p=Ke-T hp Nyquisti stabiilsuskriteerium Nyquisti stabiilsuskriteerium kuulub sagedusmeetodite kulka, kus uuritakse lahtiuhendatud tagasisideahelaga ehk avatud susteemi amplituudi-faasi sagedustunnusjooni, mis voimaldab hilistumisluliga susteemide stabiilsust hinnata, mis ei olnud voimalik ei Routhi ega Hurwitzi jargi. Kuid uldise Nyquisti stabiilsuskriteeriumi matemaatiline esitlusviis keerukas, mistottu rakendatakse sagedamini selle kriteeriumi uht erijuhtu, mille alusel on voimalik hinnata enamkasutatavate automaatjuhtimissusteemide stabiilsust, kuid tulemusse tuleb suhtuda teatava reserveeritusega. Erijuhtu nimetatakse Nyquisti stabiilsuskriteeriumi vasaku kae reegliks, mida saab rakendada negatiivse tagasisidega susteemidele ning mille formuleering kolaks /4/, /5/, /6/, /8/:
pMrdhUperboloid,pOordsilinder,pMrdkoonus 106. Skltseerlge kaksvaatesOksteist jarku poordplnd (pinna nlmetuse dlkteerlb oppejoud). * 1) Poordellipsoidtekib ellipsi pOorlemiselUmberomatelje. Saadakselapik voi pildik pMrdellipsoid olenevaltsellest,kaspMrlemine toimub timber lUhemavoi pikematelje Goon.5.7, aja b). SflUirituleb vaadelda . kui ellipsoidi _.erijuhtu -' " tekib 3) Ohekatteline Poordhtlperboloid . _.. ja KahekattelinePOOrdhuperpoloid A" c... '~"/1' -!. ~ 1 07. Kuldas tekib rongaspind?
Pöördparaboloid c. Kahekatteline pöördhüperboloid d. Ühekatteline pöördhüperboloid e. Pöördsilinder f. Pöördkoonus 28. Skitseerige kaksvaates üks teist järku pöördpind (pinna nimetuse dikteerib õppejõud) a. Pöördellipsoid tekib ellipsi pöörlemisel ümber oma telje. Saadakse lapik või piklik pöördellipsoid olenevalt sellest, kas pöörlemine toimub ümber lühema või ümber pikema telje. Sfääri tuleb vaadelda kui ellipsoidi erijuhtu. b. Pöördparaboloid tekib parabooli pöörlemisel ümber oma sümmeetriatelje. c. Ühekatteline pöördhüperboloid ja kahekatteline pöördhüperboloid d. Pöördkoonus e. Pöördsilinder 29. Kuidas tekib rõngaspind? Rõngaspind tekib ringjoone pöörlemisel ümber telje, mis asetseb ringjoone tasandis, kui ei läbi ringjoone tsentrit. 30. Skitseerige rõngaspind kaksvaates. 31. Nimetage tehnikas kasutatavad aksonomeetria liigid. a
Pöördparaboloid c. Kahekatteline pöördhüperboloid d. Ühekatteline pöördhüperboloid e. Pöördsilinder f. Pöördkoonus 28. Skitseerige kaksvaates üks teist järku pöördpind (pinna nimetuse dikteerib õppejõud) a. Pöördellipsoid tekib ellipsi pöörlemisel ümber oma telje. Saadakse lapik või piklik pöördellipsoid olenevalt sellest, kas pöörlemine toimub ümber lühema või ümber pikema telje. Sfääri tuleb vaadelda kui ellipsoidi erijuhtu. b. Pöördparaboloid tekib parabooli pöörlemisel ümber oma sümmeetriatelje. c. Ühekatteline pöördhüperboloid ja kahekatteline pöördhüperboloid d. Pöördkoonus e. Pöördsilinder 29. Kuidas tekib rõngaspind? Rõngaspind tekib ringjoone pöörlemisel ümber telje, mis asetseb ringjoone tasandis, kui ei läbi ringjoone tsentrit. 30. Skitseerige rõngaspind kaksvaates. 31. Nimetage tehnikas kasutatavad aksonomeetria liigid. a
2 nüüdisväärtuses. Seega raha aegväärtuse arvutamise vajadus tekib olukorras, kus on juba vara soetatud, tekkinud kohustuse või omakapitali instrumendi tulevikus kehtiv väärtus ja see tuleb diskonteerida tehingu toimumise hetke väärtusesse ehk nüüdisväärtusesse (Altmäe, 2015). Raha aegväärtuse arvestamisel on olemas mitmeid nüüdisväärtuse ja tulevikuväärtuse erijuhte, millest tuntuimad on kolm erijuhtu annuiteedi nüüdisväärtus (tulevikus laekuvate või tasumisele kuuluvate iga-aastaste võrdsete rahasummade nüüdisväärtus); perpetuiteedinüüdisväärtus (igavesti laekuvate või tasumisele kuuluvate iga-aastaste võrdsete rahasummade nüüdisväärtus); puhasnüüdisväärtus (Maire Otsus, Juuli Laanemets, 2013). 1 RAHA AEGVÄÄRTUS Raha aegväärtuse reegel ütleb, et 1 euro täna on väärtuslikum kui 1 euro järgmisel aastal, sest
mis kasutas sisendseadmena perfokaardilugejat. Kuna viimasel tuli andmete perfokaartidelt arvutisse lugemisel sageli ette vigu ja kogu lugemisprotseduuri tuli iga kord korrata algusest peale, siis hakkas Hamming uurima, kuidas saaks andmete ülekandmisel tekkivaid vigu automaatselt avastada ja parandada, säilitades samas võimalikult suurt andmeedastuskiirust. 10-aastase töö tulemused avaldas ta 1950. a. Tänapäeval nimetatakse Hammingi koodiks üht Hammmingi koodi erijuhtu, nimelt (7,4) koodi, mis lisab sõnumi igale 4-le bitile 3 veaparanduseks vajalikku bitti ning andmed edastatakse sel viisil moodustatud 7-bitiste koodisõnadena. Selle koodi kasutamine tagab suurema andmeedastuskiiruse kui 4 andmebiti edastamine 2 korda. Kuna sellist ülekandemeediumi, kus 7 biti kohta võib tulla 2 vigast bitti, loetakse liiga kõrge mürataseme tõttu kasutuskõlbmatuks, siis kasutatakse Hammondi koodi 1-bitiste vigade parandamiseks, mitte 2-bitiste vigade avastamiseks.
7. Newtoni II ja III seadus. Newtoni teine seadus Iga keha puhul on kiirendus võrdeline sellele kehale mõjuva jõuga ning pöördvõrdeline tema massiga. Teine seadus, samuti kui Newtoni esimene seadus, kehtib vaid inertsiaalsetes taustsüsteemides. Erijuhul, kui jõud on võrdne nulliga, on kiirendus valemi põhjal samuti võrdne nulliga, mis on kooskõlas Newtoni esimese seadusega. Seega näib, et esimest seadust võib vaadelda kui teise erijuhtu. Newtoni kolmas seadus Jõud, millega kehad vastastikku mõjuvad, on alati suuruselt võrdsed ning suuna poolest vastupidised. Kehade igasugune mõju teineteisesse on alati vastastikkune; jõud, millega kehad teineteist mõjutavad, on alati suuruse poolest võrdsed ning suunalt vastupidised . 8. Galilei teisendused ja relatiivsusprintsiip. Esimene ja viimane võrrand süsteemis kehivad vais juhul, kui v0 on väike, võrreldes valguse kiirusega vaakumis c.
enamik probleeme laheneb teisiti lihtsamalt. Kuid on n.-ö. rekursiivseid probleeme, mille rekursiivne lahendus on loogilisem, elegantsem ja lihtsam. Kuidas ära tunda, et tasub môelda rekursioonile, s.t. millised on rekursiivse ülesande tunnusjooned? Olgu n! jälle baasnäiteks, kuigi sellegi ülesande mitterekursiivne lahendus on parem. (1) palju ühelaadseid operatsioone, mille "mahukus" on erinev: 0!, 1!, 2!, 3!, . . . (2) saame eristada mitterekursiivset triviaalset erijuhtu: 0! = 1 (3) probleem "keerukamal" juhul on taandatav "lihtsama" juhu lahendamisele: n! = n * (n - 1)! (4) sel viisil järjest lihtsamale taandamine viib lôpuks triviaalse juhuni: 0!-ni Lahenduskäigu vôime sel juhul rajada oletusele, et me oskame "lihtsamat" juhtu lahendada. Viies näide. Hanoi tornide ülesanne a b c ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦
(2.15) r Viimase tulemuse saamiseks kasutasime ka joon- ja nurkkiiruse seost, vt. valem (2.4). Valemiga (2.15) defineeritud kiirendust nimetatakse ka kesktõmbekiirenduseks ehk normaalkiirenduseks ja tähistatakse a n . Nimetus ,,normaalkiirendus" tuleb sellest, et see on suunatud trajektoori normaali sihis. 2.3 Mitteühtlane pöördliikumine. Nurkkiirendus Punktis 2.1 käsitlesime ühtlase pöördliikumise erijuhtu, kui keha pöörleb konstantse nurkkiirusega. Mitteühtlasel pöördliikumisel lisandub nurkkiirusele nurkkiirenduse mõiste. Pöörleva keha nurkkiirenduseks nimetatakse nurkkiiruse tuletist aja järgi: d (t ) = = (t ) . (2.16) dt Nurkkiirenduse ühikuks on radiaan sekund ruudus: [ ] = 1 rad2 . s Koos võrrandiga (2.5) moodustab (2.16) see pöördliikumise võrrandite süsteemi: (t) = (t)
+ Päratud integraalid katkevatest funktsioonidest: Vaatleme juhtu, kui funktsioon on katkev. Kui f-l on katkevuspunktid lõigul [a, b], siis selle funktsiooni integraalsumma ei tarvitse omada lõplikku piirväärtust, seega ei eksisteeri viimasel juhul ka määratud integraali . Siiski on katkevat funktsiooni teatud juhtudel võimalik integreerida päratu integraali mõttes. Vaatleme kahte erijuhtu: 1. Olgu funktsioon f pidev poollõigul [a, b) ja olgu b selle funktsiooni katkevuspunkt. Siis on f pidev kõigil lõikudel [a, c], kus c on a ja b vahel, st c (a, b). Järelikult eksisteerib määratud integraal iga c (a,b) korral. Selleks, et saada integraalist integraali tuleb meil lähendada arvuga c arvu b. Kuna c paikneb vahemikus (a,b), on tegemist vasakpoolse piirväärtusega. Seega defineeritakse päratu integraal
etteantud esemete hulga järgi moodustab teise, temaga samaväärse esemete hulga. Nt. hulkade moodustamine värvuse-, suuruse-, vormi- ja ruumitunnuste järgi: Pane siia kõik suured ja punased sõidukid. 13. Mida tähendab hulga samaväärsuse säilitamine? Näide. Hulga samaväärsuse säilitamine tegevus, mis kindlustab hulga püsimise ka siis, kui selle esemete paigutuses teha muudatusi. Samaväärsuse säilitamisel on kaks erijuhtu: hulk säilib samaväärsena iseenda suhtes ja hulk säilib samaväärsena teise hulga suhtes. Hulga säilitamisel tekkinud kujutlused on lapse vaimse arengu üheks olulisemaks näitajaks, sest hiljem tugineb sellele pööratavusel põhinev võrdlemisoskus, mis on üheks oluliseks eelduseks arvu mõiste kujunemisele ja edasistele matemaatikaõpingutele. NÄIDE: Õpetaja asetab laste ette ühte ritta nt. viis ruutu. Lapsed ise asetavad ruutude alla sama palju ringe ning kinnitavad seda lausega
PM ökonoomika põhikursuse loengumaterjalid 2. EFEKTIIVSUSTEOORIA 2.2 Efektiivsuse seadused Ressursside kasutamise efektiivsuse hindamiseks on vaja tunda efektiivsuse kujunemise seaduspärasusi. Ainelistes suhetes tegur-toodang võib esineda kolm erijuhtu: püsiv, kasvav ja vähenev tootlikkus, st tootmistegurite järjestikusel lisamisel võib toodang ressursside suhtes kasvada kas proportsionaalselt, ülenevalt või vähenevalt. Väheneva tootlikkuse seadus (1768) – kui ühe teguri sisendit suurendatakse ühesuuruste hulkadega, kusjuures teiste tegurite hulgad ei muutu, siis kogutoodang suureneb, kuid teatud piirini ja iseloomulik on see, et toodangu juurdekasv jääb järjest väiksemaks. Suhted tegur-toodang pole püsivad, vaid muutuvad.
lim- () + lim (). Päratud integraalid katkevatest funktsioonidest: Vaatleme juhtu, kui funktsioon on katkev. Kui f-l on katkevuspunktid lõigul [a, b], siis selle funktsiooni integraalsumma ei tarvitse omada lõplikku piirväärtust, seega ei eksisteeri viimasel juhul ka määratud integraali () . Siiski on katkevat funktsiooniteatud juhtudel võimalik integreerida päratu integraali mõttes. Vaatleme kahte erijuhtu: 1. Olgu funktsioon f pidev poollõigul [a, b) ja olgu b selle funktsiooni katkevuspunkt. Siis on f pidev kõigil lõikudel [a, c], kus c on a ja b vahel, st c (a, b). Järelikult eksisteerib määratud integraal () iga c (a,b) korral. Selleks, et saada integraalist () integraali () tuleb meil lähendada arvuga c arvu b. Kuna c paikneb vahemikus (a,b), on tegemist vasakpoolse piirväärtusega. Seega
väärtusele vastab suurem funktsiooni väärtus ja kahanevaks kui igale suuremale argumendi
väärtusele vastab väiksem funktsiooni väärtus. Seega kui x1
juhul. (Nirgi, 2001) Neutraalne kihistumine esineb tavaliselt tugeva tuule ja pilves taevaga. Seda esineb Eesti kliimas sageli, eriti sügisel. Pilved ei lase päeval pinnal soojeneda ega öösel jahtuda. Lisaks segab veel tugev tuul õhukihid läbi, takistades nii stabiilse kui ka labiilse kihistuse teket. Neutraalses atmosfääris seguneb saaste aeglasemalt, aga enamasti hajutab seda piisavalt tugev tuul. (Nirgi, 2001) Olulised on veel kaks erijuhtu. Inversioon ehk ülespoole soojeneva õhuga kiht võib alata mõnekümne meeti kõrguselt maapinnast, selle all on neutraalne kihistus. Selline olukord esineb sageli talvel. Siis segunevad kõik inversioonikihist allpool õhku paisatud saasteained hästi. Inversioonikihti need ei läbi, vaid jäävad maapinna lähedale. Erinevus inversioonist otse maapinnal seisneb selles, et liiklussaaste mõju on väiksem, kuid näiteks väikekatlamajad mõjuvad seda tugevamalt
..+n ................... ............ Asendades valemisse (1) saame otsitava polünoomi: Jääkliige: Rn(x)=f(x)-Pn(x) Taylori valem : Taylori valemi erijuhtu a=0 nimetatakse Maclaurini valemiks f(x) = 13. Taylori valemi jääkliikme Lagrange kuju tuletamine(n=2 või üldjuhul) Lause: Kui funktsioon f(x) on n+1 korda diferentseeruv punkti a -ümbruses (a-,a+), siis iga korral on see funktsioon esitatav n-järku Taylori valemi abil, kusjuures jääkliige on esitatav Lagrange kujul. Üldjuhul: Oleme saanud n-järku Taylori valemi: n f ( k ) (a)
7.2.4. Joonpingus Joonpingus: = koormatud detaili antud punktis on ainult üks nullist erinev (ühemõõtmeline pingus) peapinge (1 0; 2 = 0; 3 = 0) Joonpingust võib analüüsida kui tasandpinguse Joonpinguse peapind erijuhtu (Joon. 7.11), võttes tasandpinguse peapingete = varda ristlõikepind avaldistes vastavad pingeväärtused võrdseteks nulliga. Koormatud detail Punkti K joonpingus K 2 = 0 Ristpindadega mahuelement
A. Tehte argumente nimetatakse operandideks. LOOGIKAALGEBRA TEHE on tõeväärtuste hulgal(tõene, väär) defineeritud tehe. Neid arve, millega tehet sooritatakse nimetatakse OPERANTIDEKS. Kui tehtes on kaks operanti, siis on tegemist BINAARSE tehtega. Kui tehtel on üks operant, nt ruutu tõstmise tehe, siis on see UNAARNE tehe. Lauseloogikas on kasutusel KAKS ALGEBRAT, mis kuuluvad BOOLE’I algebra klassi: tõeväärtuste algebra ja lausearvutuse algebra. Boole’i algebra lihtsat erijuhtu, mida esindab kahe kahe tõeväärtusega Boole’i algebra, nimetatakse ka loogikaalgebraks. Lausearvutuse Boole’i algebra kandvat hulka võiks nimetada FORMAALSETE LAUSETE hulgaks, need esinevad sümbolkujul, neil pole iseenesest ei tõeväärtust ega tavakeelset kuju. LAUSEARVUSTUSE TEHE on formaalsete lausete hulgal defineeritud tehe, mille tulemi kuju on üheselt määratud operandide ja tehtesümboliga. LAUSEARVUSTUSE TEHTED 1. EITUS 2
Kui n on paaris, siis jääkliikme märk vaheldub ja lokaalset ekstreemumit ei ole. G.17 .Kumerus, nõgusus, käänupunktid. Taylori valemi erijuhtu a=0 nimetatakse Maclaurini valemiks c ϵ (0,x)) Definitsioon: Öeldakse, et funktsiooni f (x) graafik on kumer punktis a (täpsemini punktis (a, f (a))), kui leidub punkti a selline δ - ümbrus, et funktsiooni f (x) graafik on argumendi x väärtustel ümbrusest (a- δ ; a +
läbi kontrollpindade, kui massi- ja rõhujõudude resultant kõigi telgede jaoks on null. Näiteks x telje suunaliste massi- ja pinnajõududega määratud tasakaalu tingimus: ∂p d F x + d P Rx=a x ρ dxdydz− dxdydz=0 ∂x 15. Millisel tingimusel lihtsustub liikumisvõrrand (Euleri võrrand) hüdrostaatika põhivõrrandiks? Tasakaalulise vedeliku olukorda võib käsitleda kui liikumisvõrrandi (Euleri võrrandi) erijuhtu kiirusvektoriga u ( vektor )=0 , ning siis määrab hüdrostaatilise rõhu vedelikus avaldis: p + gz=const ρ Kui vedeliku pinnal valitseb atmosfäärne rõhk 1 atm, siis hüdrostaatilise rõhu võib esitada avaldisega: ü ¿ p= p0 + ρg h= patm + p ¿ 16. Kuidas on määratud hüdrostaatika tingimus? Erijuhul, kui vedelikus toimib ainult raskusjõud (ax=0,ay=0,az=-g), kus g on raskuskiirendus, järeldub ∂p ∂p ∂p
Keskkonna efektiivsus- tuletatud suurus o vaadeldatkse kui minimaalset kahjumäära keskkonnale, vaadeldakse nii keskkonna seisundit ja ressursside kasutamist Aja tegur tootmise mastaabis o aja tegurit seostatakse tootmisega, kuid sellel on ka tähtis osa o ettevõtetel on vaja selle aja vähendamine, kui tootlikud jõud seisavad kasutult Efektiivsuse seadused • Ainelises suhetes tegur-toodang esineb 3 erijuhtu: püsiv, kasvav, vähenev tootlikkus • Tootlikkuse seadust kasutame ainult siis kui on tegemist ainelise toodanguga • Väheneva tootlikkuse seadus o ühe teguri sisendit suurendatakse ühesuuruste hulkadega, kusjuures teiste tegurite hulgad ei muutu, siis kogutoodang suureneb, kuid teatud piirini o iseloomulik, et toodangu juurdekasv jääb järjest vähemaks
y (t ) = A sin = A1 sin ( 01t + 01 ) + A2 sin ( 02 t + 02 ) (7.48) Jagades valemi (7.48) läbi valemiga (7.40), saame liitvõnkumise faasi jaoks avaldise A1 sin ( 01t + 01 ) + A2 sin ( 02 t + 02 ) tan = . (7.49) A1 cos( 01t + 01 ) + A2 cos( 02 t + 02 ) Järelikult on liitvõnkumise faas arkustangens valemi (7.49) paremast poolest. Tuiklemine. Käsitleme veel erijuhtu, kus liidetavate võnkumiste ringsagedused erinevad teineteisest väga vähe, s.t. 02 = 01 + , << 01 . (7.50) Oletame lihtsuse mõttes, et mõlema algfaas võrdub nulliga, seda saab alati sobiva alghetke valimisega saavutada. Siis võnkumise amplituudi ruut muutub vastavalt valemile (7.43) järgmiselt: A 2 = A12 + A22 - 2 A1 A2 cos( t ) . (7.51)
II seadus- iga keha puhul on kiirendus võrdeline sellele kehale mõjuva jõuga ning kF pöördvõrdeline tema massiga a = . Seda valemit nim. klassikalise mehaanika põhi- m valemiks, kus k on võrdetegur. Kui kehale mõjub jõud on võrdne nulliga, on kiirendus samuti võrdne nulliga(teised kehad ei mõju antud kehale). Seega võib Newtoni esimest seadust vaadelda kui teise seaduse erijuhtu. Selles järeldub, et II seadus kehtib samuti ainult inertsiaalsüsteemides. III seadus- kui keha M1 mõjub kehale M2 jõuga F21, siis keha M2 mõjutab keha M1 jõuga F12. Jõud millega kehad üksteist mõjutavad on alati võrdsed ning suuna poolest vastupidised. F12= -F21 Galilei teisendused ja relatiivsusprintsiip Kui on kaks taustsüsteemi K ja K', kui ka on tinglikult liikumatu, siis K' liigub ühtlaselt ja sirgjooneliselt. Süsteemide punktid x=x'+v0t;y=y';z=z'
7:Aja tegur ( tootmine lühi- ja pikaajalises mastaabis) Perioodideks jaotamine toimub mahu alusel. Tavaliselt seostatakse aja tegur tootmisega , näit. selgitatakse aja kaudu tööviljakust. 8:Efektiivsuse seadused (väheneva tootlikkuse seadus, muutuvate suhete seadus, maksimumi ja miinimumi seadus) . Tootmistegurite järjestikulisel lisamisel võib toodang ressursside suhtes kasvada kas proportsionaalselt, ülenevalt või vähenevalt. Ainelises suhtes tegur- toodang võib erineda kolm erijuhtu püsiv, kasvav ja vähenev tootlikus. Tootlikkuse seadust kasutatakse siis , kui on tegemist ainelise toodanguga . Raha vahenduse, kui toodangu ära müüme saame rääkida tulukuse seadusest. Väheneva tootlikkuse seadus kui ühe teguri sisendit suurendatakse ühesuuruste hulkadega, kusjuures teiste tegurite hulgad ei muutu, siis kogutoodang suureneb, kuid teatud piirini ja iseloomulik on see, et toodangu juurdekasv jääb järjest vähemaks.
joonis1.1. teerimistselgitabpiltlikult omavahelparalleelsedja saadavat kujutist nimetatakseseet6ttu paralleelprojektsiooniks. Et paralleelprojektsiooniv6ib vaadelda kui tsentraalprojektsiooni erijuhtu, kus kujutamis- tsenterS on viidudl6pmatakaugele,siis kehti- vad siin eespooltoodudlaused 1...5. Neile lisakson paralleelprojektsioonile omasedjiirg- misedseaduspdrasused.
Tähtis osa on ajal ka tootmisväliselt. Ettevõttele on väga tähtis selle aja vähendamine, mille kestel tootlikud jõud seisavad kasutult, näiteks ehituses, maaparanduses jm. 8. Efektiivsuse seadused (väheneva tootlikkuse seadus, muutuvate suhete seadus, maksimumi ja miinimumi seadus) . Tootmistegurite järjestikulisel lisamisel võib toodang ressursside suhtes kasvada kas proportsionaalselt, ülenevalt või vähenevalt. Ainelises suhtes tegur- toodang võib erineda kolm erijuhtu püsiv, kasvav ja vähenev tootlikus. Tootlikkuse seadust kasutatakse siis , kui on tegemist ainelise toodanguga . Raha vahenduse, kui toodangu ära müüme saame rääkida tulukuse seadusest. Väheneva tootlikkuse seadus kui ühe teguri sisendit suurendatakse ühesuuruste hulkadega, kusjuures teiste tegurite hulgad ei muutu, siis kogutoodang suureneb, kuid teatud piirini ja iseloomulik on see, et toodangu juurdekasv jääb järjest vähemaks.
B B A C A C 0 0 Joon. 1 Joon. 2 1.2. Paralleelprojektsioon Paralleelprojektsiooni vime vaadelda kui tsentraalprojekteerimise erijuhtu, kui punkt S on viidud lpmata kaugele ning kujutamiskiiri vib lugeda paralleelseteks (joon. 2). Paralleelprojektsioonid jagunevad kald- ja ristprojektsioonideks vastavalt sellele, kas kiired vetakse ekraaniga kaldu vi risti. Kaldprojektsiooni korral lisanduvad toodud lausetele 1...4 järgmised. 5. Kui sirglik on paralleelne ekraaniga, siis tema projektsioon ekraanil on pikkuselt vrdne ja paralleelne ligu enesega. 6. Sirgjoone ligud on vrdelised oma paralleelprojektsioonidega. Ligu
(𝑛+1)! 𝑦 = 𝑥, saame 𝑑𝑦 = 𝑑𝑥 = 𝑥 ′ ∙ ∆𝑥 = ∆𝑥 (𝑑𝑥 – argumendi diferentsiaal). Taylori valemi erijuhtu a=0 nimetatakse Maclaurini valemiks 𝑐 ∈ (0, 𝑥)) 𝑑𝑦 𝑓 (𝑘)(0)
,Trapetsvalemi saame kui valime selliselt, et a funktsiooni teatud juhtudel võimalik integreerida päratu integraali mõttes. Vaatleme kahte erijuhtu: 1. Olgu funktsioon f pidev poollõigul [a, b) ja olgu b selle funktsiooni katkevuspunkt. f ( x i )++ f ( x i+1 ) Siis on f pidev kõigil lõikudel [a, c], kus c on a ja b vahel, st c ∈ (a, b)
Efektiivsuse seadused: Tootmistegurite järjestikusel lisamisel võib toodang ressursside suhtes kasvada kas proportsionaalselt, ülenevalt või vähenevalt. Aja tegur tootmises: Lühiajaline periood- on see, kus kõikide tootmistegurite hulk ei saa muutuda. Pikaajaline periood- on piisavalt pikk selleks, et kõikide tootmistegurite hulk võiks muutuda. Ainelistes suhetes tegur-toodang võib esineda tootlikkuse kolm erijuhtu- püsiv, kasvav ja vähenev tootlikkus. Väheneva tootlikkuse seadus: kui ühe teguri sisendit suurendatakse ühesuuruste hulkadega, kusjuures teiste tegurite hulgad ei muutu, siis kogutoodang suureneb, kuid teatud piirini ja iseloomulik on see, et toodangu juurdekasv jääb järjest vähemaks. (See väheneva tootlikkuse seadus on muutuvate suhete seaduse üks esinemisvorm). Muutuvate suhete seadus- ressursside kasutamise põhjuslik-tagajärgsete seoste muutumine.
käitumist. Sõltuvuse puhul tekivad küsimused, kui tugev on sõltuvus, mis suunas on sõltuvus, kui oluline on sõltuvus ja kuidas seda sõltuvust matemaatilise seosena avaldada? Kõige üldisem seos, kus öeldakse vaid, kas on sõltuvus või mitte, suunda ega tugevust ei saa leida, on statistiline sõltuvus. Mittearvuliste nominaalsete tunnuste puhul saamegi rääkida vaid statistilisest sõltuvusest. Arvuliste ja järjestustunnuste puhul hindame monotoonsest ja selle erijuhtu, korrelatiivset sõltuvusust. Monotoonset sõltuvuse tugevust ja suunda iseloomustajana on levinuim Spearmani astak-korrelatsioonikordaja, korrelatiivsele seosele Pearsoni ehk lineaarne korrelatsioonikordaja r. Regressioonanalüüs tegeleb tunnustevaheliste seoste funktsionaalse kirjeldamisega (ehk matemaatilise võrdusena kirja panemisega) ning selle seose täpsuse, kasulikkuse ja olulisuse hindamisega. 3.1. Statistiline sõltuvus
See diferentsiaalvõrrandite süsteem tuleb nüüd lahendada funktsioonide x(t ) , y (t ) ja z (t ) suhtes. Üldjuhul võib see osutuda vägagi raskeks ülesandeks, millele sageli ei olegi võimalik leida analüütilist lahendit. Sel juhul tuleks see süsteem lahendada ligikaudsete meetoditega, näiteks kasvõi nii, et asendada tuletised lõplike vahedega. Just siin esineda võimalike komplikatsioonide tõttu vaadeldakse kõrgkooli kursuses vaid nelja erijuhtu: 1) jõud on konstantne; 2) jõud oleneb ainult ajast t; 3) jõud oleneb ainult asupaigast (s.t koordinaatidest x, y, z); 4) jõud oleneb ainult kiirusest (s.t kiiruse projektsioonidest x , y ). , z Kui meil õnnestub lahendada süsteem (4.1) (või 4.2) ja leida analüütiline lahend, siis saame tulemuseks funktsioonid x, y ja z olenevalt ajast t ja üldjuhul kuuest integreerimiskonstandist, s.t
kokku võtta magnetvoo definitsioonivalemisse =BScos. Magnetvoog on skalaarne (suunata), kuid algebraline suurus. Magnetvoo algebralisus tähendab seda, et sõltuvalt magnetvälja suunast võib voog olla nii positiivne kui ka negatiivne suurus. Magnetvoo mõõtühikuks SI-süsteemis on üks veeber (1Wb). Üks veeber on magnetvoog, mis läbib 1 m2 suurust magnetvälja suunaga ristuvat pinda, kui välja magnetinduktsioon on 1T. Ühe veebri defineerimisel kasutatakse niisiis valemi 2.5 erijuhtu, mil =0, seega cos=1 ja järelikult =BS, millest 1Wb=1T1m21Wb=1T1m2 Faraday induktsiooniseadus- Induktsioonivool ja ka vastav elektromotoorjõud %i on seda suuremad, mida kiiremini (s.t mida lühema ajavahemiku t jooksul) magnetvälja muutus toimub. Kasutades magnetvoo mõistet, võib kõigi Faraday katsete tulemuse üldistada kujul Ei=-ktEi=-kt. mis näitab, et induktsiooni elektromotoorjõud on võrdeline magnetvoo muutumise kiirusega. See
4. saadud tulemusi reprodutseerida, kuid tingimusel, et see eelnev on vajalik programmi kasutamiseks seadmel või seadmetel, ulatuses ja eesmärkidel milleks programm omandati, programmis esinevate vigade parandamiseks ning kui vastava litsentsiga ei ole sellised tegevused keelatud. Euroopa Liidu direktiiv 91/250/EMÜ ja AutÕS § 25 näeb ette veel ühte arvutiprogrammi kasutamise erijuhtu, mida nimetatakse arvutiprogrammi vabaks pöördprojekteerimiseks ehk dekompileerimiseks. Arvutiprogrammi õiguspärasel kasutjal on õigus programmist teha koopia ning seda tõlkida siis kui see on hädavajalik informatsiooni saamiseks algsest programmist sõltumatult loodud programmi ühilduvuse tagamiseks teiste programmidega siis kui: 1. programmi õiguspärasel kasutajal või tema ülesandel tegutsev isik omab selleks vastavat luba; 2
teepikkused on sellisel juhul erinevad. Teisiti väljendades on mitteühtlane liikumine selline liikumine, kus keha liigub muutuva kiirusega. Mitteühtlase liikumise korral tuleb lisaks kiiruse mõistele sisse tuua kiirenduse mõiste, mis iseloomustab keha kiiruse muutumist ajas. Sellise liikumise kirjeldamine on oluliselt keerukam ja kuulub ülikooli füüsika kursusesse. Järgnevalt vaatame ühte lihtsat, kuid vajalikku erijuhtu - ühtlaselt muutuvat sirgjoonelist liikumist. Nagu me järgnevas näeme, on kiirenduse mõiste sissetoomine vajalik seetõttu, et kehadele mõjuvad liikumisel jõud (mis tegelikkuses panevadki kehad liikuma), jõud aga määravad ära kehade kiirenduse. Ühtlaselt muutuv sirgjooneline liikumine Ühtlaselt muutuv sirgjooneline liikumine on selline liikumine, mille korral keha kiirus muutub mistahes võrdsetes ajavahemikus võrdse suuruse võrra. Sellisel
Newtoni mehaanika jäi kaheks sajandiks füüsikalise maailmapildi aluseks. Newtoni esimese seaduse ütleb, et vastastikmõju puudumisel või vastastikmõjude kompenseerumisel on keha kas paigal või liigub ühtlaselt ja sirgjooneliselt. Sellest seadusest järgneb, et kui kehale teiste kehade mõjud kompenseeruvad (kustutavad üksteist), siis ta liigub kiirusega, mis on muutumatu nii suuruse kui ka suuna poolest. Paigalseisu vaadeldakse kui liikumise erijuhtu, kus kiirus on võrdne nulliga. Mõlemal juhul puudub kiirendus. Seega, kui kehale ei mõju teised kehad, siis ta liigub kiirenduseta. Keha omadust säilitada oma esialgset liikumisolekut ( paigalseis või ühtlane sirgjooneline liikumine ) nimetatakse inertsiks. ( Inertia - ladina keelest - liikumatus, tegevusetus. ) Inerts avaldub näiteks auto järsul pidurdamisel, kui sõitjad kalduvad ettepoole, kiirel stardil, aga tahapoole; kurvis, kurvi välispoolsesse külge.
Sotsiaalne ja keskkonna efektiivsus Sotsiaalset efektiivsust ei saa otseselt mõõta väärtussuhetes, vaid on kaudselt leitav (vaba aeg, tootmisvahendite kasutamise mugavus jne). Keskkonna efektiivsus kui kaudne näitaja peegeldab keskkonnale tekitatud minimaalset kahjumäära. 2.2. Efektiivsuse seadused Ressursside kasutamise efektiivsese hindamiseks on vaja tunda efektiivsuse kujunemise seaduspärasusi. Tootlikkuse erijuhud Ainelistes suhetes tegur-toodang võib esineda 3 erijuhtu: püsiv, kasvav, kahanev tootlikkus. (JOONIS) 1. Väheneva tootlikkuse seadus - Kui ühe teguri sisendit suurendatakse ühesuuruste hulkadega, kusjuures teiste tegurite hulgad ei muutu, siis kogutoodang suureneb, kuid teatud piirini ja iseloomulik on see, et toodangu juurdekasv jääb järjest vähemaks. Suhted tegur-toodang pole püsivad, vaid muutuvad. 2. Muutuvate suhete seadus Uuritakse 3 liiki suhteid: A
Igiliikur (perpetuum mobile) on kujuteldav masin, mis kuitahes palju kordi sama protsessi korrates teeb kasulikku tööd, seejuures väljastpoolt energiat juurde saamata. Valemist (20) järeldub, et dQ = 0 korral saame tööd dA = - dU vaid siseenergia vähenemise arvel. Gaaside soojusmahtuvused Soojusmahtuvuseks nimetatakse füüsikalist suurust, mis on arvuliselt võrdne antud keha temperatuuri ühe kraadi võrra tõstva soojushulgaga. Järgnevas huvitavad meid soojusmah- tuvuse kaks erijuhtu. Erisoojuseks nimetatakse soojushulka, mis tõstab antud aine ühe massiühiku temperatuuri ühe kraadi võrra: dQ J c= ( ) . (21) m dT kg · K Moolsoojuseks nimetatakse soojushulka, mis tõstab antud aine ühe kilomooli temparatuuri ühe kraadi võrra: dQ J C= ( ) . (22) dT kmol · K
Üks-ühene kõikjal ja kõikjale määratud vastavus - bijektsioon. Näide: Hulk A - õpperühma tudengite hulk. Hulk B - hinnete hulk (B={0,1,2,3,4,5}). Vastavus - eksamil tudengi poolt saadud hinne. Millistel tingimustel on osaliselt määratud funktsioon; täielikult määratud funktsioon; sürjektsioon; injektsioon; bijektsioon? BINAARSUHTED 4 Meie poolt vaadeldavad binaarsuhteid võib käsitleda kui vastavuse erijuhtu, kus lähte- ja sihthulk langavad kokku (D()=R()=A). Tähistame järgnevas binaarsuhet tähega R AxA. Binaarsuhet on mugav interpreteerida suhte graafiga - s.o. orienteeritud graaf, kus hulga A elemendid vastavad tippudele ja seosed elementide vahel - kaartele. Suhte võime esitada binaarmaatriksina (naabrusmaatriksina). Näide. Hulga A={a,b,c,d,e} elementideks on arvutikomponendid: a-sisendseade, b- aritmeetika- loogikaseade, c-juhtseade, d-mälu, e-väljundseade
Üks-ühene kõikjal määratud vastavus - injektsioon. Üks-ühene kõikjal ja kõikjale määratud vastavus - bijektsioon. Näide: Hulk A - õpperühma tudengite hulk. Hulk B - hinnete hulk (B={0,1,2,3,4,5}). Vastavus - eksamil tudengi poolt saadud hinne. Millistel tingimustel on osaliselt määratud funktsioon; täielikult määratud funktsioon; sürjektsioon; injektsioon; bijektsioon? BINAARSUHTED Meie poolt vaadeldavad binaarsuhteid võib käsitleda kui vastavuse erijuhtu, kus lähte- ja sihthulk langavad kokku (D()=R()=A). Tähistame järgnevas binaarsuhet tähega R AxA. Binaarsuhet on mugav interpreteerida suhte graafiga - s.o. orienteeritud graaf, kus hulga A elemendid vastavad tippudele ja seosed elementide vahel - kaartele. Suhte võime esitada binaarmaatriksina (naabrusmaatriksina). Näide. Hulga A={a,b,c,d,e} elementideks on arvutikomponendid: a-sisendseade, b- aritmeetika- loogikaseade, c-juhtseade, d-mälu, e-väljundseade
deformatsiooni osa iga tsükliga järjest väiksemaks ja lõpuks taastub koormise Pinnase kokkusurutavuse määramiseks kasutatakse lisaks ödomeeterteimile Pinnase nihketugevust on vaja teada vundamendi kandevõime, nõlva püsivuse vähenemisel kogu deformatsioon. veel kolmtelgse surve seadet või selle lihtsamat erijuhtu, üheteljelist survet. ja pinnase poolt piirdele avaldatava surve arvutamiseks. Paljudest Deformatsioonimooduli leidmiseks peab teadma pinnase Poisson'i tegurit, Mõlemat kasutatakse eeskätt pinnase tugevusparameetrite määramiseks. tugevusteooriatest on pinnase tugevuse olemuse kirjeldamiseks sobivaim selleks kasut spetsiaalsete uuringutega eri pinnaseliikide kohta leitud andmeid
6 8.4 7)) Mitut järjestikust omistamislauset võib ühendada ühte omistamislausesse, mida on mõistlik vormistada struktuursel kujul (alustav ja lõpetav sulg täpselt kohastikku), näiteks: (setq summa (+ A B C 7.5) nimi "Mart" punkt `(5.6 8.4 7) ) 39 Järgmisena võetakse vaatlusele aritmeetilised laused. Liitmislause kujuga (+ arv1 arv2 ...) leiab arvude summa (erijuhtu vt. allpool). Näiteks (+ 1 2) annab tulemuseks 3 (+ 1 2 3 4.5) annab tulemuseks 10.5 (+ 1 2 3 4.0) annab tulemuseks 10.0 Üsna analoogiline on lahutamislause kujuga (erijuhtu vt. allpool) ( arv1 arv2 ...) Kui arve on vähemalt kaks, siis esimesest arvust lahutatakse kõigi ülejäänute summa. Ainult ühe arvu korral muudetakse selle arvu märki. Näiteks ( 50 40) annab tulemuseks 10 ( 50 40
Kui soovite seda siiski teha, siis peate selle indeksi defineerima nn. iluindeksina mis kirjutatakse MathCADi kujul Suurus punkt indeks. Analüütilise valemi saamiseks ei tohi teil olla suurustele antud numbrilisi väärtusi. Kui soovite nii analüütilist valemit kui ka arvulist lahendit, siis leidke kõigepealt analüütiline lahend ja andke suurustele numbrilised väärtused sellest analüütilisest lahendist ALLPOOL. Järgnevalt vaatleme kahte erijuhtu summa ja korrutise määramatuse arvutamist. 36 Mõõtmisteooria alused Joonis 23. Kaudmõõtmise määramatuse arvutamine MathCADi keskkonnas. 9.3. Summa ja vahe määramatus Olgu meil mõõdetud suurused x1, x2, ..., xn. Olgu meil ka valem suuruse Y arvutamiseks: Y = ± a1X1 ± a2X2 ± ... ± anXn. Sellisel juhul avaldub mõõtetulemus kujul
Ülevaade füüsikalistest nähtustest ja nende seletusest erineb oluliselt traditsioonilisest käsitlusest, kus käsitlus on liigendatud nähtuste järgi ning on jaotatud valdkondadesse nagu Mehaanika, Molekulaarfüüsika, Elekter ja magnetism, Optika jne. Meie oleme nähtused liigendanud mateeriavormide liikumisviiside järgi. Liikumisviise on meie liigituses neli: kulgemine, tiirlemine ja pöörlemine, võnkumine ning lainetamine. Eraldi käsitleme paigalseisu kui liikumise erijuhtu ning mikromaalimas esinevaid liikumisi, kus pole selget vahet eeltoodud liikumiste vahel. Ülevaadet alustame nelja vastastikmõju kirjeldamisega. Siis anname ülevaate jäävusseadustest ja printsiipidest, mis on edasiste seletuste aluseks. Seejärel tutvume liikumise kirjeldamisega, liikumise põhjuste ja suurustega, mis on seotud liikumisega. Järgneb füüsikaliste nähtuste kirjeldamine liikumisvormide kaupa. Lõpetuseks
r r r r (1.5) a = i a x + j a y + k a z = (a x , a y , a z ), siis liikumisvõrrandid komponentkujul avalduvad v x = x&, a x = v& x = &x&. (1.6) Analoogilised võrrandid kirjutame ka kiirus- ja kiirendusvektori y- ja z-komponentide jaoks. Võrrandid (1.6) on liikumisvõrrandid kõige üldisemal juhul. Eraldi näitena käsitleme gümnaasiumikursusest tuttavat erijuhtu – ühtlaselt muutuvat liikumist. Ühtlaselt muutuvaks liikumiseks nimetatakse liikumist, mille käigus keha kiirus muutub mistahes võrdsete ajavahemike vältel võrdsete suuruste võrra. r Selline liikumine rahuldab tingimust (a = const ) , punktmassi kohavektor muutub ajas järgmise seaduse järgi: r r r r at 2 r (t ) = r0 + v0 t + , (1
paaris. 1.4 P¨ o¨ordfunktsiooni m~ oiste. Logaritmfunktsioon. Arkusfunktsioonid. ¨ uhese funktsiooni m~ Uks¨ oiste. Olgu antud funktsioon y = f (x). Vas- tavalt funktsiooni definitsioonile on tegemist kujutisega, mis seab igale argu- mendi x v¨ a¨ artusele oma m¨a¨aramispiirkonnast vastavusse u ¨he kindla y v¨a¨artuse. Vaatleme n¨ uu¨d teatud kitsamat erijuhtu. Nimelt eeldame, et ka argument x funktsiooni v¨a¨ artuse f (x) kaudu u ¨heselt m¨a¨aratud. See t¨ahendab, et iga y kor- ral hulgast Y leidub ainult u ¨ks x nii, et valitud y on selle x-i kujutiseks. Kui see on nii, siis ¨oeldakse, et funktsioon f on u ¨ks¨ ¨ uhese funktsiooni korral uhene. Uks¨ on v~orrand y = f (x) muutuja x suhtes u ¨heselt lahenduv. N¨aiteks kuupfunktsioon y = x3 on u ¨ks¨uhene
paaris. 1.4 P¨ o¨ordfunktsiooni m~ oiste. Logaritmfunktsioon. Arkusfunktsioonid. ¨ uhese funktsiooni m~ Uks¨ oiste. Olgu antud funktsioon y = f (x). Vas- tavalt funktsiooni definitsioonile on tegemist kujutisega, mis seab igale argu- mendi x v¨a¨artusele oma m¨a¨aramispiirkonnast vastavusse u ¨he kindla y v¨a¨artuse. Vaatleme n¨ uu¨d teatud kitsamat erijuhtu. Nimelt eeldame, et ka argument x funktsiooni v¨a¨artuse f (x) kaudu u ¨heselt m¨a¨aratud. See t¨ahendab, et iga y kor- ral hulgast Y leidub ainult u ¨ks x nii, et valitud y on selle x-i kujutiseks. Kui see on nii, siis ¨oeldakse, et funktsioon f on u ¨ks¨ ¨ uhese funktsiooni korral uhene. Uks¨ on v~orrand y = f (x) muutuja x suhtes u ¨heselt lahenduv. N¨aiteks kuupfunktsioon y = x3 on u ¨ks¨uhene
mist liigina. (Termini sünapomorf tähendust käsitletakse siin edaspidi.) - Selle kontseptsiooni nõrkuseks on populatsiooni, liigi ja alamliigi erista- mise võimatus, liigi reaalsuse ebaselgus. Tõepoolest, mitmed autorid (näit. Raven, 1986) väidavad, et mingit liikide evolutsiooni ei toimugi, selle asemel on õigem rääkida populatsioonide evolutsioonist. Et ainult osa organismidest on seksuaalsed, võib ülalkirjeldatud bioloo- gilist kontseptsiooni pidada ühte erijuhtu käsitlevaks seisukohaks. Praktilises süstemaatiku töös on tänapäeval veel valitsev morfoloogiline kontseptsioon - hoolimata sellest, et kõik möönavad selle põhjendamatust ja anakronistlikku iseloomu. 1.1.4.1.5. Sellega ei piirdu veel kontseptsioonide mitmekesisus. Märki- gem Templetoni (1989) kohesioonikontseptsiooni. Selle järgi hoiab isendeid liigina koos mingi tegur: piiratud geenisiire; stabiliseeriv valik; ajaloo- lised, arengu- või ökoloogilised piirangud
Üldjuhul avaldavad tuludele ja kuludele mõju mitmed tegurid, mida nimetatakse vastavalt tulukäituriteks (müüdud kaubaühikute arv, müügihinnad jne) ja kulukäituriteks (valmistatud toodete arv, soetushinnad jne). Nimetatud tegurite vaheliste seoste analüüs on aluseks jääktulupõhise arvestuse kujundamisele ettevõttes (põllumajanduses tuntud kattetulu arvestus). Et kõikehõlmav KMK-analüüs on väga keeruline ja töömahukas, kasutatakse praktikas enamasti erijuhtu, võttes eelduseks, et on ainult üks tulukäitur ja üks kulukäitur (kas müüdud või valmistatud toodanguühikute kogus). Analüüsi edasi arendades on võimalik uurida kasumi 61 muutust seoses muutustega muutuv- ja püsikuludes, müügihindades, müügi mahus ja müüdava toodangu struktuuris. Tasakaalupunkt näitab tegevuse mahtu, kus kasumit ei teki aga müügitulud katavad täpselt ära kulud
objektile x rakendatav. Eesti keeles ei kasutata mitte ainult kahte tõesusastet: tõene ja väär, vaid tõesus varieerub sageli kindlas vahemikus. Me võime näiteks mingi lause kohta öelda, et see on täiesti tõene, osaliselt laene, peaaegu väär vms. Hägusloogika semantika kirjeldamiseks laiendame klassikalise interpretatsiooni mõistet .Klassikalist interpretatsiooni saab sellisel juhul vaadelda kui hägusa interpretatsiooni erijuhtu, kus kasutatakse ainult tõesusastmeid 0 ja 1. Samas peab hägusloogika semantika olema vastavuses loogikareeglitega ja meie intuitsiooniga ning lahendama soriitide paradoksid. Me asendasime tõeväärtused tõene ja väär vastavalt reaalarvudega 1 ja 0. Sellisel juhul on mõistlik vaadelda tõesusastme x eitust kui tõesusastet 1 x. Tõesusastmete x ja y konjunktsiooni väärtuseks võib võtta neist arvudest väiksema. Nende disjunktsiooni väärtuseks sobib aga suurem arvudest x ja y
annaabi.ee 
