docstxt/124262802148977.txt
1 = A12 - 12 = 124° -122° = 2° 2 = A13 - 13 = 156°30 -154°30 = 2° Kaardil on SW : 1°51 a) Meridiaanide koonduvuse arvutamine punkti geodeetiliste koordinaatide järgi. = L × sin B, kus L = L - Lt ja Lt = 24°00, see on te lg meridiaani väärtus. L1 = 26°185 - 24° = 2°185 1 = 2°185 × sin 58°5526 = 1°5816 L2 = 26°2033 - 24° = 2°2033 2 = 2°2033 × sin 58°5436 = 2°022 L3 = 26°19 - 24° = 2°19 3 = 2°19 × sin 58°5413 = 1°592 b) Meridiaanide keskmine koonduvus kaardil = SW : 1°51 2. Rumbide arvutus a) Tõelise asimuudi järgi III veerand R=180o-At R12 = 180° - 124° = SE : 56°00 R13 = 180° - 156°30 = SE : 25°30 b) Direktsiooninurkade järgi III veerand R=180o- R12 = 180° - 122° = SE : 58°00 R13 = 180° - 154°30 = SE : 25°30 c) Koordinaatide järgi Y2 - Y1 R12 = arc tan X 2 - X1 Y3 - Y1 R13 = arc tan X 3 - X1
Käsitleme kahte juhtu. 1.Eeldame, et rida on koonduv. Olgu arv ε >0 selline, et
γ-ε>0. Ahela esimese võrratuse põhjal (γ-ε)bk
Contents Contents.................................................................................................................................. 1 1. Arvrea mõiste. Arvrea osasumma ja koonduvus. Näiteid koonduvate ja hajuvate arvridade kohta. Geomeetrilise rea osasumma ja summa valemite tuletamine....................................... 2 2. Integraaltunnus. Näidata, mis tingimustel rida ja vastav päratu ingegraal koonduvad samaaegselt. Muutujavahetus päratus integraalis ()............................................................... 3 3. Positiivsete arvridade võrdlustunnused. Üks tunnustest tuletada........................................ 3 4. D'Alemberti ja Cauchy tunnused
Contents Contents.................................................................................................................................. 1 1. Arvrea mõiste. Arvrea osasumma ja koonduvus. Näiteid koonduvate ja hajuvate arvridade kohta. Geomeetrilise rea osasumma ja summa valemite tuletamine....................................... 2 2. Integraaltunnus. Näidata, mis tingimustel rida ja vastav päratu ingegraal koonduvad samaaegselt. Muutujavahetus päratus integraalis ()............................................................... 3 3. Positiivsete arvridade võrdlustunnused. Üks tunnustest tuletada........................................ 3 4. D'Alemberti ja Cauchy tunnused
𝑘→+∞ √|𝑎𝑘 | 𝑘→+∞ √|𝑎𝑘 | 1. Arvrea mõiste. Arvrea osasumma ja koonduvus. Näiteid koonduvate ja hajuvate arvridade kohta. Avaldist Kui f ∈ L 1(R) on lokaalselt tükiti sile, siis Fourier’ teisendus on pööratav, st F −1F f = f
2ρ2 24 ρ 4 l= 0.0174533 rad η= 0.0435034387 2= ### μ= 0.99964285 3= ### mju = ### 3. Meridiaanide koonduvus geodeetiline koonduvus: l 3 sin B cos 2 B (1+η 2 ) γ ' =l sin B+ 3ρ 2 γ' = 50.884339372272 ' ehk = 0.84807 º Gaussi meridiaanide koonduvus: 3 2 2 4 l sin B cos B (1+3 η + 2 η ) γ ' =l sin B+ 2 3ρ γ' = 50.884344874302 ' ehk = 0.84807 º Lamberti koonduvus:
..+ qm+... n=0 Harmooniline rida Harmooniliseks reaks nimetatakse rida kujul n1a =1+ 21a + 31a +... , a>0 n=0 Geomeetrilise rea koonduvus Geomeetriline rida qn=1+q+ q 2+... koondub, kui |q|<1 n=0 Harmoonilise rea koonduvus Harmooniline rida n1a =1+ 21a + 31a +... koondub parajasti siis, kui a>1 n=0 Arvrea absoluutne ¿ u(n)¿
gravitatsioonikonstant, a0-ekvatoriaalraadius, J2- Maa kumerus tingib meridiaanide koonduvuse. Selle Satelliitide tiirlemiseperioodide ruudud on dünaamiline lapikus e geopotensiaali normaalne termini alla mahub kaks mõistet. Esimene neist on võrdrlised nende orbiitide suurte pooltelgede harmooniline II astme koefitsent, f- universaalne geodeetiline meridiaanide koonduvus ehk kuupidega p2= 4 πa3/(G(m1+m2)). gravitatsioonikonstant, fM A- geotsentriline meridiaanide koonduvus ellipsoidil. Selle all 35. Kuus tähtsamaid tegurit mis gravitatsioonikonstant atmosfääris, ω- Maa mõistetakse nurka (kamma primm) punkti K häirivad reaalset saatelliiti Kepleri
vertikaaltasandi ja maapinna lõikumisel saadud joont. Magnetiline kääne e. deklinatsioon _ on nurk, mis moodustub antud punkti läbiva magnetilise meridiaani suuna ja tõelise meridiaani suuna vahel. Kui magnetiline meridiaan on tõelisest meridiaanist ida pool, siis on tegu idapoolse Rumb on taandatud esimese veerandi nurk, Direktsiooninurk ( _ = 0o-360o) so. nurk, mida mõõdetakse telgmeridiaani või temaga paralleelse suuna põhjapoolsest otsast päripäeva antud suunani meridiaanide koonduvus on tõelise ja telgmeridiaani vaheline nurk Kaldenurk Kalle protsentides Kalle promillides
1= 6400'- 6300'= 100'; 2= 3700'- 3600'= 100' Kaardil on NE: 109' b) Meridiaanide koonduvuse arvutamine punktide geodeetiliste koordinaatide järgi: Valemid: = L*sinB, kus L= L-Lt ja Lt= 2500'(telgmeridiaani väärtus) L1= 2507'35''- 2500'00'' = 07'35'' 1=07'35''*sin 5923'35''= 06'32'' L2= 2510'33''- 2500'00'' = 10'33'' 2=10'33''*sin 5924'20''= 09'05'' L3= 2509'58''- 2500'00'' = 09'58'' 3=09'58''*sin 5925'13''= 08'35'' c) Meridiaanide keskmine koonduvus kaardil = NE: 109'. 2) Rumbide arvutus. a) Tõelise asimuudi järgi: Kui I veerand, siis At= R; R12= NE: 3700'00'' R13= NE: 6400'00'' b) Direktsiooninurkade järgi: I veerand: R= ; R12= NE: 6300'00'' R13= NE: 3600'00'' c) Koordinaatide järgi: Valemid: R12= arctan ; R12= 6246'45''; R13= 3532'16'' d) Võrrelda koordinaatide järgi arvutatud rumbi direktsiooninurga järgi arvutatud rumbiga:
Segakorrutise arvutamine koordinaatkujul. Kolme vektori komplanaarsus. Rööptahuka ja tetraeedri ruumala arvutamine. 11. Sirge võrrandid. Punkti kaugus sirgeni. Kahe sirge vaheline nurk. 12. Tasandi võrrandid. Punkti kaugus tasandist. Kahe tasandi vaheline nurk. II osa Matemaatiline analüüs (12 punkti) 13. Arvrea mõiste, arvrea summa ja koondumise tarvilik tingimus. 14. Geomeetriline ja harmooniline rida. 15. Arvrea absoluutne ja tingimisi koonduvus. Arvrea koonduvustunnused: Cauchy, D’Alembert’i ja Leibnizi tunnused 16. Astmerea mõiste, astmerea koonduvusraadius ja koonduvuspiirkond. 17. Funktsiooni arendamine astmereaks; Taylori rida. 18. Fourier’ rea mõiste, funktsiooni arendamine Fourier’ reaks. 19. Mitme muutuja funktsiooni mõiste, geomeetriline tõlgendus, määramispiirkond. 20. .Kahe muutuja funktsiooni piirväärtuse ja pidevuse mõiste. Piirväärtuse omadused ja arvutamine 21
koondub hajub Graafikud punktis 13 ! 16. Millised on võimalused arvrea koonduvuse kindlakstegemiseks! Tuua 2 näidet! Võrdlustestiga ja D'Alemberti testiga 17. Formuleerida positiivsete liikmetega rea võrdlustest. Tuua näide kasutamise kohta! (I) ( II ) Kui , siis (II) arvrea koonduvusest järeldub (I) arvrea koonduvus ja (I) arvrea hajuvusest järeldub (II) arvrea hajuvus. 18. Formuleerida positiivsete liikmetega rea D'Alemberti test. Tuua näide kasutamise kohta Kui positiivsete liikmete arvrea korral eksisteerib piirväärtus . Kui see piirväärtus on väiksem ühest ( lim<1 ), siis rida koondub ; kui on suurem ühest ( lim>1 ), siis hajub ; ja kui on võrdne ühega ( lim = 1 ), siis jääb koonduvus lahtiseks OSA 5 1
(5.11) a Kui pooll~oigul [a; ) m¨a¨aratud ja pidevad funktioonid f (x) ja (x) ra- huldavad tingimust 0 (x) f (x) ja p¨aratu integraal (5.10) hajub, siis hajub ka p¨aratu integraal (5.11). Teoreem 4. Kui pooll~oigul [a; ) m¨a¨aratud ja pidevad funktioonid f (x) ja (x) on piiprotsessis x ekvivalentsed, siis p¨aratu integraali (5.10) koonduvusest j¨areldub p¨aratu integraali (5.11) koonduvus ja p¨aratu integ- raali (5.10) hajuvusest p¨aratu integraali (5.11) hajuvus. Definitsioon 4. P¨arartut integraali (5.11) nimetatakse absoluutselt koon- duvaks, kui koondub p¨aratu integraal |f (x)|dx. a Teoreem 5. P¨aratu integraali (5.11) absoluutsest koonduvusest j¨areldub selle koonduvus. N¨aide 8. Uurime p¨aratu integraali
võrdub nulliga. Joonintegraali sõltumatus integreerimisteest (tuletada vastav valem kahemõõtmelisel juhul ja esitada vastav valem ilma tuletamata kolmemõõtmelisel juhul ). Konservatiivse jõuvälja mõiste. 44. Esimest liiki pindintegraali definitsioon. Pinna pindala ja pinna massi arvutamine (tuletada vastavad valemid). 45. Arvrida, arvrea osasumma ja arvrea summa. Geomeetriline rida ja selle koonduvus. Sõnastada ja tõestada arvrea koonduvuse tarvilik tingimus. 46. Arvridade koonduvustunnused: majoranttunnus, d'Alemberti tunnus, integraaltunnus ja Leibnitzi tunnus. 47. Funktsionaalrea mõiste. Funktsionaalrea koonduvuspiirkond. Funktsionaalrea majont. Majoranttunnus funktsionaalrea koonduvuse hindamisel. 48. Astmerea mõiste. Asterea koonduvusvahemik ja koonduvusraadius. Nihutatud asterida. Taylori ja McLaurini read.
4) Suurim väärtus on GLOBAALNE MAKSIMUM ja väiksem väärtus GLOBAALNE MIINIMUM. Kahekordsed integraalid · Kahekordse integraali definitsioon ja geomeetriline tähendus · Kahekordse integraali arvutamine · Integreerimisjärjekorra muutmine · Kahekordse integraali rakendusi (tasandilise kujundi pindala, kujundi ruumala, tasandilise kujundi mass, massikese, inertsimomendid) Read · Arvrea koonduvus · Funktsionaalread, astmeread Majanduses kasutatavaid mitme muutuja funktsioone · Osaelastsused · Täisdiferentsiaali majanduslik tähendus · Samatoodangujooned · Tehnilise asenduse piirmäär
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 5.7.1 Wallise valem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 5.7.2 Euler–Poissoni integraal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 6 Funktsionaaljadad. Arv- ja funktsionaalread 133 6.1 Funktsionaaljadad, nende punktiviisi ja ühtlane koonduvus . . . . . . . . . . 133 6.1.1 Funktsionaaljada punktiviisi koonduvus . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 6.1.2 Funktsionaaljada ühtlane koonduvus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 6.1.3 Funktsionaaljadad, mille liikmed on pidevad funktsioonid . . . . . . . 136 6.1.4 Dini teoreem funktsionaaljada ühtlasest koonduvusest . . . . . . . . . .
mD mD 4. Read Arvrea osasumma mõiste Jada (Sn); kus Sn = u0 + u1 + un nimetatakse rea osasummade jadaks. Kui leidub piirväärtus S = n lim S n siis seda nimetatakse rea summaks ja kirjutatakse u n=S n n=0 Arvrea koonduvus (d'Alemberti ja Cauchy tunnused) o Kui rea summa S on lõplik, siis öeldakse, et rida koondub summaks S: Kui osasummade jada piirväärtus ei eksisteeri või on lõpmatu, siis öeldakse, et rida hajub u n+1 o D'Alemberti tunnus: lim [<1 rida koondub; > rida hajub; = ei n un saa otsustada] n o Cauchy tunnus: lim u n=q
Näide. Leiame 2 n 2 (3 + ) 3n 2 + 2n n = 3. lim = lim n n 2 + 5 n 2 5 n (1 + 2 ) n 2. Arvread 2.1. Arvrea koonduvus ja hajuvus. Olgu antud arvjada (un). Avaldist u1 + u 2 + ... + u n + ... = u n (1) n =1 nimetatakse arvreaks (ka lihtsalt reaks). Arve un nimetatakse rea (1) liikmeteks. Järgnevas täpsustame,mida mõista sellise summa all. Definitsioon 14. Arvrea (1) osasummaks nimetatakse summat
} voi ~ {xn } ~ {xn } voi ~ {xn }nN . n=1 voi Kui xn R (n N), st x : N - R, siis nimetame jada x arvjadaks. ¨ G. Tamberg (TTU) YMM3731 Matemaatilne analu¨ us ¨ I 8 / 24 Jada piirva¨ artus ¨ Jada koonduvus ja piirva¨ artus ¨ Definitsioon ¨ et jada {xn } Utleme, n=1 koondub suuruseks a (ehk jada {xn }n=1 piirva¨ artus ¨ on a) kui iga 0 < R korral leidub N N nii et xn U (a) iga n > N korral. n ¨ Tahistame xn a voi ~ xn - a voi ~ lim xn = a. n ¨
f ( x) k = lim ja b = lim [ f ( x ) - kx ]. x - x x - III Joone y = f(x ) rõhtasümptootideks on sirged y =b. Sel juhul xlim f ( x) = b või xlim f ( x) = b. Rõhtasümptoodid on kaldasümptootide erijuhud, mille korral tõus k = 0. - 21. Arvjadad. Arvjada koonduvus ja hajuvus. Arvjadaks nimetatakse naturaalarvulise argumendiga funktsiooni x = x( n), n =1,2,.... Tähistame x ( n) = x n . Arvu x n nimetatakse jada x=(xn) üldliikmeks ( ka elemendiks). Kirjutame ka x=(xn) = (x1, x2,...,xn,...). Jada x=(xn) nimetatakse koonduvaks, kui eksisteerib lõplik piirväärtus lim x n = a. n
Def. Antud rida (u) u n un ja tema n-indaks (un) jääkreaks , nim. rida n =1 u k = n +1 k = u n +1 + u n + 2 + ... + u k + ... Lause: kui arvrida (u) koondub, siis koondub ka iga tema jääk rida . Kui lähterea summa on lim S n = S < siis jääkrea summa on S =S-Sn n Kehtib ka vastupidine: Kui koondub jääkrida siis koondub ka arvrida (u). Järeldus: Arvrea koonduvus omadused ei sõltu sellest, kas jätame rea algusest mõned liikmed ära või lisame mõned liikmed juurde. Järeldus: jääkrea summa piirväärtus o võrdne nulliga: lim S = lim( S - S n ) = lim S - lim S n = S - S = 0 n n n n 9 Lause: Koonduv rida (u), siis koondub ka (cu): cu
plaan, siis on piiripunktid mõõdistamisvõrgu punktideks ja nendele punktidele määratakse ristkoordinaadid. Topograafilise plaani koostamisel määratakse mõõdistamisvõrgu punktidele ristkoordinaadid ja ka absoluutne kõrgus. 11. Joonte orienteerimine. Oskad joonestada skeemile järgmised nurgad: direktsiooninurk, tõeline asimuut, magnetiline asimuut, magnetiline kääne ja meridiaanide koonduvus. 12. Reljeefi vormid. Reljeefi kujutamise viisid. Reeperid. Absoluutne kõrgus, geodeetiline kõrgus, suhteline kõrgus. Mis ühikutes kõrgust mõõdetakse. Geoid, ellipsoid. Vormid jaotatakse kuju järgi: mägi, org, tasandik, kõrgendik jne. Või siis selle järgi, et kas ta on kõrge: väga kõrge, kõrge, kääbus(10 cm) jne. Reljeefe kujutatakse plaanil joonte abil ,ehk kas jooned lähenevad üksteisele ja
Osamuudusummade vastavad punktid lähenevad teatud punktile s, mis kujutab rea summat. Seejuures asetsevad paarisnumbrilistele osasummadele vastavad punktid punktist s vasakul ja paaritunumbrilistele osasummadele vastavad punktid paremal. 16. Muutuvate märkidega read. Absoluutne koonduvus ja tingimisi koonduvus: vastavate mõistete selgitused ning teoreemi 39.1 tõestus. Rida nim. muutuvate märkidega reaks, kui tema liikmete hulgas leidub nii positiivseid kui ka negatiivseid liikmeid. Teoreem 39.1. Kui muutuvate märkidega rea u1+ u2+...+un+... liikmete absoluutväärtustest koosnev rida u1+ u2+...+un+... koondub, siis koondub ka antud muutuvate märkidega rida. Muutuvate märkidega rida u1+ u2+...+un+... nim
Direktsiooninurgaks nim joone suuna ja ristkoordinaatide võrgu joone põhja suuna vahelist nurka. See on tavaliselt aluseks ja maastikul saab direktsiooninurga suuruse määrata kahe geodeetilise võrgu punkti abil. Deklinatsioon on pos kui magnetiline meridiaan kaldub tõelisest meridiaanist ida poole. Kaardilehe alla trükitakse tavaliselt koordinaatvõrgu vertikaaljoone suund, tõelise-ja magnetilise meridiaani suund. Kaardilehel tuleb näidata ka meridiaanide koonduvus. Ida pool olevatel kaardilehtedel on meridiaanide koonduvus positiivne. 6.Topograafilised leppemärgid Maastiku objektide, situatsiooni- ja reljeefielementide kujutamiseks plaanil kasutatakse topograafilisi leppemärke. Eristatakse kolme rühma: pind-, joon- ja punktobjektid. Neljanda rühma moodustavad selgitavad märkused. 7. Kartograafilise üldistamise põhimõte. Valiku tsensus ja valiku norm. Kaartide puhul nim üldistamiseks objekide valikut ja kontuuride üldistamist vastavalt
vastupidi kulgemise suunas. Joone vastuasimuut võrdub joone otseasimuudiga pluss sihtpunktis ja seisupunktis määratud meridiaanide koonduvuse vahe ning ± 180 o. Rumb on horisontaalnurk, mida mõõdetakse tõelise meridiaani põhja- või lõunapoolsest otsast ida või lääne suunas kuni antud jooneni. Direktsiooninurk telgmeridiaani suuna ja x-telje suuna vaheline nurk (selle nurga ja teodoliidi käigu kaudu võimalik arvutada ristkoor- d). Meridiaanide koonduvus tähendab ristkoordinaadistiku püsttelje ja meridiaani vahelist nurka, kusjuures see nurk on positiivne sel juhul, kui meridiaan kaldub põhjasuunas vasakule ning negatiivne, kui ta kaldub paremale. Magnetnõela kääne e. deklinatsioon on nurk tõelise ja magnetilise asimuudi vahel. Inklinatsioon tähistab tõelise ja magnetilise meridiaani vertikaalivahelist erinevust. Bussool on kraadideks jaotatud ringi või ringiosadega ning viseerimisseadistega magnetkompass, millega mõõdetakse
1991). 3. LOODUSLIKUD TINGIMUSED 3.1 Iseärasused Nagu maastikurajooni nimigi ütleb, on sellega seotud voorestikud. Vooremaad peetakse Suuremaks ja ilmekamaks mandijää tekitatud voorestikuks Ida-Euroopa lauskmaal. Üheks omapäraks võib välja tuua suurvoorte rohkus sellel rajoonil. Voored on pikad ja küllaltki kõrged. Ilmet annab maastikule juurde voorte vahelised nõod. Ebatüüpiliseks samade pinnavormide puhul on siin voorte koonduvus voorestiku lõunaosas, 6 km2- le (Arold 2001). 3.2 Reljeef Eelnevalt väljatoodut korrates on Vooremaa üks ainulaadse reljeefi ja pinnavormidega maastikurajoon. Seda saab võõrelda ka omamoodi Lõuna-Eesti reljeefiga kuna kõrguste erinevused on tihedad ja suuremad kui mujal. Kõrgeim koht Vooremaal on 144m , mis kannab nimetust Laiuse voor. Üldiselt suurimaks on Koimula hiidvoor, mille mõõtmed kogunisti 13 km pikkust, 3,5 km laiust ja kõrgust 26 meetrit
Horisotaali väärtus on on kirjutatud languse suunas. Täiendavad leppemärgid Kevad 1. loeng Joonte orienteerimine (tõeline asimuut, magnetiline asimuut, direktsiooninurk, rumb) Kõrgused-ellipsoidist(h)/geoidist(H). Ellipsoid Eestis madalamal. HD- horisontaalprojektsioon, SD-tegelik kaugus, kaldjoon Joonte orienteerimine- looduses või kaardil olevate joonte asukoha määramine Tõelise meridiaani suhtes- nurk päripäeva, tõeline asimuut, meridiaanide koonduvus Magnetilise meridiaani suhtes- magnetiline asimuut, kompassi abil Deklinatsioon e magnetvälja kääne Kui palju erineb mingis punktis tõeline ja magnetmeridiaan- Tartus 7 kraadi, Eestis üldjuhul 5-8 kraadi. Direktsiooninurk(alfa)- nurk päripäeva telgmeridiaanist või sellega paralleelse joonega kuni meid huvitava jooneni. Telgmediaan ehk x telje suhtes Direktsioonunurga suurim väärtus 359 kraadi 59 minutit 59sekundit RUMB(0-90 kraadi)
Olgu a ∈ D hulga D kuhjumispunkt ning olgu f : D → R ja h: E → R sellised funktsioonid, et f (D) ⊂ E. Kui f on pidev punktis a ja h on pidev punktis b := f (a) , siis liitfunktsioon h ◦ f : D → R on pidev punktis a. Olgu (xk) selline jada, et xk ∈ D{a} ja xk → a. Teoreemi 3.2 kohaselt on meie eesmärgiks näidata, et h ◦ f (xk) → h ◦ f (a) . Funktsiooni f pidevusest punktis a järeldub, et uk := f (xk) → f (a) = b. Seega järeldub funktsiooni h pidevusest punktis b koonduvus h (u k) → h (b). Niisiis, h ◦ f (xk)) = h (f (xk)) = h (uk) → h (b) = h (f (a)) = h ◦ f (a) , s.t. h ◦ f on pidev kohal a. 18. Lõigus pidev funkstsioon, selle omadused Defineerida funktsiooni pidevus tema määramispiirkonna alamhulgas: Olgu X funktsiooni f määramispiirkonna D alamhulk. Kui f on pidev igas punktis x ∈ X, siis öeldakse, et ta on hulgas X pidev. Funktsiooni f : D → R nimetatakse pidevaks, kui ta on oma määramispiirkonnas D pidev.
Direktsiooninurk on nurk (päripäeva) kaardivõrgu põhjasuuna ja seisupunkti ning objekti vahelise suuna vahel. Kuna asimuut ei ole erinevatel põhjustel ühe ja sama sirgjoone eri punktides konstantsed, siis eelistakse direktsiooninurka, mis on sirgjoone eri punktides konstante, lihtsustab arvutusi. ehk siis asimuut on magnetiline põhjasuund (kanada) ja dir. nurk põhjasuund kaardilT(poolus) Nendevaheline seos: Kui on teada joone tõeline asimuut A ja meriaanide koonduvus (telgmeridiaanide suhtes), siis arvutatakse direktsiooninurk valemist = A-y. Meridiaanide koonduvus: Meridiaanide koonduvus antud kaardilehel tähendab nurka ristkoordinaadistiku püsttelje ja meridiaani vahel, kusjuures see nurk on positiivne sel juhul, kui püsttelg kaldub meridiaanist paremale (itta) ning negatiivne, kui püsttelg kaldub meridiaanist vasakule (läände). Meridiaanide koonduvus sõltub asukohast (pikkus ja laiuskraadidest sõltuv funktsioon)
Kui piirväärtus U on lõplik siis nimetatakse rida koonduvaks. Kui piirväärtus U on lõpmatu või piirväärtus U hoopiski puudub, siis öeldakse et rida hajub. Kui U= või U=- siis öeldakse, et rea summa on või -. 3. Mis on diskonteerimine? Diskonteerimiseks nimeetatakse raha nüüdiväärtuse leidmist lõppsumma järgi. TEOORIAKÜSIMUSED nr 15 1. Rea koonduvuse tarvilik tunnus? Kas selle täidetus tagab alati rea koonduvuse? Rea koonduvus tarvilik tunnus: Ei garanteeri rea koonduvust, rida võib koonduda kui küsimus jääb lahtiseks (kas on tingimisi koonduv või absoluutselt koonduv). 2. Kirjeldada koonduvate ridade omadusi. Olgu U ja V koonduvad read, siis U+V on ka koonduv. U=u1+u2+u3+...+ui+... V=v1+v2+v3+...+vi+... U+v = (u1+v1) + (u2+v2)...+(ui+vi)+... Kui rida U on koonduv, on koonduv ka cU (c on suvaline konstant) cU=cu1+cu2+...+cui+... 3. Sõnastada positiivste ridade koonduvuse Cauchy tunnus.
58. Koonduva ja hajuva rea mõiste. Kui piirväärtus U on lõplik siis nimetatakse rida koonduvaks. Kui piirväärtus U on lõpmatu või piirväärtus U hoopiski puudub, siis öeldakse et rida hajub. Kui U= või U=- siis öeldakse, et rea summa on või -. 59. Mis on diskonteerimine? Diskonteerimiseks nimetatakse raha nüüdiväärtuse leidmist lõppsumma järgi. 60. Rea koonduvuse tarvilik tunnus? Kas selle täidetus tagab alati rea koonduvuse? Rea koonduvus tarvilik tunnus: Ei garanteeri rea koonduvust, rida võib koonduda kui küsimus jääb lahtiseks (kas on tingimisi koonduv või absoluutselt koonduv). 61. Kirjeldada koonduvate ridade omadusi. Koonduvaid ridu võib liikmeti liita ja tulemuseks saadud rida on koonduv. Olgu U ja V koonduvad read, siis U+V on ka koonduv. U=u1+u2+u3+...+ui+... V=v1+v2+v3+...+vi+... ... 62. Rea absoluutse koonduvuse ja tingimisi koonduvuse mõiste. Rida nimetatakse
(Arold 1991). 3. Looduslikud tingimused 3.1. Maastiku eripära Vooremaa üks suuremaid ja ilmekamaid viimase mandrijäätumise aladel tekkinud voorestikke Ida-Euroopa lauskmaal. Saadjärve voorestiku omapära seisneb suurvoorte rohkuses. Suurim neist, Koimula hiidvoor on 13 km pikk ja 3,5 km lai ning 26 m kõrge. Iseloomulik on samuti voorte kuju ja suuruse mitmekesisus, mis muidu ilmneb alles palju suuremates voorestikes. Ebatüüpiline on siin voorte koonduvus voorestiku lõunaosas vaid umbes 6 km 2- le. Voorte ja nendevaheliste nõgude paiknemine kõrgemal tüvendil laseb Vooremaad tinglikult vaadelda omalaadse kuhjekõrgustikuna (Arold 2001). Kumeralaelised künnised moodustavad vahelduva kuju ja koostisega pinnavormide parageneetilise rea vaevumärgatavatest lainetest ja mikrokünnistest kuni järsunõlvaliste suurte seljakuteni. Voorte ühiseks tunnuseks on voolujooneliseks voolitud kuju, mis kõige vähem takistas liustikujää liikumist
Taandamine toimub analoogiliselt rumbiga Asimuudi ja direktsiooninurga on mõlemad horisontaalnurgad, mida mõõdetakse päripäeva. Direktsiooninurka saab arvutada magnetilisest asimuudist. Meridiaanide koonduvus on ida suunas positiivne ja lääne suunas negatiivne, st kui sihtpunkt T ja seisupunkt K geograafiliste pikkuste vahe dL on positiivne, siis on ka meridiaanide koonduvus positiivne, ja kui see vahe on neg., siis on ka meridiaanide koonduvus negatiivne. 14. Geodeetiline otseülesanne
(5.11) a Kui pooll~oigul [a; ) m¨a¨aratud ja pidevad funktioonid f (x) ja (x) ra- huldavad tingimust 0 (x) f (x) ja p¨aratu integraal (5.10) hajub, siis hajub ka p¨aratu integraal (5.11). Teoreem 4. Kui pooll~oigul [a; ) m¨a¨aratud ja pidevad funktioonid f (x) ja (x) on piiprotsessis x ekvivalentsed, siis p¨aratu integraali (5.10) koonduvusest j¨areldub p¨aratu integraali (5.11) koonduvus ja p¨aratu integ- raali (5.10) hajuvusest p¨aratu integraali (5.11) hajuvus. Definitsioon 4. P¨arartut integraali (5.11) nimetatakse absoluutselt koon- duvaks, kui koondub p¨aratu integraal |f (x)|dx. a Teoreem 5. P¨aratu integraali (5.11) absoluutsest koonduvusest j¨areldub selle koonduvus. N¨aide 8. Uurime p¨aratu integraali
(divF) (x, y, z) def. = Xx(x, y, z) + Yy(x, y, z) + Zz(x, y, z) ehk lühidalt divF = Xx + Yy + Zz. 1.12. VÄLJATEOORIA POHIMOISTED Definitsioon 3. Vektorit (Zy(x, y, z) - Yz(x, y, z),Xz(x, y, z) - Zx(x, y, z), Yx(x, y, z) - Xy(x, y, z)) nimetatakse vektorvälja F rootoriks punktis P(x, y, z) ja tähistatakse rotF, st(rotF) (x, y, z) def. = (1.12.3)= (Zy(x, y, z) - Yz(x, y, z),Xz(x, y, z) - Zx(x, y, z), Yx(x, y, z) - Xy(x, y, z))ehk lühidalt rotF =(Zy - Yz,Xz - Zx, Yx - Xy) . 31. Arvrea koonduvus ja summa Arvujadast u1, u2, ... , un moodustunud avaldist uk = u1+u2+...+un+...seda avaldistt nim reaks. Need arvud u1, u2, ..., un on rea liikmed n- esimesest liikmest koostatud summa Sn=u1+u2+...+un -> rea osasumma, kui olemas limnSn =Sk, siis seda piirväärtust nim rea summaks (kindel suurus) uk=S, öeldakse, et rida koondub. Kui piirväärtust ei eksisteeri või see on lõpmatus, siis rida hajub. 32. Rea koonduvuse tarvilik tingimus
Eestis on nende erinevus 7°. Direktsiooninurk horisontaalnurk, mida mõõdetakse telgmeridiaani või temaga paralleelse joone põhja suunast päripäeva kuni antud jooneni. Kasutusele võeti, et lihtsamates ülesannetes vältida meridiaanide koonduvuse mõju pidevat arvestamist. Joone rumbiks nim antud suuna ja keskpäevajoone lähima suuna vahelist teravnurka, mida mõõdetakse 0° kuni 90°- ni ida või lääne suunas. Teravnurgaks taandatud asimuut. Meridiaanide koonduvus antud kaardilehel tähendab nurka ristkoordinaadistiku püsttelje ja meridiaani vahel, kusjuures see nurk on positiivne sel juhul, kui püsttelg kaldub meridiaanist paremale (itta) ning negatiivne, kui püsttelg kaldub meridiaanist vasakule (läände). Tabelinurk on teravnurgaks taandatud direktsiooninurk. 14. Geodeetiline otseülesanne Joone koordinaatide juurdekasvude arvutamine selle joone direktsiooninurga ja joone pikkuse horisontaalprojektsiooni järgi
Eestis on nende erinevus 7˚. Direktsiooninurk – horisontaalnurk, mida mõõdetakse telgmeridiaani või temaga paralleelse joone põhja suunast päripäeva kuni antud jooneni. Kasutusele võeti, et lihtsamates ülesannetes vältida meridiaanide koonduvuse mõju pidevat arvestamist. Joone rumbiks nim antud suuna ja keskpäevajoone lähima suuna vahelist teravnurka, mida mõõdetakse 0˚ kuni 90˚- ni ida või lääne suunas. Teravnurgaks taandatud asimuut. Meridiaanide koonduvus antud kaardilehel tähendab nurka ristkoordinaadistiku püsttelje ja meridiaani vahel, kusjuures see nurk on positiivne sel juhul, kui püsttelg kaldub meridiaanist paremale (itta) ning negatiivne, kui püsttelg kaldub meridiaanist vasakule (läände). Tabelinurk on teravnurgaks taandatud direktsiooninurk. 14. Geodeetiline otseülesanne Joone koordinaatide juurdekasvude arvutamine selle joone direktsiooninurga ja joone pikkuse
· Nõutavast närvivõrgu sisendite ja väljundite arvust · Närvivõrgu koostaja kogemustest. Täpsemat valemit närvivõrgu arhitektuuri leidmiseks ei ole. Tavaliselt, optimaalsem struktuur mingi kriteeriumi mõttes leitakse eksperimentaalselt või empiiriliste ekspertteadmiste alusel. Nii liiga väike, kui ka liiga suur arv peidetud kihte ning neuroneid nendel kihtidel võib vähendada võrgu kvaliteedi. Valitud arhitektuurist oluliselt sõltub ka õpialgoritmi koonduvus (vt. peatükid 1.4, 2.2). 1.3.3 Iseorganiseeruvad närvivõrgud Iseorganiseeruvaks nimetatakse närvivõrku, mis on võimeline häälestada oma kaalukoefitsiente lähtudes ainult sisendvektori väärtustest. Neid närvivõrke nimetatakse ka iseõppivateks (vt. peatükk 1.4). Kõige lihtsam iseorganiseeruva süsteemi näide on Kohonen'i närvivõrk. 12
ehk üldisemalt n n =0 kus a on mingi arv, nimetatakse astmereaks. Arve a n nimetatakse astmerea kordajaiks. Muutujavahetusega x - a = t võib alati realt (2) üle minna reale (1). Iga astmerea korral leidub selline R , kus 0 R , et astmerida (1) (või (2)) koondub absoluutselt, kui x < R vastavalt ( x - a < R ), ja hajub, kui x > R (vastavalt x - a > R ). Vahemikke (- R; R ) ja (a - R; a + R ) nimetatakse vastavalt astmeridade (1) ja (2) koonduvus- vahemikeks ja suurust R koonduvusraadiuseks. Koonduvusvahemike otspunktides võib astmerida koonduda (tingimisi, absoluutselt) või hajuda. Astmerea koonduvusraadiuse R leidmiseks võib kasutada järgmisi valemeid: 1 a 1 = lim n +1 ja = lim a n , R n a n R n
· Nõutavast närvivõrgu sisendite ja väljundite arvust · Närvivõrgu koostaja kogemustest. Täpsemat valemit närvivõrgu arhitektuuri leidmiseks ei ole. Tavaliselt, optimaalsem struktuur mingi kriteeriumi mõttes leitakse eksperimentaalselt või empiiriliste ekspertteadmiste alusel. Nii liiga väike, kui ka liiga suur arv peidetud kihte ning neuroneid nendel kihtidel võib vähendada võrgu kvaliteedi. Valitud arhitektuurist oluliselt sõltub ka õpialgoritmi koonduvus (vt. peatükid 1.4, 2.2). 1.3.3 Iseorganiseeruvad närvivõrgud Iseorganiseeruvaks nimetatakse närvivõrku, mis on võimeline häälestada oma kaalukoefitsiente lähtudes ainult sisendvektori väärtustest. Neid närvivõrke nimetatakse ka iseõppivateks (vt. peatükk 1.4). Kõige lihtsam iseorganiseeruva süsteemi näide on Kohonen'i närvivõrk. 12
Järeldused: (u k ± vk ) = u k ± vk , (cu k ) = c u k k =0 k =0 k =0 k =0 k =0 36 Kordamine matemaatilise analüüsi I eksamiks matemaatika-informaatika teaduskonnas 04/05 õ.a Monotoonse jada koonduvus Teoreem: Monotoonne jada on koonduv parajasti siis, kui ta on tõkestatud. Tõestus: Tõestame teoreemi monotoonselt kasvava jada korral. Jada (u n ) on monotoonselt kasvav, s.t. u n +1 u n n N . Jada (u n ) on tõkestatud, s.t. M R nii, et u n < M n N . Î Olgu monotoonne jada koonduv, s.t. lim u n = 0 . n Kuna iga piirväärtust omav suurus on tõkestatud, siis M > 0 nii, et u n M n N .
läbivad MET (mesenhümaal-epiteliaalse transitsiooni) moodustub neuroepiteel, mille keskele tekib valendik ja moodustub neuraaltoru Lindudel toimub sekundaarne neurulatsioon alates jalgadest tahapoole, imetajatel sabas (alates ristluulüli piirkonnast), kaladel/amfiibidel sabapiirkond, süstikkalal ainult primaarne neurulatsioon Konvergentne neurulatsioon Rakud interkaleeruvad üksteisega konvergeerudes (koonduvus) pikiteljel, mistõttu kudede laius väheneb ja pikkus suureneb – ekstensioon (nt neuraalplaadi pikenemine neurulatsioonil) Protsess, mil moodustuv kude korraldatakse ümber läbi rakkude liikumiste konvergeerudes (kitsendades) piki ühte telge ja pikendades piki teist telge (oluline gastrulastioonis, neurulatsioonis, organogeneesis, kehatelgede pikendamisel) Inimese neurulatsioon Embrüo peapoolne osa areneb kiiremini kui sabapoolne piirkond,
Kuna iga x korral kehtib v~orratus sin x 1 2 x2 x ja integraal 1 dxx2 koondub, siis teoreem 5.5 p~ ohjal integraal 1 sinxxdx dx 2 koondub. Teoreemi 5.6 p~ohjal j¨areldub sellest omakorda integraali 1 sinxxdx 2 koonduvus. P¨aratud integraalid katkevatest funktsioonidest. §5.5 toodud m¨a¨aratud integraali definitsioonis eeldasime, et f on pidev l~oigul [a, b]. Vaatleme n¨ uu ¨d juhtu, kui f on katkev. Kui f -l on katkevuspunktid l~oigul [a, b], siis selle funkt- siooni integraalsumma ei tarvitse omada l~oplikku piirv¨a¨artust, seega ei eksisteeri b
2 x2 x sin xdx ja integraal 1 dx x2 koondub, siis teoreem 5.5 p~ ohjal integraal 1 x2 dx sin xdx koondub. Teoreemi 5.6 p~ohjal j¨areldub sellest omakorda integraali 1 x2 koonduvus. P¨aratud integraalid katkevatest funktsioonidest. §5.5 toodud m¨a¨aratud integraali definitsioonis eeldasime, et f on pidev l~oigul [a, b]. Vaatleme n¨ uu ¨d juhtu, kui f on katkev. Kui f -l on katkevuspunktid l~oigul [a, b], siis selle funkt- siooni integraalsumma ei tarvitse omada l~oplikku piirv¨a¨artust, seega ei eksisteeri b
osad nii nagu neuronid on närvisüsteemi funktsioneerivad osad. Inimeste ajud planeedil Maa loovad ühe suure terviku tsivilisatsiooni. Ajud moodustavad kokku ühe suure aju ja nad kõik on ka omavahel ühenduses. 2 Loome protsessid ajus 2.1 Närvisüsteemi ontogenees Enamasti ilmnevad loovus ja intelligentsus üheskoos, kuid siiski üks neist ei pruugi teisest tuleneda. Mõtlemisviisi iseloomustab väga intelligentsetel inimestel sageli just koonduvus. Nende probleemide lahendamised toimuvad läbi keeruliste analüüside. Nad järgivad mustreid, mis on sageli läbi proovitud. Kuid loovate inimeste mõtlemisviisi iseloomustab hargnevus. Niimoodi töötades toimuvad ajus assotsiatiivsed protsessid. Sellesse on kaasatud ka inimese emotsioonid. Sageli sünnivad mittetraditsioonilised ideed. ( GEO, 28-37 ). Kuid mingisugust intelligentsuse piirkonda ( keskust ) ajus ei eksisteeri. See tuleneb hoopis aju
osad nii nagu neuronid on närvisüsteemi funktsioneerivad osad. Inimeste ajud planeedil Maa loovad ühe suure terviku tsivilisatsiooni. Ajud moodustavad kokku ühe suure aju ja nad kõik on ka omavahel ühenduses. 2 Loome protsessid ajus 2.1 Närvisüsteemi ontogenees Enamasti ilmnevad loovus ja intelligentsus üheskoos, kuid siiski üks neist ei pruugi teisest tuleneda. Mõtlemisviisi iseloomustab väga intelligentsetel inimestel sageli just koonduvus. Nende probleemide lahendamised toimuvad läbi keeruliste analüüside. Nad järgivad mustreid, mis on sageli läbi proovitud. Kuid loovate inimeste mõtlemisviisi iseloomustab hargnevus. Niimoodi töötades toimuvad ajus assotsiatiivsed protsessid. Sellesse on kaasatud ka inimese emotsioonid. Sageli sünnivad mittetraditsioonilised ideed. Kuid mingisugust intelligentsuse piirkonda ( keskust ) ajus ei eksisteeri. See tuleneb hoopis aju paljude piirkondade omavahelisest komplekssest suhtlemisest
osad nii nagu neuronid on närvisüsteemi funktsioneerivad osad. Inimeste ajud planeedil Maa loovad ühe suure terviku – tsivilisatsiooni. Ajud moodustavad kokku ühe suure aju ja nad kõik on ka omavahel ühenduses. 2 Loome protsessid ajus 2.1 Närvisüsteemi ontogenees Enamasti ilmnevad loovus ja intelligentsus üheskoos, kuid siiski üks neist ei pruugi teisest tuleneda. Mõtlemisviisi iseloomustab väga intelligentsetel inimestel sageli just koonduvus. Nende probleemide lahendamised toimuvad läbi keeruliste analüüside. Nad järgivad mustreid, mis on sageli läbi proovitud. Kuid loovate inimeste mõtlemisviisi iseloomustab hargnevus. Niimoodi töötades toimuvad ajus assotsiatiivsed protsessid. Sellesse on kaasatud ka inimese emotsioonid. Sageli sünnivad mittetraditsioonilised ideed. ( GEO, 28-37 ). Kuid mingisugust intelligentsuse piirkonda ( keskust ) ajus ei eksisteeri. See tuleneb hoopis aju
annaabi.ee 
