Tabel 3. Punktide 1, 2 ja 3 geodeetilised ning ristkoordinaadid Punkt B L X(km) Y(km) 1 5923'35'' 2507'35'' 6684,37 564,03 2 5924'20'' 2510'33'' 6685,80 566,81 3 5925'13'' 2509'58'' 6687,45 566,23 2. Lahendada geodeetiline pöördülesanne, s.t leida määratud joonte otspunktide ristkoordinaatide järgi joonte pikkused ja võrrelda arvutatud joonepikkusi laboratoorses töös nr. 1 mõõdetud pikkustega. Punktide geodeetiliste koordinaatide järgi arvutada joonte pikkused internetiaadressil http://www.ngs.noaa.gov/cgi-bin/Inv_Fwd/inverse2.prl. Tulemused esitada ühtses tabelis ( ). Valemid: S= ; x= x2-x1 ; y= y2-y1 ; arctan R= ; ; S= . a. Punktid 1 ja 2: x= 1,43 km; y= 2,78 km S12= 3,13 km
LABORATOORNE TÖÖ NR 2 Mõõtmised topograafilisel kaardil II- Punkti geodeetiliste ja ristkoordinaatide määramine Ülesanne 1. Määrata laboratoorses töös nr 1 märgitud kolme punkti geodeetilised ja ristkoordinaadid. Tulemused kanda tabelisse 2.1. Ristkoordinaatide leidmine: X 1 = 6555+1,85= 6556,85 3,7*500=1850 m= 1,85 km Y 1 = 595+0,8= 595,8 1,6*500= 800 m= 0,8 km X 2 = 6560-0,8= 6559,2 1,6*500= 800 m= 0,8 km Y 2 =600-0,45= 599,55 0,9*500= 450 m= 0,45 km X 3 = 6555+0,3=6555,3 0,6∗500=300 m=0,3 km Y 3 = 600-1,65= 598,35 3,3*500= 1650 m= 1,65 km Geodeetiliste koordinaatide leidmine: 1) 5,9 cm= x 3,7= 60 x= 95 = 11 35 2) 0,8 cm= x 1,9= 60 x= 25 B 1 = 59 10 - 0 1 35 = 59 08 25 L1 = 25 40 + 25 = 25 40 25
LABORATOORNE TÖÖ nr.2 "Mõõtmised topograafilisel kaardil II" Punkti geodeetiliste ja ristkoordinaatide määramine (vt. Randjärv, J. Geodeesia I, Tartu 1999, lk 82-84) Ülesanne 1. Määrata laboratoorses töös nr. 1 märgitud kolme punkti geodeetilised ja ristkoordinaadid. Lahendus: Geodeetilised koordinaadid on punkti laius B ja pikkus L. Nende puhul võetakse Maa kuju määravaks matemaatiliseks pinnaks pöördellipsoid. Punkti geodeetilised koordinaadid leitakse valemite B=+B ja L=+L abil, kus on punktist lõuna pool asuva lähima paralleeli laius, on
LABORATOORNE TÖÖ NR. 2 Mõõtmised topograafilisel kaardil II Punkti geodeetiliste ja ristkoordinaatide määramine Ülesanne 1. Määrata laboratoorses töös nr. 1 märgitud kolme punkti geodeetilised ja ristkoordinaadid ja kanda need tabelisse 2.1. Tabel 2.1. Punktide geodeetilised ja ristkoordinaadid Punkt B L X Y 1 59 11' 53" 24 59' 22" 6562,5 556,550 2 59 12' 58" 25 01' 16" 6564,55 558,4
2 Mõõtmised topograafilisel kaardil II Ülesanne 1. Leian laboratoorses tööd number 1 märgitud kolme punkti (A, B ja C) geodeetilised ja ristkoordinaadid. Mõlemad koordinaatide süsteemid on märgitud antud kaardi kaardiraamile ristkoordinaadid mustaga, geodeetilised punasega. Koordinaatide väärtusi tuleb lugeda lõunast põhja ja läänest itta. Geodeetiliste koordinaate tähisteks on laius B ja pikkus L, kus B vastab X- teljele ning L Y-teljele. Ristkoordinaatide puhul on X-i väärtus alati seitsmekohaline ja Y-i väärtus kuuekohaline. Ristkoordinaatide leidmiseks tõmban esmalt ühest punktist kaks joont musta raamistikuni nii, et joonestatav joon oleks paralleelne ristkoordinaatide ruudustikuga. Seejärel jälgin, kus lõikavad tõmmatud jooned X- ja Y-telge. Näiteks punkti A puhul lõikab tõmmatud joone X-telge 6589 ja 6588 vahel, neist viimane saab ristkoordinaadi esimeseks neljaks numbriks. Kolme viimase
Eesti Maaülikool Metsandus- ja maaehitusinstituut Geomaatika osakond Maamõõtmise alused Laboratoorsed tööd Tartu 2007 Sisukord 1. Mõõtkavad.......................................................................................................................3 2.Punkti geodeetiliste ja ristkoordinaatide määrmine..........................................................5 2 1. Mõõtkavad Ülesanne 1. 1:50000 1:10000 1:5000 1:2000 AB=4,6cm 2300m 460m 230m 92m BC=4,55cm 2275m 455m 227,5m 91m AC=3,1cm 1550m 310m 155m 62m
Töö eesmärk: Analüütiline pindala määramine.Arvutada maatüki pindala piiripunktide ristkoordinaatide järgi. Lähteandmed(punktide 1, 2, 3, 4 ja 5 ristkoordinaadid X ja Y) võtta laboratoorsest tööst nr. 5"Kinnise teodoliitkäigu koordinaatide arvutamine". Pindala määramine graafiliselt.Määrata graafiliselt topograafilisel plaanil piiritletud maatüki pindala. Pindala mehaaniline määramine e. pindala määramine planimeetriga: a) määrata planimeetri jaotise väärtus, b) määrata ühe kõlviku pindala planimeetriga. Töövahendid: Taskuarvuti, andmed laboratoorsest tööst nr
LABORATOORNE TÖÖ NR. 8. PINDALADE MÄÄRAMINE Eesmärk: Määrata pindala analüütiliselt, graafiliselt ja mehaaniliselt. Ülesanne 1. Analüütiline pindala määramine. Arvutada maatüki pindala piiripunktide ristkoordinaatide järgi. Lähteandmed (punktide 1, 2, 3, 4 5, 6 ja 7 ristkoordinaadid X ja Y) võtta laboratoorsest tööst nr. 7 " Plaani koostamine ristkoordinaatide järgi" Metoodika: Pindala arvutatakse Gaussi valemitest (kaks korda): Tabel 1.1. Pindala arvutamine TM-Baltic koordinaatide järgi Punkti nr. Xi Yi Yi+1-Yi-1 Xi-1-Xi+1 Xi(Yi+1-Yi-1) Yi(Xi-1-Xi+1) 1 2 3 4 5 6 7 - 653 604 246842113
kohaselt vähendatud moonutatud kujutis. Topograaflised kaardid jaotatakse: 1. suuremõõtkavalised: 1:10 000, 1: 25 000, 1:50 000 2. keskmisemõõtkavalised: 1:100 000, 1:200 000 3. väikesemõõtkavalised: 1:500 000, 1:1 000 000 Plaanid jaotatakse: 1. väikesemõõtkavalised: 1:10 000, 1:5000 2. keskmisemõõtkavalised: 1:2000 3. suuremõõtkavalised: 1:1000, 1:500 Topograafilise kaardi elemendid on: 1. koordinaatvõrgud- ristkoordinaatide võrk, geograafiliste koordinaatide väärtused; 2. kaardi raamida. siseraam- piirab maastiku kujutist b. minuti-e. kraadiraam- ühikute skaala c. välisraam- dekoratiivse tähtsusega; 3. mõõtkava; 4. nomenklatuur; 5. leppemärkide selgitus, legend; 6. järsksuste mõõtkava; 7. kaardi koostamise ja trükkimise kohta andmed. Topograafilised leppemärgid kasutatakse maastiku objektide, situatsiooni-ja reljeefielementide kujutamiseks plaanidel ja kaartidel.
Rumb on põhja- lõuna suuna ja antud suuna vaheline lähim teravnurk, mida mõõdetakse ida või lääne suunas 0°- 90°kraadi. Rumbid tähistatakse veerandinumbritega ja nimetustega, mis tuletatakse ilmakaarte esitähtedest. Direktsiooninurk Et nii astronoomiline kui ka magnetiline asimuut ei ole erinevatel põhjustel ühe ja sama sirgjoone eri punktides konstantsed, siis eelistatakse geodeesias joonte orienteerimiseks kasutada direktsiooninurka ehk orienteerimist ristkoordinaatide võrgu X-telje suhtes. Direktsiooninurk on nurk ristkoordinaatide võrgu X-telje ja joone suuna vahel. Seda mõõdetakse päripäeva 0°-360°. Kaardi orienteerimine maastikul Maastikul orienteerumine seisneb kaardi orienteerimises ilmakaarte järgi, orientiiride tunnetamises, seisupunkti määramises ja kaardil kujutatud situatsiooni võrdlemises maastikuga. Kaardi orienteerimiseks kasutatakse kompassi, maastiku joonelisi objekte. Kompassi abil määratakse
pikkust ja laiust nim antud punkti geograafilisteks koordinaatideks. Kui geograafilised koordinaadid on arvutatud ellipsoidile redutseeritud geodeetiliste mõõtmiste järgi, siis nim neid koordinaate geodeetiliseks pikkuseks ja laiuseks. Ruumilised ristkoordinaadid X, Y, Z Z-teljeks on maa pöörlemistelg, X-teljeks on nullmeridiaani ja ekvaatori tasandi lõikejoon, Y- teljeks on nendega risti olev joon ekvaatori tasandil Ristkoordinaadid tasandil Riigi geodeetilise põhivõrgu punktide ristkoordinaatide määramisel võetakse Eesti X- teljeks 24°-meridiaan või sellega paralleelne suund. Y-teljeks ekvaatori kujutis või sellega paralleelne suund. Kohaliku tähtsusega mõõdistamiste puhul kasutatakse ka suvalisi ristkoordinaatide süsteeme. Koordinaatide alguspunkt on sel juhul vabalt määratud, kuid X-telg peab olema ikkagi orienteeritud põhja suunas Y-telg ida suunas. Põhja suunaks valitakse sageli magnetiline põhja-lõunasuund, mis määratakse bussooli magnetnõela järgi.
Kartograafia õpetus maakaartide valmistamise kunstist, teadusest ja tehnikast, samuti kaartide tundmisest ja kasutamisest. Tegeleb kartograafiliste projektsioonidega ning kaartide koostamise ja uurimisega. Kaart vähendatud kujutis maapinnast, mis on mingis kaardiprojektsioonis (see tähendab, et arvestab maakera kumerus) ja mis on leppemärkidega seletatud. Kaardil on näidatud meridiaanide ja paralleelide võrgustik, ristkoordinaatide võrgustik jms. Kaart on ümbritsetud kaardiraamiga. Kaardi mõõtkava on moonutatud sõltuvalt valitud projektsioonist Plaan suuremõõtkavaline kaart mingi väiksema maa-ala kohta. Plaan on ortogonaalprojektsioonis, mis tähendab, et pole arvestatud maakera kumerust. Plaanil on näidatud ainult tasapinnaliste ristkoordinaatide võrgustik, plaan pole raamiga ümbritsetud. Plaani mõõtkava on kogu
geodeetiliste võrkude rajamine, mõõdistamine, joonise koostamine, dešifreerimine. Kartograafia - õpetus maakaartide koostamisest, teadusest ja tehnikast, samuti kaartide tundmisest ja kasutamisest. Tegeleb kartograafiliste projektsioonidega ning kaartide koostamise ja uurimisega Kaart - vähendatud kujutis maapinnast, mis on mingis kaardiprojektsioonis (st, et arvestab Maa kumerust) ja mida kirjeldatakse leppemärkidega. Kaardil on näidatud meridiaanide ja paralleelide võrgustik, ristkoordinaatide võrgustik jms. Kaart on ümbritsetud kaardiraamiga. Kaardi mõõtkava on moonutatud sõltuvalt valitud projektsioonist. Plaan - suuremõõtkavaline kaart mingi väiksema maa-ala kohta. Plaan on ortogonaalprojektsioonis, mis tähendab, et pole arvestatud maakera kumerust. Plaanil on näidatud ainult tasapinnaliste ristkoordinaatide võrgustik, plaan ei pruugi olla raamiga ümbritsetud. Plaani mõõtkava on kogu plaani ulatuses ühesugune.
valem tuletamata). 5. Kolmemuutuja funktsiooni integraalsumma ja kolmekordse integraali definitsioonid. 6. Kolmekordse integraali omadused (põhjendusi ei küsi). 7. Kolmekordse integraali esitamine kolmikintegraalina. 8. Muutujate vahetus kolmekordse integraali all. 9. Silinderkoordinaadid ja nende seosed ristkoordinaatidega. Kolmekordse integraali teisendamine silinderkoordinaatidesse (esitada vastav valem ilma tuletamata). 10.Sfäärkoordinaadid. Esitada ristkoordinaatide valemid sfäärkoordinaatide kaudu (tuletada ei ole vaja). Kolmekordse integraali teisendamine sfäärkoordinaatidesse (esitada vastav valem ilma tuletamata). 11.Joone kaare pikkuse diferentsiaal tasandil ja ruumis. Funktsiooni integraalsumma joonel. Esimest liiki joonintegraali definitsioon. 12.Esimest liiki joonintegraali arvutamine parameetrilise joone korral (esitada vastavad valemid ilma tuletamata). 13
3 59°19'15'' 25°16'28'' 6576,475 572,525 Ülesanne 2. Eesmärk: Lahendada geodeetiline pöördülesanne. Leida määratud joonte otspunktide koordinaatide järgi joonte pikkused ja võrrelda arvutatud joonepikkusi laboratoorses töös nr. 2 mõõdetud joontepikkustega(Tabel 3.2). Tabel 3.2. Joonte pikkused otspunktide koordinaatide järgi Joon Plaanilt Ristkoordinaatide Geodeetiliste Smõõd- Smõõd-Se mõõdetud järgi arvutatud koordinaatide Sarvut Smõõd Sarvut järgi arvutatud Se 1-2 2375 2354 2359 21 16 2-3 2425 2443 2456 -18 -31
LABORATOORNE TÖÖ nr. 7 "Pindalade määramine" Ülesanne1. Analüütiline pindala määramine. Arvutada maatüki pindala piiripunktide ristkoordinaatide järgi. Maatüki üldpindala arvutatud väärtus ümardada 0,01 ha täpsusega Lahendus Koostan tabeli, kandes piiripunktid koordinaadid tabelisse päripäeva. Teen vastavad arvutused. Neljandat ja viiendat tulpa kontrollin liites kõik arvud kokku. Vastus peab tulema null. Kuuenda ja seitsmenda tulba arvud kokku liites peavad tulema võrdsed arvud ning annavad pindala kahekordse väärtuse. Punkti ()
Laboratoorne töö nr. 2 Mõõtmised topograafilisel kaardil II Ülesanne 1 Eesmärk: Geodeetiliste ja ristkoordinaatide määramine kolmele punktile. Töövahendid: Eesti baaskaart nr. 7412, mõõtkava 1:50 000, joonlaud, kalkulaator. Tabel 1. Punktide geodeetilised ja ristkordinaadid Punkt B L X Y o o 1 59 38’2“ 26 29’19“ 6613,25 640,4 2 59o38’14“ 26o32’25“ 6613,75 643,23
X ja Y TM Baltic 93 1) Y=6540+0,9*500=6540,45 km X=576+2,2*500=576,1 km 2) Y=6540+4,5*500=6542,25 km X=580+5,9*500=582,95 km 3) Y=6540-2,6*500=6543,70 km X=585-1,5*500=584,25 km S1,2 = (582,95-576,1)² + (6542,25-6540,45)² = 7,082km = 7082 m, S2,3 = (584,25-582,95)² + (6543,70-6542,25)² = 1,947km = 1947 m, S3,1 = (576,1-584,25)² + (6540,45-6543,70)² = 8,774km = 8774 m, Joon Plaanilt Ristkoordinaatide Geodeetiliste Smõõdet-Sarvut. Smõõd.- Se mõõdetud järgi arvutatud koordinaatide järgi Sarvutatud arvutatud Smõõdetud Se 1-2 7100 m 7082 m 7143 m 18 m -43 m
1) Y=6560-9,7*500=6555,15 km X=555+3,9*500=556,95 km 2) Y=6560-5,9*500=6557,05 km X=555+9*500=559,5 km 3) Y=6560-13*500=6553,5 km X=555+6,5*500=558,25 km S1,2 = (559,5-556,95)² + (6557,05-6555,15)² = 3,18 km = 3180 m S2,3 = (558,25-559,5)² + (6553,5-6557,05)² = 3,764 km = 3764 m S3,1 = (556,95-558,25)² + (6555,15-6553,5)² = 2,101 km = 2101m Tabel 2. Geodeetilise pöördülesande lahendamine. Joon Plaanilt Ristkoordinaatide Geodeetiliste Smõõdet-Sarvut. Smõõd.- Se mõõdetud järgi arvutatud koordinaatide järgi Sarvutatud arvutatud Smõõdetud Se 1-2 3150 m 3180 m 3111 m -30 m 39 m
Ülesanne 1. Töö eesmärk:Määrata laboratoorses töös nr. 1 märgitud punkti geaodeetilied ja ristkordinaadid. Töövahendis:Kaart, kolmnurkjoonlad, joonlaud, pliiats, taskuarvuti Metoodika: 1.Ristkoordinaatide määramine: mõõtsin vahekaugused varem märgitud punktidest lähima ristkoorinaatide võrgustiku jooneni 1mm täpsusega. Seejärel arvutasin väja juurdekasvud lähimale jooneni ja liitsin need. Sain tulemuseks punktide ristkoordinaadid (X;Y). Tulemused on tabelis 1. Geodeetiliste koordinatide määramine: mõõtsin vahekaugused varem märgitud punktidest lähima geodeetiliste koordinaatide võrgustiku jooneni 1mm täpsusega
mõõtmistega. 3. Geotsentrilised koordinaadid. Alguspunkt asub maa raskuskeskmes. Vertikaaltelg (z-telg) on maakera pöörlemistelg, x-telg on 0-meridiaani ja ekvaatori tasapindade lõikejoon ning y-telg on nendega risti olev joon ekvaatori tasandil. Geotsentrilisi koordinaate saab ümber arvutada geograafilisteks koordinaatideks. 4. Ristkoordinaadid. Maastikupunkti asukoha plaanil või kaardil saab määrata ristkoordinaatidega x ja y. Selleks tuleb valida sobiv ristkoordinaatide süsteem. Eesti riikliku koordinaatide süsteemi x-teljeks on 24o meridiaan või sellega paralleelne suund ja y- teljeks ekvaatori kujutis või sellega paralleelne suund. Tasapinna ristkoordinaadid jagavad tasapinna 4 veerandiks. 5. Polaarkoordinaadid. Polaarkoordinaate kasut. samuti tasapinnal. Koosneb kahest elemendist: s polaarraadius, polaarnurk. Alguspunktiks polaartelg. Selle saab määrata kas riiklikkus koordinaatide süsteemis või suvaliselt. 6
mõõtmistega. 3. Geotsentrilised koordinaadid. Alguspunkt asub maa raskuskeskmes. Vertikaaltelg (z-telg) on maakera pöörlemistelg, x-telg on 0-meridiaani ja ekvaatori tasapindade lõikejoon ning y-telg on nendega risti olev joon ekvaatori tasandil. Geotsentrilisi koordinaate saab ümber arvutada geograafilisteks koordinaatideks. 4. Ristkoordinaadid. Maastikupunkti asukoha plaanil või kaardil saab määrata ristkoordinaatidega x ja y. Selleks tuleb valida sobiv ristkoordinaatide süsteem. Eesti riikliku koordinaatide süsteemi x-teljeks on 24o meridiaan või sellega paralleelne suund ja y- teljeks ekvaatori kujutis või sellega paralleelne suund. Tasapinna ristkoordinaadid jagavad tasapinna 4 veerandiks. 5. Polaarkoordinaadid. Polaarkoordinaate kasut. samuti tasapinnal. Koosneb kahest elemendist: s polaarraadius, polaarnurk. Alguspunktiks polaartelg. Selle saab määrata kas riiklikkus koordinaatide süsteemis või suvaliselt. 6
> 0, a 1). · Trigonomeetrilised funktsioonid: y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x Nendes valemites väljendatakse sõltumatu muutuja x radiaanides. · Arkusfunktsioonid: y = arcsin x , y = arccos x , y = arctan x , y = arc cot x . Kui meil on kaks funktsiooni f(x) ja g(x) ning kui nendest funktsioon f[g(x)], siis on tegemist nö liitfunktsiooniga. 5. Polaarkaugus ja polaarnurk, polaarkoordinaadid. Seosed polaar- ja ristkoordinaatide vahel, joonis. Punkti M asukoha tasapinnal määravad kaks arvu: polaarkaugus (polaarraadius) , mis on punkti M kaugus poolusest, ja polaarnurk , mis on polaartelje ja lõigu OM vahel. Vastu kellaosuti liikumise suunda mõõdetud nurk loetakse positiivseks ja kellaosuti liikumise suunas mõõdetud nurk negatiivseks. Arve ja nimetatakse punkti M polaarkoordinaatideks. Polaarkaugus on alati mittenegatiivne: 0. Polaarnurga üheseks
Polaarpoolus – punkt O . Polaartelg – punktist O väljuv kiir. Tasandi ühekordseks katmiseks polaarkoordinaatidega: 0 ≤ ρ< ∞ ja −π < φ≤ π . Positiivsed nurgad – kellaosutile vastassuunas Negatiivsed nurgad – kellaosuti suunas Polaar- ja ristkoordinaatide vaheline seos: {xy==ρcosφ ρsinφ Kompleksarvu trigonomeetriline kuju: z=x +iy= ρcosφ+iρsinφ=ρ(cosφ+isinφ) Järeldus: Kaks trigonomeetrilisel kujul esitatud kompleksarvu on võrdsed siis, kui Kompleksarvude moodulid on võrdsed
normide järgi valmistatav kogu Eesti maismaad hõlmav kaart. Riikliku põhikaardi valmistamise esmane ülesanne on koguda normeeritud täpsusastmega topograafiline informatsioon, tagada selle säilumine ja kättesaadavus. Digitaaltehnoloogia annab head võimalused nende ülesannete täitmiseks. Olulisemad Eesti põhikaarti käsitlevad dokumendid on: põhikaardi digitaalse andmebaasi moodustamine ja andmevahetus (1994), Eesti põhi ja baaskaardi projektsioon ja tasapinnaliste ristkoordinaatide süsteem, Eesti põhikaardi programm aastateks 1991-2005, Eesti kartograafia arengukava, projektettepanek Eesti Vabariigi põhikaardistamiseks, riikliku põhikaardi põhinõuded, Eesti põhikaardi kohanimede andmebaas, Põhikaardi spetsifikatsioon, Eesti põhikaardi juhend, Mõõtkavas 1 : 10 000 ja 1 : 5000 välikaardistamise leppemärkide kataloog ja märkide kasutamisjuhised ja juhend Eesti põhikaardi digitaalkaardistuseks mõõtkavas 1:10 000
(ΔPL) B Δy -31 mm -1550 m -97“ (ΔIP) A PL= ΔPL+K A IP= ΔIP+K A PL=26“+59°05’=59°05’26“ A IP=94“+26°15’=26°16’34“ B PL=158“+59°05’=59°07’38“ B IP=-97“+26°20’=26°18’23“ Vastus: Minu kahe punkti geodeetilised koordinaadid on: A PL=59°05’26“; A IP=26°16’34“ B PL=59°07’38“; B IP=26°18’23“ 3. Otsi üles kaardilt ristkoordinaatide võrk Tähistatud mustade joontega 4. Määra oma kahele punktile ristkoordinaadid Looduses 1:50 000 A Δx -52,5 mm -2625 m A Δy 7,5 mm 375 m B Δx 31 mm 1550 m B Δy 40 mm -2000 m A= Δx+K A x PL=-2625+6 555 000=6 552 375 m A y IP=375+630 000=630 375 m B x PL=1550+6 555 000=6 556 550 m B y IP=2000+630 000=632 000 m 5
silindrilise vesiloodi järgi, loodin treegeri alustõstekruvidega, tsentreerin aluse kinnituskruvidega, kordan viimast loodimist ja tsentreerimist Mõõdistusvõrgu tasandamine – iga mõõtmine sisaldab vigu, ka keskmised väärtused pole veatud ega võrdu teoreetiliste väärustega, parandatakse ka keskmisi väärtusi, kasutatkse tingimusvõrrandeid Pindalade määramine: Mehaaniline (digitaalne), Graafiline (ruut-ja joonpaletid, geomeetrilised kujundid), analüütiline e arvutuslik (ristkoordinaatide järgi) Elektrontahhümeetri mõisted: Nurk on kahe suuna vahe, nurke ei mõõdeta vaid arvutatakse; Mõõdetakse suuna lugemeid: horisontaal ja vertikaalsuuna lugemeid ja kaldjoonte pikkust Tahhümeetrid: topograafiline tm, geodeetiline manuaal tm, geodeetiline servo tm, geodeetiline tm automaatse prismajälgimise süsteemiga, geodeetiline tm automaatse prismajälgimise süsteemiga ja kaugjuhtimisega
plaan. 2. Analüütilisel pindalade määramisel kasutatakse vahetult looduses tehtud mõõtmisandmeid või nendest arvutatud piiripunktide ristkoordinaate. Maatükk jagatakse lihtsamateks kujunditeks. Looduses mõõdetakse iga kujundi pindala määramiseks vajalikud suurused ja arvutatakse iga kujundi pindala. Selleks kasutatakse planimeetria või trigonomeetria valemeid. Maatüki pindala saadakse kujundite pindalade summana. Pindala saan arvutada ka ristkoordinaatide järgi Gaussi valemitest. Analüütilise pindala määramise täpsus sõltub looduses tehtud mõõtmiste täpsusest: on 2 korda väiksem joone mõõtmise täpsusest ja 3 korda väiksem nurkade mõõtmise täpsusest. Koordinaatide järgi saadud pindala täpsus on S*S2, kus S on maatükiga pindvõrdse ruudu küljepikkus ja S on maatüki piirpunktide koordinaatide keskmine viga. 3. Pindala graafiline määramine toimub plaanil: maa-ala jagatakse lihtsamateks
lõikab pinna telge täisnurga all. Kaldkruvipind tekib sirgjoone kruvijoonelisel liikumisel, kui sirgjoon igas oma asendis lõikab pinna telge ühe ja sama teravnurga all. 86. Kuidas tekib tsükliline pind? Tsükliline pind tekib püsiva või muutuva raadiusega ringjoone liikumisel. Järelikult saab tsüklilise pinna iga punkti kohalt teha tasandilise lõike, mille kuju on ringjoon. 87. Milles seisneb aksonomeetria meetodi olemus? Kujutis konstrueeritakse punktide ristkoordinaatide järgi teljestiku kujutise baasil. Kujutamismeetodit, mille abil luuakse objektist piltlik kujutis, nimetatakse aksonomeetriaks. 88. Kuidas liigitatakse aksonomeetrilisi kujutisi a) teljestiku projektsiooni liigi alusel; b) telgede moondetegurite vahekorra alusel? a) rist- ja kaldaksonomeetria b) a) Isomeetrilised ehk võrdmõõdulised (mx = my = mz). * 2) b) Dimeetrilised ehk kahemõõdulised (mx = mz; mx my )
monitooringujaamadelt ja arvutab satelliitide orbiite ja kellade parameetreid. Need tulemused edastatakse maapealsetele saateantennidele, kust saadetakse need satelliitidele. Juhtiva kontrolljaama vastutusalas on ka kogu GPS süsteemi töö ja satelliitide kontroll. Töö toimub 24 h ööpäevas, mis võimaldab koheselt avastada võimalikud rikked kas satelliitide, monitooringujaamade või saateantennide töös 3. Mis on geotsentriline ristkoordinaatide süsteem, selle tähtsus GPS-mõõtmistel? Koordinaatide alguspunkt asub Maa raskuskeskmes. Z-teljeks on maakera pöörlemistelg, X- teljeks on nullmeridiaani ja ekvaatori tasandi lõikejoon, Y-teljeks on nendega risti olev joon ekvaatori tasandil. Geotsentrilist koordinaatide süsteemi kasutatakse GPS-mõõtmiste puhul, kus satelliitide asendid on määratud geotsentriliste koordinaatidega. Geotsentrilisi koordinaate väljendatakse meetrites. 4
Tehnilisel nivelleerimisel 2x≤10 mm. Lubatavast suurem vahe siis tuleb justeerida. Elevatsioonikruviga nivelliiri justeerimiseks tuleb elevats kruvist keerata niitristi horisontaalniit lugemile b0. Selle tulemusel läheb silindrilise vesiloodi mull paigast ära. Vertikaalsete justeerimiskruvide abil panna loodi mull uuesti keskele. Muuta instrumendi kõrgus ja teha kontrolliks otsast niveleerimine uuesti. 14. Eesti riiklik ristkoordinaatide süsteem. Eesti põhikaardi ja tasapinnaliste ristkoordinaatide süsteem põhineb Lamberti konformsel koonilisel projektsioonil (LAMBERT-ESTONIA) tuginedes elipsoidi GRS80 parameetritele. Projektsiooni Lambert –Estonia kasut tasapinnaliste ristkoordinaatide L-EST97 arvutamiseks geodeetilistest koordinaatidest EUREF-EST. Riigi geodeetilise põhivõrgu punktide tasapinnaliste riskoordinaatide määramisel võetakse Eestis X-teljeks GRS80 elipsoidi 24°
4. Geotsentrilised koordinaadid Geotsentriliste koordinaatide alguspunkt ja teljed on seotud Maa raskuskeskme, pooluste, nullmeridiaani ja ekvaatoritasandiga. Eristatakse punktide (1)geotsentrilisi ruumilisi ristkoordinaate ja (2)geodeetilsi koordinaate. 1. Globaalse võrgu ja riigi geodeetilise võrgu suvalise punkti A geotsentriliste ruumiliste ristkoordinaatide algus on ühitatud Maa massi keskpunktiga O; Z-koordinaadi telg on ühitatud Maa pöörlemisteljega ja Maa massi keskpunktiga O; X-koordinaadi teljeks on Greenwichi (null-) meridiaani tasandi ja Maa ekvaatoritasandi lõikejoon; Y-koordinaadi
ekvaatori tasandi lõikejoon, Y-teljeks on nendega risti olev joon ekvaatori tasandil. Geotsentrilist koordinaatide süsteemi kasutatakse GPS-mõõtmiste puhul, kus satelliitide asendid on määratud geotsentriliste koordinaatidega. Geotsentrilisi koordinaate väljendatakse meetrites Geotsentriliseks nimetatakse taevakoordinaatide süsteemi, kus taevasfääri keskpunktiks on Maa. 5. Tasapinnalised ristkoordinaadid Ristkoordinaadid väljendavad punkti kaugust koordinaattelgedest. Ristkoordinaatide definitsioonist tuleneb, et koordinaatide teljed peavad üksteise suhtes risti olema ja nad lõikuvad ainult ühes punktis. Tasapinnalised ristkoordinaadid x ja y on kasutusel ainult tasandil, mida maakera ei ole. Maakera tasapinnale teisendamiseks kasutatakse projektsioone ning tasapinnal võetakse kasutusele ka ristkoordinaadid. Ristkoordinaate mõõdetakse meetrites. X on punkti kaugus koordinaatide
tasandil. Geotsentrilist koordinaatide süsteemi kasutatakse GPS-mõõtmiste puhul, kus satelliitide asendid on määratud geotsentriliste koordinaatidega. Geotsentrilisi koordinaate väljendatakse meetrites Geotsentriliseks nimetatakse taevakoordinaatide süsteemi, kus taevasfääri keskpunktiks on Maa. 5. Tasapinnalised ristkoordinaadid Ristkoordinaadid väljendavad punkti kaugust koordinaattelgedest. Ristkoordinaatide definitsioonist tuleneb, et koordinaatide teljed peavad üksteise suhtes risti olema ja nad lõikuvad ainult ühes punktis. Tasapinnalised ristkoordinaadid x ja y on kasutusel ainult tasandil, mida maakera ei ole. Maakera tasapinnale teisendamiseks kasutatakse projektsioone ning tasapinnal võetakse kasutusele ka ristkoordinaadid. Ristkoordinaate mõõdetakse meetrites. X on punkti kaugus koordinaatide alguspunktist põhja või lõuna suunas, y on kaugus koordinaatide
G-K proj. kasutamisel jagatakse kogu maakera meridiaanidega 6o või 3o tsoonideks, valik sõltub topograafilise kaardi M1:10000 ja väiksemad 6 o tsoonideks & 1:10000 ja suuremad 3 o tsoonideks. Kõik tsoonid on ühesugused, seega sobivad kõik arvutused ka teistele tsoonidele. Tsoonide eristamiseks antakse neile numbrid. TM proj. satelliitfotode põhjal tehtud baaskaart on M 1:50000: * proj. abipind on silinder, mis lõikub ellipsoidiga. *kasut. ühte tsooni meridiaaniga 24 o *ristkoordinaatide võrgu ordinaattelg on ekvaator. Kaardilehtede nomenklatuur - numbrite ja tähtede kombinatsioon, mis näitab antud kaardilehe asukohta maailma koordinaadistikus. Gauss-Krügeri nomenklatuur M 38 101 A a 1 (1:1000000). Eesti baaskaart (52:292). Joonte orienteerimiseks nim. maastikul või plaanil olevate joonte asendi määramist ilma kaarte suhtes. Jooned orienteeritakse: *geograafilise e. tõelise asimuudi järgi.*magnetilise põhja-lõunasuuna järgi. *tsooni kesk- e.
definitsioonid. Massi arvutamine ruumtiheduse kaudu (tuletada vastav valem). 30. Kolmekordse integraali omadused (sh omadused 3-5 koos põhjendustega). 31. Kolmekordse integraali esitamine kolmikintegraalina. 32. Muutujate vahetus kolmekordse integraali all. 33. Silinderkoordinaadid ja nende seosed ristkoordinaatidega. Kolmekordse integraali teisendamine silinderkoordinaatidesse (tuletada vastav valem). 34. Sfäärkoordinaadid. Tuletada ristkoordinaatide valemid sfäärkoordinaatide kaudu. Kolmekordse integraali teisendamine sfäärkoordinaatidesse (tuletada vastav valem). 35. Joone kaare pikkuse diferentsiaal tasandil ja ruumis. Funktsiooni integraalsumma joonel. Esimest liiki joonintegraali definitsioon. Joone pikkuse ja joone massi arvutamine (tuletada vastavad valemid). 36. Esimest liiki joonintegraali omadused (sh omadus 3 koos põhjendusega). 37. Esimest liiki joonintegraali arvutamine parameetrilise joone korral
Joont punkti pealtvaate ja eestvaate vahel. 22. Kus asub punkt A, kui A(võrdub)A", ja punkt B, kui B(võrdub)B' ? Punkt A asub esiekraanil, B asub põhiekraanil. 23. Sõnastage kolmvaate peaomadus. Punkti esi- ehk peakvoot esineb kolmvaates kaks korda: pealtvaate kaugusena x-teljest ja külgvaate kaugusena z-teljest. (AA``=AxA ´=AzA```) 27. Milles seisneb aksonomeetria meetodi olemus? Kujutise konstrueeritakse objekti punktide ristkoordinaatide järgi teljestiku kujutise baasil. 28. Mis on sirgjoone põhi-, esi- ja külgjälg? Põhijälg sirge ja põhiekraani lõikepunkt Esijälg sirge ja esiekraani lõikepunkt Külgjälg - sirge ja külgekraani lõikepunkt. 30. Missugust sirget nimetatakse üldasendiliseks Üldasendiliseks sirgeks nim. Sellist sirget, mis ei ole paralleelne ühegi ekraaniga ega asetse ühelgi ekraanil. 31
• Paralleelid on siinuses • Prototüübiks Behrmanni ja teiste modifitseeritud õigepindsete silindrilistele projektsioonidele [11] Joonis 7. Lamberti õigepindne silindrile projektsioon Mercatori universaalne põikprojektsioon (UTM) • Ülemaailmseks kasutamiseks mõeldud rahvusvaheline projektsioon • Liitprojektsioon, kus iga tsooni kohta moodustatakse oma ristkoordinaatide süsteem • Kuuekraadiste tsoonide mõõtkavategur on k=0.9996, mis tähendab, et tegemist on lõikesilindriga • UTM projektsiooniga käib kokku UTM- koordinaatide süsteem ja kaardilehtede nomenklatuur, mille aluseks kuuekraadilised pikkuskraaditsoonid ja kaheksakraadilised • laiuskraadi vööndid • Tsoone loendatakse ööpäevarajast alates ida suunas 1-60, laiusvööndeid alates 80o ll kuni 80o pl tähestikuga C-X
Projektsiooni moonutuste vähendamiseks on puutekoonuse asemel kasutatud lõikekoonust referentsellipsoidil GRS-80. Projektsiooni parameetrid on järgmised: 1. koonuse lõikeparalleelid: BL=58°00’ ja BP=59°20’ 2. keskmeridiaan: LK=24°00’00’’ Kujutise mõõtkava on õige lõikeparalleelidel, mis on moonutuste nulljooneks Kujutis on vähendatud lõikeparalleelide vahelisel alal ja suurendatud lõikeparalleelidest väljaspool. Põhikaardi tasapinnaline ristkoordinaatide süsteem on L-EST97, mille parameetrid on: 1. x-telg on kollineaarne LAMBERT-EST keskmeridiaaniga 2. lähtepunkti geodeetilised koordinaadid: B0=57°31’03.19415’’ ja L0=24°00’ 3. lähtepunkti ristkoordinaadid: x0= +6375 000 m ja y0=+500 000m Kaardilehtede nomenklatuur Kaardilehtede nomenklatuuriks nimetatakse numbrite(tähtede) kombinatsiooni, mis kujutab kaardilehe aadressi maakeral. Eesti Baaskaardi nomenklatuur
Funktsionaaldeterminant ehk jakobiaan ja ta on järgmine: u v . Üleminek y y u v ristkoordinaatidelt polaarkoordinaatidele on üks enamlevinud juhtum muutujate vahetusest kahekordses integraalis. Sel juhul u = ja v = : x = cos , y = sin . Leiame ristkoordinaatide x ja y polaarkoordinaatideks ja x x teisendamise jakobiaani: v = - sin cos = - sin 2 - cos 2 = - Järelikult I= u y y cos sin u v 2 ( ) 2 2 ( )
4. Geotsentrilised koordinaadid Alguspunkt asub Maa raskuskeskmes. Vertikaaltelg (z-telg) on maakera pöörlemistelg, x-telg on nullmeridiaani ja ekvaatori tasapindade lõikejoon ning y- telg on nendega risti olev joon ekvaatori tasandil. Geotsentrilisi koordinaate saab ümber arvutada geograafilisteks ja vastupidi. 5. Tasapinnalised ristkoordinaadid Maastikupunkti asukohta tasapinnalises projektsioonis saab määrata ristkoordinaatidega x ja y. Selleks tuleb valida sobiv ristkoordinaatide süsteem. Eesti riikliku koordinaatide süsteemi x- teljeks on 24° meridiaan või sellega paralleelne suund ja y-teljeks ekvaatorikujutis või sellega paralleelne suund. Tasapinna ristkoordinaadid jagavad tasapinna 4 veerandiks. Kohaliku tähtsusega mõõdistamise puhul kasutatakse ka suvalisi ristkoordinaatide süsteeme. Koordinaatide alguspunkt on seljuhul vabalt määratud, kuid X-telg peab olema ikkagi orienteeritud põhja suunas ja Y-telg ida suunas
Lähtudest kõigist kaalutlustest leiti, et mõõtkavades 1:50...1:200 on mõtekas kasutada ristprojektsiooni nivoopinnale (ortogonaalne projektsioon). 1:500...1:20 000 kooniline konformne projektsioon (Lambert-Est). 1:50 000...1:200 000 TM Balti, arvestades, et Baltikum on välja venitatud põhja-lõuna suunas. Väiksemates mõõtkavades (alates 1:500 000) kasutatakse koonilisi ja polükoonilisi projektsioone vastavalt kaardistatavale piirkonnale. Ristkoordinaatide võrgu tiheduseks on ettenähtud mõõtkavades 1:10 000...1:50 000 võrgusilm 1km, mõõtkavas 1:100 000 võrgusilm 5km, mõõtkavas 1:200 000 võrgusilm 10km. Geograafiliste koordinaatide võrk alates mõõtkavast 1:200 000 moodustatakse intervalliga 20' ja 30'. Suuremates mõõtkavades tähistatakse ainult teatud paralleelide ja meridiaanide lõikumised. Merekaardid koostatakse vastavalt rahvusvahelistele traditsioonidele Mercatori normaalprojektsioonis WGS-84 ellipsoidi alusel.
objektini. Mööda piirimärke ühendavat sirgjoont (magistraaljoont) mõõdetakse piirimärkide vahekaugus. Samaaegselt mõõdistatakse ruleti ja ekri abil ristjoonte viisil looduslik kõverjooneline piirilõik. Magistraaljoone ja kõverjoonelise piirilõigu vaheline pindala arvutatakse maastikul tehtud mõõtmiste põhjal, kasutades kolmnurga ja trapetsi pindala valemeid. Pindala arvutamine piiripunktide ristkoordinaatide järgi- Pindala arvutamiseks ristkoordinaatide järgi kasutatakse Gaussi valemit ja selle modifikatsioone. Gaussi valem: i=n 2 P= ( X i Y i+1 -Y i X i +1) i=1 Selle valemi kasutamisel pindala arvutamiseks on vaja leida järjest korrutised (X i ·Yi+i) ja (Yi ·Xi+i), st on vaja korrutada punkti i abstsiss järgmise punkti ordinaadiga ja vastupidi. Seejärel arvutatakse ndende korrutiste vahel, mis summeerimisel annavad polügooni kahekordse pindala. 2.3
pinnal või kaardil. Geograafiliste koordinaatide leidmiseks kasutatakse paralleele ja meridiaane ja neid esitatakse kraadides. Tasapinnalised ristkoordinaadid x ja y on kasutusel ainult tasandil, mida maakera ei ole. Maakera tasapinnale teisendamiseks kasutatakse projektsioone. Ristkoordinaate mõõdetakse meetrites. X on punkti kaugus koordinaatide alguspunktist põhja või lõuna suunas, y on kaugus koordinaatide alguspunktist ida või lääne suunas. Ristkoordinaatide väärtused võivad olla nii + kui – märgiga. 14. Miks tekivad projektsioonide kasutamisel moonutused? Millised moonutused võivad tekkida? Millist tüüpi moondevabad kaardid millisteks ülesanneteks sobivad? Moonutused (joone pikkus, pindalad, nurgad, kuju) tekivad sellest, et maakera ruumilist (x, y, z koordinaadid) pinda tahetakse esitada tasapinnal (x, y koordinaadid). Silindriline: merekaardid; Kooniline: teemakaardid; Tasapinnaline:
Ristkoordinaadistik tasandil: · Kaks ristuvat suunaga arvsirget · Alguspunktid ühtivad · Ühikud on võrdsed Punkti ristkoordinaadid sirgel ja tasandil: · Sirgel: A (x = |OA|, kui A asub pos osal; x = -|OA|, kui A asub neg. osal.) · Tasandil (punkti kordinaatide saamiseks võtame ristprojektsioonid vastavatele telgedele): M Mx, My; Mx(x), My(y) M(x;y) 11. Polaarkoordinaadistik tasandil. Punkti polaar- ja ristkoordinaatide vahelised seosed. Polaarkoordinaadistik tasandil: · Suunaga arvtelg e. polaartelg. · Alguspunkt · Ühiku pikkus · Polaarraadius r = |OM| · Polaarnurk , nurk OM ja polaartelje pos. suuna vahel. M(r;). Punkti polaarkoordinaatide ja ristkoordinaatide vahelised seosed: · x = rcos; y = rsin. · r = (x2+y2)1/2; tan = y/x. 12. Ristkoordinaadistik ruumis. Punkti ristkoordinaadid ruumis. Punkti silinderkoordinaadid
* Vt kOsimust 24 26. Mis on teljevaba kaksvaade? * See on nagu tavalise objektl kaksvaade, millel puudub x-telg. Sel juhul pole v<5lmallk m<5<5ta objektl punktlde kaugusi p6hl- ja eslekraanlst, kuld saab alati klndlaks teha kauguseste vahesid ekraanidest 27. Milles selsneb aksonomeetrla meetodl olemus? * Aksonomeetriaks nimetatakse nllsugust kujutamisviisi, mUles kujutis konstrueeritakse punktide ristkoordinaatide jargi teljestlku kujutise baasil 28. Mis on slrgjoone pohl-, esl- ja kOlgjiilg? * 1) Pohljiilg- sirge ja pohiekraanlloikepunkt 2) Esijiilg- sirge ja esiekraanlloikepunkt 3) KOlgjiilg- slrge ja kOlgekraani lolkepunkt. 29. Tuletada valitud sirge a jaljed P(P';P") ja E(E';E-). * 30. Missugustsirget nlmetatakseOldasendlliseks? * Oldasendilinesirge on sirge mls pole risti(paralleelne) Ohegiekraanlga 31
nurk praktikas piirdutakse vööri- ja ahtrisüvise vahe leidmisega ja nimetatakse samuti trimmiks t (vene keeles ) arvutatakse t = T F - TA . Kuna laevadel ekspluatatsioonis peale lastimist on kreeninurk lubamatu, siis laeva trimmi määrab: keskmine süvis TM ning vööri- ja ahtrisüvise vahe e. trimm t mõõdetud püstsirgetel (vööris vee puutepunktis ja ahtris roolipalleri telgjoonel). 1.5. Laeva koordinaatide süsteem Laeva staatikas on kasutusel ristkoordinaatide süsteem, mis on laevaga seotud nii, et algpunkt on lõikepunkt kolme omavahel risttasandil: CL-tasand e. keskliinitasand (varem ka venepärane diametraaltasand DT e. ); BL-liin e. baasliinitasand; miidlitasand e. MS-tasand (MS asendatakse sageli sümboliga ). Positiivseks koordinaatide suunaks on: 0x e. abstsiss miidlist vööri (lääne kirjanduses sageli vastupidi); 0y e. ordinaat CL-tasandist paremale (tüürpoordi); 0z e
(ükskõik kas reaalajas või järeltöötlusega) antakse edasi ka kohaliku koordinaatsüsteemi realisatsiooni ja globaalse koordinaatsüsteemi realisatsiooni vahed, nii saame tulemuse ikka kohalikus realisatsioonis, milleks meil on EUREF-EST97 (Jürgenson 2006). Geodeetilise süsteemi üheks osaks on referentssüsteem, milleks on Euroopa Terrestiline referentssüsteem 89 (ETRS89). ETRS89 realisatsiooniks Eestis on geodeetilise võrgu punktide koordinaatide kogum, mille ruumiliste ristkoordinaatide ja geodeetiliste koordinaatide lühend on EUREF-EST97 (Tamme 2004). Ostes GPS-seadme, saame kaasa ka seadme spetsifikatsiooni. See teatab meile, et staatilisel meetodil mõõdetud punkti täpsus on 5 mm + 0,5 mm/km kohta baasjaamast. Mida veel tahta? Vaimustuses jääb tähele panemata väike tärn selle juures, mis lehekülje all teatab väga olulist lisainformatsiooni. Seda lugedes saame kohe aru, et täpsus on tagatud vaid
X-teljeks on nullmeridiaani ja ekvaatori tasandi lõikejoon, Y-teljeks on nendega risti olev joon ekvaatori tasandil. * Geotsentrilist koordinaatide süsteemi kasutatakse GPS mõõtmiste puhul, kus satelliitide asendid on määratud geotsentriliste koordinaatidega. Geotsentrilisi koordinaate väljendatakse meetrites. Ristkoordinaadid * X on punkti kaugus koordinaatide alguspunktist põhja või lõuna suunas * Y on kaugus koordinaatide alguspunktist ida või lääne suunas * Ristkoordinaatide väärtused võivad olla nii + kui – märgiga. * X-telg on alati üldistatult põhjasuunaks (meridiaani suunaks) ning Y-telg on selle suunaga risti * Tasapinnalised ristkoordinaadid X ja Y on kasutusel ainult tasandil, mida Maa ei ole * Maakera tasapinnale teisendamiseks kasutatakse projektsioone * Ristkoordinaate mõõdetakse meetrites * Geodeesias (kartograafias) kasutatavad ristkoordinaatteljed on vastupidised matemaatikas kasutatavatele MÕÕTÜHIKUD * Nurgaühikud * Pikkusühikud
• geodeetilisteks • sfäärilisteks • astronoomilisteks koordinaatideks Kui geograafilised koordinaadid määratakse geodeetiliste mõõtmistega, siis nimetatakse neid geodeetilisteks koordinaatideks B (laius) ja L (pikkus), mis määravad punkti asendi referentsellipsoidil. Kolmas koordinaat on geodeetiline kõrgus h, mis määrab punkti kauguse ellipsoidist piki normaali. Ristkoordinaadid väljendavad punkti kaugust koordinaattelgedest. • Ristkoordinaatide definitsioonist tuleneb, et koordinaatide teljed peavad üksteise suhtes risti olema ja nad lõikuvad ainult ühes punktis. • Tasapinnalised ristkoordinaadid x ja y on kasutusel ainult tasandil, mida maakera ei ole. • Maakera tasapinnale teisendamiseks kasutatakse projektsioone ning tasapinnal võetakse kasutusele ka ristkoordinaadid. • Ristkoordinaate mõõdetakse meetrites.
annaabi.ee 
