Määratud integraal (0)

5 M¨ a¨ aratud integraal 5.1 M¨ a¨ aratud integraali mo ~iste Olgu funktsioon y = f (x) m¨a¨aratud l~oigul [a; b]. Jaotame l~oigu [a; b] suvalisel viisil punktidega x1 , x2 , ... xn-1 n osal~oiguks, kusjuures
a = x0 Tekkinud osal~oigud on [xk-1 ; xk ], kus k = 1, 2, . . . , n. T¨ahistagu xk = xk - xk-1 k-nda osal~oigu pikkust. Edasi valime igalt osal~oigult t¨aiesti suvalise punkti k [xk-1 ; xk ], k = 1, 2, . . . , n, ja moodustame korrutised f (k )xk . Liites need korrutised, saame summa n sn = f (k )xk , k=1
mida nimetatakse funktsiooni f (x) integraalsummaks l~oigul [a; b]. Jaotuspunktid x1 , x2 , . . . on suvalised. Seeaga on osal~oikude pikkused xk , k = 1, 2, . . . , n erinevad. T¨ahistagu pikima osal~oigu pikkust st
= max xk . 1kn
Definitsioon 1. Kui piirv ¨a¨ artus
lim sn 0
ei s~oltu sellest, kuidas on l~oik [a; b] jaotatud osal~oikudeks [xk-1 ; xk ], ega sel- lest , kuidas on valitud punktid k osal~oikudel, siis seda piirv¨a¨artust nimeta- takse funktsiooni f (x) m¨aa¨ratud integraaliks rajades a-st b-ni ja t¨ahistatakse b f (x)dx. a
Seda loetakse: integraal rajades a-st b-ni f kohal x de x. Seejuures integereerimisl~oigu alguspunkti a nimetatakse alumiseks rajaks ja l~oigu l~opp-punkti b u ¨lemiseks rajaks. Seega definitsiooni kohaselt b n f (x)dx = lim f (k )xk . a 0 k=1
1 Kui l~oigul [a; b] on f (x) 0, siis integraalsummas esinevad korrutised f (k )xk on selliste ristk ¨ ulikute pindaladeks, mille alused on xk ja k~orgu- sed f (k ). Selliste ristk¨ ulikute pindalade summa, st integraalsumma sn on ligikaudu v~ordne niisuguse k~overtrapetsi pindalaga, mis alt on piiratud x- teljega, vasakult sirgega x = a, paremalt sirgega x = b ja u ¨lalt funktsiooni y = f (x) graafikuga. Kui vaadelda piirprotsessi 0, siis k~oikide osal~oikude pikkused hak- kavad kahanema ja selleks et osal~oigud kataksid kogu l~oigu [a; b], tuleb v~otta neid osal~oike j¨arjest rohkem. Ristk¨ulikute pindalade summa sn hakkab osal~oiku- de arvu kasvades t¨apsemalt iseloomustama k~overtrapetsi pindala. Seega, kui l~oigul [a; b] on f (x) 0, siis m¨a¨aratud integraal t¨ahendab geomeetriliselt k~overtrapetsi pindala. Definitsioon 2. Funktsioone, mis rahuldavad definitsioonis 1 esitatud tingimusi, nimetatakse l~oigul [a; b] integreeruvateks funktsioonideks. Kehtib teoreem . Teoreem 1. Kui funktsioon f (x) on pidev l~oigul [a; b], siis on see ka integreeruv l~oigul [a; b]. M¨ arkus . L~oigul [a; b] katkevate funktsioonide hulgas leidub nii integree- ruvaid kui ka mitteintegreeruvaid.
5.2 M¨ a¨ aratud integraali p~ ohiomadused Omadus 1 Kahe funktsiooni summa m¨a¨aratud integraal on v~ordne nende funktsioonide m¨aa¨ratud integraalide summaga : b b b [f (x) + g(x)]dx = f (x)dx + g(x)dx. (5.1) a a a
T~oestus M¨aa¨ratud integraali definitsiooni kohaselt b n I= [f (x) + g(x)]dx = lim [f (k ) + g(k )]xk . a 0 k=1
Avades summa m¨ argi all sulud ja kasutades asjaolu, et summa ei s~oltu liide- tavate j¨arjekorrast, saame n n I = lim f (k )xk + g(k )xk . 0 k=1 k=1
Summa piirv¨aa¨ rtus v~ordub piirv¨a¨artuste summaga, seega n n I = lim f (k )xk + lim g(k )xk , 0 0 k=1 k=1
2 mille liidetavad on m¨a¨aratud integraali definitsiooni kohaselt vastavalt v~ordu- se (5.1) paremal pool olevad integraalid . Omadus 2. Konstantse teguri c saab tuua m¨a¨aratud integraali m¨argi alt v¨alja: b b cf (x)dx = c f (x)dx. a a J¨ areldus 1. Kahe funktsiooni vahe m¨a¨aratud integraal v~ordub nende funktsioonide m¨aa¨ratud integraalide vahega: b b b [f (x) - g(x)]dx = f (x)dx - g(x)dx. a a a
T~oestus tugineb kahele esimesele omadusele. Kirjutades f (x) - g(x) = f (x) + (-1)g(x), saame b b b b [f (x) - g(x)]dx = [f (x) + (-1)g(x)]dx = f (x)dx + (-1) g(x)dx, a a a a
mida oligi tarvis t~oestada. Omadus 3. Kui f (x) 0 l~oigul [a; b], siis ka b f (x)dx 0. a
T~oestus. Kui f (x) 0 kogu l~oigul [a; b], siis on f (x) 0 igal osal~oigul [xk-1 ; xk ], k = 1, 2, . . . , n, seega ka f (k ) 0. Korrutades viimast v~orratust k-nda osal~oigu pikkusega, saame f (k )xk 0, k = 1, 2, . . . , n. Liites n mittenegatiivset suurust, saame mittenegatiivse suuruse st n f (k )xk 0. k=1
Mittenegatiivse suuruse piirv¨a¨artus on piirprotsessis 0 mittenegatiivne suurus, mis t~oestabki omaduse. J¨ areldus 2. Kui l~oigul [a; b] f (x) g(x), siis b b f (x)dx g(x)dx. a a
T~oestus. Eelduse kohaselt g(x) - f (x) 0, seega omadus 3 j¨argi b [g(x) - f (x)]dx 0. a
3 J¨arelduse 1 p~ohjal b b g(x)dx - f (x)dx 0, a a mis ongi v¨aiteks. Omadus 4. Funktsiooni f (x) m¨aa¨ratud integraali absoluutv¨aa¨ rtus on v¨aiksem v~oi v~ordne selle funktsiooni absoluutv¨a¨artuse m¨a¨aratud integraalist: b b f (x)dx |f (x)|dx. a a
T~oestus. M¨aa¨ratud integraali definitsiooni kohaselt b n n I= f (x)dx = lim f (k )xk = lim f (k )xk a 0 0 k=1 k=1
n n b lim |f (k )xk | = lim |f (k )|xk = |f (x)|dx. 0 0 a k=1 k=1
Omadus 5. Kui vahetada m¨aa¨ratud integraalis rajad , muutub m¨ark in- tegraali ees vastupidiseks: a b f (x)dx = - f (x)dx. b a
T~oestus. M¨a¨aratud integraali definitsioonis ei v~oi piirv¨a¨artus s~oltuda sel- lest, kuidas on antud l~oik osal~oikudeks jaotatud. Seega v~oime m~olema integ - raali definitsioonis valida samad jaotuspunktid ja k~oikidel osal~oikudel valida samad juhuslikud punktid k . Defineerides paremal asuvat m¨aa¨ratud integ- raali st liikudes punktist a punkti b, on xk = xk -xk-1 . Defineerides vasakul asuvat m¨a¨aratud integraali st liikudes vastupidises suunas punktist b punkti a, on sama osal~oigu "pikkus"xk-1 - xk = -xk . Seega on integraalsumma u ¨le l~oigu [b; a] 1 1 f (k )(-xk ) = f (k )(-xk ) = - f (k )xk . [b;a] k=n k=n
Summa ei s~oltu liidetavate j¨arjekorrast, seega n f (k )(-xk ) = - f (k )xk [b;a] k=1
4 ja v~ottes saadud v~orduse m~olemalt poolt piirv¨a¨artuse piirprotsessis 0, saame v¨aite. J¨areldus 3. Kui m¨a¨aratud integraali alumine ja u¨lemine raja on v~ordsed, v~ordub integraal nulliga: a f (x)dx = 0. a T~oestus. Vahetades integraalis rajad, saame omadus 5 p~ohjal a a f (x)dx = - f (x)dx a a
ehk a 2 f (x)dx = 0, a millest j¨areldubki v¨ aide . Omadus 6 (M¨ a¨ aratud integraali l~ oigul aditiivsuse omadus). b c b f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx. a a c
T~oestus. Oletame esiteks, et c asub l~oigul [a; b], st a valides esimeseks jaotuspunktiks c. Seda v~oib teha, sest m¨a¨aratud integraali definit- sioonis piirv¨aa¨rtus ei v~oi s~oltuda sellest, kuidas on l~oik osal~oikudeks jaotatud. J¨atkates l~oigu [a; b] jaotamist suvalisel viisil, tekivad ka l~oikude [a; c] ja [c; b] jaotused osal~oikudeks. Seega integraalsumma u ¨le kogu l~oigu [a; b]
f (k )xk = f (k )xk + f (k )xk . [a;b] [a;c] [c;b]
Kui l~oigul [a; b] maksimaalse osal~oigu pikkus 0, siis m~olemal tekkinud l~oigul maksimaalsete osal~oikude pikkused l¨ahenevad samuti nullile. Seega, v~ottes saadud v~orduse m¨alemalt poolt piirv¨a¨artuse piirprotsessi 0, saa- me v¨aite. Kui c asub v¨aljaspooll~oiku [a; b], n¨aiteks c > b > a, siis t~oestatud juhu p~ohjal c b c f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx. a a b Siit b c c f (x)dx = f (x)dx - f (x)dx a a b
5 ja omadus 5 p~ohjal p¨arast viimases integraalis rajade vahetamist b c b f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx. a a c
Samuti saab n¨aidata, et omadus j¨aa¨b kehtima ka juhul c st m¨a¨aratud integraal j¨a¨ab v¨ahima v¨a¨artuse ja integreerimisl~oigu pikkuse korrutise ning suurima v¨a¨artuse ja integreerimisl~oigu pikkuse korrutise vahe- le. T~oestus. V~orratuste t~oestused on sarnased. Seep ¨arast t~oestame ainult pa- rempoolse v~orratuse. Funktsiooni f (x) suurim v¨a¨artus l~oigul [a; b] on M . Seega iga osal~oikudel juhuslikult valitud punktis k on f (k ) M , st iga k = 1, 2, . . . , n korral f (k )xk M xk . Summeerides saame, et n n f (k )xk M xk = k=1 k=1 = M (x1 - x0 + x2 - x1 + x3 - x2 + . . . + xn - xn-1 ) = M (b - a), sest t¨ahistuse kohaselt x0 = a ja xn = b. V~ottes saadud v~orratuse n f (k )xk M (b - a) k=1
m~olemalt poolt piirv¨a¨artuse piirprotsessis 0 ja arvestades sellega, et paremal pool on konstantne suurus, saame v¨aite. Omadus 8 (m¨ a¨ aratud integraali keskv¨ a¨ artuse omadus). Kui funkt- sioon f (x) on pidev l~oigul [a; b], siis leidub v¨ahemalt u ¨ks selline punkt [a; b], et b f (x)dx = f ()(b - a). a T~oestus. L~oigul pidev funktsioon omab v¨ahimat v¨a¨artust m ja suurimat v¨a¨artust M sellel l~oigul, seega kehtib omadus 7. Jagades selle v¨aites esineva m~olema v~orratuse m~olemat poolt integreerimisl~oigu pikkusega b - a, saame b 1 m f (x)dx M. b-a a
6 J¨ arelikult b 1 f (x)dx b-a a on mingisugune v¨a¨artus v¨ahima ja suurima v¨a¨artuse vahel. L~oigul [a; b] pidev funktsioon aga omandab k~oiki v¨a¨artusi v¨ahima ja suurima v¨a¨artuse vahelt, muuhulgas ka seda v¨aa¨rtust. Seega leidub punkt [a; b], milles b 1 f () = f (x)dx. (5.2) b-a a
Korrutades saadud v~orduse m~olemat poolt integreerimisl~oigu pikkusega b-a, saame v¨aite. Omadus 8 v¨aites esinevat v¨a¨artust f () nimetatakse funktsiooni f (x) keskv¨a¨artuseks l~oigul [a; b]. Seda arvutatakse valemi (5.2) j¨argi.
5.3 M¨a¨ aratud integraali arvutamine. Newton -Leibnizi valem Olgu funktsiooni f (x) m¨a¨aratud l~oigul [a; b]. Defineerime l~oigul [a; b] m¨a¨aratud integraali u ¨lemise raja funktsiooni x (x) = f (t)dt (5.3) a
Teoreem 2. Kui f (x) on pidev l~oigul [a; b], siis (x) = f (x). T~oestus. T~oestuseks kasutame funktsiooni (x) definitsiooni (x + x) - (x) (x) = lim . x0 x Kasutades m¨aa¨ratud integraali l~oigul aditiivsuse omadust leiame x+x x (x + x) - (x) = f (t)dt - f (t)dt = a a x x+x x x+x f (t)dt + f (t)dt - f (t)dt = f (t)dt. a x a x
Eelduse kohaselt on f (x) pidev l~oigul [a; b]. Seega keskv¨a¨artus omaduse p~ohjal leidub selline [x; x + x], et (x + x) - (x) = f ()(x + x - x) = f ()x. Sellest j¨areldub, et (x + x) - (x = f (). x
7 Tuletise definitsioonis x 0. J¨arelikult x + x x ja et on u ¨ks punkt x ja x + x vahelt, siis ka x. Seega
(x) = lim f () = lim f () x0 x
ning funktsiooni f (x) pidevuse t~ottu (x) = f (x), mida oligi tarvis t~oestada. Teoreemi 2 p~ohjal on funktsioon (x) funktsiooni f (x) algfunktsiooniks. Kui F (x) on funktsiooni f (x) tuntud algfunktsioon (m¨a¨aratud integraali ta- beli j¨argi v~oi mingi integreerimismeetodi abil saadud), siis punkti 4.1 lau- se 1.2 p~ohjal (x) ja F (x) erinevad teineteisest u¨limalt konstandi v~orra, st (x) = F (x) + C. Funktsiooni (x) definitsiooni p~ohjal x F (x) + C = f (t)dt. (5.4) a
V~ottes selles v~orduses x = a, saame eelmise punkti j¨areldusest 3, et a F (a) + C = f (t)dt = 0, a
millest C = -F (a). Asendades selle v~ordusesse (5.4), saame, et x F (x) - F (a) = f (t)dt a
ja v~ottes viimases v~orduses x = b, tekib v~ordus b F (b) - F (a) = f (t)dt. (5.5) a
Seega on m¨a¨aramata integraalist tuttav algfunktsioon sobiv vahend m¨a¨aratud integraali arvutamiseks ja saadud reegel on s~onastatav j¨argmiselt. Funkt- siooni f (x) m¨aa¨ratud integraal rajades a-st b-ni on v~ordne algfunktsiooni v¨a¨artuse kohal b ja algfunktsiooni v¨a¨artuse kohal a vahega. Arvutuste h~olbus- tamiseks kasutatakse kirjaviisi b F (b) - F (a) = F (x) . a
Asendades v~orduses (5.5) integreerimismuutuja t muutujaga x, saame m¨a¨aratud integraali arvutamiseks valemi b b f (x)dx = F (x) = F (b) - F (a), (5.6) a a
8 mis on tuntud Newton-Leibnizi valemi nime all. N¨aide 1. Leiame e e dx = ln x = ln e - ln 1 = 1. 1 x 1
N¨ aide 2. Leiame 1 xdx . 0 1 + x2 Kasutame integreerimiseks v~ordust d(1 + x2 ) = 2xdx ja leiame 1 1 xdx 1 2xdx 1 1 d(1 + x2 ) = = = 0 1+x 2 2 0 1 + x2 2 0 1 + x2 1 1 2 = · 2 1 + x = 2 - 1. 2 0
aide 3. Arvutame funktsiooni f (x) = x2 keskv¨a¨artuse l~oigul [1; 3]. N¨ Keskv¨a¨artuse arvutamise valemi (5.2) j¨argi leiame 3 3 1 2 1 x3 1 27 1 13 1 x dx = = - = =4 . 3-1 1 2 3 1 2 3 3 3 3
5.4 Muutuja vahetus m¨ a¨ aratud integraalis Muutuja vahetuse valik s~oltub integreeritavast funktsioonist ja need p~ohim~otted on m¨a¨aramata integraali korral l¨abi vaadatud. M¨a¨aratud integraali arvutamisel huvitab meid selle arvuline v¨a¨artus, mit- te esialgse funktsiooni algfunktsioon. Seep¨arast ei minda m¨a¨aratud integraa- lis p¨arast muutuja vahetust enam tagasi vanale muutujale, vaid arvutatakse rajad uue muutuja jaoks. Tehes m¨a¨aratud integraalis b f (x)dx a
muutuja vahetuse x = (t), leiame dx = (t)dt, v~orrandist (t) = a uue muutuja jaoks alumise raja t = ja v~orrandist (t) = b u ¨lemise raja t = . Siis b f (x)dx = f [((t)] (t)dt. a
9 2 N¨ aide 4. Arvutame I = 8 - x2 dx. Irratsionaalsusest vabanemiseks 0 teeme muutuja vahetuse x = 2 2 sin t. Siis dx = 2 2 cos tdt ja 8 - x2 = 8 - 8 sin2 t = 8 cos2 t = 2 2 cos t. Arvutame rajad uue muutuja t jaoks. Kui x = 0, siis sin t = 0, millest t = 0. 2 Kui x = 2, siis 2 2 sin t = 2 ehk sin t = , millest t = . Seega 2 4 4 4 I = 2 2 cos t · 2 2 cos tdt = 8 cos2 tdt = 0 0 4 4 4 = 4 (1 + cos 2t)dt = 4 dt + 2 cos 2td(2t) = 0 0 0 4 4 = 4t + 2 sin 2t = + 2. 0 0
5.5 Ositi integreerimine Olgu u(x) ja v(x) l~oigul [a; b] diferentseeruvad funktsioonid. Sellisel juhul nende korrutise difrentsiaal d(uv) = udv + vdu. Punkti 4.1. j¨arelduse 1.6 p~ohjal on diferentsiaali d(uv) u ¨ heks algfunkt- siooniks uv. Integreerides viimast v~ordust rajades a-st b-ni, saame b b b uv = udv + vdu, a a a
millest b b b udv = uv - vdu. (5.7) a a a Oleme saanud ositi integreerimise valemi m¨a¨aratud integraali arvutamiseks. Valemi kasutamisel on funktsiooni u ja diferentsiaali dv valiku p~ohim~otted samad, mis m¨a¨aramata integraali korral. e N¨ aide 5. Leiame ln xdx. 1 dx Valides siin u = ln x ja dv = dx, leiame du = ja v = x ning ositi x integreerimise valemi (5.7) p~ohjal e e e e dx ln xdx = x ln x - x· =e-x = e - (e - 1) = 1. 1 1 1 x 1
10 5.6 L~ opmatute rajadega p¨ aratud integraalid P¨aratuid integraale on kahte t¨ uu¨pi. K¨aesolevas punktis vaatleme l~opma- tute rajadega p¨aratuid integraale ja j¨argmises punktis p¨aratuid integraale t~okestamata funktsioonidest. Definitsioon 1. Olgu funktsioon f (x) m¨a¨aratud ja pidev pooll~oigul [a; ). N Kui iga N [a; ) korral on olemas m¨aa¨ratud integraal f (x)dx ja a N eksisteerib piirv¨aa¨rtus lim f (x)dx, siis seda piirv¨aa¨rtust nimetatakse N a funktsiooni f (x) l~opmatu u ¨lemise rajaga p¨aratuks integraaliks ja t¨ahistatakse f (x)dx. a Definitsiooni 1 kohaselt N f (x)dx = lim f (x)dx. (5.8) a N a
Seega tuleb p¨aratu integraali arvutamiseks leida k~oigepealt funktsiooni f (x) m¨a¨aratud integraal rajades a-st N -ni ja saadud avaldisest arvutada piirv¨a¨artus piirprotsessis N . dx N¨aide 6. Leiame . 0 1 + x2 Arvutusvalemi (5.8) j¨argi N N dx dx = lim = lim arctan x = lim (arctan N -arctan 0) = . 0 1 + x2 N 0 1 + x2 N 0 N 2
Definitsioon 2. Olgu funktsioon f (x) m¨a¨aratud ja pidev pooll~oigul (-; b]. b Kui iga M (-; b] korral on olemas m¨aa¨ratud integraal f (x)dx ja M b eksisteerib piirv¨aa¨rtus lim f (x)dx, siis seda piirv¨a¨artust nimetatakse M - M funktsiooni f (x) l~opmatu alumise rajaga p¨aratuks integraaliks ja t¨ahistatakse b f (x)dx. - Definitsiooni 2 j¨argi b b f (x)dx = lim f (x)dx. (5.9) - M - M
Kui funktsioon f (x) on m¨a¨aratud ja pidev vahemikus (-; ), siis m~ole- ma l~opmatu rajaga p¨aratu integraali defineerimisel jaotatakse integraal su-
11 valises punktis c (-; ) kaheks, c f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx, - - c
ning tekkinud liidetavatest esimene on l~opatu alumise rajaga p¨aratu integraal ja teine l~opmatu u ¨lemise rajaga p¨aratu integraal. Definitsioon 3. Kui v~ordustes (5.8) v~oi (5.9) esinev piirv¨a¨artus on l~oplik, siis ¨oeldakse, et p¨aratu integraal koondub, kui piirv¨a¨artus on l~opmatu v~oi piirv¨a¨artust ei ole olemas, siis ¨oeldakse, et p¨aratu integraal hajub. N¨ aide 7. Olgu a > 0. Uurime, milliste v¨a¨artuste korral p¨aratu integraal dx koondub ja milliste v¨a¨artuste korral hajub. a x Leiame N dx dx = lim . a x N a x Kui = 1, siis N x-+1 N -+1 a-+1 I = lim = lim - . N - + 1 N - + 1 - + 1 a
Kui > 1, siis
1 1 1 lim -1 - = , N (1 - )N (1 - )a-1 ( - 1)a-1
st p¨aratu integraal koondub. Kui N 1- a1- lim - = , N (1 - ) (1 - )a-1
st p¨aratu integraal hajub. Kui = 1, siis N dx = lim ln x = lim (ln N - ln a) = , a x N a N
st ka antud juhul p¨aratu integraal hajub. dx Seega p¨aratu integraal koondub, kui > 1 ja hajub, kui 1. a x Paljudel juhtudel on vaja v¨alja selgitada, kas p¨aratu integraal koonub v~oi hajub. Integraali tegelik v¨aa¨rtus seejuures ei olegi oluline. Koonduvuse v~oi hajuvuse u¨le otsustamisel on abiks j¨argmised teoreemid . S~onastame need
12 l~opmatu u ¨lemise rajaga p¨aratu integraali korral, aga kehtima j¨a¨avad need ka l~opmatu alumise rajaga ja m~olema l~opmatu rajaga p¨aratu integraali puhul. Teoreem 3. Kui pooll~oigul [a; ) m¨a¨aratud ja pidevad funktioonid f (x) ja (x) rahuldavad tingimust 0 f (x) (x) ja p¨aratu integraal (x)dx (5.10) a
koondub, siis koondub ka p¨aratu integraal f (x)dx. (5.11) a
Kui pooll~oigul [a; ) m¨a¨aratud ja pidevad funktioonid f (x) ja (x) ra- huldavad tingimust 0 (x) f (x) ja p¨aratu integraal (5.10) hajub, siis hajub ka p¨aratu integraal (5.11). Teoreem 4. Kui pooll~oigul [a; ) m¨a¨aratud ja pidevad funktioonid f (x) ja (x) on piiprotsessis x ekvivalentsed, siis p¨aratu integraali (5.10) koonduvusest j¨areldub p¨aratu integraali (5.11) koonduvus ja p¨aratu integ- raali (5.10) hajuvusest p¨aratu integraali (5.11) hajuvus . Definitsioon 4. P¨arartut integraali (5.11) nimetatakse absoluutselt koon- duvaks, kui koondub p¨aratu integraal |f (x)|dx. a
Teoreem 5. P¨aratu integraali (5.11) absoluutsest koonduvusest j¨areldub selle koonduvus. N¨aide 8. Uurime p¨aratu integraali arctan xdx 1 1 + x2 koonduvust. Pooll~oigul [0; ) on t¨aidetud tingimus arctan x . N¨aite 6 p~ohjal 2 dx arctan x p¨aratu integraal 2 koondub. V~ottes teoreemis 3 f (x) = ja 0 1+x 1 + x2 1 (x) = · saame, et antud p¨aratu integraal koondub. 2 1 + x2 dx N¨aide 9. Uurime p¨aratu integraali koonduvust. 2 x-1 1 1 Piirprotsessis x on funktsioonid f (x) = ja (x) = ekviva- x-1 x lentsed, sest 1 x-1 x lim 1 = lim = 1. x x x - 1 x
13 dx N¨aite 7 p~ohjal p¨aratu integraal hajub. Seega teoreemi 4 p~ohjal hajub 2 x ka antud p¨aratu integraal. sin xdx N¨ aide 10. Uurime p¨aratu integraali koonduvust. 1 x2 sin x 1 Iga x R korral on t¨aisetud tingimus 2 2 . N¨aite 7 p~ohjal p¨aratu x x dx integraal koondub. Teoreemi 3 p~ohjal antud p¨aratu integraal koon- 2 x2 dub absoluutselt ja teoreemist 5 j¨areldame, et antud p¨aratu integraal koon- dub.
5.7 P¨ aratud integraalid to ~kestamata funktsioonidest Olgu funktsioon f (x) t~okestamata l~oigu [a; b] l~opp-punkti b u ¨ mbruses . Definitsioon 5. Kui iga > 0 korral on olemas m¨a¨aratud integraal b- b- f (x)dx ja eksisteerib piirv¨a¨artus lim f (x)dx, siis seda piirv¨a¨artust a 0 a nimetatakse p¨aratuks integraaliks t~okestamata funktsioonist u ¨lemise raja b u ¨mbruses ja t¨ahistatakse f (x)dx. a Definitsiooni 5 kohaselt p¨aratu integraal t~okestamata funktsioonist u ¨lemise raja b u ¨mbruses arvutatakse valemi b b- f (x)dx = lim f (x)dx (5.12) a 0 a abil. Nagu n¨aha, on p¨aratu integraali t~okestamata funktsioonist oma kirjapil- dilt t¨apselt samasugune , nagu m¨a¨aratud integraal. Asjaolu, et integreeritav funktsioon on t~okestamata mingisuguse l~ oigus asuva punkti u ¨mbruses, tuleb iga¨ uhel endal ¨ara taibata. Olgu funktsioon f (x) t~okestamata l~oigu [a; b] alguspunkti a u ¨mbruses. Definitsioon 6. Kui iga > 0 korral on olemas m¨a¨aratud integraal b b f (x)dx ja eksisteerib piirv¨aa¨rtus lim f (x)dx, siis seda piirv¨aa¨rtust a+ 0 a+ nimetatakse p¨aratuks integraaliks t~okestamata funktsioonist alumise raja b u ¨mbruses ja t¨ahistatakse f (x)dx. a Definitsiooni 6 kohaselt p¨aratu integraal t~okestamata funktsioonist alu- mise raja a u ¨mbruses arvutatakse valemi b b f (x)dx = lim f (x)dx (5.13) a 0 a+
14 abil. Kui funktsioon f (x) on t~okestamata l~oigu [a; b] sisepunktis c, siis kasuta- des m¨a¨aratud integraali l~oigul aditiivsuse omadust, kirjutame b c b f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx a a c
ja tekkinud summas on liidetavad juba defineeritud t¨ uu¨pi p¨aratud integraalid. Kui arvutusvalemites (5.12) ja (5.13) olevad piirv¨a¨artused on l~oplikud, siis ¨oeldakse, et p¨aratu integraal koondub, kui aga need piirv¨a¨artused on l~opmatud v~oi neid ei ole olemas, siis ¨oeldakse, et p¨aratu integraal hajub. Definitsioon 7. P¨aratut integraali nimetatakse absoluutselt koonduvaks, kui koondub p¨aratu integraal b |f (x)|dx. a
N¨ aide 11. Uurime, kuidas s~oltub p¨aratu integraali b dx (5.14) a (b - x)
koonduvus v~oi hajuvus astendajast . 1 Integreeritav funktsioon on t~okestamata u ¨lemise raja b u ¨mbruses. (b - x) Seega valemi (5.12) j¨argi b b- dx dx = lim . a (b - x) 0 a (b - x)
Oletame, et = 1. Kasutades diferentsiaali m¨argi alla viimist saame, et b- b- b- dx (b - x)-+1 - lim = - lim (b - x) d(b - x) = - lim = 0 a (b - x) 0 a 0 - + 1 a -+1 (b - a)-+1 (b - a)1- 1- = - lim - = lim - . 0 - + 1 - + 1 0 1- 1-
Kui > 1, siis - 1 > 0 ja lim -1 = 0, seega 0
1- 1 lim = lim = , 0 1 - 0 (1 - )-1
st p¨aratu integraal hajub.
15 Kui 0 ja lim 1- = 0, seega 0
(b - a)1- 1- (b - a)1- lim - = , 0 1- 1- 1-
st p¨aratu integraal koondub. Kui = 1, siis b- b- b- dx d(b - x) lim = - lim = - lim ln |b - x| = 0 a (b - x) 0 a b-x 0 a = lim (ln |b - a| - ln ||) = , 0
st ka antud juhul p¨aratu integraal hajub. J¨arelikult p¨aratu integraal (5.14) koondub, kui koondub, siis koondub ka p¨aratu integraal b f (x)dx. (5.16) a
Teoreem 4'. Kui pooll~oigul [a; b) m¨a¨aratud ja pidevad funktioonid f (x) ja (x) on piiprotsessis x b ekvivalentsed, siis p¨aratu integraali (5.15) koonduvusest j¨areldub p¨aratu integraali (5.16) koonduvus ja p¨aratu integ- raali (5.15) hajuvusest p¨aratu integraali (5.16) hajuvus. Teoreem 5'. P¨aratu integraali (5.16) absoluutsest koonduvusest j¨areldub selle koonduvus.
5.8 M¨ a¨ aratud integraali ligikaudne arvutamine Newton-Leibnizi valemi kasutamine m¨a¨aratud in- tegraali arvutamiseks n~ouab integreeritava funktsiooni algfunktsiooni leid- 2 sin x 1 mist. On aga suhteliselt lihtsaid funktsioone, n¨aiteks e-x , ja , mil- x ln x lel elementaarfunktsioonide hulgas algfunktsioon puudub ja Newton-Leibnizi
16 y
yk-1 S
yk R
y = f (x)
P Q a xk-1 xk b x
valem ei ole rakendatav . Sellisel puhul kasutatakse m¨a¨aratud integraali ar- vutamiseks ligikaudseid meetodeid . Vaatleme k¨aesolevas punktis neist u ¨hte, nn trapetsvalemit. Trapetsvalemi tuletamiseks jaotame integreerimisl~oigu [a; b] n v~ordse pik- ¨ osal~oigu pikkus on sellisel juhul h = b - a . T¨ahistame kusega osal~oiguks. Uhe n jaotuspunktid x0 = a, x1 = a + h, x2 = a + 2h, ..., xk = a + kh, ..., xn = a + nh = b ja arvutame nendes jaotuspunktides funktsiooni v¨a¨artused y0 = f (x0 ), y1 = f (x1 ), y2 = f (x2 ), ..., yk = f (xk ), ..., yn = f (xn ). Vertikaalsed sirged x = xk , k = 1, 2, ..., n - 1 jaotavad k~overtrapetsi ¨ abBA n k~overtrapetsiks P QRS. Uhendame punktid R ja S sirgega, mille tu- lemusena tekib trapets P QRS, mille aluste P S ja QR pikkused on vastavalt yk-1 ja yk ning k~orguseks u ¨he osal~oigu pikkus h. Selle trapetsi pindala yk-1 + yk Sk = · h. 2 Trapetseid P QRS on n t¨ ukki ja nende pindalade summa iseloomustab li- gikaudu k~overtrapetsi abBA pindala. On ilmne, et trapetsite pindalade sum- ma iseloomustab k~overtrapetsi pindala seda t¨apsemalt, mida suurem on n, st mida suuremaks hulgaks osal~oikudeks on jagatud l~oik [a; b]. K~overtrapetsi pindala on aga m¨a¨aratud integraali geomeetriliseks t¨ahenduseks. Seega on m¨a¨aratud integraal ligikaudu v~ordne trapetsite P QRS pindalade summaga, st b y0 + y1 y1 + y2 yn-1 + yn f (x)dx S1 + S2 + . . . + Sn = ·h+ ·h+. . .+ · h. a 2 2 2
17 h V~ottes sulgude ette, saame ligikaudse valemi 2 b h f (x)dx (y0 + 2y1 + 2y2 + . . . + 2yn-1 + yn ), (5.17) a 2 mida nimetatkse trapetsvalemiks. Paneme t¨ahele, et saadud valemis k~oik funktsiooni v¨aa¨ rtused esinevad kahekordselt, va funtsiooni v¨aa¨rtused integ- reerimisl~oigu otspunktides y0 = f (a) ja yn = f (b). 2 N¨ aide 12. Arvutame trapetsvalemi abil x2 dx. 0 N¨aide on valitud nii, et seda integraali oleks v~oimalik ka t¨apselt arvutada ja trapetsvalemi abil saadud tulemustega v~orrelda. Newton-Leibnizi valemi 2 2 2 x3 8 j¨argi x dx = = = 2, (6). 0 3 0 3 Arvutame sama integraali trapetsvalemi abil, jagades integreerimisl~oigu 2-0 [0; 2] neljaks osal~oiguks, st v~ottes n = 4. Siis u ¨he osal~oigu pikkus h = = 4 0, 5 ja jaotuspunktideks on punktid x0 = 0, x1 = 0, 5, x2 = 1, x3 = 1, 5 ja x4 = 2. Arvutame jaotuspunktides funktsiooni f (x) = x2 v¨a¨artused y0 = 0, y1 = 0, 25, y2 = 1, y3 = 2, 25 ja y4 = 4. Trapetsvalemi (5.17) p~ohjal 2 x2 dx 0, 25(0 + 2 · 0, 25 + 2 · 1 + 2 · 2, 25 + 4) = 2, 75. 0
Arvutame sama integraali trapetsvalemi abil, jagades integreerimisl~oigu [0; 2] kaheksaks osal~oiguks. Siis u ¨he osal~oigu pikkus on h = 0, 25 ja jaotus- punktid on x0 = 0, x1 = 0, 25, x2 = 0, 5, x3 = 0, 75, x4 = 1, x5 = 1, 25, x6 = 1, 5, x7 = 1, 75 ja x8 = 2. Funktsiooni f (x) = x2 v¨a¨artused jaotuspunktides y0 = 0, y1 = 0, 0625, y2 = 0, 25, y3 = 0, 5625, y4 = 1, y5 = 1, 5625, y6 = 2, 25, y7 = 3, 0625 ja y8 = 4. Trapetsvalemi (5.17) j¨argi 2 x2 dx 0, 125(0+2·0, 0625+2·0, 25+2·0, 5625+2·1+2·1, 5625+2·2, 25+2·3, 0625+4) = 2, 6875. 0
18