Funktsiooni piirv¨ a¨ artuse arvutamise n¨ aidis¨ ulesaded N¨ aide 1. Leida piirv¨aa¨rtus x2 + x + 1 lim . x-1 x2 - x + 1 Lahendus. Vaadeldav funktsioon on elementaarfunktsioon ja punkt x = -1 kuulub tema m¨aa¨ramis- piirkonda. Seega x2 + x + 1 1-1+1 1 lim 2 = = . x-1 x - x + 1 1+1+1 3
ARVU ABSOLUUTVÄÄRTUSE OMADUSED n∈N korral . 2. Kui jada {x n } koondub ja piirväärtus on a, { |a|= a , kui a≥ 0 −a , kui a ≤ 0 Alt tõkestatud: kui leidub arv M∈R , et iga
T~oestuseta esitatud oluliste v¨ aidete korral on antud viide ~opikule, millest huviline v~oib leida kor- rektse t~ oestuse. ~ Oppevahendi eesm¨ argiks on tutvustada lugejat matemaatilise anal¨ uu ¨si p~ohit~odedega u ¨he muutuja funktsiooni korral. Matemaatiline anal¨ uu¨s on matemaatika osa, milles funktsioone ja nende u ¨ldistusi uuritakse piirv¨a¨artuste meetodil. Piirv¨a¨artuse m~oiste on tihedalt seotud l~ opmata v¨ aikese suuruse m~oistega. V~oib ka v¨aita, et matemaatiline anal¨ uu¨s uurib funktsioone ja nende u ¨ldistusi l~opmata v¨aikeste meetodil. Nii tehnikas kui ka looduses uuritavate protsesside kirjeldamisel kasutatakse funktsionaalseid seoseid ja nende uurimiseks matemaatilist anal¨ uu ¨si. Antud ~oppevahendis k¨asitletakse klassikalist
P˜ohilisteks elementaarfunktsioonideks nimetatakse funktsioone
f (x) = C f (x) = x_
f (x) = ax f (x) = loga x
f (x) = sin(x) f (x) = cos(x) f (x) = tan(x) f (x) = cot(x)
f (x) = arcsin(x) f (x) = arccos(x)
f (x) = arctan(x) f (x) = arccot(x).
Definitsioon 11
Elementaarfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis on saadud
p˜ohilistest elementaarfunktsioonidest l˜opliku arvu aritmeetiliste
tehete (so. liitmise, lahutamise korrutamise, jagamise) ja
liitfunktsiooni moodustamise teel.
Jada piirv¨a¨artus
Definitsioon 1
Jadaks nimetatakse funktsiooni, mille m¨a¨aramispiirkonnaks on
naturaalarvude hulk N.
{x0,x1,x2,...}{xn}n2N {xn}
Definitsioon 2
Arvu a nimetatakse jada {xn}(l˜oplikuks) piirv¨a¨artuseks, kui iga
_>0 korral leidub N 2N, et iga n >N korral kehtib v˜orratus
|xn −a|
sn = f (k )xk , k=1 mida nimetatakse funktsiooni f (x) integraalsummaks l~oigul [a; b]. Jaotuspunktid x1 , x2 , . . . on suvalised. Seeaga on osal~oikude pikkused xk , k = 1, 2, . . . , n erinevad. T¨ahistagu pikima osal~oigu pikkust st = max xk . 1kn Definitsioon 1. Kui piirv¨a¨artus lim sn 0 ei s~oltu sellest, kuidas on l~oik [a; b] jaotatud osal~oikudeks [xk-1 ; xk ], ega sel- lest, kuidas on valitud punktid k osal~oikudel, siis seda piirv¨a¨artust nimeta- takse funktsiooni f (x) m¨aa¨ratud integraaliks rajades a-st b-ni ja t¨ahistatakse b f (x)dx.
oo¨ks ettevalmistumiseks 1. Avaldada funktsiooni f (x) = e-x neljanda astme Taylori pol¨ unoom punktis 0. 2. Avaldada funktsiooni 1 f (x) = x+1 kolmanda astme Taylori pol¨ unoom punktis 0. 3. Arvutada piirv¨aa¨rtus l'Hospitali reeglit kasutades: x3 - 5x2 + 3x + 9 lim . x3 x3 - 8x2 + 21x - 18 4. Arvutada piirv¨aa¨rtus l'Hospitali reeglit kasutades: (1 - x)2 lim . x1 1 - sin x 2 5. Arvutada piirv¨aa¨rtus l'Hospitali reeglit kasutades:
selline f korraldab üksühese vastavuse oma määramispiirkonna ja muutumispiirkonna vahel. Kui funktsioon f rahuldab nimetatud tingimust vaid oma määramispiirkonna mingil osahulgal, siis saab rääkida üksnes selle funktsiooni vastava lahendi pöördfunktsioonist. Kui funktsiooni f tuletis f' on kohal x nullist erinev, siis pöördfunktsiooni f-1 tuletis kohal y=f(x) saab avaldada kujul ( f -1 )' ( y ) = f '1( x ) = f ' ( f 1-1 ( y ) ) 4. Funkts. Piirväärtus. Ühepoolsed piirväärtused. Funktsiooni piirv. Def: Funktsioonil f on piirväärtus b kohal a kui suvalises piirprotsessis xa, mis rahuldab tingimust x a, funktsiooni väärtus f(x) läheneb arvule b. Funktsiooni piirväärtuse kirjutusviis on: lim(xa) f(x) = b või f(x) b kui xa. Mõiste "piirväärtus kohal a asemel võib kasutada ka samaväärseid väljendeid "piirväartus punktis a"või "piirvärtus argumendi lähenemisel värtusele a"
Lembit Pallas TTU¨ Matemaatikainstituut V-404, tel. 6203056 e-post: [email protected] K¨asitletavad teemad on toodud punktide kaupa. Neid punkte tuleb vaadelda ka kui kollokviumide ja eksami teooriak¨ usimusi. 1. Funktsiooni m~oiste ja esitusviisid 2. Funktsioonide liigitamine (paaris- ja paaritud funktsioonid, perioodilised funktsioo- nid, kasvavad ja kahanevad funktsioonid) 3. P¨o¨ordfunktsioon 4. Liitfunktsioon 5. Jada piirv¨aa¨rtus 6. Funktsiooni piirv¨aa¨rtus ¨ 7. Uhepoolsed piirv¨aa¨rtused 8. L~opmatult kasvavad ja l~opmatult kahanevad suurused 9. Piirv¨a¨artusteoreemid 10. L~opmatult kahanevate suuruste v~ordlemine 11. Funktsiooni pidevuse m~oiste. Tarvilik ja piisav tingimus funktsiooni pidevuseks 12. Elementaarfunktsioonide pidevus 13. L~oigul pidevate funktsioonide omadused 14. Funktsiooni katkevuspunktid 15
Matemaatilised meetodid loodusteadustes. II kontrollt¨ o¨o, I variant 1. Leida j¨argmised piirv¨a¨artused (3p): 9 + x2 -2x4 - 3x3 + 1 2x lim , lim , lim x-3 (x + 3)2 x- x3 - 3x4 x x - ex Lahendus. 9 + x2 limx-3 (9 + x2 ) 18 1) lim = = = +, x-3 (x + 3)2 limx-3 (x + 3)2 +0
. . . . . . . . . . 6 1.4 P¨o¨ ordfunktsiooni m~oiste. Logaritmfunktsioon. Arkusfunktsioonid. 8 1.5 Tehted funktsioonidega. Elementaarfunktsioon. Pol¨ unoom ja ratsionaalfunktsioon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.6 Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid. Parameetrilisel kujul an- tud jooned ja funktsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.7 H¨uperboolsed trigonomeetrilised funktsioonid. . . . . . . . . . . . 22 2 Piirv¨a¨ artus ja pidevus 27 2.1 Muutuva suuruse piirprotsessid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2 Jada piirv¨a¨artus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3 L~opmatult kahanevad, l~opmatult kasvavad ja t~okestatud suurused. 30 2.4 Funktsiooni piirv¨a¨ artus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.5 Funktsiooni u ¨hepoolsed piirv¨a¨artused. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 P¨o¨ordfunktsiooni m~oiste. Logaritmfunktsioon. Arkusfunktsioonid. 8 1.5 Tehted funktsioonidega. Elementaarfunktsioon. Pol¨ unoom ja ratsionaalfunktsioon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.6 Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid. Parameetrilisel kujul an- tud jooned ja funktsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.7 H¨uperboolsed trigonomeetrilised funktsioonid. . . . . . . . . . . . 22 2 Piirv¨a¨ artus ja pidevus 27 2.1 Muutuva suuruse piirprotsessid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2 Jada piirv¨a¨artus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3 L~opmatult kahanevad, l~opmatult kasvavad ja t~okestatud suurused. 30 2.4 Funktsiooni piirv¨a¨artus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.5 Funktsiooni u ¨hepoolsed piirv¨a¨artused. . . . .
ja pf.graaf kirjutada sin, cos, ikud sümmeetr.y=x suhtes+ tan=(2k+1/2)pi, ning k e Z, logf ekspf y=a_xpöördf+ Y=R. cot=X=R/(kpi||k e Z) arkused trigode pöördf-d Y=R alg.tehted: 2.funk.: muutuv.suurus:lõp kah+kasv y=f(x) ja g(x), ühine + tõk kui muutp on määramisp: 1) f ja g summa, tõk+kah*tõk on lõp kahanev! vahe,kor ja jag kirjut! piirv.omad: liitmine,-,*,/(ei liitfunk:2.funk 2 määrp. 0),C pid f.def: olgu...(x- Põh.elementaarf: (11!), kuidas >a):lõp.0 erinevpiirv.a(x)/b(x), saadud?polünoom ja ratsfun: siis sama j.lõp.kah.+kui =0, siis avaldis+ rats.on selle jagatis a~b +kui =0, siis a kõrg.j. b järj.muutuv suurus:eelnev, suhtes abs.ekstr.def.lõigul: järgnev+piirväärtus- a ümbrus, katkvp. Liigitus:ühep.lim-
korrutis on tõkestamatult kahanev a)cx->tõkestamatult kahanev b)kahe tõkestamatult kahaneva suuruse korrutis on samuti tõkestamatult kahanev *Kasvav: *def.1 suurus x:x1,x2,x3...xn=f(n)...on tõkestamatult kasvav, kui igale pos arvule M, leidub niisugune indeks N IN, mille korral |xn|>M, n>N; arvtelg (xN+2, -M, x1, 0,x2,M,xN+1), Lause: tõkestamatult kasvav suurus x, siis tema pöörväärtus 1/x tõkestamatult kahanev ja vastupidi 7. Muutuva suuruse piirväärtus Suurus x: x1,x2,x3...,xn,..=> def. Arv a on suuruse xn piirväärtus protsessis, kus n läheneb sel korral, kui xn-a on tõkestamatult kahanev suurus, limn-> xn=a, xn-a= n *Kui suurusel piirväärtus on olemas, siis kehtib seos, et xn- a on tõkestamatult kahanev , siis saame xn=a+ n tõkestamatult kah suurus *Kui meil see vahe on tõkes kah siis iga puhul leidub N IN, mille korral | xn-a|< , n>N; arvtelg(x1,0,a- ,xN+1(üles),a,a+ ,x2(üles)) .*Järeldus 1)tõk kah
Siis, vastavalt lokaalse maksimumi definitsioonile, leidub punkti x1 u¨mbrus nii, et iga x korral sellest u¨mbrusest kehtib v~orratus f(x) - f(x1) 0 Selles u¨mbruses asuva arvu x me saame v~otta punktist x1 nii vasakult kui ka paremalt. Asugu x punktist x1 vasakul. Siis x - x1 < 0. Jagame v~orratuse negatiivse arvuga x - x1. Kuna negatiivse arvuga jagamisel v~orratuse m¨ark muutub vastupidiseks, saame f(x) - f(x1)/ x - x1 0. See v~orratus j¨a¨ab kehtima ka siis, kui me v~otame temast piirv¨a¨artuse protsessis x x1. Seega tuletise definitsiooni p~ohjal F'(x1) = lim f(x) - f(x1)/ x - x1 0. xx1 J¨argnevalt olgu x punktist x1 paremal. Siis x - x1 > 0. Jagades v~orratuse positiivse arvuga x - x1 saame f(x) - f(x1)/ x - x1 0. V~otame piirv¨a¨artuse: F'(x1) = lim f(x) - f(x1)/ x - x1 0. xx1 V~orratused n¨aitavad, et f'(x1) 0 ja f'(x1) 0. See on v~oimalik vaid siis, kui f'(x1) = 0. Seega on lemma t~oestatud juhul, kui x1-s on lokaalne miinimum
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 ¨ 2 UMBRUSED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.1 Punkti u ¨mbruste s¨ usteem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2 Topoloogia m¨a¨aramine u ¨mbruste s¨ usteemiga . . . . . 14 2.3 N¨aiteid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.4 Jada ja tema piirv¨a¨artus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ¨ 2.5 Ulesandeid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23 3 SISEMUS JA SULUND . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.1 Hulga sisemus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.2 Hulga sulund . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.3 Hulga raja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x=a (2) y=b {z=(x; y); y=b (3) z=c {z=(x; y); z=c Need kolm on pinna z=(x; y) nivoojooned F-ni osamuut ja täismuut z=(x; y) fikseeritud punktis P(x; y) (joon) (x; y)(x+x; y) Def: Vahet (x+x; y)- (x; y) nim 2 muutuja f-ni osamuuduks x-i järgi ja tähistatakse xz (joonisel QQ). Kui on antud (x; y)(x; y+y) Def: f-ni osamuut y-i järgi on def punktis yz=(x; y+y)-(x; y) (joon. RR). Kui on antud (x; y)(x+x; y+y) Def: f-ni täismuuduks nim vahet z=(x+x; y+y)-(x; y) (TT) Kahe muutuja f-ni piirväärtus ja pidevus Po(xo; yo) (joon) U(xo; yo)={(x; y)(x-xo)2+(y-yo)2<2} ning xxo ja yyo [(x; y)(xo; yo)] Def: Reaalarvu A nim 2 muutuja f-ni piirv vaadeldavas piirprotsessis, kui iga kuitahes väikese korral leidub selline ümbrus (punktile (xo; yo)), et niipea kui punkt lim f ( x; y ) = A koordin (x; y) kuulub sellesse piirk-da, erineb f-ni väärtus selles punktis A-st vähem kui võrra
sechx =1 /coshx=2 /ex + e-x- hüperboolne seekant : cschx =1 /sinhx=2 /ex - e-x- hüperboolne koseekant. x = arsinhy - areasiinus x = arcoshy - areakosinus x = artanhy - areatangens x = arcothy - areakotangens 7. Järjestatud muutuva suuruse mõiste. Muutuva suuruse x kohta öeldakse, et ta on järjestatud, kui tema väärtustest on moodustatud järjestatud hulk, st hulk mille iga kahe elemendi kohta on võimalik öelda, kumb neist on eelnev ja kumb järgnev. Muutuva suuruse piirväärtuse definitsioon. Olgu x järjestatud muutuv suurus. Arvu a nimetatakse muutuva suuruse x piirväärtuseks, kui iga kuitahes väikese positiivse arvu korral saab näidata sellist suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused kuuluvad arvu a ümbrusesse (a-,a+ ), st rahuldavad võrratust |x- a| < . Kui arv a on suuruse x piirväärtus, siis öeldakse, et suurus x läheneb arvule a ehk koondub arvuks a ja kirjutatakse x a või limx = a.
n k) ning (Pk)vk f ( P ) v k =1 k k [ =(x; y; z) integraalsumma üle pk V] Osapiirk diameetriks nim osapk punktide vahelist suurimat kaugust = max diamv k = f ( x; y; z ) dxdydz kusjuures 1 k n. Def: Kui V n eksisteerib piirväärtus 0 lim f ( Pk ) v k ja see ei sõltu sellest kuidas pk V on jaotatud osapiirk-ks ega sellest 0 k =1 kuidas on valitud punktid Pk osapk-des siis seda piirväärtust nim kolmekordseks integraaliks üle pk V (Piirk V def f-n on mitteneg siis see on ainetihedus punktis (x; y; z); (Pk)vk k-nda osapiirkonna mass ()) Omadused: (1)
1. Tõkestatud hulga mõiste. Ülalt/alt tõkestatud hulga mõiste. Tuua näide. 10,12Jada piirväärtus. Arvu a nimetatakse reaalarvude jada x 1, x2, x3, ... Tõkestatud hulga definitsioon Reaalarvudest koosnevat hulka A piirväärtuseks, kui iga kuitahes vaikese positiivse arvu korral saab näidata nimetatakse tõkestatuks, kui leidub lõplik vahemik (a,b) nii, et A(a,b). sellist jada elementi xn , millest alates kõik järgnevad jada elemendid kuuluvad Tõkestamata hulgad on lõpmatud vahemikud. arvu a ümbrusesse (a , a + ). Jada piirväärtust tähistatakse lim x n = a 2. Sõnastada arvu -ümbrus, arvu parem- ja vasakpoolne ümbrus
5 Öeldakse, et hulk D on lahtine ruumis Rm kui iga tema punkt on sisepunkt. Öeldakse, et hulk D on kinnine, kui ta sisaldab
kõiki oma rajapunkte.
Def.6 Punkti A nim jada (Pn) piirpunktiks ja tähist limnP=A kui limn-d(Pn,A)=0
Def.6'Punkti A nim jada Pn piirpunktiks, kui iga E>0 korral leidub naturaalarv N nii, et d(Pn,A)
z z = f (x, y) z=C L Joonis 6.2 O· / y f (x, y) = C x 8) Mitmemõõtmelise muutuva suuruse piirväärtuse definitsioon. Punkti A = (a1 , a2 , . . . , am ) nimetatakse muutuva suuruse P = (x1 , x2 , . . . , xm ) piirv¨a¨ artuseks kui iga etteantud kuitahes v¨aikese positiivse arvu korral saab n¨aidata sellist suuruse P v¨a¨artust, millest alates k~oik j¨argnevad muutuva suu- ruse v¨a¨artused kuuluvad punkti A u ¨mbrusesse U (A, ). 9) Olgu punkt A suuruse P piirväärtus. Millele läheneb P ja A vaheline kaugus?
määramispiirkond X=N. Suuruse +∞ Mümbruseks nimetatakse vahemikku (M, +∞) ja tähistatakse U (+∞). M Suuruse −∞ Mümbruseks nimetatakse vahemikku (−∞, M) ja tähistatakse U (−∞). M 10. Defineerida jada piirväärtused lim x n = a, n→∞ Definitsioon. Arvu a nimetatakse jada (xn) piirv¨a¨artuseks, kui suvalise positiivse arvu ε > 0 korral leidub selline naturaalarv n0 = n0(ε), et iga naturaalarvu n, mis on suurem kui n0 (n ≥ n0) korral |xn − a| < ε. lim x = +∞ n n→∞ Definitsioon
Taolist piirprotsessi tähistatakse järgmiselt: x → ∞ või lim x = ∞ Muutuv suurus x läheneb miinus lõpmatusele, kui iga kuitahes suure positiivse arvu M korral saab näidata sellist suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused kuuluvad miinus lõpmatuse ümbrusesse (−∞, −M), st rahuldavad võrratust x < −M. Sellise piirprotsessi tähistusviis on x → −∞ või lim x = −∞ . 7. Defineerida reaalarvude jada piirväärtus. Milline jada on koonduv ja milline jada on hajuv? (lk 4) Arvu a nimetatakse reaalarvude jada x1, x2, x3, . . . piirväärtuseks, kui iga kuitahes väikese positiivse arvu ε korral saab näidata sellist jada elementi xn, millest alates kõik järgnevad jada elemendid kuuluvad arvu a ümbrusesse (a − ε, a + ε). Jada piirväärtuse kirjutusviis on järgmine: xn → a või lim xn = a 8. Defineerida funktsiooni piirväärtus. (lk 5)
sirgest läheneb nullile, siis seda sirget nim. antud joone asümptoodiks. Kaldasümptoot. Valem: y=kx+b; Joone y=f(x) kaldasümptootide leidmiseks tuleb suurused a ja b määrata: juhul x- seosest lim x- (f(x)-kx-b)=0 millest saame, 1 et k= lim x- f(x)/x ^ b= lim x-(f(x)-kx); *juhul x+ seosest lim x+ (f(x)-kx-b)=0, millest saame, et k=lim x+ f(x)/x ^ b= lim x+(f(x)-kx). Kui uuritaval juhul vaadeldavad piirväärtused suuruste k ja b leidmiseks eksisteerivad, siis eksisteerib kaldas., kui ei, siis mitte. 35. Määramata integraali omadused Selles punktis tõestame kolm määramata integraali omadust ja kasutame neid omadusi integreerimisel. Omadus 1. [ f ( x ) + g ( x )]dx = f ( x )dx + g ( x )dx , s.t. kahe funktsiooni summa määramata integraal on võrdne nende funktsioonide määramata integraalide summaga.
t U ( P0 ) D . Hulga rajapunkt: Punkti P0 nim. hulga D rajapunktiks, kui igas punkti P0 -ümbruses leidub nii hulga D punkte kui ka punkte, mis ei kuulu hulka D, s.t > 0 U ( P0 ) D U ( P0 ) D . Hulga raja: Hulga D kõigi rajapunktide hulka nim. hulga D rajaks. Lahtine hulk: Hulka D nim. lahtiseks kui kõik tema punktid on sisepunktid. Kinnine hulk: Hulka D nim. kinniseks kui hulka D kuuluvad ka kõik tema rajapunktid. Mitme muutuja funktsiooni piirväärtus sin x ~ tan x ~ arcsin x ~ arctan x ~ ln(1 + x ) ~ x, x 0 mx m k
*Kui funktsioonil 𝑓 (𝑛−1) eksisteerib tuletis punktis a, siis seda tuletist nimetatakse funktsiooni ′ 𝑓 (𝑛−1) (𝑥)− 𝑓 (𝑛−1) (𝑎) Analoogiline väide peab paika ka vasakpoolse piirväärtuse ja samuti (kahepoolse) piirv. lorral. 𝑓 n-järku tuletiseks kohal a. 𝑓 (𝑛) (𝑎) ≔ [𝑓 (𝑛−1) (𝑎)] 𝑥=𝑎 = lim NB ! Nullid peaksid seal võrdusmärgi all ja üleval olema. 𝑥→𝑎 𝑥−𝑎
annaabi.ee 
