docstxt/14585580422453.txt
8 1) Paneme paika järgneva: ( a + b ) ab + ab + ab + ab + ab + ab + ab + ab + ab 8 2) Kirjutame kõigile 'a'-dele astmed kahanevas järjekorras, 8...0 ( a + b ) a8b + a 7b + a 6b + a5b + a 4b + a 3b + a 2b + a1b + a 0b 8 3) Kirjutame kõigile 'b'-dele astmed kasvavas järjekorras, 0...8 ( a + b ) a8b0 + a 7b1 + a 6b2 + a5b3 + a 4b 4 + a 3b5 + a 2b 6 + a1b7 + a 0b8 8 Pane tähele, et iga liikme kordajate astmete summa on sama, mis algtehtes astendajagi. NB! Kordajad astmel null võib kirjutamata jätta. · Viies seos LIIKMETE KORDAJATE LEIDMINE Saadud avaldise liikmete kordajate kohta kehtib kindel seos. Seda iseloomustab alljärgnev tabel. Esimene Teine Kolmas ja ja/või ja/või (üle)- ASTE ... ...
Reaktsioonivõrrandil baseeruvate ülesannete lahendamisel on mõistlik järgida järgmisi etappe: 1. Kirjutage ja tasakaalustage reaktsioonivõrrand 2. Kirjutage reaktsioonivõrrandi kohale ülesandes antud ja otsitava aine kohta toodud andmed 3. Leidke nende ainete molaarmassid, mille kogus on antud või mille kogust soovitakse leida 4. Leidke nende ainete moolid, mille mass (või gaasilise aine ruumala) on antud 5. Reaktsioonivõrrandi kordajate suhte järgi leidke otsitud aine moolid 6. Leidke küsitud aine mass(ruumala) NÄIDIS: Mitu liitrit hapnikku kulub 35g raua roostetamiseks, kui rauast tekib RAUD(III)oksiid? Lahendus: 1. Kirjutame ja tasakaalustame reaktsioonivõrrandi: 4Fe + 3O2 = 2Fe2O3 2. Kirjutame antud andmed reaktsioonivõrrand kohale 35g V=? 4Fe + 3O2 = 2Fe2O3 3. Leiame raua ja hapniku molaarmassid: 4
¨ I 24 / 34 Ma¨ aramata ¨ integraal Ratsionaafunktsioonide integreerimine Horneri skeem Leiame polunoomi ¨ P6 (x) = x 6 - x 5 - 2x 4 - x 2 + x + 2 va¨ artuse ¨ kohal 1 kasutades Horneri skeemi. (kui x astmete kordajate summa on 0, siis sobib nullkohaks 1) 1 -1 -2 0 -1 1 2 1 Seega x = 1 on P6 (x) nullkoht ja me saame esituse P6 (x) = (x - 1)(x 5 - 2x 3 - 2x 2 - 3x - 2) ¨ G. Tamberg (TTU) YMM3731 Matemaatilne analu¨ us ¨ I 25 / 34 Ma¨ aramata
Sisukord Sissejuhatus........................................................... 3 1 . Fibonacci arvud ja nende üldistused................................... 4¨¨ 1.1 Fibonacci arvud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Üldistused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨5-6 1.2.1 Jada algsete väärtuste muutus (esimene ¨ üldistus) . . . . . . . . . . ¨5-6 1.2.2 Elementide kordajate muutus (teine üldistus) . . . . . . . . . . . . ¨5-6 1.2.3 Valitavate elementide muutus (kolmas üldistus) . . . . . . . . . . . ¨5-6¨ 2 . Kuldlõige. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3. Kus on inimesed seda kasutanud? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 4. Fibonacci arvud ja kuldlõige looduses . . . . . . . . . . . . . . . .9 5. Inimese proportsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Optimaalsed lahendid lineaarse planeerimise ülesande puhul on lubatavad baasilahendid kanoonilisel kujul (simpleksmeetidiga) 14. Millised on simpleksmeetdi puhul juhtveeru ja juhtrea valiku reeglid? Juhtveerg - sihifunksiooni kõige suurema absoluutväärtusega negatiivne arv Juhtrida - vabaliikmete ja juhtveeru elemendi minimaalne jagatis min(Va / Je) 15. Milline on simplekstabeli optimaalsuse tunnus? kui simplekstabelis sihifunktsioonile vastavas kordajate reas puuduvad negatiivsed kordajad, siis vastav baaslahend on optimaalne ja vabaliige sihifunktsioonile vastavas kordajate reas annab sihifunktsiooni optimaalse väärtuse 16. Mida näitavad simpleksmeetodi puhul lisamuutujate optimaalsed väärtused? See näitab ülejääki 17. Millised on duaalse simpleksmeetdi puhul juhtveeru ja juhtrea valiku reeglid? Juhtrida - Kõige väikseima absoluutväärtusega negatiivne vabaliige
ab c ; a x 5 ; x ; Üksliikmes esinevat arvulist tegurit nimetatakse üksliikme kordajaks. Üksliikme kordaja märki (+ või -) nimetatakse üksliikme märgiks (märgi "+" võib ka kirjutamata jätta). Näide Üksliikme + 2x2 märk on "+", üksliikme y märk aga "-". Kaht üksliiget nimetatakse sarnasteks, kui nad üksteisest üldse ei erine või erinevad üksnes kordajate poolest. Näiteks 2ab2; -1,5ab2 ja ab2 on sarnased üksliikmed. algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Üksliikmete liitmine ja lahutamine Üksliikmete liitmisel tuleb liidetavad üksliikmed kirjutada üksteise järele koos märkidega (+ või -), mis neil on. Näide 2 Üksliikmete 2,3a2, -bc3 ja 12 ab summa on 2,3a 2 bc 3 12 ab 2
Järelikult rahuldavad leitud parandid ning muutujad X ja Y antud võrrandeid. Ülesanne 2. Moodustage eelmises ülesandes antud mõõtmistulemuste võrrandite alusel normaalvõrrandid ja lahendage need. Normaalvõrrandite moodustamiseks kasutage tabeli meetodit. Normaalvõrrandid lahendage maatriksite abil. Kõigepealt leiame tabelisse (Tabel 5) vajalikud suurused ülesandes 1 antud võrranditest 1-3. Tabelis olevad suurused a on muutuja X ees olevate kordajate väärtused; b on muutuja Y ees olevate kordajate väärtused ning l on võrrandites paremal poolel olevate mõõtmistulemuste väärtused. Tabel 5. Normaalvõrrandite moodustamine tabeli kujul Normaalvõrrandite koostamiseks on meil vaja leida suuruste a 2, b2, ab, al ja bl väärtuste summad. Saame kaks normaalvõrrandit: 9x-6y=41.5 ja -6x+14y=-5.5. Nende normaalvõrrandite lahendamiseks maatriksite abil on meil tarvis leida maatriksid N ja B
Funktsioonil võib olla selliseid kriitilisi punkte, milles ekstreemumit ei ole. 24. Nõgusa ja kumera joone definitsioonid. Nõgususe ja kumeruse seos teist järku tuletise märgiga (sõnastada vastav teoreem ilma tõestuseta). Joone käänupunkti definitsioon. 25. Joone asümptoodi definitsioon. Vertikaalasümptoot. Millistel tingimustel on sirge x = a joone y = f (x) vertikaalasümptoot? Kaldasümptoot ja horisontaalasümptoot. Esitada valemid kaldasümptoodi võrrandi kordajate jaoks piirprotsessis x (tuletada pole vaja). 26. Algfunktsiooni definitsioon. Sõnastada teoreem algfunktsioonide üldavaldise kohta (tõestust ei küsi). Funktsiooni määramata integraal ja selle geomeetriline sisu. 27. Integraalide tabel. Määramata integraali omadused (ilma tõestusteta). 28. Kirjeldada asendusvõtet määramata integraali avaldamisel. Esitada ositi integreerimise valem määramata integraali jaoks (tuletada pole vaja).
Ülesanne A Firma raamatupidamisbilanss on seisuga 31 12 20XX a järgmine Varad Kohustused ja omakapital raha 15 978 kreditoorne võlgnevus 54 325 debitoorne võlgnevus 48 573 lühiajaline laen 35 151 tootmisvarud 54 964 kokku lühiajalised kohustused 89 476 kokku käibevara 119 515 põhivara 110 567 pikaajalised kohustused 51 129 lihtaktsiad 38 347 akumuleeritud kasum 51 129 kokku aktiva 230 082 kokku passiva 230 082 Ettevõtte finantsdirektor tahab laenata 31 956 eurot, mida planeeritakse kasutada järgmiselt: 6391 kreditoorse võlgnevuse vähendamiseks 4793 lühiajalise laenu kustutamiseks 11 185 ma...
.. + 0 Ak = k lineaarselt sõltumatu mitte nullmaatriksi (vektori) lineaarne kombinatsioon saab võrduda nullmaatriksiga (nullvektoriga) ainult siis, kui kõik lineaarse kombinatsiooni kordajad võrduvad nulliga kui siis 1 A2 = - A1 - 3 A3 ... - k Ak 2 2 2 k lineaarselt sõltuva mitte nullmaatriksi (vektori) lineaarne kombinatsioon saab võrduda null-maatriksiga (nullvektoriga) ka lineaarse kombinatsiooni nullist erinevate kordajate korral, st üht maatriksit saab avaldada ülejäänute kaudu Baasimaatriksid k * = k max = mn Ak * +1 = a1 A1 + a2 A2 + ... + ak * Ak * (nxm) maatriksite hulgas leidub maksimaalselt mn lineaarselt sõltumatut mitte nullmaatriksit, nad moodustavad baasi, st kõik ülejäänud maatriksid on avaldatavad nende lineaarse kombinatsioonina Maatriksi astak Maatriksi astak r võrdub maatriksi lineaarselt sõltumatute reavektorite (veeruvektorite) maksimaalse arvuga.
siis saaksime joone kõveruse teatud mõttes säilitada. Kahjuks lineaarne lähend selleks ei sobi, sest lineaarse funktsiooni teine tuletis on alati null. Seega peame kasutusele võtma vähemalt teise astme ehk ruutpolünoomid. Funktsiooni f(x) ruutlähend punkti x=a ümbruses ruutfunktsioon , mis rahuldab järgmisi tingimusi: Otsime meid huvitavat polünoomi järgmisel kujul: kus on konstantsed kordajad. Nende kordajate määramiseks arvutame kõigepealt tuletised kuni järguni n: Pannes neis avalidstes ja valemis muutuja x võrduma a-ga saame Kasutades tingimusi tuletame järgmised valemid kordajate jaoks: Seega saame valemi: b. Millal nimetatakse Taylori polünoomi McLaurini polünoomiks? Kui a=0, siis nimetatakse Taylori polünoomi ka McLaurini polünoomiks. Seega
⃗ e 2=( 0, 1,0, … , 0 ) , ⃗ e 3=( 1, 0,0, … , 0 ) , ⃗ ............... e n=( 0,0, 0, … , 1) . ⃗ Tõestus: Oletades, et mingi kordajate α 1, α 2, … , α n komplekti korral, mis korraga pole nullid, osutub nendest vektoritest moodustatud lin.kombo α 1⃗ e 1+ α 2 ⃗ e n= ⃗0
ALGMURDUDEKS: a) Leida nimetaja Qm(x) REAALSED TEGURID: x-a, (x-a)k, x2+px+q, (x2+px+q)k, q-p2/4 > 0. b) Kirjutada välja teguritele vastavad ALGMURRUD: A/ (x-a); A1/(x-a), ... , Ak / (x-a)k; (Bx+C) / (x2+px+q); (B1x+C1) / (x2+px+q), ... ,(Bkx+Ck) / (x2+px+q)k. NB! Neid on nii mitu, kui palju on ERINEVAID REAALSEID TEGUREID. NB! TUNDMATUID KORDAJAID on m tükki. c) Kordajad Ai , Bi , Ci arvutatakse, kasutades I. MÄÄRAMATA KORDAJATE MEETODIT : võrdsete polünoomide x samade astmete kordajad on võrdsed. 11 II. ERIVÄÄRTUSTE MEETODIT : võrdsed polünoomid on võrdsed iga argumendi väärtuse puhul. NB! Leitakse nii mitu kordajat, kui mitu erinevat reaalset juurt on nimetajal Qm(x). Ülejäänud leitakse määramata kordajate meetodil. 4. INTEGREERIDA algmurrud:
geomeetriline tõlgendus, osatuletiste arvutamine. 22. Liitfunktsiooni osatuletised. 23. Kahe muutuja funktsiooni täisdiferentsiaali mõiste, valem 24. Ligikaudsed arvutused täisdiferentsiaali abil. Kõrgemat järku osatuletised. 25. Kahe muutuja funktsiooni lokaalsete ja globaalsete ekstreemumite mõisted, nende leidmine. Ekstreemumi leidumise tarvilikud ja piisavad tingimused. 26. Tinglikud kriitilised punktid. Lagrange’i kordajate meetod tinglike ekstreemumite leidmiseks 27. Gradient, tuletis antud antud suunas. 28. Kahekordse integraali mõiste ja geomeetriline tõlgendus - kõversilindri ruumala, tasandilise kujundi pindala. Kahekordse integraali omadused, arvutamine. 29. Muutuja vahetus kahekordses integraalis, üleminek polaarkoordinaatidele 30. Kolmekordse integraali mõiste, arvutamine. 31. Muutuja vahetus kolmekordses integraalis, üleminek
.., ym). 2. Esialgse ülesande n tundmatule xj (x1 , x2 ,..., xn) seada vastavusse sama arv tingimusi. 3. Duaalse ülesande sihifunktsiooni kordajateks võtta esialgse ülesande tingimustesüsteemi vabaliikmed bi (b1 , b2 , ... , bm). 4. Duaalse ülesande tingimustesüsteemi vabaliikmeteks võtta esialgse ülesande sihifunktsiooni kordajad cj ( c1 , c2 , ... , cn ). 5. Duaalse ülesande tingimustesüsteemi kordajate maatriksi saamiseks transponeerida esialgse ülesande tingimustesüsteemi tundmatute kordajate maatriks, seega 1. a11 a12 ... a1n 2. A = a21 a22 ... a2n 3. ........................... 4. am1 am2 ... amn 5. 6. a11 a21 ... am1 7. A' = a12 a22 ... am2 8. ........................... 9
Matemaatikas kasutame me skalaarkorrutist vektorite vahelise nurga leidmiseks. Laias kursuses lahendame kolmnurka vektoreid ja skalaarkorrutist kasutades. Sirgete teema ei ole gümnaasiumis uudiseks, sest lineaarfunktsiooniga tegeldi juba põhikoolis. Võibki alustada sirgete joonestamisest etteantud valemi järgi. Näiteks y1 = 2 x - 3 , y 2 = 0,5 x + 1 ja 2 x + 4 y = -8 asuvad joonisel 4. Joonestamisega koos saab meelde tuletada lineaarfunktsiooni liikmete nimed ja kordajate tähendused. Joonis 4 Järgmisena laseksin õpilastel joonestada sirgeid erinevate andmete põhjal. Näiteks: a) antud on kaks punkti A(-4;3) ja B(2;-4); b) antud on punkt C(3;4) ja sirge tõus 1; c) antud on punkt D(2;-3) ja sirge tõusunurk 60 o ; r d) antud on punkt E(-4;-2) ja sihivektor s = (3;1) ; e) antud on punkt F(5;2) ja on teada, et sirge on paralleelne y-teljega;
defineerida kahe mittenegatiivse muutuja vahena x2=x2´-x2´´ x2 ≥0, x2´´≥0 LPÜ-ga duaalne ülesanne max-põhikujul LPÜ duaalne ülesanne 1. Esialgse ül igale kitsenduele seame vastavusse duaalse ül tundmatud: y1, y2,..,ym 2. Duaalse ül kitsenduste süsteemi vabaliikmeteks on esialgse ül sihifunktsiooni kordajad c1,c2 Duaalse ül kitsenduste arv sõltub esialgse ül muutujate arvuga 3. DÜ kitsenduste süsteemi kordajate maatriks on esialgse ül kitsenduste süsteemi kordajate maatriksi transponeeritud kuju. 4. DÜ nõutakse sihifunktsiooni miinimumi. 5. Max –põhikujulise ül duaalse ül kõik kitsendused on võrratused ≥ 6. Max-põhikujulise ül DÜ muutujuatelt yi nõutakse mittenegatiivsust yi ≥0 1. Esialgse ülesande igale kitsendusele seada vastavusse duaalse ülesande tundmatu ehk esialgse ülesande m tingimusele vastavad duaalsed tundmatud yi ( y1, y2, ..., ym). 2
=
2
∞ , kui m
0.04 0 0 0 0 0.0277 0 78 0 0 0 0.062 0 0 5 0 0 0 0 0 15625 0 20408. 0 0 0 0 16 Tundmatute parandite dx ja dy leidmiseks kasutame programmi Matrix. Sisendfaili tuleb kirjutada kaalumaatriks W, parandite kordajate maatriks J ning maatriks K. Kasutame arvutamiseks kaalutud vähimruutude meetodit ning saame tulemuseks maatriksi X (Tabel 7), mis sisaldab parandeid dx ja dy. Parandid liites esialgsetele punkti B koordinaatidele, siis saame uuteks koorinaatideks B: X=1132,10 ja Y= 1281,32. Tabel 7. Parandite maatriks X -0.0439 - 0.0203 3 Teeme uue lähenduse. Selleks viime kõik arvutused excelis uuele lehele ning asendame
Triviaalne lineaarkombinatsioon esitab alati nullvektori, sest 0⃗ a1 +0 ⃗ ak =⃗0 . a 2+ …+0 ⃗ Mittetriviaalne – kui lineaarkombinatsiooni kordajate seas leidub väheb üks nullis erinev kordaja. LINEAARNE SÕLTUVUS JA LINEAARNE SÕLTUMATUS DEF1: Vektorite süsteem a1 , ⃗ ⃗ a2 , … ,⃗ ak on lineaarselt sõltuv, kui leidub vektoritest moodustatud mittetriviaalne lineaarkombinatsioon, mis on võrdne nullvektoriga. DEF2: Vektorite süsteem
Tehted maatriksitega. Maatriksiks nimetatakse ristkülikukujulist elementide tabelit, mis koosneb m reast ja n veerust. Maatriksi elemente tähistatakse aik, kus i näitab, millises reas ja k, millises veerus element asub. Maatrikseid tähistatakse suurte tähtedega A, B, C, . . . 7) Gaussi meetod. Gaussi meetod (saksa matemaatik Carl Friedrich Gauss 1777-1855) on üks enamlevinud meetodeid lineaarvõrrandite süsteemide lahendamiseks ja on rakendatav ka juhul, kui süsteemi kordajate maatriksi determinant võrdub nulliga või kui süsteemi tundmatute arv on suurem neid siduvate sõltumatute võrrandite arvust. Põhimõtteliselt on Gaussi meetod liitmisvõtte edasiarendus. Gaussi meetodi puhul kirjutatakse välja süsteemi laiendatud maatriks, mis koosneb süsteemi kordajatest ja vabaliikmetest. (A/B) Kasutades maatriksi elementaarteisendusi, teisendatakse antud maatriks kujule: (E/C), kus C on antus süsteemi lahendimaatriks.
a) Funktsiooni f(x) nullkohad; b) Vahemikud, kus funktsioon f(x) on positiivne ja kus see on negatiivne; c) Funktsiooni f(x) kasvamis- ja kahanemisvahemikud; d) Funktsiooni f(x) maksimumpunkt. 3) Skitseerige funktsiooni f(x) graafik vahemikus ( 0 ; ). 13. (2001) On antud funktsioon f ( x) ax 2 b ln x . 1) määrake kordajad a ja b, kui f (1) f (2) 1 . 2) Asendage punktis 1) leitud kordajate väärtused funktsiooni avaldisse ning uurige saadud funktsiooni kasvamise ja kahanemise suhtes. 14. (2002) Antud on funktsioon y x 3 3 x 2 . 1) Leidke funktsiooni tuletis. 2) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud. 3) Leidke funktsiooni graafiku maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid. 4) Leidke funktsiooni graafikule joonestatud puutuja tõus punktis, mille abstsiss on 3.
r Hammingi koodi omadused: Liiasus U ( K ) = 100% Keskmine infoedastuskiirus n k 1 bit R( X ) = Infoallika liiasust selles näitajas tavaliselt ei võeta arvesse. n sec Hammingi kood (7,4) koodi pikkus ja selle jaotus: 23=n+1, n=7=k+r=4+3 Kordajate maatriks: 111 011 B= Igas reas peab olema vähemalt kaks ühte, Read peavad olema lineaarselt 11 0 101 sõltumatud (Mingi kahe summa ei tohi anda mingit kolmandat), Veerge võib ümber paigatada, saame mitu samast koodi. x1 x 2 x 3 x 4 r 1 r 2 r 3 Hamingi kood (7,4) Sümbolite paigutus y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 1 0 0 0 1 1 1
F(x,y) = 0. Tuletada valem funktsiooni f(x) tuletise jaoks funktsiooni F osatuletiste kaudu. Parameetrilise kahemuutuja funktsiooni osatuletiste leidmine. 12. Defineerida funktsiooni tuletis etteantud suunas. Tuletada suunatuletise valem funktsiooni osatuletiste kaudu. Telgedesuunalised tuletised. Suunatuletise tõlgendus. 13. Diferentseeruva mitmemuutuja funktsiooni ja täisdiferentsiaali definitsioonid. Täisdiferentsiaali kordajate Ci valemid funktsiooni osatuletiste kaudu (sõnastada ja tõestada vastav teoreem). Funktsiooni argumentide diferentsiaalid ja nende kasutamine täisdiferentsiaali valemis. 14. Tõestada liitfunktsiooni osatuletise valem. 15. Täisdiferentsiaali kasutamine ligikaudsetes arvutustes ja veahinnangutes. 16. Pinna puutujatasand ja selle võrrand. Puutujatasandi seos pinna lõikejoonte puutujatega. Pinna normaalvektor ja normaalsirge. Avaldada normaalvektori
Vertikaalasümptoodid on y-teljega paralleelsed sirged. Millistel tingimustel on sirge x = a joone y = f (x) vertikaalasümptoot? Sirge x=a on joone y= f(x) vertikaalasümptoodiks siis ja ainult siis, kui kehtib vähemalt üks järgmistest piirväärtustest: Kaldasümptoot ja horisontaalasümptoot. Kaldasümptoot on sirge, mis ei ole paralleelne y-teljega. Kaldasümptoodi erijuht on horisontaalasümptoot, mis on paralleelne x-teljega. Esitada valemid kaldasümptoodi võrrandi kordajate jaoks piirprotsessis x (tuletada pole vaja). 26. Algfunktsiooni definitsioon. Funktsiooni F nimetatakse funktsiooni f algfunktsiooniks hulgas D, kui iga x D korral kehtib võrdus F´(x) = f(x) Sõnastada teoreem algfunktsioonide üldavaldise kohta (tõestust ei küsi). Kui F on funktsiooni f algfunktsioon hulgas D, siis kõik funktsiooni f algfunktsioonid hulgas D avalduvad kujul F + C, kus C on suvaline konstant. Funktsiooni määramata integraal ja selle geomeetriline sisu.
' ' ( a) ' (a ) (n ) (n) P2 ( a )=f ( a ) , P2 ( a )=f ' ' (a)Pn ( a )=f ( a ) , Pn =f , Pn ( a )=f ( a ) Otsime meid huvitavat polünoomi järgmisel kujul: 2 3 4 n Pn ( x )=C 0 +C 1 ( x-a )+ C2 ( x-a ) +C 3 (x-a) +C 4 ( x-a) + ...++Cn ( x -a) kus C0 , C1 , Cn on konstantsed kordajad. Nende kordajate määramiseks arvutame kõigepealt Pn tuletised kuni järguni n: ' 2 3 n-1 P n ( x )=1 C1 +2 C2 ( x-a ) +3 C 3 (x-a) +4 C 4 ( x-a) + ...++nC n (x-a) '' 2 P n ( x )=21 C 2+32 C3 ( x-a ) + 43 C4 ( x-a ) + ...+¿ +n ( n-1 ) C n ( x-a )n-2 P' ' 'n ( x )=321 C3 + 432 C 4 ( x-a ) +..
Ruutfunktsioon ja 34. 18. 10. 06 Funktsioonid y=ax2+bx lineaarliikme kordaja. ruutvõrrand. Ruutfunktsioon ja Nullkohtade, haripunktide, 1) ül 128, 129, 131, 138, 161, 185 35. 19. 10. 06 ruutvõrrand. kordajate leidmine. 188, 209 Ruutfunktsioon ja Ruutfuktsioon y=ax2+bx+c. 1) lk 47-49, ül 172-174 36. 19. 10. 06 ruutvõrrand. Paraboolide joonestamine. Mõistekaart Ruutfunktsioon ja 37. 23. 10
) kordajateks 4. Aseta need võrrandisse vastavate valemite ette. 5. Ülejäänud kordajad leia tavalisel teel. (Jäta viimaseks hapnik, et seda kasutada kontrolliks.) 2) ioon-elektroonne meetod liidetud ja loovutatud elektronid leitakse lähteainete ja saaduste laengute summa järgi oksüdeerumis- ja redutseerumisprotsessi osavõrrandites (poolreaktsiooni võrrandites) osavõrrandite kordajate alusel tasakaalustatakse ka summaarne reaktsioonivõrrand happelises keskkonnas võib tasakaalustamiseks lisada H+ ioone ja H2O molekule; aluselises keskkonnas OH- ioone ja H2O molekule. tuntumate oksüdeerijate osavõrrandid 1) KMnO4 osavõrrandid tugevalt happelises keskkonnas: MnO- 4 + 8 H+ + 5e -> Mn2+ + 4 H2O nõrgalt happelises keskkonnas: MnO- 4 + 4H+ + 3e -> MnO2 + 2 H2O neutraalses ja nõrgalt aluselises keskkonnas: MnO- 4 + 2H2O + 3e -> MnO2 + 4 OH−
mõõtmisseria on nüüd täpsem. Ülesanne 4: kontrollige Tabelis 3 toodud andmete normaaljaotust JarqueBera statistiku kaudu. Kas valimid on selle testi põhjal normaaljaotusega? Normaaljaotuse puhul peaksid olema järsakuse kordaja (K) ja assümeetriakordaja (S) nullid. Antud valimi puhul on järsakuse kordaja -0,854 ning assümeetriakordaja -0,213. Nende tulemuste põhjal võib öelda, et tegemist ei ole normaaljaotusega. Kontrollime assümeetria- ja järsakuse kordajate abil lisaks JarqueBera testiga normaaljaotust. 5 2 Selleks tuleb leida teststatistik JB= 6( n 2 ( K-3) S+ 4 ) , kus n on valimi liikmete arv, S assümeetriakordaja ja K järsakuse kordaja
Kasutades juba tuletatud valemeid (3.32) ja (3.33) arvutame: d3y(x) = d[d2y(x)] = d[f''(x)dx2] = d[f''(x)]dx2 = [f''(x)]'dxdx2 = f'''(x)dx3 . J¨arelikult d3y(x) = f'''(x)dx3 . 28. Funktsiooni Taylori polünoom (tuletada vastav valem). Pn(a) = f(a), P' n(a) = f'(a), ... , P(n) n (a) = f(n)(a) Otsime meid huvitavat polu¨noomi j¨argmisel kujul: Pn(x) = C0 + C1(x - a) + C2(x - a)2 + C3(x - a)3 +C4(x - a)4 + ... + Cn(x - a)n kus C0,C1,...,Cn on konstantsed kordajad. Nende kordajate m¨a¨aramiseks arvutame k~oigepealt Pn tuletised kuni j¨arguni n: P' n(x) = 1C1 + 2C2(x - a) + 3C3(x - a)2 + 4C4(x - a)3 +... + nCn(x - a)n-1 , P'' n(x) = 2 · 1C2 + 3 · 2C3(x - a) + 4 · 3C4(x - a)2 +... + n(n - 1)Cn(x - a)n-2 P''' n (x) = 3 · 2 · 1C3 + 4 · 3 · 2C4(x - a) +... + n(n - 1)(n - 2)Cn(x - a)n-3 , · · · P(n) n (x) = n(n - 1)(n - 2) · ... · 2 · 1Cn . Pannes neis avaldistes ja valemis muutuja x v~orduma a-ga saame Pn(a) = C0 , P' n(a) = 1!C1 , P'' n(a) = 2
1 5 10 10 5 1 32= 2 5 OMADUSED: 1. Kordajad on Pascali kolmnurgas. 2. Esimene ja viimane kordaja on alati 1. 3. Järgmise rea saame eelmise rea liitmisel. 4. Algusest ja lõpust võrdsel kaugusel olevad liikmed on võrdsed. 5. Liikmsed igas reas on n+1 6. Esimese ja viimase aste on n. 7. teine ja eelviimane kordaja on alati n. 8. Astmete liikmete suuma on alati n. 9.Kordajate summa on 2 n 10. a- kasvavad astmed. b- vähenevad astmed 6. Sündmusemõiste. Sündmuseks nim elementaarsündmuste ruumi U iga osahulka. Juhuslikud sündmused- sündmused võivad esile tulla, kuid need võivad ka mitte tulla. Võimatu sündmus- Sõndmus mis ei ole võimalik . NÄIDE : Loeme täringu viskamisel sündmuseks A kolmega jaguva silmade arvu (3 või 6 silma) tuleku. Sündmuse A vastandsündmuseks A on kolmega mitte jaguva silmade arvu tulek, st. 1, 2, 4 või 5 silma tulek.
See teoreem kehtib meelevaldsete lineaarsete võrrandisüsteemide lahendamiseks, kus võrrandite ja tundmatute arvud on võrdsed. Lisaks peavad võrrandisüsteemid olema korrastatud. Kui lineaarse võrrandisüsteemi maatriksi determinant on nullist erinev, siis avalduvad tundmatud murdudena, mille nimetajaks on süsteemi maatriksi determinant ja mille lugejad on maatriksi, mis saadakse süsteemi maatriksist vastava tunmatu kordajate veeru asendamisel vabaliikmete veeruga, determinandid. Kui maatriks täidab Crameri teoreemi eeldusi, siis öeldakse, et tegemist on Crameri peajuhtumiga. Seega Crameri peajuhtumil 1) m=n, 2) |A| 0. Tähendab, Crameri peajuhul on lineaarsel võrrandisüsteemil üksainus lahend, mis avaldub valemitega x1=|A1|/|A| x2=|A2|/|A| .. xn=|An|/|A| Determinantide omadused, determinandi arendus rea (veeru) järgi Omadus 1
( y1, y2, ..., ym). 2. Esialgse ülesande n tundmatule xj (x1 , x2 ,…, xn) seada vastavusse sama arv tingimusi duaalses ülesandes. 3. Duaalse ülesande sihifunktsiooni kordajateks võtta esialgse ülesande tingimustesüsteemi vabaliikmed bi (b1 , b2 , … , bm). 4. Duaalse ülesande tingimustesüsteemi vabaliikmeteks võtta esialgse ülesande sihifunktsiooni kordajad cj (). cccn12,,..., 5. Duaalse ülesande tingimustesüsteemi kordajate maatriksi saamiseks transponeerida esialgse ülesande tingimustesüsteemi tundmatute kordajate maatriks, seega 6. Duaalse ülesande sihifunktsiooni väärtusele w nõuda miinimumi, kui esialgse ülesande sihifunktsiooni väärtusele z nõutakse maksimumi; ja vastupidi. 7. Duaalse ülesande j-nda tingimuse märk ( ≤ , ≥ või = ) määratakse esialgse ülesande vastavale tundmatule (s.t. xj-le) kehtestatud nõude alusel (vt. lk. 26- 27).
a) Kitsenduste efektid: Kitsenduste pealepanek opt ül-le tähendab teatud riiravate faktorite avastamistopt-e. Matemaatiliselt kitsendus tõmbab mäpi kokku. Mõistlikes ül-tes kitsenduste arv selline, et valikuvõimaluste arv on vähenenud, aga valiku võimalus in siiski säilinud. b) Stats-te väärtuste leidmine: Kui kitsenduste seos keerukas või kitsendusi rohkem, kitsendustes ilmutamata f-nid (muutujaid ei õnnestu elimineerida) tasub rakendada Lagrande'i (määramata kordajate) meetodit. Lagrande'i kordajate meetod: Eesmärk viia kitsendustega opt ül vaba opt-st lubavale kujule. Z=f(x;y), g(x;y)=c. Lagrange'i funk: z=(x;y)+[c-g(x;y)], z(;x;y) statsionaarsuse tingimused: z'=c-g(x;y)=0, z'x=x-gx=0, z'y=y-gy=0. Täisdiferentsiaali meetod: z=f(x;y) korral esimene tingimus dz=fxdx+fydy=0 jääb kehtima, kui lisada kitsendus g(x;y)=c (dg=dc=0, sest g on konstant), (dg=9 gxdx+gydy=0. Lineaarne homogeene VS mittelineaarne lahend eksisteerib kui x/gx=y/gy=
bc,1 1 lbo 18 6 -lcobc,1=lcdcd,1 lcobc,1 1/ 6 62 182 cd ,1 1 af ,1 be,1 1 ab,1 0 lcd 32 12 5) Deformatsioonimeetodi kanooniline võrrandisüsteem (mitte arvuline): raaa rabb ra1 1 rap 0 rbaa rbbb rb1 1 rbp 0 r1aa r1bb r11 1 r1 p 0 3 6) Kanoonilise võrrandisüsteemi tundmatute kordajate ja vabaliikme arvutus: a b 1 3ibc 2iab 4ibe 4iab mb 2ibe 4iab 3iaf 2iab ma
vähemalt üks järgmistest piirväärtustest: limxa- f(x) = -, limxa- f(x) = , limxa+f(x) = - või limxa+f(x) = . Kaldasümptoodid. Need on sirged, mis ei ole paralleelsed y-teljega. Asümptoodi võrrand on y = kx + b, kus k on asümptoodi tõus. Kaldasümptoodi erijuht on horisontaalasümptoot, mis on paralleelne x-teljega. Tõus k on sellisel juhul võrdne nulliga, st asümptoodi võrrand on y = b. Valemid kaldasümptoodi võrrandi kordajate jaoks piirprotsessis x Kui y = kx+b on joone y = f(x) asümptoot protsessis x , siis k ja b avalduvad valemitega Algfunktsiooni mõiste. Funktsiooni F nimetatakse funktsiooni f algfunktsiooniks hulgas D, kui iga x D korral kehtib võrdus F (x) = f(x). TEOREEM- algfunktsioonide üldavaldise kohta Kui F on funktsiooni f algfunktsioon hulgas D, siis kõik funktsiooni f algfunktsioonid hulgas D avalduvad kujul F + C, kus C on suvaline konstant. Määramata integraali mõiste
väheneb Olgu funktsioon kaks korda diferentseeruv lõigul (a,b) 1. Kui iga korral siis joon on nõgus piirkonnas (a,b) 2. Kui iga korral siis joon on kumer piirkonnas (a,b) Joone käänupunkt - Punkt, mis eraldab pideva joone kumerat osa nõgusast 10. Joone asümptoodi definitsioon. Vertikaalasümptoot. Millistel tingimustel on sirge x = a joone y = f (x) vertikaalasümptoot? Kaldasümptoot ja horisontaalasümptoot. Esitada valemid kaldasümptoodi võrrandi kordajate jaoks piirprotsessis x (tuletada pole vaja). Joone asümptood Vaatleme tasandil xy- teljestikus joont . Sirget nimetame joone asümptoodiks, kui joone jooksva punkti eemaldumisel lõpmatusesse selle kaugus sirgest läheneb nullile. Vertikaalasümptood y-teljega paralleelne sirge. Võrrand Tingimused, mille korral on joone vertikaalasümtood: 1. 2. 3. 4. Kaldasümptood - Sirge, mis on paralleelne y-teljega. Võrrand , kus k on asümptoodi tõus.
Kehtib Euleri valem: Seega Järelikult Et Siis y1(x) ja y2(x) on homogeense võrrandi erilahendid ning nad on lineaarselt sõltumatud. Üldlahend on (15.6) Puuudu Kui q=0, siis saame ja kui ka p=0, siis saame vaid hulkliikme . Erilahendit otsime samal kujul kui (15.7) esitatud polünoomid tundmatute kordajatega. (15.8) Kus Ja Ai ja Bi i=0,....,n on tundmatud kordajad. Astendaja s on karakteristilise võrrandi juure kordsus. Kui sellist juurt ei ole siis s=0 ja . Tundmatute kordajate leidmiseks asendatakse y* avaldis võrrandisse (15.1) ja võrdsustatakse kordajad ühesuguste funktsioonide juures mõlemal pool võrdus märke. Saadakse võrrandit tundmatutega, mis laheneb üheselt. Kui parem pool f(x) avaldis (15.7) sisaldab kas või , siis erilahendi avaldis (15.8) peab sisaldama mõlemat funktsiooni. 16. Konstantide varieerimise meetod üldlahendi leidmiseks. Tundmatute kordajate meetod kõlbab vaid korrutise tüüpi avaldise (15
( y b) 2 = 2 p ( x a ) ( y b ) 2 = 2 p ( x a ) ( x a ) 2 = 2 p ( y b) ( x a ) 2 = 2 p ( y b ) 6 88. Teist järku joone üldvõrrandi invariandid: A B D A B Võrrandi diskriminant = B C E Ruutliikmete kordajate diskriminant = Parameeter s = B C D E F A+C JOONTE KLASSIFITSEERIMINE 0 Teist järku jooned = 0 Sirgete paarid s·<0 ELLIPS s·>0 imaginaarne PUNKT 2 x 2
( y b) 2 = 2 p ( x a ) ( y b ) 2 = 2 p ( x a ) ( x a ) 2 = 2 p ( y b) ( x a ) 2 = 2 p ( y b ) 6 88. Teist järku joone üldvõrrandi invariandid: A B D A B Võrrandi diskriminant = B C E Ruutliikmete kordajate diskriminant = Parameeter s = B C D E F A+C JOONTE KLASSIFITSEERIMINE 0 Teist järku jooned = 0 Sirgete paarid s·<0 ELLIPS s·>0 imaginaarne PUNKT 2 x 2
2 8( x + 3) = A( x 2 - 4 x + 8) + ( Bx + C ) x x=0 8( 0 + 3) = A( 02 - 4 0 + 8) + ( B 0 + C ) 0 24 = 8 A A=3 x =1 8(1 + 3) = A(12 - 4 1 + 8) + ( B 1 + C ) 1 32 = 5 A + B + C B = 32 - 5 3 - C B = 17 - C x = 2 8( 2 + 3) = A( 2 - 4 2 + 8) + ( B 2 + C ) 2 2 40 = 4 A + 4 B + 2C C = 20 - 2 3 - 2(17 - C ) C = -20 + 2C C - 2C = -20 C = 20 B = 17 - C = 17 - 20 = -3 Kordajate määramiseks võib võrdsustada vasakul ja paremal pool võrdusmärki olevate muutuja astme kordajad: 8( x + 3) = A( x 2 - 4 x +8) + ( Bx + C ) x 8 x + 24 = Ax 2 - 4 Ax +8 A + Bx 2 + Cx x2 : 0 = A +B B = -A x: 8 = -4 A + C C =8 +4 A 1: 24 = 8 A A =3 B = -A B = -3 C =8 +4 A C = 8 +12 = 20 8( x + 3) A Bx + C 3 - 3 x + 20 = + 2 = + 2 x ( x - 4 x + 8) x x - 4 x + 8 x x - 4 x + 8 2
Murru nimetaja (lugeja) vabastamine irratsionaalsusest tähendab seda, et antud murd teisendatakse kujule, kus murru nimetajas (lugejas) ei esine enam juuri (ega ka murrulist astet). 3 Irratsionaalavaldisi (juuravaldisi), mis erinevad üksteisest ainult juuremärgi ees olevate kordajate poolest (või ei erine üldse), nimetatakse sarnasteks. Summat, mille liidetavate hulgas on sarnaseid juuravaldisi, saab koondada. Võrrandid ja võrratused Võrduse moodustavad kaks avaldist, mis on ühendatud võrdusmärgiga. Võrdust, mis on tõene tundmatu mistahes võimalike väärtuste korral, nimetatakse samasuseks. Võrrandiks nimetatakse muutujaid sisaldavat võrdust, milles üks või mitu muutujat loetakse tundmatuks (otsitavaks).
Ratsionaalarvulise (murrulise) astendajaga aste: a n n a m , kui a 0, m Z , n N , n 2. Murru nimetaja (lugeja) vabastamine irratsionaalsusest tähendab seda, et antud murd teisendatakse kujule, kus murru nimetajas (lugejas) ei esine enam juuri (ega ka murrulist astet). 3 Irratsionaalavaldisi (juuravaldisi), mis erinevad üksteisest ainult juuremärgi ees olevate kordajate poolest (või ei erine üldse), nimetatakse sarnasteks. Summat, mille liidetavate hulgas on sarnaseid juuravaldisi, saab koondada. Võrrandid ja võrratused Võrduse moodustavad kaks avaldist, mis on ühendatud võrdusmärgiga. Võrdust, mis on tõene tundmatu mistahes võimalike väärtuste korral, nimetatakse samasuseks. Võrrandiks nimetatakse muutujaid sisaldavat võrdust, milles üks või mitu muutujat loetakse tundmatuks (otsitavaks).
Viime baasist välja muutuja, mis omab esialgses baasilahendis absoluutväärtuselt suurimat negatiivset väärtust. Saame juhtrea. Otsime juhtveergu leides esimese rea märgitud elementide ja vastavate juhtrea elementide suhted, kus veerg, mis vastab maksimaalsele suhtele, valime juhtveeruks. Seejärel teisendused algses simplekstabelis niikaua kuni on täidetud opitmaalsuse tunnus. Tuleb saada vabaliikmete veergu ja sihifunktsioonile vastavasse kordajate ritta mittenegatiivsed arvud (va. Vabaliige b0).
MATEMAATILINE ANALÜÜS I Punkti, mis eraldab pideva joone kumerat osa nõgusast, nimetatakse selle joone käänupunktiks. 25) Joone asümptoodi definitsioon. Vertikaalasümptoot. Millistel tingimustel on sirge x = a joone y = f (x) vertikaalasümptoot? Kaldasümptoot ja horisontaalasümptoot. Esitada valemid kaldasümptoodi võrrandi kordajate jaoks piirprotsessis x (tuletada pole vaja). Sirget # nimetatakse joone = asümptoodiks, kui joone = jooksva punkti eemaldumisel lõpmatusse selle punkti kaugus sirgest # läheneb nullile. Vertikaalasümptoot on y-teljega paralleelne sirge. Asümptoodi võrrand on = . Sirje = on joone = asümptoodiks siis ja ainult siis, kui kehtib vähemalt üks järgmistest piirväärtustest:
8( x + 3) = A( x 2 - 4 x + 8) + ( Bx + C ) x x=0 8( 0 + 3) = A( 02 - 4 0 + 8) + ( B 0 + C ) 0 24 = 8 A A=3 x =1 8(1 + 3) = A(12 - 4 1 + 8) + ( B 1 + C ) 1 32 = 5 A + B + C B = 32 - 5 3 - C B = 17 - C x = 2 8( 2 + 3) = A( 2 - 4 2 + 8) + ( B 2 + C ) 2 2 40 = 4 A + 4 B + 2C C = 20 - 2 3 - 2(17 - C ) C = -20 + 2C C - 2C = -20 C = 20 B = 17 - C = 17 - 20 = -3 Kordajate määramiseks võib võrdsustada vasakul ja paremal pool võrdusmärki olevate muutuja astme kordajad: 8( x + 3) = A( x 2 - 4 x + 8) + ( Bx + C ) x 8 x + 24 = Ax 2 - 4 Ax + 8 A + Bx 2 + Cx x2 : 0 = A +B B = -A x: 8 = -4 A + C C =8 +4 A 1: 24 = 8 A A =3 B = -A B = -3 C =8 +4 A C = 8 +12 = 20 8( x + 3) A Bx + C 3 - 3 x + 20 = + 2 = + 2 ( x x - 4x + 8 2 )
IR, , IR, i2= -1 , tegur x2+px+q, q-p2/4>04) k-kordsed + i IR,
tegur (x2+px+q)k ; (x- -i )(x- +i )=x2-2 x+( 2+ 2)=x2+px+q=>p=-2
IR, q=( 2+ 2) IR; q-p2/4= 2+ 2-4 2/4= 2>0 *Korrap murdrats f-n
Pn(x)/Qm(x), n
viimase aasta jooksul Intercept -52,48723 18,75379 -2,798752 0,007099 viimase kuu jooksul PIKKUS 0,689403 0,11003 6,265562 6,4E-008 viimase aasta jooksul viimase aasta jooksul viimase kuu jooksul viimase kuu jooksul viimase aasta jooksul viimase kuu jooksul viimase 10 päeva jooksul viimase kuu jooksul viimase 10 päeva jooksul viimase aasta jooksul viimase aasta jooksul viimase aasta jooksul Regressioonivõrrand lahti kirjutatuna leitud kordajate väärtusi viimase kuu jooksul viimase kuu jooksul Mass=a+b*pikkus; Mass= -52,4872+0,689403*pikkus viimase kuu jooksul viimase 10 päeva jooksul Prognoos 170 cm pikkuse tudengi kehamassile leitud regressi viimase 10 päeva jooksul viimase aasta jooksul Mass= - 52,4872+0,689403*170= 64,71131 viimase aasta jooksul viimase aasta jooksul rohkem kui aasta tagasi Kirjeldage leitud regressioonivõrrandi abil saadavate prognoos
riskimäär on suurem kui tururisk. · Kui beeta = 1, siis investeeringu kasuminorm muutub paralleelselt turumuudatusetaga ja riskimäär on võrdne turu omaga. · Kui beeta < 1 siis on investeeringu risk tururiskist väiksem. · Kui beeta = 0 , siis ei ole investeeringu kasuminorm tundlik turumõjude suhtes ja tema riskimäär on 0 Investeermisportfelli beeta kujutab endast portfelli üksikute investeeringute beeta kordajate kaalutud keskmist. Beeta p= zum(wi*beeta i) Kus: wi investeeringu i osakaal portfellis Bi investeeringu beeta kordaja Finantsvarade hindamise mudeli mõiste. Finantsvarade hindamise mudel näitab riski ja tasuvuse suhet, kui riski näitajana kasutada beeta kordajat. Finantsvarade hindmaise teeoria väidab, et riskantse investeeringu eeldatav kasuminorm koosneb riskivabast kasuminormist ja riskipreemiast. Finantsvarade hindamise mudeli valem on järgmine: Ri=rf*bi*(rm-rf)
annaabi.ee 
