1. Mis on fni määramispiirkond ja kuidas seda tähistatakse? (õpikus lk. 125) 2. Mis on fni muutumispiirkond ja kuidas seda tähistatakse? 3. Mida nim. fniks?(lk. 124) 4. Mida nim. fni nullkohtadeks? Tähis ja tingimus. 5. Mida nim. fni positiivsuspiirkonnaks? Tähis ja tingimus. 6. Mida nim. fni negatiivsuspiirkonnaks? Tähis ja tingimus. 7. Millal nim. fni vahemikus kasvavaks? 8. Millal nim. fni vahemikus kahanevaks) (lk. 134) 9. Missugust fni nim. kasvavaks? 10. Missugust fni nim. kahanevaks?(lk. 136) 11. Millal on funktsioonil kohal xe maksimum? (lk. 136) 12. Millal on fnil kohal xe miinimum? 13. Missugust fni nim. paarisfniks? (lk. 147) 14. Milline omadus iseloomustab paarisfni graafikut? 15. Missugust fni nim. paariituks? (lk147,148) 16. Milline omadus iseloomustab paaritu fni graafikut? Vastused 1. Fni määramispiirkonnaks X nimetatakse argumendi x kõigi väärtuste hulka mille korral saab f...
Paaris- ja paaritud funktsioonid Heldena Taperson www.welovemath.ee y f (x ) y f (x ) y= f(x) on paarisfunktsioon, sest f(-x) = f(x). Paarisfunktsiooni graafik on alati sümmeetriline y telje suhtes. y= f(x) on paaritu funktsioon, sest f(-x) = -f(x). Paarisfunktsiooni graafik on alati sümmeetriline koordinaatide alguspunkti suhtes. Kontrolli kas funktsioon y = f(x) = x2 3x 10 on paaris või paaritu (või pole kumbki). 1) Leia funktsiooni väärtus kohal x.
Pöördmaat leidm- Ruutmaatriksil A= ||aij|| Rn×nleidub pöördm siis, kui tema detem ei =0 Ruutm nim regulaarseks, kui tema deter ei ole null. Vastasel juhul nim ruutm singulaarseks. Funkt nim eeskirja, mis seab sõltumatu muutuja igale väärtusele vastavusse sõltuva muutuja mingi ühe väärtuse. Argument-sõltumatu muutuja. Funkt väärtus-argumendi väärt järgi leitud sõltuva muutuja vastavad väärt. Paarisfunk-rahuldab tingimust f(x)=f(-x), sümmeetriline y-telje suhtes. Paaritu-f(-x)=-f(x), 0 punkti suhtes sümmeetr. Ühene f-1le värtusele vastavusse seatud 1 väärtus nt y=2x-3. Mitmene-vastavusse seatud mitu väärtust, nt 1, vahemik 1;-1, x-le vastab y! Tuletis-funkt kasvu ja argumendi kasvu suhte piirväärtus arg muudu lähenemisel 0le. Geogr tõlgendus-f graafikule punktis P tõmmatud puutuja tõus. Füüsikaline-diferentsiaal näitab kui pika vahemaa läbib liikuv objekt selle kiirusega aja jooksul;kiirus on muutuv suurus. Diferentsiaal-korrutist f'(x)x ...
Siinusfunktsioon on paaritu funktsioon. Siinusfunktsiooni graafik on sümmeetriline koordinaatide alguspunkti suhtes. Siinusfunktsioon on perioodiline funktsioon perioodiga 2(pii). Funktsiooni y=cosx määramispiirkonnaks on kogu reaalarvude hulk R. Koosinusfunktsioon on paarisfunktsioon, graafik on sümmeetriline y-telje suhtes. Koosinusfunktsioon on perioodiline funktsioon perioodiga 2(pii). Tangensfunktsioon on paaritu funktsioon. Tangensfunktsiooni graafik on sümmeetriline koordinaatide alguspunkti suhtes. Tangensfunktsioon on perioodiline funktsioon perioodiga (pii). Arvu m arkussiinuseks nimetatakse vähimat nurka, mille siinus on m.
nimetatakse argumendi k˜oigi v¨a¨artuste hulka, mille korral see valem on m¨a¨aratud. M¨a¨aramispiirkonda t¨ahistatakse X. I Graafiliselt. Funktsiooni graafikuks nimetatakse punktihulka G = {(x,f (x))|x 2X}. Definitsioon 3 Funktsiooni f nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui iga x kuulubX korral kehtib v˜ordus f (−x) = f (x). Funktsiooni f nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui iga x kuulubX korral kehtib v˜ordus f (−x) = −f (x). Lause 1 I Kahe paarisfunktsiooni korrutis on paarisfunktsioon. I Kahe paaritu funktsiooni korrutis on paarisfunktsioon. I Paaris- ja paaritu funktsiooni korrutis on paaritu funktsioon. Definitsioon 4 Funktsiooni f (x) nimetatakse perioodiliseks, kui leidub konstant T 6= 0, et iga xkuulub X korral kui x + T kuulubX kehtib f (x + T) = f (x). V¨ahimat sellist positiivset konstanti T, juhul kui selline leidub, nimetatakse funktsiooni f perioodiks. Definitsioon 5 Funktsiooni f nimetatakse kasvavaks hulgal tyhihulkeikuulu= D X, kui iga
1. Määramispiirkond ja katkevuskohad (x-id millega saab leida y-it) 2. Kas funktsioon on: a. Paarisfunktsioon; f(-x) = f(x) ; sümeetriline (0,0) suhtes b. Paaritufunktsioon; f(-x) = -f(x) ; sümeetriline y-telje suhtes c. Perioodiline funktsioon; f(x+T)=f(x) T=periood ;siinusfunktsioon 3. Leia X0 ehk nullkohad; f(x)=0 (algneasi=0) 4. Leia X+ ja X- ehk pos-neg piirkond; a. f(x)>0 siis X+ b. f(x)<0 siis X- 5. Leia kasva/kahanemispk X ja X; a. f'(x)>0 siis X
Paaritu funktsiooni graafik on sümeetriline y=X^-2 ehk Y=1/X^2 kordinaatide alguspunkti suhtes. y=X^-3 ehk Y=1/X^3 Paarisfunktsioon Astmefunktsiooniks nimetatakse funktsioone, f(x) = f(-x) Igal kasvaval ja kahaneval funktsioonil on mida esitab valem Y= X^a Paaritufunktsioon olemas pöördfunktsioon -f(x) = f(-x)
Bernoull`i valem: Pn(x=k)=Cnk pk qn-k k-sobivad katsed n-katsete arv p-sündmuse esiletuleku tõenäosus q-vastand sündmuse tõenäosus Koonus: V= St= Sk= Ruutvõrrand x1,2= Silinder: V=Sp St=2 D0 2 erinevat lahendit Püramiid: V= S= Sk +Sp Sk=n D0 lahendid puuduvad Prisma: V=Sp S=PpõhiH D=0 2 sama lahendit Kera: V= S=4 D= x1 f xi- (xi-)2 (xi-)f Paarisfunktsioon: f(-x)=f(x) Paaritufunktsioon: f(-x)=-f(x) Tuletis: ()´= (logax)´= (lnx)`= (sinx)´=cosx (cosx)`=-sinx (tanx)`= Hajuvuskarakteristik: a3b3=(ab)(a2abb2) (ab)3=a33a2b3ab2b3 logab = c b = ac logax1x2 = logax1+logax2 logaxn = nlogax
suhe. Nurga veerand võetakse lõpphaara asukoha järgi ning on vastupäeva positiivne, päripäeva negatiivne. Taandamisvalemid võimaldavad taandada mistahes nurga radiaanideks. ja on teineteise täiendusnurgad 90°-ni, kui + = 90°. Siinusfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni y=sinx. Tegu on paarisfunktsiooniga, periood on 2. Arkussiinuseks nimetatakse funktsiooni y=arcsinx. Tegu on siinusfunktsiooni pöördväärtusega, absoluutväärtuselt vähim nurk, mille sin on x, paarisfunktsioon. Koosinusfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni y=cosx. Tegu on paarisfunktsiooniga (sümmeetriline y telje suhtes), perioodiks 2. Arkuskoosinuseks nimetatakse funktsiooni y=arccosx. Tegu on koosinusfunktsiooni pöördväärtusega, vähim positiivne nurk, mille cos on x. Tangensfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni y=tanx. Arkustangensiks nimetatakse funktsiooni y=arctanx. Tegu on tangensfunktsiooni pöördfunktsiooniga, absoluutväärtuselt vähim nurk, mille tangens on x. y sin =
FUNKTSIOONID Paarisfunktsioon: Paaritu funktsioon: Funktsioonide üldkujud: y = ax 1) X= Y= 2) X = Y = 1) 0 < a < 1 2) a > 1 y = logax 1) X= Y= 2) X = Y = 1) 0 < a < 1 2) a > 1 y = xa 1) X= Y= 2) X = Y = 1) a on paarisarv 2) a on paaritu arv y = 1 / xa 1) X= Y= 2) X = Y = 1) a on paarisarv 2) a on paaritu arv y = sin x y = cos x y = tan x Perioodide pikkused: y = sin x periood: y = cos x periood: y = tan x periood: TRIGONOMEETRIA 1 + tan2 = 1 + cot2 = sin (+) = sin (-) = cos (+) = cos(-) = tan (+) = tan (-) = sin 2 = cos 2 = tan 2 = sin /2 = cos /2 = tan /2 = Võrrandid: sin x = m x= cos x = m x= tan x = m x= Eukleidese teoreem: Teoreem kõrgusest: Siinusteoreem: 2R = Koosinusteoreem: NB! p pool ümbermõõtu, r siseringjoon...
muutub, sin cos tan cot cos sin cot tan. märgi määramise reegel jääb endiseks. Trigonomeetriliste funktsioonide märgid + + _ + _ _ _ + sin cos Trigonomeetriliste funktsioonide märgid _ + + _ tan , cot Negatiivne nurk ja täispöördest suurem nurk sin( - ) = - sin paaritu funktsioon cos(- ) = cos paarisfunktsioon tan(- ) = - tan paaritu funktsioon cot(- ) = - cot paaritu funktsioon sin( + 2n ) = sin cos( + 2n ) = cos tan( + n ) = tan Näide sin( + x) = - sin x sest kolmandas veerandis on siinus negatiivne tan(2 - x) = - tan x sest neljandas veerandis on tangens negatiivne cos(2 - x) = cos x sest neljandas veerandis on koosinus positiivne
Miinimumkoht Kui f x 2 0 ja f x 2 0 , siis x2 on miinimumkoht Funktsiooni maksimum ymax = f (xmax) Funktsiooni miinimum ymin = f (xmin) Maksimum- ja miinimumpunkt Pmax(xmax; ymax); Pmin(xmin; ymin) Periood f(x + T) = f(x), T periood Paarisfunktsioon Funktsioon f(x), kui f( x) = f(x) Paaritu funktsioon Funktsioon f(x), kui f(x) = f(x) Kasutatud kirjandus: Eksaminandile matemaatika riigieksamist, REK, 2001 Valemid asuvad keskkonnas www.kool.ee Õppematerjalide loomist toetab AS Topauto/autod, markide Seat, Suzuki, Hyundai ning kasutatud autode müüja üle Eesti
Koosinusfunktsioon M. Kallasvee DEFINITSIOON FUNKTSIOONI Y=COS X NIMETATAKSE KOOSINUSFUNKTSIOONIKS. OMADUSED KOOSINUSFUNKTSIOON ON PAARISFUNKTSIOON, S.T. koosinusfunktsiooni graafik on sümmeetriline y-telje suhtes. COS(-X)=COSX OMADUSED FUNKTSIOONI FUNKTSIOONI y=cos x y=cos x määramispiirkonnaks muutumispiirkonnaks on kogu reaalarvude on lõik [-1;1]. hulk. X=R Y=[-1;1] OMADUSED KOOSINUSFUNKTSIOON y=cos x on perioodiline funktsioon. KOOSINUSFUNKTSIOONI y=cos x perioodiks on 2. GRAAFIK y=cosx 1 0,939693 0,766044 0,5 0,173648 -0,17365 y=cosx
väärtust y arvutada Tavaliselt reaalarvude hulk Erandid: x murrujoone all ei sobi x väärtused, kus tekib jagamine 0- ga x paarisarvulise juurijaga juuremärgi all ei sobi x väärtused, mis muudavad juuritava negatiivseks x logaritmitavas - ei sobi x väärtused, mis muudavad logaritmitava mittepositiivseks x logaritmi aluses logaritmi alus peab olema positiivne ega tohi võrduda arvuga 1 f(-x) = f(x) paarisfunktsioon graafik sümmeetriline y-teljega f(-x) = - f(x) paaritu funktsioon graafik sümmeetriline 0-punkti suhtes muudel juhtudel pole funktsioon ei paaris ega paaritu · Kui f(x + T) = f(t), siis funktsioon on perioodiline perioodiga T · Kui f.-n y = f(x) on perioodiline perioodiga T, siis funktsiooni y = af(kx+b) periood onT k tavaliselt tunnuseks, et funktsiooni valemis leidub kas sin, cos või tan
X 3. Uuri, kas antud funktsioonid on paaris või paaritud funktsioonid! 1 y 2 x y 3x x 3 y x4 x3 1 4. Leia funktsioonide määramispiirkonnad. 1 y 2 y 3x x 2 y 9 x x Joonesta kaks koordinaatteljestikku, ühte paarisfunktsioon ning teise teljestikku paaritu funktsioon. Kirjuta juurde, kumb funktsioon on paaris ja kumb paaritu. ARVESTUSLIK TÖÖ. Eksponentvõrrand. 11.klass KITSAS x 1 1
X X 3. Uuri, kas antud funktsioonid on paaris või paaritud funktsioonid! 1 y 2 x y 3x x 3 y x4 x3 1 4. Leia funktsioonide määramispiirkonnad. 1 y 2 y 3x x 2 y 9 x x Joonesta kaks koordinaatteljestikku, ühte paarisfunktsioon ning teise teljestikku paaritu funktsioon. Kirjuta juurde, kumb funktsioon on paaris ja kumb paaritu. ARVESTUSLIK TÖÖ. Eksponentvõrrand. 11.klass KITSAS x 1 1. Skitseeri ühte teljestikku eksponentfunktsioonide y 2 x ja y graafikud. Leia
Leidke selle funktsiooni määramispiirkond. Paaris- ja paaritud funktsioonid Funktsiooni y = f(x) nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui f(-x) = f(x), ja paarituks funktsiooniks, kui f(-x) = -f(x) iga x korral määramispiirkonnast X. Paarisfunktsiooni graafik on sümmeetriline y-telje suhtes, paaritufunktsiooni graafik aga 0-punkti suhtes. y Paaritu funktsioon 0 x Paarisfunktsioon Perioodilised funktsioonid Funktsiooni f(x) nimetatakse perioodiliseks, kui leidub selline nullist erinev reaalarv , nii et f(x + ) = f(x) iga x X korral. Vähimat positiivset väärtust, mille korral see võrdus kehtib, nimetatakse funktsiooni y = f(x) perioodiks. Näiteks on perioodilised kõik trigonomeetrilised funktsioonid. Sealjuures on funktsiooni y = tan(x) perioodiks = , funktsioonide y = cos(x) ja y = sin(x) periood aga = 2.
1 log a b n = n log a b log a n b = log a b n log b x 1 log a x = log a b = log b a log b a Paarisfunktsioon: f ( -x) = f ( x) , x X Paaritu funktsioon: f (-x) = - f ( x) , x X Perioodiline funktsioon: f ( x + T ) = f ( x) , x X b 4ac - b 2 Parabooli y = ax 2 + bx + c haripunkt P - ; 2a 4a Trigonomeetria põhi valemid: sin sin
Suunda saab anda nurkadega kiirusvektori ja koordinaat-telgede vahel; kooligeomeetriast teame, et piisab ka kahest nurgast (nurk xy-tasandiga ning nurk vektori projektsiooni ja x-telje vahel tasandil xy). Kuidas neid nurki leitakse, pidite õppima matemaatika kursuses. Mina piirdun kõige lihtsamaga - küsin nurka vektori ja mingi koordinaattelje vahel. See on nurk kahe vektori (uuritava ja baasivektori) vahel, mille teatavasti määrab skalaarkorrutis: Muide - kuna koosinus on paarisfunktsioon (mida see tähendab?), ei määra arkuskoosinus kunagi nurga märki. Ruumilistes ülesannetes pole see tavaliselt oluline. küll aga tasandil. Sel juhul võetakse appi arkustangens ja määratakse, millisele ühikringi veerandile vastab otsitav nurk. Miks see nii on, tuleb teil mulle eksamil seletada. Seniks aga - kasutage ... Meie ülesandes on näiteks kiirusvektori nurk x-teljega: Aga y- ja z-teljega? Mõelge ja arvutage! Kiirendusega on veel üks vigur
Hulka X nimetatakse funktsiooni f määramispiirkonnaks. Funktsiooni erinevad esitusviisid. Funktsioone saab esitada mitmel erineval viisil ning kõige enam kasutatakse kolme järgmist esitusviisi: tabelina, graafikuna, analüütiliselt. Näitena suvaline x ja y väärtustega tabel. Loomulik määramispiirkond. Analüütiliselt antud funktsiooni loomulikuks määramispiirkonnaks nimetatakse argumendi kõigi nende väärtuste hulka mille korral funktsiooni avaldis on täielikult määratud. 4. Paarisfunktsioon, paaritu funktsioon (näide). Perioodiline funktsioon (funktsioon y = x [x]). Liitfunktsioon, selle komponendid (näide). Paarisfunktsioon. Funktsiooni y = f(x), mille määramispiirkond X on sümmeetriline nullpunkti suhtes, nimetatakse paarisfunktsioobiks, kui x X kehtib võrdus f(-x)= f(x) Näide: y = x2 Paaritu funktsioon. Funktsioon y = f(x), mille määramispiirkond X on sümmeetriline nullpunkti suhtes, nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui x X kehtib võrdus f(-x)=-f(x).
Graafiku omadused: · Graafiku punkti P teist koordinaati f(x) võib tõlgendada P ´´kõrgusena´´ x-telje suhtes. Kui f(x)>0 on kõrgus positiivne ja vastupidi negatiivne. · Suvaline y-teljega paaleelne sirge saab funktsiooni graafikut lõigata max ühes punktis. (ühesus) · Juhul, kui vaadeldvav fun on mitmene, siis eksisteerib vähemalt üks y-teljega paralleelne sirge, mis lõikab fun graafikut mitmes punktis. 3. Funktsioon on paarisfunktsioon kui kehtib võrdus f(-x)=f(x) Paarisfunktsioon on sümmeetriline y-telje suhtes. Funktsioon on paaritu kui kehtib võrdus f(-x)=-f(x) Paaritu funktsioon on sümmeetriline 0-punkti suhtes. Funktsiooni f nim perioodiliseks, kui leidub konstant C>0 nii, et iga xX korral kehtib võrdlus f(x+C)=f(x). Väiksemat sellist konstanti C nim funkt f perioodiks. Kasvamis- ja kahanemispiirkond. Olgu funktsiooni maaramispiirkonna alamhulgas D
Negatiivsuspiirkond (X-) need x väärtused, mille korral y on negatiivne; tuleb lahendad f(x)<0. Kasvamispiirkond (X) need x väärtused, mille korral x väärtuste suurenedes ka y väärtused suurenevad. Kahanemispiirkond (X) need x väärtused, mille korral x väärtuste suurenedes y väärtused vähenevad. Ekstreemumkoht (Xe) need x väärtused, mille korral y omab oma suurima või vähima väärtuse; ekstreemumkoht x väärtus, ekstreemum y väärtus, ekstreemum punkt (x;y). Paarisfunktsioon f(x)=f(-x) Paaritu funktsioon f(-x)=-f(x) Aritmeetlise jada üldliikme valem: an=a1+(n-1)d an jada viimane liige; n näitab, mitmes liige see on a1 aritmeetilise jada esimene liige (a10=a1+9d) n näitab, palju on jadas liikmeid d jada vahe Aritmeetilise jada esimese n liikme summa: Sn=(a1+an)/2*n | Sn=[2a1+(n-1)d]/2*n Sn a1 ja an vaheliste liikmete summa; n näitab, mitu liiget kokku liidetakse Geomeetriline jada üldliikme valem: an=a1*qn-1
On olemas funktsioon f(x), mis on pidev lõigul [a, b] ning F(x) on funktsiooni f(x) algfunktsioon, siis integraal . Muutujate vahetus ja ositi integreerimine määratud integraalis. Lause1 (muutujate vahetus määratud integraalis) kui f(x) on lõigul [a; b] pidev funktsioon ja (t) on pidevalt diferentseeruv funktsioon lõigul [a; b], kusjuures () = a ja () = b, siis . Lause2 Kui funktsioon f(x) on integreeruv lõigul [-a; a], siis . Tõestus. Kui f(x) on paarisfunktsioon, siis saame [teostame esimeses liidetavas muutujate vahetuse x = -t, dx = -dt, x = -a t = a, x = 0 t = 0] = = = [määratud integraali väärtus ei sõltu argumendi tähistusest] = . Lause3 Kui paaritu funktsioon f(x) on integreeruv lõigul [-a, a], siis . Tõestus. Kui funktsioon y = f(x) on paaritu funktsioon, siis saame [teostame esimeses liidetavas muutujate vahetuse x = -t, dx = -dt, x = -a t = a, x = 0 t = 0] = .
Sündmus on tegevus, mille katse võimalikku tulemust ei teata ette (P) 71)Mis on tõenäosus ( sõnastus ja valem) Sündmuse tõenäosus on arv, mis iseloomustab sündmuse toimumise võimalikkust teatud tingimustel. soodsate võimaluste arv Sündmus= kõigi võimaluste arv 72) a) Eksponentfunktsiooni graafik b) logaritmfunktsiooni graafik c) pöördfunktsiooni graafik 73) paaris –ja paaritu funktsiooni leidmise tingimus Paarisfunktsioon f(-x)=f(x) Paaritufunktsioon f(-x)=-f(x) 75) Mille suhtes on sümmeetriline a) paarisfunktsiooni (y-telje suhtes) b) paaritu funktsiooni(koordinaatide alguspunkti suhtes) c) pöördfunktsiooni (sirge y=x suhtes) graafikud
Näited. Nimetage paaris-ja paaritu funktsioonide graafikute omadusded. Kui iga korral on f(-x) = f(x), siis nimetatakse funktsiooni f paarisfunktsiooniks, ja kui on f(-x) = -f(x), siis paarituks funktsiooniks piirkonnas X. Paarisfunktsiooni graafik on sümmeetriline y-telje suhtes. Paaritu funktsiooni graafik on sümmeetriline koordinaatide alguspunkti suhtes. Trigonomeetrilised funktsioonid y=sinx, y=tanx, y=cot x, y=arcsinx ja y=arctanx on paaritud funktsioonid ning y=cos on paarisfunktsioon. Paaritu funktsiooni y=x3 graafik on sümmeetriline koordinaatide alguspunkti suhtes. 7. Defineerige funktsiooni y=f(x) pöördfunktsioon. Millisel tingimusel funktsioonil eksisteerib pöördfunktsioon? Milline seos on funktsiooni ja tema pöördfunktsiooni ääramispiirkondade vahel? Milline seos on funktsiooni ja tema pöördfunktsiooni graafikute vahel? Funktsioon y=f(x) korraldab vastavuse hulkade X ja Y elementide vahel. Kui selline vastavus on üks-ühene, st kui
4. Esitus polaarkoordinaatides valemiga r= r(φ), φ∈T, mis annab funktsiooni graafiku punktid (x,y) polaarkoordinaatides (r,φ). 6. Funktsioonide liigid. Näited. Definitsioon: Kui iga x ∈ X korral on f(x)=f(x), siis nimetatakse funktsiooni f paarisfunktsioon iks piirkonnas X. Definitsioon: Kui iga x∈X korral on f(x)=f(x), siis nimetatakse funktsiooni f paarituksfunktsioon iks piirkonnas X 7. Liitfunktsioon ja pöördfunktsioon. Definitsioon :
v=(X;Y). Vektori pikkus: Vektori, kui suunatud lõigu pikkuseks nim. selle lõigu pikkust. 12. Lineaarfunktsioon: Mõiste: Funktsiooni y=mx+b, kus m0 ja b on mingid kontstandid, nim. lineaarfunktsiooniks. Joonestamine: (näide) Asend ja tõusunurk: Lineaarfunktsioon on rangelt kasvav, kui m>0 ja rangelt kahanev, kui m<0 (joonisel). 13. Ruutfunktsioon: Mõiste: Ruutfunktsioon on (y=x²) mittenegatiivsete väärtustega paarisfunktsioon. Joonestamine: (näide) Haripunkt: Graafikus (näide joonisel) on ruutbarabool, mille haripunkt asub nullpunktis ja mis on sümmeetriline y-telje suhtes. Asend: Argumendi pos. väärtuste korral on ruutfunktsioon rangelt kasvav, neg. korral rangelt kahanev. 15. Aritmeetiline jada: Mõiste: Jada, mille iga liikme ja temale vahetult eelneva liikme vahe on konstantne, nimetatakse aritmeetiliseks jadaks. Liikmete leidmine: Üldliikme valem: an=a1+(n-1)d
Trig. funktsioonid siinus ja koosinus y 1 y = cos x -/2 /2 - 0 x y = sin x -1 1) tõkestatud -1 y 1 2) perioodilised = 2 3) siinus on paaritu, koosinus paarisfunktsioon 4) määramispiirkond: X = (-; ) 22 Trig. funktsioon tangens y y = tan x -3/2 -/2 /2 3/2 - 0 x 1. periood = 2. määramispiirkond: X = (-; ){(2k + 1)/2} 3
elementi ,siis öeldaks, et hulgale x on defineeritud funktsioon. Funktsiooni y argumendiks e sõltumatuks muutujaks nimetatakse muutujat x . Sõltuvaks muutujaks nimetatakse funktsiooni y Funktsiooni määramispiirkond- Funktsiooni y määramispiirkonnaks nimetatakse argumendi x muutumispiirkonda, see on nende x väärtuste hulk, millas funktsiooni avaldis on arvutatav. Funktsioonide liigid- Funktsioone võime jagada: 1. Paaris ja paaritu funktsioonid · Paarisfunktsioon on funktsioon, kus iga x-i korral f(x)= f(-x)(sümmeetriline y-telje suhtes). · Paaritu funktsioon on funktsioon, kus iga x-i korral f(x)= - f (x) ( muutuma peavad kõik märgid) (sümmeetriline 0 punkti suhtes). 2. Perioodiline funktsioonid · Perioodiline funktsioon on selline funktsioon, kus iga x-i korral f(x+T)=f(x). Vähim T väärtus on periood. Näiteks trigonomeetrilised funktsioonid.
väljendab muutuja y "seotust" argumendiga x funktsiooni f kaudu. Seost nimetatakse funktsiooni võrrandiks. Funktsiooni esitusviisid: 1)tabel 2)analüütiline 3)graafiline G = {P = (x, f(x)) || x X} Vaatleme joont G, mis koosneb kõikvõimalikest punktidest P = (x, f(x)), kusjuures P esimene koordinaat x jookseb läbi kogu maaramispiirkonna X. Seda joont nimetataksegi funktsiooni f graafikuks. 1. Funktsioon on paarisfunktsioon kui kehtib võrdus f(-x)=f(x) Paarisfunktsioon on sümmeetriline y-telje suhtes. Funktsioon on paaritu kui kehtib võrdus f(-x)=-f(x) Paaritu funktsioon on sümmeetriline 0-punkti suhtes. Kasvamis- ja kahanemispiirkond. Olgu funktsiooni maaramispiirkonna alamhulgas D kaks väärtust x1 ja x2, kus kehtib võrratus x1< x2. Kui f(x1) < f(x2), siis on funktsioon f kasvav hulgas D, graafik tõuseb. Kui f(x1) >f(x2), siis on f hulgas D
1+tan=1/cos tan(90°-)=cot IV veerand 270°<<360° 360°- sin2=2sincos 2 2 cos2=cos-sin cot=1/tan=cos/sin sin ++-- cos +--+ tan/cot +-+- Siinusfunktsioon y=sinx SINUSOID [0;2] X=R Y=[-1;1] -1sinx1 sin(-x)=-sinx paaritufunktsioon-graafik on sümmeetriline koordinaatide alguspunktide suhtes Siinusfunktsioon on perioodiline funktsioon perioodiga 2=360° koosinusfunktsioon y=cos X=R Y=[-1;1] -1cosx1 cos(-x)=cosx paarisfunktsioon-graafik on sümmeetriline y-telje suhtes koosinusfunktsioon on perioodiline funktsioon perioodiga 2 Tangensfunktsioon y=tan x ei tohi võrduda 90°, 270°, -90°, -270° tan(-x)=-tanx paaritufunktsioon Tangensfunktsioon on perioodiline funktsioon perioodiga Arkusfunktsioon Siinusfunktsiooni pöördfunktsioon y=arcsinx Arkussiinus x on nurk, mille siinus on x y=arcsin(-x)=-arcsin n X=(-1)arcsinm+n Koosinusfunktsiooni pöördfunktsioon y=arccosx
Olgu y = x2+2, parameetriline kujul { y=tx=t+2 2 Tsükloid tekib, kui ringjoon, millel on märgitud nn kinnispunkt, veereb mööda sirget. Alguses kinnispunkt asub nullpunktis. Ringjoone veeremisel mööda sirget joonistab kinnispunkt tsükloidi kaari. Tsükloidi parameetrilised võrrandid: Joonis 6. Paaris- ja paaritufunktsioon Olgu funktsioonil f (x) 0-punkti suhtes sümmeetriline määramispiirkond ehk –a < x < a. f(-x) = f(x) – paarisfunktsioon f(-x) = -f(x) – paaritufunktsioon Joonis 7. Nt. (-x)2 = x2, paarisf. (-x)3 = -x3, paarituf. sin(-x) = -sinx, paarituf, cos (-x) = cosx, paarisf, tan (-x) = -tanx, paarituf, arcsin (-x) = -arcsinx, paarituf. arctan(-x) = -arctan, paarituf, arccos(-x) , ei ole paaritu ega paarisf. Perioodiline funktsioon Niisugust funktsiooni f(x), mis rahuldab tingimust f(x+t)=f (x), t≠0, iga x ja x+t korral määramispiirkonnast, nim. perioodiliseks funktsiooniks vähimat arvu t aga
Kui muutuja x igale väärtusele hulgas X vastab muutuja y üks kindel väärtus, siis öeldakse, et y on muutuja x funktsioon. Funktsiooni esitusviis: tabelina, graafikuna. Funktsiooni analüütiline esitusviis on ilmutatud, ilmutamata, parameerilisel kujul. 2. Funktsioonide liigitus (paaris- ja paaritud funktsioonid, perioodilised funktsioonid, monotoonsed funktsioonid, tõkestatud funktsioonid). Tuua näiteid. paarisfunktsioon - Funktsiooni y = f (x) nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui f (-x) = f (x) Paarisfunktsiooni graafik on sümmeetriline y-telje suhtes paaritu funktsioon - Funktsiooni y = f (x) nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui f (-x) = -f (x). paaritu funktsiooni graafik on 0 punkti suhtes sümmeetriline perioodiline funktsioon - Funktsiooni f (x) nimetatakse perioodiliseks, kui leidub selline nullist erinev reaalarv , nii et f (x + ) = f (x) iga x X korral.
X = . y Joon. 1 4. Pöördvõrdeline sõltuvus (joon. 2): a y = , graafikuks on võrdhaarne hüperbool, asümptootideks on koordinaatteljed, x paaritu funktsioon. X = ( - ; 0 ) U ( 0 ; ) . Joon. 2 5. Ruutfunktsioon: y = x 2 , graafikuks on põhiparabool (joon. 6), paarisfunktsioon. X = . 24 y = ax 2 + bx + c (ka ruutpolünoom), graafikuks on parabool (joon. 3). X = . b x0 = - Haripunkti H koordinaadid: 2a y0 = f ( x0 ) Joon. 3 6. Kuupfunktsioon: y = x 3 , graafikuks on kuupparabool (joon
Näitena suvaline x ja y väärtustega tabel. Loomulik määramispiirkond. Analüütiliselt antud funktsiooni loomulikuks määramispiirkonnaks nimetatakse argumendi kõigi nende väärtuste hulka mille korral funktsiooni avaldis on täielikult määratud. Mitmene funktsioon. Kui igale x väärtusele, mis kuulub teatavasse piirkonda, vastab mitte üks, vaid mitu või isegi lõpmatu hulk y väärtusi, siis nimetatakse funktsiooni mitmeseks funktsiooniks. Näide: 4. Paarisfunktsioon, paaritu funktsioon (näide). Perioodiline funktsioon (funktsioon y = x [x]). Liitfunktsioon, selle komponendid (näide). Paarisfunktsioon. Funktsiooni y = f(x), mille määramispiirkond X on sümmeetriline nullpunkti suhtes, nimetatakse paarisfunktsioobiks, kui x X kehtib võrdus f(-x)= f(x) Näide: y = x2 Paaritu funktsioon. Funktsioon y = f(x), mille määramispiirkond X on sümmeetriline nullpunkti suhtes, nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui x X kehtib võrdus f(-x)=-f(x).
X ¡ . y Joon. 1 4. Pöördvõrdeline sõltuvus (joon. 2): a y , graafikuks on võrdhaarne hüperbool, asümptootideks on koordinaatteljed, x paaritu funktsioon. X ; 0 U 0 ; . Joon. 2 5. Ruutfunktsioon: y x 2 , graafikuks on põhiparabool (joon. 6), paarisfunktsioon. X ¡ . 24 y ax 2 bx c (ka ruutpolünoom), graafikuks on parabool (joon. 3). X ¡ . b x0 Haripunkti H koordinaadid: 2a y0 f x0 Joon. 3 6. Kuupfunktsioon:
. x olgu nurga AOB suurus radiaanides, siis ühikringi esimese veerandi korral ; ; ; Siis ; millest saab ; Kuna ja , siis selles järeldub, et . Kuna . Seega , Arvestades, et on paarisfunktsioon, saame . Järelikult 14*Lause: =1 Tõestus: -1=0 a= an = ( )n = n an= (1+ )n = k n-k = 1n 0 1n-1 1 = 1 + * + * 2 + .....= 1 + * 2 + ... > * 2 an=(1+ n> * 2 kui n>2 , n-1 > , siis an=(1+ n> * 2 ( )n > ( 1)2 0<( 1)2 < |*
2) geomeetriline esitus graafiku abil 3) numbriline esitus tabeli abil 4) esitus arvutiprogrammi abil. FUNKTSIOONIDE OMADUSED f (x) ≥m . Paarisfunktsioon: f (−x )=f ( x ) Paaritu funktsioon: Tõkestatud funktsioon hulgal X3 f-n, mis on tõkestatud nii ülalt kui alt.
1) f(x)=ex f(x)= ex f(0)= eo=1 f'(x)= ex f'(0)= eo=1 f''(x)= ex f''(0)= eo=1 f(n)(x)= ex f(n)(0)= eo=1 x x2 x3 xn e 1+ + x + + ... + + ... 1! 2! 3! n! 2) f(x)=sin x (paaritu funktsioon) f(x)= sin x f(0)= sin 0=0 f'(x)= cos x f'(0)= cos 0=1 f''(x)= -sin x f''(0)= -sin 0 =0 f'(x)= -cos x f'(0)= -cos 0=-1 x3 x5 x7 sin x - + - + ... 3! 5! 7! 3) f(x)=cos x (paarisfunktsioon)=(sin x)' teoreem 3 järgi x2 x4 x6 cos x 1 - + - + ... 2! 4! 6! k k (k - 1) 2 k (k - 1)(k - 2) 3 4) (1 + x) k 1 + x + x + x + ... 1! 2! 3! Trigonomeetrilised read. Dirichlet´ teoreem sin x, cos x perioodilised funktsioonid . T= 2 sin nx, cos nx perioodilised funktsioonid. T=2/n 12
3 x -3 sin 2 x +3 B-6 Leia funktsiooni y = 3 2 cos suurima ja vähima täisarvulise väärtuse summa. x B-7 Leia võrrandi cos = 31.5 x -4 4 x -3,5 positiivne lahend või positiivsete lahendite summa. x +15 B-8 Leia f (19) , kui on teada, et y = f ( x ) on paarisfunktsioon, tema periood on 10 ja lõigul [0;5] on funktsiooni esitav seos kujul y =15 + 2 x - x 2 . B-9 Anumas segati a kilogrammi 6%-list soolalahust ja b kilogrammi 20%-list soolalahust . Tulemuseks saadi lahus, millele lisades veel 1 kilogramm 6%-list soolvett saadakse 10%-line lahus aga kui segada 8 Tiia Toobal 2008 II osa
- siis rida (5) nimetatakse funktsiooni f (trigonomeetriliseks) Fourier' reaks lõigus [- , ] ja kirjutatakse a0 f (x ) ~ + a n cos nx + bn sin nx. . (7) 2 n =1 Kordajaid (6) nimetatakse Fourier' kordajateks. Kahe paaris- või kahe paaritu funktsiooni korrutis on paarisfunktsioon. Ühe paaris- ja ühe paaritu funktsiooni korrutis on paaritu funktsioon. Kui f on paarisfunktsioon lõigus [- , ] , siis bn = 0 ja tema Fourier' rida (5) avaldub kujul a0 2 f (x ) ~ + a n cos nx , a n = f ( x ) cos nxdx , (8) 2 n =1 0
seada ühe arvu – tema vanuse. Inimese “vanus” on funktsioon, mille määramispiirkonnaks on inimeste hulk ja muutumispiirkonnaks arvude hulk. Sõnaline formuleering - Dirichle`t funktsiooni pole võimalik esitada graafiku abil, vaid defineeritakse sõnalise formuleeringu abil; arvu täisosa leidmine : arvu x täisosa on suurim täisarv, mis ei ületa arvu x 6. Paaris- ja paaritud, perioodilised, kasvavad ja kahanevad funktsioonid (definitsioonid). Näited. Funktsioon f on paarisfunktsioon, kui f(−x) = f(x) iga x korral määramispiirkonnast X. Paarisfunktsioonid on telje suhtes sümmeetrilised N: f(x) = x2; f(x) = cos x; f(x) = |x| Funktsioon f on paaritu funktsioon, kui f(−x) = −f(x) iga x korral määramispiirkonnast X. Paaritud f-nid on 0-punkti suhtes sümmeetrilised. N: f(x) = x3; f(x) = sin x; f(x) = x Funktsioon f on piirkonnas X kasvav, kui selles piirkonnas igale suuremale argumendi väärtusele vastab suurem funktsiooni väärtus, s.t
· Maksimumkoht Kui f ( x 1 ) = 0 ja f ( x 1 ) < 0 , siis x1 on maksimumkoht · Miinimumkoht Kui f ( x 2 ) = 0 ja f ( x 2 ) > 0 , siis x2 on miinimumkoht · Funktsiooni maksimum ymax = f (xmax) · Funktsiooni miinimum ymin = f (xmin) · Maksimum- ja miinimumpunkt Pmax(xmax; ymax); Pmin(xmin; ymin) · Periood f(x + T) = f(x), T periood · Paarisfunktsioon Funktsioon f(x), kui f( x) = f(x) · Paaritu funktsioon Funktsioon f(x), kui f(x) = f(x) Lineaarfunktsioon y = ax + b, a 0 ja b antud arvud Ruutfunktsioon y = ax2 + bx + c, a 0 , b ja c antud arvud Astmefunktsioonid y = x 2n 1, n 0, n N y = x 2n, n 0, n N y = x 2n, n 0, n N
Funktsiooni määramispiirkonnaks on kõikide selliste muutuja x väärtuste hulk, mille korral saab funktsiooni väärtust y arvutada Funktsiooni muutumispiirkonda YY moodustavad kõik muutuja yy väärtused, mis vastavad muutuja xx väärtustele funktsiooni määramispiirkonnast. 25.Funktsiooni esitusviisid analüütiline esitus (valemi abil) tabeli abil graafiku abil 26.Paaris- ja paaritud funktsioonid f(x) = f(x) paarisfunktsioon - graafik sümmeetriline y-teljega f(x) = f(x) paaritu funktsioon - graafik sümmeetriline x-teljega 27.Perioodilised funktsioonid, funktsiooni period Funktsiooni f(x) nimetatakse perioodiliseks, kui leidub selline nullist erinev reaalarv , nii et f(x + ) = f(x)= f(x - ) ( - periood) Iga x väärtuse korral määramispiirkonnast kehtib võrdus f(x+T)=f(x) ning vähimat positiivset arvu T nimetatakse funktsiooni perioodiks. 28
Definitsioon 6. Funktsiooni f , mille m¨a¨aramispiirkond X on s¨ummeetriline nullpunkti suhtes, nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui x X : f (-x) = -f (x). Et N¨aites 1 esitatud funktsiooni y = x2 m¨a¨aramispiirkond X = [-1; 1] on s¨ ummeetri- line nullpunkti suhtes ja x X : f (-x) = (-x)2 = x2 = f (x), siis on see funktsioon paarisfunktsioon. Ka N¨aidetes 2 ja 3 esitatud funktsioonid on paarisfunktsioonid (kontrollige!). N¨ aites 8 on esitatud paaritu funktsioon. N¨aide 9. Uuurime, kas funktsioon y = log(x + x2 + 1) on paaris- v~oi paaritu funktsioon. Et x R : x + x2 + 1 > 0, siis X = R, st vaadeldava funktsiooni m¨a¨aramispiirkond X on s¨
· Palk=Põhipalk+0,3*IKI*sgnK · K kasum 21. Täisosa funktsioon, graafik- · Arvu täisosa funktsioon · y=[x], kus [x] on suurim täisarv, mis ei ületa arvu x. · Näited: [2,5]=2; [2,9]=2; [2]=2; [-2,5]=-3; [-2]= -2; [- 3,45]=-4; [0,(9)] 22. Murdosa funktsioon, graafik- · y={x}=x-[x] · [2,3]=2 · {2,3}=0,3 · {2}=0 · {-3,75}=0,25 23. Paarisfunktsioon- · Funktsiooni, mille graafik on sümmeetriline y-telje suhtes, nimetatakse paarisfunktsiooniks · Paarisfunktsiooni tunnuseks on võrdus · f(-x)= f(x) · Paarisfunktsioonid on näiteks kõik funktsioonid kujul · y=ax2+b, y=ax2k+b (k on täisarv) · + 24. Eksponentfunktsioon, graafik y = a , kus a R ja a 1 x · .
Funktsiooni uurimine Funktsiooni uurimise all mõistetakse, et tuleb leida kõik või osad järgnevatest funktsiooni iseloomustavatest suurustest (punktid, piirkonnad jne). 1. Määramispiirkond (so nende x väärtuste hulk, millas funktsiooni avaldis on arvutatav). 2. Nullkohad, so graafiku lõikepunktid x teljega (f(x)=0). 3. Graafiku sümmeetrilisus koordinaattelgede ja nullpunkti suhtes: f(-x) = f(x) paarisfunktsioon, sümmeetriline y telje suhtes; f(-x) = -f(x) paaritu funktsioon, sümmeetriline koordinaatide alguspunkti suhtes; 4. Positiivsus- ja negatiivsuspiirkond: f(x) > 0 - positiivsuspiirkond; f(x) < 0 negatiivsuspiirkond. 5. Kasvamis- ja kahanemispiirkond: f '(x) > 0 kasvamispiirkond; f '(x) < kahanemispiirkond.
. . . . . . . . . . . . . . . . 35 Kontrolltöö teemad 1. Funktsiooni määramispiirkond ja muutumispiirkond ning nende leidmine. 2. Põhiliste elementaarfunktsioonide graafikud (v.a. cot(x), sec(x), csc(x) ja nende pöördfunkt- sioonid). Enamasti on need loogiliselt tuletatavad. 3. Eksponent- ja logaritmfunktsiooni omadused. Eksamiteemad 1. Funktsiooni mõiste. Funktsiooni määramispiirkond ja muutumispiirkond. 2. Paarisfunktsioon ja paaritu funktsioon. 3. Mõisted: üksühene funktsioon, pealekujutus, liitfunktsioon, pöördfunktsioon. 4. Põhilised elementaarfunktsioonid (mõiste ja graafikud) ja elementaarfunktsioonid (mõiste). 5. Jada mõiste. PEATÜKK 3. FUNKTSIOONID JA JADAD 3.1 Funktsiooni mõiste Definitsioon 3.1 Suurust y nimetame sõltuvaks suurusest x, kui kindlatele x väärtus- tele vastavad kindlad y väärtused.
y=cotx X=R{|| }, Y=R. tanx ja cotx periood on . joone parameetrilisteks võrranditeks ja muutujat t selle joone väljaspool tema määramispiirkonda Kui funktsioon f ja g on pidevad punktis a, siis selles punktis on pidevad ka Cox on paarisfunktsioon, ülejäänud on paritud funktsioonid. parameetriks. summa f+g, vahe f-g, korrutis fg, eeldusel g(a)0 ka jagatis
· luua endale ise oma abistruktuurid ministrid jäävad kõrvale poliitilisest tegevusest. · ametnike lülitamine valitsusse, st kabinetikomiteed. Avalik juhtimine · luua valitsuse sekretariaat. Eestis valitsuskabineti kui terviku sekretariaat riigikontroll eesotsas riigisekretäriga, kes peaks olema mittepoliitiline (kahjuks on see praktiliselt võimatu). Riigi kantseleil paarisfunktsioon: ühelt poolt sisuline sekretariaat ja teiselt poolt materiaalse ja tehnilise töö tegija. Kuidas tagada maksimaalne poliitiline mõjutatus ja maksimaalne ministeeriumite aparaadi kontroll? Klassikaline on inglise mudel (püütakse juurutada ka Eestis, kuid see on võimatu, kuna Eestis puudub tugev seaduslik tagapõhi). Ametkond peaks olema poliitiliselt neutraalne. Suurbritannias on see õnnestunud tänu välja kujunenud hariduslikule taustale (seal on kaks kõrgkooli, kus koolitatakse
annaabi.ee 
