub. 10. Mis on arv-, põik-, selgitav ja joonmõõtkava? Arvmõõtkava plaanil oleva joone pikkuse ja vastava maastikujoone horisontaaljoone pikkuse suhe. See on kõige sagedamini esinev mõõtkava. Arvmõõtkava väljendatakse murruna, mille lugejas on arv 1 ja nimetajas on arv, mis näitab mitu korda on joone horisontaalprojektsiooni vähendatud paberile kandmisel. Mida suurem arv on nimetajas, seda väiksemaks loetakse mõõtkava ning seda rohkem detaile on kujutatud plaanil. Nt. 1:5000 või 1/5000 Joonmõõtkava on lihtsaim graafiline mõõtkava. See on tehtud joonisena, mis oma olemuselt on lihtne joonlõik, millele on märgitud jaotis looduses vastavate pikkustena. Joonmõõtkava konstrueerimiseks on vaja teada arvmõõtkava
Kui lahus koosneb lahustist ja vaid ühest lahustunud ainest, siis naine m aine CX= = naine +nla h usti m aine m l ahu sti M aine ∙ ( + M aine M lahusti ) 1.8 Mitut lahustunud ainet sisaldava lahuse korral tuleb murru nimetajas liita nende kõikide moolide arvud n aine1 C X 1= 1.9 naine 1+ naine 2+ …+nlahusti 3 ppm (parts per million) ppm näitab lahustunud aine massiosade arvu miljonis (106) massiosas lahuses. Kasutatakse väga väikeste sisalduste esitamiseks näiteks keskkonnakeemias. 1g 1mg 1mg 1g
mol mol Ja lahustunud aine massi saab leida Maine=Vlahus* CM*Maine 3. Molaalsus (Cm) Molaalsus näitab lahustunud aine moolide arvu 1 kg lahustis n aine(mol) C m= mol/kg m ahusti(kg) 4. Moolimurd (Cx) n aine Cx= n aine+ nlahusti Mitut lahustunud ainet sisaldava lahuse korral tuleb murru nimetajas liita nende kõikide moolide arvud n aine1 Cx= n aine 1+n aine 2+…+n lahusti 5. ppm (parts per million) ppm näitab lahustunud aine massiosade arvu miljonis (106) massiosas lahuses. Kasutatakse väga väikeste sisalduste esitamiseks näiteks keskkonnakeemias. Kui ppm-ides väljendatavate lahuste kontsentratsioonid on väga madalad (lahuste tihedus ρ≈1,00 g/cm3), siis võib kehtivaks lugeda ka järgmised seosed: 1 g 1 mg 1 mg 1ng
polaarkoordinaatidega: s-polaarraadiusega ja polaarnurgaga, või bipolaarkoordinaatidega: s1 ja s2- kahe polaarraadiusega, või kahe polaarnurgaga: fii1 ja fii2 4. Mõõtkava on plaanil kujutatud joonlõikude pikkuste suhe samade joonte horisontaal- projektsiooniga maastikul. Liigid: 1. Arvmõõtkava- s.o plaanil oleva joone pikkuse ja vastava maastikujoone horisontaal- projektsiooni pikkuse suhe. Arvmõõtkava väljendatakse murruna, mille lugejas on arv 1 ja nimetajas on arv, mis näitab, mitu korda on joone horisontaalprojektsiooni vähendatud paberile kandmisel. 2. Joonmõõtkava lihtsaim graafiline mõõtkava. Selle konstrueerimiseks on vaja arvmõõtkava. Selle suhtest lähtudes valitakse sobiv mõõtkava alus a. See on lõik (1..5 cm), mis kantakse sirgjoonele mõõtkava konstrueerimisel. Aluse pikkusele lõigule vastab looduses ümmargune arv meetreid. 3. Põikjooneline e
Kui lahus koosneb lahustist ja vaid ühest · Kasutatakse väga väikeste sisalduste esitamiseks nt. lahustunud ainest, siis keskkonnakeemias. · Kuna ppm-ides väljendatavate lahuste kontsentratsioonid on väga madalad, siis võib kehtivaks lugeda ka seosed · Mitut lahustunud ainet sisaldava lahuse korral tuleb murru nimetajas liita nende kõikide moolide arvud: Veelgi madalamate kontsentratsioonide korral kasutatakse ka ppb (parts per billion) (biljon e. miljard -109) 33 34 Tahkete ainete lahustumine vees
, , , , x2 - 1 x3 - x2 + x - 1 x3 - 1 x2 + 1 a 0 + a1 x + a 2 x 2 +...+a m x m ehk üldkujul , kus a 0 ja b0 on vastavalt lugeja ja b0 + b1 x + b2 x 2 +...+bn x n nimetaja vabaliikmed, a1 , a 2 ,..., a m vastavate x atsmete arvulised kordajad lugejas ning b1 , b2 ,..., bn vastavate x astmete kordajad nimetajas. Juhul kui m < n , nimetatakse ratsionaalavaldist ratsionaalseks lihtmurruks ja kui m n , nimetatakse ratsionaalavaldist ratsionaalseks liigmurruks. Seega toodud näidetest kaks esimest on ratsionaalsed lihtmurrud, kaks viimast aga ratsionaalsed liigmurrud. Ratsionaalse liigmurru korral eraldatakse sellest kõigepealt täisosa, s.t. liigmurd esitatakse hulkliikme e. täisosa ja ratsionaalse lihtmurru summana. Lihtsamatel
2 KKY3031 Üldine keemia A.Trikkel, 2001 Lahuste kontsentratsioon n aine [mol] mol C m = , NB! murru nimetajas lahusti, Lahustunud aine hulka kindlas lahuse või lahusti koguses (sageli mahus) nimetatakse m lahusti [kg] kg s.t vee mass kilogrammides. lahuse kontsentratsiooniks. Kasutatavamad kontsentratsiooni väljendusviisid on järgmised: 4. Moolimurd (CX) 1. Protsentkontsentratsioon (C%)
Kontrolli kasutades: seda! x1;2 = 1 ± 1 - 10 = 1 ± -9 = 1 ± 3i. Siit x1 = 1 + 3i ja x2 = 1 - 3i. Kahe kompleksarvu jagamisel aitab meid lihtne reegel: laiendame murdu selle Nii nagu esimese võrrandi puhul, on ka nüüd võrrandi lahenditeks kaaskomp- nimetajas oleva kompleksarvu kaaskompleksarvuga. Nii vabaneme imaginaar-susest leksarvud. murru nimetajas. 3) Võrrand x4 - 3x2 - 4 = 0 pole küll ruutvõrrand (see on biruutvõrrand), kuid ta Seega lahendatakse analoogiliselt. Teeme muutuja vahetuse x2 = t, saame ruutvõrrandi t2 a + bi (a + bi)(c - di) ac - adi + cbi + bd ac + bd bc - ad
2 a- a = ( a) 2 - a = a ( a -1 ) 2.6 Võrrandid Lineaarvõrrand Murdvõrrand - võrrand, milles tundmatu ax + b = 0 esineb murru nimetajas. b Murru väärtus on null siis ja ainult siis, kui x = - , kui a 0 ; a murru lugeja on null ja nimetaja ei ole null. lahend puudub, kui a = 0 ja b 0 ; lahendeid on lõpmata palju, kui a = 0 ja b = 0 . L L= 0
xa g ( x ) nimetaja on vaadeldavas piirprotsessis tõkestamatult kasvavad, s.t. lim f ( x) = ja x a lim g ( x) = . Kui f ja g on polünoomid ning piirprotsessiks on x x a , siis tuleb määramatusest vabanemiseks jagada kõiki liikmeid argumendi x kõrgeima astmega murru nimetajas. 13 x 2 + 2x Näide 8. Leiame lim . x 3 - x 2 Kui kasutame piirväärtuse omadusi, siis jõuame määramatuseni . Et sellest vabaneda, jagame murru lugejat ja nimetajat argumendi x kõrgeima
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
