Olgu u(x) ja v(x) diferentseeruvad funktsioonid hulgal X. Kuna () = + , = () - . Eeldades, et eksisteerib , on 14).(Määratud integraali aditiivsuse omadus tõestusega). Lause: määratud integraali võimalik võtta viimase seose mõlemast poolest määramaa integraal. Et () = aditiivsuse omadus: Kui < < , siis () [, ] () [, ] ()
Lause: Määratud integraali lineaarsuse omadus: Kui c1, c2R, siis Tõestus: Et funktsiooni integraasumma korral kehtib seos siis piirväärtus summast on piirväärtuste summa , kui piirväärtus mõlemast liidetavast eksisteerib ning konstantne tegur on toodav piirväärtuste märgi ette, siis 14.Määratud integraali aditiivsuse omadus tõestusega. Lause: määratud integraali aditiivsuse omadus: Kui , siis Tõestus: Kui on lõigu tükeldus, kusjuures c kuulub selle tükelduse osalõiku kus 1 on lõigu tükeldus punktidega x0,x1, ..., xk-1 , c ja 2 on lõigu tükeldus punktidega c, xk, ..., xn-1, xn. Lõigul integreeruv funktsioon on tõkestatud sellel lõigul põhjal saame
..+pn(x)y=f(x) (1) Moodustame Cauchy ülesande,selleks lisame lineaarsele võrran-dile n algtingimust: y(x 0)=y0; y'(x0)=y0(1);...;y(n-1(x0)=y0(n-1)Teoreem:Kui võrrandi(1) kordajad p0(x),p1(x),...,pn(x) (p0(x)≠0) ja vabaliige f(x) on pidevad vahemikus (a;b) ja x0є(a;b),y0,y0(1),...,y0(n-1)є(-∞,∞),siis võrrandil(1) leidub parajasti üks lahend y=y(x),mis rahuldab tingimusi(2).Aditiivsuse tõestus:L(y1+y2)=p0(x)(y1+y2)(n)+p1(x)(y1+y2)(n-1)+..+pn(x) (y1+y2)=p0(x)(y1 +y2 )+p1(x)(y1 +y2 )+..+pn(x)(y1+y2)=p0(x)y1(n)+p1(x)y1(n-1) +..+pn(x)y1+p0(x)y2(n)+p1(x)y2(n- (n) (n) (n-1) (n-1) 1) +..+pn(x)y2=Ly1+Ly2. Lahendite vahelised seosed-seame igale vahemikus (a;b) n-korda pidevalt diferentseeruvad fn y=y(x) vastavusse fn Ly järgmisse eeskirja. Siis saame lineaarse DV p 0(x)y(n)+p1(x)y(n-1)+...
.yon-1)D ** (*)g/y=-pn(x)/po(x) ** g/y'=-pn-1(x)/po(x) ... ** g/yn-1=-pn1(x)/po(x) (pidevad meie eelduse tõttu )(TÕESTATUD) ****Lahendite vahelised seosed: seame igale vahemikus (a;b) n-korda pidevalt diferentseeruvale fnle y=y(x) vastavusse fni Ly järgmisse eeskirja kohaselt:**Ly = p0(x)y(n) + p1(x)y(n-1) + ... + pn(x)y **nii defintud operaatorit L nim links difoperaatoriks. Selline oper rahuld aditiivsuse ja homog tingimusi **L(y1+y2)=Ly1+ly2 ja L(Cy)=C·Ly** Seega saan lin dV ** p 0(x)y(n) + p1(x)y(n- 1) + ... + p ny = f(x) ** lühidalt Ly = f (1) ** ning vastav homogeenne võrrand on kujul Ly = 0. (1 h) ***Omadus 1: Kui y1, y2, ..., yn on võrrandi (1 h) lahendid, siis on ka y = C 1y1 + C 2y2 + ... + C nyn **võrrandi (1h) lahend. **C1,C2,Cn-konst**Et y1,y2,yn on Ly=0 lahendid, ss (Ly1;Ly2;Lyn)=0 **Tõestuseks on vaja näidata, et kui Ly10, ..., Lyn0, siis L(C 1y1+... +Cnyn)0
xi+1 Pi-1 pindala asendatakse vastava paraboolse trapetsi pindalaga Si. Nii jõuame ligikaudsete valemiteni h h f ( x)dx 3 ( y h i 4 y i y i 1 ) (i=1, 3, 5, ...., 2n-1). Liites need ligikaudsed valemid, võime määratud integraali aditiivsuse omaduse põhjal kirjutada: b h a f ( x)dx 3 ( y0 4 y1 y 2 ) ( y 2 4 y3 y 4 ) ... ( y 2n2 4 y 2n1 y 2n ) ehk b b 1 1 1 f ( x)dx a 3n 2 y 0 2( y1 y 3 ..
.., Lyn≡0, siis L(C1y1+...+Cnyn)≡0. L(C1y1+C2y2+...+Cnyn)=L(C1y1)+L(C2y2)+...+L(Cnyn)=C1Ly1+C2Ly2+...+CnLyn=C10+...+Cn0=0. Omadus 2: Kui y1, y2, ..., yn on (1h) lahendid, y* on aga (1) lahend, siis y = C1y1 + C2y2 + ... + Cnyn + y* on (1) lahend. Tõestus on vaja näidata, et Ly≡f. Ly=L(C1y1+C2y2+...+Cnyn+Y*)=Lyhom+Ly*=0+Ly*, Ly*=f eelduse põhjal lin. mittehom. DV lahend. Eelduste kohaselt L(C1y1+C2y2+...+Cnyn)≡0, Ly*=f, siis L aditiivsuse tõttu L(yhom+y*)=Lyhom+Ly*=0+Ly*=f. Omadus 3: Olgu f=f1+f2. Kui y1 on võrrandi Ly=f1 lahend ja y2 on võrrandi Ly=f2 lahend, siis y=y1+y2 on võrrandi Ly=f lahend. Tõestus: Ly=L(y1+y2)=Ly1+Ly2=f1+f2=f. Omadus 4: Olgu y=u+iv võrrandi (1h) lahendiks, siis on ka u ja v võrrandi (1h) lahenditeks. Tõestus: L(u+iv)≡0, siis L(u+iv)=Lu+L(iv)=Lu+iLv≡0; Lu+iLv; i=√-1≠0. Aditiivsuse tõestus: L(y1+y2)=p0(x)(y1+y2)(n)+p1(x)(y1+y2)(n-1)+.
f (x)dx = - f (x)dx a a ehk a 2 f (x)dx = 0, a millest j¨areldubki v¨aide. Omadus 6 (M¨ a¨ aratud integraali l~ oigul aditiivsuse omadus). b c b f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx. a a c T~oestus. Oletame esiteks, et c asub l~oigul [a; b], st a < c < b. Defineerides vasakul asuvat m¨a¨aratud integraali jaotame l~oigu [a; b] osal~oikudeks, valides esimeseks jaotuspunktiks c
i =1 siis piirväärtust I nimetatakse funktsiooni f kolmekordseks integraaliks üle piirkonna E . Tähistus: fdV , f (P )dV , f (x, y, z )dxdydz E E E Piirkonna E ruumala arvutamine: n dxdydz = lim V (Ei ) = V (E ) , kus V (E ) on piirkonna E ruumala. ( f (x, y, z ) = 1 ) E 0 i =1 Kolmekordsel integraalil kehtivad aditiivsuse, lineaarsuse ja monotoonsuse omadused, mis on analoogsed kahekordse integraali vastavate omadustega. Omadus (keskväärtusteoreem): Kui funktsioon f on pidev kinnises tõkestatud sidusas piirkonnas E , siis leidub punkt Q E nii, et f (P )dV = f (Q )V (E ) . E 2. Kolmekordse integraali arvutamine Olgu ruumiline pind antud parameetrilisel kujul
i n 2.Määratud integraali aditiivsuse omadus tõestusega a
oluline ja kui saadud tulemus on suurem kui 2 siis erinevus ei ole oluline. 2. Dispersioonanalüüs On statistilise analüüsi meetod, mis põhineb dispersioonide arvutamisel ja võimaldab analüüsida faktorite mõju juhusliku suuruse keskväärtusele. Kõige lihtsamalt öeldes näitab dispersioonanalüüs, kas valimi rühmakeskmiste erinevus on põhjustatud uuritava faktori mõjust või valimi juhuslikkusest. Dispersioonanalüüs põhineb dispersioonide aditiivsuse (liidetavuse) omadusel. Tabelis 3 on toodud dispersioonide arvutamiseks kasutatud ja arvutatud abiväärtused. Dispersioonanalüüsi tulemused on toodud tabelis 4. Tabel 3. Abiväärtused dispersiooni leidmiseks Abiväärtused Tunnus Katseala 1 2 3 Kokku Vaatluste arv rühmas (n) H 50 50 50 150
k=1 a | || | |∑ ( ) | b n n n I = ∫ f ( x ) dx = lim ∑ f ( ξ k ) ∆ x k =lim f ξk ∆ x k ≤ ≤ lim ∑ ¿ a λ→0 k=1 λ→ 0 k=1 λ →0 k=1 Omadus 5. Määratud integraali aditiivsuse omadus lõigul b c b ∫ f ( x ) dx=∫ f ( x ) dx +∫ f ( x ) dx . a a c Tõestus Oletame, et c asub lõigul [a ; b] . Jaotame selle lõigu osalõikudeks valides esmaseks jaotuspunktiks c . Seejärel jätkates lõigu [a ;b] jaotamist tekivad lõikudel [a ; c] ja [c ; b] omakorda osalõigud. Integraalsumma kogu lõigu [a ; b] ulatuses on
rajaks. Lõiku [a;b] nimetatakse integreerimislõiguks Seejuures integereerimislõigu alguspunkti a nimetatakse alumiseks rajaks ja lõigu lõpp - punkti b ülemiseks rajaks. 88.Kuidas defineeritakse määratud integraal juhul, kui alumine raja on suurem ülemisest rajast? Juhul, kui rajad on võrdsed? 89.Tarvilik tingimus selleks, et funktsioon oleks antud lõigus integreeruv. 90.Piisavad tingimused funktsiooni integreeruvuseks 91.Määratud integraali aditiivsuse omadus. 92.Määratud integraali lineaarsuse omadus. 93.Määratud integraali monotoonsuse omadus. 94.Lõigus alt ja ülalt tõkestatud funktsiooni integraali omadus. 95.Lõigus pideva funktsiooni integraali omadus. 96.Newton-Leibnizi valem. 97.Ositi integreerimise valem määratud integraali leidmisel 98.Muutujate vahetus määratud integraali leidmisel
| || | | | b n n n I = ∫ f ( x ) dx = lim ∑ f ( ξ k ) ∆ x k =lim ∑ f ( ξk ) ∆ x k ≤ ≤ lim ∑ ¿ a λ→0 k=1 λ→ 0 k=1 λ →0 k=1 (L. Pallas) Omadus 5. Määratud integraali aditiivsuse omadus lõigul b c b ∫ f ( x ) dx=∫ f ( x ) dx +∫ f ( x ) dx . a a c Tõestus Oletame, et c asub lõigul [a ; b] . Jaotame selle lõigu osalõikudeks valides esmaseks jaotuspunktiks c . Seejärel jätkates lõigu [a ; b] jaotamist tekivad lõikudel [a ; c] ja [c ; b] omakorda osalõigud. Integraalsumma kogu lõigu [a ; b] ulatuses on
siis seda piirväärtust nim. funktsiooni z=f(z,y,z) esimest liiki joonintegraaliks mööda joont AB ehk joonintegraaliks kaare pikkuse järgi ja tähistatakse: (28.2.). Kui l on tasandiline joon, siis (28.2.) asemel saame integraali: Esimest liiki joonintegraali omadused: 1. Esimest liiki joonintegraal ei sõltu joone läbimise suunast, s.t. 2. Kui c on konstant, siis 3. 4. (aditiivsuse omadus) Kui C on mingi joon AB punkt, siis 5. Võttes esimest liiki joonintegraali definitsioonis f(x,y)1 saame Silinderpinna pindala. Olgu funktsioon z=f(x,y)0 pidev xy-tasandil asetseval joonel AB. Vertikaalse silinderpinna pindala avaldub valemiga . Joone mass. Kui joonel AB funktsioon z=f(x,y,z)0, siis on funktsioon z=f(x,y,z) tõlgendatav aine joontihedusena punktis P(x;y;z). Sellisel juhul korrutis on ligikaudu k-nda osakaare mass
D c 1( y) 3) kui integreerimispiirkond D on regulaarne, siis on kaksikintegraalid võrdsed ja integreerimisjärjelord määratakse vastavalt integreerimispiirkonna kujule nii, et arvutisi oleks võimalikult vähe ja nad oleksid võimalikult lihtsad. 4) kui D ei ole regulaarne, siis tuleb ta jaotada regulaarseteks osadeks, arvutada integraalid vastavalt eeltoodud valemitele ja kasutada lõpliku vastuse saamiseks aditiivsuse omadust ehk siis tulemused kokku liita. Üleminek ristkoordinaatidelt polaarkoordinaatidele kahekordses integraalis Teoreem: kui funktsioon w=f(x,y) on pidev kinnises piirkonnas D(x,y) ja (u , v) on piirkond, mille võrranditega x=x(u,v), y=y(u,v) määratud regulaarne teisendus kujutab piirkonnaks D, siis kehtib kahekordsete integraalide jaoks võrdus: f ( x, y)dxdy = f ( x(u, v), y(u, v)) J dudv , kus J
Lorentzi teguri abiga (3). Hollandi füüsik Antoon Lorentz (18531928) on klassikalise elektrodünaamika üks loojatest, kelle nime see tegur siis kannabki. Seisumassi ja kinemaatilise kordaja abil võib Einsteini kuulsa valemi nüüd anda uues kujus (4). Kinemaatiline tegur määrab massi käitumise kiiruse suurenemisel. Mass kasvab kiiruse kasvades ja muutub kiirusel c lõpmatuks. "Lohutuseks" massi "jooksutamise" eest jätavad relativistid rahule massi aditiivsuse: ka neil võrdub liitkeha mass osiste masside summaga. (Seoseenergiat me siin ei arvesta.) Mass on jääv suurus. Sest, kui isoleeritud süsteemi energia on jääv, ja mass on sama mis energia, peab ka mass olema jääv. Massituid osakesi relatiivse massi teoorias ei ole. Footonil on mass, mis võrdub footoni energiaga. Siin ei saa olla massi sõltuvust kiirusest, sest kõik footonid liiguvad valguse kiirusega. Energia ei sõltu kiirusest, vaid
vaid ärrituste katkemist 9. Harjumine ja sensitiseerumine. Kui isik või loom on mõnele ärritajale väga kaua eksposeeritud, siis tekib harjumine. Sensitiseerumine on mõne ärritaja suhtes jälle tundlikuks muutumine. Harjumine käitumusliku reaktsiooni ärritajaspetsiifiline nõrgenemine selle konkreetse ärrituse kestval kordumisel, kui sellele ärritusele ei järgne mingit isendile olulist tulemust. 10. Sisemiste ja väliste tegurite aditiivsuse küsimus. Sisemiste ja väliste tegurite suhteline tähtsus käitumises varieerub tugevasti, sõltuvalt konkreetsest käitumismustrist. Aditiivsus eeldab, et tugeva sisemise motivatsiooni korral esineb välisärritaja puudumisel "tühikäitumine". Ent usaldusväärseid näiteid vähe tugev välisärritaja võib käitumise esile kutsuda ka sisemise motivatsiooni puudumisel. Näiteid veelgi vähem 11. Otsustamine loomadel.
nagu ennustas psühhohüdrauliline mudel seda ei saa taandada mingile ASE ammendumisele mõnikord käitumuslik reaktsioon nõrgeneb (näiteks harjumise tõttu), mõnikord aga hoopis tugevneb (näiteks sensitiseerumise tõttu) mõnikord on reaktsiooni taastumiseks vaja tegevuse, mõnikord aga ärrituse katkemist mõnikord piisab lihtsalt ärrituse teisenemisest (nagu selgsõuduri või roti puhul). Käitumise aditiivsuse hüpoteesi paikapidavus Esiteks, vähemalt mitte iga käitumise puhul ei esine vastastikust kompenseerimist sisemiste ja väliste tegurite vahel. Sõltuvalt konkreetsest käitumismustrist on organismisisestel ja –välistel teguritel väga erinev suhteline roll. o näiteks puuris peetav hiir ilmutab harilikult väga vähe uurimiskäitumist, kuid alustab sellega kohe, kui ta viia uude puuri. Järelikult on siin määravaks väline tegur
Antud juhul pole tegu millegi ammendumisega, vaid harjumisega. Harjumine – käitumusliku reaktsiooni ärritajaspetsiifiline nõrgenemine selle konkreetse ärrituse kestval kordumisel, kui sellele ärritusele ei järgne mingit isendile olulist tulemust. Sensitiseerumine - mõnda tegevust, mis on varem juba mitu korda käivitunud, on edaspidi hoopis kergem sooritada. Coolidge efekt – käitumine algab uuesti, kui ärritus teiseneb. Käitumist esilekutsuvate sisemiste ja väliste tegurite aditiivsuse eeldus ja tänapäevased seisukohad selle suhtes. Sisemiste ja välimiste tegurite mõjud liituvad klassikalise motivatsiooniteooria järgi. Tänapäevased seisukohad: (1) sisemiste ja väliste tegurite suhteline tähtsus käitumises varieerub tugevasti, sõltuvalt konkreetsest käitumismustrist. (2) sisemistel ja välistel teguritel esineb mitmesugune koosmõju, kuid liituvus on pigem erandlik juhtum. N: Mida punasem on isane gupi, seda suurem on sisemine ärritaja, et paarituda.
f (x)dx = - f (x)dx a a ehk a 2 f (x)dx = 0, a millest j¨areldubki v¨aide. Omadus 6 (M¨ a¨ aratud integraali l~ oigul aditiivsuse omadus). b c b f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx. a a c T~oestus. Oletame esiteks, et c asub l~oigul [a; b], st a < c < b. Defineerides vasakul asuvat m¨a¨aratud integraali jaotame l~oigu [a; b] osal~oikudeks, valides esimeseks jaotuspunktiks c
a b a Definitsiooni täiendused: a < b f ( x )dx := - f ( x )dx , f (x )dx := 0 b a a Riemanni integraali aditiivsuse omadus Teoreem: Olgu funktsioon f integreeruv lõigus I ja olgu a, b, c selle lõigu punktid. Kehtib seos b c b f (x )dx = f (x )dx + f (x )dx . a a c
Näide: [Fig. 10-5 kuni 10-11] Fig. 10-5 näitab, et F1 üldefekt on 20 ja F2 üldefekt on 60. Fig. 10-6 näeme 2*2 FE, kus puudub interaktsioon. Teades ühe välja väärtust, saame üldefekte teades leida teiste väljade väärtused. Tulemused on seega aditiivsed. Aditiivsus on seega tunnus, mis näitab interaktsiooni puudumist 2 sõltumatu muutuja vahel. Aditiivsuse e. interaktsiooni puudumise tähtsaim tunnus on see, et graafikud on paralleelsed. Antud juhul Fig.10-7 esineb kummagi faktori üldefekt, kuid nendevaheline interaktsioon puudub. Kui graafikud ei ole paralleelsed nagu Fig.10-9, siis see näitab interaktsiooni faktorite vahel. Interaktsioon võib olla nö. samasuunaline (Fig. 10-8 ja 10-9) või vastassuunaline (Fig. 10-10 ja 10-11).
Kui a b, siis b a f (x)dx := - f (x)dx. a b Erijuhul, kui a = b, siis a f (x)dx = 0. a Lause (ma¨ aratud ¨ integraali aditiivsuse omadus) Kui a < c < b, siis f (x) I [a, c] f (x) I [c, b] b c b f (x) I [a, b] f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx. a a c ¨ G. Tamberg (TTU) YMM3731 Matemaatilne analu¨ us
võredefektide kontsentratsiooni suurenemisest temperatuuri tõusul. 7.7. Lisandite mõju materjalide elektrijuhtivusele Lisandtakistus sõltub lisandi kontsentratsioonist vastavalt I = AC i (1 -C i ), (joon. 7.8) kus - lisandist põhjustatud takistus; C i - lisandi kontsentratsioon, aatomosa; A - konstant, sõltub aga nii põhiainest kui ka lisandist (joon. 7.10). Kahefaasilise sulami puhul, milline koosneb ja faasidest, kehtib aditiivsuse põhimõte I = V + V kus, V ja V vastavate faaside mahtosad; ja - vastavate faaside individuaalsed takistused 7.8. Pooljuhid Pooljuhtmaterjalide elektrijuhtivus on madalam kui metallidel. Samal ajal neil on terve rida unikaalseid elektrilisi omadusi, mis teeb nad tänapäeva tööstuses laialt levinuks. Nende materjalide elektrijuhtivus on erakordselt tundlik lisandite üliväikeste kontsentratsioonide suhtes.
PINDALA JA RIEMANN'I INTEGRAAL 9.4 Määratud integraali omadused Kõigis järgnevates omadustes eeldame vaadeldavate integraalide olemasolu vastavas lõigus. Omadus 9.1 Kehtib seos b a f (x) dx = - f (x) dx. (9.7) a b Omadus 9.2 Olgu c [a, b]. Siis kehtib (aditiivsuse) seos b c b f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx. (9.8) a a c Allikas: [19] Omadus 9.3 Kehtib (lineaarsuse) seos b b b
2. Vaatleme üldist juhtu, kus vahemikus (a, b) on funktsioonil katkevuspunktid c1 < c2 < . . . < cp . Valime punktid d1 , d2 , . . . , dp+1 nii, et a < d1 < c1 < d2 < c2 < . . . < cp < dp+1 < b, siis igas lõigus [a, d1 ] , [d1 , c1 ] , [c1 , d2 ] , . . . , [dp+1 , b] võib funktsioon f olla katkev vaid lõigu ühes otspunktis. Tõestuse esimese osa kohaselt on f igas sellises osalõigus integreeruv, vas- tavalt aditiivsuse omadusele 5.8 on ta integreeruv lõigus [a, b] . 5.5 Diferentsiaal-integraalarvutuse põhiteoreem Käesolevas alapunktis tõestame teoreemi, mis seob matemaatilise analüüsi kaks haru, diferent- siaal- ja integraalarvutuse. Selle teoreemi kõige tähtsam järeldus, mida nimetatakse Newton– Leibnizi valemiks, on meile hästi tuntud eelnevatest matemaatilise analüüsi kursustest. Olgu funktsioon f lõigus [a, b] integreeruv. Omaduse 5.7 kohaselt eksisteerib iga x ∈ [a, b]
annaabi.ee 
