tan = m = Arctan m
- < arctan m <
2 2
tan = m
Arctan m = arctan m + n
arctan(-m) = - arctan m
2
-
2
cot = m = Arccot m -
7. (ex ) = ex . 1 8. (loga x) = a > 0, a = 1. x ln a 1 9. (ln x) = . x 1 10. (arcsin x) = 1 - x2 1 11. (arccos x) = - 1 - x2 1 12. (arctan x) = 1 + x2 1 13. (arccot x) = - 1 + x2 14. (sh x) = ch x 15. (ch x) = sh x 1 16. (th x) = ch2 x 1 17. (cth x) = - sh2 x Diferentseerimisreeglid Antud kaks funktsiooni u = u(x), v = v(x). 1. [u(x) ± v(x)] = u (x) ± v (x); 2. [u(x)v(x)] = u (x)v(x) + u(x)v (x); 3. Kui c on konstant, siis [c · u(x)] = cu (x). u(x) u (x)v(x) - u(x)v (x) 4. = ;
cos*cos = 0,5[cos( + ) + cos( - )] sin*cos = 0,5[sin( + ) + sin( - )] Huvitavaid lisavalemeid. 1 + cos = 2cos2 (/2) 1 cos = 2sin 2(/2) cos + sin = 2cos( - 45°) sin8 = 2sin4*cos4 Trigonomeetriliste võrrandite lahendusvalemid . sin x = m Lahendus: x = (-1) n *arcsin m + n nZ (n on täisarv) cos x = m Lahendus: x = ± arccos m + n nZ tan x = m Lahendus: x = arctan m + n nZ cot x = m Lahendus: x = arccot m + n nZ Arkusfunktsioonid. Nurkade väärtused -90° arcsin m 90° ( -1 m 1 ) 0° arccos m 180° ( -1 m 1 ) -90°< arctan m < 90° 0°< arccot m < 90° Negatiivse nurga teisendamine positiivseks. arcsin(-m) = -arcsin m arccos(-m) = - arccos m arctan(-m) = -arctan m arccot(-m) = - arccot m sin cos tan cot
c'=0 x'=1 (c × x)'=c (1/x)'=-1/x2 (√x)'=1/2√x (xn)'=n × xn-1 (ax)'=axIn a (ex)'=ex (In x)'=1/x (logax)'=1/x In (sin x)'=cos x (cos x)'=-sin x a (tan (cot x)'=- (arcsin x)'=1/cos2x 1/sin2x x)'=1/√1-x2 (arccos x)'=- (arctan (arccot x)'=- 1/√1-x2 x)'=1/1+x2 1/1+x2
7. (ex ) = ex . 1 8. (loga x) = a > 0, a = 1. x ln a 1 9. (ln x) = . x 1 10. (arcsin x) = √ 1 − x2 1 11. (arccos x) = − √ 1 − x2 1 12. (arctan x) = 1 + x2 1 13. (arccot x) = − 1 + x2 14. (sh x) = ch x 15. (ch x) = sh x 1 16. (th x) = ch2 x 1 17. (cth x) = − sh2 x Diferentseerimisreeglid Antud kaks funktsiooni u = u(x), v = v(x). 1. [u(x) ± v(x)] = u (x) ± v (x); 2. [u(x)v(x)] = u (x)v(x) + u(x)v (x); 3. Kui c on konstant, siis [c · u(x)] = cu (x). u(x) u (x)v(x) − u(x)v (x) 4. = ;
arkuskosinus ja seda täühistatakse x = arccos y. Kehtivad valemid arccos[cos x] = x ja cos[arccos y] = y Funktsioonide y = tan x ja y = cot x p¨o¨oramisel ahendatakse tan x vahemikule ( −π2 ; π2 ) ja cot x vahemikule (0, π). Funktsioonide y = tan x, x ∈ ( −π2 ; π2 ) ja y = cot x, x ∈ (0, π) pöördfunktsioonid on vastavalt arkustangens x = arctan y ja arkuskotangens x = arccot y. Kehtivad valemid arctan[tan x] = x , tan[arctan y] = y , arccot[cot x] = x , cot[arccot y] = y Arkusfunktsioonide määramispiirkonnad ja väärtuste hulgad on järgmised: y = arcsin x : X = [−1, 1], Y = [ −π π ; 2 2 ] (graafik) y = arccos x : X = [−1, 1], Y = [0, π] (graafik)
2 üheseid pöördfunktsioone. Pöördfunktsiooni defineeritakse nende funktsioonide määramispiirkondade alamhulkadel. arcsin[sin x] = x ja sin[arcsin y] = y, neist esimene iga x [-/2, /2] korral. arccos[cos x] = x ja cos[arccos y] = y, neist esimene iga x [0, ] korral. arctan[tan x] = x , tan[arctan y] = y , arccot[cot x] = x , cot[arccot y] = y, neist esimene iga x (-/2, /2 ) ja kolmas iga x (0, ) korral. Arkusfunktsioonide määramispiirkonnad ja väärtuste hulgad on järgmised: y = arcsin x : X = [-1, 1], Y = [-/2,/2] , y = arccos x : X = [-1, 1], Y = [0, ] , y = arctan x : X = R, Y = (-/2,/2) , y = arccot x : X = R, Y = (0, ) . Ilmutatud funktsioon funktsiooni y=f(x) ilmutatud kujuks on võrrand, mille vasakul pool on y ja paremal pool avaldus, mis võib sisaldada muutujat x, kuid mitte muutujat y.
Eksponentfunktsioon: y = ax, kus a on ühest erinev positiivne arv. Logaritmfunktsioon: y = log a x, kus logaritmide alus a on ühest erinev positiivne arv. Trigonomeetrilised funktsioonid: y = sin x, y = tan x, y = cos x, y = cot x. Arkusfunktsioonid: y = arcsin x, y = arccos x, 15 y = arctan x, y = arccot x. Astmefunktsioon y = xa, a on positiivne täisarv y y = x4 y y = x3 0 x 0 x Määramispiirkond: X = (-; ) 16 Astmefunktsioon y = xa, a on negatiivne täisarv y y y = 1/x2 y = 1/x3
1- x2 y = x y ' = x -1 1 1 y = arccos x y' = - y= x y' = 1- x2 2 x 1 1 1 y = arctan x y' = y= y' = - 2 1+ x2 x x 1 y = arccot x y' = - y = sin x y ' = cos x 1+ x2 y = cos x y ' = - sin x y = ax y ' = a x ln a 1 y = ex y' = e x y = tan x y' = 1 cos 2 x y = log a x y' = 1 x ln a y = cot x y' = - 2 sin x y = ln x 1 y '= 3
aga ei ole trigonomeetriline võrrand. Võrrandeid sin x = a, | a | 1, tan x = a, cos x = a, | a | 1, cot x = a, nimetatakse trigonomeetrilisteks põhivõrranditeks. Trigonomeetriliste põhivõrrandite lahendamine sin x = a, | a | 1 x = (-1) n arcsin a + n , n Z ; cos x = a, | a | 1 x = ± arccos a + 2n , n Z ; tan x = a, x = arctan a + n , n Z ; cot x = a, x = arccot a + n , n Z . Näide Lahendada võrrand tan x = 3. Lahendus Kuna arctan 3 = , 3 siis x = + n ehk x = (3n + 1) , kus n Z . 3 3 Võrdlusmeetod Keerukamate trigonomeetriliste võrrandite lahendamisel teisendatakse võrrandit nii, et see taanduks lõpuks ühele või mitmele põhivõrrandile. Võrdlusmeetod võrrandite lahendamisel.
Kui X on funktsiooni f m¨a¨aramispiirkond, siis hulka Y = {f (x)|x 2X} nimetatakse funktsiooni f muutumispiirkonnaks. Definitsioon 7 Funktsiooni f p¨o¨ordfunktsiooniks f −1 nimetatakse funktsiooni, mis on defineeritud seosega Definitsioon 10 P˜ohilisteks elementaarfunktsioonideks nimetatakse funktsioone f (x) = C f (x) = x_ f (x) = ax f (x) = loga x f (x) = sin(x) f (x) = cos(x) f (x) = tan(x) f (x) = cot(x) f (x) = arcsin(x) f (x) = arccos(x) f (x) = arctan(x) f (x) = arccot(x). Definitsioon 11 Elementaarfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis on saadud p˜ohilistest elementaarfunktsioonidest l˜opliku arvu aritmeetiliste tehete (so. liitmise, lahutamise korrutamise, jagamise) ja liitfunktsiooni moodustamise teel. Jada piirv¨a¨artus Definitsioon 1 Jadaks nimetatakse funktsiooni, mille m¨a¨aramispiirkonnaks on naturaalarvude hulk N. {x0,x1,x2,...}{xn}n2N {xn} Definitsioon 2 Arvu a nimetatakse jada {xn}(l˜oplikuks) piirv¨a¨artuseks, kui iga
Funktsiooni y = tan x, mis ei ole samuti ¨üksühene, pööramisel võetakse aluseks tema kitsend vahemikku (− π /2 , π/ 2 ). Antud vahemikus asub tangensi nn põhiharu. Funktsiooni y = tan x, x ∈ (− π 2 , π 2 ) pöördfunktsioon kannab nimetust arkustangens ja seda tähistatakse x = arctan y. Kehtivad valemid arctan[tan x] = x ja tan[arctan y] = y. Arkustangensi määramispiirkond ja väärtuste hulk on X = R, Y = (− π /2 , π/ 2) 23. Kuidas on defineeritud funktsioon y = arccot x? Millised on selle funktsiooni määramispiirkond, väärtuste hulk ja graafik? (lk 12, 18) Funktsiooni y = cot x pööramisel kitsendatakse ta vahemikku (0, π), kus asub tema põhiharu. Funktsiooni y = cot x, x ∈ (0, π) pöördfunktsioon on arkuskotangens ja seda tähistatakse x = arccot y. Kehtivad valemid arccot[cot x] = x ja cot[arccot y] = y. Arkuskotangensi määramispiirkond ja väärtuste hulk on X = R, Y = (0, π). 24. Defineerida algebralised tehted funktsioonidega
Seetõttu ei ole võimalik saada neile funktsioonidele terves oma määramispiirkonnas üheseid pöördfunktsioone. Pöördfunktsiooni defineeritakse nende funktsioonide määramispiirkondade alamhulkadel. arcsin[sin x] = x ja sin[arcsin y] = y, neist I iga x [-/2, /2] korral. arccos[cos x] = x ja cos[arccos y] = y, neist I iga x [0, ] korral. arctan[tan x] = x , tan[arctan y] = y , arccot[cot x] = x , cot[arccot y] = y,neist I iga x (-/2, /2 ) ja III iga x (0, ) korral. Arkusfunktsioonide määramispiirkonnad ja väärtuste hulgad on järgmised: y = arcsin x : X = [-1, 1], Y = [-/2,/2] , y = arccos x : X = [-1, 1], Y = [0, ] , y = arctan x : X = R, Y = (-/2,/2) , y = arccot x : X = R, Y = (0, ) . 5) · Algebralised tehted funktsioonidega y = (f +g)(x) = f(x) + g(x) y = (f g)(x) = f(x) g(x)
Seetõttu ei ole võimalik saada neile funktsioonidele terves oma määramispiirkonnas üheseid pöördfunktsioone. Pöördfunktsiooni defineeritakse nende funktsioonide määramispiirkondade alamhulkadel. arcsin[sin x] = x ja sin[arcsin y] = y, neist I iga x [-/2, /2] korral. arccos[cos x] = x ja cos[arccos y] = y, neist I iga x [0, ] korral. arctan[tan x] = x , tan[arctan y] = y , arccot[cot x] = x , cot[arccot y] = y,neist I iga x (-/2, /2 ) ja III iga x (0, ) korral. Arkusfunktsioonide määramispiirkonnad ja väärtuste hulgad on järgmised: y = arcsin x : X = [-1, 1], Y = [-/2,/2] , y = arccos x : X = [-1, 1], Y = [0, ] , y = arctan x : X = R, Y = (-/2,/2) , y = arccot x : X = R, Y = (0, ) . 5) · Algebralised tehted funktsioonidega y = (f +g)(x) = f(x) + g(x) y = (f g)(x) = f(x) g(x)
f(x) väärtus on lõplik, nimetatakse funktsiooni y = f(x) MÄÄRAMISPIIRKONNAKS. X = { x R; f(x) väärtus on lõplik}. PÕHILISED ELEMENTAARFUNKTSIOONID: 1. Astmefunktsioonid: y = x , Q; 2. Eksponentfunktsioonid: y = ax, a > 0, a 1; 3. Logaritmfunktsioonid: y = loga x, a > 0, a 1; 4. Trigonomeetrilised funktsioonid: y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x; 5. Arkusfunktsioonid: y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x, y = arccot x. 2 LIITFUNKTSIOON DEFINITSIOON 1. Funktsiooni, mille argumendiks ei ole sõltumatu muutuja, vaid tema mingi funktsioon, nimetatakse LIITFUNTSIOONIKS sõltumatu muutuja suhtes. z = g(y) = g(f(x)). PÖÖRDFUNKTSIOON DEFINITSIOON 2. Kui funktsiooni y = f(x) korral x = (y), siis funktsiooni y = (x) nimetatakse lähtefunktsiooni PÖÖRDFUNKTSIOONIKS ja vastupidi. ERIOMADUSTEGA FUNKTSIOONE DEFINITSIOON 3. Funktsiooni y = f(x) nimetatakse
määramispiirkond lõiguks [0,], mil ta on üksühene. Pöördfunktsiooni nimetatakse arkuskoosinuseks, tähistatakse x = arccos y. Kehtivad valemid arccos[cosx] = x (x [0,] korral) ja cos[arccos y] = y. Funktsioonide y = tanx ja y = cotx pööramisel ahendatakse tanx vahemikule [ ] ja cotx vahemikule (0,). Pöördfunktsioonid on vastavalt arkustangens x = arctan y ja arkuskotangens x = arccot y. Kehtivad valemid: arctan[tanx] = x (iga x () korral), tan[arctany] = y ja arccot[cotx] = x (iga x (0,) korral), cot[arccoty] = y. 5. Algebralised tehted funktsioonidega: Olgu antud kaks funktsiooni y=f(x) ja y=g(x) ühise määramispiirkonnaga X. Funktsioonide f ja g summa on defineeritud kui kujutis, mis seab igale x X vastavusse muutuja y väärtuse valemiga y=f(x) + g(x). Funkts. f ja g tähis on f + g, seega kehtib seos: y=( f + g )(x) = f(x) + g(x)
xln10 ¿ (sin x)´=cosx (cos x)´= -sin x 1 (tan x)´= xlna −1 (cot x)´= sin2 x 1 (arcsin x)´= √1−x 2 1 (arccos x)´= −¿ √1−x 2 1 (arctan x)´= 1+ x 2 −1 (arccot c)´= 1+ x 2 Funktsiooni diferentsuse ja pidevuse vaheline seos. Joonis 12. Pideva funktsiooni y=f(x) korral on täidetud tingimus. lim ∆ y =0 ∆ x→ 0 Kui see tingimus ei ole punktis x=x0 täidetud siis on selles punktis funktsioonil f(x) katkevuspunkt. Teoreem. Kui funktsioon y=f(x) on diferentseeruv punktis x=x0 , siis on see funktsioon pidev selles punktis. Näitame seda
S~onastada loigul pidevate funktsioonide omadused. 4)Eksponentfunktsioon y=ax , Lause 1. Lõigul pidev funktsioon on tõkestatud sellel lõigul.Lause 2. Lõigul 5)Trigonomeetrilised funktsioonid y=sin x, y=cos x , y = tan x , y = cot x, , pideval funktsioonil on olemas ekstremaalsed väärtused sellel lõigul.Lause 3. 6)Arkusfunktsioonid y= arcsin x, y= arccos x , y= arctan x ja y=arccot x. Lõigul pidev funktsioon omab iga väärtust, mis paikneb ekstremaalsete väärtuste 7)Hüperboolsed funktsioonid y=sh x, y=ch x, y=th x, y=cth x vahel.Lause 4. Lõigul [a;b] pideva ja rangelt monotoonse funktsiooni f(x) 8)Areafunktsioonid y=arsh x, y=arch x, y=arth x, y=arcth x pöördfunktsioon on pidev lõigul otspunktidega f(a) ja f(b).Lause 5. Lõigul pidev 9. Jada mõiste. Punkti ümbruse erinevad definitsioonid
· Arkusfunktsioonid on trigonomeetriliste funktsioonide pöördfunktsioonid. Kuna trigonomeetrilised funktsioonid ei ole üksühesed terves oma määramispiirkonnas, pöördfunktsioonid defineeritakse nende funktsiooni määramispiirkondade alamhulkadel (näiteks y=sinx x=[-/2;/2]) Arkusfunktsioonide määramispiirkonnad: y = arcsin x : X = [-1; 1]; Y = [-/2; /2] ; y = arccos x : X = [-1; 1]; Y = [0; ] ; y = arctan x : X = R; Y = (- /2; /2) ;0 y = arccot x : X = R; Y = (0; ) : (graafikud lk.16,17) Arkusfunktsioonide graafikud on trigonomeetrilised funktsioonide ahendite graafikute peegeldused üle sirge y=x. 5. Algebralised tehted funktsioonidega. Funktsioonide f ja g summa loomulik tähis on f +g. Seega kehtib f ja g summa puhul seos y = (f + g)(x) = f(x) + g(x). Analoogiliselt defineeritakse ka funktsioonide f ja g vahe y = (f - g)(x) = f(x) - g(x) korrutis y = (fg)(x) = f(x)g(x) ja jagatis y = (f/g)(x) = .
Konstantne funktsioon: y = c Astmefunktsioon: y = x , kus on reaalarv. Eksponentfunktsioon: y = a , kus a on ühest erinev positiivne arv. x Logaritmfunktsioon: y = log a x , kus logaritmide alus a on ühest erinev positiivne arv. Trigonomeetrilised funktsioonid: y = sin x, y = tan x, y = cos x, y = cot x. Arkusfunktsioonid: y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x, y = arccot x. 4. Katkev funktsioon Funktsioon y = f (x) on katkev kohal a, kui on täidetud vähemalt üks kolmest järgnevast tingimusest: 1. f (x) pole määratud kohal a, 2. funktsioonil f ei ole lõplikku piirväärtust kohal a, lim f ( x ) f ( a ) x a 3. kehtib 1 esimest liiki katkevuspunkt Niisugust katkevuspunkti, kus funktsioonil f on olemas ühepoolsed piirväärtused nimetatakse 1. Liiki katkevuspunktiks, iga ülejäänud katkevuspunkti aga 2
Määramispiirkond X = (0;) Väärtuste hulk Y=R Graafik Arkusfunktsioonid ja nende seosed trigonomeetriliste funktsioonide ahenditega. Trigonomeetriliste funktsioonide pöördfunktsioonid on arkusfunktsioonid. Arkusfunktsioonide määramispiirkonnad, väärtuste hulgad ja graafikud. y = arcsin x : X = [-1; 1]; Y = [-/2; /2] ; y = arccos x : X = [-1; 1]; Y = [0; ] ; y = arctan x : X = R; Y = (- /2; /2) ; y = arccot x : X = R; Y = (0; ) 5. Algebralised tehted funktsioonidega. Olgu antud kaks funktsiooni y =f(x) ja y = g(x) ühise määramispiirkonnaga X. Funktsioonide f ja g summa: y = (f + g)(x) = f(x) + g(x) Funktsioonide f ja g vahe: y = (f - g)(x) =f(x) - g(x) Funktioonide f ja g korrutis: y = (fg)(x) = f(x)g(x) Funktioonide f ja g jagatis: y = (f/g)(x) =f(x)/g(x) Summa, vahe ja korrutise määramispiirkonnaks on X. Jagatise määramispiirkond koosneb kõigist sellistest
Arkusfunktsioonid on trigonomeetriliste funktsioonide pöördfunktsioonid. Kuna trigonomeetrilised funktsioonid ei ole üksühesed terves oma määramispiirkonnas, pöördfunktsioonid defineeritakse nende funktsiooni määramispiirkondade alamhulkadel (näiteks y=sinx x=[-π/2;π/2]) Arkusfunktsioonide määramispiirkonnad: y = arcsin x : X = [-1; 1]; Y = [-π/2; π/2] ; y = arccos x : X = [-1; 1]; Y = [0; π] ; y = arctan x : X = R; Y = (-π /2; π/2) ;0 y = arccot x : X = R; Y = (0; π) : (graafikud lk.16,17) Arkusfunktsioonide graafikud on trigonomeetrilised funktsioonide ahendite graafikute peegeldused üle sirge y=x. 5. Algebralised tehted funktsioonidega. Funktsioonide f ja g summa loomulik tähis on f +g. Seega kehtib f ja g summa puhul seos y = (f + g)(x) = f(x) + g(x). Analoogiliselt defineeritakse ka funktsioonide f ja g vahe y = (f − g)(x) = f(x) − g(x) korrutis y = (fg)(x) = f(x)g(x) ja jagatis y = (f/g)(x) = .
Seetõttu ei ole võimalik saada neile funktsioonidele terves oma määramispiirkonnas üheseid pöördfunktsioone. Pöördfunktsiooni defineeritakse nende funktsioonide määramispiirkondade alamhulkadel. arcsin[sin x] = x ja sin[arcsin y] = y, neist esimene iga x [-/2, /2] korral. arccos[cos x] = x ja cos[arccos y] = y, neist esimene iga x [0, ] korral. arctan[tan x] = x , tan[arctan y] = y , arccot[cot x] = x , cot[arccot y] = y, neist esimene iga x (-/2, /2 ) ja kolmas iga x (0, ) korral. Arkusfunktsioonide määramispiirkonnad ja väärtuste hulgad on järgmised: y = arcsin x : X = [-1, 1], Y = [-/2,/2] , y = arccos x : X = [-1, 1], Y = [0, ] , y = arctan x : X = R, Y = (-/2,/2) , y = arccot x : X = R, Y = (0, ) . 5. Algebralised tehted funktsioonidega. Liitfunktsiooni mõiste. Liitfunktsiooni määramispiirkond. Põhilised elementaarfunktsioonid. Elementaarfunktsiooni definitsioon
ja sõltuv muutuja kohad. Samuti vahetuvad muutumis- ja määramispiirkond. Kui x ja y vahetada on nad peegelpildis sirge y=x suhtes. Logaritmfunktsioon on eksponentfunktsiooni pöördfunktsioon.a>0, a ei tohi olla 1. Graafikud on erinevad, kui a>1 ja 1> a>0. Arkusfunktsioonid on trigonomeetriliste funktsioonide pöördfunktsioonid. y = arcsin x : X = [-1, 1], Y = [-0.5;0.5] y = arccos x : X = [-1, 1], Y = [0;] y = arctan x : X = R, Y = [-0.5;0.5] y = arccot x : X =R, Y =[0;] +graafikud! 5. Algebralised tehted funktsioonidega. Kahe sama määramispiirkonnaga funktsiooni f(x) ja g(x) nende summa on f+g y=f(x)+g(x) y=(f+g)(x). Analoogiliselt defineeritakse ka funktsioonide vahe, korrutis ja jagatis. Liitfunktsioon:Olgu antud kaks funktsiooni: y = f(x) määramispiirkonnaga Xf ja z = g(y) määramispiirkonnaga Yg. Asendades suuruse y funktsiooni g avaldises f(x)-ga saame uue
y=arccos x y =tan x Rangelt monotoonne: kogu määramispiirkonnas rangelt kasvav või kahanev. y=arctan x y=cot x y=arccot x xn≤ M ARVU ABSOLUUTVÄÄRTUSE OMADUSED n∈N korral . 2. Kui jada
Kehtivad valemid arccos[cos x] = x ja cos[arccos y] = y, neist esimene iga x [0, ] korral. Funktsioonide y = tan x ja y = cot x p¨o¨oramisel ahendatakse tan x va- hemikule (- 2 , 2 ) ja cot x vahemikule (0, ). Funktsioonide y = tan x, x (- , ) ja y = cot x, x (0, ) 2 2 p¨o¨ordfunktsioonid on vastavalt arkustangens x = arctan y ja arkuskotangens x = arccot y. Kehtivad valemid arctan[tan x] = x , tan[arctan y] = y , arccot[cot x] = x , cot[arccot y] = y, neist esimene iga x (- 2 , 2 ) ja kolmas iga x (0, ) korral. Arkusfunktsioonide m¨a¨aramispiirkonnad ja v¨a¨artuste hulgad on j¨argmised: y = arcsin x : X = [-1, 1], Y = [- , ] , 2 2
Kehtivad valemid arccos[cos x] = x ja cos[arccos y] = y, neist esimene iga x [0, ] korral. Funktsioonide y = tan x ja y = cot x p¨o¨oramisel ahendatakse tan x va- hemikule (- 2 , 2 ) ja cot x vahemikule (0, ). Funktsioonide y = tan x, x (- , ) ja y = cot x, x (0, ) 2 2 p¨o¨ordfunktsioonid on vastavalt arkustangens x = arctan y ja arkuskotangens x = arccot y. Kehtivad valemid arctan[tan x] = x , tan[arctan y] = y , arccot[cot x] = x , cot[arccot y] = y, neist esimene iga x (- 2 , 2 ) ja kolmas iga x (0, ) korral. Arkusfunktsioonide m¨a¨aramispiirkonnad ja v¨a¨artuste hulgad on j¨argmised: y = arcsin x : X = [-1, 1], Y = [- , ] , 2 2
antud funktsioone. Astmefunktsioon: y = xa Logaritmfunktsioon: y = logax Eksponentfunktsioon: y = ax Trigonomeetrilised funktsioonid: y= sin x, y =cos x, y= tan x , y = cot x Arkusfunktsioonid: y = arcsin x , y = arccos x , y = arctan x , y = arccot x Eksponentfunktsioon: y = ax 30.Elementaarfunktsioonid Elementaarfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis saadakse põhielementaarfunktsioonidest (y = kx, y = ax2 + bx + c) 31.Liitfunktsiooni mõiste Liitfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis saadakse kahe funktsiooni järjest rakendamisel. 32.Pöördfunktsiooni mõiste; pöördfunktsiooni määramis ja muutumispiirkond Funktsiooni pöördfunktsioon on funktsioon -1, mis seab igale
2 3 24 5 246 7 2 6 DIFERENTSEERIMISE ja INTEGREERIMISE VALEMID x3 x5 x7 x9 arctan x = x + + arccot x = 2 arctan x 3 5 7 9 Hüperboolsed funktsioonid ja nende pöördfunktsioonid ex ex ex ex ex + ex shx = thx = x cthx = 2 e + ex e x e x ex + ex 2 2
2 3 24 5 246 7 2 6 DIFERENTSEERIMISE ja INTEGREERIMISE VALEMID x3 x5 x7 x9 arctan x = x + + arccot x = 2 arctan x 3 5 7 9 Hüperboolsed funktsioonid ja nende pöördfunktsioonid ex ex ex ex ex + ex shx = thx = x cthx = 2 e + ex e x e x ex + ex 2 2
Funktsiooni y=cosx, x pöördfunktsiooni nimetatakse arkuskosinuseks ja tähistatakse x=arccosy. Kehtivad seosed arccos[cosx]=x ja cos[arccosy]=y, neist esimene iga x korral. Funktsioonide y=tanx ja y=cotx pööramisel ahendatakse tanx vahemikule ja cotx vahemikule Funktsioonide y=tanx, x ja y=cotx, x Pöördfunktsioonid on vastavalt arkustangens x=arctany ja arkuskotangensx=arccoty. Kehtivad valemid arctan[tanx]=x, tan[arctany]=y, arccot[cotx]=x ja cot[arccoty]=y, neist esimene iga x ja kolmas iga x korral. Arkusfunktsioonide määramispiirkonnad ja väärtuste hulgad on järgmised: 5. Algebralised tehted funktsioonidega. Olgu antud kaks funktsiooni y=f(x) ja y=g(x) ühise määramispiirkonnaga X. Funktsioonide f ja g summa on defineeritud kui kujutis, mis seab igale x X vastavusse muutuja y väärtuse valemiga y=f(x)+g(x). Funktsioonide f ja g summa loomulik tähis on f+g
Funktsiooni y=cosx, x pöördfunktsiooni nimetatakse arkuskosinuseks ja tähistatakse x=arccosy. Kehtivad seosed arccos[cosx]=x ja cos[arccosy]=y, neist esimene iga x korral. Funktsioonide y=tanx ja y=cotx pööramisel ahendatakse tanx vahemikule ja cotx vahemikule Funktsioonide y=tanx, x ja y=cotx, x Pöördfunktsioonid on vastavalt arkustangens x=arctany ja arkuskotangensx=arccoty. Kehtivad valemid arctan[tanx]=x, tan[arctany]=y, arccot[cotx]=x ja cot[arccoty]=y, neist esimene iga x ja kolmas iga x korral. Arkusfunktsioonide määramispiirkonnad ja väärtuste hulgad on järgmised: 5. Algebralised tehted funktsioonidega. Olgu antud kaks funktsiooni y=f(x) ja y=g(x) ühise määramispiirkonnaga X. Funktsioonide f ja g summa on defineeritud kui kujutis, mis seab igale x X vastavusse muutuja y väärtuse valemiga y=f(x)+g(x). Funktsioonide f ja g summa loomulik tähis on f+g
vahetavad argument ja sõltuv muutuja kohad. Samuti vahetuvad muutumis- ja maaramispiirkond. Kui x ja y6 vahetada on nad peegelpildis sirge y=x suhtes. Logaritmfunktsioon on eksponentfunktsiooni pöördfunktsioon.ä>0 a ei tohi olla X = (0,) ja Y = R. Graafikud on erinevad, kui a>1 ja 1> a>0. Arkusfunktsioonid on trigonomeetriliste funktsioonide pöördfunktsioonid. y = arcsin x : X = [-1, 1], Y = [-0.5;0.5] y = arccos x : X = [-1, 1], Y = [0;] y = arctan x : X = R, Y = [-0.5;0.5] y = arccot x : X =R, Y =[0;] 5.Algebralised tehted funktsioonidega. Kahe sama maaramispiirkonnaga funktsiooni f(x) ja g(x) nende summa on f+g y=f(x)+g(x) y=(f+g)(x). Analoogiliselt defineeritakse ka funktsioonide vahe, korrutis ja jagatis. Liitfunktsioon:Olgu antud kaks funktsiooni: y = f(x) maaramispiirkonnaga Xf ja z = g(y) maaramispiirkonnaga Yg. Asendades suuruse y funktsiooni g avaldises f(x)-ga saame uue funktsiooni, mille argumendiks on x ja
Definitsioon 3.11 Põhiliste elementaarfunktsioonide all mõistetakse järgmisi funkt- sioone: 1. konstantne funktsioon y = c; 2. astmefunktsioon y = xa ; 3. eksponentfunktsioon y = ax , (a > 0, a = 1); 4. logaritmfunktsioon y = loga x, (a > 0, a = 1); 5. trigonomeetrilised funktsioonid y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x; 6. arkusfunktsioonid y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x, y = arccot x. · Konstantne funktsioon y = c tegutseb hulkadel f : R {c}. On paarisfunktsioon, pealekujutus, ei ole üksühene määramispiirkon- nas R. · Astmefunktsioon y = xa , a R. 30 3.5. Põhilised elementaarfunktsioonid x, x3 , x5 ja x2 , x4 , x6 x1/3 , x1/5 , x1/7 ja x-1/3 , x-1/5 , x-1/7
Muutujat y nim sõltuvaks muutujaks. Pöördfunktsioon x=arccoty (a-,a] x- arccot(cotx)=x ja cot(arccoty)=y Funktsioon (x) on lõpmatult kasvav piirprotsessis xa, kui lim |()| Argumendi x muutumispiirkonnaks nimetatakse funktsiooni f Muutuv suurus x läheneb paremalt arvule a, kui iga määramispiirkonda
abil, n: y=x2+2x+2, y=log(2x-3). Põhielementaarfunktsioonid: 1) astmefunktsioon y = xa, kus a on mis tahes reaalarv; 2) eksponentfunktsioon y = ax, kus a on ühest erinev positiivne arv; 3) logaritmfunktsioon y = loga x, kus a on ühest erinev positiivne arv; 4) trigonomeetrilised funktsioonid y = sin x, y = cos x, y = tan x ja y = cot x; 5) arkusfunktsioonid y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x ja y = arccot x. 26. Jada piirväärtuse ja funktsiooni piirväärtuse mõisted. jada piirväärtus mistahes positiivne arv (a - ; a + ) arvu a ümbrus arv x kuulub arvu a ümbrusesse siis, kui |x a| < arv a on jada piirväärtuseks, kui mis tahes korral saab leida elemendi x, millest alates kõik ülejäänud jada elemendid kuuluvad selle ümbrusesse. funktsiooni piirväärtus x1, x2, ..., xn funktsiooni argumentide jada f(x1), f(x2), ..
Seega on g f määramispiirkond järgmine: Xgf = {x || x Xf , f(x) Yg} . Näiteks annavad f(x) = sin x ja g(y) =? y liitfunktsiooni (g f)(x) =sin x. Kuna Xf = R ja Yg = [0,), siis Xgf = {x || sin x [0,)} ={x || 2k x (2k + 1), k Z)}. Põhilised elementaarfunktsioonid: Põhilisteks elementaarfunktsioonideks on järgmised funktsioonid: konstantne funktsioon, y = xa, y = ax, y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x, y = loga x, y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x ja y = arccot x. Elementaarfunktsiooni definitsioon: Elementaarfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis on saadud põhilistest elementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete (so liitmiste, lahutamiste, korrutamiste, jagamiste) ja liitfunktsioonide moodustamise teel. Näiteid elementaarfunktsioonide kohta: elementaarfunktsioon y = 5+7 tan x- ex? cos x on moodustatud põhilistest elementaarfunktsioonidest y = 5, y = 7, y = tan x, y = ex ja y = cos x lõpliku arvu aritmeetiliste tehetega.
arcsin(sinx)=x ja sin(arcsiny)=y d.ii. y=cosx pööramisel ahendatakse X[0;], Y=[-1;1] Pöördfunktsioon x=arccosy arccos(cosx)=x ja cos(arccosy)=y d.iii. y=tanx pööramisel ahendatakse X YR Pöördfunktsioon x=arctany arctan(tanx)=x ja tan(arctany)=y d.iv. y=cotx pööramisel ahendatakse X(0;) Y=R Pöördfunktsioon x=arccoty arccot(cotx)=x ja cot(arccoty)=y e. Arkusfunktsioonide määramispiirkonnad, väärtuste hulgad ja graafikud. e.i.1. y=arcsinx X[-1;1] Y= e.i.2. y=arcosx X[-1;1] Y=[0;] e.i.3. y=arctanx X=R Y e.i.4. y=arccotx X=R Y(0;) e.i.5. Arkusfunktsiooni graafikud on trigonomeetriliste funktsioonide ahendite graafikute peegeldused üle sirge y=x
Z. Vahetades t¨ahistuse, saame funktsiooni y = tan x l~opmatult mitmese p¨o¨ordfunktsiooni y = arctan x+n, n Z, mida t¨ahistataskse y = Arctan x. Lisame juba vaadeldud trigonomeetrilistele funtksioonidele veel neljanda y = cot x. Graafik on esitataud joonisel 1.22 Eraldame funktsioonist y = cot x v¨alja haru m¨a¨aramispiirkonnaga (0; ). Sellel harul vastab igale y (-; ) v¨a¨artusele u ¨ks muutuja x v¨a¨artus. Seda funtksiooni t¨ahistatakse x = arccot y. P¨arast t¨ahistuse muutmist on funkt- siooni y = cot x, x (0; ) p¨o¨ordfunktsiooniks y = arccot x. Selle funktsiooni m¨a¨aramispiirkond X = (-; ) ja muutumispiirkond Y = (0; ). 15 y 1 - 2 x -2 - 32 - 2 3
Matemaatilises analüüsis enim uuritud ja kõige sagedamini esinevad funktsioonid on elementaarfunktsioonid. Põhilisteks elementaarfunktsioonideks nimetatakse järgmisi funktsioone: 1) konstantne funktsioon y = c; 2) astmefunktsioon y = x ; 3) eksponentfunktsioon y = ax (a > 0); 4) logaritmfunktsioon y = log a x (a > 0, a 1 ); 5) trigonomeetrilised funktsioonid y =sin x, y =cos x, y = tan x, y = cot x; 6) arkusfunktsioonid y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x, y = arccot x. Elementaarfunktsioonideks nimetatakse funktsioone, mis on saadavad põhilistest elementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete ja liitfunktsiooni moodustamise operatsioonide teel. §2 FUNKTSIOONI PIIRVÄÄRTUS JA PIDEVUS 1. Funktsiooni piirväärtuse definitsioonid Olgu a funktsiooni f määramispiirkonna X kuhjumispunkt, st selle punkti a igas ümbruses U(a)=(a, a+) leidub punkte x X, x a. Definitsioon 1. Arvu a nimetatakse. funktsiooni f piirväärtuseks punktis a
4. Arkusfunktsioonid Liigitus Üldkuju Määramispiirkond Muutumispiirkond Arkussiinusfunktsioon y = arcsin x X = [- 1,1] Y = [- 2 , 2 ] Arkuskoosinusfunktsioon y = arccos x X = [- 1,1] Y = [0, ] Arkustangensfunktsioon y = arctan x X = (- , ) Y = (- 2 , 2 ) Arkuskootangensfunktsioon y = arccot x X = (- , ) Y = (0, ) y = arcsin x y = arccos x y = arctan x y = arccot x 5 Kordamine matemaatilise analüüsi I eksamiks matemaatika-informaatika teaduskonnas 04/05 õ.a 5. Hüperboolsed funktsioonid Liigitus Üldkuju Määramispiirkond Muutumispiirkond e x - e-x
y = arctan x (X = R Y = (-/2; /2)). M¨argime, et funktsioonide x = tan y ja y = Arctan x graafikud u ¨htivad. Analoogselt j~outakse funktsiooni y = cot x (X = (k, (k + 1)) Y = R) kZ p¨o¨oramisel funktsioonini arkuskootangens y = arccot x ( X = R Y = (0; )). N~ aide 9. Skitseerime funktsioonide arctan x ja arccot x graafikud, kusjuures arctan x graafiku skitseerime peenema joonega 3 2 y 1 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 x 6 8 10 -1
=- 1 - 1 2 = -sin y 2 dx dx 1 + cot y 2 1+ x2 dy sin y 1 (arccot x)' = - , - < x < 1+ x2 8 22. Kirjeldada logaritmilise diferentseerimise võtet. Millistel juhtudel seda võtet rakendatakse? Tuua näide. 9 y = f (x ) d 10 ln y =ln f ( x ) (...) dx 17 1 11 y y ' = (ln f ( x ) )' y ' = f ( x )(ln f ( x ) )'
57 Joon. 5-6 Joon. 5-7 Toodud võrrandsüsteemi 5.1 lahendamine annab seose: F 12= F2 / cos- (1+2y/l)sin. 5.2 Kui valemis 5.2 nimetaja nullistub, tähendab see kiildumist: nukki pöörates pole võimalik tõukurit tõsta. Kiildumisel (vt. 5.2) on kriitiline survenurk kriitiline avaldatav järgmiselt: arccot kriitiline= (1+2y/l). 5.3 Praktikas kasutatavad maksimaalsed survenurgad max on oluliselt väiksemad kriitilistest, kuna survenurga suurenedes kasvavad tõukuri juhtpuksis või nookuri kinnituses mõjuvad reaktsioonid ja väheneb mehhanismi kasutegur. Survenurga õigest valikust sõltuvad nukkmehhanismi omadused. Järgnevalt näitame, et survenurga väärtust saab mõjutada nuki alusringjoone raadiuse Ro valikuga (vt. joon. 5-7
-1 (tan x) = (cos1 x)2 (cot x) = (sin x)2 (arcsin x) = 1 (arccos x) = -1 1-x 2 1-x 2 1 -1 (arctan x) = 1+x 2 (arccot x) = 1+x 2 (sinh x) = cosh x (cosh x) = sinh x 1 -1 (tanh x) = (cosh x)2 (coth x) = (sinh x)2 1 (arsinh x) = (arcosh x) = 1 x 2 +1 x 2 -1
kahanev lõigus [0, π]. Trigonomeetriliste funktsioonide pöördfunktsioonid h π πi arcsin : [−1, 1] → − , , arccos : [−1, 1] → [0, π] 2 2 ning π π arctan : R → − , , arccot : R → (0, π) 2 2 on pidevad kui pidevate rangelt monotoonsete funktsioonide pöördfunktsioonid. 3.5 Ühtlaselt pidevad funktsioonid 3.5.1 Ühtlase pidevuse mõiste. Cantori teoreem Olgu f : D → R pidev funktsioon, s.t. ∀x ∈ D ∀ε > 0 ∃δ = δ (x, ε) > 0 : [x′ ∈ D, |x′ − x| < δ] ⇒ |f (x′ ) − f (x)| < ε. (3.16) Ühtlase pidevuse definitsiooni juurde toob meid tähelepanek, et mõnede funktsioonide f
Integreerides Westergaardi valemit üle ristkülikulise pinna, saab leida valemid pingete määramiseks keskpunkti ja nurgapunkti all ja avaldada need sarnaselt Boussinesq' lahenduse kujule. Pinged keskpunkti all on z = p kus on avaldatav valemiga 2 m = arccot( (1 + n 2 + m 2 ) ) (6.34) n Tegurid on esitatud tabelis 6.4 ( = 0,3). 6.5.4 Koormuse rakenduspunkti sügavuse mõju
annaabi.ee 
