N˜oude 30 t¨aidetus tuleneb aga j¨argnevast arutelust. Olgu A1 , . . . , An ∈ T ja A = ∩ni=1 Ai . Kui A = ∅, siis A ∈ T hulga T definitsiooni kohaselt. Seet˜ottu eeldame, et A = ∅. Olgu x ∈ A. Siis x ∈ Ai iga i = 1, . . . , n korral ja Ai ∈ T t˜ottu leiduvad sellised lahtised vahemikud ]ai ; bi [, et x ∈]ai ; bi [⊂ Ai . Valides arvuks a suurima arvudest a1 , . . . , an ja arvuks b v¨ahima arvudest b1 , . . . , bn , saame x ∈]a; b[⊂ Ai iga i korral. J¨arelikult x ∈]a; b[⊂ A = ∩ni=1 Ai . Kuna x oli valitud mis tahes elemendina hulgast A, siis hulga T definit- siooni kohaselt A = ∩ni=1 Ai ∈ T . Seega T rahuldab ka lahtistele hulkadele esitatavat n˜ouet 30 ja (R, T ) on topoloogi- line ruum. Saadud topoloogiat T nimetatakse loomulikuks topoloogiaks reaalarvude hulgal R. Kui ei ole ¨oeldud midagi muud, siis r¨a¨akides reaalarvude hulgast R kui topoloogili- sest ruumist, m˜oeldakse teda ruumina loomuliku topoloogia suhtes. Teoreem 1
ja teine on . M~olemad liidetavad on l~opmatult kahanevad protsessis x 0. V~ordleme neid suurusi x suhtes. Esiteks, eelduse f'(a) 0 p~ohjal saame lim dy x= lim f'(a)/x* x= lim f'(a) = f(a) 0. x0 x0 x0 Teiseks kehtib lim / x = lim r(x)x /x = lim r(x) = 0. x0 x0 x0 N¨aeme, et esimene liidetav, so diferentsiaal dy on sama j¨arku l~opmatult kahanev suurus kui x ja teine liidetav on k~orgemat j¨arku l~opmatult kahanev suurus x suhtes. J¨arelikult v¨aikese x korral hakkab diferentsiaal funktsiooni muudu avaldises domineerima. Seet~ottu v~oime lugeda diferentsiaali dy funkt- siooni muudu peaosaks. J¨a¨akliikme v~oib v¨aikese x korral funktsiooni muudu avaldises ¨ara j¨atta. Kehtib ligikaudne valem y dy kui x 0. Loetleda diferentsiaali omadused. 1. d(u + v) = du + dv, 2. d(u - v) = du - dv, 3. d(uv) = vdu + udv, 4. d(Cu) = Cdu, C - konstant, 5. d(u/ v)= (vdu-udv)/ v2 kui v 0. 24
N¨ aide. Vaatleme joont { x = a cos t (1.7) y = b sin t , t [0, 2] , kus a ja b on positiivsed konstandid. Arvutame x2 y2 (a cos t)2 (b sin t)2 2 + 2 = 2 + = (cos t)2 + (sin t)2 = 1 . a b a b2 J¨ arelikult on vaadeldava joone v~orrand x ja y kaudu esitatuna j¨argmine: x2 y2 2 + 2 = 1. a b Seda joont nimetatakse ellipsiks (joonis 1.16). Arve a ja b nimetatakse ellipsi pooltelgedeks. 20 yy b
tujat t selle joone parameetriks. N¨ aide. Vaatleme joont x = a cos t (1.7) y = b sin t , t [0, 2] , kus a ja b on positiivsed konstandid. Arvutame x2 y2 (a cos t)2 (b sin t)2 2 + 2 = 2 + = (cos t)2 + (sin t)2 = 1 . a b a b2 J¨arelikult on vaadeldava joone v~orrand x ja y kaudu esitatuna j¨argmine: x2 y2 2 + 2 = 1. a b Seda joont nimetatakse ellipsiks (joonis 1.16). Arve a ja b nimetatakse ellipsi pooltelgedeks. 20 yy b
bool. M¨a¨aramispiirkonna X = [0; 2] otspunktides on ruutfunktsiooni v¨a¨artus 0, seega on ka antud funktsiooni v¨ahim v¨a¨artus 0. Ruutfunktsiooni suurimaks v¨a¨artuseks on parabooli haripunkti ordinaat. Parabooli haripunkti abstsiss 0+2 on xh = = 1, millele vastav ordinaat on yh = 2 · 1 - 12 = 1. V¨a¨artus 2 1 on juure all oleva ruutfunktsiooni suurimaks v¨a¨artuseks ning u ¨htlasi juu- re suurimaks v¨a¨artuseks. J¨arelikult on funktsiooni muutumispiirkonnaks l~oik Y = [0; 1]. 5 1.1.3 Funktsioonide liigitamine Funktsioone liigitatakse nende s¨ ummeetriaomaduste, v¨a¨artuste kordumise v~oi mingi muu tunnuse alusel. Definitsioon 1.4. Funktsiooni y = f (x) nimetatakse paarisfunktsioo- niks, kui x X korral f (-x) = f (x). Paarisfunktsioonideks on n¨aiteks y = x2 , y = |x| ja y = cos x. Neist kahe esi-
ment on uj , siis v~oib osatuletise xij kirjutada kujul xji . Peale selle, kuna F f funktsioonide F ja f s~oltuv muutuja on z, v~oib osatuletisi u j ja x i t¨ahistada z z vastavalt s¨ umbolitega uj ja xi . J¨arelikult saab valemi (6.11) kirja panna ka j¨argmiselt: n z z u1 z u2 z un z uj = + + ... + = . (6.12) xi u1 xi u2 xi un xi j=1
=e sin2 x . Arvestame, et cos 2x = cos2 x - sin2 x ja sin2 x + cos2 x = 1, siis ln(cos 2x) ln(cos2 x - sin2 x) 1 - 2 sin2 x = = . sin2 x sin2 x sin2 x Kuna (-2 sin2 x) 0 (x 0), siis ln(1 - 2 sin2 x) -2 sin2 x. J¨arelikult ln(cos 2x) -2 sin2 x lim = lim = -2. x0 sin2 x x0 sin2 x Kokkuv~ottes 2 lim (cos 2x)1/ sin x = e-2 . x0 N¨ aide 8
-x - x2 + 1 -1 1 = log = log = log 1 - log x + x2 + 1 = 2 -x - x + 1 x + x2 + 1 = - log(x + x2 + 1) = -f (x). J¨arelikult on uuritav funktsioon paaritu funktsioon. Skitseerime selle funktsiooni graafiku l~oigul [-10; 10] 1.2 1 0.8 y 0.6 0.4 0.2
on liitfunktsioonid, mille sisemiseks funktsiooniks on y = f(x) Üksühese funktsiooni pöördfunktsiooni diferentseerimine (sõnastada ja tõestada vastav teoreem). Olgu u¨ksu¨hese funktsiooni y = f(x) p¨o¨ordfunktsioon x = g(y). Siis kehtib valem g'[f(x)] = 1/f'(x) . T~oestus. Funktsiooni f argument on x ja s~oltuv muutuja y. Seega f'(x) = dy /dx. P¨o¨ordfunktsiooni x = g(y) argument on y ja s~oltuv muutuja x. J¨arelikult g'(y) = dx /dy. Kasutades neid valemeid arvutame: g'[f(x)] = g'(y) = dx/dy = 1/dy/dx = 1/f'(x) . Parameetrilise funktsiooni diferentseerimine (sõnastada ja tõestada vastav teoreem). Olgu funktsioon y = f(x) antud parameetrilisel kujul v~orranditega x = (t) y = (t). Siis kehtib valem F'(x) = '(t)/ '(t) . T~oestus. Funktsiooni f argument on x ja s~oltuv muutuja y. Seega f'(x) = dy /dx. Funktsiooni x = (t) argument on t ja s~oltuv muutuja x. J¨arelikult '(t) = dx /dt .
. . i+1 i . . . n . Paneme t¨ahele, et kummaski permutatsioonis arvudele i ja i+1 eelnevate ja j¨argnevate arvudega inversioonid s¨ailusid. Ainus inversiooni muutus tekkis u¨leminekul paarilt (i , i+1 ) paarile (i+1 , i ). Seega inversioonide arv I (1 , . . . , i , i+1 , . . . , n ) erineb ainult u ¨he v~orra inversioonide arvust 22 I (1 , . . . i+1 , i , . . . , n ). J¨arelikult jutuks olevad permutatsioonid on eri- neva paarsusega. Vaatleme n¨ uu ¨d olukorda, kui vahetatavad arvud ei ole k~orvuti: olgu nende vahel s arvu. L¨aheme permutatsioonilt 1 . . . i i+1 . . . k-1 k . . . n (2.2) s u ¨le permutatsioonile 1 . . . k i+1 . . . k-1 i . . . n (2.3) s
Paneme t¨ahele, et kummaski permutatsioonis arvudele αi ja αi+1 eelnevate ja j¨argnevate arvudega inversioonid s¨ailusid. Ainus inversiooni muutus tekkis u¨leminekul paarilt (αi , αi+1 ) paarile (αi+1 , αi ). Seega inversioonide arv I (α1 , . . . , αi , αi+1 , . . . , αn ) erineb ainult u ¨he v˜orra inversioonide arvust 22 I (α1 , . . . αi+1 , αi , . . . , αn ). J¨arelikult jutuks olevad permutatsioonid on eri- neva paarsusega. Vaatleme n¨ uu ¨d olukorda, kui vahetatavad arvud ei ole k˜orvuti: olgu nende vahel s arvu. L¨aheme permutatsioonilt α1 . . . αi αi+1 . . . αk−1 αk . . . αn (2.2) s u ¨le permutatsioonile α1 . . . αk αi+1 . . . αk−1 αi . . . αn (2.3)
v¨a¨artust M sellel l~oigul, seega kehtib omadus 7. Jagades selle v¨aites esineva m~olema v~orratuse m~olemat poolt integreerimisl~oigu pikkusega b - a, saame b 1 m f (x)dx M. b-a a 6 J¨arelikult b 1 f (x)dx b-a a on mingisugune v¨a¨artus v¨ahima ja suurima v¨a¨artuse vahel. L~oigul [a; b] pidev funktsioon aga omandab k~oiki v¨a¨artusi v¨ahima ja suurima v¨a¨artuse vahelt, muuhulgas ka seda v¨aa¨rtust. Seega leidub punkt [a; b], milles b
y = ± 2ex + C Erilahendi 0 y = + 2ex + C leidmisel arvestame, et y(0) = 1, siis 1 = ± 2e + C. St, antud juhul tuleb ja 1 = 2e0 + C, millest saame 1 = 2 + C ning C = -1. Erilahendiks on j¨arelikult y = 2ex - 1. 6
· arameetriliselt antud funktsiooni diferentseerimine. 31) Teoreem: Olgu funktsioon y = f (x) antud parameetrilisel kujul v~orranditega 0 32) Siis kehtib valem f (x) = 33)T~oestus. Funktsiooni f argument on x ja sõltuv muutuja y. Seega . Funktsiooni x = (t) argument 0 on t ja s~oltuv muutuja x. J¨arelikult (t) = . Analoogiliselt saame funktsiooni y = (t), mille argument 0 0 on t ja sõltuv muutuja y, tuletise jaoks seose (t) =. Kasutades neid valemeid arvutame: f (x)= 34) 22) a) Joone puutuja definitsioon Joone y=f(x) puutujaks punktis A nim. tema lõikaja AP piirsirget, mis
· arameetriliselt antud funktsiooni diferentseerimine. 31) Teoreem: Olgu funktsioon y = f (x) antud parameetrilisel kujul v~orranditega 0 32) Siis kehtib valem f (x) = 33)T~oestus. Funktsiooni f argument on x ja sõltuv muutuja y. Seega . Funktsiooni x = (t) argument 0 on t ja s~oltuv muutuja x. J¨arelikult (t) = . Analoogiliselt saame funktsiooni y = (t), mille argument 0 0 on t ja sõltuv muutuja y, tuletise jaoks seose (t) =. Kasutades neid valemeid arvutame: f (x)= 34) 22) a) Joone puutuja definitsioon Joone y=f(x) puutujaks punktis A nim. tema lõikaja AP piirsirget, mis
YKI0020 Keemia alused Toomas Tamm 2011 S 2011/2012 18. Elektrokeemia 4 Nullvoolupotentsiaal ja Gibbsi energia muutus Nagu eelmises peat¨ukis juttu oli, on keemilise s¨usteemi poolt sooritatav maksi- maalne t¨oo¨ v~ordne selle s¨usteemi Gibbsi energia muuduga: w = -G J¨arelikult -G = zF Eg Nullvoolupotentsiaali m~oo~detakse voltides, Zn|Cu-elemendis on see 1,0934 V (15 C juures). Saame arvutada, et selle reaktsiooni G=211,0 kJ/mol. Nullvoolupotentsiaali m~oo~tmise kaudu saame leida v¨aga t¨apseid Gibbsi energia v¨a¨artusi. YKI0020 Keemia alused Toomas Tamm 2011 S 2011/2012 18. Elektrokeemia 5
T~oestus. = : Olgu VS {v1 , . . . , vn } lineaarselt s~ oltumatu. Peame n¨aitama, et v~ordusest 1 v1 + · · · + n vn = o j¨ areldub 1 = · · · = n = 0 Oletame vastuv¨aiteliselt, et v¨ ahemalt u ¨ks kordajatest tuleb nullist erinev. Siis oleks VS {v1 , . . . , vn } lineaarselt s~ oltuv, mis on vastu- olus eeldusega. J¨arelikult peab 1 = · · · = n = 0. 14 V. Vektorruumid = : Kui v~ordusest 1 v1 + · · · + n vn = o j¨ areldub 1 = · · · = n = 0 siis ei leidu nullvektoriga v~ orduvat mittetriviaalset lineaarkombi- natsiooni. Seega VS {v1 , . . . , vn } on lineaarselt s~ oltumatu. 4.13 Lineaarse s~ oltuvuse tunnus Teoreem 21
200 200 k =1+ =1+ = 3, 1 = k = 2, 0 (42) d 45 1/2 min = 0, 035 · k 3/2 · fck = 0, 035 · 23/2 · 251/2 = 0, 495 (43) VRd,c = min · b · d = 0, 495 · 1000 · 45 = 22, 3kN (44) j¨arelikult on tarvis arvestada ka pikiarmatuuriga, ning see ankurdada: As1 419 1 = = = 0, 0093 0, 02 (45) bw · d 1000 · 45 VRd,c = [CRd,c · k · (100 · 1 · fck )1/3 ] · b · d = (46) 1/3
Kuna arv I ∗ (f) on hulga {s (T) | T ∈ } vähim ülemine tõke, siis I∗ (f) ≤ S (T) suvalise alajaotuse T ∈ korral. Niisiis, I∗ (f) on hulga {S (T) | T ∈ } alumine tõke. Seega on see hulk alt tõkestatud, mistõttu tal leidub alumine raja I∗ (f) := inf {S (T) | T ∈ }, seda nimetatakse funktsiooni f Darboux' ülemintegraaliks. Alumine raja kui suurim alumine tõke ei saa olla väiksem alumisest tõkkest I∗ (f), j¨arelikult I∗ (f) ≤ I∗ (f) . Öeldakse, et lõigus [a, b] tõkestatud funktsioon f on selles lõigus integreeruv, kui tema Darboux’ alam- ja ülemintegraal on võrdsed, s.t. I ∗ (f) = I∗ (f) . 48. Tarvilik ja piisav tingimus tõkestatud funktsiooni integreeruvuseks (*) Defineerida Darboux ülem- ja alamintegraal ja integreeruvad funktsioonid. Iga ülemsumma S (T) on kõigi alamsummade hulga {s (T) | T ∈ } ülemine tõke
1-"t tavus. Kui DNA rihes ahelas paikneb A, siis tei- a) -A_T-C-C-T-G-G-T-T-T_A-T-G-C - ses ahelas on selle vastas alati T ning G vastas C. Seejuures moodustub A ja T vahele kaks ning b) -A-T-C_C-T-G_G-T-T_T_A-T_G -C - G ja C vahele kolm vesiniksidet (joon.2.23.). -T-A_G-G-A_C-C-A_A-A-T-A-C - G - |Arelikult, teades nukleotiidide jzirjestust DNA k iihes ahelas, on meil rihtlasi teada ka teise ahela Sarnaselt valkudega on ka DNA molekulil teist ja kol- monomeeride jiirjestus. mandat jdrku struktuur. Vesiniksidemetega Uhendatud m
annaabi.ee 
