Õiged lahendused 1. Ettevõttes puudus augustikuus 8% töölistest , toodangu maht oli 180 000 kr. Kui suur oleks toodangu maht olnud , kui töölt oleks puudunud 2% töölistest? 100% - 8% = 92 % ( alguses kui puudus 8% töölistest , siis 92 % oli tööl) 100% - 2% = 98% (teisel juhul puudus 2% ja tööl oli 98% töölistest ) 92% - 180 000 ( tehakse ristkorrutis leidmaks summat , mida teeniti siis kui tööl 98% - X oli 98 % töölistest) X = ( 98 *180 000 ) : 92 = 191 739 , kr Vastus: kui töölt puudus 2 % , siis oli toodangu maht 191 739 , kr 2. Eestisse imporditakse sõiduautosid impordihinnaga 230 000 kr auto kohta. Kui palju maksab auto eest ostja , kui tollimaks on 15 % , aktsiisimaks on 8% , kaubanduslik juurdehindlus on 22% ja käibemaks on 18% eelnevast hinnast? · 230 000 + 15% + 8% = 230 000 + 0,15*230 000 + 0,08*230 000 = 282 900 kr ( leitakse hinnad millele on lisatud tollimaks ja aktsiisimaks alat...
FUNKTSIOONI PIIRVÄÄRTUS Funktsiooni piirväärtuse mõiste, tehetega seotud omadused, ühepoolsed piirväärtused Piirväärtuse mõiste · Arvu A nim funktsiooni y = f(x) piirväärtuseks kohal a ja kirjutatakse lim () = , kui f(x)A niipea kui xa. (loe: kui f(x) läheneb A-le niipea kui x läheneb a-le) · Piltlikult öeldes on arv A funktsiooni y = f(x) piirväärtuseks kohal a, kui funktsiooni y = f(x) väärtused tulevad arvule A kuitahes lähedale, kui
Maatriksvõrrand. 9) Funktsiooni piirväärtus. Ühepoolsed piirväärtused. 10) Funktsiooni pidevus ja katkevus. Esineb esimest ja teist liiki katkevusi kui on tegu mingi arvuga siis on esimest järku, kui lõpmatusega siis teist järku. 11) Funktsiooni tuletise mõiste. Lõikaja ja puutuja tõus. Lõikaja ja puutuja tõusud ja sellised asjd, blah, ei viici otsida seda. Loodan, et ei küsita mult :D 12) Funktsiooni tuletise füüsikaline tähendus. 13) Tuletise tehetega seotud omadused. 14) Elementaarfunktsioonide tuletised. 15) Tuletis kui funktsiooni muutumise kiirus. Protsentuaalne muutumise kiirus. Kaevake vihikutes, praxis sai tehtud seda jama küll =) 16) Funktsiooni diferentsiaal. 17) Diferentsiaali kasutamine ligikaudses arvutuses. 18) Liitfunktsiooni ja pöördfunktsiooni tuletis Paras vikat osa, kes saab aru see saab, kes ei.. njah :D suht porno teema (get it? Hah! :D) 19) Ilmutamata funktsiooni tuletis.
+MILLINE ÕPPIJA MA OLEN? Milline õppija ma olen? See küsimus paneb mind mõtlema. Minu, kui õppija eesmärgiks on lõpetada gümnaasium ja minna edasi õppima oma unistuste eriala. Et seda saavutada, pean ma õppimise juures kõige tähtsamaks kolme punkti, mida ma alati meeles pean : kohusetundlikkus, eesmärgid ja tahe. Õppijana olen kohusetundlik. Üritan alati vajalikud hindelised tööd ja kodused ülesanded ära teha. Kohusetundlikus on omadus, mis igal õppijal peaks olema. See viib edasi ja arendab oskust iseseisvalt tööd teha. Pean õppimise juures oluliseks detailidesse süvenemist. Näiteks võin tuua näiteks matemaatika ülesande lahendamise, et tehte vastus kätte saada, tuleb tähelepanu pöörata ka väikestele detailidele ja reeglitele, olgu selleks reegliks kas või ,,miinusmärk sulu ees muudab märgi sulu sees" või klassikaline ,,korrutan, jagan, liidan, lahutan" , ilma sellistele detailidele mõtlemata on võimatu tulemus saavutada. Tuleb tähe...
Klassid, täielikud süsteemid, baasid Mis on jääkfunktsioon? Millest oleneb jääkfunktsioonid muutujate arv? Jääkfunktsioon on funktsioon, kus avaldises on osad tema muutujad asendatud konstantidega 0 või 1.Muutujate arv oleneb sellest, kui mitu muutujat on asendatud konstantidega. Mis on shannoni arendus? Millised liigid on olemas? Shannoni arendus on loogikaavaldise üks erikuju. On olemas 2 liiki, disjunktiivne arendus ja konjuktiivne arendus. Milline loogikaavaldis on täieliku shannoni arenduse tulemuseks? Alles ei jää mitte ühtegi muutujat xi, ehk jääkfunksioon väärtustub konstandiks 0 või 1. Millistesse klassidesse loogikafunktsioonid liigituvad? Kuidas igat klassi tähistatakse? Milline on klassi kuuluvuse tunnus iga konkreetse klassi jaoks? Vt tähiseid, tunnuseid jn lk 272-273 Millist tingimust täitev 2-muutuja loogikafunktsioon on lineaarne? Kui f(00)+f(01)+f(10)=f(11) Mis on loogikafunktsiooni süsteem? Loogikafunktsioonide s...
leidub arvu a ümbrus, mis kuulub hulka X*Arv a on hulga X rajapunkt, kui arvu a Osajada- iga jada, mis saadakse jadast mingi lõpliku või lõpmatu hulga jada igas ümbruses leidub nii hulga X punkt, kui ka neid punkte, mis ei kuulu hulka X elementide väljajätmisel, nim selle jada osajadaks 4. Funktsiooni mõiste. Määramispiirkond. Muutumispiirkond. Funktsiooni graafik. 14. Tõestada jada piirväärtuse aritmeetiliste tehetega seotud omadused. Funktsiooni mõiste: Kui hulga X igale elemendile x on mingi eeskirja abil 15. Tõestada jada piirväärtuse omadused vastavusse seatud üks kindel element y hulgast Y, siis öeldakse, et hulgal X on V:1)Konstantse jada piirväärtuseks on see constant, sest Xn=c -> Xn->c defineeritud funktsioon f ja kirjutatakse y=f(x). Tõestus: Määramispiirkond. Hulka X nimetatakse funktsiooni f määramispiirkonnaks
· Meie näites esimene pakutud lausetest on tõene, järelikult teoreem. Teine aga mitte. Järelikult pole tegemist teineteise pöördteoreemidega. Operatsioonid, omadused 1. Naturaalarvude hulga omadused- · On järjestatud · Leiab aset vahetu järgnevus · Ei ole tihe · Ei ole pidev · Ei ole kinnine lahutamise ja jagamise suhtes · Tehetega seotud omadused kehtivad 2. Täisarvude hulga omadused- · On järjestatud · Leiab aset vahetu järgnevus · Ei ole tihe · Ei ole pidev · Ei ole kinnine jagamise suhtes · Tehetega seotud omadused kehtivad 3. Ratsionaalarvude hulga omadused- · On järjestatud · Vahetu järgnevuse omadust pole · On tihe (Aritmeetiline keskmine) · Ei ole pidev
kus on täisarvude hulk, on naturaalarvude hulk (v.a. null) ja on ratsionaalarvude hulk. Igal ratsionaalarvul on ka lõpmatu kümnendarendus ja see on alati perioodiline. Näiteks 2¾ = 11/4 = 2,7500000.... või 2,7499999... ja 0 = 0/1 = 0,00000... on ratsionaalarvud. Ratsionaalarvu vastandarvuks nimetatakse ratsionaalarvu ning pöördarvuks ratsionaalarvu . Kõikide ratsionaalarvude hulk moodustab oma aritmeetiliste tehetega "+" ja "×" korpuse (ratsionaalarvude korpuse), mis on reaalarvude korpuse R alamkorpus ning on kõige kitsam arvukorpus. RATSIONAALARVUDE HULK Q 1. On järjestatud lõpmatu hulk, milles puudub nii vähim kui ka suurim arv; 2. On tihe arvuhulk, s.t. iga kahe ratsionaalarvu vahel paikneb alati veel ratsionaalarve. Ka need arvud ei kata kogu arvtelge; 3. On hulk, mis on kinnine liitmise, lahutamise, korrutamise ja nullist erineva arvuga jagamise suhtes. Täisarvud
asemel tuleb kasutada parseInt() ja parseFloat() funktsioone LITERAALID. · Literaal on lihtne väärtuse definitsioon Täisarvud · 8-nd süsteemis: 045, 02 · 10-nd süsteemis: 123, 8873 · 16-nd süsteemis: 0x01, 0x5F, 0XAC Ujukomaarvud: 7.2134, 2E3 Stringid: "test", '124', "" Boolean: true, false NULL NaN OMISTAMINE. Lihtne omistamine. Tehtega omistamine. Omistamine Lihtne omistamine (=) Tehetega omistamine · Liida/lahuta ja omista: +=, -= · Korruta/jaga ja omista: *=, /= · Mooduli võtmine ja omistamine: %= x = 5; x saab väärtuseks 5 x += 15; x saab väärtuseks 5 + 15 = 20 x = -x; x saab väärtuseks -20 ARITMEETILISED TEHTED. Lihtaritmeetika. Unaararitmeetika. · Aritmeetika Lihtaritmeetika · Liitmine/lahutamine: +, - · Korrutamine/jagamine: *, /
Uuemates versioonides stringi arvule omistada ei saa (2 + "10") selle asemel tuleb kasutada parseInt() ja parseFloat() funktsioone LITERAALID Literaal on lihtne väärtuse definitsioon Täisarvud · 8-nd süsteemis: 045, 02 · 10-nd süsteemis: 123, 8873 · 16-nd süsteemis: 0x01, 0x5F, 0XAC Ujukomaarvud: 7.2134, 2E3 Stringid: "test", '124', "" Boolean: true, false NULL NaN OMISTAMINE Omistamine Meelis Jander A-08 Lihtne omistamine (=) Tehetega omistamine · Liida/lahuta ja omista: +=, -= · Korruta/jaga ja omista: *=, /= · Mooduli võtmine ja omistamine: %= x = 5; x saab väärtuseks 5 x += 15; x saab väärtuseks 5 + 15 = 20 x = -x; x saab väärtuseks -20 ARITMEETILISED TEHTED Lihtaritmeetika · Liitmine/lahutamine: +, - · Korrutamine/jagamine: *, / · Mooduli võtmine: % Unaararitmeetika · Väärtuse suurendamine 1 võrra: ++ · Väärtsuse vähendamine 1 võrra: -- x = 5; x saab väärtuseks 5
.............7 8. Pöördfunktsiooni mõiste; pöördfunktsiooni määramis- ja muutumispiirkond. Tuua näiteid. .....7 9. Muutuva suuruse piirväärtus, tõkestamatult kasvav ja tõkestamatult kahanev suurus. ...............8 10. Funktsiooni piirväärtus. Funktsiooni vasak- ja parempoolne piirväärtus. .................................9 11. Tõkestamatult kasvav funktsioon, tõkestamatult vähenev funktsioon. ................................... 10 12. Funktsiooni piirväärtuse aritmeetiliste tehetega seotud omadused. ........................................ 10 13. Funktsiooni pidevus antud punktis, funktsiooni ühepoolne pidevus, piirkonnas pidev funktsioon. Tuua näiteid. ............................................................................................................... 11 14. Katkev funktsioon, esimest liiki katkevus, esimest liiki katkevuspunktide jaotus, teist liiki ..11 katkevuspunktid. Tuua näiteid. ..........................................................................
Paarituarv puhul võib ära jätta kõik peale ühe konstant ühe, mis jääb avaldisse. Milline on tulemus paaris ja paaritu arvu muutujate x kokkuliitmisel tehtega summa mooduliga 2? Paarisarv muutujaid x juurde liites võib nad samuti lihtsalt ära jätta. Paaritu arv puhul jääb järele üks, nagu konstant 1 puhul. Milline on tulemus muutuja x ja tema inversiooni kokkuliitmisel tehtega summa mooduliga 2? tulemuseks on konstant 1 Millal võib DNKs asendada kõik disjunktsioonitehted tehetega summa mooduliga 2? Kui disjunktsioonitehte operandidest on väärtusega 1 paaritu arv operande, siis võib sellises avaldises asendada kõik disjunktsioonitehted tehtega + Kuidas saab mittetäieliku DNK või KNK teisendada täielikuks? Saab teisendada täielikuks kasutades kleepimisseaduseid. Vt näiteid lk 186, kleepimisseadused leiab loogikaalgebra põhiseaduste teema alt. Kumb normaalkuju DNK või KNK on praktikas olulisem? DNK on olulisem.
Selline tähistus y' on pärit prantsuse matemaatikult Lagrange'ilt, kasutatakse ka pikemat tähistust , dx dx viimast soovitas saksa matemaatik Leibniz. See esitusviis on küll ülevaatlikum, kuid lühiduse tõttu kasutame enamasti esimest tähistust. 13. Nimetage diferentseerimise reeglid seoses aritmeetilise tehetega. Olgu y=f(x) ja y=g(x) diferentseeruvad funktsioonid, siis ( )] ( ) ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ] ( )] ( ) 14
Moolimurd mlahusti 249 g nlahusti = = = 13,83 mol M H 2O 18 g / mol naine 0, 0707 mol 0, 0707 mol Cx = = = = 0, 005 naine + nlahusti 0, 0707 mol + 13,83 mol 13,9007 mol Normaalsus Toimub reaktsioon NaCl + H 2O NaOH + HCl Naatriumkloriid on suhtes ühe vesinikuga. Järgnvate tehetega leian lahuse normaalse kontsentratsiooni. M 58,5 ENaCl = NaCl = = 58,5 ( g / g - ekv ) 1 1 m 4,138 nNaCl = NaCl = = 0, 0707 g - ekv ENaCl 58,5 nNaCl 0, 0707 g - ekv Cn = = = 0, 2828 Vlahus 0, 25 dm3 Tihedus 252,5 g = 3 = 1010 g / dm3 0, 25 dm
Funktsiooni tuletis (jätk) - + sin - sin = 2 sin cos 2 2 Funktsiooni y = sin x tuletis Teoreem: Funktsiooni y = sin x tuletis on cos x. x + x - x x + x + x Tõestus: y = sin( x + x) - sin x = 2 sin cos 2 2 x x = 2 sin cos x + 2 2 x x x 2 sin cos x + sin y 2 2 2 cos x + x = = x x x 2 2 1 ...
Reaalarvude a ja c korral kehtib võrratus |a| ≤ c parajasti siis, kui −c ≤ a ≤ c Tarvilikkus. Eeldame, et |a| ≤ c, ja veendume, et siis −c ≤ a ≤ c. Tõepoolest, kui |a| ≤ c, siis a ≤ max {a,−a} = |a| ≤ c ja −a ≤ max {a,−a} = |a| ≤ c, mis tingimuse ** kohaselt tähendab, et −c ≤ a. Kokkuvõttes −c ≤ a ≤ c. Piisavus. Nüüd eeldame, et −c ≤ a ≤ c, siis −a ≤ c , mistõttu |a| = max {a,−a} ≤ c. Lause on tõestatud Absoluutväärtuse tehetega seotud omadused: Reaalarvude a ja b puhul kehtivad järgmised väited: (a) |a + b| ≤ |a| + |b| (absoluutväärtuse kolmnurgaomadus), (b) |a − b| ≤ |a| + |b|, (c) ||a| − |b|| ≤ |a − b|, (d) |ab| = |a| |b|. ** - võrratused a < b ning −b < −a on samaväärsed 5. Intervallid Esitada intervallide definitsioon - Intervalliks nimetatakse sellist alamhulka X ⊂ R, millel on järgmine omadus: kui a, b ∈ X ja a < x < b, siis x ∈ X.
Ühepoolsete piirväärtuste tähistused lim ¿ x→ a=L lim ¿ x →a f ( x )=L on olemas ainult siis, kui lim ¿ x →a f ( x )=¿ Piirväärtus ¿ ¿ L1 nimetatakse funktsiooni f(x) parempoolseks piirväärtuseks L2 nimetatakse funktsiooni f(x) vasakpoolseks piirväärtuseks 8. Piirväärtuste tehetega seotud omadused ja tähtsad piirväärtused. 1. kui c on konstant, siis lim [cf(x)] = c[lim f(x)] s.t 2. lim [f(x) ± g(x)]= lim f(x) ± lim g(x) 3. lim[f(x) · g(x)] = lim f(x) · lim g(x) 4. lim f(x) /g(x) = lim f(x) /lim g(x), eeldusel et lim g(x)≠0 5. Iga konstandi c korral lim c= c 6. lim x→a x = a Tähtsad piirväärtused: 9. Teoreeme piirväärtuste kohta (Teoreem 1 koos tõestusega).
ühepoolsed piirväärtused nimetatakse 1. Liiki katkevuspunktiks, iga ülejäänud katkevuspunkti aga 2. Liiki katkevuspunktiks. Esimest liiki katkevuspunktide jaotus 1) hüppekoht 2) kõrvaldatav katkevuskoht 3) koht a, mille korral leiduvad lim f ( x ) lim f ( x) f (a) xa ja f (a ) , kuid x a Teist liiki katkevuspunkt Arvu a nimetatakse funktsiooni y = f (x) teist liiki katkevuspunktiks, kui või on lõppmatu 5. Pidevate funktsioonide aritmeetiliste tehetega seotud omadused. Liitfunktsiooni pidevus. Tuua näiteid. Teoreem: Olgu f (x) ja g (x) pidevad funktsioonid kohal a, siis ka funktsioonid f ( x) f ( x ) + g ( x ), f ( x ) - g ( x ), f ( x ) * g ( x ), g ( x) on pidevad kohal a, kusjuures jagatise korral eeldame, et g(a) 0. NT: Funktsioon y = 2 x - e on pidev piirkonnas R, sest 2 x u = 2,
Muutuva suuruse x kohta öeldakse, et ta on järjestatud, 10.Funktsiooni piirväärtuste omadused, mis on seotud aritmeetiliste muutuja, määramispiirkond ja väärtuste hulk. Arkusfunktsioonid ja nende seosed trigonomeetriliste tehetega. Liitfunktsiooni piirväärtuse valem. Funktsiooni esitamine tabelina ja analüütiliselt. kui tema väärstustest on moodustunud järjestatud hulk, funktsioonide ahenditega. Funktsiooni graafiku mõiste. Graafiku omadused
Olgu antud funktsioon y = f ( x ) , x X ja olgu a X . Funktsiooni pidevus antud punktis Funktsiooni f nimetatakse pidevaks punktis a, kui lim f ( x ) = f ( a ) . Kui x a funktsioon f on pidev piirkonna X igas punktis, siis öeldakse, et funktsioon f on pidev piirkonnas X. Antud hulgal Kõikjal 10. Funktsiooni tuletis. Pidevus ja diferentseeruvus. Aritmeetiliste tehetega seotud diferentseerimisreeglid ( tõestus summa korral ). y Funktsiooni tuletis Kui on olemas piirväärtus lim , siis seda piirväärtust nimetatakse funktsiooni f x 0 x tuletiseks punktis x ja märgitakse sümbolitega: dy df ( x ) y = f ( x ) = = = y x = f x = y = f ( x )
¿ f ( x )=¿ lim f ( x )=L x →a b. Teoreem : Piirväärtus f ¿ on olemas parajasti siis, kui lim ¿ lim ¿ x→a x→ a 8. Piirväärtuste tehetega seotus omadused: a. Eeldame, et kõik paremal pool olevad piirväärtused eksisteerivad. i. Kui c on konstant, siis lim[cf(x)] = c[lim f(x)] s. t ii. lim[f(x) ± g(x)] = lim f(x) ± lim g(x) iii. lim[f(x) ∙ g(x)] = lim f(x) ∙ lim g(x) iv. lim f(x)/g(x)= lim f(x)/lim g(x), eeldusel et lim g(x) ≠ 0 v. Iga konstandi c korral lim c = c
Muutuvat suurust nim lõpmatult kasvavaks, kui lim||=. Lõpmatult kahanevate ja kasvavate suuruste vahel eksisteerib lihtne seos.Nimelt on nad teineteise pöördarvud. Teoreem lõpmatult kahaneva ja kasvava suuruse omavaheline seos : Suurus on lõpmatult kahanev siis ja ainult siis, kui suurus on lõpmatult kasvav. Tõkestatud suuruse def. : *0 10. Funktsiooni piirväärtuste omadused, mis on seotud aritmeetiliste tehetega. Liitfunktsiooni piirväärtuse valem: 11. Lõpmatult kahanevate suuruste võrdlemine: 1. Kui eksisteerib lõplik nullist erinev piirväärtus , siis nimetatakse suurusi ja sama järku lõpmatult kahanevateks suurusteks. 2. Kui = 1, siis nimetatakse suurusi ja ekvivalentseteks lõpmatult kahanevateks suurusteks märkides seda kujul ~ . 3. Kui = 0, siis nimetatakse suurust kõrgemat järku lõpmatult kahanevaks suuruseks suhtes. Lõpmatult kasvavate suuruste võrdlemine:
1. Sissejuhatus: 1.1. Mis on loogiline programmeerimine? l Programmeerimise paradigma l loogiline (LP) l funktsionaalne (FP) l jt Fookus: MIDA ARVUTADA l LP ja FP on deklaratiivsed programmeerimisstiilid; l LP põhineb loogika printsiipidel ja kasutab automaattõestamise protseduure (resolutsioon, unifitseerimine); l LP keel on Prolog, kuid LP ≠ Prolog; 1.1. Mis on loogiline programmeerimine? (2) l LP sobib tehisintellekti rakenduste programmeerimiseks: l loomuliku keele analüüs ( DCG grammatikareeglid) l ekspertsüsteemid (otsingu- ja järeldusreeglid) l kujundituvastus (tuvastusreeglid) l kitsendustega planeerimine (logistika, marsruudi otsimine) l rekursiivsete funktsioonide püsipunkti arvutus l jne l LP ei sobi: l Kiired numbrilised arvutused (n. maatriksarvutused, võrrandid) l OOP (kuigi on toetatud mõnes prologis) l kasu...
ja y = arccot x. Elementaarfunktsiooni definitsioon: Elementaarfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis on saadud põhilistest elementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete (so liitmiste, lahutamiste, korrutamiste, jagamiste) ja liitfunktsioonide moodustamise teel. Näiteid elementaarfunktsioonide kohta: elementaarfunktsioon y = 5+7 tan x- ex? cos x on moodustatud põhilistest elementaarfunktsioonidest y = 5, y = 7, y = tan x, y = ex ja y = cos x lõpliku arvu aritmeetiliste tehetega. Polünoom ja ratsionaalfunktsioon: Elementaarfunktsioonide hulka kuuluvad ka polünoomid ja ratsionaalfunktsioonid. n- astme polünoom on defineeritud avaldisega P(x) = a0 + a1x + a2x2 + . . . + an-1xn-1 + anxn , kus a0, a1, a2, . . . , an-1, an on konstandid ja an = 0. Ratsionaalfunktsioon on kahe polünoomi jagatis R(x) = a0 + a1x + a2x2 + . . . + an-1xn-1 + anxn b0 + b1x + b2x2 + . . . + bm-1xm-1 + bmxm .? 6
samale arvule suvalises piirprotsessis x, kus xa.(JOONIS) d. Sõnastada teoreem funktsiooni piirväärtuse olemasolu ja ühepoolsete piirväärtuste võrduse omahelise seose kohta Piirväärtus eksisteerib ainult siis, kui eksisteerivad võrdsed ühepoolsed piirväärtused ja . Peale selle, piirväärtuse korral kehtib valem 10. Funktsiooni piirväärtuste omadused, mis on seotud aritmeetiliste tehetega. Liitfunktsiooni piirväärtuse valem. a. Funktsiooni piirväärtuste omadused, mis on seotud aritmeetiliste tehetega a.i. a.ii. a.iii. a.iv. b. Liitfunktsiooni piirväärtuse valem 11. Lõpmatult kahanevad ja kasvavad suurused kui funktsioonid. Sõnastada teoreem lõpmatult kasvava ja kahaneva funktsiooni omavahelisest seosest. Tõkestatud funktsiooni definitsioon. Sõnastada teoreem lõpmatult kahaneva ja tõkestatud
samale arvule suvalises piirprotsessis , . Piirprotsessi erijuhtudel ja läheneb f(x) erinevatele arvudele. Teoreem funktsiooni piirväärtuse olemasolu ja ühepoolsete piirväärtuste võrdsuse omavahelise seose kohta: Piirväärtus eksisteerib siis ja ainult siis, kui eksisteerivad võrdsed ühepoolsed piirväärtused ja . Peale selle, piirväärtuse olemasolu korral kehtib valem . 10. Funktsiooni piirväärtuste omadused, mis on seotud aritmeetiliste tehetega Aritmeetiliste tehetega seotud omadusi: Otsesed järeldused omadustest 1 ja 2: Omadused 1 5 jäävad kehtima ka siis, kui neis esinev piirprotsess asendada ühega järgmistest piirprotsessidest: Liitfunktsiooni piirväärtuse valem ehk 6. omadus: Olgu antud kaks funktsiooni y = f(x) ja z = g(y). Kui , siis kehtib valem . Omadus 6 jääb kehtima ka siis, kui selles esinev piirprotsess asendada ühega järgmistest piirprotsessidest:
7.1 Sissejuhatus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 7.2 Algfunktsioon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 7.3 Määramata integraal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 7.4 Integraal põhilistest elementaarfunktsioonidest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 7.5 Tehetega seotud integreerimisreeglid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 7.6 Muutuja vahetamine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 7.7 Ositi integreerimine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 7.8 Ratsionaalfunktsioonide integreerimine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Piirprotsessi x a erijuhtudel x a- ja x a+ läheneb f(x) erinevatele arvudele. Funktsiooni piirväärtuse olemasolu ja ühepoolsete piirväärtuste võrdsuse seose teoreem Piirväärtus eksisteerib siis ja ainult siis, kui eksisteerivad võrdsed ühepoolsed piirväärtused ja . Peale selle, piirväärtuse olemasolu korral kehtib valem 10. Funktsiooni piirväärtuste omadused, mis on seotud aritmeetiliste tehetega. Liitfunktsiooni piirväärtuse valem. · · · · · Liitfunktsiooni arvutamise reegel: Olgu antud kaks funktsiooni y=f(x) ja z=g(y). Kui , siis kehtib valem · Sõnastada teoreem lõpmatult kasvava ja kahaneva funktsiooni omavahelisest seosest · Tõkestatud funktsiooni definitsioon. · Sõnastada teoreem lõpmatult kahaneva ja tõkestatud funktsiooni korrutisest. 12
𝒙→𝒂 12. Teoreem ühepoolsete piirväärtuste võrdumise kohta. Ühepoolsete piirväärtuste tähistused. 13. Millal piirväärtus ei eksisteeri? (Ka graafiliselt) 1) Parem- ja vasakpoolsed piirväärtused eksisteerivad, kuid ei võrdu. 2) Funktsiooni väärtused kasvavad tõkestamatult punkti a ümbruses. 3) Kui toimub funktsiooni väärtuste suur võnkumine punkti a ümbruses. 14. Piirväärtuste tehetega seotud omadused ja tähtsad piirväärtused. 15. Teoreem 1 (koos tõestusega), Teoreem 2 ja Teoreem 5 (lk 10). Teoreem 1: Kui funktsioonil f(x) on olemas piirväärtus punktis a, siis see piirväärtus on ühene. Tõestus: Oletame vastuväiteliselt, et on olemas 2 piirväärtust St lim 𝑓(𝑥) = 𝐴 𝑗𝑎 lim 𝑓(𝑥) = 𝐵 . Nüüd lahutame võrduse mõlemad pooled: 𝑥→𝑎 𝑥→𝑎 lim 𝑓(𝑥) − lim 𝑓(𝑥) = 𝐴 − 𝐵
Funktsiooni y = f(x) n-järku tuletiseks nimetatakse selle funktsiooni n − 1 - järku tuletise tuletist ja tähistatakse f(n) . Lõplikku n-järku tuletist omavat funktsiooni nimetatakse n korda diferentseeruvaks. Kui funktsioonil on olemas kõik tuletised f(n), kus n = 1, 2, 3, . . ., ja neil on lõplikud väärtused, siis nimetatakse seda funktsiooni lõpmata arv kordi diferentseeruvaks. 8. Loetleda funktsiooni tuletise arvutamise reeglid, mis on seotud aritmeetiliste tehetega. Tõestada korrutise reegel. 1. ( f +g )' =f ' + g ' 2. ( fg )' =f ' g+ fg ' f ' f ' g−fg' 3. () g = g2 4. ( Cf )' =C' f +C f ' =0 f +C f ' =C f ' , C−konstant ' ' 5. ( f −g )' =[ f + (−1 ) g ] =f ' + [ (−1 ) g ] =f ' + (−1 ) g' =f ' −g ' Korrutise reegli tõestus:
nii et wz=zw=1 9. liitmine ja korrutamine on seotud distributiivsusega, st z 1(z2 + z3) = z1z2 + z1z2; (z1 + z2)z3 = z1z3 + z2z3 z1, z2, z3 C korral Kompleksarvu algebraline kuju: z = (x; y) = (x; 0) + (0; y) = (x;0) + (y; 0)(0; 1) = x + yi; C = {x + yi | x, y R} Tuletatavad tehted: 1. vahe: z1 - z2 = z1 + (-1)*z2 2. jagatis: z1/z2 = z1 * z2-1, kui z2 0 Kompleksarvude vallas säiluvad reaalarvude vallast tuntud tehetega seotud omadused. 2. Kompleksarvu trigonomeetriline kuju. Tehted trigonomeetrilisel kujul antud kompleksarvudega. Moivre'i valem. Kompleksarvude juurimine (Tõestusega). r - arvu z moodul |z|; - arvu z argument; i - imaginaarühik r = sqrt(x2 + y2); cos = x/r; sin = y/r z = x + yi = r(x/r + yi/r) = r(cos + isin) Kompleksarvu z 0 avaldist nurga ja arvu r abil nimetatakse tema trigonomeetriliseks kujuks. Tehted trigonomeetrilisel kujul antud kompleksarvudega:
Piirprotsessi x → a erijuhtudel x → a− ja x → a+ läheneb f(x) erinevatele arvudele. Funktsiooni piirväärtuse olemasolu ja ühepoolsete piirväärtuste võrdsuse seose teoreem Piirväärtus eksisteerib siis ja ainult siis, kui eksisteerivad võrdsed ühepoolsed piirväärtused ja . Peale selle, piirväärtuse olemasolu korral kehtib valem 10. Funktsiooni piirväärtuste omadused, mis on seotud aritmeetiliste tehetega. Liitfunktsiooni piirväärtuse valem. Liitfunktsiooni arvutamise reegel: Olgu antud kaks funktsiooni y=f(x) ja z=g(y). Kui , siis kehtib valem Sõnastada teoreem lõpmatult kasvava ja kahaneva funktsiooni omavahelisest seosest Tõkestatud funktsiooni definitsioon. Sõnastada teoreem lõpmatult kahaneva ja tõkestatud funktsiooni korrutisest. 12
rimiseks. Määramata integraali definitsioonist järelduvad järgmised seosed. 1. ( f ( x) dx ) = f ( x), 2. d ( f ( x) dx) = f ( x) dx, 3. dF ( x) = F ( x) + C . Seega diferentseerimine ja integreerimine on teineteise pöördoperatsioonid(konstantse liidetava täpsusega). Funktsioonil f on määramata integraal parajasti siis, kui sellel funktsioonil on olemas algfunktsioon. Igal vahemikus (a,b) pideval funktsioonil on algfunktsioon selles vahemikus. 2. Tehetega seotud integreerimisreeglid Teoreem 21. Kui on olemas integraalid f ( x )dx ja g ( x ) dx , siis kõikide , R korral on olemas integraal [f ( x) + g ( x)] dx , b b [f ( x) + g ( x)] dx = f ( x)dx + g ( x) dx. a a §7 MÄÄRATUD INTEGRAAL 1. Määratud (Newton-Leibnizi) integraal Olgu funktsioonil f olemas algfunktsioon F lõigus [a,b], st F´(x) = f (x) iga x [a,b] korral
· Mõistete õpetamine · Harjutada! 3.alatüüp: Visuaalruumiline · Raskused arvude ruumilise paigutamisega · Raskused numbrite järjestamisel (kümnendkohad) · Tehete ebaõige paigutus (liitmine, korrutamine) · Arengulised iseärasused pole selged · Seotud parema ajupoolkeraga · Harva kattuv lugemisraskustega · Mida teha? · Ruumilises asetuses olulise info jaoks kasuta abivahendeid · Kasuta selgitust · Raskused laenamisega tehetega · <---------- · 47 · + 98 · /100/10/ 1 / · Sajalised kümnelised ühelised
x->a , kus xa, läheneb funktsiooni graafiku jooksev punkt P =(x,f(x)) punktile A =(a,b ). Teoreem funktsiooni pv olemasolu ja ühepoolsete pv võrdsuse omavahelise seose kohta. Piirväärtus lim f(x) eksisteerib siis ja ainult siis, kui eksisteerivad võrdsed ühepoolsed piirväärtused lim f(x) ja lim f(x). Peale selle, piirväärtuse lim f(x) olemasolu korral kehtib valem lim f(x)=lim f(x)=lim f(x) 10. Funktsiooni piirväärtuste omadused, mis on seotud aritmeetiliste tehetega: Liitfunktsiooni piirväärtuse valem : lim g[f(x)]=lim g(y) 11. Vaatleme muutujat x sõltuvat funktsiooni (x) piirprotsessis x->a. Def. Funktsioon (x) on lõpmatult kahanev ehk lõpmatult väike piirprotsessis x->a, kui lim (x)->0. Def. Funktsioon (x) on lõpmatult kasvav piirprotsessis x->a, kui lim |(x)|->. Kehtivad ka x->a , x->a , x-> ja x->- korral. Teoreem lõpmatult kasvava ja kahaneva funktsiooni omavahelisest seosest.
x->a , kus xa, läheneb funktsiooni graafiku jooksev punkt P =(x,f(x)) punktile A =(a,b ). Teoreem funktsiooni pv olemasolu ja ühepoolsete pv võrdsuse omavahelise seose kohta. Piirväärtus lim f(x) eksisteerib siis ja ainult siis, kui eksisteerivad võrdsed ühepoolsed piirväärtused lim f(x) ja lim f(x). Peale selle, piirväärtuse lim f(x) olemasolu korral kehtib valem lim f(x)=lim f(x)=lim f(x) 10. Funktsiooni piirväärtuste omadused, mis on seotud aritmeetiliste tehetega: Liitfunktsiooni piirväärtuse valem : lim g[f(x)]=lim g(y) 11. Vaatleme muutujat x sõltuvat funktsiooni (x) piirprotsessis x->a. Def. Funktsioon (x) on lõpmatult kahanev ehk lõpmatult väike piirprotsessis x->a, kui lim (x)->0. Def. Funktsioon (x) on lõpmatult kasvav piirprotsessis x->a, kui lim |(x)|->. Kehtivad ka x->a , x->a , x-> ja x->- korral. Teoreem lõpmatult kasvava ja kahaneva funktsiooni omavahelisest seosest.
Millistel tingimustel on sirge y = b joone y = f(x) horisontaalasümptoot? (lk 13) Sirge x = a on joone y = f(x) vertikaalasümptoot, kui piirprotsessis x → a − või x → a + funktsiooni väärtus f(x) läheneb kas pluss või miinus lõpmatusele. Sirge y = b on joone y = f(x) horisontaalasümptoot, kui piirprotsessis x → −∞ või x → ∞ funktsiooni väärtus f(x) läheneb arvule b 16. Loetleda funktsiooni piirväärtuste omadused, mis on seotud aritmeetiliste tehetega. (lk 14) 1. limx→a [f(x) + g(x)] = limx→a f(x) + limx→a g(x), 2. limx→a [f(x)g(x)] = limx→a f(x) limx→a g(x), 3. limx→a f(x)/ g(x) = limx→a f(x) /limx→a g(x) kui limx→a g(x) ei võrdu 0 . 17. Defineerida lõpmatult kahanev suurus ja lõpmatult kasvav suurus. (lk 14) Funktsiooni f(x) nimetatakse lõpmatult kahanevaks ehk lõpmatult väikeseks suuruseks protsessis x → a, kui limx→a f(x) = 0
A ∩ (BC) = (A ∩B) (A∩ C), A∩ (BΔ C ) = (A∩ B) Δ (A∩ C ). o 2. Neelduvuse seadused A∪ (A∩ B) = A, A∩ (A∪ B) = A. o 3. De Morgani seadused (A ∩ B)’ = A’∪ B’, (A ∪ B)’ = A’∩ B’ o 4. Vahe ja sümmeetriline vahe avalduvad ühisosa, ühendi ja täiendi kaudu: AB = A∩ B’, AΔB = A∩ B’ ∪ B∩ A’ o 5. Vahe seosed teiste tehetega: AB = A (A∩ B), A∪ B = A∪ (B A), (AB)C = A(B∪ C). o 6. Sümmeetriline vahe avaldub sümmeetriliselt A ja B suhtes: AΔ B = (A∪ B) (A∩ B] 16. Hulkade otsekorrutis. Otseaste. Otsekorrutise omadused [3, 4, 5] Hulkade otsekorrutis 13 o DEF: Hulkade A ja B otsekorrutiseks e. Descartes’i korrutiseks nimetatakse hulka A × B,
Sõnastada teoreem funktsiooni piirväärtuse olemasolu ja ühepoolsete piirväärtuste võrdsuse omavahelise seose kohta. Piirväärtus lim xa f(x) eksisteerib siis ja ainult siis, kui eksisteerivad võrdsed ühepoolsed piirväärtused lim xa- f(x) ja lim xa+ f(x). Peale selle, piirväärtuse lim xa f(x) olemasolu korral kehtib valem: lim xa f(x) = lim xa- f(x) = lim xa+ f(x). 10. Funktsiooni piirväärtuste omadused, mis on seotud aritmeetiliste tehetega. 1. lim xa [f(x) + g(x)] = lim xa f(x) + lim xa g(x), 2. lim xa [f(x)g(x)] = lim xa f(x) lim xa g(x), 3. lim xa f(x) g(x)=lim xa f(x) lim xa g(x) kui lim xa g(x)ei võrdu 0. 4. lim xa [Cf(x)] = lim xa C lim xa f(x) = C lim xa f(x), C - konstant, 5. lim xa [f(x) - g(x)] = lim xa [f(x) + (-1)g(x)] = lim xa f(x) + lim xa [(-1)g(x)] = lim xa f(x) + (-1) lim xa g(x) = lim xa f(x) - lim xa g(x). Liitfunktsiooni piirväärtuse valem. Olgu antud kaks funktsiooni y = f(x) ja z = g(y)
Teoreem 3.1.) Seos. Kui funktsioon y = f(x) on diferentseeruv punktis x, siis on ta selles punktis pidev. Kuid funktsiooni pidevust mingis punktis ei järeldu tuletise olemasolu selles punktis. Tõestus: Funktsioon on pidev, kui on täidetud järgmised tingimused: 1) a X triviaalne, kuna muidu poleks võimalik leida f(a) tuletist avaldamises. 2) f(x) f(x) = (f(x) f(a) + f(a)) = = = f'(a) · 0 + f(a) = f(a) 3) on tõestatud punktis 2. 3. Funktsiooni tuletise aritmeetiliste tehetega seotud omadused (omaduse b tõestus) Tõestus: (uv) = u(x) · v(x) (uv) = u(x + x) · v(x · x) u(x) · v(x) (uv)' = 4. Joone puutuja ja normaalsirge mõisted. Vastavate võrrandite tuletamine Joone puutuja. Joone y = f(x) puutujaks punktis A nimetatakse tema lõikaja AP piirsirget, mis tekib punkti P lähenemisel punktile A mööda joont y = f(x). Puutja võrrandiks on: y y0 = f'(x0)(x x0) Võrrandi tuletamine: Tuletame puutuja s võrrand. Kõigepealt märgime, et valemi
· Funktsiooni piirväärtuse olemasolu teoreem/ Funkts ühepoolsete piirväärtuste võrdsuse omavaheline seos Piirväärtus limxa f(x) eksisteerib siis ja ainult siis, kui eksisteerivad võrdsed ühepoolsed piirväärtused limxa f(x) ja limxa+ f(x). Peale selle kehtib piirväärtuse limxa f(x) olemasolu korral valem 11) · Funktsiooni piirväärtuste omadused, mis on seotud aritmeetiliste tehetega 1 2 3 4 5 · Liitfunktsiooni piiväärtuste valem Olgu antud kaks funktsiooni y=f(x) ja z=g(v). Kui limxa f(x)=b, siis kehtib valem 12) 13) · Lõpmatult kahanevad ja kasvavad suurused kui funktsioonid Lõpmatult kahanev ehk lõpmatult väike piirprotsessis xa, kui lim xa a(x)0 : l õpmatult kasvav piirprotsessis xa , kui lim xa |a(x)|
· Funktsiooni piirväärtuse olemasolu teoreem/ Funkts ühepoolsete piirväärtuste võrdsuse omavaheline seos Piirväärtus limxa f(x) eksisteerib siis ja ainult siis, kui eksisteerivad võrdsed ühepoolsed piirväärtused limxa f(x) ja limxa+ f(x). Peale selle kehtib piirväärtuse limxa f(x) olemasolu korral valem 11) · Funktsiooni piirväärtuste omadused, mis on seotud aritmeetiliste tehetega 1 2 3 4 5 · Liitfunktsiooni piiväärtuste valem Olgu antud kaks funktsiooni y=f(x) ja z=g(v). Kui limxa f(x)=b, siis kehtib valem 12) 13) · Lõpmatult kahanevad ja kasvavad suurused kui funktsioonid Lõpmatult kahanev ehk lõpmatult väike piirprotsessis xa, kui lim xa a(x)0 : l õpmatult kasvav piirprotsessis xa , kui lim xa |a(x)|
( . .) Teoreem 2.3. Piirväärtus lim/xa/ f(x) eksisteerib() siis ja ainult siis, kui eksisteerivad võrdsed() ühepoolsed piirväärtused lim/xa-/f(x) ja lim/xa+/f(x). Peale selle, piirväärtuse lim/xa/f(x) olemasolu korral( ) kehtib valem: limf(x)= limf(x) = limf(x) . xa xa- xa+ 10. Funktsiooni piirvaartuste omadused(), mis on seotud aritmeetiliste tehetega. ( , ) Paneme kõigepealt kirja järgmised aritmeetiliste tehetega seotud omadused: 1. lim[f(x) + g(x)] = limf(x) + lim g(x) , xa xa xa 2. lim[f(x)g(x)] = limf(x) *lim g(x) , xa xa xa 3. limf(x)g(x)=limf(x)*limg(x), kui limg(x) = 0 . xa xa xa xa Otseste järeldustena( ) omadustest 1 ja 2 saame me tuletada veel kaks omadust: 4. lim[Cf(x)] = limC limf(x) = C limf(x) , C - konstant ,
2.1 Koonduvad jadad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.1.1 Koonduvate jadade üldised omadused . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.1.2 Koonduvate jadade järjestusega seotud omadused . . . . . . . . . . . 32 2.1.3 Koonduvate jadade tehetega seotud omadused . . . . . . . . . . . . . 33 2.1.4 Tähtsad piirväärtused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.2 Koonduvuseteooria neli printsiipi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2.1 Monotoonsuseprintsiip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2.2 Bolzano–Weierstrassi teoreem . . . . . .
ja sõnad võivad olla ära vahetatud, ilma, et patsient ise sellest aru saaks. Põhjuseks on kõnest arusaamise häire. Seda sorti häire esineb Wernicke piirkonna kahjustuse puhul. 38. Arvutusvilumuste häire Düsmaatik on see kellel on arvutusvilumuste häire. Esineb arvutamisvilumuse häiret üksjagu, kuigi lugemis- ja õigekirjaoskuse häire on rohkem levinud. Häiret on võimalik avastada varakult, sest õpilastel esineb raskusi elementaarsete tehetega liitmise- lahutamisega, korrutamise-jagamisega. 39. Kiirusagara ehitus ja funktsioonid Kiirusagar ehk parietaalsagar on ajukoore osa, mis paikneb kiiruluu all. Kiirusagar vastutab objektide ruumise asetuse ja liigutuste kooskõlastamise eest. Ühtlasi hoolitseb see liigutuste õige järjekorra eest ning võimaldab samaaegselt mitme asjaga tegeleda. Kiirusagar on eest piiritletud tsentraalfissuuriga, ventraalselt Sylviuse fissuuriga, dorsaalselt vöökääru ja tagant kiiru-kukla vaoga.
kui hiir." Lapsed otsustavad, millisele diivanile tuleb istuda. Iga laps, kes istub õigele kohale, saab selle eest värvilise lillekese. Mängu lõppedes loendatakse lillekesed kokku. Võidab see võistkond, kellel on rohkem lillekesi. Sama mängu võibmängida järgmiste küsimustega: Talvel õitsevad lilled. Suvel tuleb jõuluvana. Jaanipäeval tehakse lõket. Täna on pühapäev, reede, ... Hobune sööb heina. Võrdlemises ja arvutamises saab teha tehetega, jne. ARVUTUSTE AHEL Eesmärgid: kinnistada peastarvutamise oskust, arendada mälu ja loogilist mõtlemist Osalejad: kogu rühm Vahendid: pall Mängu käik: Mängijad jaotatakse kahte võistkonda. Võistkonnad paigutatakse vastastikku istuma või seisma. Mängujuht võtab palli, nimetab mingi arvutustehte ja viskab palli ühele mängijatest. See, kellele pall visatakse, peab andma vastuse ning nimetema uue tehte ning viskama palli kellelegi teisest võistkonnast
Tehted kompleksarvudega Kahe kompleksarvu a+ib ja c+id summaks nimetatakse kompleksarvu (a+c) +i(b+d). (Näit. (2+3i)+(1-5i)=2+1+(35)i=32i ) Analoogiliselt liitmisega toimub ka lahutamine. Kahe kompleksarvu a+ib ja c+id korrutiseks nimetatakse kompleksarvu (ac-bd)+i(ad+bc). Näit. (2+3i)(1-5i)=21-3(-5)+i(2(- 5)+31)=2+15+i(-10+3)=17-7i Koos aritmeetiliste tehetega "+" (liitmine) ja "·" (korrutamine) on kompleksarvude hulk C korpus (kompleksarvude korpus), mis sisaldab reaalarvude korpust R. · Tuletis ja integraal. Tuletis on matemaatilise analüüsi üks põhimõisteid. Funktsiooni tuletis mingil kohal näitab selle funktsiooni väärtuse muutumise kiirust funktsiooni argumendi muutumisel -- täpsemalt, funktsiooni tuletis on funktsiooni väärtuse muudu
Hulk V on vektorruum üle reaalarvude hulka kui temal on defineeritud liitmine ja skalaariga korrutamine nii, et V5. )= , V6. , V7. = , V8. 1 = Definitsioon. Vektorruumi elemente nimetatakse vektoriteks. Näited: 1) Reaalarvude hulk on liitmise ja korrutamise tehte suhtes vektorruum. 2) Kompleksarvude hulk on vektorruum üle reaalarvude hulka. 3) Kõigi geomeetriliste vektorite hulk tasandil ja ruumis tavaliste tehetega on vektorruum. 4) Kõigi n-mõõtmeliste aritmeetiliste vektorite hulk on vektorruum. 5) Kõigi maatriksite hulk on vektorruum maatriksite liitmise ja skalaariga korrutamise suhtes. 6) Näide hulgast, mis pole vektorruum. Olgu V = ja defineerime tehted järgmiselt. Olgu ja , siis Antud juhul omadus V8 aksioom ei kehti, sest korral, kui , siis Seega hulk V ei ole selliste tehete suhtes vektorruum.
x x x- x Logaritmi alusel e nimetatakse naturaallogaritmiks ja t¨ahistatakse s¨ umboliga ln. Seega loge x = ln x. 40 2.6 Funktsiooni piirv¨ a¨ artuste omadused. Paneme k~oigepealt kirja j¨argmised aritmeetiliste tehetega seotud omadused: 1. lim [f (x) + g(x)] = lim f (x) + lim g(x) , xa xa xa 2. lim [f (x)g(x)] = lim f (x) lim g(x) , xa xa xa f (x) lim f (x) 3. lim = xa kui lim g(x) = 0 . xa g(x) lim g(x) xa xa Otseste j¨areldustena omadustest 1 ja 2 saame me tuletada veel kaks omadust: 4
x x x- x Logaritmi alusel e nimetatakse naturaallogaritmiks ja t¨ahistatakse s¨ umboliga ln. Seega loge x = ln x. 40 2.6 Funktsiooni piirv¨ a¨ artuste omadused. Paneme k~oigepealt kirja j¨argmised aritmeetiliste tehetega seotud omadused: 1. lim [f (x) + g(x)] = lim f (x) + lim g(x) , xa xa xa 2. lim [f (x)g(x)] = lim f (x) lim g(x) , xa xa xa f (x) lim f (x) 3. lim = xa kui lim g(x) = 0 . xa g(x) lim g(x) xa xa Otseste j¨areldustena omadustest 1 ja 2 saame me tuletada veel kaks omadust: 4
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
