Matemaatiline analüüs I 2. teooria KT vastused (0)

TÕESTUSED, TULETUSKÄIGUD, PÕHJENDUSED!!!
23. Funktsiooni muudu esitus diferentsiaali ja jääkliikme summana
∆y = f’(a)∆x + β , kus β = r(∆x)∆x
Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu ∆ x suhtes, kui ∆ x läheneb nullile ? (tõestada!).
funktsiooni muut ∆y koosneb kahest liidetavast, millest esimene on diferentsiaal dy = f’(a)∆x ja teine on β. M˜olemad liidetavad on l˜opmatult kahanevad protsessis ∆x → 0. V˜ordleme neid suurusi ∆x suhtes. Esiteks, eelduse f’(a)  0 p˜ohjal saame
lim dy ∆x= lim f’(a)/∆x* ∆x= lim f’(a) = f(a)  0.
∆x→0 ∆x→0 ∆x→0
Teiseks kehtib
lim β/ ∆x = lim r(∆x)∆x /∆x = lim r(∆x) = 0.
∆x→0 ∆x→0 ∆x→0
N¨aeme, et esimene liidetav, so diferentsiaal dy on sama j¨arku l˜opmatult kahanev suurus kui ∆x ja teine liidetav β on k˜orgemat j¨arku l˜opmatult kahanev suurus ∆x suhtes. J¨ arelikult v¨aikese ∆x korral hakkab diferentsiaal funktsiooni muudu avaldises domineerima. Seet˜ottu v˜oime lugeda diferentsiaali dy funkt- siooni muudu peaosaks. J¨a¨akliikme β v˜oib v¨aikese ∆x korral funktsiooni muudu avaldises ¨ara j¨atta. Kehtib ligikaudne valem
∆y ≈ dy kui ∆x ≈ 0.
Loetleda diferentsiaali omadused.
1. d(u + v) = du + dv,
2. d(u − v) = du − dv,
3. d(uv) = vdu + udv,
4. d(Cu) = Cdu, C − konstant,
5. d(u/ v)= (vdu−udv)/ v2 kui v  0.
24. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid .
Oeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum, kui
1. funktsioon f on m¨a¨aratud punkti x1 mingis u¨ mbruses (x1 − Ɛ²,x1 +Ɛ ²);
2. iga x ∈ (x1 − Ɛ²,x1 +Ɛ ²) korral kehtib v˜orratus f(x) ≤ f(x1).
¨ Oeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne miinimum, kui
1. funktsioon f on m¨a¨aratud punkti x1 mingis u¨mbruses (x1 − Ɛ²,x1 +Ɛ ²);
2. iga x ∈ (x1 − Ɛ²,x1 +Ɛ ²) korral kehtib v˜orratus f(x) ≥ f(x1).
Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funkt- siooni lokaalseteks ekstreemumiteks.
Sõnastada ja tõestada Fermat ’ lemma .
Kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne ekstreemum ja funktsioon on diferentseeruv selles punktis, siis f’(x1) = 0.
T˜oestus. Vaatleme juhtu, kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum. Siis, vastavalt lokaalse maksimumi definitsioonile, leidub punkti x1 u¨mbrus nii, et iga x korral sellest u¨mbrusest kehtib v˜orratus
f(x) − f(x1) ≤ 0
Selles u¨mbruses asuva arvu x me saame v˜otta punktist x1 nii vasakult kui ka paremalt. Asugu x punktist x1 vasakul. Siis x − x1 f(x) − f(x1)/ x − x1 ≥ 0.
See v˜orratus j¨a¨ab kehtima ka siis, kui me v˜otame temast piirv ¨a¨artuse protsessis x → x1. Seega tuletise definitsiooni p˜ohjal
F’(x1) = lim f(x) − f(x1)/ x − x1 ≥ 0.
x→x1
J¨argnevalt olgu x punktist x1 paremal. Siis x − x1 > 0. Jagades v˜orratuse positiivse arvuga x − x1 saame
f(x) − f(x1)/ x − x1 ≤ 0.
V˜otame piirv¨a¨artuse:
F’(x1) = lim f(x) − f(x1)/ x − x1 ≤ 0.
x→x1
V˜orratused n¨aitavad, et f’(x1) ≥ 0 ja f’(x1) ≤ 0. See on v˜oimalik vaid siis, kui f’(x1) = 0. Seega on lemma t˜oestatud juhul, kui x1-s on lokaalne miinimum. Analoogiliselt saab k¨asitleda ka juhtu, kui x1-s on lokaalne miinimum.
25. Sõnastada ja tõestada Rolle’i teoreem .
Kui funktsioon f on l˜oigul [a,b] pidev, vahemikus (a,b) diferentseeruv ja rahuldab tingimust f(a) = f(b), siis leidub vahemikus (a,b) v¨ahemalt u¨ks punkt c nii, et f’(c) = 0.
T˜oestus. Kuna f(x) on pidev l˜oigul [a,b], siis saavutab ta oma suurima ja v¨ahima v¨a¨artuse sellel l˜oigul. Olgu M suurim v¨a¨ artus ja m v¨ahim v¨a¨artus. Kui M = m, siis on funktsioon l˜oigul [a,b] konstantne , st k˜oigi x ∈ [a,b] korral kehtib f(x) = M = m. Sellisel juhul on f(x) tuletis nullfunktsioon, st f’(x) ≡ 0, ja teoreemi v¨ aide on t¨aidetud iga c ∈ (a,b) korral.
Edasi vaatleme juhtu, kui M  m. Funktsioon v˜oib oma absoluutse ekstreemumi saavutada kas l˜oigu [a,b] otspunktis v˜oi vahemikus (a,b). Oletame k˜oigepealt, et m˜olemad absoluutsed ekstreemumid saavutatakse l˜oigu otspunktides a ja b. Siis on f(x) v¨a¨artus u¨hes otspunktis M ja teises otspunktis m ning v˜orratusest M  m tuleneb, et f(x) v¨a¨artused l˜oigu otspunktides on erinevad. Kuid me ju eeldasime, et funktsiooni v¨a¨artused l˜oigu otspunktides on v˜ordsed (vt tingimus f(a) = f(b) teoreemi s˜onastuses!). Tekib vastuolu. J¨arelikult ei olnud oletus , et m˜olemad absoluutsed ekstreemumid saavutatakse l˜oigu ots- punktides a ja b, ˜oige.
Funktsioon f(x) peab v¨ahemalt u¨he oma absoluutsetest ekstreemumitest (kas suurima v˜oi v¨ahima v¨a¨artuse) saavutama vahemikus (a,b) asuvas punktis. T¨ahistame selle punkti c-ga. Kuna vahemikus (a,b) asuv absoluutne ekstreemum on u¨htlasi ka lokaalne ekstreemum, omab funktsioon f lokaalset ekstreemumit punktis c. Peale selle on f teoreemi eelduste p˜ohjal diferentseeruv punktis c. J¨arelikult, Fermat’ lemma p˜ohjal saame f’(c) = 0. Teoreem on t˜oestatud.
Rolle’i teoreemi geomeetriline sisu.
Teoreemi eeldustel on funktsiooni y = f(x) graafik sile joon, mille otspunktid A = (a,f(a)) ja B = (b,f(b)) asuvad x-telje suhtes samal k˜orgusel. Teoreem v¨aidab, et sellisel juhul leidub vahemikus (a,b) v¨ahemalt u¨ks punkt c, mille korral funktsiooni tuletis on null, st funktsiooni graafiku puutuja on paralleelne x- teljega .
Sõnastada ja tõestada Cauchy teoreem.
Kui funktsioonid f ja g on l˜oigul [a,b] pidevad , vahemikus (a,b) diferentseeruvad ja iga x ∈ (a,b) korral kehtib v˜orratus g’(x)  0, siis leidub vahemikus (a,b) v¨ahemalt u¨ks punkt c nii, et
f(b) − f(a) /g(b) − g(a)=f’(c)/ g’(c)
T˜oestus. Defineerime j¨argmise funktsiooni:
Arvutame:
F(a) = f(a) – (f(b)−f(a)/ g(b)−g(a))* (g(a) − g(a)) = f(a),
F(b) = f(b) − f(b)−f(a)/ g(b)−g(a) *(g(b) − g(a)) = f(b) − (f(b) − f(a)) = f(a).
Seega F(a) = F(b). ¨Uhtlasi on F(x) pidev l˜oigul [a,b] ja diferentseeruv va- hemikus (a,b). J¨arelikult rahuldab F(x) Rolle’i teoreemi eeldusi . Rolle’i teo- reemi p˜ohjal leidub vahemikus (a,b) v¨ahemalt u¨ks punkt c nii, et F’(c) = 0. Valemist leiame funktsiooni F(x) tuletise: F’(x) = f’(x) − f(b) − f(a) /g(b) − g(a) *g’(x).
Seega
F’(c) = f’(c) − f(b) − f(a)/ g(b) − g(a)*g’(c) = 0.
Siit j¨areldub, et
F’(c) = f(b) − f(a)/ g(b) − g(a)*g’(c).
Jagades suurusega g’(c), mis eelduse t˜ottu erineb nullist, saame valemi. Teoreem on t˜oestatud.
Sõnastada ja tõestada Lagrange ’i teoreem.
Kui funktsioon f on l˜oigul [a,b] pidev ja vahemikus (a,b) diferentseeruv, siis leidub vahemikus (a,b) v¨ahemalt u¨ks punkt c nii, et
f(b) − f(a) = f’(c)(b − a).
T˜oestus. Lagrange’i teoreem on Cauchy teoreemi erijuht . T˜oepoolest, v˜ottes Cauchy teoreemis g(x) = x saame g(b) = b, g(a) = a, g’(c) = 1 ja j¨areldubki (3.26).
Lagrange’i teoreemi geomeetriline sisu.
Lagrange’i teoreem v¨aidab, et sileda joone l˜oikaja saab paralleellu¨kkega viia selle joone puutujaks.
26. Sõnastada ja tõestada l’Hospitali reegel 0/ 0 tüüpi määramatuse korral.
Olgu funktsioonid f ja g diferentseeruvad punkti a mingis u¨mbruses, kusjuures g’(x)  0 iga x korral sellest u¨mbrusest. Peale selle, olgu
f(a) = g(a) = 0.
Kui eksisteerib piirv¨a¨artus lim x→a f’(x) /g’(x), siis eksisteerib ka piirv¨aa¨ rtus lim x→a f(x)/ g(x) ja kehtib valem lim x→a f(x)/ g(x)= lim x→a f’(x)/ g’(x)
T˜oestus. Valime suvalise punkti x  a teoreemi s˜onastuses mainitud arvu a u¨mbrusest. Tekib kaks v˜oimalust:
1. x > a. Siis Cauchy teoreemi p˜ohjal leidub vahemikus (a,x) punkt c nii, et
f(x) − f(a) /g(x) − g(a)=f’(c) /g’(c)
2. x Kuna eelduse kohaselt f(a) = g(a) = 0, siis j¨areldub v˜ ordus f(x)/ g(x) = f’(c)/ g’(c) .
Kui x → a, siis c → a, sest c paikneb x ja a vahel. J¨arelikult
lim x→a f(x) /g(x) = lim x→a f’(c)/ g’(c) = lim c→a f’(c)/ g’(c)
Muudame avaldise paremal poolel asuva piirv¨a¨artuse lim c→a f’(c)/ g’(c) t¨ahistust
asendades seal muutuja c muutujaga x, st lim c→a f’(c)/ g’(c) asemel kirjutame lim x→a f’(x)/ g’(x). Tulemusena saame valemi . Eelduse kohaselt eksisteerib valemi paremal poolel olev piirv¨a¨artus
lim x→a f’(x) /g’(x). J¨arelikult eksisteerib ka vasakul pool olev piirv¨a¨artus lim x→a f(x)/ g(x). Teoreem on t˜oestatud.
27. Kõrgemat järku tuletiste ja diferentsiaalide definitsioonid.
Funktsiooni y = f(x) n-j¨arku tuletiseks nimetatakse selle funktsiooni n − 1 - j¨arku tuletise tuletist ja t¨ahistatakse f(n). L˜oplikku n-j¨arku tuletist omavat funktsiooni nimetatakse n-korda diferentseeruvaks. Kui funktsioonil on olemas k˜oik tuletised f(n), kus n = 1,2,3,..., ja neil on l˜oplikud v¨a¨artused, siis nimetatakse seda funktsiooni l˜opmata arv kordi dife- rentseeruvaks.
Funktsiooni y = f(x) n-j¨arku diferentsiaaliks nimetatakse selle funktsiooni n − 1 - j¨arku diferentsiaali diferentsiaali ja t¨ahistatakse. dny. Kehtib valem
dny(x) = f(n)(x)dxn .
Tuletada kõrgemat järku diferentsiaalide valemid.
valem dy = f’(a)dx funktsiooni y = f(x) diferentsiaali dy jaoks. Suurus dy s˜oltub punktist a, kus ta arvutatakse, ja argumendi muudust dx. Olgu dx konstantne suurus. Siis on dy arvu a funktsioon, st dy(a) = f’(a)dx. T¨ahistame selles valemis suuruse a u¨ mber x-ga. Saame
dy(x) = f’(x)dx
Selles t¨ahistuses on diferentsiaal argumendi x funktsioon. Kui see funktsioon on piisavalt heade omadustega, v˜oib temast uuesti diferentsiaali arvutada. Niiviisi saame me funktsiooni f teist j¨arku diferentsiaali. Seda t¨ahistatakse d2y. Tuletame valemi teist j¨arku diferentsiaali jaoks. Kasutades v˜ordust arvutame:
d2y(x) = d[dy(x)] = d[f’(x)dx] = d[f’(x)]dx = [f’(x)]’dxdx = f’’(x)dx2 .
Seega
d2y(x) = f’’(x)dx2 . (3.33)
V˜ottes teist j¨arku diferentsiaalist diferentsiaali saame kolmandat j¨arku dife- rentsiaali d3y. Kasutades juba tuletatud valemeid (3.32) ja (3.33) arvutame:
d3y(x) = d[d2y(x)] = d[f’’(x)dx2] = d[f’’(x)]dx2 = [f’’(x)]’dxdx2 = f’’’(x)dx3 .
J¨arelikult
d3y(x) = f’’’(x)dx3 .
28. Funktsiooni Taylori polünoom (tuletada vastav valem).
Pn(a) = f(a), P’ n(a) = f’(a), ... , P(n) n (a) = f(n)(a)
Otsime meid huvitavat polu¨ noomi j¨argmisel kujul:
Pn(x) = C0 + C1(x − a) + C2(x − a)2 + C3(x − a)3 +C4(x − a)4 + ... + Cn(x − a)n
kus C0,C1,...,Cn on konstantsed kordajad . Nende kordajate m¨a¨aramiseks arvutame k˜oigepealt Pn tuletised kuni j¨arguni n:
P’ n(x) = 1C1 + 2C2(x − a) + 3C3(x − a)2 + 4C4(x − a)3 +... + nCn(x − a)n−1 ,
P’’ n(x) = 2 · 1C2 + 3 · 2C3(x − a) + 4 · 3C4(x − a)2 +... + n(n − 1)Cn(x − a)n−2
P’’’ n (x) = 3 · 2 · 1C3 + 4 · 3 · 2C4(x − a) +... + n(n − 1)(n − 2)Cn(x − a)n−3 , · · ·
P(n) n (x) = n(n − 1)(n − 2) · ... · 2 · 1Cn .
Pannes neis avaldistes ja valemis muutuja x v˜orduma a-ga saame
Pn(a) = C0 , P’ n(a) = 1!C1 , P’’ n(a) = 2!C2 , P’’’ n (a) = 3!C3 , ..., P(n) n (a) = n!Cn .
Su¨mbol n! t¨ahistab arvu n faktoriaali :
n! = 1 · 2 · ... · n.
Kasutades tingimusi tuletame j¨argmised valemid kordajate C0,C1,...,Cn jaoks:
C’ = f(a),
C1 =f’(a) 1!
C2 =f’’(a) 2!
C3 =f’’’(a) 3!
Cn =f(n)(a) n!
Seega saame valemi kirjutada j¨argmisel kujul:
Pn(x) = f(a) +f’(a) 1!(x − a) +f’’(a) 2!(x − a)2+f’’’(a) 3!(x − a)3 + ... + f(n)(a) n!(x − a)n .
Polu¨noomi Pn nimetatakse funktsiooni f Taylori polu¨noomiks ehk n-j¨arku l¨ahen- diks punkti a u¨mbruses. Kui x ≈ a, siis kehtib ligikaudne valem
f(x) ≈ Pn(x).
Millal nimetatakse Taylori polünoomi McLaurini polünoomiks?
Kui a = 0, siis nimetatakse Taylori polu¨noomi ka McLaurini polu¨noomiks.
29. Funktsiooni kasvamise ja kahanemise seos tuletise märgiga . Tõestada vastav teoreem.
Olgu funktsioon f diferentseeruv vahemikus (a,b). Siis kehtivad j¨argmised v¨aited:
1. Kui f’(x) > 0 iga x ∈ (a,b) korral, siis f on kasvav vahemikus (a,b).
2. Kui f’(x) Tõestus:
T˜oestame v¨aite 1. Olgu f’(x) > 0 iga x ∈ (a,b) korral. Valime vahemikus (a,b) kaks suvalist punkti x1 ja x2 nii et x1 f(x2) − f(x1) = f’(c)(x2 − x1)
Selle v˜orduse paremal poolel olev tuletis f’(c) on nullist suurem, kuna me eeldasime f’(x) positiivsust vahemikus (a,b). Nullist suurem on ka vahe x2 − x1, kuna me valisime punktid x1 ja x2 selliselt , et x1 0. Sellest j¨areldubki soovitud v˜orratus f(x1) 30. Funktsiooni kriitilise punkti definitsioon.
Funktsiooni argumendi v¨a¨artusi, mille korral tuletis v˜ordub nulliga v˜oi l˜oplik tuletis puudub, nimetatakse selle funktsiooni kriitilisteks punktideks (t¨apsemini: esimest j¨arku kriitilisteks punktideks).
Funktsiooni lokaalse ekstreemumi tarvilik tingimus .
Kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne ekstreemum, siis on x1 selle funktsiooni kriitiline punkt.
Tarviliku tingimuse põhjendus.
Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite piisavad tingimused .
I - Olgu x1 funktsiooni f kriitiline punkt.
1) Kui l¨abides punkti x1 vasakult paremale funktsiooni tuletise m¨ark muutub plussist miinuseks, siis on funktsioonil selles punktis lokaalne maksimum.
2) Kui aga l¨abides punkti x1 vasakult paremale funktsiooni tuletise m¨ark muutub miinusest plussiks, siis on funktsioonil selles punktis lokaalne miinimum.
II - Olgu funkt- siooni f kriitiline punkt x1 selline, et f0(x1) = 0. Kui f00(x1) 0, siis on funktsioonil f punktis x1 lokaalne miinimum.
Piisavate tingimuste põhjendused.
31. Nõgusa ja kumera joone definitsioonid.
Oeldakse, et joon y = f(x) on n˜ogus, kui liikudes vasakult paremale selle joone puutuja t˜ous suureneb. ¨Oeldakse, et joon y = f(x) on kumer, kui liikudes vasakult paremale selle joone puutuja t˜ous v¨aheneb.
Nõgususe ja kumeruse seos teist järku tuletise märgiga . Selles seose põhjendus.
Olgu funktsioon f kaks korda diferentseeruv vahemikus (a,b). Siis kehtivad j¨argmised v¨aited:
1. Kui f’’(x) > 0 iga x ∈ (a,b) korral, siis on joon y = f(x) n˜ogus vahemikus (a,b).
2. Kui f’’(x) Joone käänupunkti definitsioon.
Punkti, mis eraldab pideva joone kumerat osa n˜ogusast, nimetatakse selle joone k¨a¨anupunktiks.
Käänupunkti tarvilik tingimus koos põhjendusega.
Kui P = (x1,f(x1)) on joone y = f(x) k¨a¨anupunkt, siis x1 on funktsiooni f teist j¨arku kriitiline punkt.
Käänupunkti piisav tingimus koos põhjendusega.
Olgu x1 funktsiooni f teist j¨arku kriitiline punkt. Kui l¨abides seda punkti funktsiooni teine tuletis muudab m¨arki, siis on P = (x1,f(x1)) joone y = f(x) k¨a¨anupunkt.
32. Joone asümptoodi definitsioon.
Sirget l nimetatakse joone y = f(x) asu¨mptoodiks, kui joone y = f(x) jooksva punkti eemaldumisel l˜opmatusse selle punkti kaugus sirgest l l¨aheneb nullile.
Vertikaalasümptoot.
Need on y-teljega paralleelsed sirged . Asu¨mptoodi v˜orrand on x = a.
Millistel tingimustel on sirge a= x joonef (x)=y vertikaalasümptoot.? Põhjendada.
Sirge x = a on joone y = f(x) asümptoodiks siis ja ainult siis, kui kehtib
vähemalt üks järgmistest piirväärtustest:
lim f(x)= - ∞
xa-
lim f(x)= - ∞
xa+
lim f(x)= ∞
xa-
lim f(x)= ∞
xa+
Kaldasümptoot ja horisontaalasümptoot.
Need on sirged, mis ei ole paralleelsed y-teljega. Asumptoodi v~orrand on y = kx + b, kus k on asumptoodi t~ous. Kaldasumptoodi erijuht on horisontaalasumptoot, mis on paralleelne x-teljega. T~ous k on sellisel juhul v~ordne nulliga, st asumptoodi v~orrand on y = b.
Tuletada valemid kaldasümptoodi võrrandi kordajate jaoks piirprotsessis x∞ .
Kui x → ∞, siis eemaldub punkt M = (x,f(x)) l˜opmatusse m¨o¨oda joont y = f(x). Kuna y = kx+b on joone y = f(x) asu¨mptoot, siis punkti M kaugus sirgest y = kx + b l¨aheneb nullile. T¨ahistame punkti M ristprojektsiooni sirgel y = kx + b t¨ahega P. Kuna punkti M kaugus sirgest y = kx + b v˜ordub l˜oigu MP pikkusega |MP|, saame
lim x→∞ |MP| = 0.
¨ Uhtlasi n¨aeme jooniselt, et |MN| = |MP| /cosα , kus α on asu¨mptoodi t˜ousunurk. Kuna α j¨a¨ab muutumatuks protsessis x → ∞, siis
lim x→∞ |MN| = lim x→∞ |MP| /cosα = 1 /cosα lim x→∞ |MP| = 0
Edasi paneme t¨ahele, et |MN| v˜ordub funktsioonide f(x) ja kx + b v¨a¨artuste vahega, st
|MN| = f(x) − kx − b.
Seega lim x→∞ [f(x) − kx − b] = 0
Tuues x sulgude ette saame
lim x→∞ x *(f(x)/ x)− k –(b/ x)= 0.
Selles valemis oleva korrutise x * (f(x)/ x)− k –(b/ x) esimene tegur x l¨aheneb l˜opmatusele, kuid korrutis ise l¨aheneb nullile. J¨arelikult peab teine tegur l¨ahenema nullile, st
lim x→∞ (f(x)/ x)− k –(b/ x)= 0.
Selles avaldises b /x → 0, kui x → ∞. Seega
lim x→∞(f(x)/ x− k)= 0 ehk lim x→∞ f(x)/ x− k = 0
ehk
k = lim x→∞ f(x)/ x
b = lim x→∞ [f(x) − kx].
Kokkuv˜ottes oleme t˜oestanud j¨argmise teoreemi:
Teoreem 4.8. Kui y = kx+b on joone y = f(x) asu¨mptoot protsessis x → ∞, siis k ja b avalduvad valemitega (4.5) ja (4.6).
33. Algfunktsiooni definitsioon .
Funktsiooni F nimetatakse funktsiooni f algfunktsiooniks hulgas D, kui iga x ∈ D korral kehtib v˜ordus F’(x) = f(x).
Sõnastada ja tõestada teoreem algfunktsioonide üldavaldise kohta.
Kui F on funktsiooni f algfunktsioon hulgas D, siis k˜oik funk - tsiooni f algfunktsioonid hulgas D avalduvad kujul F + C, kus C on suvaline konstant.
T˜oestus. Olgu F funktsiooni f algfunktsioon hulgas D. K˜oigepealt kontrollime kas funktsioonid kujul F+C, kus C on konstant, on t˜oepoolest f algfunktsioonid hulgas D. Kuna F’(x) = f(x) iga x ∈ D korral, siis
[F(x) + C]’ = F’(x) + C’ = F’(x) = f(x) iga x ∈ D korral,
mis n¨aitab, et suvaline funktsioon F + C, kus C on konstant, on t˜oesti f alg- funktsioon hulgas D. T˜oestame nu¨u¨d teoreemi v¨aite: f-i k˜oik algfunktsioonid hulgas D avalduvad kujul F +C. Selleks oletame vastuv¨aiteliselt, et f-l leidub algfunktsioon G, mis ei avaldu kujul F +C. Arvutame G ja F vahe tuletise. Kuna G ja F on u¨he ja sama funktsiooni f algfunktsioonid hulgas D, siis saame
(G(x) − F(x))’ = G’(x) – F’(x) = f(x) − f(x) = 0 iga x ∈ D korral.
Nulltuletist omab aga ainult konstantne funktsioon. Seega G − F = C, kus C on mingi konstant. Viimasest v˜ordusest saame seose G = F +C, mis n¨aitab, et G ikkagi avaldub kujul F + C. J˜oudsime vastuolule. Teoreem on t˜oestatud.
Funktsiooni määramata integraal ja selle geomeetriline sisu.
Funktsiooni f algfunktsioonide u¨ldavaldist F(x)+C, kus C on konstant, nimetatakse funktsiooni f m¨a¨aramata integraaliks ja t¨ahistatakse ʃf(x)dx. Seega definitsiooni kohaselt
ʃ f(x)dx = F(x) + C , C − konstant
Algfunktsiooni leidmist nimetatakse integreerimiseks.
Kujutades seda funktsioonideparve graafiliselt tasandil xy-koordinaadistikus saame joonteparve, mille jooned on u¨ksteisest tuletatavad y-telje sihilise paralleellu¨kke abil
34. Integraalide tabel.
1. ʃdx = x + C , kuna (x + C)’ = 1.
2. ʃxa dx = x a+1 /(a+1) + C, kus a −1,
Kuna (x a+1 /a+1 + C)’= (a + 1)* xa /a+1 = xa.
3.ʃdx /x = ln|x| + C.
4. ʃa x dx = a x/ lna + C , kus a > 0,a  1
5. ʃsinx dx = −cosx + C.
6. ʃcosxdx = sinx + C.
7.ʃdx /cos2 x = tanx + C.
8.ʃ dx /sin2 x = −cotx + C.
9. ʃdx /k 2+x 2 = 1/k * arctan x/k + C.
Erijuht: ʃ dx /1+x2 = arctanx + C.
10.ʃdx /√ k2−x2= arcsin x/ k + C.
Määramata integraali omadused (sh omadus 3 koos tõestusega).
1.ʃ[f(x) ± g(x)]dx =ʃf(x)dx ±ʃg(x)dx.
NB! Omadus 1 ei kehti korrutamise ja jagamise korral! See t¨ahendab, et ʃ [f(x)g(x)]dx  ʃ f(x)dx · ʃg(x)dx ja ʃ [f(x) : g(x)]dx  ʃf(x)dx : ʃ g(x)dx.
2. ʃaf(x)dx = a ʃf(x)dx, kus a on konstant.
3. Kui ʃf(x)dx = F(x) + C ja a, b on konstandid, siis ʃ f(ax + b)dx = 1/ a * F(ax + b) + C.
T˜oestame omaduse 3. Selleks me peame n¨ aitama , et
( 1 /a * F(ax + b) + C )’= f(ax + b).
Kasutades liitfunktsiooni diferentseerimise eeskirja ja v˜ordust F’(x) = f(x) saame seose
(1/ a * F(ax + b) + C )’ = 1 /a *[F(ax + b)]’ = 1 /a* F’(ax + b) · (ax + b)’= 1 a *F’(ax + b) · a = f(ax + b),
mida oligi tarvis t˜oestada
35. Kirjeldada asendusvõtet määramata integraali avaldamisel.
ʃf(x)dx
Integraali avaldamisel asendusv˜ottega tehakse selle integraali all muutuja vahetus. Selleks valitakse mingi funktsioon
u = ϕ(x)
ja integreerimine muutuja x j¨ argi asendatakse integreerimisega muutuja u j¨argi. Eeldame, et ϕ on u¨ksu¨ hene ja diferentseeruv. T¨ahistame funktsiooni ϕ p¨o¨ord- funktsiooni ψ-ga. Seega
x = ψ(u)
Paneme kirja funktsiooni ψ tuletise diferentsiaalide jagatisena: dx/ du = ψ’(u). Korrutades seda v˜ordust du-ga saame
dx = ψ’(u)du.
Kasutades valemeid asendame x ja dx integraali all. Saame avaldise ʃf(x)dx = ʃ f[ψ(u)] ψ’(u)du.
Tuletada ositi integreerimise valem määramata integraali jaoks.
Olgu u = u(x) ja v = v(x) kaks diferentseeruvat funktsiooni. Paneme kirja nende korrutise diferentsiaali avaldise
d(uv) = vdu + udv.
Integreerime seda avaldist . Saame ʃ d(uv) =ʃvdu +ʃudv.
Kuna
ʃd(uv) = uv + C integraalide tabeli valemi 1 p˜ohjal, siis
uv + C =ʃ vdu +ʃ udv.
Konstandi C v˜oib sellest valemist v¨alja j¨atta, sest m˜olemad m¨a¨aramata integraalid ʃudv ja ʃvdu sisaldavad juba m¨a¨aramata konstante . Viies ʃvdu v˜orduse teisele poolele saame ʃudv = uv − ʃvdu
Saadud avaldis kannab ositi integreerimise valemi nime. Ositi integreerimise valemit kasutades saab avaldada integraale ʃ xn sin(ax)dx, ʃ xn cos(ax)dx, ʃ xneaxdx, ʃ (lnx)ndx,
kus n on positiivne t¨aisarv ja a on reaalarvuline konstant. Samuti saab seda v˜otet kasutades leida integraale arkusfunktsioonidest.
36. Funktsiooni integraalsumma ja määratud integraali mõisted .
37. Töö arvutamine sirgjoonelisel liikumisel muutuvas jõuväljas. Tuletada vastav valem.
38. Määratud integraali geomeetriline sisu: kõvertrapetsi pindala leidmine. Tuletada vastav valem.
39. Määratud integraali omadused (sh omadused 3 – 6 koos põhjendustega).
Integraali keskväärtusteoreem koos tõestusega.
40. Teoreem muutuva ülemise rajaga integraalist koos tõestusega.
Newton - Leibnitzi valem . Valemi tõestus.
41. Kirjeldada asendusvõtet määratud integraali arvutamisel.
Tuletada ositi integreerimise valem määratud integraali jaoks.
42. Defineerida lõpmatute rajadega päratud integraalid.
Sõnastada päratute integraalide hindamisteoreemid.
Defineerida päratud integraalid katkevatest funktsioonidest.
43. Tuletada joonte () 1 fxy = ja ( ) 2 fxy = vahel asuva kujundi pindala valem.
44. Tõestada keha ruumala valem ristlõigete pindalade kaudu ja tuletada sellest pöördkeha ruumala valem.
45. Tuletada joone pikkuse valem.