3 sest 1 ( 3 = 3 x x)' 2 3 ja ruutjuurealune x ei tohi olla null, sest vastasel juhul pole funktsioonid määratletavad. 2) MÄÄRAMATA INTEGRAAL Pole raske taibata, et ühel funktsioonil võib olla mitu, kui isegi mitte lõpmata hulk algfunktsioone. Uurime: On antud funktsioonid: Leiame nende kõikide tuletised: Kõikide ühine tulemus: x3 x 3 3 ' f(x) = 3 = x2
KÕRGEM MATEMAATIKA III Matemaatilise analüüsi elemendid 3. Määramata integraalid Õppekirjandus: [1] Abel, E., Kokk, K. Kõrgem matemaatika (Harjutusülesanded). EMS, Tartu, 2003. [2] Lõhmus, A., Petersen, I., Roos, H. Kõrgema matemaatika ülesannete kogu. "Valgus", Tallinn, 1982. [3] Loone, L., Soomer, V. Matemaatilise analüüsi algkursus. "TÜ Kirjastus", Tartu, 2006. [4] Tõnso, T., Veelmaa, A. Matemaatika XII klassile. "Mathema", Tallinn, 1995. [5] Piskunov, N. Diferentsiaal- ja integraalarvutus. "Valgus", Tallinn, 1981. 3
Siis algfunktsiooni definitsiooni kohaselt: F1( x ) = f ( x ) ; F2( x ) = f ( x ) F ( x ) - F ( x ) = 0 ehk [ F ( x ) - F ( x ) ] = 0 2 1 2 1 Nulltuletisteoreemi kohaselt (kui funktsioon omab vahemiku igas punktis tuletist ja see tuletis on kõikjal 0, siis funktsioon on konstantne) on F2 ( x ) - F1 ( x ) = const m.o.t.t. Def Funktsiooni y = f(x) määramata integraaliks nimetatakse avaldist y = f ( x) dx = F(x) + C, kus F(x) on funktsiooni f(x) algfunktsioon ja C konstant, mida nimetatakse integreerimiskonstandiks. Muutujat x nimetatakse integreerimismuutujaks. Integraali märgi all olevat funktsiooni f(x) nimetatakse integreeritavaks funktsiooniks. Integraalialuseks avaldiseks nimetatakse avaldist f(x)dx. Näide: 2 xdx = x +C 2 1. MÄÄRAMATA INTEGRAALI OMADUSED 1
[f(x) dx]' = f(x) [ f[(t)]'(t)dt]' = [liitfunktsiooni järgi, kus t=(x)] = [ f[(t)]'(t)dt]''(x) = 1 =f[(t)]'(t) '(x) = [asendades pöördfunktsiooni kaudu] = f[(t)]'(t) ' (t ) = f[(t)] = [asendades tagasi muutuja x'i seosest x=(t)] = f(x) M.O.T.T. OSITI INTEGREERIMINE MÄÄRAMATA INTEGRAALIS Meil on kaks funktsiooni: u ja v, mõlemad funktsioonid on diferentseeruvad ja mõlemad on argumendi x funktsioonid. Tihti tuleb ette olukordi, kus tuleb integreerida kahe funktsiooni korrutist: uv . Kuna integreerimisel tuleb alati avaldada ka diferentsiaal, siis alguseks teemegi seda: Kuna diferentsiaal on tuletise ja argumendi muudu korrutis, siis analoogselt korrutise tuletise valemi järgi (uv)´ = u'v + uv' on korrutise diferentsiaal: d(uv) = duv + udv
2.1. Määramata integraal. Def1. F(x) nim f(x) algfunktsiooniks hulgal X, kui iga x korral hulgast X F'(x)=f(x). xX. N. f(x)=xex+ex F(x)=xex F'(x)=ex+xex * Kui f(x) (xX) on 2 algfunktsiooni F1(x) ja F2(x), siis st, f(x) algfunktsioonid erinevad üksteisest vaid konstandi võrra. . F1(x)-F2(x)=C F1(x)=F2(x)+C (xX) Def2. f(x) kõikide algfunktsioonide hulka cX nim. F-ni f(x) määramata integraaliks ja tähistatakse ning kui F(x) on üks f(x)-i algfunktsioon, sel hulgal F(x), siis . Kui f(x) ja F(x) on integreeruvad punktis f(x) siis L1. Määratud integrali lineaarsuse omadused: 2.2 Määramata integraalide tabel 1.. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. x(-1;1) T.19 y=arshx x=shy . 2.3 Muutujate vahetus määramata integraalis F'(x)=f(x) (xX). x=(t). L1.
x 1 lim - . x1 x - 1 ln x 7. Leida funktsiooni f (x) = 6 + 8x3 - x4 kasvamis- ja kahanemispiirkonnad ning lokaalsed ekstreemumid. 8. Leida funktsiooni 3 f (x) = (x3 + 8)2 kasvamis- ja kahanemispiirkonnad ning lokaalsed ekstreemumid. 9. Avaldada m¨aa¨ramata integraal cos(5 - 6x)dx . 10. Avaldada m¨aa¨ramata integraal dx . 2 + 9x2 11. Avaldada m¨aa¨ramata integraal x3 dx 5 . x4 + 1 12. Avaldada m¨aa¨ramata integraal
Kodused kaasused. 1. K. sõlmis OÜ-ga “Koostöölepingu”. Selle lepingu järgi kohustus K. tegema infotehnoloogia spetsialisti tööd ja OÜ kohustus maksma talle töötasu 1000 eur kuus. Leping oli sõlmitud määramata tähtajaks ning selles oli kokku lepitud tehtav töö, töötasu ja selle maksmise kord, töö tegemise koht ning tööle asumise aeg. Lepingu järgi pidi IT spetsialist töötama ettevõttes täistööajaga ehk 8 tundi päevas. Tegelikult töötas ta ka teises ettevõttes ning täitis OÜ antud ülesandeid vastavalt vajadusele. OÜ leidis, et tegemist ei ole töölepinguga ning ütles selle põhjusi avaldamata üles. K
z=f(x;y). Leiduvad osatuletised z'x , z'y , z''xx , z''yy , z''xy. Eeldame, et funkts. on pidev ja segaosatuletised võrdsed. 1) Leida statsionaarsed kohad süsteem: z'x(x0;y0) = 0 ja z'y(x0;y0) = 0; 2) Leida (x0;y0) = Z''xx*Z''yy (Z''xy)2. 3) Kui (x0;y0) > 0 ja Z''xx < 0, siis max koht; kui (x0;y0) > 0 ja Z''xx > 0, siis min koht; kui (x0;y0) < 0, siis ektreemumkoht puudub; kui i (x0;y0) = 0, siis tuleb edasi uurida. 36. Ühe muutuja funktsiooni algfunktsioon. Määramata integraal ja selle omadused. Funktsiooni y=F(x) nim funktsiooni y=f(x) algfunktsiooniks kui f(x)=F'(x). Kui y=F(x) on y=f(x) algfunktsioon, siis on seda y=F(x)+C Näide: Funktsiooni f(x) = 2e2x algfunktsiooniks on funktsioon F(x) = e2x, sest F´ (x) = 2e2x = f(x). Määramata integraaliks funktsioonist y=f(x) nim kõikide algfunktsioonide hulka ehk f(x)dx = F(x) + C. Määramata integraali omadused: 1) [f(x)dx]' = f(x); 2) d[f(x)dx] = f(x)dx;
diferentseerimine. Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised. 5. Kõrgemat järku tuletised. Leibnizi valem. Funktsiooni diferentsiaalid. Funktsiooni kasvamine ja kahanemine. Lokaalne ekstreemum. 6. Keskväärtusteoreemid. L'Hospitali reegel. 7. Taylori valem polünoomi korral. Taylori valem. Taylori valemi jääkliige. 8. Joone puutuja ja normaal. Funktsiooni lokaalne ekstreemum. Joone kumerus ja nõgusus. Käänupunktid. 9. Funktsiooni uurimine. Iteratsioonimeetod. 10. Määramata integraal ja selle omadused. Määramata integraalide tabel. Muutujate vahetus määramata integraalis. Ositi integreerimine määramata integraalis. 11. Hulkliikme teguriteks lahutamine. Ratsionaalfunktsiooni osamurdudeks lahuta-mine. Lihtsamate osamurdude integreerimine. 12. Trigonomeetriliste ja hüperboolsete funktsioonide integreerimine. 13. Algebraliste funktsioonide integreerimine. Mitte-elementaarsed integraalid. 14. Määratud integraal ja selle omadused 15
magi hadaohu voi hirmu puhul valmis oma tulutut tegevust kordama. VESI Onneks polnud ei uks ega teine sagedasedkulalised meie vaikelinnas, kus isegi sund ja surm ei kestnud kuigivord kauem sunnikarjest ja surma- oigest - need lihtsalt unustati kiiresti, et jatkata uut ja alati uuenevat elu. Seeaga andis ajale voolavuse. Koike seda moistis ka Sobakov, kuj ta, pè>è>ramata pilku raamatult, mille taha oli peitunud meie varakups lugeja, toi kuuldavale kaks kat- kendlikku, kuid seda veenvamat lauset: "On vist parem... kuj poiss kogu aja kodus pole. Talle kuluksid... veekumblused ara." Me pole midagi unustanud - jarelejaanud kahest votmekimbust oli keskmine koige kaalukam, seal rippusid koikide klassiruumide (neid oli kokku kuus: kolm all, kolm uleval), opetajatetoa ja saali (kust viis uks raamatukokku, nU et votmeid oli kolm) avajad
Avalik- õigusliku juriidilise isiku organid sätestatakse seadusega. Juriidiline isik vastutab oma kohustuste eest oma varaga ja seaduses sätestatud juhtudel vastutavad ka liikmed oma varaga. Juriidilise isiku organid vastutavad juriidilisele isikule kahju tekitamise eest solidaarselt. Juriidilise isiku organi pädevus määratakse seadusega, põhikirjaga või ühingulepinguga. 58. Juriidilise isiku lõpetamine. Juriidiline isik asutatakse määramata ajaks, kui seadus ei ütle teisiti. Tema tegevuse lõpetamine toimub vabatahtlikult või kohtu otsusega (sundlõpetamine). Pankroti korral lõpetatakse juriidilise isiku tegevus pankrotiseaduse sätete alusel. Juriidilise isiku tegevus lõpetatakse vabatahtlikult: 1. Üldkoosoleku või muu pädeva organi otsusega 2. Isiku või asutuse otsusel, kellel on õigus lõpetada avalik-õiguslik juriidiline isik 3. Seaduses, põhikirjas või ühingulepingus seatud eesmärgi saavutamisel. 4
29. Lagrange'i teoreem 30. L'Hospitali reegel 31. L'Hospitali reegel teistel m¨aa¨ramatuse juhtudel 32. Taylori valem 33. Funktsioonide ex , sin x ja cos x arendid Maclaurini valemi j¨argi 34. Funktsiooni kasvamine ja kahanemine 35. Funktsiooni lokaalsed ekstreemumid 36. Funktsiooni suurim ja v¨ahim v¨a¨artus antud l~oigul 37. Funktsiooni graafiku kumerus ja n~ogusus. K¨aa¨nupunktid 38. Funktsiooni graafiku as¨ umptoodid 39. Algfunktsioon ja m¨aa¨ramata integraal 40. Integraalide tabel 2 41. M¨aa¨ramata integraali omadusi 42. Integreerimine muutuja vahetusega 43. Ositi integreerimine 44. Osamurrud ja nende integreerimine 45. Ratsionaalse murru lahutamine osamurdudeks 46. M~onede trigonomeetriliste funktsioonide klasside integreerimine 47. Irratsionaalavaldiste integreerimine 48. M¨aa¨ratud integraali m~oiste 49. M¨aa¨ratud integraali omadused 50. M¨aa¨ratud integraali arvutamine
?? mis jama see on Pärast Liivi sõda linnad kaubandusest kõrvale. Hansa ei suutnud oma privileega kaitsta. Kristlased ja ristiusk Mis on kristlaseks olemine? Luterlik kuuluvus keskajal. Mida usuti, polnudki nii oluline. Maksude laekumine – koormised. Riia, Saksa pool ristimine dokudega paremini kajastatud. Taani halvemini, süüdistatakse lohakas ristimises. Idakiriku mõju enne 13. saj Idakiriku mõjust kirjutavad lingvistilised allikad. Hrist – rist, ramata (vanavene) – raamat, nedelja – nädal. Oskar Loorits üritas leida vasteid vanavenekeelest. Germaani vaenlane. Pingutas üle. 12. saj kirikulõhest rääkida veel ei saa. Eesti ja Läti kristlik terminoloogia pärit vanavene keelest. Vastandust Saksa misjoniga otsima ei pea. Õigeusu ja katoliikliku õpetuse jaoks on tarvilik eelnev haridus. 1227 Eesti ala formaalselt kaotatud. Kas rahvas võttis uue õpetuse omaks? Historiograafias toonitatud, et
annaabi.ee 
