sin 2 =2sin cos cos 2 =cos2 - sin 2 cos 2 = 2 cos2 -1 cos 2 = 1- 2 sin 2 tan 2 = 2 tan / (1 - tan 2 ) cot 2 = cot2 - 1/ (2cot ) Poolnurga trigonomeetrilised funktsioonid. cos2 (/2) + sin2 (/2) = 1 cos2(/2) - sin 2(/2) = cos Liites võrduste mõlemad pooled: 2cos2(/2) = 1 + cos Lahutades: 2sin 2(/2) = 1 - cos järelikult: cos2 (/2) = 1 + cos (/2) sin 2/2) = 1 - cos (/2) Trigonomeetriliste funktsioonide summa ja vahe teisendamine korrutiseks. sin + sin = 2sin( + ) /2 cos( - ) /2 sin - sin = 2cos( + ) /2 *sin( - ) /2 cos + cos =2cos( +) /2 *cos( -) /2 cos cos = -2sin( + ) /2 *sin( - ) /2 tan + tan = sin( + ) / (cos*cos) tan tan = sin( - ) / cos*cos) Trigonomeetriliste funktsioonide korrutise teisendamine summaks. sin*sin = 0,5[cos( - ) cos( + b)] cos*cos = 0,5[cos( + ) + cos( - )] sin*cos = 0,5[sin( + ) + sin( - )] Huvitavaid lisavalemeid. 1 + cos = 2cos2 (/2) 1 cos = 2sin 2(/2) cos + sin = 2cos( - 45°)
Trigonomeetriliseks võrrandiks nimetatakse võrrandit, milles tundmatu esineb vaid trigonomeetrilise funktsiooni argumendis. Trigonimeetrilised põhivõrrandid: sin x = m cos x = m tan x = m TRIGONOMEETRILISE VÕRRANDI LAHENDAMINE 1) Teisendan trigonomeetrilise võrrandi põhivõrrandiks: a) kui võimalik, lahendan ruutvõrrandi sin x; cos x või tan x järgi b) Kasutades trigonomeetrilisi valemeid teisendan vasakupoole korrutiseks, kui parem pool on 0 (null). c) Kui on käes trigonomeetriline põhivõrrand, kasutan üldlahendi valemeid. Üldlahendi valemid: a) sin x = m x= (-1) n arcsin m + n n Z arcsin m = x= (-1) n + n n Z b) cos x = m x = +- arccos m + 2n n Z arccos m = x = +- + 2n n Z c) tan x = m x = arctan m + n n Z arctan m = x = + n n Z
sin2 sin 2) tan = cos 2 sin2 tan = cos2 1 3) 1 + tan2 = cos2 Nurga trigonomeetriliste 2 tan tan2 = funktsioonide märgid veerandites 1 - tan2 Korrutiseks teisendamise valemid + - sin + sin = 2 sin cos 2 2 ; + - sin - sin = 2 cos sin 2 2
0 30 45 60 90 180 270 360° ° ° ° ° ° ° ° 1 2 3 sin 0 /2 /2 /2 1 0 -1 0 3 2 1 cos 1 /2 /2 /2 0 -1 0 1 3 tan 0 /3 1 3 - 0 - 0 sin cos tan II:+ I:+ II: - I: + II: - I: + III:- IV:- III: - IV:+ III:+ IV: - · sin= cos(90°-) · sin·sin= -1/2[cos(+)-cos(-)] · cos= sin(90°-) · cos·cos= 1/2[cos(+)+cos(-)] · sin(-x)= -sinx · sin·cos= 1/2[sin(+)+sin(-)] · cos(-x)= cosx ...
24. Kahe nurga summa ja vahe cos cos(+)=coscos-sinsin, cos(-)=coscos+sinsin 25. Kahe nurga summa ja vahe tan tan(+)=tan+tan/1-tantan, tan(-)=tan-tan/1+tantan 26. Kahekordse nurga tan: tan2 = 2tan /1 -tan2 27. Kahekordse nurga sin: sin2 = 2sincos 28. Kahekordse nurga cos: cos2 = cos2-sin2 29. Poolnurga sin: sin /2= ±1-cos/ 2 30. Poolnurga cos: cos /2 = ± 1+cos/ 2 31. Poolnurga tan: tan /2= ±1-cos/ 1+cos, tan /2= sin/ 1+cos, tan /2= 1-cos/sin 32. sin summa tei. korrutiseks sin+sin=2sin +/2 cos -/2 33. cos summa tei. korrutiseks cos+cos= 2cos +/2 cos -/2 34. sin vahe tei korrutiseks sin-sin= 2cos +/2 sin-/2 35. cos vahe tei. korrutiseks cos-cos=-2sin +/2 sin -/2
1.Määramispiirkond = katkevuskohad 2.Nullkohad X 0 : y=0 murru korral mõlemad osad 0-ga võrduma -¿ <0 murru korral korrutiseks ¿ 3.Pos/neg piirkond +¿ : y >0 X + joonis X¿ 4.Ekstr.kohad X e : y ´ =0 , murru korral ülemine osa nulliga võrduma 5.Ekst.punktid- asendad ekstr. kohad alg v-sse 6.Kasvamine/kahanemine X : y ´ > 0 X : y ´ < 0 murru korral korrutiseks+ joonis ,max,min ekstr. 7. Käänukoht X K = y ´ ´ =0 murru korral ülemine osa 0-ga võrduma 8.Käänup
2 1 + cos 1 + cos sin tan(90° + )=-cot tan(90° - )=cot 1 - cos = 2 sin 2 ; _ 1 - cos 2 = 2 sin 2 2 cot(90° - )=tan tan(180° - )=-tan 1 + cos = 2 cos 2 ; _ 1 + cos = 2 cos 2 2 2 4 tan(270° + )=-cot Summa _ teisendus _ korrutiseks : + - sin + sin = 2 sin · cos 0º 30º 45º 60º 90º 180º 270º 360º 2 2 sin 2 3 + - sin - sin = 2 cos · sin 0 ½ 2 2 1 0 -1 0 2 2 cos 3 2 + -
+ 2k + 2k Juurimine: n r (cos + i sin ) = n r + i sin n n 3. Geomeetriline vektor. Lineaarsed tehted geomeetriliste vektoritega (liitmine ja skalaariga korrutamine). Lineaarsete tehete 8 omadust. Geomeetriliseks vektoriks nimetatakse suunatud lõiku. Liitmine: AB + BC = AC . Arvu (skalaari) ja geomeetrilise vektori korrutiseks nimetatakse vektorit c, mis rahuldab tingimusi: 1. vektor c on paralleelne vektoriga ; 2. kui c 0 , siis vektori c suund ühtib vektori suunaga, c < 0 korral aga on vektorid c ja vastassuunalised; 3) vektori c pikkus saadakse vektori pikkuse a korrutamisel arvu c absoluutväärtusega c . 4. Aritmeetiline vektor. Lineaarsed tehted aritmeetiliste vektoritega (liitmine ja skalaariga korrutamine). Aritmeetiliste vektorite skalaarkorrutis. Skalaarkorrutise 5 omadust.
Lahutamine on vastandarvu liitmine Ratsionaalarvude liitmine lahutamine on vastandarvude liitmine. Posiiivse arvu B vastandarv on -B Negatiivse arvu -B vastandarvuks on positiivne arv B Seega vastandarvu vastandarv on arv ise Negatiivse arvu lahutamise asemel liidame vastandarvu Kahepunkti vaheline kaugus arvteljel Vähendatava ja vähendaja järjestuse muutmisel mmuutub vahemärk vastupidiseks ,ei muutu absoluutväärtus Ratsionaalarvude korrutamine Sama märgiliste arvude korrutamisel on korrutiseks positiivne arv Kahe arimärgilise arvude korrutamisel on korrutiseks negatiivne arv Mitme arvu korrutis Vahetavuse seadus ehk ommunikatiivsus Ühendavuse seadus ehk assotsiatiivsus Mitme 0-st erineva arvu korrutis on negatiivne kui negatiivseid tegureid on paarituarv ja positiivne kui negatiivseid tegureid on paarisarv Arvuaste Astendatav ehk astme alus on arv mille ise endaga korrutamisel teda antud arv korda saadakse aste Astendaja on arv , mis näitab mitu korda on arvu iseednaga korrutatud
b a b -a -a -a b Vektori korrutamine arvuga Vektori a ja positiivese arvu k korrutiseks ka on vektoriga a samasuunaline vektor, mille pikkus on k a b 0,5b -b 2b - 0,5b - 2b Vektori a ja negatiivse arvu -k (k
b a b a a a b Vektori korrutamine arvuga Vektori a ja positiivese arvu k korrutiseks ka on vektoriga a samasuunaline vektor, mille pikkus on k a b 0,5b b 2b 0,5b 2b Vektori a ja negatiivse arvu -k (k > 0) korrutiseks nimetatakse
b a b a a a b Vektori korrutamine arvuga Vektori a ja positiivese arvu k korrutiseks ka on vektoriga a samasuunaline vektor, mille pikkus on k a b 0,5b b 2b 0,5b 2b Vektori a ja negatiivse arvu -k (k > 0) korrutiseks nimetatakse
Maatriksarvutus: Def. 1 (m x n) järku maatriksit A nimetatakse m · n elemendist moodustatud tabelit, milles on m-rida ja n-veergu Def. 2 Maatriksid A ja B loetakse võrdseks, kui nad mõlemad on sama järku ja nende maatriksite kõik vastavad elemendid on võrdsed Def. 3 (m x n) järku A ja B järku maatriksite A ja B summaks nimetatakse sama järku maatriksit -> A+B, mille elementideks on lähtemaatriksite A ja B kõigi vastavate elementide summa. Def. 4 (m x n) järku Maatriksi korrutiseks arvuga lambda nimetame maatriksit, mille elementideks on maatriksi kõigi elementide korrutised arvuga lambda. Def. 5 (m x n) järku A vastandmaatiksiks (-A) nimetatakse sama järku maatriksit, mille elementideks on lähtemaatriksi A kõigi elementide vastandväärtused Def. 6 (m x n) järku maatrikiste A ja B vaheks nimetatame sama järku maatriksi (A-B), mis loetakse võrseks maatriksi A ja maatriksi (-1)*B summa Def
moodustatud arvtabelit, milles on m rida ja n veergu. Kui m=n, siis on tegemist ruutmaatriksiga, vastupidisel juhul on tegemist ristkülikmaatriksiga. Def2_Maatriksid on võrdsed, kui nad on sama järku ja nende kõik vastavad elemendid on võrdsed. Üherealist maatriksit nimetatakse vektoriks. Def3_2 sama järku maatriksi summaks nimetame maatriksit, mille elementideks on lähtemaatriksite kõigi vastavate elementide summa. Def:4 Maatriksi korrutiseks arvuga lambda nimetame sama järku maatriksit, mille elementideks on maatriksi kõigi elementide korrutised arvuga lambda. Def5: maatriksi vastandmaatriksiks nimetatakse sellist maatriksit, mille elementideks on lähtemaatriksi kõigi elementide vastandväärtused. Def6: Kahe sama järku maatriksi vaheks A-B nimetatakse sama järku maatriksit, mis loetakse võrdseks maatriksi A ja maatriksi (-1)*B summaga. A-B=A+(-1)B Def7: maatriksite korrutiseks nimetakase maatriksit, mille i-
2x(x2)=4x12 ehk 2x2 8x + 12 = 0, x2 4x + 6 = 0. Sellel võrrandil reaalarvulisi lahendeid ei ole, seega puuduvad lahendid ka murdvõrrandil. 1 Kõrgema astme võrrandid Lahendivalemid on tuletatud ka kolmanda ja neljanda astme võrrandite jaoks, kuid need on küllalt keerulised. Tihti on aga võimalik kõrgema astme võrrandeid lahendada korrutiseks teisendamise abimuutuja kasutamise või mõne muu võttega. Tutvume mõningate selliste võtetega. Näide 1. Lahendada võrrand : x5 = 4x3. Lahendus. Toome kõik liikmed vasakule : x5 - 4x3 = 0 Toome ühise kordaja x3 sulgude ette: x3(x2 4) = 0 Korrutis võrdub nulliga, kui kordajatest on null: x3 = 0 või x2 4 = 0 Lahendades, saame : x1 = 0, x2 = 2, x3 = -2. Näide 2
Def. 1 (m x n) järku maatriksit A nimetatakse m · n elemendist moodustatud tabelit, milles on m-rida ja n-veergu 2. Def. 2 Maatriksid A ja B loetakse võrdseks, kui nad mõlemad on sama järku ja nende maatriksite kõik vastavad elemendid on võrdsed 3. Def. 3 (m x n) järku A ja B järku maatriksite A ja B summaks nimetatakse sama järku maatriksit -> A+B, mille elementideks on lähtemaatriksite A ja B kõigi vastavate elementide summa. 4. Def. 4 (m x n) järku Maatriksi korrutiseks arvuga lambda nimetame maatriksit, mille elementideks on maatriksi kõigi elementide korrutised arvuga lambda. 5. Def. 5 (m x n) järku A vastandmaatiksiks (-A) nimetatakse sama järku maatriksit, mille elementideks on lähtemaatriksi A kõigi elementide vastandväärtused 6. Def. 6 (m x n) järku maatrikiste A ja B vaheks nimetatame sama järku maatriksi (A-B), mis loetakse võrseks maatriksi A ja maatriksi (-1)*B summa 7. Def
tan = ; cot = cot tan 1 1 + tan 2 = cos 2 Kahekordse nurga valemid: sin 2 = 2 sin cos cos 2 = cos 2 - sin 2 2 tan tan 2 = 1 - tan 2 Liitmisvalemid: sin ( + ) = sin cos +cos sin cos( + ) = cos cos +sin sin tan + tan tan (+ ) = 1 +tan tan Summa teisendamine korrutiseks: + - sin + sin = 2 sin cos 2 2 + - sin - sin = 2 cos sin 2 2 + - cos + cos = 2 cos cos 2 2 + - cos - cos = -2 sin sin 2 2 +tan sin ( + ) tan =
1 tan x 16. Lihtsusta sin 2 x (1) 1 tan 2 x 1 tan 2 x tan 270 a sin 90 a 17. Tõesta 1 tan 90 a sin 2 270 cos 360 a a a 18. Teisenda korrutiseks 1 sin a cos a 2 2 cos cos 45 2 2 19. Teisenda korrutiseks cos a cos 2a cos 3a a a 4 cos 2a sin 30 sin 30 2 2 a a 1 cos sin 2 2 a 1 20
liidetakse 1) 2) 3) 9.Hulkliikme jagamine üksliikmega - jagatakse hulkliikme iga liige selle üksliikmega ja tulemused liidetakse selgitus: 1) 2) 3) 10.Hulkliikme tegurdamine - hulkliikme 1) teisendamine korrutiseks: 2) 1)leiame hulkliikme kõigi liikmete ühise teguri, millega kõik liikmed jaguvad 3) 2)leitud teguri toome sulgude ette, s.t. toome ta sulgudest välja 3)sulgudesse kirjutame hulkliikme, mis saadakse antud hulkliikme jagamisel selle ühisteguriga 11.Kaksliikmete korrutamine - ühe (x+y)(u+v)=xu+xv+yu+yv kaksliikme kumbki liige korrutada teise kaksliikme kummagi liikmega, tulemused liita, võimalusel koondada 12.Rühmitamisvõte - avaldada hulkliige korrutisena
Lineaarsed tehted geomeetriliste vektoritega (liitmine ja skalaariga korrutamine). Lineaarsete tehete 8 omadust. Def. 1. Geomeetriliseks vektoriks nimetatakse suunatud lõiku. Geomeetriline vektor on kujutatud järgmisel joonisel. uuur uuur uuur uuur uuur uuur Def. 4. Vektorite AB ja BC summaks nimetatakse vektorit AC ja tähistatakse AC = AB + BC . Def. 5. Arvu (skalaari) ja geomeetrilise vektori korrutiseks nimetatakse vektorit c , mis rahuldab tingimusi: 1) vektor c on paralleelne vektoriga ; 2) kui c 0 , siis vektori c suund ühtib vektori suunaga, c < 0 korral aga on vektorid c ja vastassuunalised; 3) vektori c pikkus saadakse vektori pikkuse korrutamisel arvu c absoluutväärtusega c . Seega c P , c = c . Liitmist ja skalaariga korrutamist nimetatakse lineaarseteks teheteks. Teoreem
90 = 9 10 = 9 10 = 3 10 vaheetappe kirja panema! · ab = a b Mittenegatiivsete arvude korrutise aritmeetiline ruutjuur võrdub 12 = 3 4 = 3 4 = 2 3 nende arvude aritmeetiliste ruutjuurte korrutisega. 20 = 4 5 = 4 5 = 2 5 a a Nipp seisneb selles, et arvu korrutiseks teisendamisel tuleb leida just · = b b niisugused tegurid, kus vähemalt ühest saab võtta ruutjuurt. Positiivsete arvude jagatise aritmeetiline ruutjuur võrdub nende · c a = c2 a arvude aritmeetiliste ruutjuurte jagatisega.
a2 - b2 = (a + b)(a - b), a3 ± b3 = (a ± b)(a2 ab + b2 ). Ruutkolmliikme lahutamine tegureiks Kui v~orrand ax2 + bx + c = 0 on lahenduv ja lahendid on -b ± b2 - 4ac x1,2 = , 2a siis vastav ruutkolmliige ax2 + bx + c lahutub lineaartegurite korrutiseks ax2 + bx + c = a(x - x1 )(x - x2 ).
. akn(k-1) nimetatakse maatriksi kõrvaldiagonaaliks. a11 priviligeeritud element. Tehted maatriksiga Def 2 : maatriksid A ja B loetakse võrdseks, kui nad on sama järku ( ühepalju ridu ja veerge) ja nende kõik vastavad elemendid on võrdsed . A: (pxq) B: (rxs) p=r q=s Def 3 : (mxn) järku maatriksite A ja B summaks nimetatakse sama järku numbrite A + B, mille elemendiks on lähte maatriksite kõigi vastavate elementide summa. A+B=(aij + bij) A,B; A+B Mmxn Def 4 : (mxn) järku maatriksi A korrutiseks arvuga µ nimetatakse sama järku maatriksi µA, mille elemendiks on maatriksi A kõigi elementide korrutis selle arvuga. Arvuga korrutamisel järk ei muutu. A,µA Mmxn µA=(µaij) Def 5 : maatriksi A vastand maatriks A nimetatakse sellist maatriksi, mille elemendiks on lähtemaatriksi A kõigi elementide vastandväärtused. A; -A Mmxn -A=(-aij) Def 6 : (m×n) järku maatriksite A ja B vaheks nimetatakse sama järku maatriksit A B, mis loetakse võrdseks maatriksi A ja (-1)B summaga.
1 - cos = 2 sin 2 ; _ 1 - cos 2 = 2 sin 2 (a+b)² = a² +2ab +b² 2 2 1 + cos = 2 cos ; _ 1 + cos = 2 cos 2 (a-b)² = a² -2ab +b² 2 2 4 Summa _ teisendus _ korrutiseks : (a+b)(a-b) = a² -b² + - sin + sin = 2 sin · cos 2 2 (a+b)³ = a³ +3a²b +3ab² +b² + - sin - sin = 2 cos · sin 2 2
Raudvara 2.peatükk 1. Tegurdamine - - Tegurdamine Avaldise muutmine korrutiseks. 1.Teguri toomine sulgude ette. 2. Valemite kasutamine. ( (a+b2) = a2 + 2ab +b2 / (a + b)((a b) = a2 - b2 3. Ruutkolmliikme tegurdamine. ( ax2 +bx+c = a(x-x1)(x-x2) ) 4. Rühmitamisvõte. - Avaldise teisendamine tähendab avaldise võimalikult lihtsa või meile sobiva kuju andmine. - Võrdust, mille poolteks on võrdsed avaldised nim. samasuseks. Näide: 2. Arvulise murru taandamine -
Juhuslik sündmus - sündmus, mis antud vaatluse või katse korral võib toimuda, aga võib ka mitte toimuda Kindel sündmus-sündmus, mis teatud tingimuste korral alati toimub Sõltumatu sündmus -Kaht sündmust nimetatakse sõltumatuteks, kui neist ühe toimumune ei muuda teise tõenäosust. Teineteist välistavad sündmused-Sündmusi, mille korrutiseks on võimatu sündmus, nimetatakse teineteist välistavateks. Kombinatsioonid-Katses osaleb m elementi, katse tulemuseks on k erineva elemendi välja valimine nende elementide hulgast. Permutatsioon-Kõikvõimalike erinevate järjestuste arv etteantud elementidest nimetatakse permutatsioonideks Variatsioonid-Katses osaleb m elementi, katse tulemuseks on k erineva elemendi kindlas järjekorras välja valimine nende elementide hulgast
≤1 ⇒ −1≤0 ⇒ ≤0 a) Viia kõik liikmed vasakule poole 𝑥+3 𝑥+3 𝑥+3 b) Lihtsustada 𝑥−5 c) Teisendada jagatis korrutiseks ≤0 ⇒ …(𝑥 − 5)(𝑥 + 3) ≤ 0 (𝑥 ≠ −3) d) Lahendada saadud võrratus 𝑥+3 Nullkohad: 5; –3 V: x 3 ; 5 -3 5 x 5
cos( ± ) = cos cos sin sin tan ± tan 2 2 tan( ± ) = sin 2 + cos 2 = 1 1 tan tan cos 2 - sin 2 = cos 2 2 Trigonomeetriliste funktsioonide summa ja vahe + teisendamine korrutiseks ja vastupidi I sin( + ) = sin cos + sin cos 2 cos 2 = 1 + cos II sin( - ) = sin cos - sin cos 2 III cos( + ) = cos cos - sin sin 2 sin 2 = 1 - cos IV cos( - ) = cos cos + sin sin 2
Tükeldust märgitakse kompaktsemal kujul P={{abe}{cd}}(P=Õpikus toodud näitega). Seega edaspidi kasutame tükeldusel P(Eeldatavsti sõnast Partition) Milliseid tehteid saab tükeldustega teha? Tükelduse jaoks on defineeritud 2 aritmeetilist tehet: liitmine ja korrutamine ning võrdlustehted <,>. Kas erinevate hulkade tükeldustega saab teha tehteid? Ei, omavahel liita,korrutada ja võrrelda saab ainult sama hulga tükeldusi. Mis on tükelduste korrutiseks või tükkelduste summaks? Korrutis: Tegurite plokkide ühisosad on korrutise plokkideks. Liitmine: Kui liidetavate tükelduste mingi plokkipaar omab ühisosa, siis nende kahe ploki ühend kuulub summas ühte plokki. Vt. näited lk 125-126 Millisel juhul on tükeldus mingist teisest tükeldusest väiksem? Kui hulga tükelduse P1 iga plokk sisaldab tervikuna sama hulga mingi teise tükelduse P2 mingis plokis, siis P1 on väiksem kui P2.
(MxN) järku maatriksite A ja B summaks nimetatakse samajärku maatriksit A+B, mille elementideks on lähtemaatriksite kõigi vastavate elementide summa. A(aij) + B(aij) = A+B(a ij+bij). (MxN) A korrutiseks arvuga nimetatakse samajärku maatrikisit ·A, mille elementideks on maatriksi A kõigi elementide korrutised selle arvuga A; ·A= ·a ij) ; A, ·AM(mxn) . Maatriksi A vastandmaatriksiks A nim sellist maatriksit mille elementideks on lähtemaatriksi A kõigi elementide vastand väärtused; -A=(-a ij) ; A, -AM (mxn) . (MxN) järku maatriksite A ja B vaheks nim sama järku maatriksit A-B mis loetakse võrdseks maatriksi A ja (-1)·B summa A-B=A+(-1)·B; A-B=(a ij-bij)
1Mis on üksliige? Üksliikmeks nimetatakse avaldist, kus on kasutatud ainult korrutustehet. 1Mis on hulkliige? Hulkliikmeks nimetatakse üksliikmete summat. 1Mis on tegurdamine? Tegurdamiseks nimetatakse avaldise teisendamist korrutiseks. 1Nimeta tegurdamise võtted 1)Teguri sulgudest välja toomine 2)Korrutise abivalemite kasutamine 3)Rühmitamisvõtte kasutamine 4)Ruutkaksliikme tegurdamine 1Mis on teoreem? Teoreem on lause, mida on vaja tõestada teada olevate tõdede põhjal. 1Mis on teoreemi eeldus? Teoreemi eeldus ütleb, mis on antud või teada. 1Mis on teoreemi väide? Teoreemi väide ütleb, mida saab eeldusest järeldada, ehk mida on vaja tõestada. 1Mis on kolmnurga kesklõik? Tee selgitav joonis
2. Teineteist välistavate sündmuste summa, korrutis ja vahe. Sündmuste A ja B summaks elementaarsündmuste hulgas nimetatakse sündmust, mis toimub parajasti siis, kui toimub kas sündmus A või sündmus B või mõlemad. Sündmuste A ja B summat tähistatakse sümboliga A U B. N 1. Olgu täringu viskel sündmus A = {1, 3, 5} ja sündmus B = {1, 2, 3}, siis A U B = A + B = {1, 2, 3, 5}. Sündmuste A ja B korrutiseks elementaarsündmuste hulgas nimetatakse sündmust, mis toimub parajasti siis, kui toimuvad üheaegselt nii sündmus A kui ka sündmus B. Sündmuste A ja B korrutist tähistatakse sümboliga A B. N 2. Olgu täringu viskel sündmus A = {1, 3, 5} ja sündmus B = {1, 2, 3}, siis A B = AB = {1, 3}. Sündmusi, mille korrutiseks on võimatu sündmus, nimetatakse üksteist välistavateks. Kui A = {1, 3, 5} ja B = {2, 4, 6}, siis AB = Ø , siis öeldakse sündmused A ja B on teineteist välistavad.
Näide 2 cos x cos 2 x = cos 3x [cos(2 x - x) + cos(2 x + x)] / 2 = cos 3 x [cos x + cos 3 x] / 2 = cos 3 x cos x = cos 3x cos x = cos 3x x = ±3 x + 2n 1) x = +3 x + 2n 2) x = -3x + 2n 4 x = 2n - 2 x = 2n x = - n x = n / 2 Võrrandid, mille vasak pool teisendub korrutiseks ja parem pool on null Näide cos 4 x + cos 2 x = 0 4x + 2x 4x - 2x 2 cos cos =0 2 2 2 cos 3 x cos x = 0 2 1) cos 3 x = 0 3 x = ± 2 + 2n x = ± + n 6 3 2) cos x = 0 x = ± + 2n 2
tagajärjel sulguvad ning neis olev õli satub kõrge rõhu alla, mis omakorda soodustab pragude suurenemist. Nii kordub see seni, kuni pragusid sulgevad metalliosakesed ära murduvad. Kui aga kontaktpinged ei ületa praktikaga kindlaksmääratud lubatavat väärtust siis murenemist ei esine.17. Tehted vektoitega- Vektori korrutamine ja jagamine skalaariga-Vektor a ja posit skalaari korutiseks on n vector mille suurus on a * n jam is on suunatud samas suunas kui a. Vektor a ja negat skalaari korrutiseks on n vector jam is on suunatud vastas suunda kui a. Vektorite liitmine- Selleks, et liita mitut vektorit, tuleb esimese (I) vektori lõpust tõmmata teine vektor (II), II vektori lõpust kolmas (III) vektor jne. Liitmise tulemuseks on vektor, mis on tõmmatud I vektori algusest viimase vektori lõppu. Vektorite lahutamine-Selleks, et lahutada ühte vektorit teisest, tuleb teisele vektorile liita esimese vastandvektor. Antud vektori vastandvektoriks nimetatakse vektorit, millel
ridade arvuga. Tulemuseks on maatriks, mille ridade arv võrdub esimese maatriksi ridade arvuga ja veergude arv võrduv teise maatriksi veergude arvuga. Selleks et saada i-nda rea k-ndat elementi tuleb esimese maatriksi i-s reavektor korrutada teise maatriksi k-nda veeruvektoriga skalaarselt. Maatriksite korrutamine ei ole üldjuhul kommutatiivne. Kahe nullist erineva maatriksi korrutis võib anda nullmaatriksi. Mingi maatriksi korrutamisel ühikmaatriksiga saame korrutiseks esialgse maatriksi. 8)n-järku determinandid. Teist ja kolmandat järku determinandid kui erijuhtumid. N-järku ruutmaatriksile seatakse vastavusse realarvuline parameeter, mida nimetatakse n-ndat järku determinandiks, mis on sobivalt valitud märgiga. Kõikvõimalike niisuguste n teguri korrutiste summa, kus tegurid on valitud maatriksi erinevatest ridadest ja veergudest. Teist järku determinant sisaldab 2 liidetavat mis on maatriksi kahe elemendi korrutised. Teist järku
cos 2 sin 2 Kahekordse nurga valemid: sin 2 = 2 sin cos , cos 2 = cos 2 - sin 2 , 2 tan tan 2 = 1 - tan 2 Summa ja vahe siinus ning koosinus: sin( ± ) = sin cos ± cos sin cos( ± ) = cos cos sin sin Trigonomeetriliste funktsioonide summa ja vahe teisendamine korrutiseks: + - + - sin + sin = 2 sin cos sin - sin = 2 cos sin 2 2 2 2 + - + - cos + cos = 2 cos cos cos - cos = -2 sin sin 2 2 2 2
INTEGREERIDA SAADUD VALEMI JÄRGI. Seda valemit nimetatakse ositi integreerimise valemiks. Paneme nüüd kirja ametliku, korraliku tekstina: Kui u ja v on diferentseeruvad funktsioonid argumentide hulgal X ja eksisteerib määramata integraal d(uv) , siis eksisteerib ka määramata integraal vdu, mis seob funktsioone u ja v järgmise avaldise näol: u dv = uv - vdu Ositi integreerimisel üritatakse kahe funktsiooni korrutise integraali vaatlemisel kui avaldist f(x) dx lahutada korrutiseks u dv nii, et ositi integreerimisel saadav integraal oleks võimalikult lihtne. Valemit nähes ei ole vaja kohkuda: siin on lihtsalt väljendatud seoseid funktsiooni, tema diferentsiaali ja integraali vahel ning neid seosesi saab kasutada korrutiste integreerimisel.
Kahe vektori vahe leidmiseks viiakse nad ühisesse alhuspunkti ja nende vahe on vektor, mis kulgeb vähendaja lõpp-punktist vähendatava lõpp-punkti. Vektorite liitmine allub järgmistele arvutusseadustele: 1. vektorite liitmine on kommutatiivne ( a+b=b+a) 2. vektorite liitmine on assotsiatiivne a+(b+y)=(a+b)+y 3. lahutamise olemasolu seadus, tähendab seda et ka vektorvõrdustes võib viia liikmeid teisele poole, muutes märki. Vektori korrutamine arvuga Vektori korrutiseks arvuga nim vektorit mille pikkus võrdub arvu absoluutväärtuse ja lähtevektori pikkuse korrutisega ning mis on lähtevektoriga sama- või vastassuunaline vastavalt sellele,kas arv on positiivne või negatiivne. Vektorruumi mõiste kõigi n-dimensionaalsete vektorite hulka nim n-dimensionaalseks vektorruumiks Kahe vektori skalaarkorrutis nim arvu, mis on võrdne nende vektorite pikkuste ja vektoritevahelise nurga koosinuse korrutisega Skalaarkorrutise omadused 1
AC AB BC Kompleksarvude jagamine: 1/ 2 = ( x1 iy1)/( x2 iy2) , eeskiri, alt i ei jääks. Kordumine: MAATRIKSID. Arvu (skalaari) ja geomeetrilise vektori korrutiseks Kompleksarvude astendamine: m×n- maatriksiks nimetatakse m reast ja n veerust nimetatakse vektorit c, n=(x+iy)n koosnevat ristkülikukujulist arvude tabelit mis rahuldab tingimusi: 1) vektor con paralleelne vektoriga ;
Algebraliste murrud © T. Lepikult, 2010 Algebraliste murdude korrutamine Kahe algebralise avaldise jagatist nimetatakse algebraliseks murruks. Tehteid algebraliste murdudega sooritatakse nagu harilike murdudega: Kahe murru korrutiseks on murd, mille lugejaks on teguriteks olevate murdude lugejate korrutis, ja nimetajaks on teguriteks olevate murdude nimetajate korrutis: a c ac b d bd Näide x y 3x z ( x y ) (3x z ) . 3a y 5 x 5 x (3a y ) algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp
lõpp-punkti. Vektorite a ja b summaks on vektor mis kulgeb esimese liidetava alguspunktist teise liidetava lõpp-punkti. 7. vektorite lahutamine- Vektorite a ja b vaheks nimetatakse vektorit d, millel on omadus b+d=a. Kahe vektori vahe leidmiseks viikse nad ühisesse alguspunkti ja nende vahe on vektor, mis kulgeb vähendaja lõpp-punktist vähendatava lõpp-punkti. 8. vektori ja reaalarvu korrutis- vektori korrutiseks arvuga nimetatakse vektorit, mille pikkus võrdub arvu absoluutväärtuse ja lähivektori pikkuse korrutisega ning mis on lähivektoriga sama- või vastassuunaline vastavalt sellele, kas arv on positiivne või negatiivne 9. Vektori pikkus- Lõigu AB pikkust nimetatakse vektori AB pikkuseks ja tähistatakse | AB| . Vektori AB(x,y,z) pikkust saab arvutada valemiga AB=√ x2 + y 2 + z 2 10.Kollineaarsed vektorid- Vektorid on kollineaarsed, kui mõlemad lõigud
Paarisarvu silmade tulek (sündmus B) tõenäosus täringu viskamisel on p(B) = = 0,5. 6 Et paaritu arvu silmade tulek täringu viskamisel on sündmuse B vastandsündmus B , siis selle tõenäosus p( B ) = 1 p(B) = 0,5. 2. Sündmuste korrutis ja summa · Sündmust, mis seisneb nii sündmuse A kui ka sündmuse B toimumises, nimetatakse sündmuste A ja B korrutiseks (ühisosaks). A·B=AB A B Välistavate sündmuste korrutis on võimatu sündmus. A · B = V. [Kahte sündmust, mis ei saa sama katse tulemusena toimuda ehk ei saa esineda üheaegselt, nimetatatkse teineteist välistavateks sündmusteks.] Näide 1. Olgu sündmuseks A ristikaardi saamine ja sündmuseks B piltkaardi saamine 36-
1. (a b) 2 a 2 2ab b 2 . 2. (a b) 2 a 2 2ab b 2 . 3. (a b)3 a 3 3a 2b 3ab 2 b3 . 4. (a b)3 a 3 3a 2b 3ab 2 b3 . 5. a 2 b 2 (a b)(a b). 6. a 3 b3 (a b)(a 2 ab b 2 ). 7. a 3 b3 (a b)(a 2 ab b 2 ). algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Ruutkolmliikme lahutamine tegureiks. Kui võrrand ax 2 bx c 0 on lahenduv (lahendid x1 ja x2), siis vastav ruutkolmliige ax 2 bx c lahutub lineaartegurite korrutiseks: ax 2 bx c a( x x1 )( x x2 ). Näide Et ruutvõrrandi 3x 2 8 x 3 0 lahendid on 1/3 ja 3, siis 3x 2 8 x 3 3( x 1 / 3)( x 3) (3x 1)( x 3). algusesse eelmine slaid esitluse lõpp
Sündmuste vahelised seosed on nagu vastavate hulkade vahelised seosed. 1. AB, sündmus B järeldub sündmusest A ehk sündmus A sisaldub sündmuses B. Näiteks: A = (2) ja B = (2;4;6), siis AB. 2. A = B, kui AB ja BA. 3. AB = C, sündmuste A ja B summaks ehk ühendiks nimetatakse sündmust C, mis toimub siis, kui toimub vähemalt üks sündmustest A või B. Näiteks: A = (2;5) ja B = (1;3;5). Siis C = ( 1;2;3;5) 4. AB = C, sündmuste A ja B korrutiseks ehk ühisosaks nimetatakse sündmust, mis toimub siis, kui toimuvad mõlemad sündmused A ja B. Eelmise näite põhjal C = (5) 5. A B = C, sündmuste A ja B vaheks nimetatakse sündmust C, mi toimub siis, kui sündmus A toimub ja sündmus B ei toimu. 6. A, vastandsündmuseks nimetatakse kindla sündmuse ja juhusliku sündmuse A vahet. 7. AB = , kui sündmuste A ja B korrutiseks on võimatu sündmus,
18 9 (jagasime lugeja ja nimetaja 2-ga); näiteks = 16 8 2 6 2 (jagasime lugeja ja nimetaja 3-ga); = 9 3 3 b) murru laiendamisel (murru lugeja ja nimetaja korrutamisel ühe ja sama nullist erineva arvuga): 8 40 (korrutasime lugeja ja nimetaja 5-ga). näiteks = 15 75 Murdude korrutamine Murdude korrutiseks on murd, mille lugejaks on tegurite lugejate korrutis, ning nimetajaks tegurite nimetajate korrutis. 1 Näited 1) 5 3 5 3 5 = = . 12 4 12 4 16 4 2) 2 1 7 2 = 11 23 = 11 23 = 253 = 16 13 . 5 3 5 3 53 15 15 Murdude jagamine Murdude jagatiseks on murd, mille lugejaks on jagatava lugeja ja jagaja
P(V) = 0. 4. Sündmuse A ja tema vastandsündmuse A tõenäosuste summa on 1, st. P(A) + P( A ) = 1. N ä i d e 2. Eelmises näites leidsime paarisarvu silmade tuleku tõenäosuse täringu viskel, P(A) = 0,5. Et paaritu arvu silmade tulek täringu viskel on sündmuse A vastandsündmus A , siis selle tõenäosus P(A) =1- P(A) =1- 0,5 = 0,5. 8. Sündmuste korrutis, vahe ja summa. sündmust, mis seisneb nii sündmuse A kui ka sündmuse B toimumises, nimetatakse sündmuste A ja B korrutiseks. Ühisosa peab olema. N ä i d e 2. Kaardipakist, milles on 36 kaarti, võetakse juhuslikult üks kaart. Olgu sündmuseks A risti saamine ja sündmuseks B pildi saamine. Leiame sündmuste A ja B korrutise tõenäosuse. Et sündmus AB tähendab ristimastist pildi saamist, siis soodsaid juhte on 3: ristisoldat, ristiemand ja ristikuningas. Otsitav tõenäosus P (AB) = 3 /36=0,08. Kahte sündmust, mis ei saa katse tulemusena toimuda (st ei saa esineda üheaegselt) nim
ruutmaatriks ridade arv = veergude arv m=n diagonaalmaatriks ruutmaatriks, mille kõik elemendid väljaspool peadiagonaali on 0. ühikmaatriks diagonaalmaatriks, mille kõik peadiagonaali elemendid on 1. tähistus E. 2. Tehted maatriksitega (korrutamine arvuga, liitmine, lahutamine, korrutamine). Korrutamine arvuga: maatriksi korrutamisel arvuga korrutatakse kõik tema elemendid selle arvuga. (m x n)-maatriksi A = (aij) korrutiseks reaalarvuga c nimetatakse (m x n)- maatriksit cA = (bij), kus indeksite i ja j kõigi väärtuste korral bij = caij Maatriksite liitmine: samamõõtmeliste maatrikside liitmisel summeeritakse nende vastavad elemendid. Kahe (m × n)-maatriksi A = (aij ) ja B = (bij ) summaks nimetatakse (m × n)-maatriksit A + B = (cij ), kus cij = aij + bij indeksite i ja j kõigi väärtuste korral
Sündmused. Kindel A = {1, 3, 5} ja sündmus B = {1, 2, 3}, perekonnas on sündmus (tähistatakse K) - sündmus, siis A B = AB = {1, 3}.Sündmusi, mis teatud tingimuste korral alati mille korrutiseks on võimatu toimub.Kindlateks sündmusteks on sündmus, nimetatakse üksteist kooliaasta algus 1. septembril, välistavateks.Kui A = igahommikune päikesetõus, vesi on {1, 3, 5} ja B = {2, 4, 6}, siis AB ämbris vedelas olekus kui temperatuur = , siis öeldakse on 10 kraadi. Võimatu sündmused A ja B on sündmus (tähistatakse V) - sündmus, teineteist välistavad.
Hulkade H1,....,Hn, otsekorrutiseks e Cartesiuse korrutiseks H1x...xHn nim kõigi järjendite (h1...hn), kus hkHk (k=1,...,n), hulka. Järjendit nim ka korteeziks. Kui Hk=H (k=1,...,n), siis n teguri, millest igaüks on H, otsekorrutise H x...x H jaoks kasutatakse ka tähistust Hn Aritmeetiliseks punktruumiks Rn nimetatakse otsekorrutist Rn, kus R tähistab reaalarvude hulka. Aritmeetiliseks vektorruumiks Rn nimetatakse hulka Rn, mille elementidel on defineeritud liitmine ja arvuga korrutamine järgmiselt: (x1,...,xn)+(y1,...,yn)=(def) (x1+y1,...,xn+yn), (x1,...,xn)=(def) (x1,...,xn), kus (x1,...,xn), y1,...,yn) Rn ja R Ruumi Rn punktide p(x1,...,xn) ja Q(y1,...,yn) vaheliseks kauguseks nim arvu d(P,Q)= ( x1 - y1) 2 + ... + ( xn - yn) 2 . Vektorruumi Rn vektorite x=(x1,...,xn) ja y=(y1,..,yn) skalaarkorrutiseks nim arvu x*y=x1y1+...+xnyn Vektorruumi Rn nullvektorist erinevate vektorite x=(x1,...,xn) ja y=(y1,...,yn) vahelise nurga koosinuse...
nimetatakse sündmust, mis toimub parajasti siis, kui toimub kas sündmus A või sündmus B või mõlemad. Sündmuste A ja B summat tähistatakse sümboliga A U B. Näide 1. Olgu täringu viskel sündmus A = {1, 3 5} ja sündmus B = {1, 2 3}, siis A U B = , , A + B = {1, 2 3, 5}. , Sündmuste korrutis Sündmuste A ja B korrutiseks elementaarsündmuste hulgas nimetatakse sündmust, mis toimub parajasti siis, kui toimuvad üheaegselt nii sündmus A kui ka sündmus B. Sündmuste A ja B korrutist tähistatakse sümboliga A B. Näide 2. Olgu täringu viskel sündmus A = {1, 3 5} ja sündmus B = {1, 2 3}, siis A B = , , AB = {1, 3}. Sündmusi, mille korrutiseks on võimatu sündmus, nimetatakse üksteist välistavateks.
annaabi.ee 
