-1 m 1 cos = m = Arccos m 0 arccos m cos = m Arccos m = ± arccos m + 2n arccos (-m) = arcos m arccos (-m) = arcos m - < m < tan = m = Arctan m - < arctan m < 2 2 tan = m Arctan m = arctan m + n arctan(-m) = - arctan m 2 - 2
5. (cot x) = - . sin2 x 6. (ax ) = ax ln a a > 0, a = 1. 7. (ex ) = ex . 1 8. (loga x) = a > 0, a = 1. x ln a 1 9. (ln x) = . x 1 10. (arcsin x) = 1 - x2 1 11. (arccos x) = - 1 - x2 1 12. (arctan x) = 1 + x2 1 13. (arccot x) = - 1 + x2 14. (sh x) = ch x 15. (ch x) = sh x 1 16. (th x) = ch2 x 1 17. (cth x) = - sh2 x Diferentseerimisreeglid Antud kaks funktsiooni u = u(x), v = v(x). 1. [u(x) ± v(x)] = u (x) ± v (x); 2. [u(x)v(x)] = u (x)v(x) + u(x)v (x); 3. Kui c on konstant, siis [c · u(x)] = cu (x).
Liitmisvalemid ) = sin ) = sin ) = cos ) = cos Korrutise teisendamine summaks Trigonomeetrilised põhivõrrandid x = ( - 1) arcsin m + n n sin x = m, , nZ ± arccos m + 2n cos x = m, x= ,nZ tan x = m, x = arctan m + n , nZ arc cot m + n cot x = m, x= , nZ Võrrandeid: sin x = 1, sin x = - 1, sin x = 0; cos x = 1, cos x = - 1, cos x = 0; Kaldnurksed kolmnurgad siinuslause koosinuslause
1 u 17 (arccos x) = 1 u x (arccos u )x = 1 x2 1 u2 18 1 u x 1 (arctan x) = 1+ x2 (arctan u )x = 1+ x 2 dx = arctan x + c 1+ u2 19 (arc cot x) = 1 u 1+ x2
Selle teadmine võib tulla kasuks, kui on vaja leida erinevaid nurki. Räägin siis mõningad põhitõed seoses siinus, koosinus ja tangensiga. Kõik suhted on seotud täisnurkse kolmnurgaga. Ilma täisnurgata vastavad seosed ei kehti. Pildil: a = alus / kaatet 1 b = kõrgus / kaatet 2 c = hüpotenuus A' = alfa kraad B' = beeta kraad GM funktsioonid: radtodeg(x) = teeb radiaanid kraadideks arcsin(x) = sin-1 e. siinuse pöördväärtus arccos(x) = cos-1 e. koosinuse pöördväärtus arctan(x) = tan-1 e. tangese pöördväärtus Nurkade leidmine Siinus: sin = vastaskülg / hüpotenuus Seda seost tulebki nii võtta nagu kirjutatud. Vastaskülg vaadatakse tulenevalt sellest, millist kraadi on vaja leida. Kui vaja leida A', siis tema vastaskülg on tema vastas olev külg ehk a. Vastava tehte tegemisel on vaja teha veel teisendusi, enne kui kraadi saab kätte tuleb siinusest arvutatud tehtest võtta sin-1 ja siis kraadi teisendus. GM-is näeb asi välja siis nii:
1 - tan 2 cos = 2 1 + tan 2 2 · Trigonomeetrilised põhivõrrandid sin x = m, x = ( -1) arcsin m + n, n Z n cos x = m, x = ±arccos m + 2n, n Z tan x = m, x = arctan m + n, n Z cot x = m, x = arc cot m + n, n Z · Arkusfunktsioonide omadusi sin(arcsin x) = x cos(arccos x) = x tan(arctan x) = x arcsin( x) = arcsin x arccos( x) = arccos x arctan( x) = arctan x
sin*sin = 0,5[cos( - ) cos( + b)] cos*cos = 0,5[cos( + ) + cos( - )] sin*cos = 0,5[sin( + ) + sin( - )] Huvitavaid lisavalemeid. 1 + cos = 2cos2 (/2) 1 cos = 2sin 2(/2) cos + sin = 2cos( - 45°) sin8 = 2sin4*cos4 Trigonomeetriliste võrrandite lahendusvalemid . sin x = m Lahendus: x = (-1) n *arcsin m + n nZ (n on täisarv) cos x = m Lahendus: x = ± arccos m + n nZ tan x = m Lahendus: x = arctan m + n nZ cot x = m Lahendus: x = arccot m + n nZ Arkusfunktsioonid. Nurkade väärtused -90° arcsin m 90° ( -1 m 1 ) 0° arccos m 180° ( -1 m 1 ) -90°< arctan m < 90° 0°< arccot m < 90° Negatiivse nurga teisendamine positiivseks. arcsin(-m) = -arcsin m arccos(-m) = - arccos m arctan(-m) = -arctan m arccot(-m) = - arccot m
1 - tan 2 cos = 2 2 1 + tan 2 · Trigonomeetrilised põhivõrrandid sin x = m, x = ( -1) arcsin m + n, n Z n cos x = m, x = ± arccos m + 2n, n Z tan x = m, x = arctan m + n, n Z cot x = m, x = arc cot m + n, n Z · Arkusfunktsioonide omadusi sin(arcsin x) = x cos(arccos x) = x tan(arctan x) = x arcsin( x) = arcsin x arccos( x) = arccos x arctan( x) = arctan x
1 - tan 2 cos = 2 2 1 + tan 2 · Trigonomeetrilised põhivõrrandid sin x = m, x = ( -1) arcsin m + n, n Z n cos x = m, x = ± arccos m + 2n, n Z tan x = m, x = arctan m + n, n Z cot x = m, x = arc cot m + n, n Z · Arkusfunktsioonide omadusi sin(arcsin x) = x cos(arccos x) = x tan(arctan x) = x arcsin( x) = arcsin x arccos( x) = arccos x arctan( x) = arctan x
Fw.k – keermeliite poolt arendatav jõud, 4 Fh – käsijõud, rakendatud käepideme või võtmega, d2 – keerme keskmine läbimõõt, αG – keermeniidi tõusunurk, ρ′ – redutseeritud hõõrdenurk, Kots – keermeelemendi otspinna kuju koefitsient; Mh – rakendatud käsijõu moment. Keermeniidi tõusunurk: p 1,5 tan (αG ) = π∙d = arctan π∙22,5 = 1°13′′ => 1,22 2 p′ = arctan μ Meeterkeerme redutseeritud hõõrdenurk keerme ja mutri vahel: p′ = arctan 0,1 = 5°43′′ => 5,72 Leian keermeelemendi otspinna koefitsiendi: 0,33 ∙ μ ∙ (D2 − d2 ) 0,33 ∙ 0,1 ∙ (0,0753 − 0,053 ) K ots = = = 0,003135 (D3 − d3 ) (0,0752 − 0,052 ) Fw = Fwk
d 2 tan ( G + p ) + K ots d 2 tan ( G + p ' ) + K ots Fw.k keermeliite poolt arendatav jõud, Fh käsijõud, rakendatud käepideme või võtmega, d2 keerme keskmine läbimõõt, G keermeniidi tõusunurk, redutseeritud hõõrdenurk, Kots keermeelemendi otspinna kuju koefitsient; Mh rakendatud käsijõu moment. Keermeniidi tõusunurk: p 1,5 tan (¿¿ G)= =arctan =1 ° 13' ' => 1,22 d2 22,5 ¿ p' =arctan Meeterkeerme redutseeritud hõõrdenurk keerme ja mutri vahel: ' p =arctan 0,1=5 ° 43' ' => 5,72 Leian keermeelemendi otspinna koefitsiendi: 0,33 (D 2-d 2 ) 0,33 0,1( 0,0753-0,053 ) K ots = = =0,003135 (D 3-d 3 ) (0,0752 -0,052) Fw = Fwk
1- x 2 x 2 -1 2 sh x ( tan x ) = 1 ( arctan x ) = 1 ( th x ) = 1 ( arth x ) = 1 th x := ch x
. 1 y' y y ' x = y 't *t ' x = y 't * = t = . t'x t'x t 6. Tuletada funktsiooni y = x , a R diferentseerimise valem kasutades a logaritmilise diferentseerimise võtet. y = x a ln y = a ln x 1 a * y' = y x ay y' = x 7. Tuletada funktsiooni y = arctan x diferentseerimise valem. 1 ( tan x ) ' = Eeldame , et on teada , et cos 2 x y = arctan x tan y = tan(arccos x) 1 y' x = x' y Kasutame pöördfunktsiooni fifferentseerimise reeglit:
a) kui võimalik, lahendan ruutvõrrandi sin x; cos x või tan x järgi b) Kasutades trigonomeetrilisi valemeid teisendan vasakupoole korrutiseks, kui parem pool on 0 (null). c) Kui on käes trigonomeetriline põhivõrrand, kasutan üldlahendi valemeid. Üldlahendi valemid: a) sin x = m x= (-1) n arcsin m + n n Z arcsin m = x= (-1) n + n n Z b) cos x = m x = +- arccos m + 2n n Z arccos m = x = +- + 2n n Z c) tan x = m x = arctan m + n n Z arctan m = x = + n n Z
8,5 -6823,375 -2000 9 -8271 -4000 9,5 -9830,125 -6000 10 -11500 -8000 -10000 -12000 -14000 2) Y =x 3 -250 x 2 +1250 x , kus 0x10 sammuga 0,5 y=x3-250x2 + 1250x 2 4 6 8 10 12 x y=2x+arctan (x) 0 0 0,2 0,5973955598 0,4 1,1805063771 0,6 1,7404195003 0,8 2,2747409422 1 2,7853981634 1,2 3,2760580506 1,4 3,7505468408 1,6 4,2121970115 1,8 4,6636978224 2 5,1071487178 2,2 5,5441688337 2,4 5,9760052071 2,6 6,403622493 2,8 6,8277723864 3 7,2490457724 y=2x+arct 10
. 2 + 9x2 11. Avaldada m¨aa¨ramata integraal x3 dx 5 . x4 + 1 12. Avaldada m¨aa¨ramata integraal dx . (1 + x2 ) arctan x 13. Avaldada m¨aa¨ramata integraal dx . x 1 - ln2 x 14. Avaldada m¨aa¨ramata integraal 2 e sin(x ) cos(x2 )xdx . 15. Avaldada m¨aa¨ramata integraal xe-3x dx . 16. Avaldada m¨aa¨ramata integraal x2 sin xdx . 17
2-3 4075 4021 4072 -54 -3 3-1 2950 2960 2997 -10 -47 Punktid 1 ja 2: x2 x1 ∆x= - = 6559,2-6556,85= 2,35 km y2 y1 ∆y= - = 599,55-595,8= 3,75 km ∆y 3,75 R12= =1,60 arctan ∆x = 2,35 S 12 √ ∆ x 2+ ∆ y 2 = = 4,43 ∆y sin α 12= =0,85 S 12 → α = 57 49 1 59 ∆x cos α 12 = S 12 = 0,5305→ α = 57 57 1 45 ∆x ∆y S 12= = cos α 12 sin α 12 2,35 S 12 = 0,5305 = 4,429 km= 4429 m Punktid 2 ja 3: ∆x= 6555,3-6559,2= -3,9 km
Logaritmfunktsiooni tuletised (logax)'=1/(x ln a) (lnx)'=1/x Eksponent funktsiooni tuletised (ax)'=axln a (ex)'=ex Liitfunktsioon F ( x) = f (u ) g ( x) Veel reegleid funktsioonide tuletiste kohta: x = 1 1 1 = 2 x x c = 0 Trigonomeetrilised põhivõrrandid sin x = m, x = ( -1) arcsin m + n, n Z n cos x = m, x = ±arccos m + 2n, n Z tan x = m, x = arctan m + n, n Z cot x = m, x = arc cot m + n, n Z Funktsiooni tuletis ( xx)))=x)=cos (((F(aeax - sin ))))=)=x=) (ln axxxx)) ===)(u= (sin (cos ( x x 1x =af= a= 1ln en22(-xxa11)1 2 ) 1ag1ln xxxnx x xx (arcsin (arccos (tan (log e ) xe = =nx (arctan = 1 -ln2
.( .) 2 - 1 Ka 2 + 4c 2 Ka + 3 = 0 2 2 - 10000 Ka 2 + 800 Ka + 900 = 0 - b ± b 2 - 4ac 2a - 800 ± 800 2 - 4 * ( - 10000 ) * 900 - 800 ± 6000 Ka = = 2 * ( - 10000) - 20000 Ka1 = -0,26 - ei.sobi Ka2 = 0,34 Ka = 0,583 Ka = tan( 45 - ) 2 0,583 = tan( 45 - ) 2 arctan 0,583 = 45 - 2 = 45 - arctan 0,583 2 = 2( 45 - arctan 0,583) = 29,5 o Variant 2: Ülesanne 2 4,5m paksuse liivakihi all on 5m savi. Liiva erikaal on 26,2kN/m3 ja veesisaldus 20%. Poorsus 0,64. Savi E=1,1 Mpa. Kui palju muutub savikihi paksus ehk palju vajub liiva surve tõttu? Arvutada pinged savi pinna peal. S 26,2 kN e= -1 d = s = = 16,0 3 d e + 1 0,64 + 1 m
F = 20 kN k = 0,80 a = 1,2 puit ruut küljepikkusega b Ft Fp teras ring diameetriga d x t =120 MPa p =3 MPa a 1 1 tan = = = = 0,625 2ka 2k 1,6 = arctan 0,625 = 32,01° 32° 2a 2 2 tan = = = = 2,5 = arctan 2,35 = 66,97 0 67 0 ka k 0,8 cos = 0,848; sin = 0,530; cos = 0,371; sin = 0,928 Tähistanud jõud teras- ja puitvardas vastavalt sümbolitega Ft ja Fp koostame saadud koonduvale jõusüsteemile tasakaalutingimused jõudude projektsioonides x ja y telgedel F kx =0 F p cos - Ft cos = 0
TA MAG. II 080387 keerme samm ssamm := 3mm keerme profiili tipunurk := 11° 4. Keere peab olema isepidurdav, selleks peab keerme tõusunurk olema väiksem materjalide paari hõõrdenurgast. < ' s järelikult = arctan 6 = 7°46' tan ( ) = do 14 := 7.46deg 5. Redutseeritud hõõrdenurk on arvutatav järgmiselt: f 0.15 ' = arctanf'' = arctan = arctan = 8°34' cos cos ( 5.5)
sin x sin2 x dx=-cot xC Arkusfunktsioonid 1 1 arcsin x ' = dx=arcsin xC 1-x 2 1-x 2 1 1 arctan x' = 1x 2 1x 2 dx=arctan xC Konstantne tegur kf x ' =kf ' x kf x dx=k f x dx Summa f x g x ' = f ' xg ' x f x g x dx= f x dx g x dx Korrutis uv ' =u ' vuv ' Ositi integreerimine udv =uv- vdu Jagatis u v '=
1.Vaatleme tasapinda kahe dielektrikute vahel. Esimese keskkonna parameetrid on = 2 ja ja teise keskkkonna parameetrid on = 4. Elektrivalja tugevuse vektor esimeses dielektrikus võrdub 10 V/m ja moodustub 2-nurga piiri tasapinna normaaliga. Leida vektorite , , , ja amplituudid. (Oletame, et piiri pindlaeng puudub). 1 F 0 = 10 -9 36 m tg 2 2 = tg1 1 1 = 20° 2 4 2 = arctan( tan 1 ) = arctan( tan 20°) = 10°31' 1 2 Vastavad tangensiaal- ja normaalkomponendid E sin 20° = 1 E1 = sin 20° E1 = sin 20° 10 = 3,42V / m E1 E cos 20° = 1n E1n = cos 20° E1 = cos 20° 10 = 9,39V / m E1 Kuna kahe keskkonna dielektrikute tangensiaalkomponendid on võrdsed: E1 = E 2 E 2 = 3,42V / m Ning elektrivälja tugevuse normaalkomponent kahe keskkonna piiril muutub pöördvõrdeliselt
ax a dx = +C ; x 4. ln a e dx = e +C ; x x 5. 6. sin xdx = -cos x +C 7. cos xdx = sin x +C dx 8. cos x = tan x + C 2 dx 9. sin x = -cot x + C 2 dx 10. 1 -x 2 = arcsin x + C dx 11. x 2 +1 = arctan x + C 1 + x2 1 1 x2 Näide 1: dx = x + x dx = x dx + xdx = ln x + +C x 2 dx x -2 1 Näide 2: 3 = x dx = -3 +C = - 2 +C x -2 2x 4 1 x3
sin 0 1 2 3 1 0 -1 0 2 2 2 cos 1 3 2 1 0 -1 0 1 2 2 2 3 1 3 tan 0 - 0 - 0 2 Arkusfunktsioonid: arcsin(-x) = -arcsinx sin(arcsinx) = x arccos(-x) = arccosx cos(arccosx) = x arctan(-x) = -arctanx tan(arctanx) = x Ande Andekas-Lammutaja Trigonomeetriline võrrand Trigonomeetriliseks võrrandiks nimetatakse võrrandit, mis sisaldab tundmatut ainult trigonomeetrilise funktsiooni argumendis. sinx = m: x = (-1)n arcsinm + n ; n Z x = (-1)n + n180° ;nZ
Valituks osutub polt M16, mille siseläbimõõt d1=13,835 ja keskläbimõõt d2=14,701 , keerme samm P=2,0 Valitud poldi tugevus kontroll Poldi tugevustingimus on täidetud. Leiame ka pingutusmomendi MK ja selle saame avaldisest d2 d kesk M K = FE tan ( + 1 ) + f 2 d2 Keerme tõusunurga leiame valemist Hõõrdenurk f 0,12 = arctan = arctan 7,9 cos cos 30 2 Mutri toepinna keskläbimõõdu dkesk leiame valemist , kus D=24 mm on võtmemõõt ja d0=16 mm keermemõõt. FE ehk eelpingutusjõud on võrdne Fp, ehk FE=Fp=49,2 kN , arvestades eelnevat, leiame pingutusmomendi. Vastus Konstruktsiooni kinnitamiseks valin poldid M16 ja pingutan need momendiga MK = 126 Nm
ax a dx = +C ; x 4. ln a e dx = e +C ; x x 5. 6. sin xdx = -cos x +C 7. cos xdx = sin x +C dx 8. cos x = tan x + C 2 dx 9. sin x = -cot x + C 2 dx 10. 1 -x 2 = arcsin x + C dx 11. x 2 +1 = arctan x + C 2 1 + x2 1 1 x2 Näide 1: dx = x + x dx = x dx + xdx = ln x + +C x 2 dx x -2 1 x3 -3 Näide 2: = x dx = +C = - 2 +C -2 2x 4
1 u 17 (arccos x) = 1 u x (arccos u )x = 1 x2 1 u2 18 1 u x 1 (arctan x) = 1+ x2 (arctan u )x = 1+ x 2 dx = arctan x + c 1+ u2 19 (arc cot x) = 1 u 1+ x2
'],' fi i s li'k rr e il,"q rin c. E ii'ira ig u r:- r' !,,. C{ * pr =Y11' .-^{) u -ta ={-: "a )--) SlnA = -. = cos,6' * fi) = eosex ft'=fr h'=Gr- (, ...
2 x 3 +1 1 2. lim n + 1 - n . 2 3. lim . 4. lim - cot x . n x -1 x 2 +1 x 0 sin x arctan 2 x x2 +2 ln ( cos x ) x4 5. lim . 6. lim 2 . 7. lim . x 0 sin 3 x x 0 2 x +1 x0 x2 2
Seega keevisõmbluse ühik-polaarinertsimoment: I '0 =2048∗10 3 mm 3 Keevisõmbluse suurimad väändepinged: T∗r 3,09∗103∗0,135 T Tmax = = =203,7∗103∗a−1=204∗10 3∗a−1 I0 −6 2048∗10 ∗a Keevisliite ohtlik lõige Nurk τ Q ja τ T vahel: zc α =π−arctan b−x c 42,5 α =π−arctan =2,82 rad 170−42,5 Punkti Q1 summaarne nihkepinge: T Q 1=√ T +T −2∗T Q∗T T ∗cos α=¿ 2 2 Q T 204∗103∗a−1 ¿ 2−2∗14 706∗a−1∗204∗103∗a−1∗cos 2,82
Diferentseerimise põhivalemid 1 y = const y' = 0 y = arcsin x y' = 1- x2 y = x y ' = x -1 1 1 y = arccos x y' = - y= x y' = 1- x2 2 x 1 1 1 y = arctan x y' = y= y' = - 2 1+ x2 x x 1 y = arccot x y' = - y = sin x y ' = cos x 1+ x2 y = cos x y ' = - sin x y = ax y ' = a x ln a 1 y = ex y' = e x y = tan x y' = 1 cos 2 x y = log a x y' =
LABORATOORNE TÖÖ NR. 3 0,6 cm-le vastab h = 2,5 m 0,5 cm-le vastab h´ m h´= 2,5*0,5/ 0,6 = 2,083 HA = 65,0 + 2,083 = 67,083 HB= 67,083-55,8= 11,283 Kaldenurk: arctan= 11,283/660 = 0 kraadi 58 minutit 45.847 sekundit Kalle protsentides: 11,283/660 * 100 = 19 % Kalle promillides: 11,283/ 660 * 1000= 17 promilli
a 0,09 ( ) ( M =F∗ L+ =5∗ 0,4+ 2 2 ) =2,22 kNm Jõule F vastavad toereakstioonid: F 5 F F = = =1,25 kN 4 4 Momendile M vastavad toereaktsioonid: M 2,22 F M= = =8,72 kN 2∗√ a + c 2∗ √0,092 +0,092 2 2 Nurk F ja M vahel: c 0,09 α =π−arctan =π −arctan =2,356 rad a 0,09 Suurimad toereaktsioonid: Fmax =√ F 2F + F 2M −2 F F F M∗cos α= √ 1,252 +8,722−2∗1,25∗8,72∗cos 2,356=9,64 kN 4. Valida poldi nimiläbimõõt eeldusel, et keermesliite liikumatuse peab tagama hõõrdumine UNP profiili ja teraslehe vahel. Hõõrdeteguriks valin: f =0,15 Ühes poldis tuleb tekitada tõmbejõud 1,2∗F max 1,2∗9,64 [ F ] polt = = =77,12kN
1) y0 leidmiseks asendan x0 väärtuse algsesse funktsiooni valemisse: y 0 = ( - 1) + 4 ( - 1) - 5 = 1 - 4 - 5 = -8 2 2) Tõusu k leidmiseks asendan x0 väärtuse algse funktsiooni tuletise valemisse: y = 2x + 4 k = y ( - 1) = 2 ( - 1) + 4 = -2 + 4 = 2 3) Kasutan puutuja võrrandi valemit: y - ( - 8) = 2( x - ( - 1) ) y + 8 = 2x + 2 y = 2x + 2 - 8 y = 2x - 6 4) Tõusunurga leian taskuarvutil: = arctan k = arctan 2 = 63,40 N Leida joone y = x - 2 x + 7 puutuja võrrand, kui puutuja tõus on -4. 2 1) Kuna tõus on sama mis tuletise y = 2x - 2 väärtus, kui x asendada x0 väärtusega, - 4 = 2 x0 - 2 siis asendan tuletise valemis tuletise k väärtusega ja x-i x0-ga: - 2 x 0 = -2 + 4 - 2 x0 = 2 : ( - 2) Antud on k = -4
T ∙r 3725 ∙ 0,175 t Tmax = =t T , 01 = =76,8 ∙ 103 ∙ a−1 ≈ 77 ∙10 3 ∙ a−1 I0 −6 8489 ∙ 10 ∙ a 3.8 Suurim nihkepinge t Q =7937 ∙ a−1 - ohtliku punkti lõikepinge t Tmax =77∙ 103 ∙ a−1 - ohtliku punkti väändepinge Nurk tQ ja tT vahel : zc 105 a=π −arctan =π −arctan =2,5 rad b−x c 210−70 Punktide O1 ja O2 summaarne nihkepinge: t O 1=√ t 2Q +t 2T −2∙ t Q ∙ t T ∙ cosα=√(7937 a−1 )2+(77 ∙ 103 ∙ a−1 )2−2∙( 7937 a−1) ∙(77 ∙10 3 ∙ a−1 )∙ cos 2,5=69,1∙ 103 ∙a− 4. Nurkõmbluse kaatet 4.1 Keevisõmbluse voolepiir nihkel t y ,K =0,56 ∙ σ y =0,56 ∙350=196 MPa 4.2 Keevisõmbluse tugevustingimus tO 1 ≤ t y , K 69 ∙103 ∙ a−1 ≤ 196 ∙10 6 4
c'=0 x'=1 (c × x)'=c (1/x)'=-1/x2 (√x)'=1/2√x (xn)'=n × xn-1 (ax)'=axIn a (ex)'=ex (In x)'=1/x (logax)'=1/x In (sin x)'=cos x (cos x)'=-sin x a (tan (cot x)'=- (arcsin x)'=1/cos2x 1/sin2x x)'=1/√1-x2 (arccos x)'=- (arctan (arccot x)'=- 1/√1-x2 x)'=1/1+x2 1/1+x2
on trigonomeetriline võrrand, võrrand x sin 1 + x 2 cos = 0 aga ei ole trigonomeetriline võrrand. Võrrandeid sin x = a, | a | 1, tan x = a, cos x = a, | a | 1, cot x = a, nimetatakse trigonomeetrilisteks põhivõrranditeks. Trigonomeetriliste põhivõrrandite lahendamine sin x = a, | a | 1 x = (-1) n arcsin a + n , n Z ; cos x = a, | a | 1 x = ± arccos a + 2n , n Z ; tan x = a, x = arctan a + n , n Z ; cot x = a, x = arccot a + n , n Z . Näide Lahendada võrrand tan x = 3. Lahendus Kuna arctan 3 = , 3 siis x = + n ehk x = (3n + 1) , kus n Z . 3 3 Võrdlusmeetod Keerukamate trigonomeetriliste võrrandite lahendamisel teisendatakse
9.02.2015 Kalde arvutamine: h arctan s h i (%) 100 s h i(‰ ) 1000 s Ülesanne: 1) Leia nõlva kaldenurk ja kalle protsentides, kui nõlva ülemise serva kõrgus on 9.74 m, alumise serva kõrgus 8.32 m. Nende vaheline kaugus on 4,5 m. 9,74 Δh= 9,74- 8,32=1,42 S= 4,5 m 8,32
arccos - = 1350 x1 = 45 , x 2 = -45 0 0 2 Vastus : -75 0 ,-45 0 ,45 0 ,75 0 2. Ruutvõrrandi kujulised võrrandid Näide: tan 2 x + tan x - 2 = 0 1) tan x = 1 2) tan x = -2 tan x = t arctan 1 = 45 0 arctan ( - 2 ) = -63,4 0 t2 + t - 2 = 0 x = 45 0 + n 180 0 , x = -63,4 0 + n 180 0 , Ruutvõrrandist : t1 = 1, t 2 = -2 nZ nZ Vastus : x1 = 45 0 + n 180 0 , n Z ; x 2 = -63,4 0 + n 180 0 , n Z 3. Lihtsustatavad võrrandid sin 2 + cos 2 = 1 sin 2 = 1 - cos 2 sin ( + ) = sin cos + cos sin
Määramatused: x dx x sin√ xx+C ( tan x ) = 2 cos x ∫ 1+ x2 =arctan x+C 0 ∫ u dv=uv∞−∫ v du , 0 ∙ ∞ , ∞−∞, , 00 ,1 ∞ ,∞ 0 ∫ tan 'x= =2 ∫ sin x dx=−cosPiirväärtused
Nõutav tugevusvarutegur: |S| = 6 Varda nurk horisontaali suhtes: = 60° Tugede kõrguse vahe: H = 3,5 m Tugede horisontaalne vahe: L = 1,6 m Puitvarda pikkus: l=1m 2.Tarindi sisejõud Sisejõudude arvutamiseks on tarvis leida nurk terastrossi ja horisontaali vahel. h1 h1 tan = l 1 => = arctan l 1 h1 = H + sin60° * l = 3,5 + sin60° * 1 = 4,36m l1 = L + cos60° * l = 1,6 + sin60° * 1 = 2,1m 4,36 = arctan 2,1 64° Selge on see, et trossile mõjub tõmbejõud. Eeldan, et ka puitvardale peab mõjuma tõmbejõud, muidu oleks võimatu saavutada tasakaalu x telje suhtes (oleks ainult ühes suunas jõud x teljel). Tarind on tasakaalus, kui { Fx=0 { Ntcos 64 °-Npcos 60° =0
(a ) = a x x ln a x x ln a (sin x ) =cos x (cos x ) =-sin x ( tan x ) = 1 cos 2 x -1 ( arcsin x ) = 1 ( arccos x ) = ( arctan x ) = 1 2 1-x 2 1 - x2 1+ x [u( x ) + v( x ) ] = u ( x ) + v ( x ) [u( x ) - v( x ) ] = u ( x ) - v ( x ) [c u( x )] = c u ( x ) (uv ) = u v + v u u u v - uv = v v2
x x ln a ( sin x ) = cos x ( cos x ) = -sin x ( tan x ) = 12 cos x -1 ( arcsin x ) = 1 ( arccos x ) = ( arctan x ) = 1 2 1-x 2 1 - x2 1+ x Funktsioonide summa, vahe, korrutise ja jagatise tuletise valemid: [ u( x ) + v( x ) ] = u( x ) + v ( x ) [ u( x ) - v( x ) ] = u ( x ) - v ( x ) [ c u( x ) ] = c u( x ) ( uv ) = uv + v u u u v - uv = v v2
cos cos = [ cos( - ) + cos( + )] cos 2 = (1 - cos 2 ) 2 2 1 sin cos = [ sin( - ) - sin( + )] 2 Trigonomeetriliste põhivõrrandite lahendamine: Kui sin x = m , siis x = (-1) n arcsin m + n , kus n Z Kui cos x = m , siis x = ± arccos m + 2k , kus k Z Kui tan x = m , siis x = arctan m + l , kus l Z Kui cot x = m , siis x = arc cot m + t , kus t Z Aritmeetiline jada: a + an 2a + (n - 1) d a n = a1 + ( n - 1)d Sn = 1 n Sn = 1 n 2 2 a1 (1 - q n )
97 Ʃ=339.99 340,55 340,53 2.0 Praktilised mõõtmis- ja arvutustulemused horisontaalprojektsiooni leidmisel Kreutzwaldi 5 II korruse koridoris. Mõõtsime vahemaad mingist punktist aknalauani kaks korda. Mõlamal korral saime kauguseks 3,87 meetrit ehk d= 3.87m. Samuti mõõtsime kaks korda ka kõrguse maapinnast aknalauani ning saime mõlemal korral tulemuseks 0,67meetrit ehk = 0.67m. Valemid: h arctan v (valem 2.1), kus v on kaldenurk, ∆h on aknalaua kõrgus maapinnast ning d d on punkti ning aknalaua vaheline kaldkaugus. S d cos v (valem 2.2), kus S on horisontaalprojektsioon S d S (valem 2.3), kus S on kaldest tingitud parand 2.1 Leida v kaldenurk (vaata valem 2.1) 0.67 arctan v 3.87 v 9.82 94919 2.Leida S horisontaalprojektsioon (vaata valem 2.2) S 3.87 cos 9.82 3.81m
0 30 45 60 90 180 270 360° ° ° ° ° ° ° ° 1 2 3 sin 0 2 2 2 1 0 -1 0 3 2 1 cos 1 2 2 2 0 -1 0 1 3 3 tan 0 2 1 - 0 - 0 Arkusfunktsioonid: arcsin(-x) = -arcsinx sin(arcsinx) = x arccos(-x) = arccosx cos(arccosx) = x arctan(-x) = -arctanx tan(arctanx) = x
Trigonomeetria põhivalemid ja nende järeldused: sin 2 + cos 2 = 1 2 2 2 sin = 1 - cos sin = 1 - cos 2 2 2 cos = 1 - sin cos = 1 - sin sin = cos( 90° - ) ; cos = sin ( 90° - ) sin sin tan = sin = cos tan cos = cos tan 1 1 tan = ; cot = cot tan 1 1 + tan 2 = cos 2 Kahekordse nurga valemid: sin 2 = 2 sin cos cos 2 = cos 2 - sin 2 2 tan tan 2 = 1 - tan 2 Liitmisvalemid: sin ( + ) = sin cos +cos sin cos( + ) = cos cos +sin sin tan + tan tan (+ ) = 1 +tan tan...
Ülesandest 1 saan joone otspunktide kõrgused HA ja HB (vt. tabel 1). Mõõdan punkti A ja B vahelise kauguse joonepikkus 2 punkti vahel on 4,6 cm kaardil (S=4,6cm). Kasutades mõõtkava leian selle väärtuse ristkorrutise abil: 1 cm=200 m 4,6 cm= S AB , = 920 (m) Kõrguste vahe (h1,2) leian esimese ülesande HA ja HB väärtuse lahutamisel: h1,2 = HA HB = 81,25 -92,13= -10,88. Nüüd saan leida kaldenurga, kalde %-s ja kalde -s. Kaldenurk: v°1,2 = arctan(h1,2 /SAB) = arctan(10,88:920) -0°40'39'' Kalle %-s: i%1,2 = (h 1,2/SAB)*100= (-10,88:920)*100= -1,2% Kalle -s: i1,2 =(h 1,2/SAB)*1000= -11,8 Ülesanne 3. Joone AB pikiprofiili koostamiseks pean esmalt tõmbama joone punktist A punkti B. Seejärel määran sirge AB otspunktide ja joone tõmbamisel tekkinud horisontaalide lõikumispunktide (2- 19) kõrgused ja nendevahelised lõikude pikkused. Punktide A ja B kõrgused saan ülesandest üks
F = 5kN a = 110mm = 0,11m c = 110mm = 0,11m 3.1 Koormusliitele mõjuv pöördemoment M =F ∙ ( L+ 0,5 a )=5 ∙ ( 0,6+0,5 ∙ 0,11 ) =3,275 kN ∙ m 3.2 Jõule F vastavad toereaktsioonid F 5 F F = = =1,25 kN 4 4 3.3 Momendile M vastavad toereaktsioonid M 3,275 FM= = =10,56 ≈ 10,6 kN 2∙ √ a +c 2∙ √ 0,112 +0,112 2 2 3.4 Nurk FF ja FM vahel c 0,11 α =π−arctan =π −arctan =¿ 2,356 rad a 0,11 3.5 Suurimad toereaktsioonid Fmax =√ F 2F + F 2M −2∙ F F ∙ F M ∙ cosα= √1,252 +10,62−2∙ 1,25∙ 10,6 ∙ cos 2,356=9,35 ≈ 9,4 kN 4.Poldi tugevusarvutus 4.1 Ühes poldis tuleb tekitada tõmbejõud F max 9,4 [F ]Polt =1,2∙ =1,2 ∙ =75,2 kN f 0,15 Liite läbilibisemiseohtu arvestav varutegur f – hõõrdetegur detailide vahel 4
annaabi.ee 
